ẋ = f(x, α), f(x, α) = x(1 x) α. f(x e, α) = 0

1.9.8.7.6 x e (a.5.4.3.2.1.5.1.15.2.25.3.35 Σχ ηµα1:τασηµε ιαισορροπ ια τη λογιστικ η εξ ισωση µερυθµ οαλ ιευση ασυναρτ ησειτουρυθµο υ αλ ιευση α.για α < 1/4υπ αρχουνδ υοσηµε ιαισορροπ ια τοπ ανωσταθερ οκαιτοκ ατωασταθ ε. Ταβ εληδε ιχνουντοπρ οσηµοτου ẋ ( οτανθετικ οοπληθυσµ ο xµεγαλ ωνει, οταναρνητικ οµει ωνεται. ενυπ αρχουνσηµε ιαισορροπ ια για α > 1/4καιππληθυσµ ο αφαν ιζεταιανεξαρτ ητω απ ο π οσοµεγ αλο ηταναρχικ α. Τοδι αγραµµατωνσηµε ιωνισορροπ ια συναρτ ησειτη παραµ ετρου α λ εγεταικαιδι αγραµµαδιακλ αδωση (bfurcatondagram. Στοσηµε ιο α 1/4παρουσι αζεταιδο- µικ ηαστ αθειατουπρο λ ηµατο δι οτιαλλ αζειητοπολογ ιατη ρο η (ταβ εληπουδε ιχνουντι τ ασει µετα ολ η.. Σηµει ωσει µηγραµµικ η δυναµικ η Ηλογιστικ ηεξ ισωσηµεσταθερ ηαλ ιευση Εξετ αζουµετηλογιστικ ηεξ ισωσηµεαλ ιευσηµερυθµ ο α Τασηµε ιαισορροπ ια ικανοποιο υν καιε ιναιτ ωρασυναρτ ησειτη παραµ ετρου: ẋ f(x, α, f(x, α x(1 x α. a f(x e, α x e 1 2 ± 1 4 α, τοµεγαλ υτεροε ιναιευσταθ ε καιτοµικρ οτεροασταθ ε,αλλ απαρατηρο υµε οτι οταν α > 1/4 εχουµε δοµικ ηµετα ολ ητουσυστ ηµατο :εξαφαν ιζονταιτασηµε ιαισορροπ ια καιοπληθυσµ ο αφαν ιζεται π αντοτεανεξαρτ ητω τουπ οσοαρχικ α ηταν.τασηµε ιαισορροπ ια συναρτ ησειτουρυθµο υαλ ιευση α εχουνσχεδιασθε ιστοδι αγραµµαδιακλαδ ωσεωνσχ. 1 Ηλογιστικ ηεξ ισωσηµεπεριοδικ αµετα αλλ οµενηαλ ιευσηαλ ιευση Εξετ αζουµετιθασυµ ε ιανηαλ ιευσηγ ινεταιπεριοδικ α: ẋ x(1 x α(1 + sn 2πt. (1 Τοσ υστηµααυτ οε ιναι εναπεριοδικ οσ υστηµακαιησυµπεριφορ ακ αθεπεριοδικο υσυστ ηµατο ẋ f(x, t 1

1 dx/dt x (1 x + α ( 1 + sn 2πt.9.8 α.7 p ( x.6.5 α1/8 α1/4.4.3.2 α1/2 α1.1.1.2.3.4.5.6.7.8.9 1 x Σχ ηµα 2:Ηαπεικ ονισηponcareαπ οτι αρχικ ε συνθ ηκε x στηντιµ ηπουλαµ ανει p(x τηνχρονικ ηστιγµ η t 1 οτανεξελ ισσεταισ υµφωναµετηνλογιστικ ηεξ ισωση: ẋ x(1 x α(1+sn(2πt. Ολε οικαµπ υλε ε ιναια υξουσε συναρτ ησει και εχουναρνητικ ηδε υτερηπαρ αγωγο.ητοµ ητη συν αρτηση µετηνευθε ια y x προσδιορ ιζουντασταθερ ασηµε ιακαιαποδεικν υουντην υπαρξη περιοδικ ωνλ υσεων.περιοδικ ε τροχι ε υπ αρχουνµ ονογια α < 1/4. περι οδου 1 (ηπερ ιοδο χεγ 1 µπορε ιναληφθε ιηµον αδακ ανοντα τηκλ ιµακατουχρ ονου ισηµετην περ ιοδο, ετσι ωστε: f(x, t + 1 f(x, t, προσδιορ ιζεταιπλ ηρω απ οτηνεξ ελιξητουσυστ ηµατο απ οκ αθεαρχικ ητιµ ηγιαµ ιαπερ ιοδο.αυτ ο ε ιναιπροφαν ε δι οτιηκλ ισηεπαναλαµ ανεταικ αθεπερ ιοδο.συνεπ ω αντοσ υστηµαξεκιν ααπ οτο x τονχρ ονο t καικαταλ ηγειστοσηµε ιο p(x στοπ ερα τη περι οδου t 1ακολουθ ωντα την τροχι α φ(x, t (εδ ωητροχι αγρ αφεταιµετοντρ οποαυτ ο ωστεναδηλ ωνεταιτοαρχικ οσηµε ιοστο οπο ιοβρισκ οταντοσ υστηµαστηναρχ ητουχρ ονου ετσι ωστεναε ιναι: p(x φ(x, 1, τ οτελ ογωτη µοναδικ οτητα τωνλ υσεωνητροχι απουαρχ ιζειαπ οτο p(x θαε ιναιη ιδιαµετη τροχι απου αρχισετηνπροηγο υµενηπερ ιοδοστοσηµε ιο x,δηλαδ η φ(p(x, t φ(x, t + 1, κ.ο.κ.. Ετσιηγν ωσητη φ(x, tγιακ αθε x στοδι αστηµα t 1προσδιορ ιζειπλ ηρω τηνεξ ελιξη τουσυστ ηµατο.αλλ ακαιαπλο υστεραηγν ωσητη συν αρτηση p(x γιακ αθε x προσδιορ ιζειτην συµπεριφορ ατουσυστ ηµατο δι οτιησ υνθεση p n (x p(p( (p(x φ(x, n δ ινειτοσηµε ιοτη τροχι α τηχρονικ ηστιγµη t n.συνεπ ω ε αν εχουµε ενασ υστηµαπου εχει ορου µεπεριοδικ οτητατ οτεανοπροσδιορισµ ο τη απεικ ονιση µ ια περι οδου pισοδυναµε ιµεγν ωση τη κατ ασταση τουσυστ ηµατο σεκ αθεχρ ονοπουε ιναιακ εραιοπολλαπλ ασιοτη περι οδου.ηαπεικ ονιση pλ εγεταιαπεικ ονισηponcareκαιισοδυναµε ιµετηστρο οσκοπικ ηπαρατ ηρησητουσυστ ηµατο καιµετατρ επει ενασυνεχ ε σ υστηµασεµ ιααπεικ ονιση (amapκαιτηδιερε υνησητη δυναµικ η 1 χεγχωρ ι ελλειψητη γενικ οτητα. 2

