ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ, ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΙ ΑΣΤΡΟΦΥΣΙΚΗ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ, ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΙ ΑΣΤΡΟΦΥΣΙΚΗ Θεωρία των twistors και εφαρμογές σ την κβαντική θεωρία πεδίων, την γενική σ χετικότητα και την κβαντική βαρύτητα Μεταπτυχιακή Διπλωματική Εργασ ία Κωνσ ταντίνος Μαρίνος Α.Μ.: 471 Επιβλέπων: Βασ ίλειος Σ. Γερογιάννης, Καθηγητής Πάτρα, 2016

UNIVERSITY OF PATRAS SCHOOL OF NATURAL SCIENCES DEPARTMENT OF PHYSICS MASTER DEGREE PROGRAM THEORETICAL, COMPUTATIONAL PHYSICS AND ASTROPHYSICS Twistor Theory and applications in Quantum Field Theory, General Relativity and Quantum Gravity Master Thesis Konstantinos Marinos I.D.: 471 Supervisor: Prof. V.S. Geroyannis Patras, 2016

Περίληψη Στην παρούσ α εργασ ία, θα περιγράψουμε την θεωρία των twistors, εισ άγοντας και μελετώντας τον μαθηματικό φορμαλισ μό των 2-spinors και twistors από την σ κοπιά της αλγεβρικής και της διαφορικής γεωμετρίας σ ε γενικευμένες μιγαδικές πολλαπλότητες σ την σ υνήθη, αλλά και σ την υπερσ υμμετρική περίπτωσ η. Στη σ υνέχεια, θα μελετήσ ουμε τις φυσ ικές εφαρμογές της θεωρίας των twistors, εφαρμόζοντας και τροποποιώντας κατάλληλα κάθε φορά την ως άνω μαθηματική περιγραφή σ την κβαντική θεωρία πεδίου και την γενική σ χετικότητα, διερευνώντας τις περιγραφές που προσ φέρονται μέσ ω της εφαρμογής της θεωρίας twistor και αφορούν τα θεμελιώδη προβλήματα που ανακύπτουν σ τις θεωρίες αυτές όταν επιχειρείται ο σ υνδυασ μός αυτών για την ανάπτυξη μιας θεωρίας κβαντικής βαρύτητας, σ το πλαίσ ιο του φορμαλισ μού των twistors σ τα MHV-πλάτη σ κέδασ ης. Ετσ ι, σ το πρώτο κεφάλαιο θα μελετήσ ουμε την διαφορική τοπολογία και γεωμετρία των μιγαδικών πολλαπλοτήτων και των νηματικών δεσ μών, σ υμπεριλαμβανομένων και των εννοιών της σ ύνδεσ ης και καμπυλότητας τόσ ο των πολλαπλοτήτων όσ ο και των νηματικών δεσ μών. Στη σ υνέχεια, σ το δεύτερο κεφάλαιο, θα εισ άγουμε αλγεβρικές γεωμετρικές θεωρήσ εις σ το μαθηματικό πλαίσ ιο του πρώτου κεφαλαίου, μελετώντας τις χαρακτηρισ τικές κλάσ εις σ τα πλαίσ ια των μιγαδικών πολλαπλοτήτων, καθώς επίσ ης και τις έννοιες των sheaves και της σ υνομολογίας, καταλήγοντας, σ ε σ υνδυασ μό με τις άλγεβρες Clifford, σ τις σ υνθήκες ύπαρξης δομών spin σ ε πολλαπλότητες, Η μελέτη των δομών αυτών που ακολουθεί, σ ε σ υνδυασ μό με τα προαναφερθέντα θέματα σ υνισ τούν το μαθηματικό πλαίσ ιο εντός των οποίων θεμελιώνονται και περιγράφονται τα μαθηματικά αντικείμενα των spinors και twistors. Στο τρίτο κεφάλαιο του πρώτου μέρους που αφορά την περιγραφή του μαθηματικού πλαισ ίου της θεωρίας twistor, μελετούμε, εντός του σ τοιχειοθετημένου από τα δύο προηγούμενα κεφάλαια μαθηματικού πλαισ ίου, τους τελεσ τές Dirac και twistor, από τους οποίους προκύπτουν άμεσ α τα μαθηματικά αντικείμενα των spinors και twistors. Στο τέταρτο κεφάλαιο, που αποτελεί το τελευταίο κεφάλαιο του πρώτου μέρους, αναφερόμασ τε σ τα βασ ικά χαρακτηρισ τικά που αφορούν τις θεωρίες πεδίων βαθμίδας, τις τοπολογικές θεωρίες πεδίων, τις σ ύμμορφες θεωρίες και την υπερσ υμμετρική επέκτασ η αυτών, εισ άγοντας τον φορμαλισ μό που θα χρησ ιμοποιήσ ουμε σ την σ υνέχεια για την περιγραφή τους σ τα πλαίσ ια της θεωρίας twistor σ το πέμπτο κεφάλαιο. Ακόμα, εισ άγουμε τα βασ ικά σ τοιχεία της γενικής σ χετικότητας και της σ ύμμορφης βαρύτητας, εκπεφρασ μένες σ τον φορμαλισ μό των 2-spinors, ο οποίος είναι και ο φυσ ικός φορμαλισ μός σ την θεωρία twistor. Στο πέμπτο κεφάλαιο, το οποίο είναι το πρώτο εκ των δύο κεφαλαίων του δεύτερου μέρους που αφορά την μελέτη της γεωμετρίας twistor και ορισ μένων χαρακτηρισ τικών εφαρμογών της θεωρίας twistor σ τα πλαίσ ια της θεωρίας πεδίων και της βαρύτητας, μελετάμε εκτεταμένα την γεωμετρία twistor και τον μετασ χηματισ μό Penrose-Ward που σ χετίζει την γεωμετρική περιγραφή των χώρων twistor με τις θεωρίες πεδίων. Η μελέτη της γεωμετρίας twistor, των αντισ τοιχιών twistor και των αντίσ τοιχων μετασ χηματισ μών Penrose-Ward πραγματοποιείται σ ε αρκετές περιπτώσ εις, σ τις οποίες σ υμπεριλαμβάνονται οι ambitwistors, καθώς επίσ ης και οι υπερσ υμμετρικές επεκτάσ εις των χώρων twistor και ambitwistor και οι διασ τατικές ελαττώσ εις αυτών των περιπτώσ εων, οι οποίες σ χετίζονται με τις φυσ ικές περιγραφές των υπερσ υμμετρικών θεωριών Yang-Mils, καθώς και μονοπόλων και instantons σ τα πλαίσ ια των θεωριών πεδίων βαθμίδας, αλλά και με τοπολογικές θεωρίες πεδίων Chern-Simons, BF. Οσ ον αφορά την μελέτη των instantons, σ τα πλαίσ ια της γεωμετρίας twistor μελετάται και η ADHM κατασ κευή σ το πλαίσ ιο των D-branes. Τέλος, το έκτο και τελευταίο κεφάλαιο, αφορά την σ υσ τηματική γενίκευσ η της θεωρίας twistor που αναπτύχθηκε σ το προηγούμενο κεφάλαιο, και η εφαρμογή της σ το πλαίσ ιο της περιγραφής της βαρύτητας. Ετσ ι, αρχικά μελετάται η επέκτασ η της θεωρίας twistor για την περιγραφή καμπυλωμένων χειραλικών αντι-αυτοδυικών χωροχρόνων και η αντισ τοιχία τους με καμπυλωμένους χώρους twistor, η οποία σ υνοψίζεται σ την λεγόμενη κατασ κευή του μηγραμμικού graviton. Στην σ υνέχεια, αφού αναφερθούμε σ το πρόβλημα της twistorial περιγραφής γενικότερων μη-χειραλικών/μη-αντι-αυτοδυϊκών χωρόχρονων googly πρόβλημα, μελετάμε μια πρόσ φατη πρότασ η για την άρσ η αυτού του προβλήματος, η οποία αναφέρεται ως palatial θεώρησ η της θεωρίας twistor, και αφορά σ την ενσ ωμάτωσ η εννοιών της 3

μη-μεταθετικής γεωμετρίας σ την θεωρία twistor μέσ ω της χρήσ ης μη-μεταθετικών αλγεβρών twistor σ τα θεμέλια της σ υνήθους γεωμετρίας twistor, αίροντας ορισ μένα εμπόδια που σ υνισ τούν το googly πρόβλημα και σ την πιθανή πλήρη twistorial περιγραφή της βαρύτητας σ ε κβαντικό επίπεδο, αλλά εισ άγοντας ταυτόχρονα την ανάγκη περαιτέρω μελέτης και επέκτασ ης ορισ μένων εννοιών, σ τις οποίες σ τηρίζεται η θεώρησ η αυτή. Στα πλαίσ ια αυτά, σ την σ υνέχεια, σ υζητούμε το κατά πόσ ον είναι δυνατή η ύπαρξη μιας μη-μεταθετικής άλγεβρας twistor, και πώς μπορεί αυτή να καθορισ τεί μέσ ω των τελεσ τών Yang-Baxter. Τέλος, ως μια χαρακτηρισ τική εφαρμογή της θεωρίας twistor σ την βαρύτητα, μελετάμε την twistorial κατασ κευή και περιγραφή των MHV Maximally Helicity Violating πλατών σ κέδασ ης gravitons μέσ ω του twistorial MHV διαγραμματικού φορμαλισ μού σ τα πλαίσ ια της σ ύμμορφης βαρύτητας, σ τοχεύοντας σ την ανάλογη περιγραφή της βαρύτητας Einstein. Στην υποενότητα των τεχνικών ζητημάτων, σ υμπεριλαμβάνονται ορισ μένες χρήσ ιμες τεχνικές της twistorial περιγραφής της θεωρίας Yang-Mills σ τα πλαίσ ια του MHV-φορμαλισ μού, καθώς επίσ ης και την χρήσ η της θεωρίας γραφημάτων για την εξαγωγή του MHV-διαγραμματικού φορμαλισ μού της βαρύτητας μέσ ω των κατάλληλων twistorial δράσ εων. Ευχαρισ τίες: Θα ήθελα να ευχαρισ τήσ ω ιδιαιτέρως τον επιβλέποντα καθηγητή κ. Β. Γερογιάννη για την υπομονή του και για την ουσ ιασ τική και αμέρισ τη σ τήριξη που μου παρείχε κατά την διάρκεια της επίβλεψής του σ την παρούσ α εργασ ία, καθώς επίσ ης και καθ όλη την διάρκεια των σ πουδών μου σ το Τμήμα Φυσ ικής του Πανεπισ τημίου Πατρών. Ακόμα, θα ήθελα να εκφράσ ω τις ευχαρισ τίες μου σ την καθηγήτρια κα Σ. Λώλα για τα εναύσ ματα και την σ υμβολή της σ την εκ μέρους μου κατανόησ η της κβαντικής θεωρίας πεδίων, αλλά και για την κατανόησ ή της και την αμεσ ότητα των σ υζητήσ εων μαζί της σ τα πλαίσ ια των σ πουδών μου. Επιπλέον, ιδιαίτερες ευχαρισ τίες εκφράζω και σ τον επίκουρο καθηγητή κ. Χ. Ανασ τόπουλο, τόσ ο για την άμεσ η, ξεκάθαρη και ιδιαιτέρως δυναμική προοπτική της σ υλλογισ τικής διαδικασ ίας που μου προσ έφερε σ τα θέματα διαφορικής γεωμετρίας και γενικής σ χετικότητας, αλλά και γενικότερα της θεωρητικής φυσ ικής, όσ ο και για την υποσ τήριξή του κατά την διάρκεια των σ πουδών μου. Επιπλέον, εκφράζω τις ευχαρισ τίες μου σ τους προαναφερθέντες διδάσ κοντες που δέχθηκαν να αποτελέσ ουν τα μέλη της τριμελούς επιτροπής της παρούσ ης εργασ ίας. Ιδιαιτέρως σ ημαντική υπήρξε και η αρωγή των υπόλοιπων διδασ κόντων, τόσ ο σ το μεταπτυχιακό πρόγραμμα, όσ ο και σ το προπτυχιακό πρόγραμμα του τμήματος φυσ ικής, και σ υνεπώς θα ήθελα να εκφράσ ω προς όλους τις ευχαρισ τίες μου, και ιδιαίτερα σ τον καθηγητή κ. Ι. Μπάκα, για την σ υμβολή του σ την εκ μέρους μου κατανόησ η των θεωριών πεδίων βαθμίδας, αλλά και της μαθηματικής φυσ ικής γενικότερα μέσ α από την ιδιαίτερη και άμεσ η προσ έγγισ η της διδασ καλίας του. Τέλος, εκφράζω τις ιδιαίτερες ευχαρισ τίες μου σ την οικογένειά μου για όλη τους την σ τήριξη, και σ τον κ. Χ. Γκουντίνα σ υν τοις άλλοις και για τις εις βάθος και ουσ ιασ τικές σ υζητήσ εις μας όσ ον αφορά τις δυνατότητες και εφαρμογές της θεωρίας γραφημάτων, τόσ ο σ τα διακριτά μαθηματικά και την επισ τήμη των υπολογισ τών, όσ ο και σ την θεωρητική φυσ ική. 4

Abstract In this thesis, we shall study and describe in detail the general conception of twistor theory, by introducing and studying the 2-spinor formalism through the scope of the structures of twistor spinors as appearing within the context of algebraic and differential geometry on general complex manifolds, both in the usual, and in the supersymmetric setting. Furthermore, the natural implications of twistor theory shall be studied through its applications on various geometrical settings adjusting the induced twistorial descriptions in each, concerning the yet unmet fundamental issues arising in these theoretical frameworks, including the MHV-formalism of gravitational scattering, when a combination towards a viable quantum gravity theory is attempted. In the first section of this thesis we shall study differential topology and geometry on complex manifolds, as well as the theory of fibre bundles and the associated notions of their connection and curvature. Next, in the second section, we introduce an algebraic geometry scope to the notions analyzed and exposed in the first section, by studying the characteristic classes of complex manifolds, as well as the theory of sheaf cohomology, focusing on the most relevant aspects of these topics to the formulation of twistor theory. In combination with the theory of Clifford algebras, we end this chapter with the examination of the existence conditions of spin structures on manifolds. The study of the aforementioned spin structures within the context of complex manifolds and sheaf cohomology constitute the mathematical framework in which the mathematical objects of spinors and twistor-spinors are founded and naturally described. In the third section of the first part of this thesis, which is concerned with the description of the mathematical framework of twistor theory, Dirac and twistor operators are studied, within the above context, leading directly to the mathematical objects of twistor spinors. Additionally, a part of this section is devoted to Witten operator, indicating not only the direct applicability and effectuality of pure operator theory within the context of mathematical physics, but also its affinity with twistor theory and its potential qualities. In the fourth and final section of the first part of this thesis, the main ingredients and the most significant and relevant results from classical field theories are presented, particularly those regarding gauge, topological and conformal field theories, as well as their basic supersymmetric extensions, thus introducing the formalism which is to be used in the following chapters. Furthermore, we introduce some basic elements of general relativity, developing and describing in particular the 2-spinor and chiral formalism, which is the most natural formulation of twistor theory, of general relativity and conformal gravity, which shall be studied from the twistorial point of view in detail in the sixth section. In the fifth section, which is the first of the two sections comprising the second part of this thesis concerning the description of twistor geometry and some characteristic applications in field theory and gravity, we extensively study twistor geometry and Penrose-Ward transform, that relates the former with field theories, in various topological and geometrical settings and structures containing both the twistor and the ambitwistor constructions and their relations with the description of Yang-Mills and Chern-Simons theory. Additionally, the supersymmetric extensions, as well as the dimensionally reduced instances of the aforementioned settings are included and studied with respect to the supersymmetric field theories related through their associated Penrose-Ward transforms. Furthermore, monopole and instanton solutions and construction techniques are discussed, mainly focusing on the ADHM construction of instantons and its respective physical interpretation via a particular instance of string theory consisting of D-branes. Finally, the sixth and last section of this thesis explores the systematic generalization of twistor theory, as previously developed, in order to be appropriately, as concretely and sufficiently as possible, applied to the description of gravity. This section is divided in five almost independent of one another subsections, the last of which serves as a technical discussion of various issues arising in the previous subsections. Thereupon, in the first subsection of the sixth section we study the extension of twistor theory for the description of curved, 5

anti-self-dual spacetimes, as well as their correspondence with associated curved twistor spaces, which is summarized in the alleged non-linear graviton construction. Afterwards, in the second subsection of the sixth section, after posing and analyzing the problem of the twistorial description of general, non anti-self-dual spacetimes called the googly problem, we present and analyze a recently proposed approach to overcoming this problem, which is referred to as palatial approach to twistor theory, and proposes the incorporation of notions of non-commutative geometry within the context of twistor theory by employing non-commutative, holomorphic in some appropriate sense, quantum twistor algebras, and promoting them into the construction basis of the underlying twistorial structure instead of the usual twistor space. Thus, some obstacles, constituting the googly problem and the undertaking of a full twistorial description of non-linear gravity in quantum level, are raised, with the expense of introducing the need to further investigate and illuminate several shadowy aspects of this proposal, including a viable extension of the notions of convergence, holomorphicity and locality, as well as the extend to which a suitable modification of this construction in order to properly describe more general non-empty curved spacetimes is possible. Hence, in the third subsection of the sixth section, we discuss whether a noncommutative twistor algebra exists, and how it can be defined using Yang-Baxter operators. Finally, in the fourth subsection, as a characteristic application of twistor theory in gravity, we study the twistorial construction and description of MHV Maximally Helicity Violating graviton scattering amplitudes through the twistorial MHV diagrammatic formalism within the context of conformal gravity, aiming, however, at an analogous description of graviton scattering theory in Einstein gravity. In the fifth subsection, which serves as a technical appendix, several useful technical aspects of the twistorial description of the MHV-formalism in Yang-Mills theory are included, as well as the direct usage of graph theory in the formulation of MHV-diagrammatic formalism closely related to that of Feynman diagrams of gravity via the appropriate twistorial action functionals. Acknowledgements: I would like to particularly thank my supervisor in this thesis, prof. Mr. V.S. Geroyannis for his patience and his substantial support and assistance he provided me during his supervision of my thesis, as well as through the entire duration of my studies in the Department of Physics of the University of Patras. Additionally, I would like to thank prof. Mrs. S. Lola for her part in my understanding of quantum field theory and her openness for discussion and understanding she possessed during my studies. Furthermore, I would like to thank assistant prof. Mr. C. Anastopoulos for his direct, clear and precise intuition and perspective of the thought procedures concerning not only the approach of differential geometry and general relativity, but also theoretical physics, in general, as well as for his support during my studies. Moreover, I would like to acknowledge the participation of the aforementioned professors to the three-member committee for this thesis. Of definite importance has also been to me the contribution of the rest of the faculty members, which I recognize and would thus like to thank, especially prof. Mr. I. Bakas, for his essential, respectable and of prominent importance part in my understanding of gauge field theories and mathematical physics, in general, through his distinctive, precisely impetuous and comprehensive teaching. Last but not least, I would like to express my deepest gratitude to my family, as well as to Mr. C. Goudinas for our in depth, positively unfathomable and definite discussions regarding the potentials of graph theory and its applications to discrete mathematics and computer science, as well as to theoretical physics. 6

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Περιεχόμενα Εισαγωγή 10 I Μαθηματικό πλαίσιο της θεωρίας των twistors 13 1 Μιγαδικές πολλαπλότητες, νηματικές δέσ μες 14 1.1 Πολλαπλότητες................................... 14 1.2 Μιγαδικές Πολλαπλότητες............................. 16 1.2.1 Εισ αγωγικά................................. 16 1.2.2 Ενδεικτικές μιγαδικές πολλαπλότητες................... 18 1.2.3 Εφαπτόμενοι χώροι μιας μιγαδικής πολλαπλότητας............ 20 1.2.4 Jacobian σ ε μιγαδικές πολλαπλότητες................... 21 1.2.5 Σχεδόν-μιγαδική δομή........................... 22 1.2.6 Μιγαδικές διαφορικές μορφές....................... 24 1.2.7 Εξωτερική παράγωγος και τελεσ τές Dolbeault.............. 25 1.2.8 Ερμητιανή δομή............................... 25 1.2.9 Πολλαπλότητες Kähler........................... 28 1.3 Νηματικές Δέσ μες................................. 31 1.3.1 Εφαπτόμενες δέσ μες............................ 31 1.3.2 Γενικός ορισ μός νηματικών δεσ μών.................... 32 1.3.3 Ανακατασ κευή νηματικών δεσ μών..................... 33 1.3.4 Διανυσ ματικές δέσ μες........................... 34 1.3.5 Κύριες δέσ μες................................ 35 1.3.6 Αναγωγή της δομικής ομάδας και σ υσ τολή του βασ ικού χώρου..... 37 1.3.7 Spinorial δέσ μες.............................. 39 1.4 Συνδέσ εις και καμπυλότητα............................. 41 1.4.1 Σύνδεσ η και καμπυλότητα σ ε δέσ μες................... 42 2 Χαρακτηρισ τικές κλάσ εις, sheaves και σ υνομολογία, δομές spin και σ υνθήκες ύπαρξης 49 2.1 Χαρακτηρισ τικές κλάσ εις και sheaves....................... 49 2.1.1 Αναλλοίωτα πολυώνυμα και κλάσ η Chern................. 50 2.1.2 Sheaves και σ υνομολογία.......................... 53 2.1.3 Συνομολογίες Dolbeault και Čech..................... 54 2.1.4 Ισ οδυναμία των περιγραφών Dolbeault και Čech............. 56 2.1.5 Ολοκληρώσ ιμες κατανομές και δομές Cauchy-Riemann......... 57 2.2 Άλγεβρα Clifford, δομές Spin και σ υνθήκες ύπαρξης............... 59 2.2.1 Άλγεβρες Clifford............................. 59 2.2.2 Οι ομάδες Pin, Spin και Spin C....................... 66 2.2.3 Δομές spin και σ υνθήκες ύπαρξης.................... 76 3 Τελεσ τές Dirac,Twistor και Killing spinors 86 3.1 Συνδέσ εις σ ε spinorial δέσ μες........................... 86 3.1.1 Spinorial σ ύνδεσ η και σ υναλλοίωτη παράγωγος............. 86 3.1.2 Καμπυλότητα της spinorial σ ύνδεσ ης................... 89 3.2 Τελεσ τές Dirac και Twistor............................ 94 3.2.1 Ο τελεσ τής Dirac σ την spinorial δέσ μη.................. 94 3.2.2 Ο τελεσ τής twistor............................. 95 3.2.3 Η εξίσ ωσ η Schrödinger-Lichnerowicz................... 96 3.2.4 Spinors και διαφορικοί τελεσ τές σ ε Ερμητιανές και Kähler πολλαπλότητες 97 3.2.5 Ειδικές ιδιότητες των τελεσ τών Dirac................... 103 3.2.6 Κάτω φράγμα των ιδιοτιμών των τελεσ τών Dirac και Dirac-Witten... 105 3.3 Twistors και Killing Spinors σ ε ψευδο-riemannian και σ ύμμορφες πολλαπλότητες112 7

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 3.3.1 Riemannian πολλαπλότητες με Killing spinors.............. 112 3.3.2 Σύμμορφες γεωμετρίες σ ε ψευδο-riemannian και Weyl πολλαπλότητες 116 3.3.3 Twistors και Killing spinors σ ε Lorentzian πολλαπλότητες και 4-διάσ τατους χωρόχρονους................................ 133 3.3.4 Twisted γινόμενα και Killing spinors................... 136 4 Θεωρίες πεδίων βαθμίδας και γενική σ χετικότητα 140 4.1 Θεωρίες πεδίων βαθμίδας.............................. 140 4.1.1 Πεδιακές θεωρίες βαθμίδας......................... 140 4.1.2 Instantons σ την θεωρία Yang Mills.................... 143 4.1.3 Μαγνητικά μονόπολα και εξισ ώσ εις Bogomolny............. 147 4.2 Υπερσ υμμετρικές και τοπολογικές θεωρίες πεδίων................ 149 4.2.1 Διαβαθμισ μένη επέκτασ η της άλγεβρας Poincaré............. 149 4.2.2 Υπερχώρος και υπερπολλαπλότητες.................... 151 4.2.3 N = 4 υπερσ υμμετρική θεωρία Yang-Mills................ 153 4.2.4 Θεωρίες Chern-Simons........................... 155 4.2.5 Άλλες σ υναφείς θεωρίες πεδίων...................... 157 4.3 Σύμμορφες θεωρίες πεδίων............................. 160 4.3.1 Εισ αγωγικά για τις σ ύμμορφες θεωρίες πεδίου.............. 160 4.3.2 Βοηθητική 2-διάσ τατη σ ύμμορφη θεωρία πεδίου............. 162 4.4 Spinorial φορμαλισ μός γενικής σ χετικότητας................... 165 4.4.1 Spinorial φορμαλισ μός, και εξισ ώσ εις πεδίου Einstein.......... 165 4.4.2 Αυτοδυϊκοί χωρόχρονοι και βαρυτικά instantons............. 169 4.5 Σύμμορφη βαρύτητα................................. 171 4.5.1 Δράσ η για την σ ύμμορφη βαρύτητα.................... 171 4.5.2 Συσ χέτισ η σ ύμμορφης βαρύτητας και βαρύτητας Einstein........ 173 II Θεωρία και Γεωμετρία Twistor και εφαρμογές 175 5 Γεωμετρία Twistor 175 5.1 Βασ ικά σ τοιχεία των twistors........................... 175 5.1.1 Κίνητρα για την ανάπτυξη της θεωρίας twistor.............. 175 5.1.2 Αντισ τοιχία twistor Klein........................ 181 5.1.3 Ο μετασ χηματισ μός Penrose........................ 181 5.1.4 Ολοκληρωσ ιμότητα............................. 183 5.2 Χώροι twistor και ο μετασ χηματισ μός Penrose-Ward............... 185 5.2.1 Ο χώρος twistor.............................. 185 5.2.2 Μετασ χηματισ μοί Penrose και ολομορφικές λύσ εις των άμαζων πεδιακών εξισ ώσ εων.................................. 196 5.2.3 Μετασ χηματισ μοί Penrose-Ward...................... 222 5.2.4 Ο χώρος ambitwistor............................ 230 5.2.5 Αλγεβρική θεώρησ η του μετασ χηματισ μού Penrose-Ward σ ε απειροσ τές γειτονιές του χώρου των μηδενικών γραμμών............... 235 5.3 Χώροι supertwistor................................. 242 5.3.1 Η υπερσ υμμετρική επέκτασ η του χώρου twistor............. 242 5.3.2 Μετασ χηματισ μός Penrose-Ward για τον P 3 N.............. 247 5.4 Μετασ χηματισ μός Penrose-Ward για τους χώρους mini-supertwistor...... 252 5.4.1 Χώροι mini-supertwistor.......................... 252 5.4.2 Μερικώς ολομορφική θεωρία Chern-Simons............... 257 5.4.3 Ολομορφική θεωρία BF.......................... 261 5.5 Superambitwistors και mini-superambitwistors.................. 263 5.5.1 Ο χώρος superambitwistor........................ 263 5.5.2 Μετασ χηματισ μός Penrose-Ward σ τον χώρο superambitwistor..... 266 5.5.3 Ο χώρος mini-superambitwistor L 4 6................... 267 8

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 5.5.4 Μετασ χηματισ μός Penrose-Ward σ τους mini-superambitwistor χώρους 273 5.6 Κατασ κευή ADHM λύσ εων instantons...................... 277 5.6.1 Η κατασ κευή ADHM με μονάδες..................... 277 5.6.2 Συνοπτική θεώρησ η της ADHM κατασ κευής instantons σ το πλαίσ ιο των D-branes.................................. 279 6 Γενίκευσ η της θεωρίας twistor και βαρυτικές θεωρήσ εις 289 6.1 Twistors για αντι-αυτοδυϊκούς χωροχρόνους................... 289 6.1.1 Αντισ τοιχία μεταξύ αντι-αυτοδυϊκών χωροχρόνων και καμπυλωμένων χώρων twistor.................................... 289 6.1.2 Κατασ κευή αντι-αυτοδυϊκών χωροχρόνων................. 299 6.2 Το googly πρόβλημα της περιγραφής γενικών χωροχρόνων και palatial θεωρία twistor........................................ 304 6.2.1 Επισ κόπησ η της κατασ κευής του μη-γραμμικού graviton....... 304 6.2.2 Palatial κάλυψη και κβάντωσ η twistor.................. 306 6.2.3 Τοπικοί twistors, palatial άλγεβρα και οι εξισ ώσ εις Einstein...... 309 6.3 Μη-μεταθετικός χώρος twistor........................... 312 6.3.1 Η μη-μεταθετική χωροχρονική άλγεβρα.................. 313 6.3.2 Τελεσ τές Yang-Baxter για twistors.................... 316 6.3.3 Μεταθετικές σ χέσ εις για twistors..................... 319 6.4 Twistorial MHV φορμαλισ μός για την βαρύτητα................. 320 6.4.1 Εισ αγωγικά σ χόλια επιλόγου - σ υμβάσ εις και σ ημειογραφία....... 320 6.4.2 MHV-πλάτη σ ε αντι-αυτοδυϊκά πεδία υποβάθρου............. 322 6.4.3 Ανασ κόπησ η της θεωρίας twistor για την βαρύτητα και προσ αρμογές.. 330 6.4.4 Βαρυτικά MHV-πλάτη από τον χώρο twistor............... 337 6.4.5 Twistorial δράσ η για τα MHV-διαγράμματα της βαρύτητας....... 345 6.4.6 Υπερβαρύτητα................................ 346 6.5 Τεχνικά ζητήματα.................................. 348 6.5.1 Χρήσ η της θεωρίας γραφημάτων σ την θεωρία διαταραχών για τα MHVπλάτη σ κέδασ ης............................... 356 Βιβλιογραφία 368 9

Εισαγωγή Εισαγωγή Η θεωρία των twistors εισ ήχθη από τον Roger Penrose, και αποτελεί ένα μαθηματικό πλαίσ ιο το οποίο αποσ αφηνίζει και εμβαθύνει την κατανόησ η της φυσ ικής σ ε θεμελιώδες επίπεδο. Οι ιδέες και οι εφαρμογές που κατασ κευάζονται από τον φορμαλισ μό της θεωρίας των twistors βρίσ κουν ευρεία εφαρμογή σ τα μαθηματικά και την μαθηματική φυσ ική, και ως σ τόχο έχουν την αντικατάσ τασ η της έννοιας του χωρόχρονου με αυτήν του χώρου των twistors σ το θεμελιώδες επίπεδο των φυσ ικών θεωριών. Μεγάλο μέρος της θεωρίας των twistors αφορά την αναδιατύπωσ η των βασ ικών θεωριών της φυσ ικής χρησ ιμοποιώντας δομές σ τον χώρο των twistors, έτσ ι ώσ τε η έννοια του χωρόχρονου να μπορεί επαρκώς να θεωρηθεί ως μια προκύπτουσ α, μη θεμελιώδης έννοια, από τον θεμελιώδη χώρο των twistors. Για γραμμικά πεδία, ο μετασ χηματισ μός Penrose αντισ τοιχεί τα πεδία που ανήκουν σ ε έναν χωρόχρονο, σ ε μιγαδικές αναλυτικές κλάσ εις σ υνομολογίας 1 πάνω σ ε μια μιγαδική πολλαπλότητα: τον χώρο των twistors. Αυτός ο μετασ χηματισ μός είναι κατά κάποιον τρόπο το μιγαδικό ανάλογο του μετασ χηματισ μού Radon, καθώς τα χωροχρονικά γεγονότα αναπαρίσ τανται από μιγαδικές προβολικές καμπύλες γραμμές σ τον χώρο των twistors, και το πεδίο λαμβάνεται σ την σ υνέχεια ολοκληρώνοντας τις ελεύθερες σ υναρτήσ εις των καμπύλων αυτών. Η αναδιατύπωσ η της φυσ ικής ως προς τους twistors είναι ημιτελής, ωσ τόσ ο υπάρχουν σ ημαντικές περιγραφές και λύσ εις, σ τα πλαίσ ια των twistors, για τις μη γραμμικές αυτοδυικές εξισ ώσ εις Einstein και Yang-Mills, οι οποίες έχουν αξιοσ ημείωτη μαθηματική χρησ ιμότητα, και σ ίγουρα υποδηλώνουν την ύπαρξη μιας ευρύτερης και πληρέσ τερης εικόνας που κρύβεται πίσ ω από τις τεχνικές αυτές. Άλλα παραδείγματα εφαρμογών της θεωρίας των twistors σ την μαθηματική φυσ ική περιλαμβάνουν τον ψευδο-τοπικό ορισ μό της μάζας σ την γενική σ χετικότητα, την κατασ κευή instantons σ τον S 4 και μονοπόλων σ τον R 3, την διατύπωσ η σ ύμμορφων 2 τετραδιάσ τατων θεωριών πεδίου, καθώς και αξιοσ ημείωτες σ υνδέσ εις με γενικεύσ εις αυτών των θεωριών σ ε υπερσ υμμετρικές θεωρίες χορδών, ορισ μένα χαρακτηρισ τικά των οποίων θα αναπτύξουμε σ την σ υνέχεια. Εκτός από τις εφαρμογές σ την μαθηματική φυσ ική, ενδιαφέρον παρουσ ιάζουν και οι αντίσ τοιχες εφαρμογές σ τα μαθηματικά, και περιλαμβάνουν μεταξύ άλλων νέες προσ εγγίσ εις σ την θεωρία αναπαρασ τάσ εων, εφαρμογές σ τις μη πραγματώσ ιμες δομές Riemann-Cauchy, καθώς επίσ ης και την εισ αγωγή ισ χυρών μεθόδων για την μελέτη αυτοδυικών πολλαπλοτήτων και πολλαπλοτήτων hyper-kähler. Άλλη αξιοσ ημείωτη εφαρμογή είναι και η ενοποίησ η μεθόδων σ την θεωρία των ολοκληρώσ ιμων σ υσ τημάτων. Εως τώρα, η θεωρία των twistors δεν σ τηρίζεται σ ε κάποιες νέες φυσ ικές αρχές και προτάσ εις, αλλά αποτελεί μια σ υλλογή αξιοσ ημείωτων και ισ χυρών μαθηματικών μεθόδων οι οποίες βρίσ κουν εφαρμογή σ τις βασ ικότερες φυσ ικές θεωρίες όπως η γενική σ χετικότητα, ο ηλεκτρομαγνητισ μός και οι θεωρίες Yang-Mills. Μία ενδιαφέρουσ α άποψη που αξίζει αναφοράς, σ υγκρίνει την ανάπτυξη της θεωρίας των twistors με αυτήν της Hamiltonian μηχανικής, η οποία αρχικά είχε μόνο μαθηματική εφαρμογή, αλλά σ τη σ υνέχεια ανέδειξε τις κατάλληλες φυσ ικές προτάσ εις που ήταν απαραίτητες για την ανάπτυξη της κβαντομηχανικής. Η θεωρία των twistors, αναπτύχθηκε σ τα πλαίσ ια των αναγκών μιας θεωρίας που μπορεί να σ υνδυάσ ει την κβαντομηχανική με την γενική σ χετικότητα ωσ τόσ ο υπάρχουν πολύ λίγα σ χετικά αποτελέσ ματα από την κβαντική θεωρία πεδίων όπως θα δούμε σ τη σ υνέχεια, και έτσ ι πιθανόν να δύναται να προσ φέρει τον κατάλληλο φορμαλισ μό για την διατύπωσ η των νέων, απαραίτητων φυσ ικών προτάσ εων μιας θεωρίας κβαντικής βαρύτητας. Φυσ ικά κίνητρα. Οπως με κάθε επισ τημονική θεωρία, η εισ αγωγή και η χρήσ η της θεωρίας των twistors αιτιολογείται από τις εφαρμογές της: οι παράγοντες που αποτελούν και τα βασ ικά κίνητρα για την εφαρμογή μιας εναλλακτικής διατύπωσ ης των βασ ικών και καλώς θεμελιωμένων φυσ ικών θεωριών που ακολουθούν, ως σ τόχο έχουν την ανάδειξη των κύριων ιδεών, των αρχών και των σ τόχων της θεωρίας των twistors, πολλές από τις οποίες θα αναλυθούν σ την σ υνέχεια. 1 Complex analytic cohomology classes on complex manifolds. Θα δωθούν πλήρεις ορισ μοί σ τη σ υνέχεια. 2 Conformal. 10

Εισαγωγή Η χρήσ η της μιγαδικής ανάλυσ ης και των μιγαδικών αριθμών. Η έννοια του σ υνεχούς εμφανίζεται με δύο αρκετά διαφορετικούς τρόπους σ την φυσ ική. Η έννοια του χωρόχρονου αναπαρίσ ταται με μια τετραδιάσ τατη σ υνεχή πολλαπλότητα σ το πεδίο των πραγματικών αριθμών πραγματική πολλαπλότητα, ενώ η κβαντομηχανική διατυπώνεται σ το σ υνεχές σ ύνολο των μιγαδικών αριθμών για την περιγραφή πλατών πιθανότητας και φυσ ικών κατασ τάσ εων σ ε έναν μιγαδικό χώρο Hilbert. Ενα απλό παράδειγμα για την κατάδειξη της σ χέσ ης μεταξύ της γεωμετρίας και των μιγαδικών αριθμών σ την κβαντομηχανική, αποτελεί η σ υνήθης περιγραφή ενός μη σ χετικισ τικού κβαντομηχανικού spin. Το spin του ηλεκτρονίου, για παράδειγμα, μπορεί να περιγραφεί από την κατάσ τασ η ψ = λ + µ, με λ, µ C. Κάθε κατάσ τασ η ορίζει μία μοναδική κατεύθυνσ η, παράλληλα προς την οποία βρίσ κεται το spin ηλεκτρονίου. Συνεπώς, η σ φαίρα όλων των δυνατών κατευθύνσ εων γύρω από ένα σ ημείο, καθορίζεται με τον χώρο τέτοιων κατασ τάσ εων, ο οποίος είναι ο χώρος ζευγών μιγαδικών αριθμών λ, µ υπό την σ χέσ η ισ οδυναμίας λ, µ aλ, aµ, με a C, a 0. Η απλοϊκή αυτή εφαρμογή της κβαντομηχανικής σ το spin σ υνεπώς σ υνδέει την πραγματική σ φαίρα των δυνατών κατευθύνσ εων σ ε ένα σ ημείο με την Riemannian σ φαίρα ή με την μιγαδική προβολική γραμμή 3. Ο χώρος των twistors γενικεύει αυτή την αντισ τοιχία όπως θα αποδείξουμε σ την σ υνέχεια, καθώς πρόκειται για μια μιγαδική πολλαπλότητα μιγαδικός προβολικός τρισ διάσ τατος χώρος CP 3, από την οποία λαμβάνεται ο πραγματικός χωρόχρονος με πολύ οικονομικό τρόπο: απαιτείται μόνο η ανοικτή περιοχή PT + σ τον χώρο των twistors ως μια μιγαδική πολλαπλότητα προκειμένου να ανακατασ κευασ τεί ο χώρος Minkowski μαζί με την σ ύμμορφη δομή του. Ως μιγαδική πολλαπλότητα, η PT + δεν περιέχει τοπικές πληροφορίες όντας τοπικά ισ οδύναμη με τον C 3 με πολλούς διαφορετικούς τρόπους όπως θα δούμε, αλλά η ολική της δομή είναι αυτή που επιτρέπει την ταυτοποίησ η των ολομορφικών μιγαδικών προβολικών γραμμών που αντισ τοιχούν σ ε σ ημεία σ τον χώρο Minkowski. Οι μιγαδικοί αριθμοί επιπλέον, εμφανίζονται σ την φυσ ική μέσ α σ ε κλάσ εις λύσ εων διάφορων πεδιακών εξισ ώσ εων. Για παράδειγμα, οι εξισ ώσ εις κενού για ένα επίπεδο κύμα σ την γενική σ χετικότητα ανάγονται σ την σ υνθήκη ότι τουλάχισ τον ένας μετρικός σ υντελεσ τής πρέπει να είναι ολομορφικός. Το αποτέλεσ μα αυτό μπορεί να γενικευθεί, και οι γενικές λύσ εις μιας ευρείας κλάσ ης πεδιακών εξισ ώσ εων μπορούν να κατασ κευασ θούν από ελεύθερα προσ διορισ μένες ολομορφικές σ υναρτήσ εις σ τον χώρο των twistors. Από την πλευρά της θεωρίας των twistors, αυτές οι πεδιακές εξισ ώσ εις ανάγονται σ τις εξισ ώσ εις Cauchy-Riemann. Αυτό ισ χύει και για τα γραμμικά πεδία με μηδενική μάζα ηρεμίας, αλλά και για μη γραμμικές εξισ ώσ εις, όπως οι αυτοδυικές εξισ ώσ εις Einstein σ το κενό, οι αυτοδυικές εξισ ώσ εις Yang-Mills και τα άμαζα πεδία σ ε ζεύξη σ το υπόβαθρο με αυτές. Αυτά τα αποτελέσ ματα όπως θα διαπισ τώσ ουμε, εκτός από το μεγάλο πλήθος εφαρμογών που έχουν, υποδηλώνουν την ύπαρξη της γενικότερης περίπτωσ ης όπου μη αυτοδυικά πεδία δύνανται να περιγραφούν μέσ ω της ολομορφικής γεωμετρίας. Προς ένα γεωμετρικό πλαίσ ιο για την κβαντική βαρύτητα. Υπάρχουν περιπτώσ εις σ τις οποίες θα ήταν επιθυμητός ένας διαφορετικός ορισ μός, ή ακόμα και η αποδόμησ η της έννοιας του γεγονότος, ενώ ταυτόχρονα να είναι δυνατή η διατύπωσ η φυσ ικών ερωτημάτων και απαντήσ εων. Τα θεωρήματα Penrose-Hawking για τις ιδιομορφίες, υποδηλώνουν ότι το σ ύμπαν περιέχει ιδιομορφίες, σ τις οποίες η χωροχρονική γεωμετρία καταρρέει, και μπορούν να περιγραφούν μόνο από μια θεωρία κβαντικής βαρύτητας. Σε κλίμακες της τάξεως του μήκους Planck, οι κβαντικές διακυμάνσ εις σ την μετρική πρέπει να είναι αρκετά ισ χυρές ώσ τε να καταρρέει η σ υνήθης έννοια της γεωμετρίας του χωρόχρονου. Ακόμα και σ ε κλίμακες της τάξεως των 10 13 cm, οι απόπειρες εντοπισ μού ε- νός σ ωματιδίου έχουν ως αποτέλεσ μα την δημιουργία άλλων οιονεί σ ωματιδίων, καθισ τώντας έτσ ι ουσ ιασ τικά αδύνατον τον ορισ μό μίας μετρικής γεωμετρίας με την χρήσ η τελεσ τών σ ε τέτοιες αποσ τάσ εις. Επιπλέον, ενώ σ τις κλίμακες του μήκους Planck είναι αναγκαία μια εναλλακτική περιγραφή του χωρόχρονου σ ε πλαίσ ια πέραν των πολλαπλοτήτων, η ιδέα αυτή θα μπορούσ ε να εφαρμοσ θεί και 3 Με την έννοια της δέσ μης line bundle 11

Εισαγωγή σ ε μεγαλύτερες κλίμακες, όπως αυτές των σ τοιχειωδών σ ωματιδίων, όπου ενώ ισ χύει και εφαρμόζεται η κβαντομηχανική σ υμπεριφορά, οι σ υνήθεις περιγραφές της έννοιας του χωρόχρονου πλέον δεν είναι φυσ ικά κατάλληλες για αυτά, και πλέον μια διαφορετική θεώρησ η, ισ οδύναμη με αυτήν του χωρόχρονου σ ε αυτό το επίπεδο, θα ήταν πιο χρήσ ιμη. Η άποψη αυτή, δείχνει ότι η αδυναμία της χωροχρονικής περιγραφής για την κατανόησ η και ερμηνεία των κβαντικών φαινομένων πρέπει να ληφθεί υπόψιν, και να αναζητηθεί μια πιο θεμελιώδης, πιο αντικειμενική 4 εικόνα της πραγματικότητας, όσ ο διαφορετική και αν είναι από την σ υνήθη. Τα σ ημεία του χωρόχρονου, που αναπαρισ τούν γεγονότα, πραγματοποιούνται φυσ ικά με έναν έμμεσ ο τρόπο, καθώς ένα γεγονός ορίζεται ως ο χρόνος και η θέσ η της αλληλεπίδρασ ης δύο σ ωματιδίων. Ετσ ι, η γεωμετρία πρέπει να κατασ κευασ τεί από σ τοιχεία τα οποία αποτελούν, κατά έναν τρόπο, αφαιρετικές γενικεύσ εις των σ ωματιδίων. Ενα twistor παρέχει εξ ορισ μού όπως θα δούμε την κατάλληλη παραμετροποίησ η ενός σ ωματιδίου, καθώς, κλασ ικά, περιγράφει την δομή της ορμής και της σ τροφορμής ενός άμαζου σ ωματιδίου με spin. Ετσ ι τότε, ένα χωροχρονικό γεγονός μπορεί να ορισ θεί ως η σ φαίρα S 2 των άμαζων σ ωματιδίων που τέμνονται εκεί. Η σ υνήθης άποψη όσ ον αφορά την φύσ η της κβαντικής βαρύτητας είναι πως μπορεί να εφαρμοσ θεί κάποια σ υγκεκριμένη διαδικασ ία κβάντωσ ης σ τις εξισ ώσ εις πεδίου της γενικής σ χετικότητας. Αυτό οδηγεί σ ε μια θεωρία σ την οποία τα χωροχρονικά γεγονότα είναι κβαντομηχανικά καλώς ορισ μένα, αλλά η μετρική και κατ επέκτασ ιν ο κώνος φωτός υπόκεινται σ ε κβαντικές διακυμάνσ εις, και σ υνεπώς είναι κακώς ορισ μένα. Η προσ έγγισ η αυτή οδηγεί σ ε ανυπέρβλητα προβλήματα τόσ ο τεχνικής, όσ ο και ερμηνευτικής φύσ εως. Για παράδειγμα, ο ορισ μός των spinors, που είναι απαραίτητοι για την περιγραφή των φερμιονίων, σ υνδέεται με τον κώνο φωτός, και δεν μπορούν να γίνουν ανεξάρτητα, με κάποιον λογικό τρόπο, από μια σ ύμμορφη μετρική. Οι spinors είναι πιο θεμελιώδεις σ ε σ χέσ η με τα κοσ μικά χωροχρονικά διανύσ ματα, και έτσ ι οι μηδενικές κατευθύνσ εις πρέπει να διατηρούν την ταυτότητά τους. Αντιθέτως, σ ύμφωνα με την θεωρία των twistors, τα σ ημεία του χωρόχρονου πρέπει να είναι κβαντισ μένα, καθώς τα σ ημεία σ τον χώρο των twistors διατηρούν τις ιδιότητές τους, και έτσ ι, σ υγκεκριμένα, οι μηδενικές διευθύνσ εις είναι καλώς ορισ μένες, ωσ τόσ ο, τα χωροχρονικά σ ημεία είναι προκύπτοντα αντικείμενα, και σ υνεπώς μπορούν καθεαυτά να υπαχθούν σ τις σ χέσ εις απροσ διορισ τίας και σ τις κβαντικές διακυμάνσ εις. Επιπλέον, οι απειρισ μοί σ την κβαντική θεωρία πεδίων προκύπτουν από τις σ ημειακές αλληλεπιδράσ εις των κβαντικών πεδίων. Αν τα χωροχρονικά σ ημεία, ως γεγονότα, χάσ ουν την σ ημειακή ιδιότητα απλωθούν, τότε φαίνεται δυνατόν τέτοιου είδους απειρισ μοί να αποφευχθούν. Σε κλασ ικό επίπεδο, η ως άνω δευτερεύουσ α θεώρησ η του χωροχρόνου μπορεί να χρησ ιμοποιηθεί για την μελέτη της δομής και την κατάταξη των χωροχρονικών μοναδικοτήτων. Η γειτονία μιας μοναδικότητας θα αντισ τοιχεί σ ε μια περιοχή σ τον χώρο των twistors, σ την οποία τα αντικείμενα που σ υνισ τούν τα χωροχρονικά γεγονότα παύουν να ορίζονται, και έτσ ι η έννοια και οι ιδιότητες της ιδιόμορφης περιοχής είναι δυνατόν να ερμηνευθούν μέσ ω των αντίσ τοιχων περιοχών του χώρου των twistors. Κατά την άποψη αυτήν, ενώ η έννοια του χωροχρόνου παύει να είναι καλώς ορισ μένη σ την γειτονία της μοναδικότητας, ο χώρος των twistors ορίζεται, και έτσ ι οι φυσ ικές ιδιότητες του υπό μελέτη σ υσ τήματος μπορούν να μελετηθούν σ τον χώρο αυτόν. Σε πολλές προσ εγγίσ εις της κβαντικής βαρύτητας, το graviton αναπαρίσ ταται από ένα γραμμικό πεδίο spin-2 σ τον χώρο Minkowski. Ωσ τόσ ο, αν το graviton αναπαρισ τά ένα φυσ ικό κβάντο της βαρύτητας, τότε θα πρέπει να φέρει μια πεπερασ μένη τιμή της καμπυλότητας. Οπως θα δούμε σ την σ υνέχεια, η δομή του μή γραμμικού graviton προσ φέρει έναν ορισ μό για γρα ιτονς θετικής σ υχνότητας σ ε μια ιδιοκατάσ τασ η της ελικότητας, φέροντας πεπερασ μένη καμπυλότητα, μέσ ω κατάλληλης παραμόρφωσ ης μιας περιοχής PT + σ τον χώρο των twistors. Η σ υνθήκη θετικής σ υχνότητας Από τα πρώτα επιτεύγματα της θεωρίας των twistors ήταν το γεγονός ότι παρείχε μια γεωμετρική ερμηνεία για την σ υνθήκη θετικής σ υχνότητας των 4 Στην φιλοσ οφική έννοια της αντικειμενικότητας και της πραγματικότητας δεν θα αναφερθούμε, αν και παρουσ ιάζει ενδιαφέρον. 12

άμαζων πεδίων. Η κατάταξη των πεδίων σ ε τμήματα θετικής και αρνητικής σ υχνότητας είναι ένα απαραίτητο σ τάδιο για την μετάβασ η από την κλασ ική σ την κβαντική περιγραφή της θεωρίας πεδίων, ενώ επιπλέον ήταν ανοιχτό το ζήτημα της γενίκευσ ης σ ε ανώτερες διασ τάσ εις του διαχωρισ μού των σ υναρτήσ εων επί του πραγματικού άξονα σ τον C σ ε ένα ολομορφικό τμήμα σ το άνω ημιεπίπεδο, και ένα σ το κάτω ημιεπίπεδο. Ο χώρος των twistors παρέχει την κατάλληλη γενίκευσ η, καθώς τα πεδία σ ε έναν πραγματικό χώρο Minkowski αντισ τοιχούν σ ε κλάσ εις σ υνομολογίας επί μιας πραγματικής υπερεπιφάνειας PN μοναδιαίας σ υνδιάσ τασ ης, σ τον χώρο των twistors. PT. Η υπερεπιφάνεια PN χωρίζει τον χώρο PT σ ε δύο περιοχές, την PT + και PT, με την PN να είναι το κοινό τους σ ύνορο. Μία τέτοια κλάσ η σ υνομολογίας μπορεί να χωρισ τεί με μοναδικό τρόπο σ ε ένα τμήμα θετικής σ υχνότητας εκτεινόμενο σ την PT + και σ ε ένα τμήμα αρνητικής σ υχνότητας σ την PT, όπου οι χώροι PN, PT + και PT είναι ισ οδύναμα χώροι άμαζων σ ωματιδίων μηδενικού spin, + και ελικότητας αντίσ τοιχα. Σύμμορφη αναλλοιώτητα Η θεωρία των twistors παρέχει μία κομψή περιγραφή της σ ύμμορφης αναλλοιώτητας σ την φυσ ική, δίνοντας έμφασ η σ τις φωτοειδείς γεωδαισ ιακές και την δομή φωτοειδών κώνων του χωροχρόνου, που είναι έννοιες σ ε πιο θεμελιώδες επίπεδο από αυτό της μετρικής δομής, και των χωροειδών και χρονοειδών γεωδαισ ιακών, καθώς μόνο ο χώρος των φωτοειδών γεωδαισ ιακών επιδέχεται δομή Cauchy-Riemann. Τα άμαζα πεδία σ υμπεριλαμβανομένου του ηλεκτρομαγνητικού και του γραμμικοποιημένου βαρυτικού είναι σ υμμόρφως αναλλοίωτα. Στο καθιερωμένο μοντέλο, τα βασ ικά πεδία πλην του πεδίου Higgs είναι άμαζα σ το όριο όπου δεν υπάρχουν αλληλεπιδράσ εις, και λαμβάνουν μάζες αλληλεπιδρώντας με το πεδίο Higgs, οι οποίες είναι πολύ μικρότερες σ ε σ ύγκρισ η με την μάζα Planck. Οπως και η ρήξης της σ υμμετρίας σ τον μηχανισ μό Higgs, έτσ ι και η ρήξη της σ ύμμορφης σ υμμετρίας αποτελεί θεμελιώδες κομμάτι της φυσ ικής, και η αποσ αφήνισ ή του θα προσ φέρει βαθύτερη κατανόησ η για την φύσ η της μάζας ηρεμίας και την σ ύνδεσ ή της με την βαρύτητα. Ο φορμαλισ μός της θεωρίας των twistors όπως θα δείξουμε, είναι σ ύμμορφα αναλλοίωτος, και έτσ ι οποιαδήποτε ρήξη αυτής της σ υμμετρίας μπορεί να εκφρασ τεί, και η αναγωγή της σ την ομάδα σ υμμετριών Poincaré μπορεί να περιγραφεί σ τον χώρο των twistors εισ άγοντας την έννοια του infinity twistor. Άλλες θεωρήσ εις Πολλές από τις μαθηματικές μεθόδους της θεωρίας των twistors που θα περιγράψουμε σ την σ υνέχεια, μπορούν να επεκταθούν σ ε οποιαδήποτε signatures και πλήθος διασ τάσ εων. Ωσ τόσ ο, ορισ μένα ειδικά χαρακτηρισ τικά της θεωρίας των twistors παρουσ ιάζονται σ ε Lorentzian signatures σ τις 4 διασ τάσ εις, και σ υνεπώς μπορούν να θεωρηθούν ως αναγκαία για την ερμηνεία του πλήθους των διασ τάσ εων και του signature του χωροχρόνου. Οι μή γραμμικές δομές δεν φαίνονται να έχουν κάποια αντισ τοιχία με φυσ ικό περιεχόμενο όταν οι χωροχρονικές διασ τάσ εις είναι περισ σ ότερες από τέσ σ ερις. Επιπλέον, η Lorentzian signature του χωροχρόνου προκύπτει από την πραγματική υπερεπιφάνεια PN μοναδιαίας σ υνδιάσ τασ ης σ τον χώρο των twistors. Οι υπερεπιφάνειες αυτού του τύπου εμφανίζονται ως φυσ ικά σ ύνορα των πεδίων ορισ μού των κλάσ εων σ υνομολογίας και των μη γραμμικών δομών που χρησ ιμοποιούνται για την περιγραφή φυσ ικών πεδίων σ τον χώρο των twistors. Θεωρώντας τον χώρο των twistors ως θεμελιώδη, και όχι τον δυϊκό χώρο των twistors, εισ άγεται μια χειραλική ασ υμμετρία, η οποία θα μπορούσ ε να χρησ ιμοποιηθεί ως αφετηρία για την ερμηνεία των φαινομένων παραβίασ ης parity. 13

Part I Μαθηματικό πλαίσ ιο της θεωρίας των twistors Στο πρώτο μέρος, θα εισ άγουμε περιληπτικά τους βασ ικούς ορισ μούς και ορισ μένα βασ ικά θεωρήματα από την αλγεβρική και την διαφορική γεωμετρία των μιγαδικών πολλαπλοτήτων που είναι απαραίτητα για την κατανόησ η του φορμαλισ μού και των εννοιών της θεωρίας των twistors. Επιπλέον, θα προσ διορίσ ουμε τις αναγκαίες σ υνθήκες ώσ τε να επιδέχεται spinorial δομές μια πολλαπλότητα τόσ ο τοπικά όσ ο και ολικά ορίζοντας την αντίσ τοιχη κλάσ η αυτών, καθώς αυτού του είδους οι πολλαπλότητες έχουν φυσ ικό ενδιαφέρον, αφού μπορούν να χρησ ιμοποιηθούν για την περιγραφή φυσ ικών πεδίων και αλληλεπιδράσ εων με τον spinorial φορμαλισ μό της θεωρίας πεδίων που θα περιγράψουμε σ τη σ υνέχεια. Ταυτόχρονα, η επιδεχόμενη spinorial δομή και κλάσ η πολλαπλοτήτων θέτει και έναν περιορισ μό τοπολογικού χαρακτήρα όσ ον αφορά το είδος των επιτρεπτών δομών σ ε μια πολλαπλότητα, και κατ επέκτασ ιν, του αντίσ τοιχου ισ οδύναμου πεδιακού περιεχομένου μιας θεωρίας σ ε αυτήν. Ενδεικτικές αναφορές για την βιβλιογραφία σ ε αυτά τα θέματα, εκτός από τις επιμέρους που θα παρατίθενται σ το κείμενο, είναι οι εξής: [24, 2] μιγαδική γεωμετρία, [3, 4, 5] γεωμετρία Calabi-Yau, [6, 7] περιγραφές Dolbeault-Cech των ολομορφικών διανυσ ματικών δεσ μών, [8, 9] θεωρία παραμορφώσ εων, [10, 11]] αλγεβρική γεωμετρία. 1 Μιγαδικές πολλαπλότητες, νηματικές δέσμες Εφόσ ον τα βαθμωτά πεδία παίζουν σ ημαντικό ρόλο σ την μελέτη των σ υσ τημάτων με τα οποία θα ασ χοληθούμε σ την σ υνέχεια, και εφόσ ον ακόμα και τα σ υσ τήματα σ υντεταγμένων μπορούν να θεωρηθούν ως σ ύνολα βαθμωτών πεδίων, είναι χρήσ ιμο να διατυπώσ ουμε τα αξιώματα που ορίζουν μια πολλαπλότητα σ την πλήρη γενικότητά της 5, χρησ ιμοποιώντας τις ιδιότητες τέτοιων σ υσ τημάτων βαθμωτών πεδίων. Επιπλέον, η γενικότητα της σ υζήτησ ης είναι απαραίτητη για την ανάδειξη των σ υνθηκών υπό τις οποίες είναι δυνατή η θεώρησ η spinorial δομής σ ε μία πολλαπλότητα, καθώς επίσ ης και για την ανάδειξη της βαθύτερης σ ύνδεσ ης της γεωμετρίας μιας πολλαπλότητας αυτής της κλάσ ης και των θεωριών πεδίων. 1.1 Πολλαπλότητες Τα αξιώματα που θα αναπτύξουμε σ το παρόν κεφάλαιο θα διατυπωθούν ως προς πραγματικά C βαθμωτά πεδία, και η μιγαδική γενίκευσ η, όπως θα δούμε σ τη σ υνέχεια, μπορεί να γίνει άμεσ α τροποποιώντας κατάλληλα το παρόν σ ύνολο αξιωμάτων. Θεωρούμε F το σ ύνολο των C βαθμωτών πεδίων, και G το αντίσ τοιχο σ ύνολο των μιγαδικών C βαθμωτών πεδίων, το οποίο μπορεί να ορισ τεί με την βοήθεια του F ως F if. Θεωρούμε ως πολλαπλότητα M ένα σ ύνολο με την αφηρημένη έννοια του όρου σ ημείων, η δομή των οποίων καθορίζεται από ένα μη κενό σ ύνολο F, κάθε σ τοιχείο f F του οποίου, είναι μία απεικόνισ η f : M R. Η σ υγκεκριμένη επιλογή του σ υνόλου F, σ ε κάθε περίπτωσ η, χαρακτηρίζει την δομή της M πλήρως, ως διαφορίσ ιμη πολλαπλότητα, με την εισ αγωγή κατάλληλων αξιωμάτων για το F. Η διαφορίσ ιμη δομή της M που προκύπτει, είναι τέτοια ώσ τε κάθε σ τοιχείο του F να είναι ένα C βαθμωτό πεδίο [19]. Εισ άγουμε το εξής σ ύσ τημα αξιωμάτων [20, 21, 22]: 5 Η διατύπωσ η που παρουσ ιάζουμε ισ χύει για κάθε n-διάσ τατη Hausdorff, παρασ υμπαγή και σ υνεκτική πολλαπλότητα. 14

1.1 Πολλαπλότητες Αξίωμα 1.1. Αν f 1, f 2,..., f r F, και αν F : R r R οποιαδήποτε C πραγματική σ υνάρτησ η r πραγματικών μεταβλητών, τότε η F f 1, f 2,..., f r η οποία είναι σ υνάρτησ η σ την M, δηλαδή F f 1, f 2,..., f r P = F f 1 P, f 2 P,..., f r P P M είναι επίσ ης σ τοιχείο του σ υνόλου F. Παρατηρούμε ότι αφού οποιαδήποτε σ ταθερά μπορεί να θεωρηθεί ως C σ υνάρτησ η, κάθε απεικόνισ η της μορφής f : M R η οποία αναθέτει τον ίδιο πραγματικό αριθμό k R σ ε κάθε σ ημείο της M, ή ισ οδύναμα κάθε σ ταθερή απεικόνισ η, θα είναι σ τοιχείο του σ υνόλου F, και έσ τω k F. Το υποσ ύνολο του F με σ τοιχεία όλες τις σ ταθερές απεικονίσ εις, έσ τω K, είναι ένας δακτύλιος, ισ ομορφικός με το R. Εφόσ ον οι πράξεις της πρόσ θεσ ης + και του πολλαπλασ ιασ μού είναι C απεικονίσ εις R R R, από το Αξίωμα 1.1, οι πράξεις της πρόσ θεσ ης +και του πολλαπλασ ιασ μού που δρουν σ το σ ύνολο F, ορίζονται ως: f + g P := f P + g P, και fg P = f P g P P M. Επομένως το σ ύνολο F έχει την δομή μεταθετικού δακτυλίου με μοναδιαίο σ τοιχείο, με 0, 1 K F. Επιπλέον, το σ ύνολο F είναι διανυσ ματικός χώρος σ το K, επομένως, σ υνδυάζοντας τις ανωτέρω ιδιότητες, έχουμε ότι το σ ύνολο F ορίζει μια μεταθετική άλγεβρα σ το K. Γειτονία του σ ημείου P M: Ορίζουμε την F-γειτονιά του σ ημείου P M ως το σ ύνολο των σ ημείων της M σ τα οποία f 0 για κάποια f F, με f P 0. Η τομή δύο F-γειτονιών είναι επίσ ηςf-γειτονιά, αφού αν U, V F-γειτονιές που ορίζονται από τις f, g 0 με f, g F, τότε η U V ορίζεται από την fg 0. Η τοπολογία που αντισ τοιχούμε σ την πολλαπλότητα M είναι αυτή που προκύπτει από τις F- γειτονιές. Ενα υποσ ύνολο της M λέγεται ανοικτό αν και μόνο αν είναι ένωσ η F-γειτονιών. Ως προς αυτήν την τοπολογία, κάθε σ τοιχείο του F είναι μια σ υνεχής σ υνάρτησ η σ την M, ή ισ οδύναμα, η αντίσ τροφη εικόνα ενός ανοικτού διασ τήματος του σ ώματος R υπό την δράσ η κάθε σ τοιχείου του F είναι ένα ανοικτό σ ύνολο σ την M. Για την απόδειξη αυτής της πρότασ ης, θεωρούμε το ανοικτό διάσ τημα a < x < b, με a < b, και η C σ υνάρτησ η { 0, x a ή x b B a,b x =. exp, a < x < b 1 x ax b Η αντίσ τροφη εικόνα του διασ τήματος a < x < b υπό την δράσ η οποιασ δήποτε απεικόνισ ης f F είναι το ανοικτό σ ύνολο που ορίζεται από την 0 B a,b f F. Το επόμενο αξίωμα θεμελιώνει τον τοπικό χαρακτήρα του περιορισ μού σ ε μια πραγματική σ υνάρτησ η σ την πολλαπλότητα M ώσ τε αυτή να ανήκει σ το F η σ υνθήκη C είναι ένας τέτοιος τοπικός περιορισ μός. Αξίωμα 1.2. Αν g : M R και αν P M υπάρχει μιαf-γειτονιά του P, έσ τω U, και ένα σ τοιχείο f F που είναι σ υνεπές με την απεικόνισ η g σ την U, τότε g F. Το Αξίωμα 1.2 μπορεί να διατυπωθεί ισ οδύναμα ως: Αν g : M R και αν P M, h, f F, με h P 0, όπου hg = hf, τότε g F. Προκειμένου η πολλαπλότητα M τοπικά να είναι ομοιομορφική με τον R n, για δεδομένο ακέραιο n, θεωρούμε το ακόλουθο αξίωμα: Αξίωμα 1.3. P M, υπάρχει μια F-γειτονιά U του P, και n σ τοιχεία x 1,..., x n F τέτοια ώσ τε: 1. για δύο οποιαδήποτε σ ημεία της U, τουλάχισ τον ένα σ τοιχείο x a έχει διαφορετική τιμή σ τα δύο σ ημεία, και 2. κάθε σ τοιχείο f F μπορεί να εκφρασ θεί σ το U ως μια C σ υνάρτησ η των x 1,..., x n. 15

1.2 Μιγαδικές Πολλαπλότητες Σε σ υνέπεια με τον σ υνήθη ορισ μό μιας n-διάσ τατης διαφορίσ ιμης πολλαπλότητας, τα παραπάνω αξιώματα ισ οδύναμα γράφονται ως: i Η M είναι τοπολογικός χώρος, ii ορίζεται η οικογένεια των ζευγών U i, f i, iii τα {U i } είναι η οικογένεια των ανοικτών σ υνόλων που καλύπτουν την M, δηλαδή i U i = M, και τα f i είναι ομοιομορφισ μός από το U i σ ε ένα ανοικτό υποσ ύνολο U j του Rn, και iv για U i και U j τέτοια ώσ τε U i U j, η απεικόνισ η ψ ij = f i f 1 j από το f i U i U j σ το f j U i U j είναι κλάσ ης C. Το σ ύνολο {x a }ταυτίζεται με τις σ υναρτήσ εις f i, οι οποίες καλούνται σ υντεταγμένες σ υναρτήσ εις ή απλώς σ υντεταγμένες γύρω από το P, το U i τοπική γειτονία, ενώ τα ζεύγη U i, x i, U i, f i, {U i, f i } καλούνται τοπικό σ ύσ τημα σ υντεταγμένων, χάρτης και άτλας της πολλαπλότητας M, αντίσ τοιχα. [20, 24] Αν υποθέσ ουμε ότι η M είναι μια πολλαπλότητα Hausdorff κατά τον σ υνήθη ορισ μό, μπορούμε να ορίσ ουμε το σ ύνολο F ως αποτελούμενο από αυτές τις πραγματικές σ υναρτήσ εις σ την M, οι οποίες σ ε κάθε χάρτη μπορούν να εκφρασ θούν ως C σ υναρτήσ εις ως προς τις σ υντεταγμένες. Τότε, το σ ύνολο F ικανοποιεί τα Αξιώματα 1.1, 1.2 και 1.3 και έτσ ι η M είναι πολλαπλότητα κατά τον παρόντα ορισ μό. Ο ορισ μός της τοπολογίας της M σ ε σ υνδυασ μό με το Αξίωμα 1.2, είναι ικανές σ υνθήκες ώσ τε να θεωρήσ ουμε ότι η M είναι Hausdorff τοπολογικός χώρος, δηλαδή για δύο οποιαδήποτε σ ημεία P, Q M υπάρχουν πάντα μπορούν να ευρεθούν γειτονιές U P του P και U Q του Q τέτοιες ώσ τε U P U Q =, ή ισ οδύναμα, τέτοιες γειτονιές ώσ τε η καθεμία να περιέχει ένα από τα σ ημεία P και Q. Πράγματι, αρκεί να υπάρχει μία σ υνάρτησ η h F, η οποία να λαμβάνει τις τιμές p και q, με p q, σ τα σ ημεία P και Q αντίσ τοιχα, καθώς αν επιλέξουμε r = 1 2 p q, μπορούμε να ορίσ ουμε γειτονιές για τα σ ημεία P και Q μέσ ω των σ υναρτήσ εων B p r, p+r h F και B q r, q+r h F, αντίσ τοιχα, έτσ ι ώσ τε να λάβουμε γειτονιές τέτοιες ώσ τε U P U Q =, όπως απαιτεί ο ορισ μός. Οσ ον αφορά την ύπαρξη της σ υνάρτησ ης h, από το Αξίωμα 1.3 προκύπτει ότι το Q είτε ανήκει σ την U, είτε όχι. Αν Q U, μπορούμε να χρησ ιμοποιήσ ουμε σ υντεταγμένες x a για την h οι οποίες θα διαφέρουν σ το Q από τις τιμές τους σ το P. Αν Q / U, τότε μπορούμε να χρησ ιμοποιήσ ουμε για την h μια σ υνάρτησ η η οποία να ορίζει την U, όντας μη μηδενική εντός της U και μηδέν εκτός. Για την τοπολογία μιας πολλαπλότητας, επιπλέον, μπορούμε να θεωρήσ ουμε ότι έχει αριθμήσ ιμη βάσ η υπόθεσ η ισ οδύναμη της παρασ υμπάγειας [23], εισ άγοντας το ακόλουθο αξίωμα: Αξίωμα 1.4. Υπάρχει αριθμήσ ιμο σ ύνολο F-γειτονιών τέτοιο ώσ τε κάθε F-γειτονιά να μπορεί να εκφρασ θεί ως ένωσ η των σ τοιχείων του σ υνόλου αυτού. Ισ οδύναμα, η πολλαπλότητα M μπορεί να καλυφθεί από μετρήσ ιμο πλήθος χαρτών. Ενα επιπλέον αξίωμα που εισ άγουμε για την περίπτωσ η που μια πολλαπλότητα αναπαρισ τά χωροχρόνο, είναι το εξής: Αξίωμα 1.5. Η M είναι σ υνεκτική πολλαπλότητα, δηλαδή η M δεν μπορεί να γραφεί ως M = X 1 X 2, όπου X 1 και X 2 ανοικτά σ ύνολα, με X 1, X 2 και X 1 X 2 =. Σε σ χέσ η με το σ ύνολο F, η σ υνθήκη αυτή εκφράζεται ως εξής: Αν f, g F, και αν fg = 0, τότε f P = g P = 0 για κάποιο P M. 1.2 Μιγαδικές Πολλαπλότητες 1.2.1 Εισ αγωγικά Πριν αναλύσ ουμε τις τοπολογικές δομές μιας πολλαπλότητας και αναδείξουμε την βαθύτερη σ ύνδεσ η που υπάρχει μεταξύ των δομών δέσ μης και θεωριών πεδίων βαθμίδας, θα αναφέρουμε σ υνοπτικά, για λόγους πληρότητας, την τροποποίησ η του σ υνόλου αξιωμάτων που εισ άγαμε σ την Υποενότητα 1.1, για την περιγραφή των μιγαδικών πολλαπλοτήτων. Ετσ ι, σ την υποενότητα αυτή, θα εισ άγουμε την μιγαδική δομή, η οποία σ υνδέεται άρρηκτα με την θεωρία twistor, και γενικότερα με την μαθηματική φυσ ική, καθώς αποτελεί πηγή προέλευσ ης των μαθηματικών τεχνικών της. Στην σ υνήθη μιγαδική ανάλυσ η, οι μερικές παράγωγοι πρέπει να ικανοποιούν τις εξισ ώσ εις Cauchy-Riemann, και επιπλέον, 16

1.2 Μιγαδικές Πολλαπλότητες εκτός από την διαφορισ ιμότητα, εισ άγεται και η έννοια της αναλυτικότητας μιας σ υνάρτησ ης. Μια μιγαδική πολλαπλότητα επιδέχεται μια μιγαδική δομή, σ την οποία οποιαδήποτε γειτονιά σ υντεταγμένων είναι ομοιομορφική προς το C n, και η μετάβασ η από το ένα σ ύσ τημα σ υντεταγμένων σ το άλλο περιγράφεται από αναλυτικές σ υναρτήσ εις [12, 13, 14, 15, 24]. 1.2.1.1 Αξιωματικός ορισ μός της μιγαδικής πολλαπλότητας Τα παραπάνω Αξιώματα που σ τοιχειοθετούν τον ορισ μό μιας πραγματικής διαφορίσ ιμης πολλαπλότητας, κατά την μετάβασ η σ την περίπτωσ η των μιγαδικών πολλαπλοτήτων, εμπλουτίζονται με τρόπο ανάλογο με την μετάβασ η από την πραγματική σ την μιγαδική ανάλυσ η. Ετσ ι, η απαίτησ η της ύπαρξης λείων C σ υναρτήσ εων μετάβασ ης μεταξύ των τοπικών καλυμμάτων της πολλαπλότητας, αντικαθίσ ταται από την απαίτησ η της ολομορφικότητας των εν λόγω σ υναρτήσ εων. Μια μιγαδική 6 σ υνάρτησ η f : C m C είναι ολομορφική αν η f = f 1 + if 2 ικανοποιεί τις σ χέσ εις Cauchy-Riemann f 1 x µ = f 2 y µ, f 2 x µ = f 1 y µ z µ x µ + iy µ C. 1.1 Μια απεικόνισ η f 1,..., f n : C m C n λέγεται ολομορφική αν κάθε σ υνάρτησ η f λ, με 1 λ n, είναι ολομορφική. Ετσ ι, σ ε αναλογία με τα προηγούμενα, έχουμε: Ορισμός 1.6. Η M είναι μιγαδική πολλαπλότητα, αν ισ χύουν τα ακόλουθα αξιώματα: 1. Η M είναι τοπολογικός χώρος. 2. Υπάρχει η οικογένεια ζευγών {U i, f i } για την M. 3. Τα {U i } είναι οικογένεια ανοικτών σ υνόλων που καλύπτουν την M ανοικτό κάλυμμα, και οι απεικονίσ εις f i είναι ομοιομορφισ μοί από το U i σ ε ένα ανοικτό υποσ ύνολο U C m. 4. Για ανοικτά σ ύνολα U i και U i τέτοια ώσ τε U i U j, η απεικόνισ η ψ ij := f j f 1 i ψ ij : f i U i U j f j U i U j είναι ολομορφική., με Παρατηρούμε ότι, από το 3., η πολλαπλότητα M έχει άρτιο πλήθος διασ τάσ εων, και σ υγκεκριμένα m είναι η μιγαδική διάσ τασ η της M, ή dim C M = m, σ υνεπώς, dim R M = 2m. Θεωρώντας τις μιγαδικές σ υντεταγμένες z µ = f i p και w ν = f j p ενός σ ημείου p U i U j σ τους χάρτες U i, f i και U j, f j, αντίσ τοιχα, από το αξίωμα 4. έχουμε ότι η σ υνάρτησ η w ν = u ν + iv ν, με 1 ν m και 1 µ m, πρέπει να είναι ολομορφική ως προς z µ = x µ + iy µ, δηλαδή u ν x ν = vν y ν, u ν y ν = vν x ν. Τα αξιώματα αυτά εξασ φαλίζουν ότι η ανάλυσ η σ ε μιγαδικές πολλαπλότητες μπορεί να γίνει ανεξαρτήτως επιλογής σ υσ τήματος σ υντεταγμένων. Επιπλέον, αν {U i, f i } και {U j, f j } άτλαντες της M, τότε αν η ένωσ η δύο ατλάντων είναι πάλι άτλας της M και ικανοποιεί τα αξιώματα του Ορισ μού 1.6, τότε αυτοί ορίζουν την ίδια μιγαδική δομή. 1.2.1.2 Μιγαδικοποίησ η Εσ τω M διαφορίσ ιμη πολλαπλότητα με dim R M = m. Αν η απεικόνισ η f : M C γραφεί ως f = g + ih, με g, h F M, τότε η f είναι λεία μιγαδική σ υνάρτησ η. Το σ ύνολο των λείων μιγαδικών σ υναρτήσ εων σ την M καλείται μιγαδικοποίησ η complexification του σ υνόλου FM και σ υμβολίζεται ως F C M. Εν γένει, μια μιγαδικοποιημένη σ υνάρτησ η δεν θα ικανοποιεί απαραίτητα τις εξισ ώσ εις Cauchy-Riemann, καθώς, αν f = g + ih F C M, f = g ih, και η f είναι πραγματική σ υνάρτησ η αν και μόνο αν f = f. Με ανάλογο τρόπο ορίζεται και η 6 Παρακάτω, σ υμβολίζουμε 1 i που διαφέρει από το σ ύμβολο i που χρησ ιμοποιείται σ υνήθως ως δείκτης. 17

1.2 Μιγαδικές Πολλαπλότητες μιγαδικοποίησ η ενός διανυσ ματικού χώρου V, η οποία σ υμβολίζεται σ υχνά ως V C, με dim R V = m. Ενα σ τοιχείο του V C θα είναι της μορφής X + iy, όπου X, Y V. Ετσ ι, ο χώρος V C είναι ένας μιγαδικός διανυσ ματικός χώρος, με dim C V C = m. Γενικότερα, Ορισμός 1.7. Αν S πραγματικός χώρος εφοδιασ μένος με ένα πραγματικό βαθμωτό γινόμενο : R S S, ορίζουμε την μιγαδικοποίησ η του S και την σ υμβολίζουμε ως S C, ως το τανυσ τικό γινόμενο S C := S R C. 1.2.2 Ενδεικτικές μιγαδικές πολλαπλότητες Παρακάτω, θα εισ άγουμε ορισ μένες βασ ικά σ τοιχεία ενδεικτικών, χρήσ ιμων για την σ υνέχεια, μιγαδικών πολλαπλοτήτων. 1.2.2.1 Μιγαδικός προβολικός χώρος Εσ τω P n το σ ύνολο των γραμμών που διέρχονται από την αρχή των αξόνων σ τον χώρο C n+1. Μια γραμμή l C n+1 καθορίζεται από οποιοδήποτε z 0 l, επομένως, για μια σ ταθερά λ C, { } [z] 0 C n+1 P n = [z] [λz]. 1.2 Στο υποσ ύνολο U i = {[z] : z i 0} P n των γραμμών που δεν περιέχονται σ το υπερεπίπεδο z i = 0 υπάρχει μια αμφιμονοσ ήμαντη απεικόνισ η ϕ i σ το C n, η οποία γράφεται ως z0 ϕ i z 0,..., z n =,..., ẑi,..., z n. 1.3 z i z i z i Για z j 0 = ϕ i U j U i C n, η απεικόνισ η ϕ j ϕ 1 i z 1,..., z n = z1 z j,..., ẑj z j,..., 1 z j..., z n z j 1.4 είναι ολομορφική, επομένως, ο χώρος 7 P n CP n έχει την δομή μιας μιγαδικής πολλαπλότητας, και καλείται μιγαδικός προβολικός χώρος. Οι σ υντεταγμένες z = {z 0,..., z n } του P n καλούνται ομογενείς σ υντεταγμένες, ενώ οι αντίσ τοιχες σ υντεταγμένες που δίδονται από τις απεικονίσ εις ϕ i λέγονται Ευκλείδειες. Επιπλέον, ο χώρος P n είναι σ υμπαγής, εφόσ ον υπάρχει μια σ υνεχής και επί απεικόνισ η από την μοναδιαία σ φαίρα του C n+1 σ τον P n. Ο χώρος P 1 είναι η σ φαίρα Riemann Riemannian σ φαίρα C { }. Κάθε απεικόνισ η εγκλεισ μού inclusion map C k+1 C n+1, επάγει έναν εγκλεισ μό P k P n. Η εικόνα μιας τέτοιας απεικόνισ ης ορίζει έναν γραμμικό υπόχωρο του P n. Η εικόνα ενός υπερεπιπέδου σ τον C n+1 είναι επίσ ης υπερεπίπεδο και θα αναφέρεται ως υπερεπίπεδο, καταχρησ τικά, ενώ η εικόνα ενός C k+1 C n+1 καλείται k-επίπεδο. Οι γραμμικές σ χέσ εις μεταξύ σ ημείων σ τον P n μπορούν να εκφρασ θούν ως προς αυτούς τους όρους, για παράδειγμα, το span ενός σ υνόλου σ ημείων {p i } P n, λογίζεται ως η εικόνα προβολή σ τον P n του υπόχωρου του C n+1 που ορίζεται από το span των γραμμών π 1 p i. Ενα σ ύνολο k σ ημείων καλούνται γραμμικώς ανεξάρτητα αν και οι αντίσ τοιχες γραμμές του C n+1 σ τις οποίες ανήκουν, είναι γραμμικώς ανεξάρτητες μεταξύ τους, ή ισ οδύναμα, αν το span τους σ τον P n είναι ένα k 1-επίπεδο. Το σ ύνολο των υπερεπιπέδων σ τον P n αντισ τοιχεί σ το σ ύνολο των μη-μηδενικών γραμμικών σ υναρτήσ εων C n+1 {0} του C n+1, modulo βαθμωτό γινόμενο. Ως εκ τούτου, είναι και αυτός προβολικός χώρος, ο δυϊκός προβολικός χώρος, και σ υμβολίζεται ως P n. 7 Συμβολίζουμε ως CP n τον μιγαδικό προβολικό χώρο, ο οποίος θα αναφέρεται απλώς ως προβολικός χώρος όταν ακολουθείται αυτός ο σ υμβολισ μός. Διαφορετικά, ως προβολικός χώρος θα λογίζεται ο P n για οποιοδήποτε σ ώμα. 18

1.2 Μιγαδικές Πολλαπλότητες Ο P n μπορεί να λογισ θεί ως η σ υμπαγοποίησ η compactification του C n, με την προσ θήκη ενός υπερεπιπέδου H σ το άπειρο. Σε αναπαράσ τασ η σ υντεταγμένων, ο εγκλεισ μός C n P n αντισ τοιχεί σ ε z 1,..., z n 1, z 1,..., z n, ενώ το H περιγράφεται από την εξίσ ωσ η z 0 = 0, και η ταυτοποίησ η H = P n 1 γίνεται θεωρώντας το υπερεπίπεδο σ το άπειρο ως τις κατευθύνσ εις εκείνες, οι οποίες οδηγούν σ το άπειρο σ τον C n. Σε επόμενες ενότητες θα γίνει αναλυτικότερη μελέτη ειδικών περιπτώσ εων μιγαδικών προβολικών χώρων οι οποίοι περιέχονται ως θεμελιώδες σ υσ τατικό σ την θεωρία twistor. Σταθμισ μένοι προβολικοί χώροι weighted projective spaces: Μια γενίκευσ η των μιγαδικών προβολικών χώρων αποτελούν οι χώροι που λαμβάνονται από το { C n+1} \ {0}, με σ υντεταγμένες [ z i], ταυτίζοντας τα z 1,..., z m+1 t q1 z 1, t q2 z 2,..., t qm+1 z m+1, με t C. Οι χώροι αυτοί καλούνται σ ταθμισ μένοι προβολικοί χώροι και σ υμβολίζονται ως w CP m q 1,..., q m+1. Σύμφωνα με τον ορισ μό αυτόν, έχουμε ότι w CP m 1,..., 1 CP m. Αξίζει να σ ημειωθεί ότι οι σ ταθμισ μένοι προβολικοί χώροι δεν είναι απαραίτητα ομαλοί, δηλαδή μπορούν να περιέχουν μοναδικότητες. 1.2.2.2 Μιγαδικές πολλαπλότητες Grassmann Οι μιγαδικές πολλαπλότητες Grassmann Grassmannian G k,n C G k,n ορίζονται ως το σ ύνολο των μιγαδικών k-διάσ τατων διανυσ ματικών υπόχωρων του C n. Η απλούσ τερη μιγαδική πολλαπλότητα Grassmann είναι η G 1,n+1, και αντισ τοιχεί σ τον μιγαδικό προβολικό χώρο CP n. Ο ρόλος τους σ ε σ χέσ η με την θεωρία twistor θα διαφανεί αργότερα, κατά την μελέτη των δεσ μών σ ε πολλαπλότητες. Εσ τω M k,n C το σ ύνολο των k n πινάκων τάξης k, με k n. Επιπλέον, θεωρούμε A, B M k,n C που σ υνδέονται μεταξύ τους με σ χέσ η ισ οδυναμίας, A B αν g GL k, C τέτοιο ώσ τε B = ga. Η πολλαπλότητα G k,n C ταυτίζεται με την M k,n C /GL k, C. Αν {A 1,..., A l } το σ ύνολο των k k ελαττωμένων πινάκων του A M k,n C, ορίζουμε έναν χάρτη U a ως ένα υποσ ύνολο της G k,n C τέτοιο ώσ τε να ισ χύει ότι det A a 0. Οι k n k σ ε πλήθος σ υντεταγμένες σ τον U a δίνονται, τότε, από τα μη-τετριμμένα σ τοιχεία του πίνακα A 1 a A. 1.2.2.3 Πολλαπλότητες flag Οπως θα δούμε παρακάτω, οι μιγαδικές flag πολλαπλότητες παίζουν σ ημαντικό ρόλο σ την θεωρία twistor και σ την αντισ τοιχία Penrose-Ward. Εδώ, εισ άγουμε την βασ ική έννοια μιας flag πολλαπλότητας, ως αφετηρία για την μετέπειτα εξειδίκευσ η της έννοιας. Οι flag πολλαπλότητες μπορούν να θεωρηθούν ως γενικεύσ εις των προβολικών χώρων και των μιγαδικών πολλαπλοτήτων Grassmann. Ειδικότερα, έχουμε τα εξής: Ορισμός 1.8. Ενα σ ύνολο r διανυσ ματικών χώρων V {L 1,..., L r } διάσ τασ ης dim C L i = d i, όπου L 1... L r C n και 0 < d 1 <... < d r < n, λέγεται flag σ τον C n. Ετσ ι, Ορισμός 1.9. Η μιγαδική flag πολλαπλότητα F d1...d r,n F d1...d r V είναι ο σ υμπαγής χώρος που ορίζεται ως F d1...d r,n := {όλα τα flags L 1,..., L r με dim C L i = d i, i = 1,..., r}. 1.5 Χαρακτηρισ τικές περιπτώσ εις flag πολλαπλοτήτων αποτελούν οι F 1,n CP n 1, και F k,n G k,n C. 1.2.2.4 Σχόλια - Συμπληρωματικοί ορισ μοί Varieties Ως algebraic variety αναφέρεται καταχρησ τικά, σ την βιβλιογραφία, ως αλγεβρική πολλαπλότητα ορίζεται το σ ύνολο των μιγαδικών ριζών σ υσ τημάτων ομογενών πολυωνύμων σ τον προβολικό χώρο, και μπορούν να θεωρηθούν ως αναλυτικές subvarieties του CP n. Αν η variety είναι ομαλή δεν φέρει μοναδικότητες, τότε αυτή ταυτίζεται με την έννοια της μιγαδικής πολλαπλότητας, όπως ορίσ θηκε προηγουμένως. 19

1.2 Μιγαδικές Πολλαπλότητες Απεικονίσ εις Αν f : M N λεία απεικόνισ η, με dim M dim N, αυτή καλείται: immersion της M σ την N αν το f : T p M T fp N είναι 1-1, με rank f = dim M, embedding εμβύθισ η της M σ την N αν η f είναι immersion και 1-1. Η εικόνα fm λέγεται υποπολλαπλότητα της N. Ορισμός. Ολομορφική απεικόνισ η: Εσ τω f : M N, όπου M, N μιγαδικές πολλαπλότητες με dim C M = m και dim C N = n. Εσ τω, επίσ ης, U, ϕ χάρτης της M με p U, ϕ, και V, ψ χάρτης της N με f p V. Αν {z µ } = ϕ p και {w ν } = ψ f p, τότε ψ f ϕ 1 : C m C n. Αν κάθε σ υνάρτησ η w ν, με 1 ν n, είναι ολομορφική ως προς z µ, τότε η f είναι ολομορφική απεικόνισ η. Επιπλέον, η M είναι διολομορφική biholomorphic σ την N αν διαφορομορφισ μός f : M N που να είναι επίσ ης ολομορφικός, οπότε τότε, η απεικόνισ η f 1 : N M είναι ολομορφική. Σε αυτή την περίπτωσ η η f καλείται διολομορφισ μός biholomorphism. Παρατήρηση. Σύμφωνα με τον παραπάνω ορισ μό, αποδεικνύεται ότι ισ χύει η εξής πρότασ η: Κάθε ολομορφική σ υνάρτησ η σ ε μια σ υμπαγή μιγαδική πολλαπλότητα είναι σ ταθερή. 1.2.3 Εφαπτόμενοι χώροι μιας μιγαδικής πολλαπλότητας Εσ τω M μιγαδική πολλαπλότητα με dim C M = n, και p M οποιοδήποτε σ ημείο αυτής, και έσ τω z = z 1,..., z n τοπικό ολομορφικό σ ύσ τημα σ υντεταγμένων γύρω από το p. Τότε, προκύπτουν τρεις διαφορετικές έννοιες εφαπτόμενου χώρου της M σ το σ ημείο p. 1.2.3.1 Πραγματικός εφαπτόμενος χώρος Ο χώρος T R,p M είναι ο σ υνήθης πραγματικός εφαπτόμενος χώρος 8 της M σ το σ ημείο p M, αν θεωρήσ ουμε την M ως πραγματική πολλαπλότητα με dim R M = 2n. Ο χώρος T R,p M μπορεί να θεωρηθεί, ισ οδύναμα, ως ο χώρος των R-γραμμικών παραγώγων derivations σ τον δακτύλιο των πραγματικών C σ υναρτήσ εων της M σ ε μια γειτονιά του p M. Αν z i = x i + iy i, τότε { } T R,p M = R,. 1.6 x i y i 1.2.3.2 Μιγαδικοποιημένος εφαπτόμενος χώρος Εφαρμόζοντας την μιγαδικοποίησ η, κατά τον Ορισ μό 1.7, λαμβάνουμε τον χώρο T C,p M = T R,p M R C, ο οποίος καλείται μιγαδικοποιημένος εφαπτόμενος χώρος της M σ το σ ημείο p M, και μπορεί να θεωρηθεί ως ο χώρος των C-γραμμικών παραγώγων derivations σ τον δακτύλιο των μιγαδικών C σ υναρτήσ εων της M σ ε μια γειτονιά του p M. Ετσ ι, έχουμε ότι όπου T C,p M = C { x i, y i = 1 i, και z i 2 x i y i } { = C, z i }, 1.7 z i = 1 + i. 1.8 z i 2 x i y i 8 Για οικονομία σ τον σ υμβολισ μό, σ τους εφαπτόμενους χώρους μιας πολλαπλότητας, σ υνήθως, θα παραλείπουμε τον δείκτη του σ ώματος R ή C και τις παρενθέσ εις σ την M. Ετσ ι, π.χ., για μια πραγματική πολλαπλότητα, έχουμε σ υμβολικά T R,p M T pm. 20

1.2 Μιγαδικές Πολλαπλότητες 1.2.3.3 Ολομορφικός εφαπτόμενος χώρος Ως ολομορφικό εφαπτόμενο χώρο της M σ το σ ημείο p M σ υμβολίζουμε τον χώρο { } T + C,p M = C T C,p M, 1.9 z i ο οποίος μπορεί να θεωρηθεί ως ο υπόχωρος του T C,p M που αποτελείται από παραγώγους που μηδενίζονται για αντιολομορφικές σ υναρτήσ εις, και ως εκ τούτου είναι ανεξάρτητος από το ολομορφικό σ ύσ τημα σ υντεταγμένων z 1,..., z n που επιλέξαμε. Αντίσ τοιχα, υπάρχει και ο αντιολομορφικός εφαπτόμενος χώρος της M σ το σ ημείο p M { } T C,p M = C T C,p M, 1.10 z i ενώ υπάρχει ο, εν γένει μη-τετριμμένος, διαχωρισ μός T C,p M = T + p M T p M T 1,0 z M T 0,1 z M. 1.11 Ο δυϊκός διανυσ ματικός χώρος T p M μιγαδικοποιείται μέσ ω της ίδιας διαδικασ ίας αν τα w, n T p M σ υνδυασ τούν έτσ ι ώσ τε ζ = w +in. Το σ ύνολο των μιγαδικοποιημένων δυϊκών εφαπτόμενων διανυσ μάτων είναι το T p M C, και ισ χύει ότι T p M C = Tp M C. Παρατήρηση. Παρατηρούμε ότι αν M, N μιγαδικές πολλαπλότητες, κάθε C -απεικόνισ η f : M N επάγει μια γραμμική απεικόνισ η f : T R,p M T R,fp N, p M, και ως εκ τούτου, μια απεικόνισ η της μορφής f : T C,p M T C,fp N. Ωσ τόσ ο, εν γένει, η απεικόνισ η f δεν θα επάγει απεικονίσ εις από τον T p + M σ τον T + fp N. Ετσ ι, σ ύμφωνα με τον ορισ μό προηγουμένως, η απεικόνισ η f θα είναι ολομορφική αν και μόνο αν f T + p M T + fp N, p M. Επιπλέον, παρατηρούμε ότι, εφόσ ον ο μιγαδικοποιημένος εφαπτόμενος χώρος ορίζεται ως T C,p M = T R,p M R C, η πράξη της σ υζυγίας που αντισ τοιχεί τον τελεσ τή z σ τον z είναι καλώς ορισ μένη, και σ υνεπώς Tp M = T p + M. Ετσ ι, προκύπτει ότι η προβολή T R,p M T C,p M T p + M είναι ένας R- γραμμικός ισ ομορφισ μός. 1.2.4 Jacobian σ ε μιγαδικές πολλαπλότητες Εσ τω M, N μιγαδικές πολλαπλότητες, και έσ τω οι ολομορφικές σ υντεταγμένες z = z 1,..., z m και w = w 1,..., w n γύρω από τα σ ημεία p M και q N, αντίσ τοιχα. Εσ τω ολομορφική απεικόνισ η f : M N με fp = q. Σε αντισ τοιχία με τον ορισ μό τριών διαφορετικών εφαπτόμενων χώρων σ ε οποιοδήποτε σ ημείο μιας μιγαδικής πολλαπλότητας, προκύπτουν και διαφορετικοί ορισ μοί για τον Jacobian πίνακα. Αν θεωρήσ ουμε z i = x i + iy i, και w a = u a + iv a, με 1 i m και 1 a n, τότε, ως προς τις βάσ εις { xi, yi } και { ua, va } των χώρων T R,p M και T R,q N, αντίσ τοιχα, η γραμμική απεικόνισ η f δίνεται από τον 2m 2n πίνακα J R f = ua x i v a x i u a y i v a y i. 1.12 Ως προς τις βάσ εις { zi, zi } και { wa, wa } των χώρων T C,p M και T C,q N, αντίσ τοιχα, η απεικόνισ η f δίνεται από τον πίνακα J f 0 J C f =, 1.13 0 Jf w όπου J f = a z i η σ υνήθης Jacobian. 21

