Δίκτυα ΙΙ. Ενότητα: Νομοτελειακή και Πιθανοτική Πολιτική Κωνσταντίνος Οικονόμου Τμήμα Πληροφορικής

Δίκτυα ΙΙ Ενότητα: Νομοτελειακή και Πιθανοτική Πολιτική Κωνσταντίνος Οικονόμου Τμήμα Πληροφορικής

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο«ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Ιόνιο Πανεπιστήμιο» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος«Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ενωση(Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.

Περιεχόμενα Αʹ Νομοτελειακή και Πιθανοτική Πολιτική 1 Αʹ.1 ΗΝομοτελειακηΠολιτικη..... 1 Αʹ.1.1 ΡυθμαπόδοσητηςΝομοτελειακήςΠολιτικής.... 2 Αʹ.1.2 ΑνάλυσητηςΡυθμαπόδοσης... 4 Αʹ.1.3 ΧαμηλέςτιμέςτηςΡυθμαπόδοσης... 5 Αʹ.2 ΗΠιθανοτικηΠολιτικη....... 6 Αʹ.2.1 Κίνητρο... 6 Αʹ.2.2 ΑνάλυσητηςΡυθμαπόδοσηςτηςΜετάδοσης u v... 9 Βιβλιογραφία 11 ii

Κατάλογος Σχημάτων Αʹ.1 Απεικόνισητωνσυνόλων Ω χ, χ S 8 {8},στοπλαίσιομεγέθους L = q 2 = 49. 2 Αʹ.2 Δύομορφέςτουγραφήματοςτηςρυθμαπόδοσης P D,u v,ωςσυνάρτησητου φορτίουκίνησηςδεδομένων λ..... 4 Αʹ.3 Απεικόνισητωνσυνόλων Ω χ, χ S 8 {8}, μέσαστοπλαίσιομεγέθους L = q 2 = 49καθώςκαιτουσυνόλου R 8 13... 7 iii

Κατάλογος Πινάκων iv

Κεφάλαιο Αʹ Νομοτελειακή και Πιθανοτική Πολιτική Αʹ.1 Η Νομοτελειακή Πολιτική Με τη χρήση οποιουδήποτε από τους δύο αλγορίθμους, είναι δυνατόν να υπολογιστούν τα qκαι kβάσειτων Nκαι D. Στησυνέχειαείναιδυνατόνναπροσδιοριστούνταπολυώνυμα βαθμού kστοπεδίο GF(q)καιναανατεθείαπόένασεκάθεκόμβο. Οπωςοκάθεκόμβος έχειένανκωδικόταυτότητας 1 πουτονπροσδιορίζει,τοπολυώνυμοπουτουανατίθεταιάπαξ, μπορεί να θεωρηθεί και αυτό σαν ένας κωδικός ταυτότητας. Εστωλοιπόν,πωςστονκόμβοuέχειανατεθείτοπολυώνυμοf u.χρησιμοποιώνταςταβήματα σε προηγούμενη παράγραφο, είναι δυνατόν να εξαχθεί η χρονοδρομολόγηση του κόμβου u, δηλαδήτοσύνολοτωνχρονοθυρίδωνμέσασεέναπλαίσιοπουοκόμβοςuμπορείναμεταδώσει. Εστω Ω u αυτότοσύνολοτωνχρονοθυρίδων. Δεδομένουπωςοκάθεκόμβοςμπορείνα μεταδώσεισε qχρονοθυρίδεςσεέναπλαίσιο,είναιπροφανέςπως Ω u = q. Ετσι,λοιπόν,η λεγόμενη Νομοτελειακή Πολιτική, είναι η ακόλουθη. Η Νομοτελειακή Πολιτική: Κάθε κόμβος u μπορεί να μεταδώσει σε μια χρονοθυρίδα i μόνοαν i Ω u,δεδομένουπωςυπάρχουνδεδομέναπροςμετάδοση. Προκειμένου να δοθεί ένα απτό παράδειγμα, έστω το δίκτυο του Σχήματος;;, για το οποίο N = 27καιD = 6.ΕκτελώνταςτονΑλγόριθμο;;,προκύπτειk = 1καιq = 7.Ταπολυώνυμα 1 Αντιστοιχείστονόρο Identification number. 1