τουστηνεξ ετασητη συµπεριφορ α τη αναδροµικ η σχ εση : x n+1 p(x n, δι οτιτασηµε ιαπουπροκ υπτουνε ιναιτασηµε ιαπουπροκ υπτουνδιαδοχικ ακ αθεπερ ιοδο. Ιδια ιτερησηµασ ιαγιατηµελ ετηαναδροµικ ωνσειρ ωνε ιναιη υπαρξη ( ηµησταθερ ωνσηµε ιων, σηµε ιωνδηλαδ ηγιαταοπο ια x p(x.η υπαρξησταθερ ωνσηµε ιωνθεµελει ωνειτην υπαρξηπεριοδικ ωντροχι ωνπερι οδου 1 2.Ανδενυπ αρχουνδεδενυπ αρχουνπεριοδικ ε λ υσει. Ησυν αρτηση p(xπαρουσι αζεταιστοσχ. 2καιε ιναιµον οτοναα υξουσα.θαδε ιξουµε οτιαυτ ο ε ιναιγενικ ηιδι οτητασεκ αθεµονοδι αστατοσ υστηµα (και οχιαναγκαστικ απεριοδικ ο. Αυτ οε ιναι απ ορροιατη µοναδικ οτητα τωνλ υσεωντη ẋ f(x, t πουσηµα ινει οτιοιτροχι ε φ(x, tδεντ εµνονται,δενυπ αρχουνδηλαδ ηδιαφορετικ ε αρχικ ε συνθ ηκε πουναφ ερνουντοσ υστηµαστο ιδιοσηµε ιο: Συνεπ ω οιτροχι ε πουαρχ ιζουνµεαρχικ ε τιµ ε φ(x, t φ(y, t. x φ(x, > φ(y, y τηνχρονικ ηστιγµ η t θασυντηρο υντηναρχικ ηανισ οτηταγια ολου του χρ ονου φ(x, t > φ(y, t, δι οτι αλλω οντα συνεχε ι συναρτ ησει τουχρ ονουθατ εµνονταν (σχεδι αστεδ υοτροχι ε.συνεπ ω καιηαπεικ ονησηponcare p(xε ιναιγνησ ιω α υξουσα. 3 2 Οµο ιω η υπαρξησταθερ ωνσηµε ιωντη x p n (xθεµελει ωνειτην υπαρξηπεριοδικ ωνλ υσεωνπερι οδου n. 3 Στοσηµε ιοαυτ ουπενθυµ ιζουµε οτιοιλ υσει φ(x, tγια ολε τι διαφορικ ε πουεξετ αζουµεπου εχουνµοναδικ η λ υσηθαεξαρτ ωταισυνεχ ω απ οτι αρχικ ε συνθ ηκε καιβε α ιω απ οτονχρ ονο.θαεπαν ελθουµενααποδε ιξουµεαυτ η τηνσηµαντικ ηιδι οτητα. Θαδε ιξουµετηνιδι οτητααυτ ηµεπερισσ οτεροαναλυτικ οτρ οπο.επειδ ηηφ(x, tικανοποιε ιτηνδιαφορικ ηεξ ισωση µεαρχικ ητιµ η xθαε ιναι φ(x, t x + tf(x, + καισυνεπ ω φ(x, t x 1. (2 t Ητροχι αικανοποιε ιτηδυναµικ η φ(x, t f(φ(x, t, t. t Παραγωγ ιζοντα ω προ τι αρχικ ε συνθ ηκε βρ ισκουµε οτιηπαρ αγωγο φ/ xικανοποιε ιτηνγραµµικ ηεξ ισωση: t ( φ x f(φ, t φ φ x (3 Ηοπο ια εχειω λ υσηδεδοµ ενου οτιαρχικ α ισχυεη(2την: ( φ(x, t t exp x f(φ, s φ ds (4 Στηπερ ιπτωσητη λογιστικ η εξ ισωση (1 οπ οτε: φ(x, t x f(φ, t φ ( exp t 2 1 2φ(x, t, 3 t φ(x, s ds.

Μελετο υµετ ωρατηναπεικ ονισηponcareγιατηπεριοδικ ααλιευ οµενηλογιστικ ηεξ ισωση,δηλαδ η προσδιορ ιζουµετηναπεικ ονισηκ αθεαρχικ η τιµ η xστηντιµ η p(xπουθακαταλ ηξειµετ ααπ οµ ια περ ιοδοτηνχρονικ ηστιγµ η t 1.Αυτ ηηαπεικ ονισηυπολογ ιζεταιαριθµητικ ακαιπαρουσι αζεται στοσχ. 2.Θασυµπερα ινουµεαπ οτοσχ ηµα οτιησυµπεριφορ ατουχρονοεξαρτ ωµενουσυστ ηµατο δενδιαφ ερειποιοτικ ααπ οτοσ υστηµαχωρ ι χρονοεξ αρτηση. ι οτι οταν α > 1/4δενυπ αρχεισταθερ οσηµε ιοστηναπεικ ονισηκαιδενυπ αρχειαρχικ ητιµ ηγια τηνοπο ιαητροχι αε ιναιπεριοδικ η. Ολε οιτροχι ε οδηγο υνστοναφανισµ οτουπληθυσµο υ.αυτ ο µπορε ιπιοκαθαρ ανααποδειχθε ιπαρατηρ ωντα οτιηp(xε ιναιµον οτοναα υξουσασυν αρτηση.τ οτε επειδ η p(x < x (βλ.σχ ηµα,θαε ιναικαι p(p(x < p(xκαιταδιαδοχικ ασηµε ιατη απεικ ονιση σχηµατ ιζουνµ ιαµονοτ ονω φθ ινουσαακολουθ ιαπουδεν εχεικατ ατωτεροφρ αγµα(αντοσ υνολοτων διαδοχικ ωνσηµε ιωνε ιχεκατ ωτεροφρ αγµατ οτεηακολουθ ιατωνσηµε ιωνθασυν εκλινεσεαυτ ο,και τοσηµε ιοαυτ οθα ητανσταθερ οσηµε ιοτη απεικ ονιση γεγον ο πουε ιναιαδ υνατοδι οτιγιααυτ η τησταθερ α αδενυπ αρχουνσταθερ ασηµε ια. Συνεπ ω γιακ αθεαρχικ οπληθυσµ οαν α > 1/4ο πληθυσµ ο αφαν ιζεται, οπω ακρι ω καιστοχρονοανεξ αρτητοσ υστηµα. Οταν α < 1/4υπ αρχουνδ υοσταθερ ασηµε ιαπουαντιστοιχο υνσεδ υοπεριοδικ ε τροχι ε. Το πρ ωτοπουαναφ ερεταιστοµικρ οτεροπληθυσµ οε ιναιασταθ ε υπ οτην εννοιααναρχ ισεικανε ι πλησ ιοναυτο υτουπληθυσµο υσυντωχρ ονωθααποµακρυνθε ι,εν ωτοσταθερ οσηµε ιοµετονµεγαλ υτεροπληθυσµ οε ιναιευσταθ ε,αναρχ ισεικανε ι πλησ ιονθαπλησι αζεικανε ι προ τοσηµε ιοαυτ ο. Τασυµπερ ασµατααυτ αµπορο υννασυναχθο υνκαιω εξη :αν x n+1 p(x n τ οτεηευστ αθειατου x p(x µπορε ινακριθε ικ ανοντα γραµµικοπο ιησητη αναδροµικ η σχ εση περ ιτοσταθερ οση- µε ιο.