ПӘНДІ ОҚЫТУДАҒЫ ӘДІСТЕМЕЛІК НҰСҚАУЛАР

Әдістемелік нұсқаулардың Нысан титулдық парағы ПМУ ҰС Н 78 Қазақстан Республикасының білім және ғылым министрлігі С Торайғыров атындағы Павлодар мемлекеттік университеті Математика кафедрасы Математикалық анализ пәні бойынша 5В7- Ақпараттық жүйелер мамандығының студенттеріне арналған ПӘНДІ ОҚЫТУДАҒЫ ӘДІСТЕМЕЛІК НҰСҚАУЛАР Павлодар

Әдістемелік нұсқауларды Нысан бекіту парағы ПМУ ҰС Н 78 БЕКІТЕМІН ОІ жөніндегі проректор НЭПфейфер ж Құрастырушы: аға оқытушы МҚҚұдайберген Математика кафедрасы Математикалық анализ пәні бойынша 5В7- Ақпараттық жүйелер мамандығының студенттеріне арналған ПӘНДІ ОҚЫТУДАҒЫ ӘДІСТЕМЕЛІК НҰСҚАУЛАР Кафедра отырысында ұсынылды ж, Хаттама Кафедра меңгерушісі МЕИсин ж Физика,математика және ақпараттық технологиялар факультетінің оқуәдістемелік кеңесінде мақұлданды ж, Хаттама ОӘК төрағасы АБИскакова ж МАҚҰЛДАНДЫ: ЖжӘҚБ бастығы АА Варакута ж Университеттің оқу-әдістемелік кеңесімен мақұлданды ж, Хаттама

Пәнді оқытуға арналған әдістемелік нұскаулар Тақырып Бір айнымалы функцияның дифференциалдық есептеулері Анализге кіріспе Жиындар және оларға қолданылатын амалдар Функция және оның қасиеттері Функцияның нүктедегі, ақырсыздығы шектері Сан тізбегі және оның қасиеттері Тамаша шектер Үзіліссіздік Үзіліс нүктелерін классификациялау Функцияның туындысы Дифференциалдау ережелері Дифференциал және оның қолданылуы Аралықта дифференциалданатын функциялар туралы теоремалар Жоғары ретті туындылар мысал Мына шектерді табу керек а) lim ; lim б) rcg ; lim в) ; ( ) lim 6 г) Шешуі а) Шектік мәні х-ні бірден қойғанда түріндегі анықталмағандық шығадыосы анықталмағандықты ашу үшін бөлшектің алымы мен бөлімін көбейткіштерге жіктейміз: ( )( ) және ( )( ) ; Ал х аргументі тек қана өзінің шектік мәні -ге ұмтылады да оған тең болмайды Сондықтан ( ) көбейткіші да нөлден өзгеше болады: lim lim ( )( ) ( )( ) lim 8 б) rcg u деп белгілейік Сонда gu болады да да u Сондықтан ( lim cosu) rcg u u u lim lim lim cosu lim u gu u si si u u u u Бұл есепті басқаша да шығаруға болады Екі шексіз шамалардың қатнасының шегін есептегенде оларды эквивалентті шексіз аз шамамен ауыстыруға болады Егер rcg lim lim да rcg ~ деп алатын болсақ, онда в) Егер са бөдшегі -ге ұмтылады, яғни түріндегі анықталмағандық шығады Сондықтан бөлшекті түрлендіріп, мына түрде

u жазамыз: Енді деп белгілейікосыдан 5 u, u және да u Сондықтан lim lim u 5 u ( u) lim ( u) u ( u) u 5 lim u 5 ( u) lim( ) e e u г) Егер мәнін берілген шекке қойсақ, онда түріндегі анықталмағандық шығады Сондықтан осы анықталмағандықты ашу үшін u ауыстыруын пайдаланамыз Егер болса, онда u Сонда lim u ( ) 6( ) lim ( ) u e,66 - мысал Мына функцияны үздіксіздікке зерттеу керек: e f ( ), егер, l, егер > болса у х Сурет 8 f функциясының нүктесінде үздіксіз болатындығын дәлелдейік Ол үшін ε<, ε> аралығын қарастырайық Сонда нүктесінің ε маңайында х нүктесі жатпайтын болады Сол ε маңайында f ( ) функциясы < болса ϕ( ) функциясына, ал > болса ϕ( ) l функциясына тең болады Қарастырылып отырған элементар функциялар нүктесінде үздіксіз болғандықтан f ( ) функциясы кез келген нүктесінде үздіксіз болады Енді Шешуі ( )

