ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΗ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΤΗΣ ΧΩΡΙΚΗΣ ΔΟΜΗΣ ΤΗΣ ΒΡΟΧΗΣ. Παρουσίαση διπλωματικής εργασίας Αθανάσιος Πασχάλης Επιβλέπων καθηγητής: Δημήτρης Κουτσογιάννης

Transcript

1 ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΗ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΤΗΣ ΧΩΡΙΚΗΣ ΔΟΜΗΣ ΤΗΣ ΒΡΟΧΗΣ Παρουσίαση διπλωματικής εργασίας Αθανάσιος Πασχάλης Επιβλέπων καθηγητής: Δημήτρης Κουτσογιάννης

2 Διάρθρωση ρ της παρουσίασης Εισαγωγή Στατιστική επεξεργασία δεδομένων Ορισμός και ανάλυση στοχαστικού μοντέλου Πεδία εφαρμογής Συμπεράσματα μ

3 Εισαγωγή (1) Αντικείμενο της εργασίας αυτής είναι η διερεύνηση της ύπαρξης χωρικής εμμονής (δηλαδή τάση ομαδοποίησης υψηλών και χαμηλών τιμών στις δύο χωρικές διαστάσεις) καθώς και η προσπάθεια ανάπτυξης συνεπούς στοχαστικού μοντέλου που αναπαράγει την φυσική συμπεριφορά ικανοποιητικά. Επίσης θα γίνει προσπάθεια χρήσης κατάλληλων στατιστικών μεθόδων έτσι ώστε να υπάρχει θεωρητική συνέπεια μεταξύ στατιστικής επεξεργασίας δεδομένων και παρατηρούμενης φυσικής συμπεριφοράς.

4 Εισαγωγή (2) Φαινόμενο Hurst To 1951 παρατηρήθηκε για πρώτη φορά σε υδρολογική χρονοσειρά από τον H.E.Hurst η τάση για ομαδοποίηση υψηλών και χαμηλών τιμών στην διάσταση του χρόνου (υγρές και ξηρές περίοδοι). Η χρονοσειρά αυτή απεικόνιζε την ελάχιστη ετήσια στάθμη του Νείλου για χρονική περίοδο 600 ετών περίπου ελά άχιστη στάθμη έτη

5 Εισαγωγή (3) Στην εργασία αυτή δείχνουμε ότι η τάση για ομαδοποίηση υψηλών και χαμηλών τιμών αντίστοιχα, επεκτεινόμενοι από την μία χρονική διάσταση στις δύο χωρικές, εμφανίζεται επίσης και μάλιστα αντίθετα με την δυσνόητη έννοια της στην διάσταση του χρόνου, στις διαστάσεις του χρόνου είναι προφανής όταν αναφερόμαστε σε πεδία βροχής και αυτό οφείλεται στην διαδικασία γένεσης των επεισοδίων βροχής. πεδίο βροχόπτωσης πεδίο βροχόπτωσης η βροχής (mm) ύψ έντασ ση βροχής i(mm/h)

6 Εισαγωγή (4) Ανέλιξη απλής ομοιοθεσίας FGN (Fractional Gaussian Noise) (Mandelbrot, 1965) 1 1 όπου απ όπου συμπεραίνεται

7 Εισαγωγή (5) Τυχαίο πεδίο απλής ομοιθεσίας FGN (Fractional Gaussian Noise) όπου 2 2 1, 1 2, απ όπου συμπεραίνεται

8 Στατιστική επεξεργασία δεδομένων (1) Στατιστικές εκτιμήσεις κλασσικής στατιστικής Μπορούν να χρησιμοποιηθούν οι εκτιμήσεις αυτές στην περίπτωση εμφάνισης φαινομένου Hurst; Καθώς οι γεωφυσικές διεργασίες είναι αυτοσυσχετιζόμενες είτε στην διάσταση χρόνου η χώρου, παραβιάζεται η συνθήκη για την χρήση εκτιμήσεων κλασσικής στατιστικής ότι οι εκάστοτε μετρήσεις μπορούν να θεωρηθούν απεικονίσεις ανεξάρτητα πανομοιότυπα κατανεμημένων τυχαίων μεταβλητών. Οι εκτιμήσεις δεν είναι πια αμερόληπτες.

