υναµικη µη-τοπικων σολιτονιων

υναµικη µη-τοπικων σολιτονιων Μεταπτυχιακη Εργασια Παναγιώτης Α. Τσιλίφης Εθνικο Μετσοβιο Πολυτεχνειο Σχολη Εφαρµοσµενων Μαθηµατικων και Φυσικων Επιστηµων

2

Επιβλέπων Καθηγητής Βασίλης Ρόθος Επίκουρος Καθηγητής Τοµέας Μαθηµατικών Πολυτεχνική Σχολή - Γενικό τµήµα Αριστοτέλειο Πανεπιστήµιο Θεσσαλονίκης Μέλη τριµελούς επιτροπής Νικόλαος Σταυρακάκης Καθηγητής Τοµέας Μαθηµατικών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Κωνσταντίνος Χρυσαφίνος Επίκουρος Καθηγητής Τοµέας Μαθηµατικών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο i

Περίληψη Το ϕαινόµενο των Συµπυκνωµάτων Bose - Einstein ανεφέρεται σε ένα σύστηµα σωµατιδίων του οποίου η συµπεριφορά περιγράφεραι απο τη Στατιστική Bose. Πιο συγκεκριµένα, κάτω από µια κρίσιµη ϑερµοκρασία T c, ένας µακροσκοπικός αριθµός σωµατιδίων (σε αναλογία µε τον συνολικό τους αριθµό) καταλαµβάνει την ίδια κβαντική κατάσταση. Αυτή η ιδιότητα αποτελεί αιτία για άλλα σηµαντικά ϕυσικά ϕαινόµενα όπως η υπερρευστότητα του υγρού Ηλίου ( 4 He) και η υπεραγωγιµότητα στα µέταλλα. Για την κατανόηση της πολύπλοκης δυναµικής τους, το σχετικό µοντέλο περιγραφής που χρησιµοποιείται πιο διαδεδοµένα και αποτελεσµατικά, περιλαµβάνοντας µια ϑεωρία µέσου πεδίου, είναι µια µη γραµµική εξίσωση εξέλιξης, η εξίσωση Gross - Pitaevskii, ϑεωρούµενη και σαν µια παραλλαγή της γνωστής µη γραµµικής εξίσωσης Schr ĺodinger, η οποία είναι ένα µοντέλο που περιγράφει τη διάδοση της µιγαδικής περιβάλλουσας ενός κύµατος σε µη γραµµικά µέσα που εµφανίζουν διασπορά. Η διασπορά τώρα οδηγεί στην εµφάνιση κυµατοπακέτων τα οποία διαδίδονται χωρίς απώλειες και µπορούν να αντιµετωπιστούν σαν σολιτόνια παρόλο που το σχετικό µοντέλο σύχνα δεν παρουσιάζει ολοκληρωσιµότητα και οι µεταξύ τους αντιδράσεις είναι συχνά ανελαστικές. Μια ευρεία και πλούσια ϕαινοµενολογία σχετικά µε αυτό το µοντέλο έχει ήδη µελετηθεί σε ϑεωρητικό πλαίσιο, λαµ- ϐάνοντας υπ οψην την παρουσία διαφόρων ειδών δυναµικών, τα οποία προκύπτουν πειραµατικά κατα την δηµιουργία ενός συµπυκνώµατος - µε αυτό που αποτελείται από δύο κλάδους (double-well potential - DWP) να παίζει πρωτεύοντα ϱόλο - καθώς επίσης οι δυαδικού και τοπικού τύπου αλληλεπιδράσεις να είναι οι πιο συχνά εµφανιζόµενες. Παρ ολα αυτά το ενδιαφέρον µας στρέφεται σε συγκεκριµένους σχηµατισµούς συµπυκνωµάτων υπό την παρουσία του DWP τα οποία µας αναγκάζουν να ϑεωρήσουµε ότι προκαλούν αλληλεπιδράσεις µεγάλου εύρους (µη τοπικές) ανάµεσα σε σολιτόνια. Για αυτό αναπτύσσουµε µια αναλυτική µέθοδο η οποία αποτελείται από µια προσέγγιση µε µικρό αριθµό όρων και συγκρίνουµε τα αποτελέσµατα µε αυτά που παίρνουµε από την αριθµητική επίλυση της εξίσωσης. Επιπλεόν, εστιάζουµε στην δυναµική συµπεριφορά του συστήµατος, σε ϕαινόµενα απώλειας και αποκατάστασης της συµµετρίας καθώς επίσης και στην ευστά- ϑεια του. Το τελευταίο αντιµετωπίζεται µε χρήση της γνωστής ϑεωρίας ευστάθειας για αναλλοίωτα Χαµιλτονιανά συστήµατα u = H(u), ορισµένα σε απειροδιάστατους χώρους Banach, όπου η αναλλοιωσιµότητα ϑεωρείται ως προς τη δράση µιας οµάδας ισοµετρειών Γ = {T(θ) : θ R}, η οποία κορυφώνεται µε το γνωστό κριτήριο Vakhitov - Kolokolov. Καθώς η ϑεωρία αυτή αναπτύχθηκε µε σηµείο αναφοράς τα τοπικά µοντέλα, σε περιπτώσεις που είναι µη εφαρµόσιµη στο πρόβληµα µας, επιστρέφουµε στην κλασική µελέτη του γραµµικοποιηµένου προβλήµατος ιδιοτιµών. ii

Abstract The phenomenon of Bose-Einstein condensates refers to a system of particles obeying the Bose statistics. In particular, under a critical temperature T c, a macroscopical number of particles (in analogy with their total number) share the same quantum state. Such a situation gives rise to fundamental physical phenomena as superfluidity in liquid helium and superconductivity in metals. To understand its complex dynamics, the relevant model that can be most effectively treated by involving a mean-field approach, is that of a nonlinear evolution equation, the so-called Gross-Pitaevskii equation that is basically a variant of the famous nonlinear Schr ĺodinger equation which is a model that describes complex field envelopes in nonlinear dispersive media. Dispersity now leads to the appearance of wave packets that move without distortion and can be treated as solitons although there is often a lack of integrability and their interactions are usually inelastic. A wide and rich phenomenology regarding this model has already been theoreticaly studied which involves various kinds of potentials that emerge experimentally in the creation of a BEC - with the one consisting of a double-well (DWP) being of crucial role - as well as binary and local interactions are most likely to appear. However, we are motivated by specific BEC formations under the context of DWPs that lead us to consider the interplay of long-range interactions among solitons. For this, we develop an analytical method that consists of a few-mode approximation of the solutions and we compare the results with numericaly obtained ones. Moreover, we focus on the dynamics of the system, possible spontaneous symmerty breaking and symmetry restoring effects as well as the stability of the solutions. The latter is treated with the well-known theory about stability in invariant Hamiltonian systems u = H(u), defined on infinite dimensional Banach spaces, where the invariance is considered with respect to the action of a group of isometries Γ = {T(θ) : θ R}, that is highlighted with the famous Vakhitov-Kolokolov (VK) criterion, a theory that is developed basically for local models, so in cases where it is not applicable to our problem, we turn back to the classical study of the linearized eigenvalue problem. iii

