ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ

ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ Η ΠΑΚΥΠΡΙΑ ΟΛΥΜΠΙΑΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΛΥΚΕΙΟΥ Κυριακή, 5 Απριλίου, 9 Ώρα: : : Προτεινόµενες Λύσεις ΘΕΜΑ ( µονάδες) (α) Να αποδείξετε για ένα δορυφόρο σε κυκλική τροχιά γύρω από ένα πλανήτη, ότι το τετράγωνο της περιόδου περιφοράς είναι ανάλογο της τρίτης δύναµης της ακτίνας της τροχιάς του, δηλαδή, T (β) Θεωρήε τη Σελήνη να διαγράφει κυκλική τροχιά γύρω από τη η Η περίοδος της Σελήνης είναι 7, d (µέρες) και η ακτίνα της τροχιάς είναι,84 8 m ίνεται η ένταση του πεδίου βαρύτητας ην επιφάνεια της ης: = 9,8 N/k Να υπολογίσετε µε τα πιο πάνω δεδοµένα την ακτίνα της ης (Θεωρήε τη η σφαιρική) (α) Η επιτάχυνση που δέχεται ο δορυφόρος από τον πλανήτη, ο ύψος της τροχιάς του, είναι ίση µε την κεντροµόλο επιτάχυνση: GM u GM π 4π GM h = ak = u = Είναι: u = Άρα, = Εποµένως, T T 4π T = ( ) Ο όρος ην παρένθεση είναι αθερός Άρα έχουµε T GM (5 µον) (β) Είναι GM = R Άρα η σχέση που βρήκαµε ο ερώτηµα (α) γίνεται: T 4π R = R π = Αντικαθιούµε: T R = 64 km (5 µον) π R = 7,46 8 (,84 ) 9,8

η Παγκύπρια Ολυµπιάδα Φυσικής Λυκείου ΘΕΜΑ ( µονάδες) Η οµογενής δοκός Α ο σχήµα, µήκους Α = 4 m και µάζας 4 K, βρίσκεται σε ατική ισορροπία µε A τη βοήθεια του αβαρούς νήµατος Ε και της άρθρωσης ο σηµείο Α Το νήµα σχηµατίζει ορθή γωνία µε τη δοκό και γωνία 7º µε οριζόντια αθερή επιφάνεια Η επιφάνεια ην οποία ηρίζεται η δοκός ο Α είναι κατακόρυφη Το µήκος είναι,5 m ίνεται: = m/s, συν7 =,8 και ηµ7 =,6 (α) Να υπολογίσετε την τάση του νήµατος (β) Να υπολογίσετε τη δύναµη που ασκεί η άρθρωση η δοκό 7 Ε (α) Στη δοκό ασκούνται: το βάρος της, η τάση του νήµατος S και η δύναµη από την άρθρωση F Παίρνουµε ροπές ως προς το σηµείο Α Έχουµε ισορροπία: ΣΜ ( Α ) =, Άρα, S ( Α) = ( ΑΚ) ηµθ, όπου Κ το µέσο της δοκού και θ = 7º Αντικαθιούµε: S,5 = 4,6 S = 9 N (4 µον) (β) Έω F και F y τα µέτρα των δύο συνιωσών της δύναµης η δοκό από την άρθρωση ο Α Έχουµε: ΣF = F = S F = S συνθ = 9,8 = 5, 6 N, προς τα αριερά ΣFy = Fy + S y = Fy + S ηµθ = Fy + 9,6 = 4 Fy = 84, 8 N, προς τα πάνω Το µέτρο της δύναµης από την άρθρωση είναι: F = F + Fy F =,6 N (4 µον) Η δύναµη F σχηµατίζει γωνία φ µε την κατακόρυφη επιφάνεια: F εφφ = φ = 8, ( µον) F y ΘΕΜΑ ( µονάδες) Θεωρήε ένα απλό κύκλωµα που αποτελείται από ηλεκτρική πηγή συνεχούς τάσης ηλεκτρεγερτικής δύναµης, ΗΕ, V, αµελητέας εσωτερικής αντίασης, ένα διακόπτη