2 Κεφάλαιο Αʹ. Νομοτελειακή και Πιθανοτική Πολιτική μπορούν πλέον να σχηματιστούν και να ανατεθούν στους κόμβους. Εστω πως το ενδιαφέρον εστιάζεται στη μετάδοση 8 13. Προφανώς, ενδιαφέρον παρουσιάζειόχιμόνοτοσύνολο Ω 8 αλλάκαικάθεσύνολο Ω χ, χ S 13 {13}. Εστωπωςτα σύνολα που απεικονίζονται στο Σχήμα Αʹ.1, είναι αυτά που αντιστοιχούν σε μια τυχαία ανάθεσητωνπολυωνύμων. Στοσχήμααυτό,τοπλαίσιομεγέθους L = q 2 έχειαπεικονιστείκαι οι χρονοθυρίδες έχουν αριθμηθεί(μικρός αριθμός πάνω αριστερά σε κάθε μικρό τετράγωνο). Σε κάθε χρονοθυρίδα, μπορεί να μεταδώσει μόνο ο κόμβος ή οι κόμβοι οι οποίοι αναγράφονται καικανέναςάλλος. Οπωςπροκύπτει,ημετάδοση 8 13μπορείάνεταναλάβειχώραστις χρονοθυρίδες 1 και 17 δίχως να κινδυνεύει από μεταδόσεις άλλων κόμβων. Στις χρονοθυρίδες 9,25,33,41,ημετάδοση 8 13επιτρέπεταιναλάβειχώρααλλάενδέχεταιναφθαρείανοι κόμβοι 14,19,18,17μεταδώσουνσεαυτές.ΑςσημειωθείπωςτοΣχήμαΑʹ.1είναιπαρόμοιο μετονπίνακα;;. q = 7 0 1 2 3 4 5 6 14 8 17 18 12, 19 13 7 8 9 10 11 12 13 13,19 8, 14 17 12, 18 q = 7 14 15 16 17 18 19 20 12,17 13,18 19 8 14 21 22 23 24 25 26 27 12 13,17 18 8, 19 14 28 29 30 31 32 33 34 14 12 13 17 8, 18 19 35 36 37 38 39 40 41 18 19 12, 14 13 8, 17 42 43 44 45 46 47 48 8 17 18 19 12 13, 14 ΣχήμαΑʹ.1: Απεικόνισητωνσυνόλων Ω χ, χ S 8 {8},στοπλαίσιομεγέθους L = q 2 = 49. Αʹ.1.1 Ρυθμαπόδοση της Νομοτελειακής Πολιτικής Εστω O i,u v εκείνοτοσύνολοτωνκόμβων χπουημετάδοσήτουςφθείρειτημετάδοση u v (προφανώς, χ S v {v} {u})καιοιοποίοιεπιτρέπεται ναμεταδώσουνστις

Αʹ.1. Η Νομοτελειακή Πολιτική 3 χρονοθυρίδεςi, i Ω χ. Εστω O i,u v c τοσυμπληρωματικόσύνολοτωνκόμβωνπουανήκουν στοσύνολο S v {v} {u}καιγιατουςοποίους i / Ω χ. O i,u v = O i,u v c = } {χ : χ S v {v} {u},i Ω χ, (Αʹ.1) } {χ : χ S v {v} {u},i / Ω χ. (Αʹ.2) Προφανώς, O i,u v + O c i,u v = S v. Ανάλογα με την τυχαία ανάθεση των πολυωνύμων, είναι δυνατόν δύο κόμβοι να επιτρέπεται ναμεταδώσουνστιςίδιεςχρονοθυρίδες,δηλαδή, Ω u Ω v,όπωςέγινεφανερόκαιαπότο παράδειγμα του Σχήματος Αʹ.1. Αυτές οι χρονοθυρίδες ονομάζονται επικαλυπτόμενες. Εστω C u v τοσύνολοτωνεπικαλυπτόμενωνχρονοθυρίδωνανάμεσασεαυτέςπουανατέθηκανστον κόμβο uκαισεεκείνεςπουανατέθηκανσεοποιονδήποτεκόμβο χ S v {v} {u}. C u v = Ω u χ S v {v} {u} Ω χ. (Αʹ.3) Προφανώς,αν i C u v ( O i,u v > 0όταν i C u v ),είναιδυνατόνκάποιαάλλημετάδοση ναφθείρειτημετάδοση u vστηχρονοθυρίδα i,δεδομένουπωςυπάρχουνδεδομέναπρος μετάδοση. Εάν i Ω u C u v ( O i,u v = 0),καμίαμετάδοσηδενπρόκειταιναφθείρειτη μετάδοση u vστηχρονοθυρίδα i. Επίσης,ισχύειπως C u v k S v (kείναιομέγιστος αριθμός επικαλυπτόμενων χρονοθυρίδων δύο κόμβων). Εστω P D,i,u v ηπιθανότηταημετάδοση u vστηχρονοθυρίδα iναείναιεπιτυχήςυπότη ΝομοτελειακήΠολιτική. Εστω P D,u v ημέσηπιθανότητασεέναπλαίσιοημετάδοση u v ναείναιεπιτυχήςσεκάθεχρονοθυρίδα. Αυτόσημαίνειπως, P D,u v = 1 q 2 q 2 i=1 P i,d,u v, όπου q 2 είναιτομέγεθοςτουπλαισίουσεχρονοθυρίδες. Εστω πως οι συνθήκες φορτίου κίνησης δεδομένων είναι τέτοιες που ο κάθε κόμβος μεταδίδει με πιθανότητα λ σε κάθε χρονοθυρίδα που του έχει ανατεθεί. Προφανώς, κάθε κόμβος u μεταδίδειμεπιθανότητα λσεμίαχρονοθυρίδα,ανισχύειπως i Ω u. Κάθεάλλοςκόμβος χ,γιατονοποίο i Ω χ,επίσηςμεταδίδειμεπιθανότητα λστηχρονοθυρίδα i. Συνεπώς, P D,i,u v = 0,για i / Ω u,και P D,i,u v = λ(1 λ) O i,u v,για i Ω u. Δεδομένουπως O i,u v = 0γιαεκείνεςτιςχρονοθυρίδες i Ω u C u v ( O i,u v > 0όταν i C u v ), συμπεραίνεταιπως P D,i,u v = λ,για i Ω u C u v.τελικά, P D,u v = q C u v + i C u v (1 λ) O i,u v q 2 λ. (Αʹ.4)