f ( ) функциясын нүктесінде үздіксіздікке зерттейік Ол үшін біржақты f ( ) lim l lim l l, шектерді есептейік: f lim lim ( ) Сонымен f ( ) f ( ), яғни f функциясының бірінші текті үзіліс нүктесі болады - мысал Берілген функциясын үздіксіздікке зерттеу керек Шешуі Егер х - болса, онда функция осы нүктеде үзілісті болады Енді lim lim, < < -дегі біржақты шектерді анықтайық: өйткені бөлшектің бөлімі теріс бола отырып нөлге ұмтылады Сол сияқты lim lim, > > Мұнда бөлшектің бөлімі оң бола отырып нөлге ұмтылады Сонымен, х болғанда берілген функцияның екінші текті үзіліс нүктесі болады нүктесі ( ) Мысал si функцияның туындысын табу керек Шешуі si десек, болады Формула бойынша cos si cos Параметрлік түрде берілген функцияны алайыќ, яѓни ( ) ( ) () түрде берілсін Бұл функцияның туындысы бойынша анықталады cos Мысал si функцияның туындысын табу керек ( si ) si cos g Шешуі ( cos ) cos si функциясы мына формуласы Енді төмендегі айқындалмаған функцияның туындысын табайық, осыдан шығады b,

5 Туындының геометриялық және механикалық мағынасы f ( ) функциясының абсциссасы жасаған бұрышының тангенсі У нүктесіндегі туындысы функция графигіне оның нүктесінде жүргізілген жанаманың Ох өсінің оң бағытымен Сурет 9 α О f ( ) Х ( ) α f g - ның туындысы функцияның мезеттегі өзгеру жылдамдығы Туындының геометриялық мағнасын көрсететін төмендегі мысалдарды келтірсек Ал механикалық мағынада функция f ( ) мысал Берілген 6 қисығының абсциссасы болатын нүктесінде жүргізілген жанама мен нормальдың теңдеулерін жазу керек Шешуі Жанасу нүктесінің ординатасын табайық: 6 5 Қисыққа жанаманың бұрыштық коэффиценті туындының х нүктесіндегі мәніне тең: k ( ) ( 6 ) ( 6) Енді және мәндерін жанаманың теңдеуіне қоямыз: ( )( ), f (8) ( ), ( жанама) 5 Осы сияқты және f ( ) ( ), мәндерін нормальдыњ теңдеуіне қоямыз: (9) 5 ( ), (нормаль) мысал Лопиталь ережесін пайдаланып, мына функциялардың шегін есептеу керек:

( ) ( ) lim ; l ) ( 5 lim ) ) Шешуі ) Аргументтің шектік мәні х--ді орнына қойсақ түріндегі анықталмағандық шығады Оны ашу үшін Лопиталь ережесін қолданайық: ( ) ( ) f f lim lim ϕ ϕ ( ) ( ), () [ ] ( ) ( ) ( 5 ) ( ) lim lim lim 5 8 Лопиталь ережесін бірінші рет қолданудан анықталмағандық ашылған жоқ Сондықтан ол ережені тағы да қолданамыз: 5 ( ) ( ) lim 8 5 lim ( 8 5) lim 6 8 ) Анықталмағандық ережесін қолданамыз: ( ) [ l( )] lim lim ( ) ( ) түрінде екендігіне көз жеткізгеннен кейін Лопиталь lim l lim 5 мысал Мына функцияны зерттеп графигін салу керек: Шешуі ) Функцияның анықталу облысы, х функцияның үзіліс нүктесі ) Функция симметриялы да, периодты да емес ) Функцияның монотонды өсу және кему аралықтары, экстремум нүктелері ( ) Функцияның бірінші туындысын табамыз: ( ) Бірінші туындыны нөлге теңестіріп экстремум беретін нүктелерін іздейміз:,( ),, Ал шартынан нүктесі алынады Туындының осы нүктелердің әрқайсысының оң және сол жақтарындағы таңбаларын зерттейміз Көрнекті бөлу үшін нәтижелерді кестеге толтырайық:

(,) (;) (;) ( ; ) - - m анықталмаған mi Сонымен, функцияның максимум нүктесі: m, m, немесе (;), ал минимум нүктесі: mi, mi немесе (;) Функция нүктесінде анықталмағандықтан ол нүктеде экстремум жоқ ) Функцияның грфигінің ойыс, дөңестігі, иілу нүктелері Екінші туындыны табайық: ( ) ( ) Екінші туынды ешқандай нүктеде нөлге айналмайды, ал нүктесінде шексіздікке ұмтылады Сол нүктесі арќылы өткенде екінші туынды таңбасын өзгертеді Бірақ ол иілу нүктесі болмайды, өйткені ол нүктеде функция анықталмаған (, ) - (,) 5) Асимптоталары Тік асимптотасы жоғарыда табылды: түзуі Енді көлбеу асимптоталарын іздейміз: f () k b, k lim, b lim[ f () k] () k lim ( ) lim, b lim lim Сондықтан көлбеу асимптотаның теңдеуі 6) Функцияның шектік мәндерін зерттейік: lim lim ; lim lim ; lim ± ± түрінде болады Функцияның графигі координаталар өсіне (;) нүктесінде қиып өтеді 7) Осы нәтижелерді пайдаланып фунйциясының графигін саламыз