Ευχαριστίες Για την ολοκλήρωση αυτής της εργασίας ϑα ήθελα να ευχαριστήσω εγκάρδια τον καθηγητή µου και επιβλέπων της εργασίας Βασίλη Ρόθο από το Αριστοτέλειο Πανεπιστήµειο της Θεσσαλονίκης για όλη την υποστήριξη που µου παρείχε απο τη περίοδο που τον γνώρισα (κατα τη διάρκεια των προπτυχιακών σπουδών µου) µέχρι σήµερα. Η ϐοήθεια και η ενθάρρυνση που µου παρείχε αυτό τον καιρό έχει αποδειχθεί παραπάνω από πολύτιµη, καθώς επίσης η ποικιλία των ερευνητικών του ενδιαφερόντων διεύρυνε τους ορίζοντές µου σε πόλλα πεδία όπως στα δυναµικά συστήµατα, Μ Ες και στη Μαθηµατική Φυσική. Παρόλο που πολλές ϕορές η συνεργασία και επικοινωνία µας αντιµετώπισε πολλές δυσκολίες λόγω της απόστασης, καταφέραµε να έχουµε µια κανονική πρόοδο στη έρευνά µας. Εκτιµώ επίσης ϐαθιά το γεγονός ότι υπολόγισε σηµαντικά στις ικανότητες µου σε µια περίοδο αρκετά αποπροσανατολισµένη για µένα και µου έδωσε ενδιαφέροντα ϑέµατα προς µελέτη. Είµαι επίσης περισσότερο από ευγνώµων στον Καθηγητή Παναγιώτη Κεβρεκίδη απο το Πανεπιστήµιο της Μασσαχουσέτης, στο Άµερστ που δούλεψε µαζί µου σε ένα ερευνητικό άρθρο. Τα Συµπυκνώµατα Bose - Einstein και η µη γραµµική εξίσωση Schr ĺodinger αποτέλεσαν για µένα ένα απέραντο πεδίο έρευνας και ο Πάνος είναι αναµφίβολα κάτι περισσότερο από ειδικός στο πεδίο αυτό. Πολλά ευχαριστώ ακόµα στην υποψήφια διδάκτορά του Chenyu Wang για την πολύτιµη ϐοήθειά της και τις απαντήσεις της σε όλα τα ενοχλητικά µου µυνήµατα καθώς επίσης και για τους κώδικες. Κατά το ξεκίνηµα της εκπόνησης της παρούσας εργασίας είχα την τύχη να συναντήσω τον καθηγητή ηµήτρη Φραντζεσκάκη από το τµήµα Φυσικής του Καποδιστριακού Πανεπιστηµίου Αθηνών, καθώς και τον µαθητή του Βάσσο Αχίλλεο οι οποίοι µε ϐοήθησαν να ορίσω το πρόβληµά µου και τους ευχαριστώ για αυτό. Από το τοµέα Μαθηµατικών του ΕΜΠ ϑα ήθελα να ευχαριστήσω τον Οµότιµο καθηγητή Αλέξη Μπακόπουλο που µου έδωσε ελπίδα, συµβουλές, ϕιλοξενεία καθώς µοιράστηκε µαζί µου αρκετά απογεύµατα συζητώντας ανοιχτά για πολλά ϑέµατα. Ευχαριστώ επίσης τον Νικόλαο Σταυρακάκη και τον Νίκο Γιαννακάκη που δέχτηκαν να είναι στην τριµελή αυτής της εργασίας καθώς και για την υποστήριξη στην προπτυχιακή µου εργασία αλλά και στα µεταπτυχιακά µαθήµατα που πρόσφεραν. Ευχαριστώ τέλος τον καθηγητή Ιωάννη Τσινιά για την υποστήριξή του στις αιτήσεις µου για τις διδακτορικές µου σπουδές. Για την οικονοµική του υποστήριξη, ϑα ήθελα να ευχαριστήσω το Ιδρυµα Κρατικών Υποτροφιών που χρη- µατοδότησε µερικώς την έρευνα που εκπονήθηκε σε αυτή την εργασία. iv

Περιεχόµενα 1 Θεωρία των Συµπυκνωµάτων Bose - Einstein 3 1.1 Εισαγωγή............................................... 3 1.1.1 Ορισµός............................................ 4 1.2 Οταν δηµιουργείται ένα συµπύκνωµα................................ 6 1.2.1 Ιδανικό αέριο µε αρµονικό δυναµικό............................. 6 1.2.2 Αλληλεπιδρών αέριο και η εξίσωση Gross-Pitaevskii.................... 7 2 Θεωρία ευστάθειας 9 2.1 Ενα κριτήριο ευστάθειας....................................... 9 2.2 Ευστάθεια µοναχικών κυµάτων................................... 12 2.2.1 Το Χαµιλτονιανό σύστηµα................................... 12 2.2.2 Αναλλοιωσιµότητα της Χαµιλτονιανής............................ 13 2.2.3 Σ................................................ 14 2.2.4 Τροχιές και τροχιακή ευστάθεια............................... 14 2.2.5 Το κριτήριο V-K........................................ 17 2.2.6 Παραδείγµατα......................................... 19 2.2.7 Οδεύοντα κύµατα της µη-γραµµικής κυµατικής εξίσωσης (Grillakis et al. [7])........ 19 2.2.8 Μη-γραµµική Schr ĺodinger παρουσία δυναµικού (Grillakis et al. [7])............. 22 2.3 Εναλλακτική µορφή......................................... 23 3 Αλληλεπιδράσεις σολιτονίων µεγάλου εύρους 25 3.1 Το απλό µη-τοπικό µοντέλο..................................... 25 3.2 Το µη-τοπικό µοντέλο µε µη-τοπική διαταραχή........................... 26 3.3 Στάσιµες λύσεις της µη-γραµµικής εξίσωσης Schrodinger.................... 27 3.3.1 Λύσεις του προβλήµατος ιδιοτιµών Lψ = λψ........................ 27 3.3.2 Αριθµητικές λύσεις...................................... 28 3.4 Προσέγγιση µε δύο όρους...................................... 29 3.4.1 Αναλυτική µέθοδος...................................... 29 3.4.2 The bifurcation analysis................................... 34 3.4.3 Αριθµητική µέθοδος..................................... 36 A 45 A.1 Fréchet παράγωγος.......................................... 45 Α.2 Ανισότητα Garding.......................................... 45 Α.3 είκτης Morse............................................ 46 1

2

Κεφάλαιο 1 Θεωρία των Συµπυκνωµάτων Bose - Einstein 1.1 Εισαγωγή Σε αυτό το κεφάλαιο γίνεται µια απόπειρα να δοθούν οι εισαγωγικές και απαραίτητες έννοιες που πρέπει κανείς να γνωρίζει για να κατανοήσει την ϕυσική των συµπυκνωµάτων Bose - Einstein (BECs). Το ϐασικό τους χαρακτηριστικό είναι η εµφάνιση κβαντικών ϕαινοµένων σε µακροσκοπική κλίµακα και πιο συγκεκριµένα η µετάβαση της ύλης µεταξύ των δύο γνωστών καταστάσεων, του σωµατιδίου και του κύµατος. Για να γίνει αυτό κατανοητό, πρέπει να εισάγουµε τα κατάλληλους συµβολισµούς για τελεστές που χρησιµοποιούνται για την περιγραφή της δυναµικής των σωµατιδίων. Οπως σε πολλά άλλα πεδία της ϕυσικής, τα Συµπυκνώµατα Bose - Einstein σαν καινούργιο ϕαινόµενο επινοήθηκαν για πρώτη ϕορά σε ϑεωρητικό πλαίσιο και στη συνέχεια το πείραµα και η παρατήρηση ήρθαν για να ϑεµελιώσουν την ισχύ της ϑεωρίας. Συγκεκριµένα, το 1924, ο Ινδός ϕυσικός Satyendra Nath Bose ήταν ο πρώτος που προέβλεψε, εφαρµόζοντας στατιστικές µεθόδους στην Κβαντοµηχανική ϑεωρία, ότι σωµατίδια χωρίς µάζα ύστερα από ψύξη σε πολύ χαµηλές ϑερµοκρασίες (κοντά στους 0 Κ) οφείλουν να καταλαµβάνουν (συµπυκνώνονται) την χαµηλότερη κβαντική κατάσταση. Ο Albert Einstein απέδειξε αυτό το αποτέλεσµα το οποίο ϕυσιολογικά ονοµάστηκε Συµπύκνωµα Bose - Einstein και η οικογένεια σωµατιδίων µε ακέραιο σπιν που κυριαρχούνται από αυτή την αρχή και γενικότερα από την στατιστική Bose - Einstein, ονοµάστηκαν Μπο- Ϲόνια. Παράλληλα µε αυτά τα αποτελέσµατα, κατα τη διάρκεια 1935-38, ανακαλύψεις από τους P. Kapitsa, J. Allen και Don Misener πάνω στην υπερρευστότητα του 4 He και από τους αδελφούς London στην υπεραγωγι- µότητα παρουσίασαν µια καινούργια συµπεριφορά της ύλης σε χαµηλές ϑερµοκρασίες και τα BECs ϕάνηκαν να παίζουν πρωτεύοντα ϱόλο ση ερµηνεία αυτής της συµπεριφοράς. Παρόλα αυτά, χρειάστηκε να περάσουν 70 χρόνια, για να παρατηρηθεί το πρώτο συµπύκνωµα Bose-Einstein το 1995 στο εργαστήριο Boulder NIST-JILA, tou Colorado από τους Eric Cornell και Carl Weiman ψύχοντας άτοµα 84 Rb (Ρουβίδιο) κάτω από τους 170K. Τέσσερις µήνες αργότερα, ο Wolfgang Ketterle από το MIT, παρήγαγε ανεξάρτητα ένα δεύτερο συµπύκνωµα ψύχοντας άτοµα 23 Na. Οι δύο οµάδες χρησιµοποίησαν µεθόδους ψύξης µε Laser και µαγνητικών πεδίων (Laser cooling and Magnetic evaporative cooling) για να πετύχουν τόσο χαµηλές ϑερµοκρασίες. Μαζί και οι τρεις κέρδισαν το ϐραβείο Nobel ϕυσικής το 2001 για τα επιτεύγµατά τους. Καθώς ο ϐασικός στόχος είναι να δώσουµε µια µαθηµατική περιγραφή των συµπυκνωµάτων, η οποία ϑα 3