4 Κεφάλαιο Αʹ. Νομοτελειακή και Πιθανοτική Πολιτική Εστω P D,ηπιθανότηταεπιτυχίαςμιαςμετάδοσης(μέσοςόροςγιαόλουςτουςκόμβουςενός δικτύου) υπό τη Νομοτελειακή Πολιτική, η οποία ονομάζεται ρυθμαπόδοση του συστήματος. ΣύμφωναμετηνΕξίσωση(Αʹ.4),ηρυθμαπόδοση P D δίνεταιαπότηνεπόμενηεξίσωση. P D = 1 N u V q C u v + i C u v (1 λ) O i,u v q 2 λ, (Αʹ.5) όπου v S u. Αʹ.1.2 Ανάλυση της Ρυθμαπόδοσης Η μορφή της καμπύλης της ρυθμαπόδοσης ως συνάρτηση του φορτίου κίνησης δεδομένων λ,έχειιδιαίτεροενδιαφέρον. Δεδομένουπωςημελέτητου P D,είναιιδιαίτεραπερίπλοκη,η προσοχή εστιάζεται σε μια συγκεκριμένη μετάδοση u v και στην αντίστοιχη ρυθμαπόδοση P D,u v.για λ = 1,απότηνΕξίσωση(Αʹ.4)προκύπτειπως P D,u v = q Cu v q 2. Εστωπως O i,u v = 0γιαεκείνεςτιςχρονοθυρίδες i C u v. ΑπότηνΕξίσωση(Αʹ.4), προκύπτειπωςp D,u v = q Cu v q λ.είναιπροφανέςπωςγιααυτήτηνπερίπτωση,αυξάνοντας 2 το λ,το P D,u v αυξάνειγραμμικά,μέχριτηντιμή λ = 1,οπότε P D,u v = q Cu v.αυτήη q 2 περίπτωση απεικονίζεται στο Σχήμα Αʹ.2.α. P D, u υ #.Œ)/ 1 02/ 1" u υ P D, u υ #.Œ)/ 1 02/ 1" u υ 0.14 0.12 0.1 0.08 q Cu υ 2 q 0.06 0.05 0.04 q Cu υ 2 q 0.06 0.03 0.04 0.02 0.02 0.01 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 λ 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 λ α. 1η Περίπτωση. β. 2η Περίπτωση. ΣχήμαΑʹ.2: Δύομορφέςτουγραφήματοςτηςρυθμαπόδοσης P D,u v,ωςσυνάρτησητου φορτίου κίνησης δεδομένων λ. Προκειμένουναμελετηθείηγενικήμορφήτηςκαμπύληςτου P D,u v,είναιαπαραίτητονα

Αʹ.1. Η Νομοτελειακή Πολιτική 5 προσδιοριστείηπρώτηπαράγωγοςτου P D,u v ωςπρος λ. Ηπαράγωγοςαυτήδίνεταιαπό τησχέση dp D,u v dλ. Μπορείναυπολογιστείπωςτο lim λ 0 dp D,u v q i Cu v O i,u v q 2. = q Cu v + ((1 λ O i Cu v i,u v )(1 λ) O i,u v 1) q 2 dλ = q Cu v + i Cu v (1 O i,u v ) q 2 καιτελικά, lim λ 0 dp D,u v dλ = Μπορείνααποδειχθείπως i C u v O i,u v q. Ειδικότερα,αφού O i,u v = 0για i Ω u C u v,αρκείναδειχθείπως i Ω u O i,u v q,για v S u. Ομως,τοάθροισμα i Ω u O i,u v αντιστοιχείστοάθροισμαόλωντωνκόμβωνπουεπηρεάζουντημετάδοση u vκαιμετέδωσανκατάτηδιάρκειατωνχρονοθυρίδωνπουέχουνανατεθείστονκόμβο u. Οαριθμός,όμως,τωνκόμβωναυτώνείναι S v καιμπορούνναμεταδώσουντοπολύ kφορές οκαθέναςσεχρονοθυρίδεςάλλουκόμβου. Τελικά, i Ω u O i,u v k S v q. Μετον dp τρόποαυτό,αποδεικνύεταιπως lim D,u v λ 0 dλ > 0.Κατάσυνέπεια,γιαμικρέςτιμέςτου λ κοντάστομηδέν,ηρυθμαπόδοση P D,u v αυξάνει,όταναυξάνειτο λ. dp Απότηνπαράγωγοπροκύπτειπωςγια λ 1,τοόριο lim D,u v λ 1 dλ μπορεί να είναι θετικό ή αρνητικό, ανάλογα με την περίπτωση. Για παράδειγμα, για εκείνες τις περιπτώσεις που O i,u v 2, lim λ 1 (1 λ) O i,u v 1 = 0,ενώγιαεκείνεςτιςπεριπτώσειςπου O i,u v = 1, lim λ 1 (1 λ) Oi,u v 1 dp = 1,μεσυνέπειαητιμήτουορίουτηςπαραγώγου lim D,u v λ 1 dλ να dp επηρεάζεταιανάλογα.ηκαμπύληπάντως,πουαντιστοιχείστηνπερίπτωση lim D,u v λ 1 dλ < 0,απεικονίζεταιστοΣχήμαΑʹ.2.βκαιείναιπροφανέςπωςκαθώςτο λαυξάνει,ητιμήτης ρυθμαπόδοσης αυξάνει μέχρι ένα σημείο μετά από το οποίο αρχίζει και μειώνεται. Αʹ.1.3 Χαμηλές τιμές της Ρυθμαπόδοσης Αυτό που μπορεί να παρατηρηθεί αναφορικά με το TSMA πρωτόκολλο είναι η χαμηλή ρυθμαπόδοση. Στην καλύτερη περίπτωση υπάρχουν q επιτυχημένες μεταδόσεις σε ένα πλαίσιο μεγέθους q 2 καιηρυθμαπόδοσηείναιίσημε 1 q. Στηχειρότερηπερίπτωση,δεδομένουπως υπάρχουν δεδομένα προς μετάδοση, υπάρχει μόνο μία επιτυχημένη μετάδοση σε ένα πλαίσιο καιηρυθμαπόδοσηείναιίσημε 1 1. Ισχύειπως q kd + 1, q 2 q 1 kd+1. Συνεπώς,ένα 1 πάνω όριο της ρυθμαπόδοσης για την καλύτερη περίπτωση αντιστοιχεί στο kd+1 ενώγιατη 1 χειρότερη περίπτωση, αντιστοιχεί στο. (kd+1) 2 Προφανώς,ταπαραπάνωαφορούνόλαεκείναταδίκτυαγιαταοποίαοαριθμόςτωνκόμβων στοδίκτυοείναι Nκαιομέγιστοςαριθμόςγειτόνωνενόςκόμβουείναι D. Εστω G(V,E) ένατέτοιοδίκτυο. Εστωτώρα,έναάλλοδίκτυο, G (V,E ),τοοποίοέχειακριβώςτοίδιο αριθμόκόμβων N = V αλλάδιαφορετικόσύνολοπλευρών(e E ). Εστωπωςτονέο δίκτυο G (V,E )προέκυψεότανγιαένανκόμβο uτουδικτύου G(V,E),γιατονοποίοισχύει S u = D,αυξήθηκεοαριθμόςτωνγειτονικώντουκόμβων,έτσιώστε S u = D = 2D,

