0 0 30 π/6 45 π/4 60 π/3 90 π/2

Βασικός Πίνακας Μοίρες (Degrees) Ακτίνια (Radians) ΓΩΝΙΕΣ 0 0 30 π/6 45 π/4 60 π/3 90 π/2 Έστω ότι θέλω να μετατρέψω μοίρες σε ακτίνια : Έχω μία γωνία σε φ μοίρες. Για να την κάνω σε ακτίνια, πολλαπλασιάζω τον αριθμό των μοιρών φ με το π/180. Για παράδειγμα, αν φ = 30, τότε 30 * π/180 (και με απλοποίηση), άρα π/6. Αν φ = 11, η γενικά ένας δύσκολος για μοίρες αριθμός, τότε λέμε ότι η φ σε ακτίνια είναι 11 * π/180 = 11π/180, χωρίς απλοποίηση. Έχω μία γωνία θ σε ακτίνια. Για να την κάνω σε μοίρες, πολλαπλασιάζω των αριθμό των ακτινίων θ με το 180/π. Για παράδειγμα, αν θ = π/4, τότε π/4 * 180/π = 180π/4π = 10/4 = 45, 45. Αν δεν βγαίνει ακριβώς, καλύτερα να το αφήσουμε. Ανεπτυγμένος Πίνακας (Με βήμα 15.) Μοίρες (Degrees) Ακτίνια (Radians) 0 0 15 π/12 30 π/6 45 π/4 60 π/3 75 5π/12 90 π/2 105 7π/12 120 2π/3 135 3π/4 150 5π/6 165 11π/12 180 π 195 13π/12 210 7π/6 225 5π/4 240 4π/3 255 17π/12 270 3π/2 285 19π/12 300 5π/3 315 7π/4 330 11π/6 345 23π/12 360 // 0 2π // 0

Οι 5 Βασικές Γωνίες. Όλες οι βασικές γωνίες.

ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Ημίτονο (ημ) Βασικά άμα ξέρεις το ημίτονο, μπορείς να υπολογίσεις όλους τις υπόλοιπες πέντε τριγωνομετρικές συναρτήσεις, δηλαδή, το συνημίτονο, την εφαπτομένη, την συνεφαπτομένη, την τέμνουσα και την συντέμνουσα. Για το ημίτονο πρέπει να ξέρεις τα εξής : Μοίρες Ακτίνια ημ μνημονικά το ημ 0 0 0 0/2 30 π/6 1/2 1/2 45 π/4 2/2 2/2 60 π/3 3/2 3/2 90 π/2 1 4/2 Στον ανεπτυγμένο πίνακα, για όλες τις γωνίες που δεν είναι πράσινες, μπορούμε να υπολογίσουμε το ημίτονό τους με βάση τους παραπάνω αριθμούς. Έστω η γωνία των 120, που φαίνεται στην παρακάτω εικόνα. Θέλω να δω έναν τριγωνομετρικό αριθμό της, έστω το ημίτονο. Λέω "η γωνία των 120 είναι συμμετρική ως προς τον άξονα yy' (άξονας τον ημιτόνων) με την γωνία των 60. Άρα θα έχει το ίδιο ημίτονο με αυτήν κατ' απόλυτη τιμή. Το τι πρόσημο θα έχει, θα το δούμε εδώ : Πρόσημο του ημιτόνου. (Το ημίτονο είναι η δεύτερη τιμή σε κάθε παρένθεση.) Ο άξονας yy' είναι ο άξονας των ημιτόνων σωστά? Που έχει θετικές τιμές? Που έχει αρνητικές τιμές? Στο τμήμα που είναι κίτρινο είναι θετικό το ημίτονο και στο γαλάζιο είναι αρνητικό. Αφού η γωνία των 120 είναι στο κίτρινο τμήμα, θα έχει θετικό ημίτονο. Και αφού είπαμε πως το ημίτονο της γωνία των 120 είναι ίσο κατ' απόλυτη τιμή με εκείνο της γωνίας των 60, τότε θα είναι ίσο με 3/2.