αµελητέας αντίασης και ένα λαµπτήρα Λ, όπως δείχνει το σχήµα Η κανονική τάση λειτουργίας του λαµπτήρα είναι V (α) Συνδέουµε τώρα σε σειρά µε τον πρώτο λαµπτήρα Λ ένα δεύτερο πανοµοιότυπο λαµπτήρα Λ πηγή V διακόπτης λαµπτήρας Λ Να συγκρίνετε το ρεύµα που διαρρέει τους δύο λαµπτήρες Λ και Λ µε το ρεύµα που είχαµε αρχικά ον λαµπτήρα Λ πριν συνδέσουµε τον δεύτερο λαµπτήρα Λ Εξηγήε Σελίδα από 9

η Παγκύπρια Ολυµπιάδα Φυσικής Λυκείου (β) Να συγκρίνετε τη φωτοβολία του λαµπτήρα Λ πριν και µετά τη σύνδεση του δεύτερου λαµπτήρα Λ Εξηγήε (γ) Συνδέουµε τώρα παράλληλα µε τους λαµπτήρες Λ και Λ τρίτο πανοµοιότυπο λαµπτήρα Λ Να συγκρίνετε τη φωτοβολία των τριών λαµπτήρων Εξηγήε (α) Με τους δύο λαµπτήρες σε σειρά η αντίαση του κυκλώµατος διπλασιάζεται σε σχέση µε την αντίαση του κυκλώµατος µε τον ένα λαµπτήρα Εφόσον η πηγή α δύο κυκλώµατα έχει την ίδια ΗΕ, το ρεύµα ο κύκλωµα µε τους δύο λαµπτήρες γ είναι το µισό του ρεύµατος ο κύκλωµα µε τον ένα λαµπτήρα ( µον) (β) Μετά τη σύνδεση του δεύτερου λαµπτήρα, σε σειρά µε τον πρώτο λαµπτήρα, η τάση α άκρα του καθενός γίνεται η µισή της τάσης λειτουργίας του ενός λαµπτήρα Άρα η φωτοβολία του λαµπτήρα Λ µετά τη σύνδεση του δεύτερου λαµπτήρα µειώνεται σε σχέση µε τη φωτοβολία που είχε ο λαµπτήρας αυτός πριν τη σύνδεση του δεύτερου λαµπτήρα ( µον) (γ) Η φωτοβολία των λαµπτήρων Λ και Λ είναι η ίδια Ο λαµπτήρας Λ, έχοντας α άκρα του την κανονική τάση λειτουργίας, φωτοβολεί ποιο έντονα από τους άλλους δύο, εφόσον οι άλλοι δύο έχουν α άκρα τους ο καθένας τη µισή τάση από την τάση του Λ (4 µον) ΘΕΜΑ 4 ( µονάδες) Τρία θετικά σηµειακά φορτία Q τοποθετούνται αντίοιχα ις Α τρεις κορυφές τριγώνου, όπως 5 m 5 m δείχνει το σχήµα (Τα φορτία κρατούνται µε κατάλληλο µηχανισµό ακίνητα) ίνεται: Q = + µc Σταθερά Coulomb: K =9 9 Nm C - 4Q 8 m Q (α) Να υπολογίσετε (i) το συνολικό δυναµικό και (ii) την ένταση του ηλεκτρικού πεδίου που οφείλεται και α τρία φορτία, ο µέσο της πλευράς (β) Να υπολογίσετε τη συνολική ενέργεια που χρειάηκε για να φέρουµε τα τρία φορτία από το άπειρο α σηµεία Α, και αντίοιχα (Θεωρήε το άπειρο ως σηµείο µηδενικής ενέργειας) (α) (i) Είναι: ( µον) Q Q Q 9 4 V = K( + + ) = 9 ( + + ) = 65 V 4 4 (ii) ρίσκουµε το µέτρο της έντασης, ο µέσο της, που οφείλεται ο κάθε φορτίο ξεχωριά Q 9 E = K = 9 = V / m Q 9 E = K = 9 = 5 V / m 4 Q 9 4 E = K = 9 = 5 V / m 4 Σελίδα από 9