9 Στατιστική επεξεργασία δεδομένων (2) Αμερόληπτες εκτιμήσεις ανέλιξης απλής ομοιθεσίας Μέση τιμή 1 1 Διασπορά Τυπική απόκλιση Συντελεστής αυτοσυσχέτισης Ισοδύναμο δείγμα 1/

10 Στατιστική επεξεργασία δεδομένων (3) Για τον υπολογισμό των αμερόληπτων στατιστικών χαρακτηριστικών είναι αναγκαίος ο προσδιορισμός του συντελεστή Hurst. Υπολογίζεται ελαχιστοποιώντας το τετραγωνικό σφάλμα 2, όπου και /2

11 Στατιστική επεξεργασία δεδομένων (4) Κατ αντιστοιχία έχουμε τις αμερόληπτες εκτιμήσεις για τυχαίο πεδίο απλής ομοιθεσίας. Μέση τιμή 1 1 Διασπορά Συντελεστής αυτοσυσχέτισης Ισοδύναμο δείγμα 44

12 Στατιστική επεξεργασία δεδομένων (5) Για τον υπολογισμό των αμερόληπτων στατιστικών χαρακτηριστικών είναι αναγκαίος ο προσδιορισμός του συντελεστή Hurst. Υπολογίζεται ελαχιστοποιώντας το τετραγωνικό σφάλμα , όπου και

13 Στατιστική επεξεργασία δεδομένων (6) Κανονικοποίηση αρχικών δδ δεδομένων Προκειμένου να μετασχηματιστούν τα δεδομένα έτσι ώστε να ακολουθούν την τυποποιημένη κανονική κατανομή Ν(0,1) χρησιμοποιείται ο μετασχηματισμός 1 1 ln 2 1 του οποίου οι συντελεστές υπολογίζονται αριθμητικά με χρήση γενετικού αλγορίθμου και επίσης ο αντίστροφος μετασχηματισμός υπολογίζεται και πάλι αριθμητικά με χρήση μεθόδου διχοτόμησης.

14 Στατιστική επεξεργασία δεδομένων (7) Ημιμεταβλητόγραμμα Ορίζεται ως , και αντίστοιχα το πειραματικό ημιμεταβλητόγραμμα ορίζεται ως 1 2 όπου 2 1 και 1 1

15 Στατιστική επεξεργασία δεδομένων (8) Χρήσιμες ιδιότητες δό πειραματικού ημιμεταβλητογράμματος. Κατώφλι και εύρος που σχετίζονται με την διασπορά και την απόσταση συσχέτισης ενός δείγματος αντίστοιχα. Επίδραση διεύθυνσης που φαίνεται με την κατάρτιση πειραματικού ημιμεταβλητογράμματος σε διάφορες διευθύνσεις και μπορούμε να συμπεράνουμε αν ένα πεδίο μπορεί να θεωρηθεί ισότροπο η όχι. Στρωμάτωση Ο διαχωρισμός ενός συνόλου δεδομένων σε ομάδες πολλές φορές ελαττώνει την χωρική μεταβλητότητα

16 Ορισμός Ανάλυση Στοχαστικού μοντέλου (1) Το χωρικό στοχαστικό μοντέλο αποτελεί επέκταση του στοχαστικού μοντέλου SMA (Koutsoyiannis, 2000) και ορίζεται ως,,. Το μοντέλο αυτό μετασχηματίζει ανεξάρτητο πανομοιότυπα κατανεμημένο τυχαίο πεδίο σε τυχαίο πεδίο απλής ομοιθεσίας (FGN) ή ή έ ί ώ ύ ό Βασική παραδοχή του μοντέλου είναι η θεώρηση ομογενούς ισότροπου πεδίου.

