Séminaire Grothendieck

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Séminaire Grothendieck"

Δάμαρις Μπλέτσας
6 χρόνια πριν
Προβολές:

1 Séminaire Grothendieck in memoriam 28 March November 204 Αριστείδης Κοντογεώργης 7 Φεβρουαρίου 205 Συνιστώμενη βιβλιογραφία. J.S Milne, Étale Cohomology 2. P. Deligne, SGA 4 2 Cohomologie étale Εισαγωγή Πρόβλημα: Η κατανόηση της απόλυτης ομάδας Galois του Q: G Q =Gal( Q alg /Q), δηλαδή της ομάδας αυτομορφισμών του σώματος των αλγεβρικών αριθμών που αφήνουν τους ρητούς αναλλοίωτους. Ενας τρόπος προσέγγισης του προβλήματος είναι να μελετήσει κανείς πως δρα η ομάδα αυτή στον δακτύλιο πολυωνύμων Q[x] μεταθέτοντας τις ρίζες τους. Σημαντικό κομμάτι της θεωρίας αυτής παίζουν οι επαγόμενες γραμμικές αναπαραστάσεις Galois και τα στοιχεία Frobenius. ρ : Gal( Q alg /Q) GL(2, F p ) Το πρώτο παράδειγμα που μελετά κανείς είναι τα γνωστά μας κυκλοτομικά πολυώνυμα Φ n (x) = n (x ζ k ) k= όπου ζ k πρωταρχική ρίζα της μονάδος. Τα ακέραια αυτά πολυώνυμα είναι ανάγωγα, βαθμού φ(n). Ορισμός: Εστω p πρώτος και G Q όπως παραπάνω. Τότε ορίζουμε έναν p-αδικό κυκλοτομικό χαρακτήρα να είναι ένας ομομορφισμός ομάδων χ p : G Q Z p που στέλνει έναν αυτομορφισμό θ σε μια δύναμη της πρωταρχικής ρίζας της μονάδος ζ a θ n όπου a θ (Z/p n ) και (n, a θ ) =.

2 Παρατηρήσεις:. Η υποομάδα G Q := [G Q,G Q ] είναι μέσα στον πυρήνα της χ p. 2. Αν σχηματίσουμε τον πύργο επεκτάσεων σωμάτων του F p τότε η απόλυτη ομάδα Galois της αλγεβρικής κλειστότητας Gal( F alg p /F p ) είναι η ομάδα των p-αδικών ακεραίων Ẑ = lim Z/nZ που δεν είναι κυκλική. Η μελέτη κυκλοτομικών πολυωνύμων υπό αυτό το πρίσμα αποτέλεσε την απαρχή της θεωρίας κλάσεων σωμάτων (class field theory) στην αλγεβρική θεωρία αριθμών, όπου (ένας) εκ των σκοπών αυτής είναι να μελετήσει μη-αβελιανές επεκτάσεις σωμάτων και γενικευμένους νόμους αντιστροφής. Ενα πρώϊμο βασικό θέωρημα που αφορά το Q ab είναι το εξής: Θεώρημα (Kronecker-Weber, 886): Κάθε αβελιανή επέκταση των ρητών εμπεριέχεται σε μια κυκλοτομική επέκταση τους. Περιγραφικά στοιχεία αλγεβρικής γεωμετρίας Η κλασική αλγεβρική γεωμετρία (Ιταλική σχολή) καταπιάνεται με τη μελέτη συστημάτων πολυωνυμικών εξισώσεων (και δη Διοφαντικών) ως γεωμετρικά αντικείμενα καθέαυτά. Κεντρικό ρόλο παίζει η έννοια της πολλαπλότητας (προτιμούμε τον όρο αυτό αντί του ποικιλλότητα υπό την έννοια ότι στα Γαλλικά δεν γίνεται διάκριση των δύο και περιγράφονται αμφότερα ως variétés. Ειδικότερα έχουμε τον ακόλουθο ορισμό: Ορισμός: Εστω k αλγεβρικά κλειστό σώμα και I ένα ιδεώδες του πολυωνυμικού δακτυλίου k[x,..., x n ]. Τότε το συμπλήρωμα του συνόλου λύσεων V (I) = {P A n k : f i (P ) = 0, f i I} με την τοπολογία Zariski θα ονομάζεται αλγεβρικό σύνολο. Αν επιπρόσθετα είναι ανάγωγο (δεν δύναται να γραφεί ως ένωση δύο μικρότερων ανοικτών κατά Zariski συνόλων) τότε θα ονομάζεται αφινική αλγεβρική πολλαπλότητα (affine algebraic variety). Σχεδόν παρόμοια ορίζεται και μια προβολική (αλγεβρική) πολλαπλότητα (projective algebraic variety) στον προβολικό χώρο P n k χρησιμοποιώντας όμως ομογενή πολυώνυμα. Το βασικό θεώρημα που κατά μία έννοια συνδέει την Άλγεβρα με τη Γεωμετρία είναι το εξής: Θεώρημα (Hilbert s Nullstellensatz, 900): I(V (J)) = J. Παρατήρηση: Μια ρηξικέλευθη ιδέα του Grothendieck που μεταμόρφωσε την αλγεβρική γεωμετρία ήταν η αντικατάσταση του αλγεβρικά κλειστού σώματος k με έναν οποιοδήποτε μεταθετικό δακτύλιο με μονάδα R (για παράδειγμα Q, F p κτλ) οδηγώντας έτσι στην θεωρία των σχημάτων (scheme theory) διαμέσου της θεωρίας δραγμάτων (sheaf theory) που γενικεύουν κατά φυσιολογικό τρόπο τις αλγεβρικές πολλαπλότητες και θα αναφερθούμε εκτενέστερα σε αυτές αργότερα. 2