1.2 Μιγαδικές Πολλαπλότητες Παρατήρηση 1.10. Παρατηρούμε ότι rankj R f = 2 rankj f, ενώ αν m = n, τότε det J R f = det J f det J f = det J f 2 0, που σ ημαίνει ότι οι ολομορφικές απεικονίσ εις διατηρούν τον προσ ανατολισ μό μιας πολλαπλότητας. Σημείωση. Φυσ ικός προσ ανατολισ μός: Ο φυσ ικός προσ ανατολισ μός σ τον χώρο C n ορίζεται ως η 2n-μορφή n i dz 1 d z 1 dz 2 d z 2... dz n d z n = dx 1 dy 1... dx n dy n. 1.14 2 Αν U a, U b C n και ϕ a : U a C n και ϕ b : U b C n ολομορφικοί χάρτες σ υντεταγμένων σ την μιγαδική πολλαπλότητα M, τα pullbacks μέσ ω των ϕ a και ϕ b του φυσ ικού προσ ανατολισ μού 1.14 σ την C n θα σ υμπίπτουν σ την περιοχή U a U b, επομένως, κάθε μιγαδική πολλαπλότητα έχει φυσ ικό προσ ανατολισ μό, ο οποίος διατηρείται υπό την δράσ η ολομορφικών απεικονίσ εων. 1.2.5 Σχεδόν-μιγαδική δομή Στη σ υνέχεια, θα μελετήσ ουμε την περίπτωσ η της σ χεδόν-μιγαδικής δομής almost-complex structure μιας μιγαδικής πολλαπλότητας, και θα θεμελιώσ ουμε την διάκρισ η των εφαπτόμενων χώρων που είδαμε σ την 1.2.3. Ο εφαπτόμενος χώρος T R,p M μιας μιγαδικής πολλαπλότητας M με dim C M = m ορίζεται από την εξίσ ωσ η 1.6. Στο σ ύσ τημα σ υντεταγμένων της 1.6, αντίσ τοιχα ο TR,p M ορίζεται από το span των 2m 1-μορφών βάσ ης R { dx i,..., dy i} m { dx 1, dy 1,..., dx m, dy m}. Επιπλέον, σ ε αναλογία με i=1 { } m την βάσ η του μιγαδικού διανυσ ματικού χώρου T C,p M που ορίζεται ως z i, z i οι 2m 1-μορφές i=1, C { dz 1, d z 1,..., dz m, d z m}, με dz i = dx i +idy i και d z i = dx i idy i, αποτελούν μια βάσ η του δυϊκού χώρου TC,p M, και ισ χύει ότι dz i, z = d z i, j z = 0, και dz i, j z = d z i, j z = δ i j j. Ορισμός 1.11. Στην μιγαδική πολλαπλότητα M με dim C M = m ορίζουμε την γραμμική απεικόνισ η J p : T R,p M T R,p M ως εξής: J p x i = y i, J p y i = x i. 1.15 Η J p είναι πραγματικός τανυσ τής τύπου 1, 1, με J 2 p = Id TR,p M, 1.16 όπου Id η μοναδιαία απεικόνισ η. Η δράσ η του J p είναι ανεξάρτητη σ υσ τήματος σ υντεταγμένων και χάρτη, και αν οι χάρτες U, ϕ και V, ψ αλληλεπικαλύπτονται, με ϕp = z i = x i + iy i και ψp = w i = u i + iv i σ την περιοχή U V, οι σ υναρτήσ εις z i = z i w ικανοποιούν τις εξισ ώσ εις Cauchy-Riemann. Ως σ υνέπεια του Ορισ μού 1,11, έχουμε ότι x j J p u i = J p u i x j + yj u i και ομοίως, Ως εκ τούτου, η J p γράφεται, ισ οδύναμα, ως y j = yj v i y j + xj v i x j = v i, 1.17 J p v i = u i. 1.18 J p = 0 Im, 1.19 I m 0 22

1.2 Μιγαδικές Πολλαπλότητες ως προς τις βάσ εις 1.6, όπου I m ο μοναδιαίος m m πίνακας. Εφόσ ον όλα τα σ τοιχεία του J p είναι σ ταθερά σ ε κάθε σ ημείο p M, μπορούμε να ορίσ ουμε ένα ομαλό τανυσ τικό πεδίο J, του οποίου οι σ υνισ τώσ ες σ το σ ημείο p M δίνονται από την J p. Τότε, Ορισμός 1.12. Το τανυσ τικό πεδίο J T M T M αποτελεί την σ χεδόν-μιγαδική δομή της πολλαπλότητας M. Τοπικά, κάθε 2m-διάσ τατη πολλαπλότητα επιδέχεται ένα τανυσ τικό πεδίο J, του οποίου το τετράγωνο να ισ ούται με I 2m. Ωσ τόσ ο, η δομή J μπορεί να ορισ θεί σ ε κάθε τοπικό χάρτη, και να επεκταθεί από χάρτη σ ε χάρτη, και σ υνεπώς να ορισ θεί ολικά, μόνο σ ε μια μιγαδική πολλαπλότητα. Ετσ ι, ο τανυσ τής J προσ διορίζει πλήρως την μιγαδική δομή. Εκτείνοντας την σ χεδόν-μιγαδική δομή σ τον χώρο T C,p M, έχουμε J p X + iy J p X + ij p Y. 1.20 Από την σ χέσ η 1.15, έχουμε ότι J p zi = i zi, και J p zi = i zi, όπου zi / z i, επομένως προκύπτει μια έκφρασ η για το J p ως προς τις ολομορφικές και αντιολομορφικές βάσ εις της μορφής J p = idz i z i id zi z i 1.21 με σ υνισ τώσ ες J p = diag ii m, ii m. Αν Z T C,p M διάνυσ μα της μορφής Z = Z i Z, τότε το i Z είναι ιδιοδιάνυσ μα του J p, αφού J p Z = iz, και ομοίως για το Z. Άρα, ο χώρος T C,p M χωρίζεται σ ε δύο ξένους κενής τομής διανυσ ματικούς χώρους T ± C,pM, όπως είδαμε και προηγουμένως 1.11, ως T C,p M = T p + M Tp M, όπου T ± p M = {Z T C,p M J p Z = ±iz}. 1.22 Ορίζοντας τους προβολικούς τελεσ τές P ± : T C,p M T ± p M ως P ± = 1 2 I 2m ij p, 1.23 έχουμε ότι J p P ± Z = 1 2 Jp ijp 2 Z = ±ip ± Z, Z T C,p M. Συνεπώς, Z ± P ± Z T p ± M. Το Z T C,p M αναλύεται με μοναδικό τρόπο ως Z = Z + + Z, με Z ± T p ± M. Ολοκληρώσ ιμη Μιγαδική Δομή Αν μια σ χεδόν-μιγαδική δομή επάγεται από μια ολομορφική δομή, τότε αυτή λέγεται ολοκληρώσ ιμη. Συνεπώς, μια σ χεδόν-μιγαδική πολλαπλότητα εφοδιασ μένη με μια ολοκληρώσ ιμη μιγαδική δομή, είναι μιγαδική πολλαπλότητα. Επιπλέον, ισ χύει το ακόλουθο Θεώρημα Newlander-Nirenberg [17]: Θεώρημα. Εσ τω M, J μια σ χεδόν-μιγαδική πολλαπλότητα. Τότε, οι ακόλουθες προτάσ εις είναι ισ οδύναμες: i Η σ χεδόν μιγαδική δομή J είναι ολοκληρώσ ιμη. ii iii τανυσ τής Nijenhuis N J X, Y = 1 4 [X, Y ] + J [X, JY ] + J [JX, Y ] [JX, JY ] 2 T M T M μηδενίζεται για οποιαδήποτε διανυσ ματικά πεδία X, Y σ την M. 1.24 Η αγκύλη Lie [X, Y ] είναι κλεισ τή σ τους χώρους T + p M και T p M, δηλαδή αν X, Y T + p M, τότε [X, Y ] T + p M, και ομοίως, αν X, Y T p M, τότε [X, Y ] T p M. Βλέπε [17] για απόδειξη. Σημείωση. Ο τανυσ τής Nijenhuis, όταν είναι μη-μηδενικός, αποτελεί έμφραξη 9 για την προέλευσ η 9 Εμπόδιο obstruction. 23

1.2 Μιγαδικές Πολλαπλότητες μιας σ χεδόν-μιγαδικής δομής από την μιγαδική δομή. 1.2.6 Μιγαδικές διαφορικές μορφές 1.2.6.1 Μιγαδικοποίησ η των πραγματικών διαφορικών μορφών Εσ τω M διαφορίσ ιμη πολλαπλότητα διάσ τασ ης m. Λαμβάνοντας δύο q-μορφές ω, n Ω q p M σ το σ ημείο p M, μπορούμε να ορίσ ουμε μια μιγαδική q-μορφή ζ = ω +in, όπου ζ Ω q C,p M ο χώρος των μιγαδικών q-μορφών σ το σ ημείο p M, με Ω q p M Ω q C,p M, ενώ το σ ύνολο των q-μορφών της M είναι το Ωq C M. Ακολουθώντας την σ υνήθη διαδικασ ία μιγαδικοποίησ ης, έχουμε την μιγαδικά σ υζυγή της ζ, που είναι η q-μορφή ζ = ω in. Η σ υνθήκη για να είναι αυτή η q-μορφή πραγματική σ υνθήκη πραγματικότητας, είναι η σ υνήθης ζ = ζ. Μια μιγαδική q-μορφή αναλύεται, σ ε σ υμφωνία με τα προηγούμενα, κατά μοναδικό τρόπο ως ζ = ω + in. Το εξωτερικό γινόμενο δύο q-μορφών ζ = ω +in και ξ = ϕ+iψ, με ζ, ξ Ω q C,p M, ω, n, ϕ, ψ Ω q p M, ορίζεται ως ζ ξ = ω ϕ n ψ + i ω ψ + n ϕ, ενώ η εξωτερική παράγωγος d βλ. [18] δρα σ την ζ ως dζ = dω + idn, ενώ είναι πραγματικός τελεσ τής. Επιπλέον, όπως και σ την περίπτωσ η των σ υνήθων πραγματικών μορφών, ισ χύει ότι ω ξ = 1 q r ξ ω, και d ω ξ = dω ξ + 1 q ω dξ, για ω Ω q C M και ξ Ωr C M. 1.2.6.2 Μιγαδικές διαφορικές μορφές Περιοριζόμενοι σ ε μιγαδικές πολλαπλότητες, που έχουν την ιδιότητα T p M = T + p M T p M, έχουμε: Ορισμός 1.13. Εσ τω M μιγαδική πολλαπλότητα, με dim C M = m, ω Ω q C,p M με p M και q 2m, και r, s θετικοί ακέραιοι τέτοιοι ώσ τε r + s = q. Επιπλέον, θεωρούμε V i T C,p M με 1 i q διανυσ ματικά πεδία που ανήκουν είτε σ τον T p + M, είτε σ τον Tp M. Αν ω V 1,..., V q = 0 εκτός αν r εκ των V i ανήκουν σ τον T p + M, και s εκ των V i ανήκουν σ τον Tp M, η ω έχει δι-βαθμό bidegree r, s, ή ισ οδύναμα, είναι μια r, s-μορφή. Το σ ύνολο των r, s-μορφών σ το σ ημείο p M είναι το Ω r,s p M, ενώ αν μια r, s-μορφή ανατεθεί λεία σ ε κάθε σ ημείο της πολλαπλότητας M, έχουμε μια r, s-μορφή επί της πολλαπλότητας M ολικά. Το σ ύνολο των r, s-μορφών σ ε όλη την πολλαπλότητα M είναι το Ω r,s M. Σε έναν χάρτη U, ϕ με μιγαδικές σ υντεταγμένες ϕ p = z µ, θεωρώντας ως βάσ η των χώρων T p ± M και των αντίσ τοιχων δυϊκών αυτές της υποενότητας 1.2.3, παρατηρούμε ότι η dz µ είναι 1, 0-μορφή, αφού dz µ, / z ν = 0, και η d z µ είναι 0, 1-μορφή. Ως προς τις βάσ εις αυτές, μια r, s-μορφή ω γράφεται ως ω = 1 r!s! ω µ 1...µ rν 1...ν s dz µ1... dz µr d z v1... d z vs, 1.25 όπου το σ ύνολο {dz µ1... dz µr d z v1... d z vs } αποτελεί την βάσ η του Ω r,s p M, και οι σ υντελεσ τές είναι πλήρως αντισ υμμετρικοί ως προς µ και ν. Επιπλέον, ισ χύουν τα εξής [24]: i ii iii Αν ω Ω q,r M, τότε ω Ω r,q M. Αν ω Ω q,r M και ξ Ω q,r M, τότε ω ξ Ω q+q,r+r M. Μια μιγαδική q-μορφή ω γράφεται με μοναδικό τρόπο ως ω = ω r,s, 1.26 r+s=q όπου ω r,s Ω r,s M, από όπου λαμβάνουμε ότι Ω q C M = Ω r,s M. 1.27 r+s=q 24

1.2 Μιγαδικές Πολλαπλότητες 1.2.7 Εξωτερική παράγωγος και τελεσ τές Dolbeault Η εξωτερική παράγωγος d αντισ τοιχεί μια r, s-μορφή σ ε μια μορφή που είναι το άθροισ μα μιας r + 1, s-μορφής και μιας r, s + 1-μορφής. Από την 1.25, λαμβάνουμε ότι: dω = 1 r!s! z λ ω µ 1...µ r ν 1... ν s dz λ + z λ ω µ 1...µ r ν 1... ν s d z λ dz µ1... dz µr d z v1... d z vs. 1.28 Η δράσ η του τελεσ τή d διαχωρίζεται ως προς τους προορισ μούς της, ως d = +, όπου : Ω r,s M Ω r+1,s M, και : Ω r,s M Ω r,s+1 M. Οι τελεσ τές και καλούνται τελεσ τές Dolbeault. Μια r-μορφή που ικανοποιεί την σ χέσ η ω = 0 λέγεται ολομορφική r-μορφή. Οι ολομορφικές 0-μορφές είναι οι ολομορφικές σ υναρτήσ εις f F C U, U M. Οι τελεσ τές Dolbeault ικανοποιούν την σ χέσ η 2 = 2 = 0 μηδενοδύναμος, και ως εκ τούτου, είναι δυνατή η κατασ κευή των ομάδων σ υνομολογίας Dolbeault. Ειδικότερα, αν dim C M = m, η ακολουθία των C-γραμμικών απεικονίσ εων Ω r,0 M Ω r,1 M Ω r,2 M... Ω r,m 1 M Ω r,m M 1.29 ορίζει { το σ ύμπλοκο Dolbeault. Επιπλέον, εφόσ ον 2 = 0, το σ ύνολο των -κλεισ τών r, s-μορφών ω Ω r,s M ω = 0 } λέγεται r, s-cocycle, και σ υμβολίζεται ως Z r,s M. Αντίσ τοιχα, το σ ύνολο των r, s-μορφών, οι οποίες είναι -ακριβείς, { ω Ω r,s M ω = u, για κάποιο u Ω r,s 1 M }, λέγεται r, s-coboundary και σ υμβολίζεται ως B r,s M. Ορισμός 1.14. Ο μιγαδικός διανυσ ματικός χώρος H r,s M Zr,s αποτελεί την r, s-οσ τή -ομάδα σ υνομολογίας. M /Br,s M 1.30 1.2.8 Ερμητιανή δομή 1.2.8.1 Ερμητιανή μετρική και εσ ωτερικό γινόμενο Ορισμός 1.15. Αν μια Riemannian μετρική g σ ε μια μιγαδική πολλαπλότητα M, με dim C M = m, ικανοποιεί την σ χέσ η g p J p X, J p Y = g p X, Y, X, Y T p M, p M, 1.31 τότε η g καλείται Ερμητιανή μετρική, και η M, g Ερμητιανή πολλαπλότητα. Το διάνυσ μα J p X είναι ορθογώνιο σ το X ως προς μια Ερμητιανή μετρική, g p J p X, X = g p J 2 p X, J p X = g p J p X, X = 0. 1.32 Ο ίδιος ορισ μός εφαρμόζεται και αν θεωρήσ ουμε το g ως εσ ωτερικό γινόμενο σ ε έναν μιγαδικό διανυσ ματικό χώρο, ορίζοντας το Ερμητιανό εσ ωτερικό γινόμενο. Κάθε μετρική και κάθε εσ ωτερικό γινόμενο g μπορεί να μετατραπεί σ ε Ερμητιανή, ορίζοντας g p = 1 2 g p X, Y + g p J p X, J p Y, 1.33 η οποία ικανοποιεί την σ υνθήκη Ερμητιανότητας 1.31, και είναι θετικά ορισ μένη εφόσ ον είναι και η g, που σ ημαίνει ότι μια μιγαδική πολλαπλότητα επιδέχεται πάντα Ερμητιανή μετρική. 25

1.2 Μιγαδικές Πολλαπλότητες Οταν θεωρούμε μια λεία πολλαπλότητα M ως μιγαδική πολλαπλότητα μέσ ω μιας ολοκληρώσ ιμης σ χεδόν-μιγαδικής δομής, μπορούμε να επεκτείνουμε την Riemannian μετρική g σ ε μια απεικόνισ η g p : T C,p M T C,p M C ως εξής: g p : X + iy, U + iv g p X, U g p Y, V + i g p X, V g p Y, U. 1.34 Η μετρική g p που λαμβάνεται με αυτόν { } τον τρόπο { } ικανοποιεί την σ χέσ η 1.31, και είναι μια Ερμητιανή μετρική. Τοπικά, για τις βάσ εις z i και z i των χώρων T p + M και Tp M, αντίσ τοιχα, έχουμε: g ik = gī j=0, και g = g i jdz i d z j + gīj d z i dz j. 1.35 Ερμητιανή δομή Κάθε Ερμητιανό εσ ωτερικό γινόμενο g μπορεί να επεκταθεί με μοναδικό τρόπο σ ε μια Ερμητιανή δομή h, η οποία είναι μια απεικόνισ η h : V V C, για διανυσ ματικό χώρο V, και ικανοποιεί τις εξής σ υνθήκες: i Η h u, v είναι C-γραμμική ως προς v u V, ii h u, v = h v, u u, v V, iii h u, v 0 u, v V, και h u, u = 0 u = 0. Επιπλέον, για Ερμητιανές δομές σ ε σ χεδόν-μιγαδικές πολλαπλότητες, έσ τω M, απαιτούμε η h να λογίζεται ως η απεικόνισ η M : Γ T M Γ T M F M που αντισ τοιχεί κάθε ζεύγος λείων τμημάτων τομών της M σ ε λείες σ υναρτήσ εις σ την M. 1.2.8.2 Μορφή Kähler Ορισμός 1.16. Εσ τω M, g Ερμητιανή πολλαπλότητα, με dim C M = m. Ορίζουμε ένα τανυσ τικό πεδίο τύπου 1, 1, του οποίου η δράσ η σ τα X, Y T p M με p M είναι: Ω p X, Y = g p J p X, Y, X, Y T p M. 1.36 Εφόσ ονω X, Y = g JX, Y = g J 2 X, JY = g JY, X = Ω Y, X, το τανυσ τικό πεδίο Ω είναι αντισ υμμετρικό ως προς την εναλλαγή των X, Y, και,ως εκ τούτου, ορίζει την 2-μορφή Kähler της Ερμητιανής μετρικής g. Η Ω προκύπτει ότι είναι αναλλοίωτη υπό την δράσ η του J, καθώς Ω JX, JY = g J 2 X, JY = g J 3 X, J 2 Y = Ω X, Y. Στον χώρο T C,p M, η Ω είναι μια 1, 1-μορφή, καθώς, για την μετρική 1.35, έχουμε, σ ε αναλογία με τα προηγούμενα, Ω i, j = g J i, j = ig ij = 0, όπου i = / z i και ī = / z i. Ακόμα, λαμβάνουμε ότι Ω ī, j = 0, και Ω i, j = Ω j, i = igi j, επομένως, οι σ υνισ τώσ ες του Ω είναι οι εξής 10 : Ισ οδύναμα, Επίσ ης, αν J i j = g i kj k j H Ω είναι πραγματική μορφή, αφού Ω ij = Ωī j = 0, Ω i j = Ω ji = ig i j. 1.37 Ω = ig i jdz i d z j ig jid z j dz i = ig i jdz i d z j. 1.38 = ig i j, τότε η 1.38 γράφεται ως Ω = J i jdz i d z j. 1.39 Ω = ig i jd z i dz j = ig jī dz j d z i = Ω. Επιπλέον, η } Ω {{... Ω } m Ω είναι μια μη-μηδενική, πραγματική 2m-μορφή, η οποία μπορεί να m ϕορές χρησ ιμοποιηθεί ως σ τοιχείο όγκου βλ. 1.14, αποδεικνύοντας ότι κάθε Ερμητιανή πολλαπλότητα είναι προσ ανατολίσ ιμη. 10 Προς το παρόν οι σ υμβολισ μοί των δεικτών θεωρούνται αυθαίρετοι, και κατά περίσ τασ η εναλλάσ σ ουμε i, j,... µ, ν,... για καθαρότητα σ τις εκφράσ εις, δίχως να λογίζεται αλλαγή σ το υποδηλώμενο μαθηματικό πλαίσ ιο. Σε επόμενες ενότητες, ωσ τόσ ο, η σ υμβολική διάκρισ η των δεικτών θα παγιωθεί, καταδεικνύοντας σ υγκεκριμένες αλλαγές πλαισ ίου. 26

1.2 Μιγαδικές Πολλαπλότητες 1.2.8.3 Συναλλοίωτη παράγωγος και σ ύνδεσ η Σε μια Ερμητιανή πολλαπλότητα M, g μπορεί να ορισ θεί μια σ ύνδεσ η, η οποία να είναι σ υμβατή με την μιγαδική δομή, χρησ ιμοποιώντας την παράλληλη μεταφορά ενός ολομορφικού διανύσ ματος V T + p M από ένα σ ημείο p M σ ε ένα σ ημείο q M. Υποθέτουμε ότι μετά την παράλληλη μεταφορά του V σ το q, το διάνυσ μα Ṽ q T + q M εξακολουθεί να είναι ολομορφικό. Εσ τω {z a } και {z a + z a } σ υντεταγμένες των σ ημείων p και q, αντίσ τοιχα, και έσ τω V = V a / z a p και Ṽ q = Ṽ a z + z / z a q. Υποθέτοντας ότι τότε η βάσ η θα ικανοποιεί την σ χέσ η [18, 24] Ṽ a z + z = V a z V c z Γ a bc z z b, 1.40 a και για το μιγαδικά σ υζυγές, αντίσ τοιχα την σ χέσ η z b = Γc ab z z c, 1.41 ā z b = Γ c ā b z c, 1.42 όπου Γ c ā b = Γc ab. Οι μόνοι μη μηδενικοί σ υντελεσ τές της σ ύνδεσ ης είναι οι Γc ab και Γ c ā b, ενώ, επιπλέον, παρατηρούμε ότι a / z b = ā / z b. Στην δυϊκή βάσ η, οι αντίσ τοιχες μη μηδενικές σ υναλλοίωτες παράγωγοι είναι οι a dz b = Γ b acdz c, και ād z b = Γ bā c d z c. 1.43 Η σ υναλλοίωτη παράγωγος του X + = X a a X M +, με a / z a προκύπτει να είναι η a X + = a X c + X b Γab c z, ενώ για το X = c Xā ā X M, με ā / z a είναι η a X = a X c z, αφού Γ c c ab = Γ c = 0. a b Οσ ον αφορά τα αντι-ολομορφικά διανύσ ματα, η a δρα κατά τον τρόπο της σ υνήθους παραγώγου a, και σ υνεπώς, έχουμε āx + = āx c z c, āx = āx c + X bγ c ā b z c. Σε αντισ τοιχία με τις πραγματικές πολλαπλότητες, απαιτούμε την σ υνθήκη της μετρικής σ υμβατότητας, η οποία είναι της μορφής k g a b = kg a b = 0, ή, σ ε σ υντεταγμένες από όπου προκύπτει ότι k g a b g c bγ c ka = 0, kg a b g a c Γ c kā = 0, 1.44 Γ c ka = g bc k g a b, Γ c k b = g ca kg a b, 1.45 όπου g a c g cb = δ b a, και g bc g cā = δ bā. Μια μετρικά σ υμβατή σ ύνδεσ η για την οποία Γ μικτοί δείκτες = 0 καλείται Ερμητιανή σ ύνδεσ η, δίνεται από τις σ χέσ εις 1.45, και είναι εκ κατασ κευής μοναδική. Λήμμα 1.17. Η σ χεδόν-μιγαδική δομή J είναι σ υναλλοίωτα σ ταθερή ως προς μια Ερμητιανή σ ύνδεσ η, δηλαδή k J a b = k Ja b = kjā b = kjā b = 0. 1.46 Απόδειξη. Από την σ χέσ η ορισ μού 1.21, έχουμε ότι k J a b = kiδb a iδa c Γ c kb + iδc b Γa kc = 0. Οι υπόλοιπες ισ ότητες προκύπτουν ομοίως. 27

1.2 Μιγαδικές Πολλαπλότητες 1.2.9 Πολλαπλότητες Kähler Ορισμός 1.18. Μια πολλαπλότητα Kähler είναι μια Ερμητιανή πολλαπλότητα M, g, σ την οποία ισ χύει μία από τις ακόλουθες ισ οδύναμες προτάσ εις: i Η μορφή Kähler Ω της g ικανοποιεί τη σ χέσ η dω = 0. ii Η μορφή Kähler Ω της g ικανοποιεί τη σ χέσ η a Ω = 0. iii Η σ χεδόν-μιγαδική δομή J ικανοποιεί τη σ χέσ η a J = 0, όπου a η σ ύνδεσ η Levi- Civita της μετρικής g. Η μετρική g τότε λέγεται Kähler μετρική της πολλαπλότητας Kähler M, g. Σημείωση. Δεν επιδέχονται μετρικές Kähler όλες οι μιγαδικές πολλαπλότητες. Σε μια πολλαπλότητα Kähler M, g με μορφή Kähler Ω. Από την εξίσ ωσ η dω = + ig a bdz a d z b = 0, λαμβάνουμε τις σ χέσ εις g a b z c = g c b z a, g a b z c = g c b z a, 1.47 επομένως, τοπικά σ ε έναν χάρτη U i, μπορούμε να ορίσ ουμε μια πραγματική σ υνάρτησ η K i F U i τέτοια ώσ τε g a b = a bk i, και Ω = i K i. 1.48 Η σ υνάρτησ η αυτή καλείται δυναμικό Kähler της g. Κάθε μετρική Kähler εκφράζεται τοπικά ως 1.48, ενώ αντίσ τροφα, αν μια μετρική προέρχεται από ένα δυναμικό Kähler, τότε ικανοποιεί τις εξισ ώσ εις 1.47. Note. Οποιαδήποτε προσ ανατολίσ ιμη μιγαδική πολλαπλότητα M με dim C M = 1 είναι πολλαπλότητα Kähler [24]. Προβολικοί χώροι ως πολλαπλότητες Kähler Ο μιγαδικός προβολικός χώρος CP} n ικανοποιεί τον Ορισ μό 1.18, και ως εκ τούτου είναι πολλαπλότητα Kähler. Εσ τω {z ν } και {ζ νι p ομογενείς και μη ομογενείς σ υντεταγμένες σ τον χάρτη U i, ϕ i M, με p U i, ϕ i όπου 1 ν n, i ν. Θεωρούμε μια θετικά ορισ μένη σ υνάρτησ η, η οποία ορίζεται ως n+1 K a p z ν 2 z a ν=1 = n ν=1 ζ ν a 2 + 1. 1.49 Για σ ημείο p U a U b, οι K a p και K b p σ χετίζονται μεταξύ τους μέσ ω της σ χέσ ης από όπου έπεται ότι K a p = K b p 1.50 z b 2 z a log K a = log K b + log zb zb + log za z a. 1.51 Ομως, εφόσ ον η z b /z a είναι ολομορφική σ υνάρτησ η, έχουμε ότι log z b /z a = 0, και επιπλέον, log z b /z a = log z b /z a = 0, από όπου προκύπτει ότι log K a = log K b. 1.52 28

1.2 Μιγαδικές Πολλαπλότητες Τοπικά, μπορούμε να ορίσ ουμε μια κλεισ τή 2-μορφή Ω ως Ω i log K a. 1.53 Τότε, υπάρχει Ερμητιανή μετρική, η μορφή Kähler της οποίας να είναι η Ω. Πράγματι, έσ τω v, w T C,p CP n και g : T p CP n T p CP n R, η οποία ορίζεται ως g v, w = Ω v, Jw. Για να είναι Ερμητιανή η g πρέπει να ικανοποιεί την σ χέσ η 1.31 και να είναι θετικά ορισ μένη. Εφόσ ον g Jv, Jw = Ω Jv, w = Ω w, Jv = g v, w, η g είναι Ερμητιανή. Οσ ον αφορά την θετικότητα, παρατηρούμε ότι η 1.53, σ ε έναν χάρτη U a, ϕ a γράφεται ισ οδύναμα ως Ω = i 2 log K a ζ µ ζ ν ζµ ζ ν. 1.54 Αντικαθισ τώντας την έκφρασ η 1.49 για το K a, λαμβάνουμε ότι Ω = i δ µν λ ζ λ 2 + 1 ζ µ ζ ν 2 ζ µ,ν λ ζλ 2 + 1 µ ζ ν. 1.55 Αν το V είναι πραγματικό διάνυσ μα, με V = V µ / ζ µ + V µ / ζ µ, και JV = iv µ / ζ µ i V µ / ζ µ, τότε, έχουμε ότι g V, V = Ω V, JV = 2 µ,ν δ µν λ ζ λ 2 + 1 ζ µ ζ ν 2 V λ ζλ 2 + 1 µ V ν = µ V µ 2 λ ζ λ 2 + 1 µ V µ J µ 2 = 2 2, λ ζλ 2 + 1 από όπου, χρησ ιμοποιώντας την ανισ ότητα Schwarz µ V µ 2 λ ζ λ 2 µ V µ ζ µ 2, προκύπτει ότι η μετρική g είναι θετικά ορισ μένη. Ετσ ι, Ορισμός 1.19. Η μετρική g : T p CP n T p CP n R, η οποία ορίζεται ως καλείται μετρική Fubini Study του χώρου CP n. g v, w = Ω v, Jw 1.56 Σημείωση. Αξίζει να σ ημειωθεί ότι η S 2 είναι η μόνη σ φαίρα που επιδέχεται μιγαδική δομή, ενώ εφόσ ον S 2 = CP 1, είναι πολλαπλότητα Kähler. Επιπλέον, το γινόμενο δύο σ φαιρικών χώρων περιττής διάσ τασ ης, S 2m+1 S 2n+1, επιδέχεται πάντα μιγαδική δομή, αλλά όχι μετρική Kähler [24]. Διαφορική γεωμετρία σ ε πολλαπλότητες Kähler Λαμβάνοντας υπόψιν τις εξισ ώσ εις 1.47 για μια μετρική Kähler g σ ε μια πολλαπλότητα Kähler M, g με δυναμικό Kähler K, η μετρική Kähler ορίζει μια σ ύνδεσ η παρόμοια με την σ ύνδεσ η Levi-Civita, οι σ υνισ τώσ ες της οποίας απλοποιούνται σ ημαντικά. Οπως και σ την σ υνήθη Riemannian γεωμετρία σ ε πραγματικές πολλαπλότητες [18, 24], εισ άγουμε τα σ ύμβολα Christoffel ως Γ i jk = 1 2 gil j g lk + k g lj l g jk, 1.57 29

1.2 Μιγαδικές Πολλαπλότητες όπου a / x a. Σε μιγαδικές σ υντεταγμένες, και χρησ ιμοποιώντας τις σ χέσ εις 1.47, παρατηρούμε ότι οι μόνες μη μηδενικές σ υνισ τώσ ες των σ υντελεσ τών σ ύνδεσ ης είναι οι Γ l jk = g l s g k s z j, Γ l j k = g ls g ks z j. 1.58 Οι σ υνδέσ εις αυτής της μορφής, που είναι σ υμβατές με την μετρική εφόσ ον ικανοποιούν την k g i j = kg i j = 0, καλούνται Ερμητιανές σ υνδέσ εις. Οι τανυσ τές σ τρέψης και καμπυλότητας, ορίζονται αντίσ τοιχα, όπως και σ τις πραγματικές πολλαπλότητες, ως T X, Y = X Y Y X [X, Y ] και R X, Y Z = X Y Z Y X Z [X,Y ] Z. Λόγω των εξισ ώσ εων 1.47, για τον τανυσ τή σ τρέψης έχουμε ότι T i jk = g li j g k l k g j l = 0, T ī j k = gīl jg kl kg jl = 0. 1.59 Ακόμα, παρατηρούμε ότι ο τανυσ τής Riemann έχει μια επιπλέον σ υμμετρία, καθώς προκύπτει ότι μαζί με τις υπόλοιπες σ υμμετρίες του R k lm n = n g ck m g l c = n g ck l g m c = R k ml n, 1.60 R k l mn = R k m ln, Rk l mn = R k n ml, R k ln m = R k nm l. 1.61 Μορφή Ricci Σε μια πολλαπλότητα Kähler, έχοντας τον τανυσ τή Riemann, λαμβάνουμε τον τανυσ τή Ricci R Ric με τον σ υνήθη τρόπο [18]. Εχοντας τον τανυσ τή Ricci, μπορούμε να ορίσ ουμε την μορφή Ricci R, ως R X, Y := R JX, Y 1.62 με σ τοιχεία R = ir ab dz a d z b. 1.63 Σε μια πολλαπλότητα Kähler με μετρική g, ο τανυσ τής Ricci, κατόπιν contraction του τανυσ τή Riemann, γράφεται ως R m n = R k km n = n g k c m g k c = n m log G, 1.64 όπου G deg g m n = g. Επομένως, η μορφή Ricci λαμβάνει την μορφή R = i logg. 1.65 Η μορφή R είναι πραγματική, αφού R = i logg = i logg = R. Επιπλέον, η R είναι κλεισ τή μορφή, καθώς, αφού = 1 2 d, έχουμε ότι dr d 2 log G = 0, χωρίς ωσ τόσ ο να είναι και ακριβής μορφή το G δεν είναι βαθμωτό, και η ποσ ότητα log G δεν ορίζεται ολικά. Σημείωση. Οπως θα δούμε παρακάτω, η κλάσ η σ υνομολογίας του R ισ ούται με την πρώτη κλάσ η Chern της κάθετης normal δέσ μης της M, καθώς ορίζει ένα μη τετριμμένο σ τοιχείο c 1 M R/2π H 2 M; R που ταυτίζεται με την πρώτη κλάσ η Chern. Μια πολλαπλότητα με μηδενική μορφή Ricci λέγεται επίπεδη κατά Ricci Ricci-flat, ενώ, αν είναι επιπλέον και πολλαπλότητα Kähler, λέγεται πολλαπλότητα Calabi-Yau, η οποία ισ οδύναμα λογίζεται και ως μια σ υμπαγής πολλαπλότητα Kähler με μηδενική πρώτη κλάσ η Chern. Συνοψίζοντας, έχουμε το ακόλουθο Θεώρημα: Θεώρημα 1.20. Εσ τω M, g πολλαπλότητα Kähler. Αν η M επιδέχεται μια επίπεδη κατά Ricci μετρική h, τότε η πρώτη κλάσ η Chern αυτής μηδενίζεται. Απόδειξη. Από την υπόθεσ η ότι R = 0 για την h, έχουμε R g R h = R g = dω, σ υνεπώς c 1 M g = c 1 M h = 0. 30

1.3 Νηματικές Δέσ μες Πολλαπλότητες υπερ-kähler Μια υπερ-kähler πολλαπλότητα είναι μια Riemannian πολλαπλότητα με τρεις δομές Kähler, έσ τω I, J, K οι οποίες ικανοποιούν την σ χέσ η IJK = 1. Ισ οδύναμα, μια υπερ-kähler πολλαπλότητα μπορεί να ορισ θεί ως μια Riemannian πολλαπλότητα, η ομάδα ολονομίας της οποίας θα περιέχεται σ το SP m, που είναι η ομάδα των m m quaternionic unitary πινάκων,με m = 1 2 dim C M. 1.3 Νηματικές Δέσμες Στην υποενότητα αυτή θα μελετήσ ουμε την έννοια των δεσ μών μιας πολλαπλότητας, και κατά βάσ η αυτές της διανυσ ματικής και της κύριας δέσ μης, οι οποίες σ υνδέουν την ολική γεωμετρία μιας πολλαπλότητας με την ανάλυσ η, δηλαδή με διανυσ ματικά πεδία, και άλλα αντικείμενα πάνω σ ε αυτές. Μια νηματική δέσ μη fibre bundle, σ ε πρώτη προσ έγγισ η, αποτελεί έναν τοπολογικό χώρο, ο οποίος προκύπτει από το ευθύ γινόμενο δύο τοπολογικών χώρων. Σε ένα διαφορετικό επίπεδο θεώρησ ης, μπορούμε, ισ οδύναμα, να θεωρήσ ουμε ότι το νήμα μιας τέτοιας δέσ μης αποτελείται από μια σ υλλογή πολλών δομών πραγματικών ή μιγαδικών αριθμών, και δομών διανυσ ματικών πεδίων. Η μελέτη και η χρήσ η των νηματικών δεσ μών μιας πολλαπλότητας αποτελεί ένα ιδιαίτερα ισ χυρό και χρήσ ιμο εργαλείο για την γεωμετρική περιγραφή των θεωριών πεδίων βαθμίδας, και της μελέτης της θεωρίας twistor. 1.3.1 Εφαπτόμενες δέσ μες Ορισμός 1.21. Μια εφαπτόμενη δέσ μη T M σ ε μια m-διάσ τατη πολλαπλότητα M ορίζεται ως η ένωσ η όλων των εφαπτόμενων χώρων της M, T M := T p M. 1.66 p M Η πολλαπλότητα M επί της οποίας ορίζεται η T M αποτελεί τον βασ ικό χώρο ή χώρο-βάσ η. Αν θεωρήσ ουμε ένα ανοικτό κάλυμμα {U i } της M με σ υντεταγμένες x µ = ϕ i p σ το U i, τότε ένα οποιοδήποτε σ τοιχείο του σ υνόλου T U i p U i T p M καθορίζεται από ένα σ ημείο p M και ένα διάνυσ μα V = V µ p / x µ p T p M. Παρατηρούμε ότι το U i είναι ομοιομορφικό με ένα ανοικτό υποσ ύνολο ϕ U i R m, και κάθε T p M είναι επίσ ης ομοιομορφικό με τον R m, άρα το T U i μπορεί να θεωρηθεί ότι ταυτίζεται με το ευθύ γινόμενο R m R m. Αν p, V T U i, τότε η ταύτισ η αυτή εκφράζεται ως p, V x µ p, V µ p, σ υνεπώς, ο T U i είναι μια 2m-διάσ τατη διαφορίσ ιμη πολλαπλότητα. Επιπλέον, παρατηρούμε ότι ο T U i μπορεί να αναλυθεί ως το ευθύ γινόμενο U i R m. Ετσ ι, για κάθε σ τοιχείο u T U i, θεωρούμε την έννοια της προβολής 11 π : T U i U i. Για οποιοδήποτε σ ημείο u T U i, η π u είναι ένα σ ημείο p U i, σ το οποίο ορίζεται το διάνυσ μα 12. Ακόμα, παρατηρούμε ότι π 1 p = T p M. Στο πλαίσ ιο αυτό, ο T p M λέγεται δέσ μη σ το p. Εκ κατασ κευής, αν M = R m, η εφαπτόμενη δέσ μη μπορεί να εκφρασ θεί ως R m R m. Ωσ τόσ ο, αυτό δεν ισ χύει πάντα, και η μη τετριμμένη δομή της εφαπτόμενης δέσ μης αποτελεί μέτρο της μη τετριμμένης τοπολογίας της M. Αν U j χάρτης της M τέτοιος ώσ τε U i U j με σ υντεταγμένες y µ = ψ p, και V T p M, με p U i U j, τότε το V έχει δύο αναπαρασ τάσ εις σ ε σ υντεταγμένες: V = V µ x µ = Ṽ µ p y µ, Ṽ µ = yν x µ V µ. 1.67 Για να είναι καλώς ορισ μένα τα σ υσ τήματα σ υντεταγμένων {x µ } και {y ν }, πρέπει ο πίνακας G µ ν y ν x µ να μην φέρει μοναδικότητες, δηλαδή G µ ν p GL m, R. Κατά σ υνέπεια, υπό οποιαδήποτε 11 Αντισ τοιχεί σ τον τρόπο ανάλυσ ης της πληροφορίας που περιέχει το u και της αντισ τοίχισ ής της σ ε ένα σ ημείο p M και ένα διάνυσ μα V T pm. 12 Η πληροφορία για το διάνυσ μα χάνεται κατά την προβολή. 31

1.3 Νηματικές Δέσ μες αλλαγή σ υσ τήματος σ υντεταγμένων, οι σ υντεταγμένες της νηματικής δέσ μης περισ τρέφονται κατά ένα σ τοιχείο του GL m, R. Η ομάδα GL m, R καλείται δομική ομάδα της T M. Η προβολή π μπορεί να ορισ θεί ολικά globally σ την M, καθώς το π u = p δεν εξαρτάται από σ ύσ τημα σ υντεταγμένων. Συνεπώς, η π : T M M ορίζεται ολικά επί της M, ανεξάρτητα από τοπικούς χάρτες. Αν X X M διανυσ ματικό πεδίο σ την M το X αναθέτει ένα διάνυσ μα X p T p M σ ε κάθε σ ημείο p M, τότε αυτό μπορεί να θεωρηθεί ως μια λεία απεικόνισ η M T M, καθώς ένα οποιοδήποτε σ ημείο p πρέπει να απεικονίζεται σ ε ένα σ ημείο u T M έτσ ι ώσ τε π u = p. Η τομή section της T M ορίζεται ως η λεία απεικόνισ η s : M T M, ώσ τε π s = Id M. Αν η απεικόνισ η αυτή ορίζεται μόνο τοπικά σ ε έναν χάρτη ως s i : U i T U i, τότε καλείται τοπική τομή. 1.3.2 Γενικός ορισ μός νηματικών δεσ μών Ορισμός 1.22. Μια διαφορίσ ιμη νηματική δέσ μη E, π, M, F, G αποτελείται από τα εξής σ τοιχεία: 1. Μια διαφορίσ ιμη πολλαπλότητα E που αντισ τοιχεί σ τον ολικό χώρο total space. 2. Μια διαφορίσ ιμη πολλαπλότητα M που αντισ τοιχεί σ τον βασ ικό χώρο base space. 3. Μια διαφορίσ ιμη πολλαπλότητα F που αντισ τοιχεί σ το νήμα fibre. 4. Μια επί απεικόνισ η π : E M που καλείται προβολή, με την αντίσ τροφη εικόνα της οποίας να αντισ τοιχεί σ το νήμα σ το p, δηλαδή π 1 p = F p = F. 5. Μια ομάδα Lie G που λέγεται δομική ομάδα structure group και δρα σ την F από αρισ τερά. 6. Ενα σ ύνολο ανοικτών καλυμμάτων {U i }της M με έναν διαφορομορφισ μό φ i : U i F π 1 U i τέτοιον ώσ τε π φ i p, f = p. Η απεικόνισ η φ i είναι αυτή που δείχνει αν η τοπολογία της F είναι τετριμμένη, και καλείται τοπική τετριμμενοποίησ η local trivilization, αφού η φ 1 i απεικονίζει την π 1 U i επί 13 του καρτεσ ιανού γινομένου U i F. 7. Αν φ i p, f φ i,p f, η απεικόνισ η φ i,p : F F p είναι διαφορομορφισ μός. Στην U i U j απαιτούμε η t ij p φ 1 i,p φ j,p : F F να είναι σ τοιχείο της G. Τότε, οι φ i και φ j σ υνδέονται με μια λεία απεικόνισ η t ij : U i U j G ως Οι απεικονίσ εις t ij καλούνται σ υναρτήσ εις μετάβασ ης. φ j p, f = φ i p, t ij p f. 1.68 Οι σ υναρτήσ εις μετάβασ ης πρέπει να ικανοποιούν τις εξής σ υνθήκες σ υνέπειας: t ii p = Id, p U i 1.69a t ij p = t ji p 1, p U i U j 1.69b t ij p t jk p = t ik p, p U i U j U k. 1.69c Αν όλες οι σ υναρτήσ εις μετάβασ ης είναι ταυτοτικές απεικονίσ εις, τότε η νηματική δέσ μη καλείται τετριμμένη δέσ μη trivial bundle, και λογίζεται απλώς ως το γινόμενο M F. Οπως προκύπτει από τον Ορισ μό 1.22, για μια νηματική δέσ μη E π M, το σ ύνολο των δυνατών σ υναρτήσ εων μετάβασ ης δεν είναι μοναδικώς καθορισ μένο. Αν {U i } κάλυμμα της M και {φ i }, 13 Επιμορφικά, δηλαδή ως επιμορφισ μός. 32

1.3 Νηματικές Δέσ μες { φi } δύο σ ύνολα τοπικών τετριμμενοποιήσ εων τα οποία σ υνθέτουν την ίδια νηματική δέσ μη, τότε οι σ υναρτήσ εις μετάβασ ης για την κάθε τετριμμενοποίησ η θα είναι της μορφής t ij p = φ 1 i,p φ j,p 1 t ij p = φ i,p φ j,p. 1.70a 1.70b Ορίζουμε μια απεικόνισ η g i p : F F σ ε κάθε σ ημείο p M ως g i p φ 1 i,p φ i,p, 1.71 και απαιτούμε να είναι ομοιομορφισ μός που να ανήκει σ την G, γεγονός που πρέπει να ισ χύει αν οι {φ i } και { φi } σ υνθέτουν την ίδια νηματική δέσ μη. Τότε, από τις 1.70a, 1.70b και 1.71, προκύπτει ότι t ij p = g i p 1 t ij p g j p. 1.72 Αν η δέσ μη είναι τετριμμένη, τότε όλες οι σ υναρτήσ εις μετάβασ ης είναι ταυτοτικές απεικονίσ εις, και η γενικότερη μορφή των σ υναρτήσ εων μετάβασ ης είναι η t ij p = g i p 1 g j p. 1.73 Στην νηματική δέσ μη E π M, η τομή s : M E είναι μια λεία απεικόνισ η που ικανοποιεί τη σ χέσ η π s = Id M, με s p = s p F p = π 1 p. Το σ ύνολο των τομών της M σ υμβολίζεται ως Γ M, F, όπου, αν U M, τότε το Γ U, F είναι το σ ύνολο των τοπικών τομών. Σημείωση. Δεν επιδέχονται ολικές τομές όλες οι νηματικές δέσ μες. 1.3.3 Ανακατασ κευή νηματικών δεσ μών Συγκρίνοντας τους ορισ μούς της νηματικής δέσ μης και της πολλαπλότητας, παρατηρούμε ότι υπάρχει ένας σ υγκεκριμένος παραλληλισ μός μεταξύ των εννοιών των σ υναρτήσ εων μετάβασ ης t ab p μιας νηματικής δέσ μης και των απεικονίσ εων ϕ b ϕ 1 a που καθορίζουν την αλλαγή σ υσ τήματος σ υντεταγμένων σ ε μια πολλαπλότητα. Μια πολλαπλότητα είναι τοπικά ομοιομορφική με τον R n, ενώ μια νηματική δέσ μη λογίζεται ως γινόμενο τοπολογικών χώρων. Ενα μέρος της δομής μιας πολλαπλότητας καθορίζεται από τα θεωρούμενα ανοικτά καλύμματα {U a } και τις απεικονίσ εις ϕ b ϕ 1 a, ενώ μια ανάλογη παρατήρησ η μπορεί να γίνει και για τις νηματικές δέσ μες, καθώς, δεδομένων ενός βασ ικού χώρου M, σ υναρτήσ εων μετάβασ ης t ab p, ενός νήματος F και μιας ομάδας G, η δέσ μη E, σ την οποία ανήκουν τα αντικείμενα αυτά, μπορεί να ανακατασ κευασ θεί μοναδικά minimal ανακατασ κευή. Η διαδικασ ία της ανακατασ κευής σ υνίσ ταται, ουσ ιασ τικά, σ τον προσ διορισ μό μοναδικών π, ϕ α και E από τα παραπάνω δεδομένα, σ ύμφωνα με τον Ορισ μό 1.22. Εφαρμόζοντας μια σ χέσ η ισ οδυναμίας σ το σ ύνολο Ẽ, το οποίο θεωρούμε ως το σ ύνολο των γινομένων της μορφής U a F, Ẽ = U a F, 1.74 a με σ τοιχεία p, f. Η σ χέσ η ισ οδυναμίας ορίζεται, σ την περίπτωσ η αυτή, ως εξής: για p, f U a F και p, f U b F, θεωρούμε ότι p, f p, f αν και μόνο αν p = p και t ab p f = f. Τότε, η νηματική δέσ μη E θα είναι το σ ύνολο όλων των κλάσ εων ισ οδυναμίας υπό αυτή τη σ χέσ η ισ οδυναμίας, δηλαδή E = Ẽ/. 1.75 Συμβολίζοντας την κλάσ η ισ οδυναμίας που περιέχει τα p, f U a F ως [p, f], η προβολή π : E M ορίζεται ως π : [p, f] p. 1.76 33

1.3 Νηματικές Δέσ μες Τέλος, η τοπική τετριμμενοποίησ η φ α : U a F π 1 U a δίνεται ως φ a : p, f [p, f]. 1.77 Τα αξιώματα του Ορισ μού 1.22 ικανοποιούνται από τα E,π, και {φ α }, επομένως η νηματική δέσ μη E ανακτάται μοναδικά. 1.3.4 Διανυσ ματικές δέσ μες Μια πραγματική διανυσ ματική δέσ μη E π M είναι μια νηματική δέσ μη, κάθε νήμα της οποίας είναι ένας διανυσ ματικός χώρος. Αν dim R M = m και F = R k, τότε dim E = m + k. Οι σ υναρτήσ εις μετάβασ ης ανήκουν σ την ομάδα GL k, R, αφού αντισ τοιχίζουν έναν διανυσ ματικό χώρο σ ε έναν άλλον της ίδιας διάσ τασ ης ισ ομορφικά. 1.3.4.1 Μιγαδική διανυσ ματική δέσ μη Σε αναλογία με τα προηγούμενα, μια μιγαδική διανυσ ματική δέσ μη είναι μια διανυσ ματική δέσ μη π : E M, με E, M μιγαδικές πολλαπλότητες, όπου p M, το νήμα π 1 p είναι ένας μιγαδικός διανυσ ματικός χώρος με δομική ομάδα GL k, C. 1.3.4.2 Δέσ μη κανονικών γραμμών Μια διανυσ ματική δέσ μη, της οποίας το νήμα είναι μονοδιάσ τατο R καλείται δέσ μη γραμμών 14 line bundle και σ υμβολίζεται ως L. Οπως είδαμε προηγουμένως, 1.2.2, ένα σ τοιχείο p CP n αντισ τοιχεί σ ε μια μιγαδική γραμμή διερχόμενη από την αρχή των αξόνων σ τον χώρο C n+1. Το νήμα π 1 p της L ορίζεται ως η γραμμή του C n+1 που ανήκει σ το p, L p. Αν η I n+1 CP n C n+1 είναι μια τετριμμένη δέσ μη του CP n, τότε, για οποιοδήποτε σ τοιχείο p, u I n+1, με p CP n και u C n+1, η L ορίζεται ως L = { p, u I n+1 } u = ap, a C 1.78 και η προβολή π : I n+1 CP n είναι η π : p, u p. 1.3.4.3 Ολομορφική διανυσ ματική δέσ μη Ορισμός 1.23. Μια ολομορφική διανυσ ματική δέσ μη τάξης k σ ε μια μιγαδική πολλαπλότητα M με dim C M = n είναι μια k + n-διάσ τατη μιγαδική πολλαπλότητα E με μια ολομορφική προβολή π : E M που ικανοποιεί τις εξής σ υνθήκες: 1. Το π 1 p είναι ένας k-διάσ τατος μιγαδικός διανυσ ματικός χώρος p M. 2. Για κάθε σ ημείο p M υπάρχει γειτονιά U και ένας δι-ολομορφισ μός φ U : π 1 U U C k, που είναι η τοπική τετριμμενοποίησ η. 3. Οι σ υναρτήσ εις μετάβασ ης t UV είναι οι ολομορφικές απεικονίσ εις U V GL k, C. Ολομορφική δομή Εχοντας μια μιγαδική ολομορφική διανυσ ματική δέσ μη 15 E επί της M, ορίζουμε την δέσ μη των μορφών της M ως Ω p,q E := Ω p,q M E. Ο τελεσ τής : Γ M, Ω p,q E Γ M, Ω p,q+1 E αποτελεί ολομορφική δομή αν και μόνο αν 2 = 0. Η δράσ η του είναι ανεξάρτητη της τετριμμενοποίησ ης, καθώς οι σ υναρτήσ εις μετάβασ ης είναι ολομορφικές και ο δεν δρα σ ε αυτές. Επιπλέον, ο τελεσ τής, όταν δράσ ει σ το σ φηνοειδές wedge γινόμενο μιας p, q-μορφής ω και μιας αυθαίρετης μορφής η, ικανοποιεί την σ χέσ η βλ. 1.2.6. Κατά σ υνέπεια, ισ χύει η ακόλουθη Πρότασ η: ω η = ω η + 1 p+q ω η 1.79 14 Ενίοτε αναφέρεται και ως γραμμική δέσ μη. 15 Το E εδώ, είναι η νηματική δέσ μη, και δεν πρέπει να σ υγχυσ τεί με τον ολικό χώρο. 34

1.3 Νηματικές Δέσ μες Πρόταση 1.24. Μια μιγαδική διανυσ ματική δέσ μη E είναι ολομορφική αν και μόνο αν υπάρχει μια ολομορφική δομή σ την E. 1.3.4.4 Δυϊκές και τανυσ τικές δέσ μες Η σ υνεφαπτόμενη δέσ μη T M επί της πολλαπλότητας M κατασ κευάζεται με τον ίδιο τρόπο όπως η T M βλ. 1.3.1, με την διαφορά ότι πλέον, το νήμα σ ε κάθε σ ημείο p M είναι ο σ υνεφαπτόμενος δυϊκός χώρος Tp M. Η T M καταχρησ τικά, λογίζεται ως διανυσ ματική δέσ μη κανονικά είναι δυϊκή διανυσ ματική δέσ μη, τα νήματα της οποίας, ωσ τόσ ο, είναι χώροι 1-μορφών. Οι σ υναρτήσ εις μετάβασ ης t ab p της T M, μπορούν να αναπαρασ ταθούν σ ε μορφή πίνακα, ως εξής: θεωρούμε μια 1-μορφή ω σ ε δύο διαφορετικά τοπικά σ υσ τήματα σ υντεταγμένων { { } xa} i και x i b σ τους χάρτες Ua και U b, αντίσ τοιχα, η οποία εκφράζεται ως ω = ωi a p dxi a = ωi b p dxi b, p U a U b, από όπου προκύπτει ότι ωi adxi a = ωi bdxi b = ωb i x i b / x i a dx i a, επομένως, t ab p = [ ] x i b / xi a n n το i, j-σ τοιχείο του πίνακα t ab. Σημείωση. Συγκρίνοντας τον t ab p της T M με την αντίσ τοιχη μορφή ενός τέτοιου πίνακα για την T M, παρατηρούμε ότι ο πρώτος είναι ο ανάσ τροφος του αντισ τρόφου του δεύτερου, που σ ημαίνει ότι οι T M και T M είναι ισ οδύναμες δέσ μες. Γενικεύοντας την minimal κατασ κευασ τική διαδικασ ία των διανυσ ματικών δεσ μών, μπορούμε να ορίσ ουμε την τανυσ τική δέσ μη Tb a M, της οποίας το νήμα σ το p M είναι ο χώρος των a, b- τανυσ τών σ το p, Tb a, ο οποίος ορίζεται ωςt b a = T p M... T p M Tp M... Tp M. Οι σ υναρτήσ εις μετάβασ ης t ab p της Tb am είναι το τανυσ τικό γινόμενο a πινάκων τ ab p και b }{{}}{{} a b πινάκων τ 1 ab, όπου τab θεωρούμε την αναπαράσ τασ η πίνακα των σ υναρτήσ εων μετάβασ ης της δέσ μης T M. Επιπλέον, το νήμα F της T a b M είναι ο Rna+b, που σ ημαίνει ότι t ab p GL n a+b, R. Ωσ τόσ ο, λόγω της μορφής του t ab p, η δομική ομάδα G της T a b M είναι μια υποομάδα H της GL n a+b, R και όχι η πλήρης ομάδα, με H = GL n, R. 1.3.4.5 Δέσ μη frame Ο βασ ικός χώρος της frame δέσ μης είναι η πολλαπλότητα M, και το νήμα της σ ε κάθε σ ημείο p M είναι το σ ύνολο όλων των διατεταγμένων βάσ εων frames του εφαπτόμενου χώρου T p M. Εφόσ ον όλα τα frames μπορούν να ληφθούν από την δράσ η ενός σ τοιχείου της GL k, R σ ε ένα σ ταθερό frame, το νήμα F είναι η ίδια η ομάδα GL n, R. 1.3.5 Κύριες δέσ μες 1.3.5.1 Ορισ μός Ορισμός 1.25. Μια κύρια δέσ μη principal bundle ορίζεται ως η δέσ μη εκείνη, της οποίας το νήμα F είναι το ίδιο με την δομική της ομάδα G, και σ υμβολίζεται ως P π M, ενώ σ υχνά θα αναφέρεται και ως G-δέσ μη επί της M. Η σ υνάρτησ η μετάβασ ης, όπως και προηγουμένως, δρα σ το νήμα από αρισ τερά. Επιπλέον, μπορούμε να ορίσ ουμε την δράσ η της G σ την F από δεξιά ως εξής: έσ τω φ i : U i G π 1 U i η τοπική τετριμμενοποίησ η της μορφής φ 1 i u = p, g i, με u π 1 U i και p = π u. Η δράσ η της G από δεξιά σ το π 1 U i ορίζεται ως φ 1 i ua = p, g i a, δηλαδή ua = φ i p, g i a, 1.80 για οποιαδήποτε a G και u π 1 p. Ο ορισ μός αυτός δεν εξαρτάται από τις τοπικές τετριμμενοποιήσ εις, καθώς η δράσ η της ομάδας από αρισ τερά μετατίθεται με την δράσ η από δεξιά. Αν p U i U j, τότε ua = φ j p, g j a = φ j p, t ij p g i a = φ i p, g i a, που καταδεικνύει ότι η δράσ η από δεξιά ορίζεται χωρίς αναφορά σ τις 35

1.3 Νηματικές Δέσ μες τοπικές τετριμμενοποιήσ εις, επομένως, P G G, ή u, a ua. Επιπλέον, εφόσ ον π ua = π u, η δράσ η της G από δεξιά σ το π 1 p είναι μεταβατική transitive, αφού η G δρα μεταβατικά σ την G από δεξιά και το F p = π 1 p είναι διαφορομορφικό σ την G. Επομένως, u 1, u 2 π 1 p, a G τέτοιο ώσ τε u 1 = u 2 a. Συνεπώς, αν π u = p, τότε το νήμα μπορεί να ανακτηθεί πλήρως, κατασ κευάζοντάς το ως π 1 p = {ua a G}. Ακόμα, η δράσ η θα είναι ελεύθερη, δηλαδή, αν u P τέτοιο ώσ τε ua = u, τότε το a πρέπει να είναι το μοναδιαίο σ τοιχείο e της G, αφού, αν u = φ i p, g i, τότε φ i p, g i a = φ i p, g i a = ua = u = φ i p, g i. Εφόσ ον η φ i είναι αμφιμονοσ ήμαντη, έχουμε g i a = g i, δηλαδή a = e. Κανονική τοπική τετριμμενοποίησ η Αν s i p μια τομή επί του U i, ορίζεται μια προτιμητέα τοπική τετριμμενοποίησ η φ i : U i G π 1 U i ως εξής: Για u π 1 p, με p U i, υπάρχει μοναδικό σ τοιχείο g u G τέτοιο ώσ τε u = s i p g u, μέσ ω του οποίου, η φ i ορίζεται ως φ 1 i u = p, g u. Σε αυτή την τοπική τετριμμενοποίησ η, η τομή s i p αντισ τοιχεί σ την s i p = φ i p, e, και καλείται κανονική τοπική τετριμμενοποίησ η. Εξ ορισ μού, φ i p, g = φ i p, e g = s i p g. Αν p U i U j, οι τομές s i p και s j p σ υνδέονται μεταξύ τους μέσ ω της σ υνάρτησ ης μετάβασ ης t ij p ως s i p = φ i p, e = φ j p, t ij p e = φ j p, t ij p = φ j p, e t ij p = s j p t ij p. Σημείωση. Αν H είναι μια κλεισ τή υποομάδα της ομάδας Lie G, τότε η G είναι μια κύρια δέσ μη με νήμα H και βασ ικό χώρο M = G/H. Ομοίως με πριν, η δράσ η της H σ την G από δεξιά ορίζεται ως g ga, g G, a H. Η δράσ η αυτή είναι διαφορίσ ιμη, αφού η G είναι ομάδα Lie. Θεωρώντας την προβολή π : G G/H ως την απεικόνισ η π : g [g] = {gh h H}, τότε τα σ τοιχεία g, ga G απεικονίζονται σ το ίδιο σ ημείο [g], άρα π g = π ga = [g]. Για να ορισ θούν οι τοπικές τετριμμενοποιήσ εις όπως είδαμε, αρχικά ορίζεται η απεικόνισ η f i : G H σ ε κάθε χάρτη U i. Για την τοπική τομή s σ τον U i και g π 1 [g], f i g := s [g] 1 g. Αφού η s [g] είναι τομή σ το [g], a H : s [g] = ga, άρα s [g] 1 g = a 1 g 1 g = a 1 H. Συνεπώς, η τοπική τετριμμενοποίησ η φ i : U i H G, σ την περίπτωσ η αυτή, ορίζεται ως φ 1 i ομοίως, ότι f i ga = f i g a a H, άρα φ 1 i g = [g], f i g, για την οποία προκύπτει, ga = p, f i g a. Τετριμμένο δεσ μών Οπως είδαμε, μια νηματική δέσ μη είναι τετριμμένη αν μπορεί να εκφρασ θεί ως ευθύ γινόμενο του βασ ικού χώρου και του νήματος. Μια σ υνθήκη που επιτρέπει τον έλεγχο του τετριμμένου μιας δέσ μης, προκύπτει από την ακόλουθη Πρότασ η: Proposition 1.26. Μια κύρια δέσ μη είναι τετριμμένη αν και μόνο αν επιδέχεται ολική τομή. Proof. Αν P, π, M, G μια κύρια δέσ μη επί της M και s Γ M, P μια ολική τομή, η ύπαρξη της τομής υποδηλώνει την ύπαρξη ενός ομοιομορφισ μού μεταξύ P M και M G. Αν g G και s p G, εφόσ ον η P M είναι κύρια δέσ μη, τότε το s p g ανήκει σ το νήμα του σ ημείου p M. Αν μεταβάλλουμε το p, εφόσ ον η δέσ μη είναι η ένωσ η όλων των νημάτων, τότε όλα τα σ τοιχεία e P M μπορούν να γραφούν ως gs p για κάποιο g G. Επομένως, ο απαιτούμενος ομοιομορφισ μός θα είναι ο φ : P M M G e = gs p p, g 1.81a 1.81b που ικανοποιεί τις σ υνθήκες της σ υνέχειας και αντισ τρεψιμότητας, άρα είναι ομοιομορφισ μός, και έτσ ι έπεται ότι η P M είναι τετριμμένη. Η αντίσ τροφη περίπτωσ η έπεται με αντίσ τοιχη σ υλλογισ τική, δηλαδή, αν P = M G με τετριμμενοποίησ η φ : M G P, η απεικόνισ η s g : M P που ορίζεται ως s g p = φ p, g είναι μια ολική τομή για κάποιο g G. 36

1.3 Νηματικές Δέσ μες 1.3.5.2 Συσ χετιζόμενες δέσ μες Μια σ υσ χετιζόμενη δέσ μη associated bundle ορίζεται από μια κύρια δέσ μη ως εξής αν η G δρα σ την πολλαπλότητα F από αρισ τερά, ορίζοντας την δράσ η ενός g G σ την P F ως u, f ug, g 1 f, με u P, f F, η σ υσ χετιζόμενη δέσ μη E, π, M, G, F, P είναι μια κλάσ η ισ οδυναμίας P F/G, σ την οποία, τα σ ημεία u, f και ug, g 1 f ταυτίζονται. Αν, ειδικότερα, η F είναι ένας k-διάσ τατος διανυσ ματικός χώρος V και ρ η k-διάσ τατη αναπαράσ τασ η της G, η σ υσ χετιζόμενη διανυσ ματική δέσ μη P ρ V ορίζεται από τα σ ημεία u, v και ug, ρ g 1 v της P V, όπου u P, g G και v V. Η δομή των νημάτων μιας σ υσ χετιζόμενης νηματικής δέσ μης E = P ρ V καθορίζεται θεωρώντας την προβολή π E : E M ως π E u, v = π u,η οποία είναι καλώς ορισ μένη, αφού π u = π ug π E ug, ρ 1 g v = π ug = π E u, v, η τοπική τετριμμενοποίησ η θα είναι η φ i : U i V π 1 E U i, και οι σ υναρτήσ εις μετάβασ ης της E θα είναι οι ρ t ij p, όπου t ij p οι σ υναρτήσ εις μετάβασ ης της P. Αντισ τρόφως, μια διανυσ ματική δέσ μη επάγει φυσ ικά μια κύρια δέσ μη, σ υσ χετιζόμενη με την πρώτη. Αν π : E M μια διανυσ ματική δέσ μη με dim E = k νήμα R k ή C k, η E επάγει μια κύρια δέσ μη P E P M, G επί της M με τις ίδιες σ υναρτήσ εις μετάβασ ης, και δομική ομάδα GL k, F,όπου F = R ή C το σ ώμα. 1.3.6 Αναγωγή της δομικής ομάδας και σ υσ τολή του βασ ικού χώρου Αν ο βασ ικός χώρος M μιας δέσ μης E μπορεί να σ υσ ταλεί σ ε ένα σ ημείο point-contractible, τότε η E είναι πάντα τετριμμένη προφανώς, μια δέσ μη ως προς ένα σ ημείο είναι τετριμμένη, επομένως ο τοπολογικός χαρακτήρας της δέσ μης παραμένει αναλλοίωτος με την σ υσ τολή contraction του βασ ικού χώρου. Η απόδειξη αυτής της πρότασ ης σ τηρίζεται σ ε ομοτοπικά επιχειρήματα [25]. 1.3.6.1 Επαγόμενη pullback δέσ μη Εσ τω π : E M νηματική δέσ μη με τοπικό νήμα F. Αν υπάρχει μια απεικόνισ η f : M N, τότε το ζεύγος E, f ορίζει μια νέα νηματική δέσ μη επί της N με το ίδιο νήμα F. Εσ τω f E υπόχωρος του N E με σ ημεία p, u τέτοια ώσ τε f p = π u. Τότε, το σ ύνολο f E {p, u N E f p = π u}είναι το pullback της E από την f. Το νήμα F p της f E είναι ένα αντίγραφο του νήματος F fp της E. Αν π 1 : f E N με π 1 : p, u p και π 2 : f E E με π 2 : p, u u, το διάγραμμα f E π2 E 1.82 π 1 N f M π μετατίθεται, αφού π π 2 p, u = π u = f p = f π 1 p, u για p, u f E. Εσ τω F δέσ μη επί της N και f F, g F pullbacks της F σ τον M. Αν οι απεικονίσ εις f : M N και g : M N είναι ομοτοπικές [26], οι δέσ μες f F και g F είναι ισ οδύναμες. Θεωρούμε την περίπτωσ η όπου M = N και η E είναι δέσ μη επί του σ υσ τελλόμενου βασ ικού χώρου M. Το γεγονός ότι ο M μπορεί να σ υσ ταλεί σ ε ένα σ ημείο x 0 σ ημαίνει ότι οι απεικονίσ εις a 0 και a 1, οι οποίες ορίζονται ως a 0 : M M με a 0 : x x και a 1 : M M με a 1 : x x 0 a 0 : M M με a 0 : x x a 1 : M M με a 1 : x x 0 1.83 είναι ομοτοπικές, δηλαδή a 0 a 1. Συνεπώς, η a 1 είναι η ταυτοτική, και η a 0 μια σ ταθερή απεικόνισ η. Ετσ ι, για τις απεικονίσ εις 1.83, οι δέσ μες a 0E και a 1E είναι ισ οδύναμες. Ομως, η a 1E είναι μια δέσ μη επί ενός σ ημείου x 0, άρα είναι τετριμμένη. Επιπλέον, a 0 E = E αφού a 0 = Id E, επομένως και η E θα είναι τετριμμένη. Κατά σ υνέπεια, κάθε δέσ μη ενός χώρου M, ο οποίος μπορεί να σ υσ ταλεί σ ε ένα σ ημείο, είναι τετριμμένη. 37

1.3 Νηματικές Δέσ μες Σε αναλογία με προηγουμένως [26], όσ ον αφορά την δομική ομάδα G της δέσ μης E, προκύπτει το εξής Πόρισ μα: Πόρισμα. Αν το νήμα F μιας δέσ μης E δύναται να σ υσ ταλεί σ ε σ ημείο, τότε η E φέρει πάντα τομή s. Η χρησ ιμότητα αυτού του πορίσ ματος έγκειται σ το γεγονός ότι αν η E είναι κύρια δέσ μη οπότε το F ταυτίζεται με την G, τότε η ύπαρξη των τομών σ υνεπάγεται ότι οι δέσ μες θα είναι τετριμμένες, και ως εκ τούτου, Πρόταση. Αν η M ή η G μπορούν να σ υσ ταλούν σ ε ένα σ ημείο, τότε η δέσ μη E είναι τετριμμένη. Οι σ υνέπειες της δυνατότητας σ υσ τολής της G καθίσ ταται εμφανής από την ακόλουθη περίπτωσ η Θεωρούμε την κύρια δέσ μηf M με δομική ομάδα GL n, R. Η ομάδα αυτή δεν δύναται να σ υσ ταλεί σ ε ένα σ ημείο, αλλά περιέχει ένα τμήμα το οποίο μπορεί να υποσ τεί σ υσ τολή. Κάθε A GL n, R μπορεί [27] να γραφεί ως A = O P, όπου O O n πραγματικός n n ορθογώνιος πίνακας, και P θετικά ορισ μένος σ υμμετρικός πίνακας. Συνεπώς, GL n, R = O n C, όπου C ο χώρος των θετικά ορισ μένων σ υμμετρικών πινάκων 16. Αν ο C ήταν διανυσ ματικός χώρος, θα ήταν αυτομάτως αναγόμενος σ ε σ ημείο, καθώς ένας n-διάσ τατος διανυσ ματικός χώρος είναι ομοιομορφικός με τον R n, ο οποίος είναι αναγώγιμος σ ε σ ημείο. Ωσ τόσ ο, ο C είναι ομοιομορφικός με τον διανυσ ματικό χώρο των πραγματικών σ υμμετρικών πινάκων, S. Αν s S, παρατηρούμε ότι ο πίνακας exp s είναι θετικά ορισ μένος και σ υμμετρικός, άρα exp s C, και προκύπτει ότι c C s S : c = exp s. Κατά σ υνέπεια, η απεικόνισ η a : S C με a : s exp s μπορεί να θεωρηθεί ομοιομορφισ μός, και, εφόσ ον ο S είναι διανυσ ματικός χώρος, μπορεί να σ υσ ταλεί σ ε σ ημείο, και ομοίως μπορεί και ο C. G-δομές Η σ ημασ ία του αποτελέσ ματος αυτού είναι η εξής: αρχικά, παρατηρούμε ότι η μη σ υμπαγής δομική ομάδα GL n, R του F M μπορεί να αντικατασ ταθεί από την σ υμπαγή υποομάδα O n. Επιπλέον, κάθε πολλαπλότητα M επιδέχεται Riemannian μετρική. Εφόσ ον μια Riemannian μετρική μπορεί να θεωρηθεί ως μια σ υνεχής αντισ τοιχία θετικά ορισ μένων σ υμμετρικών πινάκων g x x M σ την M, ή ισ οδύναμα, ως μια θετικά ορισ μένη σ υμμετρική τομή της τανυσ τικής δέσ μης T0 2 M, η ύπαρξη του g x είναι ισ οδύναμη με την ύπαρξη ενός εσ ωτερικού γινομένου μεταξύ διανυσ μάτων της μορφής A, B = g ab A a B b, με A = A a a και B = B b b, όπου A, B T R,x M, σ τον χώρο T R,x M, το οποίο είναι αναλλοίωτο υπό την δράσ η της O n. Επομένως, η αναγωγή της ομάδας GL n, R σ την O n επάγει μια Riemannian μετρική σ την M, ενώ η GL n, R μπορεί να αναχθεί και σ ε άλλες υποομάδες G. Οταν ισ χύει αυτό, τότε η M έχει G-δομή. Οι σ υνηθέσ τερες G-δομές σ ε μια σ υμπαγή, κλεισ τή πολλαπλότητα είναι οι εξής: Πολλαπλότητα Υποομάδα G της GL n, R Αναγκαίες σ υνθήκες ύπαρξης Riemannian O n - Ψευδο-Riemannian O n k, k [27] Lorentzian O n 1, 1 χ M = 0 Προσ ανατολίσ ιμη SL n, R H n M; R 0 Σχεδόν-Hamiltonian Sp n, R n = 2m, H n M; R 0 Συμπλεκτική Sp n, R H 2 M; R 0 Σχεδόν-μιγαδική GL n/2, C n = 2m, H n M; R 0 Μιγαδική GL n/2, C [12, 29, 30] Πίνακας 1: Συνήθεις G-δομές σ ε κλεισ τές σ υμπαγείς πολλαπλότητες 16 Ο χώρος C δεν είναι ομάδα, ούτε διανυσ ματικός χώρος. 38

1.3 Νηματικές Δέσ μες Σημείωση. Οι τοπολογικές αναγκαίες σ υνθήκες ύπαρξης σ τον Πίνακα 1 δεν είναι απαραιτήτως και ικανές. Επιπλέον, αν η πολλαπλότητα είναι μη σ υμπαγής, τότε υπάρχουν πάντα Lorentzian δομές σ την M, και ο κλασ ικός φασ ικός χώρος T M έχει πάντα Hamiltonian δομή. 1.3.7 Spinorial δέσ μες Εσ τω S μιγαδική διανυσ ματική δέσ μη τάξης 2 επί μιας πολλαπλότητας M, η οποία ανάγεται σ ε μια SL 2, C-δέσ μη. Μια μιγαδική δέσ μηs M μπορεί να αναχθεί σ την SL 2, C αν και μόνο αν υπάρχει μια μη εκφυλισ μένη αντισ υμμετρική μορφή ε Γ M, 2 S. Ετσ ι, για δεδομένο ε, αρκεί η επιλογή κατάλληλου frame f e 1, e 2 για την S της μορφής e 1 e 2 = ε, και οι αντίσ τοιχες σ υναρτήσ εις μετάβασ ης θα λαμβάνουν τιμές σ την SL 2, C. Παρομοίως, αν θεωρηθεί δεδομένη μια τέτοια αναγωγή, ορίζεται κατάλληλο ε = e 1 e 2 τοπικά από τα frames που δίνουν την αναγωγή, το οποίο θα είναι μια μια ολικά ορισ μένη, μη εκφυλισ μένη αντισ υμμετρική μορφή σ την M. Οπως και σ την περίπτωσ η της προσ ανατολισ ιμότητας μιας πολλαπλότητας, μια μιγαδική διανυσ ματική δέσ μη δεύτερης τάξης δεν είναι απαραίτητα αναγώγιμη σ ε μια SL 2, C-δέσ μη. Σύμφωνα με τα προηγούμενα, η αναγωγή μιας μιγαδικής δέσ μης S δεύτερης τάξης σ ε μια SL 2, C-δέσ μη είναι ισ οδύναμη με την τετριμμενότητα της δέσ μης 2 S. Αν M μιγαδική πολλαπλότητα με dim C = n, η κανονική δέσ μη canonical bundle επί της M ορίζεται ως K M := n T M. 1.84 Σημείωση. Από την περίπτωσ η dim M = 2, προκύπτουν περιπτώσ εις σ τις οποίες η K M είναι τετριμμένη, και άλλες σ τις οποίες δεν είναι τετριμμένη, καταδεικνύοντας το γεγονός ότι μια τέτοια αναγωγή δεν έχει τετριμμένο χαρακτήρα ως έννοια. Για παράδειγμα, αν M = P 2, τότε η K M είναι μη τετριμμένη και ειδικότερα, K P 2 = H 3, όπου H P 2 η δέσ μη τομών υπερεπιπέδου [14, 48] του P 2. Ακόμα, αν η M είναι η υπερεπιφάνεια 4ου βαθμού σ τον P 3 ή ισ οδύναμα το σ ύνολο των ριζών ενός ομογενούς πολυωνύμου 4ου βαθμού, τότε η K M είναι τετριμμένη [14]. Σε κάθε περίπτωσ η, αν S = T M, η αναγωγή της σ την SL 2, C εξαρτάται από το αν η K M είναι τετριμμένη. Εσ τω S μιγαδική δέσ μη δεύτερης τάξης επί μιας πολλαπλότητας M. Από την S μπορούν, με κανονικό τρόπο, να κατασ κευασ θούν επιπλέον τρεις δέσ μες. Εσ τω S C := S R C η μιγαδικοποίησ η της S. Στην S C ορίζεται η μιγαδική σ υζυγία, επομένως, αν S η μιγαδικά σ υζυγής της S, οι S και S είναι δύο μιγαδικές διανυσ ματικές δέσ μες δεύτερης τάξης. Επιπλέον, μπορούμε να θεωρήσ ουμε τις C-γραμμικές δυϊκές δέσ μες των S και S, S και S αντίσ τοιχα. Επομένως, από την S, προκύπτουν οι δέσ μες S, S και S. Στην Ενότητα 3 οι spinorial δέσ μες θα μελετηθούν σ το γενικότερο μαθηματικό πλαίσ ιο που τις αφορά. 1.3.7.1 Spinorial δέσ μες σ τον χώρο Minkowski Εσ τω μια πραγματική 4-διάσ τατη πολλαπλότητα M εφοδιασ μένη με μια SL 2, C-δέσ μη S M, τέτοια ώσ τε T M C = S S. 1.85 Αυτές οι δέσ μες είναι ειδικές περιπτώσ εις των γενικότερων spinorial δεσ μών, την ύπαρξη των οποίων και την κατηγοριοποίησ η που την σ υνοδεύει, θα μελετήσ ουμε σ την επόμενη ενότητα. Τα σ τοιχεία των S, S, S και S είναι οι spinors ή spinorial πεδία. Επιλέγοντας μια αρχή και μια βάσ η για τον χώρο Minkowski, M, μπορούμε να τον ταυτοποιήσ ουμε με τον εφαπτόμενο χώρο του σ το 0, T 0 M,και με τον χώρο των 2 2 Ερμητιανών πινάκων, H 2, 39

1.3 Νηματικές Δέσ μες θεωρώντας την μιγαδικοποίησ η του M ως εξής: ορίζουμε την απεικόνισ η M = H 2 ως M x = x 0, x 1, x 2, x 3 x = 1 x 0 + x 3 x 1 ix 2 x 00 x 2 x 1 + ix 2 x 0 x 3 = 01 x 10 x 11 = x jk H 2, 1.86a όπου det x = 1 2 x 2 M, με 2 M =, M η νόρμα Minkowski σ τον M. Μιγαδικοποιώντας τον M και επεκτείνοντας την αντίσ τοιχη νόρμα του σ την, MC, λαμβάνουμε έναν μιγαδικό διανυσ ματικό χώρο M C με dim C M = 4, εφοδιασ μένο με μια μη εκφυλισ μένη μιγαδική διγραμμική μορφή z, w = 3 i=0 signature [ z i w i] = z 0 w 0 z 1 w 1 z 2 w 2 z 3 w 3 για + signature σ ύμβασ η. Η 1.86a = σ τoν M C εκτείνεται σ ε έναν μιγαδικό ισ ομορφισ μό M C C 2 2 = C 4 : M C z = z 0, z 1, z 2, z 3 z = 1 z 0 + z 3 z 1 iz 2 z 00 z 2 z 1 + iz z 0 z 3 = 01 z 10 z 11 = z jk C 2 2. 1.86b Εσ τω S = C 2 ο χώρος των διανυσ μάτων σ τήλης και S ο δυϊκός χώρος των διανυσ μάτων γραμμής. Αν ένας διανυσ ματικός χώρος V εκφράζεται ως τανυσ τικό γινόμενο W Z, επιλέγοντας βάσ εις για τους W και Z, τα σ τοιχεία του W μπορούν να αναπαρασ ταθούν από διανύσ ματα σ τήλης, και αντίσ τοιχα τα σ τοιχεία του Z από διανύσ ματα γραμμών, ενώ τα σ τοιχεία του V θα εκφράζονται ως ένα άθροισ μα όρων τανυσ τικών γινομένων σ τηλών και γραμμών, επομένως, T 0 M C = M C = M 2 C = S S, όπου M 2 C ο χώρος των μιγαδικών 2 2 πινάκων. Ενα διάνυσ μα v T 0 M C είναι μηδενικό null αν έχει την μορφή ενός απλού γινομένου v = s s, ή ισ οδύναμα, ένας 2 2 πινάκας v έχει μηδενική ορίζουσ α αν και μόνο αν v = διάνυσ μα γραμμή διάνυσ μα σ τήλη. Ακόμα, a b το διάνυσ μα v είναι πραγματικό και μηδενικό αν v = s s, δηλαδή ο πίνακας u = είναι c d Ερμητιανός με det v = 0 αν και μόνο αν a b s 0 s = c d s 1 0 s 1 s = 0 s 0 s 0 s 1 s 1 s 0 s 1, s 1 που σ ημαίνει ότι, υπό την προοπτική αυτή, ο spinor s μπορεί να ερμηνευθεί ως η τετραγωνική ρίζα του πραγματικού μηδενικού διανύσ ματος v.. Ομως, αφού και οι S ±, S ± είναι spinorial Σημειογραφία. Για την τοπική δομή των 2-spinor-δεσ μών που ορίσ θηκαν προηγουμένως, ακολουθούμε 17 τους εξής σ υμβολισ μούς: αν S M spinorial δέσ μη, τότε θέτουμε S := S, S + := S, S := S, S + := S. Η δεδομένη δέσ μη S παράγει φυσ ικά τις τέσ σ ερις spinorial δέσ μες S ± και S ±. Το γεγονός ότι η S είναι spinorial δέσ μη σ ημαίνει, σ υγκεκριμένα, ότι υπάρχει μια μη εκφυλισ μένη αντισ υμμετρική μορφή ε Γ M, 2 S δέσ μες, υπάρχουν, αντίσ τοιχα, οι μη εκφυλισ μένες αντισ υμμετρικές μορφές ε ± Γ M, 2 S ± και ε ± Γ M, 2 S ±, με την ύπαρξη το πολύ μιας εξ αυτών να σ υνεπάγεται αυτόματα την ύπαρξη και των υπολοίπων. Οι μορφές ε ±, ε ± υποδηλώνουν την ύπαρξη ισ ομορφισ μών μεταξύ των εκάσ τοτε spinorial δεσ μών και των αντίσ τοιχων δυϊκών τους, ε + : S + = S +, ε : S = S, ε + : S + = S +, ε : S = S. Ο spinorial φορμαλισ μός με δείκτες, που θα ακολουθήσ ουμε σ τη σ υνέχεια, μπορεί είτε να χρησ ιμοποιηθεί αφηρημένα [40], είτε αριθμητικά. Θεωρούμε δύο σ ύνολα δεικτών της μορφής L = {α, β,...} και L = { α, β,... } πεζοί ελληνικοί χαρακτήρες, και θεωρούμε την σ ύμβασ η S α = S, S α = S, 17 Για λόγους σ αφήνειας, ο σ υμβολισ μός των spin-δεσ μών, αν διαφοροποιείται, θα επανακαθορίζεται ανά θεματική ενότητα. 40

1.4 Συνδέσ εις και καμπυλότητα S α = S +, S α = S +. Τα τανυσ τικά γινόμενα της S και της δυϊκής της λαμβάνουν δείκτες από το σ ύνολο L, ενώ τα τανυσ τικά γινόμενα της S + και της δυϊκής της λαμβάνουν δείκτες από το σ ύνολο L. Συμβατικά, επιπλέον, το ± αναφέρεται σ το ± των αυτοδυϊκών και αντιαυτοδυϊκών 2-μορφών σ ε έναν τετραδιάσ τατο χώρο 18. Οι δείκτες των L και L είναι ανεξάρτητοι και μπορούν να μετατεθούν οι μεν ως προς τους δε, σ υνεπώς, κάθε spinorial πεδίο που λογίζεται ως τομή της spinorial άλγεβρας, που παράγεται από τις S α, S α, S α, S α, έχει τη μορφή ϕ αβγ... α β... δεζ... δ ε.... Συμβολίζοντας την αντισ υμμετροποίησ η σ τους δείκτες ως [α...δ] και την σ υμμετροποίησ η ως α...δ, τότε S [αβ] = 2 S, επομένως η αντισ υμμετρική μορφή ε θα είναι ε αβ Γ M, S [αβ]. Γενικεύοντας τον σ υμβολισ μό σ τις διαφορικές μορφές του Ω p, έχουμε: ε αβ Ω [αβ] M = Γ M, 2 S, ε αβ Ω [αβ] M = Γ M, 2 S ε α β Ω [ α β] M = Γ M, 2 S +, ε α β Ω [ α β] M = Γ M, 2 S+. Γενικότερα, αν υπάρχει μια τετριμμενοποίησ η των δεσ μών αυτών επί του U M, τότε οι σ υναρτήσ εις μετάβασ ης πίνακες g SL 2, C δρουν σ τις αναπαρασ τάσ εις των διανυσ μάτων ως εξής: S U = C 2 v gv S U = C 2 v t v t g S + U = C 2 v ḡv S + U = C 2 v t v t ḡ για την κανονική, την δυϊκή, την σ υζυγή και την σ υζυγή δυϊκή αναπαράσ τασ η, αντίσ τοιχα, οι οποίες είναι ξεχωρισ τές αναπαρασ τάσ εις της SL 2, C που δρουν σ τον C 2, και σ υνεπώς οι δέσ μες S ± και S ± παράγονται από την S με αλλαγή αναπαράσ τασ ης της SL 2, C. Spinorial frame Μπορούμε να επιλέξουμε frame με e α 0, e α 1 για την S α, με το δυϊκό του, e 0 α, e 1 α, να είναι frame σ την Sα. Η τομή σ της S α τότε, εκφράζεται ως σ = σ 0 e α 0 + σ 1 e α 1 = σ A e α A, όπου σ A με A = 0, 1 ποσ ότητα με αριθμητικούς δείκτες που αναπαρισ τά το σ ως προς το frame 0 1 e α 0, e α 1. Μπορούμε να επιλέξουμε frame τέτοιο ώσ τε ε = ε αβ ε AB =. Κάθε τέτοιο 1 0 frame καλείται spinorial frame και είναι ανάλογο του οροθοκανονικού σ υσ τήματος σ την Riemannian γεωμετρία. Η απεικόνισ η ε : S S αναπαρίσ ταται ως ξ A ξ A := ε AB ξ B, δηλαδή ξ 0 = ε 00 ξ 0 + ε 01 ξ 1 = ξ 1, ξ 1 = ε 10 ξ 0 + ε 11 ξ 1 = ξ 0, και ομοίως για την απεικόνισ η ε + : S + S +, ξ A ξ B := ξ A ε AB. Ισ οδύναμα, σ την αναπαράσ τασ η των αφηρημένων δεικτών, Ω α M Ω α ξ αβ ξ β Ω α M, ακολουθώντας την σ ύμβασ η άθροισ ης Einstein. Ακόμα, προκύπτει ότι ξ α ξ α = ξ β ξ α ε αβ = 0 αφού η ε αβ είναι αντισ υμμετρική μορφή, όπου, ως προς το spinorial frame, έχουμε ξ α ξ α = ξ 0 ξ 0 + ξ 1 ξ 1 = ξ 1 ξ 0 ξ 0 ξ 1 = 0. 1.4 Συνδέσεις και καμπυλότητα Στην υποενότητα αυτή, θα μελετήσ ουμε τις έννοιες της σ ύνδεσ ης και της αντίσ τοιχης καμπυλότητας. Αρχικά, θα εισ άγουμε την έννοια της σ ύνδεσ ης σ ε μια κύρια δέσ μη ως μια γενίκευσ η της εξωτερικής παραγώγου, η οποία επάγεται σ την σ υσ χετιζόμενη δέσ μη από την σ ύνδεσ η, ορίζοντας την 1-μορφή της σ ύνδεσ ης, η τοπική μορφή της οποίας αντισ τοιχεί σ το δυναμικό βαθμίδας σ την Φυσ ική [31, 32, 33]. 18 Οπου το + λογίζεται ως φέρον σ τικτό δείκτη, και αντίσ τοιχα το ως φέρον άσ τικτο δείκτη. 41

1.4 Συνδέσ εις και καμπυλότητα 1.4.1 Σύνδεσ η και καμπυλότητα σ ε δέσ μες Εσ τω π : E M μιγαδική διανυσ ματική δέσ μη σ ε μια διαφορίσ ιμη πολλαπλότητα M, Ορίζουμε τον διανυσ ματικό χώρο των p-μορφών σ την M με σ υντελεσ τές σ την E E-valued forms Ω p M, E := Γ M, E Ω p M, όπου Ω p M ο χώρος των p-μορφών σ την πολλαπλότητα M, και Γ λεία τομή. Οπως προκύπτει [35], η Ω p M, E είναι πρότυπο module [34] επί του C M και υπάρχει ένας καλώς ορισ μένος ισ ομορφισ μός Ω M, E Ω p M Ω p M της μορφής s f f s. 1.4.1.1 Σύνδεσ η Ορισμός 1.27. Ορίζουμε ως σ ύνδεσ η σ την E την μιγαδική γραμμική απεικόνισ η που ικανοποιεί την σ χέσ η D : Ω 0 M, E Ω 1 M, E D f s = df s + fds. 1.87a 1.87b Τοπική αναπαράσ τασ η της σ ύνδεσ ης Εσ τω D σ ύνδεσ η σ την E, και f = e 1,..., e r διατεταγμένο σ ύσ τημα σ υντεταγμένων frame για την διανυσ ματική δέσ μη E, ορισ μένο σ ε κάποιο ανοικτό U M. Αν s Ω p U, E, τότε s = s i e i, με 1 i r, όπου 19 s i Ω p U. Ομοίως, αν F = ω 1,..., ω n τοπικό frame του T M σ το U, τότε ένα σ τοιχείο s Ω p U, E γράφεται ως s = h a1...a p ω a1... ω ap, όπου h a1...a p Γ U, E. Δεδομένου του f, παρατηρούμε ότι D e j = A i j e i, όπου A i j = Ai j f, D r r πίνακας 1-μορφών, ορισ μένος σ το U. Ετσ ι, αν s Ω0 U, E, τότε έχουμε: Ds = D s i e i = s i De i + ds i e i = s i A k i e k + ds i e i = όπου ds + A s k τα σ τοιχεία του ds f + A f s f. = s i A k i + ds i e i = ds + A s k e k, 1.88 Ορισμός 1.28. Η ds f+a f s f είναι η τοπική αναπαράσ τασ η της σ ύνδεσ ης D, ή απλούσ τερα, Ds = ds + As, όπου το δεξί μέλος ορίζεται ως προς ένα τοπικό frame f. Επιπλέον, η ποσ ότητα A = A f = A i j f είναι η 1-μορφή της σ ύνδεσ ης D ως προς το frame f. Υπό αλλαγή σ υσ τήματος σ υντεταγμένων f f = ẽ 1,..., ẽ r, όπου f = f g, και g : U GL r, C λείος μετασ χηματισ μός, ή ισ οδύναμα, ẽ i = e i gj i, έχουμε ότι Ã = g 1 Ag + g 1 dg 1.89 ή σ ε σ υντεταγμένες, Ã j i = g 1 i m Am k gk j + g 1 i k dgk j. Η 1.89 επαληθεύεται ως εξής: D ẽ j = Ã i j e kg k i = Ãi j e kg k i = Ãi j gk i e k. Ομως, D ẽ j = D e i g i j = A k i e k g i j + e i dg i j = A k i gi j ek + dg i j e i = A k i gi j e k + dg k j e k, εκ των οποίων λαμβάνεται η 1.89. Επέκτασ η σ ε υψηλότερης τάξης διαφορικές μορφές σ την E Η σ ύνδεσ η D μπορεί να επεκταθεί έτσ ι ώσ τε να δρα σ ε E-διαφορικές μορφές υψηλότερης τάξης ως εξής [36] Πρόταση 1.29. Υπάρχει μοναδικός τελεσ τής D : Ω p M, E Ω p+1 M, E, ο οποίος ικανοποιεί τις σ υνθήκες 19 Εργαζόμασ τε σ την δυϊκή δέσ μη, ή ισ οδύναμα,σ την τοπική αναπαράσ τασ η του frame λογίζουμε το s ως διάνυσ μασ τήλη. 42

