d u d dt u e u d dt e u d u 1 u dt e 0 2 e

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "d u d dt u e u d dt e u d u 1 u dt e 0 2 e"

Ματταθίας Αλιβιζάτος
6 χρόνια πριν
Προβολές:

1 Ρ ΤΟ Θ ΜΑ Μ. Α ΑΠΟ ε ΞεΤε ΤΙ ΑΝΑΓΚΑ Α ΚΑΙ ΙΚΑΝ ΣΥΝΘ ΚΗ ΣΤε ΝΑ Ι ΝΥΣΜΑ u t 0 ΝΑ ΠΑΡΑΜ ΝεΙ ΠΑΡ ΛΛΗΛΟ ΠΡΟ ΜΙΑ ε ΟΜ ΝΗ ευθε Α ε ΝΑΙ u t u 0 Π ειξη Α ΑΠΟ ε ΞΟΥΜε ΤΟ ΙΚΑΝ ΗΛΑ ΑΝ ε ΝΑΙ ΠΑΡ ΛΛΗΛΟ ΠΡΟ ε ΟΜ ΝΗ ευθε Α Τ Τε ΙΣΧ ει Η ΣΧ ΣΗ ΠΟ Με ΤΙ e ε ΝΑΙ ΤΟ ΣΤΑΘεΡ Ι ΝΥΣΜΑ ΠΟΥ ΟΡ ΖεΙ ΤΗΝ ε ΟΜ ΝΗ ευθε Α Τε επει ΤΑ u ΚΑΙ e ε ΝΑΙ ΠΑΡ ΛΛΗΛΑ ΧΟΥΜε u ΡΑ u u t e u t u e t u e u e t u e u t e u t u e e 0 t e 0 Ι ΤΙ ΤΟ e ε ΝΑΙ ΣΤΑΘεΡ Ι ΝΥΣΜΑ ΚΑΙ ΠΡΟφΑΝ e e 0 ΝΤ ΣΤΡΟφΑ ΑΝ ΙΣΧ ει Η ΣΧ ΣΗ Τ Τε ΑΝ u u t e Τ Τε ΑΝΑΓΚΑΣΤΙΚ ΤΟ e ε ΝΑΙ ΝΑ ΣΤΑΘεΡ Ι ΝΥΣΜΑ Ρ ΣΚΟΥΜε u u t u e t u e u e u t e u e t e 0 ΠεΙ e t e 0 ΤΟ u εν ε ΝΑΙ ΜΗ Ν Τ Τε ΜΩ ΤΟ Ι ΝΥΣΜΑ ε ΝΑΙ e 1 u u ΚΑΙ επομ ΝΩ ΧεΙ ΣΤΑΘεΡ Μ ΤΡΟ ΣΟ Με ΤΗΝ ΜΟΝ Α Ρ ΓΜΑΤΙ e 1 u u 1 u u 1 ΡΟΥΜε ΤΟ ΑΠΟ εικν ΟΥΜε ΤΙ ΑΝ ΝΑ Ι ΝΥΣΜΑ ΧεΙ ΣΤΑΘεΡ Μ ΤΡΟ Τ Τε ΙΣΧ ει e t e 0 Π ειξη e c ΣΥΝεΠ ΓεΤΑΙ t e e t e 0 ΡΑ ΧΟΥΜε e x t e 0 ΚΑΙ ΣΥΓΧΡ ΝΩ e t e 0 Ο Μ ΝΟ ΜΩ Ι ΝΥΣΜΑ ΠΟΥ ε ΝΑΙ ΚΑΙ Κ ΘεΤΟ ΚΑΙ ΠΑΡ ΛΛΗΛΟ ΣΤΟ e ε ΝΑΙ ΤΟ ΜΗ ενικ Ι ΝΥΣΜΑ ΡΑ t e 0 ΚΑΙ επομ ΝΩ ΤΟ Ι ΝΥΣΜΑ e ε ΝΑΙ ΣΤΑΘεΡ e c