Сурет 6 мысал Параметрлік түрде берілген f () функциясының туындысын табу керек, 5 6 5 Шешуі Берілген () және дифференциалдаймыз: () () функцияларын параметрі бойынша, () 6 Сонда d d 6 7 мысал Берілген g7 шамасын жуықтап есептеу керек Шешуі Жуықтап шешу формуласын пайдаланамыз: f ( ) f () f () ()

g функциясын қарастырайық Туындысы cos - ке тең Ал 5,5 деп алсақ немесе радианға айналдырсақ: 8 ке тең g7 g5,5,7,7 болады Сондықтан, cos 5 Әдебиет: [], -6 бет Тақырып Бір айнымалы функцияның интегралдық есептеулері Анықталмаған интеграл және оның қасиеттері Интегралдау әдістері Комплекс сандар Рационал бөлшектерді қарапайым бөлшектерге жіктеу Рационал, иррационал және тригонометриялық функцияларды интегралдау Анықталған интеграл және оның қасиеттері Ньютон Лейбниц формуласы Анықталған интегралдарды интегралдау әдістері Анықталған интегралдарды жуықтап есептеу Анықталған интегралдардың қолданылулары 8 мысал а) ( 5 ) d интегралын табу керек u 7 u du u du C u C 7 7 Шешуі формулаларды пайдаланып мынадай нәтиже аламыз: 7 7 ( 5 ) d ( 5 ) C ( 5 ) C 5 7 б) rcgd интегралын табу керек Шешуі Бөліктеп интегралдау әдісін қолданамыз: 7 5 болғандықтан () rcgd u rcg, d dv, du v d rcg d rcgd ( ) d rcg в) l d ( ) C интегралын есептеу керек

, d d, d ( ) d d d ( ) ( ) ( ) C C C d 9 мысал ( ) d cos si si интегралын есептеу керек Шешуі ( ) d d rcg, rcg,, g g cos, g g si, g d cos si si C g g l g C l d d мысал ( )( ) d 8 5 интегралын есептеу керек

Шешуі Интеграл астындағы дұрыс рационал бөлшекті жай бөлшектерге 5 8 A B C жіктейміз: ( )( ) Теңдіктің екі жағын да ( )( ) - ге көбейтіп, алымдарын теңестіріп,белгісіз коэффициенттері A, B және C - ны анықтау үшін тепе теңдік аламыз: 5 8 ( ) ( B C)( ) A Теңдіктің екі жағындағы бірдей дәрежелі - тердің коэффициенттерін салыстырып, сызықтық теңдеулер жүйесін аламыз: : 5 B C, : A B, :8 A C Бұл жүйенің шешуі: A қойып, интегралды есептейміз: 5, B, C Осы мәндерді орындарына 5 8 5 d d d 5 ( )( ) d мысал Шешуі ( ) rcg C 5 l l d анықталған интегралын есептеу керек, d d, d d,,, ( ) d l l l l 5 мысал Мына меншіксіз интегралдарды есептеу керек d ) ; d )

Шешуі ) Бірінші интеграл жоғарғы интегралдау шегі шексіздікке тең меншіксіз интеграл Оны есептеу үшін (7) анықтаманы пайдаланамыз: d b d lim b lim b lim lim b b b b b Сонымен, берілген меншіксіз интеграл жинақталады f (), ) Екінші интеграл астындағы функция шексіздікке айналады Сондықтан, (8) анықтаманы пайдаланамыз мәнінде ( ) lim ll[] ε d d lim lim l ε ( ) lim l ε ε ε ε ε ε яғни берілген интеграл жинақталмайды Анықталған интегралды төмендегі есептерді шешуде пайдалануға болады ) жазық фигураның ауданын есептеу; ) қисықтың ұзындығын есептеу; ) айналу денесінің көлемін есептеу; ) қисықтың статикалық моменті және ауырлық центрі Массасы m -ге тең материалдық нүктенің l өсіне қарағандағы статикалық моменті деп нүктенің массасы мен оның өске дейінгі ара қашықтығының көбейтіндісін атайды d M l m d Қисықтың координат өстеріне қарағандағы статикалық моменттері: M L ds, M L ds ( ) d ds ( ) ( ) d, немесе, формулаларымен өрнектеледі Мұндағы ds доғаның дифференциалы Жүйенің массасын көшіруге болатындай нүкте сол нүктелер жүйесінің ауырлық M c центрі деп аталады Ауырлық центрінің координаттары: M c m, m m формулаларымен анықталады, мұндағы доғаныњ тығыздығы δ деп есептейміз L L ds ( ) d Материалдық