1.4 Συνδέσ εις και καμπυλότητα 1. D fs = df s + 1 deg f f D s, με f Ω p M και s Ω q M, E. 2. Ds = Ds s Ω 0 M, E. Για τον προσ διορισ μό της τοπικής αναπαράσ τασ ης του τελεσ τή D, θεωρούμε το τοπικό frame f σ την E, και s Ω p M, E. Τότε, αν s a = s a f,1 a r, έχουμε D s a e a = ds a e a + 1 p s a D e a = ds a e a + 1 p s b A a b e a = = ds a + 1 p s b A a b ea = ds a + A a b s b e a = ds + A s a e a, επομένως, Ds f = ds f + A f s f ή Ds ds + A s, 1.90 η οποία 20 ικανοποιεί και την Συνθήκη 2 της Πρότασ ης 1.29. 1.4.1.2 Καμπυλότητα της σ ύνδεσ ης Ορισμός 1.30. Η καμπυλότητα που σ χετίζεται με την σ ύνδεσ η D, F = F D σ την διανυσ ματική δέσ μη E M ορίζεται ως εξής: Θεωρούμε την ακολουθία των απεικονίσ εων Ω 0 M, E D Ω 1 M, E D Ω 2 M, E 1.91 και ορίζουμε την καμπυλότητα της σ ύνδεσ ης D ως Αν F D = 0, τότε η D καλείται επίπεδη σ ύνδεσ η. F D := D D = D 2 : Ω 0 M, E Ω 2 M, E. 1.92 Παρατήρηση. Παρατηρούμε ότι από τον Ορισ μό 1.30, η καμπυλότητα μιας σ ύνδεσ ης εμποδίζει έμφραξη την γενικευμένη ακολουθία de Rham 1.91 από το να είναι σ ύμπλοκο δηλαδή η σ ύνθεσ η δύο απεικονίσ εων να μηδενίζεται σ την ακολουθία των απεικονίσ εων. Αφού τοπικά Ds = ds + A s για s Ω p M, E, τότε παρατηρούμε ότι D 2 s = d + A d + A s = d 2 s + A ds + d A s + A A s = da + A A s, επομένως, αφού η F s = D 2 s δεν περιέχει παραγώγους του s, είναι ένας C M ομομορφισ μός του C M προτύπου, δηλαδή η F είναι C-γραμμική και ικανοποιεί την σ χέσ η F fs = ff s, f C M και s Ω p M, E. Ως εκ τούτου, προκύπτει ότι η F είναι δυνατόν να λογισ θεί ως μια απεικόνισ η F : Ω 0 M, E Ω 0 M, 2 T E προτύπου, έπεται ότι F Ω 0 M, Hom και όντας ομομορφισ μός του C M E, 2 T E = Ω 2 M, Hom E, E. Τοπική αναπαράσ τασ η της καμπυλότητας Κάθε σ τοιχείο Φ Ω p M, Hom E, E μπορεί να αναπαρασ ταθεί ως προς ένα τοπικό frame f σ την E ως εξής Αφού Hom E, E = E E, μια επαγόμενη βάσ η του Hom E, E είναι η {e a e b }, σ υνεπώς, Φs = Φ sa e a = s a Φ e a = s a Φ b a f e b = Φ b a f s a f e b, οπότε Φs f = Φ f s f, δηλαδή, η τοπική αναπαράσ τασ η του Φs ως προς την βάσ η f δίνεται από τη γινόμενο πινάκων Φ f s f. 20 Για λόγους απλότητας, ο διαφορικός τελεσ τής της σ ύνδεσ ης που δρά σ ε E-διαφορικές μορφές οποιασ δήποτε τάξης θα σ υμβολίζεται ως D. 43

1.4 Συνδέσ εις και καμπυλότητα 1.4.1.3 Επαγόμενες σ υνδέσ εις Για μια πλήρη μαθηματική αντιμετώπισ η του γενικότερου θέματος των επαγόμενων σ υνδέσ εων σ ε κύριες δέσ μες, βλ. [37]. Η Ω M, Hom E, E είναι μια προσ εταιρισ τική άλγεβρα 21 που ορίζεται κατά σ ημεία σ ημείο προς σ ημείο από το γινόμενο ω L ω L = ω ω L L, όπου ω, ω T x M εξωτερική άλγεβρα και L, L Hom E, E x, x M, έχοντας χρησ ιμοποιήσ ει τον ισ ομορφισ μό Ω M, Hom E, E = Γ M, T M Hom E, E. Το σ ύνολο Ω M, Hom E, E μπορεί να μετατραπεί σ ε άλγεβρα Lie, ορίζοντας [s, t] = st 1 deg sdeg t ts, 1.93 όπου τα st και ts είναι γινόμενα σ το Ω M, Hom E, E. Γενικότερα, μπορούμε να θεωρήσ ουμε μια διανυσ ματική δέσ μη F, της οποίας τα νήματα F x να είναι άλγεβρες Lie, όπως για παράδειγμα Hom E, E x = gl r, C. Σε αυτήν την περίπτωσ η, η δομή άλγεβρας Lie των νημάτων επάγει μια δομή άλγεβρας Lie σ τον Ω M, F θέτοντας [ω T, ω T ] = ω ω [T, T ], 1.94 όπου ω T, ω T T M F σ το προηγούμενο παράδειγμα, όπου F = Hom E, E, οι δύο άλγεβρες Lie ταυτίζονται. Αν D σ ύνδεσ η σ την διανυσ ματική δέσ μη E επί της M, τότε υπάρχει μια μοναδική επαγόμενη σ ύνδεσ η ˆD σ τον Hom E, E, με ιδιότητες ˆD [s, t] = [ ˆDs, t ] + [ s, ˆDt ] 1.95a ˆD s e = ˆDs e + 1 deg s s ˆDe, 1.95b όπου s Ω M, Hom E, E και e Ω M, E. Βάσ ει αυτής της ιδιότητας, για ένα τοπικό frame f, προκύπτει, όπως και προηγουμένως, η τοπική αναπαράσ τασ η του ˆD ως ˆDs = ds f + [A f, s f], 1.96 όπου d + A f η τοπική αναπαράσ τασ η της D όταν δρα σ ε τομές της E. Συμβολίζουμε, σ το εξής, ˆD D. Μια θεμελιώδης ταυτότητα που ικανοποιεί η μορφή της καμπυλότητας είναι η ταυτότητα Bianchi DF D = 0, 1.97 όπου D οποιαδήποτε σ ύνδεσ η σ την διανυσ ματική δέσ μη E, και F D η αντίσ τοιχη καμπυλότητα αυτής. Αφού F D Ω 2 M, Hom E, Eκαι D : Ω 2 M, Hom E, E Ω 3 M, Hom E, E επέκτασ η της D σ το Hom E, E, το αρισ τερό μέλος της 1.97 είναι καλώς ορισ μένο. Αυτό προκύπτει χρησ ιμοποιώντας τις τοπικές αναπαρασ τάσ εις των D και F D :DF D = d da + A A + [A, da + A A] = da A A da + A da + A A da + A A A = 0. Συναλλοίωτη παράγωγος δέσ μη με σ ύνδεσ η D. Εσ τω X διανυσ ματικό πεδίο σ την M και E M διανυσ ματική Ορισμός 1.31. Ορίζουμε D X : Γ M, E Γ M, E, με D X s = X D s, που είναι το εσ ωτερικό γινόμενο contraction της διαφορικής μορφής D s με το διανυσ ματικό πεδίο X. Η D X είναι η σ υναλλοίωτη παράγωγος ως προς τη σ ύνδεσ η D κατά το διανυσ ματικό πεδίο X. 21 Η άλγεβρα μιας ομάδας Lie G θα σ υβολίζεται ως g. 44

1.4 Συνδέσ εις και καμπυλότητα Ο τελεσ τής αυτός αποτελεί την γενίκευσ η της σ υνήθους έννοιας της κατευθύνουσ ας παραγώγου σ ε αυτό το πλαίσ ιο, όπου το contraction ως προς το X, X είναι μια καλώς ορισ μένη απεικόνισ η από p-μορφές με τιμές σ την E σ ε p 1-μορφές με τιμές σ την E, με ω e X ω e, όπου ω Ω p M και e Γ M, E. Σε αντισ τοιχία με τα προηγούμενα, η καμπυλότητα F = F D είναι μια 2-μορφή με F Ω 2 M, Hom E, E, η οποία είναι αντισ υμμετρική ως 2-μορφή και διγραμμική, και δρα σ την εφαπτόμενη δέσ μη. Για διανυσ ματικά πεδία X, Y, έχουμε ότι F X, Y Ω 0 M, Hom E, E, δηλαδή F X, Y : Γ M, E Γ M, E, καταλήγοντας σ την έκφρασ η F X, Y = D X D Y D Y D X D [X,Y ], 1.98 που είναι, εκ των προτέρων, διαφορικός τελεσ τής 2ης τάξεως. Σημείωση. Η σ τρέψη ορίζεται σ την ειδική περίπτωσ η όπου E = T M και έχει τη μορφή T X, Y = D X Y D Y X [X, Y ]. Για μια γενικότερη διανυσ ματική δέσ μη, που δεν είναι η εφαπτόμενη, οι όροι σ τον ορισ μό του T δεν είναι τομές της ίδιας δέσ μης. Συναλλοίωτα σ ταθερό frame Εσ τω ένα τοπικό frame f ορισ μένο σ ε ένα ανοικτό σ ύνολο U M, για το οποίο ισ χύει ότι A f = 0. Εφόσ ον F D = da + A A σ το πεδίο ορισ μού του frame, προκύπτει ότι F D = 0 σ το U. Μια τομή s Γ U, E είναι σ υναλλοίωτα σ ταθερή σ το U αν Ds = 0 σ το U. Αν f = e 1,..., e r σ το U, όπου κάθε e j είναι μια σ υναλλοίωτα σ ταθερή τομή της E σ το U σ υναλλοίωτα σ ταθερό frame, τότε A f = 0 F D = 0 σ το U. Θεώρημα 1.32. Εσ τω E π M διανυσ ματική δέσ μη με σ ύνδεσ η D που ικανοποιεί την σ χέσ η F D = 0. Τότε, κάθε σ ημείο x M έχει μια γειτονιά U και ένα σ υναλλοίωτα σ ταθερό frame f που ορίζεται σ την U. Για την απόδειξη του θεωρήματος αυτού, θα χρησ ιμοποιήσ ουμε την έννοια της σ ύνδεσ ης για κύριες δέσ μες, όπου σ τη σ υνέχεια, αποδεικνύεται μέσ ω του θεωρήματος Frobenius. Παρακάτω, το αποτέλεσ μα αυτό επεκτείνεται για κύριες δέσ μες. 1.4.1.4 Γενίκευσ η σ ε κύριες δέσ μες Εσ τω P M μια κύρια δέσ μη, σ υσ χετιζόμενη με μια διανυσ ματική δέσ μη E M. Αν η E έχει την δομή μιας G-δέσ μης, τα νήματα της P είναι ισ ομορφικά με την δομική ομάδα G. Επιπλέον, έσ τω g η άλγεβρα Lie της G, με τον εφαπτόμενο χώρο κάθε νήματος της P να είναι ισ ομορφικός με την g. Η δράσ η από δεξιά για την GL r, C- διανυσ ματική δέσ μη E, όπου κάθε σ ημείο σ την P αντισ τοιχεί σ ε ένα frame για την E, είναι η f = e 1,..., e r e i g1, i..., e i gr i, όπου g a b GL r, C. Θεωρώντας μια διαφορική 1-μορφή ω σ την P με τιμές σ την g, η ω θα είναι μια απεικόνισ η ω : T P g, και αφού λαμβάνει τιμές σ την g, για δεδομένο g G μπορούμε να θεωρήσ ουμε την νέα διαφορική μορφή ad g 1 ω που ορίζεται ως ad g 1 ω X = g 1 ω X g g, 1.99 X T p P, με p P, όπου ad : G Hom g η σ υζυγής αναπαράσ τασ η της G, όπου Hom g η ομάδα των ομομορφισ μών της g, με ad g X = gxg 1. Παρομοίως, μπορούμε να θεωρήσ ουμε το pullback R g ω της μορφής ω υπό τον διαφορομορφισ μό R g. Εσ τω f ένα frame σ την E, ορισ μένο σ το ανοικτό υποσ ύνολο U M, και έσ τω σ f : U P η τομή της P που ορίζεται από το f. Αν η μορφή ω του P λαμβάνει τιμές σ την g, μπορούμε να ορίσ ουμε μια 1-μορφή σ το U με τιμές σ την g, η οποία να εξαρτάται από το frame f ως A f := σ f ω. 1.100 45

1.4 Συνδέσ εις και καμπυλότητα Λήμμα 1.33. a Αν η ω ικανοποιεί τη σ χέσ η τότε R g ω = ad g 1 ω, g G, 1.101 A f g = ad g 1 A f + g 1 dg 1.102 για όλες τις λείες απεικονίσ εις g : U G. b Αν A f ένα σ ύνολο λείων 1-μορφών με τιμές σ την g που ικανοποιούν τη σ χέσ η 1.102, τότε υπάρχει μια 1-μορφή ω με τιμές σ την g ορισ μένη σ την P που ικανοποιεί τη σ χέσ η A f = σf ω, όπου η ω ικανοποιεί την 1.101. Παρατήρηση. Οι λείες απεικονίσ εις g : U G είναι απλώς αλλαγές frames. Επιπλέον, η σ χέσ η 1.102 είναι η ικανή και αναγκαία σ υνθήκη ώσ τε η A f να είναι η 1-μορφή της σ ύνδεσ η D σ την E. Απόδειξη. a Υποθέτουμε ότι η ω ικανοποιεί την 1.101. Εσ τω f P και g G, και g t, f t και u t = f t g t καμπύλες σ τις G, P και P, αντίσ τοιχα, τέτοιες ώσ τε g 0 = g, f 0 = f και u 0 = f g. Παραγωγίζοντας ως προς την παράμετρο t, έχουμε: u t = f tg t + f t g t. Για t = 0, u 0 = f 0g 0 + f 0 g 0 = f 0g 0 + u 0 g 1 0 g 0. Θεωρώντας το u 0 ως εφαπτόμενο διάνυσ μα σ το σ ημείο u 0 P, έχουμε ότι ω u 0 = R g f 0 + g 1 0 g 0 g = ad g 1 ω f 0 + g 1 g 0, 1.103 από όπου, για οποιαδήποτε g : U G και για οποιοδήποτε εφαπτόμενο διάνυσ μα X T x M και για οποιαδήποτε καμπύλη γ t U τέτοια ώσ τε γ = X, λαμβάνουμε ότι A fg = g 1 A f g + g 1 dg. b Χρησ ιμοποιώντας την παράλληλη μεταφορά που ορίζεται από την D, μπορούμε να ορίσ ουμε τον χώρο H p T p P των οριζόντιων διανυσ μάτων ως προς τη σ ύνδεσ η D. Τα διανύσ ματα αυτά, X, είναι εφαπτόμενα σ την P, δηλαδή X T p P, και πρέπει να ικανοποιούν την σ χέσ η X = dσ f X, με X T x M και A f X = 0. Ορίζοντας έτσ ι τον χώρο H p, ορίζεται με μοναδικό τρόπο και το σ υμπλήρωμά του σ τον T p P, που είναι ο χώρος των κατακόρυφων διανυσ μάτων V p T p P. Ο χώρος T p P αναλύεται ως T p P = V p P H p P. Η επιλογή του H p εξαρτάται από την επιλογή του D, και ισ οδύναμα από την επιλογή του A f που ικανοποιεί την 1.102. Εφόσ ον ο εφαπτόμενος χώρος V p P μπορεί να ταυτισ θεί μέσ ω αναλλοίωτων διανυσ ματικών πεδίων σ την P x με την άλγεβρα Lie g. Αν ορίσ ουμε για X T p P ως ω X την προβολή κατά μήκος του H p επί του V p, τότε αυτή είναι μια γραμμική απεικόνισ η ω : T p P g, και ως εκ τούτου, μια καλώς ορισ μένη 1-μορφή με τιμές σ την g. H ω είναι η επιθυμητή 1-μορφή σ την P που ορίζει την οικογένεια των 1-μορφών A f σ την M. [20] Δεδομένης μιας σ ύνδεσ ης σ την E, η αντίσ τοιχη μορφή της σ ύνδεσ ης ω σ την P ορίζει μια μορφή καμπυλότητας Ω ως Ω := dω + 1 [ω, ω]. 1.104 2 Λαμβάνοντας το pullback της ω σ την M κατά ένα frame f, για g = gl r, C, έχουμε : da f + 1 2 [A f, A f] = da f + 1 A f A f + A f A f = da f + A f A f, 2 που είναι η τοπική αναπαράσ τασ η της μορφής καμπυλότητας F = D 2. Γενικότερα, για μια μορφή με τιμές σ την g, η καμπυλότητα ορίζεται από τη σ χέσ η 1.104, η οποία έχει τοπικά, για κάποιο f, την μορφή F D f := A f + 1 [A f, A f], 1.105 2 46

1.4 Συνδέσ εις και καμπυλότητα όπου [, ] οι αγκύλες Lie σ την g. Σύμφωνα με το θεώρημα Frobenius, αν {θ a }, a = 1,..., k μια οικογένεια 1-μορφών σ ε μια διαφορίσ ιμη πολλαπλότητα M, και αν dθ a = f ab θ a θ b, δηλαδή αν το dθ a είναι το ιδεώδες ideal 22 που προέρχεται από το σ ύνολο {θ a } σ την άλγεβρα των μορφών της M, τότε υπάρχουν σ υντεταγμένες x 1,..., x k, x k+1,..., x n τοπικά σ την M, τέτοιες ώσ τε θ a = dx a, a = 1,..., k. Θεώρημα 1.34. Εσ τω E M μια G- διανυσ ματική δέσ μη με σ ύνδεσ η D, και έσ τω F = dω + 1 2 [ω, ω] η μορφή της καμπυλότητας σ την P. Αν F = 0, τότε για κάθε σ ημείο x M υπάρχει ανοικτό σ ύνολο U και frame f : U P τέτοια ώσ τε ω fu = 0, ή ισ οδύναμα, f ω = A f 0. Παρατήρηση. Η τομή f θα είναι σ υναλλοίωτα σ ταθερή για την σ ύνδεσ η D, και έτσ ι θα αποδειχθεί και το Θεώρημα 1.32 σ το πλαίσ ιο του γενικότερου Θεωρήματος 1.34. Απόδειξη. Αφού η καμπυλότητα είναι μηδέν, έχουμε ότι dω = 1 2 [ω, ω]. Αν θεωρήσ ουμε T a μια βάσ η της g, με a = 1,..., dim g = k, τότε ω = ω a T a και dω a = B a bc ωb ω c για κατάλληλο B a bc C P. Κατά σ υνέπεια, το {ω a } ικανοποιεί τις σ υνθήκες ολοκληρωσ ιμότητας του Θεωρήματος Frobenius, και άρα υπάρχουν τοπικές σ υντεταγμένες x 1,..., x n, y 1,..., y k σ την P έτσ ι ώσ τε ω a = dy a. Οι σ υντεταγμένες για την M είναι οι x 1,..., x n και η προβολή π : P M σ τις σ υντεταγμένες αυτές λαμβάνει τη μορφή x 1,..., x n, y 1,..., y k x 1,..., x n, ενώ οι οριζόντιοι χώροι H p θα είναι εφαπτόμενοι σ τα n-επίπεδα y a = σταθερό, a = 1,.., k. Επιπλέον, τα όλα frames f y x = x, y με σ ταθερό y είναι σ υναλλοίωτα σ ταθερά. Ισ οδύναμοι ορισ μοί της σ ύνδεσ ης Συγκεντρωτικά, οι ισ οδύναμες έννοιες της σ ύνδεσ ης που προέκυψαν από τα προηγούμενα είναι οι εξής: Εσ τω E M μια G-δέσ μη επί της M με μια σ υσ χετιζόμενη κύρια δέσ μη. Οι ακόλουθες έννοιες της σ ύνδεσ ης σ την E είναι ισ οδύναμες: 1. Ενας τελεσ τής D : Γ M, E Γ M, E T M που ικανοποιεί τη σ χέσ η D fs = df s + fd s. 2. Μια οικογένεια 1-μορφών σ ύνδεσ ης A f με τιμές σ την g, ορισ μένες σ ε ένα frame f, όπου υπό αλλαγή frame g : U G. A fg = g 1 A f g + g 1 dg 3. Μια 1-μορφή ω με τιμές σ την g ορισ μένη σ την P, η οποία ικανοποιεί τη σ χέσ η R gω = g 1 ωg. 4. Μια λεία επιλογή οριζοντίων υπόχωρων, σ υμπληρωματικών των κατακόρυφων υπόχωρων V p P που είναι εφαπτόμενοι σ τα νήματα της P M. 5. Μια επιλογή παράλληλης μεταφοράς, ή ισ οδύναμα, ένας ισ ομορφισ μός ϕ γ : T p E T q E, ο οποίος εξαρτάται λεία από μια καμπύλη γ που σ υνδέει τα σ ημεία p και q σ την M. Η αντίσ τοιχη καμπυλότητα της σ ύνδεσ ης D, F D, έχει τις εξής μορφές: σ την περίπτωσ η 1 έχει την μορφή D 2, σ την περίπτωσ η 2 έχει την μορφή F D = da f + A f A f, και σ την περίπτωσ η 3 έχει την μορφή F = dω + 1 2 [ω, ω]. Στην περίπτωσ η 4, η καμπυλότητα αποτελεί έμφραξη για την ολοκληρωσ ιμότητα της κατανομής των οριζοντίων υπόχωρων H p, ενώ σ την περίπτωσ η 5 αποτελεί το μέτρο της απόκλισ ης από την ταυτότητα σ την δράσ η της ϕ γ σ την T p E για μια κλεισ τή καμπύλη γ M [20, 36, 38]. 22 Ενας υπόχωρος h g μιας άλγεβρας Lie g, ο οποίος είναι κλεισ τός υπό την αγκύλη Lie, ορίζει μια υποάλγεβρα Lie. Αν ένας υπόχωρος I g ικανοποιεί την σ υνθήκη [g, I] I, λέγεται ιδεώδες της άλγεβρας Lie g. 47

1.4 Συνδέσ εις και καμπυλότητα 1.4.1.5 Ερμητιανή σ ύνδεσ η Η Ερμητιανή μετρική h =, E σ την E, σ ε σ υμφωνία με τον Ορισ μό 1.15, αντισ τοιχεί, σ ε κάθε νήμα, σ το Ερμητιανό εσ ωτερικό γινόμενο του μιγαδικού διανυσ ματικού χώρου E x, x M, που μεταβάλλεται λεία ως προς x. Αυτό ισ οδυναμεί με την πρότασ η ότι η σ υνάρτησ η ϕ x = s x, t x Ex είναι λεία σ υνάρτησ η σ την M αν τα s και t είναι λείες τομές της E επί της M. Μια σ ύνδεσ ηd είναι σ υμβατή με μια Ερμητιανή μετρική αν βλ. 1.2.8 d s, t = Ds, t + s, Dt s, t Γ M, E. 1.106 Το εσ ωτερικό γινόμενο, εδώ, εκτείνεται από τομές της E σ ε διαφορικές μορφές με τιμές σ την E, ορίζοντας ω s, ω s = ω ω s, s, όπου ω, ω Ω M, s, s Γ M, E. Τότε, η 1.106 εκφράζει την σ υμβατότητα της εξωτερικής παραγώγου d, της σ ύνδεσ ης D και του εσ ωτερικού γινομένου,. Note. Μια ευκλείδεια μετρική σ ε μια πραγματική διανυσ ματική δέσ μη E M ορίζεται, κατά τον σ υνήθη τρόπο, ως ένα σ υμμετρικό διγραμμικό θετικά ορισ μένο εσ ωτερικό γινόμενο σ ε κάθε νήμα E x της E, που μεταβάλλεται λεία ως προς x. Επιπλέον, σ ε κάθε ψευδο-riemannian πολλαπλότητα M, g μια σ ύνδεσ η D που να είναι σ υμβατή με την μετρική g δεν είναι μοναδικά ορισ μένη. Ωσ τόσ ο, αν αυτή η σ ύνδεσ η είναι, επιπλέον, σ υμβατή με την 1.106 και φέρει μηδενική σ τρέψη, τότε ορίζεται με μοναδικό τρόπο και αντισ τοιχεί σ την σ ύνδεσ η Levi-Civita. 1.4.1.6 Σύνδεσ η Chern Εσ τω E μια ολομορφική διανυσ ματική δέσ μη επί μιας μιγαδικής πολλαπλότητας M, J, όπου J η μιγαδική δομή, και έσ τω E, h E μια Ερμητιανή διανυσ ματική δέσ μη επί της M. Ο C-γραμμικός τελεσ τής Dolbeault : Ω p,q E Ω p,q+1 E με 2 = 0, όπως είδαμε, ορίζεται τοπικά ως f a = f a. Αναλύοντας τον Ω 1 E ως Ω 1 E = Ω 1,0 E Ω 0,1 E, μπορούμε να εκφράσ ουμε κάθε σ ύνδεσ η D σ την E ως το ευθύ άθροισ μα D = D 1,0 D 0,1, όπου έχουμε ότι D 1,0 : Ω 0 E Ω 1,0 E και D 0,1 : Ω 0 E Ω 0,1 E. Παρατηρούμε ότι ο D 0,1 ικανοποιεί τη σ χέσ η D 0,1 f s = f s + f D 0,1 s, δηλαδή σ υμπεριφέρεται σ αν τον τελεσ τή, και, πράγματι, ακόμα και αν η E δεν είναι ολομορφική δέσ μη, η ανάλυσ η D = D 1,0 D 0,1 έχει νόημα. Μια σ ύνδεσ η D σ ε μια ολομορφική διανυσ ματική δέσ μη E είναι σ υμβατή με την ολομορφική δομή αν D 0,1 =. Αν η h E σ την ολομορφική δέσ μη E είναι Ερμητιανή και σ υμβατή με την ολομορφική δομή, τότε λέγεται σ ύνδεσ η Chern. Πρόταση 1.35. Η σ ύνδεσ η Chern υπάρχει και είναι μοναδική. Απόδειξη. Ως προς ένα τοπικό ολομορφικό frame s = s a = s 1,..., s q σ ε ένα ανοικτό υποσ ύνολο U M, έχουμε: Ds = ωs ή Ds a = ωas c c. Εφόσ ον η s a είναι ολομορφική, D = D 1,0 D 0,1 = D 1,0 και s a = 0, έχουμε Ds a = D 1,0 s a = ωas c c, επομένως οι ωa c είναι 1, 0-μορφές. Χρησ ιμοποιώντας τη σ χέσ η 1.106, έχουμεd s a, s b = Ds a, s b + s a, Ds b = ωas c c, s b + s a, ωb cs c = h b c ωa+h c a c ωb c, όπου θέσ αμε h a b := s a, s b. Επιπλέον, έχουμε ότι d s a, s b = dh a b = + h a b + h a b, και εφόσ ον τα ωb a είναι 1, 0-μορφές, τότε h a b = ωc ah c b ωa c = h a bh bc. Θέτοντας H = h a b, για τον αντίσ τροφο πίνακα έχουμε H 1 = h bc = h a b 1, άρα η ω = H H 1 καθορίζεται με μοναδικό τρόπο από το H, ή ισ οδύναμα, ο πίνακας της σ ύνδεσ ης καθορίζεται μοναδικά από την μετρική. Επιπλέον, ισ χύει και το εξής[38] Αν M, g μια πολλαπλότητα Kähler, τότε και μόνο τότε, υπό τον ισ ομορφισ μό ϕ : T M T 1,0 M, η σ ύνδεσ η Chern D σ την ολομορφική εφαπτόμενη δέσ μη T 1,0 M αντισ τοιχεί σ την σ ύνδεσ η Levi-Civita. 48

2 Χαρακτηριστικές κλάσεις, sheaves και συνομολογία, δομές spin και συνθήκες ύπαρξης 2.1 Χαρακτηριστικές κλάσεις και sheaves Στην υποενότητα αυτή θα μελετήσ ουμε τα βασ ικά σ τοιχεία της θεωρίας σ υνομολογίας και ταξινόμησ ης των δεσ μών, που θα μας επιτρέψει την περιγραφή της γενικότερης θεωρίας των spinorial δεσ μών. Οπως είδαμε, ανάλογα με την επιλογή των σ υναρτήσ εων μετάβασ ης, δεδομένου ενός νήματος F και μιας δομικής ομάδας G και ενός βασ ικού χώρου M, μπορούν να κατασ κευασ θούν διαφορετικές δέσ μες επί της M. Ωσ τόσ ο, ανακύπτουν ερωτήματα σ χετικά με το πλήθος των δυνατών νημάτων επί της M για κάθε F, G και σ χετικά με την τετριμμενότητα της δομής τους. Ετσ ι, οι χαρακτηρισ τικές κλάσ εις είναι υποσ ύνολα των κλάσ εων σ υνομολογίας του βασ ικού χώρου, και μετρούν την απόκλισ η μιας δέσ μης από την τετριμμένη, και οι περισ σ ότερες προκύπτουν από τις κλάσ εις σ υνομολογίας de Rham. Μεταξύ των σ υνήθων αναλλοίωτων τοπολογικών μεγεθών σ ε μια λεία πολλαπλότητα είναι ο τύπος της ομοτοπίας, ο οποίος σ υνήθως αντικαθίσ ταται από τον δακτύλιο σ υνομολογίας βλ. και [41]. Η πληροφορία που παρέχει το είδος της ομοτοπίας είναι αρκετή ώσ τε να κατασ τεί δυνατή η διάκρισ η ενός μιγαδικού προβολικού χώρου από έναν τόρο ή μια σ φαίρα, αλλά γενικότερα, δεν επαρκεί για την διάκρισ η όλων των πολλαπλοτήτων μιας σ υγκεκριμένης διάσ τασ ης. Το επόμενο επίπεδο της πληροφορίας που απαιτείται είναι αυτό των χαρακτηρισ τικών κλάσ εων, όπως οι κλάσ εις Stiefel-Whitney, w i M, τις οποίες θα μελετήσ ουμε αναλυτικά σ ε σ χέσ η με τις δομές spin, οι κλάσ εις Pontrjagin, p i M, ή οι κλάσ εις Chern, c i M, αν η πολλαπλότητα είναι μιγαδική. Οπως προκύπτει [44], υπάρχουν ομοτοπικά ισ οδύναμες πολλαπλότητες, οι οποίες διακρίνονται μόνο από την χαρακτηρισ τική τους κλάσ η ενώ, για παράδειγμα, μπορεί να δειχθεί, εμμέσ ως, ότι ορισ μένες τοπολογικές πολλαπλότητες δεν επιδέχονται λείες δομές, διακρίνοντας ομοτοπικές σ φαίρες Επιπλέον, προκύπτει ότι για πολλαπλότητες διάσ τασ ης τουλάχισ τον 5, και για απλά σ υνεκτικές πολλαπλότητες, αυτά τα αναλλοίωτα τοπολογικά μεγέθη αρκούν για να καθορίσ ουν την πολλαπλότητα έως και ένα πεπερασ μένο πλήθος δυνατών διαφορομορφισ μών. Ωσ τόσ ο, για 4-διάσ τατες λείες πολλαπλότητες, αυτό δεν ισ χύει. Το είδος της ομοτοπίας μιας απλά σ υνεκτικής προσ ανατολισ μένης τετραδιάσ τατης πολλαπλότητας 4-πολλαπλότητα M προκύπτει εύκολα. Λόγω του δυϊσ μού Poincaré βλ. [14] για ορισ μό, υπάρχει μόνο μια ενδιαφέρουσ α ομάδα ομολογίας, H 2 M = H 2 M; Z, η οποία είναι μια ελεύθερη αβελιανή ομάδα πεπερασ μένης τάξης, ενώ έχει επιπλέον δομή, όπως προκύπτει επίσ ης από τον δυϊσ μό Poincaré, η οποία είναι το σ υμμετρικό ζεύγος H 2 M H 2 M Z, το οποίο είναι μονομετρικό unimodular, ή ισ οδύναμα, το σ υζυγές του είναι ένας ισ ομορφισ μός. Το είδος του ισ ομορφισ μού αυτής της αντισ τοιχίας ισ οδυναμεί με το είδος της ομοτοπίας της M. Ετσ ι, οι μόνες χαρακτηρισ τικές κλάσ εις της M είναι οι w 2 M H 2 M; Z/2Z και p i M H 4 M; Z, οι οποίες καθορίζονται από την H 2 M, άρα αντισ τοιχεί σ ε έναν ακέραιο, εφόσ ον η M είναι απλά σ υνεκτική και προσ ανατολίσ ιμη, που σ ημαίνει ότι όλα τα κλασ ικά τοπολογικά αναλλοίωτα μιας 4-πολλαπλότητας M καθορίζονται από την αντισ τοιχία της τομής σ την H 2 M. Οι διαφορικές τοπολογικές δομές μπορούν να χρησ ιμοποιηθούν για να δειχθεί ότι αν οι M και N είναι απλά σ υνεκτικές 4-πολλαπλότητες με ισ ομορφικές αντισ τοιχίες τομών, τότε οι M S 1 και N S 1 είναι διαφορομορφικές κατά έναν διαφορομορφισ μό ομοτοπικό σ το f Id S 1 για κάθε δοθείσ α ισ οδυναμία ομοτοπίας f μεταξύ M και N. Μπορούμε να χρησ ιμοποιήσ ουμε την καμπυλότητα για να ορίσ ουμε κλάσ εις σ υνομολογίας σ την M, οι οποίες θα μετρούν την μη-τετριμμενότητα της δέσ μης, οι οποίες αναφέρονται ως χαρακτηρισ τικές κλάσ εις. Συνήθως ορίζονται από την 2-μορφή της καμπυλότητας F D, επομένως, κάθε τετριμμένη δέσ μη θα έχει και τετριμμένη χαρακτηρισ τική κλάσ η, άρα πράγματι, οι κλάσ εις αυτές μπορούν να δείξουν την μη τετριμμενότητα μιας δέσ μης [30, 42, 43, 44, 45]. 49

2.1 Χαρακτηρισ τικές κλάσ εις και sheaves 2.1.1 Αναλλοίωτα πολυώνυμα και κλάσ η Chern 2.1.1.1 Ομάδα σ υνομολογίας de Rham Definition 2.1. Αν M μια m-διάσ τατη πολλαπλότητα, τότε μια r-μορφή ω Ω r M είναι κλεισ τή αν dω = 0, και ακριβής αν ω = dη για κάποιο η Ω r 1 M. Αν Z r M το σ ύνολο των κλεισ τών r-μορφών, και B r M το σ ύνολο των ακριβών r-μορφών, τότε Z r M B r M. Η r-οσ τή ομάδα σ υνομολογίας de Rham H r M oρίζεται ως H r M Z r M /B r M. 2.1 Δύο κλεισ τές r-μορφές ω 1, ω 2 σ την H r M ταυτίζονται αν ω 1 ω 2 = dη για κάποιο η Ω r 1 M. Το άθροισ μα H M H 0 M H 1 M... H m M 2.2 είναι ο δακτύλιος σ υνομολογίας, εφοδιασ μένος με το γινόμενο : H M H M H M, το οποίο επάγεται από το : H p M H q M H p+q M. Αν f : M N λεία απεικόνισ η, το pullback f : Ω r N Ω r M επάγει φυσ ικά μια γραμμική απεικόνισ η f : H r N H r M, αφού το f μετατίθεται με την εξωτερική παράγωγο [18]: f dω = df ω, άρα το pullback f, διατηρεί αναλλοίωτη την αλγεβρική δομή του δακτυλίου σ υνομολογίας, αφού f ω η = f ω f η. 2.1.1.2 Αναλλοίωτα πολυώνυμα Εσ τω M k, C το σ ύνολο των μιγαδικών πινάκων k k, και έσ τω S r M k, C ο διανυσ ματικός χώρος των σ υμμετρικών r-γραμμικών μιγαδικών σ υναρτήσ εων σ τον M k, C. Mια απεικόνισ η P : r M k, C C είναι σ τοιχείο του S r M k, C ανν, εκτός από την γραμμικότητα, ικανοποιεί και την σ χέσ η σ υμμετρίας P a 1,..., a i,..., a j,..., a r = P a 1,..., a j,..., a i,..., a r, με i 1, j r, και a p GL k, C. Εσ τω S M k, C S r M k, C. 2.3 Ενα γινόμενο του P S p M k, C και του Q S q M k, C ορίζεται ως r=0 P Q x 1,..., x p+q = 1 P X P 1,..., X P p Q XP p+1,..., X P p+q, 2.4 p!q! P όπου P η μετάθεσ η του 1,..., p + q. Τότε, ο S M k, C εφοδιασ μένος με το γινόμενο 2.4 είναι μια άλγεβρα. Εσ τω G μια ομάδα πινάκων με άλγεβρα Lie g, η οποία είναι υπόχωρος του M k, C, με τους περιορισ μούς S r g και S g r 0 Sr g. Τότε, το P S r g είναι αναλλοίωτο αν g G και A i g ισ χύει ότι P Ad g A 1,..., Ad g A r = P A 1,..., A r, 2.5 όπου Ad g A i = g 1 A i g. Εσ τω I r G το σ ύνολο των G-αναλλοίωτων σ τοιχείων του S r g όπου g 1 = g 2 I r G 1 = I r G 2. Το γινόμενο 2.4 επάγει φυσ ικά το γινόμενο I p G I q G I p+q G, 2.6 άρα το σ ύνολο I G r 0 Ir G εφοδιασ μένο με το γινόμενο 2.6 είναι μια άλγεβρα. Υπάρχει μια μοναδικά ορισ μένη r-γραμμική σ υνάρτησ η P ορισ μένη σ την g τέτοια ώσ τε P A P A,..., A, A g. Η P είναι πολυώνυμο r -βαθμού, το οποίο είναι το αναλλοίωτο πολυώνυμο. }{{} r 50

2.1 Χαρακτηρισ τικές κλάσ εις και sheaves Επιπλέον, το P είναι και Ad G-αναλλοίωτο, δηλαδή P Ad g A = P g 1 Ag = P A, 2.7 με A g και g G. Αντίσ τροφα, κάθε αναλλοίωτο πολυώνυμο P ορίζει μια σ υμμετρική αναλλοίωτη r-γραμμική μορφή P, αναπτύσ σ οντας το P t 1 A 1 +... + t r A r ως πολυώνυμο ως προς t i, η οποία καλείται πόλωσ η του P. Αν E M μιγαδική διανυσ ματική δέσ μη, D μια σ ύνδεσ η σ την E και F = F D η καμπυλότητα της D, τότε, για ένα αναλλοίωτο πολυώνυμο P βαθμού k, η P F είναι μια καλώς ορισ μένη διαφορική μορφή βαθμού 2k σ την M. Πράγματι, έσ τω frame f τέτοιο ώσ τε η F f να είναι ένας r r πίνακας 2-μορφών F a b ως προς το f. Το πολυώνυμο είναι καλώς ορισ μένο ως προς τα σ τοιχεία του πίνακα, και δίνει μια 2k-μορφή. Υπό αλλαγή frame f fg, g GL r, C, έχουμε F fg = gf f g 1, αφού το P είναι αναλλοίωτο υπό μετασ χηματισ μούς ομοιότητας, άρα είναι μια καλώς ορισ μένη 2k-μορφή σ την M, ανεξαρτήτως σ υσ τήματος σ υντεταγμένων. Η σ ημασ ία των αναλλοίωτων πολυωνύμων προκύπτει το ακόλουθο θεώρημα: Θεώρημα 2.2 Chern-Weil. Εσ τω E M μιγαδική διανυσ ματική δέσ μη τάξης r, και έσ τω P ένα αναλλοίωτο πολυώνυμο σ την gl r, C βαθμού k. Τότε: 1. Αν D σ ύνδεσ η σ την E με καμπυλότητα F D, dp F D = 0, δηλαδή η P F D είναι μια κλεισ τή 2k-μορφή. 2. Αν D 1 και D 2 δύο διαφορετικές σ υνδέσ εις σ την E με αντίσ τοιχες καμπυλότητες F D1 και F D2, τότε υπάρχει μια 2k 1-μορφή η σ την M τέτοια ώσ τε P F D1 P F D2 = dη ακριβής. Απόδειξη. Βλ. [24], 11.1.1. Πόρισμα 2.3. Η P F D ορίζει μια κλάσ η σ υνομολογίας de Rham, η οποία είναι ανεξάρτητη της σ ύνδεσ ης D. Απόδειξη. Βλ. [12, 14, 30]. Με βάσ η το θεώρημα αυτό, μπορούν να ορισ θούν οι κλάσ εις Chern. 2.1.1.3 Κλάσ η Chern Definition 2.4. Σε μια μιγαδική διανυσ ματική δέσ μη E M, με νήματα C k, εφοδιασ μένη με μια σ ύνδεσ η D σ την E και καμπυλότητα F D, ορίζεται η ολική κλάσ η Chern ως: c E, D c F D := det I + i 2π F D. 2.8 Η k-οσ τή μορφή Chern, c k F D της E ως προς τη σ ύνδεσ η D, μέσ ω ενός αναλλοίωτου πολυωνύμου k-οσ τού βαθμού P k, ορίζεται ως i c k F D := P k 2π F D. 2.9 Η k-οσ τή κλάσ η Chern της E είναι η c k E := {de Rham κλάσ η της c k F D } H 2k M. 2.10 Remark. Σύμφωνα με το Θεώρημα 2.2, η 2.9 είναι μια κλεισ τή 2k-μορφή, c k F D Ω 2k M. Επίσ ης, η 2.10 είναι ανεξάρτητη της σ ύνδεσ ης D σ ύμφωνα με το Πόρισ μα 2.3. 51

2.1 Χαρακτηρισ τικές κλάσ εις και sheaves Η ολική κλάσ η Chern, αφού η F D είναι 2-μορφή, μπορεί να γραφεί ως ευθύ άθροισ μα μορφών άρτιου βαθμού, c F D = 1 + c 1 F D +... +. 2.11 Σε μια m-διάσ τατη πολλαπλότητα M, η κλάσ η Chern c k F D με 2k > m μηδενίζεται τετριμμένα. Ανεξάρτητα από την διάσ τασ η της M, η σ ειρά 2.11 τερματίζει σ τον όρο c j F D = det if D /2π, με c k F D = 0 για k > j. Ιδιότητες κλάσ ης Chern Εχουμε: Θεώρημα 2.5. Οι κλάσ εις Chern έχουν τις ακόλουθες ιδιότητες: i c 0 E = 1 για οποιαδήποτε μιγαδική διανυσ ματική δέσ μη E. ii Αν H P 1 η δέσ μη τομών υπερεπιπέδου, τότε c 1 H [ P 1] = 1. iii Αν f : M N διαφορίσ ιμη απεικόνισ η μεταξύ πολλαπλοτήτων, και E μιγαδική διανυσ ματική δέσ μη επί της N, τότε c f E = f c E, όπου f E η διανυσ ματική δέσ μη pullback υπό την απεικόνισ η f και f c E το pullback της κλάσ ης σ υνομολογίας. iv Αν E = E 1 E 2 ευθύ άθροισ μα μιγαδικών διανυσ ματικών δεσ μών δέσ μη αθροίσ ματος Whitney, τότε c E = c E 1 c E 2, όπου το γινόμενο ανήκει σ τον δακτύλιο σ υνομολογίας H M, R. Απόδειξη. i Εξ ορισ μού. ii [14]. iii Αν η καμπυλότητα της E είναι η F DE και της f E είναι η F f E, η ολική κλάσ η Chern της f E είναι c f E = det I + i 2π F f E = det I + i 2π f F DE = f det I + i 2π F D E = f c E. iv Εσ τω το πολυώνυμο Chern του πίνακα A = diag a, b. Εφόσ ον η καμπυλότητα μιας δέσ μης αθροίσ ματος Whitney προκύπτει να είναι της μορφής F E1 E 2 = diag F E1, F E2, έχουμε: det I + ia 2π = det diag I + ia 2π, I + ib 2π = det I + ia 2π det I + ib 2π = ca c b. Αντικαθισ τώντας τα a, b με F E1, F E2, η σ χέσ η αυτή εξακολουθεί να ισ χύει, δηλαδή c F E1 E 2 = c F E1 c F E2. Εσ τω M σ υμπαγής προσ ανατολίσ ιμη 4-πολλαπλότητα, και έσ τω E M μια SU 2-δέσ μη επί της M. Τότε, Πρόταση 2.6. Αν D μια σ ύνδεσ η SU 2 σ την E, και F η 2-μορφή της καμπυλότητας της σ ύνδεσ ης D σ την E, τότε c 2 E [M] = 1 ˆ 8π 2 tr F F Z. 2.12 M Απόδειξη. Επιλέγοντας μια βάσ η SU 2 σ την E, η F αναπαρίσ ταται ως προς αυτήν τη βάσ η ως F 1 F = 1 F1 2 F2 1 F2 2. Το ίχνος σ την 2.12 του F F είναι ανεξάρτητο από την επιλογή αναπαράσ τασ ης. Παρατηρούμε ότι η 1-μορφή της σ ύνδεσ ης και η 2-μορφή της καμπυλότητας λαμβάνουν τιμές σ την su 2, άρα F1 1 = F2 2, και γενικά Fa b = Fb a. Επομένως, 2 i F 1 c 2 F = det 1 F1 2 2π F2 1 F2 2 = 1 F 1 4π 2 1 F2 2 F2 1 F1 2. Επιπλέον, F 1 tr F F = tr 1 F1 2 F 1 F2 1 F2 2 1 F1 2 F2 1 F2 2 = 2 F1 1 F2 2 F2 1 F1 2. Άρα, έχουμε ότι c 2 F = 1 8π tr F F, και σ υνεπώς, c 2 2 E [M] = 1 8π tr F F. M 2 52

2.1 Χαρακτηρισ τικές κλάσ εις και sheaves 2.1.2 Sheaves και σ υνομολογία 2.1.2.1 PreSheaf Ορίζουμε τα εξής: Ορισμός 2.7. Ενα presheaf G σ ε έναν τοπολογικό χώρο X είναι μια αντισ τοιχία μιας ομάδας 23 G U σ ε κάθε ανοικτό υποσ ύνολο U X, μαζί με μια απεικόνισ η περιορισ μού restriction map ρ UV : G V G U, για U V X, η οποία ικανοποιεί τη σ χέσ η ρ UW = ρ UV ρ V W για U V W X, με ρ W W = Id. Ορισμός 2.8. Ενα presheaf μετατρέπεται σ ε sheaf αν ικανοποιούνται δύο επιπλέον σ υνθήκες: 1. Αν U ανοικτό υποσ ύνολο του X, και {U i } ανοικτή κάλυψη αυτού δηλαδή U i U i και U i U j, τότε: αν f G U με f i = f GUi = 0 i, τότε f = 0. 2. Αν U ανοικτό υποσ ύνολο του X και {U i } ανοικτή κάλυψη αυτού, και υπάρχουν f i G U i τέτοια ώσ τε f GUi U j = f GU i U j i j, τότε υπάρχει f G U, με f GUi = f i glueing property. Ενα sheaf G μπορεί να σ υνδεθεί με ένα presheaf G 0 σ ε έναν τοπολογικό χώρο X ως εξής: έσ τω δύο τοπικές τομές s, s G 0 U για ένα ανοικτό υποσ ύνολο U X. Τότε τα s, s είναι ισ οδύναμα σ το σ ημείο x X αν υπάρχει γειτονιά V x U τέτοια ώσ τε ρ VxU s = ρ VxU s. Οι αντίσ τοιχες κλάσ εις ισ οδυναμίας καλούνται germs των τομών σ το σ ημείο x, και ο χώρος των germs σ το x είναι ο G x. Ετσ ι, το sheaf μπορεί να ορισ θεί, πλέον, ως η ένωσ η των χώρων των germs, G = x X G x, καθώς η ένωσ η ικανοποιεί τις απαιτούμενες ιδιότητες. Subsheaf Ακόμα, ένα subsheaf ενός sheaf G ενός τοπολογικού χώρου X, είναι ένα sheaf G σ τον X τέτοιο ώσ τε το G U να είναι υποομάδα του G U για κάθε ανοικτό σ ύνολο U X. Οι περιορισ μοί του G προέρχονται από αυτούς του G. Παραδείγματα sheaves Χαρακτηρισ τικά παραδείγματα sheaves αποτελούν: το sheaf των ολομορφικών σ υναρτήσ εων, O U, τα sheaves των σ υνεχών και λείων σ υναρτήσ εων C 0 U και C U, και τα sheaves των λείων r, s-μορφών Ω r,s U, όπου U τοπολογικός χώρος μιγαδική πολλαπλότητα σ το τελευταίο παράδειγμα. Sheaf δομής Μια πολλαπλότητα μπορεί να ερμηνευθεί ως ένας τοπικά-δακτύλιος χώρος locallyringed space [50], o oποίος είναι ένας τοπολογικός χώρος M με ένα sheaf G από μεταθετικούς δακτυλίους σ τον M. Το sheaf αυτό καλείται sheaf δομής structure sheaf του τοπικά δακτυλίου χώρου, και σ υνήθως σ υμβολίζεται ως O M. Στην περίπτωσ η που η M, O M είναι μια μιγαδική πολλαπλότητα, τότε το G είναι το sheaf των ολομορφικών σ υναρτήσ εων της M. Τοπικά ελεύθερα sheaves Ενα sheaf Gείναι τοπικά ελεύθερο και έχει τάξη r αν υπάρχει ανοικτό κάλυμμα {U i } τέτοιο ώσ τε G Ui = O r U i. Αποδεικνύεται ότι [50, 51] οι κλάσ εις ισ ομορφισ μού των τοπικά ελεύθερων sheaves τάξης r μιας πολλαπλότητας M, έχουν μια 1-1 αντισ τοιχία με τις κλάσ εις ισ ομορφισ μού των διανυσ ματικών δεσ μών τάξης r επί της M. Το sheaf G που αντισ τοιχεί σ ε μια σ υγκεκριμένη διανυσ ματική δέσ μη E δίνεται από το sheaf εκείνο που είναι δυϊκό προς το sheaf των τομών της E. Το sheaf των ολομορφικών σ υναρτήσ εων θα σ υμβολίζεται ως O U, και η ολομορφική διανυσ ματική δέσ μη επί της U, της οποίας οι τομές αντισ τοιχούν σ τα σ τοιχεία του O U ως O U. 23 Ο σ υνήθης ορισ μός αφορά αβελιανές ομάδες, ωσ τόσ ο γενικεύεται και για μη αβελιανές [49]. 53

2.1 Χαρακτηρισ τικές κλάσ εις και sheaves 2.1.2.2 Ολομορφικές δέσ μες γραμμών Μια ολομορφική δέσ μη γραμμών holomorphic line bundle είναι μια ολομορφική διανυσ ματική δέσ μη τάξης 1. Στην Riemannian σ φαίρα CP 1 = S 2, οι δέσ μες αυτές χαρακτηρίζονται πλήρως από έναν ακέραιο d Z. Δεδομένων των σ υνήθων καλυμμάτωνu ± της CP 1 με τις μη ομογενείς σ υντεταγμένες λ ± και τις σ υνθήκες σ υναρμογής λ ± = 1/λ σ την τομή U + U,η ολομορφική δέσ μη γραμμών O d ορίζεται μέσ ω της σ υνάρτησ ης μετάβασ ης f + = λ d +z, όπου z ± μιγαδικές σ υντεταγμένες σ τα νήματα επί των U ±. Για d 0, οι ολικές τομές της δέσ μης O d είναι πολυώνυμα βαθμού d σ τις μη ομογενείς σ υντεταγμένες, και ομογενή πολυώνυμα βαθμού d σ ε ομογενείς σ υντεταγμένες. Ο πρώτος αριθμός Chern της O d είναι d, όπως προκύπτει από την σ χέσ η Gauss-Bonnet, αφού η πρώτη κλάσ η Chern είναι δυϊκή προς τους τόπους εκφυλισ μού degeneracy loci μιας γενικής ολικής τομής, και αυτοί οι τόποι είναι ακριβώς τα d σ ημεία που δίνονται από τις ρίζες του πολυωνύμου. Επιπλέον, η πρώτη κλάσ η Chern είναι αρκετή για να χαρακτηρίσ ει μια μιγαδική δέσ μη γραμμών, έως και την τοπολογική λεία ισ οδυναμία, επομένως αρκεί και για τον χαρακτηρισ μό μιας ολομορφικής δέσ μης γραμμών έως και την ολομορφική ισ οδυναμία. Η μιγαδικά σ υζυγής δέσ μη της O d είναι η Ō d. Η κατασ κευή αυτή μπορεί να γενικευθεί σ ε μιγαδικούς προβολικούς χώρους ανώτερης διάσ τασ ης, CP n, οι οποίοι καλύπτονται από n + 1 καλύμματα. Σε ομογενείς σ υντεταγμένες λ i, i = 0,..., n, η δέσ μη γραμμών O d CP n ορίζεται από τις σ υναρτήσ εις μετάβασ ης f ij = λ j /λ i d. Αυτή η δέσ μη τάξης d επί του CP n σ υμβολίζεται ως O CP n d, ενώ η τετριμμένη δέσ μη γραμμών ως O CP n επί του CP n. Ακόμα, η O k d ορίζεται ως το ευθύ άθροισ μα k δεσ μών γραμμών τάξης d. Σημείωση. Οι βασ ικοί χώροι των 1, 0-τμημάτων των εφαπτόμενων και σ υνεφαπτόμενων δεσ μών της Riemannian σ φαίρας είναι τομές των O 2 και O 2, αντίσ τοιχα. Επιπλέον, η κανονική δέσ μη του CP n είναι O n 1 και η ταυτολογική του δέσ μη γραμμών είναι O 1. Θεώρημα 2.9 Grothendieck. Κάθε ολομορφική δέσ μη E επί της CP 1 μπορεί να αναλυθεί σ ε ευθύ άθροισ μα ολομορφικών δεσ μών γραμμών. Η ανάλυσ η αυτή είναι μοναδική έως και μεταθέσ εις ολομορφικά ισ οδύναμων δεσ μών γραμμών. Οι αριθμοί Chern των δεσ μών γραμμών αποτελούν ολομορφικά αναλλοίωτα της E, αλλά μόνο το άθροισ μά τους είναι επίσ ης τοπολογικό αναλλοίωτο.. Απόδειξη. Βλ. [52]. 2.1.3 Συνομολογίες Dolbeault και Čech Δύο χρήσ ιμοι τρόποι για την περιγραφή των ολομορφικών δεσ μών γραμμών είναι αυτοί των Dolbeault και Čech. Εφόσ ον ο μετασ χηματισ μός Penrose-Ward που θα μελετήσ ουμε αργότερα εξαρτάται σ ε μεγάλο βαθμό από τις περιγραφές αυτές, παρακάτω θα εξετάσ ουμε τα βασ ικά τους χαρακτηρισ τικά. 2.1.3.1 Ομάδες σ υνομολογίας Dolbeault Εφόσ ον ο τελεσ τής Dolbeault είναι μηδενοδύναμος nilpotent βλ. 1.2.7, μπορεί να εισ αχθεί το σ ύμπλοκο Dolbeault Ω r,0 M Ω r,1 M Ω r,m M 2.13 σ ε μια μιγαδική πολλαπλότητα M, μαζί με την r, s- -ομάδα σ υνομολογίας H r,s cocycle M = coboundary = Zr,s M B r,s, 2.14 M όπου εδώ οι cocycles Z r,s M είναι τα σ τοιχεία ω του Ωr,s M, τα οποία είναι κλεισ τά, δηλαδή ω = 0, και τα coboundaries B r,s M είναι εκείνα τα σ τοιχεία ω που είναι ακριβή, δηλαδή για s > 0 μορφή τ Ω r,s 1 M τέτοια ώσ τε τ = ω. 54

2.1 Χαρακτηρισ τικές κλάσ εις και sheaves Αριθμός Hodge Ο αριθμός Hodge h r,s είναι η μιγαδική διάσ τασ η του H r,s M. Ο αντίσ τοιχος αριθμός Betti της σ υνομολογίας de Rham της υποκείμενης πραγματικής πολλαπλότητας δίνεται από τη σ χέσ η b k = k p=0 hp,k p, ενώ ο αριθμός Euler μιας d-διάσ τατης πραγματικής πολλαπλότητας ορίζεται ως χ = d p=0 1p b p. Το λήμμα του Poincaré μπορεί να μετατραπεί άμεσ α σ το μιγαδικό του ανάλογο, και έτσ ι, κάθε -κλεισ τή μορφή είναι -ακριβής τοπικά. 2.1.3.2 Ολομορφικές διανυσ ματικές δέσ μες και σ υνομολογία Dolbeault Εσ τωg μια ομάδα, η οποία μπορεί να αναπαρασ ταθεί με n n πίνακες, και έσ τω G το sheaf των λείων σ υναρτήσ εων με τιμές σ την G σ ε μια μιγαδική πολλαπλότητα M, και F το sheaf των επίπεδων 0, 1-σ υνδέσ εων σ ε μια κύρια G-δέσ μη P M, δηλαδή germs των λύσ εων της A 0,1 + A 0,1 A 0,1 = 0, 2.15 όπου τα σ τοιχεία A 0,1 Γ M, F ορίζουν μια ολομορφική δομή βλ. 1.3.4 A = + A 0,1 σ ε μια τετριμμένη μιγαδική διανυσ ματική δέσ μη τάξης n επί της M. O χώρος των παραμέτρων moduli space M τέτοιων ολομορφικών δομών λαμβάνονται παραγοντοποιώντας το Γ M, F ως προς την ομάδα των μετασ χηματισ μών βαθμίδας, που είναι το σ ύνολο των σ τοιχείων g του Γ M, G που δρουν σ τα σ τοιχεία A 0,1 του Γ M, F ως A 0,1 ga 0,1 g 1 + g g 1. 2.16 Επομένως, έχουμε M = Γ M, F /Γ M, G, η οποία είναι η περιγραφή των ολομορφικών διανυσ ματικών δεσ μών με την σ υνομολογία Dolbeault. 2.1.3.3 Σύνολα σ υνομολογίας Čech Εσ τω μια τετριμμένη κύρια G-δέσ μη P επί μιας μιγαδικής πολλαπλότητας M που καλύπτεται από ένα σ ύνολο καλυμμάτων U = {U a }, και έσ τω ότι η G μπορεί να αναπαρασ ταθεί με n n πίνακες. Θεωρούμε επιπλέον G ένα αυθαίρετο sheaf των σ υναρτήσ εων της M με τιμές σ την G. Το σ ύνολο των Čech q-cochains Cq U, G είναι το σ ύνολο ψ = { } ψ a0...a q των τομών του G σ τις μη κενές τομές Ua0... U aq. Επιπλέον, τα σ ύνολα των Čech-0 και Čech-1-cocycles ορίζονται ως Z 0 U, G := { ψ C 0 U, G ψ a = ψ b σ την U a U b } =Γ U, G Z 1 U, G := { χ C 1 U, G χ ab = χ 1 ba σ την U a U b, χ ab χ bc χ ca = 1 σ την U a U b U c }. 2.17a 2.17b Από τον ορισ μό αυτόν, φαίνεται ότι οι Čech-0-cocycles είναι ανεξάρτητοι του καλύμματος, καθώς Z 0 U, G = Z 0 M, G. Δύο 1-cocycles χ και χ είναι ισ οδύναμοι αν υπάρχει μια 0-cochain ψ C 0 U, G τέτοια ώσ τε χ ab = ψ a χ ab ψ 1 b σ ε κάθε U a U b. Εκφράζοντας την Z 1 U, G με αυτή τη σ χέσ η ισ οδυναμίας, λαμβάνουμε το πρώτο σ ύνολο σ υνομολογίας Čech, Ȟ1 U, G = Z 1 U, G /C 0 U, G. Αν οι περιοχές U a του καλύμματος U είναι πολλαπλότητες Stein, τότε τα σ ύνολα της πρώτης σ υνομολογίας Čech είναι ανεξάρτητα από το κάλυμμα, και εξαρτώνται μόνο από την πολλαπλότητα M, δηλαδή Ȟ1 U, G = Ȟ1 M, G. Παρακάτω, θα θεωρούμε ότι όλα τα καλύμματα είναι πολλαπλότητες Stein [53], εκτός αν αναφέρεται διαφορετικά. Επιπλέον, παρατηρούμε ότι M =Ȟ0 M, F /Ȟ0 M, G. Αβελιανή σ υνομολογία Čech Αν η δομική ομάδα G της δέσ μης P, που θεωρήσ αμε προηγουμένως, είναι αβελιανή, σ υνήθως σ τον σ υμβολισ μό, ο πολλαπλασ ιασ μός σ την δράσ η της ομάδας αντικαθίσ ταται από την πρόσ θεσ η, για να τονισ τεί η μεταθετικότητα. Επιπλέον, μπορεί να ορισ θεί 55

2.1 Χαρακτηρισ τικές κλάσ εις και sheaves ένα πλήρες αβελιανό σ ύμπλοκο Čech μέσ ω του τελεσ τή ď : Cq M, G C q+1 M, G, η δράσ η του οποίου σ τις Čech q-cochains ψ είναι: ďψ q+1 := a 0,a 1,...,a q+1 ν=0 1 ν ψ a0,a 1,...,â ν,...,a q+1. 2.18 Ο τελεσ τής ď είναι μηδενοδύναμος, και η αβελιανή σ υνομολογία Čech Ȟq M, G είναι η σ υνομολογία του σ υμπλόκου Čech. Συγκεκριμένα, οι σ ημαντικότερες, σ ε ό,τι μας αφορά, ομάδες αβελιανής σ υνομολογίας Čech είναι οι εξής: η Ȟ0 M, G που είναι ο χώρος των ολικών τομών του G σ την M, η Ȟ1 M, G, της οποίας οι σ υνθήκες των cocycles και coboundaries είναι οι χ ac = χ ab + χ bc και χ ab = ψ a ψ b 2.19 αντίσ τοιχα, όπου χ C 1 M, G και ψ C 0 M, G, και η Ȟ2 M, G, της οποίας οι σ υνθήκες των cocycles και coboundaries είναι οι ϕ abc ϕ bcd + ϕ cda ϕ dab = 0 και ϕ abc = χ ab χ ac + χ bc 2.20 όπου ϕ C 2 M, G, όπως προκύπτουν από την 2.18. Ολομορφικές διανυσ ματικές δέσ μες και σ υνομολογία Čech Εσ τω μιγαδική διανυσ ματική πολλαπλότητα M, και έσ τω G το sheaf των λείων σ υναρτήσ εων της M με τιμές σ την G. Θεωρούμε, επιπλέον, το subsheaf του G των ολομορφικών σ υναρτήσ εων, το οποίο σ υμβολίζουμε ως H. Σε αντίθεσ η με τις σ υνδέσ εις που χρησ ιμοποιήθηκαν σ την περιγραφή Dolbeault, η περιγραφή Čech των ολομορφικών διανυσ ματικών δεσ μών χρησ ιμοποιεί τις σ υναρτήσ εις μετάβασ ης για να ορίσ ει τις διανυσ ματικές δέσ μες. Ενα τέτοιο σ ύνολο σ υναρτήσ εων μετάβασ ης πρέπει να ανήκει σ το σ ύνολο του πρώτου Čech-cocycle ενός κατάλληλου sheaf G. Επιπλέον, δύο διανυσ ματικές δέσ μες θα είναι ισ οδύναμες αν υπάρχει σ τοιχείο h C 0 M, G τέτοιο ώσ τε f ab = h 1 a f ab h b σ ε κάθε U a U b. 2.21 Συνεπώς, οι σ υναρτήσ εις μετάβασ ης των ολομορφικών και των λείων διανυσ ματικών δεσ μών ανήκουν σ τα σ ύνολα σ υνομολογίας Čech Ȟ1 M, H και Ȟ 1 M, G, αντίσ τοιχα. 2.1.4 Ισ οδυναμία των περιγραφών Dolbeault και Čech Για λόγους απλότητας, περιοριζόμασ τε σ ε τοπολογικά τετριμμένες δέσ μες, οι οποίες ωσ τόσ ο καθισ τούν ικανή την περιγραφή. Για να σ υνδεθούν οι δύο περιγραφές, θεωρούμε το υποσ ύνολο X C 0 M, G που έχει ως σ τοιχεία G-σ υναρτήσ εις ψ = {ψ a }, οι οποίες ικανοποιούν τη σ χέσ η ψ a ψ 1 a = ψ b ψ 1 b 2.22 σ ε δύο οποιαδήποτε αυθαίρετα υποσ ύνολα U a, U b από το κάλυμμα U της M. Λόγω της σ χέσ ης 2.15, τα σ τοιχεία της Ȟ0 M, F γράφονται ως ψ ψ 1, με ψ X, επομένως, για κάθε A 0,1 Ȟ0 M, F, έχουμε αντίσ τοιχα σ τοιχεία ψ X. Ενα από αυτά τα ψ μπορεί να χρησ ιμοποιηθεί για τον ορισ μό σ υναρτήσ εων μετάβασ ης σ ε μια τοπολογικά τετριμμένη ολομορφική διανυσ ματική δέσ μη τάξης n, E επί της M, ως f ab = ψa 1 ψ b σ το U a U b. 2.23 Οπως προκύπτει, οι f ab που κατασ κευάζονται με αυτόν τον τρόπο είναι ολομορφικές. Επιπλέον, ορίζουν ολομορφικές διανυσ ματικές δέσ μες, οι οποίες είναι τοπολογικά τετριμμένες, αλλά όχι ολομορφικά τετριμμένες, επομένως ανήκουν σ τον πυρήνα μιας απεικόνισ ης ρ : Ȟ1 M, H Ȟ1 M, G. 56

2.1 Χαρακτηρισ τικές κλάσ εις και sheaves Αντισ τρόφως, δεδομένης μιας σ υνάρτησ ης μετάβασ ης f ab σ την τομή U a U b μιας τοπολογικά τετριμμένης διανυσ ματικής δέσ μης, έχουμε: 0 = f ab = ψa 1 ψ b = ψ 1 1 1 a ψa ψ a ψ b ψ b ψb = ψa 1 A a A b ψ b, 2.24 άρα σ την U a U b έχουμε A a = A b, και έτσ ι ορίζεται μια ολική 0, 1-μορφή A 0,1 := ψ ψ 1. Η αμφιμονοσ ήμαντη απεικόνισ η μεταξύ των χώρων παραμέτρων και των δύο περιγραφών, προκύπτει ως εξής: έχουμε την μικρή ακριβή ακολουθία 0 H i G δ0 F δ1 0, 2.25 όπου i : H G η εμβύθισ η του H σ το G, δ 0 1 η απεικόνισ η G ψ ψ ψ F, και δ 1 η απεικόνισ η F A 0,1 A 0,1 + A 0,1 A 0,1. Αυτή η μικρή ακριβής ακολουθία επάγει μια μακρά ακριβή ακολουθία ομάδων σ υνομολογίας 0 Ȟ 0 M, H i Ȟ 0 M, G δ0 Ȟ 0 M, F δ1 Ȟ 1 M, H ρ Ȟ 1 M, G 2.26 από όπου προκύπτει ότι ker ρ = Ȟ0 M, F /Ȟ0 M, G = M. Επομένως, οι χώροι παραμέτρων και των δύο περιγραφών είναι ισ ομορφικοί bijective, και έτσ ι προκύπτει η ισ οδυναμία E, f+ = Id n, A 0,1 Ẽ, f +, Ã0,1 = 0. 2.27 Οπως θα δούμε παρακάτω, το γεγονός αυτό είναι κρίσ ιμης σ ημασ ίας για τον μετασ χηματισ μό Penrose- Ward. 2.1.5 Ολοκληρώσ ιμες κατανομές και δομές Cauchy-Riemann Οι δομές Cauchy-Riemann αποτελούν γενίκευσ η της έννοιας της μιγαδικής δομής σ τις πραγματικές πολλαπλότητες αυθαίρετης διάσ τασ ης. 2.1.5.1 Ολοκληρώσ ιμη κατανομή Ορισμός 2.10. Εσ τω M λεία πολλαπλότητα πραγματικής διάσ τασ ης d, και T C M η μιγαδικοποιημένη εφαπτόμενη δέσ μη αυτής. Μια υποδέσ μη της T T C M είναι ολοκληρώσ ιμη αν i η T T έχει σ ταθερή τάξη k. ii οι T και T T είναι κλεισ τές υπό την αγκύλη Lie. Για μια δεδομένη ολοκληρώσ ιμη κατανομή 24 T, μπορούμε να επιλέξουμε τοπικές σ υντεταγμένες u 1,..., u l, v 1,..., v k, x 1,..., x m, y 1,..., y n σ ε κάθε περιοχή του καλύμματος της M, τέτοιες ώσ τε η T τοπικά να εκτείνεται από τα διανυσ ματικά πεδία v 1,..., όπου w 1 = x 1 iy 1,..., w m = x m iy m [54]. v k, w 1,..., 24 Συμβολίζουμε ως T και την δέσ μη και την κατανομή που παράγεται από τις τομές της. w m, 2.28 57

2.1 Χαρακτηρισ τικές κλάσ εις και sheaves T -διαφορικό Για κάθε λεία σ υνάρτησ η f σ την M, έσ τω d T f ο περιορισ μός του df σ το T, δηλαδή το d T είναι η σ ύνθεσ η C M d Ω 1 M Γ M, T, 2.29 όπου Ω 1 M := Γ M, T M, και T το sheaf των λείων 1-μορφών, δυϊκό του T [55]. Ο τελεσ τής d T μπορεί να επεκταθεί έτσ ι ώσ τε να δρα σ ε q-μορφές σ τον χώρο Ω q T M := Γ M, q T, ο οποίος λέγεται T -διαφορικό. d T : Ω q T M Ωq+1 T M, 2.30 T -σ ύνδεσ η Εσ τω E λεία μιγαδική διανυσ ματική δέσ μη επί της M. Μια T -σ ύνδεσ η σ ύνδεσ η σ την E κατά την κατανομή T [55] είναι μια C-γραμμική απεικόνισ η η οποία ικανοποιεί τον κανόνα του Leibniz T : Γ M, E Γ M, T E, 2.31 T fσ = f T σ + d T f σ 2.32 για μια τοπική τομή σ Γ M, E και μια λεία, τοπική σ υνάρτησ η f. Η σ ύνδεσ η αυτή εκτείνεται σ ε μια απεικόνισ η T : Ω q T M, E Ωq+1 T M, E, 2.33 όπου Ω q T M, E := Γ M, q T E. Η τοπική μορφή του T είναι η T = d T + A T, 2.34 όπου η σ υνήθης 1-μορφή της T -σ ύνδεσ ης με τιμές σ το EndE έχει σ υνισ τώσ ες μόνο κατά την κατανομή T. T -επίπεδες διανυσ ματικές δέσ μες Ο τελεσ τής T επάγει φυσ ικά μια 2-μορφή F T Γ M, 2 T EndE 2.35 που είναι η καμπυλότητα της A T. Η T ή η A T είναι επίπεδη αν F T = 0. Για μια επίπεδη T, το ζεύγος E, T ορίζει μια T -επίπεδη διανυσ ματική δέσ μη [55]. Παρατηρούμε ότι οι περιγραφές Dolbeault και Čech των διανυσ ματικών δεσ μών γενικεύονται φυσ ικά { } σ τις T -επίπεδες διανυσ ματικές δέσ μες. Θεωρώντας μια πολλαπλότητα M με κάλυμμα U = Ua και μια τοπολογικά τετριμμένη διανυσ ματική δέσ μη E, f+ = Id, T επί της M, με έκφρασ η A T Ua = ψ a d T ψ 1 a 2.36 για την επίπεδη T -σ ύνδεσ η, όπου ψ a λείες GL n, C υπερσ υναρτήσ εις σ ε κάθε περιοχή U a, από την τετριμμενότητα της E, σ υνεπάγεται ότι ψ a d T ψa 1 = ψ b d T ψ 1 b σ τις τομές U a U b, επομένως, d T ψ 1 + ψ = 0, και έτσ ι μπορούμε να ορίσ ουμε μια T -επίπεδη μιγαδική διανυσ ματική δέσ μη Ẽ με την κανονική επίπεδη T -σ ύνδεσ η d T και την σ υνάρτησ η μετάβασ ης f ab := ψa 1 ψ b. Οι δέσ μες E και Ẽ είναι ισ οδύναμες σ αν λείες δέσ μες, αλλά όχι ως T -επίπεδες δέσ μες. Ωσ τόσ ο, υπάρχει ισ οδυναμία μεταξύ των σ τοιχείων E, f + = Id n, A T Ẽ, f +, ÃT = 0, 2.37 σ ε αναλογία με τις ολομορφικές διανυσ ματικές δέσ μες προηγουμένως. 58

2.2 Άλγεβρα Clifford, δομές Spin και σ υνθήκες ύπαρξης 2.1.5.2 Δομές Cauchy-Riemann Μια δομή Cauchy-Riemann σ ε μια λεία πολλαπλότητα M πραγματικής διάσ τασ ης d, είναι μια ολοκληρώσ ιμη κατανομή, η οποία είναι μια μιγαδική υποδέσ μη D τάξης m της μιγαδικοποιημένης εφαπτόμενης δέσ μης T C M. Το ζεύγος M, D είναι η πολλαπλότητα Cauchy-Riemann διάσ τασ ης d = dim R M, τάξης m = dim C D και σ υνδιάσ τασ ης d 2m. Συγκεκριμένα, μια δομή Cauchy-Riemann γενικεύει αυτήν της μιγαδικής πολλαπλότητας, ενώ επιπλέον, δεδομένης μιας διανυσ ματικής δέσ μης E επί της M, το ζεύγος E, D με D μια D-σ ύνδεσ η είναι μια διανυσ ματική δέσ μη Cauchy-Riemann. 2.2 Άλγεβρα Clifford, δομές Spin και συνθήκες ύπαρξης Στην 1.3.7 εξετάσ αμε μια τοπική θεωρία των δεσ μών spin σ τον χώρο Minkowski, και ειδικότερα σ την τοπική σ χέσ η μεταξύ spinors σ την αναπαράσ τασ η 2 2 πινάκων και 4-διανυσ μάτων, η οποία λογίζεται ως r a r α α. Στη σ υνέχεια, χρησ ιμοποιώντας τις έννοιες των κύριων δεσ μών και της σ υνομολογίας, που εισ ήχθησ αν προηγουμένως, θα αναπτυχθεί η γενικότερη θεωρία των δεσ μών spin, καταλήγοντας σ τις σ υνθήκες ύπαρξης αυτών των δομών σ ε μια πολλαπλότητα. Ετσ ι, αρχικά, θα μελετήσ ουμε την άλγεβρα Clifford, η οποία σ υνδέεται φυσ ικά με διανυσ ματικούς χώρους με τετραγωνικές μορφές. Σε κάθε διανυσ ματικό χώρο V, υπάρχει μια εξωτερική άλγεβρα V σ υνδεδεμένη με αυτόν, η οποία μεταφέρεται σ τις διανυσ ματικές δέσ μες, και παράγει, όπως είδαμε, τα σ ύμπλοκα de Rham, Dolbeault των εξωτερικών διαφορικών μορφών. Με παρόμοιο τρόπο, σ ε κάθε διανυσ ματικό χώρο V εφοδιασ μένο με μια τετραγωνική μορφή Q, υπάρχει η άλγεβρα Clifford Cl V, Q, η οποία επίσ ης μεταφέρεται άμεσ α σ τις διανυσ ματικές δέσ μες που είναι εφοδιασ μένες με μετρικές σ τα νήματα, και σ υγκεκριμένα, αν εφαρμοσ θεί σ την εφαπτόμενη δέσ μη μιας λείας Riemannian πολλαπλότητας, δίνει μια κανονικά σ υσ χετιζόμενη δέσ μη αλγεβρών, την δέσ μη Clifford. Ως διανυσ ματική δέσ μη, η δέσ μη Clifford είναι ισ ομορφική με την δέσ μη των εξωτερικών μορφών. Ωσ τόσ ο, το γινόμενο Clifford είναι πλουσ ιότερο από το εξωτερικό γινόμενο, καθώς αντανακλά τις εσ ωτερικές σ υμμετρίες και τις βασ ικές ταυτότητες της Riemannian δομής. Η χρήσ η της άλγεβρας Clifford θα επεκταθεί σ την περιγραφή των ομάδων Pin, Spin και Spin C, και επιπλέον θα οδηγήσ ει σ την εισ αγωγή του τελεσ τή Dirac, ο οποίος, όπως θα δούμε παρακάτω, δρα σ ε τομές των δεσ μών spin με τρόπο ανάλογο με αυτόν της δράσ ης της σ υναλλοίωτης παραγώγου, η οποία δρα σ ε τομές τανυσ τικών δεσ μών βλ. Ορισ μός 1.31. Τέλος, θα μελετήσ ουμε την χαρακτηρισ τική κλάσ η Stiefel-Whitney, η οποία ταξινομεί τις πολλαπλότητες εκείνες που επιδέχονται την ύπαρξη δομών spin, σ τις οποίες υπάρχουν οι προαναφερθείσ ες δομές, και είναι δυνατή η χρήσ η spinorial φορμαλισ μού και η διατύπωσ η της θεωρίας twistor. Βασ ικές αναφορές για αυτά τα ζητήματα είναι [56, 57, 58, 68, 69]. 2.2.1 Άλγεβρες Clifford Εσ τω V διανυσ ματικός χώρος ως προς το μεταθετικό σ ώμα k R ή C εδώ, εκτός αν αναφέρεται διαφορετικά, εφοδιασ μένος με ένα εσ ωτερικό γινόμενο, που ορίζεται μέσ ω της μη εκφυλισ μένης τετραγωνικής μορφής Q. Ορισμός 2.11. Η άλγεβρα Clifford Cl V, Q σ τον διανυσ ματικό χώρο V με τετραγωνική μορφή Q είναι μια προσ εταιρισ τική k-άλγεβρα με μοναδιαίο σ τοιχείο, και ορίζεται ως εξής Αν r J V = V 2.38 r=0 η τανυσ τική άλγεβρα του V, και I Q το ιδεώδες 25 σ τον J V προερχόμενο από όλα τα σ τοιχεία της 25 Υποσ ύνολο ενός δακτυλίου R που σ χηματίζει μια προσ θετική ομάδα, με την ιδιότητα ότι όποτε ένα x R και y I Q, τότε xy, yx I Q. 59

2.2 Άλγεβρα Clifford, δομές Spin και σ υνθήκες ύπαρξης μορφής v v + Q V 1 για v V, η άλγεβρα Clifford ορίζεται ως το πηλίκο Cl V, Q J V /I Q. 2.39 Το γινόμενο που επάγεται από το τανυσ τικό γινόμενο σ τον V είναι το γινόμενο Clifford x y, με x, y Cl V, Q. Η άλγεβρα Clifford είναι προσ εταιρισ τική, με μοναδιαίο σ τοιχείο 1. Εσ τω κ η κανονική απεικόνισ η του J V σ το Cl V, Q και a b το γινόμενο δύο σ τοιχείων a, b Cl V, Q έτσ ι ώσ τε κ p q = κ p κ q με p, q J V. Η απεικόνισ η κ είναι μονομορφισ μός 1-1 σ το k V, και αυτός ο υπόχωρος του J V ταυτίζεται με την εικόνα του υπό τον κ. Ετσ ι, με την ταυτοποίησ η αυτή, u, v V, έχουμε uv + vu = 2 u, v 1, όπου u, v = 1 2 Q u + v Q u Q v. Πρόταση 2.12. Εσ τω A μια k-άλγεβρα με μοναδιαίο σ τοιχείο 1, και f : V A μια γραμμική απεικόνισ η, η οποία ικανοποιεί τη σ χέσ η f v f v = Q v 1, u V. 2.40 Τότε, η f εκτείνεται μοναδικά σ ε έναν ομομορφισ μό της k-άλγεβρας f : Cl V, Q A. Επιπλέον, η Cl V, Q είναι η μοναδική προσ εταιρισ τική k-άλγεβρα με την ιδιότητα αυτή. Απόδειξη. Οποιαδήποτε γραμμική απεικόνισ η f : V A εκτείνεται σ ε έναν μοναδικό ομομορφισ μό άλγεβρας f : J V A. Από την 2.40 έπεται ότι f = 0 σ το IQ, άρα η f αντισ τοιχεί σ την Cl V, Q. Εσ τω B μια προσ εταιρισ τική k-άλγεβρα με μοναδιαίο σ τοιχείο, και i : V B εμβύθισ η embedding τέτοια ώσ τε κάθε γραμμική απεικόνισ η f : V A με την ιδιότητα 2.40 να εκτείνεται μοναδικά σ ε έναν ομομορφισ μό f : B A. Τότε, ο ισ ομορφισ μός από το V Cl V, Q σ το i V B επάγει έναν ισ ομορφισ μό άλγεβρας Cl V, Q = B. Αυτός ο χαρακτηρισ μός των αλγεβρών Clifford έχει την εξής σ ημασ ία αν f : V, Q V, Q μορφισ μός, δηλαδή μια k-γραμμική απεικόνισ η f : V V μεταξύ διανυσ ματικών χώρων, η οποία διατηρεί τις τετραγωνικές μορφές f Q = Q, από την Πρότασ η 2.12, υπάρχει ένας επαγόμενος ομομορφισ μός f : Cl V, Q Cl V, Q. Αν g : Cl V, Q Cl V, Q ένας άλλος μορφισ μός, τότε, από την μοναδικότητα σ την Πρότασ η 2.12, πρέπει για την επέκτασ η να ισ χύει ότι g f = g f. Μια άμεσ η σ υνέπεια αυτού είναι ότι η ορθογώνια ομάδα O V, Q {f GL V : f Q = Q} εκτείνεται κανονικά σ ε μια ομάδα αυτομορφισ μών της Cl V, Q, με Ιδιαίτερη σ ημασ ία έχει ο εξής αυτομορφισ μός: O V, Q Aut Cl V, Q. 2.41 α : Cl V, Q Cl V, Q, 2.42 ο οποίος εκτείνει την απεικόνισ η α v = v σ τον V. Η α είναι ομομορφισ μός της άλγεβρας, και ισ χύει ότι α 2 = Id. Κατά σ υνέπεια, η Cl V, Q γράφεται ως Cl V, Q = Cl 0 V, Q Cl 1 V, Q, 2.43 { } όπου Cl i V, Q = ϕ Cl V, Q : α ϕ = 1 i ϕ οι ιδιοχώροι του α. Εφόσ ον α ϕ 1 ϕ 2 = α ϕ 1 α ϕ 2, έχουμε ότι Cl i V, Q Cl j V, Q Cl i+j V, Q 2.44 60

2.2 Άλγεβρα Clifford, δομές Spin και σ υνθήκες ύπαρξης,όπου οι δείκτες λαμβάνονται modulo 2. Μια άλγεβρα με τον διαχωρισ μό 2.43 που ικανοποιεί την σ χέσ η 2.44 καλείται Z 2 -διαβαθμισ μένη άλγεβρα. Η Cl 0 V, Q είναι μια υποάλγεβρα της Cl V, Q και καλείται άρτιο μέρος, ενώ ο υπόχωρος Cl 1 V, Q καλείται περιττό μέρος. Επιπλέον, έχουμε ότι Cl 0 V, Q Cl 0 V, Q Cl 0 V, Q, Cl 0 V, Q Cl 1 V, Q Cl 1 V, Q, και Cl 1 V, Q Cl 1 V, Q Cl 0 V, Q. 2.2.1.1 Συσ χετιζόμενη διαβαθμισ μένη άλγεβρα - Φίλτρα Υπάρχει άμεσ η σ χέσ η μεταξύ της άλγεβρας Clifford Cl V, Q ενός χώρου και της εξωτερικής άλγεβρας V αυτού, της οποίας ο ορισ μός δεν εξαρτάται από την τετραγωνική μορφή Q. Συγκεκριμένα, υπάρχει ένα φυσ ικό φιλτράρισ μα filtration 26 F F 1... J V της τανυσ τικής άλγεβρας, που ορίζεται ως F r s r r V 2.45, και έχει την ιδιότητα F r F r F r+r. Αν π Q : J V Cl V, Q 2.46 η κανονική προβολική απεικόνισ η, τότε, θέτοντας F i = π Q F i, λαμβάνουμε ότι F 0 F 1... Cl V, Q, που είναι φιλτράρισ μα της άλγεβρας Clifford, με την ιδιότητα F r F r F r+r 2.47 r, r άρα η άλγεβρα Cl V, Q είναι μια φιλτραρισ μένη άλγεβρα. Από την 2.47 προκύπτει ότι η απεικόνισ η του γινομένου ανάγεται σ ε μια απεικόνισ η της μορφής F r /F r 1 F s /F s 1 F r+s /F r+s 1 r, s. Θέτοντας G r F r /F r 1 και G r 0 Gr, λαμβάνουμε την σ υσ χετιζόμενη διαβαθμισ μένη άλγεβρα. Πρόταση 2.13. Για οποιαδήποτε τετραγωνική μορφή Q, η σ υσ χετιζόμενη διαβαθμισ μένη άλγεβρα της Cl V, Q είναι ισ ομορφική με την εξωτερική άλγεβρα V άλγεβρα Grassmann. Απόδειξη. Βλ. [59, 60]. Παρατήρηση. Σύμφωνα με την Πρότασ η 2.13, ο πολλαπλασ ιασ μός Clifford είναι μια άλλη εκδοχή του εξωτερικού γινομένου, η οποία καθορίζεται από την μορφή Q. Επιπλέον, Cl V, 0 = V. Αποδεικνύεται [57, 61], ακόμα ότι υπάρχει κανονικός ισ ομορφισ μός διανυσ ματικού χώρου της μορφής V = Cl V, Q 2.48 σ υμβατός με το φιλτράρισ μα της Cl V, Q. Προφανώς, η απεικόνισ η 2.48 δεν είναι ισ ομορφισ μός άλγεβρας, εκτός αν Q = 0. Αυτό που έχει σ ημασ ία, ωσ τόσ ο, είναι το γεγονός ότι η απεικόνισ η είναι κανονική, σ υνεπώς η εμβύθισ η r V Cl V, Q, r 0 2.49 έχει νόημα. 26 Σύνολο σ τοιχείων με δείκτες, S i από υποαντικείμενα μιας αλγεβρικής δομής S, όπου οι δείκτες λαμβάνονται από ένα σ ύνολο δεικτών I το οποίο είναι απόλυτα διατεταγμένο, και ισ χύει ότι αν i j I τότε S i S j. 61

2.2 Άλγεβρα Clifford, δομές Spin και σ υνθήκες ύπαρξης 2.2.1.2 Z 2 -διαβαθμισ μένο τανυσ τικό γινόμενο Αν A, B άλγεβρες με μοναδιαίο σ τοιχείο 1 σ το σ ώμα k, τότε το τανυσ τικό γινόμενο των αλγεβρών, A B, είναι η άλγεβρα, ο διανυσ ματικός χώρος 27 [62, 63] της οποίας είναι το τανυσ τικό γινόμενο των A, B, και το γινόμενο της οποίας ικανοποιεί τη σ χέσ η a b a b = aa bb. Ωσ τόσ ο, αν οι A = A 0 A 1 και B = B 0 B 1 είναι Z 2 -διαβαθμισ μένες άλγεβρες, μπορούμε να εισ άγουμε ένα επιπλέον Z 2 -διαβαθμισ μένο γινόμενο, το οποίο καθορίζεται από τη σ χέσ η a b a b = 1 degb dega aa bb 2.50 όποτε τα b και a είναι άρτιου ή περιττού βαθμού. Η άλγεβρα που προκύπτει είναι το Z 2 -διαβαθμισ μένο τανυσ τικό γινόμενο και σ υμβολίζεται ως A ˆ B. Το Z 2 -διαβαθμισ μένο τανυσ τικό γινόμενο είναι επίσ ης Z 2 -διαβαθμισ μένο ως εξής: A ˆ B 0 =A 0 B 0 + A 1 B 1 A ˆ B 1 =A 1 B 0 + A 0 B 1, ενώ φέρει και ένα φιλτράρισ μα της μορφής F 0 F 1 F 2... A ˆ B, όπου F r := F i A ˆ F j B. i+j=r Η σ ημασ ία του Z 2 -διαβαθμισ μένου τανυσ τικού γινομένου για τις άλγεβρες Clifford προκύπτει από την ακόλουθη πρότασ η: Πρόταση 2.14. Εσ τω V = V 1 V 2 ένας Q-ορθογώνιος διαχωρισ μός του διναυσ ματικού χώρου V δηλαδή Q v 1 + v 2 = Q v 1 + Q v 2 v 1 V 1, v 2 V 2. Τότε υπάρχει ένας φυσ ικός ισ ομορφισ μός των αλγεβρών Clifford Cl V, Q Cl V 1, Q 1 ˆ Cl V 2, Q 2 2.51 όπου Q i ο περιορισ μός της Q σ τον V i, και όπου ˆ το Z 2 -διαβαθμισ μένο τανυσ τικό γινόμενο. Απόδειξη. Εσ τω η απεικόνισ η f : V Cl V 1, Q 1 ˆ Cl V 2, Q 2, που δίνεται από τη σ χέσ η f v = v 1 1+1 v 2, όπου v = v 1 +v 2 η ανάλυσ η του σ τοιχείου v V ως προς τον διαχωρισ μό V = V 1 V 2. Από την ιδιότητα της Q-ορθογωνιότητας του διαχωρισ μού αυτού και από τη σ χέσ η 2.50, έχουμε ότι f v f v = v 1 1 + 1 v 2 2 = v 2 1 1 + 1 v 2 2 = Q 1 v 1 + Q 2 v 2 1 1 = Q v 1 1. Επομένως, από την Πρότασ η 2.12, η f εκτείνεται σ ε έναν ομομορφισ μό άλγεβρας f : Cl V, Q Cl V 1, Q 1 ˆ Cl V 2, Q 2. Η εικόνα του f είναι μια υποάλγεβρα, η οποία περιέχει τα Cl V 1, Q 1 1 και 1 Cl V 2, Q 2, και ως εκ τούτου είναι επί. Το 1-1 αποδεικνύεται θεωρώντας μια βάσ η της Cl V, Q παραγόμενη από μια βάσ η του V σ υμβατή με τον θεωρούμενο διαχωρισ μό. 2.2.1.3 Άλλα involutions σ τις άλγεβρες Clifford και ιδιότητες Στην άλγεβρα Clifford μπορούμε να εισ άγουμε και μια δεύτερη θεμελιώδη απεικόνισ η, με την ιδιότητα γ γ = Id involution. Η τανυσ τική άλγεβρα J V έχει μια τέτοια απεικόνισ η που δίνεται ως η αντισ τροφή της σ ειράς των επιμέρους σ τοιχείων, δηλαδή v 1... v r v r... v 1. Η απεικόνισ η αυτή διατηρεί αναλλοίωτο το ιδεώδες I V, Q και σ υνεπώς, ανάγεται σ ε μια απεικόνισ η γ t της μορφής t : Cl V, Q Cl V, Q, 2.52 η οποία λέγεται ανασ τροφή, και είναι ένας αντιαυτομορφισ μός, δηλαδή ϕψ t = ψ t ϕ t. Για κάθε άλγεβρα Clifford, η απεικόνισ η γ : Cl V, Q Cl V, Q έχει τις εξής ιδιότητες: 27 k-διανυσ ματικός χώρος, που, εφόσ ον το k είναι σ ώμα πεδίο, η έννοια ταυτίζεται με το k-πρότυπο. 62