γρ αφοντα x n x + ξ n, οπου ξ n ηπαρρ εκλισηστοχρ ονο t nαπ οτοσταθερ οσηµε ιο,ηαναδροµικ ησχ εσηδ ινεταικατ α προσ εγγισηανθεωρ ησουµε οτιοιπαρρεκλ ισει ε ιναιµικρ ε απ οτην x + ξ n+1 p(x + ξ n p(x + p (x ξ n οπ οτεοιπαρεκλ ισει απ οτοσταθερ οσηµε ιοεξελ ισσονταιµετηγραµµικ ηαναδροµικ ησχ εση: που εχειω λ υση: ξ n+1 p (x ξ n, ξ n+1 (p (x n ξ, καισυνεπ ω ηπαρρ εκλιση ξ n τε ινειστοµηδ εναν p (x < 1καιτοσταθερ οσηµε ιο x p(x ε ιναι ευσταθ ε, αλλω ηπαρρ εκλιση ξ n µεγαλ ωνει,καιτοσηµε ιοε ιναιασταθ ε. Ησταθερ οτηταφα ινεται λοιπ οναµ εσω ανσυγκρ ινεικανε ι τηκλ ισητη εφαπτοµ ενη τη απεικ ονιση Poncareστοσταθερ ο σηµε ιοµεαυτ ηντη ευθε ια y x. Ετσιαπ οτοσχ. 2ε ιναιεµφαν ε οτιτοπρ ωτοκατ ασειρ ασταθερ ο Παραγωγ ιζοντα τ ωρατην(4ω προ τι αρχικ ε τιµ ε αλληµ ιαφορ αµπορο υµεσεορισµ ενε περιπτ ωσει ναβγ αλουµε συµπερ ασµαταγιατηνκαµπυλ οτητατη απεικ ονηση Poncare.Πρ αγµατι εχουµε: 2 φ(x, t x 2 x t ( t f(φ, s φ ( t ds exp 2 f(φ, s φ(x, s φ 2 ds exp x f(φ, s φ ( t ds f(φ, s φ ds. Επειδ η οπω δε ιξαµε φ/ x > τ οτεανη 2 f/ φ 2 εχεισταθερ οπρ οσηµοτο ιδιοπρ οσηµοθα εχεικαιηκαµπυλ οτη τη απεικ ονηση Poncare.Στηνπερ ιπτωσητη (1 2 f(φ, t φ 2 2, οπ οτεηκαµπυλ οτη ε ιναιπ αντααρνητικ η οπω φα ινεταιστοσχ ηµα 2. 4

1.9.8.7.6 φ(x,t.5.4.3.2.1 5 1 15 Σχ ηµα3:οιτροχι ε φ(x, tγιαδιαφορετικ ε αρχικ ε τιµ ε x στηπερ ιπτωση α 1/8.Ηπερ ιπτωση x.86αντιστοιχε ιστοσταθερ οσηµε ιοτη απεικ ονιση Poncareκαιαντιστοιχε ισεµ ιαπεριοδικ η τροχι α.γιααρχικ ε τιµ ε µεγαλ υτερε ητροχι α ελκεταικαιτε ινειπρο τηνπεριοδικ ηπ.χ.ητροχι α µε x 1.Τοασταθ ε σταθερ οσηµε ιοε ιναιστο x.165.για x.17πουε ιναιλ ιγοµεγαλ υτεροαπ οτοασταθ ε σηµε ιοητροχι αελκεταιπρο τηνσταθερ ηπεριοδικ η,εν ωγιατιµ ε µικρ οτερε οπληθυσµ ο αφαν ιζεταιπ.χ.ητροχι αµε x.16. σηµε ιοε ιναιασταθ ε εν ωαυτ οµετονµεγαλ υτεροπληθυσµ οε ιναιευσταθ ε.ε αναρχικ αοπληθυσµ ο ητανµικρ οτερο απ οαυτ οντουασταθο υ σταθερο υσηµε ιουοπληθυσµ ο θααφανισθε ι, αλλω οπληθυσµ ο θατε ινεισυντωχρ ονωστηπεριοδικ ητροχι απουαντιστοιχε ιστοευσταθ ε σταθερ οσηµε ιο. Ησυµπεριφορ ατωντροχι ων εχεισχεδιασθε ιστοσχ. 3.Ησυµπεριφορ αε ιναιποιοτικ αη ιδιαµεαυτ ην τουχρονοανεξ αρτητουσυστ ηµατο. Μ ιαπληρ εστερηαπ οδειξητουκριτηρ ιουσταθερ οτητα ηαστ αθεια σταθερ ωνσηµε ιωναπεικον ισεων Ε ιδαµε οτιτοσταθερ οσηµε ιο x τη δυναµικ η πουδ ινεταιαπ οτηναναδροµικ ησχ εση x n+1 p(x n ε ιναιευσταθ ε αν p (x < 1,καιαν p (x > 1ασταθ ε. Ηαπ οδειξηπουδ ωσαµεβασ ιστηκεστηγραµµικοπο ιησητη δυναµικ η περ ιτοσταθερ οσηµε ιοκαιµελετ ησαµετηνεξ ελιξηµικρ ων παρεκλ ισεωναπ οτοσταθερ οσηµε ιοστηγραµµικοποιηµ ενηπροσ εγγιση.θαδε ιξουµεεδ ω οτιτασυ- µπερ ασµατατη γραµµικοποιηµ ενη προσ εγγιση γιατηνευστ αθεια ηαστ αθεια οταν p (x 1 (η δυναµικ ηλ εγεταιτ οτευπερ ολικ ηε ιναιορθ ακαιε ανσυµπεριλ α ουµετου µηγραµµικο υ ορου. Αυτ οε ιναιπολ υσηµαντικ οαποτ ελεσµαδι οτιµα επιτρ επειναβασιστο υµεστασυµπερ ασµατατη γραµµικ η αν αλυση καιε ιναιειδικ ηπερ ιπτωσηεν ο γενικο υθεωρ ηµατο γιαυπερ ολικ ασυστ ηµατα πουλ εγεταιθε ωρηµαhartman-grobman(196. Θαδε ιξω οτιαν p (x < 1τ οτετοσταθερ οσηµε ιοε ιναιευσταθ ε.