2 lisi_themata.nb ε ΤεΡΟ Θ ΜΑ Α ΒΡεΘε Η ΠΡΑΓΜΑΤΙΚ ΤΙΜ ΤΟΥ k ΣΤε Η ΠΑΡ ΣΤΑΣΗ x ky x x y3 kx y y Με x y, ΚΑΙ x y 0 x y3 ΝΑ ε ΝΑΙ ΤΟ ΟΛΙΚ ΙΑφΟΡΙΚ ΜΙΑ ΣΥΝ ΡΤΗΣΗ ΚΑΙ ΝΑ ΤΗΝ ΥΠΟΛΟΓ ΣεΤε. ΣΗ ΤΟΥΜε Px_, y_ Qx_, y_ x k y x y 3 k x y x y 3 x k y x y 3 k x y x y 3 ΧΝΟΥΜε ΓΙΑ ΣΥΝ ΡΤΗΣΗ V x, y ΣΤε V P x Q y ΧΟΥΜε V V V x y P x Q y x y ΠΟΜ ΝΩ ΠΡ ΠεΙ ΝΑ Λ ΣΟΥΜε ΤΟ Σ ΣΤΗΜΑ ΤΩΝ ΙΑφΟΡΙΚ Ν εξισ ΣεΩΝ P V x Q V y Ν ΠΑΡΑΓΩΓ ΣΟΥΜε ΤΗΝ ΠΡ ΤΗ Ω ΠΡΟ y ΚΑΙ ΤΗΝ ε ΤεΡΗ Ω ΠΡΟ x ΒΡ ΣΚΟΥΜε V y x V x y P y Q x ΤεΛεΥΤΑ Α ΙΣ ΤΗΤΑ ε ΝΑΙ Η ΑΝΑΓΚΑ Α ΣΥΝΘ ΚΗ ΣΤε ΝΑ ΧεΙ Λ ΣΗ ΤΟ Σ ΣΤΗΜΑ ΠΑΡ ΓΩΓΟ ΤΟΥ P Ω ΠΡΟ y ΚΑΙ Η ΠΑΡ ΓΩΓΟ ΤΟΥ Q Ω ΠΡΟ x ε ΝΑΙ DPx, y, y DQx, y, x k 3 x k y x y3 x y 4 k 3 k x y x y3 x y 4

3 lisi_themata.nb 3 ΞΙΣ ΝΟΥΜε ΚΑΙ Λ ΝΟΥΜε Ω ΠΡΟ k SimplifySolveDPx, y, y DQx, y, x, k k 1 ΡΑ ΠΡ ΠεΙ k 1 1 ΚΑΙ Η ΠΑΡ ΣΤΑΣΗ Γ ΝεΤΑΙ V ExpanSimplifyPx, y x Qx, y y V x x y Ο Σ ΣΤΗΜΑ Γ ΝεΤΑΙ V x 1 x y V y 1 x y y x y ΛΟΚΛΗΡ ΝΟΥΜε ΤΗΝ ΠΡ ΤΗ Vx_, y_ Integate 1 Cy x y ΡΑ Vx_, y_ 1 Cy x y 1 Cy x y ΥΤ 1, x Cy x y ΤΗΝ ΣΧ ΣΗ ΑΝΤΙΚΑΘΙΣΤΟ Με ΣΤΗΝ ε ΤεΡΗ εξ ΣΩΣΗ ΤΟΥ ΣΥΣΤ ΜΑΤΟ Ρ ΚΟΥΜε 1 DVx, y, y x y 1 x y 1 C y x y ΡΑ C y 0 ΚΑΙ Cy c ΛΟ Vx, y 1 1 c x y ΠΑΛΛ ΘεΥΣΗ x y c DVx, y, x x DVx, y, y y x x y y x y