η Παγκύπρια Ολυµπιάδα Φυσικής Λυκείου Τα διανύσµατα των E και E είναι η διεύθυνση της και είναι αντίθετα Άρα, η διεύθυνση της, η συνολική ένταση έχει µέτρο 5 V/m µε φορά προς το Η ένταση E έχει φορά κάθετη ο Άρα το µέτρο της συνιαµένης έντασης είναι: E = E, + E = 5 + = 55 V / m ( µον) Η συνιαµένη ένταση Ε σχηµατίζει γωνία φ µε τη διεύθυνση : E εφφ = φ = 4,6 ( µον) E, Ε, Ε φ Ε Ε Ε (β) To έργο που κάµνουµε ενάντια ο πεδίο όταν µεταφέρουµε το φορτίο Q από το άπειρο ο σηµείο που απέχει απόαση Α, από το φορτίο Q, είναι: Q QQ W, = Q ( V V ) Είναι V = και V = K Άρα, W, = QV = K A, A, Το έργο που εµείς κάµνουµε µετατρέπεται σε δυναµική ηλεκτρική ενέργεια ο σύηµα των δύο θετικών φορτίων Όταν µεταφέρουµε το τρίτο φορτίο Q ο σηµείο που απέει απόαση, από το Q και απόαση Α, από το Q, χρειαζόµαε ενέργεια που είναι ίση µε το έργο που Q Q κάµνουµε Άρα, W, = Q ( V V ) = QV = KQ( + ) Έτσι η συνολική A,, QQ QQ QQ ενέργεια είναι: W = W, + W, = K( + + ) Αντικαθιούµε: 9 4 8 W = 9 ( + + ) W =,98 J (4 µον) 5 5 8 A, ΘΕΜΑ 5 (5 µονάδες) Μια µικρή ελαική µπάλα αφήνεται να πέσει ελεύθερα, υπό την επίδραση µόνο της h βαρύτητας της ης, από ύψος h ην επιφάνεια ενός κεκλιµένου επιπέδου που σχηµατίζει γωνία Α θ µε το οριζόντιο επίπεδο Οι κρούσεις της µπάλας µε την επιφάνεια του κεκλιµένου επιπέδου γίνονται χωρίς θ απώλειες της µηχανικής ενέργειας Τα σηµεία Α, και είναι τα τρία πρώτα σηµεία επαφής της µπάλας µε την επιφάνεια του κεκλιµένου επιπέδου (α) Να γράψετε τις εξισώσεις που δίνουν τη θέση της µπάλας Να θεωρήσετε το σηµείο Α ως σηµείο αναφοράς (β) Να υπολογίσετε το λόγο των αποάσεων (Α):() A,, Σελίδα 4 από 9

η Παγκύπρια Ολυµπιάδα Φυσικής Λυκείου (α) Το µέτρο της ταχύτητας µε την οποία η µπάλα κτυπά ο κεκλιµένο επίπεδο για πρώτη φορά, σηµείο Α, είναι: u = h (Η σχέση βρίσκεται από τη διατήρηση της µηχανικής ενέργειας ή από τις εξισώσεις της ελεύθερης πτώσης) Η ταχύτητα ο Α σχηµατίζει γωνία θ µε την κάθετη ο κεκλιµένο επίπεδο Η ταχύτητα έχει συνιώσα µέτρου u ηµθ η διεύθυνση του κεκλιµένου επιπέδου και uσυνθ η διεύθυνση κάθετη µε το κεκλιµένο Η επιτάχυνση της βαρύτητας έχει συνιώσες µέτρου ηµθ και συνθ η διεύθυνση του κεκλιµένου επιπέδου και η διεύθυνση κάθετη µε το κεκλιµένο αντίοιχα Οι εξισώσεις που δίνουν τη θέση της µπάλας ως προς το σηµείο Α είναι άρα, = ( u ηµθ ) t + ( ηµθ ) t και y = ( u συνθ ) t ( συνθ ) t (7 µον) Μετά το σηµείο και για κάθε σηµείο επαφής της µπάλας µε το επίπεδο ισχύουν οι ίδιες εξισώσεις εάν αντικαταήσουµε τα u συνθ και u ηµθ µε τις αντίοιχες συνιώσες της