6 Κεφάλαιο Αʹ. Νομοτελειακή και Πιθανοτική Πολιτική αλλάγιακανένανάλλοκόμβο vτουνέουδικτύουδενισχύει S v > D.Γιατονέοδίκτυο,η 1 χειρότερη και η καλύτερη περίπτωση για τη ρυθμαπόδοση αντιστοιχούν σε 2D+1 και 1. (2D+1) 2 Δηλαδή, η ρυθμαπόδοση στην καλύτερη περίπτωση σχεδόν υποδιπλασιάζεται, ενώ στη χειρότερη περίπτωση σχεδόν υποτετραπλασιάζεται. Αυτό δε συμβαίνει απλά επειδή διπλασιάστηκε ο αριθμός των γειτόνων ενός μόνο κόμβου του δικτύου. Αʹ.2 Η Πιθανοτική Πολιτική Πολιτικές πρόσβασης μέσου ανεξάρτητες της τοπολογίας, όπως η Νομοτελειακή Πολιτική, είναι ιδιαίτερα χρήσιμες στα κατά περίπτωση δίκτυα. Προκειμένου, όμως, να αυξηθεί η ρυθμαπόδοση του συστήματος, προτείνεται μια νέα πολιτική, η Πιθανοτική Πολιτική,[41], η οποία βασίζεται στη Νομοτελειακή Πολιτική. Οπως θα δειχθεί αργότερα, υπάρχει ένας αριθμός από χρονοθυρίδες στις οποίες ένας κόμβος θα μπορούσε να μεταδώσει δίχως κίνδυνο συγκρούσεων και οι οποίες δεν ανατίθενται σε κάποιο κόμβο υπό τη Νομοτελειακή Πολιτική. Η νέα πολιτική εισάγεται προκειμένου να αντιμετωπίσει αυτό το πρόβλημα της χαμηλής χρησιμοποίησης των πόρων και να αυξήσει, αντίστοιχα, τη ρυθμαπόδοση του συστήματος. Αʹ.2.1 Κίνητρο Εστω R u v τοσύνολοτωνχρονοθυρίδων i, i / Ω u,στιςοποίεςημετάδοση u v,αν είχελάβειχώρα,θαήτανεπιτυχής.τοσύνολοτωνχρονοθυρίδων R u v ονομάζεταισύνολο των αδιάθετων χρονοθυρίδων της μετάδοσης u v. Το σύνολο αυτό περιλαμβάνει εκείνες τις χρονοθυρίδες που δεν έχουν ανατεθεί ούτε στους κόμβους που επηρεάζουν τη μετάδοση u v αλλάούτεκαιστονίδιοτον κόμβο u, δηλαδήεκείνεςτις χρονοθυρίδεςπουδεν περιλαμβάνονταιστοσύνολο χ S Ω v {v} χ.συνεπώς, R u v = q 2 χ S v {v} Ω χ. (Αʹ.6) Το παράδειγμα που απεικονίστηκε στο Σχήμα Αʹ.1, απεικονίζεται και στο Σχήμα Αʹ.3. Υπό τη ΝομοτελειακήΠολιτική,οιχρονοθυρίδες i, i Ω 8,στιςοποίεςημετάδοση 8 13μπορείνα λάβει χώρα δίχως φθορά, έχουν χρωματιστεί ελαφρά γκρι, ενώ εκείνες στις οποίες φθορά της είναιπιθανή,έχουνχρωματιστείσκούρογκρι.εκείνεςοιχρονοθυρίδες i, i / Ω 8,χωρίζονται σε δύο κατηγορίες. Στην πρώτη κατηγορία περιλαμβάνονται εκείνες οι χρονοθυρίδες στις οποίες,ανημετάδοση8 13λάβειχώρα,είναιπιθανήησύγκρουσήτηςμεμιαάλλημετάδοση (i / Ω 8 R 8 13 )καιοιοποίεςχρονοθυρίδεςχρωματίζονταιμεμιαενδιάμεσηαπόχρωσητου