ϐοηθήσει τον αναγνώστη να έχει ένα στερεό υπόβαθρο το οποίο χρειάζεται για την κατανόηση της δυναµικής ανάλυσης και των εφαρµογών που ϑα ακολουθήσουν, στο εξής ϑα αναφερθώ σε οποιαδήποτε άλλη ϕυσική ιδιότητα του ϕαινοµένου, όχι σε ϐάθος, αλλά µονάχα όταν χρειάζεται. Ενθαρρύνω παρόλα αυτά τον αναγνώστη να δεί περεταίρω τα [1],[3] και τις αναφορές αυτών. Σχήµα 1.1: Σταδιακός σχηµατισµός συµπυκνώµατος Βοσε-Ειστειν (από τα αριστερά στα δεξιά). Αυτό είναι ένα διάγραµµα κατανοµής ταχύτητας µε τα χρώµατα να δείχνουν την µεταβολή της κατανοµής πυκνότητας στο συµπύκνωµα, δηλ. το µπλε υποδεικνύει τα λιγότερα άτοµα και το κόκκινο τα περισσότερα. 1.1.1 Ορισµός Για να δώσουµε τους ϐασικούς ορισµούς που απαιτούνται για την κατανόηση του συµπυκνώµατος Bose- Eistein, εισάγουµε πρώτα ένα γενικό ϕορµαλισµό της κατάστασης που επικρατεί σε κβαντική κλίµακα. Τα σωµατίδια είναι γνώστο πως έχουν είτε ακέραιο είτε κλασµατικό σπιν. Σύµφωνα µε το σπιν, διακρίνονται σε Φερµιόνια και Μποζόνια που αντιστοιχούν σε κλασµατικό σπιν και σε ακέραιο. Τα πιο γνωστά σωµατίδια που ανήκουν στην κατηγορία των ϕερµιονίων είναι τα ηλεκτρόνια, τα πρωτόνια, τα νετρόνια, τα κουάρκς και τα λεπτόνια καθώς και άλλα στοιχειώδη σωµατίδια, ενώ στα µποζόνια ανήκουν τα ϕωτόνια, τα ατόµα He-4, τα γκλουόνια και άλλα σωµατίδια όπως το µποζόνιο Higgs. Σε ότι ακολουθεί ϑα ασχοληθούµε µόνο µε µποζόνια καθώς αυτή η κατηγορία σωµατιδίων και το ακέραιο σπιν είναι υπεύθυνα για την δηµιουργία ενός συµπυκνώ- µατος. Θα χρησιµοποιήσουµε επίσης τον κλασσικό συµβολισµό για τα µέτρα πιθανοτήτων που εµφανίζονται σε 4

γραπτά Κβαντοµηχανικής που εισήγαγε ο Dirac. Η πρώτη ποσότητα που ϑα ορίσουµε για να εισαχθούµε στην έννοια του συµπυκνώµατος Μπ-Ε είναι ο τανυστής σώµατος σε ένα πληθυσµό N µποζονίων, ο οποίος είναι n (1) (r, r ) = ˆΨ (r) ˆΨ(r ), όπου ˆΨ (r) και ˆΨ(r) είναι οι τελεστές πεδίου που εµφανίζουν και εξαφανίζουν αντίστοιχα ένα σωµατίδιο στην ϑέση r. Για να καταλάβουµε καλύτερα αυτόν τον ορισµό, αρκεί να ϕανταστεί κανείς ότι συµβολίζουµε µε < x x 0 > το µέτρο πιθανότητας ώστε ένα σωµατίδιο αφήνει τη ϑέση x 0 και πηγαίνει στην x. Τελικά, όταν το σύστηµα ϐρίσκεται σε µια ιδανική κατάσταση που περιγράφεται από µια κυµατισυνάρτηση N-σωµάτων, Ψ(r 1,..., r N ), ο τανυστής σώµατος µπορει να γραφεί ως n (1) (r, r ) = N Ψ (r, r 2,..., r N )Ψ(r, r 2,..., r N )dr 2... dr N όπου r i είναι η ϑέση του i-σωµατιδίου. Είναι εύκολο να παρατηρήσει κανείς ότι n (1) (r, r ) = n (1) (r, r) και άρα ο n (1), σαν πίνακας είναι ερµιτιανός. Αυτό συνεπάγεται ότι υπάρχει ορθοκανονική ϐάση ιδιοσυναρτήσεων, φ i (r) συναρτήσει των οποίων, ο τανυστής πυκνότητας γράφεται n (1) (r, r ) = n i φ i (r)φ i (r ). i Σε αυτή τη σχέση, n i είναι οι ιδιοτιµές που αντιστοιχούν στα φ i (r) και ικανοποιούν την συνθήκη κανονικοποίησης N = i n i. Η σηµασία τους είναι ότι υποδηλώνουν τον αριθµό των σωµατιδίων που καταλαµβάνου κάθε ιδιοκατάσταση. Καθώς τώρα τα σωµατίδια κατανέµονται σε όλες τις καταστάσεις φ i (r), µπορούµε να δώσουµε τον ορισµό του συµπυκνώµατος Μπ-Α : Ορισµός:Θα λέµε ότι ένα Συµπύκνωµα Μποζε-Αινστάιν δηµιουργείται, όταν, τα περισσότερα από τα σωµατίδια καταλαµβάνουν την ίδια ενεργειακή κατάσταση, έστω την φ 0, δηλ. το n 0 γίνεται της τάξης του N, ενώ τα υπόλοιπα n i είναι της τάξης του 1. Τότε ξαναγράφουµε τον τανυστή πυκνότητας n (1) (r, r ) = N 0 φ0(r)φ 0 (r ) + n i φ i (r)φ i (r ) και η κατάσταση που αντιστοιχεί στο φ 0 καλείται συµπύκνωµα Μπόζε-Αινστάιν. Αν πάρουµε τώρα τον τελεστή πεδίου σε συναρτήσει της ορµής ˆΨ(p) = (2π ) 3/2 ˆΨ(r) exp[ ipr/ ]dr και γράψουµε τον τανυστή σώµατος µε r = r, n(r) = n (1) (r, r) = ˆΨ c (r) ˆΨ(r) ο οποίος είναι διαγώνιος µε N = n(r)dr και η κατανοµή ορµής τότε γράφεται ως i 0 n(p) = ˆΨ c (p) ˆΨ(p) και αλλάζοντας σε ˆΨ(p) παίρνουµε n(p) = 1 (2π ) 3 ( n (1) R + s 2, R s ) e ips/ drds 2 5