2.2 Άλγεβρα Clifford, δομές Spin και σ υνθήκες ύπαρξης 1. Η γ είναι γραμμική. 2. γ γ = Id involution. 3. γ v = v, v Cl V, Q. 4. γ ϕψ = γ ψ γ ϕ, ϕ, ψ Cl V, Q. Πρόταση 2.15. Εσ τω V n-διάσ τατος διανυσ ματικός χώρος. Τότε, ο διανυσ ματικός χώρος Cl V, Q έχει διάσ τασ η 2 n, dim K = 2 n. Απόδειξη. Από το θεώρημα Lagrange, η τετραγωνική μορφή Q είναι το άθροισ μα n μονοδιάσ τατων τετραγωνικών μορφών Q = Q 1... Q n. Η άλγεβρα Clifford μιας μονοδιάσ τατης τετραγωνικής μορφής, B : K K K, όπου K το σ ώμα, είναι Cl 0 V, Q = K, Cl 1 V, Q = K e, και e 2 = Q 1. Ως εκ τούτου, dim K Cl V, Q = 2 για μια μονοδιάσ τατη τετραγωνική μορφή. Από την Πρότασ η 2.14, έχουμε ότι Cl V, Q = Cl V, Q 1 ˆ... ˆ Cl V, Q n 2.53 άρα dim K Cl V, Q = 2 n. Σημειογραφία. Αν dim V = n, θα χρησ ιμοποιούμε όπου είναι βολικός, τον σ υμβολισ μό Cl V, Q Cl n, Q Cl n όπου η τελευταία σ υμβολική αντισ τοιχία χρησ ιμοποιείται σ υνήθως σ ε περιπτώσ εις δεδομένης θετικά ορισ μένης μορφής Q. Παρατήρηση. Χαρακτηρισ τικά παραδείγματα αλγεβρών Clifford για διάφορες τιμές του n αποτελούν τα εξής: Cl 1 = C, Cl 2 = H quaternions, Cl 3 = H H. Μια βάσ η για την Cl V, Q δίνεται από το βαθμωτό 1 και τα γινόμενα e i1 e i2... e in, i 1 <... < i n, όπου {e 1,..., e n } μια ορθοκανονική βάσ η του V. Ακόμα, τα γινόμενα ικανοποιούν τις σ χέσ εις όπως θα προκύψει και σ τη σ υνέχεια e i e j + e j e i = 0, i j, e i e i = 2 e i, e i, i = 1,..., n. Μια τρίτη απεικόνισ η involution σ την άλγεβρα Cl V, Q ορίζεται ως v v, με v = α v t. Στις περιπτώσ εις Cl 1 και Cl 2, το v προσ διορίζεται ως η μιγαδική και η quaternionic σ υζυγία, αντίσ τοιχα. Ο γεννήτορας 1 των βαθμωτών σ τοιχείων σ την Cl V, Q επάγει μια εμβύθισ η K Cl V, Q, και παρατηρούμε ότι v v K υπό αυτήν την απεικόνισ η. Αν Cl V, Qη ομάδα των αντισ τρέψιμων σ τοιχείων της Cl V, Q,ορίζουμε την ομάδα Clifford Γ V ως την υποομάδα της Cl V, Q που ορίζεται ως Γ V := { x Cl V, Q : y V α x yx 1 V }, 2.54 όπου ο V είναι εμβυθισ μένος φυσ ικά σ την Cl V, Q. Στο σ ώμα R, θεωρούμε την απεικόνισ η της τετραγωνικής νόρμας x x := x x, η οποία ορίζει έναν ομομορφισ μό ομάδων Cl V, Q R. Κατά σ υνέπεια, κάθε σ τοιχείο v Cl V έχει v 0, που είναι ικανή και αναγκαία σ υνθήκη. Πρόταση. Το κέντρο της άλγεβρας Cl V, Q ισ ούται με { K, αν dim V = άρτιος Z Cl V, Q = K K [v 1... v n ], αν dim V = περιττός, ενώ το κέντρο της άλγεβρας Cl 0 V, Q ισ ούται με Z Cl 0 V, Q { K K [v 1... v n ], αν dim V = άρτιος = K, αν dim V = περιττός.. Απόδειξη. Βλ. [61]. 63

2.2 Άλγεβρα Clifford, δομές Spin και σ υνθήκες ύπαρξης 2.2.1.4 Ειδικές ομάδες Clifford Ορισ μένες, χρήσ ιμες για τη σ υνέχεια, ειδικές άλγεβρες Clifford είναι οι εξής: C n Cl R n, x 2 1... x 2 n : η άλγεβρα Clifford μιας n-διάσ τατης πραγματικής αρνητικά ορισ μένης τετραγωνικής μορφής. C n Cl R n, x 2 1 +... + x 2 n : η άλγεβρα Clifford μιας n-διάσ τατης πραγματικής θετικά ορισ μένης τετραγωνικής μορφής. C C n Cl C n, z 2 1 +... + z 2 n : η άλγεβρα Clifford μιας n-διάσ τατης μιγαδικής τετραγωνικής μορφής. Αν V, B πραγματική τετραγωνική μορφή και V R C, B C η μιγαδικοποίησ η αυτής, τότε, θέτοντας V C V R C, Cl V C, B C = Cl V, B R C 2.55, με την έννοια των ισ ομορφικών C-αλγεβρών. Πράγματι, αν ορίσ ουμε u : V R C Cl V, B R C ως u v z = j v z, όπου j : V Cl V, B η εμβύθισ η του πραγματικού διανυσ ματικού χώρου σ την άλγεβρα Clifford, τότε u v z 2 = j v z 2 = j v 2 z 2 = B v, v z 2 1 1 = B C v z, v z 1, άρα το u εκτείνεται σ τον ομομορφισ μό ũ : Cl V C, B C Cl V, B R C των μιγαδικών αλγεβρών, ο οποίος είναι ισ ομορφισ μός. Επιπλέον [61, 63], εφόσ ον οι μιγαδικοποιήσ εις των πραγματικών μορφών x 2 1 +... + x 2 n και x 2 1... x 2 n είναι ισ οδύναμες, ισ χύει η ακόλουθη ταυτότητα: C C n = C n R C = C n R C. 2.56 Οι ακόλουθες διαβαθμισ μένες πραγματικές άλγεβρες είναι ισ ομορφικές [61]: C n+2 = C n R C 2, C n+2 = C n R C 2. 2.57 Ενα χρήσ ιμο παράδειγμα αυτού του ισ ομορφισ μού είναι το εξής η άλγεβρα C2 C = C 2 R C προκύπτει από την μιγαδικοποίησ η της C 2, η οποία έχει γεννήτορες e 1, e 2 τέτοιους ώσ τε e 2 1 = 1 = e 2 2 και e 1 e 2 + e 2 e 1 = 0. Ο διανυσ ματικός χώρος της μιγαδικής άλγεβρας, M 2 C, έχει μια βάσ η της μορφής E = 1 0 0 1, g 1 = i 0 0 i, g 2 = 0 i i 0, T = 0 i i 0 με g 2 1 = 1 = g 2 2, και g 1 g 2 + g 2 g 1 = 0, που σ ημαίνει ότι C C 2 = C 2 R C = M 2 C. Ο ισ ομορφισ μός αυτός, επαναλαμβανόμενος, οδηγεί σ την εξής πρότασ η: Πρόταση 2.16. Υπάρχει ένας ισ ομορφισ μός C C n+2 = C C n C M 2 C. Απόδειξη. Εχουμε: C C n+2 = C n+2 R C = C n R C 2 R C = C n R C C C 2 C = C C n C C C 2 = C C n C M 2 C. Προκύπτει έτσ ι το ακόλουθο πόρισ μα: Πόρισμα 2.17. Αν e 1,..., e n+2 γεννήτορες της άλγεβρας Cn+2, C και αντίσ τοιχα e 1,..., e n γεννήτορες της άλγεβρας Cn, C και αν g 1 =, g i 0 0 i 0 i 2 = οι γεννήτορες της άλγεβρας M i 0 2 C, τότε ο ισ ομορφισ μός Cn+2 C = Cn C C M 2 C δίνεται από τις σ χέσ εις Κατά σ υνέπεια, e 1 1 g 1, e 2 1 g 2, e j ie j 2 g1 g 2, 3 j n + 2., 64

2.2 Άλγεβρα Clifford, δομές Spin και σ υνθήκες ύπαρξης Αν n = 2k άρτιος, τότε Cn C = M 2 C... M 2 C = End C 2... C 2 = End C 2k. }{{}}{{} k φορές k φορές 2.58a Αν n = 2k + 1 περιττός, τότε C C n = M 2 C... M 2 C M 2 C... M 2 C = End Οι γεννήτορες των ισ ομορφισ μών αυτών περιγράφονται από τις ακόλουθες σ χέσ εις: Αν n = 2k άρτιος, τότε e j E... E g aj T... T, όπου a j = }{{} j 1 2 φορές Αν n = 2k + 1 περιττός, τότε, αν 1 j 2k, o e j αντισ τοιχίζεται ως C 2k End C 2k. 2.58b { 1 αν j περιττός, 2 αν j άρτιος. e j E... E g aj T... T, E... E g }{{} aj T... T. }{{} j 1 2 φορές j 1 2 φορές Ακόμα,ο ενδομορφισ μός e 2k+1 λογίζεται ως e 2k+1 it... T, it... T. 2.2.1.5 Μιγαδικοποιημένοι n-spinors, Dirac spinors Ορίζουμε Ορισμός 2.18. Ο διανυσ ματικός χώρος των μιγαδικών n-spinors είναι ο n := C 2k = C 2... C 2 }{{} k φορές Τα σ τοιχεία του n λέγονται μιγαδικοί spinors., για n = 2k, 2k + 1. 2.59 Με βάσ η τον ορισ μό αυτόν, έχουμε ότι C C n = End n για n = 2k άρτιο, και C C n = End n End n για n = 2k + 1 περιττό. Επιπλέον, το ακόλουθο διάγραμμα πρέπει να είναι μεταθετικό: C C 2k End 2k C C 2k+1 φ End n End n 2.60 όπου ϕ η διαγώνια απεικόνισ η ϕ A = A, A, και οι διανυσ ματικοί χώροι 2k = 2k+1 σ υμπίπτουν. H spin αναπαράσ τασ η της άλγεβρας Clifford C C n, έσ τω κ n, σ την περίπτωσ η άρτιου πλήθους διασ τάσ εων n = 2k, είναι, σ την ουσ ία, ο ισ ομορφισ μός που αναλύσ αμε προηγουμένως, δηλαδή κ n : C C n End n. Στην περίπτωσ η που το πλήθος των διασ τάσ εων είναι περιττό, δηλαδή n = 2k + 1, η κ n αποτελείται από τον ισ ομορφισ μό C C n = End n End n ακολουθούμενο από την προβολή σ το πρώτο σ τοιχείο pr 1, κ n : C C n End n End n pr1 End n, 2.61 από όπου παρατηρούμε ότι ο διανυσ ματικός χώρος των μιγαδικών n-spinors μετατρέπεται σ ε πρότυπο επί της άλγεβρας Clifford C C n. 65

2.2 Άλγεβρα Clifford, δομές Spin και σ υνθήκες ύπαρξης 2.2.2 Οι ομάδες Pin, Spin και Spin C Εσ τω ο πραγματικός διανυσ ματικός χώρος R n και η άλγεβρα Clifford C n της τετραγωνικής μορφής x 2 1... x 2 n. Ο R n είναι από μόνος του ένας γραμμικός υπόχωρος της C n, R n C n. Για κάθε διάνυσ μα x R n, η ισ ότητα x x = x 2 ισ χύει και σ την C n, επομένως, το αντίσ τροφο σ τοιχείο θα είναι το x 1 = x x 2. Ορισμός 2.19. Η ομάδα Pin n C n είναι η ομάδα που παράγεται πολλαπλασ ιασ τικά από όλα τα διανύσ ματα x S n 1. Ως εκ τούτου, τα σ τοιχεία της Pin n είναι τα γινόμενα x 1... x m, με x i R n και x i = 1. Η ομάδα Spin n ορίζεται ως Spin n = Pin n C 0 n. 2.62 Θεωρούμε τον ομομορφισ μό λ : Pin n O n από την ομάδα Pin n σ την ομάδα O n των ορθογώνιων μετασ χηματισ μών του R n. Οπως είδαμε προηγουμένως βλ. 2.52, η απεικόνισ η γ : C n C n υπάρχει σ ε κάθε άλγεβρα Clifford, και έχει την ιδιότητα x R n C n. γ x = x Λήμμα 2.20. Αν y R n C n και x Pin n C n, τότε το σ τοιχείο x y γ x R n C n. Απόδειξη. Εξ ορισ μού, x = x 1... x m, με x i S n 1, άρα x y γ x = x 1... x m y γ x m... γ x 1. Δίχως βλάβη της γενικότητας, έσ τω m = 1, δηλαδή x S n 1. Επιλέγουμε μια ορθοκανονική βάσ η σ τον R n με x = e 1 ως πρώτο διάνυσ μα, οπότε εκφράζοντας το y ως προς τη βάσ η αυτή, y = n i=1 y ie i, έχουμε n n x y γ x = e 1 y i e i e 1 = y 1 e 1 + y i e i, i=1 άρα x y γ x R n, και είναι η εικόνα του y υπό την κατοπτρική απεικόνισ η σ το επίπεδο κάθετο σ το x. Αν για κάποιο x Pin n ορίσ ουμε λ x : R n R n με λ x y = x y γ x, τότε λ x 1 x 2 = x 1 x 2 yγ x 1 x 2 = x 1 x 2 yγ x 2 γ x 1 = λ x 1 λ x 2 y επομένως, το λ : Pin n GL n είναι ομομορφισ μός ομάδας. Συνδυάζοντας τον ορισ μό των σ τοιχείων του Pin n ως τα γινόμενα x = x 1... x m των διανυσ μάτων σ την σ φαίρα, x i S n 1, με τον προηγούμενο υπολογισ μό, ο λ x i προκύπτει ότι είναι κατοπτρισ μός, άρα το λ x είναι η υπέρθεσ η όλων των κατοπτρισ μών, και άρα, σ υγκεκριμένα, ένας ορθογώνιος μετασ χηματισ μός. Προκύπτουν οι εξής ιδιότητες: Πρόταση 2.21. Εχουμε [61]: i=2 1. Η απεικόνισ η λ : Pin n O n είναι ένας σ υνεχής και επί ομομορφισ μός ομάδων. 2. λ 1 SO n = Spin n. 3. ker λ = {1, 1} = Z 2. 4. Για n 2, η Spin n είναι σ υνεκτική ομάδα. 66

2.2 Άλγεβρα Clifford, δομές Spin και σ υνθήκες ύπαρξης 5. Για n 3, η Spin n είναι απλά σ υνεκτική και ο λ : Spin n SO n είναι το ολικό επικάλυμμα της ομάδας SO n. Απόδειξη. Η πρώτη ιδιότητα προκύπτει από το γεγονός ότι κάθε ορθογώνια γραμμική απεικόνισ η A : R n R n είναι μια υπέρθεσ η κατοπτρικών. Εσ τω β : C n C n involution της άλγεβρας Clifford που ορίζει τον διαχωρισ μό C n = Cn 0 Cn. 1 Για κάθε x R n έχουμε β x = x. Δρώντας με το β σ ε οποιοδήποτε σ τοιχείο x = x 1... x m, έχουμε β x = β x 1...β x m = 1 m x 1... x m x Spin n αν και μόνο αν ο m είναι άρτιος. Η υπέρθεσ η m κατοπτρισ μών λ x = λ x 1...λ x m ανήκει σ την SO n αν και μόνο αν το m είναι άρτιο, και αποδεικνύεται έτσ ι η δεύτερη ιδιότητα. Εσ τω λ x = 1 σ την O n. Τότε x y γ x = y y R n. Επιπλέον, αφού λ x SO n, είναι το γινόμενο άρτιου πλήθους διανυσ μάτων x = x 1... x m και m 0 mod2, επομένωςx 1... x m y x 1... x m = y. Πολλαπλασ ιάζοντας από δεξιά με x 1... x m και λαμβάνοντας υπόψιν ότι x 2 1 =... = x 2 m = 1 και ότι m = 0 mod2, έπεται ότι x 1... x m y = y x 1... x m. Το σ τοιχείο x = x 1... x m m = 0 mod2 της άλγεβρας Clifford C n, σ υνεπώς, μετατίθεται με κάθε διάνυσ μα του R n. Άρα το x ανήκει σ το κέντρο της C n και σ το κέντρο της Cn. 0 Ομως, για κάθε άλγεβρα Clifford, προκύπτει ότι Z C V, Q Z C 0 V, Q = K, όπου K το σ ώμα, άρα x R, και αφού x = 1, τότε x = ±1. Τέλος, θα δειχθεί ότι η Spin n είναι σ υνεκτική ομάδα. Εφόσ ον η λ : Spin n SO n είναι επί, με ker λ = { 1, 1}, αρκεί να ευρεθεί μια διαδρομή σ την Spin n τέτοια ώσ τε να σ υνδέει το σ τοιχείο 1 Spin n με το ουδέτερο σ τοιχείο 1 Spin n. Για n 2 μια τέτοια διαδρομή είναι η γ t = cos πt sin πt e 1 e 2, με 0 t 1. Η γ t Spin n αφού γ t = cos πt/2 e 1 + sin πt/2 e 2 cos πt/2 e 1 sin πt/2 e 2 σ την C n. 2.2.2.1 Άλγεβρα Lie της ομάδας Spin n Εσ τω A μια προσ εταιρισ τική άλγεβρα πεπερασ μένης διάσ τασ ης, και A A η ομάδα των αντισ τρέψιμων σ τοιχείων της. Το A είναι ανοικτό υποσ ύνολο της A, και επιπλέον, μια ομάδα Lie. Η άλγεβρα Lie της A, a, η οποία μπορεί να ταυτοποιηθεί με την T 1 A = A σ υμπίπτει με την A, δηλαδή a = A. Ο μεταθέτης δύο σ τοιχείων a 1, a 2 A = a είναι ο [a 1, a 2 ] = a 1 a 2 a 2 a 1, και η εκθετική απεικόνισ η exp : a A ορίζεται μέσ ω της σ ειράς της εκθετικής σ υνάρτησ ης, exp a = Αυτή η ανάλυσ η μπορεί να εφαρμοσ θεί σ την πραγματική άλγεβρα Clifford C n. Η ομάδα spin είναι μια υποομάδα της Cn, Spin n Cn, και σ υνεπώς, για την περιγραφή της άλγεβρας Lie spin n, αρκεί ο καθορισ μός του εφαπτόμενου χώρου T 1 Spin n C n. Προς τούτο, έσ τω γ t = x 1 t... x 2m t διαδρομή σ την Spin n με x i t S n 1 και γ 0 = 1. Στο t = 0, η εφαπτόμενη σ την γ είναι dγ t dt = t=0 dγ t dt n=0 a n n!. x 2 0... x 2m 0 + x 1 0 x 2 0... t=0 dγ t dt. 2.63 t=0 Αν m 2 C n ο υπόχωρος της C n που εκτείνεται από τα γινόμενα Clifford e i e j, με 1 i < j n, κάθε όρος της 2.63 ανήκει σ τον m 2. Πράγματι, αφού γ 0 = 1, ο πρώτος όρος είναι dx1t dt t=0 x 1 1 0 = dx1t dt x 1 0. Ομως, αφού x 1 t x 1 t 1, τότε dx1t dt x 1 0 + x 1 0 dx1t dt = 0, t=0 t=0 t=0 και εξαιτίας των σ χέσ εων της άλγεβρας Clifford, τα dx1t dt και x 1 0 είναι κάθετα ως διανύσ ματα t=0 σ τον R n, επομένως ο πρώτος όρος ανήκει σ τον m 2. Παρομοίως προκύπτει ότι και ο δεύτερος όρος ανήκει σ τον m 2, και έτσ ι σ υνολικά, προκύπτει ότι 67

2.2 Άλγεβρα Clifford, δομές Spin και σ υνθήκες ύπαρξης Πρόταση 2.22. Ισ χύουν τα εξής: 1. Ο γραμμικός υπόχωρος m 2 C n m 2 = Lin e i e i : 1 i < j n 2.64 εφοδιασ μένος με τον μεταθέτη [x, y] = xy yx είναι μια άλγεβρα Lie, η οποία σ υμπίπτει με την άλγεβρα Lie της ομάδας Spin n C n. 2. Η εκθετική απεικόνισ η exp : m 2 Spin n δίνεται από την σ χέσ η exp x = 3. Αν η σ : C n End W είναι μια πραγματική ή μιγαδική αναπαράσ τασ η της άλγεβρας Clifford, και σ Spinn : Spin n Aut W 2.65 ο ομομορφισ μός της ομάδας που ορίζεται από τον περιορισ μό, τότε το διαφορικό του, σ Spinn : spin n = m 2 End W 2.66 θα δίνεται από την σ χέσ η σ Spinn. i=0 x n i!. = σ m 2. 2.67 Απόδειξη. Από τον υπολογισ μό προηγουμένως, προκύπτει ότι η άλγεβρα Lie spin n περιέχεται σ τον υπόχωρο m 2, και αφού dim R m 2 = n n 1 /2 = dim R Spin n = dim R SO n, οι δύο χώροι σ υμπίπτουν, αποδεικνύοντας τα 1 και 2. Το 3 προκύπτει από τις ιδιότητες του διαφορικού ενός ομομορφισ μού f : H G μεταξύ δύο ομάδων Lie. Συγκεκριμένα, το f : h g καθορίζεται μοναδικά από το μεταθετικό διάγραμμα h f g 2.68 exp H f G ως ομομορφισ μός αλγεβρών Lie. Στην σ υγκεκριμένη περίπτωσ η, το διάγραμμα exp σ m 2 End W 2.69 exp Spin n exp σ Aut W μετατίθεται, αφού ο σ : C n End W είναι ομομορφισ μός σ τις άλγεβρες. 68

2.2 Άλγεβρα Clifford, δομές Spin και σ υνθήκες ύπαρξης Εσ τω το ολικό επικάλυμμα λ : Spin n SO n. Το διαφορικό αυτού, λ : spin n so n υπολογίζεται ως εξής: όπως και προηγουμένως, η spin n ταυτίζεται με τον m 2 2.64, και η so n με το σ ύνολο των αντισ υμμετρικών πινάκων n n. Μια βάσ η του χώρου so n αποτελείται από τους πίνακες E ij, i < j, που ορίζονται ως E ij = 0...... 0 0... 0 0 1 ji 0.. 1 ij. 0 0...... 0... 0 όπου 1 ij το ij-σ τοιχείο του E, που είναι 1. Θα δειχθεί ότι για λ : spin n = m 2 so n. Η διαδρομή., 2.70 λ e i e j = 2E ij 2.71 γ t = cos t + sin t e i e j = cos t/2 e i + sin t/2 e j cos t/2 e i sin t/2 e j είναι ένα υποσ ύνολο γ Spin n, με dγt dt = e i e j. Για k i, j, έχουμε λ γ t e k = e k, ενώ αν t=0 k = i, έχουμε λ γ t e i = cos t + sin t e i e j e i cos t + sin t e i e j = cos 2t e i + sin 2t e j, d σ υνεπώς, dt λ γ t e i = 2e j, αποδεικνύοντας την 2.71. Ετσ ι, Πρόταση 2.23. Αν z spin n σ τοιχείο της άλγεβρας Lie, τότε για το διαφορικό ισ χύει ότι λ : spin n so n λ z x = zx xz, x R n. 2.72 Συγκεκριμένα, το γινόμενο Clifford zx xz ανήκει σ τον R n, όπου z m 2, x R n. 2.2.2.2 Η αναπαράσ τασ η spin Στο πρότυπο C n των n-spinors n, μια αναπαράσ τασ η κ της ομάδας Spin n λαμβάνεται μέσ ω της μέσ ω του περιορισ μού Spin n C n C C n κ n End n 2.73 κ : κ n Spinn : Spin n Aut n 2.74 η οποία καλείται spin αναπαράσ τασ η της ομάδας Spin n. Η αναπαράσ τασ η spin είναι πισ τή faithful αναπαράσ τασ η της Spin n. Αν n = 2k άρτιος, τότε Cn C = End n, επομένως η πρότασ η αυτή είναι τετριμμένη. Στην περίπτωσ η n = 2k + 1, ωσ τόσ ο, οι διανυσ ματικοί χώροι 2k και 2k+1 ταυτίζονται, 2k = 2k+1, και το ακόλουθο διάγραμμα μετατίθεται Spin 2k κ 2k GL 2k 2.75 Spin 2k + 1 κ 2k+1 GL 2k+1 69

2.2 Άλγεβρα Clifford, δομές Spin και σ υνθήκες ύπαρξης βλ. [64]. Αυτό σ υνεπάγεται ότι η κανονική υποομάδα H = ker κ 2k+1 έχει μόνο ένα κοινό σ τοιχείο με την Spin 2k, το ουδέτερο, δηλαδή H Spin 2k = {1}. Η υποομάδα λ H SO 2k + 1 είναι κανονική αφού η λ : Spin n SO n είναι επιμορφισ μός, και επιπλέον, λ H SO 2k = {E}. Αν A λ H SO 2k + 1, το χαρακτηρισ τικό πολυώνυμο του A είναι περιττού βαθμού, και σ υνεπώς μοναδικό διάνυσ μα v 0 : A v 0 = v 0, επομένως B SO 2k + 1 τ.ω. BAB 1 SO 2k. Εφόσ ον η λ H είναι κανονική, αυτό σ ημαίνει ότι BAB 1 λ H SO 2k, δηλαδή BAB 1 = E, που αποδεικνύει ότι η λ H είναι η τετριμμένη υποομάδα της SO 2k + 1. Άρα μένουν δύο περιπτώσ εις για το H: είτε H = {1}, είτε H = {1, 1}. Ομως το 1 Spin n δεν ανήκει σ τον πυρήνα της αναπαράσ τασ ης spin. Πολλαπλασ ιασ μός Clifford διανυσ μάτων και spinors Ενα διάνυσ μα x R n C n Cn C κ n End n μπορεί να θεωρηθεί ως ενδομορφισ μός του n, οδηγώντας σ τον πολλαπλασ ιασ μό Clifford διανυσ μάτων και spinors, ο οποίος είναι μια γραμμική απεικόνισ η Εδώ ο µ x y ορίζεται για x R n και ψ n ως µ : R n R n n. 2.76 µ x y = κ n x ψ 2.77 και θα σ υμβολίζεται ως x y αντί για µ x y. Αυτός ο πολλαπλασ ιασ μός Clifford εκτείνεται σ ε έναν ομομορφισ μό µ : R n R n n ως εξής: χρησ ιμοποιώντας μια ορθοκανονική βάσ η {e i } n i=1 του Rn, κάθε σ τοιχείο της εξωτερικής άλγεβρας R n γράφεται ισ οδύναμα ως w k = w i1...i k e i1... e ik. i 1<...<i k Ορίζοντας µ w k y = w k y = w i1...i k e i1... e ik ψ, 2.78 i 1<...<i k όπου e ia ψ το γινόμενο Clifford του e ia με τον spinor ψ, μετά από έναν άμεσ ο υπολογισ μό, λαμβάνουμε x w k ψ = x w k ψ + x w k ψ 2.79 για x R n και w k R n. Ετσ ι, Πρόταση 2.24. Το γινόμενο Clifford µ : R n R n n είναι ένας ομομορφισ μός των Spin n-αναπαρασ τάσ εων. Απόδειξη. Ενας προφανής τρόπος απόδειξης αυτής της πρότασ ης είναι επαγωγικά ως προς τον βαθμό k του w k σ την έκφρασ η κ g w k ψ = λ g w k κ g ψ. Για k = 1, το w k αντισ τοιχεί σ ε ένα οποιοδήποτε x R n, και έχουμε: κ g x ψ = κ g κ n x ψ = κ g κ n x κ g 1 κ g ψ = κ n gxg 1 κ g ψ = κ n λ g x κ g ψ = λ g x κ g ψ. Υποθέτουμε ότι ισ χύει για w i με i k και θεωρούμε w k+1 = x w k, επομένως, έχουμε: κ g x w k ψ = κ g x w k ψ + κ g x w k ψ = λ g x κ g w k ψ + λ g x w k κ g ψ = λ g x λ g w k κ g ψ + λ g x λ g w k κ g ψ = λ g x λ g w k κ g ψ = λ g w k+1 κ g ψ. 70

2.2 Άλγεβρα Clifford, δομές Spin και σ υνθήκες ύπαρξης Συνοψίζοντας τα ανωτέρω, τα διανύσ ματα και οι μορφές μπορούν να πολλαπλασ ιασ τούν με spinors, και το αποτέλεσ μα θα είναι πάντα spinor. Στην περίπτωσ η όπου n = 2k, το σ τοιχείο e 1... e 2k ανήκει σ το κέντρο της άλγεβρας Cn, 0 και εφόσ ον Spin n Cn, 0 το σ τοιχείο αυτό μετατίθεται με όλα τα σ τοιχεία του Spin n. Επομένως, ο ενδομορφισ μός f = i k κ e 1... e 2k : 2k 2k είναι αυτομορφισ μός της αναπαράσ τασ ης spin, δηλαδή f κ g ψ = κ g f ψ g Spin n και ψ 2k. Ακόμα, αφού e 1... e 2k 2 = 1 k, έχουμε ότι f 2 = Id n, ως εκ τούτου, η αναπαράσ τασ η spin 2k διαχωρίζεται σ τους ιδιοϋπόχωρους του f:. 2k = + 2k 2k, με ± 2k = {ψ 2k : f ψ = ±ψ} 2.80 Ορισμός 2.25 Weyl spinors. Οι spinors που ανήκουν σ τους υπόχωρους ± 2k καλούνται θετικοί ή αρνητικοί Weyl spinors.. Πρόταση 2.26. Για τους Weyl spinors ισ χύουν τα εξής: 1. dim C + 2k = dim C 2k = 2k 1. 2. Αν x R 2k διάνυσ μα και ψ ± ± 2k, τότε ο spinor x ψ± ανήκει σ το 2k. Ως εκ τούτου, το γινόμενο Clifford επάγει τους ομομορφισ μούς. µ : R 2k R ± 2k 2k Απόδειξη. Αν x R n π.χ. x = e 1, τότε, σ την άλγεβρα C n έχουμε τη σ χέσ η x e 1...e 2k = e 1...e 2k x, και σ υνεπώς ο πολλαπλασ ιασ μός Clifford με το διάνυσ μα x αντιμετατίθεται με το involution f. Επομένως, το γινόμενο Clifford με ένα οποιοδήποτε μη μηδενικό διάνυσ μα x R n απεικονίζει τον χώρο 2k αμφιμονοσ ήμαντα σ τον χώρο ± 2k. Spinors και σ υνθήκη Majorana Ενας spinor σ ε έναν χωρόχρονο με την ομάδα Lorentz SO p, q είναι ένα σ τοιχείο του χώρου αναπαράσ τασ ης της ομάδας Spin p, q, και εν γένει, σ ύμφωνα με τα προηγούμενα, ένας Dirac spinor έχει μιγαδική διάσ τασ η 2 [p+q/2]. Σε έναν d-διάσ τατο χώρο Minkowski, η 2 [ d 2 ] -διάσ τατη αναπαράσ τασ η Dirac διαχωρίζεται σ τις δύο αναπαρασ τάσ εις Weyl, οι οποίες μπορούν να λογισ θούν ως τα δύο σ ύνολα των ιδιοτιμών του τελεσ τή χειραλικότητας γ = i k γ 0 γ 1...γ d 1, όπου το γ έχει ιδιοτιμές ±1. Ο τελεσ τής αυτός χρησ ιμοποιείται για τον ορισ μό της προβολής επί των δύο αναπαρασ τάσ εων Weyl: P ± := Id ± γ. 2 Στις διασ τάσ εις d = 0, 1, 2, 3, 4 mod8 μπορεί, επιπλέον, να επιβληθεί η σ υνθήκη Majorana σ ε έναν Dirac spinor, η οποία απαιτεί ότι ένας Majorana spinor ψ, πρέπει να είναι σ υζυγής του αυτού του ως προς το φορτίο: ψ c = ψ, όπου ψ c := Cγ 0 ψ, όπου C ο τελεσ τής της σ υζυγίας φορτίου, ο οποίος ικανοποιεί τις Cγ µ C 1 = γ T µ, και Cγ 0 Cγ 0 = Id. 71

2.2 Άλγεβρα Clifford, δομές Spin και σ υνθήκες ύπαρξης Η τελευταία εξίσ ωσ η υποδηλώνει ότι ψ c c = ψ. Στις υπόλοιπες περιπτώσ εις με d = 5, 6, 7 mod8, οι spinors μπορούν να ομαδοποιηθούν σ ε διπλέτες και να επιβληθεί μια σ υμπλεκτική σ υνθήκη Majorana, όπως θα δούμε παρακάτω, σ την περίπτωσ η των μεταβλητών Grassmann σ ε Ευκλείδειο χωρόχρονο. Η σ υνθήκη Majorana είναι ουσ ιασ τικά ισ οδύναμη με την σ υνθήκη Weyl για διασ τάσ εις d = 0, 4 mod8. Για d = 2 mod8 οι σ υνθήκες Weyl και Majorana μπορούν να επιβληθούν ταυτόχρονα, δίνοντας έτσ ι τους Majorana-Weyl spinors. Ανάγωγες αναπαρασ τάσ εις της ομάδας spin Στη σ υνέχεια, θα δείξουμε ότι οι αναπαρασ τάσ εις spin + 2k, 2k και 2k+1 είναι όλες ανάγωγες irreducible αναπαρασ τάσ εις της ομάδας spin. Αν V μιγαδικός διανυσ ματικός χώρος και A = End V η άλγεβρα όλων των ενδομορφισ μών, τότε η A είναι απλή άλγεβρα, δηλαδή δεν περιέχει ιδεώδη [63]. Κατά σ υνέπεια, αν V, W μιγαδικοί διανυσ ματικοί χώροι με dim V > dim W, τότε κάθε ομομορφισ μός των αλγεβρών f : End V End W είναι τετριμμένος, δηλαδή f 0. Πρόταση 2.27. Η Spin 2k-αναπαράσ τασ η ± 2k είναι ανάγωγη. Απόδειξη. Θεωρούμε τους εγκλεισ μούς Spin 2k C C 2k 0 C C 2k = End + 2k 2k και υποθέτουμε ότι ο {0} = W + 2k είναι ένας Spin 2k-αναλλοίωτος υπόχωρος. Τα γινόμενα e i e j με i < j ανήκουν σ την ομάδα Spin 2k, επομένως ο W παραμένει αναλλοίωτος υπό αυτά. Επιπλέον, τα e i e j με i < j παράγουν πολλαπλασ ιασ τικά την άλγεβρα C C 2k 0, άρα λαμβάνουμε μια αναπαράσ τασ η αυτής της άλγεβρας σ τον διανυσ ματικό χώρο W, της μορφής f : C C 2k 0 End W. Καθώς C C 2k 0 = C C 2k 1 = End 2k 1 End 2k 1 και dim 2k 1 = 2 k 1, dim W < dim + 2k = 2 k 1, η αναπαράσ τασ η f πρέπει να είναι τετριμμένη, άρα οδηγούμασ τε σ ε άτοπο. Πρόταση 2.28. Η Spin 2k + 1-αναπαράσ τασ η 2k+1 είναι ανάγωγη. Απόδειξη. Στην περίπτωσ η αυτή, θεωρούμε τους εγκλεισ μούς Spin 2k + 1 C C 2k+1 0 C C 2k+1 = End 2k+1 End 2k+1. Εσ τω {0} W 2k+1 ένας Spin 2k + 1-αναλλοίωτος υπόχωρος. Τότε, όπως και προηγουμένως, ο W παραμένει αναλλοίωτος υπό την δράσ η της άλγεβρας C C 2k+1 0, οδηγώντας σ ε μια αναπαράσ τασ η της μορφής f : C C 2k+1 0 End W. Αφού C C 2k+1 0 = C C 2k = End 2k και dim W < dim 2k+1 = dim 2k, η f είναι τετριμμένη, που είναι άτοπο. Η αναπαράσ τασ η spin κ : Spin n GL n είναι η αναπαράσ τασ η μιας σ υμπαγούς ομάδας σ ε έναν μιγαδικό διανυσ ματικό χώρο, άρα υπάρχει ένα Spin n-αναλλοίωτο Ερμητιανό βαθμωτό γινόμενο σ τον n, το οποίο θα κατασ κευασ θεί, και, όπως θα δούμε, ικανοποιεί μια ακόμα ισ χυρότερη έννοια αναλλοιώτητας. Πρόταση 2.29. Στον χώρο των n-spinors n, υπάρχει ένα θετικώς ορισ μένο Ερμητιανό βαθμωτό γινόμενο,, με την ιδιότητα της αναλλοιώτητας: x ψ, ϕ + ψ, x ϕ = 0, 2.81 όπου x R n και ϕ, ψ n. Η αναπαράσ τασ η spin κ : Spin n GL n είναι μια unitary αναπαράσ τασ η ως προς αυτό το βαθμωτό γινόμενο. 72

2.2 Άλγεβρα Clifford, δομές Spin και σ υνθήκες ύπαρξης Απόδειξη. Εσ τω m 2 C n η άλγεβρα Lie της ομάδας Spin n, όπως ορίζεται από την 2.64, και έσ τω g = R n m 2 C n. Προκύπτει, με άμεσ ες πράξεις, ότι η g είναι μια άλγεβρα Lie, με τον μεταθέτη [z, w] = z w w z, w, g g. Η απεικόνισ η ϕ : g C n+1 που δίνεται από τη σ χέσ η ϕ m2 = Id, ϕ e i = e i e n+1 για 1 i n, είναι ο περιορισ μός ενός ομομορφισ μού άλγεβρας Φ : C n C n+1. Ο ομομορφισ μός Φ επάγεται από την απεικόνισ η Φ : R n C n+1, με Φ e i = e i e n+1 όπως προκύπτει από τις εξισ ώσ εις Φ e i 2 = 1, 1 i n, και Φ e i Φ e j + Φ e j Φ e i = 0, 1 i < j n. Κατά σ υνέπεια, η ϕ : g C n+1 απεικονίζει την άλγεβρα Lie αμφιμονοσ ήμαντα σ την άλγεβρα Lie της ομάδας Spin n + 1, και επιπλέον, αποτελεί ισ ομορφισ μό αυτών των αλγεβρών Lie, άρα η g είναι σ υμπαγής. Παρατήρηση. Αν g σ υμπαγής πραγματική άλγεβρα Lie και κ : g End W μια αναπαράσ τασ η αυτής σ ε έναν μιγαδικό διανυσ ματικό χώρο W, τότε υπάρχει θετικά ορισ μένο ερμητιανό βαθμωτό γινόμενο, σ τον W με την ιδιότητα αναλλοιώτητας κ x w 1, w 2 + w 1, κ x w 2 = 0 για x g, και w 1, w 2 W. Αυτό αποδεικνύεται θεωρώντας την σ υμπαγή ομάδα G που αντισ τοιχεί σ την άλγεβρα Lie g, και ένα θετικά ορισ μένο, αυθαίρετο γινόμενο, σ τον W, θέτοντας ˆ w 1, w 2 = gw 1, gw 2 dg, 2.82 όπου dg το μέτρο Haar [65] της ομάδας G. G Πρόταση 2.30. Αν κ : Spin n U n η αναπαράσ τασ η spin, τότε det κ g = 1 για κάθε σ τοιχείο της ομάδας g Spin n. Ισ οδύναμα, η αναπαράσ τασ η spin είναι μια αναπαράσ τασ η μέσ α σ την unitary ομάδα SU n του χώρου των n-spinors. Απόδειξη. Παρατηρούμε ότι αν θεωρήσ ουμε τον ομομορφισ μό ομάδων f : Spin n S 1, με f g = det κ g, αφού η Spin n είναι απλά σ υνεκτική, υπάρχει lift F : Spin n R σ το ολικό επικάλυμμα της S 1, f g = exp 2πiF g, το οποίο είναι επίσ ης ομομορφισ μός ομάδων. Εφόσ ον η Spin n είναι σ υμπαγής, το F Spin n R είναι υποομάδα που περιέχεται σ ε ένα φραγμένο σ ύνολο, άρα F 0, και σ υνεπώς, f g = det κ g = 1. 2.2.2.3 Η ομάδα Spin C Η μιγαδική άλγεβρα Clifford C C n περιέχει την ομάδα Spin n και την ομάδα S 1 όλων των μιγαδικών αριθμών μοναδιαίου μέτρου. Ο σ υνδυασ μός αυτών των δύο παράγει την ομάδα Spin C n. Αφού Spin n S 1 = {1, 1}, η ομάδα Spin C n θα είναι η εξής: Spin C n = Spin n S 1 / {±1} = Spin n Z2 S 1. 2.83 Τα σ τοιχεία της Spin C n, επομένως, θα είναι κλάσ εις [g, z] ζευγών g, z Spin n S 1 υπό την σ χέσ η ισ οδυναμίας g, z g, z. Ορίζονται οι εξής ομομορφισ μοί: 1. Εσ τω λ : Spin C n SO n της μορφής λ [g, z] = λ g. 2. Η i : Spin n Spin C nείναι η φυσ ική απεικόνισ η εγκλεισ μού, με i g = [g, 1]. 3. Η j : S 1 Spin C n είναι η φυσ ική απεικόνισ η εγκλεισ μού, με j z = [1, z]. 4. Η απεικόνισ η l : Spin C n S 1, που δίνεται από τη σ χέσ η l [g, z] = z 2. 5. Η απεικόνισ η p : Spin C n SO n S 1, που δίνεται από τη σ χέσ η p [g, z] = λ g, z 2, δηλαδή p = λ l. 73

2.2 Άλγεβρα Clifford, δομές Spin και σ υνθήκες ύπαρξης Με αυτούς τους ομομορφισ μούς, προκύπτει το ακόλουθο μεταθετικό διάγραμμα: 1 2.84 S 1 1 Spin n i j Spin C n z z 2 l S 1 1 λ λ SO n ενώ όλες οι γραμμές και οι σ τήλες του είναι ακριβείς. Ακόμα, η p αποτελεί διπλό 2-fold επικάλυμμα της ομάδας Spin C n επί της SO n S 1. Μέσ ω του διαγράμματος 2.84 μπορεί να υπολογισ θεί η θεμελιώδης ομάδα. Πρόταση 2.31. Εσ τω n 3. Τότε: 1 1. Η θεμελιώδης ομάδα π 1 Spin C n είναι ισ ομορφική με το Z, και η απεικόνισ η είναι ισ ομορφισ μός. l : π 1 Spin C n π 1 S 1 = Z 2. Επιλέγοντας γεννήτορες από τις ομάδες:α π 1 Spin C n, β π 1 SO n, γ π 1 S 1, με l α = γ, τότε, για τους ομομορφισ μούς που επάγονται από το διπλό επικάλυμμα p : π 1 Spin C n π 1 SO n π 1 S 1, ισ χύει ότι p α = β + γ. Απόδειξη. Το 1 έπεται άμεσ α από την ακριβή ακολουθία 1 Spin n Spin C n S 1 1 του διαγράμματος 2.84 σ ε σ υνδυασ μό με την σ χέσ η π 1 Spin n = 1 για n 3. Για το 2, αν υποθέσ ουμε ότι λ α = 0, από την ακριβή ακολουθία της αντίσ τοιχης σ τήλης του 2.84 προκύπτει ότι πρέπει να υπάρχει σ τοιχείο δ π 1 S 1 τέτοιο ώσ τε j δ = α, το οποίο σ ημαίνει ότι γ = l α = l j δ = 2δ, που σ ημαίνει ότι το γ δεν είναι γεννήτορας της π 1 S 1, άτοπο. Εσ τω n = 2k άρτιος. Η unitary ομάδα U k είναι υποομάδα της SO 2k. Θεωρούμε τον ομομορφισ μό f : U k SO 2k S 1 με f A = A, det A. Τότε, υπάρχει ένας ομομορφισ μός F : U k SO 2k S 1 τέτοιος ώσ τε το διάγραμμα U k f F Spin C 2k p SO 2k S 1 2.85 να μετατίθεται. Πράγματι, αρκεί να δειχθεί ότι η ομάδα f π 1 U k περιέχεται σ το σ ύνολο p Spin C n. Επιλέγοντας έναν γεννήτορα δ π 1 U k = Z μαζί με τους α, β, γ, έχουμε ότι f δ = β + γ, οπότε προκύπτει η μεταθετικότητα του 2.85 βλ. [66]. 74

2.2 Άλγεβρα Clifford, δομές Spin και σ υνθήκες ύπαρξης Με ανάλογα επιχειρήματα προκύπτει και ένα lift του ομομορφισ μού f 1 : U k SO 2k S 1 1, με f 1 A = A, det A Τότε, υπάρχει ένας ομομορφισ μός F 1 : U k Spin C 2k τέτοιος ώσ τε το διάγραμμα. 2.86 U k F 1 f 1 Spin C 2k p SO 2k S 1 2.87 να μετατίθεται. Παρατήρηση. Η σ ημασ ία του ομομορφισ μού F 1 : U k Spin C 2k προκύπτει ως εξής: για κάθε A U k υπάρχει μια unitary βάσ η {f i } k i=1 με f i C k ως προς την οποία, το A έχει την διαγώνια μορφή A = e iθ1 0... 0 e iθ k. 2.88 Αν J : C k C k η μιγαδική δομή του C k, τότε τα f j και J f j, με 1 j k είναι σ τοιχεία της μιγαδικής άλγεβρας Clifford C2n. C Τότε, ένας ομομορφισ μός F : U k Spin C 2k = Spin 2k Z2 S 1 μπορεί να ορισ θεί μέσ ω της σ χέσ ης F A = k j=1 cos θj + sin 2 θj f j J f j 2 exp i 2 k j=1 θ j. 2.89 Εφόσ ον η Spin n περιέχεται σ την άλγεβρα Clifford C C n, η αναπαράσ τασ η spin της ομάδας Spin n εκτείνεται σ ε μια Spin C n-αναπαράσ τασ η. Ετσ ι, για οποιοδήποτε σ τοιχείο [g, z] Spin C n και οποιονδήποτε spinor ψ n, έχουμε κ [g, z] ψ = z κ g ψ, 2.90 επομένως, ο χώρος n των n-spinors μετατρέπεται σ ε μια Spin C n-αναπαράσ τασ η. Η ορίζουσ α του ενδομορφισ μού κ [g, z] : n n δίνεται από τη σ χέσ η det κ [g, z] = z dim n. 2.91 Στην περίπτωσ η με άρτιο πλήθος διασ τάσ εων n = 2k, ο διαχωρισ μός 2k = + 2k 2k είναι αναλλοίωτος υπό την Spin C 2k, και για τις αντίσ τοιχες αναπαρασ τάσ εις έχουμε:det κ ± [g, z] = z dim ± n, που σ ημαίνει ότι οι Spin C n-αναπαρασ τάσ εις det n = dim ± n ± n και l dim ± n /2 = l... l }{{} dim ± n /2 είναι ισ οδύναμες. Για την ειδική περίπτωσ η n = 4, έχουμε ότι 2 + 4 = 2 4 = l. 2.92. 75

2.2 Άλγεβρα Clifford, δομές Spin και σ υνθήκες ύπαρξης Πρόταση 2.32. Υπάρχει ένας 1-1 ομομορφισ μός μονομορφισ μός f : Spin C n Spin n + 2 τέτοιος ώσ τε το διάγραμμα Spin C n f Spin n + 2 2.93 να μετατίθεται. p SO n S 1 = SO n SO 2 SO n + 2 Απόδειξη. Η Spin n είναι υποομάδα της Spin n + 2, και η S 1 μπορεί να θεωρηθεί ως υποομάδα της Spin n + 2 από τα σ τοιχεία cos t + sin t e n+1 e n+2 = cos t/2 e n+1 + sin t/2 e n+2 cos t/2 e n+1 sin t/2 e n+2. Η τομή των δύο αυτών υποσ υνόλων της Spin n + 2 είναι {1, 1}, και έτσ ι έχουμε μια υποομάδα της Spin n + 2 που είναι ισ ομορφική με την Spin C n. λ Άλγεβρα Lie της ομάδας Spin C Η άλγεβρα Lie της ομάδας Spin C C C n είναι το ευθύ άθροισ μα spin C n = m 2 ir 2.94 και το διαφορικό p : spin C n so n ir του επικαλύμματος p δίνεται από την σ χέσ η 2.2.3 Δομές spin και σ υνθήκες ύπαρξης p e α, e β, it = 2E αβ, 2it, 1 α < β n. 2.95 Εσ τω π : E X πραγματική n-διάσ τατη διανυσ ματική δέσ μη επί μιας πολλαπλότητας X. Υποθέτουμε ότι η δέσ μη αυτή είναι εφοδιασ μένη με μια Riemannian δομή, δηλαδή με ένα θετικά ορισ μένο εσ ωτερικό γινόμενο, σ υνεχώς ορισ μένο σ τα νήματα, η οποία υπάρχει πάντα. Επιπλέον, υποθέτουμε ότι η δέσ μη είναι προσ ανατολισ μένη, δηλαδή ότι υπάρχει προσ ανατολισ μός σ υνεχώς ορισ μένος σ τα νήματα. Ωσ τόσ ο, η δομή αυτή δεν υπάρχει πάντα. Προς διερεύνησ η αυτής της πρότασ ης, θεωρούμε την δέσ μη των ορθοκανονικών frames P O E σ την E, η οποία είναι η κύρια O n-δέσ μη, της οποίας το νήμα σ ε ένα σ ημείο x X είναι το σ ύνολο των ορθοκανονικών βάσ εων της E x π 1 x. Η δέσ μη των προσ ανατολισ μών σ την E είναι το πηλίκο Or E = P O E /SO n, όπου δύο βάσ εις της E x ταυτοποιούνται αν ο ορθοκανονικός πίνακας του μετασ χηματισ μού από την μία σ την άλλη έχει ορίζουσ α +1. Παρατηρούμε ότι η Or E είναι ένας χώρος διπλής επικάλυψης 2-fold covering space, βλ. [41] της X, και ότι η E είναι προσ ανατολίσ ιμη αν και μόνο αν το επικάλυμμα αυτό είναι το τετριμμένο. Σε αντισ τοιχία με την περίπτωσ η της σ υνομολογίας Čech [57], προκύπτει ο ακόλουθος φυσ ικός ισ ομορφισ μός [57, 70]: Λήμμα 2.33. Αν Cov 2 X είναι το σ ύνολο των κλάσ εων ισ οδυναμίας των χώρων διπλής επικάλυψης της X, τότε υπάρχει ένας ισ ομορφισ μός. Cov 2 X = H 1 X; Z 2. 2.96 Απόδειξη. Αν η X είναι σ υνεκτική, έχουμε τον ισ ομορφισ μό Cov 2 X = Hom π 1 X, Z 2, καθώς υπάρχει μια 1-1 αντισ τοιχία μεταξύ διπλών επικαλυμμάτων της X και των υποομάδων της π 1 X με δείκτη 2. Επιπλέον, εφόσ ον θεωρούμε ομομορφισ μούς ως προς Z 2, μπορούμε να αντικατασ τήσ ουμε την π 1 X με την Αβελιανοποίησ ή της, H 1 X, όπου, χρησ ιμοποιώντας τον δυϊσ μό Poincaré, λαμβάνουμε τους ισ ομορφισ μούς Hom π 1 X, Z 2 = Hom H 1 X, Z 2 = H 1 X; Z 2. 76

2.2 Άλγεβρα Clifford, δομές Spin και σ υνθήκες ύπαρξης 2.2.3.1 Κλάσ εις Stiefel-Whitney Η κλάσ η Stiefel-Whitney w r είναι μια χαρακτηρισ τική κλάσ η, η οποία λαμβάνει τιμές σ την ομάδα σ υνομολογίας H r X; Z 2. Εσ τω π : T X X η εφαπτόμενη δέσ μη εφοδιασ μένη με μια Riemannian μετρική. Η δομική ομάδα είναι η O m με m = dim X, ενώ επιπλέον, υποθέτουμε ότι το {U i } είναι ένα απλό ανοικτό επικάλυμμα της X. Εσ τω {e ia } m a=1 τοπικό ορθοκανονικό frame του T X επί του U i. Εχουμε e ia = g ij e ja, όπου g ij : U i U j O m η σ υνάρτησ η μετάβασ ης. Θεωρώντας, κατά την 2.1.3, έναν Čech r-cochain ως μια σ υνάρτησ η f i 0...i r Z 2 σ την U i0... U ir που είναι σ υμμετρική υπό οποιαδήποτε μετάθεσ η P, f i P 0...i P r = f i0...i r και ανήκει σ το σ ύνολο C r X; Z 2 που έχει την δομή μιας πολλαπλασ ιασ τικής ομάδας. Αν μια Čech 1-cochain f i, j είναι η f i, j = det g ij = ±1, 2.97 με f C 1 X, Z 2 εφόσ ον f i, j = f j, i. Από την σ υνθήκη 2.17b g ij g jk g ki = Id, έχουμε ότι ďf i, j, k = det g ij det g jk det g ki = 1, 2.98 όπου ď ο τελεσ τής της σ χέσ ης 2.18. Κατά σ υνέπεια, f Z1 X; Z 2, και ορίζει ένα σ τοιχείο [f] της H 1 X; Z 2. Από την 2.96 παρατηρούμε ότι για κάθε διανυσ ματική δέσ μη E επί της X, ο χώρος διπλού επικαλύμματος Or Eκαθορίζει ένα σ τοιχείο w 1 E H 1 X; Z 2 που είναι η πρώτη κλάσ η Stiefel- Whitney της E. Από τους ορισ μούς, έπεται άμεσ α το εξής: Θεώρημα 2.34. Μια διανυσ ματική δέσ μη E επί της πολλαπλότητας X είναι προσ ανατολίσ ιμη αν και μόνο αν w 1 E = 0. Επιπλέον, αν w 1 E = 0, τότε ο κάθε προσ ανατολισ μός σ την E είναι σ ε 1-1 αντισ τοιχία με σ τοιχεία της H 0 X; Z 2. Remark. Η δεύτερη πρότασ η του Θεωρήματος 2.34 δηλώνει απλώς ότι υπάρχουν δύο δυνατοί προσ- ανατολισ μοί της E για κάθε σ υνεκτικό σ τοιχείο της X. Επιπλέον, η w 1 E μπορεί να θεωρηθεί ως μια έμφραξη για την προσ ανατολισ ιμότητα της E. Ορισμός. Ενας χώρος ταξινόμησ ης classifying space για μια ομάδα G είναι ένα CW-σ ύμπλοκο 28 BG και μια κύρια G-δέσ μη EG επί του BG έτσ ι ώσ τε δεδομένου ενός οποιουδήποτε χώρου X και μιας κύριας G-δέσ μης επί του X, να υπάρχει μια απεικόνισ η f : X BG τέτοια ώσ τε E = f EG. Ο ορισ μός της w 1 E, όπως εισ ήχθη προηγουμένως, είναι σ υνεπής με τον αντίσ τοιχο ορισ μό που προκύπτει μέσ ω των χώρων ταξινόμησ ης [43]. Για να δειχθεί αυτό, αρκεί να ισ χύουν οι παρακάτω ιδιότητες: 1. Ο ορισ μός της w 1 E είναι φυσ ικός, δηλαδή για κάθε δέσ μη E επί της X και για κάθε σ υνεχή απεικόνισ η f : X X ισ χύει ότι w 1 f E = f w 1 E. 2.99 2. Ο ορισ μός της w 1 E δίνει το μη μηδενικό σ τοιχείο σ την H 1 BO n ; Z 2 = Z 2 όταν η E είναι η ολική δέσ μη των n-επιπέδων νήμα επί του χώρου ταξινόμησ ης BO n. Η ιδιότητα 1 καθίσ ταται προφανής, αφού P O f E = f P O E και ως εκ τούτου, Or f E = f Or E. Η ιδιότητα 2 ισ χύει, αφού διαφορετικά, κάθε δέσ μη n-επιπέδων θα ήταν προσ ανατολίσ ιμη. 28 Βλ. [41] Ch.1 για ορισ μό, και [76] για μια γενικότερη τοπολογική αντιμετώπισ η. 77

2.2 Άλγεβρα Clifford, δομές Spin και σ υνθήκες ύπαρξης Σημείωση. Εχοντας αποδείξει την ισ χύ των ιδιοτήτων 1 και 2, προκύπτει μια ισ οδυναμία διάφορων δυνατών ορισ μών για την w 1 E. Για παράδειγμα, υποθέτοντας ότι η X είναι σ υνεκτική, από την νημάτωσ η O n P O E X προκύπτει η ακριβής ακολουθία 0 H 0 X; Z 2 H 0 P O E ; Z 2 H 0 O n ; Z 2 w E H 1 X; Z 2, 2.100 από όπου, ορίζοντας w 1 E = w E g 1, όπου g 1 ο γεννήτορας της H 0 O n ; Z 2, προκύπτει ότι η w 1 E ικανοποιεί τις τις ιδιότητες 1 και 2. Συγκεκριμένα, αφού η ακολουθία 2.2.3.1 είναι φυσ ικά ορισ μένη, ικανοποιείται η ιδιότητα 1, ενώ η ιδιότητα 2 ικανοποιείται αφού η 2.2.3.1 είναι ακριβής. Ακόμα, από την ακρίβεια της 2.2.3.1, προκύπτει ότι w 1 E = 0 αν και μόνο αν η P O E είναι μη σ υνεκτική, δηλαδή αν και μόνο αν η E είναι προσ ανατολίσ ιμη. Δομές Spin Παρατηρούμε από τα προηγούμενα ότι αν η E είναι προσ ανατολίσ ιμη, τότε, η επιλογή ενός προσ ανατολισ μού ισ οδυναμεί με την επιλογή μιας κύριας SO n-δέσ μης P SOn E P On E, όπου η εμβύθισ η αυτή είναι σ υμβατή με την δράσ η της SO n O n. Εχοντας με αυτόν τον τρόπο κατασ τήσ ει την δομική ομάδα της E 0 -σ υνεκτική, η δυνατότητα μετατροπής της σ ε 1-σ υνεκτική οδηγεί σ την έννοια της δομής spin. Εσ τω E προσ ανατολισ μένη n-διάσ τατη Riemannian διανυσ ματική δέσ μη επί μιας πολλαπλότητας X, και έσ τω P SO E η δέσ μη των προσ ανατολισ μένων ορθοκανονικών frames αυτής. Λαμβάνοντας υπόψιν τον ομομορφισ μό ολικών επικαλυμμάτων για n 3 ξ 0 : Spin n SO n με πυρήνα {1, 1} = Z 2 βλ. Πρότασ η 2.21, έχουμε: Ορισμός 2.35. Εσ τω n 3. Τότε, μια δομή spin σ την E είναι μια κύρια Spin n-δέσ μη P Spinn E μαζί με ένα διπλό 2-fold επικάλυμμα ξ : P Spinn E P SOn E 2.101 τέτοιο ώσ τε ξ pg = ξ p ξ 0 g p P Spinn E, g Spin n. Για n = 2, μια δομή spin σ την E ορίζεται με ανάλογο τρόπο, αντικαθισ τώντας την ομάδα Spin n με την SO 2, θεωρώντας το σ υνεκτικό διπλό επικάλυμμα ξ 0 : SO 2 SO 2. Για n = 1, P SOn E = X και η δομή spin ορίζεται απλώς ως το διπλό επικάλυμμα της X. Αν π και π οι προβολές των δεσ μών P Spinn E και P SOn E, αντίσ τοιχα, τότε το διάγραμμα P Spinn E ξ P SOn E 2.102 π X π είναι μεταθετικό. Παρατηρούμε επίσ ης ότι το ξ που περιορίζεται σ τα νήματα αντισ τοιχεί σ το επικάλυμμα ξ 0. Το διάγραμμα των νηματώσ εων που προκύπτει είναι Spin n ξ 0 SO n 2.103 Z 2 P Spinn E ξ P SOn E π X π 78

2.2 Άλγεβρα Clifford, δομές Spin και σ υνθήκες ύπαρξης Από την άλλη, αν υποθέσ ουμε ότι το επικάλυμμα 2.101 είναι διπλό και μη τετριμμένο σ τα νήματα της X, δηλαδή τέτοιο ώσ τε το διάγραμμα Spin n ξ 0 SO n 2.104 Z 2 P Spinn E ξ P SOn E να μετατίθεται, τότε θέτοντας π = π ξ, η P Spinn E καθίσ ταται νηματική δέσ μη επί της X. Για να μετατραπεί σ ε κύρια Spin n-δέσ μη, πρέπει να υποσ τεί lift η δράσ η της SO n σ την P SOn E. Το lift αυτό υπάρχει [70], και έτσ ι, προκύπτει το εξής: Θεώρημα 2.36. Οι δομές spin σ την E είναι σ ε μια φυσ ική 1-1 αντισ τοιχία με διπλά επικαλύμματα της P SOn E, τα οποία είναι μη τετριμμένα σ τα νήματα της π. Απόδειξη. Βλ. [72]. Μέσ ω του Λήμματος 2.33, το Θεώρημα 2.36 μπορεί να ερμηνευθεί ως εξής: Πόρισμα 2.37. Εσ τω ότι η X είναι σ υνεκτική. Τότε οι δομές spin σ την E είναι σ ε μια φυσ ική 1-1 αντισ τοιχία με σ τοιχεία της H 1 P SOn E ; Z 2, της οποίας ο περιορισ μός σ το νήμα της P SOn E είναι μη μηδενικός. 2.2.3.2 Υπαρξη και μοναδικότητα δομών spin Συσ χετιζόμενη με την νημάτωσ η είναι η ακριβής ακολουθία SO n i π P SOn E X 0 H 1 X; Z 2 π H 1 P SOn E ; Z 2 i H 1 SO n ; Z 2 w E H 2 X; Z 2 2.105 η οποία προκύπτει από την φασ ματική σ ειρά Serre βλ. [63]. Δεύτερη κλάσ η Stiefel-Whitney 2.2.3.1, προκύπτει ο εξής ορισ μός: Σε αναλογία με τον ορισ μό της w 1 μέσ ω της ακολουθίας Ορισμός 2.38. Η εικόνα w 2 E = w E g 2 H 2 X; Z 2 του γεννήτορα g 2 της H 1 SO n ; Z 2 = Z 2 είναι η δεύτερη κλάσ η Stiefel-Whitney της προσ ανατολισ μένης δέσ μης E. Οπως και προηγουμένως, ο ορισ μός αυτός πρέπει να ικανοποιεί τις ακόλουθες δύο ιδιότητες για να είναι σ υνεπής: i Ο ορισ μός του w 2 είναι φυσ ικός. ii Ο ορισ μός του w 2 È δίνει το μη μηδενικό σ τοιχείο σ την H 2 BSO n ; Z 2 = Z 2, όπου È η ολική προσ ανατολισ μένη δέσ μη n-επιπέδων επί του χώρου ταξινόμησ ης BSO n. Η ιδιότητα i προκύπτει από την φυσ ικότητα της ακολουθίας 2.2.3.2, ενώ η ii από την ακρίβεια της 2.2.3.2, καθώς επίσ ης και από την δυνατότητα σ υσ τολής της P SOn È σ ε σ ημείο [43]. Από το Πόρισ μα 2.37 και την ακρίβεια της 2.2.3.2, προκύπτει άμεσ α το εξής: Θεώρημα 2.39. Εσ τω E προσ ανατολισ μένη διανυσ ματική δέσ μη επί μιας πολλαπλότητας X. Τότε υπάρχει δομή spin σ την E αν και μόνο αν η δεύτερη κλάσ η Stiefel-Whitney είναι μηδέν. Επιπλέον, αν w 2 E = 0, τότε οι δομές spin σ την E είναι σ ε 1-1 αντισ τοιχία με τα σ τοιχεία της H 1 X; Z 2. 79

2.2 Άλγεβρα Clifford, δομές Spin και σ υνθήκες ύπαρξης Δομή spin C Οσ ον αφορά την δομή spin C, ισ χύουν τα εξής: έσ τω μια κύρια SO n -δέσ μη Q με βασ ικό χώρο X. Σε αναλογία με την περίπτωσ η της δομής spin, έχουμε: Ορισμός 2.40. Μια δομή spin C σ την Q είναι ένα ζεύγος P, Λ αποτελούμενο από μια κύρια Spin C -δέσ μη P επί του χώρου X και μια απεικόνισ η Λ : P Q έτσ ι ώσ τε το διάγραμμα P Spin C n Λ λ Q SO n P Q Λ 2.106 να μετατίθεται. Οι ομάδες Spin n και S 1 είναι υποομάδες της Spin C n, με τα σ τοιχεία των οποίων να μετατίθενται μεταξύ τους, επομένως, αν η P, Λ είναι μια δομή spin C, τότε [74]: 1. Η P/S 1 είναι μια Spin n / {±1} = SO n-δέσ μη, ισ ομορφική με την Q. 2. Η P 1 := P/Spin n είναι μια S 1 / {±1} = S 1 -δέσ μη επί του X, ενώ ο σ υνδυασ μός των μορφισ μών των δεσ μών επί του βασ ικού χώρου P Q P 1 είναι ένα διπλό επικάλυμμα, όπου Q P 1 το νηματικό γινόμενο της κύριας SO n-δέσ μης Q με την κύρια S 1 = SO 2-δέσ μη P 1, το οποίο δίνει μια κύρια SO n SO 2-δέσ μη επί του X. Πρόταση 2.41. Αν η κύρια SO n-δέσ μη Q επιδέχεται μια δομή spin C, τότε υπάρχει μια κύρια S 1 -δέσ μη P 1 επί της X, τέτοια ώσ τε το νηματικό γινόμενο Q P 1 να έχει δομή spin. Αντισ τρόφως, αν υπάρχει μια τέτοια δέσ μη P 1 με αυτήν την ιδιότητα, τότε η Q έχει δομή spin C. Απόδειξη. Βλ. [74, 75]. Η πρότασ η αυτή, χρησ ιμοποιώντας τις χαρακτηρισ τικές κλάσ εις, διατυπώνεται ισ οδύναμα ως εξής: 1. Η Q έχει δομή spin C. 2. Υπάρχει S 1 -δέσ μη P 1 τέτοια ώσ τε w 2 Q P 1 = 0. 3. Υπάρχει S 1 -δέσ μη P 1 τέτοια ώσ τε w 2 Q c 1 P 1 mod2. 4. Υπάρχει κλάσ η σ υνομολογίας z H 2 X; Z τέτοια ώσ τε w 2 Q zmod2. Επομένως, προκύπτει το Θεώρημα 2.42. Μια προσ ανατολίσ ιμη πολλαπλότητα M επιδέχεται μια δομή spin C αν και μόνο αν η δεύτερη κλάσ η Stiefel-Whitney w 2 M είναι η Z 2 -μείωσ η μιας ολοκληρωτικής κλάσ ης z H 2 M; Z. Proof. Η Πρότασ η 2.32, ερμηνεύεται ως εξής: μια δομή spin C σ την T M μιας πολλαπλότητας M αποτελείται από μια μιγαδική δέσ μη γραμμών L και μια δομή spin σ την T M L [74], οδηγώντας σ την πρότασ η ότι η M μπορεί να εφοδιασ τεί με μια δομή spin C αν και μόνο αν υπάρχει μια μιγαδική δέσ μη γραμμών L τέτοια ώσ τε η T M L να είναι spin. Εφόσ ον μια πολλαπλότητα M φέρει δομή spin αν και μόνο αν w 2 M = 0 βλ. Θεώρημα 2.39, τότε, σ υνδυάζοντας τα ανωτέρω, πρέπει w 2 T M L = 0. Ομως, αφού οι κλάσ εις Stiefel-Whitney είναι σ ταθερές, έχουμε w 2 T M L = w 2 T M + w 2 L + w 1 T M w 1 L = 0. 80

2.2 Άλγεβρα Clifford, δομές Spin και σ υνθήκες ύπαρξης Και οι δύο αυτές δέσ μες είναι προσ ανατολίσ ιμες, επομένως οι πρώτες κλάσ εις Stiefel-Whitney αυτών είναι μηδέν, άρα w 2 T M+w 2 L = 0, ενώ αφού είναι κλάσ εις mod 2, έχουμε ότι w 2 T M = w 2 L. Η w 2 L έχει ολοκληρωτικό lift, την πρώτη κλάσ η Chern της δέσ μης γραμμών, επομένως και η w 2 T M = w 2 L έχει επίσ ης ένα ολοκληρωτικό lift, γεγονός που αποδεικνύει το θεώρημα ευθέως. Αντισ τρόφως, μπορούμε να ακολουθήσ ουμε το ίδιο επιχείρημα αντίσ τροφα, αφού αν το lift της w 2 T M είναι μια ολοκληρωτική κλάσ η c, τότε μπορούμε πάντα να βρούμε μια μιγαδική δέσ μη γραμμών που να έχει πρώτη κλάσ η Chern c, η οποία θα είναι η δέσ μη γραμμών που χρειαζόμασ τε για την δομή spin C. Πόρισμα 2.43. Αν η απεικόνισ η H 2 X; Z H 2 X; Z 2 είναι επί επιμορφισ μός, τότε κάθε SO n-δέσ μη Q επί της X επιδέχεται δομή spin C. Ορισμός 2.44. Αν P, Λ μια δομή spin C σ την Q, τότε η δέσ μη γραμμών L = P 1 U1 C = P Spin C n C, 2.107 η οποία είναι η μιγαδική δέσ μη γραμμών επί της X καλείται δέσ μη ορίζουσ ας της δομής spin C. Γενικά, αν η E είναι η πραγματική 2n-διάσ τατη πραγματική δέσ μη μιας μιγαδικής n-διάσ τατης διανυσ ματικής δέσ μης Ẽ, τότε ισ χύει [43] ότι w 2 E c 1 Ẽ mod2, όπου c1 η πρώτη κλάσ η Chern. Η δομή spin σ ε μια δέσ μη E είναι ανεξάρτητη της μετρικής της δέσ μης υπό την εξής έννοια: μια δομή spin σ την E καθορίζει με μοναδικό τρόπο μια δομή spin για κάθε άλλη μετρική. Αυτό προκύπτει από το Θεώρημα 2.36 σ ε σ υνδυασ μό με την παρατήρησ η ότι ο εγκλεισ μός P SOn E P GL + E, όπου P GL + E η δέσ μη όλων των προσ ανατολισ μένων βάσ εων σ την E, είναι μια ομοτοπική ισ οδυναμία. Για την επιλογή ενός προσ ανατολισ μού και μιας δέσ μης spin για την E, αρκεί να βρεθούν 0- σ υνεκτικές δομικές ομάδες για την E έτσ ι ώσ τε αυτή να είναι 1-σ υνεκτική. Αντισ τρόφως, έσ τω ότι η E είναι ισ οδύναμη με μια διανυσ ματική δέσ μη εφοδιασ μένη με δομική ομάδα Lie G. Αν η G είναι σ υνεκτική, τότε η E είναι προσ ανατολίσ ιμη, και αν η G είναι απλά σ υνεκτική, τότε η E είναι spin. Η θεώρησ η υψηλότερα σ υνδεδεμένων δομικών ομάδων για την E καθίσ ταται τετριμμένη διαδικασ ία πάνω από το επίπεδο του spin, καθώς για οποιαδήποτε απλά-σ υνεκτική ομάδα Lie G, ισ χύει ότι π 2 G = 0, και αν π 3 G = 0, τότε η G είναι αναγώγιμη σ ε σ ημείο. Ενας εναλλακτικός ορισ μός των κλάσ εων w 1 και w 2, χρήσ ιμος για τη σ υνέχεια είναι ο εξής. Οι κλάσ εις ισ οδυναμίας των κύριων G-δεσ μών σ την X μπορούν να θεωρηθούν ως σ τοιχεία ενός χώρου σ υνομολογίας Čech H1 X; G. Η μικρή ακριβής ακολουθία [73] των τοπολογικών ομάδων δίνει την ακριβή ακολουθία 1 SO n i ρ O n Z 2 0 2.108 H 1 X; SO n i H 1 X; O n ρ H 1 X; Z 2. 2.109 Δεδομένης μιας n-διάσ τατης διανυσ ματικής δέσ μης E επί της X, η πρώτη κλάσ η Stiefel-Whitney ορίζεται ως w 1 E = ρ [ POn E ] και ικανοποιεί τις σ υνθήκες σ υμβατότητας 1 και 2. Με παρόμοιο τρόπο και η μικρή ακριβής ακολουθία δίνει [77] την ακριβή ακολουθία 0 Z 2 Spin n ξ SO n 1 2.110 H 0 X; SO n δ0 H 1 X; Z 2 H 1 X; Spin n ξ H 1 X; SO n δ H 2 X; Z 2. 2.111 81

2.2 Άλγεβρα Clifford, δομές Spin και σ υνθήκες ύπαρξης Συνεπώς, για μια προσ ανατολισ μένη δέσ μη E, η δεύτερη κλάσ η Stiefel-Whitney ορίζεται θέτοντας w 2 E = δ [ P SOn E ], που ικανοποιεί τις ιδιότητες i και ii. Από αυτόν τον εναλλακτικό ορισ μό, έπεται ότι w 2 E = 0 αν και μόνο αν η P SOn E είναι ισ οδύναμη με το Z 2 -πηλίκο μιας κύριας Spin n-δέσ μης επί της X. Παρατήρηση. Οπως φαίνεται [73], οι Spin n-δέσ μες που είναι σ υσ χετιζόμενες με διακριτές δομές spin σ την E μπορούν να είναι ισ οδύναμες ως αφηρημένες κύριες δέσ μες. Οι δομές spin σ την E, όπως είδαμε, είναι σ ε μια 1-1 αντισ τοιχία με σ τοιχεία της H 1 X; Z 2. Ωσ τόσ ο, η σ χέσ η 2.2.3.2 δείχνει ότι οι κλάσ εις ισ οδυναμίας των κύριων Spin n-δεσ μών με το Z 2 -πηλίκο που ισ ούνται με [ P SOn E ] είναι σ ε 1-1 αντισ τοιχία με ένα σ ύνολο σ τοιχείων του H 1 X; Z 2 /δ 0 H 0 X; SO n. Εξ ορισ μού, ισ χύει ότι H 0 X; SO n = C X, SO n, όπου C X, SO n ο χώρος των σ υνεχών απεικονίσ εων από το X σ την SO n. Η απεικόνισ η δ 0 : C X, SO n H 1 X; Z 2 2.112 ορίζεται ως εξής: για μια απεικόνισ η f : X SO n θέτουμε δ 0 f = f 1, όπου 1 ο γεννήτορας της H 1 SO n ; Z 2. Υπάρχουν περιπτώσ εις σ τις οποίες η 2.112 είναι επί; κάθε κλάσ η που προέρχεται από mod2 ελάττωσ η μιας ολοκληρωτικής κλάσ ης περιέχεται σ την εικόνα της f. Για την ολοκληρωτική κλάσ η f 0 : X S 1, ορίζοντας την f ως f = i f 0 : X SO n, με i : S 1 SO n, προκύπτει ότι αν H 1 X; Z 2 = H 1 X; Z Z 2, τότε η δ 0 είναι επί. Ακόμα, η δ 0 είναι επί για dim X < n, αφού οποιαδήποτε κλάσ η σ την H 1 X; Z 2 μπορεί να επαχθεί από μια απεικόνισ η προς τον χώρο RP n SO n. Ετσ ι, σ ε κάθε περίπτωσ η, σ υμπεραίνουμε ότι όλες οι κύριες Spin n-δέσ μες που σ χετίζονται με ξεχωρισ τές δομές spin σ την E είναι αφηρημένα ισ οδύναμες. 2.2.3.3 Δομές spin σ ε πολλαπλότητες Εχοντας θεμελιώσ ει μαθηματικά τις έννοιες των δομών spin σ τις κύριες δέσ μες, και λαμβάνοντας υπόψιν τα Θεωρήματα 2.39 και 2.42, θα δούμε την έννοια των δομών spin εκπεφρασ μένη σ ε πολλαπλότητες, όπου, για λόγους σ αφήνειας, θεωρούμε πολλαπλότητες κλάσ ης C. Ορισμός 2.45. Μια πολλαπλότητα spin είναι μια προσ ανατολισ μένη Riemannian πολλαπλότητα, σ την εφαπτόμενη δέσ μη της οποίας υπάρχει δομή spin. Οι κλάσ εις Stiefel-Whitney w i M μιας πολλαπλότητας M ορίζονται να είναι οι κλάσ εις Stiefel- Whitney της εφαπτόμενης δέσ μης της, T M. Επομένως, από το Θεώρημα 2.39, προκύπτει ότι: Θεώρημα 2.46. Μια προσ ανατολισ μένη Riemannian πολλαπλότητα M επιδέχεται δομή spin αν και μόνο αν η δεύτερη κλάσ η Stiefel-Whitney αυτής είναι μηδέν. Επιπλέον, αν w 2 M = 0, τότε οι δομές spin σ την M βρίσ κονται σ ε 1-1 αντισ τοιχία με σ τοιχεία της H 1 M, Z 2. Προηγουμένως, παρατηρήθηκε ότι η επιλογή μιας δομής spin για μια Riemannian μετρική σ την M, καθορίζει μια δομή spin για κάθε άλλη Riemannian μετρική της M, καθώς, για κάθε μετρική, ο εγκλεισ μός P SOn M P GL + M της δέσ μης των προσ ανατολισ μένων ορθοκανονικών εφαπτόμενων frames σ την δέσ μη όλων των προσ ανατολισ μένων εφαπτόμενων frames είναι μια ισ οδυναμία ομοτοπίας. Διατήρησ η δομής spin υπό διαφορομορφισ μούς Εσ τω διαφορομορφισ μός f : M M σ ε μια πολλαπλότητα spin 29 M. Αν ο f διατηρεί τον προσ ανατολισ μό, τότε υπάρχει ένας επαγόμενος διαφορομορφισ μός df : P GL + M P GL + M σ την δέσ μη των προσ ανατολισ μένων εφαπτόμενων frames της M. Η απεικόνισ η αυτή απεικονίζει νήματα σ ε νήματα, επομένως επάγει μια μετάθεσ η των δυνατών δομών spin σ την M οι οποίες θεωρούνται ως διπλά επικαλύμματα της P GL + M. 29 Ο χαρακτηρισ μός πολλαπλότητα spin ή η M είναι spin σ υμβολικά, δηλώνει ότι w 1 M = w 2 M = 0, δηλαδή η M φέρει τουλάχισ τον μια δομή spin για οποιαδήποτε Riemannian μετρική σ την M. 82

2.2 Άλγεβρα Clifford, δομές Spin και σ υνθήκες ύπαρξης Αν η δεδομένη δομή spin της M παραμένει αναλλοίωτη, τότε ο f είναι διαφορομορφισ μός που διατηρεί τις δομές spin. Χαρακτηρισ τικά παραδείγματα spin πολλαπλοτήτων - Ολική κλάσ η Stiefel- Whitney Οπως είδαμε προηγουμένως βλ. 1.2.4, κάθε μιγαδική πολλαπλότητα φέρει προσ- ανατολισ μό. Επιπλέον, από τη σ χέσ η w 2 E c 1 Ẽ mod2 που προκύπτει από την ισ οδύναμη διατύπωσ η της Πρότασ ης 2.41, προκύπτει ότι μια μιγαδική πολλαπλότητα M φέρει spin αν και μόνο αν η πρώτη κλάσ η Chern αυτής ικανοποιεί τη σ χέσ η c 1 M 0 mod2. Εσ τω KP n ο n-διάσ τατος προβολικός χώρος επί του αντισ υμμετρικού πεδίου K. έχουμε τα εξής: Τότε, ο RP n φέρει spin αν και μόνο αν n = 3 mod4. ο CP n φέρει spin αν και μόνο αν n = 2k + 1 περιττός. ο HP n φέρει spin για κάθε n. Τα αποτελέσ ματα αυτά προκύπτουν θεωρώντας την ολική κλάσ η Stiefel-Whitney του KP n, w = 1 + w 1 + w 2 +... = 1 + g n+1, 2.113 [78], όπου g ο γεννήτορας του δακτυλίου σ υνομολογίας που έχει διασ τάσ εις 1,2 και 4 για K = R, C και H, αντίσ τοιχα. Για K = R, οι σ υνθήκες w 1 = w 2 = 0 ισ οδυναμούν με n + 1 n n + 1 /2 0mod2, ενώ οι περιπτώσ εις για K = C και H έπονται άμεσ α [41, 43, 50]. Απόδειξη σ χέσ ης 2.113 βλ. [43]: Πρόταση 2.47. Η ολική κλάσ η Stiefel Whitney w ξ := w k ξ H M; Z 2 H k M; Z 2, 2.114 k=0 της κανονικής δέσ μης γραμμών L 1 n επί του P n δίνεται από τη σ χέσ η όπου g ο γεννήτορας της H P n, Z 2. w L 1 n = 1 + g, Απόδειξη. Εχουμε το ακόλουθο προφανές διάγραμμα δεσ μών: E L 1 n E L 1 n. L 1 1 P 1 i P n L 1 n Συνεπώς, 0 w 1 L 1 1 = i w 1 L 1 n, από την μη τετριμμενότητα της w1 L 1 1 εξ ορισ μού, και έτσ ι, w 1 L 1 n = g. Επομένως, w L 1 n = 1 + g αφού η δέσ μη είναι μονοδιάσ τατη. Εφόσ ον η κανονική δέσ μη γραμμών σ τον P n είναι υποδέσ μη της τετριμμένης n + 1-διάσ τατης δέσ μης, μπορούμε να θεωρήσ ουμε το ορθογώνιο σ υμπλήρωμα αυτής, L n που ορίζεται ως όπου proj 1 : M R n M. E L n := { [x], v P n R n+1 : x v } proj 1 P n, 2.115 83

2.2 Άλγεβρα Clifford, δομές Spin και σ υνθήκες ύπαρξης Πρόταση 2.48. Η ολική κλάσ η Stiefel-Whitney της L n δίνεται από τη σ χέσ η w L n = 1 + g + g 2 +... + g n 2.116. Απόδειξη. Εφόσ ον το άθροισ μα Whitney L 1 n L n = e n+1 είναι εκ κατασ κευής τετριμμένο, όπου e n η τετριμμένη n-διάσ τατη διανυσ ματική δέσ μη, έχουμε. w L n = w L 1 n 1 = 1 + g 1 = 1 + g + g 2 +... + g n. Πρόταση 2.49. Η εφαπτόμενη δέσ μη T P n του P n είναι ισ οδύναμη με την δέσ μη ομομορφισ μών Hom L 1 n, L n. Απόδειξη. Η εφαπτόμενη δέσ μη του προβολικού χώρου μπορεί να ορισ θεί ως T P n := T S n := { x, v S n R n+1 : x v } / {±1} S n / {±1} =: P n. Κάθε σ ημείο της S n αντισ τοιχεί φυσ ικά σ ε ένα σ ημείο της κανονικής δέσ μης γραμμών L 1 n, και κάθε σ ημείο του εφαπτόμενου επιπέδου της S n αντιπροσ ωπεύει ένα σ ημείο σ την δέσ μη ορθογωνίου σ υμπληρώματος L n, άρα μπορεί να ορισ θεί η απεικόνισ η που είναι μια σ χέσ η ισ οδυναμίας σ τις δέσ μες. T P n Hom L 1 n, L n, [x, v] x v Πρόταση 2.50. Οι ακόλουθες δέσ μες είναι ισ οδύναμες: n+1 T P n e 1 = L 1 n. 2.117 Ειδικότερα, η ολική κλάσ η Stiefel-Whitney του προβολικού χώρου είναι η. k=1 w P n = 1 + g n+1 2.118 Απόδειξη. Η δέσ μη ενδομορφισ μών Hom L 1 n, L 1 n είναι τετριμμένη, άρα T P n e 1 = Hom L 1 n, L n Hom L 1 n, L 1 = n Hom L 1 n, L n L 1 n = Hom L 1 n, e n+1 n+1 = Hom L 1 n, e 1 n+1 = L 1 n, k=1 όπου η τελευταία ισ οδυναμία προκύπτει από την σ υνέχεια του εσ ωτερικού γινομένου της Ευκλείδειας δέσ μης L 1 n. Πόρισμα 2.51. Η ολική κλάσ η Whitney-Stiefel του προβολικού χώρου P n είναι τετριμμένη αν και μόνο αν το n + 1 είναι δύναμη του 2. k=1 84

2.2 Άλγεβρα Clifford, δομές Spin και σ υνθήκες ύπαρξης Απόδειξη. Αν n + 1 = 2 k m, με m περιττό, από τον ομομορφισ μό Frobenius έχουμε: w P n = 1 + g n+1 = 1 + g 2k m = 1 + g 2 k m + g 2 2k +... 2 Επεται ότι η w P n είναι τετριμμένη αν και μόνο αν 2 k = n + 1. Εσ τω V n d ομαλή δηλαδή χωρίς μοναδικότητες μιγαδική υπερεπιφάνεια βαθμού d σ τον χώρο CP n+1, η οποία περιγράφεται από τις ομογενείς σ υντεταγμένες [z 0,..., z n+1 ] του CP n+1 ως το σ ύνολο των ριζών ενός ομογενούς πολυωνύμου P z 0,..., z n+1 βαθμού d, το οποίο ικανοποιεί την σ υνθήκη P z 0 όταν z 0 και P z = 0. Η κλάσ η διαφορομορφισ μών της V n d καθορίζεται με μοναδικό τρόπο από τους ακέραιους n και d. Η πρώτη κλάσ η Chern της V n d για n > 1 είναι c 1 = n + 2 d g, όπου g ο κανονικός γεννήτορας της H 2 V n d ; Z η μορφή Kähler που επάγεται από τον CP n+1. Ετσ ι, από τα δεδομένα αυτά, προκύπτει ότι η V n d φέρει spin αν και μόνο αν ο n + d είναι άρτιος. Το αποτέλεσ μα αυτό μπορεί να γενικευθεί ως εξής: Εσ τω V n d 1,..., d n η εγκάρσ ια τομή transverse intersection των υπερεπιφανειών V 1 d 1,...,V n+k+1 d k σ τον CP n+k. Για n > k, η πρώτη κλάσ η Chern είναι c 1 = n + k + 1 d 1... d k g, όπου g ο κανονικός γεννήτορας της H 2 V n d 1,..., d k ; Z = Z. Επομένως, η V n d 1,..., d k φέρει spin αν και μόνο αν ο n + k + 1 + k i=1 d i είναι άρτιος. Θεώρημα 2.52. Εσ τω M μια προσ ανατολισ μένη n-διάσ τατη πολλαπλότητα. Αν n 5, τότε η M φέρει spin αν και μόνο αν κάθε σ υμπαγής προσ ανατολίσ ιμη επιφάνεια εμβυθισ μένη σ την M έχει τετριμμένη κάθετη δέσ μη. Αν n = 4, τότε η M φέρει spin αν και μόνο αν η κάθετη δέσ μη σ ε κάθε σ υμπαγή προσ ανατολίσ ιμη επιφάνεια εμβυθισ μένη σ την M έχει άρτια κλάσ η Euler. Απόδειξη. Αφού H 2 M; Z 2 = H 2 M; Z Z 2, η ομάδα H 2 M; Z 2 παράγεται από απεικονίσ εις λείες εμβυθίσ εις σ υμπαγών προσ ανατολίσ ιμων επιφανειών. Εσ τω i : Σ M μια τέτοια εμβύθισ η. Τότε, i w 2 M = i w 2 T M = w 2 i T M = w 2 T Σ NΣ = w 2 T Σ + w 2 NΣ = w 2 NΣ, όπου NΣ = p Σ N pσ η κάθετη δέσ μη. Για την θεμελιώδη κλάσ η, έχουμε w 2 M, i [Σ] = i w 2 M, [Σ] = w 2 NΣ, [Σ]. Επομένως, αν w 2 M = 0, τότε και w 2 NΣ = 0. Από την άλλη, η H 2 M; Z 2 παράγεται από τέτοιες επιφάνειες, επομένως w 2 M = 0 αν και μόνο αν w 2 NΣ = 0 για κάθε σ υμπαγή προσ ανατολίσ ιμη επιφάνεια εμβυθισ μένη σ την M. Η κάθετη δέσ μη NΣ σ την Σ είναι προσ ανατολίσ ιμη, άρα όταν dim NΣ 3, έχουμε ότι w 2 NΣ = 0 αν και μόνο αν η NΣ είναι τετριμμένη. Για dim NΣ = 2, δηλαδή για n = 4, w 2 NΣ = χ NΣ mod2. Το καρτεσ ιανό γινόμενο δύο πολλαπλοτήτων spin είναι μια πολλαπλότητα spin, ενώ οποιαδήποτε υποπολλαπλότητα μιας πολλαπλότητας spin με δομή spin σ την κάθετη δέσ μη αυτής είναι επίσ ης πολλαπλότητα spin [79, 80]. Συγκεκριμένα, αν Y σ υμπαγής πολλαπλότητα με σ ύνορο Y, τότε οποιαδήποτε δομή spin σ την Y επάγει μια δομή spin σ το Y ως εξής: έσ τω v το πεδίο των εσ- ωτερικών μοναδιαίων κάθετων διανυσ μάτων σ την Y. Χρησ ιμοποιώντας το v, λαμβάνουμε μια εμβύθισ η P SOn Y P SOn Y, σ υμπληρώνοντας κάθε εφαπτόμενο frame σ το Y με το εκάσ τοτε κάθετο διάνυσ μα. Η δομή spin, η οποία μπορεί να θεωρηθεί ως διπλό επικάλυμμα, δύναται πλέον να περιορισ θεί σ την P SOn Y. Ορισμός 2.53. Δύο πολλαπλότητες spin είναι διαφορισ ίμως ισ οδύναμες differentiably equivalent αν υπάρχει μεταξύ τους ένας διαφορομορφισ μός τέτοιος ώσ τε να διατηρεί τους προσ ανατολισ μούς και τις δομές spin. Μια σ υμπαγής, αλλά όχι απαραίτητα σ υνεκτική πολλαπλότητα spin καλείται spin cobordant σ το μηδέν αν είναι διαφορισ ίμως ισ οδύναμη με το σ ύνορο μιας σ υμπαγούς πολλαπλότητας spin Y με προσ ανατολισ μό και με δομή spin επαγόμενη από την Y [81]. 85

3 Τελεστές Dirac,Twistor και Killing spinors 3.1 Συνδέσεις σε spinorial δέσμες 3.1.1 Spinorial σ ύνδεσ η και σ υναλλοίωτη παράγωγος Εσ τω M n, g μια προσ ανατολισ μένη σ υνεκτική Riemannian πολλαπλότητα n διασ τάσ εων, και έσ τω Q M n η κύρια SO n-δέσ μη των θετικά προσ ανατολισ μένων ορθοκανονικών frames. Η Riemannian πολλαπλότητα έχει μια μοναδικά καθορισ μένη μετρική σ ύνδεσ η με μηδενική σ τρέψη. Θεωρώντας αυτή την σ ύνδεσ η Levi-Civita ως μια σ υναλλοίωτη παράγωγο σ ε διανυσ ματικά πεδία, θα την σ υμβολίζουμε ως. Ωσ τόσ ο, αν λογισ θεί ως σ ύνδεσ η σ την κύρια SO n-δέσ μη, έχουμε την 1-μορφή με τιμές σ την so n, Z : T Q so n. Επιπλέον, θεωρούμε και μια spin C δομή, P, Λ, μαζί με την αντίσ τοιχη U 1-δέσ μη P 1 και το διπλό επικάλυμμα π : P Q P 1. Ακόμα, θεωρούμε και μια σ ύνδεσ η A σ την κύρια δέσ μη P 1, με A : T P 1 ir, έχοντας ταυτίσ ει την άλγεβρα Lie της ομάδας S 1 = U 1 με τους αμιγώς φαντασ τικούς αριθμούς. Οι σ υνδέσ εις A και Z, σ υνδυασ τικά, ορίζουν μια σ ύνδεσ η Z A : T Q P 1 so n ir 3.1 σ το νηματικό γινόμενο Q P 1. Η σ ύνδεσ η αυτή μεταφέρεται me lift σ το διπλό επικάλυμμα π : P Q P 1 ως μια σ ύνδεσ η Z A σ την κύρια spin C -δέσ μη, και έτσ ι το ακόλουθο διάγραμμα μετατίθεται: T P Z A spin C n = m 2 ir 3.2 dπ T Q P 1 Z A p so n ir όπου p : spin C n so n ir το διαφορικό του διπλού επικαλύμματος p : Spin C n SO n S 1. Η αναπαράσ τασ η spin κ : Spin C n GL n επάγει την spinorial δέσ μη S = P Spin C n n. 3.3 Οι τομές της spinorial δέσ μης, ψ Γ S, ταυτίζονται με τις απεικονίσ εις ψ : P n και μετασ χηματίζονται ως ψ p g = κ g 1 ψ p, με g Spin C n. Αφενός, το απόλυτο διαφορικό μιας τομής ψ ως προς τη σ ύνδεσ η Z A υπολογίζεται ως D A ψ = dψ + κ Z A ψ, 3.4 και αφετέρου, καθορίζει μια σ υναλλοίωτη παράγωγο A : Γ S Γ T M S 3.5 σ την spinorial δέσ μη. Εφόσ ον η εφαπτόμενη δέσ μη είναι μια σ υσ χετιζόμενη διανυσ ματική δέσ μη σ την κύρια δέσ μη P, ένα διανυσ ματικό πεδίο σ την πολλαπλότητα M μπορεί να θεωρηθεί ως μια σ υνάρτησ η X : P R n, με X p g = λ g 1 X p. Ως εκ τούτου, το γινόμενο Clifford X ψ αντισ τοιχεί σ τη σ υνάρτησ η X ψ : P n, με X ψ p = X p ψ p. 3.6 86