17 Ορισμός Ανάλυση Στοχαστικού μοντέλου (2) Βασικές σχέσεις του μοντέλου (1) Διασπορά Συνδιασπορά 0, 2,,, Φάσμα ισχύος,, με 1 Συνάρτηση αυτοσυνδιασποράς σε συνεχή χώρο (παραδοχή) με 1 4

18 Ορισμός Ανάλυση Στοχαστικού μοντέλου (3) Βασικές σχέσεις του μοντέλου (2) Διακριτοποιώντας την εξίσωση αυτοσυνδιασποράς ολοκληρώνοντας στα χωρία Α και Β έχουμε την αριθμητική λύση όπου και τη συνάρτηση αυτοσυσχέτισης , , 0

19 Ορισμός Ανάλυση Στοχαστικού μοντέλου (4) Βασικές σχέσεις του μοντέλου (3) Με την παραδοχή που έγινε στην συνάρτηση αυτοσυνδιασποράς το φάσμα ισχύος υπολογίζεται ως όπου ή 0 2 με

20 Ορισμός Ανάλυση Στοχαστικού μοντέλου (5) Βασικές σχέσεις του μοντέλου (4) Από τα παραπάνω προκύπτουν οι σχέσεις προσαρμογής του μοντέλου 0 0 και όπου

21 Εφαρμογές ς( (1) Ηπρώτη εφαρμογή είναι από δδ δεδομένα καταγεγραμμένα μέσω δορυφόρου της NASA του προγράμματος TRMM (Tropical Rainfall Measuring Mission). To καταγεγραμμένο πεδίο βροχής είναι και σε τρισδιάστατη απεικόνιση πεδίο βροχής ύψη βροχής

22 Εφαρμογές (2) Το πεδίο μετασχηματίζεται έτσι ώστε να ακολουθεί την τυποποιημένη κανονική κατανομή Ν(0,1) με συντελεστές Συντελεστές μετασχηματισμού α ν β ψ κ 5,459*10 9

23 Εφαρμογές (3) Το κανονικοποιημένο πεδίο έχει την μορφή Κανονικοποιημένα ύψη βροχής Στατιστικά χαρακτηριστικά (κλασικές εκτιμήσεις) ροχής ύψη βρ μέση τιμή 0.03 τυπική απόκλιση 1.01 συντελεστής ασυμμετρίας συντελεστής κύρτωσης

24 Εφαρμογές (4) Η μεροληπτική εκτίμηση του συντελεστή Hurst είναι Η=0,89 ενώ η αμερόληπτη Η=0,94. Var[Z (k) ]=f(k) 1 10 y = 1,097x 0,43 Var[Z (k)] 0,4 k

25 Εφαρμογές (5) Για το κανονικοποιημένο πεδίο έχουμε μεροληπτικό αυτοσυσχετόγραμμα αυτοσυσχετόγραμμα (αμερόληπτη εκτίμηση) 1 1 0,8 0,8 συντελεστής αυτοσυσχέτισης 0,6 0,4 0,2 0 0, ,8 1 0,6 0,8 0,4 0,6 0,2 0,4 0 0,2 0,2 0 0,4 0,2 0,6 0,4 συντελεστής αυτοσυσχέτισης 0,6 0,4 0, ,8 1 0,6 0,8 0,4 0,6 0,2 0,4 0 0,2 0,2 0 0,4 0,2 0, , ,6 0,4 υστέρηση υστέρηση 1 ισότροπο αυτοσυσχετόγραμμα (αμερόληπτη εκτίμηση) 0,9 0,8 έτισης συντελεστής αυτοσυσχέ 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0, υστέρηση

26 Εφαρμογές (6) Για να δούμε κατά πόσο είναι αποδεκτή η θεώρηση ισότροπου πεδίου έχουμε Semiv ariance 1,163 1,086 1,008 0,931 0,853 0,776 0,698 0,621 0, ,465 0,388 0,310 0,233 0,155 0,078 0,000 Απ όπου φαίνεται ότι η θεώρηση είναι ικανοποιητική

