1. Για το σύστηµα που παριστάνεται στο σχήµα θεωρώντας ότι τα νήµατα είναι αβαρή και µη εκτατά, τις τροχαλίες αµελητέας µάζας και. = (x σε μέτρα).

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "1. Για το σύστηµα που παριστάνεται στο σχήµα θεωρώντας ότι τα νήµατα είναι αβαρή και µη εκτατά, τις τροχαλίες αµελητέας µάζας και. = (x σε μέτρα)."

Περσεύς Κορωναίος
7 χρόνια πριν
Προβολές:

Θέμα ο. ια το σύστηµα που παριστάνεται στο σχήµα θεωρώντας ότι τα νήµατα είναι αβαρή και µη εκτατά, τις τροχαλίες αµελητέας µάζας και M= M = M, υπολογίστε την επιτάχυνση της µάζας. ίνεται το g.

1 Θέμα ο. ια το σύστηµα που παριστάνεται στο σχήµα θεωρώντας ότι τα νήµατα είναι αβαρή και µη εκτατά, τις τροχαλίες αµελητέας µάζας και M= M = M, υπολογίστε την επιτάχυνση της µάζας. ίνεται το g. (0) Λύση. Θεωρούμε ότι η δυναμική ενέργεια ενός σώματος μάζας M = 60 kg που κινείται στον x άξονα είναι U ( x) 7x x 3 ( J) = (x σε μέτρα). Η γραφική παράσταση της δυναμικής ενέργειας φαίνεται στο διπλανό σχήμα. i. Σε μια δεδομένη στιγμή το σώμα βρίσκεται στην θέση x=, έχει ολική ενέργεια E= 36J και κινείται προς τα θετικά. Υπολογίστε τα παρακάτω μεγέθη: κινητική ενέργεια, ταχύτητα, δύναμη(μέγεθος και φορά), επιτάχυνση (μέγεθος και φορά). (5) Ορίστε τις περιοχές του x που η κίνηση είναι εφικτή, αν αρχικά το σωματίδιο ήταν στο x= και η ολική του ενέργεια είναι E= 36J (5). Σχεδιάζουμε τις δυνάμεις που ασκούνται στα σώματα και γράφουμε τις συνθήκες κίνησης (όπου a, a και a οι επιταχύνσεις των μαζών M, M, αντίστοιχα και θετικά x προς τα κάτω) : Mg T = Ma () T M g = M a () T = + g T a (3). Εφ όσον ισχύει M= M = M και από το σχήμα προκύπτει ότι a = a a = a a έπεται ότι (χρησιμοποιώντας τις (), () και(3)): 4 M = g 5M + 4 M Αν 4 M > 0 > τότε το σώμα κινείται προς τα κάτω. i. U () = 6J T = E U = 30J du ( x ) dx F( x) = = 4x+ 3x = N 30 / Mυ = υ= s F a= = / s M 60 Τα σηµεία που µηδενίζεται η κινητική ενέργεια είναι όταν U ( x) = 36 x= 6 ή x= 3 ή x= Άρα η επιτρεπτή περιοχή είναι µεταξύ - και 3