3.1 Συνδέσ εις σ ε spinorial δέσ μες Χρησ ιμοποιώντας την 3.6, λαμβάνουμε ότι D A X ψ = d X ψ + κ Z A X ψ = dx ψ + X dψ + κ Z A X ψ. 3.7 Ο όρος κ Z A X ψ μπορεί να μετασ χηματισ θεί αλγεβρικά, εισ άγοντας ένα διάνυσ μα τ T P, και έτσ ι, το Z A τ := y, is είναι σ τοιχείο της spin C n = m 2 ir, και σ υνεπώς, λαμβάνουμε ότι κ Z A τ = y + is X ψ = y X ψ + X isψ. 3.8 Ωσ τόσ ο, αφού y m 2 και X R n, σ την άλγεβρα Clifford C n ισ χύει ότι y X = X y + λ y X, όπου λ : spin n so n το διαφορικό, το οποίο, σ την σ υγκεκριμένη περίπτωσ η που εξετάζουμε, είναι λ y = Z dπ τ, επομένως, κ Z A X ψ = X κ Z A ψ + λ Z X ψ. 3.9 Εισ άγοντας την 3.9 σ την 3.7, έχουμε ότι D A X ψ = X D A ψ + dx + λ Z X ψ = X D A ψ + X ψ. 3.10 Ετσ ι, λαμβάνεται η εξής πρότασ η: Πρόταση 3.1. Εσ τω X, Y διανυσ ματικά πεδία σ την M n και ψ Γ S ένα spinorial πεδίο. Τότε, για την spinorial παράγωγο ως προς οποιαδήποτε σ ύνδεσ η A σ την U 1-δέσ μη P 1, έχουμε A Y X ψ = X A Y ψ + Y X ψ. 3.11 Η spinorial παράγωγος A είναι μια μετρική ως προς το Ερμητιανό γινόμενο σ την S, δηλαδή X ψ, ψ 1 = A Xψ, ψ 1 + ψ, A X ψ 1. 3.12 Απόδειξη. Βλ. την παραπάνω σ υζήτησ η. Η τελευταία σ χέσ η προκύπτει ως σ υνέπεια του γεγονότος ότι η spin C -αναπαράσ τασ η κ : Spin C GL n είναι unitary. Τοπική μορφή σ ύνδεσ ης Εσ τω e : U M n Q ένα τοπικό τμήμα της δέσ μης των frames Q. Το e αποτελείται από ένα ορθοκανονικό frame e = e 1,..., e n διανυσ ματικών πεδίων, ορισ μένων σ το ανοικτό υποσ ύνολο U M n. Η τοπική μορφή της σ ύνδεσ ης Z e = e Z : T U so n δίνεται από τη σ χέσ η Z e = w ij E ij, 3.13 i<j όπου οι 1-μορφές w ij ορίζουν την σ ύνδεσ η Levi-Civita, w ij = g e i, e j, και E ij so n οι πίνακες της βάσ ης της άλγεβρας Lie so n. Με ανάλογο τρόπο ορίζεται και μια τομή s : U P 1 της κύριας U 1-δέσ μης, και λαμβάνεται η τοπική μορφή της σ ύνδεσ ης A s = s A : T U ir, 3.14 όπου η A s είναι μια 1-μορφή που λαμβάνει φαντασ τικές τιμές, και είναι ορισ μένη σ το υποσ ύνολο U. Το e s : U Q P 1 είναι μια τοπική τομή της κύριας δέσ μης Q P 1, και έσ τω ẽ s ένα lift της τομής αυτής σ το διπλό επικάλυμμα π : P Q P 1. Εφόσ ον ẽ s p Z A = ẽ s π Z A = Z e, A s = w ij E ij, A s i<j 87

3.1 Συνδέσ εις σ ε spinorial δέσ μες και dẽ s T P dπ T U dẽ s T Q P 1 Z A Z A spin C n = m 2 ir p so n ir 3.15 η τοπική μορφή της σ ύνδεσ ης Z A ẽ s δίνεται από τη σ χέσ η Z A ẽ s = 1 w ij e i e j, 1 2 2 As. 3.16 i<j Σε σ χέσ η με την τομή ẽ s, η τομή ψ Γ U, S της spinorial δέσ μης επί του U περιγράφεται από μια σ υνάρτησ η ψ : U n, και η σ υναλλοίωτη παράγωγος αυτής θα έχει την μορφή A ψ = dψ + 1 w ij e i e j ψ + 1 2 2 As ψ. 3.17 i<j Παρατήρηση. Μια ειδική περίπτωσ η δομής spin είναι η εξής: αν P, Λ μια δομή spin σ την Q, τότε μια επαγόμενη δομή spin C είναι η P Spinn Spin C n. Στην περίπτωσ η αυτή, η U 1-δέσ μη P 1 είναι τετριμμένη, με κανονική ολική τομή s : M n P 1. Επιλέγοντας μια σ ύνδεσ η A 0 σ την P 1 για την οποία ισ χύει ότι A s 0 = 0, οι προηγούμενες σ χέσ εις απλουσ τεύονται. Ως προς αυτήν την κανονική σ ύνδεσ η A 0, για μια δεδομένη δομή spin, η σ υναλλοίωτη παράγωγος σ την spinorial δέσ μη S σ υμβολίζεται απλώς ως, δίχως βλάβη της γενικότητας. Σημείωση. Εσ τω n = 2k άρτιος και έσ τω μια τοπολογική U k-μείωσ η R της κύριας SO n- δέσ μης Q, R Q. Η θεώρησ η της R ισ οδυναμεί με την ύπαρξη μιας σ χεδόν μιγαδικής δομής J : T M 2k T M 2k, η οποία είναι σ υμβατή με την μετρική g, κατά την 1.31, ως g J τ 1, J τ 2 = g τ 1, τ 2, όπου τα διανύσ ματα τ i T M 2k. Το lift F : U k Spin C 2k σ το μεταθετικό διάγραμμα U k f F Spin C 2k p SO 2k S 1 σ ε σ υνδυασ μό με την f A = A, det A, όπου A U k επάγει μια δομή spin C σ την Q μέσ ω της P = R Uk Spin C 2k. Η αντίσ τοιχη U 1-δέσ μη P 1 είναι η P 1 = R det S 1, με την μονοδιάσ τατη μιγαδική διανυσ ματική δέσ μη E = R det C. Εναλλακτικά, αυτή η διανυσ ματική δέσ μη μπορεί να περιγραφεί ως εξής: η T M 2k, εξαιτίας της σ χεδόν μιγαδικής δομής J, γίνεται μια k-διάσ τατη μιγαδική διανυσ ματική δέσ μη, και έτσ ι, εκ κατασ κευής, έχουμε E = Λ k C T. Συνοψίζοντας, καταλήγουμε σ το γεγονός ότι κάθε σ ύνδεσ η A σ την U 1-δέσ μη P 1 = R det S 1 επάγει μια σ υναλλοίωτη παράγωγο A σ την spinorial δέσ μη. Ιδιαίτερη σ ημασ ία παρουσ ιάζει η περίπτωσ η μιας σ ύνδεσ ης που μπορεί να διακριθεί σ την κύρια δέσ μη P 1, όπως σ την περίπτωσ η της U k-μείωσ ης R μιας σ ύνδεσ ης Levi-Civita Z σ ε μια σ ύνδεσ η Z. Τότε, η M 2k, g, J είναι μια πολλαπλότητα Kähler. Στην περίπτωσ η αυτή, η Z επάγει, με τη σ ειρά της, μια ειδική σ ύνδεσ η A 0 σ την σ υσ χετιζόμενη δέσ μη P 1 = R det S 1, και λαμβάνουμε μια ειδική σ υναλλοίωτη παράγωγο, η οποία εξαρτάται μόνο από τη γεωμετρία του βασ ικού χώρου. 88

3.1 Συνδέσ εις σ ε spinorial δέσ μες 3.1.2 Καμπυλότητα της spinorial σ ύνδεσ ης Εσ τω δύο σ υνδέσ εις A και A σ την P 1. Η διαφορά A A είναι μια αμιγώς φαντασ τική 1-μορφή σ την πολλαπλότητα M n, έσ τω η, δηλαδή η = A A. Αντικαθισ τώντας σ την 3.17, λαμβάνουμε ότι A Xψ A X ψ = 1 η X ψ 3.18 2 για κάθε spinorial πεδίο ψ Γ S και για κάθε διάνυσ μα X T M n. Ενας μετασ χηματισ μός βαθμίδας f : P 1 P 1 της U 1-δέσ μης P 1 περιγράφεται από μια απεικόνισ η µ f : M n S 1, η οποία ικανοποιεί τη σ χέσ η f p 1 = p 1 µ f π p 1, 3.19 όπου π : P 1 M n η προβολή της δέσ μης. Η σ ύνδεσ η f A θα δίνεται από την σ χέσ η f A = A + π µ f Θ, 3.20 όπου Θ η μορφή Maurer-Cartan [24, 5.6.4], η οποία, για την ομάδα U 1 = S 1 είναι η Θ = dz/z. Ως εκ τούτου, για τις αντίσ τοιχες σ υναλλοίωτες παραγώγους, λαμβάνουμε την έκφρασ η f A X ψ A Xψ = 1 dµ f X ψ. 3.21 2 µ f 3.1.2.1 Μορφή καμπυλότητας της σ ύνδεσ ης Z A Εσ τω Ω Z : T Q T Q so n η μορφή καμπυλότητας της σ ύνδεσ ης Levi-Civita με σ υνισ τώσ ες Ω Z = i<j Ω ij E ij, Ω ij : T Q T Q R. 3.22 Η καμπυλότητα Ω A, ως μια 2-μορφή σ την P 1, γράφεται ως Ω A = da, επομένως, από το μεταθετικό διάγραμμα 3.15, προκύπτει η σ χέσ η Ω Z A = 1 π Ω ij e i e j 1 2 2 π da. 3.23 i<j Η 2-μορφή da είναι μια μορφή σ τον βασ ικό χώρο M n. Από την γενικότερη σ χέσ η D Z D Z φ = ρ Ω Z φ για το απόλυτο διαφορικό σ το διπλό επικάλυμμα ως προς την σ ύνδεσ η Z, προκύπτει η σ χέσ η A A ψ = 1 2 i<j Ω ij e i e j ψ + 1 da ψ, 3.24 2 όπου e = e 1,..., e n ένα τοπικό ορθοκανονικό frame. Τα Ω Z e = e Ω Z = i<j Ω ije ij ορίζουν τα αντίσ τοιχα σ τοιχεία της μορφής καμπυλότητας της σ ύνδεσ ης Levi-Civita. Χρησ ιμοποιώντας την γενική μορφή καμπυλότητας Ω Z = dz + 1 [Z, Z] 3.25 2 σ τον Riemannian χώρο, οι 2-μορφές Ω ij εκφράζονται ως προς τις μορφές w ij = g e i, e j της σ ύνδεσ ης Levi-Civita καθώς επίσ ης και ως προς τα σ τοιχεία του τανυσ τή Riemann R ijkl = g ei ej e k ej ei e k [ei,e j]e k, e l. 3.26 Εσ τω P, π, M, G μια κύρια G-δέσ μη, Z : T P g μια σ ύνδεσ η επ αυτής, και ρ : G GL V 0 μια αναπαράσ τασ η της ομάδας G. Η μορφή καμπυλότητας Ω Z = dz + 1 2 [Z, Z] ορίζει μια 2-μορφή 89

3.1 Συνδέσ εις σ ε spinorial δέσ μες ρ Ω Z σ την πολλαπλότητα με τιμές σ τους ενδομορφισ μούς της σ υσ χετιζόμενης διανυσ ματικής δέσ μης 30 V = P ρ V 0. Μια τομή φ αυτής της δέσ μης μπορεί να ταυτοποιηθεί με μια σ υνάρτησ η φ : P V 0, η οποία θα μετασ χηματίζεται ως φ p g = ρ g 1 φ p. Τότε, η D Z φ είναι μια τανυσ τική 1-μορφή τύπου ρ σ την P, και επομένως μια 1-μορφή σ την πολλαπλότητα M με τιμές σ την V. Κατά σ υνέπεια, η επαγόμενη σ υναλλοίωτη παράγωγος σ την V δίνεται από τη σ χέσ η Z Xφ = D Z φ X, 3.27 όπου X το οριζόντιο lift του X. Ο τανυσ τής καμπυλότητας R Z καθορίζεται από τη σ χέσ η και είναι μια 2-μορφή με τιμές σ το End V. R Z X, Y = Z X Z Y φ Z Y Z Xφ Z [X,Y ] φ 3.28 Λήμμα 3.2. Η μορφή καμπυλότητας και ο τανυσ τής καμπυλότητας σ υνδέονται μεταξύ τους με την σ χέσ η R Z = ρ Ω Z. 3.29 Απόδειξη. Εσ τω τα διανυσ ματικά πεδία X, Y σ την πολλαπλότητα M, και τα αντίσ τοιχα Z-οριζόντια lifts αυτών, X, Y. Η τομή Z Y φ δίνεται από τη σ χέσ η DZ φ Y = dφ Y +Z Y φ = dφ Y. Ανάλογα, προκύπτει και ότι το Z X Z Y φ σ υμπίπτει με το X Y φ, επομένως, από την 3.28 λαμβάνουμε: Z X Z Y φ Z Y Z Xφ Z [X,Y ] φ = X Y φ Y X φ [X, Y ] hor φ = [X, Y ] φ [X, Y ] hor φ = [X, Y ] ver φ. Ομως, από τι; εξισ ώσ εις 3.22-3.25, έχουμε ότι [X, Y ] ver = Z [X, Y ] = Ω X, Y, άρα R Z X, Y φ = Ω Z X, Y. Ακόμα, αν W g σ τοιχείο της άλγεβρας Lie, και W το αντίσ τοιχο θεμελιώδες διανυσ ματικό πεδίο, τότε φ p exp W t φ p ρ exp W t 1 W φ p = lim = lim φ p = ρ W φ p, t 0 t t 0 t επομένως, R Z X, Y φ = ρ Ω X, Y φ. Εφαρμόζοντας την 3.29 σ τις σ υνισ τώσ ες της σ ύνδεσ ης Levi-Civita, λαμβάνουμε: Ω ij X, Y = Ω Z X, Y e i, e j = R X, Y ei, e j = k,l R klij σ k X σ l Y = = 1 R ijkl σ k σ l X, Y, 3.30 2 k,l όπου { σ i} το δυϊκό του {e i }. Η τοπική αναπαράσ τασ η της μορφής καμπυλότητας Ω Z A, επομένως, της σ ύνδεσ ης Z A είναι η Ω Z A = 1 R ijkl σ k σ l e i e j + 1 da 3.31 4 2 i<j k,l 30 Ορίζεται ως κατηγορική pullback απεικόνισ η. 90

3.1 Συνδέσ εις σ ε spinorial δέσ μες ενώ η 2-μορφή A A με τιμές σ την spinorial δέσ μη δίνεται από τη σ χέσ η A A ψ = 1 R ijkl σ k σ l e i e j ψ + 1 da ψ 3.32 4 2 i<j k,l 2 όπου η A A ψ θεωρείται τομή του Γ S. Από την σ χέσ η 3.32 μπορούμε να κατασ κευάσ ουμε μια 1-μορφή Hψ A ενός κατάλληλου contraction, ως εξής: Ορισμός 3.3. Για ένα διάνυσ μα X T M n, η 1-μορφή H A ψ Τότε, H A ψ X = ορίζεται ως με spinorial τιμές, μέσ ω n e a A A ψ X, e a. 3.33 a=1 Πρόταση 3.4. Εσ τω Ric : T M n T M n ο τανυσ τής Ricci σ την Riemannian πολλαπλότητα M n, ο οποίος μπορεί να θεωρηθεί ως σ υμμετρικός ενδομορφισ μός της εφαπτόμενης δέσ μης. Τότε, ισ χύει η σ χέσ η Hψ A X = 1 2 Ric X ψ + 1 X da ψ. 3.34 2 Απόδειξη. Χρησ ιμοποιώντας την 3.32, θα δείξουμε ότι ισ χύουν οι ακόλουθες σ χέσ εις 1. n e a da X, e a ψ = X da ψ a=1 2. R ijkl σ k σ l X, e a e a e i e j ψ = 2Ric X ψ a i<j k.l Η σ χέσ η 1. είναι τετριμμένη, καθώς αποτελεί την αναπαράσ τασ η του X da ως προς την βάσ η {e 1,..., e n }. Για την σ χέσ η 2., έχουμε σ την άλγεβρα Clifford C n τα εξής R ijkl σ k σ l X, e a e a e i e j = a,k a,k,l i<j i<j = 2 R ijka σ k X e a e i e j a,k i<j = 2 R ijki σ k X e j + 2 k,i<j = 2 i,j,k k,i<j R ijka σ k X e a e i e j a,l i<j R ijki σ k X e j + 2 R ijka σ k X e a e i e j k,i<j a i,j = 2Ric X + 2 R ijka σ k X e a e i e j. k,i<j a i,j R ijal σ l X e a e i e j R ijkj σ k X e i + 2 R ijka σ k X e a e i e j k,i<j a i,j 91

3.1 Συνδέσ εις σ ε spinorial δέσ μες Ο δεύτερος όρος με το άθροισ μα μηδενίζεται, αφού για ένα δεδομένο k, σ το άθροισ μα περιέχεται τρεις φορές το γινόμενο Clifford e p e q e r, με p < q < r, για τις τριπλέτες a, i, j = p, q, r, q, p, r και r, p, q. Ως εκ τούτου, ο σ υντελεσ τής του e p e q e r είναι ανάλογος προς το άθροισ μα R qrkp R prkq + R pqkr = R qrkp + R rpkq + R pqkr = 0, που είναι η ταυτότητα Bianchi για τον τανυσ τή καμπυλότητας. Λαμβάνοντας υπόψιν ότι A A ψ X, e a = R S X, e a ψ = A X A e a A e a A X A [X,e a], η σ χέσ η 3.34 σ ε σ υνδυασ μό με την 3.33 του Ορισ μού 3.3, γράφεται ως όπου n e a A A ψ X, e a = 1 2 Ric X ψ + 1 2 X da ψ a=1 n e a R S X, e a ψ = 1 2 Ric X ψ + 1 X da ψ, 3.35 2 a=1 ο τανυσ τής καμπυλότητας σ την σπινοριαλ δέσ μη. A -παράλληλοι spinors R S X, Y ψ = A X A Y ψ A Y A Xψ A [X,Y ] ψ 3.36 Ορισμός 3.5. Ενα spinorial πεδίο ψ Γ S καλείται A -παράλληλο ή απλώς παράλληλο αν A ψ = 0. 3.37 Εφόσ ον X ψ 2 = A X ψ, ψ + ψ, A X ψ = 0, το μέτρο ενός παράλληλου spinorial πεδίου είναι σ ταθερό. Αν υποθέσ ουμε ότι ψ 0, η σ υνθήκη 3.37 υποδηλώνει ότι A A ψ = 0, σ υνεπώς, η 1-μορφή Hψ A n 3.33 μηδενίζεται. Ως εκ τούτου, από την 3.34, για κάθε διάνυσ μα X T M προκύπτει ότι Ric X ψ = X da ψ. 3.38 Ο Ric X είναι πραγματικό διάνυσ μα, ενώ το X da είναι αμιγώς φαντασ τικό. Λήμμα 3.6. Εσ τω ψ n μη τετριμμένος spinor και Z 1, Z 2 R n πραγματικά διανύσ ματα. Αν Z 1 + iz 2 ψ = 0, τότε για διανύσ ματα Z 1, Z 2 ισ χύει ότι: i Z 1 = Z 2 και ii Z 1, Z 2 = 0. Απόδειξη. Πολλαπλασ ιάζοντας την εξίσ ωσ η Z 1 + iz 2 ψ = 0 με Z 1 + iz 2, σ την άλγεβρα Clifford Cn C έχουμε: Z 1 + iz 2 Z 1 + iz 2 = Z1 2 + Z2 2 + i Z 1 Z 2 + Z 2 Z 1 = Z 1 2 + Z 2 2 + i 2 Z 1, Z 2. Αφού Z 1 + iz 2 Z 1 + iz 2 ψ = 0 και ψ 0, από την παραπάνω σ χέσ η προκύπτει Z 1 = Z 2 και Z 1, Z 2 = 0. 92

3.1 Συνδέσ εις σ ε spinorial δέσ μες Εφαρμόζοντας τις σ χέσ εις i και ii σ την 3.38, προκύπτει ότι Ric X = 1 i X da, X T M n 3.39a Ric X, 1i X da = 0, X T M n. 3.39b Συμβολίζοντας ως S τον σ υμμετρικό ενδομορφισ μό S X = Ric X της εφαπτόμενης δέσ μης, και ως A τον αντισ υμμετρικό ενδομορφισ μό A X = 1 i X da της εφαπτόμενης δέσ μης, η εξίσ ωσ η 3.39b γράφεται ως S X, A X = 0 X T M n. Εισ άγοντας το X + Y, λαμβάνουμε ότι επομένως S X, A Y + S Y, A X = 0, X, SA Y X, AS Y = 0, άρα SA = AS, δηλαδή οι A και S μετατίθενται. Αυτό σ ημαίνει ότι για οποιοδήποτε σ ημείο m M n, οι A και S μπορούν να διαγωνοποιηθούν ταυτόχρονα. Ο A γράφεται ως 0 ω1 0 ω2 0 ωk A = diag,,...,, 0,..., 0, ω 1 0 ω 2 0 ω k 0 και ο S ως S = diag λ 1,..., λ n. Από την σ υνθήκη 3.39a, προκύπτουν οι εξισ ώσ εις λ 1 = λ 2 = ±ω 1,..., λ 2k 1 = λ 2k = ±ω k, λ 2k+1 =... = λ n = 0, ενώ για τις νόρμες των S και A, έχουμε ότι S 2 = tr S S T = tr S 2 = n λ 2 i, A 2 = tr A A T = tr A 2 = 2 i=1 k ωi 2, από όπου λαμβάνουμε ότι Ric = A. Ομως, το τετράγωνο της νόρμας του A, ως αντισ υμμετρική απεικόνισ η, είναι το διπλάσ ιο του τετραγώνου της νόρμας της 2-μορφής ida, A 2 = 2 da 2, επομένως, σ υνοπτικά, προκύπτει το εξής: Πρόταση 3.7. Εσ τω M n, g Riemannian πολλαπλότητα με δομή spin C και A μια σ ύνδεσ η σ την κύρια U 1-δέσ μη P 1, η οποία επάγεται από την δομή spin C, και έσ τω A η επαγόμενη σ υναλλοίωτη παράγωγος σ την spinorial δέσ μη. Αν υπάρχει ένας A -παράλληλος spinor ψ, A ψ = 0, τότε ικανοποιούνται οι ακόλουθες αναγκαίες σ υνθήκες: 1. Ric 2 = 2 Ω A 2, όπου Ω A = 1 i da η μορφή καμπυλότητας της σ ύνδεσ ης. 2. rank Ω A = rank Ric. 3. Οι ενδομορφισ μοί της εφαπτόμενης δέσ μης Ric και Ω A μετατίθενται. Πόρισμα 3.8. Εσ τω M n, g σ υνεκτική Riemannian πολλαπλότητα με δεδομένη δομή spin C, και έσ τω η κανονική σ υναλλοίωτη παράγωγος σ την spinorial δέσ μη S A = 0. Αν υπάρχει μη τετριμμένος παράλληλος spinor ψ, τότε ο τανυσ τής Ricci της M n μηδενίζεται, Ric 0. Παρατήρηση. Οι σ υνθήκες 1., 2., και 3. της Πρότασ ης 3.7 για την ύπαρξη παράλληλων spinorial πεδίων είναι αναγκαίες, αλλά μη ικανές, ακόμα και σ ε τοπικό επίπεδο [83, 84]. Πόρισμα 3.9. Εσ τω M n, g σ υνεκτική Riemannian πολλαπλότητα, η οποία επιδέχεται δομή spin C. Αν ο τανυσ τής Ricci είναι περιττής τάξης σ ε τουλάχισ τον ένα σ ημείο, τότε η M n δεν έχει A -παράλληλα spinorial πεδία για οποιαδήποτε δομή spin C και για οποιαδήποτε σ ύνδεσ η A σ την U 1-δέσ μη της δομής spin C [82]. i=1 93

3.2 Τελεσ τές Dirac και Twistor 3.2 Τελεστές Dirac και Twistor 3.2.1 Ο τελεσ τής Dirac σ την spinorial δέσ μη Εσ τω Riemannian n-πολλαπλότητα M, g με καθορισ μένη δομή spin C και μια σ ύνδεσ η A σ την κύρια U 1-δέσ μη P 1 με σ υναλλοίωτη παράγωγο A : Γ S Γ T M S = Γ T M S σ τη σ υσ χετιζόμενη spinorial δέσ μη S. Σημείωση. Στην υποενότητα αυτή, και όπου κριθεί βέλτισ το παρακάτω, η εφαπτόμενη δέσ μη T M και η δυϊκή της T M της M θα προσ διορίζονται μέσ ω της μετρικής g. Ως προς τη σ υναλλοίωτη παράγωγο A, το γινόμενο Clifford και η Ερμητιανή μετρική, σ την S σ υμπεριφέρονται ως εξής: A Y X ψ = Y X ψ + X A Y ψ 3.40a A X ψ 1, ψ 2 + ψ1, A Xψ 2 = X ψ1, ψ 2, 3.40b όπου X, Y Γ T M και ψ 1, ψ 2 Γ S. 3.2.1.1 Ο τελεσ τής Laplace για spinors Οπως σ ε κάθε διανυσ ματική δέσ μη εφοδιασ μένη με σ ύνδεσ η, έτσ ι και σ την spinorial δέσ μη S μπορεί να ορισ θεί ο τελεσ τής Laplace ως εξής: Ορισμός 3.10. Αν ψ Γ S spinorial πεδίο, τότε ο τελεσ τής Laplace ψ ορίζεται ως A ψ = n A e i A e i ψ i=1 n div e i A e i ψ. 3.41 Χρησ ιμοποιώντας το θεώρημα Stokes προκύπτει, όπως και για κάθε τελεσ τή Laplace σ ε μια Ερμητιανή διανυσ ματική δέσ μη, ότι ˆ ˆ ˆ A ψ 1, ψ 2 = A ψ 1, A ψ 2 = ψ 1, A ψ 2 3.42 M M για δύο spinorial πεδία ψ 1 και ψ 2 με σ υμπαγή φορέα σ το εσ ωτερικό της πολλαπλότητας M, όπου A ψ 1, A ψ 2 το βαθμωτό γινόμενο 1-μορφών, δηλαδή i=1 M A ψ 1, A n ψ 2 = A ei ψ 1, A e i ψ 2. i=1 3.2.1.2 Ο τελεσ τής Dirac Ο τελεσ τής Dirac προκύπτει από την σ ύνθεσ η της κανονικής παραγώγου με το γινόμενο Clifford, ως εξής: Ορισμός 3.11. Η σ ύνθεσ η D A = µ A : Γ S Γ T M S = Γ T M S Γ S 3.43 ορίζει τον τελεσ τή Dirac, όπου η πρώτη απεικόνισ η δίνεται από την σ ύνδεσ η, και η δεύτερη από την μετρική. Ως προς ένα τοπικό ορθοκανονικό frame e = e 1,..., e n σ την πολλαπλότητα M, ο τελεσ τής Dirac έχει την μορφή n D A ψ = e i A e i ψ. 3.44 i=1 94

3.2 Τελεσ τές Dirac και Twistor Οπως προκύπτει από τον Ορισ μό 3.11, ο τελεσ τής Dirac είναι ένας διαφορικός τελεσ τής πρώτης τάξης [85, 86]. Το σ ύμβολό βλ. [87, 88] του, σ D A X : S S για ένα διάνυσ μα X T M, δίνεται από το γινόμενο Clifford σ D A X ψ = X ψ 3.45 όπως προκύπτει από τη σ χέσ η D A f ψ = n e i A e i f ψ = i=1 n e i df e i ψ + f A e i ψ = grad f ψ + fd A ψ. i=1 Η ποσ ότητα D A ψ, ψ 1 υπολογίζεται ως εξής: D A ψ, ψ 1 = n ei A n e i ψ, ψ 1 = A ei ψ, e i ψ 1 = i=1 = = i=1 n ei ψ, e i ψ 1 ψ, ei e i ψ 1 ψ, e i A e i ψ 1 i=1 n e i ψ, e i ψ 1 i=1 n div e i ψ, e i ψ 1 + ψ, D A ψ 1 χρησ ιμοποιώντας την σ χέσ η ορισ μού 3.44. Θεωρώντας την 1-μορφή M ψ,ψ1 X := ψ, X ψ 1, παρατηρούμε ότι οι δύο πρώτοι όροι είναι η απόκλισ η δm ψ,ψ1, επομένως, i=1 D A ψ, ψ 1 = ψ, D A ψ 1 + δm ψ,ψ1, 3.46 που σ ημαίνει ότι ο τελεσ τής Dirac είναι σ υμμετρικός ως προς το εσ ωτερικό γινόμενο σ τον L 2 βλ. [90]. Πρόταση 3.12. Εσ τω ψ, ψ 1 spinorial πεδία με σ υμπαγή φορέα που περιέχονται σ το εσ ωτερικό της πολλαπλότητας. Τότε, ισ χύει ότι ˆ ˆ D A ψ, ψ 1 = ψ, D A ψ 1. 3.47 M Απόδειξη. Από την σ υζήτησ η προηγουμένως, σ ε σ υνδυασ μό με [90]. Παρατήρηση. Αν η διάσ τασ η της πολλαπλότητας είναι άρτια n = 2k, τότε η spinorial δέσ μη αναλύεται σ το ευθύ άθροισ μα S = S + S των Dirac spinors. Εφόσ ον το πολλαπλασ ιασ μός Clifford με διανύσ ματα εναλλάσ σ ει τους όρους του αθροίσ ματος, ο τελεσ τής Dirac αναλύεται σ το άθροισ μα δύο τελεσ τών D ± A : Γ S ± Γ S. 3.48 M 3.2.2 Ο τελεσ τής twistor Ενας τρίτος τελεσ τής που δρα σ ε spinorial πεδία, είναι ο τελεσ τής twistor, T A. Παρατηρούμε ότι το γινόμενο Clifford µ : T M S S είναι ένας επί ομομορφισ μός, και έσ τω ker µ T M S ο πυρήνας της απεικόνισ ης µ. Λήμμα 3.13. Η σ χέσ η P X ψ = X ψ + 1 n ορίζει μια προβολή από την δέσ μη T M S σ την δέσ μη ker µ T M S. n e i e i X ψ 3.49 i=1 95

3.2 Τελεσ τές Dirac και Twistor Απόδειξη. Αρκεί να δειχθεί ότι η εικόνα του P περιέχεται σ τον ker µ. Εχουμε µ P X ψ = X ψ + 1 n e i e i X ψ = X ψ X ψ = 0, n ενώ με ανάλογο τρόπο προκύπτει και ότι ο P δρα ταυτοτικά σ τον ker µ. i=1 Ορισμός 3.14. Ο τελεσ τής twistor T A = P A ορίζεται ως η υπέρθεσ η της σ υναλλοίωτης παραγώγου με την προβολή σ τον πυρήνα του πολλαπλασ ιασ μού Clifford T A : Γ S Γ ker µ. 3.50 Χρησ ιμοποιώντας την σ χέσ η A ψ = n i=1 e i A e i ψ, η τοπική μορφή του τελεσ τή twistor είναι η: n T A ψ = e i A e i ψ + 1 n e i e i D A ψ n i=1 i=1 n = e i A e i ψ + 1 n e i D A ψ. 3.51 i=1 Πόρισμα 3.15. Ενα spinorial πεδίο ψ Γ S ανήκει σ τον πυρήνα του τελεσ τή twistor T A αν και μόνο αν για κάθε διάνυσ μα X T M, ισ χύει ότι A Xψ + 1 n X D A ψ = 0. 3.52 3.2.3 Η εξίσ ωσ η Schrödinger-Lichnerowicz Το τετράγωνο του τελεσ τή Dirac DA 2 και ο τελεσ τής Laplace A είναι διαφορικοί τελεσ τές δεύτερης τάξης. Για την σ ύγκρισ η των δύο αυτών τελεσ τών, θα υπολογισ θεί η διαφορά τους, DA 2 A. DAψ 2 A ψ = e i A e i e j A e j ψ + A e i A e i ψ + div e i A e i ψ i,j i i = e i ei e j A e j ψ + e j A e i A e j ψ + A e i A e i ψ + div e i A e i ψ i,j i i = g ei e j, e k e i e k A e j ψ + i,j,k i,j e i e j A e i A e j ψ + i A e i A e i ψ + i div e i A e i ψ = g ei e j, e k e i e k A e j ψ + e i e j A e i A e i ψ, 3.53 j i k i j όπου η τελευταία γραμμή προκύπτει από τον ορισ μό της απόκλισ ης, δηλαδή div e j A e j ψ. j i=k g ei e j, e k e i e k ej ψ = j Ο όρος i k g e i e j, e k e i e k μπορεί να γραφεί ενδομορφισ μός ως g ei e j, e k e i e k = g e j, ei e k e i e k i k i k = g e j, ei e k ek e i e i e k i<k = i<k g e j, [e k, e i ] e i e k. 3.54 96

3.2 Τελεσ τές Dirac και Twistor Εισ άγοντας την 3.54 σ την 3.53, λαμβάνουμε ότι D 2 Aψ A ψ = j = i<j i<k g e j, [e k, e i ] e i e k ej ψ + i<j e i e j A e i A e j A e j A e i A [e i,e j] e i e j A e i A e j A e j A e i ψ ψ = 1 2 e i e j R S e i, e j ψ. 3.55 Πολλαπλασ ιάζοντας την σ χέσ η 3.34 j e j R S e i, e j ψ = 1 2 Ric e i ψ + 1 2 e i da ψ με e i και αθροίσ ουμε σ τον δείκτη i, έχουμε e i e j R S e i, e j ψ = 1 e i Ric e i ψ + 1 e i e i da ψ. 3.56 2 2 i<j i i i,j Ομως, σ την άλγεβρα Clifford, έχουμε ότι e i Ric e i = i i,j R ij e i e j = i R ii = R, 3.57 ενώ επιπλέον, για κάθε 2-μορφή η 2, ισ χύει η σ χέσ η i e i e i η 2 = 2η 2 σ την άλγεβρα Clifford C n. Επομένως, σ υνολικά, καταλήγουμε σ την σ χέσ η αρχικά σ το [91] DAψ 2 A ψ = 1 1 2 2 R + da ψ = R 4 ψ + 1 da ψ 3.58 2 Συνοπτικά, Πρόταση 3.16. Εσ τω R η βαθμωτή καμπυλότητα της Riemannian πολλαπλότητας, και da = Ω A η 2-μορφή καμπυλότητας με φαντασ τικές τιμές της σ ύνδεσ ης A σ την U 1-δέσ μη που σ χετίζεται με την δομή spin C της πολλαπλότητας. Τότε, ισ χύει η ακόλουθη εξίσ ωσ η D 2 Aψ A ψ = R 4 ψ + 1 2 da ψ. 3.2.4 Spinors και διαφορικοί τελεσ τές σ ε Ερμητιανές και Kähler πολλαπλότητες Εσ τω μια σ χεδόν-μιγαδική 2k-πολλαπλότητα M, J με σ χεδόν-μιγαδική δομή J με J 2 = Id βλ. 1.2.5, και μια ερμητιανή μετρική g σ υμβατή με την σ χεδόν-μιγαδική δομή. Επιπλέον, θεωρούμε μια δομή spin C P, Λ σ την δέσ μη των SO n-frames της Ερμητιανής πολλαπλότητας M, J, g, και S την σ υσ χετιζόμενη spinorial δέσ μη. Πρόταση 3.17. Μια 2-μορφή Ω τέτοια ώσ τε Ω X, Y = g JX, Y Ω 1,1 M, η οποία δρα ως ενδομορφισ μός Ω : S S σ την spinorial δέσ μη S, έχει ιδιοτιμές i k 2r, με 0 r k, και οι αντίσ τοιχοι ιδιοχώροι έχουν διάσ τασ η k r. Η spinorial δέσ μη αναλύεται ως S = S0 S 1... S k, όπου S r = {ψ S : Ωψ = i k 2r ψ}. 3.59 Απόδειξη. Στον χώρο των spinors Dirac βλ. Ορισ μός 2.18 2k = C 2k C 2... C 2 k φορές, ο τελεσ τής e 2a 1 e 2a, με 1 a k αναπαρίσ ταται από τον πίνακα βλ. Πόρισ μα 2.17 e 2a 1 e 2a = E E... E g 1 g 2 E E... E, 3.60 97

3.2 Τελεσ τές Dirac και Twistor 0 1 όπου g 1 g 2 =, και e 1 0 i σ τοιχεία ενός ορθοκανονικού frame. Ορίζοντας ένα τοπικό ορθοκανονικό frame διανυσ ματικών πεδίων ως {e 1, e 2 = J e 1,..., e 2k 1, e 2k = J e 2k 1 }, τότε η 2-μορφή Ω γράφεται ως Ω = e 1 e 2 +... + e 2k 1 e 2k και λόγω της 3.60, αναπαρίσ ταται ως ενδομορφισ μός του 2k ως Ω = g 1 g 2 E E... E g 1 g 2 E E... E. Οι ιδιοτιμές του πίνακα g 1 g 2 είναι οι ±i. Αν v +1 και v 1 βάσ η του C 2 που αποτελείται από τα αντίσ τοιχα ιδιοδιανύσ ματα, τότε η v ε 1... v ε k, με ε i = ±1, είναι μια βάσ η του 2k = C 2... C 2, και η δράσ η της Ω σ τα σ τοιχεία αυτής της βάσ ης είναι η εξής: k Ω v ε 1... v ε k = i ε a v ε 1... v ε k. a=1 Σημειογραφία 3.18. Χρησ ιμοποιούμε τους εξής σ υμβολισ μούς O χώρος των μιγαδικών γραμμικών και αντιγραμμικών μορφών σ τον T x M σ υμβολίζεται ως T x M 1,0 και T x M 0,1, αντίσ τοιχα, ή ισ οδύναμα, Λ 1 T M 2k C = Λ 1,0 Ω 0,1, με και Συμπληρωματικά, ορίζονται οι προβολές Λ 1,0 = { w 1 T M 2k C : J w 1 = iw 1} Λ 0,1 = { w 1 T M 2k C : J w 1 = iw 1}. π 1,0 : w 1 w 1,0 := 1 2 w 1 iw 1 J και π 0,1 : w 1 w 0,1 := 1 2 w 1 + iw 1 J από τον T M C σ τον T x M 1,0 κατά τον T x M 0,1, και από τον T M C σ τον T x M 0,1 κατά τον T x M 1,0, αντίσ τοιχα. Οι τελεσ τές Dolbeault, ως προς αυτές τις προβολές, ορίζονται ως = π 0,1 d και = π 1,0 d ώσ τε d = +. Επιπλέον, έσ τω p, q, r Z με p + q = r. Μια μιγαδική αντισ υμμετρική r-γραμμική μορφή σ τον T M τύπου p, q, δηλαδή τέτοια ώσ τε να ισ ούται με ένα πεπερασ μένο άθροισ μα μορφών u w, όπου u Λ p T M 1,0 και w Λ p T M 0,1, ανήκει σ τον χώρο T M p,q Λ p,q M. Ετσ ι, έχουμε ότι Λ r T M C = Λ p,q M p,q p+q=r οπότε έχουμε την προβολή π p,q από τον Λ r T M C σ τον Λ p,q M κατά το άθροισ μα των υπόλοιπων σ υνισ τωσ ών. Οι δε χώροι των τομών των δεσ μών Λ r και Λ p,q σ υμβολίζονται ως Ω r και Ω p,q, όπου Ω p,q M ο χώρος των p, q-μορφών σ την M βλ. 1.2.6. Υπάρχει ισ ομορφισ μός από της 0, r-μορφές με τιμές σ την S 0 προς τη δέσ μη S r, τέτοιος ώσ τε: 98

3.2 Τελεσ τές Dirac και Twistor Πρόταση 3.19. Η απεικόνισ η α r : Λ 0,r S 0 S r της μορφής η 0,r ψ 0 2 r 2 η 0,r ψ 0 3.61 επάγει έναν ισ ομορφισ μό μεταξύ των δεσ μών Λ 0,r S 0 και S r ο οποίος διατηρεί τα εσ ωτερικά γινόμενα αναλλοίωτα. Απόδειξη. Αρκεί να δειχθεί ότι η 0,r ψ 0 S r. Για x R n, w k Ω k και ψ n, έχουμε x w k ψ = x w k ψ + x w k ψ, από όπου λαμβάνουμε ότι e 2a 1 e 2a η 0,r ψ 0 = e2a 1 e 2a η 0,r ψ 0 e 2a η 0,r ψ 0 = = η 0,r e 2a 1 e 2a ψ0 e 2a 1 e 2a η 0,r ψ 0 e 2a 1 e 2a η 0,r ψ 0 + 0 αφού e 2a 1 e 2a η 0,r = 0 η 0,r Λ 0,r. Παρομοίως, έχουμε: η 0,r e 2a 1 e 2a ψ0 = = η 0,r e 2a 1 e2a ψ 0 1 r+1 e 2a η 0,r e 2a 1 ψ0 = η 0,r e 2a 1 e 2a ψ 0 1 r e 2a 1 η 0,r e 2a ψ 0 + e 2a e 2a 1 η 0,r ψ 0 = η 0,r e 2a 1 e 2a ψ 0 + e 2a e 2a 1 η 0,r ψ 0 + e 2a e 2a 1 η 0,r ψ 0 από όπου προκύπτει ότι Ω η 0,r ψ 0 =η 0,r Ωψ 0 + k e 2a 1 e 2a η 0,r ψ 0 a=1 k e 2a e 2a 1 η 0,r ψ 0 + a=1 k e 2a 1 e 2a η 0,r ψ 0 + a=1 k e 2a e 2a 1 η 0,r ψ 0 a=1 =η 0,r Ωψ 0 2irη 0,r ψ 0 = iη 0,r k 2r ψ 0 = i k 2r η 0,r ψ 0, άρα η 0,r ψ 0 S r. Η διατήρησ η του εσ ωτερικού γινομένου προκύπτει άμεσ α με αλγεβρικούς υπολογισ μούς. Στον ισ ομορφισ μό 3.61 χρησ ιμοποιήθηκε η μιγαδικά σ υζυγής δέσ μη Λ 0,r, καθώς, για να δράσ ει το γινόμενο Clifford, η r-μορφή πρέπει να μετατραπεί σ ε r-διάνυσ μα. Ωσ τόσ ο, μια Ερμητιανή μετρική επάγει μια μιγαδική αντιγραμμική αντισ τοιχία διανυσ μάτων με μορφές. Ενας ανάλογος υπολογισ μός οδηγεί σ την εξής πρότασ η: Πρόταση 3.20. Η απεικόνισ η β r : Λ 0,r S k S k r που ορίζεται από την σ χέσ η η r,0 ψ k 2 r 2 η r,0 ψ k είναι ισ ομετρία. Πόρισμα 3.21. Η spinorial δέσ μη S μιας Ερμητιανής πολλαπλότητας, ως προς μια αυθαίρετη δομή spin C, είναι ισ ομορφική με την S = Λ 0,0 +... + Λ 0,k S 0 = Λ 0,0 +... + Λ k,0 S k, 3.62 όπου S 0 = {ψ S : Ωψ = ikψ} και S k = {ψ S : Ωψ = ikψ}, και ειδικότερα, S 0 = Λ k,0 S k, και S k = Λ 0,k S 0. 99

3.2 Τελεσ τές Dirac και Twistor 3.2.4.1 Κανονική δομή spin C σ ε Ερμητιανή πολλαπλότητα Στην περίπτωσ η μιας κανονικής δομής spin C, η οποία, σ την Ερμητιανή πολλαπλότητα M 2k, g, J, ορίζεται από το lift του ομομορφισ μού ομάδας βλ. 2.86, 2.87 U k F Spin C 2k SO 2k, οι υποδέσ μες S i αντισ τοιχούν ακριβώς σ τις ανάγωγες U k-σ υνισ τώσ ες της αναπαράσ τασ ης του 2k. Αν ο A U k έχει την διαγώνια μορφή A = diag exp iθ 1,..., exp iθ k, τότε F A = exp i k k Θ j Θj Θj cos + sin e 2j 1 e 2j 3.63 2 2 2 j=1 j=1 βλ. 2.89. Η S 0 αντισ τοιχεί σ το σ τοιχείο v 1... v 1 της βάσ ης και η S k σ το σ τοιχείο v 1... v 1, κατά σ υνέπεια, ο ενδομορφισ μός e 2j 1 e 2j δρα πολλαπλασ ιασ τικά σ την S 0 με τον παράγοντα +i, και αντίσ τοιχα σ την S k με τον παράγοντα +i. Επομένως, η δέσ μη S 0 σ υμπίπτει με την μιγαδική εφαπτόμενη δέσ μη μέγισ της τάξης T M 2k, J, ενώ η S k είναι τετριμμένη. Ομως, η δέσ μη ορίζουσ ας L της δομής spin C βλ. 2.107 είναι η Λ k T M 2k, J, άρα S 0 = L = Λ k T M και S k = Θ 1 σ την περίπτωσ η της κανονικής δομής spin C. Με ανάλογα επιχειρήματα, για την αντι-κανονική δομή spin C, λαμβάνουμε ότι L = Λ k T M και S k = Θ 1 τετριμμένη. Αν η δομή spin C σ την M 2k, g, J προέρχεται από μια δομή spin P, Λ, μια δομή spin C λαμβάνεται ως P c = P Spin2k Spin C 2k. Τότε, η δέσ μη ορίζουσ ας L είναι η τετριμμένη, L = Θ 1, και η spinorial δέσ μη S, σ την περίπτωσ η αυτή, αναλύεται κατά την 3.62 ως S = Λ 0,0 +... + Λ 0,k S 0. Ομως, αφού η spinorial δέσ μη σ την περίπτωσ η αυτή είναι μια διανυσ ματική δέσ μη σ υσ χετιζόμενη με την ομάδα Spin C 2k, έχουμε ότι S 0 2 = Λ k T M. Ακόμα, ο 2k έχει πραγματική quaternionic δομή j : 2k 2k, η οποία επάγει έναν μιγαδικό αντιγραμμικό μορφισ μό σ την spinorial δέσ μη που απεικονίζει την υποδέσ μη S r σ την S k r ή σ την μιγαδικά σ υζυγή της S k r βλ. [57, 93, 94]. Συνθέτοντας την j : S 0 S k με την β k : Λ k,0 S k S 0, ορίζεται ο ισ ομορφισ μός S 0 S 0 1 j S 0 S k β 1 k 1 Λ k,0 S k S k = Λ k,0. 3.64 3.2.4.2 Ο τελεσ τής Dirac σ υναρτήσ ει των τελεσ τών Dolbeault Εσ τω μια δεδομένη σ ύνδεσ η A σ την κύρια U 1-δέσ μη P 1 της δομής spin C ή ισ οδύναμα σ την L, καθώς επίσ ης και μια σ ύνδεσ η A 0 σ την Ερμητιανή διανυσ ματική δέσ μη S 0. Ο τελεσ τής Dirac ορίζεται ως D A : Γ S Γ S, ενώ οι τελεσ τές Dolbeault k A0 και A0 είναι τελεσ τές σ την δέσ μη i=1 Λ0,i S 0, και ορίζονται [95] κατά τα προηγούμενα ως A0 η 0,r ψ 0 = η 0,r ψ 0 + A 0 η 0,r ψ 0 = η 0,r ψ 0 2k i=1 2k i=1 e i η 0,r 0,r+1 A0 e i ψ 0 3.65a e i η 0,r A0 e i ψ 0 3.65b όπου για κάθε διάνυσ μα X T M 2k και για κάθε 0, r-μορφή η 0,r, η μορφή X η 0,r είναι μια 0, r 1-μορφή. 100

3.2 Τελεσ τές Dirac και Twistor Οι ισ ομορφισ μοί 3.61 α r μπορούν να σ υνδυασ τούν σ ε έναν ισ ομορφισ μό α = k r=0 α r μεταξύ της δέσ μης k r=0 Λ0,r S 0 και της S. Επομένως, υπάρχει νόημα σ την σ ύγκρισ η του τελεσ τή D A με τον τελεσ τή A0 + A 0. Παρατήρηση. Ο α 1 D A α γίνεται πλέον ένας μιγαδικός γραμμικός τελεσ τής σ την δέσ μη k r=0 Λ0,r S 0. Πρόταση 3.22. Υπάρχει ένας ενδομορφισ μός k k E : Λ 0,r S 0 Λ 0,r S 0 τέτοιος ώσ τε να ισ χύει η σ χέσ η r=0 r=0 α 1 D A α = 2 A0 + A 0 + E, 3.66 όπου ο E εξαρτάται από την σ χεδόν-μιγαδική δομή J, την Ερμητιανή μετρική g και τις σ υνδέσ εις A και A 0. Απόδειξη. Οι τελεσ τές α 1 D A α και 2 A0 + A 0 είναι διαφορικοί τελεσ τές πρώτης τάξης, επομένως αρκεί να δειχθεί ότι τα αντίσ τοιχα σ ύμβολά τους σ υμπίπτουν. Για ένα διάνυσ μα ή 1-μορφή X, το σ ύμβολο σ D A X : S S είναι ένας πολλαπλασ ιασ μός Clifford με το X. Επιλέγοντας μια Ερμητιανή βάσ η {e 1, J e 1,..., e 2k 1, J e 2k 1 } με X = e 1 δίχως βλάβη της γενικότητας, το σ ύμβολο σ α 1 D A α k k X : Λ 0,r S 0 Λ 0,r S 0 r=0 υπολογίζεται ως εξής: μια 0, r-μορφή η 0,r γράφεται ως η 0,r = e 1 + ie 2 η 0,r 1 + η 0,r, όπου e 1 η 0,r = e 2 η 0,r = 0. Ετσ ι, σ D A X α η 0,r ψ 0 =2 r 2 e1 η 0,r ψ 0 r=0 =2 r 2 e1 e 1 + ie 2 η 0,r 1 ψ 0 + 2 r 2 e1 η 0,r ψ 0 =2 r 2 1 + ie1 e 2 η 0,r 1 ψ 0 + 2 r 2 e1 η 0,r ψ 0. Το γινόμενο Clifford με το e 1 e 2 μετατίθεται με την η 0,r 1, ενώ επιπλέον έχουμε ότι e 1 e 2 ψ 0 = iψ 0, και e 1 η 0,r = 0, άρα σ D A X α η 0,r ψ 0 = 2 r 2 1 η 0,r 1 ψ 0 + 2 r 2 +1 e 1 + ie 2 η 0,r ψ 0. Δρώντας σ την σ χέσ η αυτή με το α 1, έχουμε: α 1 σ D A X α η 0,r ψ 0 = 2 2η 0,r 1 + 2 e 1 + ie 2 η 0,r = 2 2X η 0,r 1 + X + ijx η0,r 2 ψ 0 ψ 0. Αντίσ τοιχα, για τα σ ύμβολα των A0 και A0, έχουμε: σ A0 X = σ X IdS0 και σ A0 X = σ X Id S0, και οι απεικονίσ εις δίνονται, αντίσ τοιχα, από τις σ χέσ εις σ X : Λ 0,r Λ 0,r+1, σ X : Λ 0,r Λ 0,r 1 σ X η 0,r = X + ijx 2 η 0,r, σ X η 0,r = X η 0,r. 101

3.2 Τελεσ τές Dirac και Twistor 3.2.4.3 Διαφορικοί τελεσ τές σ ε πολλαπλότητες Kähler Αν, σ την ειδική περίπτωσ η μιας πολλαπλότητας Kähler M 2k, J, g, θεωρήσ ουμε την δέσ μη Q των SO 2k-frames, και αν R η U k αναγωγή αυτών, τότε η σ ύνδεσ η Levi-Civita ανάγεται σ την κύρια U k-δέσ μη R. Επιπλέον, επιλέγοντας μια αντι-κανονική δομή spin C, όπως πριν, θα έχουμε ότι S 0 = Θ 1 και L = Λ k T M = R det 1 C, επομένως η σ ύνδεσ η Levi-Civita επάγει μια σ ύνδεσ η A σ την L, και αφού η σ ύνδεσ η A 0 σ την S 0 είναι η Θ 1, είναι τετριμμένη. Στην περίπτωσ η αυτή, ο αντίσ τοιχος τελεσ τής Dirac D, σ υμπίπτει με τον τελεσ τή 2 + : Πρόταση 3.23. Εσ τω M 2k, J, g πολλαπλότητα Kähler εφοδιασ μένη με μια αντι-κανονική δομή spin C. Τότε, ισ χύουν τα εξής: 1. S = Λ 0,0 +... + Λ 0,k. 2. Ο τελεσ τής Dirac που ορίζεται από τη σ ύνδεσ η Levi-Civita σ υμπίπτει με τον τελεσ τή 2 +. Πόρισμα 3.24. Ο χώρος των αρμονικών spinors {ψ Γ S : Dψ = 0} μιας σ υμπαγούς πολλαπλότητας Kähler ως προς την αντι-κανονική δομή spin C είναι ισ ομορφικός με τον k H r M 2k ; O. 3.67 r=0 Σε μια πολλαπλότητα Kähler M 2k, J, g εφοδιασ μένη με μια δομή spin C, έχουμε L = Θ 1, S 2 0 = Λ 0,k, S 2 k = Λ k,0. Συνεπώς, η S k λογίζεται ως η τετραγωνική ρίζα της κανονικής δέσ μης K = Λ k T M = Λ k,0 της πολλαπλότητας Kähler, και η spinorial δέσ μη είναι ισ ομορφική με την S = Λ 0,0 +... + Λ 0,k S k. Θεωρώντας την τετριμμένη σ ύνδεσ η A σ την L = Θ 1, εφόσ ον S 2 k = Λk,0, τότε η σ ύνδεσ η σ την S k επάγεται από την σ ύνδεσ η Levi-Civita. Ετσ ι, για τον αντίσ τοιχο τελεσ τή Dirac, προκύπτουν τα ακόλουθα [94, 95]: Πρόταση 3.25. Εσ τω M 2k, J, g πολλαπλότητα Kähler εφοδιασ μένη με μια δομή spin. Τότε, ισ χύουν οι ακόλουθες προτάσ εις: 1. Η S k είναι η τετραγωνική ρίζα της κανονικής δέσ μης, S 2 k = K = Λk,0. 2. Η spinorial δέσ μη είναι ισ ομορφική με την k S = r=0 Λ 0,r S k. 3. Ο τελεσ τής Dirac σ υμπίπτει με τον τελεσ τή 2 +. Επιπλέον, ο χώρος των αρμονικών spinors, {ψ Γ S : Dψ = 0}, σ ε μια σ υμπαγή πολλαπλότητα Kähler εφοδιασ μένη με μια δομή spin, είναι ισ ομορφικός με τον k H r M 2k, O S k, r=0 όπου S k η δέσ μη γραμμών που περιγράφει τη δομή spin, για την οποία S 2 k = K = Λk,0.. 102

3.2 Τελεσ τές Dirac και Twistor 3.2.5 Ειδικές ιδιότητες των τελεσ τών Dirac 3.2.5.1 Ο τελεσ τής Dirac σ υμμετρικού Riemannian χώρου Εσ τω Riemannian σ υμμετρικός χώρος M n με ομάδα ισ οτροπίας G, όπου, αν η ομάδα ισ οτροπίας ενός σ ημείου m 0 M m είναι η K, τότε η M m ταυτίζεται με τον ομογενή χώρο G/K. Εσ τω ότι η M m = G/K είναι εφοδιασ μένη με μια ομογενή δομή spin, δηλαδή υπάρχει ένας ομομορφισ μός Ãd : K Spin m, όπου g = l + m η άλγεβρα Lie της ομάδας G, με [l,l] l, [l, m] m, [m, m] l, τέτοιος ώσ τε το διάγραμμα Ãd Spin m λ K Ad SO m να μετατίθεται. Τότε, αν Ω G ο τελεσ τής Casimir της ομάδας Lie G, τότε για τον τελεσ τή Dirac προκύπτει [96] ότι όπου R η βαθμωτή καμπυλότητα. D 2 = Ω G + 1 8 R, 3.68 Παρατήρηση. Η σ ημασ ία της σ χέσ ης 3.68 έγκειται σ το γεγονός ότι επιτρέπει τον υπολογισ μό των ιδιοτιμών του τελεσ τή D 2 μέσ ω της θεωρίας αναπαρασ τάσ εων. Αν λ : G GL V λ μια ανάγωγη μιγαδική αναπαράσ τασ η με διαφορικό λ : g gl V λ, τότε η ποσ ότητα λ Ω G = m λ X i 2 i=1 k λ Y a 2 είναι ένας τελεσ τής σ τον V λ, ο οποίος μετατίθεται με όλους τους αυτομορφισ μούς λ g : V λ V λ g G όπως προκύπτει από τη σ χέσ η a=1 λ g λ X λ g 1 = λ Ad g X, όπου X g, g G, χρησ ιμοποιώντας το γεγονός ότι η Ad g : g g απεικονίζει μια ορθοκανονική βάσ η {X 1,..., X m, Y 1,..., Y k } σ ε μια ορθοκανονική βάσ η της g, όπου {X i } m i=1 και {Y a} k a=1 ορθοκανονικές βάσ εις των m και l, αντίσ τοιχα. Εσ τω µ μια ιδιοτιμή του λ Ω G, και W µ V λ ο αντίσ τοιχος ιδιοϋποχώρος. Τότε, ο W µ είναι αναλλοίωτος υπό όλες τις λ g, με g G. Η αναγωγιμότητα του V λ σ υνεπάγεται ότι W µ = 0 ή W µ = V λ. Ομως η περίπτωσ η W µ = 0 αποκλείεται, καθώς η λ Ω G έχει ιδιοτιμές σ το C,επομένως W µ = V λ, δηλαδή η λ Ω G αποτελεί πολλαπλάσ ιο της μοναδιαίας απεικόνισ ης. 3.2.5.2 Ουσ ιώδης αυτοσ υζυγία του τελεσ τή Dirac σ τον χώρο L 2 Στον μιγαδικό χώρο Hilbert θεωρούμε τα εξής [97, 98, 99]. Εσ τω ένας, εν γένει μη φραγμένος, τελεσ τής A με πυκνό πεδίο ορισ μού D A σ τον μιγαδικό χώρο Hilbert H, και έσ τω η κλεισ τή θήκη αυτού Ā, με Ā x = lim n A x n, όπου x D A, το πεδίο ορισ μού, D Ā, της οποίας, αποτελείται από όλα τα σ τοιχεία x H για τα οποία υπάρχει μια ακολουθία x n D A με lim n x n = x τέτοια ώσ τε η ακολουθία A x n να σ υγκλίνει σ τον H. Σε κάθε τελεσ τή A αντισ τοιχεί ένας σ υζυγής τελεσ τής A με πεδίο ορισ μού D A = {x H : y H z D A : Az, x = z, y } και A x = y, που σ ημαίνει ότι για κάθε z D A και z D A ισ χύει ότι Az, x = z, A x. Αν ο A είναι σ υμμετρικός, τότε το D A περιέχεται σ το D A, και επιπλέον A DA = A, ή 103

3.2 Τελεσ τές Dirac και Twistor ισ οδύναμα A A. Για την σ υζυγία και την κλεισ τότητα του A, ισ χύει το θεώρημα von Neumann, Ā = A A. Ο A καλείται αυτοσ υζυγής αν A = A. Οι αυτοσ υζυγείς τελεσ τές είναι επίσ ης κλεισ τοί, A = Ā. Ακόμα, ο τελεσ τής A καλείται ουσ ιωδώς αυτοσ υζυγής αν η κλεισ τή θήκη του είναι αυτοσ υζυγής, Ā = A. Ορισμός. Αν B S το σ ύνολο των σ υνόλων Borel σ τον S C, που σ χηματίζει μια σ-άλγεβρα των σ τοιχείων του, και Proj H το σ ύνολο των προβολών σ τον μιγαδικό χώρο Hilbert H, τότε το μιγαδικό φασ ματικό μέτρο F είναι μια απεικόνισ η F : B S Proj H με ιδιότητες: i. F = 0, F S = Id H, ii. αν {B n } n N μια οικογένεια ξένων σ υνόλων Borel, τότε F n=1 B n = n=1 F B n. Ισ οδύναμα, η απεικόνισ η F είναι φασ ματικό μέτρο αν και μόνο αν: 1. F S = Id H, 2. x, y H, η απεικόνισ η µ : B S S που ορίζεται ως µ B = F B x, y B B S είναι μιγαδικό μέτρο. Τότε, οποιαδήποτε μετρήσ ιμη σ υνάρτησ η f : S C μπορεί να ολοκληρωθεί ως προς ένα φασ ματικό μέτρο, f s df s. Η τιμή του ολοκληρώματος είναι ένας τελεσ τής S σ τον χώρο Hilbert H, ο οποίος είναι φραγμένος αν η f είναι φραγμένη, και ισ χύει, επιπλέον, ότι S f s df s x, y = f s dµ s [101, 102, 103]. S Εσ τω D A ο τελεσ τής Dirac σ την Riemannian πολλαπλότητα M n, g, η οποία είναι εφοδιασ μένη με μια δομή spin C και μια σ ύνδεσ η A σ την δέσ μη ορίζουσ ας της δομής spin C. Ο χώρος Γ c S όλων των τομών της spinorial δέσ μης με σ υμπαγή φορέα έχει το βαθμωτό γινόμενο ˆ ψ 1, ψ 2 = ψ 1 x, ψ 2 x dm n, 3.69 M n όπου το ολοκλήρωμα γίνεται επί του φασ ματικού μέτρου. Αν L 2 S το σ υμπλήρωμα του χώρου αυτού, ο τελεσ τής Dirac D A είναι σ υμμετρικός σ τον L 2 S με πεδίο ορισ μού D D A = Γ c S. Πρόταση 3.26. Αν η f είναι λεία σ υνάρτησ η ορισ μένη σ την πολλαπλότητα M n, grad f ο σ τροβιλισ μός της και ψ ένα spinorial πεδίο, τότε D A f ψ = fd A ψ + grad f D A ψ. 3.70 Απόδειξη. Εξ ορισ μού, εκτελώντας τον υπολογισ μό, έχουμε: D A f ψ = n e i A e i f ψ = i=1 n e i e i f ψ + f A e i ψ = grad f ψ + fd A ψ. i=1 Εσ τω DA ο σ υζυγής τελεσ τής του D A. Στο πεδίο ορισ μού D DA, εισ άγεται η νόρμα N ψ = ψ 2 + DA ψ 2, 3.71 όπου η νόρμα σ τον χώρο Hilbert L 2. Τότε, αποδεικνύονται τα εξής [95, 97]: Αν ο Γ c S D D A είναι πυκνός ως προς τη νόρμα N, τότε ο D A είναι ουσ ιωδώς αυτοσ υζυγής. Ο χώρος Γ c S είναι πυκνός σ τον D c DA ως προς την νόρμα N, όπου D c D A = {ψ D D A : ο ψ έχει σ υμπαγή φορέα}. Αν η M n, g είναι πλήρης Riemannian πολλαπλότητα, τότε ο D c DA είναι πυκνός σ το D DA ως προς την νόρμα N. 104

3.2 Τελεσ τές Dirac και Twistor Κατά σ υνέπεια, καταλήγουμε σ το εξής: Πρόταση 3.27. Εσ τω M n, g πλήρης Riemannian πολλαπλότητα με δομή spin C. Τότε, ο τελεσ τής Dirac D A είναι ουσ ιωδώς αυτοσ υζυγής σ τον χώρο L 2 S. Επιπλέον, οι πυρήνες των τελεσ τών D A και DA 2 σ υμπίπτουν σ τον L2. 3.2.6 Κάτω φράγμα των ιδιοτιμών των τελεσ τών Dirac και Dirac-Witten Οι έννοιες των τελεσ τών Dirac που εισ ήχθησ αν προηγουμένως, σ τα πλαίσ ια μιας Riemannian πολλαπλότητας, γενικεύονται και σ ε ψευδο-riemannian πολλαπλότητες, και προκύπτουν ανάλογες διαφοροποιήσ εις [104]. 3.2.6.1 Ψευδο-Riemannian πολλαπλότητες και χωροειδείς υποπολλαπλότητες Εσ τω N n+m μια n + m-διάσ τατη ψευδο-riemannian πολλαπλότητα με μετρική g, της οποίας το signature είναι 1,..., 1, 1,..., 1. Θεωρούμε επίσ ης την n-διάσ τατη χωροειδή υποπολλαπλότητα }{{}}{{} n m με επαγόμενη Riemannian μετρική g, καθώς και τις σ υνδέσ εις Levi-Civita και των N n+m και M n, αντίσ τοιχα. Για κάθε σ ημείο p N n+m θεωρούμε ορθοκανονικό frame 31 {e α }, με 1 α n + m του χώρου T p N n+m, όπου το e A, n + 1 A n + m είναι κάθετο, και το e i, 1 i n εφαπτόμενο σ την M. Αν {ω α } η δυϊκή βάσ η της {e α }, η ψευδο-riemannian μετρική της N n+m τοπικά θα έχει τη μορφή [105] g = n i=1 ω i n+m 2 A=n+1 όπου οι 1-μορφές της σ ύνδεσ ης ω β α ικανοποιούν τη σ χέσ η Εχουμε ω A 2, 3.72 e α = e β ω β α. 3.73 ω αβ = g αγ ω γ β = ε αω α β, ω α = g αβ ω β = ε α ω α, 3.74 όπου g αβ τα σ τοιχεία του μετρικού τανυσ τή της πολλαπλότητας N n+m, και { 1, αν 1 α n ε α = 1, αν n + 1 α n + m. Σύμφωνα με τα ανωτέρω, οι εξισ ώσ εις δομής της πολλαπλότητας N n+m είναι οι: 3.75 dω α = ε β ω αβ ω β, ω αβ = ω βα, 3.76a dω βα = ε γ ω βγ ω γα + 1 2 ε γε δ Rβαγδ ω γ ω δ. 3.76b 31 Χρησ ιμοποιούμε τους εξής δείκτες, για να διακρίνουμε τα σ τοιχεία κατά τo signature της μετρικής: 1 α, β,... n + m, 1 i, j, k,... n, n + 1 A, B, C,... n + m. 105

3.2 Τελεσ τές Dirac και Twistor Ο τανυσ τής καμπυλότητας R αβγδ, ο τανυσ τής Ricci Rαβ και η βαθμωτή καμπυλότητα R της N δίνονται από τις σ χέσ εις [105] R X, Y Z = X Y Z Y X Z [X,Y ] Z, X, Y, Z Γ T N R αβγδ = g R eγ, e δ e β, e α = gασ Rσ βγδ Ric Xx, Y =ε α g R eα, X Y, e α 3.77 R αβ = R γ αγβ = ε γ R αγβγ R =ε α R eα, e α = g αβ Rαβ = ε α ε γ Rαγαγ. ενώ αντίσ τοιχα o τανυσ τής καμπυλότητας R ijkl, ο τανυσ τής Ricci Rij και η βαθμωτή καμπυλότητα R μπορούν να ορισ θούν και σ την υποπολλαπλότητα M n. Oι εξισ ώσ εις Gauss, Ricci και Codazzi για την χωροειδή υποπολλαπλότητα M n δίνουν [106] τις σ χέσ εις R ikl = R ijkl + p Aik p Ajl p Ail p Ajk R ABkl = R ABkl p Aik p Bil p Ail p Bik R =p Ajik p Aikj, 3.78 όπου p Aij := g i e A, e j τα σ τοιχεία της δεύτερης θεμελιώδους τετραγωνικής μορφής της M n, και p Aijk η σ υναλλοίωτη παράγωγος του p Aij που ορίζεται ως p Aijk ω k = dp Aij p Akj ω ki p Aik ω kj + p Bij ω BA. 3.79 Σύνδεσ η spin Εσ τω Cl n,m η άλγεβρα Clifford ως προς την ψευδο-riemannian μετρική g 3.74 βλ. [107, 108]. Για οποιοδήποτε διανυσ ματικό πεδίο X Γ T N n+m, έχουμε e α e β X = g e α, X e β g e β, X e α, 3.80 όπου e α e β η κανονική βάσ η της άλγεβρας Lie so n, m. Η σ ύνδεσ η Levi-Civita σ την ψευδο- Riemannian πολλαπλότητα N n+m επάγει την σ ύνδεσ η σ την κύρια SO n, m-δέσ μη με την 1-μορφή σ ύνδεσ ης ω = 1 2 ε αε β ω αβ e α e β. 3.81 Η τοπική spinorial σ ύνδεσ η της N n+m προκύπτει ως lift της σ ύνδεσ ης της κύριας SO n, m-δέσ μης ως ϕ = dϕ 1 4 ε αε β ω αβ e α e β ϕ. 3.82 Εσ τω ότι η M n είναι μια υποπολλαπλότητα spin, της οποίας η κάθετη δέσ μη ξ σ την N n+m φέρει επίσ ης spin. Εσ τω K η μέγισ τη maximal σ υμπαγής υποομάδα της ομάδας Spin 0 n, m, η οποία είναι η σ υνεκτική σ υνισ τώσ α βλ. [109] της ομάδας spin, και έσ τω S η τοπική spinorial δέσ μη της N n+m. Αφού το διάγραμμα K i Spin 0 n, m 3.83 Ad SO n SO m Ad i SO 0 n, m είναι μεταθετικό, η επαγόμενη spinorial δέσ μη S := S M n ορίζεται ολικά σ την M n. Εσ τω και οι σ υνδέσ εις spin σ την S. Υπάρχει [107, 108] ένα Ερμητιανό εσ ωτερικό γινόμενο, σ την S, το οποίο είναι σ υμβατό με την τοπική spinorial σ ύνδεσ η. Επιπλέον, για κάθε διανυσ ματικό πεδίο X Γ T N n+m και για κάθε ψ, ϕ Γ S, έχουμε Xϕ, ψ = ϕ, Xψ τοπικά. 106

3.2 Τελεσ τές Dirac και Twistor Παρατήρηση. Αυτό το εσ ωτερικό γινόμενο δεν είναι θετικά ορισ μένο, και όλα αυτά τα δεδομένα είναι ολικά σ την M n. Ακόμα, από το διάγραμμα 3.83 σ υνεπάγεται ότι υπάρχει και ένα θετικά ορισ μένο Ερμητιανό εσ ωτερικό γινόμενο σ την S, το οποίο ορίζεται ως όπου, = ω, 3.84a ω = i mm 1 2 e n+1 e n+m 3.84b το μιγαδικό σ τοιχείο όγκου της κάθετης δέσ μης επί της M n, με ω 2 = 1. Ετσ ι, ωϕ, ωψ = ϕ, ψ που σ υνεπάγεται ότι ωϕ, ψ = ϕ, ωψ. Προκύπτει, έτσ ι, το ακόλουθο Λήμμα [110]: 3.85a 3.85b Λήμμα 3.28. Εσ τω ότι η M n είναι μια υποπολλαπλότητα spin, της οποίας η κάθετη δέσ μη είναι επίσ ης spin. Τότε, επί της M n έχουμε τα εξής: 1. Αν m = 2k + 1 περιττός, τότε ωe i = e i ω, ωe A = e A ω, και επιπλέον e i ϕ, ψ = ϕ, e i ψ, e A ϕ, ψ = ϕ, e A ψ 3.86 2. Αν m = 2k άρτιος, τότε ωe i = e i ω, ωe A = e A ω, και επιπλέον e i ϕ, ψ = ϕ, e i ψ, e A ϕ, ψ = ϕ, e A ψ. 3.87 Απόδειξη. Βλ. [110]. Ορίζοντας την δεύτερη θεμελιώδη τετραγωνική μορφή της M n ως p Aij = g i e A, e j = ωja e i, 3.88 τότε προκύπτει η ακόλουθη spinorial σ χέσ η Gauss i ϕ = i ϕ + 1 2 ω Aj e i e A e j ϕ = i ϕ + 1 2 p Aije j e A ϕ. 3.89 Αποδεικνύεται [110] ότι Λήμμα 3.29. Αν η M n είναι μια υποπολλαπλότητα spin, της οποίας η κάθετη δέσ μη είναι επίσ ης spin, τότε για το κάθετο σ τοιχείο όγκου ω, έχουμε ότι i ω = p Aij e i e A ω. 3.90 Λήμμα 3.30. Αν η M n είναι μια υποπολλαπλότητα spin, της οποίας η κάθετη δέσ μη είναι επίσ ης spin, τότε η σ ύνδεσ η είναι σ υμβατή με το εσ ωτερικό γινόμενο,. 107

3.2 Τελεσ τές Dirac και Twistor Απόδειξη. Αφού ωe j e A = e j e A ω για κάθε m, τότε e i ϕ, ψ =e i ωϕ, ψ = i ωϕ, ψ + ω i ϕ, ψ + ωϕ, i ψ = p Aij e j e A ωϕ, ψ + i ϕ, ψ + 1 2 p Aijωe j e A ϕ, ψ + ϕ, i ψ + 1 2 ωϕ, p Aije j e A ψ = i ϕ, ψ + ϕ, i ψ. Ορισμός 3.31 Τελεσ τής Dirac-Witten. Εσ τω N n+m μια n + m-διάσ τατη ψευδο-riemannian πολλαπλότητα και M n μια n-διάσ τατη χωροειδής υποπολλαπλότητα spin της N n+m, η κάθετη δέσ μη της οποίας είναι επίσ ης spin. Ο τελεσ τής Dirac-Witten σ την M n ορίζεται ως D = i e i i. 3.91 Ο εσ ωτερικός τελεσ τής Dirac της M n που δρα σ την S ορίζεται ως D = i e i i. 3.92 Παρατήρηση 3.32. Οι τελεσ τές 3.91 και 3.92 σ υνδέονται μεταξύ τους με την σ χέσ η D = e i i + 1 2 p Aije j e A = D 1 2 P Ae A, 3.93 όπου P A = n i=1 p Aii. Πρόταση 3.33. Εσ τω ότι η M n είναι μια σ υμπαγής πολλαπλότητα χωρίς σ ύνορο. Τότε, ισ χύουν οι εξής προτάσ εις: 1. Ο τελεσ τής Dirac D είναι αυτοσ υζυγής ως προς το θετικά ορισ μένο εσ ωτερικό γινόμενο του χώρου L 2,,. M 2. Ο τελεσ τής Dirac-Witten D είναι αυτοσ υζυγής ως προς το θετικά ορισ μένο εσ ωτερικό γινόμενο του χώρου L 2, M,, αν η σ υνδιάσ τασ η codimension της M n είναι περιττή. Απόδειξη. Εφαρμόζοντας τους ορισ μούς, με απευθείας υπολογισ μό, έχουμε ότι: e i e i ϕ, ψ = i e i ϕ, ψ + e i i ϕ, ψ + e i ϕ, i ψ = i e i ϕ, ψ + Dϕ, ψ ϕ, Dψ. Ορίζοντας το διανυσ ματικό πεδίο X ως X = e i ϕ, ψ e i, έχουμε divx = ḡ i X, e i = ḡ i e j ϕ, ψ e j, e i = ei e i ϕ, ψ i e i ϕ, ψ, άρα ο τελεσ τής Dirac D είναι αυτοσ υζυγής. Χρησ ιμοποιώντας την σ χέσ η 3.93 που σ υνδέει τους D και D, προκύπτει ότι divx = Dϕ, ψ ϕ, Dψ + 1 2 P A e A ϕ, ψ 1 2 P A ϕ, e A ψ. Για περιττό m, το άθροισ μα των δύο τελευταίων όρων μηδενίζεται, άρα τότε ο τελεσ τής D είναι αυτοσ υζυγής. 108

3.2 Τελεσ τές Dirac και Twistor Θεώρημα 3.34. Αν η σ υνδιάσ τασ η της M n είναι περιττή, τότε D 2 = 1 + R ijij 1 R ijaj e i e A + 1 4 2 4 i<j i,j,a {α,β} ={i,a} α<β όπου = j + p Aij e i e A ϕ ο formal 32 σ υζυγής τελεσ τής του. Απόδειξη. Εχουμε: R iaαβ e i e A e α e β, 3.94 D 2 ϕ =e i i ej j ϕ = e i i e j j ϕ + e i e j i j ϕ =p Aij e i e A j ϕ + 1 2 e ie j i j j i ϕ i i ϕ = 1 ϕ 8 R ijαβ e i e j e α e β ϕ = 1 ϕ R iγαβ e i e γ e α e β ϕ 1 8 8 R iααβ e i e α e α e β ϕ 1 8 R iβαβ e i e β e α e β ϕ γ α β + 1 8 R iaαβ e i e A e α e β ϕ = 1 ϕ 4 R iβαβ e i e α g ββ ϕ + 1 8 R iaiβ e i e A e i e β ϕ + 1 8 R iaaβ e i e A e A e β ϕ + 1 R iaαβ e i e A e α e β ϕ 8 {α,β} ={i,a} = 1 ϕ 4 R iβαβ e i e α g ββ ϕ 1 8 R iaiβ e A e β g ii ϕ + 1 8 R BiBβ e i e β g BB ϕ + 1 R iaαβ e i e A e α e β ϕ 8 {α,β} ={i,a} = 1 ϕ + 4 R iβiβ g ii g ββ ϕ 1 4 R iβaβ e i e A g ββ ϕ 1 8 R iaia g AA g ii ϕ 1 4 R iaij e A e j g ii ϕ 1 8 R BiBi g ii g BB ϕ 1 4 R BiBA e i e A g BB ϕ + 1 R iaαβ e i e A e α e β ϕ 8 = 1 ϕ + R ijij ϕ 1 R ijaj e i e A ϕ + 1 4 2 4 i,j i,j,a {α,β} ={i,a} {α,β} ={i,a} α<β R iaαβ e i e A e α e β ϕ. Οι εξισ ώσ εις 3.78 σ υνεπάγονται ότι i,j R ijij = µ, και j R ijaj = π ia, όπου µ = 1 2 R + trpa 2 p A 2, π ia = j p Aij i trp A, 3.95 επομένως, η 3.94 γράφεται ισ οδύναμα ως D 2 = 1 + µ π ia e i e A + 1 2 4 i,a {α,β} ={i,a} α<β R iaαβ e i e A e α e β. 3.96 32 Στην υποενότητα αυτή υπονοείται η διάκρισ η της formal σ υζυγίας έναντι της απλής σ υζυγίας, εκτός αν δηλώνεται σ αφώς δηλαδή εκτός παρένθεσ ης, προς αποφυγή προβλημάτων πληρότητας των ορισ μών όσ ον αφορά μη φραγμένους τελεσ τές. Για μια εμπερισ τατωμένη σ υζήτησ η όσ ον αφορά την σ ημασ ία της διάκρισ ης αυτής βλ. Ch. VII [112], 4.4 [99]. 109

3.2 Τελεσ τές Dirac και Twistor Η υποπολλαπλότητα M n ικανοποιεί την γενικευμένη σ υνθήκη κυρίαρχης ενέργειας generalized dominant energy condition, βλ. [113] αν µ U := πia 2 + 1 R 2 iaαβ 2. 3.97 i,a {α,β} ={i,a} α<β 3.2.6.2 Κάτω φράγμα ιδιοτιμών του τελεσ τή Dirac σ ε Riemannian πολλαπλότητες Πριν εξετάσ ουμε το κάτω φράγμα των ιδιοτιμών του τελεσ τή Dirac-Witten σ ε ψευδο-riemannian πολλαπλότητες, θα δούμε πώς προκύπτει το κάτω φράγμα του τελεσ τή Dirac σ ε Riemannian πολλαπλότητες. Συγκεκριμένα, για μια σ υμπαγή Riemannian πολλαπλότητα M n, g εφοδιασ μένη με δομή spin και έναν αντίσ τοιχο τελεσ τή Dirac D, ο οποίος καθορίζεται πλήρως από την σ ύνδεσ η Levi-Civita, ολοκληρώνοντας την σ χέσ η 3.58, λαμβάνουμε την ανισ ότητα λ 2 1 4 R 0 για κάθε ιδιοτιμή λ του τελεσ τή Dirac, όπου R 0 = min m {R m : m M n } το ελάχισ το της βαθμωτής καμπυλότητας. Ωσ τόσ ο, η εκτίμησ η αυτή δεν είναι βέλτισ τη [105], και έτσ ι εισ άγεται το όριο Friedrich με την ακόλουθη πρότασ η: Πρόταση 3.35. Εσ τω M n, gσ υμπαγής Riemannian πολλαπλότητα εφοδιασ μένη με δομή spin, και λ μια ιδιοτιμή του τελεσ τή Dirac D. Τότε λ 2 1 n 4 n 1 R 0. 3.98 Επιπλέον, αν το λ = ± 2 1 n n 1 R 0 είναι μια ιδιοτιμή του τελεσ τή Dirac και ψ ο αντίσ τοιχος ιδιοspinor, τότε ο ψ είναι λύσ η της πεδιακής εξίσ ωσ ης X ψ = και η βαθμωτή καμπυλότητα R είναι σ ταθερή. R 0 n n 1 X ψ 3.99 Απόδειξη. Θεωρούμε, αντί για την σ ύνδεσ η Levi-Civita, μια κατάλληλα τροποποιημένη σ υναλλοίωτη παράγωγο σ την spinorial δέσ μη. Εσ τω f : M n R 1, και έσ τω η σ υναλλοίωτη παράγωγος f σ την spinorial δέσ μη S με f X ψ = Xψ + fx ψ. Από τις αλγεβρικές ιδιότητες του γινομένου Clifford έπεται ότι η f είναι μια μετρική σ υναλλοίωτη παράγωγος σ την spinorial δέσ μη S, X ψ, ψ 1 = f X ψ, ψ 1 και έσ τω + ψ, f X ψ 1. Ο αντίσ τοιχος τελεσ τής Laplace θα είναι ο f = f ψ 2 = n f e i f e i i=1 n f ei ψ 2 = i=1 n div e i f e i i=1 n ei ψ + fe i ψ 2 το μήκος της 1-μορφής f ψ. Υπολογίζουμε τον τελεσ τή D f 2. Εχουμε D f 2 = D 2 2fD grad f + f 2, ενώ μέσ ω της 3.58, D f 2 = + 1 4 R + 2fD grad f + f 2. Ακόμα, n n f = ei + fe i ei + fe i div e i ei + fe i = 2fD D f 2 i=1 i=1 = + 1 4 R + 2fD grad f + nf 2. i=1 110

3.2 Τελεσ τές Dirac και Twistor Συνδυάζοντας τα ανωτέρω, λαμβάνουμε D f 2 = f + 1 4 R+1 n f 2, και κατόπιν ολοκλήρωσ ης σ την M n, λαμβάνουμε ˆ ˆ D f 2 ψ, ψ = f ψ 2 + 1 4 R ψ 2 + 1 n f 2 ψ 2. M n M n Εσ τω ότι Dψ = λψ. Εισ άγοντας τη σ υνάρτησ η f = 1 nλ σ την παραπάνω σ χέσ η, λαμβάνουμε ˆ n 1 λ 2 ψ 2 L n = λ 2 n 2 ψ + 1 n λ2 L 2 n ψ 2 L 2 + 1 4 M n R ψ 2, η οποία μπορεί να μετασ χηματισ θεί αλγεβρικά ως n 1 λ 2 ψ 2 L n = λ 2 n 2 ψ + 1 L 2 4 ˆ M n R ψ 2 1 4 R 0 ψ 2 L, 2 n δηλαδή λ 2 1 4 n 1 R 0. Από την σ υνοριακή περίπτωσ η της εκτίμησ ης αυτής προκύπτουν τα υπόλοιπα ζητούμενα. Ακόμα, προκύπτει βλ. [114, 115, 116] για απόδειξη ότι Πρόταση 3.36. Αν S 2, g Riemannian μετρική σ την S 2, τότε για την πρώτη ιδιοτιμή του τελεσ τή Dirac, έχουμε ότι λ 2 4π vol S 2, g. 3.100 Τέλος, για την περίπτωσ η μιας πολλαπλότητας Kähler, προκύπτει [117] το εξής αποτέλεσ μα: Πρόταση 3.37. Αν M 2k, J, g σ υμπαγής πολλαπλότητα Kähler με μιγαδική δομή J : T M 2k T M 2k που φέρει δομή spin, και αν λ μια ιδιοτιμή του τελεσ τή Dirac, τότε { 1 λ 2 k+1 4 k R 0, αν k = dim C M περιττός 1 k 4 k 1 R 0, αν k = dim C M άρτιος. 3.101 3.2.6.3 Κάτω φράγμα ιδιοτιμών του τελεσ τή Dirac-Witten Στην γενικότερη ψευδο- Riemannian περίπτωσ η, έχουμε τα εξής: Πρόταση 3.38. Εσ τω M n σ υμπαγής χωροειδής υποπολλαπλότητα spin μιας ψευδο-riemannian πολλαπλότητας N n+m, και έσ τω ότι η κάθετη δέσ μη της M n φέρει δομή spin και είναι περιττής διάσ τασ ης. Επιπλέον, έσ τω λ οποιαδήποτε ιδιοτιμή του τελεσ τή Dirac-Witten D με αντίσ τοιχο ιδιοspinor φ. Αν ισ χύει η γενικευμένη σ υνθήκη κυρίαρχης ενέργειας 3.97, τότε M n λ 2 n 2 n 1 inf µ U. 3.102 M Απόδειξη. Παρομοίως με την αντίσ τοιχη απόδειξη για την Riemannian περίπτωσ η, από την 3.96 λαμβάνουμε: ˆ ˆ Dφ 2 φ 2 1 + 2 µ U φ 2. 3.103 M n 111

3.3 Twistors και Killing Spinors σ ε ψευδο-riemannian και σ ύμμορφες πολλαπλότητες Ορίζοντας, σ ε αναλογία με πριν, την τροποποιημένη σ ύνδεσ η [105] λ i = i + λ n e i, για τον ιδιοspinor φ που αντισ τοιχεί σ την ιδιοτιμή λ, έχουμε λ φ 2 = φ 2 λ 2 n φ 2, από όπου, σ ε σ υνδυασ μό με την 3.103, λαμβάνουμε την 3.102. Αν ισ χύει η ισ ότητα, τότε από την 3.103 έπεται ότι λ φ = 0 και η µ U είναι μη αρνητική σ ταθερά. 3.3 Twistors και Killing Spinors σε ψευδο-riemannian και σύμμορφες πολλαπλότητες Στην υποενότητα αυτή θα μελετήσ ουμε τους twistors και Killing spinors, οι οποίοι αποτελούν μια ειδική κατηγορία twistors που είναι ταυτόχρονα και ιδιοspinors των τελεσ τών Dirac [68], και έχουν ιδιαίτερα σ ημαντικές εφαρμογές σ την μαθηματική φυσ ική, όπως σ την απόδειξη του θεωρήματος θετικής ενέργειας [118] χρησ ιμοποιώντας φαντασ τικούς Killing spinors, καθώς επίσ ης και διότι ορίζουν απειροσ τές ισ ομετρίες σ την ημι-riemannian υπερσ υμμετρική γεωμετρία υπεργεωμετρία [120]. Οι twistor spinors αρχικά εισ ήχθησ αν [40, 121, 122] ως λύσ εις μιας σ ύμμορφα αναλλοίωτης spinorial πεδιακής εξίσ ωσ ης εξίσ ωσ η twistor σ τα πλαίσ ια της γενικής σ χετικότητας, όπως θα δούμε παρακάτω, ενώ σ την διαφορική γεωμετρία η εξίσ ωσ η twistor βλ. Πόρισ μα 3.15 αρχικά ελογίσ θη ως μια σ υνθήκη ολοκληρωσ ιμότητας της κανονικής σ χεδόν-μιγαδικής δομής του χώρου twistor μιας προσ ανατολισ μένης 4-διάσ τατης Riemannian πολλαπλότητας [123]. Αξίζει να σ ημειωθεί ότι ενώ οι Riemannian γεωμετρίες με Killing spinors έχουν μελετηθεί εντατικά, οι λύσ εις των twistor και Killing εξισ ώσ εων σ την ψευδο-riemmanian περίπτωσ η για γενικότερες πολλαπλότητες δεν είναι σ ε μεγάλο βαθμό γνωσ τές, και τα κυριότερα αποτελέσ ματα είναι σ τα [124, 125, 126, 127]. Στη σ υνέχεια, έμφασ η θα δοθεί σ τoυς twistors και Killing spinors σ τις ημι-riemannian και Lorentzian πολλαπλότητες με spin, καθώς επίσ ης και σ τα διανυσ ματικά πεδία Killing σ την Z 2 -διαβαθμισ μένη ημι- Riemannian γεωμετρία σ ε μια ψευδο-riemannian πολλαπλότητα spin [120], καθώς τα αποτελέσ ματα που προκύπτουν έχουν ιδιαίτερη σ ημασ ία σ την θεωρία twistor. 3.3.1 Riemannian πολλαπλότητες με Killing spinors Από την Πρότασ η 3.35, ένα spinorial πεδίο ψ που αποτελεί ιδιοspinor για την ιδιοτιμή ± n n 1 R 0 ικανοποιεί την ισ χυρότερη πεδιακή εξίσ ωσ η 3.99. Αυτό οδηγεί σ την γενική έννοια του Killing spinor. Ορισμός 3.39. Ενα spinorial πεδίο ψ ορισ μένο σ ε μια Riemannian πολλαπλότητα spin M n, g είναι Killing spinor αν υπάρχει μιγαδικός αριθμός µ C τέτοιος ώσ τε X ψ = µx ψ 3.104 για κάθε διάνυσ μα X, Y T M. Τότε ο µ καλείται αριθμός Killing του ψ. Από τον Ορισ μό 3.39 προκύπτουν οι εξής βασ ικές ιδιότητες των Killing spinors: Πρόταση 3.40. Εσ τω M n, g σ υνεκτική Riemannian πολλαπλότητα. Τότε, ισ χύουν οι εξής προτάσ εις: 1. Ενας μη μηδενικός Killing spinor δεν έχει ρίζες. 112

3.3 Twistors και Killing Spinors σ ε ψευδο-riemannian και σ ύμμορφες πολλαπλότητες 2. Κάθε Killing spinor ψ ανήκει σ τον πυρήνα του τελεσ τή twistor T. Επιπλέον, ο ψ είναι ιδιοspinor του τελεσ τή Dirac, D ψ = nµψ. 3. Αν ο ψ είναι Killing spinor που αντισ τοιχεί σ ε έναν πραγματικό αριθμό Killing µ R, τότε το διανυσ ματικό πεδίο n V ψ = e i ψ, ψ e i 3.105 είναι ένα διανυσ ματικό πεδίο Killing σ την Riemannian πολλαπλότητα M n, g. i=1 Απόδειξη. Ενας Killing spinor περιορισ μένος σ την καμπύλη γ t, ψ t = ψ γ t, ικανοποιεί την πρωτοβάθμια διαφορική εξίσ ωσ η d ψ t = µ γ t ψ t dt κατά μήκος της καμπύλης γ t. Αν ψ 0 = 0, τότε ψ γ t 0, από όπου προκύπτει η ιδιότητα 1. Από την εξίσ ωσ η 3.104, έχουμε n n Dψ = e i ei ψ = µ e i e i ψ = nµψ, i=1 i=1 i=1 από όπου προκύπτει ότι n T ψ = e i ei ψ + 1 n e i Dψ = n e i µe i ψ µe i ψ = 0. Για ένα σ ημείο m 0 M n και ένα τοπικό ορθοκανονικό frame {e 1,..., e n } με ei m 0 = 0, υπολογίζουμε την σ υναλλοίωτη παράγωγο X V ψ : n n n n X V ψ = e i X ψ, ψ e i + e i ψ, X ψ e i = µ e i X ψ, ψ e i + µ e i ψ, X ψ e i =µ i=1 i=1 n e i X Xe i ψ, ψ e i i=1 από όπου προκύπτει ότι g X V ψ, Y = µ Y X XY ψ, ψ άρα η g X V ψ, Y είναι αντισ υμμετρική ως προς τα X, Y, ιδιότητα που χαρακτηρίζει τα διανύσ ματα Killing μιας Riemannian πολλαπλότητας. i=1 i=1 i=1 3.3.1.1 Αναγκαίες σ υνθήκες ύπαρξης Killing spinors σ ε Riemannian πολλαπλότητες Από τα παραπάνω, καθίσ ταται εμφανές ότι δεν επιδέχονται όλες οι Riemannian πολλαπλότητες Killing spinors, και ομοίως, κάθε µ C δεν είναι αριθμός Killing. Οι αναγκαίες σ υνθήκες ύπαρξης Killing spinors σ ε μια Riemannian πολλαπλότητα προκύπτουν ως εξής: Εσ τω τα σ τοιχεία του τανυσ τή καμπυλότητας της πολλαπλότητας, R ijkl = g ei ej e k ej ei e k [ei,e j]e k, e l, και τα σ τοιχεία του τανυσ τή Ricci R ij = Rija a. Από αυτούς, ορίζονται οι τανυσ τές K και W ως K ij = 1 R n 2 2 n 1 g ij R ij 3.106a W abcd = R abcd g bd K ac g ac K bd + g bc K ad + g ad K bc, C X, Y := X K Y Y K X. 3.106b 113

3.3 Twistors και Killing Spinors σ ε ψευδο-riemannian και σ ύμμορφες πολλαπλότητες όπου K ο 2, 0-τανυσ τής Schouten, C ο 2, 1-τανυσ τής Cotton-York ο οποίος λαμβάνεται από την αντισ υμμετροποίησ η της σ υναλλοίωτης παραγώγου του τανυσ τή Schouten, και ο W είναι ο τανυσ τής Weyl της Riemannian πολλαπλότητας. Λόγω των σ υμμετριών του, ο τανυσ τής Weyl 33 μπορεί να θεωρηθεί ως ένας μορφισ μός δεσ μών, ορισ μένος σ τις 2-μορφές της πολλαπλότητας M n, g ως W : Λ 2 M n Λ 2 M n, W e i e j = k<l W ijkl e k e l. 3.107 Αντίσ τοιχα, ο τανυσ τής Schouten μπορεί να θεωρηθεί ως ενδομορφισ μός K : T M n T M n ως K X Y := K X, Y. Ετσ ι, έχουμε: Πρόταση 3.41. Εσ τω M n, g σ υνεκτική Riemannian πολλαπλότητα spin, με έναν μη τετριμμένο Killing spinor ψ με αριθμό Killing µ. Τότε: 1. Για κάθε σ ημείο p M n της πολλαπλότητας, ισ χύει ότι µ 2 1 = 4nn 1 R. Ειδικότερα, η βαθμωτή καμπυλότητα της M n, g είναι σ ταθερή και το µ είναι είτε πραγματικός, είτε αμιγώς φαντασ τικός. 2. Η M n, g είναι πολλαπλότητα Einstein. 3. Για κάθε 2-μορφή w Λ 2 M n, ισ χύει ότι W w 2 ψ = 0. Απόδειξη. Από την σ χέσ η 3.104 έχουμε X Y ψ = µ X Y ψ + µ 2 Y X ψ, επομένως X Y Y X [X,Y ] ψ = µ 2 Y X X Y ψ. 3.108 Υπολογίζοντας το n a=1 e a R X, e a ψ, λαμβάνουμε n e a R X, e a ψ = µ 2 a=1 Από την σ χέσ η 3.35, έχουμε ότι n a=1 n a=1 e a e a X X e a ψ = 2 1 n µ 2 ψ. e a R X, e a ψ = 1 Ric X ψ, 2 επομένως, Ric X ψ = 4 n 1 µ 2 X ψ, και αφού ο ψ δεν μηδενίζεται για οποιοδήποτε σ ημείο, σ υνεπάγεται ότι Ric X = 4 n 1 µ 2 X. 3.109 Ως εκ τούτου,η M n, g είναι πολλαπλότητα Einstein με βαθμωτή καμπυλότητα R = 4n n 1 µ 2. Ο τανυσ τής καμπυλότητας R X, Y σ την spinorial δέσ μη S, σ χετίζεται με τον τανυσ τή καμπυλότητας R X, Y Z της Riemannian πολλαπλότητας M n, g μέσ ω της σ χέσ ης R X, Y ψ = 1 4 n e a R X, Y e a ψ. 3.110 a=1 33 Ενας εναλλακτικός ορισ μός του τανυσ τή Weyl είναι μέσ ω του γινομένου Kulkarni Nomizu, ως W = R g K, όπου για δύο 2, 0-τανυσ τές b, h, το γινόμενο Kulkarni Nomizu ορίζεται ως ο 4, 0-τανυσ τής b h X, Y, Z, V := h X, Z b Y, V + h Y, V b X, Z h X, V b Y, Z h Y, Z b X, V. 114