όπου s = r r και R = (r + r )/2. Το ενδιαφέρον εµφανίζεται όταν ϑεωρήσουµε ένα οµοιόµορφο σύστηµα N σωµατιδίων σε έναν όγκο V και υποθέσουµε ότι το κλάσµα N/V παραµένει σταθερό όταν το N, V. Οι ιδιοσυναρτήσεις είναι τότε επίπεδα κύµατα και η ελάχιστη ενεργειακή κατάσταση έχει µηδενική ορµή p = 0 καθώς επίσης σταθερή κυµατοσυνάρτηση φ 0 (r) = V 1/2. Σε αυτή την περίπτωση, το ένα συµπύκνωµα Μπ-Α δηµιουργείται, έχουµε ένα µακροσκοπικό αριθµό σωµατιδίων µε µηδενική ορµή και σταθερή πυκνότητα N 0 /V. Ο τανυστής πυκνότητας τότε εξαρτάται µόνο από το s = r r και µπορεί να γραφεί ως n (1) (s) = N 0 V + 1 V n p e ips/. Αν πάρουµε τώρα το όριο s +, το δεξιό µέλος µηδενίζεται και παίρνουµε ότι ο τανυστής πυκνότητας συγκλίνει σε µια σταθερή τιµή για µεγάλες αποστάσεις. Αυτή η συµπεριφορά καλείται off-diagonal long range order καθώς οφείλεται στα µη διαγώνια στοιχεία του τανυστή. Η αντίστοιχη έκφραση στο χώρο της ορµής είναι n(p) = N 0 δ(p) + n p δ(p p ). p 0 Το άθροισµα στα δεξιά είναι ο αριθµός των µη συµπυκνωµένων σωµατιδίων N N 0 και η ποσότητα N 0 /N καλείται κλάσµα του συµπυκνώµατος. Σε µη-οµοιόµορφο αέριο οι ιδιοσυναρτήσεις δεν είναι επίπεδα κύµατα αλλά για N αρκετά µεγάλο, η έννοια στου συµπυκνώµατος είναι καλά ορισµένη. Τα συµπυκνωµένα µποζόνια µπορούν να περιγραφούν τώρα από την συνάρτηση Ψ(r) = N 0 φ 0 (r). Αυτό είναι το ανάλογο του κλασσικού ορίου της κβαντικής ηλεκτροδυναµικής όπου το ηλεκτροµαγνητικό πεδίο αντικαθιστά την µικροσκοπική περιγραφή των ϕωτονίων. Η συνάρτηση ϑα εξαρτάται επίσης από το χρόνο και µπορεί να γραφεί ως p 0 Ψ(r, t) = Ψ(r, t) e is(r,t). Η ϕάση S είναι σηµαντική και χαρακτηρίζει τις ιδιότητες συνοχής και υπερρευστότητας του συστήµατος. Αυτή η έκφραση καλείται επίσης µακροσκοπική κυµατοσυνάρτηση ή κυµατοσυνάρτηση συµπυκνώµατος. Μπορεί να πολλαπλασιαστεί µε ένα παράγοντα της µορφής e iα χωρίς να προκαλέσει αλλαγές στις ϕυσικές ιδιότητες κάτι το οποίο αντανακλά την αναλλοίωτη συµµετρία των ϕυσικών εξισώσεων του προβλήµατος. Μια ειδική επιλογή της τιµής της παραµέτρου (δηλ. της ϕάσης) αντιστοιχεί σε ένα σπάσιµο της συµµετρίας. 1.2 Οταν δηµιουργείται ένα συµπύκνωµα 1.2.1 Ιδανικό αέριο µε αρµονικό δυναµικό Καθώς έχουµε δώσει τον µαθηµατικό ορισµό του συµπυκνώµατος Μπ-Α, µπορούµε να δούµε πότε ένα τέτοιο ϕαινόµενο πραγµατοποιείται. Είναι ενδιαφέρον πρώτα να ϑεωρήσουµε την περίπτωση ενός ιδανικού αερίου όπου τα σωµατίδια δεν αλληλεπιδρούν µεταξύ τους. Αυτή ουσιαστικά είναι η απλούστερη περίπτωση και είναι ένα καλό σηµείο εκκίνησης. Σε αυτή την περίπτωση κάθε σωµατίδιο ϑα έχει µια χαµιλτονιανή H (1) η οποία ϑα δίνεται από τον τελεστή H (1) i φ i (r) = ϸ i φ i (r) και η χαµιλτονιανή του συστήµατος ϑα είναι H = i H (1) i. Οι ιδιοτιµές του συστήµατος, ϸ i µας δίνουν την ενέργεια στις αντίστοιχες ιδιοσυναρτήσεις φ i. Μπορούµε να ορίσουµε έναν αριθµό n i να συµβολίζει τον αριθµό των σωµατιδίων σε κάθε ενεργειακή κατάσταση ϸ i και τον µέσο αριθµό n i ο οποίος ορίζεται ως η συνήθη µέση τιµή. Στην περίπτωση ενός κανονικού συνόλου έχουµε n i = {exp[ϐ(ϸ i µ)] 1} 1 6

µε ϐ = 1/(κ ϐ T) όπου T είναι η ϑερµοκρασία. Επίσης έχουµε την συνθήκη κανονικοποίησης i n i = N όπου N είναι ο µέσος αριθµός σωµατιδίων του αερίου. Το χηµικό δυναµικό αυξάνεται µονοτονικά καθώς το T µειώνεται. Αν τώρα ϸ 0 είναι η ελάχιστη ενεργειακή κατάσταση, το συµπύκνωµα Μπ-Α ϑα παρατηρηθεί όταν το n 0 γίνεται τάξεως N. Αυτό ϑα συµβεί για µια κρίσιµη ϑερµοκρασία T c και κάτω από αυτή ϑα έχουµε την συνθήκη κανονικοποίησης N = N 0 + N T όπου N T = i 0 n i ϑα είναι ο αριθµός των σωµατιδίων έξω από το συµπύκνωµα. Μια απλή περίπτωση ενός τέτοιου αερίου µπορεί να οριστεί σε ένα κύβο όγκου V = L 3 µε περιοδικές συνοριακές συνθήκες. Η χαµιλτονιανή κάθε σωµατιδίου σε αυτή την περίπτωση είναι H (1) = 2m 2. Οι ιδιοσυναρτήσεις αυτής της χαµιλτονιανής είναι επίπεδα κύµατα φ p (r) = V 1/2 exp[ ipr/ ] µε ενέργεια e p = p 2 /2m και ορµή p = 2π n/l. Το διάνυσµα n έχει τις ϑετικές ακέραιες συνιστώσες n x, n y και n z. Εδώ η ελάχιστη ιδιοτιµή έχει µηδενική ενέργεια (ϸ 0 = 0) και µηδενική ορµή. Ο µέσος αριθµός σωµατιδίων στην κατάσταση είναι n p = {exp[ϐ(p 2 /2m /mu)]} 1. Σε αυτή την περίπτωση µπορεί κανείς να υπολογίσει αναλυτικά την κρίσιµη ϑερµοκρασία για την οποία το συµπύκνωµα ϑα παρατηρηθεί καθώς και την απόσταση µεταξύ των µποζονίων. Αυτό που είναι επίσης ενδιαφέρον είναι η περίπτωση του ιδανικού αερίου όπου τα σωµατίδια ϐρίσκονται σε αρµονικό δυναµικό δηλαδή υπό την παρουσία ενός µαγνητικού ή οπτικού πεδίου. Ενα τέτοιο δυναµικό, όταν είναι ισοτροπικό µπορεί να έχει την µορφή V ext (r) = 1 2 mω2 ho r2 = 1 2 m(ω xx 2 + ω y y 2 + ω z z 2 ), όπου ω ho = (ω x ω y ω z ) 1/3 είναι ο γεωµετρικός µέσος των συχνοτήτων ταλάντωσης. Η χαµιλτονιανή σε αυτή την περίπτωση είναι H (1) = 2m 2 + V ext (r). Οι αντίστοιχες ιδιοτιµές είναι ϸ nx,n y,n z = (n x + n y + n z + 3/2) ω ho και η πυκνότητα των καταστάσεων είναι ρ(ϸ) = 1 2 ( ω ho) 3 ϸ 2. Η ελάχιστη ενεργειακή κατάσταση εδώ δεν είναι µηδενική και η ελάχιστη ιδιοσυνάρτηση είναι µια γκαουσιανή φ 0 (r) = ( mω ho π )3/4 exp[ m 2 (ω xx 2 + ω y y 2 + ω z z 2 )] µε διασπορά α ho = [ /(mω ho )] 1/2 και η κεντρική πυκνότητα είναι ανάλογη του N. 1.2.2 Αλληλεπιδρών αέριο και η εξίσωση Gross-Pitaevskii Αν ϑεωρήσουµε τώρα την πιο ϱεαλιστική περίπτωση ενός αερίου στο οποίο τα σωµατίδια αλληλεπιδρούν, ϑα πάρουµε την χαµιλτονιανή του συστήµατος H = Ψ (r)h 0 Ψ(r)dr + 1 Ψ (r)ψ (r )V(r r )Ψ(r )Ψ(r)drdr, 2 όπου V(r r ) είναι η αλληλεπίδραση των σωµατιδίων και H 0 = 2m 2 + V ext (r). Αυτή τη ϕορά η χαµιλτονιανή δεν είναι το άθροισµα των απλών χαµιλτονιανών του κάθε σωµατιδίου. Αν γράψουµε την εξελικτική εξίσωση Heisenberg για τους τελεστές πεδίου, i t Ψ = [Ψ, H], ϑα πάρουµε i t Ψ(r, t) = (H 0 + Ψ (r, t)v(r r )Ψ(r, t)dr )Ψ(r, t). Στην περίπτωση ενός αραιού και ψυχρού αερίου η αλληλεπίδραση των σωµατιδίων είναι ασθενής και συγκεκριµένα δυαδική. Ετσε, µπορεί κανείς να ϑεωρήσει προσεγγιστικά V(r r ) gδ(r r ) όπου η σταθερά g = 4π 2 α/m και το α είναι το s-wave µήκος σκέδασης. Αντικαθιστώντας το ψευδο-δυναµικό, ϑα πάρουµε την εξίσωση κίνησης ) i t Ψ(r, t) = ( 2 2 2m + V ext(r) + g Ψ(r, t) 2 Ψ(r, t). Αυτή είναι γνωστή ως εξίσωση Gross-Pitaevskii και εισάχθηκε το 1961. Εχει τη µορφή µιας µη-γραµµικής εξίσωσης Schr ĺodinger µε τον µη γραµµικό όρο να προέρχεται από τη µέση τιµή και καλείται τοπικός όρος λόγω 7