мысал Берілген түзуімен және шектелген фигураның ауданын табу керек параболасымен У УХ - Х -------- - Y-X Сурет 5 Шешуі Парабола мен түзудің қиылысу нүктелерінің абсциссасын, анықтайық: S b f ()d Бұл жүйенің шешуі: формуласы бойынша есептейміз:, Ауданды S [ ( ) ] d 8 9 мысал Теңдеуі ρ cos ϕ (лемниската) түрінде берілген қисықпен қоршалған фигуранаң ауданын табу керек Сурет Шешуі Қисық полярлық координаталарымен берілгендіктен ауданды: β S ρ ( ϕ) dϕ α () формуласымен есептейміз

si ϕ S cos ϕdϕ Осыдан S 5 мысал Теңдеуі cos, si түрінде берілген астроиданың ұзындығын табу керек Шешуі Қисық өстер бойынша симметриялы Сондықтан бірінші ширектегі бөлігін есептесек те жеткілікті Қисықтың доғасының ұзындығын мына формула бойынша есептейміз: l d d d d d () Туындыларды есептейміз: d d cos si, si cos d d Параметр ден - ге дейін өзгереді Енді формула бойынша мынадай нәтиже аламыз: l 9 cos si 9 si cos d cos si d si cos si, l 6 6 мысал Теңдеулері,, ( ) O түрінде берілген қисықтармен шектелген фигураның өсін айналуынан шыққан дененің көлемін табу керек Шешуі Көлемді (9) формула бойынша есептейміз Сызықтардың қиылысуы нүктесі: Осыдан ( > ) V ( ) d [ ( )] d ( ) d 5 5 5 5

Сурет Әдебиет: [], -7 бет Тақырып Дифференциалдық теңдеулер Көп айнымалы функциялар Олардың үзіліссіздігі Дербес туындылар Күрделі функцияны дифференциалдау R кеңістігіндегі функциялардың аралас туындыларының теңдігі Екі айнымалы функцияның экстремумы бар болуынын қажетті шарты Айқындалмаған функцияның бар болуы мен дифференциалдануы туралы теорема Айнымалылары бөлінген және бөлінетін дифференциалдық теңдеулер Коши есебі Коши есебі шешімінің бар болуы туралы теорема Біртектес және біртектес емес сызықтық теңдеулер Реттері төмендетілетін теңдеулер Коэффициенттері тұрақты біртектес және біртектес емес сызықты теңдеулер Орнықтылықты теориясының элементтері Қарапайым дифференциалдық теңдеулердің қолданылулары ) Егер берілген D облысының әрбір (, ) қос мәніне белгілі бір мәні сәйкес келсе, онда айнымалысы және екі айнымалысының функциясы деп аталады Белгілеуі: f (, ) немесе (, ) және тсс ) Аргумент өсімшелерін және деп белгілейтін болсақ, онда M(, ) нүктесіне оған жақын M (, ) сәйкес келеді Екі айнымалының f (, ) функциясының M нүктесіндегі толық өсімшесі деп f (M ) f (M) f (, ) f (, ) айырымын айтады ) Егер өсімшесін A B ε, () мұндағы ε - реті жоғары шексіз аз шама, деп өрнектеуге болатын болса, онда фунциясы M нүктесінде дифференциалданатын функция деп айтады да, оның басты сызықты бөлігі функцияның толық дифференциалы деп аталады Ол мына формула бойынша есептеледі:

d d d, () мұндағы және - дербес туындылар ) Функция өсімшесі пен оның толық дифференциалы d арасында мынадай байланыс бар: d ε Егер реті жоғары шексіз аз ε - шамасын ескермесек, онда жуықтап есептеу формуласын алуға болады: f (, ) f (, ) f f () 5) Егер функциясы F (, ) түріндегі теңдеумен берілсе, онда ол - тің айқындалмаған (жабық) функциясы деп аталадыоның туындысы мына формула арқылы есептеледі: d d F (, ) F (, ) (5) 6) Экстремумның қажетті шарты f f (, ) (, ) (6) Осы жүйенің шешулері экстремум нүктелерін береді Бірақ барлық стационар нүктелер экстремум нүктесі бола бермейді Ол үшін экстремумның жеткілікті шартын пайдалану қажет 7) Мынадай белгілеулер енгізейік: M (, ) кризистік нүктесі болсын және A f (, ), B (, ), C f (, ) AC B (7) болсын Егер M (, ) кризистік нүктесінде: ) > және A > болса, онда M минимум нүктесі; > және A < болса, онда M максимум нүктесі

) < болса, онда M нүктесінде экстремум жоқ ) болса қосымша зерттеулер қажет 7 мысал Мына функциялардың анықталу облыстарын табу керек а) ; б) ; в) 9 ; г) l( ) u ; d) Шешуі а) түзуінің нүктелерінен басқа жазықтық нүктелері; б) центрі бас нүктеде, радиусы ге тең шеңбердің нүктелері және ол шеңберден тыс жатқан нүктелер; в) 9 9 эллипсінде және оның ішінде жатқан нүктелер; г) > параболасының ішкі жағындағы парабола мен арасындағы жазықтық бөлігі Параболаның доғасы анықталу облысына жатады, ал шеңбердің доғасы жатпайды d) >, >, > - бірінші октант 8 мысал Мына функциялардың дербес туындылары мен толық дифференциалын табу керек e а) ; б) ; в) ( si ) cos l ; г) ( ) ( )d d d d d Шешуі а) d e d d б) ; cos в) d ( si ) [ cos cgd si l si d] ; d ( d d) г) ;