3.3 Twistors και Killing Spinors σ ε ψευδο-riemannian και σ ύμμορφες πολλαπλότητες Κατά σ υνέπεια, αφού 4µ 2 = 1 nn 1 R, η σ χέσ η 3.108 γράφεται ως n R e a R X, Y e a + n n 1 Y X X Y ψ = 0, 3.111 a=1 και για έναν χώρο Einstein, η ποσ ότητα n R e a R X, Y e a + n n 1 Y X X Y a=1 σ υμπίπτει με τον τανυσ τή Weyl W X Y, επομένως W w 2 ψ = 0. Από την απόδειξη αυτή, προκύπτει η εξής γεωμετρική ιδιότητα για τις πολλαπλότητες που φέρουν Killing spinors: Πρόταση 3.42. Μια Riemannian πολλαπλότητα με spin, η οποία επιδέχεται Killing spinors ψ 0 με αριθμό Killing µ 0 είναι τοπικά ανάγωγη. Απόδειξη. Αν η M n μπορεί τοπικά να αναπαρασ ταθεί ως Riemannian γινόμενο της μορφής M n = M1 k M2 n k, μπορούμε να θεωρήσ ουμε διανύσ ματα X, Y εφαπτόμενα σ τις M1 k και M2 n k, αντίσ τοιχα. Αυτό σ ημαίνει ότι R X, Y Z = 0, και από την σ χέσ η 3.111 λαμβάνουμε ότι R X Y ψ = 0. Εφόσ ον µ 0, η βαθμωτή καμπυλότητα είναι διάφορη του μηδενός. Επιπλέον, αφού τα X, Y είναι ορθογώνια, σ υνεπάγεται ότι ψ = 0, άτοπο. Σύμφωνα με την Πρότασ η 3.41, υπάρχουν δύο είδη Killing spinors, ανάλογα με το αν ο αριθμός Killing είναι πραγματικός ή αμιγώς φαντασ τικός, με µ 0. Οι πραγματικοί Killing spinors για µ R αντισ τοιχούν σ ε πολλαπλότητα Einstein M n θετικής βαθμωτής καμπυλότητας R > 0, ενώ οι φαντασ τικοί Killing spinors για µ ir αντισ τοιχούν σ ε πολλαπλότητα Einstein M n αρνητικής βαθμωτής καμπυλότητας R < 0. Αφού R = 4n n 1 µ 2, οι πραγματικοί Killing spinors αντισ τοιχούν σ τους ιδιοspinors του τελεσ τή Dirac για την αντίσ τοιχη ιδιοτιμή ± n 4n 1 R. Παρατήρηση. Η πεδιακή εξίσ ωσ η 3.104 θα μπορούσ ε να γενικευθεί θεωρώντας το µ ως μιγαδική σ υνάρτησ η µ : M n C, ωσ τόσ ο, προκύπτει [128] ότι η θεώρησ η αυτή δεν αποτελεί γενίκευσ η: Πρόταση. Εσ τω M n, g σ υνεκτική πολλαπλότητα spin, και µ : M n C μια λεία σ υνάρτησ η, και έσ τω ψ μια μη τετριμμένη λύσ η της εξίσ ωσ ης 3.104. Αν το πραγματικό μέρος Re µ 0, τότε η µ είναι σ ταθερή και πραγματική, άρα ο ψ είναι πραγματικός Killing spinor. Σε μικρό πλήθος διασ τάσ εων n = dim M n, οι γεωμετρικές σ υνθήκες ύπαρξης πραγματικών ή φαντασ τικών Killing spinors είναι περιορισ τικές, και για n 4 προκύπτει ότι μόνο οι Riemannian χώροι σ ταθερής τμηματικής καμπυλότητας επιδέχονται τέτοιου είδους spinorial πεδία. Πρόταση 3.43. Εσ τω M 4, g σ υνεκτική Riemannian πολλαπλότητα spin με μη τετριμμένο Killing spinor ψ με αριθμό Killing µ 0. Τότε η M 4, g είναι χώρος σ ταθερής τμηματικής καμπυλότητας. Απόδειξη. Αναλύοντας τον Killing spinor ψ ως ψ = ψ + +ψ σ ύμφωνα με την ανάλυσ η της spinorial δέσ μης S = S + S, η εξίσ ωσ η 3.104 λαμβάνει την μορφή X ψ + = µxψ, X ψ = µxψ +. 3.112 Το σ ύνολο N = { m M 4 : ψ + m = 0 ή ψ m = 0 }, 3.113 115

3.3 Twistors και Killing Spinors σ ε ψευδο-riemannian και σ ύμμορφες πολλαπλότητες με N M 4 είναι ένα κλεισ τό υποσ ύνολο χωρίς εσ ωτερικά σ ημεία, καθώς αν είχε εσ ωτερικά σ ημεία, τότε θα υπήρχε ένα ανοικτό υποσ ύνολο U N M 4 σ το οποίο θα ίσ χυε ότι ψ + U = 0 που θα σ ήμαινε ότι ψ + U = 0, και αφού µ 0, ψ U = 0, δηλαδή ψ U = 0, το οποίο είναι άτοπο, σ ύμφωνα με την Πρότασ η 3.40. Κατά σ υνέπεια, το U := M 4 \ N είναι πυκνό ανοικτό υποσ ύνολο της M 4. Η σ υνθήκη 3 της Πρότασ ης 3.41 για τον τανυσ τή Weyl σ την M 4 λαμβάνει την μορφή W w 2 ψ + = 0, W w 2 ψ = 0. Ωσ τόσ ο, χρησ ιμοποιώντας την αναπαράσ τασ η του C 4 -προτύπου 4 = + 4 4 βλ. 2.2.1 εξ. 2.80 για λεπτομέρειες, προκύπτει ότι αν η 2 Λ 2 R 4 2-μορφή και ψ + + 4 και ψ 4 μη τετριμμένοι spinors, τότεη 2 ψ + = 0 = η 2 ψ η 2 = 0, δηλαδή η 2-μορφή η 2 είναι τετριμμένη. Κατά σ υνέπεια, ο τανυσ τής Weyl W μηδενίζεται σ το σ ύνολο M 4 \N. Ομως, αφού το M 4 \N είναι πυκνό, η M 4, g είναι 4-διάσ τατος χώρος Einstein με μηδενικό τανυσ τή Weyl, δηλαδή χώρος σ ταθερής τμηματικής καμπυλότητας. 3.3.2 Σύμμορφες γεωμετρίες σ ε ψευδο-riemannian και Weyl πολλαπλότητες Στην σ υνέχεια, θα παραθέσ ουμε σ υγκεντρωτικά ορισ μένα βασ ικά, χρήσ ιμα για την σ υνέχεια, θεωρήματα και ορισ μούς από την σ ύμμορφη γεωμετρία σ ε ψευδο-riemannian πολλαπλότητες. 3.3.2.1 Σύμμορφες ψευδο-riemannian πολλαπλότητες Μια σ ύμμορφη δομή σ ε μια ψευδο-riemannian πολλαπλότητα ορίζεται ως εξής: Ορισμός 3.44. Εσ τω M μια λεία πολλαπλότητα διάσ τασ ης n = p + q. Δύο ψευδο-riemannian μετρικές g και g με p + q-signature είναι ισ οδύναμες αν g = f g με f C M θετικά ορισ μένη λεία σ υνάρτησ η, δηλαδή η g προκύπτει από την g μέσ ω των σ ύμμορφων μετασ χηματισ μών. Μια σ ύμμορφη δομή c σ την M είναι η κλάσ η ισ οδυναμίας [g] των μετρικών. Τότε η M μαζί μια ορισ μένη σ ύμμορφη δομή, δηλαδή το ζεύγος M, c ορίζει μια σ ύμμορφη πολλαπλότητα. Παρατήρηση. Εφόσ ον η σ υνάρτησ η f C M είναι θετικά ορισ μένη, τα πρόσ ημα σ την μετρική δεν αλλάζουν, και έτσ ι το signature της [g] είναι καλώς ορισ μένο. Επιπλέον, η αιτιότητα διατηρείται [129] με την σ ύμμορφη ισ οδυναμία, και έτσ ι μια σ ύμμορφη πολλαπλότητα δύναται να είναι χωρικά και χρονικά προσ ανατολίσ ιμη. Ως εκ τούτου, υπάρχουν χωρικά και χρονικά προσ ανατολισ μένες σ ύμμορφες δομές c. Σημειώνουμε ότι μια σ υνεκτική ψευδο-riemannian πολλαπλότητα με signature p, q και διάσ τασ η n = p + q 3 επιδέχεται μια g-ορθογώνια ανάλυσ η ως T M = τ ζ, όπου τ μια υποδέσ μη τάξης p και ζ μια υποδέσ μη τάξης q της T M τέτοια ώσ τε ο περιορισ μός της g σ την τ, και σ την ζ, να είναι θετικά ορισ μένος [107]. Η M, g είναι χρονικά προσ ανατολίσ ιμη αν η τ είναι προσ ανατολίσ ιμη, και χωρικά προσ ανατολίσ ιμη αν η ζ είναι προσ ανατολίσ ιμη. Η GL n-δέσ μη GL M της M επιδέχεται μια O p, q-μείωσ η σ την O p, q-δέσ μη όλων των ψευδο-ορθογώνιων frames P g M, η οποία ορίζεται ως P g M := {x, s 1,..., s n x M, s 1,..., s n βάσ η του T x M και g s i, s j = δ ij ɛ i }. 3.114 Η δέσ μη των χωρικά και χρονικά προσ ανατολισ μένων ψευδο-ορθογώνιων frames, σ υμβολίζεται ως P+, g με δομική ομάδα SO + p, q. Σε μια σ ύμμορφη πολλαπλότητα M, c, το σ ύμμορφο frame s 1,..., s n ορίζεται αν υπάρχει g c τέτοιο ώσ τε τα διανύσ ματα s 1,..., s n να είναι ψευδο-ορθογώνια ως προς την g. Το σ ύνολο όλων των σ ύμμορφων frames ορίζει την δέσ μη των σ ύμμορφων frames P 0, π 0, M, CO p, q, η οποία είναι μια κύρια δέσ μη με δομική ομάδα την γραμμική σ ύμμορφη ομάδα { CO p, q = A GL n, R θ > 0 : Ax, Ay p,q = θ x, y p,q x, y R n} = R + O p, q. 3.115 116

3.3 Twistors και Killing Spinors σ ε ψευδο-riemannian και σ ύμμορφες πολλαπλότητες 3.3.2.2 Twistors υπό σ ύμμορφους μετασ χηματισ μούς Ορισ μένα πρώτα αποτελέσ ματα που αφορούν την σ υμπεριφορά των twistor spinors υπό την σ ύμμορφη ομάδα, είναι τα εξής: ϕ Πρόταση 3.45 [83]. Ενας οποιοσ δήποτε twistor ϕ Γ S g ικανοποιεί την εξίσ ωσ η Eg D g ϕ 0, όπου E g X = Sg 1 X n X η σ υναλλοίωτη παράγωγος σ την δέσ μη E g = S g S g. Αν- n 2 Kg X Sg X ϕ τίσ τροφα, αν ο είναι ψ Eg -παράλληλος, τότε ο ϕ είναι twistor spinor και ψ = Dϕ. καμπυλότητα R Eg της Eg ικανοποιεί τη σ χέσ η R E ϕ X, Y = 1 W X, Y ϕ, ψ 2 W X, Y ψ + nc X, Y ϕ Η = όπου W g ο τανυσ τής Weyl ως προς την μετρική g. Πόρισμα 3.46 [83]. Η spin πολλαπλότητα M, g είναι σ ύμμορφα επίπεδη αν και μόνο αν R Eg = 0. Πρόταση 3.47 [83]. Η διάσ τασ η του χώρου ker P g των twistors είναι σ ύμμορφα αναλλοίωτη και φραγμένη, με dim ker P g 2 n 2 +1 =: d n. Η μέγισ τη διάσ τασ η του χώρου προκύπτει μόνο όταν η M, g είναι σ ύμμορφα επίπεδη. Αντισ τρόφως, αν η M, g είναι απλά σ υνεκτική και σ ύμμορφα επίπεδη πολλαπλότητα, τότε dim ker P g = d n. Υπάρχουν ποσ ότητες ορισ μένες σ τις spinorial δέσ μες δύο σ ύμμορφα ισ οδύναμων μετρικών, υπό τον σ ύμμορφο μετασ χηματισ μό g = e 2σ g, οι οποίες σ υμβάλλουν σ την σ υμπεριφορά των twistors υπό αυτούς τους μετασ χηματισ μούς, και οι οποίες ταυτοποιούνται [107]. Οι SO + p, q-δέσ μες P+και g P g + σ χετίζονται μέσ ω του κανονικού ισ ομορφισ μού φ σ : P g + P+, g με s 1,..., s n e σ s 1,..., e σ s n. Εφαρμόζοντας την ανάλυσ η της 2.2.3, προκύπτει ότι [107] η M, g φέρει spin αν και μόνο αν η M, g φέρει spin. Ειδικότερα, αποδεικνύεται [107] ότι η δομή spin, έσ τω Q g +, f g σ την M, g Q g επάγει μέσ ω του ισ ομορφισ μού φ σ μια ξεχωρισ τή δομή spin +, f g σ την M, g, και έναν ισ ομορφισ μό φ σ των κύριων Spin p, q-δεσ μών, έτσ ι ώσ τε το διάγραμμα Q g + φ σ Q g + 3.116 f g P g + φσ P g + f g να μετατίθεται. Χρησ ιμοποιώντας αυτή την ιδιότητα, προκύπτουν οι εξής φυσ ικές ταυτοποιήσ εις: : S g S g, ϕ = [ q, v] [ φσ q, v ] = ϕ : T M T M, X = [q, x] [φ σ q, x] = e σ X όπου η δεύτερη απεικόνισ η είναι ισ ομετρία ως προς τις g και g. Ως εκ τούτου, η σ υναλλοίωτη παράγωγος σ την spinorial δέσ μη, ο τελεσ τής Dirac και ο τελεσ τής twistor T μετασ χηματίζονται, 117

3.3 Twistors και Killing Spinors σ ε ψευδο-riemannian και σ ύμμορφες πολλαπλότητες αντίσ τοιχα, ως εξής: S X ϕ = e σ S X ϕ 1 2 e 2σ X grad e σ ϕ + g X, grad e σ ϕ D ϕ = e n+1 2 σ D e n 1 2 ϕ σ 3.117 T ϕ = e σ 2 T e σ 2 ϕ. Μια άμεσ η σ υνέπεια της 3.117 είναι ο σ ύμμορφα αναλλοίωτος χαρακτήρας της εξίσ ωσ ης twistor. Οπως φαίνεται, ο ϕ Γ S g είναι ένας twistor spinor ως προς την μετρική g αν και μόνο αν ο μετασ χηματισ μένος spinor e σ 2 ϕ Γ S g είναι twistor spinor ως προς την g. 3.3.2.3 Σύμμορφες δομές, ομάδες και πολλαπλότητες spin, δέσ μες πυκνοτήτων και παράγωγοι Weyl Η σ ύμμορφη ομάδα spin ορίζεται ως CSpin p, q := R + Spin p, q, 3.118 η οποία έχει δομή ομάδας, με ταυτοτικό σ τοιχείο CSpin + p, q := R + Spin + p, q. Επιπλέον, ορίζεται και η απεικόνισ η του διπλού επικαλύμματος όπου λ : Spin + p, q SO + p, q. λ 0 : CSpin p, q CO p, q, λ 0 := Id λ, 3.119 Ορισμός 3.48. Εσ τω M, c μια χωρικά και χρονικά προσ ανατολισ μένη πολλαπλότητα με signature p, q, με n = p + q 3. Η σ ύμμορφη δομή spin της M, c είναι μια λ 0 -μείωσ η της δέσ μης P 0 +, δηλαδή μια κύρια CSpin + p, q-δέσ μη Q 0 +, π 0, M, CSpin + p, q μαζί με μια λεία απεικόνισ η f 0 : Q 0 + P 0 +, σ υμβατή με τις προβολές και τις δράσ εις της ομάδας, δηλαδή f 0 q A = f 0 q λ 0 A q Q 0 +, A CSpin + p, q π 0 f 0 = π 0. Η M, c μαζί με μια δεδομένη σ ύμμορφη δομή spin ορίζουν μια σ ύμμορφη πολλαπλότητα spin. Το ακόλουθο Λήμμα τακτοποιεί και το θέμα της ύπαρξης των σ ύμμορφων δομών spin σ ε μια πολλαπλότητα, σ ε σ υνδυασ μό με την σ υζήτησ η της 2.2.3. Λήμμα 3.49. Η M, c είναι σ ύμμορφη πολλαπλότητα spin αν και μόνο αν η M, g είναι μια πολλαπλότητα spin για κάθε μετρική g c. Απόδειξη. Εσ τω Q 0 +, f 0 μια σ ύμμορφη δομή spin σ την M, c. Αυτή επάγει μια μετρική δομή spin Q g +, f g για g c ως Q g + := f 0 1 P g + και f g := f 0 Q g. Δεδομένης μιας δομής spin για g c, + χρησ ιμοποιώντας το γεγονός ότι P+ 0 = P g + SO+ p,q CO + p, q, η μετρική αυτή δομή spin επάγει μια σ ύμμορφη δομή spin σ την M, c ως Q 0 + := Q g + Spin + p,q CSpin + p, q. Συνοπτικά, σ ύμφωνα με τους ως άνω ορισ μούς, η σ ύμμορφη δομή ορίσ θηκε ως μια μείωσ η της δέσ μης frame σ ε μια κύρια SO n-δέσ μη, σ ε αναλογία με την Riemannian μετρική, η οποία είναι ισ οδύναμα μια O n-δομή. Ωσ τόσ ο, ο ορισ μός αυτός έχει το μειονέκτημα ότι, αν και προκύπτει εμφανώς η ομάδα του αναλλοίωτου της γεωμετρίας, δεν καθίσ ταται σ αφές τι ακριβώς παραμένει αναλλοίωτο, και για αυτό εισ άγεται η Riemannian μετρική. Ετσ ι, προκύπτει η αναγκαιότητα του ορισ μού μιας πιο θεμελιώδους σ ύμμορφης δομής από μια Riemannian δομή, ορίζοντας έτσ ι την τελευταία ως προς την προαναφερθείσ α. 118

3.3 Twistors και Killing Spinors σ ε ψευδο-riemannian και σ ύμμορφες πολλαπλότητες Παρατήρηση. Η έννοια μιας Riemannian μετρικής, διασ τατικά, δεν είναι ορθή, καθώς το μήκος ενός εφαπτόμενου διανύσ ματος πρέπει να είναι μήκος και όχι αριθμός. Αυτό μετασ χηματίζεται σ ε αριθμό μόνο με την επιλογή μιας κλίμακας μήκους. Ορισμός 3.50. Εσ τω V πραγματικός n-διάσ τατος διανυσ ματικός χώρος και w R. Τότε, μια πυκνότητα βάρους w ή w-πυκνότητα σ τον V ορίζεται ως μια απεικόνισ η ρ : Λ n V \ 0 R τέτοια ώσ τε ρ λω = λ w/n ρ ω λ R και ω Λ n V \ 0. Ο χώρος των πυκνοτήτων βάρους w είναι ο L w = L w V. Ορισμός 3.51. Εσ τω M n-διάσ τατη πολλαπλότητα. Η δέσ μη γραμμών πυκνοτήτων L w = L w T M της M ορίζεται ως η δέσ μη εκείνη, της οποίας το νήμα σ το σ ημείο x M είναι ο L w T x M. Ισ οδύναμα, ορίζεται ως η σ υσ χετιζόμενη δέσ μη GL M GLn L w M, όπου GL M η δέσ μη frame της M, και L w n ο χώρος των w-πυκνοτήτων του R n. Οι δέσ μες πυκνοτήτων είναι προσ ανατολισ μένες πραγματικές δέσ μες γραμμών, και ως εκ τούτου, τετριμμενοποιήσ ιμες, ωσ τόσ ο δεν υπάρχει προτιμητέα τετριμμενοποίησ η. Τα τμήματα τομές της L = L 1 μπορούν να θεωρηθούν ως βαθμωτά πεδία με διασ τάσ εις μήκους. Αυτή η γεωμετρική διασ τατική ανάλυσ η μπορεί να εφαρμοσ θεί και σ ε τανυσ τές η τανυσ τική δέσ μη L w T M j T M k, καθώς και οποιαδήποτε υποδέσ μη, δέσ μη πηλίκο, σ τοιχείο ή τομή, μπορεί να θεωρηθεί ότι έχει βάρος w + j k, ή διασ τάσ εις [μήκος] w+j k. Παρατηρούμε ότι τα τμήματα της L n μπορούν να ολοκληρωθούν αναλλοίωτα, καθώς επίσ ης και ότι ένας προσ ανατολισ μός της M ορίζει έναν ισ ομορφισ μό μεταξύ του L n και του Λ n T M. Επιπλέον, παρατηρούμε ότι L w1 L w2 = L w1+w2, και ότι η L 0 είναι η τετριμμένη δέσ μη. Μια μη μηδενιζόμενη τομή της L 1 ή της L w για w 0 καλείται κλίμακα μήκους ή βαθμίδα βάρους w. Ορισμός 3.52. Ως παράγωγος Weyl ορίζεται μια σ υναλλοίωτη παράγωγος D ή D W σ την L 1, η οποία επάγει σ υναλλοίωτες παραγώγους σ την L w για κάθε w. η καμπυλότητα της D είναι μια πραγματική 2-μορφή, η F D, η οποία καλείται 2-μορφή Faraday. Παρατήρηση. Αν F D W = 0, τότε η D W είναι κλεισ τή. Από αυτό, προκύπτει ότι υπάρχουν τοπικές κλίμακες μήκους µ, τέτοιες ώσ τε D W µ = 0. Αν η µ υπάρχει ολικά, τότε η D W είναι ακριβής. Αντισ τρόφως, μια κλίμακα μήκους µ επάγει μια ακριβή παράγωγο Weyl έτσ ι ώσ τε D µ W µ = 0. Ακόμα, οι παράγωγοι Weyl σ χηματίζουν έναν αφινικό χώρο σ τον γραμμικό χώρο των 1-μορφών, ενώ οι κλεισ τές και ακριβείς παράγωγοι Weyl αποτελούν αφινικούς υπόχωρους των γραμμικών χώρων των κλεισ τών και ακριβών 1-μορφών, αντίσ τοιχα. Ενας μετασ χηματισ μός βαθμίδας σ την M, σ το πλαίσ ιο αυτό, είναι μια θετική σ υνάρτησ η e f η οποία μετασ χηματίζει μια βαθμίδα µ C M, L w ως e wf µ. Αν D W μια παράγωγος Weyl, τότε D W = D µ W + ωµ για την 1-μορφή ω µ = µ 1 Dµ, και επομένως, ω ef µ = ω µ + df. 3.3.2.4 Σύμμορφη γεωμετρία Εναλλακτικά, όπως περιγράψαμε προηγουμένως, η σ ύμμορφη δομή ορίζεται [130] ως Ορισμός 3.53. Μια σ ύμμορφη δομή σ ε μια πολλαπλότητα M είναι ένα κανονικοποιημένο εσ ωτερικό γινόμενο σ τον T M με τιμές σ τονl 2. Ειδικότερα, αποτελεί μια τομή c C M, L 2 S 2 T M η οποία είναι παντού θετικά ορισ μένη. Το σ ύμμορφο εσ ωτερικό γινόμενο των εφαπτόμενων διανυσ ματικών πεδίων X, Y θα σ υμβολίζεται παρακάτω ως X, Y, και είναι τομή του L 2. Ισ οδύναμα, μια σ ύμμορφη δομή μπορεί να θεωρηθεί ως μια μετρική σ την αβαρή εφαπτόμενη δέσ μη L 1 T M. Η σ υνθήκη κανονικοποίησ ης det c = 1 ικανοποιείται εφόσ ον οι πυκνότητες σ τον L 1 T M είναι τετριμμένες. Η Riemannian γεωμετρία, έτσ ι, είναι η γεωμετρία μιας ακριβούς παραγώγου Weyl σ ε μια σ ύμμορφη πολλαπλότητα. Η ύπαρξη και η μοναδικότητα της σ ύνδεσ ης Levi-Civita προκύπτει ως μια ειδική περίπτωσ η του ακόλουθου Θεωρήματος [131]: 119

3.3 Twistors και Killing Spinors σ ε ψευδο-riemannian και σ ύμμορφες πολλαπλότητες Θεώρημα 3.54 Θεμελιώδες θεώρημα της σ ύμμορφης γεωμετρίας [131]. Σε μια σ ύμμορφη πολλαπλότητα M, υπάρχει μια αφινική αμφιμονοσ ήμαντη απεικόνισ η μεταξύ των σ υναλλοίωτων παραγώγων σ την L 1 και των σ υνδέσ εων με μηδενική σ τρέψη, διατηρώντας την σ ύμμορφη δομή. Ειδικότερα, η σ υναλλοίωτη παράγωγος σ την T M καθορίζεται από αυτήν της L 1 μέσ ω της σ χέσ ης Koszul 2 D X Y, Z = D X Y, Z +D Y X, Z D Z X, Y + [X, Y ], Z [Y, Z], X [X, Z], Y 3.120 όπου X, Y, Z διανυσ ματικά πεδία, και τα εσ ωτερικά γινόμενα είναι τομές του L 2. Ορισμός 3.55. Μια σ ύμμορφη πολλαπλότητα εφοδιασ μένη με μια παράγωγο Weyl καλείται πολλαπλότητα Weyl. Παρατήρηση. Το σ ύμμορφο εσ ωτερικό γινόμενο των διανυσ ματικών πεδίων X, Y T M ορίσ θηκε ως X, Y C M, L 2, και σ υμβολίζουμε ως X 2 = X, X. Η αντίσ τοιχη γραμμική απεικόνισ η αντισ τοιχίζει μια 1-μορφή γ σ την 1-μορφή Γ με τιμές σ την co T M, η οποία ορίζεται ως όπου Γ X = γ X Id + γ X, 3.121 γ X Y := γ Y X X, Y γ. 3.122 Το γ εδώ λογίζεται ως διανυσ ματικό πεδίο βάρους -1 χρησ ιμοποιώντας τον φυσ ικό ισ ομορφισ μό : T M L 2 T M ο οποίος δίνεται από την σ ύμμορφη δομή. Ορισμός 3.56. Μια σ ύμμορφη δομή c και μια παράγωγος Weyl ορίζουν μια δομή Weyl σ την M, η οποία τότε καλείται πολλαπλότητα Weyl. Για κάθε w R, η ποσ ότητα R D,w σ υμβολίζει την καμπυλότητα της D σ την L w 1 T M, η οποία είναι μια τομή της Λ 2 T M co T M. Η καμπυλότητα της σ ύνδεσ ης D χωρίς σ τρέψη, σ την T M θα σ υμβολίζεται ως R D R D,1. Κανονικοποιημένος ενδομορφισ μός Ricci Στην γεωμετρία Weyl εξασ φαλίζεται η ύπαρξη ενός 0, 2-τανυσ τή r D, ο οποίος καλείται κανονικοποιημένος ενδομορφισ μός Ricci της δομής Weyl, έτσ ι ώσ τε η καμπυλότητα της D να αναλύεται ως εξής: R D,w X,Y = W X,Y + wf D X, Y Id r D X Y + r D Y X, 3.123 όπουw ο τανυσ τής καμπυλότητας Weyl της c, ο οποίος δεν έχει ίχνος και είναι ανεξάρτητος της D. Ενας τρόπος να θεμελιωθεί αυτό και να προσ διορισ τεί το r D είναι μέσ ω της διερεύνησ ης της εξάρτησ ης της καμπυλότητας R D,w από την επιλογή της D. Πρόταση 3.57. Εσ τω D και D = D + γ παράγωγοι Weyl σ τη σ ύμμορφη πολλαπλότητα M n, c. Τότε, οι καμπυλότητες των D και D σ χετίζονται ως R D,w X,Y = RD,w X,Y + wdγ X, Y Id + D X γ γ X γ + 1 2 γ, γ X Y D Y γ γ Y γ + 12 γ, γ Y X. 3.124 Απόδειξη. σ κιαγράφησ η: Η απόδειξη της 3.124 έγκειται σ τον υπολογισ μό του d D Γ+Γ Γ, όπου το Γ σ χετίζεται με το γ μέσ ω της 3.121. Ο πρώτος όρος είναι απλώς η μεταβολή της καμπυλότητας Faraday F D σ την L w, ενώ οι υπόλοιποι όροι είναι το ανάπτυγμα της έκφρασ ης Dγ γ γ+ 1 2 γ, γ Id. 120

3.3 Twistors και Killing Spinors σ ε ψευδο-riemannian και σ ύμμορφες πολλαπλότητες Για την εύρεσ η ενός τανυσ τή r D ο οποίος να υπόκειται σ τον μετασ χηματισ μό αυτόν, ορίζουμε για κάθε w R μια τομή της L 2 End T M ως Ric D,w X = i R D,w X,e i e i 3.125 όπου {e i } αβαρής ορθοκανονική βάσ η. Αυτός ο ενδομορφισ μός Ricci δεν είναι κατ ανάγκην σ υμμετρικός το αντισ υμμετρικό του τμήμα προκύπτει ότι είναι το w 1 2 n 2 F D, όπου πλέον η F D λογίζεται ως ο ενδομορφισ μός X ι X F D = F D X,. Το σ υμμετρικό μέρος του Ric D,w είναι ανεξάρτητο του w και ως εκ τούτου ομοίως ανεξάρτητο είναι και το ίχνος scurv D που είναι η βαθμωτή καμπυλότητα της D, και λογίζεται ως μια τομή της L 2. Συμβολίζοντας το κανονικοποιημένο σ υμμετρικό τμήμα μηδενικού ίχνους του Ric D,w ως r0 D = 1 n 2 sym 0Ric D,w, 3.126 τότε, ορίζεται r D = r0 D 1 + 2n n 1 scurvd Id 1 2 F D. 3.127 Με απευθείας εφαρμογή των παραπάνω ορισ μών και της Πρότασ ης 3.57, και εκτέλεσ η των πράξεων, προκύπτουν οι εξής ιδιότητες: Πρόταση 3.58. Αν D και D = D + γ παράγωγοι Weyl σ την M n, c, τότε 1. 2. 3. r D 0 = r0 D sym 0 Dγ + γ γ 1n γ, γ Id. 3.128a scurv D = scurv D 2 n 1 trdγ n 1 n 2 γ, γ. 3.128b r D = r D Dγ γ γ + 12 γ, γ Id. 3.128c. Παρατήρηση. Η Πρότασ η 3.58 δείχνει ότι ο W είναι ανεξάρτητος της D. Ως αποτέλεσ μα της διαφορικής εξίσ ωσ ης Bianchi, d D R D,0 = 0, προκύπτει η εξής πρότασ η: Πρόταση 3.59. Σε οποιαδήποτε πολλαπλότητα Weyl διάσ τασ ης n > 2, div D r0 D 1 2n scurvd Id + 1 2 F D = 0 3.129 όπου div D = tr c D, και ειδικότερα, div D F D = i Dei, F D e i,. Παρατήρηση. Η εξωτερική απόκλισ η δ σ τις τομές της L n Λ k T M είναι ένας αναλλοίωτος τελεσ τής, όπως και η εξωτερική παράγωγος σ τις μορφές, και όπως προκύπτει [132], έως πρόσ ημο, οι αποκλίσ εις αυτές σ χηματίζουν ένα σ ύμπλοκο, το οποίο είναι formally σ υζυγές προς το σ ύμπλοκο de Rham. Επιλέγοντας, σ υμβατικά την ταύτισ η δ = trd, όπου το ίχνος λαμβάνεται ως προς το πρώτο σ τοιχείο, το div D σ τις μορφές ταυτίζεται με μια twisted εξωτερική απόκλισ η δ D, και δεν μπορεί πλέον να σ χηματίσ ει σ ύμπλοκο. Μια σ υνέπεια αυτού είναι [132] η εξής: Πρόταση 3.60. Εσ τω D παράγωγος Weyl σ ε μια σ ύμμορφη n-πολλαπλότητα M. Τότε δ D 2 F D = n 4 F D 2. Αν n 4, τότε έπεται ότι div D F D = 0 αν και μόνο αν F D = 0. Απόδειξη. Η F D είναι μια τομή της Λ 2 T M = L n 4 L n Λ 2 T M, άρα η απόκλισ η είναι twisted από την D σ την L n 4. Η εν λόγω σ χέσ η προκύπτει με άμεσ ο υπολογισ μό σ ε μια τετριμμενοποίησ η της L n 4. 121

3.3 Twistors και Killing Spinors σ ε ψευδο-riemannian και σ ύμμορφες πολλαπλότητες 3.3.2.5 Πολλαπλότητες Einstein-Weyl Για την ειδική κατηγορία πολλαπλοτήτων Einstein- Weyl, έχουμε τα εξής: Ορισμός 3.61 [133, 134]. Εσ τω M, c, D πολλαπλότητα Weyl διάσ τασ ης τουλάχισ τον 3. Η M καλείται πολλαπλότητα Einstein-Weyl αν και μόνο αν r0 D = 0. Ισ οδύναμα, το τμήμα μηδενικού ίχνους του τανυσ τή Ricci μηδενίζεται. Πρόταση 3.62 [135, 136]. Εσ τω ότι η M είναι πολλαπλότητα Einstein-Weyl διάσ τασ ης n > 2. Τότε, Dscurv D ndiv D F D = 0. 3.130 Απόδειξη. Επεται ως άμεσ η σ υνέπεια της Πρότασ ης 3.59 βλ. και [135]. Από τις ταυτότητες Bianchi, επιπλέον, προκύπτει ότι Proposition 3.63 [132, 137]. Εσ τω M μια n-πολλαπλότητα Einstein-Weyl. Τότε, trd 2 scurv D = n n 4 F D 2. Ακόμα, προκύπτει [136, 138] και το ακόλουθο θεώρημα: Theorem 3.64. Αν M n, D πολλαπλότητα Einstein-Weyl, τότε οι ακόλουθες προτάσ εις είναι ισ οδύναμες: 1. Είτε η D είναι κλεισ τή, είτε για n = 4 η M είναι μη σ υμπαγής και η F D αρμονική. 2. div D F D = 0. 3. Dscurv D = 0. 4. Είτε η D είναι ακριβής, είτε scurv D = 0. Απόδειξη. Οι 2 και 3 είναι ισ οδύναμες λόγω της Πρότασ ης 3.62, ενώ προφανώς 3 4 2 ή 3. Η ισ οδυναμία των 1 και 2 έπεται από την Πρότασ η 3.60 σ ε σ υνδυασ μό με την σ ύμμορφη αναλλοιώτητα της απόκλισ ης σ τις 2-μορφές σ τις τέσ σ ερις διασ τάσ εις και το γεγονός ότι μια ακριβής co-κλεισ τή 2-μορφή σ ε μια σ υμπαγή 4-διάσ τατη πολλαπλότητα μηδενίζεται, αφού, θέτοντας F D = dγ και ολοκληρώνοντας την τομή F D 2 της L 4 κατά μέρη. 3.3.2.6 Βαθμίδα Gauduchon Η αντίσ τοιχη με την ηλεκτρομαγνητική θεωρία επιλογή βαθμίδας σ την γεωμετρία Weyl για την οποία η απόκλισ η του δυναμικού είναι μηδέν, είναι η βαθμίδα Gauduchon, η οποία ορίζεται ολικά, και παίζει σ ημαντικό ρόλο σ τους twistors, όπως θα δούμε σ τη σ υνέχεια [135, 139, 140]. Ορισμός 3.65. Εσ τω M, c, D μια πολλαπλότητα Weyl. Τότε, η κλίμακα μήκους µ ορίζει μια βαθμίδα Gauduchon αν και μόνο αν D = D µ + ω µ, με tr c D µ ω µ = 0. Τότε, η ακριβής παράγωγος Weyl D µ καλείται παράγωγος Gauduchon, και η 1-μορφή ω µ 1-μορφή Gauduchon. Παρατήρηση. Η απόκλισ η ορίσ θηκε προηγουμένως βάσ ει της παραγώγου βαθμίδας, επομένως, εκ των προτέρων, η σ υνθήκη αυτή είναι μη γραμμική, εκτός από την περίπτωσ η για πλήθος διασ τάσ εων διάφορο του δύο, όπου η απόκλισ η των 1-μορφών είναι σ υμμόρφως αναλλοίωτη. Για μεγαλύτερες διασ τάσ εις, η σ υνθήκη γραμμικοποιείται μέσ ω μιας κλίμακας μήκους βάρους 2 n. Πρόταση 3.66. Αν M n, c, D μια πολλαπλότητα Weyl διάσ τασ ης n 3, τότε μια κλίμακα μήκους λ βάρους 2 n είναι βαθμίδα Gauduchon αν και μόνο αν divdλ := trd 2 λ = 0. 122

3.3 Twistors και Killing Spinors σ ε ψευδο-riemannian και σ ύμμορφες πολλαπλότητες Απόδειξη. Η πρότασ η έπεται άμεσ α από το αναλλοίωτο της απόκλισ ης σ τον L n T M = L 2 n T M. Σε μια προσ ανατολισ μένη 3-διάσ τατη πολλαπλότητα, μια βαθμίδα Gauduchon είναι ισ οδύναμη με ένα Αβελιανό μονόπολο, καθώς η σ υνθήκη της βαθμίδας Gauduchon σ ημαίνει ότι η Dλ είναι μια κλεισ τή 2-μορφή, η οποία, τοπικά, είναι ισ οδύναμη με Dλ = θ για κάποια 1-μορφή θ. Πρόταση 3.67 [139]. Μια σ υμπαγής πολλαπλότητα Weyl, επιδέχεται βαθμίδα Gauduchon, η οποία ορίζει κατά μοναδικό τρόπο την παράγωγο Gauduchon. Απόδειξη. Για n = 2, μια βαθμίδα Gauduchon είναι μια co-κλεισ τή αναπαράσ τασ η του χώρου των 1-μορφών εκείνων ώσ τε η D γ να είναι ακριβής ειδικότερα, dγ = F D. Κατά σ υνέπεια, η Πρότασ η αυτή είναι σ υνέπεια της ανάλυσ ης Hodge. Υποθέτοντας ότι n > 2, έχουμε τα εξής: Ο formal σ υζυγής του trd 2 : J 2 L w L w 2 είναι ο trd 2 : J 2 L w+2 n L w n. Συμβολίζοντας την Laplacian Weyl σ ε σ υναρτήσ εις ως D, και τον σ υζυγή του D σ ε τομές του L 2 n, τότε, από την Πρότασ η 3.66, μια θετική τομή λ της L 2 n ορίζει μια βαθμίδα Gauduchon αν και μόνο αν D λ = 0. Εφόσ ον οι τελεσ τές D και D έχουν το ίδιο κύριο σ ύμβολο μετά την τετριμμενοποίησ η του L 1, έχουν τον ίδιο δείκτη, ο οποίος είναι μηδέν, εφόσ ον είναι σ υζυγείς. Κατά σ υνέπεια, dim ker D = dim ker D = 1. Για κάθε φ ker D, δεν επιτρέπεται η αλλαγή προσ ήμου αν η αλλαγή προσ ήμου επιτρεπόταν, τότε το ολοκλήρωμά του σ ε μια βαθμίδα θα μπορούσ ε να λάβει οποιαδήποτε πραγματική τιμή, και ως εκ τούτου θα υπήρχαν θετικές τομές του L 2, ορθογώνιες σ το φ. Ομως η εικόνα του D δεν μπορεί να περιέχει τέτοια θετική τομή, αφού η αρχή μεγίσ του του Hopf 34 επιβάλλει ότι οι λύσ εις του D θα είναι σ ταθερές. Επομένως, οποιοδήποτε φ ker D είναι παντού μη αρνητικό ή μη θετικό, και έτσ ι, οποιοδήποτε μη μηδενικό φ, για οποιοδήποτε σ ημείο, δεν μηδενίζεται, ενώ το σ ύνολο ker D αποτελείται από τα σ ταθερά πολλαπλάσ ια κάποιας θετικής τομής του L 2 n. Η ιδιαίτερη σ ημασ ία της βαθμίδας Gauduchon καθίσ ταται εμφανής σ ε σ υμπαγείς πολλαπλότητες Einstein-Weyl, καθώς τότε είναι μια βαθμίδα Killing, υπό την έννοια ότι η 1-μορφή Gauduchon είναι δυϊκή σ ε ένα πεδίο Killing [140]. Επιπλέον, το αποτέλεσ μα αυτό σ υνδέεται με την ύπαρξη μιας σ ταθεράς Gauduchon [136], η οποία γενικεύει την σ ταθερή βαθμωτή καμπυλότητα σ ε μια πολλαπλότητα Einstein. Πρόταση 3.68 [142]. Εσ τω M σ υμπαγής πολλαπλότητα Einstein-Weyl, και έσ τω ότι D = D g + ω g σ την βαθμίδα Gauduchon. Τότε, η τομή κ = scurv g n + 2 ω g 2 = scurv D + n n 4 ω g 2 3.131 της L 2 είναι σ ταθερή, και το ω g είναι πεδίο Killing ως προς την D g. Ο ενδομορφισ μός Ricci του D g δίνεται από την έκφρασ η Ric g = 1 n scurvd Id + n 2 ω g, ω g Id ω g ω g. 3.132 Αντισ τρόφως, έσ τω ότι η M είναι Riemannian με σ ύνδεσ η Levi-Civita D g, και ότι η ω g είναι μια 1-μορφή τέτοια ώσ τε η ω g να είναι πεδίο Killing και ο τανυσ τής Ricci της D g να έχει την μορφή 34 Βλ. [144]. 123

3.3 Twistors και Killing Spinors σ ε ψευδο-riemannian και σ ύμμορφες πολλαπλότητες 3.132, όπου scurv D = scurv g n 1 n 2 ω g 2. Τότε, η D = D g ± ω g είναι Einstein -Weyl με παράγωγο Gauduchon D g ειδικά για τις 2 διασ τάσ εις, είναι αναγκαία η υπόθεσ η ότι η ποσ ότητα scurv g 4 ω g 2 είναι σ ταθερή ως προς την D g. Η απόδειξη για την πρότασ η αυτή σ τηρίζεται σ τις ταυτότητες Bianchi για την D g. Εν γένει, έσ τω µ μια βαθμίδα σ ε μια σ ύμμορφη n-διάσ τατη πολλαπλότητα. Τότε, για n 2, η ποσ ότητα r µ 0 1 2n scurvµ Id έχει μηδενική απόκλισ η. Αν, επιπλέον, υποτεθεί ότι η M είναι Einstein-Weyl, τότε ο r µ 0 μπορεί να ορισ θεί ως η διαφορά sym 0 D µ 2 sym 0 D 2. Από τις παρατηρήσ εις αυτές, προκύπτουν οι εξής ιδιότητες: Πρόταση 3.69. Εσ τω M πολλαπλότητα Einstein-Weyl και µ οποιαδήποτε βαθμίδα. ποσ ότητα r µ 0 1 2n scurvµ Id = sym 0 D µ ω µ ω µ ω µ + 1 n Τότε η ω µ, ω µ 12 scurvµ Id 3.133 έχει μηδενική απόκλισ η ως προς την µ, και ως εκ τούτου, ισ χύουν οι εξής ταυτότητες: div µ sym 0 D µ ω µ = 2 sym 0 D µ ω µ, ω µ + n + 2 n divµ ω µ ω µ + 1 2n Dµ scurv µ n + 2 ω µ 2, 3.134a div µ sym 0 D µ ω µ, ω µ 1 scurv µ n + 2 ω µ 2 ω µ 2n = 2 sym 0 D µ ω µ 2 1 2n scurv µ n + 2 ω µ 2 div µ ω µ. 3.134b Αν M n, D πολλαπλότητα Einstein-Weyl με βαθμίδα Killing D = D g + ω g, τότε 2D g ω g = F D και D g ω g, ω g = F D ω g,. Κατά σ υνέπεια, από την 3.130 σ ε σ υνδυασ μό με την σ ταθερότητα του κ, προκύπτουν τα εξής: 2tr D g 2 ω g = div g F D = 2 n scurvd ω g 3.135 g ω g 2 + 2 n scurvd ω g 2 = F D 2 3.136 g scurv D 2 n 4 ω g 2 scurv D = n n 4 F D 2. 3.137 3.3.2.7 Γεωμετρικές σ υνέπειες Συγκεντρωτικά, προκύπτει [132, 135, 136, 137, 140, 143] το εξής Θεώρημα: Θεώρημα 3.70. Εσ τω M n σ υμπαγής πολλαπλότητα Einstein-Weyl, με D = D g + ω g σ την βαθμίδα Gauduchon. Τότε, ισ χύουν τα εξής: 1. Αν η D δεν είναι ακριβής, τότε η ομάδα ισ ομετρίας της μετρικής Gauduchon είναι τουλάχισ τον μονοδιάσ τατη. 2. Εκτελώντας το contraction με το ω g σ την 3.135 και ολοκληρώνοντας σ την M, έχουμε ˆ F D 2 = 2 ˆ scurv D ω g 2. n Συνεπώς, αν scurv D 0, τότε η D είναι κλεισ τή. M M 124

3.3 Twistors και Killing Spinors σ ε ψευδο-riemannian και σ ύμμορφες πολλαπλότητες 3. Αν η D είναι κλεισ τή, τότε D g ω g = 0, και αν η D δεν είναι ακριβής, τότε η ω g 1 αποτελεί βαθμίδα Gauduchon. 4. Αν scurv D > 0, τότε Ric g > 0, ενώ αν scurv D 0, τότε Ric g 0, και η scurv g είναι μόνο θετική αν n 4 ή n = 3 και κ 0. 5. Η αρχή του μεγίσ του Hopf, εφαρμοζόμενη σ την 3.137, σ υνεπάγεται ότι αν n 4 και η scurv D δεν είναι παντού θετική, τότε είναι σ ταθερή σ την βαθμίδα Gauduchon. 3.3.2.8 Σύμμορφα submersions Οπως και σ την γεωμετρία Einstein, έτσ ι και σ την γεωμετρία Einstein-Weyl είναι χρήσ ιμη η μελέτη των σ ύμμορφων απεικονίσ εων submersions, και ειδικότερα τα Riemannian sumbersions με πλήρως γεωδαισ ιακά νήματα [145], σ το πλαίσ ιο της σ ύμμορφης γεωμετρίας. Ορισμός 3.71. Εσ τω π : M B λείος επιμορφισ μός μεταξύ δύο σ ύμμορφων πολλαπλοτήτων, και έσ τω H η οριζόντια δέσ μη βλ. 1.4.1, και το ορθογώνιο σ υμπλήρωμα αυτής, η κατακόρυφη δέσ μη V του π σ τον T M. Η π καλείται σ ύμμορφο submersion αν και μόνο αν για κάθε x M, το dπ x Hx είναι μια μη μηδενική σ ύμμορφη γραμμική απεικόνισ η. Σημείωση. Εδώ, θεωρούμε την βάσ η ως πολλαπλότητα, εφόσ ον περιοριζόμασ τε σ την παρούσ α ανάλυσ η σ την τοπική γεωμετρία. Γενικότερα, η βάσ η θα μπορούσ ε να θεωρηθεί ως orbifold ή να αντικατασ ταθεί σ υνολικά από την οριζόντια γεωμετρία μιας foliation βλ. [146]. Πρόταση 3.72. Αν π : M B ένα submersion επί μιας σ ύμμορφης πολλαπλότητας B, τότε οι σ ύμμορφες δομές σ την M οι οποίες καθισ τούν την π σ ύμμορφη submersion, αντισ τοιχούν αμφιμονοσ ήμαντα σ ε τριπλέτες H, c V, ρ, όπου η H λογίζεται ως σ ύνδεσ η σ την π, c V μια σ ύμμορφη δομή σ τα νήματα, και ρ : π L 1 B = L 1 H L1 V θετικός ισ ομορφισ μός. Σημείωση. Στην κατασ κευή αυτή, το ρ αντισ τοιχεί σ ε μια σ χετική κλίμακα μήκους, καθώς αποτελεί ισ ομορφισ μό μεταξύ των H και V, παρέχοντας έναν τρόπο σ ύγκρισ ης των σ τοιχείων του κάθε χώρου. Η ελευθερία μεταβολής του ρ γενικεύει την κανονική μεταβολή μιας Riemannian submersion, σ την οποία, η μετρική του νήματος ανακλιμακώνεται, ενώ η μετρική του βασ ικού χώρου παραμένει σ ταθερή. Ορισμός 3.73 [147]. Εσ τω π : M B σ ύμμορφο submersion και D μια παράγωγος Weyl σ την M. Τότε, ορίζονται [147] οι θεμελιώδεις μορφές A D και II D ως A D X, Y = D X Y V για X, Y H, και II D U, V = D U V H για U, V V, όπου H και V οι οριζόντιες και κάθετες σ υνισ τώσ ες, αντίσ τοιχα. Σημείωση. Ενα αξιοσ ημείωτο χαρακτηρισ τικό των σ ύμμορφων submersions είναι η ύπαρξη μιας προτιμητέας παραγώγου Weyl. Πρόταση 3.74. Εσ τω M σ ύμμορφη πολλαπλότητα και T M = V H για μη τετριμμένα V και H. Τότε, αν D μια οποιαδήποτε παράγωγος Weyl, τα U tr H DU και X tr V DX είναι τανυσ τικά για U V και X H, και υπάρχει μοναδικό D = D 0 τέτοιο ώσ τε οι V και H να είναι minimal, υπό την έννοια ότι αυτοί οι τανυσ τές μέσ ης καμπυλότητας θα είναι μηδενικοί, όπως προκύπτει σ υγκρίνοντας τους τανυσ τές μέσ ης καμπυλότητας των D και D + γ. Για μια σ ύμμορφη submersion, η D 0 ορίζει την minimal παράγωγο Weyl, και οι αντίσ τοιχες θεμελιώδεις μορφές είναι οι A 0 και II 0. Η ολοκληρωσ ιμότητα του V σ υνεπάγεται ότι για οποιαδήποτε D, η II D θα είναι σ υμμετρική ως προς τα U, V είναι απλώς η δεύτερη θεμελιώδης μορφή σ τα νήματα και σ υνεπώς, η II 0 είναι επίσ ης σ υμμετρική και χωρίς ίχνος. Ακόμα, η σ ύμμορφη ιδιότητα του π, υποδηλώνει ότι το σ υμμετρικό μέρος του A D X, Y, U = D X U, Y είναι καθαρό ίχνος, και 125

3.3 Twistors και Killing Spinors σ ε ψευδο-riemannian και σ ύμμορφες πολλαπλότητες έτσ ι η A 0 είναι αντισ υμμετρική ως προς τα X, Y. Επιπλέον, αν η D 0 είναι ακριβής, τότε, σ την βαθμίδα αυτή, το submersion είναι Riemannian και τα νήματα είναι minimal υποπολλαπλότητες. Η ανάλυσ η [147, 148] γενικεύεται σ το σ ύμμορφο πλαίσ ιο χωρίς ιδιαίτερες αλλαγές. Ωσ τόσ ο, ιδιαίτερη σ ημασ ία έχει η περίπτωσ η των μονοδιάσ τατων νημάτων. Ενα foliation μιας πολλαπλότητας με προσ ανατολισ μένα φύλλα leaves περιγράφεται ισ οδύναμα από το αβαρές μοναδιαίο διανυσ ματικό πεδίο που εφάπτεται σ τα φύλλα. Στην περίπτωσ η αυτή, οι ιδιότητες του D 0 ερμηνεύονται ως εξής [142]: Πρόταση 3.75. Εσ τω ξ αβαρές μοναδιαίο διανυσ ματικό πεδίο σ ε μια σ ύμμορφη πολλαπλότητα. Τότε, η minimal παράγωγος Weyl του αντίσ τοιχου foliation χαρακτηρίζεται από τις εξισ ώσ εις D 0 ξ ξ = 0 και trd 0 ξ = 0, και η foliation είναι, τοπικά, μια σ ύμμορφη submersion αν και μόνο αν το D 0 ξ είναι αντισ υμμετρικό. Η D 0 είναι ακριβής αν και μόνο αν υπάρχει ένα σ ύμμορφο διανυσ ματικό πεδίο K, με K = K ξ, οπότε θα ισ χύει ότι D 0 K = 0, και έτσ ι η D 0 είναι η παράγωγος Levi-Civita της g = K 2 c, και το K είναι ένα μοναδιαίο διανυσ ματικό πεδίο Killing. Ισ οδύναμα, αν μια σ ύμμορφη submersion δίνεται από την ροή ενός μη μηδενιζόμενου σ ύμμορφου διανυσ ματικού πεδίου K, τότε η D 0 είναι η βαθμίδα σ ταθερού μήκους του K. Εσ τω π : M n+1 B n σ ύμμορφη submersion με μονοδιάσ τατα νήματα, και έσ τω ότι η D 0 είναι ακριβής Riemannian submersion με πλήρως γεωδαισ ιακά νήματα και σ ύνδεσ η Levi-Civita D 0. Τότε η D 0 είναι καλώς ορισ μένη σ την βάσ η, και οποιαδήποτε άλλη παράγωγος Weyl σ την B έχει την μορφή D 0 + ω για κάποια 1-μορφή ω. Στον ολικό χώρο M, θεωρούμε την παράγωγο Weyl D = D 0 + n 2 n 1 π ω + λξ, όπου ξ το αβαρές σ υνεφαπτόμενο διάνυσ μα σ τα νήματα, και λ μια τομή του L 1. Χρησ ιμοποιώντας τις σ χέσ εις της submersion για τον τανυσ τή Ricci της D 0, μαζί με τις σ χέσ εις 3.128a-3.128c, προκύπτει [145] ότι: Πρόταση 3.76. Εσ τω D = D 0 + n 2 n 1 π ω + λξ. Τότε, έχουμε: symric D M X, Y =symric D0 +ω B X, Y 2 A 0 X, A 0 Y D 0 ξ λ + n 1 λ 2 X, Y n 2 1 ω X ω Y + div 0 ω + n 2 ω 2 X, Y n 1 n 1 symric D M ξ, X = D 0 ei A 0 e i, X, ξ 1 2 n 1 D0 Xλ i 3.138a + n 2 ω X λ A 0 X, ω, ξ 3.138b symric D M ξ, ξ = A 0 2 ndξλ 0 n 2 div 0 ω + n 2 ω 2, 3.138c n 1 όπου X, Y οριζόντια, {e i } n i=1 αβαρής ορθοκανονική βάσ η με ξ κάθετα, A 0 X, A 0 Y = A 0 X, e i, A 0 Y, e i και i A 0 2 = A 0 ei, A 0 e i. Ακόμα, για ω = 0, προκύπτει [149, 150] το εξής Θεώρημα: i Θεώρημα 3.77. Εσ τω π : M n+1 B n Riemannian submersion επί μιας πολλαπλότητας Einstein B με πλήρη ολικά γεωδαισ ιακά μονοδιάσ τατα νήματα. Αν η M επιδέχεται μια δομή Einstein- Weyl της μορφής D = D 0 + λξ, τότε 1. scurv 0 B n + 2 A 0 2 + n n 1 λ 2, και scurv D M n A 0 2, με την ισ ότητα να ισ χύει αν και μόνο αν το λ είναι σ ταθερό σ τα νήματα που ισ χύει αναγκαία αν τα νήματα είναι σ υμπαγή. 126

3.3 Twistors και Killing Spinors σ ε ψευδο-riemannian και σ ύμμορφες πολλαπλότητες 2. Στην βαθμίδα D 0, η A 0 ορίζει μια σ υμπλεκτική μορφή σ το ανοικτό υποσ ύνολο B όπου είναι μη μηδενική, και έτσ ι το n είναι άρτιο, εκτός και αν το A 0 είναι μηδέν. Αν το A 0 2 είναι μια μη μηδενική σ ταθερά, τότε η B είναι σ χεδόν-kähler, και η M σ χεδόν-sasakian 35. Απόδειξη. Από τις σ χέσ εις του submersion, η σ υνθήκη Einstein-Weyl οδηγεί σ τις εξισ ώσ εις A 0 X, A 0 1 Y = A 0 2 X, Y n D 0 ei A 0 e i, X, ξ = 1 2 n 1 D0 Xλ 3.139 i n n 1 λ 2 D 0 ξλ = scurv 0 B n + 2 A 0 2. Η τελευταία εξίσ ωσ η, σ ε σ υνδυασ μό με την πληρότητα των νημάτων οδηγούν σ το σ υμπέρασ μα ότι κατά μήκος κάθε νήματος, η λ είναι είτε σ ταθερή είτε αρνητική υπερβολική εφαπτομένη ως προς D 0. Επομένως, το Dξ 0 λ είναι μη-θετικό, και έτσ ι προκύπτει το πρώτο μέρος του θεωρήματος. Από την πρώτη εξίσ ωσ η φαίνεται ότι το X, Y A 0 X, Y, ξ είναι είτε μηδέν, είτε μη εκφυλισ μένο σ ε κάθε σ ημείο. Επίσ ης αν µ μια D 0 -παράλληλη κλίμακα μήκους, τότε A 0 X, Y, µ 1 ξ = 1 2 d µ 1 ξ, που είναι μια κλεισ τή 2-μορφή π Ω. Αν η A 0 είναι μη μηδενική, η μετρική µ A 0 c σ την B είναι σ χεδόν-ερμητιανή με μορφή Kähler Ω, και έτσ ι, αν D 0 A 0 = 0, η B είναι σ χεδόν-kähler και η M σ χεδόν-sasaki βλ. και [151]. Από το Θεώρημα 3.77 φαίνεται ότι οι εξισ ώσ εις Einstein-Weyl σ την M βρίσ κονται επιπλέον, κωδικοποιημένες, και σ την B, γεγονός που υποδηλώνει την ύπαρξη μιας αντίσ τροφης κατασ κευής. Ετσ ι, με τον τρόπο αυτόν, οι μονοπαραμετρικές οικογένειες των δομών Einstein-Weyl μπορούν να βρεθούν σ ε S 1 -δέσ μες. Εσ τω π : M B νημάτωσ η επί μιας σ χεδόν-kähler-einstein πολλαπλότητα θετικής βαθμωτής καμπυλότητας, η οποία φέρει μια σ ύνδεσ η H με καμπυλότητα kπ Ω U, όπου Ω η μορφή Kähler σ την B, U ένα μη μηδενιζόμενο κατακόρυφο διανυσ ματικό πεδίο, και k σ ταθερά. Αν, για κάποια επιλογή σ χετικής κλίμακας μήκους, η M είναι Riemannian submersion με ολικώς γεωδαισ ιακά νήματα και το U είναι σ ταθερό, τότε το ίδιο θα ισ χύει και για οποιοδήποτε σ ταθερό πολλαπλάσ ιο αυτής της σ χετικής κλίμακας μήκους, δίνοντας έτσ ι μια μονοπαραμετρική οικογένεια μετρικών g t = π g B + t 2 g U, 2, η οποία αντισ τοιχεί σ την κανονική μεταβολή. Οι εξισ ώσ εις 3.139 με σ ταθερό λ ικανοποιούνται, με την προϋπόθεσ η ότι scurvb 0 n + 2 A 0 2. Αν t A0 = 0, αυτό ισ χύει για κάθε t, ενώ αν A 0 0, ισ χύει μόνο για 0 t t 0, όπου g t0 μετρική Einstein. Θεώρημα 3.78 [149]. Εσ τω B πολλαπλότητα Kähler-Einstein θετικής βαθμωτής καμπυλότητας, και έσ τω M μια κύρια S 1 δέσ μη με σ ύνδεσ η, της οποίας η καμπυλότητα είναι πολλαπλάσ ιο της μορφής Kähler. Τότε, η M επιδέχεται μια μονοπαραμετρική οικογένεια δομών Einstein-Weyl. Χαρακτηρισ τικές εφαρμογές Ορισ μένα χαρακτηρισ τικά παραδείγματα δομών Einstein- Weyl σ ε S 1 -δέσ μες, τα οποία σ χετίζονται με την θεωρία twistor είναι τα εξής: 1. Η νημάτωσ η Hopf S 3 S 2 αποτελεί χαρακτηρισ τικό παράδειγμα μη τετριμμένης S 1 -δέσ μης επί μιας βασ ικής πολλαπλότητας Kähler-Einstein. Αν σ αναλλοίωτη από αρισ τερά 1-μορφή σ την S 3, τότε η αναλλοίωτη μετρική είναι η g = π g S 2 + σ 2, όπου π το Riemannian submersion που παράγεται από το δυϊκό σ το σ πεδίο Killing. Θεωρώντας επιπλέον την αναλλοίωτη ως προς U 2 μετρική Berger g a = π g S 2 + a 2 σ 2, για 0 < a < 1 υπάρχει μοναδικό b τέτοιο 35 Βλ. [151]. 127

3.3 Twistors και Killing Spinors σ ε ψευδο-riemannian και σ ύμμορφες πολλαπλότητες ώσ τε η D = D ga + bσ να είναι Einstein-Weyl. Αυτό, μπορεί να γενικευθεί σ την νημάτωσ η Hopf ανωτέρων διασ τάσ εων, S 2n+1 CP n. Οι δομές Einstein-Weyl παραμετρίζονται με ένα σ ημείο a, b το οποίο ανήκει σ ε μια έλλειψη [152]. 2. Η μοναδιαία εφαπτόμενη δέσ μη T 1 S n της S n αποτελεί μια S 1 -δέσ μη επί της Grassmannian G 2 R n+1 των προσ ανατολισ μένων 2-επιπέδων σ τον R n+1. Εφόσ ον η G 2 R n+1 είναι Kähler- Einstein, η T 1 S n επιδέχεται μια μονοπαραμετρική οικογένεια δομών Einstein-Weyl. 3. Ο χώρος twistor Z μιας quaternionic πολλαπλότητας M περιέχει μια φυσ ική S 1 -δέσ μη S. Αν η M είναι quaternionic Kähler με θετική βαθμωτή καμπυλότητα, ο Z είναι Kähler-Einstein, και η S μια 3-διάσ τατη Sasakian πολλαπλότητα που επιδέχεται μια μονοπαραμετρική οικογένεια δομών Einstein-Weyl ως νήμα επί της M, τα νήματα της οποίας θα είναι 3-σ φαίρες Berger [153, 154]. Οταν υπάρχει υψηλός βαθμός σ υμμετρίας [155], παρατηρούμε τα εξής: η φυσ ική ομάδα των σ υμμετριών σ ε μια πολλαπλότητα Weyl είναι η ομάδα των αυτομορφισ μών οι οποίοι διατηρούν και την σ ύμμορφη δομή c οι σ ύμμορφοι μετασ χηματισ μοί, και την σ ύνδεσ η Weyl D αφινικοί μετασ χηματισ μοί. Θα μπορούσ ε να θεωρηθεί ότι είναι εξίσ ου φυσ ική η θεώρησ η προβολικών μετασ χηματισ μών, ωσ τόσ ο, σ ε μια πολλαπλότητα Weyl, οι σ ύμμορφοι προβολικοί μετασ χηματισ μοί είναι αυτομάτως αφινικοί. Αν οι D 1 και D 2 είναι προβολικά ισ οδύναμες, τότε DX 1 D2 X = a X Id + a X, ενώ αν D 1 και D 2 είναι σ υμβατές με την σ ύμμορφη δομή, τότε η διαφορά DX 1 D2 X πρέπει να είναι τομή της co T M για κάθε X, επομένως a = 0. Υποθέτοντας, επιπλέον, ότι οι ομάδες σ υμμετρίας διατηρούν και τις μετρικές Gauduchon, έχουμε: Πρόταση 3.79. Εσ τω G ομάδα σ υμμετριών που δρουν σ ε μια σ υμπαγή πολλαπλότητα Weyl M. Τότε, η G διατηρεί την παράγωγο Gauduchon D g, και έτσ ι δρά μέσ ω ομοθεσ ιών της κάθε μετρικής Gauduchon. Αν η G είναι σ υμπαγής, τότε δρα μέσ ω ισ ομετριών. Αν η M δεν είναι η n-σ φαίρα, τότε η G είναι σ υμπαγής λόγω των θεωρημάτων Obata και Lelong-Ferrand [156]. Απόδειξη. Η βαθμίδα Gauduchon D g ικανοποιεί την σ υνθήκη trd g ω g = 0. Για κάθε a G, έχουμε D = a D a D g + a ω g. Το pullback μιας ακριβούς παραγώγου Weyl είναι επίσ ης ακριβές, και tr a D g a ω g = a trd g ω g = 0, επομένως η μοναδικότητα σ υνεπάγεται ότι a D g = D g και a ω g = ω g. Η δράσ η της G σ την κλάσ η ομοθεσ ίας των μετρικών Gauduchon, επομένως, περιγράφεται από έναν ομομορφισ μό ρ : G R. Αν η G είναι σ υμπαγής, ο ρ είναι σ ταθερός. Πόρισμα 3.80. Εσ τω G η ομάδα σ υμμετριών μιας σ υμπαγούς πολλαπλότητας Weyl M, με παράγωγο Weyl D = D g + ω g σ την βαθμίδα Gauduchon. Τότε, η G διατηρεί τις ω g. 3.3.2.9 Ο τανυσ τής Bach σ τις 4-διάσ τατες πολλαπλότητες Εσ τω [137] M τετραδιάσ τατη Riemannian πολλαπλότητα. Ο τανυσ τής Bach B της M, g ορίζεται ως η βάθμωσ η του σ υμμόρφως αναλλοίωτου σ υναρτησ ιακού ˆ W 2, 3.140 M όπου W ο τανυσ τής Weyl της g. Η καμπυλότητα Weyl δρα σ ε έναν σ υμμετρικό 2-τανυσ τή h ως W h X, Y = W e i, X, e j, Y h e i, e j, 3.141 i,j όπου {e i } τοπική ορθοκανονική βάσ η για την g. Ο διαφορικός τελεσ τής d δρα σ τον h ως d h X, Y, Z = X h Y, Z Y h X, Z 3.142 128

3.3 Twistors και Killing Spinors σ ε ψευδο-riemannian και σ ύμμορφες πολλαπλότητες και ο σ υζυγής του, δ που δίνεται από τη σ χέσ η δ k U, V = i ei k e i, V, U. 3.143 Συνδυάζοντας τα ανωτέρω, ο τανυσ τής Bach γράφεται [145, 157] ως B = 2δ W W Ric. 3.144 Ενας άμεσ ος υπολογισ μός δείχνει ότι ο B μηδενίζεται για μετρικές Einstein, και, ως εκ τούτου, για μετρικές τοπικά σ ύμμορφες σ ε μετρικές Einstein. Επιπλέον, αποδεικνύεται [158] ότι αν η g είναι αυτοδυϊκή, τότε αποτελεί ένα απόλυτο ελάχισ το του σ υναρτησ ιακού 3.140, επομένως, ο B, και σ ε αυτή την περίπτωσ η, μηδενίζεται. Εκφράζοντας τον τανυσ τή Weyl σ υναρτήσ ει του τανυσ τή Riemann, του τανυσ τή Ricci και της βαθμωτής καμπυλότητας Ricci, ο τανυσ τής Bach γράφεται ως B = δ d Ric Ric 2 3 dscurv + 2 3 scurv Ric 2Con Ric, Ric + + 1 3 r 2 scurv 2 scurv g, 3.145 6 όπου Con, το contraction με την μετρική, αθροίζοντας σ τους πρώτους δείκτες, και. r X, Y = ei X r e i, Y. 3.146 Πρόταση 3.81. Αν η M είναι μια σ υμπαγής 4-διάσ τατη πολλαπλότητα Einstein-Weyl, και g η αντίσ τοιχη μετρική, με την ω co-κλεισ τή, τότε ο τανυσ τής Bach δίνεται από τη σ χέσ η B = 1 12 scurvd ω 2 g 1 3 scurvd ω ω + 1 2 Con dω, dω 1 4 dω 2 g. 3.147 Απόδειξη. Θέτοντας f = 1 4 scurv D + 2 ω 2, ο Ric r για σ υντομία γράφεται ως r = fg 1 2 ω ω. Θεωρούμε σ ημείο x M, και επιλέγουμε σ την γειτονιά του x μια τοπική βάσ η εφαπτόμενων διανυσ μάτων {e i } τέτοια ώσ τε το e i να μηδενίζεται σ το x. Ακόμα, θεωρούμε X = e j και Y = e k για κάποια j, k, και σ υμβολίζουμε i ei. Τότε, οι δύο πρώτοι όροι του τανυσ τή Bach είναι: δ d r r X, Y = i i r Y, X + i Y r e i, X + i X r e i, Y. Η ω # είναι Killing, άρα dω = 1 2 ω, επομένως, i i r = i ω i ω + 1 4 e i i dω ω + 1 4 ω e i i dω e i e i f g = 1 4 Con dω, dω 1 ω ω + ω ω + f g, 4 129

3.3 Twistors και Killing Spinors σ ε ψευδο-riemannian και σ ύμμορφες πολλαπλότητες και i X r e i, Y = 1 2 [ω Y i X ω e i + i ω Y X ω e i + + X ω Y i ω e i + i X ω Y ω e i ] + e i Xf g e i, Y = 1 2 [ ω # X ω Y X ω ω #Y 1 4 Con dω, dω Y, X + 1 2 ω Y ω X ] + df Y, X. Συνδυάζοντας τα ανωτέρω με τις σ χέσ εις ω = 1 2 scurvd ω, ω 2 = 1 2 scurvd ω 2 dω 2 και το γεγονός ότι το scurv D είναι σ ταθερό, δίνει τη σ χέσ η 3.147. Πόρισμα 3.82. Ο τανυσ τής Bach μιας σ υμπαγούς 4-διάσ τατης πολλαπλότητας Einstein-Weyl M είναι μηδέν, αν και μόνο αν η M είναι τοπικά σ υμμόρφως Einstein. Επιπλέον, σ την περίπτωσ η αυτή, αν η M είναι σ υνεκτική, και η σ ύμμορφη βαθμωτή καμπυλότητα της M δεν είναι μηδέν, τότε η M είναι Einstein. Απόδειξη. Αν η M είναι τοπικά σ υμμόρφως Einstein, τότε B = 0. Εσ τω ότι το B = 0 μηδενίζεται. Εφόσ ον Λ 2 T M = so 3 + so 3, και η SO 3 δρα μεταβατικά σ την μοναδιαία σ φαίρα σ την so 3, μπορούμε να επιλέξουμε μια τοπική ορθοκανονική βάσ η 1-μορφών {e i } τέτοια ώσ τε dω = f + e 1 e 2 + e 3 e 4 + f e 1 e 2 e 3 e 4 για κάποιες σ υναρτήσ εις f ±. Μετά από άμεσ ο υπολογισ μό, προκύπτει ότι Con dω, dω = f + + f 2 e 2 1 + e 2 2 + f + f 2 e 2 3 + e 2 4. Η επιλογή της βάσ ης αυτής μας επιτρέπει να θεωρήσ ουμε, επιπλέον, ότι ω = w + e 1 + w e 3 για κάποιες σ υναρτήσ εις w ±. Ο μηδενισ μός του B σ υνεπάγεται ότι scurv D w + w = 0, και 1 12 scurvd w+ 2 + w 2 1 3 scurvd w+ 2 + f + f = 0 = 1 12 scurvd w+ 2 + w 2 + f + f, 1 12 scurvd w+ 2 + w 2 1 3 scurvd w+ 2 f + f = 0 = 1 12 scurvd w+ 2 + w 2 f + f. Κατά σ υνέπεια, από την αναλυτικότητα, είτε το ω είναι μηδέν και η M είναι Einstein, είτε scurv D = 0. Στην τελευταία περίπτωσ η, το dω είναι ή αυτοδυϊκό ή αντιαυτοδυϊκό, σ υνεπώς, από το θεώρημα Stokes, προκύπτει ότι dω = 0, και άρα η M είναι τοπικά σ ύμμορφα Einstein. 3.3.2.10 Η εξίσ ωσ η twistor σ ε Riemannian πολλαπλότητες Στην παράγραφο αυτή, θα μελετήσ ουμε αναλυτικότερα την εξίσ ωσ η twistor 3.52, η οποία προέκυψε ως απόρροια του ορισ μού του τελεσ τή twistor σ τις spinorial δέσ μες. Ενα spinorial πεδίο ψ ανήκει σ τον πυρήνα του τελεσ τή twistor βλ. Πόρισ μα 3.15 αν και μόνο αν ικανοποιείται η 3.52, X ψ+ 1 nx D ψ = 0, οι λύσ εις της οποίας αντισ τοιχούν σ τους twistors. Εδώ, ως D ψ σ υμβολίζεται η δράσ η του τελεσ τή Dirac σ το ψ. Οι Killing spinors αποτελούν ειδική κατηγορία λύσ εων της εξίσ ωσ ης twistor, και η βασ ική διαφορά μεταξύ της πεδιακής εξίσ ωσ ης για τους Killing spinors και της εξίσ ωσ ης twistor εντοπίζεται σ το γεγονός ότι η τελευταία είναι σ ύμμορφα αναλλοίωτη. Λαμβάνοντας υπόψιν τα παραπάνω, προκύπτει: 130

3.3 Twistors και Killing Spinors σ ε ψευδο-riemannian και σ ύμμορφες πολλαπλότητες Πρόταση 3.83. Εσ τω g και g δύο σ ύμμορφα ισ οδύναμες Riemannian μετρικές σ την πολλαπλότητα M n. Τότε, υπάρχει ένας ισ ομορφισ μός ker T = ker T μεταξύ των πυρήνων των τελεσ τών twistor T και T. Η πεδιακή εξίσ ωσ η των Killing spinors δεν ικανοποιεί την σ υνθήκη της σ ύμμορφης αναλλοιώτητας, καθώς η σ υνθήκη Einstein, η οποία είναι αναγκαία σ υνθήκη ύπαρξης των Killing spinors, δεν είναι σ ύμμορφα αναλλοίωτη. Ωσ τόσ ο, αν η M n, g είναι Riemannian πολλαπλότητα με spin και Killing spinors, και αν η g είναι μια σ ύμμορφα αναλλοίωτη Riemannian μετρική ως προς την g, τότε, γενικά, η M n, g δεν φέρει Killing spinors, αλλά επιδέχεται twistors. Στην σ υμπαγή, δε, περίπτωσ η, αυτή είναι και η μόνη διαφορά μεταξύ αυτών των εξισ ώσ εων. Πρόταση 3.84. Εσ τω M n, g σ υμπαγής σ υνεκτική Riemannian πολλαπλότητα spin, σ την οποία ισ χύει ότι ker T 0. Τότε, υπάρχει μετρική Einstein g, η οποία είναι σ ύμμορφα ισ οδύναμη με την g, τέτοια ώσ τε ο χώρος ker T = ker T να σ υμπίπτει με τον χώρο των πραγματικών Killing spinors σ την M n, g, K λ R M n, g, δηλαδή. ker T K λ R M n, g. 3.148 Απόδειξη. Σε μια σ υμπαγή Riemannian πολλαπλότητα, η μετρική g μπορεί να αντικατασ ταθεί από μια σ ύμμορφα ισ οδύναμη μετρική g σ ταθερής βαθμωτής καμπυλότητας, όπως προκύπτει από τις [161-162], επομένως, δίχως βλάβη της γενικότητας, υποθέτουμε ότι η g έχει σ ταθερή βαθμωτή καμπυλότητα, και επιπλέον ότι ker T 0. Στην περίπτωσ η αυτή, αρκεί να δειχθεί ότι κάθε λύσ η της εξίσ ωσ ης twistor μπορεί να αναπαρασ ταθεί ως άθροισ μα πραγματικών Killing spinors. Από την εξίσ ωσ η 3.52, έχουμε ότι 0 = n ea ea ψ + 1 n a=1 n ea e a D ψ = ψ + 1 n D2 ψ. 3.149 a=1 Εφαρμόζοντας την εξίσ ωσ η Schrödinger-Lichnerowicz 3.58 σ την 3.149, λαμβάνουμε D 2 ψ = n Rψ. 3.150 4 n 1 Στην περίπτωσ η που η σ ταθερή βαθμωτή καμπυλότητα μηδενίζεται, R = 0, τότε D 2 ψ = 0, και εφόσ ον ˆ 0 = D 2 ψ, ψ ˆ = ψ 2, M n το ψ είναι παράλληλος spinor. Στην περίπτωσ η που R 0, μπορούμε να αναλύσ ουμε τον ψ ως n 1 ψ = nr ϕ + + ϕ, όπου ϕ ± = 1 nr 2 n 1 ψ ± D ψ. Η βαθμωτή καμπυλότητα είναι θετική για R 0, αφού όλες οι ιδιοτιμές του D 2 είναι θετικές, και επιπλέον, D ϕ ± = 1 nr 2 n 1 D ψ ± D2 ψ = ± 1 nr 2 n 1 ϕ ±. Κατά σ υνέπεια, τα spinorial πεδία ϕ ± είναι ιδιοspinors των μικρότερων δυνατών ιδιοτιμών ± 1 nr 2 n 1, και σ ε σ υνδυασ μό με την Πρότασ η 3.35, προκύπτει ότι οι ϕ ± είναι Killing spinors. M n 131

3.3 Twistors και Killing Spinors σ ε ψευδο-riemannian και σ ύμμορφες πολλαπλότητες Τοπικά, η Πρότασ η 3.84 έχει την εξής μορφή: Λήμμα 3.85. Εσ τω twistor ψ. Τότε, ισ χύει ότι n R X D ψ = X Ric X 2 n 2 2 n 1 Απόδειξη. Παραγωγίζοντας την 3.58 άλλη μια φορά, λαμβάνουμε τις εξισ ώσ εις: ea X ψ + 1 n e a X D ψ + 1 n X e a D ψ = 0 ψ. 3.151 από όπου έπεται ότι X ea ψ + 1 n Xe a D ψ + 1 n e a X D ψ = 0, R X, e a ψ + 1 n e a X D ψ 1 n X e a D ψ = 0. Πολλαπλασ ιάζοντας με e a και αθροίζοντας, έχουμε n e a R X, e a ψ = X D ψ 1 n X D2 ψ 2 n X D ψ, a=1 από την οποία, αντικαθισ τώντας την σ χέσ η 3.50, εφόσ ον n a=1 e a R X, e a ψ = 1 2Ric X ψ, λαμβάνουμε την 3.151. Μια άμεσ η σ υνέπεια της 3.151 είναι η εξίσ ωσ η Re X Dψ, ψ = 0, 3.152 η οποία ισ χύει για κάθε twistor ψ, όπου Re, πραγματικό βαθμωτό γινόμενο σ τις spinorial δέσ μες. Από αυτό, προκύπτουν [119, 128] τα εξής ολοκληρώματα: Πρόταση 3.86. Αν ψ twistor ορισ μένος σ ε μια σ υνεκτική Riemannian πολλαπλότητα, τότε οι σ υναρτήσ εις C ψ = Re ψ, Dψ 3.153 και είναι σ ταθερές. Q ψ = ψ 2 Dψ 2 C 2 ψ Απόδειξη. Παραγωγίζοντας την 3.153, έχουμε: n Re Dψ, e a ψ 2 3.154 a=1 X C ψ = Re X ψ, Dψ + Re ψ, X Dψ = Re και ομοίως προκύπτει ότι X Q ψ = 0. 1n X Dψ, Dψ + 0 = 0, Αυτά τα ολοκληρώματα της λύσ ης ψ της εξίσ ωσ ης twistor υπεισ έρχονται σ το ακόλουθο τοπικό αποτέλεσ μα, το οποίο δείχνει ότι τοπικά έξω από το μηδενικό σ ύνολο της ψ, ένας δεδομένος twistor spinor ψ μπορεί πάντα να μετασ χηματισ τεί σ ύμμορφα σ το άθροισ μα δύο πραγματικών Killing spinors [68]. 132

3.3 Twistors και Killing Spinors σ ε ψευδο-riemannian και σ ύμμορφες πολλαπλότητες Πρόταση 3.87. Εσ τω M n, g Riemannian πολλαπλότητα spin με μη τετριμμένους twistors ψ, και έσ τω το σ ύνολο των ριζών του ψ, N ψ = {m M n : ψ m = 0}. Τότε, το N αποτελείται από μεμονωμένα σ ημεία διακριτό σ ύνολο, και εισ άγοντας την σ ύμμορφα ισ οδύναμη Riemannian μετρική g = ψ 4 g, ορισ μένη σ τo M n \ N, τότε το σ ύνολο M n \ N γίνεται χώρος Einstein με βαθμωτή καμπυλότητα R 4 n 1 = C 2 ψ + Q ψ. 3.155 n Ως προς τη μετρική g 1, το spinorial πεδίο ψm ψ m είναι το άθροισ μα δύο πραγματικών Killing spinors σ τον χώρο M n \ N, g αν C 2 ψ + Q ψ>0, ενώ αν C 2 ψ + Q ψ = 0, τότε ο 1 ψm ψ m είναι παράλληλος spinor. Proof. Βλ. [68]. Παρατήρηση. Ενας twistor ψ θα είναι σ ύμμορφα ισ οδύναμος με έναν Killing spinor αν υπάρχει ένας σ ύμμορφος μετασ χηματισ μός της μετρικής g = σg, τέτοιος ώσ τε ο σ 1/4 ψ να είναι Killing spinor ως προς την μετρική g. Θεωρώντας την σ υνάρτησ η f = 1 2 σ 1/2, η εξίσ ωσ η Killing X σ 1/4 ψ + a n X σ 1/4 ψ = 0 3.156 γράφεται ισ οδύναμα ως aψ 2fD ψ + n grad f ψ = 0. 3.157 Ετσ ι, από τις σ υνθήκες ολοκληρωσ ιμότητας της 3.157 [119], προκύπτει ότι ένας twistor spinor ψ είναι σ ύμμορφα ισ οδύναμος με έναν πραγματικό Killing spinor αν και μόνο αν C ψ 0 και Q ψ = 0. 3.3.3 Twistors και Killing spinors σ ε Lorentzian πολλαπλότητες και 4-διάσ τατους χωρόχρονους Ορμώμενοι από την Πρότασ η 3.45, καθώς επίσ ης και από τον σ ύμμορφα αναλλοίωτο χαρακτήρα της εξίσ ωσ ης twistor, όπως προκύπτει από την 3.117, σ την παράγραφο αυτή θα εξετάσ ουμε [163] σ υνοπτικά ορισ μένα χαρακτηρισ τικά των λύσ εων των εξισ ώσ εων twistor και Killing εξειδικεύοντας σ τα πλαίσ ια της Lorentzian γεωμετρίας, καθώς φέρει άμεσ ο φυσ ικό ενδιαφέρον. Παρατήρηση. Τα σ ύμμορφα διανυσ ματικά πεδία σ ε μια ψευδο-riemannian πολλαπλότητα M n,k, g είναι [164, 165, 166] εκείνα τα διανυσ ματικά πεδία X, για τα οποία η σ χετική τοπική ροή τους, φ t X, δρα μέσ ω σ ύμμορφων μετασ χηματισ μών, δηλαδή, σ ε κάθε ανοικτό υποσ ύνολο U σ το οποίο ορίζεται η ροή φ t X, ισ χύει η σ χέσ η φt X g = e 2σt g, όπου σ t λεία σ υνάρτησ η σ το U. Στην περίπτωσ η που η πολλαπλότητα είναι Lorentzian, δηλαδή έχει signature 36, +,..., +, τότε η σ ύμμορφη κλάσ η [g] της g εμπεριέχει τις αιτιατές ιδιότητες της M, g. Στην περίπτωσ η αυτή, ένα σ ύμμορφο διανυσ ματικό πεδίο μπορεί να λογισ θεί ως μια απειροσ τή σ υμμετρία της αιτιατής δομής της M, g. Το απλούσ τερο είδος σ ύμμορφων διανυσ ματικών πεδίων είναι τα διανυσ ματικά πεδία Killing, για τα οποία ισ χύει ότι φ t X g = g. Στην ίδια κατηγορία ανήκουν και τα μη ουσ ιώδη inessential διανυσ ματικά πεδία, τα οποία είναι Killing για μια μετρική e 2σ g της σ ύμμορφης κλάσ ης μετρικών, και των οποίων η ροή διατηρεί, εκτός από μια σ ύμμορφη δομή, και άμεσ α μια μετρική δομή σ την M. Σημείωση. Τα διανυσ ματικά πεδία με την προαναφερθείσ α ιδιότητα είναι γραμμικοποιήσ ιμα σ την γειτονιά οποιασ δήποτε μοναδικότητας [166]. 36 Η σ ύμβασ η για το signature σ τον χώρο Minkowski που ακολουθούμε είναι κατά κύριο λόγο αυτή, ωσ τόσ ο σ τις εφαρμογές της θεωρίας twistor σ την κβαντική θεωρία πεδίου, χρησ ιμοποιούμε την εναλλακτική σ ύμβασ η. Σε κάθε περίπτωσ η, δηλώνεται ρητώς το signature. 133

3.3 Twistors και Killing Spinors σ ε ψευδο-riemannian και σ ύμμορφες πολλαπλότητες Ακόμα, ορίζονται και τα ουσ ιώδη essential διανυσ ματικά πεδία, τα οποία είναι σ ύμμορφα διανυσ ματικά πεδία των οποίων η ροή τοπική διατηρεί την σ ύμμορφη κλάσ η [g] αλλά καμία μετρική αυτής της κλάσ ης. 3.3.3.1 Συνθήκες ολοκληρωσ ιμότητας για twistors Η Πρότασ η 3.41, για την περίπτωσ η των twistor spinors δίνει τις σ υνθήκες ολοκληρωσ ιμότητας αυτών, οι οποίες παίζουν σ ημαντικό ρόλο σ την γεωμετρία των χώρων twistor και την θεωρία twistor που θα μελετήσ ουμε σ τη σ υνέχεια. Εσ τω ο 2, 1-τανυσ τής Cotton-York C 3.106, K ο τανυσ τής 3.106a και ο 4, 0-τανυσ τής Weyl W 3.106b, και έσ τω το αντίσ τοιχο 2, 2 -τανυσ τικό πεδίο W : Λ 2 M Λ 2 M. Τότε, για τους twistor spinors, η Πρότασ η 3.41 δίνει τις σ υνθήκες ολοκληρωσ ιμότητας [83]: Πρόταση 3.88 [83]. Εσ τω ϕ Γ S twistor spinor και μια 2-μορφή η = Y Z Λ 2 M. Τότε, ισ χύουν τα εξής: 1. D 2 ϕ = n Rϕ. 3.158a 4 n 1 2. 3. 4. S XDϕ = n 2 K X ϕ. W η ϕ = 0. W η Dϕ = nc Y, Z ϕ. 3.158b 3.158c 3.158d 5. X W η ϕ = X C Y, Z ϕ + 2 X W η Dϕ. 3.158e n Αν η M n, gεπιδέχεται Killing spinors, ο τανυσ τής Ricci και η βαθμωτή καμπυλότητα της M ικανοποιούν, επιπλέον, την ακόλουθη πρότασ η, η οποία είναι το ανάλογο της Πρότασ ης 3.41: Πρόταση 3.89. Εσ τω ϕ Γ S Killing spinor με αριθμό Killing λ C. Τότε: 1. Ισ χύει ότι Ric X 4λ 2 n 1 X ϕ = 0. Συγκεκριμένα, η εικόνα του ενδομορφισ μού Ric 4λ 2 n 1 Id T M είναι πλήρως φωτοειδής εκφυλισ μένη. 2. Η βαθμωτή καμπυλότητα είναι σ ταθερή και δίνεται από την σ χέσ η R = 4n n 1 λ 2. Ο αριθμός Killing λ είναι είτε πραγματικός, είτε αμιγώς φαντασ τικός. 3.3.3.2 Ομάδα ολονομίας μιας σ ύμμορφα επίπεδης πολλαπλότητας spin με twistors Εσ τω M n,k σ ύμμορφα επίπεδη πολλαπλότητα με ολικό επικάλυμμα M n,k. Τότε, η δέσ μη E βλ. Πρότασ η 3.45 είναι μια tractor δέσ μη βλ. [ 167] σ υσ χετιζόμενη με την σ ύμμορφη δομή της M, g, και η E της Πρότασ ης 3.45 είναι η σ υναλλοίωτη παράγωγος σ την E που ορίζεται από την κάθετη σ ύμμορφη σ ύνδεσ η Cartan [168]. Ετσ ι, η M n,k μπορεί να λογισ θεί πλέον ως επικάλυμμα Ĉ n,k της ψευδο-σ φαίρας Möbius, με την αντίσ τοιχη αναπαράσ τασ η ολονομίας [168] ρ : π 1 M O k + 1, n k + 1 της θεμελιώδους ομάδας της M να χαρακτηρίζει τις σ ύμμορφα επίπεδες πολλαπλότητες spin με twistor spinors. Ετσ ι, 134

3.3 Twistors και Killing Spinors σ ε ψευδο-riemannian και σ ύμμορφες πολλαπλότητες Πρόταση 3.90 [169, 170]. Μια σ ύμμορφα επίπεδη ψευδο-riemannian πολλαπλότητα φέρει spin και επιδέχεται twistors αν και μόνο αν η αναπαράσ τασ η της ολονομίας ρ επιδέχεται ένα lift της μορφής ρ : π 1 M Spin k + 1, n k + 1 3.159 και η αναπαράσ τασ η του π 1 M σ το spinorial πρότυπο k+1,n k+1 φέρει μια κατάλληλη τετριμμένη υποαναπαράσ τασ η. 3.3.3.3 Ρεύματα Dirac Σε κάθε spinorial πεδίο ϕ, αντισ τοιχίζεται [163] ένα διανυσ ματικό πεδίο V ϕ ρεύμα Dirac μέσ ω της σ χέσ ης g V ϕ, X := i k+1 X ϕ, ϕ, X Γ T M. 3.160 Πρόταση 3.91. Εσ τω ϕ Γ S twistor. Τότε, το διανυσ ματικό πεδίο V ϕ που αντισ τοιχίζεται μέσ ω της 3.161 είναι σ ύμμορφο δηλαδή L Vϕ g = fg, όπου f C M και έχει απόκλισ η div V ϕ = 2 1 [ k 2 ] h Dϕ, ϕ 3.161 όπου η ποσ ότητα h f δίνει το πραγματικό μέρος της f αν ο δείκτης k της g είναι περιττός, και το φαντασ τικό μέρος της f αν ο k είναι άρτιος. Ειδικότερα, για τις Lorentzian πολλαπλότητες M n,1, g, για κάθε spinorial πεδίο, το αντίσ τοιχο διανυσ ματικό πεδίο V ϕ ικανοποιεί την σ υνθήκη αιτιότητας g V ϕ, V ϕ 0. Εσ τω N ϕ και N V ϕ τα σ ύνολα μηδενισ μών του ϕ και του διανυσ ματικού πεδίου V ϕ, αντίσ τοιχα, με N ϕ = { p M n,1 : ϕ p = 0 } { } και N V ϕ = p M n,1 : V ϕ p = 0. Τότε, σ την Lorentzian περίπτωσ η, τα σ ύνολα αυτά έχουν το εξής χαρακτηρισ τικό: Πρόταση 3.92 [143]. Για κάθε spinorial πεδίο ϕ σ ε μια Lorentzian πολλαπλότητα, τα σ ύνολα μηδενισ μών N ϕ και N V ϕ ταυτίζονται. Αν ϕ twistor spinor με μηδενισ μό, τότε το V ϕ είναι ένα ουσ ιώδες σ ύμμορφο πεδίο που ικανοποιεί τη σ χέσ η V ϕ p = 0 για κάθε p N V ϕ. Το σ ύνολο μηδενισ μών του ϕ είναι η ξένη ένωσ η απομονωμένων ξένων σ ημείων και μεμονωμένων φωτοειδών γεωδαισ ιακών. Επιπλέον, ο τανυσ τής Weyl μηδενίζεται σ το σ ύνολο N ϕ. 3.3.3.4 Twistor spinors σ ε 4-διάσ τατους χωρόχρονους Ορισ μένα βασ ικά αποτελέσ ματα όσ ον αφορά την 4-διάσ τατη περίπτωσ η είναι τα εξής: Πρόταση 3.93 [163]. Εσ τωm, g 4-διάσ τατη Lorentzian πολλαπλότητα spin, και έσ τω ϕ Γ S ± spinor σ την αναπαράσ τασ η Weyl. Τότε, V ϕ ϕ = 0. Ειδικότερα, το διανυσ ματικό πεδίο V ϕ είναι φωτοειδές. Αν ο ϕ είναι twistor, τότε V ϕ W = 0. Οι 4-διάσ τατοι χωρόχρονοι που επιδέχονται παράλληλους spinors αναφέρονται ως pp-πολλαπλότητες, και ορίζονται ως R 4,1, g f := 2dx1 dx 2 + f x 2, x 3, x 4 dx 2 2 + dx 2 3 + dx 2 4, 3.162 όπου f λεία σ υνάρτησ η. Πρόταση 3.94 [172]. Κάθε 4-διάσ τατος χωρόχρονος που επιδέχεται παράλληλους spinors είναι τοπικά ισ ομετρικός με μια pp-πολλαπλότητα R 4,1, g f. 135

