Ó³ Ÿ. 213.. 1, º 3(18).. 313Ä32 ˆ ˆŠ Œ ˆ ˆ Œ ƒ Ÿ. ˆŸ ˆŸ ƒ ƒ Ÿ ˆ Š ˆ Šˆ Š ŒŒ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ Œ ˆŠ.. μ a, Œ.. Œ Í ± μ,. ƒ. ²Ò ± a ˆ É ÉÊÉ Ö ÒÌ ² μ μ ±μ ± ³ ʱ, Œμ ± ÊÎ μ- ² μ É ²Ó ± É ÉÊÉ Ö μ Ë ± ³... ±μ ²ÓÍÒ Œμ ±μ ±μ μ μ Ê É μ μ Ê É É ³. Œ.. μ³μ μ μ, Œμ ± ˆ É ÉÊÉ Ë ± Ò μ± Ì Ô, μé μ, μ Ö ÉμÖÐ μé ³μÉ Ò μ μ Ö μ μ²õ μ ² Ò ± μ Î ± Ì ±μ³³ê- É Í μ ÒÌ μμé μï (ŠŠ ) μ É É Ë É μ ³ É ±μ. In the present work Bogoliubov transformations for regular representation of the canonical commutation relations (CCR) algebra are considered in indeˇnite metrics spaces. PACS: 3.65.Ta ˆ μ μ ± Éμ μ ³ Ì ± ² É ² ± μ Î ± Ì ±μ³³êé Í μ ÒÌ μμé μ- Ï (ŠŠ ). μ É Ï ³ ²ÊÎ μ μ μ ³ Ö ŠŠ ³ ÕÉ [ˆp, ˆq] = ii, (1) ˆp ˆq Å ³μ μ Ö Ò μ Éμ Ò ( ± Éμ μ ³ Ì ± μ Éμ Ò ³ Ê²Ó ±μμ ÉÒ μμé É É μ). ²ÊÎ μ μ²ó μ μ, μ ±μ Î μ μ Î ² μ Éμ μ μμé μï (1) ³ Ö É Ö μ² μ Ð ³: [ˆp i, ˆq k ]= iδ ik I, 1 i, k n. (2) ɳ É ³, ÎÉμ μ μ Ò É μ ³Ò, ± ÕÐ Ö É ² ŠŠ, μì ÖÕÉ ²Ê Ìμ μé μμé μï Ö (1) ± μμé μï Ö³ (2) [1]. ÉμÖÐ μé ³Ò μ± ³, ÎÉμ ʲÓÉ ÉÒ, Ö Ò μ μ Ö³ μ μ²õ μ, ³μ ÊÉ ÒÉÓ μ μ Ð Ò ²Ö μμé μï Ö (2). μ Î ² ³ Ö ± μμé μ- Ï Õ (1). ² Î ÒÌ É ² ŠŠ μ μ ÊÕ μ²ó ÕÉ É ² Ö, μ²êî - Ï Ê²Ö ÒÌ. Éμ Ò Ëμ ³Ê² μ ÉÓ Ê ²μ Ê²Ö μ É É ² Ö, Ï ³ μμé μï (1) Ô± ² É μ Ëμ ³ : [a, a + ]=I, (3)