4 4 lisi_themata.nb Ρ ΤΟ Θ ΜΑ Μ. Α ΥΠΟΛΟΓ ΣεΤε ΤΟΥ ΣΥΝΤεΛεΣΤ a, b, c ΣΤε Η ΣΥΝ ΡΤΗΣΗ x^ y^ z^ a x b y c x z ΝΑ ΠΑ ΡΝεΙ ΤΗΝ ΑΚΡ ΤΑΤΗ ΤΙΜ ΤΗ ΣΤΟ ΣΗΜε Ο x0, y0, z0 ΙΑ ΤΗΝ ΣΥΝ ΡΤΗΣΗ ΑΥΤ ΝΑ ΒΡε Τε ΤΟ ΑΚΡ ΤΑΤΟ ΚΑΙ ΤΟ ε Ο ΤΟΥ ΑΠ ΝΑ ΣΗΜε Ο ΠΟΥ Κε ΤΑΙ Π ΝΩ ΣΤΟ επ Πε Ο ΠΟΥ Τ ΜΝεΙ ΤΟΥ ΞΟΝε ΣΤΑ ΣΗΜε Α x0, y0, z0 ΣΗ fx_, y_, z_ x y z a x b y c x z a x x b y y c x z z Α ΑΚΡ ΤΑΤΑ ΤΗ ΣΥΝ ΡΤΗΣΗ ε ΝΑΙ ΟΙ Λ ΣεΙ ΤΟΥ ΣΥΣΤ ΜΑΤΟ Dfx, y, z, x 0 Dfx, y, z, y 0 Dfx, y, z, z 0 c x z 0 b y 0 a x c z 0 Ο ΣΗΜε Ο ΑΥΤ ε ΝΑΙ ΤΟ x0, y0, z0 ΚΑΙ επομ ΝΩ ΤΑ a, b, c ε ΝΑΙ ΟΙ Λ ΣεΙ ΤΟΥ ΣΥΣΤ ΜΑΤΟ a x0 c z0 0 b y0 0 c x0 z0 0 Ρ ΣΚΟΥΜε Solvea x0 c z0 0, b y0 0, c x0 z0 0, a, b, c x0 z0 a, b y0, c z0 x0 x0 Ι ΤΙΜ ΑΥΤ ΤΙ ΑΝΤΙΚΑΘΙΣΤΟ Με ΣΤΗΝ ΣΥΝ ΡΤΗΣΗ x0 z0 fx, y, z ReplaceAllfx, y, z, a, b y0, c z0 x0 x0 x y y y0 z x z z0 x x0 z0 x0 x0 ΣΥΝ ΡΤΗΣΗ ΑΥΤ ΧεΙ ΑΚΡ ΤΑΤΑ ΣΤΟ ΣΗΜε Ο x0, y0, z0 Ρ ΓΜΑΤΙ SolveDfx, y, z, x 0, Dfx, y, z, y 0, Dfx, y, z, z 0, x, y, z x x0, y y0, z z0 ΙΑ ΤΟ ε ΤεΡΟ ερ ΤΗΜΑ Ο επ Πε Ο x x0 y y0 z z0 1 x x0 y y0 z z0 1 ΧεΙ ΤΗΝ εξ ΣΩΣΗ ΛΟΥΜε ΤΟ ΑΚΡ ΤΑΤΟ ΤΗ ΣΥΝ ΡΤΗΣΗ Με ΤΗΝ ΠΑΡΑΠ ΝΩ ΣΥΝΘ ΚΗ ΝΟΥΜε ΤΗΝ εξ ΣΩΣΗ Ω ΠΡΟ z