της τοπικής ϕύσης των αλληλεπιδράσεων µεταξύ των σωµατιδίων που µόλις ςξηγήσαµε και είναι ανάλογος του Ψ 2. Το µήκος σκέδασης α που επηρεάζει το g και τον ϱόλο του τοπικού όρου στην εξίσωση µπορεί να είναι ϑετικός ή αρνητικός και εξαρτάται από την απωθητικές ή ελκυστικές δυνάµεις αντίστοιχα και οι λύσεις (που αντιστοιχούν στην κυµατοσυνάρτηση του συµπυκνώµατος στην ϑεµελιώδη κατάσταση) µπορούν να γραφούν ως Ψ(r, t) = Ψ 0 (r) exp( iµt/ ) όπου µ είναι το χηµικό δυναµικό. Τότε παίρνουµε ) ( 2 2 2m + V ext(r) + g Ψ 0 (r, t) 2 Ψ 0 (r) = µψ 0 (r) όπου n(r) = Ψ 0 (r) 2 είναι η σωµατιδιακή πυκνότητα. Το ίδιο αποτέλεσµα ϑα πάρουµε αν ελαχιστοποιήσουµε την ενέργεια του συστήµατος που γράφεται σαν συναρτησιακό της πυκνότητας 2 E(n) = 2m n 2 + nv ext (r) + gn2 2 dr όπου ο πρώτος όρος στο ολοκλήρωµα είναι η κινητική εέργεια που προέρχεται από την αρχή της αβεβαιότητας (κβαντική πίεση). Αυτή η µορφή της εξίσωσης είναι το σηµείο εκκίνησης για µια έγκυση περιγραφή των συµπυκνωµάτων σε αραιά και ψυχρά αέρια (δηλαδή ποσοτικά για T = 0 και n α 3 << 1). Είναι επιπλέον ϕανερό ότι οι λύσεις της και συνεπώς η µορφή της κατανοµής των σωµατιδίων καθώς και το σχήµα του σύνεφου στο συµπύκνωµα, µπορούν εύκολα να ελεγχθούν µεταβάλλοντας τα εξωτερικά δυναµικά. 8

Κεφάλαιο 2 Θεωρία ευστάθειας 2.1 Ενα κριτήριο ευστάθειας Here we discuss an important stability criterion that is obtained for solitary wave solutions of a class of Hamiltonian systems. It is the Vakhitov-Kolokolov (V-K) criterion obtained by the respective authors in 1973 [19] and gives results about spectral stability and furthermore, under general conditions gives answers about orbital stability. The V-K criterion was originaly obtained for an NLS equation (or a special form of the wave equation), namely an equation of the form i E z + E + f ( E 2 )E = 0 (2.1) where is the Laplacian and the function f ( E 2 ) describes the nonlinearity of the equation. We will consider below the case where f is a saturation term. The solution E can denote the envelope of an electrical field and can be of the form E = φ(r)e iγz which, under replacement in the above equation, gives φ γφ + f (φ 2 )φ = 0 (2.2) together with the boundary conditions dφ/dr r=0 = 0, φ( ) = 0, r 2 = x 2 + y 2. Such a function φ will be called stationary. In the case where f denotes saturation, it is a bounded function for every φ and if M = max f (φ 2 ), we can easily show that there is no solution in the space L 2 (R 2 ) for γ > M. Indeed, after multiplying by φ and integrating we take ( φ) 2 dxdy γ φ 2 dxdy + f (φ 2 )φ 2 dxdy = 0 thus, 0 ( φ) 2 dxdy = f (φ 2 )φ 2 dxdy γ φ 2 dxdy (M γ) φ 2 dxdy = γ < M otherwise the equation cannot be satisfied by any φ. If we also take into regard the condition of an exponential descrease of φ for r, we take also that γ > 0. A saturation term now usually is a function 9

of the form f (φ 2 ) = be written as φ 2 and the previous equation, in polar coordinates with cylindrical symmetry can 1 + φ2 d 2 φ dr + 1 2 r dφ dr γφ + φ3 1 + φ 2 = 0. Now the dynamics of the phase plane (φ, φ r) are known for 0 < γ < 1 and any trajectory beginning on the φ r = 0 axis terminates for r at φ r = 0, φ = 0 or ± (γ/1 γ). In general, trajectories beginning with φ r = 0 for various initial amplitudes φ(0) terminate at zero for r and they are countably infinite. For small deviations of the initial amplitude we obtain trajectories that terminate not at zero but at one of the two points φ r = 0 and φ = ± (γ/1 γ). Then for small ϸ we have lim φ n(r) φ n (r) = r γ 1 γ, where φ n (r) is the solution with boundary conditions φ n (0) = φ n (0) + ϸ, d φ n /dr r=0 = 0. Thus the derivative of the stationary solutions with respect to the initial value is an unbounded function for r and the function defined as ψ n (r) = ψ n (r)/ ψ n (0) satisfies ψ n γψ n + (f (φn) 2 + 2 f φ φ n)ψ 2 n 2 n L 1n ψ n = 0 and the boundary condition dψ n /dr r=0 = 0. Due to the unboundedness of ψ n, the operator L 1n does not have any symmetrical eigenfunction with a zero eigenvalue. In order now to investigate the stability of stationary solutions under small perturbations of the amplitude and phase we take E = (φ n + δφ)e iγz and δφ = (u + iv)e Ωz and after substituting in the initial equation and keep only terms of the first order we have Ωu = L 0n v Ωv = L 1n u, (2.3) where L 0n = + γ f (φ 2 ), L 1n = L 0n 2 f φ 2 φn 2 n, for the conditions u/φ n << 1, v/φ n << 1. If we eliminate v we take the eigenvalue problem Ω 2 u = L 0n L 1n u. The letter equation has to satisfy two conditions: existence and positiveness of the inverse operator L 1 0n. As the function φ n is a solution of L 0n φ n = 0, it is an eigenfunction with zero eigenvalue and ker L 0n {0}, thus L 0n is not 1 1 neither invertible on the whole space. However, it can be shown that for Ω 0, the eigenvalue problem has solution that are orthonormal to φ n and in the subspace of functions that are orthonormal to φ n, the inverse operoator exists and is bounded so we take Ω 2 L 1 0n u = L 1nu. We note at this point that φ 1 never vanishes whereas all the other modes have zeros. For the perturbations, the conditions u/φ n << 1, v/φ n << 1 imply that they must have the same zeros except the first mode and 10