314 μ.., Œ Í ± μ Œ.., ²Ò ±. ƒ. a =(1/ 2)(ˆq + iˆp), a + =(1/ 2)(ˆq iˆp). ²μ Î μ, É ³Ê μμé μï (2) ³μ μ ÉÓ [a i,a + j ]=I, 1 i, k n. (4) ³μÉ ³ μμé μï (3). ² Ê μ Éμ N = a + a (5) ÉÓ μ É Ò ±Éμ : Nψ λ = λψ λ, (6) Éμ, μ μ ² Õ, É ² ŠŠ Ê²Ö μ [2, 3]. μ ³μ Ò É ²ÊÎ Ö [2]: 1. λ N (Ëμ±μ ±μ É ² ). ˆ É μ, ÎÉμ ÔÉμ³ ²ÊÎ Sp N = N, ² μ É ²Ó μ, ÊÐ É Ê É ±Êʳ Ò ±Éμ ψ É ±μ, ÎÉμ aψ =. (7) ±μ μ²êî ÉÓ, ÎÉμ Ëμ±μ ±μ É ² ² Ê É Ö μ É É ƒ ²Ó É H, ÉÖ ÊÉμ³ μ É Ò ±Éμ Ò μ Éμ N: ψ n =(a + ) n ψ. ˆ ŠŠ μ - É μ ² Ê É, ÎÉμ ψ n,ψ n = n!. (8) μ ±μ²ó±ê ψ n,ψ n É μé ±μ ± É μ μ μ Éμ μ a a +, Éμ ² ±μ μ²êî ÉÓ, ÎÉμ Ëμ±μ ± É ² Ö Ê É μ Ô± ² É Ò. Ê Éμ μ, ÎÉμ Ëμ±μ ±μ É ² μ É É Ë É μ ³ É ±μ ² Ê É Ö ²Ó Éμ μ³ μ É É, É É μ ÉÓ Ëμ ³Ê²Ê (3) [a, a ]=1, (9) μ Éμ a Å μ Ö Ò μ μé μï Õ ± a μ É É ƒ ²Ó É. μ Î ±- ³, ÎÉμ ²Ö Ëμ±μ ±μ μ É ² Ö μ É É Š a = a +. ² λ/ N, Éμ μμé É É ÊÕÐ É ² Ö ² ÊÕÉ Ö μ É É - Ë É μ ³ É ±μ, ³ μ, μ É É Š [4Ä6]. μ Î ± ³, ÎÉμ ±μ É μ Ëμ ³Ê² μ ± É μ ± ² μ μî ÒÌ μ² - Ìμ μé ²Ó Éμ μ É É ± μ É É Ê Ë É μ ³ É ±μ [7,8]. μ Ìμ ³Ò ³ μ É μ É É Š Ò. 2. λ Z ( É Ëμ±μ ±μ É ² ). ÔÉμ³ ²ÊÎ ÊÐ É Ê É ±Éμ ψ 1, É ±μ ÎÉμ a + ψ 1 =. (1) ±μ ÉÓ, ÎÉμ ψ k,ψ k =( 1) k 1 (k 1)!, ψ k = a k 1 ψ 1. (11) É É ²Ó μ, ψ k,ψ k = ψ k+1,a + aψ k+1 = =( k +1) ψ k+1,ψ k+1 =...=( 1) k 1 (k 1)! ψ 1,ψ 1. (12) ŒÒ ³μ ³ μ²μ ÉÓ ψ 1,ψ 1 =1.