5 lisi_themata.nb 5 SimplifySolve x x0 y y0 z 1, z z0 z 1 x x0 y y0 z0 ΚΑΙ ΑΝΤΙΚΑΘΙΣΤΟ Με ΤΗΝ Λ ΣΗ ΣΤΗΝ ΣΥΝ ΡΤΗΣΗ gx, y SimplifyExpanReplaceAllfx, y, z, z 1 x x0 y y0 z0 y y0 z0 z0 y0 x 1 3 z0 y 1 z0 x0 y0 x x0 y0 y y0 z0 Α ΒΡΟ Με ΤΟ ΑΚΡ ΤΑΤΟ ΚΑΙ ΤΟ ε Ο ΤΟΥ ΤΗ ΣΥΝ ΡΤΗΣΗ ΑΥΤ ΠΟΥ ε ΝΑΙ Ο ΜεΤΑΒΛΗΤ Ν Α ΜΠΟΡΟ ΣΑΜε ΓΙΑ ΝΑ ΜΗΝ ΜΠεΡ ευτο Με ΝΑ Αφ ΣΟΥΜε ΤΑ a, b, c ΣΤΗΝ ΣΥΝ ΡΤΗΣΗ ΚΑΙ ΝΑ ΤΑ ΑΝΤΙΚΑΤΑΣΤ ΣΟΥΜε ΣΤΗΝ ΤεΛΙΚ ΣΧ ΣΗ ΙΘΑΝ ΑΚΡ ΤΑΤΑ ε ΝΑΙ Η Λ ΣΗ ΤΟΥ ΣΥΣΤ ΜΑΤΟ Dgx, y, x 0 Dgx, y, y 0 x 1 3 z0 x0 y0 y y0 z0 x0 4 x z0 y0 z0 y 1 z0 0 y0 y0 Ρ ΣΚΟΥΜε 0 SimplifySolveDgx, y, x 0, Dgx, y, y 0, x, y x x0 x0 z0 y0 z0, 3 y0 z0 z0 4 x0 y0 z0 y y0 3 y0 z0 z0 4 x0 y0 z0 3 y0 z0 z0 4 x0 y0 z0 ΓΙΑ ΤΟ ε Ο ΤΟΥ ΑΚΡ ΤΑΤΟΥ ΣΧΗΜΑΤ ΖΟΥΜε ΤΗΝ ΟΡ ΖΟΥΣΑ ΤΟΥ Π ΝΑΚΑ m DDgx, y, x, x, DDgx, y, x, y, DDgx, y, y, x, DDgx, y, y, y MatixFomDDgx, y, x, x, DDgx, y, x, y, DDgx, y, y, x, DDgx, y, y, y 1 3 z0 x0, 4 z0 4 z0,, z0 1 y0 1 3 z0 x0 4 z0 4 z0 ΟΡ ΖΟΥΣΑ ε ΝΑΙ Detm 1 z0 4 x0 4 z0 1 z0 y0 4 y0 x0 y0 4 z0

6 6 lisi_themata.nb Ο ε Ο ΤΟΥ ΑΚΡ ΤΑΤΟΥ εξαρτ ΤΑΙ ΑΠΟ ΤΟ ΠΡ ΣΗΜΟ ΤΗ ΠΑΡ ΣΤΑΣΗ ΑΥΤ ΠεΙ 1 z0 f xx 0 ΑΝ Detm 4 x0 4 z0 4 y0 x0 y0 0 Η ΣΥΝ ΡΤΗΣΗ ΧεΙ Μ ΓΙΣΤΟ 4 z0 ΑΝ Detm 0 ΤΟ ΣΗΜε Ο ε ΝΑΙ ΣΑΓΜΑΤΙΚ ΚΑΙ ΑΝ Detm 0 εν ΜΠΟΡΟ Με ΝΑ ΑΠΟφΑΣ ΣΟΥΜε Με ΤΗΝ Μ ΘΟ Ο ΑΥΤ Ρ ΣΚΟΥΜε ΤΙ Ρ Ζε ε ΝΑΙ ΤΗ εξ ΣΩΣΗ Detm 0 PoweExpanFactoSolveDetm 0, x0 x0 z0 3 y0 z0 y0 z0, x0 z0 3 y0 z0 y0 z0 επομ ΝΩ Detm z0 3 y0 z0 x0 y0 z0 z0 3 y0 z0 x0 y0 z0 ΑΝ x0 ε ΝΑΙ ΜεΤΑΞ ΤΩΝ ΡΙΖ Ν Detm 0 ΑΝ x0 ε ΝΑΙ εκτο ΤΩΝ ΡΙΖ Ν Τ Τε ΚΑΙ ΟΙ Ο ΠΑΡ ΓoΝΤε ε ΝΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟ ΚΑΙ ΟΙ Ο ΘεΤΙΚΟ ΚΑΙ Detm 0 Ν x0 ε ΝΑΙ ΣΟ Με ΜΙΑ ΑΠ ΤΙ Ο Ρ Ζε ΓΙΑ ΠΑΡ ειγμα x0 z0 3 y0 z0 y0 z0 z0 3 y0 z0 y0 z0 Ο Σ ΣΤΗΜΑ g x g y 0 εν ΧεΙ Λ ΣΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤ ΝεΙ SimplifySolveDgx, y, x 0, Dgx, y, y 0, x, y ΤΑΡΤΟ Θ ΜΑ Μ.1.5 Ν Η ΣΥΝ ΡΤΗΣΗ z z x, y ΟΡ ΖεΤΑΙ ΑΠ ΤΗΝ ΣΧ ΣΗ φ z xσ y. Α ε ΞεΤε ΤΙ z x z y x z x z xy z y z xx ΣΗ φzx, y x Σy φzx, y x Σy ΑΡΑΓΩΓ ΖΟΥΜε ΤΗΝ ΣΥΝ ΡΤΗΣΗ Ω ΠΡΟ x ΚΑΙ Ω ΠΡΟ y Dφzx, y x Σy, x Dφzx, y x Σy, y φ zx, y z 1,0 x, y Σy φ zx, y z 0,1 x, y x Σ y Ο z 1,0 x, y ε ΝΑΙ ΤΟ z x ΚΑΙ ΤΟ z 0,1 x, y ε ΝΑΙ ΤΟ z y ΡΑ