Οι αλγεβρικές καμπύλες αποτελούν αλγεβρικές πολλαπλότητες (algebraic varieties) διάστασης. Μια ειδική περίπτωση αυτών είναι οι ελλειπτικές καμπύλες y 2 = x 3 +ax+b, a, b Q.

3 Οι αλγεβρικές καμπύλες αποτελούν αλγεβρικές πολλαπλότητες (algebraic varieties) διάστασης. Μια ειδική περίπτωση αυτών είναι οι ελλειπτικές καμπύλες y 2 = x 3 +ax+b, a, b Q. Μπορούμε να εφοδιάσουμε μια ελλειπτική καμπύλη με μία μιγαδική δομή χρησιμοποιώντας ένα Z-πλέγμα καθιστώντας την επιφάνεια Riemann (μονοδιάστατη μιγαδική πολλαπλότητα) η οποία θα είναι γένους, δηλαδή τοπολογικά υπεράνω των μιγαδικών αριθμών θα μοιάζει με τόρο S S. Ενα βασικό θεώρημα στη θεωρία ελλειπτικών καμπυλών είναι το εξής: Θεώρημα (Mordell-Weil, 922): Εστω E ελλειπτική καμπύλη υπεράνω του Q. Τότε η E(Q) είναι πεπερασμένη παραγόμενη αβελιανή ομάδα. Ορίζοντας τώρα το γένος g που ορίζει μια αυθαίρετη ομαλή, μιγαδική, προβολική αλγεβρική καμπύλη X δια μέσου του ομογενούς πολυωνύμου βαθμού d υπεράνω του Q να είναι g = (d )(d 2). Τότε έχουμε το εξής βαθύ αποτέλεσμα της αριθμητικής αλγεβρικής 2 γεωμετρίας: Θεώρημα (Εικασία Mordell - Faltings, 983):. Αν g=0 τότε το #X(Q) είναι είτε είτε απειροσύνολο. 2. Αν g= (ελλειπτικές καμπύλες) τότε έχουμε τη δομή του προηγούμενου θεωρήματος (άρα είτε καμία λύση είτε το σύνολο λύσεων είναι πεπερασμένα παραγόμενο) 3. Αν g < τότε #X(Q)<. Σημείωση: Στην περίπτωση 2 ανήκει το διάσημο ανοικτό πρόβλημα της εικασίας BSD που συνδέει την αναλυτική συμπεριφορά της L-σειράς μιας ελλειπτικής καμπύλης με την γεννήτρια τάξη της ελευθέρας στρέψης πεπερασμένης παραγόμενης ομάδας του θεωρήματος Mordell-Weil. Οι ιδέες του Weil: Εστω V ομαλή, προβολική (αλγεβρική) μιγαδική πολλαπλότητα πάνω από ένα πεπερασμένο σώμα F q όπου q = p s και έστω V η ανύψωση της V στο κ := F alg. Τότε μπορούμε να θεωρήσουμε έναν τρόπο τινά γεωμετρικό ενδομορφισμό Frobenius f q που στέλνει κάθε τοπική συντεταγμένη x i στο x q i, i =,..., n. Στην χαρακτηριστική q θα έχουμε αυτομορφισμό και επομένως τα σταθερά σημεία της Fix(f q ) θα είναι ακριβώς τα σημεία της V (κ). Η ιδέα του Weil ήταν πως αν υπήρχε μια κατάλληλη θεωρία (συν-)ομολογίας θα μπορούσαμε να 3