2 Θέμα ο. Η επιτάχυνση ενός σώµατος που κινείται ευθύγραµµα δίνεται από τη σχέση a ( ) = 4 t / s. Υπολογίστε την ταχύτητα και το διάστηµα που διανύει το σώµα σαν συνάρτηση του χρόνου, αν ξέρουµε ότι τη χρονική στιγµή t= 3s το σώµα έχει ταχύτητα υ = / s και βρίσκεται στη θέση x= 9 (0). Ένας δίσκος (µάζας ) κινείται χωρίς τριβές πάνω στην οριζόντια επιφάνεια µίας αεροτράπεζας µε ταχύτητα υ προς την κατεύθυνση + x, και συγκρούεται ελαστικά µε τον δίσκο (µάζας ) που είναι αρχικά ακίνητος. Μετά την κρούση, και οι δύο δίσκοι κινούνται κατά µήκος του άξονα των x. i iv. Υπολογίστε την ταχύτητα του κέντρου µάζας του συστήµατος των δύο δίσκων πριν από την κρούση.() Θεωρήστε ένα σύστηµα αναφοράς του οποίου η αρχή βρίσκεται στο κέντρο µάζας των δύο δίσκων και κινείται µαζί του (σύστηµα κέντρου µάζας). Είναι αδρανειακό αυτό το σύστηµα; () Υπολογίστε ως προς το σύστηµα κέντρου µάζας: v. Τις αρχικές (προ της κρούσης) ταχύτητες u και u των δύο δίσκων.() vi. Πόση είναι η ολική ορµή των σωµάτων; () v Την τελική ταχύτητα του κάθε δίσκου συναρτήσει της αρχικής του ταχύτητας. (3) vi Χρησιµοποιώντας τα αποτελέσµατα του ερωτήµατος v βρείτε τις τελικές ταχύτητες των σωµάτων στο αρχικό (ακίνητο) σύστηµα αναφοράς. (3) Λύση. υ (3) = c= dυ 3 3 a= 4 t = 4 t υ t = 4t t + c t = 4t t / s dt dx 3 υ( t) = 4t t = 4t t 3 dt 3 x(3) = 9 c= 3/ xt ( ) = t t t+ c xt ( ) = t t t+ 3/ 4( ) ( ) υ( ) ( ). i. Με τον δίσκο αρχικά σε ηρεµία, υc = + υ. Αφού δεν υπάρχει εξωτερική δύναµη, το κέντρο µάζας κινείται µε σταθερή ταχύτητα και συνεπώς σύστηµα αναφοράς που κινείται µε το κέντρο µάζας, κινείται µε σταθερή ταχύτητα οπότε είναι ένα αδρανειακό σύστηµα. i Οι ταχύτητες έχουν µόνο συνιστώσες x και οι συνιστώσες αυτές είναι u Α ( ) = υ υ = υ, u = υ = υ. c + c +

3 iv. Οπότε, PCM = u + u = 0. v. Αφού η ορµή είναι µηδενική στο σύστηµα CM πριν την κρούση, δεν θα υπάρχει ορµή και µετά την κρούση. p + p = 0 p = p, p = p p + p = 0 p = p, p = p Η διατήρηση της κινητικής ενέργειας δίνει p p p p + = + p + p = p + p p= p vi. Οπότε οι δίσκοι αλλάζουν διεύθυνση αλλά έχουν τα ίδια µέτρα ταχύτητας. Συµβολικά, u = u u = u., ( ) ( + ) u = υ υ υ = υ + u = υ u = υ υ υ = υ υ = υ c c c c c c u = υ υ υ = υ + u = υ u = υ υ = υ = υ ( ) c c c c c c + Θέμα 3 ο Στο παρακάτω σχήµα το σώµα Α έχει µάζα =.5kg και µπορεί να κινείται χωρίς τριβές πάνω στην κατακόρυφη πλευρά του σώµατος. Η τροχαλία έχει µάζα = kg ροπή αδράνειας ως προς τον άξονα περιστροφής R I = και στρέφεται χωρίς τριβές, ενώ ο κύλινδρος έχει µάζα kg = και ροπή αδράνειας ως προς τον άξονα περιστροφής το σώµα Α. I R =. Αβαρές νήµα συνδέει το κέντρο του κυλίνδρου µε Αν αφήσουµε το σύστηµα ελεύθερο ενώ το σώµα κρατιέται ακίνητο: i. Να βρείτε την επιτάχυνση του σώµατος Α δεχόµενοι ότι ο κύλινδρος δεν ολισθαίνει. (5) Να υπολογίσετε την ελάχιστη τιµή που θα πρέπει να έχει ο συντελεστής τριβής µεταξύ κυλίνδρου και σώµατος ώστε ο κύλινδρος να µην ολισθαίνει. (5) ίνεται το g i Ακινητοποιούµε όλο το σύστηµα. Αν το σώµα έχει µάζα 5.5kg και µπορεί να ολισθαίνει χωρίς τριβές πάνω στο οριζόντιο επίπεδο, ποια οριζόντια δύναµη θα πρέπει να ασκήσουµε στο ώστε ο κύλινδρος και το σώµα Α να ηρεµούν ως προς το σώµα ; (0) =