Ομοίως, η γωνία των 300 είναι συμμετρική ως προς τον άξονα xx' (άξονας των συνημιτόνων) με την γωνία των 60. Άρα έχει το ίδιο ημίτονο με εκείνη κατ' απόλυτη τιμή. Αλλά επειδή βρίσκεται στο γαλάζιο τμήμα του τριγωνομετρικού κύκλου, εκεί που τα ημίτονα είναι αρνητικά δηλαδή, το ημίτονό της θα είναι - 3/2. Στην ειδική περίπτωση που η γωνία βρίσκεται στο τρίτο τεταρτημόριο, όπως η γωνία των 210, τότε για να βρούμε το ημίτονό της, θα κοιτάξουμε με ποια γωνία είναι συμμετρική ως προς το κέντρο των αξόνων. Με άλλα λόγια αν την προεκτείνω με ένα χαράκι, με ποια γωνία θα ταυτιστεί. Εύκολα βλέπουμε ότι η γωνία με την οποία ταυτίζεται είναι εκείνη των 30. Άρα έχει το ίδιο ημίτονο μαζί της κατ' απόλυτη τιμή. Αλλά επειδή είναι στο γαλάζιο τμήμα, θα έχει αρνητικό ημίτονο. Άρα το ημίτονό της είναι -1/2. Γενικά, το σκεπτικό είναι να πάρουμε μία γωνία από το δεύτερο, τρίτο ή τέταρτο τεταρτημόριο και να την ανάγουμε στο πρώτο τεταρτημόριο. Δηλαδή αν η γωνία μας είναι στο πράσινο κομμάτι του κύκλου, τότε προσπαθούμε να την ανάγουμε στο λευκό.

Συνημίτονο (συν) Γενικά έχουμε την ταυτότητα ημ 2 x + συν 2 x = 1. Από αυτήν μπορούμε έχοντας το ημίτονο, να βρούμε το συνημίτονο. Αλλά υπάρχει και πιο απλός τρόπος. Παίρνουμε τις πέντε βασικές γωνίες με τις τιμές για το ημίτονο και γυρνάμε ανάποδα τις τιμές για ημίτονο. Μοίρες Ακτίνια ημ συν 0 0 0 1 30 π/6 1/2 3/2 45 π/4 2/2 2/2 60 π/3 3/2 1/2 90 π/2 1 0 ή με τους μνημονικούς κανόνες : Μοίρες Ακτίνια μνημονικά το ημ μνημονικά το συν 0 0 0/2 4/2 30 π/6 1/2 3/2 45 π/4 2/2 2/2 60 π/3 3/2 1/2 90 π/2 4/2 0/2 Αν δούμε κάποια γωνία που δεν είναι στο πρώτο τεταρτημόριο ακολουθούμε την διαδικασία με τις συμμετρίες, όπως στο ημίτονο, για να βρούμε την απόλυτη τιμή του συνημιτόνου. Μόνο που για να υπολογίσουμε τα πρόσημα προσέχουμε τον άξονα xx' (άξονας των συνημιτόνων) αυτήν την φορά. Πρόσημο του συνημιτόνου. (Το συνημίτονο είναι η πρώτη τιμή σε κάθε παρένθεση.) Εδώ έχει χρωματιστεί κίτρινο το τμήμα με τα θετικά συνημίτονα και γαλάζιο το τμήμα με τα αρνητικά συνημίτονα.