μ μ Ö μ μ²õ μ Ê²Ö ÒÌ É ² 315 3. λ = λ + z, z Z, 1 <λ < (λ- ²ÊÎ ). ÔÉμ³ ²ÊÎ, μ³μðóõ Ò±² μ±, ²μ Î ÒÌ Ò³ ²Ö É Ëμ±μ ±μ μ ²ÊÎ Ö, μ²êî ³ ψ λ+n,ψ λ+n =(λ + n +1)(λ + n)... (λ +1), (13) ψ λ n,ψ λ n =(λ n +1)(λ n +2)... λ, ψ λ±n μ ² Ò μμé μï ³ ψ λ+n =(a + ) n ψ λ, ψ λ n =(a) n ψ λ, ψ λ,ψ λ =1. (14) ÔÉμ É ÉÓ ³Ò ³μÉ ³ μ μ Ö μ μ²õ μ ŠŠ, ³ μ μ μ Ö ² ÊÕÐ μ : ã = αa + βa +, ã + =ᾱa + + βa, α,β C. (15) Ö³μ ÒÎ ² μ± Ò É, ÎÉμ [ã, ã + ]=I, ² αᾱ β β =1. (16) μ μ Ö μ μ²õ μ μ μ²öõé μ²êî ÉÓ μ Ò É ² Ö ŠŠ. μôéμ³ê É μ ÊÎ ÉÓ μ É ÔÉ Ì μ μ, ÎÉμ Ö ²Ö É Ö Í ²ÓÕ ÉμÖÐ - μéò. Î É μ É, ÒÖ ÉÓ, μ É ÕÉ Ö ² Ê²Ö Ò É ² Ö Ê²Ö Ò³ μ ² μ μ Ö μ μ²õ μ. ɳ É ³, ÎÉμ μ μ Ö μ μ²õ μ ϲ Ï μ±μ ³ É μ Ì μ μ ³μ É, É É É Î ±μ Ë ± ± Éμ μ É μ μ²ö [9Ä11], É ± ÊÎ ŠŠ [12]. ŒÒ μ± ³, ÎÉμ μ μ ÖÌ μ μ²õ μ Ëμ±μ ±μ É ² Ìμ É Ëμ±μ ±μ, É Ëμ±μ ±μ Å É Ëμ±μ ±μ, λ- É ² Å λ- É ², Î ³ É ³ ³Ò³ Î ³ λ. μ ² ²ÊÎ ³ É Éμα Ö Ë ±, μôéμ³ê ³Ò μ Î ³ Ö μ μ Ö³ μ μ²õ- μ ²Ö α, β R. Ëμ±μ ±μ³ É Ëμ±μ ±μ³ ²ÊÎ ÖÌ ³Ò ³ μμé É É μ ±Êʳ Ò - É ±Êʳ Ò ±Éμ Ò ²Ö É ² ŠŠ, ÒÌ μ Éμ ³ ã ã +. ²Ö É Ëμ±μ ±μ μ ²ÊÎ Ö Ê É μ± μ, ÎÉμ μ μ μ Ö μ μ²õ μ ³μ ÊÉ ÒÉÓ Ò ± μμé É É ÊÕÐ ³ Ëμ±μ ±μ μ ²ÊÎ Ö. ² Ê É ³μÉ ±μ³ - Í Ö μ μ μ μ²õ μ ²Ö É ³Ò, μ ÉμÖÐ Ë Î ±μ Ë Î ±μ Î É Í ( ³. (9) (27)), Ê É μ± μ, ÎÉμ ÔÉ ±μ³ Í Ö μ É ± Ë Î ± Ô± - ² É μ ± É. μ ² ÔÉμ μ Ò Ê Ö Ê ÊÉ μ μ Ð Ò É ³Ê n Ë Î ± Ì Î É Í (É.. Î É Í, Ê μ ² É μ ÖÕÐ Ì Ëμ±μ ±μ³ê É ² Õ ŠŠ ) k Ë Î ± Ì Î É Í (É.. Î É Í, Ê μ ² É μ ÖÕÐ Ì É Ëμ±μ ±μ³ê É ² - Õ ŠŠ ). ˆŸ ƒ Ÿ Š Š ƒ ˆŸ ŠŠ μ± ³ ÊÐ É μ ±Éμ ψ É ±μ μ, ÎÉμ ã ψ =. (17)