9 мысал Айқындалмаған түрде берілген туындысын табу керек Шешуі e e функциясының d F (, ) ; d F (, ) F(, ) e F e e e, F ; e e ; d e e d e e мысал Мына функциясын экстремумға зерттеу керек Шешуі Экстремумның қажетті шарттарын қанағаттандыратын нүктелерді іздейміз Ол үшін берілген функцияның дербес туындыларын тауып, оларды нөлге теңестіріп жүйенің шешуін табамыз:,,,,, Жүйенің шешуі: Сонымен - кризистік нүктесі Экстремумның жеткілікті шарттарын тексереміз: A, B, C AC B > және A >, Сондықтан, минимум нүктесі мысал Мына,, теңсіздіктерімен берілген тұйық облыста функциясының ең үлкен және ең кіші мәндерін табу керек, ( ),, 8 6, 8 6

Шешуі Функцияның берілген облысы координаталар өстерімен және түзуімен шектелген үшбұрыш ) Функцияның анықталу облысында жататын стационар нүктелерді іздейміз: у В А х Сурет, Бұл 8 8 нүктесі анықталу облысында жатпайды Сондықтан функцияның осы нүктедегі мәнін есептемейміз ) Функцияны анықталу облысының шекарасында зерттейміз Шекарасы үш бөліктен тұратындықтан, функцияны әр шекара бөлігінде жеке жеке зерттейміз а) Функцияны OA бөлігінде зерттейміз Бұл бөлігінде A(;) нүктесі бар Бұл түзуде болғандықтан болады Бұл функция OA бөлігінде деп ге дейін өседі Сондықтан болғанда, яғни (;) нүктесінде, ал ең үлкен мәні болғанда (;) - ге тең болады б) B(;) нүктесі жататын OB бөлігінде болады Ал функция 6, 6 түрінде жазылады Сонда 6 кризистік ; нүкте 6 (; ) Функцияның бұл нүктедегі мәні 6 в) Функцияны түзуі бөлігінде зерттейміз Осыдан - ті теңдеуге қойып, ( ) ( ) ( ) немесе 7 7 8 7, 8 7 болса, теңдігін аламыз Осыдан 8 8 Бұл 7, нүктедегі функция мәні 8 8 6 Енді B (,) нүктесіндегі, функцияның мәнін есептейміз: 5 ( )

, ) Осы,,, 6 5 мәндерін салыстырып 7, функция берілген облыстағы ең үлкен мәні 6 шамасын 8 8 нүктесінде, ал ең кіші мәнін шамасын ( ; ) нүктесінде қабылдайтындығын көреміз мысал b (,5) (, 9) f (, ) Шешуі дифференциалы: f f df түбірін жуықтап есептеу керек функциясын қарастырамыз Бұл функцияның Берілген b саны B (;) нүктесінде f (;) 6 9 5,5,,7 өсімшесін қабылдайды Ал f (;) f (;),8,,6 5 5 мәндеріне тең болады Сондықтан, жуық есептеу формуласына қойып, мынадай нәтиже аламыз: ( ),8,5,6,7, df, яғни (,5;,9) f (;) ( df ) 5,,998 b f 5 мысал Берілген cos теңдеуінің алғашқы шартын қанағаттандыратын шешуін табу керек Шешуі Осы теңдеуге сәйкес біртекті теңдеудің жалпы шешуін табайық: d d d,, d Екі жағын да интегралдап l l l C, C шешуін аламыз Тұрақтыны вариациялау әдісін қолданайық Ол үшін тұрақтыны C C() деп алайық Сонда C() функциясын біртексіз теңдеудің шешуі түрінде іздейміз Бұл теңдіктен C () C тауып, пен - ті берілген теңдеуге қоямыз Сонда [ C () C] C() cos немесе

[ C () cos] теңдігі алынады Мұнда, өйткені егер болса, онда алғашқы шарт бойынша болғанда болу керек Сондықтан Ал dc() C () cos, cos, dc() cos d, C() si C d Осыны жалпы шешуі C() теңдеудің жалпы шешуін аламыз: формуласына қойып, берілген біртексіз ( si C) Дербес шешуін табу үшін si C, мәндерін соңғы теңдікке қоямыз: Осыдан C Сонда берілген теңдеудің дербес шешуі: түрінде алынады 5 мысал Берілген ( ) (), () теңдеуінің алғашқы шарттарын қанағаттандыратын шешуін табу керек Шешуі Берілген екінші ретті дифференциалдық теңдеу құрамында айнымалысы жоқ Енді p деп белгілейік Мұндағы, p кез келген - тің функциясы d dp Егер p болса, онда d d Берілген теңдеуге осы туындыларды қойып: dp ( ) p d теңдеуін аламыз Бұл теңдеудің шешуі dp p d, ( si ) ( ) dp d, l p l l p C