27 Εφαρμογές (7) Για την εφαρμογή του μοντέλου υπολογίζονται b c(b) d(b) b' d(b') c(b') B γ ο a 0 Συντελεστές προσαρμογής μοντέλου Και η ακολουθία των συντελεστών βάρους

28 Εφαρμογές (8) Μια απεικόνιση του κανονικοποιημένου συνθετικού τυχαίου πεδίου είναι 3 2 κανονικοποιημένο συνθετικό πεδίο βροχής 2 3 Στατιστικά χαρακτηριστικά (κλασικές εκτιμήσεις) μέση τιμή 0.06 τυπική απόκλιση 0.91 συντελεστής ασυμμετρίας 0.21 συντελεστής κύρτωσης 0.07 ύψος βροχής

29 Εφαρμογές (9) Η μεροληπτική εκτίμηση του συντελεστή Hurst είναι Η=0,85 ενώ η αμερόληπτη Η=0,92. 1 Var[Z (k) ]=f(k) 1 10 y = 0,972x 0,58 Var[Z (k)] 0,1 k

30 Εφαρμογές (10) Για την απεικόνιση αυτή έχουμε μεροληπτικό αυτοσυσχετόγραμμα αυτοσυσχετόγραμμα (αμερόληπτη εκτίμηση) λεστής αυτοσυσχέτισης συντε 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0 0, , ,8 1 0,6 0,8 0,4 0,6 0,2 0,4 συντελεστής αυτοσυσχέτισης 1 0,8 0,6 0,4 0 0,2 0,2 0, ,4 0,2 0, ,8 1 0,6 0,8 0,4 0,6 0,2 0, ,2 0,2 0 υστέρηση υστέρηση ισότροπο αυτοσυσχετόγραμμα (αμερόληπτη εκτίμηση) 1 0,8 συντελεστής αυτοσυσχέτισης σ 0,6 0,4 0, ,2 υστέρηση

31 Εφαρμογές (11) Το παραγόμενο πεδίο είναι όντως ισότροπο όπως φαίνεται Semivariance i 1,90 1,77 1,64 1,52 1,39 1,26 1,14 1,01 0,88 0,76 0,63 0,51 0,38 0,25 0,13 0,00

32 Εφαρμογές (12) Το αποκανονικοποιημένο πεδίο είναι Και η σύγκριση ση αρχικού και συνθετικού Συνθετικό πεδίο βροχόπτωσης Σύγκριση μετρήσεων και παραγομένου πεδίου κανονικοποιημένα πεδία ιστορικό συνθετικό 200 μέση τιμή ) h(mm) κλασικές εκτιμήσεις αμ μερόληπτες εκτιμήσεις τυπική απόκλιση συντελεστής ασυμμετρίας συντελεστής κύρτωσης συντελεστής Hurst ισοδύναμο δείγμα συντελεστής Hurst διασπορά αποκανονικοποιημένα πεδία μέση τιμή κλασ σικές εκτιμ μήσεις τυπική απόκλιση συντελεστής ασυμμετρίας συντελεστής κύρτωσης

33 Εφαρμογές ς( (13) Η δεύτερη εφαρμογή είναι από δδ δεδομένα καταγεγραμμένα μέσω radar doppler της μετεωρολογικής υπηρεσίας των ΗΠΑ (ΝΟΑΑ) στην περιοχή της Alabama και αναφέρονται σε ένταση βροχής (3λέπτου). πεδίο βροχόπτωσης ένταση βροχής i(mm/h)

34 Εφαρμογές (14) Το πεδίο μετασχηματίζεται έτσι ώστε να ακολουθεί την τυποποιημένη κανονική κατανομή Ν(0,1) με συντελεστές Συντελεστές μετασχηματισμού α ν β ψ κ