316 μ.., Œ Í ± μ Œ.., ²Ò ±. ƒ. ²Ö ÔÉμ μ μ ² ³ ±μôëë Í ÉÒ C n ²μ Ö ψ = C n e n, (18) e n Å μ Éμ μ ³ μ Ò μ É Ò ±Éμ Ò μ Éμ N = a a ( μ³ ³, ÎÉμ Ëμ±μ ±μ³ ²ÊÎ a = a + ). ˆ Ëμ ³Ê²Ò (8) ² ±μ μ²êî ÉÓ, ÎÉμ a e n = a n e n+1, ae n = b n e n 1. (19) μ± ³, ÎÉμ a n = n +1, b n = n. (2) É É ²Ó μ, a e n,a e n = e n,aa e n = e n, (n +1)e n =(n +1) e n,e n. (21) Î ÉÒ Ö, ÎÉμ e n,e n =1, Ìμ ³ ± μ³ê É Ê Ëμ ³Ê² (2). ²μ- Î μ μ± Ò É Ö Éμ μ É μ Ëμ ³Ê² (2). ³ ±μôëë Í ÉÒ C n ²μ (18) αa C n e n = αb n C n e n 1 = C 1 αb 1 + αb n+1 C n+1 e n, βa + ˆ Ëμ ³Ê² (21) (22) ³ ³ C n e n = β a n C n e n+1 = β a n 1 C n 1 e n. ( αa + βa + ) C n e n = C 1 αb 1 + (αb n+1 C n+1 + βa n 1 C n 1 ) e n = 1 = C 1 αb 1 + 1 1 (22) ( α n +1Cn+1 + β ) nc n 1 en. (23) μ ² μ Ëμ ³Ê² (23), C 1 =. ², Ö Ê²Õ ±μôëë Í ÉÒ e n, μ²ê- Î ³ ±Ê É ÊÕ Ëμ ³Ê²Ê C n+1 = β n C n 1. (24) α n +1 ˆ Ëμ ³Ê²Ò (24) ² Ê É, ÎÉμ C 2n+1 C 1, ² μ É ²Ó μ, Î É Ò ±μôëë Í ÉÒ Ëμ ³Ê² (18) Ò Ê²Õ. ³μÉ ³ C 2n. μ² Ö C =1, μ ² μ (24), ³ ³ ( ) n ( ) n β 1 3... (2n 1) β C 2n = = d 2n, (25) α 2 4... (2n) α d 2n = É ²Ó μ, 1 1 3... (2n 1). μ± ³, ÎÉμ ±Éμ 2 4... (2n) ψ ±μ ±É μ μ ². É - n C 2n 2 = β α d 2n <, n= n= μ ±μ²ó±ê, μ ² μ Ëμ ³Ê² ³ (16) (25), β/α < 1, d 2n < 1.
μ μ Ö μ μ²õ μ Ê²Ö ÒÌ É ² 317 ˆ Š Šˆ ÔÉμ³ ²ÊÎ ³μ μ Ò²μ Ò μ É ÒÎ ² Ö, ²μ Î Ò É ³, ÎÉμ Ò² ² Ò Ëμ±μ ±μ³ ²ÊÎ. ±μ ³μ μ É μ μ Ö μ μ²õ μ - É Ëμ±μ ±μ³ ²ÊÎ ± μ μ Ö³ μ μ²õ μ Ëμ±μ ±μ³ ²ÊÎ, μ μ Î μ Ö μ³ É Ëμ±μ ± ³. μ ³ É ³, ÎÉμ, μ Ö μ Éμ Ò b = a +, b + = a, N = N 1, (26) ³μ μ ÉÓ É Ëμ±μ ±μ É ² [b, b + ]= 1, bψ =, (27) ψ = ψ 1. μ Ö ±Éμ Ò ψ n = ψ 1 n, μ²êî ³, μ ² μ Ëμ ³Ê² (11), ÎÉμ Nψ n = nψ n, ψ n,ψ n =( 1) n n!. (28) ɳ É ³, ÎÉμ É μ ± ² μ μî ÒÌ μ² ŠŠ ²Ö Ë Î ± Ì Î É Í μ ÒÎ μ Ò ÕÉ Ö ³ μ Ëμ ³ (27). μ ±μ²ó±ê μ É É μ K ÉÖ ÊÉμ ±Éμ Ò ψ n, K Ö ²Ö É Ö μ É É μ³ Š, É.. μ É É