επειδ ηηp (xε ιναισυνεχ η συν αρτηση 4 υπ αρχειµ ιαπεριοχ ητου x, (x [x δ, x +δ],στηνοπο ιαθαε ιναι p (x < k < 1για κ αθε x (x.αρχικ αανξεκιν ησουµεστοσηµε ιο xπλησ ιοντουσταθερο υσηµε ιου x καιαν ηκον στοδι αστηµα (x θαε ιναι: p(x x x x t p(x p(x x x p (x + θ(x x < k, απ οτοθε ωρηµατη µ εση τιµ η γιακ αποιο 1 θ.συνεπ ω καιτο p(xθαε ιναιστοδι αστηµα 4 Κ αθελ υσηδιαφορικ η εξ ισωση ε ιναισυνεχ η συν αρτησητωναρχικ ωνσυνθηκ ωνκαιτωνπαραµ ετρωντη. Αυτ ο συµ α ινεικαι οτανυπ αρχειευα ισθητηεξ αρτησηαπ οτι αρχικ ε συνθ ηκε οπω συµ α ινεισταχαοτικ ασυστ ηµατα. 5

Σχ ηµα4:ηηλιακ ηακτινο ολ ια S πουφτ ανειστηγ η.ηµ εσητιµ ητη εχειµ ιαµικρ ηδιακ υµανσηπερ ι το S 1366 W/m 2 λ ογωτουηλιακο υκ υκλου.ησυνολικ ηακτινο ολ ιαπουδ εχεταιηγηκαταν εµεται σε ολητηνεπιφ ανειατη γη,συνεπ ω αν αµον αδαεπιφανε ια καιχρ ονουηγηδ εχεταται Q S /4 ετσι ωστε S πr 2 e 4πR 2 eq, R e ηακτ ινατη Γη. (x δι οτι p(x x < k x x, καιτελικ α p(p(x x < k p(x x < k 2 x x, p n (x x < k n x x πουσηµα ινει οτιηακολουθ ια p n (x x καισυνεπ ω τοσταθερ οσηµε ιο x ε ιναιευσταθ ε. Ηκλιµατικ ηκρ ισητουbudyko πουσηµα ινει οτιτο p(xε ιναιπλησι εστεραστο x απ οτο xκαιαν ηκειστο (x.συνεπ ω επαναλαµ ανοντα Θαπαρουσι ασουµετοαπλο υστεροκλιµατικ οµοντ ελοτοοπο ιο οµω εγε ιρεισυναρπαστικ αερωτ ηµαταγιατοµ ελλονκαιτοπαρελθ ονµα. Θεωρο υµε οτιηµ εσηθερµοκρασ ιατουπλαν ητηστοσ υνολοτουεκφρ αζεταιαπ οτηνενεργειακ η εξ ισωση M dt dt Q (1 α(t (A + BT, κ αθε ορο τη οπο ια εκφρ αζειεν εργειααν αµον αδαχρ ονουαν αµον αδαεπιφανε ια τη γη. Mε ιναι ηθερµικ η"µ αζα"τη γη,µ ιαγενικ ησταθερ απουπροσδιορ ιζειτηνεν εργειαπουαπαιτε ιταιναλοι ωσουνοιπ αγοι,ναµετα ληθε ιηθερµοκρασ ιατωνωκεαν ωνκαινααλλ αξειτελικ αηµ εσηθερµοκρασ ια τουπλαν ητη.οι αλλοιδ υο οροιειναιπροσσεγιστικ ε εκφρ ασει τη ακτινο ολ ια πουαπορροφ αται απ οτηγηκαιτη ακτινο ολ ια πουεκπ εµπεταιαπ οτηγησυναρτ ησειτη µ εση θερµοκρασ ια.προφαν ω ηµετα ολ ητη µ εση θερµοκρασ ια τη Γη εξαρτ αταιαπ οτηδιαφορ αµεταξ υτη εισερχ οµενη καιεξερχ οµενη ακτινο ολ ια.στηκατ αστασηισορροπ ια ηεισερχ οµενηακτινο ολ ιαε ιναι ιση µετηνεξερχ οµενη.τασηµε ιαισορροπ ια πουπροκ υπτουναπ οαυτ οτοµοντ ελοπροσδιορ ιζουντα δυνατ ακλ ιµατα. Θαµελετ ησουµετακλ ιµαταπουπροκ υπτουνκαιτησυµπεριφορ αγιαδιαφορετικ ε τιµ ε τη ακτινο ολ ια πουδ εχεταιηγη Q (Θαθεωρ ησουµε οµω προ τοπαρ ον οτιτο Q ε ιναι χρονοανεξ αρτητο. Η Q (1 α(t 6

45 4 35 Power per m 2 ( W / m 2 3 25 2 15 1 5 2 25 3 35 Σχ ηµα 5:Ηακτινο ολ ιαπουεκπ εµπεταιαπ οτονπλαν ητη (OLR (κ οκκινηγραµµ ηε ιναικατ απροσ εγγισηγραµµικ ησυν αρτησητη µ εση θερµοκρασ ια τουπλαν ητη (τουλ αχιστονγιασχετικ αµικρ ε µετα ολ ε τη θερµοκρασ ια τουπλαν ητη.ηευθε ιακαµπ υλητουσχ ηµατο A + BTπροσεγγ ιζειτι καλ υτερε παρατηρ ησει. Ηετ ερακαµπ υληµεµπλεχρ ωµα, Q (1 α(t,ε ιναι ενααπλ οµοντ ελο γιατηνακτινο ολ ιαπουαπορροφ αταιαπ οτηγησυναρτ ησειτη µ εση θερµοκρασ ια τουπλαν ητη µεηλιακ ησταθερ α ισηµετηνσηµεριν ηµ εσητιµ η Q 341 W/m 2 οπω φα ινεταιστο4.οιτοµ ε των δ υοαυτ ωνκαµπ υλωνπροσδιορ ιζουντακλ ιµαταστηκατ αστασηισορροπ ια.προ λ επονταιτρ ιακλ ι- µατα. Εναψυχρ οκλ ιµαπουε ιναιευσταθ ε σηµε ιοισορροπ ια,καιδ υοκλ ιµαταπολ υκοντ ατο ενα µετο αλλοτηγηµερικ ω καλυµµ ενηµεπαγετ ωνε,τοκλ ιµαµετηνµεσα ιαθερµοκρασ ιαε ιναιασταθ ε.τοσ υστηµαµετι παρ αµετρε αυτ ε βρ ισκεταισεσηµε ιοδοµικ η ευστ αθεια.ε ανταπρ αγµατα ε ιχανω δε ιχνειτοσχ ηµατιαποφ ασει θαλαµ ανετεσχετικ αµεταθερµοκηπιακ αα εριαπου εχουν τηντ ασησταπλα ισιατουαπλο υαυτο υµοντ ελουνααυξ ανουντοενεργ ο Q ; T (K 7