Αʹ.2. Η Πιθανοτική Πολιτική 7 γκρι.ηάλληκατηγορίααφοράεκείνεςτιςχρονοθυρίδεςστιςοποίεςημετάδοση 8 13θα μπορούσεάνεταναλάβειχώρα(i R 8 13 )καιοιοποίεςχρονοθυρίδεςπαραμένουνλευκές. q = 7 0 1 2 3 4 5 6 14 8 17 18 12, 19 13 7 8 9 10 11 12 13 13,19 8, 14 17 12, 18 q = 7 14 15 16 17 18 19 20 12,17 13,18 19 8 14 21 22 23 24 25 26 27 12 13,17 18 8, 19 14 28 29 30 31 32 33 34 14 12 13 17 8, 18 19 35 36 37 38 39 40 41 18 19 12, 14 13 8, 17 42 43 44 45 46 47 48 8 17 18 19 12 13, 14 i i Ω C 8 8 13 i i Ω R 8 8 13 i i C 8 13 i i R 8 13 Σχήμα Αʹ.3: Απεικόνισητωνσυνόλων Ω χ, χ S 8 {8},μέσαστοπλαίσιομεγέθους L = q 2 = 49καθώςκαιτουσυνόλου R 8 13. Τοσύνολο R u v περιλαμβάνειεκείνεςτιςαδιάθετεςχρονοθυρίδεςοιοποίες,ανχρησιμοποιηθούν για τη μετάδοση u v, τότε η ρυθμαπόδοση της συγκεκριμένης μετάδοσης μπορεί νααυξηθεί. Ηαυξημένηρυθμαπόδοσητηςμετάδοσης u vδεναυξάνειαπαραίτητακαιτη ρυθμαπόδοση του συστήματος, αφού η παρουσία της μετάδοσης u v σε μια χρονοθυρίδα i, i / Ω u,μπορείναφθείρεικάποιαάλλη,διαφορετικάεπιτυχή,μετάδοση χ ψ,γιατηνοποία i Ω χ καιημετάδοση u v Θ χ ψ.τότε,ημετάδοση χ ψδενθαείναιεπιτυχήςέστω καιανημετάδοση u vείναι. Τοεπόμενοθεώρημαδείχνειπωςοαριθμόςτωναδιάθετων χρονοθυρίδων R u v,μπορείναείναιιδιαίτεραυψηλός,[41]. ΘεώρημαΑʹ.1 Ισχύειπως R u v q(k 1)D. Απόδειξη: Ισχύει πως χ S Ω v {v} χ ( S v +1)q,αφού Ω χ = q, χ V.Απότην Εξίσωση(Αʹ.6)προκύπτειπως R u v q 2 ( S v + 1)qή R u v q(q S v 1)και αφού D S v,ισχύειπως R u v q(q D 1).Γνωρίζονταςπως q kd +1,τότεκαι το q D 1 (k 1)Dικανοποιείται.Τελικά, R u v q(k 1)D.

8 Κεφάλαιο Αʹ. Νομοτελειακή και Πιθανοτική Πολιτική Είναιπροφανέςπωςοιτιμέςτου R u v είναιαρκετάμεγάλες,ειδικάγιατηνπερίπτωσηπου k > 1.Γιατηνπερίπτωσηπου k = 1,το R u v μπορείναείναιεπίσηςμεγάλο,όπωςφαίνεται από το επόμενο πόρισμα. ΠόρισμαΑʹ.1 Ισχύειπως R u v q 2 q( S v +1). Απόδειξη: Δεδομένουπωςγιαδύοκόμβους χκαι ψ, Ω χ = q και Ω ψ = q, τότε Ω χ Ω ψ 2q. Συνεπώς, χ S Ω v {u} χ q S v {u} = q( S v +1). Τελικά,απότην Εξίσωση(Αʹ.6),προκύπτειπως R u v q 2 q( S v +1). Είναι ενδιαφέρον στο σημείο αυτό να δοθεί μια ακόμα διαφορά ανάμεσα στον Αλγόριθμο;; και στον Αλγόριθμο;;. Από την Εξίσωση Αʹ.6, είναι προφανές πως όσο μεγαλύτερο είναι το q,τόσομεγαλύτερηκαιητιμήτου R u v.συνεπώς,οαλγόριθμος;;,πουοδηγείσεμεγαλύτερομέγεθοςπλαισίου(l = q 2 ),οδηγείτελικάκαισεμεγαλύτεροαριθμόαχρησιμοποίητων χρονοθυρίδων μέσα στο πλαίσιο. Αυτό τον αυξημένο αριθμό από αδιάθετες χρονοθυρίδες καλείται να τον αξιοποιήσει μια νέα πολιτική.γενικά,ηχρήσητωναδιάθετωνχρονοθυρίδων i, i R u v,μπορείνααυξήσειτον μέσοαριθμόεπιτυχώνμεταδόσεωνεφόσοντο R u v μπορείνακαθοριστείκαιοιχρονοθυρίδες i, i R u v,χρησιμοποιηθούναποδοτικά.οκαθορισμόςτου R u v,όμως,απαιτείτηνύπαρξη ενόςμηχανισμούπουνααποκτάγνώσητωνσυνόλων Ω χ, χ S v. Επιπλέον,ηαποδοτική χρήσητωνχρονοθυρίδων R u v απότονκόμβο u,απαιτείεπιπλέονδιαχείρισηκαιανταλλαγή πληροφορίαςελέγχουμετουςγειτονικούςκόμβουςχ,γιατουςοποίουςημετάδοσηχ ψ,με R χ ψ R u v,μπορείνακάνειχρήσητωνίδιωνχρονοθυρίδωντουσυνόλουr χ ψ R u v καιναφθείρειείτετημετάδοση u v,είτετημετάδοση χ ψ,είτεκαιτιςδύο. Επιπλέον, κάτω από συνθήκες μη υψηλού φορτίου κίνησης δεδομένων, υπάρχει ένας αριθμός από αχρησιμοποίητες χρονοθυρίδες, επιπλέον των αδιάθετων χρονοθυρίδων του συνόλου R u v,οιοποίεςδενχρησιμοποιούνταιαπότονκόμβοστονοποίοέχουνανατεθεί.προκειμένου να χρησιμοποιηθούν όλες αυτές οι χρονοθυρίδες(αδιάθετες και αχρησιμοποίητες), δίχως την ανάγκη για την εισαγωγή επιπλέον διαχειριστικών διαδικασιών ανάμεσα στους κόμβους, προτείνεται η επόμενη πιθανοτική πολιτική μετάδοσης. Η Πιθανοτική Πολιτική: Κάθε κόμβος u πάντα μεταδίδει σε μια χρονοθυρίδα i, αν i Ω u καιμεταδίδειμεπιθανότητα pστηχρονοθυρίδα i,αν i / Ω u,δεδομένουπωςυπάρχουν δεδομένα προς μετάδοση.