ταχύτητας που θα έχει η µπάλα ο νέο σηµείο επαφής (β) Στο σηµείο είναι y = Άρα, u = u συνθ t ( συνθ ) t = tσυνθ ( u t) t = Αντικαθιούµε το χρόνο αυτό ην εξίσωση για το = h = 8h u u 4u = ( u ηµθ ) + ( ηµθ )( ) = ηµθ = 8hηµθ, που δίνει το µήκος Α Η ταχύτητα η διεύθυνση του κεκλιµένου επιπέδου, από το Α έως το, είναι: u = uηµθ + ( ηµθ ) t Η ταχύτητα η διεύθυνση κάθετη του κεκλιµένου επιπέδου, από το Α έως το, είναι: u υ = uσυνθ ( συνθ ) t Το µέτρο της ταχύτητας η διεύθυνση του κεκλιµένου επιπέδου, ο σηµείο, είναι: u u = u ηµθ + ( ηµθ ) = u ηµθ = hηµθ Το µέτρο της ταχύτητας η διεύθυνση κάθετη του κεκλιµένου επιπέδου, ο σηµείο, είναι: u u y = uσυνθ ( συνθ ) = uσυνθ = h συνθ Αµέσως µετά την επαφή της µπάλας ο η ταχύτητα αυτή, u y, αλλάζει φορά και άρα πρόσηµο Έχουµε τις εξής εξισώσεις για τη θέση από το έως το : = ( u ηµθ ) t + ( ηµθ ) t, y = ( u συνθ ) t ( συνθ ) t Στο, y = Άρα, u 8h y = ( u συνθ ) t ( συνθ ) t = tσυνθ ( u t) = t = = Σελίδα 5 από 9

η Παγκύπρια Ολυµπιάδα Φυσικής Λυκείου Παρατηρούµε ότι ο χρόνος κίνησης της µπάλας από το Α έως το είναι ίδιος µε το χρόνο από το έως το Η απόαση βρίσκεται εάν αντικαταήσουµε το χρόνο u 8h t = =, ην εξίσωση για το : u u 8u = (u ηµθ ) + ( ηµθ )( ) = ηµθ = 6hηµθ, που δίνει το µήκος Παρατηρούµε ότι () = (Α) Άρα, (Α):() = : (8 µον) ΘΕΜΑ 6 (5 µονάδες) Το βαγόνι ο σχήµα έχει µάζα m = 5k µαζί µε τους επιβάτες Στο σηµείο Α το βαγόνι έχει ταχύτητα µέτρου υ A = m / s Στο ψηλότερο σηµείο της τροχιάς του το βαγόνι έχει ταχύτητα µέτρου υ έτσι ώε µόλις που χάνει επαφή µε την τροχιά, ο σηµείο αυτό Σε όλη τη διαδροµή οι τριβές είναι αµελητέες ίνεται: = m/s (α) Να υπολογίσετε τη υ (β) Να υπολογίσετε την ενέργεια που προσφέρθηκε ο βαγόνι από τη µηχανή του βαγονιού, από το σηµείο Α µέχρι το σηµείο Αµέσως µετά το σηµείο το βαγόνι κινείται ελεύθερα χωρίς την ισχύ της µηχανής Κινείται ην τροχιά πριν εισέλθει σε κατακόρυφη τροχιά, όπως δείχνει το σχήµα (γ) Να υπολογίσετε τη δύναµη που ασκεί το βαγόνι ην τροχιά ο χαµηλότερο σηµείο της κυκλικής του τροχιάς (δ) Να υπολογίσετε τη δύναµη που ασκεί το βαγόνι ην τροχιά ο ψηλότερο σηµείο της κυκλικής του τροχιάς u, m 5 k Α m / s m m 5 m Σελίδα 6 από 9