Εφαπτομένη (εφ) Ξέρουμε ότι εφx = ημx / συνx. Αφού λοιπόν ξέρουμε το ημίτονο και το συνημίτονο μέχρι τώρα, μπορούμε να κάνουμε τις πράξεις και να βρούμε την εφαπτομένη κάθε γωνίας. Δεν χρειαζόμαστε τον κύκλο για τα πρόσημα, καθώς θα τα έχουμε πάρει ήδη από το ημίτονο και το συνημίτονο κάθε γωνίας. Προσοχή μόνο, διότι όταν το συνημίτονο είναι ίσο με 0, δηλαδή η γωνία μας είναι 90 ή 270 μοιρών, η εφαπτομένη δεν υπάρχει. Μοίρες Ακτίνια μνημονικά ημ μνημονικά συν εφ 0 0 0/2 4/2 0 30 π/6 1/2 3/2 3/3 45 π/4 2/2 2/2 1 60 π/3 3/2 1/2 3 90 π/2 4/2 0/2 - Σημείωση : εφ90 = + και εφ270 = -, αλλά αυτά είναι όρια, όχι πραγματικοί αριθμοί. Για να θυμόμαστε ότι εφx = ημx / συνx και όχι το ανάποδο (δηλαδή το συνx στον αριθμητή και το ημx στον παρονομαστή) θα λέμε ότι το ημίτονο είναι συμμαχικό με την εφαπτομένη και γι' αυτό θα μπει από πάνω. Αντίθετα το συνημίτονο είναι συμμαχικό με την συνεφαπτομένη και γι' αυτό θα πάει από πάνω στον τύπο της συνεφαπτομένης. Φαίνονται οι συμμαχίες από τα προθέματα "συν" που έχουν ή δεν έχουν στα ονόματά τους οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις. Συνεφαπτομένη (σφ) Ξέρουμε ότι σφx = συνx/ημx = 1/εφx. Οπότε μπορούμε είτε εκ νέου να κάνουμε τους υπολογισμούς, είτε να πάρουμε το πινακάκι της εφαπτομένης και να το αντιστρέψουμε. Το μόνο που πρέπει να θυμόμαστε είναι ότι οι γωνίες των 0 και των 180 δεν έχουν συνεφαπτομένη. Τα πρόσημα προκύπτουν είτε από τα πρόσημα των ημιτόνων και των συνημιτόνων, είτε από τον πίνακα, μέσω των προσήμων των ημιτόνων και των συνημιτόνων σε κάθε τεταρτημόριο, όπως ακριβώς και στην εφαπτομένη. Μοίρες Ακτίνια εφ σφ 0 0 0-30 π/6 3/3 3 45 π/4 1 1 60 π/3 3 3/3 90 π/2-0 Τέμνουσα και Συντέμνουσα (τεμ & στεμ) Ξέρουμε ότι τεμ = 1/συν και στεμ = 1/ημ. Εδώ πάει ανάποδα, η τέμνουσα είναι με το συνημίτονο και η συντέμνουσα με το ημίτονο. Δεν χρειάζεται να ασχοληθούμε με αυτές τις δύο τριγωνομετρικές συναρτήσεις.

Αναλύοντας τους τριγωνομετρικούς αριθμούς. Ξέρουμε τα ημίτονα και τα συνημίτονα και τους υπόλοιπους τριγωνομετρικούς αριθμούς για τις πιο βασικές γωνίες. Μπορούμε να υπολογίσουμε με το χέρι όλους αυτούς τους αριθμούς. Το θέμα είναι πως οι υπολογισμοί είναι πολλοί και λίγο περίπλοκοι. Γι' αυτό τους εκτελούν μόνο οι ηλεκτρονικοί υπολογιστές. Μία από τις πιο απλές μεθόδους είναι η σειρά του Taylor, για τον υπολογισμό του ημιτόνου. Εφαρμόζεται με τον εξής τρόπο. Παίρνουμε την γωνία και αν δεν είναι ήδη μετρημένη σε ακτίνια, την μετατρέπουμε σε ακτίνια, πολλαπλασιάζοντας τον αριθμό των μοιρών με το π/180. Μετά παίρνουμε μερικούς από τους πρώτους όρους της σειράς Taylor. Όσο πιο πολλούς