4 . Λύση T T T T F π T F g i. g T a = () ( ) a T T R = I T T = a() R T T = a(3) a TR = I T = a (4) R Προσθέτοντας κατά μέλη τις εξισώσεις έχουμε g = a+ a+ a + a a= g = 3 / s Κύλιση χωρίς ολίσθηση θα έχουμε όταν a= a γ Rκαι όσο μεγαλώνει η ταχύτητα μεγαλώνει και η γωνιακή ταχύτητα. Η γωνιακή επιτάχυνση όμως έχει μέγιστη τιμή που καθορίζεται από τη τριβή. Θα έχουμε ολίσθηση όταν TR TR µ gr a> aγr a> R a> R a> R a> µ g I R R a µ < µ < g Επομένως όταν µ δεν έχουμε ολίσθηση. i Με την εφαρμογή της δύναμης F το σύστημα επιταχύνεται με επιτάχυνση a π F = Α Β και επομένως είναι μη αδρανειακό. Στο σώμα ασκείται πλέον και η

5 πλασματική δύναμη Fπ = a π και για να ισορροπεί θα πρέπει T = T+ a π. Όμως T = T = gκαι T = 0ώστε να μην υπάρχει ροπή που θα περιστρέψει τον κύλινδρο. Επομένως Α F Α Αg = aπ = g Α Β Α F = ( Α+ Β + + ) g = 75N

6 Θέμα 4 ο Οµογενής ράβδος µπορεί να περιστρέφεται χωρίς τριβές σε κατακόρυφο επίπεδο γύρω από οριζόντιο άξονα που περνά από το ένα της άκρο Κ. Η ράβδος έχει τα εξής χαρακτηριστικά: µάζα = kg και µήκος και το πείραµα εξελίσσεται σε πεδίο βαρύτητας ( g = 0 / s ). Η ροπή αδρανείας της ράβδου ως προς άξονα που περνάει από το κέντρο µάζας είναι L I ΚΜ =. Αρχικά η ράβδος βρίσκεται στη θέση () ισορροπίας (κατακόρυφα µε το στερεωµένο άκρο της Κ επάνω και το ελεύθερο άκρο της Α κάτω). i. Να υπολογιστεί η ελάχιστη ταχύτητα u που πρέπει να έχει το ελεύθερο άκρο της Α ώστε η ράβδος µόλις να κάνει ανακύκλωση (θέση ) (5) ια την ίδια αρχική ταχύτητα u και όταν η ράβδος βρίσκεται στη θέση (3) που σχηµατίζει γωνία 90 0 µε την αρχική της οριζόντια θέση, βρείτε: a. Την γραµµική ταχύτητα του κέντρου µάζας της ράβδου, (4) b. Την επιτρόχια επιτάχυνση του κέντρου µάζας της ράβδου, και (3) c. Την κεντροµόλο επιτάχυνση του κέντρου µάζας της ράβδου (3) i Να υπολογιστεί το έργο των ροπών κατά τη κίνηση της ράβδου από τη θέση () ισορροπίας στη θέση () ανακύκλωσης. (5)