μ³, μ Ê ± ÕÐ ³ ² ÊÕÐ ²μ : K = K + + K, K + K, (29) K ± Å ³± ÊÉÒ μ É É μμé É É μ μ²μ É ²Ó μ μé Í É ²Ó μ ³ É ±μ. μ μ ² Õ μ É É K ² x Å μ μ²ó Ò ±Éμ ÔÉμ μ μ- É É, Éμ x = x + + x, x ± K ±. (3) ² μ É ²Ó μ, ± ²Ö μ μ μ μ²ó ÒÌ ±Éμ μ ³ É x, y = x + y + + x y. (31) μ É É Š, μ³ ³μ Ë É μ μ, ³μ μ É μ²μ É ²Ó μ μ - ² μ ( ²Ó Éμ μ) ± ²Ö μ μ : (x, y) =x + y + x y. (32) É É ²Ó μ, (x, x) =(x + x + x x ) >, x. (33) ˆ Ë É μ ²Ó Éμ μ ± ²Ö μ μ Ö Ö Ò ³ Ê μ μ μ Éμ μ³ ± μ Î ±μ ³³ É J. μ μ ² Õ Ö³μ ÒÎ ² É J(x + + x )=x + x. (34) x, y =(x, Jy), (x, y) = x, Jy. (35) ˆ Ëμ ³Ê²Ò (33) ² Ê É Ö Ó μ Éμ μ A + A, μ Ö ÒÌ μ Éμ Ê A μé μ - É ²Ó μ Ë É μ μ ²Ó Éμ ± ²Ö ÒÌ μ μμé É É μ: A = JA + J, A + = JA J, (36)
318 μ.., Œ Í ± μ Œ.., ²Ò ±. ƒ. μ ±μ²ó±ê ² ±μ μ²êî ÉÓ, ÎÉμ ˆ Ëμ ³Ê² (28) (34) ² Ê É, ÎÉμ {x, y} = xy + yx. É É ²Ó μ, Ê ÉÓ n =2m, Éμ J 2 =1, J = J = J +. (37) {J, b} = {J, b + } =, (38) b + Jψ n = b + ψ 2m = ψ 2m+1, Jb + ψ n = Jψ 2m+1 = ψ 2m+1. (39) μ± É ²Ó É μ ²Ö Î É ÒÌ n ²μ Î μ. ˆ Ê ²μ Ö {J, b + } = μ É μ ² Ê É, ÎÉμ {J, b} =,É ±± ±J = J +. μμé μï Ö (36) (38) μ μ²öõé μ μ É ÉÓ É Ëμ±μ ±μ³ê É ² Õ ŠŠ Ëμ±μ ±μ μ³μðóõ ² ÊÕÐ ³ Ò: μ³ ³, ÎÉμ J 2 =1. Î μ, ÎÉμ b + Jb + J = b + = b. (4) [b, b ]=I, bψ =. (41) ³ ± μμé μï Õ (41) μ μ μ μ²õ μ, μ²êî ³, ÎÉμ ψ É ± Ö ψ,± ± ψ ψ ( ³. Ëμ ³Ê²Ê (25)). Éμ Ò μ²êî ÉÓ μ μ Ö μ μ²õ μ É ³ Ì b b +, μ É ÉμÎ μ ÊÎ ÉÓ, ÎÉμ b + = b. ² μ É ²Ó μ, μ μ αb + βb Ìμ É αb βb +. ³μÉ ³ É ³Ê Ë Î ±μ Î É ÍÒ, Ê μ ² É μ ÖÕÐ ŠŠ [a, a ]=I, Ë Î ±μ, Ê μ ² É μ ÖÕÐ ŠŠ [b, b + ]= I. Ê ÉÓ ψ = ψ. μ, μμé É É μ²êî Ò³ ʲÓÉ É ³, μ μ Ö μ μ²õ μ ²Ö Ë Î ±μ Î É ÍÒ αa + βa αb βb + ²Ö Ë Î ±μ μ ÖÉ ± μ μ É ³ μ Éμ μ É ±μ, ÎÉμ ψ = ψ. ³μÉ ³ É Ó μμé μï (4) ²Ö Ëμ±μ ±μ μ ²ÊÎ Ö. μ²μ ³, ÎÉμ ±Ê- ʳ Ò ±Éμ ψ É μé ± i, É..