so the linearized system must describes only a bounded class of perturbations. As the first mode has no zeros, the variational principle for this will written as ( ) ul11 u Ω 2 0 = min ul 1 01 u, < u, φ 1 >= 0 (2.4) which is well-defined as L 01 and its inverse are positive definite in the subspace of vectors that are orthonormal to φ 1. The eigenvalue Ω 0 must be the least one, by definition and this leads to the conclusion that a possible negativeness of the functional G(u) = ul 11 u will imply imaginary eigenvalues that result in exponetially growing perturbations which means instability. Although this condition seems sufficient for instability, it is not necessary and so a different approach will be given below. For a more general principle, we examine each possible minimum of the functional G. For that, by applying the method of Lagrange multipliers, we obtain the equation L 11 ψ = λψ + αφ 1 where ψ is the vector that minimizes G. The minimum value of G now is determined by the least λ for which the above holds. Note that α is determined by the orthogonality < ψ φ 1 >= 0 and the normalization condtion < ψ ψ >= 1. If we decompose now ψ and φ 1 in terms of the orthonormal eigenfunctions of L 11 we take c n ψ = α λ n λ ψ n, c n =< φ 1, ψ n > and by < ψ, φ 1 >= 0 we have n=1 α n=1 c 2 n λ n λ = αf 1(λ) = 0. The first case we examine here is when α = 0. It follows then, that ψ must be an eigenfunction of L 11 and λ an eigenvalue. For this we investigate below the spectrum of the operator L 11 for f = φ 2 /1 + φ 2. This can be done numerically and it has been shown that the lowest nonsymmetrical state corresponds to a zero eigenvalue. Thus, eigenfunctions corresponding to negative eigenvalues must be symmetrical. Is has been shown numerically that there exists only one negative eigenvalue (λ = 5.44γ) corresponding to symmetrical solution and all the rest are positive and does not change as γ shifts from 0 to 1. Furthermore, this solution (corresponding to the negative eigenvalue) does not vanish and is not orthogonal to φ 1 so it is not the desired ψ. The next eigenfunction corresponds to a zero eigenvalue and is orthogonal to φ. To summarize, we have that for = 0 and for min λ = 0 the functional G is minimized. In the second and more important case where α 0 we have to determine the least root of f 1. We have of course that c 1 0 and c 2 = 0 and obviously for λ < λ 1, f will be negative, so λ min must lie among λ 1 and λ 3. As λ 1 is negative and λ 3 is positive (λ 2 = 0), the sign of λ min can be determined according to the sing of f 1 (0). If the latter is negative, λ min is positive and vice versa. We also have f 1 (0) = n=1 c 2 n λ n = n=1 c n < φ 1, ψ n > λ n =< φ 1, < φ 1, n=1 11 n=1 c n ψ n λ n >= c n L 1 11 ψ n >= φ 1 L 1 11 φ 1.

If we differentiate the stationary equation with respect to γ, we take and then L 11 φ 1 γ + φ 1 = 0 = L 1 11 φ 1 = φ 1 γ f 1 (0) = < φ 1, φ 1 γ >= 1 d 2 dγ < φ 1, φ 1 >= 1 di 1 2 dγ, where I 1 is the energy function of the first stationary solution φ 1. rigorous condition for stability: So far, we are ready to state a more Proposition 2.1.1. (Vakhitov - Kolokolov criterion) The conditional minimum of G is determined by the sign of di 1 /dγ. If di 1 /dγ 0 then λ min 0 and if di 1 /dγ 0 then λ min 0. More precisely, we can also say that if L 11 has only one negative eigenvalue, then min G = 0 for di 1 /dγ 0 and min G < 0 for di 1 /dγ < 0. The latter case implies that exponentially increasing perturbations exist and so φ 1 is unstable. 2.2 Ευστάθεια µοναχικών κυµάτων In the previous paragraph we presented a stability criterion as it emerges from a special form of the wave equation with a nonlinear saturation term or alternately an NLS equation. This important criterion appears to apply in solitary wave solutions of the form u(x, t) = φ(x)e iγt. As the stability of such solutions is of great interest in many fields as nonlinear optics, plasma physics, BECs, fluid mechanics, laser beams etc, much efforts were made to find general conditions that a PDE, that admits such solutions, must satisfy so that their stability can be guaranteed. Important contributions to this problem were made by Weinstein and Grillakis-Shatah-Strauss ([7]). The latter showed that in a general class of Hamiltonian systems that are invariant under a group of isometries Γ, the V-K criterion is valid. Next we will try to show that the Γ-invariance implies the V-K criterion. 2.2.1 Το Χαµιλτονιανό σύστηµα We consider a Hilbert space (X, <, > X, X ) with dual X and we take a skew-adjoint operator J : X X, that is J T = J 1 = J or alternately < Ju, v >= < u, Jv >, u, v X, and a map H C 2 (X, R). Then we consider the initial value problem (IVP) Ju (t) = H (u(t)) u(0) = u 0. (2.5) where H (u) X denotes the Fréchet derivative of H at u X and u 0 X. Note at this point that this IVP usually denotes a weak expression of the problem. In a more complete form we could assume that X is a dense subspace of another Hilbert space (H, (, ) H, H ), with dual H, in which it is continuously embedded and we get a variational triple X H = H X. 12

There also a natural injection J: X X such that <Ju, v > X = (u, v) H and the duality between X and X is denoted as f (u) =< f, u >, f X, u X. Finally we have the Riesz isometric isomorphism R : X X as < Ru, v >=< u, v > X, u, v X and the two scalar products are related by (u, v) H =<Ju, v >=< R 1 Ju, v > X. So far the IVP would be written as d dt Ju (t) = J H (u(t)) u(0) = u 0. where J = RJ T R 1. As an example one can consider the Sobolev space H 1 (R N ) L 2 (R N ) H 1 (R N ) and R = + 1. This is used to treat the NLS equation. In what follows we will consider only the space X in the sence that H= X and we will use the initial form of the IVP. Taking also into regard that we have that H (u) = R H(u) and we finally take < H (u), w >=< H(u), w > X, u, w X u (t) = J H(u(t)) u(0) = u 0. 2.2.2 Αναλλοιωσιµότητα της Χαµιλτονιανής For the invariance of H we consider firstly an operator A B(X, X) with A T = A such that AJ = JA and < H (u), Au >= 0 for all u X. We then take T : R B(X, X) with T(θ) = e θa and define Γ = {T(θ) : θ R} which is a group with respect to multiplication (composition) of operators. Each element of Γ is a unitary operator, that is T T T = I which implies that is also an isometry ( T(θ)u X = u X ). Further properties are Now under this hypotheses we can show that d T (θ) = AT(θ) = T(θ)A, T(θ) 1 = T(θ) T = T( θ) T(θ)J = JT(θ), θ R. dθ (H(T(θ)u(t))) =< H (T(θ)u(t), T(θ)u(t)) >=< JT(θ)u (t), T(θ)u(t) >= =< Ju (t), u(t) >=< H (u(t)), u(t) >, θ R = < H (w), w >= 0 w X = H(T(θ)u) = H(T(0)u) = H(u) u X, 13

that is, H is Γ-invariant and also T(θ) H (T(θ)u(t)) = H (u(t)), means that H is Γ-equivariant. Next we should define a symplectic form on X by ω X (u, w) =< Ju, w > X, u, w X. Obviously we have ω X (T(θ)u, T(θ)w) = ω X (u, w) so this symplectic form is also preserved by Γ. 2.2.3 Σ The next thing is to define the kind of solutions that we want our dynamical system to admit. We will call standing wave every solution of (2.5) that has the form u(t) = T(λt)φ where t R, λ R and φ X. The latter will be called stationary solution of the system. If we replace this solution in (2.5) we have λt (λt)φ = J H(T(λt)φ) = λat(λt)φ = J H(T(λt)φ) = λaφ = JT (λt) H(T(λt)φ) = H(φ) λjaφ = 0 using the Γ-equivariance of H. By setting B = JA we rewrite H(φ) λbφ = 0, which is the stationary equation of the hamiltonian system. For B we have that < Bu, w >=< u, B w >=< u, A J w >=< u, AJw >=< Bw, u > and so B B(X, X ) is symmetric in that sense. Next, we define Q : X R by Q(u) = 1 < Bu, u >, 2 u X and this yields Q = B. Another expression of the stationary equation is H(φ) λq (φ) = 0 the solution of which can also be considered as critical points of the Hamiltonian G λ (u) = H(u) λq(u). It is easy to show that Q and thus G λ are also Γ-invariant. 2.2.4 Τροχιές και τροχιακή ευστάθεια We firstly define the orbit of an element u X under the action of the group Γ defined before as the set Θ(u) = {T(θ)u : θ R}. 14