7 Λύση i. Εφαρµόζουµε τη διατήρηση της µηχανικής ενέργειας για τις θέσεις () και (). Επίπεδο µηδενικής δυναµικής ενέργειας είναι αυτό που περνάει από το κάτω άκρο Α. Εποµένως: L 3L L gl 6g Iω + g = g ω = g ω = = = 60s I L L u= ω L= 0 60 / s a. Εφαρµόζουµε τη διατήρηση της µηχανικής ενέργειας για τις θέσεις () και (3). Επίπεδο µηδενικής δυναµικής ενέργειας είναι αυτό που περνάει από το κάτω άκρο Α. Εποµένως: L L Iω0 + g = Iω + gl ω = ω0 g L 3 3g ω = ω0 ω = = 30s L u c L 30 = ω = / s b. Υπολογίζουµε τη γωνιακή επιτάχυνση που έχει η ράβδος στο σηµείο 3 L gl 3g τ = g = Iaγ aγ = = = 5s L L 3 Επομένως η επιτρόχια επιτάχυνση είναι L a= aγ = 7.5 / s c. a c uc 30 = = = 5 / s L 4 i Το έργο των ροπών µηδενίζει την κινητική ενέργεια λόγω περιστροφής, εποµένως W = 0 Iω0 = 0J

8 Θέμα 5 ο. Κυκλικός δίσκος ακτίνας R, µάζας Mταλαντώνεται γύρω από άξονα κάθετο στο δίσκο που περνά σε απόσταση r από το κέντρο του δίσκου. Η ταλάντωση γίνεται για πολύ μικρές γωνίες θ. i. Ποια είναι η εξίσωση της κίνησης και η περίοδος της ταλάντωσης του δίσκου; (5) ια ποια τιμή της απόστασης r ο δίσκος θα έχει τη μικρότερη περίοδο ταλάντωσης; (5) Η ροπή αδρανείας του δίσκου γύρω από άξονα κάθετο στην επιφάνειά του, που περνάει από το κέντρο του είναι IKM = MR. ίνεται το g.. Ένας κουβάς που περιέχει υγρό πυκνότηταςρ, έχει µια πολύ µικρή οπή σε απόσταση h από την επιφάνειά του. Η απόσταση επιφανείας υγρού και πυθµένα είναι H i. είξτε ότι η ταχύτητα µε την οποία διαφεύγει το υγρό είναι ίση µε την ταχύτητα που θα είχε ένα σώµα που κάνει ελεύθερη πτώση από ύψος h. (5) H H είξτε ότι αν h=, τότε το υγρό χτυπάει το έδαφος στην µέγιστη απόσταση x ax από τα τοιχώµατα του κουβά. (5) x Θεωρείστε ότι η οπή είναι πολύ µικρή σε σχέση µε την ελεύθερη επιφάνεια του υγρού και εποµένως η ταχύτητα του υγρού στην επιφάνεια είναι πρακτικά µηδέν. ίνεται το g.

9 Λύση. i. Η εξίσωση κίνησης είναι η σχέση.46 του βιβλίου I σχέση.49 T = π. Mgr d θ Mgr = θ ενώ η περίοδος είναι η dt I Στην περίπτωσή µας I = MR + Mr MR + Mr Η περίοδος είναι π R T = π = + r Η µικρότερη περίοδος είναι όταν Mgr g r R d + r R r dt r dr dr R + r r = 0 = 0 = 0 R = r r = R. Εφαρµόζοντας την εξίσωση ernoulli για τις θέσεις και έχουµε: P0 + ρυ + ρgy = P0 + ρgh ( ) υ = g H y = gh i. Η οριζόντια ταχύτητα είναι gh ενώ ο χρόνος που χρειάζεται για να χτυπήσει το έδαφος είναι ( ) H h g. Σε αυτόν το χρόνο διανύεται απόσταση στην οριζόντια διεύθυνση ( H h) x= gh = h H h g ( ) ( ) Η απόσταση αυτή γίνεται µέγιστη όταν x = 0 H h = 0 h= h H h ( ) ( ) H H y ( ) H H Η απόσταση είναι xax == = H

Σχετικά έγγραφα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ 2019

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ 019 Κινηματική ΑΣΚΗΣΗ Κ.1 Η επιτάχυνση ενός σώματος που κινείται ευθύγραμμα δίνεται από τη σχέση a = (4 t ) m s. Υπολογίστε την ταχύτητα και το διάστημα που διανύει το σώμα