35 Εφαρμογές (15) Το κανονικοποιημένο πεδίο έχει την μορφή κανονικοποιημένο πεδίο βροχόπτωσης 3 2 χής i (mm/h) ένταση βροχ

36 Εφαρμογές (16) Η μεροληπτική εκτίμηση του συντελεστή Hurst είναι Η=0,89 ενώ η αμερόληπτη Η=0,96. Var[Z (k) ]=f(k) 1 10 y = 1,129x 0,33 R² = 0,815 Var[Z (k) ] 0,4 k

37 Εφαρμογές (17) Για το κανονικοποιημένο πεδίο έχουμε μεροληπτικό αυτοσυσχετόγραμμα αυτοσυσχετόγραμμα (αμερόληπτη εκτίμηση) 1 1 υντελεστής αυτοσυσχέτισης 0,8 0,6 0,4 0, , , σ49 0,6 0,8 1 0,8 1 0,6 0,8 0,4 0,6 0,2 0,4 0 0,2 0,2 0 0,4 0,2 υντελεστής αυτοσυσχέτισης 0,8 0,6 0,4 0,2 0,6 0,4 0,4 0 0,8 0,6 1 0,8 συ , ,4 0,8 1 0,6 0,8 0,4 0,6 0,2 0,4 0 0,2 0,2 0 0,4 0,2 υστέρηση υστέρηση 1 Ισότροπο αυτοσυσχετόγραμμα (αμερόληπτη εκτίμηση) 0,9 ισης συντελεστής αυτοσυσχέτι 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0, υστέρηση

38 Εφαρμογές (18) Για να δούμε κατά πόσο είναι αποδεκτή η θεώρηση ισότροπου πεδίου έχουμε Semiv ariance 3,23 3, ,80 2,59 2,37 2,15 1,94 1,72 1,51 1,29 1, ,86 0,65 0,43 0,22 0,00 Απ όπου φαίνεται ότι η θεώρηση είναι αρκετά μακριά απ την Απ όπου φαίνεται ότι η θεώρηση είναι αρκετά μακριά απ την πραγματικότητα

39 Εφαρμογές (19) Για την εφαρμογή του μοντέλου υπολογίζονται Συντελεστές προσαρμογής μοντέλου b 0.16 c(b) Και η ακολουθία των συντελεστών βάρους d(b) b' 1.08 d(b') c(b') B 1.21 γ ο a

40 Εφαρμογές (20) Μια απεικόνιση του κανονικοποιημένου συνθετικού τυχαίου πεδίου είναι 3 συνθετικό πεδίο βροχής (κανονικοποιημένο) Στατιστικά χαρακτηριστικά (κλασικές εκτημήτριες) μέση τιμή 0.04 τυπική απόκλιση 0.73 συντελεστής ασυμμετρίας συντελεστής κύρτωσης (mm/h) 1 ένταση

41 Εφαρμογές (21) Η μεροληπτική εκτίμηση του συντελεστή Hurst είναι Η=0,88 ενώ η αμερόληπτη Η=0,91. Var[Z (k) ]=f(k) 1 10 y = 0,571x 0,49 R² = 0,987 Var[Z (k) ] 0,2 k

42 Εφαρμογές (22) Για την απεικόνιση αυτή έχουμε αυτοσυσχετόγραμμα (μεροληπτική εκτίμηση) αυτοσυσχετόγραμμα (αμερόληπτη εκτίμηση) συντελεστής αυτοσυσχέτισης σ 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0 0, συντελεστής αυτοσυσχέτισης ,9 0,8 0,8 1 0,7 0,6 0,8 0,6 0,5 0,4 0,6 0,4 0,2 0,4 0,3 0 0,2 0,2 0,2 0 0,1 0,4 0, ,9 1 0,8 0,9 0,7 0,8 0,6 0,7 0,5 0,6 0,4 0,5 0,3 0,4 0,2 0,3 0,1 0,2 0, ,1 υστέρηση υστέρηση 1 αυτοσυσχετόγραμμα (αμερόληπτη εκτίμηση) 0,9 0,8 υσχέτισης συντελεστής αυτοσυ 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0, υστέρηση