ÎÉμ a i ψ =, i. (42) ³ ÖÖ μ μ μ μ²õ μ (15) ²Ö ± μ Ò μ Éμ μ a i a i +, μ²ê- Î ³ μ ÊÕ É ³Ê μ Éμ μ ã i ã i +, Ê μ ² É μ ÖÕÐ Ì Ëμ±μ ±μ³ê É ² Õ ŠŠ μ Ò³ ±Êʳ Ò³ ±Éμ μ³ ψ. ²μ Î μ, ² μμé μï (27) ³ μ ² ÊÕÐ ³ μ μ³: [b i,b + j ]= δ ij I, i,j k, (43) Î ³ b i ψ =, i, (44) Éμ μ ² μ μ μ μ²õ μ É ³ μ Éμ μ b i, b + i Ìμ É É ³Ê μ Éμ μ b i, b + i, μ Ê μ ² É μ ÖÕÐ Ì μμé μï Õ (43) Ò³ ±Êʳ Ò³ ±- Éμ μ³ ψ.
μ μ Ö μ μ²õ μ Ê²Ö ÒÌ É ² 319 λ- ˆ ŠŠ μ± ³, ÎÉμ μ ² μ μ Ö μ μ²õ μ λ- É ² μ Ìμ É λ- É ² É ³ ³Ò³ λ (±μ μé±μ, λ - É ² ŠŠ Ìμ É λ - É ² ). ²Ö ÔÉμ μ μ ³ É ³, ÎÉμ ² μ Éμ Ò a, a + a, a + ² ÊÕÉ λ - É ² ŠŠ, Éμ, μ ² μ Ëμ ³Ê² ³ (13), μ Ö Ò Ê É Ò³ μ μ ³: a = VaV, a + = Va + V, V V + = V + V =1. (45) μ± ³, ÎÉμ ² μ Éμ Ò ã, ã + ã, ã + Ö Ò μ Éμ ³ a, a + a, a + μ μ ³ μ μ²õ μ, Éμ μ Éμ Ò ã, ã + ã, ã + Ö Ò É ³ ³Ò³ Ê É Ò³ μ μ ³ V. É É ²Ó μ, ² ã = αa + βa +, ã + =ᾱa + + βa, Éμ ã = αv av + + βv a + V + = V (αa + βa + )V + = V ãv +. (46) μ± É ²Ó É μ ²Ö ã + ²μ Î μ. μ ±μ²ó±ê ²Õ μ μ Éμ, Ö Ò Ê É Ò³ É ² ³ ±μéμ Ò³ μ Éμ μ³, ² ÊÕÐ ³ λ - É ² ŠŠ, É ± Ö ²Ö É Ö μ Éμ μ³, ² ÊÕÐ ³ λ - É ², ³ μ É ÉμÎ μ ³μÉ ÉÓ μ μ Ö μ μ²õ μ Éμ²Ó±μ ²Ö ±μ ± É ÒÌ μ Éμ μ. ± Î É É ±μ ÒÌ - ³μÉ ³ μ Éμ Ò a = 1 ( q + d ), a + = 1 ( q d ), (47) 2 dq 2 dq μî Ò³ μ μ³ Ê μ ² É μ ÖÕÐ ŠŠ. ²μ Nψ λ (q) =a + aψ λ (q) =λ ψ λ (q) (48) ²Ö ÔÉ Ì μ Éμ μ μ É Ö ± Ê Õ ) (q 2 d2 dq 2 ψ λ (q) =(2λ 1)ψ λ (q). (49) μ³ ³, ÎÉμ ³Ò μ Î ³ Ö ³μÉ ³ Ð É ÒÌ ±μôëë Í Éμ α β μ μ μ μ²õ μ. μ ã = αa + βa +, ã + = αa + + βa, (5) É.. ã = 1 [ (α + β)q (α β) d ], ã + = 1 [ (α + β)q +(α β) d ]. (51) 2 dq 2 dq μ É μ ÒÎ ² ã + ã É ã + ã = 1 ] [(α + β) 2 q 2 (α β) 2 d2 2 dq 2 +1. (52) α β μ²μ q = q α + β ÊÎ ÉÒ Ö, ÎÉμ α2 β 2 =1, μ²êî ³ Ê ) ã + ã = ( q 2 d2 d q 2 ψ λ ( q) =(2λ 1)ψ λ ( q). (53)
