ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ. ΕΝΟΤΗΤΑ: Διανυσματικοί Χώροι (1) ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Βλάμος Παναγιώτης ΙΟΝΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

Transcript

1 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΝΟΤΗΤΑ: Διανυσματικοί Χώροι (1) ΙΟΝΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Βλάμος Παναγιώτης

2 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons

3 Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Ιονίου Πανεπιστημίου» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 3

4 Τα στοιχεία ενός διανυσματικού χώρου είναι τα διανύσματα και στη συνέχεια θα χρησιμοποιούνται οι εξής συμβολισμοί: Ο δεδομένος διανυσματικός χώρος διανύσματα στον V το δεδομένο πεδίο αριθμών αριθμοί στο σύνολο Κ Το Κ μπορεί να είναι το πραγματικό πεδίο αριθμών πεδίο C. R ή το μιγαδικό

5 Οι διανυσματικοί χώροι που θα μελετήσουμε έχουν πεπερασμένη διάσταση. Για παράδειγμα η ευθεία R R 2 έχει διάσταση 2 Κάποιοι χρήσιμοι συμβολισμοί: και ο χώρος R 3 έχει διάσταση 3. Το στοιχείο a ανήκει στο σύνολο Α έχει διάσταση 1, το επίπεδο Τα στοιχεία a, b ανήκουν στο σύνολο Α Για κάθε x που ανήκει στο Α Υπάρχει x που ανήκει στο Α Το Α είναι υποσύνολο του Β Τομή των Α και Β Ένωση των Α και Β Κενό σύνολο

6 Έστω V ένα μη κενό σύνολο με δύο πράξεις: ( ι ) Πρόσθεση διανυσμάτων: διανύσματα του V ένα στοιχείο του ( ιι ) V. Αναθέτεi σε δύο οποιαδήποτε άθροισμα επίσης είναι Βαθμωτός πολλαπλασιασμός: Αναθέτει σε οποιαδήποτε Τότε ο V ονομάζεται διανυσματικός χώρος ( πάνω στο πεδίο Κ) εάν για οποιαδήποτε ισχύουν τα αξιώματα:

7

8 Τα παραπάνω αξιώματα χωρίζονται σε δύο κατηγορίες: ( ι) Τα τέσσερα πρώτα ( ) αφορούν μόνο στην προσθετική δομή του V, και συνεπάγονται ότι ο V είναι μια προς την πρόσθεση, δλδ αντιμεταθετική ομάδα ως α) οποιοδήποτε άθροισμα διανυσμάτων δεν απαιτεί παρενθέσεις και δεν εξαρτάται από την σειρά των προσθέσεων, β) Το μηδενικό διάνυσμα είναι μοναδικό, όπως και το αρνητικό ενός διανύσματος, γ) και η αφαίρεση ορίζεται ως η πρόσθεση του αντιστρόφου.

9 Τα παραπάνω αξιώματα χωρίζονται σε δύο κατηγορίες: ( ιι) Τα υπόλοιπα τέσσερα ( ) αφορούν στην επίδραση του πεδίου αριθμών K πάνω στον διανυσματικό χώρο V ( ονομάζεται και εξωτερική πράξη). χώρου. Έτσι έχουμε τις ιδιότητες ενός διανυσματικού Γενικά: Έστω ένας διανυσματικός χώρος πάνω σε ένα πεδίο K, τότε:

10 Απόδειξη:

11 Παραδείγματα διανυσματικών χώρων: α) Το σύνολο των διανυσμάτων είναι ένας διανυσματικός χώρος γιατί ισχύουν και οι ( ) καθώς και οι ( ) ιδιότητες. β) όμοια το σύνολο των πινάκων n x m είναι διανυσματικός χώρος, γιατί ως προς την πρόσθεση πινάκων ισχύουν οι ( ) καθώς και για τον πολ/ μο αριθμού με πίνακα οι ( ) ιδιότητες. γ) Ο χώρος των πολυωνύμων P(t):

12 Παραδείγματα διανυσματικών χώρων: γ) Ο χώρος των πολυωνύμων P(t): είναι διανυσματικός χώρος πάνω στον K γιατί: α) το p(t)+q(t) είναι η συνηθισμένη πρόσθεση διανυσμάτων β) βαθμωτός πολ/ μός: το kp(t) είναι η συνηθισμένη πράξη πολ/ μού αριθμού με διάνυσμα ή με πολυώνυμο. Το μηδενικό στοιχείο είναι το μηδενικό διάνυσμα ή πολυώνυμο.

13 Παραδείγματα διανυσματικών χώρων: δ) Ο χώρος των πολυωνύμων P n (t) για πολυώνυμα βαθμού μικρότερου ή ίσου του n: είναι διανυσματικός χώρος πάνω στον K γιατί: α) το p(t)+q(t) είναι η συνηθισμένη πρόσθεση διανυσμάτων β) βαθμωτός πολ/ μός: το kp(t) είναι η συνηθισμένη πράξη πολ/ μού αριθμού με διάνυσμα ή με πολυώνυμο. Το μηδενικό στοιχείο είναι το μηδενικό διάνυσμα ή πολυώνυμο.

14 Παραδείγματα διανυσματικών χώρων: ε) Ο χώρος των συναρτήσεων F(x): Έστω ότι το F(x) συμβολίζει το σύνολο όλων των συναρτήσεων του x στο K. Τότε το F(x) είναι διαν. χώρος ως προς τις πράξεις: α) πρόσθεση διανυσμάτων:

15 Διανυσματικοί Χώροι Γραμμικοί συνδυασμοί Σύνολα Γεννητόρων Έστω V ένας διανυσματικός χώρος πάνω σε ένα πεδίο K. Ένα διάνυσμα του V είναι ένας γραμμ. συνδυασμός των διανυσμάτων του V αν υπάρχουν αριθμοί από το σύνολο K ώστε:

16 Διανυσματικοί Χώροι Γραμμικοί συνδυασμοί Σύνολα Γεννητόρων Παράδειγμα: 1) Να εκφραστεί το v(3,7,-4) του R 3 σαν γραμμικός συνδυασμός των u 1 (1,2,3), u 2 (2,3,7), u 3 (3,5,6). Δλδ θέλουμε αριθμούς x, y, z, τέτοιους ώστε:

17 Διανυσματικοί Χώροι Γραμμικοί συνδυασμοί Σύνολα Γεννητόρων Παράδειγμα: 2) Να εκφραστεί το πολυώνυμο v ως γραμ. συνδυασμός των v 1, v 2, v 3. Δλδ θέλουμε αριθμούς x, y, z, τέτοιους ώστε: a) Αναπτύσσουμε το 2 ο μέλος και εξισώνουμε b) Αυτή η εξίσωση είναι μια ταυτότητα, δλδ επαλυθεύεται για όλα τα t. Οπότε εκλέγουμε t=0,1,-1 k και επιλύουμε.

18 Γραμμικοί συνδυασμοί Σύνολα Γεννητόρων Έστω V ένας διανυσματικός χώρος πάνω σε ένα πεδίο K. Τότε λέμε ότι τα διανύσματα γεννητόρων του V, αν σχηματίζουν ένα σύνολο

19 Τέλος Ενότητας