Осыдан p C ( ) шарттарды пайдаланайық: немесе C( ) табылады Алғашқы C ( ), яғни C Енді бірінші ретті ( ) теңдеуінің шешуін табайық: ( ) d, ( d ) C d Алғашқы шартты пайдаланып C мәнін табамыз: C, C Сонымен берілген теңдеудің алғашқы шарттарды қанағаттандыратын дербес шешуі 5 мысал Берілген теңдеуін шешу керек Шешуі Теңдеу құрамында белгісізі жоқ Сондықтан p() деп алып d( ) d d dp p d d d d теңдігін жазамыз Сонда теңдеуге қойып: dp p p d осы теңдеудің шешуін p C түрінде аламыз Сондықтан, d C, Cd, l C l C, C e C шешуі табылады Теңдеуді шешкенде оны пен p - ға бөлдік Соның салдарынан және p,, C шешулерін жоғалтуымыз мүмкін C Бірақ бұл шешулер жалпы шешу Ce құрамында C және C мәндері нөл мәнін қабылдаған жағдайда алынады 55 мысал Берідген e теңдеуінің жалпы шешуі мен (), алғашқы 8 шарттарын қанағаттандыратын шешуін табу керек

Шешуі Берілген теңдеуге сәйкес біртекті теңдеуді қарастырайық Оның сипаттамалық теңдеуі k k Сипаттамалық теңдеудің түбірлері k 5, k болғандықтан, біртекті теңдеудің жалпы шешуін 5 Ce Ce түрінде жазуға болады Бұл жағдайда α Ондай сипаттамалық теңдеудің түбірі жоқ Сондықтан көбейткіші болмайды Туындыларды есептейміз: д Ae ( A B) e e ( A A B) д e ( A A B A) e ( A B A) Осыларды біртекті теңдеуге қоямыз: e ( A B A) e ( A A B) e ( A B) e Ал e болғандықтын, қысқартып мынадай өрнек аламыз: A B A A 6A 6A 6B A B немесе A A B Осыдан A, A, A B, B A Сонда біртексіз теңдеудің дербес шешуі д e ( ) e түрінде жазылады Берілген теңдеудің жалпы шешуі: ( ) 5 д Ce Ce e Алғашқы шарттарды қанағаттандыратын дербес шешуін іздейік

8 5 C C, 5Ce Ce e C C, 5C C, 5C C C, C Осыдан 5 5 7 e e 5 6 56 мысал Мына d 8, d d d 7 6 ( ) Енді дербес шешуді мына түрде жазамыз: ( ) e жүйенің жалпы шешуін табу керек Шешуі Сипаттамалық теңдеуін қарастырайық λ немесе 8 λ, ( λ)( λ) 8 λ 9, λ, λ Бұл мәндерді γ және γ бойынша сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесіне қоямыз: λ ( ) γ 8γ, γ 8γ, ( ) γ γ γ γ γ γ γ γ, Екі теңдеу де бірдей Мысалы, γ k γ деп алатын болсақ, k Ал k деп алсақ γ болады Сонымен егер λ болса, мынадай шешулер аламыз: e, e

Егер λ болса, онда: ( ) γ 8γ, γ 8γ, ( ) γ γ γ γ, γ γ, γ γ k Мысалы, γ k γ деп алсақ, Ал k деп алсақ γ, γ болады Сондықтан λ болғанда, мынадай шешулер алынады: e, e, Сонымен, жүйенің жалпы шешуі: Ce Ce, Ce Ce 57 мысал Шек және l шеттерінен бекітілген Алғашқы уақыт кезеңінде шектің пішіні суретте көрсетілген OAB сынығының түріндей болсын Егер бастапқы жылдамдық болмаса, онда кез келген уақыт кезеңіндегі шектің пішінін анықтау керек u A h B l Сурет 9 l Шешуі Суреттен және есептің шартынан мынаны аламыз: ϕ ( ) h, l h l ψ ( ) ( l ) егер, егер l l l болса, болса Енді коэффициенттерді есептейміз: b k h k h ϕ l l l l l l l k l l ( ) si d si d ( l ) si d, b k k