We have that for w Θ(u) w X = T(θ)u X = u X < + and so Θ(u) is a bounded subset of X. The orbit of u is the same as the orbit of the standing wave w(t) = T(λt)u if u is a stationary solution of 2.5. To define stability of the standing wave, we would say the following : Definition The standing wave w(t) = T(λt)u is orbitally stable if, for every ϸ > 0, there exists δ > 0 such that for all initial conditions u 0 X with u 0 u X < δ, the IVP has a unique maximal solution u(t) which is defined for all t 0 and where d(u(t), Θ(u)) < ϸ, t 0 d(v, Θ(u)) = inf{ v T(θ)u X : θ R}. Remark : The orbital stability of a standing wave as a property requires that the IVP is well-posed in a neighborhood of the stationary solution. Our IVP as defined, with the properties of the operators J, A, can be said locally well-posed in the sense that there exist a, a + > 0 and a unique function u C 1 (( a, a + ), X) such that u(0) = u and (2.5) is satisfied on ( a, a + ). As we know that a solution of the IVP is a constant of motion for the Hamiltonian, we have that H(u(t)) = H(u 0 ) as well as Q(u(t)) = Q(u 0 ), for all t ( a, a + ). The IVP can be additionally called globally well-posed when it is locally well-posed and a + =. The Γ-invariance of G λ defined above implies that for all u X and θ R, by differentiating with respect to u, and with respect to θ, < D u G λ (T(θ)u), T(θ)w >=< D u G λ (u), w >, w X, < D u G λ (T(θ)u), T (θ)u >= 0 w X. By differentiating the first relation with respect to u we get and with respect to θ, < D 2 uu G λ(t(θ)u)t(θ)z, T(θ)w >=< D 2 uu G λ(u)z, w >, w, z X < D 2 uu G λ(t(θ)u)t (θ)u, T(θ)w > + < D u G λ (T(θ)u), T (θ)w >= 0 and all these indentities are also true for H. We are going to need these later. We remind at this point that the main target in this paragraph is to find general conditions that when satisfied, guarantee us the V-K criterion s validity. As we gave a general definition of the stability of an orbit before, we continue by stating a theorem that provides stability of a standing wave: Theorem 2.2.1. Assume that (λ, φ λ ) R X is such that D u G λ (φ λ ) = 0, λφ λ 0 15

and that the system corresponding to the Hamiltonian G λ is globally well-posed at φ λ. Then, the standing wave u λ (t) = T(λt)φ λ generated by φ λ is orbitally stable provided that there exists δ > 0 such that where with we denote the orthogonal complement. < D 2 uu G λ(φ λ )z, z > δ z 2 X, z {Aφ λ, Bφ λ } (2.6) This stability theorem can be proved with the use of a Lyapunov function. For its proof, one may see [17] as we will neglect it since it is of technical importance and diverges from this manuscript s purposes. In order to put the above theorem in more general conditions under the act of the inner product (, ) of the space H, we give one lemma and one corollary. Lemma 2.2.2. Suppose that there exists δ > 0 such that Then the condition (2.6) is satisfied. < D 2 uu G λ(φ λ )u, u > u 2 X, u X s.t. (u, Aφ λ) = (u, JAφ λ ) = 0. (2.7) Proof. We set S λ : X X with S λ = R 1 D 2 uu G λ(φ λ ). Then one easily observes that S λ φ λ X R 1 X D 2 uu G λ(φ λ ) X which must be finite as R 1 and Duu 2 are bounded and so S is bounded. Moreover, it is also self-adjoint. If we set φ = Aφ λ / Aφ λ X and ψ = Jφ we have φ = ψ = 1 and (φ, ψ) = 0. Take now z {Aφ λ, R 1 Bφ λ } and set Then, (u, φ) = (u, ψ) = 0 and (2.7) gives that u = z (z, φ)φ (z, ψ)ψ. < S λ u, u > X δ u 2 X. Take into account that (z, ψ) = (z, JAφ λ / Aφ λ ) =< z, R 1 Bφ λ > X / Aφ λ = 0 and S λ φ = 0. Then u = z (z, φ)φ and S λ u = S λ z and hence, and < S λ z, z > X =< S λ u, u + (z, φ)φ > X =< S λ u, u > X implies z 2 X =< z, u + (z, φ)φ > X =< z, u > X and so z 2 X z X u X < S λ z, z > X =< S λ u, u > X δ u 2 X δ z 2 X and this proves that (2.6) holds. 16

The assumptions of theorem 2.2.2 together with the lemma 2.2.2 imply the orbital stability of the standing wave. Suppose now that the Hessian operator of the hamiltonian G λ is coercive in the sense that there exists ϸ, C > 0 such that < D 2 uu G λ(φ λ )u, u > ϸ u 2 X C u 2, u X. For more on this inequality see Garding s inequality in the appendix. Then we have : Lemma 2.2.3. Suppose that D 2 uu G λ(φ λ ) is coercive and we define a quadratic form b λ : D(b λ ) H R by b λ (u) =< D 2 uu G λ(φ λ )u, u > u X = D(b λ ). Then b λ is a closed, densely defined form on H that is bounded below. Consequently, there exists a self-adjoint operator L λ : D(L λ ) H H defined by and D(L λ ) = {z X : w H, s.t. < D 2 uu G λ(φ λ )z, u >= (w, u), u X} L λ z = w, z D(L λ ). The operator L λ defined above is proven to be the only one that has the properties D(L) X and < Duu 2 G λ(φ λ )z, u >= (Lz, u), z L and u X. Another condition related to (2.6), (2.7) and the stability of the standing wave, follows: Corollary 2.2.4. Suppose that (λ, φ λ ) R X and that the Hessian of G λ is coercive as defined above. Assume further that for L λ defined in lemma 2.2.3 we have that there exists δ > 0 such that Then (2.7) is satisfied. (L λ u, u) δ u 2, u D(L λ ) s.t. (u, Aφ λ ) = (u, JAφ λ ) = 0. (2.8) 2.2.5 Το κριτήριο V-K We are now in the position to give a criterion for the stability of Hamiltonian systems defined above i.e. that are invariant under the group of isometries. Given the basic criterion that guarantees orbital stability, the Vakhitov - Kolokolov criterion ensures its validity. Initially one has to show existence of standing waves that satisfy the system and specific properties that the spectrum of the Hessian of the hamiltonian must satisfy. We begin with the following hypothesis : There exist µ R {0} and φ µ X such that and Aφ µ 0, D u G µ (φ µ ) = 0, inf σ e (S µ ) > 0, M(S µ ) = 1, ker S µ = span{aφ µ } where M( ) is the morse index of the indicated operator and S µ = R 1 D 2 uu G µ(φ µ ) 17

Theorem 2.2.5. If the above hypothesis holds, there exists an open interval (a, b) containing µ on which the following conditions are satisfied: 1. There exist a branch of standing waves that are solutions of the hamiltonian system i.e. H (φ λ ) = λb(φ λ ) for all λ (a, b). 2. For all λ (a, b) (i) S λ has exactly one simple eigenvalue in (, 0). (ii) ker S λ = span{aφ λ }. (iii) ϸ λ > 0 such that (0, ϸ λ ) σ(s λ ) = Note that that S is self-adjoint and this implies that it has linearly independent eigenvectors that span the space X. Thus Aφ λ and η λ (respective to γ λ ) are two eigenvectors of S λ and {Aφ λ, η λ } is a subspace of X of codimension 2. For every z {Aφ λ, η λ } we have that < S λ z, z > X =< S λ αφ i, αφ i > X = α 2 < γ i φ i, φ i > X = γ i z 2 X δ z 2 X with δ = min{γ i : γ i positive eigenvalue of S λ }, thus S λ is positive definite in {Aφ λ, η λ }. To guarantee that (2.6) is satisfied, there is only one step missing. Proposition 2.2.6. Assume that the hypothesis of theorem 2.2.5 holds and consider the branch of critical points λ φ λ given by the theorem. Then, (2.6) is satisfied provided that d dλ Q(φ λ) < 0. (2.9) Consequently, if the hamiltonian system is also globally well-posed, the above implies that the standing wave u λ (t) = T(λt)φ λ is orbitally stable. The inequality (2.9) is known as Vakhitov-Kolokolov criterion. Proof. To show that the above proposition we use the following lemma: Lemma 2.2.7. Let S : X X be any bounded self-adjoint operator such that inf σ e (S) > 0, M(S) = 1, and dim ker S = 1. Let χ be any element of X such that < Sχ, χ > X < 0. Then, there exists δ > 0 such that < Sz, z > X δ z 2 X for all z {φ, Sχ} = {z X :< z, φ > X =< z, Sχ > X = 0} where ker S = {φ}. We have that the hypotheses of this lemma are satisfied by S λ with φ = Aξ λ and χ = ξ λ where ξ λ = d dλ ξ λ. Indeed, since D u G λ (ξ λ ) = 0 for all λ (a, b), we have that that is Hence D 2 uu G λ(ξ λ )ξ λ + D λd u G λ (ξ λ ) = 0, D 2 uu G λ(ξ λ )ξ λ Q (ξ λ ) = 0. (2.10) < S λ ξ λ, ξ λ > X=< D 2 uu G λ(ξ λ )ξ λ, ξ λ >=< Q (ξ λ ), ξ λ >= d dλ Q(ξ λ) < 0 that is required for the previous lemma which now implies that there exists δ > 0 such that < S λ z, z > X δ z 2 X for all z {Aξ λ, S λ ξ λ }. Finally we have that by (2.10) S λ ξ λ = R 1 D 2 uu G λ(ξ λ )ξ λ = R 1 Q (ξ λ ) = R 1 B(ξ λ ) and the proof is complete. 18