3.3 Twistors και Killing Spinors σ ε ψευδο-riemannian και σ ύμμορφες πολλαπλότητες Πρόταση 3.95 [173]. Κάθε 4-διάσ τατος χωρόχρονος που επιδέχεται πραγματικούς Killing spinors έχει σ ταθερή θετική τμηματική καμπυλότητα. Αν ένας 4-διάσ τατος χωρόχρονος επιδέχεται δύο γραμμικώς ανεξάρτητων φαντασ τικών Killing spinors, τότε έχει σ ταθερή και αρνητική τμηματική καμπυλότητα. Σημείωση. Βλ. Πρότασ η 3.43 για την Riemannian περίπτωσ η και την αντίσ τοιχη απόδειξη. Ο χωροχρόνος της μορφής R 4,1, h f := e 2x 4 2dx1 dx 2 + f x 2, x 3 dx 2 2 + dx 2 3 + dx 2 4 έχει ακριβώς έναν φαντασ τικό Killing spinor, ενώ αν 2 f/ x 2 3 0, τότε ο R 4,1, h f δεν είναι Einstein, και δεν είναι σ ύμμορφα επίπεδος μηδενισ μός του τανυσ τή Weyl. Από τα παραπάνω, προκύπτει ότι ένας 4-διάσ τατος χωρόχρονος με μη τετριμμένους twistors είναι σ ε κάθε σ ημείο του τύπου Petrov N ή 0 βλ. [174]. Ενα είδος χωρόχρονων τύπου Petrov N είναι οι χώροι Fefferman σ την CR-γεωμετρία βλ. [175], και ισ χύει η εξής πρότασ η [176]: Πρόταση 3.96. Εσ τω ϕ twistor σ την αναπαράσ τασ η Weyl χωρίς μηδενισ μούς σ ε έναν 4-διάσ τατο χωρόχρονο M 4,1, g. Τότε: 1. Αν το διανυσ ματικό πεδίο V ϕ είναι ορθογώνιο ως προς υπερεπιφάνειες, η M 4,1 είναι τοπικά σ ύμμορφα ισ οδύναμη με μια pp-πολλαπλότητα. 2. Αν ο σ τροβιλισ μός του V ϕ, curl V ϕ είναι μη εκφυλισ μένος σ το V ϕ /V ϕ, τότε ο M 4,1, g είναι τοπικά σ ύμμορφα ισ οδύναμος με έναν χώρο Fefferman. Από την άλλη, υπάρχουν τοπικές λύσ εις της εξίσ ωσ ης twistor σ ε κάθε 4-διασ τατο χώρο Fefferman και σ ε κάθε pp-πολλαπλότητα. Οπως και σ την Riemannian περίπτωσ η, υπάρχει ένας χώρος twistor για κάθε πραγματική 4- διάσ τατη Lorentzian πολλαπλότητα, και κάθε twistor ενός 4-διάσ τατου χωρόχρονου μπορεί να θεωρηθεί ως μια ολομορφική τομή σ την κανονική δέσ μη γραμμών επί του χώρου twistor του χωρόχρονου [177], η δομή του οποίου θα θεμελιωθεί σ την επόμενη ενότητα. 3.3.4 Twisted γινόμενα και Killing spinors Στην υποενότητα αυτή, θα εξετάσ ουμε την σ υσ χέτισ η των warped και twisted γεωμετριών, που λαμβάνονται μέσ ω των αντίσ τοιχων γινομένων, με τους twistors και Killing spinors. 3.3.4.1 Warped και twisted γινόμενα Μια πολύ χρήσ ιμη, γενικότερα, έννοια είναι αυτή του warped σ τρεβλού γινομένου, που αποτελεί μια γενίκευσ η του ευθέως γινομένου δύο ψευδο- Riemannian πολλαπλοτήτων [159, 160]. Ενα warped γινόμενο είναι μια ψευδο-riemannian πολλαπλότητα, της οποίας ο μετρικός τανυσ τής μπορεί να γραφεί ως g = i,j g ij y dy i dy j + f y s,t g st x dx s dx t, όπου η warped γεωμετρία αναλύεται σ ε ένα γινόμενο της γεωμετρίας y και της γεωμετρίας x, με την ιδιαιτερότητα ότι ο δεύτερος όρος είναι σ τρεβλό, δηλαδή υφίσ ταται ανακλιμάκωσ η κατά μια βαθμωτή σ υνάρτησ η των σ υντεταγμένων του πρώτου όρου. Χαρακτηρισ τικό παράδειγμα για την χρήσ η των warped γινομένων σ την μαθηματική φυσ ική αποτελεί το γεγονός ότι αρκετές βασ ικές λύσ εις των πεδιακών εξισ ώσ εων Einstein έχουν την μορφή warped γινομένου ή μπορούν να αναχθούν, όπως οι μετρικές Schwarzschild και Robertson-Walker. Τα δε twisted γινόμενα, όπως θα δούμε, γενικεύουν φυσ ικά την έννοια των warped γινομένων. 136

3.3 Twistors και Killing Spinors σ ε ψευδο-riemannian και σ ύμμορφες πολλαπλότητες Warped γινόμενα Εσ τω B και F δύο ψευδο-riemannian πολλαπλότητες εφοδιασ μένες με ψευδο-riemannian μετρικές g B και g F, αντίσ τοιχα, και έσ τω f λεία θετική σ υνάρτησ η σ την B. Η πολλαπλότητα που σ χηματίζεται από το γινόμενο B F έχει την φυσ ική προβολή π : B F B και η : B F F. Ορισμός 3.97. Το warped γινόμενο M = B f F ορίζεται ως η πολλαπλότητα B F εφοδιασ μένη με μια ψευδο-riemannian δομή τέτοια ώσ τε X, X = π X, π X + f 2 π x η X, η X 3.163 για οποιοδήποτε εφαπτόμενο διάνυσ μα X T M, επομένως, ισ οδύναμα έχουμε ότι Η σ υνάρτησ η f καλείται warping σ υνάρτησ η του warped γινομένου. g = g B + f 2 g F. 3.164 Παρατήρηση. Για f = 1, το warped γινόμενο B f F ανάγεται σ ε ευθύ γινόμενο. Σε ένα warped γινόμενο, η πολλαπλότητα B αντισ τοιχεί σ την βάσ η, και η F σ το νήμα, ενώ οι χώροι B {q} = η 1 q φύλλα και {p} F = π 1 p νήματα είναι ψευδο-riemannian υποπολλαπλότητες της M. Ειδικότερα, τα εφαπτόμενα διανύσ ματα σ τα φύλλα αντισ τοιχούν σ τα οριζόντια διανύσ ματα, και τα εφαπτόμενα διανύσ ματα σ τα νήματα αντισ τοιχούν σ τα κατακόρυφα, δηλαδή H = T p.q B {q} και V = T p,q {p} F. Αν u T p B, με p B και q F, τότε το lift ū του u σ το p, q είναι το μοναδικό διάνυσ μα του T p,q M έτσ ι ώσ τε π ū = u. Για ένα διανυσ ματικό πεδίο X X B, το lift του X σ την M είναι το διανυσ ματικό πεδίο X, του οποίου η τιμή σ ε κάθε p, q είναι το lift του X p σ το p, q. Το σ ύνολο όλων των οριζόντιων lifts είναι το L B, ενώ των κατακόρυφων το L F. Για X, Ȳ L B και V, W L F, ισ χύει [178] ότι [ X, Ȳ ] [ ] [ ] = [X, Y ] L B, V, W = [V, W ] L F, X, V = 0. 3.165 Ακόμα, αποδεικνύεται [178] ότι ισ χύει το εξής: αν λ F B, τότε η βάθμωσ η του lift λ π του λ σ την M = B f F είναι το lift σ την M της βάθμωσ ης του λ σ την B. Σύνδεσ η Levi-Civita Η σ ύνδεσ η Levi-Civita σ την M = B f F σ χετίζεται με τις επιμέρους σ υνδέσ εις Levi-Civita των B και F ως εξής [159]: Πρόταση 3.98. Για X, Y L B και V, W L F, σ την B f F έχουμε τα εξής: αν tan η προβολή V σ τον T p,q {p} F, nor η προβολή H σ τον T p,q {p} F = Tp.q B {q}, και II η δεύτερη θεμελιώδης μορφή, τότε: 1. Το X Y L B είναι το lift του X Y σ την B. 2. 3. X V = V X = Xf V. f nor X W = II V, W = V, W f f 4. Το tan V W L F είναι το lift του V W σ την F, όπου η σ ύνδεσ η Levi-Civita σ την F. Απόδειξη. Βλ. [159] 7, Prop. 35. 137

3.3 Twistors και Killing Spinors σ ε ψευδο-riemannian και σ ύμμορφες πολλαπλότητες Καμπυλότητα warped γινομένων Στο warped γινόμενο M = B f F, το lift T ενός σ υναλλοίωτου τανυσ τή T της B σ την M είναι το pullback π T υπό την προβολή π : M B. Εσ τω B R και F R τα lifts σ την M των τανυσ τών καμπυλότητας της B και F, αντίσ τοιχα. Τότε, ισ χύει [159] η εξής πρότασ η: Πρόταση 3.99. Εσ τω M = B f F warped γινόμενο δύο ψευδο-riemannian πολλαπλοτήτων. Αν X, Y, Z L B και U, V, W L F, τότε ισ χύουν τα εξής: 1. Ο R X, Y Z L B είναι το lift του B R X, Y Z σ την B. 2. 3. 4. 5. R V, W U = F R V, W U + R X, V Y = Hf X, Y V. f R X, Y V = R V, W X = 0. R X, V W = V, W X f. f f, f f 2 V, U W W, U V, όπου R ο τανυσ τής καμπυλότητας της M και H f η Hessian της f. Απόδειξη. Βλ. [159] 7, Prop. 42. Πόρισμα 3.100 [159]. Σε ένα warped γινόμενο M = B f F με k = dim F > 1, έσ τω X, Y οριζόντια και V, W κατακόρυφα διανυσ ματικά πεδία. Τότε, ο τανυσ τής Ricci Ric της M ικανοποιεί τις σ χέσ εις: 1. 2. 3. Ric X, Y = B Ric X, V k f Hf X, Y. Ric X, V = 0. f Ric V, W = F Ric V, W f k 1 f, f f 2 V, W, όπου F Ric και B Ric τα lifts του τανυσ τή Ricci της F και B, αντίσ τοιχα. 138

3.3 Twistors και Killing Spinors σ ε ψευδο-riemannian και σ ύμμορφες πολλαπλότητες Twisted γινόμενα Τα twisted γινόμενα αποτελούν φυσ ική γενίκευσ η των warped γινομένων, αντικαθισ τώντας την warping σ υνάρτησ η με την twisting σ υνάρτησ η, η οποία εξαρτάται και από τις δύο γεωμετρίες βλ. [178, 179]. Ορισμός 3.101. Εσ τω B και F δύο ψευδο-riemannian πολλαπλότητες εφοδιασ μένες με ψευδο- Riemannian μετρικές g B και g F, αντίσ τοιχα, και έσ τω f μια θετική λεία σ υνάρτησ η σ την M. Το twisted γινόμενο M = B f F είναι η πολλαπλότητα B F εφοδιασ μένη με την ψευδο-riemannian μετρική g της μορφής g X, Y = g B π X, π Y + f 2 g F η X, η Y, 3.166 όπου X, Y T M εφαπτόμενα διανύσ ματα. Αν η f εξαρτάται μόνο από την B, τότε το twisted γινόμενο B f F ανάγεται σ ε warped γινόμενο, ενώ αν η B είναι ένα σ ημείο, τότε το twisted γινόμενο είναι ένας σ ύμμορφος μετασ χηματισ μός της μετρικής σ την F [178]. 3.3.4.2 Killing spinors σ ε warped γινόμενα Στη σ υνέχεια, θα δούμε ορισ μένες βασ ικές ιδιότητες της εξίσ ωσ ης Killing σ ε warped γινόμενα. Θεωρούμε [173] warped γινόμενα της μορφής M n,k, g M = F n 1,ˆk f I = F I, f 2 t g F + ɛdt 2, 3.167 όπου F n 1,ˆk, g F ψευδο-riemannian πολλαπλότητα, ɛ {±1}, k = ˆk 1 2 ɛ 1 και f : I R+ η warping σ υνάρτησ η. Εσ τω ξ = t = t το ολικό μοναδιαίο διανυσ ματικό πεδίο, που είναι ορθογώνιο σ τα νήματα του warped γινομένου. Για κάθε διανυσ ματικό πεδίο X X F της F ορίζεται το X p, t = f 1 t X p X M. Ετσ ι, εφαρμόζοντας τις σ χέσ εις για την καμπυλότητα των warped γινομένων από το Πόρισ μα 3.99, προκύπτει [173]: Λήμμα 3.102. Εσ τω M n,k = F n 1,ˆk f I ψευδο-riemannian warped γινόμενο διάσ τασ ης n 3. Τότε, η M είναι χώρος Einstein σ ταθερής καμπυλότητας αν και μόνο αν η warping σ υνάρτησ η f ικανοποιεί την εξίσ ωσ η F R = ɛ n 1 n 2 f 2 ff ή την ισ οδύναμη M R = ɛn n 1 f f 1, και η F είναι χώρος Einstein. Αν n 4, τότε η M είναι σ ύμμορφα επίπεδη αν και μόνο αν η F έχει σ ταθερή τμηματική καμπυλότητα. Μέσ ω του 1, [83] για τον spinorial ανάλυσ η σ ε warped γινόμενα, αποδεικνύεται [173] το εξής: Θεώρημα 3.103 [173]. Εσ τω M 2m+2,k = F 2m+1,ˆk f I ένα warped γινόμενο με μετρική g M = f 2 g F + ɛdt 2 εφοδιασ μένο με δομή spin. Τότε, η M επιδέχεται μη τετριμμένο Killing spinor ϕ με αριθμό Killing λ { ± 1 2, 0, ± 2} i αν και μόνο αν η warping σ υνάρτησ η f ικανοποιεί την σ χέσ η f = 4ɛλ 2 f και η F επιδέχεται μη τετριμμένο Killing spinor με λ F ή λ F, όπου λ F = λ 2 f 2 + 1 4 ɛ f 2. Επιπλέον, έχουμε ότι dim K λ M, g M = dim K +λf F, g F + dim K λf F, g F,λ F 0 dim K λ M, g M dim K 0 F, g F,λ F = 0. 3.168a 3.168b Σε αναλογία με το προηγούμενο Θεώρημα, αποδεικνύεται [173], με παρόμοιο τρόπο, το εξής: Θεώρημα 3.104 [173]. Εσ τω M 2m+1,k = F 2m,ˆk f I ένα warped γινόμενο με μετρική g M = f 2 g F + ɛdt 2 εφοδιασ μένο με μια δομή spin. Τότε, η M επιδέχεται μη τετριμμένο Killing spinor ϕ με αριθμό Killing λ { ± 1 2, 0, ± i 2} αν και μόνο αν η warping σ υνάρτησ η ικανοποιεί τη σ χέσ η 139

f = 4ɛλ 2 f και η F επιδέχεται μη τετριμμένο Killing spinor με ±λ F, όπου λ F = λ 2 f 2 + 1 4 ɛ f 2. Επιπλέον, έχουμε ότι dim K λ M, g M = dim K ±λf F, g F, αν λ F 0. 3.169 Στην περίπτωσ η όπου λ F = 0, έχουμε λ = ±κ f t 0 ft 0, όπου κ = 1 2 ɛτ ɛi 1 m και dim K +κ f t 0 ft 0 dim K κ f t 0 ft 0 M, g M dim K 0 F, g F M, g M dim K + 0 F, g F 3.170a 3.170b όπου K ± 0 F, g F = { ϕ Γ S ± F : ϕ = 0 } και η spinorial σ ύνδεσ η. 4 Θεωρίες πεδίων βαθμίδας και γενική σχετικότητα Στην ενότητα αυτή, θα περιγράψουμε, αρχικά, την σ ύνδεσ η των γεωμετρικών εννοιών των σ υνδέσ εων σ τις νηματικές δέσ μες βλ. 1.3, 1.4 με την θεωρία πεδίων βαθμίδας Yang-Mills, σ κιαγραφώντας την αντισ τοιχία μεταξύ των δύο περιγραφών [180], ενώ σ τη σ υνέχεια, θα θεωρήσ ουμε σ υνοπτικά και τις υπερσ υμμετρικές επεκτάσ εις των θεωριών πεδίων [], οι οποίες θα μελετηθούν μέσ ω της θεωρίας twistor σ την επόμενη ενότητα. Ακόμα, θα μελετήσ ουμε σ υνοπτικά την γενική θεωρία της σ χετικότητας, δίνοντας έμφασ η σ την spinorial περιγραφή των πεδιακών εξισ ώσ εων και τον Lagrangian φορμαλισ μό αυτής, εξειδικεύοντας την περιγραφή σ τις περιπτώσ εις των αυτοδυϊκών και αντι-αυτοδυϊκών χωρόχρονων [180], οι οποίοι θα μας απασ χολήσ ουν σ την ενότητα της γενίκευσ ης της θεωρίας twistor σ υμπεριλαμβάνοντας την βαρύτητα. 4.1 Θεωρίες πεδίων βαθμίδας Η βασ ική αιτία ανάπτυξης των θεωριών πεδίων βαθμίδας, από φυσ ικής σ κοπιάς, ήταν η αναγκαιότητα γενίκευσ ης της πεδιακής θεωρίας του ηλεκτρομαγνητισ μού, αντικαθισ τώντας την ομάδα βαθμίδας U 1 με μια μη-αβελιανή. Συνήθως, η ομάδα αυτή θεωρείται σ υμπαγής και ημι-απλή, ή ως γινόμενο τέτοιων ομάδων, και αντιγράφων της U 1, με την SU n ως σ υνηθέσ τερη σ τις φυσ ικές εφαρμογές Βλ. [181, 182, 183-185] για μια σ υμπαγή και πλήρη θεώρησ η της θεωρίας πεδίων βαθμίδας. 4.1.1 Πεδιακές θεωρίες βαθμίδας Για λόγους φυσ ικής σ υνάφειας και απλότητας, εργαζόμασ τε σ τον 4-διάσ τατο χωρόχρονο Minkowski M 4. Εσ τω G η ομάδα Lie, η οποία ταυτίζεται με την ομάδα βαθμίδας, και έσ τω g η αντίσ τοιχη άλγεβρα Lie. 4.1.1.1 Δυναμικό βαθμίδας Ορισμός 4.1. Ενα δυναμικό βαθμίδας σ τον χωρόχρόνο Minkowski M 4 είναι μια απεικόνισ η A a : M 4 g T M 4, δηλαδή το A a είναι μια 1-μορφή σ τον M 4 με τιμές σ την g. Παρατήρηση. Η 1-μορφή A a σ χετίζεται με την 1-μορφή σ ύνδεσ ης σ την κύρια δέσ μη P, όπως εισ ήχθη σ την 1.4.1 βλ. Λήμμα 1.33, και ικανοποιεί την 1.103. Κάθε πεδίο ϕ βαθμωτό, τανυσ τικό ή spinorial το οποίο έρχεται σ ε ζεύξη με το πεδίο βαθμίδας, πρέπει να ανήκει σ ε κάποια αναπαράσ τασ η της G. Για παράδειγμα, αν η G θεωρηθεί ως SU n, τότε το ϕ είναι είτε σ την θεμελιώδη αναπαράσ τασ η, αναπαρισ τάμενο ως n-διάνυσ μα σ τήλη, είτε σ την σ υζυγή αναπαράσ τασ η, οπότε αναπαρίσ ταται ως ένας n n αντι-ερμητιανός πίνακας μηδενικού ίχνους 140

4.1 Θεωρίες πεδίων βαθμίδας βλ. [181] 3.3. Το δυναμικό A a επάγει τον διαφορικό τελεσ τή D a, ο οποίος δρα σ ε τέτοια πεδία ϕ. Αν το ϕ ανήκει σ την θεμελιώδη αναπαράσ τασ η, τότε D a ϕ = a ϕ + A a ϕ, 4.1 όπου το A a δρα μέσ ω του γινομένου πινάκων. Αντίσ τοιχα, αν το ϕ ανήκει σ την σ υζυγή αναπαράσ τασ η, τότε D a ϕ = a ϕ + [A a, ϕ], 4.2 όπου [, ] ο μεταθέτης γινόμενο σ την άλγεβρα Lie. 4.1.1.2 Πεδίο βαθμίδας και μετασ χηματισ μοί βαθμίδας Ο μεταθέτης [D a, D b ] δίνεται από τις σ χέσ εις όπου [D a, D b ] ϕ =F ab ϕ, για την θεμελιώδη αναπαράσ τασ η 4.3 [D a, D b ] ϕ = [F ab, ϕ], για την σ υζυγή αναπαράσ τασ η 4.4 F ab = a A b b A a + [A a, A b ]. 4.5 Η F ab είναι μια 2-μορφή σ τον M 4 που λαμβάνει τιμές σ την g, και καλείται πεδίο βαθμίδας. Ενας μετασ χηματισ μός βαθμίδας περιλαμβάνει την απεικόνισ η g : M 4 G, και εκφράζεται ως: A a g 1 A a g + g 1 a g, 4.6 όπου το ϕ μετασ χηματίζεται ως ϕ g 1 ϕ σ την θεμελιώδη αναπαράσ τασ η, και ως ϕ g 1 ϕg σ την σ υζυγή. Εφαρμόζοντας τους κανόνες μετασ χηματισ μού σ την 4.5, προκύπτει ότι F ab g 1 F ab g, 4.7 ενώ αντίσ τοιχα ο D a μετασ χηματίζεται ως D a ϕ g 1 D a ϕ σ την θεμελιώδη και D a ϕ g 1 D a ϕ g σ την σ υζυγή αναπαράσ τασ η. Η περίπτωσ η όπου G = U 1 αντισ τοιχεί σ την ηλεκτρομαγνητική θεωρία Maxwell βλ. 1, [181], με διαφοροποίησ η σ τα A a και F ab κατά έναν παράγοντα i. Η μαθηματική ερμηνεία της θεωρίας πεδίων βαθμίδας γίνεται μέσ ω της θεωρίας των νηματικών δεσ μών, θεωρώντας μια τετριμμένη διανυσ ματική δέσ μη V επί του M 4 με δομική ομάδα G. Ο διαφορικός τελεσ τής D a ορίζει μια σ ύνδεσ η σ την V με καμπυλότητα F ab. Οι μετασ χηματισ μοί βαθμίδας είναι το σ ύνολο των αυτομορφισ μών σ την G- δέσ μη V, και έτσ ι η μαθηματική περιγραφή τους ανάγεται πλήρως σ την ανάλυσ η της 1.4. 4.1.1.3 Πεδιακές εξισ ώσ εις Yang-Mills Η Lagrangian για τα πεδία βαθμίδας προκύπτει ως φυσ ική γενίκευσ η της Lagrangian του ηλεκτρομαγνητισ μού. Εσ τω, η φυσ ική διγραμμική μορφή μορφή Killing σ την g, για παράδειγμα, σ την περίπτωσ η όπου G = SU n ή U n και αν A, B g αντι-ερμητιανοί n n πίνακες, τότε A, B = tr AB. Γενικότερα, θεωρούμε την, ως μια Ερμητιανή, θετικά ορισ μένη μορφή σ την g, όπως σ την περίπτωσ η της ομάδας G που κατασ κευάζεται ως γινόμενο αντιγράφων της SU n και της U 1. Λογίζοντας την F ab ως σ υνάρτησ η των A a και a A b, η Lagrangian της θεωρίας Yang-Mills γράφεται ως [181]: L Y M = L Y M a A b, A a = 1 4 Fab F ab, 4.8 και είναι αναλλοίωτη υπό μετασ χηματισ μούς βαθμίδας βλ. 4.2 [181], αφού η μορφή Killing είναι αναλλοίωτη υπό την σ υζυγή δράσ η της G σ την g. Το πεδίο βαθμίδας F ab ικανοποιεί αυτομάτως την ταυτότητα Bianchi D [a F bc] = 0 4.9 141

4.1 Θεωρίες πεδίων βαθμίδας και οι εξισ ώσ εις Euler-Lagrange, με λογισ μό μεταβολών, είναι οι όπου D a F ab = 0, 4.10 D a F bc = a F bc + [A a, F bc ], 4.11 αφού το F ab ανήκει σ την σ υζυγή αναπαράσ τασ η βλ. 4.2, [181]. Εφόσ ον η F ab είναι μια 2-μορφή με τιμές σ την g, αυτή μπορεί να αναλυθεί βλ. 7.14, 10.1, [25] σ το αυτοδυϊκό και σ το αντι-αυτοδυϊκό της τμήμα ως F ± ab = 1 2 F ab i F ab, 4.12 όπου οι F + ab και F ab είναι 2-μορφές με τιμές σ την g C μιγαδικοποίησ η της g, και F ab = 1 2 ε abcdf cd σ τον M 4, με ε abcd σ τοιχείο όγκου του M 4, όπου ο τελεσ τής Hodge βλ. 7.9.2, [24]. Μια σ ημαντική κλάσ η πεδίων βαθμίδας είναι τα αυτοδυϊκά πεδία, τα οποία ικανοποιούν την σ υνθήκη F ab = if ab 4.13 και τα αντι-αυτοδυϊκά, για τα οποία έχουμε την αντίσ τοιχη σ υνθήκη F ab = if ab. 4.14 Στις περιπτώσ εις αυτές, ικανοποιούνται οι πεδιακές εξισ ώσ εις Yang-Mills, όπως προκύπτει από την ταυτότητα Bianchi D a F ab = 0. Παρατήρηση. Η σ υνθήκη αντι-αυτοδυϊσ μού F = if αποτελεί ένα πρωτοβάθμιο ημι-γραμμικό σ ύσ τημα εξισ ώσ εων για το δυναμικό βαθμίδας A a. Ωσ τόσ ο, ο παράγοντας i υποδηλώνει ότι για πραγματικές ομάδες βαθμίδας, όπως η SU n, δεν υπαρχουν αυτοδυϊκά πεδία βαθμίδας σ τον χωρόχρονο Minkowski M 4, εκτός από το τετριμμένο πεδίο F ab = 0, αφού αν η F ab λογισ θεί ως αντι- Ερμητιανός πίνακας, τότε και ο F ab θα είναι επίσ ης αντι-ερμητιανός, επομένως, εφόσ ον ισ χύουν οι 4.13 και 4.14 αντίσ τοιχα, σ υνεπάγεται ότι F ab = 0. Για την αποφυγή αυτού του προβλήματος, μπορεί να θεωρηθεί επιτρεπτή η χρήσ η μιγαδικών ομάδων βαθμίδας, όπως η SL n, C ή η GL n, C ώσ τε να υπάρχουν μη τετριμμένες αυτοδυϊκές λύσ εις σ τον M 4. Εναλλακτικά, η θεωρία βαθμίδας μπορεί να επαναδιατυπωθεί σ ε έναν θετικά ορισ μένο βασ ικό χώρο, όπως θα περιγραφεί σ τη σ υνέχεια. Παρατήρηση. Οπως προκύπτει [189] από τα παραπάνω, οι εξισ ώσ εις Yang-Mills και οι αυτοδυϊκές εξισ ώσ εις είναι αναλλοίωτες υπό την δράσ η μετασ χηματισ μών Poincaré, ενώ επιπλέον είναι και σ υμμόρφως αναλλοίωτες βλ. 4, Pt.1, Classical Field Theory, [64] Vol. 1. Επιπλέον, προκύπτει [123] ότι ο τελεσ τής είναι σ ύμμορφα αναλλοίωτος όταν δρα σ ε 2-μορφές σ τις 4 διασ τάσ εις. 4.1.1.4 Σύνοψη αντισ τοιχίας μεταξύ θεωριών βαθμίδας και νηματικών δεσ μών Συνοπτικά, η αντισ τοιχία μεταξύ των θεωριών βαθμίδας και της θεωρίας των νηματικών δεσ μών, περιγράφεται από τις ακόλουθες επιμέρους αντισ τοιχίες: Θεωρίες βαθμίδας ομάδα βαθμίδας δυναμικό βαθμίδας πεδίο βαθμίδας βαθμίδα μετασ χηματισ μοί βαθμίδας Νηματικές δέσ μες δομική ομάδα 1-μορφή σ ύνδεσ ης 2-μορφή καμπυλότητας της σ ύνδεσ ης τοπική τετριμμενοποίησ η της δέσ μης τοπικοί αυτομορφισ μοί της δέσ μης Πίνακας 2: Σύνοψη αντισ τοιχίας μεταξύ θεωριών βαθμίδας και νηματικών δεσ μών. 142

4.1 Θεωρίες πεδίων βαθμίδας 4.1.2 Instantons σ την θεωρία Yang Mills Στην υποενότητα αυτή, θα δούμε σ υνοπτικά ορισ μένα βασ ικά χαρακτηρισ τικά και ορισ μένα χρήσ ιμα για τις υπερσ υμμετρικές θεωρήσ εις σ τα πλαίσ ια της θεωρίας twistor μαθηματικά αποτελέσ ματα για τις λύσ εις πεπερασ μένης δράσ ης των εξισ ώσ εων Yang-Mills σ ε έναν Ευκλείδειο χώρο E 4 Yang-Mills instantons. Η σ υνήθης προσ έγγισ η σ την κβάντωσ η των θεωριών βαθμίδας σ ε μια κβαντική θεωρία πεδίων είναι μέσ ω των ολοκληρωμάτων διαδρομών Feynman βλ. [182, 188, 191], χρησ ιμοποιώντας σ υναρτησ ιακά ολοκληρώματα της μορφής ˆ P [ϕ] exp is [ϕ] D [ϕ], 4.15 ΦΩ όπου ϕ τα πεδία της θεωρίας, Φ Ω ο χώρος όλων πεδίων αυτών ϕ σ την περιοχή Ω του χωροχρόνου, με το ϕ να ικανοποιεί κατάλληλες σ υνοριακές σ υνθήκες και σ υνθήκες σ υνέπειας, S [ϕ] το σ υναρτησ ιακό της δράσ ης του ϕ σ την Ω, P [ϕ] πολυώνυμο ως προς ϕ και D [ϕ] κατάλληλο μέτρο σ τον χώρο Φ Ω, ο οποίος είναι απειροδιάσ τατος. Η σ υνήθης τακτική αντιμετώπισ ης ενός τέτοιου ολοκληρώματος, μέσ ω της περισ τροφής Wick, περιλαμβάνει την αναλυτική σ υνέχεια από τον χωρόχρονο Minkowski σ τον 4-διάσ τατο Ευκλείδειο χώρο E 4, και δίνει σ το ολοκλήρωμα την μορφή ˆ P [ϕ] exp S [ϕ] D [ϕ], 4.16 ΦΩ όπου, πλέον, η Ω είναι περιοχή του χώρου E 4, ενώ σ τις περιπτώσ εις που μελετάμε, το S [ϕ] είναι ένα θετικά ορισ μένο σ υναρτησ ιακό του ϕ σ τον E 4. Αρχικά, για την ανάλυσ η του ολοκληρώματος 4.16 απαιτείται ο προσ διορισ μός των κρίσ ιμων σ ημείων του S [ϕ] σ τον Φ E 4, που ισ οδυναμεί με τον προσ διορισ μό των λύσ εων των εξισ ώσ εων Yang-Mills, αφού η πρώτης τάξης σ υναρτησ ιακή μεταβολή του S [ϕ] μηδενίζεται για τέτοια πεδία βλ. 5 Pt. 2, Intr. QFT [64] Vol. 1. Συγκεκριμένα, αυτή η διαδικασ ία περιλαμβάνει τον προσ διορισ μό των τοπικών ελαχίσ των του S [ϕ] σ το Φ E 4, ώσ τε γύρω από αυτά, να εφαρμοσ θεί η θεωρία διαταραχών. Η θεωρία βαθμίδας σ τον Ευκλείδειο χώρο E 4 αναδιαμορφώνεται, ως προς την σ υνήθη, αντικαθισ τώντας την μετρική του M 4, η ab, με την Ευκλείδεια, δ ab = diag 1, 1, 1, 1. Η Lagrangian 4.8 του πεδίου F ab σ τον E 4 είναι ένα αρνητικά ορισ μένο σ υναρτησ ιακό του F ab, επομένως, L Y M = 1 4 Fab, F ab. 4.17 Συνεπώς, η δράσ η S είναι η ˆ ˆ S = L Y M a A b x, A a x d 4 1 x = 4 Fab, F ab d 4 x, 4.18 E 4 E 4 που είναι ένα θετικά ορισ μένο σ υναρτησ ιακό του πεδίου. Παρατήρηση. Η μορφή της δράσ ης 4.18 ταυτίζεται με την σ υνήθη νόρμα του χώρου L 2, σ το τετράγωνο, και έτσ ι, S = 1 4 F 2. Η δράσ η 4.18 προκύπτει [64] αναλλοίωτη υπό την δράσ η της ομάδας των σ τερεών κινήσ εων που διατηρούν τον προσ ανατολισ μό σ τον E 4, που είναι το ανάλογο της ομάδας Poincaré. Επιπλέον, όπως και προηγουμένως, είναι σ ύμμορφα αναλλοίωτη, καθώς, δρώντας με έναν σ ύμμορφο μετασ χηματισ μό σ την μετρική, τα F ab, F ab και d 4 x ανακλιμακώνονται με σ ύμμορφα βάρη -4 και +4, αντίσ τοιχα, διατηρώντας έτσ ι την S αναλλοίωτη. 143

4.1 Θεωρίες πεδίων βαθμίδας Η πεπερασ μένη δράσ η παράγοντας exp S [ϕ] σ το σ υναρτησ ιακό δράσ ης σ ημαίνει ότι το πεδίο βαθμίδας εκτείνεται σ ε μια σ υμπαγοποίησ η ενός-σ ημείου του E 4, δηλαδή σ τον S 4, με την σ υνήθη του μετρική. Η 4-σ φαίρα S 4 λαμβάνεται προσ θέτοντας ένα σ ημείο σ το άπειρο,, σ τον E 4, όπου η σ τερεογραφική προβολή f : S 4 { } E 4 είναι σ ύμμορφη απεικόνισ η [192]. Ωσ τόσ ο, η S 4 δεν είναι τοπολογικά τετριμμένη. Το πεδίο βαθμίδας σ την S 4 περιγράφεται ισ οδύναμα από μια διανυσ ματική δέσ μη E σ την S 4, και μια σ ύνδεσ η D a σ την E. Για παράδειγμα, αν η ομάδα βαθμίδας είναι η SU n, τότε η E είναι μια C n -δέσ μη, η οποία δεν είναι απαραίτητα τετριμμένη. Δρώντας με την f σ την E και την σ ύνδεσ ή της, λαμβάνεται μια τετριμμένη δέσ μη σ τον E 4 και μια σ ύνδεσ η της μορφής D a = a + A a, όπου η A a είναι μια λεία 1-μορφή με τιμές σ την g σ τον E 4. Αν η E είναι μη τετριμμένη, το pullback f A a της A a σ το S 4 δεν εκτείνεται σ το σ ημείο, άρα δεν εκτείνεται σ ε όλη την S 4. Για την ανάκτησ η της περιγραφής κοντά σ το, αρκεί η εφαρμογή της σ τερεογραφικής προβολής από κάποιο διαφορετικό σ ημείο, έσ τω 0, της S 4, μέσ ω της σ ύμμορφης απεικόνισ ης f 0 : S 4 {0} E 4 που δίνει μια τετριμμένη δέσ μη σ την E 4 και μια σ ύνδεσ η σ ε αυτήν, της μορφής D a = a + Âa, όπου το pullback της Âa, f0 Âa ορίζεται παντού εκτός από το 0. Τότε, τα pullbacks f A a και f0 Âa διαφέρουν κατά έναν μετασ χηματισ μό βαθμίδας σ την S 4 {0, }. Εσ τω ω = F ab, F ab d 4 x η 4-μορφή που λαμβάνεται από το δυναμικό βαθμίδας A a, και ˆω η αντίσ τοιχη 4-μορφή που προκύπτει από το δυναμικό Âa. Τότε, λόγω του αναλλοίωτου υπό τους μετασ χηματισ μούς βαθμίδας, σ ε σ υνδυασ μό με την σ ύμμορφη αναλλοιώτητα, προκύπτει ότι f ω = f0 ˆω σ τον S 4 {0, }, επομένως η f ω εκτείνεται λεία σ ε όλη την S 4. Η δράσ η S είναι το ολοκλήρωμα αυτής της μορφής σ τον S 4 και είναι πεπερασ μένη αφού η S 4 είναι σ υμπαγής. Τότε, η σ ύνδεσ η σ την E ικανοποιεί της πεδιακές εξισ ώσ εις Yang-Mills αν τις ικανοποιεί και η σ τερεογραφική προβολή της, A a. Ως εκ τούτου, μια λύσ η Yang-Mills σ την S 4 μπορεί να δώσ ει μια λύσ η Yang-Mills πεπερασ μένης δράσ ης σ τον E 4. Το ακόλουθο θεώρημα εξασ φαλίζει ότι κάθε λύσ η πεπερασ μένης δράσ ης προκύπτει με αυτόν τον τρόπο. Θεώρημα 4.2 [193]. Εσ τω A a μια λύσ η πεπερασ μένης δράσ ης των πεδιακών εξισ ώσ εων Yang- Mills σ τον E 4. Τότε, υπάρχει μια δέσ μη E επί της S 4 με μια σ ύνδεσ η, η οποία απεικονίζεται υπό την σ τερεογραφική προβολή f σ την D a = a + A a σ τον E 4. 4.1.2.1 Instantons Οι G-δέσ μες επί της S 4 και οι σ υνδέσ εις αυτών, οι οποίες ικανοποιούν τις εξισ ώσ εις Yang-Mills αναφέρονται ως instantons. Αν η G είναι απλή ομάδα, τότε οι G-δέσ μες επί της S 4 κατηγοριοποιούνται από έναν ακέραιο k. Αν, για παράδειγμα, G = SU n, ο ακέραιος k ταυτίζεται με τον δεύτερο αριθμό Chern της δέσ μης E που δίνεται από την σ χέσ η βλ. Πρότασ η 2.6: c 2 E = 1 ˆ ˆ 1 8π 2 tr F F = Fab 8π 2, F ab d 4 x. 4.19 S 4 Τότε, ο k = c 2 E καλείται τοπολογικό φορτίο ή αριθμός instanton του πεδίου βαθμίδας, ενώ για άλλες ομάδες πεδίου, προκύπτει μια ανάλογη σ χέσ η με διαφορετικό αριθμητικό παράγοντα [123]. Παρατήρηση. Με την χρήσ η του τελεσ τή Hodge,, ο οποίος λαμβάνεται όπως σ την 7.9.2, [24], για το σ υγκεκριμένο signature της μετρικής, λαμβάνεται η ταυτότητα ε abcd ε cdef = 2 δaδ e f b δf aδb e, 4.20 ενώ, από το Θεώρημα 7.4 του [24], όταν ο δρα σ ε 2-μορφές, για m = 4, προκύπτει ότι = 1 Riemannian περίπτωσ η. Οι ιδιόχωροι του πλέον αντισ τοιχούν σ τις ιδιοτιμές ±1. Μια 2-μορφή ω ab είναι αυτοδυϊκή αν ω ab = ω ab, και αντι-αυτοδυϊκή αν ω ab = ω ab. Κάθε 2-μορφή μπορεί να αναλυθεί σ ε ένα δυϊκό και σ ε ένα αντι-αυτοδυϊκό τμήμα, ω ab = ω + ab + ω ab, όπου E 4 144

4.1 Θεωρίες πεδίων βαθμίδας ω ± ab = 1 2 ω ab ± ω ab, όπου τα αυτοδυϊκά και αντι-αυτοδυϊκά τμήματα είναι μεταξύ τους ορθογώνια: ω + ab ω ab = 0. Αναλύοντας το πεδίο βαθμίδας F ab ως F ab = F + ab + F ab και αντικαθισ τώντας την έκφρασ η αυτή σ τις εκφράσ εις της δράσ ης και του τοπολογικού φορτίου, έχουμε: και 8π 2 k = ˆ Fab, F ab d 4 x = 4S = F 2 = F + + F 2 = F + 2 + F 2 ˆ F + ab + F ab, F +ab F ab d 4 x = F + 2 F 2. Ως εκ τούτου, για πεδία με τοπολογικό φορτίο k, η δράσ η είναι κάτω φραγμένη, με κάτω φράγμα το 2π 2 k, το οποίο λαμβάνεται αν και μόνο αν F + ab = 0 με k < 0, F ab = 0 με k = 0, ή F ab = 0 με k > 0. Κατά σ υνέπεια, τα αυτοδυϊκά και αντι-αυτοδυϊκά πεδία αντισ τοιχούν σ τα απόλυτα ελάχισ τα της δράσ ης σ ε κάθε τοπολογική κλάσ η, και ως λύσ εις των εξισ ώσ εων Yang-Mills κρίσ ιμα σ ημεία της δράσ ης, είναι instantons. Σημείωση. Βλ. [194] για την ύπαρξη κρίσ ιμων σ ημείων της δράσ ης που δεν είναι απόλυτα ελάχισ τα. Για G = SO 4, υπάρχει μια λύσ η Yang-Mills, η οποία είναι μη-αυτοδυϊκή και μη-αντι-αυτοδυϊκη ούτε αυτοδυϊκή, ούτε αντι-αυτοδυϊκη, και ταυτίζεται με την εφαπτόμενη δέσ μη της S 4, με την κανονική Riemannian σ ύνδεσ ή της [195], καθώς η δομική ομάδα της εφαπτόμενης δέσ μης είναι SO 4, η οποία είναι μη-απλή. 4.1.2.2 Ασ θενής ευσ τάθεια instantons Η γενίκευσ η του κριτηρίου της δεύτερης παραγώγου για τα τοπικά ακρότατα της δράσ ης, σ το πλαίσ ιο αυτό, γίνεται ως εξής, οδηγώντας σ ε ένα κριτήριο για την αναζήτησ η μη-αυτοδυϊκών και μη-αντι-αυτοδυϊκών ακρότατων της δράσ ης: Ορισμός 4.3. Η σ ύνδεσ η D a σ την S 4 είναι ασ θενώς ευσ ταθής αν d 2 dt 2 S t t=0 0 4.21 για όλες τις λείες μονοπαραμετρικές οικογένειες σ υνδέσ εων D a t με t < ε και D a 0 = D a, όπου S η δράσ η της D a t. Αποδεικνύεται [195] το ακόλουθο θεώρημα: Θεώρημα 4.4 [195]. Κάθε ασ θενώς σ ταθερό instanton με ομάδα SU 2, SU 3 ή U 2 είναι είτε αυτοδυϊκό, είτε αντι-αυτοδυϊκό. Ως εκ τούτου, δεν υπάρχουν τοπικά ακρότατα που να μην είναι ολικά ακρότατα, και έτσ ι, οποιοδήποτε άλλο κρίσ ιμο σ ημείο πρέπει να είναι σ αγματικό. Ακόμα, αποδεικνύεται [196] ότι τα αυτοδυϊκά instantons είναι απομονωμένα, δηλαδή ότι δεν υπάρχουν μη-αυτοδυϊκά instantons σ την γειτονιά τους. Θεώρημα 4.5 [196]. Για οποιαδήποτε δεδομένη ομάδα βαθμίδας G, υπάρχει ε > 0 τέτοιο ώσ τε αν το F ab είναι πεδίο instanton και F < ε, τότε F ab = 0. Επιπλέον, η ίδια πρότασ η ισ χύει και για το F + ab. 4.1.2.3 Θεώρημα Atiyah-Singer και αυτοδυϊκά instantons Ειδικότερα για τα αυτοδυϊκά instantons, θα δούμε ότι για κάθε θετικό ακέραιο k, υπάρχει ένα αυτοδυϊκό instanton με τοπολογικό φορτίο k. Σε σ υνδυασ μό με το θεώρημα δείκτη Atiyah-Singer, προκύπτει [123] το εξής θεώρημα: 145

4.1 Θεωρίες πεδίων βαθμίδας Θεώρημα 4.6 [123]. Ο χώρος των αυτοδυϊκών instantons με τοπολογικό φορτίο k με ομάδα βαθμίδας SU 2 ορίζει μια πραγματική πολλαπλότητα διάσ τασ ης 8k 3. Παρατήρηση. Η ελευθερία επιλογής βαθμίδας σ το Θεώρημα 4.6 έχει αφαιρεθεί, επομένως ο χώρος των instantons πρέπει να λογίζεται ως χώρος instantons mod ισ οδυναμία βαθμίδας. Πρόταση 4.7. Για κάθε θετικό ακέραιο k, υπάρχει ένα αυτοδυϊκό instanton με τοπολογικό φορτίο k. Απόδειξη. Βλ. [197]. Οι λύσ εις των SU 2 instantons λαμβάνονται θέτοντας A a = iσ ab b log ϕ 4.22 όπου ϕ πραγματική σ υνάρτησ η σ τον E 4, και σ ab = σ ba μια 2-μορφή με τιμές σ την g που ορίζεται ως σ 01 = σ 23 = 1 2 σ 1 := 1 0 1, 2 1 0 σ 02 = σ 13 = 1 2 σ 2 := 1 0 i, 2 i 1 σ 03 = σ 12 = 1 2 σ 3 := 1 1 0, 2 0 1 ως προς την σ υνήθη βάσ η του E 4, όπου σ a, a = 1, 2, 3, οι πίνακες Pauli που είναι οι γεννήτορες της su 2. Με άμεσ ο υπολογισ μό, προκύπτει ότι η 2-μορφή σ ab είναι αντι-αυτοδυϊκή, σ ab = 1 2 εcd ab σ cd = σ ab, όπου ο προσ ανατολισ μός ορίζεται ως ε 0123 = 1. Συνεπώς, η σ ab διακρίνει τον χώρο Λ 2 των αντι-αυτοδυϊκών 2-μορφών από τον χώρο Λ = Λ 2 + Λ 2 των 2-μορφών, και τον προβάλλει 37 σ την g. Εναλλακτικά, ο Λ 2 είναι φυσ ικά ισ ομορφικός με την άλγεβρα Lie so 4 της ομάδας SO 4, η οποία αναλύεται ως s0 4 = su 2 su 2, και έτσ ι η σ ab προβάλλει την so 4 σ ε μια υποάλγεβρα su 2. Αντικαθισ τώντας την 4.22 σ την αυτοδυϊκή εξίσ ωσ η F ab = F ab, λαμβάνουμε την εξίσ ωσ η Laplace ϕ = 0, όπου = δ ab a b, οπότε η μη γραμμική σ υνθήκη αυτοδυϊσ μού γραμμικοποιείται. Οι αρμονικές σ υναρτήσ εις ϕ που ικανοποιούν την ανωτέρω σ υνθήκη και οδηγούν σ ε πεδία βαθμίδας που είναι λεία σ τον E 4 με πεπερασ μένη δράσ η είναι της μορφής ϕ x = k α=0 λ α x x α 2, 4.23 όπου λ α θετικές πραγματικές παράμετροι, x α διακριτά σ ημεία σ τον E 4, και x x α 2 = δ ab x a x a α x b x b α το τετράγωνο της Ευκλείδειας απόσ τασ ης του x α από το x. Αν ένα σ ημείο, έσ τω το x 0 βρίσ κεται σ το άπειρο, επιτρέπεται η ύπαρξη της οριακής περίπτωσ ης της 4.23 ως ϕ x = 1 + k α=1 λ α x x α 2. ενώ, παρά το γεγονός ότι το ϕ έχει μοναδικότητες, το πεδίο βαθμίδας που προκύπτει είναι λείο σ τον E 4 το δυναμικό βαθμίδας είναι λείο σ τον E 4 μετά την επιβολή ενός μετασ χηματισ μού βαθμίδας σ το A a σ την 4.22. Επιπλέον, με άμεσ ο υπολογισ μό, προκύπτει [198] ότι η λύσ η αυτή έχει πεπερασ μένη δράσ η και τοπολογικό φορτίο k. 37 Οι Λ 2 και g είναι ισ ομορφικοί ως διανυσ ματικοί χώροι όντας και οι δύο τρισ διάσ τατοι. 146

4.1 Θεωρίες πεδίων βαθμίδας Παρατήρηση. Η λύσ η αυτή έχει 5k + 4 βαθμούς ελευθερίας παράμετροι, αποτελούμενοι από την επιλογή k + 1 σ ημείων x α σ τον E 4 ή σ τον S 4 τέσ σ ερις παράμετροι για το καθένα, και k + 1 σ ταθερές λ α, από όπου αφαιρείται ένας παράγοντας κλίμακας. Για k = 1, η 4.22 δίνει όλα τα αυτοδυϊκά instantons βλ. 9 [123], ωσ τόσ ο, για k 3, το Θεώρημα 4.6 δεν ικανοποιείται, και η4.22 δεν δίνει όλες τις υπαρκτές λύσ εις. 4.1.3 Μαγνητικά μονόπολα και εξισ ώσ εις Bogomolny 4.1.3.1 Μη αβελιανά SU 2 μαγνητικά μονόπολα Βλ. [200] για μια πλήρη σ υσ τηματική μελέτη του θέματος των μονοπόλων. Θεωρούμε την ομάδα βαθμίδας SU 2, το πεδίο βαθμίδας F ab σ ε ζεύξη με το βαθμωτό πεδίο ϕ και δυναμικό Higgs, σ την σ υζυγή αναπαράσ τασ η. Η Lagrangian του σ υσ τήματος αυτού [181] είναι η L = 1 4 tr F ab F ab 1 2 tr D aϕ D a ϕ 1 4 λ ϕ 2 1 2, 4.24 όπου λ 0 σ ταθερά, και ϕ 2 = 1 2 trϕ2. Οι λύσ εις των εξισ ώσ εων Euler-Lagrange που προκύπτουν από την 4.24 με λογισ μό μεταβολών περιλαμβάνουν και μαγνητοσ τατικές λύσ εις, για τις οποίες τα πεδία A a και ϕ έχουν εξάρτησ η μόνο από τις χωρικές μεταβλητές x i = x 1, x 2, x 3 και όχι από την χρονική μεταβλητή x 0. Επιπλέον, για αμιγώς μαγνητικές λύσ εις, οι ηλεκτρικές σ υνισ τώσ ες του πεδίου βαθμίδας F ab, F 0a, είναι μηδενικές, και έτσ ι η θεωρία αυτή ανάγεται σ ε μια θεωρία βαθμίδας σ τον χώρο R 3. Κατά σ υνέπεια, θεωρούμε A 0 = 0, και έτσ ι το δυναμικό βαθμίδας σ τον R 3 είναι το A i, με καμπυλότητα F ij. Η αντίσ τοιχη Hamiltonian, που είναι ένα θετικά ορισ μένο 38 σ υναρτησ ιακό των πεδίων, είναι η H = 1 4 tr F ij F ij 1 2 tr D iϕ D i ϕ + 1 4 λ ϕ 2 1 2, 4.25 από την οποία, ολοκληρώνοντας σ τον R 3, λαμβάνουμε την ολική ενέργεια E. 4.1.3.2 Κρίσ ιμα σ ημεία της Hamiltonian Ενα εκ των κρίσ ιμων σ ημείων της 4.25, προκύπτει ότι είναι ολικό ελάχισ το, για A i = 0 και ϕ = ϕ 0, όπου ϕ 0 σ ταθερά με ϕ 0 = 1 που αντισ τοιχεί σ τη θεμελιώδη κατάσ τασ η του σ υσ τήματος, και δεν είναι μοναδικό, αλλά ανήκει σ ε μια οικογένεια ελαχίσ των ϕ 0, η επιλογή του οποίου οδηγεί σ ε ρήξη της σ υμμετρίας βαθμίδας από την SU 2 σ την U 1. Σημείωση. Αυτό σ υμβαίνει διότι ο μετασ χηματισ μός βαθμίδας g : R 3 SU 2 δρα σ το ϕ ως ϕ g 1 ϕg. Για την διατήρησ η της θεμελιώδους κατάσ τασ ης πρέπει g 1 ϕ 0 g = ϕ 0, που σ ημαίνει ότι ο g περιορίζεται σ ε μια υποομάδα U 1 της SU 2 αυθόρμητη ρήξη της σ υμμετρίας. Η σ υνθήκη πεπερασ μένης ενέργειας οδηγεί σ τον περιορισ μό lim r ϕ R 3 = 1 σ τον R 3, δηλαδή το πεδίο ϕ σ το άπειρο, ˆϕ ˆx i := lim ξ ϕ ξˆx i ικανοποιεί την σ υνθήκη ˆϕ = 1, όπου ˆx i = r 1 x i, με r 2 = x i x i, δηλαδή, το ˆx i παραμετρίζει σ ημεία επί της μοναδιαίας σ φαίρας σ τον R 3. Ως εκ τούτου, η ˆϕ είναι μια απεικόνισ η από την μοναδιαία σ φαίρα σ τον R 3 σ την άλγεβρα Lie su 2 = R 3, η οποία ταξινομείται έως ομοτοπίες από τον βαθμό της, n, για τον οποίον ισ χύει βλ. 2 Prop. 3.7 [199] ότι ˆ 1 2 tr B j D j ϕd 3 x = 4πn, 4.26 όπου B j = 1 2 ε ijkf jk. Ο ακέραιος n έχει ως σ υνέπεια ότι ο χώρος διάταξης configuration space C είναι μια ξένη ένωσ η C = n Z C n, όπου το C n αποτελείται από εκείνες τις διατάξεις πεπερασ μένης ενέργειας A i, ϕ για τις οποίες το ˆϕ έχει βαθμό n. 38 Το tr λογίζεται ως αρνητικά ορισ μένο. 147

4.1 Θεωρίες πεδίων βαθμίδας Πρόταση 4.8. Η ενέργεια E είναι κάτω φραγμένη, με κάτω φράγμα 8π n σ τον C n. Απόδειξη. Από την ανισ ότητα tr B i ± D i ϕ B i ± D i ϕ 0 έχουμε, αναπτύσ σ οντας, ότι το ολοκλήρωμα της οποίας είναι H 1 4 λ ϕ 2 1 2 ± tr Bi D i ϕ, E ˆ 1 4 λ ϕ 2 1 2 d 3 x ± 8πn, όπου η ισ ότητα ισ χύει αν και μόνο αν B i = D i ϕ, επομένως E 8π n. Ο ακέραιος n καλείται τοπολογικό φορτίο ή αριθμός μονοπόλου της διάταξης, και μια λύσ η κρίσ ιμο σ ημείο με φορτίο n καλείται λύσ η n-μονοπόλου. Παρατήρηση. Η μη αβελιανή περίπτωσ η της SU 2 που μελετάμε, διαφέρει από την αβελιανή περίπτωσ η U 1, καθώς τα πεδία εδώ ορίζονται λεία σ ε όλον τον R 3, ενώ για τα αβελιανά μαγνητικά μονόπολα Dirac, το μαγνητικό πεδίο αυτών ορίζεται μόνο έξω από ένα σ υμπαγές υποσ ύνολο του R 3 [200]. Ωσ τόσ ο, οι δύο αυτές περιπτώσ εις σ χετίζονται μεταξύ τους ως εξής: η ομάδα βαθμίδας SU 2 σ πάει σ την U 1 σ το άπειρο σ τον R 3, μέσ ω του πεδίου ˆϕ, η οποία λογίζεται ως η ομάδα βαθμίδας της ηλεκτρομαγνητικής θεωρίας. Αυτό ισ οδυναμεί με την ασ υμπτωτική σ υμπεριφορά του μη-αβελιανού n-μονοπόλου: ένα μη αβελιανό n-μονόπολο σ υμπεριφέρεται ασ υμπτωτικά σ αν ένα n-μονόπολο Dirac για r, και το μόνο τμήμα του πεδίου βαθμίδας που επιβιώνει σ το άπειρο είναι αυτό που ικανοποιεί τη σ χέσ η B m i = 1 4 tr B i ˆϕ. 4.27 Θεωρώντας ασ υμπτωτικά το B m i ως ένα U 1 μαγνητικό πεδίο, το μαγνητικό του φορτίο υπολογίζεται ολοκληρώνοντας το B m i σ την σ φαίρα σ το άπειρο του R 3, λαμβάνοντας ˆ Q = B m i d 2 x i = 1 4 ˆ tr B i ϕ d 2 x i = 1 4 ˆ i tr B i ϕ d 3 x = 1 4 ˆ tr B i D i ϕ d 3 x = 2πn, όπου έγινε χρήσ η του θεωρήματος Stokes και της ταυτότητας Bianchi D i B i = 0. Η ύπαρξη μονοπολικής λύσ ης βλ. 5.1 [200], [201] έγινε επιβάλλοντας σ φαιρική σ υμμετρία σ τον R 3 ώσ τε τα πεδία να εξαρτώνται μόνο από την ακτινική σ υνισ τώσ α. Για μη μηδενικές τιμές της παραμέτρου λ, η λύσ η δεν δύναται να εκφρασ θεί με σ υνήθεις σ υναρτήσ εις, ενώ για λ = 0, έχουμε την περίπτωσ η του ορίου Prasad-Sommerfield. 4.1.3.3 Εξισ ώσ εις Bogomolny Η ύπαρξη κρίσ ιμων σ ημείων της E τα οποία είναι σ αγματικά όχι τοπικά ακρότατα αποδεικνύεται σ την [202]. Οι λύσ εις ελάχισ της ενέργειας, για n > 0, ικανοποιούν τις σ υζευγμένες, μη γραμμικές μερικές διαφορικές εξισ ώσ εις πρώτου βαθμού ως προς τα πεδία A i και ϕ, B i = D i ϕ, 4.28 οι οποίες καλούνται εξισ ώσ εις Bogomolny. Για μια λύσ η φορτίου n της 4.28, η ενέργεια E λαμβάνει την τιμή του κάτω φράγματος αυτής, 8πn, και ως εκ τούτου αναπαρισ τά μια ευσ ταθή διάταξη n μονοπόλων. Για λύσ εις αυτής της μορφής, ο αριθμός μονοπόλου n προκύπτει από την ασ υμπτωτική σ υμπεριφορά του ϕ, καθώς ϕ = 1 n r + O r 2 4.29 148

4.2 Υπερσ υμμετρικές και τοπολογικές θεωρίες πεδίων καθώς r, η οποία πρέπει να σ υμφωνεί με την εξίσ ωσ η 4.26. Πράγματι, για τις λύσ εις της 4.28, έχουμε ότι ˆ ˆ tr B j D j ϕd 3 x = tr D j ϕ D j ϕ. Ομως, από την 4.28, έχουμε ότι D j D j ϕ = 0 και την ταυτότητα Bianchi D i B i = 0, άρα tr D j ϕ D j ϕ = ϕ 2, όπου = j j ο τελεσ τής Laplace σ τον R 3, σ υνεπώς, ˆ 1 2 tr B j D j ϕd 3 x = 1 ˆ ϕ 2 d 3 x = 4πn, 2 χρησ ιμοποιώντας το θεώρημα Stokes και την έκφρασ η 4.29 για το ϕ. Σημείωση. Στην 4.29, το O r 2 χρησ ιμοποιείται για να δηλώσ ει την ύπαρξη μιας σ υνάρτησ ης f τέτοιας ώσ τε ˆ r 2 f dω 0, για r, r όπου S r η σ φαίρα ακτίνας r σ τον R 3. S r Τέλος, αν M n ο χώρος των λείων, πεπερασ μένης ενέργειας και τοπολογικού φορτίου n λύσ εων της 4.28, για n > 0, τότε ο M n είναι μη κενός [203], και4n 1-διάσ τατος [204]. 4.2 Υπερσυμμετρικές και τοπολογικές θεωρίες πεδίων Στην υποενότητα αυτή θα κάνουμε μια ανασ κόπησ η της υπερσ υμμετρικής επέκτασ ης των θεωριών βαθμίδας, εισ άγοντας την αλγεβρική δομή της υπερσ υμμετρίας μέσ ω του ορισ μού της υπεράλγεβρας, η οποία ανάγεται σ ε μια επέκτασ η της χωροχρονικής σ υμμετρίας Poincaré. Ακόμα, θα μελετηθούν και οι αντίσ τοιχες γεωμετρικές κατασ κευές σ ε πολλαπλότητες μέσ ω της υπερσ υμμετρίας, και επιπλέον η υπερσ υμμετρική επέκτασ η των θεωριών Yang-Mills, καθώς αποτελούν βάσ η για τις υπερσ υμμετρικές επεκτάσ εις της γεωμετρίας twistor που θα μελετήσ ουμε σ την επόμενη ενότητα. Τα θέματα αυτά αναλύονται σ τις εξής αναφορές [205, 206, 207, 208] γενική θεώρησ η της υπερσ υμμετρίας, και [209, 210, 211] υπερχώροι και υπερπολλαπλότητες. Ακόμα, θα εξετάσ ουμε τα βασ ικά χαρακτηρισ τικά ορισ μένων χρήσ ιμων για την θεωρία twistor θεωριών πεδίων, όπως οι τοπολογικές θεωρίες Chern- Simons [212, 213, 207, 206]. 4.2.1 Διαβαθμισ μένη επέκτασ η της άλγεβρας Poincaré Γενικά, σ ύμφωνα με το θεώρημα Coleman-Mandula [214], η άλγεβρα Poincaré δεν δύναται να αναμιχθεί με μη τετριμμένο τρόπο με άλλες σ υμμετρίες, ή ισ οδύναμα, δεν δύναται να εμπεριέχεται σ ε μια ευρύτερη άλγεβρα σ υμμετρίας. Ως εκ τούτου, αν ο πίνακας S μιας κβαντικής θεωρίας πεδίου σ ε περισ σ ότερες από 1+1 διασ τάσ εις περιέχει μια σ υμμετρία, η οποία δεν είναι ευθύ γινόμενο με την ομάδα Poincaré, τότε ο πίνακας S είναι τετριμμένος. Ο μόνος τρόπος αποφυγής αυτού είναι η θεώρησ η μιας επιπλέον Z 2 -διαβαθμισ μένης επέκτασ ης σ την άλγεβρα Poincaré [215], η οποία καλείται υπερσ υμμετρία, οδηγώντας, έτσ ι, σ ε άλγεβρες που περιέχουν άρτιους και περιττούς τελεσ τές, τέτοιους ώσ τε [E, E] = E, [E, O] = O, {O, O} = E, 4.30 όπου E οποιοσ δήποτε άρτιος τελεσ τής, O οποιοσ δήποτε περιττός τελεσ τής και {, } ο αντιμεταθέτης. Αποδεικνύεται [215] ότι επιτρέποντας την ύπαρξη περιττών τελεσ τών, το θεώρημα Coleman-Mandula 149

4.2 Υπερσ υμμετρικές και τοπολογικές θεωρίες πεδίων εξακολουθεί να ισ χύει και σ υνεπάγεται μέσ ω αυτού ότι οι μόνοι τέτοιοι επιπλέον γεννήτορες που μπορούν να προσ τεθούν έχουν spin 1/2. Σχηματικά, μπορεί να εισ αχθεί ένας γεννήτορας Q με spin 1/2, ο οποίος να ικανοποιεί τις εξής μεταθετικές σ χέσ εις με τον τελεσ τή της ορμής P : [P, Q] = 0, {Q, Q} = P 4.31 Αφού ο τελεσ τής Q έχει spin 1/2, σ υνδέει κατασ τάσ εις που ανήκουν σ τις αναπαρασ τάσ εις του spin s με κατασ τάσ εις που έχουν spin s ± 1 2. Σημείωση. Λαμβάνοντας υπόψιν σ την σ χέσ η μεταξύ spin και σ τατισ τικής [216], η φυσ ική σ ημασ ία του Q είναι ότι σ υσ χετίζει μποζόνια με φερμιόνια, και αντισ τρόφως. 4.2.1.1 Άλγεβρα Poincaré Η ομάδα Poincaré αποτελείται από τις ομάδες των χωροχρονικών μετατοπίσ εων, των χωρικών σ τροφών και των Lorentzian boosts, με τους αντίσ τοιχους γεννήτορες να δίνονται από την 4-ορμή P µ και τους γεννήτορες των μετασ χηματισ μών Lorentz, M µν. Η αντίσ τοιχη άλγεβρα Poincaré δίνεται από τις ακόλουθες μεταθετικές σ χέσ εις, με µ, ν,... = 0, 1, 2, 3: [P µ, P ν ] =0 4.32 [M µν, M ρσ ] = iη µρ M νσ iη νσ M µρ + iη µσ M νρ + iη νρ M µσ 4.33 [M µν, P ρ ] = iη µρ P ν + iη νρ P µ 4.34 όπου η μετρική η µν λαμβάνεται ως Ευκλείδεια, Minkowskian η µν = diag 1, +1, +1, +1 ή Kleinian με η µν = diag 1, 1, +1, +1. 4.2.1.2 Άλγεβρα της υπερσ υμμετρίας Η υπερσ υμμετρική επέκτασ η της άλγεβρας Poincaré σ ε έναν 4-διάσ τατο ψευδο-ευκλείδειο χώρο, δίνεται από τις αντίσ τοιχες μεταθετικές σ χέσ εις: [P ρ, M µν ] = i η µρ P ν η νρ P µ, [M µν, M ρσ ] = i η µρ M νσ η µσ M νρ η νρ M µσ + η νσ M µρ, [ [P µ, Q αi ] = 0, Pµ, Q i ] α = 0, 4.35 [M µν, Q iα ] = i σ µν β α Q [ iβ, Mµν, Q i α] = i σ µν α β Qi β, { } { Q αi, Q = 2σ j β µ α β P µδ j i, {Q αi, Q βj } = ε αβ Z ij, Qi α, Q j β} = ε α β Zij, όπου η μετρική η µν λαμβάνεται όπως πριν. Οι γεννήτορες P, M, Q και Q αντισ τοιχούν σ ε μετατοπίσ εις, μετασ χηματισ μούς Lorentz, και μετασ χηματισ μούς υπερσ υμμετρίας μετατοπίσ εις σ ε χειραλικές κατευθύνσ εις σ τον υπερχώρο, αντίσ τοιχα, και οι όροι Z ij = Z ji είναι επιτρεπτές κεντρικές επεκτάσ εις της άλγεβρας, όπου [ Z ij, ] = 0. Οι δείκτες i, j λαμβάνουν τιμές από το 1 έως το πλήθος των υπερσ υμμετριών N. Ακόμα, σ τις τέσ σ ερις διασ τάσ εις, οι δείκτες α, α,... λαμβάνουν τις τιμές 1, 2, και ως εκ τούτου, έχουμε σ υνολικά 4N υπερφορτία Q αi και Qi α. Επιπλέον, όσ ον αφορά τους πίνακες σ, σ τον 4-διάσ τατο χώρο Minkowski έχουμε σ 0 := 1 0 0 1, σ 1 := 0 1 1 0, σ 2 := 0 i i 0, σ 3 := 1 0 0 1 άρα σ µ = Id, σ i και σ µ = Id, σ i, όπου σ i οι πίνακες Pauli. Για τον Ευκλείδειο χωρόχρονο, ορίζουμε 0 1 0 i 1 0 i 0 σ 1 :=, σ 1 0 2 :=, σ i 0 3 :=, σ 0 1 4 :=, 4.36 0 i, 150

4.2 Υπερσ υμμετρικές και τοπολογικές θεωρίες πεδίων με σ µ = σ i, iid και σ µ = σ i, iid, και σ τον Kleinian χώρο R 2,2, επιλέγουμε σ 1 := 0 1, σ 1 0 2 := Κατά σ υνέπεια, ο σ υμβολισ μός σ νµ β α 0 i 1 0 i 0, σ i 0 3 :=, σ 0 1 4 :=. 0 i σ τις 4.35 αναλύεται ως εξής: σ νµ α β := 1 σ ν 4 α α σ µ αβ σ µ αβ α α σν νµ α, και σ := 1 β 4 4.2.2 Υπερχώρος και υπερπολλαπλότητες σ ν αα σ µ α β σµ αα σ ν α β. 4.37 Για τις υπερσ υμμετρικές θεωρίες πεδίων, είναι απαραίτητη μια αναπαράσ τασ η της υπεράλγεβρας Poincaré σ ε πεδία. Τέτοιες αναπαρασ τάσ εις μπορούν να ορισ θούν χρησ ιμοποιώντας σ υναρτήσ εις, οι οποίες εξαρτώνται και από μεταθετικές και από αντιμεταθετικές μεταβλητές. 4.2.2.1 Υπερδιανυσ ματικός χώρος Ενας υπερδιανυσ ματικός χώρος είναι ένας Z 2 -διαβαθμισ μένος διανυσ ματικός χώρος, ο οποίος μπορεί να θεωρηθεί ως πρότυπο επί ενός δακτυλίου με μηδενοδύναμα σ τοιχεία. Ενας υπερδιανυσ ματικός χώρος διάσ τασ ης m n ορίζεται ως το ανάπτυγμα span μιας βάσ ης με m άρτια και n περιττά σ τοιχεία ως προς την Z 2 -διαβάθμισ η. Παρατήρηση. Αν σ ε μια σ υνήθη άλγεβρα, προκύψει η εναλλαγή δύο όρων a και b σ ε ένα μονώνυμο, τότε, σ την αντίσ τοιχη υπεράλγεβρα, υπεισ έρχεται επιπλέον ένας παράγοντας 1ã b, όπου ã, b η αρτιότητα parity των a και b, αντίσ τοιχα mod2. 4.2.2.2 Υπερμεταθέτης Ο υπερμεταθέτης εισ άγεται ως η υπερσ υμμετρική γενίκευσ η του απλού μεταθέτη για Z 2 -διαβαθμισ μένους δακτυλίους. Η παραπάνω παρατήρησ η εφαρμόζεται σ την περίπτωσ η αυτή, επομένως, ανάλογα με την αρτιότητα των σ τοιχείων, ο υπερμεταθέτης σ υμπεριφέρεται ως απλός μεταθέτης ή αντιμεταθέτης, και ορίζεται ως βλ. 2.50 a, b := a b 1ã b b a, 4.38 από όπου προκύπτει ότι a, b = 1ã b b, a. 4.39 4.2.2.3 Υπερσ υμμετρική ταυτότητα Jacobi Σε έναν προσ εταιρισ τικό Z 2 -διαβαθμισ μένο δακτύλιο A, με άμεσ ο υπολογισ μό εφαρμόζοντας τις σ χέσ εις ορισ μού 4.38, ο υπερμεταθέτης ικανοποιεί την εξής υπερσ υμμετρική ταυτότητα Jacobi: για a, b, c A. a, b, c + 1ã b+ c b, c, a + 1 cã+ b c, a, b = 0 4.40 Ορισμός 4.9. Ενας Z 2 -διαβαθμισ μένος δακτύλιος A λέγεται υπερμεταθετικός αν ο υπερμεταθέτης a, b μηδενίζεται για κάθε σ τοιχείο a, b A. 151

4.2 Υπερσ υμμετρικές και τοπολογικές θεωρίες πεδίων 4.2.2.4 Μεταβλητές Grassmann και άλγεβρα Εχουμε: Ορισμός 4.10. Ορίζουμε ένα σ ύνολο μεταβλητών λ := { θ i}, οι οποίες ικανοποιούν την άλγεβρα { θ i, θ j} = θ i θ j + θ j θ i := 0. 4.41 Τα σ τοιχεία αυτού του σ υνόλου καλούνται μεταβλητές Grassmann. Παρατήρηση 4.11. Από τον ορισ μό της άλγεβρας 4.41, προκύπτει ότι: οι μεταβλητές Grassmann είναι αντιμεταθετικές: θ i θ j = θ j θ i, και μηδενοδύναμες: θ i 2 = 0, ενώ, επιπλέον, η αρτιότητά τους είναι περιττή: θi = 1. Η άλγεβρα που παράγεται από ένα σ ύνολο N N { } μεταβλητών Grassmann επί του C ή του R καλείται άλγεβρα Grassmann Λ N, και είναι μια Z 2 -διαβαθμισ μένη άλγεβρα βλ. Πρότασ η 2.13. Ως εκ τούτου, κάθε σ τοιχείο z Λ N μπορεί να αναλυθεί σ ε ένα άρτιο μέρος z 0 Λ 0 με z 0 = 0 και σ ε ένα περιττό μέρος z 1 Λ 1 με z 1 = 1, ενώ επιπλέον, μπορεί να αναλυθεί βλ. 1.1 [209] σ ε ένα μέρος z B Λ B := Λ N C και σ ε ένα μέρος 39 z S Λ S := Λ N \ C. Παρατήρηση 4.12. Κάθε σ τοιχείο της Λ S είναι μηδενοδύναμο, και ένα σ τοιχείο z της άλγεβρας Grassmann Λ N έχει τον αντίσ τροφο z 1 = 1 i N z B i=0 z S zb αν και μόνο αν το zb δεν μηδενίζεται. Τα σ τοιχεία της άλγεβρας Grassmann αναφέρονται επίσ ης ως υπεραριθμοί. 4.2.2.5 Υπερχώρος Χρησ ιμοποιώντας την έννοια του δομικού sheaf βλ. 2.1.2, ένας υπερχώρος υπερσ υμμετρικός χώρος μπορεί να ορισ θεί από ένα επηυξημένο δομικό sheaf ως εξής: Ορισμός 4.13. Ενας υπερχώρος υπερσ υμμετρικός χώρος ορίζεται ως το ζεύγος M, O M, όπου M ένας τοπολογικός χώρος και O M ένα sheaf υπερμεταθετικών δακτυλίων τέτοιο ώσ τε το stalk O M,x σ ε κάθε σ ημείο x M να είναι ένας τοπικός δακτύλιος. Ετσ ι, ο M, O M είναι ένας τοπικά δακτύλιος χώρος με υπερμεταθετικό δομικό sheaf. Ο χώρος R m n Για ένα σ ύνολο n μεταβλητών Grassmann { θ i}, ο χώρος R 0 n είναι το σ ύνολο των σ ημείων που περιγράφονται από τις σ υντεταγμένες θ i, και ο χώρος R m n ορίζεται ως το καρτεσ ιανό γινόμενο R m R 0 n, και έχει διάσ τασ η m n. Ο ορισ μός αυτός γενικεύεται άμεσ α για τον μιγαδικό χώρο C m n. Εκτός του γεγονότος ότι αποτελεί τον απλούσ τερο υπερχώρο, ο R m n, όπως και σ τις σ υνήθεις πολλαπλότητες, μπορεί να χρησ ιμοποιηθεί για την τοπική περιγραφή μιας γενικότερης υπερπολλαπλότητας, η οποία θα λογίζεται πλέον ως τοπικά ισ ομορφική με τον R m n, και μπορούμε να θέσ ουμε R m n = R m, Λ n. Μια βαθμωτή σ υνάρτησ η f : R m n R Λ n είναι σ τοιχείο του σ υνόλου F R m Λ n F R m n. Οι λείες σ υναρτήσ εις, αντίσ τοιχα, θα ανήκουν σ το σ ύνολο C R m n. Επιλέγοντας σ υντεταγμένες x i, θ j, όπου 1 i m και 1 j n, η f γράφεται ως f x, θ = f 0 x + f j x θ j + f k1k 2 x θ k1 θ k2 +... + f l1...l n x θ l1...θ ln. 4.42 Αν f 0 0, τότε υπάρχει η αντίσ τροφη σ υνάρτησ η f 1 x, έτσ ι ώσ τε f x f 1 x = 1. Η σ χέσ η 4.42 μπορεί να γενικευθεί για τις υπερσ υναρτήσ εις πινάκων ψ GL n, R Λ n ως εξής: ψ 1 = ψ 1 B όπου ψ = ψ B + ψ S. ψ 1 B ψ Sψ 1 B + ψ 1 B ψ Sψ 1 B ψ Sψ 1 B ψ 1 B ψ Sψ 1 B ψ Sψ 1 B ψ Sψ 1 B +..., 4.43 39 To z B καλείται body ενώ το z S καλείται soul. 152

4.2 Υπερσ υμμετρικές και τοπολογικές θεωρίες πεδίων Υπερχώρος της N -εκτεταμένης υπερσ υμμετρίας Στις τέσ σ ερις διασ τάσ εις, ο υπερχώρος για την N -εκτεταμένη υπερσ υμμετρία είναι ο χώρος R 4 4N ή ο C 4 4N, δηλαδή ο πραγματικός 4-διάσ τατος χώρος R 4 αυθαίρετου signature, εφοδιασ μένος με 4N επιπλέον σ υντεταγμένες Grassmann, οι οποίες περιγράφονται μέσ ω των Weyl spinors θ αi και θi α, όπου α, α = 1, 2 και i = 1,..., N. Σημείωση. Οι spinorial δείκτες αναβιβάζονται και καταβιβάζονται με το πλήρως αντισ υμμετρικό σ ύμβολο ε, που ορίζεται ως ε 12 = ε 1 2 = ε12 = ε 1 2 = 1. Σημειογραφία. Οι χωροχρονικές σ υντεταγμένες x µ μπορούν να αντικατασ ταθούν από αντίσ τοιχες spinorial, χρησ ιμοποιώντας τοπικούς ισ ομορφισ μούς όπως, για παράδειγμα, ο SO 4 = SU 2 SU 2 για τον Ευκλείδειο χωρόχρονο, ως x α α = iσµ α α x µ, όπου οι πίνακες σ καθορίζονται από το sigunature της κάθε φορά θεωρούμενης μετρικής βλ. 4.36. Ακόμα, θεωρούμε τις σ υντομογραφίες α α := x α α, αi := θ αi, i α := θ i α. 4.44 4.2.2.6 Υπερπολλαπλότητες Κατά την σ υνήθη πρακτική, μια υπερπολλαπλότητα ορίζεται ως ένας τοπολογικός χώρος, ο οποίος είναι τοπικά διαφορομορφικός με τον R m n ή τον C m n. Λαμβάνοντας υπόψιν την διαβάθμισ η και την σ τατισ τική ερμηνεία της αρτιότητας, μια υπερπολλαπλότητα περιέχει ένα αμιγώς μποζονικό μέρος B σ ώμα, το οποίο παραμετρίζεται με τις μποζονικές σ υντεταγμένες, και αποτελεί από μόνο του μια πραγματική ή μιγαδική πολλαπλότητα. Η Z 2 -διαβάθμισ η του υπερχώρου που χρησ ιμοποιείται για την παραμέτρισ η της υπερπολλαπλότητας επάγει μια διαβάθμισ η σ τον δακτύλιο των σ υναρτήσ εων της υπερπολλαπλότητας. Αντίσ τοιχα, για αντικείμενα όπως υποχώροι, μορφές κ.ο.κ., τα οποία φέρουν διάσ τασ η, βαθμό κ.ο.κ., χρησ ιμοποιούμε τον σ υμβολισ μό i j, όπου i και j το μποζονικό και το φερμιονικό μέρος, αντίσ τοιχα. Υπάρχουν ποικίλες προσ εγγίσ εις σ το θέμα της υπερσ υμμετρικής γεωμετρίας, και έτσ ι, σ ε ό, τι αφορά την εργασ ία, θα παρουσ ιάσ ουμε τους βασ ικούς ορισ μούς που χρησ ιμοποιούνται σ την βιβλιογραφία. Εκτεταμένες και πλήρεις αναφορές για τις υπερπολλαπλότητες είναι μεταξύ άλλων οι [209, 218, 219, 220]. Τελεσ τής αντισ τροφής αρτιότητας Π Σε μια δεδομένη διανυσ ματική δέσ μη E M, ο τελεσ τής αντισ τροφής της αρτιότητας parity Π δρα αντισ τρέφοντας την αρτιότητα των σ υντεταγμένων του νήματος [209]. 4.2.3 N = 4 υπερσ υμμετρική θεωρία Yang-Mills Στη σ υνέχεια, θα περιγράψουμε την μέγισ τα υπερσ υμμετρική θεωρία Yang-Mills με N = 4. Για μια γενικότερη θεώρησ η των υπερσ υμμετρικών θεωριών Yang-Mills και των διασ τατικών ελαττώσ εων, βλ. [221, 222, 223]. Η μέγισ τα υπερσ υμμετρική θεωρία Yang-Mills σ τις τέσ σ ερις διασ τάσ εις είναι αυτή με υπερσ υμμετρία N = 4, και άρα με 16 υπερφορτία. Η ιδιαίτερη σ ημασ ία της σ υγκεκριμένης θεωρίας έγκειται σ το γεγονός ότι είναι σ ύμμορφη, ακόμα και σ ε κβαντικό επίπεδο, και ως εκ τούτου, η β-σ υνάρτησ η αυτής μηδενίζεται [224]. Ουσ ιασ τικά, οι διαταρακτικές σ υνεισ φορές αλλά και οι διορθώσ εις instanton είναι πεπερασ μένες, και θεωρείται ότι η N = 4 υπερσ υμμετρική θεωρία Yang-Mills είναι πεπερασ μένη και σ ε κβαντικό επίπεδο. Η N = 4 υπερσ υμμετρική θεωρία Yang-Mills μπορεί να ληφθεί από την αντίσ τοιχη 10-διάσ τατη θεωρία Yang-Mills με N = 1 με διασ τατική ελάττωσ η [221]. Ακόμα, η αντισ τοιχία AdS/CFT καταδεικνύει ότι υπάρχει μια βαρυτική θεωρία, δυϊκή προς αυτήν, η οποία περιγράφεται από την θεωρία χορδών τύπου IIB σ τον χώρο AdS 5 S 5 [225, 226]. 153

4.2 Υπερσ υμμετρικές και τοπολογικές θεωρίες πεδίων 4.2.3.1 Lagrangian και φορμαλισ μός Chalmers-Siegel Εσ τω η ομάδα βαθμίδας G = SU N. Θεωρούμε τον χειραλικό υπερχώρο Minkowski M s = C 4 8, και την τοπική αναπαράσ τασ η σ υντεταγμένων x α α, θ αa, όπου a = 1,..., 4 οι δείκτες της SU 4 R-σ υμμετρίας, SU 4 R της N = 4 υπερσ υμμετρικής θεωρίας Yang-Mills, και θ οι σ υντεταγμένες Grassmann. Ειδικότερα, και για την υποενότητα αυτή, θεωρούμε το signature του 4-διάσ τατου μιγαδικοποιημένου χώρου Minkowski ως +,,,, προσ αρμόζοντας κατάλληλα τα πρόσ ημα σ τους ορισ μούς του 4.4.2. Το πεδιακό περιεχόμενο της 4-διάσ τατης N = 4 υπερσ υμμετρικής θεωρίας Yang-Mills κωδικοποιείται [227] σ ε μια διανυσ ματική πολλαπλέτα, η οποία περιλαμβάνει: gluons ελικότητας ±1, g ± 4 φερμιόνια με ελικότητες ± 1 2 έκασ το, ψa α και ψα, a αντίσ τοιχα και 6 μιγαδικά βαθμωτά πεδία, τα οποία εισ άγονται σ την διανυσ ματική αναπαράσ τασ η της SU 4 R με 6 διανύσ ματα ως Φ ab. Η θεωρία είναι φυσ ικά χειραλική, αφού, ενσ ωματώνοντας την πολλαπλέτα σ ε ένα on-shell υπερπεδίο, λαμβάνουμε X η = g + + η a ψa +... + 1 4! η4 g, 4.45 οπότε εκφράζεται φυσ ικά σ τον χειραλικό υπερχώρο Minkowski M s. Η χειραλική διατύπωσ η της θεωρίας καλείται διατύπωσ η Chalmers-Siegel [228, 229]. Αυτή, σ υνίσ ταται σ την εισ αγωγή μιας βοηθητικής αντι-αυτοδυϊκής 2-μορφής G Ω 2 M s, sl N, με Τότε, η χωροχρονική Lagrangian γράφεται ως όπου λ η σ ταθερά ζεύξης t Hooft G = G αβ dx α α dx α β. 4.46 L = N 8π 2 L 1 + λ 2 L 2, 4.47 λ = g2 Y M N 8π 2, και οι όροι L 1 και L 2 δίνονται, αντίσ τοιχα, σ την spinorial αναπαράσ τασ η, από τις σ χέσ εις L 1 = tr G αβ F αβ + ψαd a α α ψa α 1 4 D α αφ ab D α α Φab + ψ α a α ψ Φab b, 4.48 1 L 2 = tr [ Φab, 16 Φ cd] [Φ ab, Φ cd ] + 2ψαψ a bα Φ ab G αβ G αβ, 4.49 όπου D α α = α α + A α α η σ υναλλοίωτη παράγωγος βαθμίδας, F αβ το αντι-αυτοδυϊκό μέρος της καμπυλότητας μέσ ω της σ χέσ ης F α αβ β = [ ] D α α, D β β = ε αβ F α β + ε α βf αβ 4.50 και Φ ab = 1 2 εabcd Φ cd. Για να αποδείξουμε ότι η Lagrangian 4.47 είναι ισ οδύναμη με την σ υνήθη Lagrangian της N = 4 υπερσ υμμετρικής θεωρίας Yang-Mills, αρκεί να διερευνηθεί το τμήμα της που αφορά αμιγώς το πεδίο βαθμίδας, όπου το σ υναρτησ ιακό της δράσ ης Chalmers-Siegel λαμβάνει την μορφή ˆ S [A, G] = tr F G λ ˆ tr G G 4.51 2 M και δίνει τις πεδιακές εξισ ώσ εις F = λg και G = 0, οι οποίες, μέσ ω της ταυτότητας Bianchi, δίνουν τις πεδιακές εξισ ώσ εις Yang-Mills: D F = D F + F = F 2F = 0, που σ ημαίνει ότι ο φορμαλισ μός Chalmers-Siegel σ υμπίπτει με τον κλασ ικό φορμαλισ μό της θεωρίας Yang-Mills, έως και έναν τοπολογικό όρο ο οποίος, ωσ τόσ ο, δεν σ χετίζεται με την θεωρία διαταραχών. M 154

4.2 Υπερσ υμμετρικές και τοπολογικές θεωρίες πεδίων 4.2.3.2 Πεδιακές εξισ ώσ εις της N = 4 υπερσ υμμετρικής θεωρίας Yang-Mills Σε spinorial φορμαλισ μό, οι πεδιακές εξισ ώσ εις για την N = 4 υπερσ υμμετρική θεωρία Yang-Mills, σ την μορφή Chalmers-Siegel είναι: D β α G αβ = { ψa α, ψα a } 1 [ Φab, D ] α α 2 Φab, 4.52 D α α ψa α =λ [ ψα, b ] Φ ab, 4.53 { Φ ab = ψ α [b, ψ } a] α + λε abcd {ψα, c ψ dα } + λ [ Φ c[a, [ Φcd ]], Φ b]d, 4.54 D α α ψ a α = [ ψb α, Φ ab], 4.55 F αβ =λg αβ, 4.56 όπου := 1 2 D α αd α α. Η υπερσ υμμετρία δρα σ την πολλαπλέτα των πεδίων { A, ψ, Φ, ψ, G } μέσ ω των γεννητόρων δ ɛ, δ ɛ, όπου ɛ a α και ɛ a α είναι spinors. Ειδικότερα, η δράσ η αυτή δίνεται από τις σ χέσ εις: δ ɛ A α α ψ a α Φ ab ψα a = G αβ 1 2 ɛb α ɛ a α ψ a α ɛ bα D α α Φ ab 1 [ 2 ɛα[c ψα d] ε abcd Φcb, Φ ca], 4.57 [ ɛ aβ G ] αβ ψβ b, Φ ab ɛ a α και δ ɛ A α α λ ɛ a α ψα a ψ a α ɛ β a F α β + λ 2 Φ ab ψα a = ɛ [ Φbc ] b α, Φ ca ɛ α ψ [a b] α, 4.58 ɛ b α D ab α α Φ G αβ ɛ a α D αα ψβ a όπου {δ ɛ, δ ɛ } = 0 έως τις εξισ ώσ εις πεδίων. 4.2.4 Θεωρίες Chern-Simons Στο σ ημείο αυτό θα κάνουμε μια ανασ κόπησ η της θεωρίας Chern-Simons βλ. [230, 231] και ειδικότερα της ολομορφικής θεωρίας Chern-Simons [232] της, η οποία είναι ιδιαίτερα χρήσ ιμη σ την θεωρία twistor της επόμενης ενότητας. Η θεωρία Chern-Simons είναι μια θεωρία βαθμίδας εντελώς διαφορετικού τύπου από τις σ υνήθεις [233], η οποία παρουσ ιάζει σ ημαντικές εφαρμογές σ την τοπολογία των 3-πολλαπλοτήτων και σ την θεωρία κόμβων knot theory, και η σ υνάρτησ η επιμερισ μού της ορίζει το τοπολογικό αναλλοίωτο Witten-Reshetikhin-Turaev σ τις 3-πολλαπλότητες. Επιπλέον, μέσ ω της θεωρίας διαταραχών σ ε αυτή την θεωρία, προκύπτει άπειρο πλήθος τοπολογικών αναλλοίωτων. Οσ ον αφορά κάποιες φυσ ικές εφαρμογές, αναφέρουμε ότι οι θεωρίες Chern-Simons σ υνδέονται με τα anyons, σ ωματίδια σ τις 2 διασ τάσ εις που έχουν μαγνητική ροή σ ε ζεύξη με το ηλεκτρικό τους φορτίο, και, για μεγάλο όριο μήκους κύματος, σ υνδέονται επίσ ης με την περιγραφή του προβλήματος Landau των φορτισ μένων σ ωματιδίων που κινούνται σ ε επίπεδο υπό την επήρεια ενός μαγνητικού πεδίου κατακόρυφου προς αυτό. 4.2.4.1 Αβελιανή θεωρία Chern-Simons και ηλεκτρομαγνητική θεωρία Η διαφορά ανάμεσ α σ την σ υνήθη ηλεκτρομαγνητική θεωρία και την θεωρία Chern-Simons καθίσ ταται εμφανής 155

4.2 Υπερσ υμμετρικές και τοπολογικές θεωρίες πεδίων κατόπιν σ ύγκρισ ης των αντίσ τοιχων Lagrangian και των αντίσ τοιχων εξισ ώσ εων κίνησ ης αυτών: L EM = 1 4 F µν F µν A µ J µ, µ F µν = J ν, 4.59a L CS = κ 2 εµνρ A µ v A ρ A µ J µ, κ 2 εµνρ F νρ = J µ. 4.59b Στην περίπτωσ η της Lagrangian της θεωρίας Chern-Simons το αναλλοίωτο υπό μετασ χηματισ μούς βαθμίδας δεν είναι προφανές, ωσ τόσ ο προκύπτει ότι, όπως η L EM, και η L CS είναι αναλλοίωτη, καθώς, δρώντας με τους μετασ χηματισ μούς βαθμίδας σ την L CS, προκύπτει όρος ολικής παραγώγου, ο οποίος μηδενίζεται για πολλαπλότητες χωρίς σ ύνορο. Λύσ εις Οι λύσ εις των πεδιακών εξισ ώσ εων Chern-Simons F µν = 1 κ ε µνρj ρ είναι τετριμμένες χωρίς πηγές. Για την λήψη μη τετριμμένων λύσ εων, μπορούν να θεωρηθούν ζεύξεις με μαζικά πεδία και με έναν όρο Maxwell, όπου με αυτή την ζεύξη προκύπτει ένας νέος μηχανισ μός παραγωγής μάζας για πεδία βαθμίδας, πέραν του μηχανισ μού Higgs. Ακόμα, μπορεί να θεωρηθεί μη τετριμμένη τοπολογία και σ ύνορα για τον χώρο των διατάξεων, η γενίκευσ η της δράσ ης Chern-Simons σ ε μη Αβελιανά πεδία βαθμίδας, και η ενσ ωμάτωσ η της βαρύτητας. 4.2.4.2 Μη Αβελιανή θεωρία Chern-Simons Εσ τω η διανυσ ματική δέσ μη E επί μιας πραγματικής τρισ διάσ τατης πολλαπλότητας M με μια 1-μορφή σ ύνδεσ ης A. Η μη Αβελιανή θεωρία Chern-Simons ορίζεται από την Lagrangian L CS = κε µνρ tr A µ ν A ρ + 23 A µa ν A ρ. 4.60 Υπό τον μετασ χηματισ μό μεταβολή δa µ, η Lagrangian μεταβάλλεται ως: δl CS = κε µνρ tr δa µ F νρ 4.61 με τον σ υνήθη μη Αβελιανό τανυσ τή δύναμης του πεδίου F µν = µ A ν ν A µ + [A µ, A ν ]. Οι εξισ ώσ εις κίνησ ης λαμβάνουν την μορφή των αντίσ τοιχων της Αβελιανής περίπτωσ ης, κε µνρ F νρ = J µ. 4.62 Υπό την δράσ η του μη Αβελιανού μετασ χηματισ μού βαθμίδας, η Lagrangian μετασ χηματίζεται ως όπου το w g ορίζεται ως L CS = L CS όρος ολικού διαφορικού w g, 4.63 ˆ M w g = 8π 2 κn, N Z. 4.64 Από αυτό, προκύπτει μια σ υνθήκη κβάντωσ ης για το κ υπό την απαίτησ η ότι η σ υνάρτησ η επιμερισ μού e is CS είναι αναλλοίωτη υπό μετασ χηματισ μούς βαθμίδας. Ο τανυσ τής ενέργειας-ορμής της θεωρίας Chern-Simons μη- Τοπολογική αναλλοιώτητα δενίζεται, T µν = 2 detg δs CS δg µν = 0 4.65 αφού η L CS είναι ανεξάρτητη της μετρικής. Ως εκ τούτου, η θεωρία Chern-Simons είναι μια τοπολογική θεωρία πεδίου. 156