k si d Алдымен l k, si d dv, du l осыдан интегралын бөліктеп есептейік: l k d, v cos k l Сондықтан k l k l k l k l k si d cos cos d cos si l k l k l k l k l Сонда k коэффициенті мынаған тең: k l h k h l k h l k 8h si d si d si d l l l l l l l l k Сонымен, есептің шешуі: 8h u(;) k k k k k si si cos l l k si Әдебиет: [], 8-99, -8 бет Тақырып Қатарлар теориясы Сан қатарлары және олардың жинақтылық белгілері Функциялық қатарлар Функциялық тізбектер мен қатарлардың бірқалыпты жинақтылығы Функциялық қатарларды мүшелеп диференциалдау және интегралдау Дәрежелік қатарлар Абель теоремасы Тейлор қатары Қатарлардың қолданылулары мысал Берілген қатардың қосындысын табу керек 5 5 7 ( )( ) Шешуі Қатардың жалпы мүшесін белгісіз коэффициенттер әдісін пайдаланып жай бөлшектерге жіктейік: A B ( )( ) Осыдан A( ) B( ), A B, A B, A, B

Сонымен, ( )( ) Енді берілген қатардың әрбір мүшесін екі қосылғыш түрінде жазып, - ші дербес қосынды үшін мынадай өрнек аламыз: S 5 5 7 ( )( ) 5 Бірінші мен соңғы қосылғыштардан басқасының барлығы өзара жойылады Сондықтан қатардың қосындысын шекке көшіп аламыз: lims lim, яғни S мысал Мына қатарды жинақтылыққа зерттеу керек: а) ;! г) ; б) ( ) д) ; в) ; Шешуі а) Даламбер белгісін пайдаланайық Мұнда!,, l lim lim lim <! ( )! ( )!, яғни қатар жинақталады б) Берілген қатардың жалпы мүшесін қатарымен салыстырамыз q < Бұл геометриялық қатардың еселігі және барлық үшін < ( ) теңсіздігі орындалады Сондықтан салыстыру теоремалары бойынша берілген қатар жинақталады в) Қатардың жалпы мүшесі өрнектің - ші дәрежесін сипаттайды Сондықтан бұл жағдайда Коши белгісін пайдаланған қолайлы: l lim lim lim <, яғни ρ <

болғандықтан қатар жинақталады г) Жинақтылықтың қажетті шартын тексеретін болсақ, ол орындалмайды: lim lim - қатар жинақталмайды д) Интегралдық белгіні пайдаланайық: d lim b d lim rcg b b lim rcg b b b rcg 6 9 Меншіксіз интеграл жинақталады Сондықтан берілген қатар да жинақталады 5 мысал Қатарды абсолютті жинақтылыққа зерттеу керек: ( ) Шешуі Бұл ауыспалы таңбалы қатар Лейбниц теоремасының шарттарының орындалуын тексереміз Қатардың мүшелері кемімелі: > > > > > және жалпы мүшесі - де нөлге ұмтылады Сондықтан, бұл қатар Лейбниц теоремасының шарттарын қанағаттандырады Ал қатардың мүшелерінің абсолют шамаларынан құралған қатар - жинақталмайды Осыдан қатар шартты жинақталатындығы туралы қортынды жасалады 6 мысал Мына дәрежелік қатарды жинақтылыққа зерттеп оның жинақталу радиусын табу керек: ( ) ( )( ) Шешуі Бұл қатар үшін U (), U ( ) h ( )( ) ( )( )

u () lim U () lim ( )( ) ( )( ) lim < Егер болса, онда Даламбер белгісі бойынша қатар абсолютті < жинақталады Әрі қарай немесе < <, < < Сонымен қатардың жинақталу интервалы ( ; ), ал жинақталу радиусы R 5 7 мысал Берілген керек Шешуі Қатарды ашып жазайық қатарының жинақталу облысын табу 5 5 5 9 9 5 Осыдан қатардың шексіз көп коэффициенттері нөлге тең екендігі көрінеді C C C C5 C 6 C 7 C8 C C C m (m ) Сондықтан жинақталу радиусының белгілі формулаларын қолдануға болмайды Сондықтан қатардың жинақталу облысын табу үшін Коши белгісін пайдаланамыз, егер5 >, немесе > болса, 5 l lim 5 lim5, егер5, немесе ± болса, 5, егер5 <, немесе < < болса 5 5 < < Осыдан берілген қатар 5 5 аралығында жинақталатындығы ± шығады Ал аралықтың 5 шекаралық нүктелерінде жинақталмайды Өйткені жинақтылықтың қажетті шарты орындалмайды 8 мысал 68 түбірін, дәлдікпен есептеу керек 68 6 Шешуі 6 6 Енді ( ) функциясының қатарға жіктелуін жазайық:

( )!!!! 5 8! Осы жіктеуде 6 аламыз: деп алып және ке көбейтіп мынадай нәтиже 68 6 6!6 576,8 Бұл жіктелудің үш мүшесін алудың өзі керекті дәлдікті қамтамасыз етеді 5 R <,!6, 5 9 мысал cos d интегралын, дәлдікпен есептеу керек Шешуі Алдымен cos функциясының қатарға жіктелуін жазайық: cos ( ) ( )! мұнда - ті пен ауыстырайық cos!! 6! Осы жіктеуді интегралға қойып және берілген аралықта интегралдаймыз:,5 cos d d!! 6! I!! 6!!! 6!