ε ιναιηολικ ηποσ οτηταηλιακ η ακτινο ολ ια πουαπορροφ αηγηαν ατετραγωνικ οµ ετροκαισχεδι αζεταιστοσχ. 5.Τεσσερει φορ ε το Q σε W/m 2 ε ιναιηποσ οτητατη ηλιακ η ακτινο ολ ια πουθα µετρο υσε ενα δορυφ ορο εξωαπ οτηγη(καταµ εσο ορο1366 W/m 2 καιθααπορροφ ατοαπ οτηγη ανδενυπ ηρχανανακλ ασει οπω φα ινεταιστο 4.Το α(tε ιναιηγενικ ηανακλαστικ οτητατη γη. Ησυν αρτησητη ανακλαστικ οτητα ε ιναιπολ υπλοκη,ε ιναισυν αρτησητουτ υπουτουεδ αφου (γη, νερ ο,π αγο, ερηµο κ.λ.π.,τη βλ αστηση,καθ ω καιτη κατανοµ η τωννεφ ωνστηνατµ οσφαιρα. Εµε ι τηνλαµ ανουµεω τηνσυν αρτηση: α(t α + (α α α ( 1 sn α ( π 2 T T Tf T T < T T T T f T > T f οπου α.7ηανακλαστικ οτητα οτανηγηε ιναι οληκαλυµµ ενηµεπ αγοπουθεωρο υµε οτισυµ α ινει οταν T < T 24K. Οταν T > T f 3KηΓηδεν εχειπουθεν απ αγοκαιηµ εσηανακλαστικ οτητα ε ιναι α.2. Γιατι ενδι αµεσε θερµοκρασ ιε ηγηε ιναιµερικ αµ ονοκαλλυµ ενηµεπ αγοκαιη ανακλαστικ οτηταλαµ ανειενδι αµεσητιµ η.επειδ ηοιπ αγοιπρ ωτακαλ υπτουντου π ολου ηεπιρρο η στηνανακλαστικ οτηταε ιναιαν αλογητη επιφ ανεια τη γη πουκαλ υπτουν. Αυτ οτογεωµετρικ ο παρ αγοντατον εχουµελ α ειυπ οψηµα κ ανοντα τηνµετα ολ ητη ανακλαστικ οτητα αν αλογηµε τηνεπιφ ανειαπουκαλ υπτουνοιπ αγοι,οπ οτε οτανπλησι αζουνοιπ αγοιστου π ολου ηµετα ολ η ε ιναι ολοκαιπιοµικρ η.θεωρ ωντα τηνανακλαστικ οτητασυν αρτησητη θερµοκρασ ια υποθ ετουµε οτιη εκτασητη γη πουκαλ υπτεταιαπ οπαγετ ωνε αυξ ανεται οσοµικρα ινειηθερµοκρασ ιακαι οτι οκ υριο παρ αγωνπουελ εγχειτηνανακλαστικ οτηταε ιναιτοποσοστ οτωνπαγετ ωνωνκαιµ ονο. Ηακτινο ολ ιαπουεκπ εµπεταιαπ οτηγηακολουθε ιµεικαν ηακρ ι ειατηνακτινο ολ ιαεν ο γκρ ιζουσ ωµατο πουακολουθε ιµεµεγ αληακρ ι ειατονν οµοstefan-boltzman e(tσt 4, οπουτοενεργ ο emssvty e(tτη γη νη ατµ οσφαιρα εξαρτ αταιαπ οτηθερµοκρασ ιακαι εχειπερ ιπουµ εσητιµ η.612.ηεξ αρτησηαπ οτηθερµοκρασ ιαπροκ υπτειαπ οτησυµπεριφορ ατωνθερµοληπιακ ωναερ ιων καιδεντηνγνωρ ιζουµεακρι ω 5.Σταπλα ισιατωνθερµοκρασι ωνπουθαεξετ ασουµεησχ εσηαυτ η ε ιναικαταπροσ εγγισηγραµµικ ηκαιδ ινεταισεπολ υκαλ ηπροσ εγγισηαπ οτογραµµικ ον οµο: A + BT τι σταθερ ε τουοπο ιουµπορο υµεναβρο υµεαπ οπαρατηρ ησει καιµεχρ ησηπολυπλ οκωνκωδ ικων (εµε ι λαµ ανουµε A 45, B 2.5µετηθερµοκρασ ιασεκκαιτηνεξερχ οµενηακτινο ολ ιασε W/m 2.Ηγραµµικ ηαυτ ηηεξ αρτηση οπω προκ υπτειαπ οπαρατηρ ησει σχεδι αζεταιστοσχ. 5. Οιθερµοκρασ ιε ισορροπ ια σχεδι αζονταιστοσχ.6συναρτ ησειτη ηλιακ η σταθερ α Q.Παρατηρε ιτε οτιγιαεισερχ οµενηακτινο ολ ιαστοδι αστηµα 339.5 W/m 2 < Q < 5 W/m 2 υπ αρχουντρ ια σηµε ιαισορροπ ια,δ υοσταθερ α( εναµετηγηκαλυµµ ενη οληµεπ αγο,το αλλοµεµερικ ηκ αλυψηπ αγουκαι εναασταθ ε µεενδι αµεσηκ αλυψηπ αγου.για Q < 339.5 W/m 2 εχουµεµ ονο εναευσταθ ε σηµε ιοισορροπ ια τοοπο ιοπρο λ επειοτιηγηε ιναι ολ οκληρηκαλυµµ ενηµεπαγετ ωνε βρ ισκεται στοκλ ιµατη χιον οµπαλλα (snowballearth.οµο ιω για Q > 5 W/m 2 υπ αρχει ενακαιµοναδικ ο σηµε ιοευσταθ ε ισορροπ ια πουαντιστοιχε ισε εναθερµ οπλαν ητηχωρ ι πουθεν απ αγου (λ εγεται equable clmate Ηηλιακ ησταθερ αε ιναισ ηµεραπερ ιτα Q 34 W/m 2 καιανλαµ αναµεσο αρ ατηναν αλυσηαυτ ηστι λεπτοµ ερειε τη θα επρεπενασυµπερ ανουµε οτιβρισκ οµαστεστοχε ιλο τουγκρεµο υ, οπω σηµε ιωσεοbudykoτο 1969.Σ υµφωναµεαυτ οτοµοντ ελοµ ιαµικρ ηµε ιωσητη ηλιακ η σταθερ α (ηοπο ιαµπορε ιισοδ υναµαναπρο ελθεικαιαπ οµε ιωσητωναερ ιωντουθερµοκηπ ιουµπορε ι ναοδηγ ησειτηγησεασυνεχ ηµεταφορ ασεκλ ιµαχιον οµπαλλα.