πάρουμε, τόσο πιο ακριβές αποτέλεσμα θα έχουμε. Αν πάρουμε τους τέσσερις πρώτους όρους, επιτυγχάνουμε ακρίβεια στον υπολογισμό του ημιτόνου επτά δεκαδικών ψηφίων, που είναι αρκετά ικανοποιητική. Ο τύπος με τέσσερις όρους είναι ο εξής : ημx = x - x 3 /3 + x 5 /5 - x 7 /7, όπου το x η γωνία μετρημένη σε ακτίνια. Για παράδειγμα αν x = 23 τότε ο τύπος δίνει 0,390731102008345 (προσοχή, οι 23 πρέπει να γίνουν ακτίνια πριν τον υπολογισμό) ενώ με ακρίβεια δεκαπέντε δεκαδικών ψηφίων το ημίτονο είναι 0,390731128489274. Δηλαδή έχουμε ακρίβεια επτά δεκαδικών ψηφίων. Για περισσότερα σωστά ψηφία, θα υπολογίζαμε : ημx = x - x 3 /3 + x 5 /5 - x 7 /7 + x 9 /9 - x 11 /11 +... κ.ο.κ. Το κακό με αυτόν τον τύπο είναι ότι δίνει σωστές τιμές για γωνίες από -π έως και π. Αν δώσουμε για παράδειγμα 3π/2 (αντί για το ισοδύναμο -π/2), τότε θα πάρουμε λάθος τιμή. Γνωρίζουμε ότι αν φ είναι μία γωνία σε ακτίνια, τότε φ = φ + 2kπ για κάθε k που ανήκει στο Z. Ισοδυνάμως αν θ είναι μία γωνία σε μοίρες, τότε θ = θ + 360*k για κάθε k που ανήκει στο Z. Οπότε με βάση τα δύο παραπάνω αν έχω μία γωνία 3π/2 πρέπει να πω ότι αφαιρώ από αυτήν 2π (δηλαδή k = 1) και συνεπώς μου μένει -π/2, ώστε να έχω μία ισοδύναμη γωνία εντός του επιτρεπτού εύρους τιμών που δέχεται η σειρά Taylor. Για να υπολογίσουμε το συνημίτονο, χρησιμοποιούμε την σχέση συνx = 1-ημ 2 x. Για την εφαπτομένη χρησιμοποιούμε την σχέση εφx = ημx / συνx. Για την συνεφαπτομένη, την σχέση σφx = συνx / ημx. Για την τέμνουσα την σχέση τεμx = 1/συνx και για την συντέμνουσα την σχέση στεμx = 1/ημx. Γιατί μας χρειάζονται οι τριγωνομετρικοί αριθμοί? Είναι αποκλειστικά για την γεωμετρία. Αν θέλω να υπολογίσω την πλευρά ενός ορθογωνίου ή μη τριγώνου, και δεν μπορώ να το κάνω με μία μεζούρα, τότε μετρώ την μία γωνία του τριγώνου και τις δύο πλευρές που μπορώ να μετρήσω και έτσι υπολογίζω την τρίτη πλευρά. Με αυτόν τον τρόπο, ακόμη και σήμερα μετρώνται οι αποστάσεις (μήκος, πλάτος και ύψος) και οι εκτάσεις και σχεδιάζονται οι χάρτες. Αυτό συμβαίνει από την αρχαία Αίγυπτο μέχρι και σήμερα στον υπολογισμό των αποστάσεων και αυτός ήταν ο λόγος που αυτός ο κλάδος των μαθηματικών ονομάστηκε "γεωμετρία", δηλαδή "μετρώ την γη". Σήμερα βέβαια, έχει προστεθεί και η αυτόματη σχεδίαση μέσω δορυφόρου, αλλά ακόμη και αυτή δεν είναι ακριβής ορισμένες φορές για διάφορους λόγους. Σε γενικές γραμμές οι τριγωνομετρικοί αριθμοί που χρησιμοποιούνται είναι το ημίτονο, το συνημίτονο και η εφαπτομένη. Οι άλλοι τρεις είναι περισσότερο θεωρητικοί, καθώς δεν είναι τίποτα άλλο, από τους τρεις πρώτους σε αντιστροφή, καθώς σφ = 1/εφ, τεμ = 1/συν και στεμ = 1 / ημ.