Αʹ.2. Η Πιθανοτική Πολιτική 9 Η Πιθανοτική Πολιτική δεν χρειάζεται συγκεκριμένη πληροφορία σχετικά με τους γείτονες (π.χ., γνώσητουσυνόλου R u v κτλ.) καισυνεπώς, δενεπιβαρύνειτοσύστημαμετην εισαγωγή διαδικασιών ελέγχου και ανταλλαγής πληροφορίας. Η πιθανότητα πρόσβασης p είναι μια απλή παράμετρος, κοινή για όλους τους κόμβους. Υπό την Πιθανοτική Πολιτική, όλεςοιαχρησιμοποίητεςχρονοθυρίδες i / Ω u,ενδέχεταιναχρησιμοποιηθούναπότονκόμβο u:εκείνεςπουανήκουνστοσύνολοr u v,γιαμίαδεδομένημετάδοσηu v,όπωςκαιεκείνες πουδενανήκουνστοσύνολο Ω u R u v καιμπορείναμηνχρησιμοποιούνταιαπόγειτονικούς κόμβους σε συνθήκες μη υψηλού φορτίου κίνησης. Από την άλλη πλευρά, οι πιθανοτικές προσπάθειες για μετάδοση, επηρεάζουν κάποιες μεταδόσεις που διαφορετικά θα ήταν επιτυχείς. Στη συνέχεια, θεμελιώνονται εκείνες οι συνθήκες για τις οποίες τα αρνητικά αποτελέσματα που προκαλούνται, αντισταθμίζονται από τη συνολική χρήση των επιπλέον χρονοθυρίδων. Αʹ.2.2 Ανάλυση της Ρυθμαπόδοσης της Μετάδοσης u v Εστω P P,i,u v ηπιθανότηταναείναιεπιτυχήςημετάδοση u vστηχρονοθυρίδα iκαι P P,u v ηρυθμαπόδοσητηςμετάδοσης u vυπότηνπιθανοτικήπολιτική. Προφανώς, P P,u v = 1 q 2 q 2 i=1 P P,i,u v. ΥπότηνΠιθανοτικήΠολιτική,είναιπροφανέςπως P P,i,u v = 0,για i C u v,όπωςεπίσης καιγια i / Ω u και i / R u v. Απότηνάλληπλευρά, P P,i,u v = (1 p) Sv,για i Ω u και i / C u v,όπου P P,i,u v = p(1 p) Sv,για i R u v (σημειώνεταιπωςαν i R u v, τότε i / Ω u ).Συνεπώς, P P,i,u v = (1 p) Sv για q C u v χρονοθυρίδες,ενώ P P,i,u v = p(1 p) Sv για R u v χρονοθυρίδες.συνοπτικά, 0, i Ω u,i C u v, (1 p) Sv, i Ω u,i / C u v, P P,i,u v = p(1 p) Sv, i / Ω u,i R u v, 0, i / Ω u,i / R u v. (Αʹ.7) Τελικά,υπότηνΠιθανοτικήΠολιτικήηρυθμαπόδοσητηςμετάδοσης u v, P P,u v,δίνεται από την επόμενη εξίσωση,[41]. P P,u v = q C u v +p R u v q 2 (1 p) Sv. (Αʹ.8) Οόρος q Cu v q (1 p) Sv αντιστοιχείστονόρο P 2 D,u v,όπωςφαίνεταιαπότηνεξίσωση (Αʹ.4),μειωμένοςκατάτονπαράγοντα (1 p) Sv,οοποίοςαντιστοιχείστονεπηρεασμότων άλλωνμεταδόσεωνλόγωτωνπιθανοτικώνπροσπαθειώνμετάδοσης.οόρος p Ru v q (1 p) Sv 2