αυτ ηηαστ αθειαπροκαλε ιται οταν αυξαν οµενουτουπ αγουαυξ ανεταιηανακλαστικ οτητακαιµει ωνεταιπερισσ οτεροηεισερχ οµενηηλιακ ηακτινο ολ ιααπ οτηνεξερχ οµενηακτινο ολ ιαolr (outgonglongwaveradatonµεαποτ ελεσµα 5 Αντηνγνωρ ιζαµεθαµπορο υσαµεναδ ωσουµεαπ αντησηστοτιθασυµ ε ιανcetersparbusαυξ αναµετηνδιπλασι αζαµετηνπεριεκτικ οτητασεεκποµπ ε CO 2.Π.χ.τοκυρι οτεροθερµοκηπιακ οα εριοε ιναιτονερ οκαιηα ε αιηκατανοµ η καθ υψο τουνερο υεπηρρε αζεικρ ισιµατοemssvty e(t. 8

35 34 32 3 T ( K 28 26 24 22 2 28 3 32 34 36 38 4 42 44 46 48 5 52 Q ( W / m 2 Σχ ηµα 6:Οιθερµοκρασ ιε τωνδυνατ ωνκλιµ ατωνισορροπ ια τη γη συναρτ ησειτη ηλιακ η σταθερ α Q.Στοκλ ιµαστοοπο ιοηµ εσηθερµοκρασ ιαε ιναιµικρ οτερηαπ ο T 24 K(γραµµ ηµπλεο πλαν ητη ε ιναικαλυµµ ενο µ εχρικαιτονισηµεριν οµεπαγετ ωνε.τοκλ ιµααυτ οτοον οµασεοpaul Hoffmanκλ ιµαχιον οµπαλλα (snowballearth. Στοκλ ιµαµεµ εσε θερµοκρασ ιε πουυπερ α ινουν του T 3 K (π ανωαπ οτηνκ οκκινηγραµµ η ολοιοιπαγετ ωνε εχουνλει ωσεικαι εχουµεµ ιαγη χωρ ι π αγο. Τοκλ ιµααυτ οµπορε ινααντιστοιχε ιστοκλ ιµατη εποχ η τωνδεινοσα υρων. Στι ενδι αµεσε θερµοκρασ ιε εχουµετηγηµερικ ω καλυπτ οµενηαπ οπ αγοπουαντιστοιχε ιστησηµεριν η εποχ η. οπλαν ητη νακρυ ωσειπεραιτ ερωκαιναεπεκτε ινειτηνπεριοχ ηπουκαλ υπτεταιµεπ αγοµ εχρι οτου οπ αγοσκαλ υψει ολητηγη.αυτ ηηαστ αθειαπροκαλε ιταιαπ οτηναν αδρασηπαγετ ωνακαιανακλαστικ οτητα (ce-albedofeedback. Τοαπλ οµοντ ελοπρο λ επειτην υπαρξητρ ιαε ιδηκλιµ ατωνταοπο ιακαι εχουνπαρατηρηθε ι.κρ υα κλ ιµαταχιον οµπαλλα,κλ ιµατασταοπο ιαηγηε ιναιµερικ ω καλλυµ ενηµεπ αγου ( οπω τοσηµεριν ο καιαυτ οτωντελευτα ιων3-4εκ.χρ ονωνκαικλ ιµαταθερµ α.κλ ιµαταχιον οµπαλλα εχειπροσφ ατω αποδειχθε ι οτικυριαρχο υσανστηγηκατ ατηνεοπρωτοζω κ ηεποχ η(6εκ.χρον.πριν.συνεχ η α υξησητη ηλιακ η σταθερ α,πουµπορε ιναπρο ελθεικαιαπ οα υξησητωνυδρατµ ωνστηνατµ οσφαιρα ητουδιοξειδ ιουτου ανθρακα ηκαι αλλ ωνθερµοκηπιακ ωναερ ιων,µπορε ι οταν Q 475 W/m 2 να οδηγ ησεισεπαντελ ηεξαφ ανισητωνπαγετ ωνωνπουκ αλυπταντηνχιον οµπαλλαγηκαινατηµεταφ ερουνσε εναασυνεχ ω θερµ οπλαν ητη.αυτ ουπ αρχουνενδε ιξει οτισυν ε η4-5φορ ε κατατηννεοπρωτοζω κ ηεποχ η.τοθερµ οκλ ιµαπουκυριαρχε ιχωρ ι παγετ ωνε µπορε ινααντιστοιχε ιστοκλιµα τη Εωσκαιν η περι οδου (6εκ.χρ.πριν οτανστηγηκυκλοφορο υσανοιδειν οσαυροικαιυπ ηρχαν φο ινικε καιζο υσανκροκ οδειλοιστοsptzbergenκατ ατηδι αρκειατη πολικ η ν υκτα. Ενα αλλο π ορισµα,σχετικ οµετι συζητ ησει πουγ ινονταιτητελευτα ιαδεκαετ ιαω προ την "υπερθ ερµανση τουπλαν ητηµα ",ε ιναι οτιπρο λ επεταιαπ οαυτ οτοµοντ ελοασυνεχ η µετα ολ ητουκλ ιµατο µ ονο ανµειωθο υνταθερµοκηπιακ αα ερια (αντιστο ιχω µειωθε ιτο Q. Ευστ αθειατουκλιµατικο υµοντ ελουµετηµ εθοδοτουlyapunov Μ εχριτ ωρατηνευστ αθειατωνσηµε ιωνισορροπ ια τηνκρ ιναµεµεγραµµικοπο ιησητη δυναµικ η περ ιτοσηµε ιοισορροπ ια καιαν αλυσητη γραµµικ η εξ ισωση πουπροκ υπτει.αυτ ηηµ εθοδο δ ινει αποτελ εσµαταπουισχ υουνκαι οτανσυµπεριληφθο υνκαιοιµηγραµµικο ι οροιαντασηµε ιαισορροπ ια ε ιναιυπερ ολικ α(ευσταθ η ηασταθ η.υπ αρχειµ ιαµ εθοδο πουαν επτυξεοlyapunov(197,η µ ονηµ αλισταπουυπ αρχει,ηοπο ιαε ιναιπολ υχρ ησιµηκαιµπορε ινακρ ινειτηνευστ αθειαεν ο δυνα- µικο υσυστ ηµατο χωρ ι γραµµικοπο ιησηκαι εχειαµ εσω µηγραµµικ ηισχ υ.μπορε ιµετηνµ εθοδο 9