Η μοίρα και οι υποδιαιρέσεις της Η μοίρα ορίστηκε στην αρχαία Βαβυλώνα. Πίστευαν ότι ένα έτος έχει 360 μέρες και γι' αυτό υποδιαίρεσαν τον κύκλο σε 360 ίσες ποσότητες, τις 360 μοίρες. Σήμερα υπάρχουν υποδιαιρέσεις των μοιρών, ωστόσο αυτές δεν γίνονται με βάση το δεκαδικό σύστημα. Γίνονται με βάση το βαβυλωνιακό σύστημα, του οποίου η βάση ήταν το 60 και όχι το 10. Κάθε μοίρα λοιπών υποδιαιρείται σε 60 λεπτά (της μοίρας) και κάθε λεπτό σε 60 δευτερόλεπτα. Ο συμβολισμός μίας τέτοιας γωνίας είναι ο εξής : 32 12' 48", δηλαδή έχουμε 42 μοίρες, 12 πρώτα λεπτά και 48 δεύτερα λεπτά. Όταν μετράμε σε ακτίνια, δεν μας χρειάζεται τέτοιο πράγμα. Οι αντίστροφοι τριγωνομετρικοί αριθμοί Με μπλε γράμματα σημειώθηκε παραπάνω το εξής : "Προσοχή μόνο, διότι όταν το συνημίτονο είναι ίσο με 0, δηλαδή η γωνία μας είναι 90 ή 270 μοιρών, η εφαπτομένη δεν υπάρχει." Είχαμε τον τύπο της εφαπτομένης : εφθ = ημθ / συνθ, με θ μία γωνία σε μοίρες ή ακτίνια, δεν έχει σημασία. Και είπαμε ότι το συνθ δεν πρέπει να είναι 0. Όμως αυτό που δεν είπαμε είναι πότε το συνθ είναι ίσο με 0, με άλλα λόγια, δεν είπαμε πόσο δεν πρέπει να είναι το θ. Δηλαδή ενώ όταν λέγαμε ημ30 = x? και βλέπαμε στο πινακάκι ότι ημ30 = 1/2 o άγνωστος ήταν το ημίτονο, τώρα έχουμε το ημίτονο και αναζητούμε την γωνία που αντιστοιχεί σε αυτό. Δηλαδή ημθ = 1/2 και δεν ξέρουμε το θ. Ομοίως κι εδώ έχουμε ένα πινακάκι το οποίο μας δίνει τιμές γωνιών για βασικές τιμές των τριγωνομετρικών αριθμών. Και για όλες τις γωνίες έχουμε και πάλι περίπλοκους μαθηματικούς τύπους, όπως είδαμε και παραπάνω. Ο συμβολισμός του "τόξου ημιτόνου", όπως λέγεται δηλαδή αυτή η αντίστροφη τριγωνομετρική συνάρτηση, είναι ο εξής : τοξημ1/2 = 30 ή τοξημ1/2 = π/6 αν μετράμε σε ακτίνια και όχι σε μοίρες. Επίσης ημθ = 1/2 <=> τοξημ1/2 = θ, ως επίλυση του παραπάνω ερωτήματος. Αντίστοιχα έχουμε τοξσυν, τοξεφ, τοξσφ, τοξτεμ, τοξστεμ. Οι υπερβολική τριγωνομετρία Ένας εναλλακτικός κλάδος της τριγωνομετρίας είναι αυτός ο οποίος ασχολείται με κυκλικές τομές. Εκεί είναι χρήσιμη μία έννοια που λέγεται υπερβολικός τριγωνομετρικός αριθμός και έχει ως εξής : υπερβολικό ημίτονο, υπερβολικό συνημίτονο, υπερβολική εφαπτομένη και ούτω καθ' εξής. Ομοίως έχει αντίστροφες συναρτήσεις, όπως το τόξο υπερβολικού συνημιτόνου. Η υπερβολική τριγωνομετρία, δεν έχει σχέση με την απλή τριγωνομετρία, απλά δανείζεται από αυτήν κάποιες έννοιες. Δεν πρέπει να συγχέουμε τις δύο αυτές τριγωνομετρίες. Σημείωση : η υπερβολική τριγωνομετρία δεν μετράει τρίγωνα.