10 Κεφάλαιο Αʹ. Νομοτελειακή και Πιθανοτική Πολιτική είναιτοκέρδοςαπότηχρήσητωναχρησιμοποίητωνχρονοθυρίδων R u v.ηπροαναφερόμενη μείωσητου P D,u v,είναιδυνατόννααντισταθμιστείαπότοκέρδοςτηςχρήσηςτωναχρησιμοποίητωνχρονοθυρίδωνμεαποτέλεσμα, P P,u v > P D,u v. Είναιπροφανέςπως P P,u v = P D,u v,όταν p = 0.Για p > 0,ηρυθμαπόδοση P P,u v μπορεί είτεναείναιείτεναμηνείναιμεγαλύτερηαπότηρυθμαπόδοση P D,u v,ανάλογαμετιςτιμές των p, q, S v, R u v και C u v.

Βιβλιογραφία [1] K. Oikonomou, N. B. Pronios, Ad-Hoc Networking: A Unified Evaluation Framework, IST Mobile & Communications Summit 2003, Aveiro- Portugal, 15-18 June 2003. [2] Hend Koubaa, Reflections on Smart Antennas for MAC Protocols in Multihop Ad Hoc Networks, European Wireless 2002, February 25-28, 2002, Florence, Italy. [3] T. Rappaport, Wireless Communications: Principles and Practice, Prentice Hall; 2nd edition, December 31, 2001. [AAhmad-2005] Aftab Ahmad, Wireless and Mobile Data Networks, John Wiley & Sons Inc., 2005. [Murthy-2004] C. Siva Ram Murthy, and B. S. Manoj, Ad Hoc Wireless Networks, Architectures and Protocols Prentice Hall PRT, Pearson Education Inc., 2004. [TRappaport-2002] Theodore S. Rappaport, Wireless Communications, Principles and Practice, 2nd Edition, Prentice Hall Inc., 2002. [4] N. Pronios, Performance considerations for slotted spread-spectrum random access networks with directional antennas, in Proc. of IEEE GLOBECOM 89, Nov. 1989. [5] Y.B. Ko, V. Shankarkumar, and N.H. Vaidya, Medium access control protocols using directional antennas in ad hoc networks, in Proceedings of IEEE Conference on Computer Communications (INFOCOM), volume 1(3), pages 13 21, Tel Aviv, Israel, Mar. 26 30 2000. [6] J. Ward and R. T. Compton, Improving the Performance of Slotted ALOHA Packet Radio Network with an Adaptive Array, IEEE Transactions on Communications, 40(2):292 300, February 1992. 11

12 Βιβλιογραφία [7] R. T. Compton, Jr. and J. Ward, High throughput slotted ALOHA packet radio networks with adaptive arrays, IEEE Trans. Comm., vol. 41, no. 3, pp. 460-470, March 1993. [8] R. Wattenhofer, L. Li, P. Bahl, and Y. M. Wang, Distributed topology control for power efficient operation in multihop wireless ad hoc networks, in Proc. IEEE Infocom, 2001. [9] M. Kubisch, H. Karl, A. Wolisz, L. C. Zhong and J. Rabaey, Distributed Algorithms for Transmission Power Control in Wireless Sensor Networks, in WCNC 2003, New Orleans, LA, March 2003. [10] J. Monks, V. Bharghavan, and W. W. Hwu, Transmission power control for multiple access wireless packet networks, in Proceedings of The 25th Annual IEEE Conference on Local Computer Networks (LCN 2000), Tampa, FL, November 2000. [11] S. Narayanaswamy, V. Kawadia, R. S. Sreenivas, and P. R. Kumar, Power control in ad-hoc networks: Theory, architecture, algorithm and implementation of the COMPOW protocol, in Proceedings of European Wireless Conference, 2002. [12] J. P. Monks, J.-P. Ebert, A. Wolisz, and W. mei W. Hwu, A study of the energy saving and capacity improvement potential of power control in multi-hop wireless networks, in Workshop on Wireless Local Networks, Tampa, Florida, USA, also Conf. of Local Computer Networks (LCN), Nov. 2001. [13] R. Zheng and R. Kravets, On-demand power management for ad hoc network, IEEE Infocom 2003, San Franciso, CA, USA, March 30 - April 3, 2003. [14] R. Kravets and P. Krishnan, Power management techniques for mobile communication, in Proc. ACM Mobicom 99, pages 24 35, 1999. [15] W. Ye, J. Heidemann, and D. Estrin, An energy-efficient MAC protocol for wireless sensor networks, in INFOCOM 2002, New York, June 23-27, 2003. [16] S. Singh and C. S. Raghavendra, PAMAS: Power Aware Multi-Access protocol with Signalling for Ad Hoc Networks, (to appear) ACM Computer Communications Review, 1999. [17] U. Kozat, I. Koutsopoulos and L. Tassiulas, A Framework for Cross-layer Design of Energy-efficient Communication with QoS Provisioning in Multi-hop Wireless Networks,