T 1 T 2 T 3 12 1 V(T V(T 1 8 6 4 2 2 22 24 26 28 3 32 Σχ ηµα7:τοψευδοδυναµικ οτουκλιµατικο υµοντ ελουτουbudyko V (T V (T 1 για Q 35 W/m 2. Ταστ ασιµασηµε ιαπροσδιορ ιζουντασηµε ιαισορροπ ια καιτοσχ ηµατηνευστ αθειατου. αυτ ηναπροσδιορ ισει ετσικανε ι τηπεριοχ η ελξεω εν ο σταθερο υσηµε ιου.περιοχ η ελξεω εν ο ση- µε ιουισορροπ ια (basnofattractonορ ιζεταιω τοσυν ολοτωνσηµε ιωναπ οταοπο ιαανεκκιν ησει τοδυναµικ οσ υστηµαθακαταλ ηξειστοσηµε ιοισορροπ ια.θαδε ιξουµετηνµ εθοδοαυτ ηστοαπλ ο παρ αδειγµατουκλιµατικο υµοντ ελουτουbudyko. Γρ αφουµετηνεξ ισωσηεξ ελιξη τη θερµοκρασ ια ω : οπουτο Vε ιναιτοψευδοδυναµικ ο: V (T T T ( K M dt dt dv dt, (5 (Q (1 α(s (A + Bs ds, τοοπο ιοσχεδι αζεταιγια Q 35 W/m 2 στοσχ. 7. Τασηµε ιαισορροπ ια προσδιορ ιζονταιτ ωρααπ οταστ ασιµασηµε ιατη V. Ανπολλαπλασ ι ασουµετην (5µε T εχουµε MT 2 dv dt, συνεπ ω dv dt. (6 Ε ανηγη εχειαρχικ ατηθερµοκρασ ια T( T ηµετ επειτατιµ ε τη θερµοκρασ ια T(tθακε ινται επ ιτη καµπ υλη V V (TτουΣχ. 7.Οι T(tπρ επειπ αντοτενααντιστοιχο υνσεµικρ οτερε τιµ ε τη Vλ ογωτη (6δηλαδ ηθαοιθερµοκρασ ιε νακινηθο υνσυνεχ ω στηπεριοχ ηπουικανοποιε ιτην V (T(t < V (T.Αυτ οπεριορ ιζειτηνεξ ελιξητωνθερµοκρασι ωνκαι οπω φα ινεταιαπ οτοσχ. 7οι θερµοκεασ ιε πρ επεινααντιστοιχο υνσεµικρ οτερε τιµ ε τη συν αρτηση V.Συνεπ ω ηθερµοκρασ ια θακιλ ησειστοπλησι εστεροευσταθ ε στ ασιµοσηµε ιο. Αυτ ηε ιναιηµ εθοδο τουlyapunovγιατοναπ οδειξητη ευστ αθεια εν ο σηµε ιουισορροπ ια. Τοπρ ωτοκαιδε υτεροθε ωρηµατουlyapunovγιατηνευστ αθειασηµε ιουισορροπ ια. Χεγµπορο υµεναπαρουσι ασουµετοθε ωρηµασεµ ιαδι ασταση,ηαπ οδειξηγενικε υεταισεπερισσ οτερε διαστ ασει µεµ ονοασ ηµαντε λεκτικ ε παραλλαγ ε. 1

Θε ωρηµαlyapunov:αν T eq σηµε ιοισορροπ ια τουδυναµικο υσυστ ηµατο T f(tκαιυπ αρχει κ αποιαπαραγωγ ισιµησυν αρτηση V (Tστοανοικτ οδι αστηµα (T eq δ 1, T eq + δ 2 πουσυµπεριλαµ ανειτοσηµε ιοισορροπ ια πουικανοποιε ιτι εξ η ιδι οτητε : αε ιναι V (T eq στοσηµε ιοισορροπ ια T eq, βε ιναι V (T > σε ολατασηµε ιατου T eq και, γ dv/dt < σε ολατασηµε ιατη περιοχ η T eq τ οτετο T eq ε ιναιευσταθ ε σηµε ιοκαι lm t T(t T eq αναρχικ α T. Ησυν αρτηση Vπουικανοποιε ιτι παραπ ανωσυνθ ηκε λ εγεταισυν αρτησηlyapunov. Απ οδειξη:θεωρ ηστεµ ιακλειστ ηπεριοχ η B ǫ [T eq ǫ, T eq + ǫ]τουσηµε ιουισορροπ ια ηοπο ια εµπερι εχεταιεξ ολοκλ ηρουστοσ υνολο,και εστω V m ηελ αχιστητιµ ηπουλαµ ανειησυν αρτηση V (Tστοσ υνοροτου B ǫ.θεωρο υµετοσ υνολοτωντιµ ων U {T B ǫ V (T < V m }.Τ οτεε ιναι T eq Uκαθ ω επ ιση U B ǫ.τ οτε ολε οιλ υσει πουαρχ ιζο υνµεαρχικ ε τιµ ε T U T eq δεν µπορο υνναδιαφ υγουναπ οτο B ǫ δι οτιλ ογωτη συνθ ηκη γοιθαε ιναι V (T(t < V (T οπ οτεκαι για ολου του χρ ονου T(t B ǫ.αυτ οαποδεικν υειτηνευστ αθειατουσηµε ιουισορροπ ια 6 Αυτ οτοαποτ ελεσµαονοµ αζεταιτοπρ ωτοθε ωρηµατουlyapunovγιατηνευστ αθεια,αυτ οπου ακολουθε ιτ ωρακαιαφορ ατηνασυµπτωτικ ηευστ αθειαε ιναιτοδε υτεροθε ωρηµα. Θακαταλ ηγαµεσταπαραπ ανωσυµπερ ασµαταε αναντιτη γ ικανοποιε ιτοηασθεν εστερησυνθ ηκη: dv/dt.θαδε ιξουµετ ωρα οτανισχ υειτογ οτιτοσηµε ιοισορροπ ια ε ιναιασυµπτωτικ α ευσταθ ε δηλαδ η lm t T(t T eq αναρχικ α T.Ηαπ οδειξηε ιναικ απω τεχνικ ηκαιµπορε ι ναπαραληφθε ισεπρ ωτηαν αγνωση.θεωρ ηστετ ωρατητροχι α T(tκ αποιουαρχικο υσηµε ιουπου ε ιναιστο Uκαιπαραµ ενειω δε ιξαµεγια ολου του χρ ονου στο B ǫ.τοαπειροσ υνολοτωντιµ ων τη τροχι α θα εχεικ αποιοορικ οσηµε ιο (θε ωρηµα Bolzano-Weerstrass,και εστωαυτ ο οτιε ιναιτο T (,οπ οτευπ αρχειµ ιαακολουθ ιαχρονικ ωνστιγµ ων t n γιατι οπο ιε ηακολουθ ια T(t n T ( καιεπειδ ηικανοποιε ιταιηγηακολουθ ιατωντιµ ωντη Vπρ επειναε ιναιγνησ ιω φθ ινουσαοπ οτε θαε ιναι V (T(t n > V (T (.