7 lisi_themata.nb 7 φ z x Σy φ z y x Σ y ΗΝ ΠΡ ΤΗ ΤΩΝ ΠΑΡΑΠ ΝΩ ΣΧ ΣεΩΝ ΤΗΝ ΠΑΡΑΓΩΓ ΖΟΥΜε ΙΑ ΟΧΙΚ ΠΡΟ x ΚΑΙ y Ρ ΣΚΟΥΜε DDφzx, y x Σy, x, x DDφzx, y x Σy, x, y φ zx, y z 1,0 x, y φ zx, y z,0 x, y 0 φ zx, y z 0,1 x, y z 1,0 x, y φ zx, y z 1,1 x, y Σ y φ z x φ z xx 0 φ z y z x φ z xy Σ y ΠΟ ΤΙ Τ ΣΣεΡεΙ ΑΥΤ εξισ ΣεΙ φ z x φ z xx 0 φ z y z x φ z xy Σ y φ z x Σy φ z y x Σ y ΑΠΑΛε φουμε ΤΑ φ, φ ΚΑΙ Σ y ΚΑΙ ΒΡ ΣΚΟΥΜε Eliminate φ z x φ z xx 0, φ z y z x φ z xy Σ y, φ z x Σy, φ z y x Σ y, φ, φ, Σ y x z x z xy z x z y x z xx z y Σy 0 ΠΟΥ ε ΝΑΙ Η ΖΗΤΟΥΜ ΝΗ ΑΝ ΙΑΙΡ ΣΟΥΜε Με Σy 0 ΜΠΤΟ Θ ΜΑ Μ.1.5 Α ΑΠΟ ειξετε ΤΙ f u u 0 ΚΑΙ ΝΑ ΥΠΟΛΟΓ ΣεΤε ΤΟ Ι ΝΥΣΜΑ f. Π ειξη ΝΑΙ ΓΝΩΣΤ ΤΙ ΑΠΟ ΤΟΝ ΟΡΙΣΜ ΤΟΥ ΑΝΑ ελτα ΤΙ u x u, y u, z u Ο Ι ΝΥΣΜΑ f u u ε ΝΑΙ Η ΟΡ ΖΟΥΣΑ ΤΟΥ Π ΝΑΚΑ f u u k x y z f x u f y u f z u ΝΑΛ ΟΥΜε ΤΗΝ ΟΡ ΖΟΥΣΑ Ω ΠΡΟ ΤΗΝ ΠΡ ΤΗ ΣεΙΡ ΚΑΙ ΒΡ ΣΚΟΥΜε f u u Det y z f y u f z u Det x z f x u f z u k Det x y f x u f y u y f z u z f y u x f z u z f x u k x f y u y f x u f' u y u z f u yz f' u z u y f u zy f' u x u z f u xz f' u z u x f u zx k f' u x u y f u xy f' u y u x f u yx 0