43 Εφαρμογές (23) Το παραγόμενο πεδίο είναι όντως ισότροπο όπως φαίνεται Semiv ariance 0,709 0,662 0,615 0,567 0,520 0,473 0,425 0,378 0,331 0,284 0,236 0,189 0,142 0,095 0,047 0,000

44 Εφαρμογές (24) Το αποκανονικοποιημένο πεδίο είναι Και η σύγκριση αρχικού και συνθετικού συνθετικό πεδίο βροχής (αποκανονικοποιημένο) Σύγκριση μετρήσεων και παραγομένου πεδίου κανονικοποιημένα πεδία Ιστορικό συνθετικό η (mm/h) έντασ κλασικ κές εκτιμήσ σεις αμερόληπτ τες εκτιμήσει ις μέση τιμή τυπική απόκλιση συντελεστής ασυμμετρίας συντελεστής κύρτωσης συντελεστής Hurst ισοδύναμο δείγμα συντελεστής Hurst διασπορά αποκανονικοποιημένα πεδία 0 κλασικές εκτιμήσεις μέση τιμή τυπική απόκλιση συντελεστής ασυμμετρίας συντελεστής κύρτωσης

45 Συμπεράσματα (1) Περί του μοντέλου Το μοντέλο αναπαράγει ικανοποιητικά το φαινόμενο της χωρικής εμμονής (Hurst). Απλή εφαρμογή μοντέλου καθώς απαιτείται μόνο ο συντελεστής Η Αναλυτική λύση μοντέλου θεωρητικά τεκμηριωμένο. Ικανοποιητική διατήρηση ροπών χαμηλής τάξης αλλά όχι υψηλοτέρων. Λόγω της απαίτησης χρήσης μεγάλου πλήθους συντελεστών βάρους υπάρχουν επιπτώσεις στην ταχύτητα αναπαραγωγής απεικονίσεων συνθετικού τυχαίου πεδίου.

46 Συμπεράσματα (2) Περί στατιστικών εκτιμήσεων Η χρήση εκτιμήσεων κλασσικής στατιστικής δεν είναι κατάλληλη καθώς παραβιάζεται η προϋπόθεση ανεξάρτητου πανομοιότυπα κατανεμημένου τυχαίου πεδίου καθώς τα φυσικά παρατηρημένα πεδία παρουσιάζουν ισχυρή δομή αυτοσυσχέτισης και το αποτέλεσμα είναι Υποεκτίμηση Υ ί του συντελεστή Hurst. Υποεκτίμηση στατιστικών χαρακτηριστικών (πχ διασπορά, συντελεστή αυτοσυσχέτισης). Υποεκτίμηση αβεβαιότητας αυξανομένου του συντελεστή Hurst.

47 Προβληματισμοί μ Η παραδοχή ομογενούς πεδίου είναι ικανοποιητική; (πχ. Η γνωστή επιρροή της γεωγραφικής θέσης και του υψομέτρου με την ένταση της βροχής) Η παραδοχή ισότροπου πεδίου είναι εύλογη; Η παραδοχή εργοδικού πεδίου μιας και ο υπολογισμός του συνθετικού πεδίου βασίστηκε σε ένα μόνο επεισόδιο βροχή. (ανάγκη γ η διερεύνησης ης εξάρτησης συντελεστή Hurst με διάφορα επεισόδια βροχής διαφορετικών εντάσεων και διαφορετικών χρονικών περιόδων). Η παραδοχή μοντέλου απλής ομοιοθεσίας. Η χρήση διαφορετικού μετασχηματισμού κανονικοποίησης με δυνατότητα επεξεργασίας μηδενικών τιμών. Ανάγκη προσδιορισμού σφάλματος όπου χρησιμοποιήθηκαν αριθμητικές επιλύσεις.

48 Ευχαριστώ πολύ για την προσοχή σας