Θαδε ιξουµε οτιανυπ αρχειορικ οσηµε ιο αλλοαπ οτοσηµε ιοισορροπ ια, T ( T eq,καταλ ηγουµεσε ατοπο. Εστω οτιυπ αρχειτ ετοιοορικ οσηµε ιο,τ οτεητροχι απου εκκινε ιαπ οαυτ οτοσηµε ιο,η T (t,θαικανοποιε ιλ ογωτη γτηνανισ οτητα V (T (t < V (T (. Επειδ η οµω οιλ υσει διαφορικ ωνεξισ ωσεωνε ιναισυνεχε ι συναρτ ησει τωναρχικ ωντιµ ωντου,αν λ α ουµεω αρχικ ησυνθ ηκητην X(tαρκο υντω πλησ ιοντη T (τ οτεθαισχ υεικαιγιααυτ ητην τροχι αηανισ οτητα V (X(t < V (T (.Καταλ ηγουµεσε ατοποεπιλ εγοντα γιααρχικ ητιµ ηκ αποιο X( T(t n πουβρ ισκεταιαρκο υντω πλησ ιοντου T (. Παραδε ιγµατακατασκευ η συναρτ ησεωνlyapunov 1Στοκλιµατικ οπαρ αδειγµαανεπιλ εξουµε V (T V (T V (T 1,ηV (ε ιναισυν αρτησηlyapunovγιαπρ ωτοσηµε ιοισορροπ ια T 1 καιτοδι αστηµα (, T 2. To (, T 2 ε ιναικαιηλεκ ανη ελξεω τουσηµε ιουισορροπ ια T 1. 2Θεωρ ηστετογραµµικ οδυναµικ οσ υστηµα ẋ Ax οπου A ενα π ινακα n n.θ ελουµεναδε ιξουµεκατασκευ αζοντα µ ιακατ αλληλησυν αρτησηlyapunov οτιαν ολε οιιδιοτιµ ε εχουναρνητικ οπραγµατικ οµ ερο τ οτετοε ιναιασυµπτωτικ αευσταθ ε σηµε ιοισορροπ ια.προ το υτοθεωρο υµεδ υοβ ασει ιδιοδιανυσµ ατων.ταιδιοδιαν υσµατα u τουπ ινακα Aπουικανοποιο υντι σχ εσει : Au λ ( u 6 Ηευστ αθειααυτ ηε ιναιηευστ αθειακαταlyapunovπουσηµα ινει οτιανξεκιν ησειτοδυναµικ οσ υστηµαπλησ ιοντου σηµε ιουισορροπ ια θαπαραµε ινειγια ολου του χρ ονου πλησ ιοντουσηµε ιουισορροπ ια : γιακ αθεπεριοχ η του σηµε ιουισορροπ ια υπ αρχειυποπεριοχ ητουσηµε ιουισορροπ ια 1 πουπερικλε ιεταιστηναρχικ η, 1,τ ετοια ωστε ητροχι α T(tπουπροκ υπτειαπ οκ αθεαρχικ ητιµ η T 1 ναβρ ισκεταιπ αντοτεστο δηλαδ ηναε ιναι T(t. 11

καιταιδιοδιαν υσµατα v τουσυζυγο υ π ινακα 7 µειδιοτιµ ε τι συζυγε ι ιδιοτιµ ε πουικανοποιο υν τι σχ εσει : A v λ ( v. Οτανοπ ινακα Aδεναντιµετατ ιθεταιµετον A οιδ υοαυτ ε β ασει ε ιναιδιαφορετικ ε καιε ιναι ορθογ ωνιε µεταξ υτου υπ οτην εννοια: οπ οτετο xαναλ υεταιστηβ αση u ω εξη : Θεωρο υµετηνεξ η συν αρτησηlyapunov V (x x < v, u j > δ j, < v, x > u. 1 β < v, x >< x, v > οπου β > ε ιναιτυχα ιοιθετικο ιαριθµο ι.θαδε ιξουµε οτιγιακ αθεεπιλογ ητων β ησυν αρτηση V ικανοποιε ιταθεωρ ηµαταευστ αθεια τουlyapunovυπ οτηνπρο π οθεση οτιτοπραγµατικ οµ ερο των ιδιοτιµ ων, R(λ,ε ιναιαρνητικ ο.πρ αγµατι οταν x ε ιναι V καιε ιναι V (x > γιακ αθεσε ολοτο x R n.οπ οτεικανοποιο υνταιοιαπαιτ ησει ακαιβ.μ ενεινααποδειχθε ι οτι dv/dt < για κ αθε x R n.πρ αγµατι: dv dt β ( d < v, x > dt < x, v > + < v, x > d < x, v > dt β (< v,ax >< x, v > + < v, x >< Ax, v > ( β v,a < v j, x > u j < x, v > + < v, x > A < v j, x > u j, v j j ( β v, λ (j < v j, x > u j < x, v > + < v, x > λ (j < v j, x > u j, v j j ( β λ ( < v, x >< x, v > +λ ( < v, x >< x, v > β (λ ( + λ ( < v, x > 2 τοοπο ιοε ιναιαρνητικ οε αν ολε οιιδιοτιµ ε εχουναρνητικ οπραγµατικ οµ ερο : R(λ ( <. Πρ ο ληµα:κατασκευ αστε εναγραµµικ οδυναµικ οσ υστηµαπουδι επεταιαπ ο ενα 2 2π ινακα A(οπ ινακα Aε ιναιογενν ητωρτη δυναµικ η που εχειιδιοτιµ ε µεαρνητικ οπραγµατικ οµ ερο και γιατονοπο ιονηv x xδενε ιναισυν αρτησηlyapunov.μπορε ιτεναπροσδιορ ισετεσυνθ ηκε που πρ επειναικανοποιε ιοa ωστεηπαραπ ανωσυν αρτησηναε ιναισυν αρτησηlyapunov. 7 Εχοντα ορ ισειτοεσωτερικ ογιν οµενο <, >οσυζυγ η π ινακα ορ ιζεταιαπ οτησχ εση: < x,ay >< A x, y >. Οταντοεσωτερικ ογιν οµενοε ιναιτοευκλε ιδιο < x, y > n 1 x y, οπου συµ ολ ιζειτοµιγαδικ οσυζυγ ε,οσυζυγ η π ινακα A ε ιναιοερµιτιαν ο αν αστροφο του Aδηλαδ ηταστοιχε ιατουσυζυγο υ ε ιναιτα ( A j A j. 12