8 8 lisi_themata.nb ΥΣΙΚ Μ ΝΟ ΓΙΑ ΤΙ ΣΥΝΑΡΤ ΣεΙ u ΠΟΥ ΧΟΥΝ ΣΥΝεΧε ΠΡ Τε ΜεΡΙΚ ΠΑΡΑΓ ΓΟΥ ΚΑΙ ΙΣΧ ΟΥΝ ΟΙ ΣΧ ΣεΙ u xy u yx u yz u zy ΚΑΙ u zx u xz ΙΑ ΤΟ ε ΤεΡΟ ερ ΤΗΜΑ ΑΝ Θ ΣΟΥΜε x y z ΚΑΙ x, y, z Ρ ΣΚΟΥΜε f k x y z f x f y f z y f z z f y x f z z f x k x f y y f x f' y z f' z y f' x z f' z x k f' x y f' y x f' y z z y x z z x x k y y x 0 ΚΤΟ Θ ΜΑ Μ.1.5 Α ΑΠΟ ειξετε ΤΙ f f f Α ΒΡε Τε ΤΗΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ f ΣΤε f 0 ε ΝΑΙ ΤΟ Μ ΚΟ ΤΟΥ Π ειξη ΡΟΥΜε ΤΙ x y z x y z ΘΑ ΥΠΟΛΟΓ ΣΟΥΜε ΤΗΝ f Ρ ΣΚΟΥΜε D, x D, y D, z ΚΑΙ x x y z y x y z z x y z x y z f

9 lisi_themata.nb 9 SimplifyDDf, x, x SimplifyDDf, y, y SimplifyDDf, z, z y z f x y z x x y z f x y z x y z 3 x z f x y z y x y z f x y z x y z 3 x y f x y z z x y z f x y z x y z 3 SimplifyDDf, x, x DDf, y, y DDf, z, z f x y z x y z f x y z ΠΟΥ ε ΝΑΙ Η ΠΡΟ ΑΠ ειξη ΗΛΑ f f f ΣΥΝ ΡΤΗΣΗ ΠΟΥ f 0 ε ΝΑΙ ΠΡΟφΑΝ Λ ΣΗ ΤΗ ΙΑφΟΡΙΚ εξ ΣΩΣΗ f f 0 Ρ ΣΚΟΥΜε ΑΠ Clea ΤΟΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤ DSolve f f 0, f, f C1 C ΩΡ ΤΟΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤ ΤΟΥΜε Λ ΣΗ ΤΗ ΜΟΡφ f k ΚΑΙ Λ ΝΟΥΜε Ω ΠΡΟ k Ρ ΣΚΟΥΜε f k k Df, DDf,, 0 k k 1 k k k 0 Df, Solve DDf,, 0, k k 1, k 0 Λ ΣΗ ε ΝΑΙ Ο ΓΡΑΜΜΙΚ ΣΥΝ ΥΑΣΜ ΤΩΝ Ο ΑΝεΞ ΡΤΗΤΩΝ Λ ΣεΩΝ 1 ΚΑΙ 0 ΗΛΑ f C1 C

Σχετικά έγγραφα

F h, h h 2. Lim. Lim. f h, h fyx a, b. Lim. h 2 y 2. Lim. Lim. Lim. x 2 k 2. h 0

F h, h h 2. Lim. Lim. f h, h fyx a, b. Lim. h 2 y 2. Lim. Lim. Lim. x 2 k 2. h 0 ΜΑ 1 Μ.2 Ν ΟΙ ΠΑΡ ΓΩΓΟΙ fx ΚΑΙ fy ΥΠ ΡΧΟΥΝ ΚΑΙ ε ΝΑΙ ΙΑφΟΡ ΣΙΜε Σε Κ ΠΟΙΑ ΠεΡΙΟΧ ΤΟΥ a, b Τ Τε ΝΑ ΑΠΟ ειχθε ΤΙ fxy fyx. Α εξετ ΣεΤε ΑΝ fxy fyx ΣΤΟ 0, 0 ΓΙΑ ΤΗΝ ΣΥΝ ΡΤΗΣΗ f x, y xy x2 y 2 ΓΙΑ x, y 0, 0