η Παγκύπρια Ολυµπιάδα Φυσικής Λυκείου (α) Στο το βαγόνι µόλις που χάνει επαφή Άρα η κάθετη δύναµη ο βαγόνι από την τροχιά είναι µηδέν Το βάρος ενεργεί ως κεντροµόλος δύναµη: mu m = u = = 4 m / s ( µον) (β) Η ενέργεια που προσφέρθηκε ο βαγόνι από τη µηχανή του βαγονιού, από το σηµείο Α µέχρι το σηµείο είναι ίση µε τη διαφορά της µηχανικής ενέργειας του βαγονιού α δύο σηµεία: E = mu + mh mu A = 54 + 57 5 E = 9 5 = 4 J ( µον) (γ) Από την αρχή διατήρησης της µηχανικής ενέργειας βρίσκουµε το µέτρο της ταχύτητας ο : mu + mh = mu 4 + = u u = 6 m / s ( µον) Στο σηµείο η κεντροµόλος δύναµη είναι η συνιαµένη των δυνάµεων του βάρους και της κάθετης δύναµης που ασκεί η τροχιά Οι δυνάµεις έχουν αντίθετη φορά Άρα: mu u 6 N m = N = m( + ) = 5( + ) = 48 N ( µον),5 (δ) Από την αρχή διατήρησης της µηχανικής ενέργειας βρίσκουµε το µέτρο της ταχύτητας ο : mu + mh = mu u + 5 = 6 u = 6 m / s ( µον) Στο σηµείο η κεντροµόλος δύναµη είναι η συνιαµένη των δυνάµεων του βάρους και της κάθετης δύναµης που ασκεί η τροχιά Οι δυνάµεις έχουν την ίδια φορά Άρα, mu u 6 N + m = N = m( ) = 5( ) = 8 N ( µον),5 Σελίδα 7 από 9

η Παγκύπρια Ολυµπιάδα Φυσικής Λυκείου ΘΕΜΑ 7 (5 µονάδες) Το σχήµα δείχνει τρία σώµατα Ένα σώµα που βρίσκεται σε οριζόντια επιφάνεια χωρίς τριβές και δύο σώµατα Α και µε µάζες m και m αντίοιχα Το σώµα Α βρίσκεται σε επαφή µε την κατακόρυφη επιφάνεια του σώµατος και το σώµα βρίσκεται σε επαφή µε την κεκλιµένη επιφάνεια του, η οποία σχηµατίζει γωνία θ µε την οριζόντια επιφάνεια Ο συντελεής ατικής τριβής και ο συντελεής τριβής ολίσθησης για τα δύο σώµατα και τις επιφάνειες που είναι σε επαφή είναι αντίοιχα µ και µ ολ Τα σώµατα Α και συνδέονται µε αβαρές νήµα το οποίο περνά µέσα από αβαρή τροχαλία που δεν παρουσιάζει τριβές ίνεται η επιτάχυνση της βαρύτητας m m Α (α) Το σώµα κρατείται ακίνητο ως προς την οριζόντια επιφάνεια Να εξάγετε τη σχέση που πρέπει να ικανοποιείται ώε τα σώµατα Α και να ολισθαίνουν µε αθερή επιτάχυνση µέτρου α, το Α να κατέρχεται και το να ανεβαίνει (β) Το σύηµα των τριών σωµάτων τώρα επιταχύνεται οριζόντια προς τα αριερά µε αθερή επιτάχυνση µέτρου α Να εξάγετε τη σχέση που πρέπει να ικανοποιείται ώε το σώµα Α να µην ολισθαίνει προς τα κάτω (α) Το σώµα Α δέχεται το βάρος του και την τάση του νήµατος Το σώµα δέχεται το βάτος του, τη τάση του νήµατος και την τριβή ολίσθησης Ο δεύτερος νόµος του Νεύτωνα δίνει: m m ηµθ µ ολ m συνθ = m m ) a (5 µον) ( + (β) Τώρα το σώµα Α, επιπρόσθετα µε τις δυνάµεις που δεχόταν πριν, δέχεται οριζόντια δύναµη από το σώµα προς τα αριερά µέτρου m α και την ατική τριβή αντίθετη µε το βάρος όταν εξετάζουµε την περίπτωση να µην ολισθαίνει προς τα κάτω Το σώµα, επιπρόσθετα µε τις δυνάµεις που δεχόταν πριν, δέχεται