4.2 Υπερσ υμμετρικές και τοπολογικές θεωρίες πεδίων Κβάντωσ η Η κανονική κβάντωσ η του σ υσ τήματος είναι προφανής, αφού οι σ υνισ τώσ ες των πεδίων βαθμίδας είναι κανονικά σ υζυγείς μεταξύ τους: όπου i, j = 1, 2. [A i x, A j y] = i κ ε ijδ x y, 4.66 4.2.4.3 Ολομορφική θεωρία Chern-Simons Η ολομορφική θεωρία Chern-Simons είναι, μαζί με την N = 4 υπερσ υμμετρική θεωρία Yang-Mills και την γενική σ χετικότητα, η σ ημαντικότερη θεωρία πεδίων που θα μελετήσ ουμε σ τα πλαίσ ια της θεωρίας twistor. Εσ τω μια μιγαδική d-διάσ τατη πολλαπλότητα M, επί της οποίας θεωρούμε μια ολομορφική κύρια G-δέσ μη P, όπου G μια ημιαπλή ομάδα Lie πίνακες με άλγεβρα Lie g. Επιπλέον, θεωρούμε την 1- μορφή της σ ύνδεσ ης A σ την P με τιμές σ την g, η οποία μεταφέρεται σ την σ υσ χετιζόμενη ολομορφική διανυσ ματική δέσ μη E M της P. Ο τανυσ τής δύναμης του πεδίου ορίζεται, τότε, ως F = da + A A, και έσ τω A 0,1 και F 0,2 το 0, 1-μέρος και το 0, 2-μέρος των A και F, αντίσ τοιχα. Παρατήρηση. Για το 0, 1- και το 0, 2-μέρος των A και F, ισ χύει ότι F 0,2 = A 0,1 + A 0,1 A 0,1. Εξισ ώσ εις κίνησ ης και δράσ η Σε αναλογία με την θεωρία Chern-Simons χωρίς πηγές, οι εξισ ώσ εις κίνησ ης της ολομορφικής θεωρίας Chern-Simons έχουν την μορφή F 0,2 = A 0,1 + A 0,1 A 0,1 = 0, 4.67 επομένως η ποσ ότητα A = + A 0,1 ορίζει μια ολομορφική δομή σ την E βλ. 1.79. Ετσ ι, μπορούμε να θεωρήσ ουμε ότι η περιγραφή Dolbeault των ολομορφικών διανυσ ματικών δεσ μών είναι μια περιγραφή μέσ ω της θεωρίας Chern-Simons. Αν η M είναι 3-πολλαπλότητα Calabi-Yau, και έτσ ι φέρει μια ολομορφική 3, 0-μορφή Ω 3,0, η δράσ η για την ολομορφική θεωρία Chern-Simons που δίνει τις εξισ ώσ εις κίνησ ης 4.67, μπορεί να γραφεί [232] ως S hcs = 1 ˆ Ω 3,0 tr A 0,1 2 A 0,1 + 23 A A A. 4.68 4.2.5 Άλλες σ υναφείς θεωρίες πεδίων M 4.2.5.1 Τοπολογική θεωρία BF Η θεωρία BF [234, 235] αποτελεί μια επέκτασ η της θεωρίας Chern-Simons σ ε πολλαπλότητες αυθαίρετης διάσ τασ ης. Εσ τω μια ημιαπλή ομάδα Lie G με άλγεβρα Lie g και έσ τω μια πραγματική πολλαπλότητα M διάσ τασ ης d, P μια κύρια G-δέσ μη επί της M και A η 1-μορφή της σ ύνδεσ ης σ την P. Η αντίσ τοιχη καμπυλότητα της σ ύνδεσ ης είναι η F = da + A A, και έτσ ι η δράσ η της τοπολογικής θεωρίας BF δίνεται από την σ χέσ η ˆ S BF = tr B F, 4.69 M όπου B μια d 2-μορφή σ την σ υζυγή αναπαράσ τασ η της ομάδας βαθμίδας G. Ενας μετασ χηματισ μός βαθμίδας g Γ P δρα σ τα πεδία A και B ως A g 1 Ag + g 1 dg, και B g 1 Bg. 4.70 Οι εξισ ώσ εις κίνησ ης από την δράσ η 4.69 προκύπτουν να είναι οι F = 0, και db + A B 1 d B A = 0, 4.71 από όπου σ υμπεραίνουμε ότι η θεωρία BF περιγράφει επίπεδες σ υνδέσ εις και d A -κλεισ τές d 2- μορφές σ ε μια d-διάσ τατη πραγματική πολλαπλότητα. 157

4.2 Υπερσ υμμετρικές και τοπολογικές θεωρίες πεδίων 4.2.5.2 Ολομορφική θεωρία BF Η ολομορφική θεωρία BF είναι μια επέκτασ η της τοπολογικής θεωρίας BF σ ε μιγαδικές πολλαπλότητες, και έτσ ι, μπορεί να θεωρηθεί ως γενίκευσ η της ολομορφικής θεωρίας Chern-Simons σ ε μιγαδικές πολλαπλότητες αυθαίρετης μιγαδικής διάσ τασ ης διάφορης του τρία. Θεωρώντας τα παραπάνω, με την διαφορά ότι, πλέον, η πολλαπλότητα M είναι μιγαδική, με dim C M = d, η αντίσ τοιχη δράσ η έχει την μορφή ˆ S hbf = tr B F 0,2, 4.72 M όπου η B είναι μια d, d 2-μορφή σ την M σ την σ υζυγή αναπαράσ τασ η της ομάδας βαθμίδας G, και η F 0,2 είναι το 0, 2-μέρος της καμπυλότητας F. Αν, ειδικότερα, η M είναι πολλαπλότητα Calabi- Yau, τότε υπάρχει μια φυσ ική ολομορφική μορφή όγκου Ω d,0 σ την M, και μπορούμε, εναλλακτικά, να θεωρήσ ουμε την δράσ η ˆ S hbf = Ω d,0 tr B F 0,2, 4.73 M όπου εδώ η B είναι μια 0, d 2-μορφή σ την M. Από την 4.73, προκύπτουν οι εξής εξισ ώσ εις κίνησ ης: A 0,1 + A 0,1 A 0,1 = 0, και B + A 0,1 B 1 d B A 0,1 = 0. 4.74 4.2.5.3 Spinors σ ε αυθαίρετες διασ τάσ εις Ευκλείδειος χώρος Ορμώμενοι από την 2.2.2.2, οι ιδιότητες των αναπαρασ τάσ εων της ομάδας Spin p ταυτίζεται με τις αντίσ τοιχες της Spin p + 1, 1. Η αναπαράσ τασ η Dirac αναλύεται σ ε δύο αναπαρασ τάσ εις Weyl, και μπορεί να επιβληθεί η σ υνθήκη Majorana σ τις διασ τάσ εις d = 0, 1, 2, 6, 7 mod8. Στις περιπτώσ εις d = 3, 4, 5 mod8 πρέπει να χρησ ιμοποιηθεί μια ψευδοπραγματική αναπαράσ τασ η. Διανύσ ματα από spinors Οι γεννήτορες της άλγεβρας Clifford μπορούν να ερμηνευθούν ως γραμμικές απεικονίσ εις σ τον χώρο των spinors, άρα μπορούν να χρησ ιμοποιηθούν για την μετατροπή διανυσ ματικών δεικτών σ ε spinorial και αντισ τρόφως βλ. 5.1.1.1 για τις μετατροπές των 2-spinors, και [39, 40] για μια γενικότερη σ υζήτησ η. Συνθήκες πραγματικότητας Μια πραγματική δομή είναι μια αντιγραμμική απεικόνισ η involution τ, η οποία δίνει μια σ υνθήκη πραγματικότητας απαιτώντας να ισ χύει η εξίσ ωσ η τ =. Οι πραγματικές δομές που θα ορίσ ουμε και θα χρησ ιμοποιήσ ουμε παρακάτω, υπάρχουν σ ε υπερχώρους με τετραδιάσ τατα ή τρισ διάσ τατα bodies. Στην τετραδιάσ τατη περίπτωσ η, υπάρχουν δύο τέτοιες απεικονίσ εις involutions σ την Kleinian περίπτωσ η σ το body, και από μία για bodies με Ευκλείδεια και Minkowskian signatures, ενώ σ την τρισ διάσ τατη περίπτωσ η, υπάρχει μόνο μια Ευκλείδεια και μια Minkowskian δυνατή signature σ το body. Παρατήρηση. Σε αντίθεσ η με την Minkowskian signature 3, 1, οι μεταβλητές θ αi και ηi α είναι ανεξάρτητες και για τα δύο signatures 4, 0 και 2, 2. = θ α i Kleinian περίπτωσ η Στην περίπτωσ η αυτή, εισ άγουμε δύο πραγματικές δομές τ 1 και τ 0, οι οποίες δρουν σ τις μποζονικές σ υντεταγμένες του υπερχώρου ως τ 1 x 2 2 := x 1 1, τ 1 x 2 1 := x 1 2, τ 0 x α α := x α α. 158

4.2 Υπερσ υμμετρικές και τοπολογικές θεωρίες πεδίων Για τον τ 1 μπορούμε να εξάγουμε τις πραγματικές σ υντεταγμένες x µ R 2,2, µ = 1,..., 4 ως εξής: x 2 2 = x 1 1 = x 4 + ix 3, x 2 1 = x 1 2 = x 2 ix 1, και τις πραγματικές σ υντεταγμένες x a R 2,1, a = 1, 2, 3 ως y 1 1 = ȳ 2 2 = x 1 + ix 2 := y, y 1 2 = ȳ 1 2 = x 3. Για τις φερμιονικές σ υντεταγμένες, οι δράσ εις των δύο παραπάνω πραγματικών δομών έχουν την μορφή θ 1i θ2i η 1 2 τ 1 θ 2i = θ 1i, τ i η 1 η 2 = i i η 1, τ 0 θ αi = θ αi, τ 0 η α i = η α i. i Ως εκ τούτου, η σ υνθήκη Majorana που προκύπτει είναι η εξής: Minkowskian περίπτωσ η των εξισ ώσ εων τ 1 θ αi = θ αi και τ 1 η α i = η α i θ 2i = θ 1i και η 2 i = η 1 i, τ 0 θ αi = θ αi και τ 0 η α i = η α i θ αi = θ αi και η α i = η α i. Στην περίπτωσ η αυτή, ορίζουμε μια πραγματική δομή τ M μέσ ω τ M x α β = x β α, τ M η α i = θ αi, όπου οι δείκτες α = α και β = β δηλώνουν τον ίδιον αριθμό. Στην Ευκλείδεια περίπτωσ η, η πραγματική δομή δρα σ τις μπο- Ευκλείδεια περίπτωσ η ζονικές σ υντεταγμένες ως τ 1 x 2 2 := x 1 1, τ 1 x 2 1 := x 1 2, και η μετάβασ η σ τις πραγματικές σ υντεταγμένες x µ R 4 γίνεται ως x 2 2 = x 1 1 = x 4 + ix 3, x 2 1 = x 1 2 = x 2 ix 1 σ ε τέσ σ ερις μποζονικές διασ τάσ εις. Στην τρισ διάσ τατη περίπτωσ η, έχουμε: y 1 1 = ȳ 2 2 = x 1 + ix 2 := y, y 1 2 = ȳ 1 2 = x 3. Στην σ υγκεκριμένη περίπτωσ η, μπορούμε να θεωρήσ ουμε μια πραγματική δομή σ τις φερμιονικές σ υντεταγμένες μόνο αν το πλήθος των υπερσ υμμετριών N είναι άρτιο [301, 302]. Σε αυτές τις περιπτώσ εις, οι φερμιονικές σ υντεταγμένες ομαδοποιούνται σ ε ζεύγη, και ορίζονται οι πίνακες ε s 0 1 r :=, r, s = 1, 2, T j ε 0 1 0 i :=, i, j = 1,..., 4. 0 ε Τότε, η δράσ η του τ 1 για N = 2 δίνεται από την σ χέσ η θ 11 θ τ 12 0 1 θ11 θ12 0 1 1 θ 21 θ 22 = 1 0 θ 21 θ 22 1 0 και για N = 4 δίνεται από την σ χέσ η θ 11... θ τ 14 1 θ 21... θ 24 = 0 1 1 0 θ11 0 1 0 0... θ14 1 0 0 0 θ 21... θ24 0 0 0 1, 0 0 1 0, 159

4.3 Σύμμορφες θεωρίες πεδίων η οποία γράφεται ως τ 1 θ αi = ε αβ T i j θ βj, όπου οι δείκτες β και j αθροίζονται. Ο ίδιος ορισ μός εφαρμόζεται και για το η α i : τ 1 η α i = ε α βt i j η β j. Οι σ υνθήκες πραγματικότητας σ την σ υγκεκριμένη περίπτωσ η είναι οι σ υμπλεκτικές σ υνθήκες Majorana, οι οποίες έχουν την μορφή τ 1 θ αi = θ αi, τ 1 η α i = η α i, και για N = 4, η 1 τ 1 η 1 2 η 1 3 η 1 4 η 2 η 2 1 η 2 2 η 2 3 η 2 = 2 η 2 1 η 2 4 η 2 3 4 η 1 2 η 1 1 η 1 4 η 1. 3 4.3 Σύμμορφες θεωρίες πεδίων Μια σ ύμμορφη θεωρία πεδίου είναι μια κβαντική θεωρία πεδίου, η οποία είναι αναλλοίωτη υπό την δράσ η τοπικών σ ύμμορφων μετασ χηματισ μών. Χρήσ ιμες αναλύσ εις των σ ύμμορφων θεωριών πεδίων είναι οι [236, 237, 238]. 4.3.1 Εισ αγωγικά για τις σ ύμμορφες θεωρίες πεδίου 4.3.1.1 Η σ ύμμορφη ομάδα Οι απειροσ τοί σ ύμμορφοι μετασ χηματισ μοί x µ x µ +ε µ πρέπει να διατηρούν το τετράγωνο του σ τοιχειώδους μήκους έως έναν τοπικό παράγοντα Ω x, και από τη σ χέσ η ds 2 ds 2 + µ ε ν + ν ε µ dx µ dx ν 4.75 έπεται ότι µ ε ν + ν ε µ η µν. Στο 2-διάσ τατο μιγαδικό επίπεδο με σ υντεταγμένες z = x 1 + ix 2, οι εξισ ώσ εις αυτές ανάγονται απλώς σ τις εξισ ώσ εις Cauchy-Riemann 1 ε 1 = 2 ε 2, 1 ε 2 = 2 ε 1. 4.76 Ως εκ τούτου, οι 2-διάσ τατοι σ ύμμορφοι μετασ χηματισ μοί δίνονται από τις ολομορφικές σ υναρτήσ εις, και οι μετασ χηματισ μοί αυτοί παράγονται από l n = z n+1 z, ln = z n+1 z 4.77 οι οποίοι είναι οι γεννήτορες της άλγεβρας Witt η άλγεβρα των διανυσ ματικών πεδίων Killing σ την Riemannian σ φαίρα, [l m, l n ] = m n l m+n, [ lm, l n ] = m n lm+n, [ lm, l n ] = 0. 4.78 4.3.1.2 Η γενικότερη σ ύμμορφη ομάδα Στην γενικότερη περίπτωσ η ενός d-διάσ τατου χωροχρόνου [238], η σ ύμμορφη ομάδα λογίζεται ως εξής Εσ τω g µν η μετρική του d-διάσ τατου χωρόχρονου. Εξ ορισ μού, ένας σ ύμμορφος μετασ χηματισ μός των σ υντεταγμένων είναι μια αντισ τρέψιμη απεικόνισ η x x η οποία αφήνει αναλλοίωτη την μετρική, έως μια κλίμακα: g µν x = Ω x g µν x 4.79 160

4.3 Σύμμορφες θεωρίες πεδίων και είναι τοπικά ισ οδύναμος με μια ψευδοσ τροφή και μια μετατόπισ η. Το σ ύνολο των σ ύμμορφων μετασ χηματισ μών σ την γενικότερη περίπτωσ η σ χηματίζει μια ομάδα, η οποία έχει ως υποομάδα την ομάδα Poincaré, η οποία αντισ τοιχεί σ την ειδική περίπτωσ η όπου Ω x 1. Ως σ υνέπεια του ορισ μού 4.79, ο απειροσ τός μετασ χηματισ μός x µ x µ = x µ + ε µ x μεταβάλλει, σ ε πρώτη τάξη ως προς ε, την μετρική ως βλ. 4.75 g µν g µν µ ε ν + ν ε µ. Η απαίτησ η ο μετασ χηματισ μός να είναι σ ύμμορφος, σ υνεπάγεται ότι µ ε ν + ν ε µ = f x g µν, 4.80 όπου ο παράγοντας f x καθορίζεται λαμβάνοντας το ίχνος της 4.80, ως f x = 2 d ρε ρ. 4.81 Υποθέτοντας για λόγους απλότητας ότι ο σ ύμμορφος μετασ χηματισ μός δρα ως μια απειροσ τή διαταραχή παραμόρφωσ η της σ υνήθους Minkowskian ή Ευκλείδειας μετρικής g µν = η µν, δρώντας ακόμα μια φορά με τον ρ σ την 4.80, μετά από εναλλαγή των δεικτών, λαμβάνουμε ότι 2 µ ν ε ρ = η µρ ν f + η νρ µ f η µν ρ f. 4.82 Δρώντας με το η µν, αθροίζοντας, και σ τη σ υνέχεια δρώντας εκ νέου με το ν, λαμβάνουμε, μετά από δράσ η του 2 σ την 4.80, την σ χέσ η 2 d µ ν f = η µν 2 f, και τελικά, d 1 2 f = 0. 4.83 Ετσ ι, προκύπτει η μορφή των σ ύμμορφων μετασ χηματισ μών σ τις d-διασ τάσ εις. Για d 3, από την 4.83 προκύπτει ότι µ ν f = 0, δηλαδή η σ υνάρτησ η f έχει την μορφή f x = A + B µ x µ, 4.84 όπου A, B µ σ ταθερές. Επιπλέον, αντικαθισ τώντας την 4.84 σ την 4.82, προκύπτει ότι η ποσ ότητα µ ν ε ρ είναι σ ταθερή, άρα το ε µ θα είναι το πολύ τετραγωνικό ως προς τις σ υντεταγμένες του, άρα γενικότερα θα έχει την μορφή ε µ = a µ + b µν x ν + c µνρ x ν x ρ, 4.85 όπου c µνρ = c µρν. Εφόσ ον οι περιορισ μοί 4.80-4.82 ισ χύουν για κάθε x, έπεται ότι ο σ ταθερός όρος a µ δεν υπόκειται σ τους περιορισ μούς αυτούς, άρα αυτός ο όρος ισ οδυναμεί με μια απειροσ τή μετατόπισ η. Αντικαθισ τώντας τον γραμμικό όρο σ την 4.80, έχουμε b µν + b νµ = 2 d bλ λη µν, 4.86 δηλαδή ο b µν μπορεί να γραφεί ως το άθροισ μα ενός αντισ υμμετρικού μέρους και ενός καθαρού ίχνους: b µν = αη µν + m µν, 4.87 όπου m µν = m νµ. Ο όρος του καθαρού ίχνους αναπαρισ τά έναν απειροσ τό μετασ χηματισ μό κλίμακας, και ο αντισ υμμετρικός όρος μια απειροσ τή σ τερεά σ τροφή. Αντικαθισ τώντας την 4.85 σ την 4.82, έχουμε c µνρ = η µρ b ν + η µν b ρ η νρ b µ, όπου b µ = 1 d cσ σµ και ο αντίσ τοιχος απειροσ τός μετασ χηματισ μός είναι ο x µ = x µ + 2 x b x µ b µ x 2 4.88 που καλείται ειδικός σ ύμμορφος μετασ χηματισ μός. Συνοπτικά, οι πεπερασ μένοι μετασ χηματισ μοί είναι οι x µ =x µ + a µ x µ =αx µ x µ =M µ ν x ν x µ = xµ b µ x 2 1 2b x + b 2 x 2 161

4.3 Σύμμορφες θεωρίες πεδίων για τις μετατοπίσ εις, τις διασ τολές, τις σ τερεές σ τροφές, και τους ειδικούς σ ύμμορφους μετασ χηματισ μούς, αντίσ τοιχα. Τελικά, οι γεννήτορες της σ ύμμορφης ομάδας είναι οι P µ = i µ D = ix µ µ L µν = i x µ ν x ν µ 4.89 K µ = i 2x µ x ν ν x 2 µ για τις μετατοπίσ εις, τις διασ τολές, τις σ τερεές σ τροφές, και τους ειδικούς σ ύμμορφους μετασ χηματισ μούς, αντίσ τοιχα, και οι μεταθετικές σ χέσ εις που ικανοποιούν, ορίζουν την σ ύμμορφη άλγεβρα Ορίζοντας τους γεννήτορες [D, P µ ] =ip µ [D, K µ ] = ik µ [K µ, P ν ] =2i η µν D L µν [K ρ, L µν ] =i η ρµ K ν η ρν K µ 4.90 [P ρ, L µν ] =i η ρµ P ν η ρν P µ [L µν, L ρσ ] =i η νρ L µσ + η µσ L νρ η µρ L νσ η νσ L µρ. J µν = L µν, J 1,µ = 1 2 P µ K µ, J 1,0 = D, J 0,µ = 1 2 P µ + K µ 4.91 με J ab = J ba και a, b { 1, 0, 1,..., d}, οι μεταθετικές σ χέσ εις 4.90 απλοποιούνται, καθώς οι γεννήτορες 4.91 ικανοποιούν τις μεταθετικές σ χέσ εις της SO d + 1, 1: [J ab, J cd ] = i η ad J bc + η bc J ad η ac J bd η bd J ac. 4.92 Ως εκ τούτου, υπάρχει ένας ισ ομορφισ μός μεταξύ της σ ύμμορφης ομάδας σ τις d-διασ τάσ εις και της ομάδας SO d + 1, 1 με 1 2 d + 2 d + 1 παραμέτρους. 4.3.2 Βοηθητική 2-διάσ τατη σ ύμμορφη θεωρία πεδίου Για την σ κιαγράφησ η της διαδικασ ίας μέσ α από την οποία προκύπτουν οι βασ ικές ιδιότητες μιας πλήρους σ ύμμορφης θεωρίας πεδίου, θεωρούμε μια βοηθητική σ ύμμορφη θεωρία πεδίου σ τις δύο διασ τάσ εις, με δράσ η S = 1 ˆ d 2 z X 4π X, 4.93 όπου X = X z, z μια σ υνάρτησ η, όχι απαραίτητα ολομορφική, σ τον C, και και οι παράγωγοι ως προς z και z, αντίσ τοιχα. Επιπλέον, όσ ον αφορά το μέτρο d 2 z, ισ χύει ότι d 2 zδ 2 z, z = 1. Η εξίσ ωσ η κίνησ ης που προκύπτει από την δράσ η 4.93 είναι η X z, z = 0, και οι λύσ εις των εξισ ώσ εων αυτών είναι οι αρμονικές σ υναρτήσ εις X z, z. 4.3.2.1 Εξίσ ωσ η τελεσ τών Θεωρώντας τα παραπάνω σ ε κβαντικό επίπεδο, έχουμε ˆ δ 0 = DX δx z, z e S X z, z = δ 2 z z, z z + 1 2π z z X z, z X z, z. 4.94 162

4.3 Σύμμορφες θεωρίες πεδίων Μια τέτοια εξίσ ωσ η καλείται εξίσ ωσ η τελεσ τών. Εισ άγοντας την κανονική διάταξη ως ˆ 1 : O X : = exp d 2 zd 2 z ln z z 2 δ δ 2 δx z, z δx z, z O X, 4.95 η εξίσ ωσ η 4.94 γράφεται ως όπου z z : X z, z X z, z : = 0, 4.96 : X z, z X z, z : = X z, z X z, z + ln z z 2. 4.97 Αναπτύσ σ οντας την 4.97 κατά Taylor, λαμβάνουμε το ανάπτυγμα γινομένου τελεσ τών: X z, z X 0, 0 = ln z 2 + : X 2 0, 0 : +z : X X 0, 0 : + z : X X 0, 0 : +.... 4.3.2.2 Τανυσ τής ενέργειας-ορμής Ο τανυσ τής ενέργειας-ορμής προκύπτει φυσ ικά ως ρεύμα Noether για τους σ ύμμορφους μετασ χηματισ μούς. Εσ τω ένας απειροσ τός μετασ χηματισ μός σ υντεταγμένων z = z + εg z που οδηγεί σ τον μετασ χηματισ μό του πεδίου δx = g z X ḡ z X. Τότε, τα ρεύματα Noether είναι τα j z = ig z T z και j z = iḡ z T z, όπου ειδικότερα σ την βοηθητική θεωρία έχουμε T z = 1 2 : X X : και T z = 1 2 : X X :. 4.98 Από την σ υνθήκη ότι σ την απόκλισ η j j του j, κάθε όρος πρέπει να μηδενίζεται ανεξάρτητα από τον άλλον, σ ε σ υνδυασ μό με το γεγονός ότι ο τανυσ τής ενέργειας-ορμής είναι ένα ρεύμα Noether για τις σ τερεές μετατοπίσ εις, προκύπτει ότι τα μοναδικά μη μηδενικά σ τοιχεία του τανυσ τή T είναι τα T zz = T z, T z z = T z. Επιπλέον, προκύπτει ότι σ ε οποιαδήποτε σ ύμμορφη θεωρία πεδίου, το ανάπτυγμα του γινομένου τελεσ τών του τανυσ τή ενέργειας ορμής T z, δίνεται από τη σ χέσ η όπου c το κεντρικό φορτίο της θεωρίας. c 2T w T z T w = 4 + 2 z w z w 2 + wt w +..., 4.99 z w 4.3.2.3 Ακτινική κβάντωσ η Ορισ μένες πτυχές της κβαντικής θεωρίας πεδίων σ την σ ύμμορφη περίπτωσ η μπορούν να αναδειχθούν από το toy model σ τις 2 διασ τάσ εις που μελετάμε. Προς τούτο, αρχικά σ υμπαγοποιούμε το μιγαδικό επίπεδο κατά τον άξονα x, σ ε έναν κύλινδρο απείρου μήκους, τον οποίον απεικονίζουμε μέσ ω της απεικόνισ ης z e z σ την δακτυλιοειδή περιοχή C. Ετσ ι, ο χρόνος πλέον μεταβάλλεται ακτινικά, και οι ισ όχρονες γραμμές είναι κύκλοι με κέντρο την αρχή των αξόνων. Οι ισ όχρονοι μεταθέτες των τελεσ τών μπορούν, σ την σ υγκεκριμένη περίπτωσ η, να υπολογισ θούν εύκολα, με επικαμπύλια ολοκληρώματα. Για παράδειγμα, για τα φορτία Q i [C] = C και τρεις κύκλους C 1, C 2, C 3 με σ ταθερούς χρόνους t 1 > t 2 > t 3, η έκφρασ η dz 2πi j i Q 1 [C 1 ] Q 2 [C 2 ] Q 1 [C 3 ] Q 2 [C 2 ], 4.100 η οποία κλασ ικά μηδενίζεται, πλέον αντισ τοιχεί σ τον μεταθέτη dz 2 [Q 1, Q 2 ] [C 2 ] = 2πi Res z z 2 j 1 z j 2 z 2 4.101 C 2 163

4.3 Σύμμορφες θεωρίες πεδίων όταν λογίζεται ως αναμενόμενη τιμή, δηλαδή αν εισ αχθεί σ το ολοκλήρωμα διαδρομών. Το ολοκληρωτικό υπόλοιπο προκύπτει από την παραμόρφωσ η του C 1 C 3 σ ε μια κλεισ τή καμπύλη γύρω από το z 2, το οποίο είναι εφικτό εφόσ ον δεν υπάρχουν άλλοι επιπλέον πόλοι. Η διάταξη των τελεσ τών που δίνει τον μεταθέτη, οφείλεται σ το γεγονός ότι οποιοδήποτε γινόμενο τελεσ τών εισ αχθεί σ το ολοκλήρωμα διαδρομών, αυτό θα πρέπει να τεθεί σ ε χρονική διάταξη κανονική διάταξη αυτομάτως, που, σ την περίπτωσ η αυτή, αντισ τοιχεί σ ε ακτινική διάταξη. Άλγεβρα Virasoro Κατά την ακτινική κβάντωσ η, το ανάπτυγμα του τανυσ τή ενέργειας-ορμής T z = n L nz n 2 και T z = n L n z n 2, μαζί με τις αντίσ τροφες σ χέσ εις dz d z L m = 2πi zm+1 T z, Lm = 2πi zm+1 T z 4.102 οδηγούν σ την άλγεβρα Virasoro C C [L n, L m ] = n m L n+m + c 12 n n 2 1 δ m+n,0, 4.103 η οποία αποτελεί την κεντρική επέκτασ η της άλγεβρας Witt 4.78. 4.3.2.4 Κανονική κβάντωσ η Για την κανονική κβάντωσ η του 2-διάσ τατου μοντέλου 4.93, χρησ ιμοποιούμε το γεγονός ότι οποιοδήποτε αρμονικό πεδίο X δηλ. τ.ω. X = 0 μπορεί τοπικά να αναλυθεί ως άθροισ μα μιας ολομορφικής και μιας αντι-ολομορφικής σ υνάρτησ ης. Αναπτύσ σ οντας το X κατά Laurent ως προς z με σ υντελεσ τές α m και το X ως προς z με σ υντελεσ τές α m και ολοκληρώνοντας, λαμβάνουμε ότι X = x i α 2 2 p ln z 2 + i α m= m 0 1 αm m z m + α m z m, 4.104 όπου οι λογαριθμικοί όροι που προέκυψαν από τα X και X ταυτίζονται με μετατοπίσ εις, και σ υνεπώς με την ορμή. Ετσ ι, από την ακτινική κβάντωσ η, λαμβάνουμε τις σ χέσ εις [α m, α n ] = [ α m, α n ] = mδ m+n και [x, p] = i. 4.105 4.3.2.5 Κύρια πεδία Ενα τανυσ τικό ή κύριο πεδίο φ w σ ε μια σ ύμμορφη θεωρία πεδίου, υπό την δράσ η των γενικών σ ύμμορφων μετασ χηματισ μών, μετασ χηματίζεται ως φ z, z = z z h φ z z h φ φ z, z, 4.106 όπου h φ και h φ τα σ ύμμορφα βάρη του πεδίου φ w. Επιπλέον, τα h φ και h φ καθορίζουν την κλιμακωτή του διάσ τασ η, δηλαδή την σ υμπεριφορά του υπό αλλαγή κλίμακας ανακλιμάκωσ η, και η ποσ ότητα h φ h φ είναι το spin του πεδίου. Με τον τανυσ τή ενέργειας ορμής, ένα τέτοιο πεδίο φ έχει το εξής ανάπτυγμα γινομένου τελεσ τών: T z φ w = h φ z w 2 + wφ w +.... 4.107 z w Για τους τρόπους modes που εμφανίζονται σ το ανάπτυγμα φ z = n φ nz n h φ, επομένως, προκύπτει η άλγεβρα [L n, φ m ] = n h φ 1 m φ m+n. 4.108 164

4.4 Spinorial φορμαλισ μός γενικής σ χετικότητας 4.3.2.6 Άλγεβρα ρευμάτων Τα ρεύματα σ ε μια σ ύμμορφη θεωρία πεδίου είναι 1, 0-τανυσ τές j a z, με το εξής ανάπτυγμα σ ε γινόμενο τελεσ τών: j a z j b 0 kab z 2 Το ανάπτυγμα κατά Laurent j a z = Moody m= j a m z m+1 ab + if c z jc 0. 4.109 οδηγεί σ την άλγεβρα ρευμάτων άλγεβρα Kac- [ j a m, jn b ] = mk ab δ m+n,0 + if ab c jm+n c. 4.110 4.4 Spinorial φορμαλισμός γενικής σχετικότητας Στην υποενότητα αυτή, θα μελετήσ ουμε σ υνοπτικά τον spinorial φορμαλισ μό της γενικής σ χετικότητας βλ. [22] για μια γενική αντιμετώπισ η, παραθέτοντας ορισ μένους βασ ικούς ορισ μούς και αποτελέσ ματα που αφορούν την επέκτασ η της χρήσ ης του spinorial φορμαλισ μού σ ε καμπύλους χωρόχρονους [39, 40], και τους αντι-αυτοδυϊκούς χωρόχρονους, τα οποία θα φανούν ιδιαίτερα χρήσ ιμα σ την επέκτασ η της θεωρίας twistor για την περιγραφή καμπύλων χωρόχρονων, προσ εγγίζοντας την βαρύτητα. 4.4.1 Spinorial φορμαλισ μός, και εξισ ώσ εις πεδίου Einstein 4.4.1.1 Εισ αγωγικά Θεωρώντας ως minimal επιλογή Lagrangian πυκνότητας την γενικευμένη Lagrangian Einstein-Hilbert, L EH = R 2Λ, όπου R = g ab R ab η βαθμωτή καμπυλότητα, οι εξισ ώσ εις πεδίου του Einstein με πηγές προκύπτουν μέσ ω λογισ μού μεταβολών σ την δράσ η της L EH και έχουν τη μορφή R ab 1 2 g abr = 8πGT ab + g ab Λ, όπου g η μετρική της 4-διάσ τατης Lorentzian πολλαπλότητας M που λογίζεται ως χωρόχρονος λείο, σ υμμετρικό σ υναλλοίωτο 2, 0-τανυσ τικό πεδίο με signature + ή + ++ σ ε κάθε σ ημείο της M. Συνδεδεμένη με την μετρική βλ. 1.4, υπάρχει, επιπλέον, η χωρίς σ τρέψη σ ύνδεσ η Levi-Civita a που ικανοποιεί την σ υνθήκη a g ab = 0. Τότε, ο τανυσ τής καμπυλότητας Riemann Rabc d ορίζεται, όπως και προηγουμένως, ως a b b a V d = Rabc d V c, όπου V a T M, και ο τανυσ τής Ricci ως R ab = Racb c. Στο κενό, έχουμε R ab = 0, και η g ab είναι μετρική Einstein αν R ab = 1 4 Rg ab. Σημειογραφία 4.14. Ο σ υμβολισ μός για παρούσ α υποενότητα, αλλά και για την επόμενη ενότητα, όσ ον αφορά τους δείκτες, ακολουθεί τον αφηρημένο σ υμβολισ μό δεικτών βλ. [239, 39], και έτσ ι το σ ύμβολο V a αναπαρισ τά διανυσ ματικό πεδίο, το V a f 1-μορφή, και γενικότερα, οι πεζοί λατινικοί δείκτες a, b,... λογίζονται ως διανυσ ματικοί, ενώ οι spinorial δείκτες είναι οι α, β,..., α, β,... Ειδικότερα, αν S + και S ο αυτοδυϊκός και ο αντι-αυτοδυϊκός χώρος spin ή οι spinorial δέσ μες ενός μιγαδικοποιημένου χωρόχρονου, αντίσ τοιχα βλ. 1.3.7, τότε τα σ τοιχεία τους φέρουν σ τικτούς και άσ τικτους πεζούς ελληνικούς δείκτες, α, β,... = 0, 1 και α, β,... = 0, 1, αντίσ τοιχα. Ο πλήρως αντισ υμμετρικός spinor Levi-Civita σ υμβολίζεται ως ε αβ = ε [αβ], με ε 01 = 1, κ.ο.κ. 4.4.1.2 Spinorial φορμαλισ μός των εξισ ώσ εων Einstein Η ύπαρξη των spinors εκτείνεται και σ ε καμπύλους χωρόχρονους M, g ab αρκεί να ικανοποιούνται οι προϋποθέσ εις βλ. [39], 1.5, οι οποίες σ υνοψίζονται σ τις σ υνθήκες χωρικής και χρονικής προσ ανατολισ ιμότητας και σ τις σ υνθήκες υπό τις οποίες η M, g ab επιδέχεται δομές spin. Οπως και σ τον επίπεδο χωρόχρονο, υπάρχει αντισ τοιχία μεταξύ των εφαπτόμενων διανυσ ματικών πεδίων V a και των spinors V α α που ικανοποιούν την σ υνθήκη V α α = V α α. Επιπλέον, η μετρική g ab γράφεται ως g ab = ε αβ ε α β. Η σ υναλλοίωτη παράγωγος a α α εκτείνεται έτσ ι ώσ τε να δρα σ τα spinorial πεδία βλ. 3.1.1, ικανοποιώντας τις σ υνθήκες a ε βγ = 0 = a ε β γ. Ο spinorial φορμαλισ μός μπορεί να χρησ ιμοποιηθεί για την διατύπωσ η των ανάγωγων υπό την δράσ η της ομάδας Lorentz τμημάτων του τανυσ τή καμπυλότητας R abcd βλ. 3.3.1, τα οποία είναι: 165

4.4 Spinorial φορμαλισ μός γενικής σ χετικότητας 1. Το αντι-αυτοδυϊκό τμήμα του τανυσ τή Weyl W abcd = Ψ αβγδε α βε γ δ, 4.111 όπου ο spinor ψ αβγδ είναι πλήρως σ υμμετρικός σ τους τέσ σ ερις δείκτες του. 2. Το αυτοδυϊκό τμήμα του τανυσ τή Weyl που είναι και μιγαδικά σ υζυγές 40 του 4.111. 3. Το τμήμα μηδενικού ίχνους του τανυσ τή Ricci όπου το Φ α αβ β είναι σ υμμετρικό ως προς τους αβ και α β. W + abcd = Ψ α β γ δε αβ ε γδ 4.112 Φ ab = Φ α αβ β, 4.113 4. Η βαθμωτή καμπυλότητα R, η οποία ενίοτε εκφράζεται ως Λ = 1 24 R. Το άθροισ μα των 4.111 και 4.112 δίνει τον πλήρη τανυσ τή Weyl τανυσ τής σ ύμμορφης καμπυλότητας W abcd = W + abcd +W abcd, ο οποίος, όπως είδαμε προηγουμένως, εκφράζεται βλ. 3.106 σ υναρτήσ ει των τανυσ τών Riemann και Ricci ως 41 W cd ab = Rab cd 2R [c [a δ d] b] + 1 [c Rδ 3 [a δ d] b], 4.114 ο οποίος έχει μηδενικό ίχνος: W c acb = 0. Ο μεταθέτης [ a, b ] που χρησ ιμοποιείται σ τον ορισ μό του τανυσ τή Riemann μπορεί να επαναδιατυπωθεί σ ε spinorial φορμαλισ μό αναλύοντάς τον σ ε ένα αυτοδυϊκό και σ ε ένα αντι-αυτοδυϊκό τμήμα ως: [ a, b ] = ε αβ α β + ε α β αβ, 4.115 όπου αβ = αα α β, α β = α α α β. 4.116 Δρώντας με τους τελεσ τές σ ε spinorial πεδία, προκύπτουν βλ. [39] 4.9 οι ακόλουθες ταυτότητες: αβ ξ γ = Ψ γ αβδ ξδ 2Λξ α ε γ β 4.117 α βξ γ = Ψ γ α β δ ξ δ 2Λξ α ε γ β 4.118 αβ ξ β = Φ β αβ α ξ α 4.119 α βξ β = Φ β α βα ξα. 4.120 Ορισ μένα σ τοιχεία των θεωριών πεδίων που μελετήσ αμε προηγουμένως βλ. 4.1 4.3 σ ε επίπεδο χωροχρόνο, μπορούν να επεκταθούν σ ε καμπύλο χωρόχρονο, αντικαθισ τώντας την επίπεδη μετρική και την σ ύνδεσ η με τις αντίσ τοιχες της καμπυλωμένης περίπτωσ ης, ωσ τόσ ο, εμφανίζονται ιδιαίτερες επιπλοκές σ ε σ υγκεκριμένες περιπτώσ εις. 40 Σε μια Lorentzian τομή ενός μιγαδικοποιημένου χωρόχρονου τύπου Minkowski, τοπικά, οι δύο spinorial δέσ μες S ± σ χετίζονται μεταξύ τους με την μιγαδική σ υζυγία, S + = S, ως εκ τούτου, η μιγαδική σ υζυγία ανταλλάσ σ ει σ τικτούς και άσ τικτους δείκτες σ τους αντίσ τοιχους spinors. 41 Οι σ υμβολισ μοί [..] και.. σ τους δείκτες δηλώνουν, αντίσ τοιχα, αντισ υμμετροποίησ η και σ υμμετροποίησ η ως προς τους αντίσ τοιχους δείκτες. 166

4.4 Spinorial φορμαλισ μός γενικής σ χετικότητας 4.4.1.3 Χαρακτηρισ τικές περιπτώσ εις Κυματική εξίσ ωσ η Ο κυματικός τελεσ τής d Alembert = g ab a b γενικεύει την κυματική εξίσ ωσ η σ ε καμπύλο χωρόχρονο ως + 16 R ϕ = 0, 4.121 η οποία ανάγεται σ την επίπεδη κυματική εξίσ ωσ η σ τον χώρο Minkowski για R = 0, με τον όρο 1 6 R να προκύπτει από την απαίτησ η της σ ύμμορφης αναλλοιώτητας της 4.121 ως προς σ ύμμορφους μετασ χηματισ μούς της μετρικής. Άμαζο πεδίο με ελικότητα Η εξίσ ωσ η για ένα άμαζο πεδίο ελικότητας h = 1 2 n α α ϕ αβ...δ = 0, 4.122 σ την γενικευμένη της εκδοχή για καμπύλο χωρόχρονο δεν είναι αυτοσ υνεπής για n 3, καθώς, δρώντας με τον τελεσ τή β α σ την 4.122 και χρησ ιμοποιώντας την 4.117, έχουμε: 0 = β α α α ϕ αβγ...ε = β α α α ϕ αβγ...ε = αβ ϕ αβγ...ε = n 2 Ψ αβργ ϕ αβρ...ε, 4.123 όπου χρησ ιμοποιήθηκε η σ υμμετρικότητα του ϕ α... βλ. [39] 5.8. Αν n > 2, και ο spinor Ψ αβγδ είναι μη τετριμμένος, τότε η αλγεβρική σ υνθήκη σ υνέπειας 4.123 καθισ τά τις εξισ ώσ εις 4.122 ανεπαρκείς ως φυσ ικά πεδία, ενώ για n = 1 εξίσ ωσ η νετρίνου Weyl α α ϕ α = 0 [240] ή για n = 2 εξίσ ωσ η Maxwell α α ϕ αβ = 0, οι αντίσ τοιχες πεδιακές εξισ ώσ εις είναι επαρκείς ως φυσ ικά πεδία κατά την επέκτασ η σ ε καμπύλο χωρόχρονο. Θεωρίες πεδίων βαθμίδας και τελεσ τής Hodge Η έκφρασ η 4.5 για το πεδίο ως προς το δυναμικό βαθμίδας F ab = a A b b A a +[A a, A b ] είναι ανεξάρτητη της επιλογής της σ ύνδεσ ης a και ως εκ τούτου της μετρικής. Ωσ τόσ ο, οι εξισ ώσ εις Yang-Mills D a F ab = g ac D c F ab = 0 εξαρτώνται από την μετρική, όπως επίσ ης και οι εξισ ώσ εις αυτοδυϊσ μού F ab = if ab, αφού ο τελεσ τής ορίζεται ως προς ένα σ τοιχείο όγκου ε abcd και μια μετρική g ab ως F ab := 1 2 ε abcdg ce g df F ef = 0. 4.4.1.4 Σύμμορφοι μετασ χηματισ μοί μετρικής και spinors Για μια σ ύμμορφη ανακλιμάκωσ η της μετρικής g ab ĝ ab = Ω 2 g ab, 4.124 όπου Ω λείο θετικό βαθμωτό πεδίο σ τον καμπύλο χωρόχρονο M, η σ ύνδεσ η μεταβάλλεται, και ως εκ τούτου και η καμπυλότητα [39], [39] 5.6, [40] 6.8. Εσ τω ˆ a η σ ύνδεσ η που καθορίζεται από την ĝ ab. Δρώντας σ ε ένα βαθμωτό πεδίο ϕ, έχουμε ˆ a ϕ = a ϕ, ενώ η δράσ η της σ ύνδεσ ης αυτής σ ε spinors έχει την μορφή ˆ α α ξ β = α α ξ β T β α ξ α 4.125 ˆ α α η β = α α η β T α βη α 4.126 ˆ α α ξ β = α α ξ β + ε β αt γ α ξ γ 4.127 ˆ α α η β = α α η β + ε β α T α γξ γ, 4.128 167

4.4 Spinorial φορμαλισ μός γενικής σ χετικότητας όπου T a = Ω 1 a Ω. Οταν ο ˆ a δρα σ ε spinors μεγαλύτερης τάξης και σ υνεπώς σ ε διανύσ ματα, τανυσ τές, κ.ο.κ., κάθε δείκτης αντιμετωπίζεται σ ύμφωνα με τις σ χέσ εις 4.125-4.128. Οταν ο ˆ a δρα σ ε 1-μορφές και 2-μορφές, έχουμε, αντίσ τοιχα: όπου ˆ a V b = a V b Q c abv c 4.129 ˆ a ω bc = a ω bc Q d abω dc Q d acω bd, 4.130 Q c ab = 2T a δ c b g abt c. 4.131 Η αντίσ τοιχη μεταβολή της καμπυλότητας προσ διορίζεται από τις εξής σ χέσ εις βλ. [40], 6.8: ˆΨ αβγδ = Ψ αβγδ, ˆ Ψ α β γ δ = Ψ α β γ δ, 4.132 ˆΦ αβ α β = Φ αβ α β α α T ββ + T α α T ββ, 4.133 Ω 2 ˆR = R + 6 a T a + 6T a T a. 4.134 Από την 4.132, έπεται ότι ο τανυσ τής Weyl είναι σ υμμόρφως αναλλοίωτος: Ŵ d abc = W d abc. Ορισμός 4.15. Ενας χωροχρόνος είναι σ ύμμορφα επίπεδος, δηλαδή υπάρχει ένας σ ύμμορφος παράγοντας Ω τέτοιος ώσ τε η καμπυλότητα ˆR d abc της g ab να είναι μηδέν, αν και μόνο αν ο τανυσ τής Weyl W d abc μηδενίζεται. Παρατήρηση. Ολοι οι ως άνω θεωρηθέντες μετασ χηματισ μοί επάγονται από την αλλαγή κλίμακας σ την 4.124 της μετρικής g ab. Μπορούμε, ακόμα, να θεωρήσ ουμε αντικείμενα, τα οποία δεν εξαρτώνται από την μετρική, αλλά μετασ χηματίζονται μη τετριμμένα υπό την ανακλιμάκωσ η της μετρικής. 4.4.1.5 Σύμμορφη πυκνότητα και αναλλοιώτητα Οι βαθμωτές σ υναρτήσ εις ϕ ορισ μένες σ τον χώρο M R +, τέτοιες ώσ τε ϕ x, Ω = Ω k ϕ x, 1, Ω 0 καλούνται σ ύμμορφες πυκνότητες βάρους k. βλ. 3.3.2 για μια πιο γενική σ υζήτησ η. Κάθε βαθμωτό πεδίο ϕ σ την M ορίζει μια σ ύμμορφη πυκνότητα, θέτοντας ϕ x, Ω = Ω k ϕ x, 1 και ορίζοντας ϕ x, 1 := ϕ x. Συνεπώς, αν θεωρήσ ουμε ένα βαθμωτό πεδίο ως σ ύμμορφη πυκνότητα βάρους k, τότε, σ ε αναλογία με τα προηγούμενα, έχουμε επιπλέον ότι ϕ ˆϕ = Ω k ϕ [39]. Για μια σ ύμμορφη πυκνότητα ϕ με k = 1, δηλαδή ˆϕ = Ω 1 ϕ, έχουμε: ˆ a ˆϕ = a Ω 1 ϕ = Ω 1 a ϕ Ω 1 ϕt a, επομένως, χρησ ιμοποιώντας τις σ χέσ εις 4.129 και 4.134 ˆ ˆϕ := ĝ ab ˆ a ˆ b ˆϕ = Ω 3 ϕ 1 6 ϕ Ω 2 ˆR R, οπότε, λαμβάνουμε ότι ˆ + 1 6 ˆR ˆϕ = Ω 3 + 1 6 R ϕ, 4.135 άρα η εξίσ ωσ η + 1 6 R ϕ = 0 είναι σ ύμμορφα αναλλοίωτη υπό την προϋπόθεσ η ότι η ϕ είναι μια σ ύμμορφη πυκνότητα βάρους -1. Με ανάλογα επιχειρήματα, χρησ ιμοποιώντας τις σ χέσ εις 4.125 και 4.126, προκύπτει ότι οι εξισ ώσ εις των άμαζων ελεύθερων πεδίων αυθαίρετης ελικότητας α α ϕ αβ...δ = 0, α α ϕ α β... δ = 0 είναι σ ύμμορφα αναλλοίωτες, αρκεί τα πεδία να είναι σ ύμμορφες πυκνότητες βάρους -1 39, 5.7. 168

4.4 Spinorial φορμαλισ μός γενικής σ χετικότητας Οσ ον αφορά τις εξισ ώσ εις πεδίου Yang-Mills D a F ab = 0, το δυναμικό βαθμίδας A a, και κατά σ υνέπεια και η F ab λογίζονται ότι φέρουν μηδενικό σ ύμμορφο βάρος αναλλοίωτες υπό ανακλιμακώσ εις. Επιπλέον, προκύπτει ότι και οι αντι-αυτοδυϊκές εξισ ώσ εις F ab = ±if ab είναι αναλλοίωτες, καθώς η 4-μορφή του όγκου μετασ χηματίζεται ως ˆε abcd = Ω 4 ε abcd, 4.136 δηλαδή ο τελεσ τής Hodge είναι σ ύμμορφα αναλλοίωτος όταν δρα σ ε 2-μορφές σ ε έναν 4-διάσ τατο χώρο. 4.4.2 Αυτοδυϊκοί χωρόχρονοι και βαρυτικά instantons Για έναν Lorentzian χωρόχρονο, τα αυτοδυϊκά και αντι-αυτοδυϊκά μέρη του τανυσ τή Weyl W + abcd και W abcd ή ισ οδύναμα Ψ α β γ δ και Ψ αβγδ είναι μιγαδικά σ υζυγή μεταξύ τους. Ως εκ τούτου, ένας αντι-αυτοδυϊκός χωρόχρονος W + abcd = 0 πρέπει να είναι σ ύμμορφα επίπεδος W abcd = 0. Ωσ τόσ ο, ο περιορισ μός αυτός δεν ισ χύει για θετικά ορισ μένους 4-διάσ τατους χώρους ή για μιγαδικούς χωροχρόνους, και έτσ ι, ο αντι-αυτοδυϊσ μός θα μελετηθεί μη τετριμμένα σ ε αυτές τις περιπτώσ εις. 4.4.2.1 Μιγαδικός χωροχρόνος Ως μιγαδικό χωρόχρονο θεωρείται μια 4-διάσ τατη μιγαδική πολλαπλότητα M εφοδιασ μένη με μια ολομορφική μετρική g ab. Ισ οδύναμα, ως προς ένα ολομορφικό σ ύσ τημα σ υντεταγμένων x a = 0, x 1, x 2, x 3, η μετρική g ab είναι ένας 4 4 πίνακας ολομορφικών σ υναρτήσ εων του x a με μη μηδενική ορίζουσ α σ ε κάθε σ ημείο. Σε αναλογία με την πραγματική περίπτωσ η, η g ab ορίζει βλ. 1.4.1 μια μοναδική ολομορφική σ ύνδεσ η a και κατ επέκτασ ιν, έναν ολομορφικό τανυσ τή καμπυλότητας R abcd. Παρατήρηση. Στην περίπτωσ η αυτή, ο τανυσ τής Ricci έχει μιγαδικές σ υνισ τώσ ες, και επιπλέον, τα αυτοδυϊκά και αντι-αυτοδυϊκά μέρη του τανυσ τή Weyl, ενώ προηγουμένως ήταν μιγαδικά σ υζυγή μεταξύ τους, πλέον είναι ανεξάρτητοι μεταξύ τους ολομορφικοί τανυσ τές. Για να τονισ τεί αυτό, πλέον ο αυτοδυϊκός Weyl spinor θα σ υμβολίζεται ως Ψ α β γ δ. Εφόσ ον οι Ψ αβγδ και Ψ α β γ δ είναι ανεξάρτητοι μεταξύ τους, είναι επιτρεπτό ο ένας να μηδενίζεται ανεξαρτήτως του άλλου. Ορισμός 4.16. Ενας μιγαδικός χωρόχρονος για τον οποίον ισ χύει ότι Ψ α β γ δ = 0, R ab = 0 4.137 καλείται δεξιά-επίπεδος ή κενός αντι-αυτοδυϊκός χώρος. Γενικότερα, οι λύσ εις των είναι οι αντι-αυτοδυϊκοί χώροι Einstein. Ψ α β γ δ = 0, R ab = 1 4 Rg ab 4.138 Σημείωση. Μια μέθοδος κατασ κευής λύσ εων των εξισ ώσ εων 4.138 προκύπτει μέσ ω της θεωρίας twistor και θα περιγραφεί σ την επόμενη ενότητα αναλυτικά. 4.4.2.2 Βαρυτικά instantons Οι πραγματικοί θετικά ορισ μένοι Riemannian χώροι παρουσ ιάζουν ενδιαφέρον από την σ κοπιά της διαφορικής γεωμετρίας βλ. 3.2 και σ χετίζονται με την κβαντική βαρύτητα βλ. [242], 15. Οι χώροι αυτοί είναι οι πλήρεις 4-διάσ τατες Riemannian πολλαπλότητες M, g ab που είναι είτε χώροι Einstein, είτε κενοί, και ικανοποιούν μια εκ των τριών ακόλουθων σ υνοριακών σ υνθηκών: 1. Η M είναι σ υμπαγής χωρίς σ ύνορο. 169

4.4 Spinorial φορμαλισ μός γενικής σ χετικότητας 2. Η M, g ab είναι ασ υμπτωτικά τοπικά Ευκλείδεια ALE, δηλαδή περιέχει ένα άπειρο που μοιάζει με αυτό του χώρου E 4, αλλά παραγοντοποιείται από μια διακριτή υποομάδα Γ της SO 4 που δρα ελεύθερα σ την S 3 το άπειρο του E 4 [243]. 3. Η M, g ab είναι ασ υμπτωτικά τοπικά επίπεδη ALF, δηλαδή περιέχει άπειρο, το οποίο είναι ασ υμπτωτικά Ευκλείδειο, με την τρισ διάσ τατη έννοια, ενώ η τέταρτη διάσ τασ η είναι περιοδική. Στην περίπτωσ η αυτή, το άπειρο έχει την τοπολογία μιας S 1 -δέσ μης επί της S 2 [244], αντί της τοπολογίας S 3 /Γ όπως σ την περίπτωσ η 2. Οι χώροι αυτοί αναφέρονται ως βαρυτικά instantons. Σημείωση. Γενικότερα, υπάρχουν παραδείγματα instantons για τα οποία ο τανυσ τής Weyl δεν είναι αυτοδυϊκός ή αντι-αυτοδυϊκός, όπως ο ALF χώρος [245] και ο σ υμπαγής χώρος S 2 S 2. 4.4.2.3 Συμπαγή αντιαυτοδυϊκά instantons Οι απλούσ τερες περιπτώσ εις σ υμπαγών αντιαυτοδυϊκών instantons είναι η 4-σ φαίρα S 4 ασ υμπτωτικά επίπεδος χώρος και ο 4-τόρος T 4 κενός Einstein χώρος με τις σ υνήθεις μετρικές τους. Ακόμα μια τέτοια περίπτωσ η αποτελεί ο μιγαδικός προβολικός χώρος CP 2 με την σ υνήθη μετρική Fubini-Study βλ. Ορισ μός 1.19, 1.56, ο οποίος αν λογισ θεί ως μια 4-διάσ τατη Riemannian πολλαπλότητα, είναι ένας αντι-αυτοδυϊκός χώρος Einstein [246]. Τέλος, σ την κατηγορία αυτή, εντάσ σ ονται και οι Κ3 μετρικές [247], όπου οι αντίσ τοιχοι Κ3 χώροι είναι οι μόνες σ υμπαγείς απλά-σ υνεκτικές 4-διάσ τατες πολλαπλότητες που επιδέχονται αντι-αυτοδυϊκή μετρική κενού [248]. Ειδικότερα, η μετρική Fubini-Study σ τον CP 2, όπως ορίζεται σ τον Ορισ μό 1.19, περιγράφεται μέσ ω των σ χέσ εων 1.49-1.55. Συγκεκριμένα, αν z 1, z 2, z 3 προβολικές σ υντεταγμένες σ τον CP 2 και ζ a οι αφινικές σ υντεταγμένες ζ 1 = z 1 /z 3 και ζ 2 = z 2 /z 3 σ τον χάρτη με z 3 0, η μετρική, μέσ ω του δυναμικού Kähler 1.54, λαμβάνει την μορφή ds 2 = 2 K ζ a ζ b dζa d ζ b, 4.139 όπου το δυναμικό Kähler σ την σ υγκεκριμένη περίπτωσ η λαμβάνει τη μορφή ζ K = q 1 1 log 1 + q 2 + ζ 2 2, 4.140 όπου q θετική σ ταθερά, και έτσ ι, προκύπτει ότι η μετρική 4.139 έχει αντι-αυτοδυϊκό τανυσ τή Weyl και είναι Einstein με βαθμωτή καμπυλότητα R = 24q. Άλλες περιπτώσ εις ALE και ALF χώρων προκύπτουν από την κλάσ η μετρικών ds 2 = V 1 dτ ω i dx i 2 + V dxi dx i, 4.141 με i = 1, 2, 3. Η βαθμωτή ποσ ότητα V και η 1-μορφή ω i dx i είναι σ υναρτήσ εις μόνο ως προς x i και όχι ως προς τ και πρέπει να ικανοποιούν την σ χέσ η i V = 1 2 ε ijk j ω k 4.142 gradv = curlω. Εφόσ ον ισ χύει η 4.142, η 4.141 είναι αντι-αυτοδυϊκή λύσ η κενού. Θεωρούμε λύσ εις της 4.142 έτσ ι ώσ τε ο χωροχρόνος με τοπική μετρική της μορφής 4.141 να ικανοποιεί τις κατάλληλες ολικές ιδιότητες, οι οποίες ανάγονται σ την εξίσ ωσ η V = ε + n x x a 1, 4.143 a=1 170

4.5 Σύμμορφη βαρύτητα όπου x a = x 1,..., x n n διακριτά σ ημεία σ τον R 3, ε σ ταθερά που λαμβάνεται ως 1 ή 0, και η Ευκλείδεια νόρμα του R 3 y 2 = y i y i, καθώς, για να ικανοποιείται η 4.142, το V πρέπει να είναι λύσ η της 3-διάσ τατης εξίσ ωσ ης Laplace i i V = 0. Εφόσ ον καθορισ τεί το V, η εξίσ ωσ η 4.142 προσ διορίζει το ω i έως και την ελευθερία ω i ω i + i λ, η οποία μπορεί να ενσ ωματωθεί σ τον μετασ χηματισ μό τ τ + λ της σ υντεταγμένης τ, επομένως το V καθορίζει μοναδικά την μετρική. Ανάλογα με τις τιμές του ε, διακρίνονται οι εξής περιπτώσ εις: Αν ε = 1, από την 4.143 ορίζονται οι ασ υμπτωτικά τοπικά επίπεδες μετρικές multi-taub- NUT, και η σ υντεταγμένη τ πρέπει να είναι περιοδική. Αν ε = 0, η 4.143 δίνει ασ υμπτωτικά τοπικά Ευκλείδειους χώρους, όπου το άπειρο είναι ο χώρος φακός L n, 1 της S 3, ο οποίος λαμβάνεται ταυτοποιώντας σ ημεία της S 3 το σ ύνορο του C 2, σ το οποίο οι z 1 και z 2 είναι μιγαδικές σ υντεταγμένες μέσ ω της z 1, z 2 e 2πi/n z 1, e 2πi/n z 2, δηλαδή παραγοντοποιώντας την S 3 με μια κυκλική ομάδα τάξης n. Παρατήρηση. Αν n = 1, η 4.143 καθορίζει την Ευκλείδεια επίπεδη μετρική, ενώ αν n = 2, λαμβάνεται η μετρική [243], η οποία ορίζεται σ την ολομορφική σ υνεφαπτόμενη δέσ μη του CP 1 και μπορεί να θεωρηθεί ως 4-διάσ τατη πραγματική πολλαπλότητα, με το άπειρο να έχει τοπολογία RP 3 = S 3 /Z 2. 4.5 Σύμμορφη βαρύτητα Στην υποενότητα αυτή θα εξετάσ ουμε περιληπτικά την θεωρία της σ ύμμορφης βαρύτητας, εισ άγοντας το πλαίσ ιο εντός του οποίου θα εφαρμόσ ουμε, σ την σ υνέχεια, την θεωρία twistor, διατυπώνοντας την twistorial δράσ η για την σ ύμμορφη βαρύτητα και εφαρμόζοντας την θεωρία διαταραχών για την περιγραφή της σ κέδασ ης μέσ ω του MHV φορμαλισ μού βλ. 6.4. Για την διατύπωσ η της θεωρίας, εργαζόμασ τε σ ε 4-διάσ τατους χωρόχρονους M με μετρικές g με Lorentzian signature 1, 3, οι οποίες είναι ασ υμπτωτικά de Sitter για λεπτομέρειες όσ ον αφορά την γεωμετρία αυτή βλ. [22]. Αυτό σ ημαίνει ότι η g είναι πλήρης, και ότι M = S 3 0, 1, με λεία σ ύμμορφη σ υμπαγοποίησ η M, ḡ, με M = S 3 [0, 1] και ḡ = Ω 2 g, όπου Ω C M ο σ ύμμορφος παράγοντας με Ω 0 σ την M, και Ω = 0 και g dω, dω > 0 σ το σ ύνορο M. Στο πλαίσ ιο αυτό, οι εξισ ώσ εις της σ ύμμορφης βαρύτητας μπορούν να εφαρμοσ θούν εξίσ ου τόσ ο σ την g όσ ο και σ την ḡ. 4.5.1 Δράσ η για την σ ύμμορφη βαρύτητα 4.5.1.1 Δράσ η και πεδιακές εξισ ώσ εις Η θεωρία της σ ύμμορφης βαρύτητας λαμβάνεται από την δράσ η S CG [g] = 1 ˆ ε 2 dµw abcd W abcd = 1 ˆ ε 2 dµ Ψ αβγδ Ψ αβγδ + Ψ α β γ δ Ψ α β γ δ, 4.144 M M όπου ε 2 αδιάσ τατη σ ταθερά ζεύξης 42, dµ = det gdx 4 το σ τοιχείο όγκου, W abcd ο τανυσ τής Weyl 4.114, ο οποίος σ την σ υγκεκριμένη περίπτωσ η λαμβάνει την μορφή W abcd = R abcd g a[c R d]b + g b[d R c]a 1 3 R g a[c g d]b, 4.145 και Ψ αβγδ και Ψ α β γ δ ο αντι-αυτοδυϊκός και ο αυτοδυϊκός Weyl spinor, αντίσ τοιχα. Η δράσ η 4.144 είναι σ ύμμορφα αναλλοίωτη και, επομένως, εξαρτάται μόνο από την σ ύμμορφη δομή [g] της g. Οι 42 Να αποφευχθεί η σ ύγχυσ η με τον πλήρως αντισ υμμετρικό spinor ε αβ..., καθώς αυτός εμφανίζεται πάντα με δείκτες. 171

4.5 Σύμμορφη βαρύτητα εξισ ώσ εις κίνησ ης που προκύπτουν είναι οι μηδενισ μοί του τανυσ τή Bach B ab βλ. οποίος, μέσ ω των ταυτοτήτων Bianchi, γράφεται σ υγκεκριμένα σ την μορφή 3.147, ο B ab =2 c d W cabd + W cabd R cd = 2 c a Rb c R ab 2 3 a b R 2R ca Rb c + 2 3 R abr =2 γ α δ β + Φ γδ α β Ψ αβγδ = 2 γ α δ β + Φ γ δ αβ Ψ α β γ 0 δ, 4.146 όπου ο δείκτης 0 σ την δεύτερη γραμμή δηλώνει το τμήμα μηδενικού ίχνους. Κατά σ υνέπεια, οι εξισ ώσ εις πεδίου ικανοποιούνται όταν g ab R ab για την M, ή όταν η καμπυλότητα Weyl είναι είτε αυτοδυϊκή, είτε αντι-αυτοδυϊκή. 4.5.1.2 Αναλογία με την θεωρία Yang-Mills Στην πεδιακή θεωρία Yang-Mills, υπάρχουν εναλλακτικές Lagrangians, οι οποίες επιτρέπουν το άμεσ ο διαταρακτικό ανάπτυγμα γύρω από το αυτοδυϊκό 43 τμήμα βάσ ει μιας δράσ ης πολλαπλασ ιασ τή Lagrange για το αυτοδυϊκό τμήμα [249, 250]. Οι πεδιακές εξισ ώσ εις της σ ύμμορφης βαρύτητας μπορούν να θεωρηθούν, ισ οδύναμα, ως εξισ ώσ εις Yang-Mills της σ ύμμορφης σ ύνδεσ ης Cartan σ ε μια δέσ μη SU 2, 2 [251], επομένως, ανάλογες δράσ εις θα υπάρχουν και για την σ ύμμορφη βαρύτητα. Ειδικότερα, σ την δράσ η 4.144 μπορεί να προσ τεθεί ο τοπολογικός όρος 1 ε 2 ˆ M dµ Ψ αβγδ Ψ αβγδ Ψ α β γ δ Ψ α β γ δ = 12π2 ε 2 τ M η M, όπου τ M το signature της μετρικής και η M το η-αναλλοίωτο του σ ύμμορφου σ υνόρου της M [251]. Ετσ ι, προκύπτει η μιγαδική χειραλική δράσ η S CG [g] = 2 ˆ ε 2 dµψ αβγδ Ψ αβγδ, 4.147 M η οποία είναι ισ οδύναμη με την δράσ η 4.144 έως και κάποιους όρους, οι οποίοι δεν δεν λαμβάνονται υπόψιν σ το διαταρακτικό ανάπτυγμα. Για το ανάπτυγμα γύρω από το αυτοδυϊκό τμήμα, εισ άγεται ένα πλήρως σ υμμετρικό spinorial πεδίο πολλαπλασ ιασ τής Lagrange G αβγδ, και η δράσ η γράφεται ως [253]: ˆ S CG [g] = dµ G αβγδ ψ αβγδ ε 2 G αβγδ G αβγδ, 4.148 η οποία έχει τις εξής πεδιακές εξισ ώσ εις [254]: ψ αβγδ = ε 2 G αβγδ, M γ α δ β + Φ γδ α β G αβγδ = 0. 4.149 Το ε 2 πλέον γίνεται μια παράμετρος για το ανάπτυγμα γύρω από το αυτοδυϊκό τμήμα, καθώς όταν ε = 0, οι πεδιακές εξισ ώσ εις δίνουν αυτοδυϊκές λύσ εις, και ο G αβγδ είναι μια γραμμική αντι-αυτοδυϊκή λύσ η που διαδίδεται σ το αυτοδυϊκό υπόβαθρο. Παρατήρηση. Ο φορμαλισ μός της υποενότητας αυτής μπορεί να αντισ τραφεί, για υπολογισ τική διευκόλυνσ η ως προς τον αυτοδυϊσ μό-αντι-αυτοδυϊσ μό, με κατάλληλες προσ αρμογές σ τις σ υζυγίες. 43 Οσ ον αφορά την σ ύμβασ η που ακολουθούμε σ την τελευταία ενότητα, για την σ υναρμογή των σ υμβολικών σ χέσ εων, 6, αρκεί να αντικατασ ταθούν οι άσ τικτοι spinorial δείκτες με σ τικτούς, και οι αντι-αυτοδυϊκοί Weyl spinors με τους αντίσ τοιχους αυτοαντιδυϊκούς βλ. και την σ χετική σ υζήτησ η 6.4. 172

4.5 Σύμμορφη βαρύτητα 4.5.2 Συσ χέτισ η σ ύμμορφης βαρύτητας και βαρύτητας Einstein Μια σ υσ χέτισ η μεταξύ της σ ύμμορφης βαρύτητας και της βαρύτητας Einstein ανακύπτει μέσ α από τα πλάτη σ κέδασ ης βλ. 6.4 σ ε ένα υπόβαθρο anti-de Sitter μέσ ω του [255]. Παρατήρηση 4.17. Από τον ορισ μό του τανυσ τή Bach 4.146, προκύπτει άμεσ α ότι οι λύσ εις Einstein αποτελούν επίσ ης λύσ εις της σ ύμμορφης βαρύτητας. Οι δράσ εις των δύο θεωριών μπορούν να σ υσ χετισ θούν ως εξής: παρουσ ία κοσ μολογικής σ ταθεράς, η δράσ η Einstein-Hilbert είναι της μορφής S EH [g] = 1 ˆ κ 2 dµ R 2Λ, 4.150 M όπου κ 2 = 16πG N και dµ = det gdx 4. Σε έναν 4-διάσ τατο χώρο de Sitter, οι πεδιακές εξισ ώσ εις λαμβάνουν την μορφή R ab = Λg ab, επομένως η δράσ η Einstein-Hilbert λαμβάνει την μορφή S EH [ds 4 ] = 2Λ ˆ κ 2 dµ = 2Λ κ 2 V ds 4, 4.151 ds 4 όπου V M ο όγκος της M. 4.5.2.1 Επανακανονικοποιημένη δράσ η Einstein-Hilbert Για οποιαδήποτε ασ υμπτωτικά de Sitter πολλαπλότητα, ο όγκος αυτός απειρίζεται, και έτσ ι το σ υναρτησ ιακό της δράσ ης πρέπει να τροποποιηθεί κατάλληλα με τον σ υνοριακό όρο Gibbons-Hawking [245]. Επιπλέον, πρέπει να σ υμπεριληφθούν και οι αντισ ταθμισ τικοί σ υνοριακοί όροι της ολογραφικής επανακανονικοποίησ ης για να κατασ τεί πεπερασ μένος ο όγκος [256, 257], και έτσ ι λαμβάνεται η επανακανονικοποιημένη δράσ η Einstein-Hilbert [258]: SEH ren [ds 4 ] = 1 ˆ ˆ ˆ κ 2 dµ R 2Λ 2 d µk d µl ct, 4.152 M όπου d µ το σ τοιχείο όγκου σ το σ ύνορο της M, K η εξωτερική καμπυλότητα του M, και L ct η Lagrangian της ολογραφικής επανακανονικοποίησ ης των επιπλέον όρων, η οποία, για τον de Sitter χώρο, έχει την μορφή L ct l ds 1 κ 2 δ[i1i2i3] [j 1j 2j 3] Kj1 j2j3 i 1 R i 2 2i 3 h 1 3 Kj2 i 2 K j3 i 3 + 1 ldh 2 δ j2 i 2 δ j3 i 3, 4.153 όπου h η μετρική του σ υνόρου, από όπου προκύπτει τελικά ότι M M L ct [ds 4 ] = 2 l ds + l ds 2 R, 4.154 όπου l dh η ακτίνα καμπυλότητας de Sitter και R ο τανυσ τής εσ ωτερικής καμπυλότητας του σ ύμμορφου σ υνόρου M. Αυτό σ ημαίνει ότι η SEH ren [M] είναι πεπερασ μένη, και έχει την μορφή όπου V ren ο επανακανονικοποιημένος όγκος του χωρόχρονου [259]. S ren EH [M] = 2Λ κ 2 V ren M, 4.155 173

4.5 Σύμμορφη βαρύτητα Αν η M θεωρηθεί ως μια 4-διάσ τατη σ υμπαγής Riemannian πολλαπλότητα χωρίς σ ύνορο, από την σ χέσ η Chern-Gauss-Bonnet βλ. [260], 12 έχουμε χ M = 1 ˆ 8π 2 dµ W abcd W abcd 12 R abr ab + 16 R2, 4.156 ενώ αν, επιπλέον, η M είναι Einstein, με R ab = Λg ab, τότε έχουμε M S CG [M] = 8π2 χ M ε 3 2Λ2 V M. 4.157 3ε2 Αν η M είναι Lorentzian και ασ υμπτωτικά de Sitter, το θεώρημα Chern-Gauss-Bonnet απαιτεί έναν σ υνοριακό όρο, και ο όγκος επανακανονικοποιείται. Ωσ τόσ ο, η 4.157 εξακολουθεί να ισ χύει ακόμα και όταν έχουν ληφθεί υπόψιν οι σ υνοριακοί όροι για το χαρακτηρισ τικό Euler και ο όγκος έχει επανακανονικοποιηθεί [261]. Επιπλέον, αφού η M είναι ασ υμπτωτικά de Sitter, εισ άγεται η υπόθεσ η ότι είναι πάντα δυνατό το διαταρακτικό ανάπτυγμα γύρω από την τοπολογικά τετριμμένη περίπτωσ η δηλαδή χ M = 0, επομένως, σ υγκρίνοντας με την 4.155, προκύπτει ότι S CG [M] = Λ2 κ 2 3ε 2 Sren EH [M]. 4.158 4.5.2.2 Γραμμικοποιημένες λύσ εις Bach, spin-2 πεδία και γραμμικοποιημένες λύσ εις Einstein Στην παράγραφο αυτή, { θα δούμε πώς σ υσ χετίζονται οι γραμμικοποιημένες λύσ εις των εξισ ώσ εων Bach 4.146. Εσ τω ψ αβγδ, ψ } α β γ δ γραμμικοποιημένα spin-2 πεδία και { Ψ αβγδ, Ψ } α β γ δ το αντι-αυτοδυϊκό και αυτοδυϊκό τμήμα του τανυσ τή Weyl. Η βασ ική παρατήρησ η που επιτρέπει την σ ύνδεσ η της σ ύμμορφης βαρύτητας με τα spin-2 πεδία είναι ότι ο τανυσ τής Weyl έχει μηδενικό σ ύμμορφο βάρος, ενώ ένα γραμμικοποιημένο spin-2 πεδίο έχει σ ύμμορφο βάρος -1 [40]. Και τα δύο πεδία ικανοποιούν τις εξισ ώσ εις α α Ψ α β γ δ = α α ψ α β γ δ = 0 = α αψ αβγδ = α αψ αβγδ 4.159 σ το σ ύμμορφο Einstein frame, όμως, για τον τανυσ τή Weyl, αυτό ισ χύει μόνο σ την δεδομένη του σ ύμμορφη Einstein κλίμακα. Οι σ ύμμορφες Einstein κλίμακες μπορούν να περιγραφούν ως σ υναρτήσ εις Ω σ ύμμορφου βάρους +1, οι οποίες ικανοποιούν την σ ύμμορφα αναλλοίωτη εξίσ ωσ η [262] a b + Φ ab 0 Ω = 0, 4.160 όπου ο δείκτης 0 αναφέρεται σ το τμήμα μηδενικού ίχνους, και το Φ ab αντισ τοιχεί σ το μισ ό του τμήματος μηδενικού ίχνους του τανυσ τή Ricci. Στον επίπεδο χώρο, η 4.160 έχει την γενική λύσ η Ω = α + β a x a + γx 2. 4.161 Δεδομένης μιας τέτοιας λύσ ης Ω, η ανακλιμάκωσ η ώσ τε Ω = 1 δίνει μια μετρική, η οποία ικανοποιεί την σ χέσ η Φ ab = 0 από την 4.160, η οποία είναι η σ υνθήκη Einstein, και οι λύσ εις 4.161 δίνουν μετρικές με κοσ μολογική σ ταθερά Λ = 3 β a β a αγ. Θέτοντας Ψ αβγδ = Ωψ αβγδ, 4.162 παρατηρούμε ότι ο Weyl spinor Ψ αβγδ έχει μηδενικό σ ύμμορφο βάρος και ικανοποιεί την γραμμικοποιημένη ταυτότητα Bianchi κενού 4.159 για την σ ύμμορφη κλίμακα σ την οποία Ω = 1. Εφόσ ον αυτή η κλίμακα είναι Einstein και εφόσ ον οι εξισ ώσ εις Bach είναι μια επιπλέον παράγωγος 174

αυτής της εξίσ ωσ ης, o Ψ αβγδ ικανοποιεί και τις γραμμικοποιημένες εξισ ώσ εις Bach, επομένως, μέσ ω της σ ύμμορφης αναλλοιώτητας των εξισ ώσ εων Bach, θα τις ικανοποιεί σ ε οποιαδήποτε σ ύμμορφη κλίμακα. Part II Θεωρία και Γεωμετρία Twistor και εφαρμογές Στο δεύτερο μέρος, θα μελετήσ ουμε την γεωμετρία των twistors και την χρήσ η τους σ την περιγραφή λύσ εων των πεδιακών εξισ ώσ εων Yang-Mills με ολομορφικές διανυσ ματικές δέσ μες σ ε έναν αντίσ τοιχο χώρο twistor, όπου, επιπλέον, θα διασ αφηνισ τεί και η σ ύνδεσ η των twistors με την ολομορφική θεωρία Chern-Simons. Ακόμα, θα μελετήσ ουμε και τις δυνατότητες επέκτασ ης της θεωρίας twistor για την περιγραφή της βαρύτητας, όπου ειδικότερα, θα αναλύσ ουμε τις μη γραμμικές κατασ κευές gravitons, τους καμπυλωμένους χώρους twistor, τα προβλήματα που ανακύπτουν κατά την απόπειρα ενοποιημένης περιγραφής της βαρύτητας σ τον twistorial φορμαλισ μό, και τρόπους πιθανής αποφυγής τέτοιων ζητημάτων με γενικεύσ εις της έννοιας των twistorial γεωμετριών και των αντισ τοιχιών twistor. Τέλος, θα περιγράψουμε μια χαρακτηρισ τικ η εφαρμογή των twistors για την περιγραφή των δράσ εων σ την θεωρία βαρυτικής σ κέδασ ης gravitons και τον υπολογισ μό των αντίσ τοιχων πλατών με τον φορμαλισ μό MHV. 5 Γεωμετρία Twistor Στην ενότητα αυτή, θα αναπτυχθεί η αντισ τοιχία twistor και η επακόλουθη γεωμετρική της δομή. Επιπλέον, θα μελετηθεί εις βάθος ο μετασ χηματισ μός Penrose-Ward, ο οποίος αντισ τοιχεί λύσ εις ορισ μένων πεδιακών εξισ ώσ εων βαθμίδας σ ε ορισ μένες ολομορφικές διανυσ ματικές δέσ μες επί καταλλήλων χώρων twistor. Χαρακτηρισ τικές αναφορές, σ υγκεντρωτικά, για την ενότητα αυτή, εκτός από τις αναφερόμενες κατά τόπους σ το κείμενο, είναι οι [39, 40, 180, 263, 264, 265]. 5.1 Βασικά στοιχεία των twistors Ο φορμαλισ μός της θεωρίας twistor αρχικά εισ ήχθη από τον Penrose ως ένα κατάλληλο πλαίσ ιο για την ενιαία περιγραφή της γενικής σ χετικότητας και της κβαντομηχανικής. Ως μαθηματικά αντικείμενα, οι twistors, όπως και οι κυματοσ υναρτήσ εις, είναι εγγενώς μιγαδικά, ενώ επιπλέον φέρουν την κατάλληλη αλγεβρική δομή σ την οποία μπορεί να κωδικοποιηθεί η πληροφορία για την χωροχρονική γεωμετρία. 5.1.1 Κίνητρα για την ανάπτυξη της θεωρίας twistor Οπως αναφέρθηκε και σ την εισ αγωγή, το βασ ικό κίνητρο για την ανάπτυξη της θεωρίας twistor ήταν η εύρεσ η ενός κατάλληλου ενιαίου πλαισ ίου για την σ υμβατή περιγραφή της κβαντομηχανικής και της γενικής σ χετικότητας. Ωσ τόσ ο, οι twistors ανακύπτουν και εφαρμόζονται σ ε ένα ευρύτερο φάσ μα θεματικών περιοχών, όπως η αλγεβρική και διαφορική γεωμετρία, όπως είδαμε σ το Μέρος Ι, όπου θεμελιώνονται ως μαθηματικά αντικείμενα. Οσ ον αφορά την ενοποιημένη περιγραφή της γενικής σ χετικότητας και της κβαντομηχανικής, η θεωρία twistor απαιτεί μια μερική τροποποίησ η αμφότερων. Χαρακτηρισ τικό παράδειγμα, αποτελεί η δυνατότητα εισ αγωγής μη γραμμικών σ τοιχείων σ την κβαντομηχανική, τα οποία βρίσ κονται σ ε ταύτισ η με ορισ μένες ερμηνείες της διαδικασ ίας της μέτρησ ης η κατάρρευσ η της κυματοσ υνάρτησ ης 175

5.1 Βασ ικά σ τοιχεία των twistors αντιβαίνει σ την αρχή της unitary χρονικής εξέλιξης, και έχει προταθεί ότι αυτή η αποτυχία της unitarity ενδεχομένως να οφείλεται σ ε μη γραμμικά βαρυτικά φαινόμενα. Τα δύο κύρια χαρακτηρισ τικά της θεωρίας twistor είναι η μη-τοπικότητα σ τον χωρόχρονο, και η αναλυτικότητα ολομορφικότητα σ ε έναν βοηθητικό μιγαδικό χώρο, τον χώρο twistor. Αυτός ο βοηθητικός χώρος μπορεί να λογισ θεί ως ο χώρος των ακτίνων φωτός σ ε κάθε σ ημείο του χωροχρόνου. Για έναν παρατηρητή σ ε κάποιο σ ημείο p ενός 4-διάσ τατου χωροχρόνου, η ουράνια σ φαίρα του, δηλαδή η εικόνα των πλανητών, άσ τρων, γαλαξιών που αντιλαμβάνεται γύρω του, είναι ο αντίσ τροφος κώνος φωτός σ το p, ο οποίος περιγράφεται από την 2-σ φαίρα t = 1 και x 2 + y 2 + z 2 = 1. 5.1 Βάσ ει αυτού, έπεται ότι ο χώρος twistor του R 4 είναι ο R 4 S 2. Από την άλλη, ο χώρος αυτός μπορεί να ερμηνευθεί ως η μιγαδική διανυσ ματική δέσ μη O 1 O 1 επί της Riemannian σ φαίρας CP 1. Η αντισ τοιχία και ο τρόπος μετάβασ ης από τον χωρόχρονο σ τον χώρο twistor και αντίσ τροφα καλείται αντισ τοιχία twistor ή αντισ τοιχία Klein. Η μη-τοπικότητα των πεδίων σ ε μια φυσ ική θεωρία επιτυγχάνεται κςδικοποιώντας της πεδιακές πληροφορίες κάθε σ ημείου ενός χωροχρόνου σ ε ολομορφικές σ υναρτήσ εις σ τον χώρο twistor. Με την κατάλληλη επιλογή περιγραφής, οι πεδιακές εξισ ώσ εις μπορούν να μηδενίζονται σ τον χώρο twistor, δηλαδή ισ οδύναμα, η ολομορφικότητα μιας σ υνάρτησ ης σ τον χώρο twistor σ υνεπάγεται αυτομάτως ότι το αντίσ τοιχο πεδίο ικανοποιεί τις πεδιακές του εξισ ώσ εις. 5.1.1.1 Φορμαλισ μός 2-Spinor και twistors Με κατάλληλη τροποποίησ η σ τα πρόσ ημα των σ χέσ εων 1.86 και λαμβάνοντας υπόψιν τις αντίσ τοιχες σ υμβάσ εις για την εναλλαγή μεταξύ διανυσ ματικών και spinorial δεικτών, χρησ ιμοποιώντας τους κατάλληλους σ-πίνακες βλ. σ χέσ εις 4.36 για + ++ signature, η σ ύμβασ η που θα ακολουθήσ ουμε σ την ενότητα αυτή είναι η x α α = iσ α α µ x µ = i 2 ix 0 ix 3 ix 1 x 2 ix 1 + x 2 ix 0 + ix 3. 5.2 Ο αντίσ τροφος μετασ χηματισ μός δίνεται από την σ χέσ η x µ = i 2 tr σ µ α α x α α. Η νόρμα ενός τέτοιου διανύσ ματος λαμβάνεται από την σ χέσ η x 2 = η µν x µ x ν = det x α α = 1 2 x α αx α α. Από την σ χέσ η αυτή έπεται ότι βλ. 4.4.1 ότι η µν = 1 2 ε αβε α β, 5.3 όπου ε αβ ο πλήρως αντισ υμμετρικός τανυσ τής σ τις δύο διασ τάσ εις, για τον οποίον ακολουθούμε την σ ύμβασ η ε 1 2 = ε 1 2 = 1, από όπου έπεται ότι ε α βε β γ = δ γ α. Κάθε διάνυσ μα x µ x α α μπορεί να αναλυθεί σ ε τέσ σ ερις μετατιθέμενους 2-spinors ως εξής: x α α = λ α λ α + κ α κ α. 5.4 Αν το διάνυσ μα x µ είναι πραγματικό, τότε τα λ και κ σ χετίζονται με τα λ και κ μέσ ω της μιγαδικής σ υζυγίας. Αν, επιπλέον, το πραγματικό διάνυσ μα x µ είναι μηδενικό δηλ. φωτοειδές και μελλοντικό ως προς την κατεύθυνσ ή του, τότε η νόρμα του μηδενίζεται, και έτσ ι φεύγει ο ένας όρος της 5.4, και έχουμε x α α = κ α κ α, με κ α = κ α, 5.5 όπου ο κ α είναι ένας SL 2, C-spinor, ενώ ο κ α είναι ένας SL 2, C-spinor. Οι spinorial δείκτες αναβιβάζονται και καταβιβάζονται βλ. 4.2.2 μέσ ω του σ υμβόλου ε ως κ α = ε αβ κ β, κ α = ε α β κ β. 5.6 Καθώς οι spinors κ α και κ α μετατίθενται, δηλαδή δεν είναι Grassmannian μεταβλητές βλ. Ορισ μός 4.10, έχουμε ότι κ α κ α = κ α κ α = 0. 5.7 176

5.1 Βασ ικά σ τοιχεία των twistors 5.1.1.2 Ακτίνες φωτός Μια ακτίνα φωτός σ τον χώρο Minkowski παραμετρίζεται από τις εξισ ώσ εις x α α = x α 0 α +tp α α. Για μια γενική ακτίνα φωτός, η περιγραφή αυτή μπορεί να αναπαραμετρισ θεί έτσ ι ώσ τε το διάνυσ μα x α 0 α να είναι μηδενικό null. Για τις φωτεινές ακτίνες, οι οποίες τέμνουν τον κώνο φωτός της αρχής περισ σ ότερες από μια φορές, δηλαδή για φωτεινές ακτίνες που βρίσ κονται σ ε ένα μηδενικό null υπερεπίπεδο που περιέχει την αρχή των αξόνων, επιλέγουμε το x α 0 α να είναι ορθογώνιο σ το p α α ως προς την μετρική Minkowski. Μετασ χηματίζοντας τα διανύσ ματα σ ε spinors, έχουμε: x α α = cω α ω α + tλ α λα, και x α α = ζ α λ α + ζ α λα + tλ α λα 5.8 για την γενική και την επιμέρους περίπτωσ η, αντίσ τοιχα. Οι δύο περιπτώσ εις αυτές, μπορούν να αναχθούν σ ε μια εξίσ ωσ η: ω α = ix α α λ α 5.9 υποθέτοντας ότι c = i ω α 1 λ α σ την γενική περίπτωσ η, και ότι ω α = i λ ζ α βλ β σ την ειδική περίπτωσ η. Για κάθε σ ημείο x α α σ την φωτεινή ακτίνα, ισ χύει η εξίσ ωσ η 5.9, που ορίζει τις σ χέσ εις πρόσ πτωσ ης. 5.1.1.3 Twistors Λαμβάνοντας υπόψιν τα προηγούμενα, έχουμε: Ορισμός 5.1. Ενας twistor Z i ορίζεται ως το ζεύγος δύο 2-spinors ω α, λ α, οι οποίοι μετασ χηματίζονται υπό μια μετατόπισ η της αρχής 0 r α α ως ω α, λ α ω α ir α α λ α, λ α. 5.10 Οι spinors ω α και λ α καλούνται κύριο και δευτερεύον spinorial τμήμα του twistor Z i, αντίσ τοιχα. Ως εκ τούτου, ο χώρος twistor T είναι ένας 4-διάσ τατος μιγαδικός διανυσ ματικός χώρος, σ τον οποίον μπορούμε να εισ άγουμε μια αντιγραμμική προβολική απεικόνισ η involution τ : T T ορίζοντας Z i = ω α, λ α λα, ω α = Z i. 5.11 Επιπλέον, μπορούμε να ορίσ ουμε ένα Ερμητιανό εσ ωτερικό γινόμενο h Z, U για δύο twistors Z i = ω α, λ α και U i = σ α, µ α ως Ορισμός 5.2. Το Ερμητιανό εσ ωτερικό γινόμενο h Z, U για δύο twistors Z i = ω α, λ α και U i = σ α, µ α ορίζεται ως h Z, U = Z i Ū i = ω α µ α + λ α σ α, 5.12 το οποίο δεν είναι θετικά ορισ μένο, αλλά έχει signature + +. Με βάσ ει αυτό το εσ ωτερικό γινόμενο, ορίζονται οι μηδενικοί null twistors ως Z i Zi = 0. Παρατήρηση 5.3. Εφόσ ον ο περιορισ μός αυτός αντισ τοιχεί σ ε μια πραγματική εξίσ ωσ η, οι μηδενικοί twistors σ χηματίζουν έναν πραγματικό 7-διάσ τατο υπόχωρο T N του T. Ακόμα, ο T N διαχωρίζει τον T σ ε δύο τμήματα, T ± με twistors θετικής και αρνητικής νόρμας. Εφόσ ον μιας σ χετική φάσ η μεταξύ των ω α και λ α δεν επηρεάζει την υφισ τάμενη ακτίνα φωτός, μπορούμε να υποθέσ ουμε ότι το ω α λ α είναι αμιγώς φαντασ τικό. Τότε, ο twistor που ορίζεται για αυτή τη φωτεινή ακτίνα γίνεται μηδενικός twistor, αφού Z i Zi = 2Re ω α λ α. 177

5.1 Βασvικά σvτοιχεία των twistors 5.1.1.4 Ισvοδυναμία Robinson Ενας μηδενικός null twistor αντισvτοιχεί σvε μια γεωδαισvιακή σvτον χώρο Minkowski. Ενας μη-μηδενικός non-null twistor Z i, από την άλλη, ανήκει σvε έναν υπόχωρο του δυϊκού χώρου twistor CP3, n o S = Wi CP3 Z i Wi = 0. 5.13 Η τομή αυτού του χώρου με τον χώρο των μηδενικών null twistors PTN είναι ένας τρισvδιάσvτατος χώρος, ο οποίος παραμετρίζει μια οικογένεια πλήρων γεωδαισvιακών που καλύπτουν έναν χωροχρόνο σvτον σvυμπαγοποιημένο χώρο M. Λαμβάνοντας ένα χρονικό σvτιγμιότυπο και προβάλλοντας τα εφαπτόμενα διανύσvματα του M σvτο σvτιγμιότυπο αυτό, λαμβάνουμε την θεώρησvη Penrose αυτής της αντισvτοιχίας Robinson ένα σvύνολο ενσvωματωμένων τόρων, με έναν άξονα σvτο κέντρο τους Βλ. Σχήμα 5.1. Σχήμα 5.1: Τομή της απεικόνισvης της τρισvδιάσvτατης προβολής για την αντισvτοιχία Robinson των twistors Ο κεντρικός null άξονας αντισvτοιχεί σvε null twistor, και η χρονική εξέλιξη αντισvτοιχεί σvτην μετατόπισvη όλης της διάταξης κατά μήκος του άξονα αυτού, ενώ τα twisted εφαπτόμενα διανύσvματα σvτους τόρους περισvτρέφονται44. 5.1.1.5 Φωτεινές ακτίνες και twistors Ενας twistor καλείται προσvπίπτων σvε ένα χωροχρονικό σvημείο xαα αν τα spinorial τμήματά του ικανοποιούν τις σvχέσvεις πρόσvπτωσvης 5.9. Σχήμα 5.1 έγινε χρησvιμοποιώντας το υπολογισvτικό πακέτο Maxima, με τον εξής κώδικα: loaddraw$ rtheta,omega,phi:=2*tantheta*cosomega+phi+sectheta/1+tantheta*sinomega+phi*sinomega+phi$ 44 Το P1:r0.2,u,phi*cosphi$ P2:r0.2,u,phi*sinphi$ P3:-r0.2,u,phi*tan0.2*sinu+phi$ Q1:r0.5,u,phi*cosphi$ Q2:r0.5,u,phi*sinphi$ Q3:-r0.5,u,phi*tan0.5*sinu+phi$ T1:r1,u,phi*cosphi$ T2:r1,u,phi*sinphi$ T3:-r1,u,phi*tan1*sinu+phi$ R1:r1.2,u,phi*cosphi$ R2:r1.2,u,phi*sinphi$ R3:-r1.2,u,phi*tan1.2*sinu+phi$ draw3dpalette=[gray30,gray80],colorbox=false, enhanced3d=true, xu grid=200, wired surface=true, parametric surfacep1,p2,p3,u,0,2*%pi,phi,0,2*%pi,parametric surfaceq1,q2,q3,u,0,2*%pi,phi,0,2*%pi, parametric surfacer1,r2,r3,u,0,2*%pi,phi,0,2*%pi,parametric surfacet1,t2,t3,u,0,2*%pi,phi,0,2*%pi$ 178