An alternative expression of the V-K criterion can be made if we set d(λ) = G λ (φ λ ) = H(φ λ ) λq(φ λ ) and denote φ λ = d dλ φ λ. Then and d (λ) =< D u G λ (φ λ ), φ λ > Q(φ λ) = Q(φ λ ) d (λ) = d dλ Q(φ λ) and the equivalent to (2.9) is d (λ) > 0. In the case where the Hessian of G µ is coercive, as defined earlier, we can give also some alternative expression of the hypothesis used in theorem 2.2.5. For this we have the following lemma: Lemma 2.2.8. Suppose that for φ µ X, the Hessian D 2 uu G λ(φ µ ) is coercive and that inf σ e (L µ ) > 0. Then inf σ e (S µ ) > 0, M(S µ ) = M(L µ ), ker S µ = ker D 2 uu G µ(φ µ ) Using this property of the operator L µ we can now state the following result: Corollary 2.2.9. Suppose that there exists µ R {0} and φ µ X such that Aφ µ 0, D u G µ (φ µ ) = 0 and that D 2 uu G µ is coercive. Then Aφ µ D(L µ ) and the hypothesis of the theorem 2.2.5 is satisfied provided that σ e (L µ ) > 0, M(L µ ) = 1, dim ker L µ = 1. 2.2.6 Παραδείγµατα 2.2.7 Οδεύοντα κύµατα της µη-γραµµικής κυµατικής εξίσωσης (Grillakis et al. [7]) We take a nonlinear wave equation u tt u xx + f (u) = 0 that can be written as a hamiltonian system if we set v = u t and we take ( ) ( ) ut v =. (2.11) v t u xx f (u) The latter has to be written in a form We take J = [ 0 1 1 0 d dt ( u v ) ] ( and H uxx + f (u) (u, v) = v H(u, v) = R ( = J T H u ( v ) ) ).. The hamiltonian then is 1 2 u2 x + 1 2 v2 + F(u)dx 19

where F = f. The problem can be well-defined in the space X = H 1 (R) L 2 (R) and we take the group of isometries {T(s) : s R} where ( ) T x 0 (0) =, D(T (0)) = H 2 (R) H 1 (R) X 0 x and T(s)J = JT( s). From T (0) and J we take B = JT (0) = Q(u, v) = 1 2 < B ( u v ), ( u v ) > X = 1 ( ) ( 2 < vx u, u x v A stationary solution (φ, ψ) of the system (2.11) must satisfy which gives ) ( 0 x x 0 > X = 1 2 H (φ, ψ) ωq (φ, ψ) = 0, ) and the quadratic quantity v x u + vu x dx = R u x vdx. R (1 ω 2 )φ xx + f (φ) = 0, ψ = ωφ x. (2.12) For the above we make the following assumptions : (i) f (0) > 0 (ii) η such that F(η) < 0. (iii) If u 0 is the zero of F with the smallest absolute value, then f (u 0 ) 0. These assumptions imply the lemma below: Lemma 2.2.10. If (i) - (iii) hold, then the equation p xx + f (p) = 0 has a unique solution that satisfies (a) p(x) > 0, p(x) = p( x), p(0) = u 0. (b) p(x) decays exponentially like e c x with c > 0. According to this, if we set φ ω (x) = p(x/ 1 ω 2 ), ω ( 1, 1) and we have that φ ω satisfies the upper equation of (2.12) and is a travelling wave. The linearized operator of (2.12) is L ω = (1 ω 2 ) 2 x + f (φ ω ) and its kernel is spanned by x φ ω. In addition to this, x φ ω has a simple zero at x = 0 and L ω has exactly one strictly negative eigenvalue α 2 ω with an eigenfunction χ ω, L ω χ ω = α 2 ω χ ω. (2.13) In order to verify all assumptions needed for the V-K criterion, we further compute the spectrum of the operator ( ) H ω = H (φ ω ) ωq L (φ ω ) = 0 ω x. ω x 1 20

Lemma 2.2.11. The spectrum of the operator H ω is as follows : (1) There is one negative simple eigenvalue. (2) The kernel is spanned by T (0)φ ω. (3) The positive spectrum of H ω os bounded away from zero. Proof. Let ψ = (ψ 1, ψ 2 ) be an eigenfunction of H ω with negative eigenvalue λ. Then, the equation H ω ψ = λψ yields For λ 1 we can rewrite the above equations as and if λ < 0 then by (2.13) we have 2 x ψ 1 + f (φ ω )ψ 1 + ω x ψ 2 = λψ 1, ω x ψ 1 + ψ 2 = λψ 2. (1 ω 2 ) 2 x ψ 1 + f (φ ω )ψ 1 = λ(1 ω2 ) λ 2 ψ 2 = ω λ 1 xψ 1. 1 λ ψ 1 λ(1 ω 2 ) λ 2 1 λ = α 2 ω or λ 2 (1 ω 2 α 2 ω)λ α 2 ω = 0 which has exactly one negative root. Thus, H ω has exactly one negative eigenvalue, λ( ω). Next, if we substitute λ = 0 into the quadratic quantity, we get the kernel of H ω spanned by T (0)φ ω. For the rest of the spectrum of H ω we use Weyl s theorem and we have that it is bounded away from zero. As we have now that H ω satisfies the hypotheses of the theorem 2.2.5, the stability of the traveling wave is determined by the sign of d (ω) where d (ω) = Q(φ ω ) = ω x φ ω 2 dx and so d (ω) = ( 1 ω 2 ) x p 2 dx < 0, which means that all traveling waves are unstable. 21

2.2.8 Μη-γραµµική Schr ĺodinger παρουσία δυναµικού (Grillakis et al. [7]) Here we consider a version of the NLS equation with a potential that has the form i u t = 2 u xx + V(x)u + g( u 2 )u in one dimension. If we substitute t t/ and y = (x x 0 )/ the equation becomes iu t = u yy + V(x 0 + y)u + g( u 2 )u. We are looking for standing waves of the form e iωt φ(y) that are generated by the invariance of the equation under the group of isometries T(s) = exp(is). The hamiltonian in this case is E(u) = ( 1 2 u y 2 + 1 2 V(x 0 + y) u 2 + F(u))dy, with F (u) = g( u 2 )u and F(0) = 0. The equation can be written as a hamiltonian system of the form (2.5) with J = i. The relevant IVP can be well defined in the complex space X = H 1 (R) with the real inner product. We further have T (0) = i and D(T (0)) = X that gives B = 1 and the conserved quantity Q(u) = 1 2 < Bu, u >= 1 u 2 dy. 2 The stationary solutions must satisfy the equation E (φ) ωq (φ) = 0 and when we look for real solutions, this yields or after the substitution 2 φ xx + V(x)φ + g( φ 2 )φ + ωφ = 0 φ yy + V(x 0 + y)φ + g( φ 2 )φ + ωφ = 0. (2.14) Assume now that the potential is bounded and V V(x). The following theorem is known due to Floer and Weinstein [6] : Theorem 2.2.12. Let V C 2 (R) have a nondegenerate critical point x 0 and ω > V. Then, there exists 0 > 0 such that for 0 < < 0, equation (2.14) has a nontrivial solution φ h (ω, y) concetrated around x 0 in the sense that ( φ ω, x x 0 where (i) φ 0 (ω, y) is the unique solition of the equation ) ( = φ 0 ω, x x ) ( 0 z(h) + ρ d2 φ 0 dy 2 + g( φ 0 2 )φ 0 + [V(x 0 ) + ω]φ 0 = 0, ω, x x 0 which has its maximum at y = 0. (ii) z( ) is a C 2 ([0, h 0 ]) function. (iii) ρ (ω, y) is C 2 in and ω with range in H 2 (R), and norm ρ (ω, ) L 2 = O( 2 ) as 0, (iv) + ρ (ω, y) y φ 0 (ω, y z( ) )dy = 0. 22 ),