4 χρησιμοποιήσουμε τον τύπο σταθερού σημείου του Lefschetz από την αλγεβρική τοπολογία #V (κ) = i ( ) i T r(f q ) H i W ( V, F ) και να πάρουμε έναν τύπο για το πλήθος των σημείων της αλγεβρικής πολλαπλότητας πάνω από πεπερασμένα σώματα. Αργότερα θα δούμε πως ο Grothendieck βρήκε ότι η ζητούμενη συνομολογία Weil πράγματι υπάρχει και είναι η συνομολογία étale αποδεικνύοντας παράλληλα και τον ανάλογο τύπο του ίχνους (Grothendieck trace formula). H í et(v ; Q l ) = H i (V ; Z l ) Q Q l Ας δούμε τώρα ένα παράδειγμα εφαρμογής αυτής της ιδέας, δίνοντας πρώτα το εξής ορισμό: Ορισμός: Αν V όπως παραπάνω και N r := #V (F p r) ορίζουμε ως τοπική συνάρτηση ζήτα των Hasse-Weil της εξής γεννήτρια συνάρτηση: όπου t = p s. Z(V, t) = exp( r= N r r tr ) Παράδειγμα: Εστω V = P (F r p) = F r p { } η προβολική ευθεία. Τότε προκύπτει ότι Z(V, t) =. Παρόμοια υπολογίζουμε ότι για V = ( t)( pt) Pn (F r p) θα έχουμε Z(V, t) = n i=0 (άσκηση). ( p i t) Εχουμε μάλιστα την εξής γενίκευση του θεωρήματος Hasse για ελλειπτικές καμπύλες που μας δίνει ένα άνω φράγμα για το πλήθος των λύσεων πάνω από πεπερασμένα σώματα. Θεώρημα: Εστω V (F p ) αλγεβρική καμπύλη γένους g, τότε n θα έχουμε: #V (F n p) = p n + 2g a n i όπου a n i συγκεκριμένοι αλγεβρικοί αριθμοί έτσι ώστε a i = p. Κλείνουμε τη σημερινή διάλεξη με μια πρώτη αναφορά στις περίφημες εικασίες του Weil για την τοπική ζήτα συνάρτηση των αλγεβρικών πολλαπλοτήτων πάνω από πεπερασμένα σώματα: Εικασίες Weil: Εστω V ομαλή, προβολική αλγεβρική πολλαπλότητα με dimv = n πάνω από το F q. Τότε,. (Ρητότητα) Z(V, t) Q[[t]] (Dwork, 960 με p-αδική ανάλυση) Πιο συγκεκριμένα, i= Z(V, t) = 2n i=0 P i (t) ( )i+ 4

5 όπου P 0 (t) = t, P 2 n(t) = q n t και P i (t) = j ( a i,jt) για i [, 2n ] όπου ο βαθμός των ακέραιων αυτών πολυωνύμων θα δίνεται από τους αριθμούς Betti της πολλαπλότητας υπεράνω των μιγαδικών, ήτοι degp i = b i (V (C). 2. (Συναρτησιακή εξίσωση) Z(V, q n t ) = ±q nχ(v ) 2 t χ(v ) Z(V, t), όπου χ(v ) η χαρακτηριστική του Euler. (Grothendieck, 965) 3. (Υπόθεση Riemann) a i,j = q i 2 (Deligne, 974, 980) 5

Σχετικά έγγραφα

οµή οµάδας σε Ελλειπτικές Καµπύλες

οµή οµάδας σε Ελλειπτικές Καµπύλες Αριστείδης Κοντογεώργης Τµήµα Μαθηµατικών Πανεπιστηµίου Αθηνών. 18 Νοεµβρίου 2014, 1/24 Ο προβολικός χώρος Εστω K ένα σώµα. Στον χώρο K n+1 {0,..., 0} ορίζουµε την σχέση