από το σώµα οριζόντια δύναµη προς τα δεξιά µέτρου m α Η συνθήκη ισορροπίας του Α ως προς το σώµα δίνει: m = T + S, όπου T και S είναι η ατική τριβή και η τάση που δέχεται το σώµα Α Είναι T µ N A Είναι N A = m a Άρα, T µ ma m S µ ma m S + µ ma (4 µον) Η συνθήκη ισορροπίας του ως προς το σώµα, η διεύθυνση κάθετα µε το κεκλιµένο επίπεδο, δίνει: N + m aηµθ = m συνθ N = m συνθ m aηµθ Η συνθήκη ισορροπίας του ως προς το σώµα, η διεύθυνση παράλληλα µε το κεκλιµένο επίπεδο, δίνει: S = maσυνθ + m ηµθ + T, όπου T είναι η ατική τριβή Είναι: T µ N T µ m ( συνθ aηµθ ) Άρα, S maσυνθ m ηµθ µ m ( συνθ aηµθ ) S µ m ( συνθ aηµθ ) + m ( aσυνθ + ηµθ ) Η συνθήκη το σώµα Α να µην ολισθαίνει προς τα κάτω, S + µ m a, δίνει: m m ma + µ m ( συνθ aηµθ ) + m ( aσυνθ + ηµθ) (6 µον) µ θ Σελίδα 8 από 9

η Παγκύπρια Ολυµπιάδα Φυσικής Λυκείου ΘΕΜΑ 8 (5 µονάδες) Το σώµα µάζας m = 5 k κινείται µε αρχική ταχύτητα µέτρου u = 5 m/s κατά µήκος κεκλιµένου επιπέδου µε κλίση θ = 7 Ο συντελεής ατικής τριβής του επιπέδου και του σώµατος είναι,45 και ο συντελεής τριβής ολίσθησης είναι, Το σώµα αµατά µε τη βοήθεια αβαρούς ελατηρίου το οποίο βρίσκεται ο κάτω µέρος του επιπέδου µε τον άξονά του παράλληλο µε τη διεύθυνση του επιπέδου Όταν το σώµα αµατά διανύει συνολική απόαση d = 4 m κατά µήκος του επιπέδου και µένει ακίνητο ο σηµείο αυτό χωρίς να γυρίσει προς τα πίσω Να υπολογίσετε τη µέγιη τιµή της αθεράς του ελατηρίου ίνεται: = m/s, συν7 =,8 και ηµ7 =,6 m d u K θ Η αρχή διατήρησης της ενέργειας δίνει: mh + mu = K + Td, όπου είναι η συσπείρωση του ελατηρίου, h = dηµθ και T είναι η τριβή ολίσθησης (5 µον) T = µ ολ mσυνθ Άρα, md ηµθ + mu = K + dµ ολ mσυνθ Όταν το σώµα αµατά από το ελατήριο και µένει ακίνητο η συνθήκη ισορροπίας δίνει: F = T + mηµθ, όπου F η δύναµη που ασκεί το ελατήριο ο σώµα και T είναι η ατική τριβή Είναι F = K Επειδή ζητούµε τη µέγιη τιµή της αθεράς του ελατηρίου, K, θεωρούµε τη ατική τριβή να είναι η φορά του m ηµθ µε τη µέγιη δυνατή τιµή Εποµένως, T + mηµθ µ mσυνθ + mηµθ K = T + mηµθ K = = (4 µον) Αντικαθιούµε τη σχέση αυτή η σχέση που βρήκαµε από τη διατήρηση της ενέργειας: md ηµθ + mu = ( µ mσυνθ + mηµθ ) + dµ ολ mσυνθ ή d ηµθ + u = ( µ συνθ + ηµθ) + dµ ολ συνθ Αντικαθιούµε: 4,6 + 5 = (,45,8 +,6) + 4,,8 4 +,5 = 5(,96 +,6) + 9,6 6,5 = 7,8 + 9,6 =, 45 m Αντικαθιούµε την τιµή αυτή η σχέση που βρήκαµε για τη αθερά του ελατηρίου: µ m + m 5(,45,8 +,6) K = συνθ ηµθ = = 47,5 N / m (6 µον),449 Σελίδα 9 από 9