Βιβλιογραφία 13 [18] R. Albert and A.-L. Barabási, Statistical mechanics of complex networks, Rev. Mod. Phys., in press. [19] R. Albert, H. Jeong and A.-L. Barabási, 1999, Nature (London), 401, 130. [20] M. Faloutsos, P. Faloutsos and C. Faloutsos, Computer Communications Review, 29, 251. [21] B. Bollobas, 1981, Discrete Math. 33. 1. [22] D. J. Watts and S. H. Strogatz, 1998, Nature (London), 393, 440. [23] A.-L Barabási and R. Albert, 1999, Science 286, 509. [24] R. Krishnan and J.P.G. Sterbenz, An Evaluation of the TSMA Protocol as a Control Channel Mechanism in MMWN, Technical report, BBN Technical Memorandum No. 1279, 2000. [25] Dimitri Bertsekas and Robert Gallager, Data networks, 2nd edition, Prentice-Hall, Inc., 1992. [26] G. Wang and N. Ansari, Optimal Broadcast Scheduling in Packet Radio Networks Using Mean Field Annealing, IEEE Journal on Selected Areas in Communications, VOL. 15, NO. 2, pp 250-260, February 1997. [27] IEEE 802.11, Wireless LAN Medium Access Control (MAC) and Physical Layer (PHY) specifications, Nov. 1997. Draft Supplement to Standard IEEE 802.11, IEEE, New York, January 1999. [28] P. Karn, MACA- A new channel access method for packet radio, in ARRL/CRRL Amateur Radio 9th Computer Networking Conference, pp. 134-140, 1990. [29] F. A. Tobagi and L. Kleinrock, Packet Switching in Radio ChannelsQ Part II - the Hidden Terminal Problem in Carrier Sense Multiple Access Modes and the Busy-Tone Solution, IEEE Transactions on Communications, Vol. 23, pp. 1417-1433, 1975. [30] V. Bharghavan, A. Demers, S. Shenker, and L. Zhang, MACAW: A Media Access Protocol for Wireless LAN s, Proceedings of ACM SIGCOMM 94, pp. 212-225, 1994. [31] F. Talucci, M. Gerla and L. Fratta, MACA-BI (MACA By Invitation): A Receiver- Oriented Access Protocol for Wireless Multihop Networks, PIMRC 97, the 8th IEEE International Symposium on Personal Indoor and Mobile Communications, Vol. 2, 1997, pp. 435-39.

14 Βιβλιογραφία [32] J. Deng and Z. J. Haas, Busy Tone Multiple Access (DBTMA): A New Medium Access Control for Packet Radio Networks, in IEEE ICUPC 98, Florence, Italy, October 5-9, 1998. [33] C. Wu and V.O.K. Li, Receiver-Initiated Busy Tone Multiple Access in Packet Radio Networks, ACM Computer Communications Review, 17(5):335-342, August 1987. [34] R. Nelson, L. Kleinrock, Spatial TDMA, A collision-free Multihop Channel Access Protocol, IEEE Transactions on Communications, Vol. COM-33, No. 9, September 1985. [35] C. Zhu and S.M. Corson, A Five-Phase Reservation Protocol (FPRP) for Mobile Ad Hoc Networks, in Proceedings of IEEE Infocom 98, Vol. 1, Pp. 322-331, San Francisco, CA, March/April 1998. [36] I. Chlamtac and A. Farago, Making Transmission Schedules Immune to Topology Changes in Multi-Hop Packet Radio Networks, IEEE/ACM Trans. on Networking, 2:23-29, 1994. [37] J.-H. Ju and V. O. K. Li, An Optimal Topology-Transparent Scheduling Method in Multihop Packet Radio Networks, IEEE/ACM Trans. on Networking, 6:298-306, 1998. [38] J. A. Stankovic, T. Abdelzaher, C. Lu, L. Sha, J. Hou, Real-Time Communication and Coordination in Embedded Sensor Networks, Proceedings of the IEEE, 91(7): 1002-1022, July 2003. (invited paper). [39] R. Rozovsky and P. R. Kumar, SEEDEX: A MAC protocol for ad hoc networks, ACM Mobihoc 01, October 2001. [40] Ian Stewart, Galois Theory, Chapman & Hall/CRC Mathematics, 3rd Edition, 2004. [41] K. Oikonomou and I. Stavrakakis, Analysis of a Probabilistic Topology-Unaware TDMA MAC Policy for Ad-Hoc Networks, IEEE JSAC Special Issue on Quality-of- Service Delivery in Variable Topology Networks, Vol. 22, No. 7, September 2004, pp. 1286-1300. [42] C. P.. P. Bhagwat, Highly Dynamic Destination-Sequenced Distance Vector Routing (DSDV) for Mobile Computers, Proceedings of ACM SIGCOMM 94, pp. 234-244, September 1994.

Βιβλιογραφία 15 [43] S. Murthy and J.J. Garci-Luna-Aceves, A Routing Protocol for Packet Radio Networks, in Proceedings of ACM First International Conference on Mobile Computing & Networking (MOBICOM 95), November 1995. [44] C. Perkins and E. Royer, Ad-Hoc On-Demand Distance Vector Routing, Proceedings of 2nd IEEE Workshop on Mobile Computing Systems and Applications, February 1999. [45] D. B. Johnson and D. A. Maltz, Mobile Comupting, Kluwer Academic Publishers, 1996. [46] M.R. Pearlman, Z.J. Haas, Determining the Optimal Configuration for the Zone Routing Protocol, IEEE Journal on Selected Areas in Communications, 17(8), 1395-1414, August 1999. [47] Y,-B. Ko and N.H. Vaidya, Location-Aided Routing (LAR) in Mobile Ad Hoc Networks, in Proceedings of the 4th ACM/IEE International Conference on Mobile Computing and Networking (MobiCom), pp. 66-75, Dallas, Texas, October 1998.