32 μ.., Œ Í ± μ Œ.., ²Ò ±. ƒ. ± ³ μ μ³, ² ³ Ê ³ μ q q, ³Ò Ìμ ³ ± Éμ³Ê ³μ³Ê Ê - Õ, ÎÉμ μ± Ò É ÉμÉ Ë ±É, ÎÉμ ψ λ ( q) Ö ²Ö É Ö μ É Ò³ ±Éμ μ³ μ Éμ ã + ã μ É Ò³ Î ³ λ. Š ˆ ÉμÖÐ É ÉÓ μ± μ, ÎÉμ μ μ Ö μ μ²õ μ μ ÖÉ Ëμ±μ ±μ É ² ŠŠ Ëμ±μ ±μ, É Ëμ±μ ±μ Å É Ëμ±μ ±μ, λ- É ² Å λ- É ² É ³ ³Ò³ Î ³ λ. ÒÌ ÊÌ ²ÊÎ ÖÌ Ò μ Ò ±Êʳ Ò ±Éμ Ò. ² ±μ³ Í Ö μ μ μ μ²õ μ ²Ö É ³Ò Ë Î ±μ Ë Î ±μ Î É Í μ ³ É ³ ±Êʳμ³, ±μéμ μ μ Ò ±Êʳ μ É É Ö μ ±μ Ò³ ²Ö Ë Î ± Ì Ë Î ± Ì Î É Í. ʲÓÉ ÉÒ μ μ - Ð Ò É ³Ê μ μ²ó μ μ, μ ±μ Î μ μ Î ² Ë Î ± Ì Ë Î ± Ì Î É Í. ˆ Š ˆ 1. Putnam C. R. Commutation Properties of Hilbert Space Operators and Related Topics. Berlin; Heidelberg; N. Y.: Springer-Verlag, 1967. Ch. IV. P. 63. 2. Mnatsakanova M. et al. // J. Math. Phys. 1998. V. 39. P. 2969. 3. Mnatsakanova M., Morchio G., Vernov Yu. // Proc. of Intern. Seminar Quarks-96. M., 1997. V. 2. P. 51. 4. Bognar J. Indeˇnite Inner Product Spaces. Berlin; Heidelberg; N. Y.: Springer-Verlag, 1974. 5. μ. Ÿ., ˆμÌ μ ˆ.. μ Ò É μ ² ÒÌ μ Éμ μ μ É É Ì Ë - É μ ³ É ±μ. Œ.: ʱ, 1986. 6. Krein M. G. // Am. Math. Soc. Transl. 197. V. 93. P. 13. 7. Morchio G., Strocchi F. // Ann. Inst. H. Poincare A. 198. V. 33. P. 251. 8. Kugo T., Ojima I. // Suppl. Prog. Theor. Phys. 1979. V. 66. P. 1. 9. μ μ²õ μ.. //. 1958.. 34.. 58. 1. μ μ²õ μ.. É É É Î ± Ö Ë ± ± Éμ Ö É μ Ö μ²ö. Œ.: ʱ, 1973. 11. Ê μ.., Ì ².., Ê Éμ.. // μ±².. 1961.. 139.. 345. 12. Mnatsakanova M. et al. // Lett. Math. Phys. 23. V. 65. P. 159. μ²êî μ 4 ÉÖ Ö 212.