Бұл жинақталатын ауыспалы таңбалы қатардың төртінші мүшесі: 6! керекті, дәлдіктен кіші Сондықтан ауыспалы таңбалы қатардың қалдық қатарының қасиеті бойынша қатардың алғашқы үш мүшесін алсақ жеткілікті: I 6 576,9 5 мысал Периодты f () функциясын, егер <, f (), егер <, аралығында Фурье қатарына жіктеу керек Шешуі Берілген f () функциясы Фурье қатарына жіктеудің шарттарын қанағаттандырады Сондықтан мынадай болса ( ) f () ( cos b si ) (9) теңдік жаза аламыз Мұндағы формулалармен анықталады: және b коэффициенттері мына f ()cosd,,,, (9) b f ()si d,,,, (9) Енді (9) формулада деп алып коэффициентін анықтаймыз: f ()d d d Берілген функция мен (9) формула бойынша анықтаймыз: коэффициентін

f () cos d ( cos ) d cos d cos d cos d Бөліктеп интегралдап мынаны аламыз: si cos si cos, егер так болса,, егер жуп болса cos ( ) Енді b коэффициентін анықтайық b f()sid sid sid sid Бөліктеп интегралдаймыз cos si cos, егер так болса,, егер жуп болса ( ) cos b Табылған Фурье коэффициенттерін (9) формулаға қойып функциясының қатарға жіктелуін аламыз: f () cos cos cos5 si si si si () 5 f

5 мысал Периоды l - ға тең периодты () l; l f () кесіндісінде теңдігімен берілген Осы функцияны Фурье қатарына жіктеу керек Шешуі Қарастырылып отырған функция жұп болғандықтан f функциясы [ ] b, l l l d l, cos d cosd l l l, егер жуп болса, l, егер так болса Сондықтан жіктеудің түрі мынадай болады: ( k ) cos cos cos l l l l l ( k ) -- х -l -l l l 6l Қатар сандар өсі бойында жинақталады және оның қосындысының графигі сызбада көрсетілген Әдебиет: [], 5-5 бет 5 Тақырып Еселі интегралдар Екі еселі интеграл және оның қасиеттері, оларды есептеу Екі еселі интегралдардағы айнымалыларды алмастыру Әртүрлі координаттар жүйесіндегі екі еселі интегралдар Үш еселі интегралдар, олардың қасиеттері және айнымалыларды алмастыру Әртүрлі координаттар жүйесіндегі үш еселі интегралдар Екі және үш еселі интегралдардың қолданылулары

мысал Мына интегралда ретін ауыстыру керек d f (; )d d f (;)d 9 9 интегралдау 9 Сурет 6 Шешуі Интегралдау облысын кескіндейік Интегралдар қосындысын бірге қарастырып төменгі интегралдау шегі және аралықтарында бірдей, яғни 9 екендігі көрінеді Ал аралығында жоғарғы интегрлдау шегі, аралығында түзуі болады Осы мәліметтер бойынша интегралдау облысын салуға болады Сызбадан бойынша тұрақты интегралдау шектері және сандары екендігі көрінеді Онда бойынша төменгі өзгеру шегі, ал жоғары шегі болады Түбірдің оң мәнін аламыз, өйткені облыстың барлық нүктелерінің абсциссалары теріс емес Енді қайталанған интегралды мына түрде жазуға болады: d f (; )d мысал Бірінші ширекте жататын және шеңберімен, параболасымен және түзуімен шектелген фигураның ауданын табу керек Сурет 7

Шешуі Ауданды есептеу үшін S dd D (6) формуласын пайдаланамыз Сызбадан сыртқы интегралдау шектерін бойынша алу қолайлы екендігі көрінеді Тұрақты шектері мен сандары болады Берілген облыс төменгі жағынан теңдеуі болатын шеңбердің жоғарғы бөлігімен шектелген, яғни төменгі интегралдау шегі Жоғарғы жағынан облыс теңдеуі болатын параболаның жоғарғы тармағымен шектелген Сонда жоғары интегралдау шегі болады Сонымен іздеп отырған аудан шамасы мына интеграл мәніне тең S dd d d D ( ) 8 d (кв бірлік) I ( 5)d d d 5 мысал Үш еселі V интегралын есептеу керек Мұндағы V облысы δ : және δ : беттерімен шектелген Сурет 8 Шешуі δ және δ теңдеулерінен - ті жойып V облысының O D жазықтығына проекциясы болатын облысының шекаралық сызығының теңдеуін аламыз: I интегралын есептеу үшін (5) формулалар бойынша цилиндрлік координаталарға көшеміз Сонда интегралдау шектері ϕ, ρ, ρ болады Енді (5) формуланы пайдаланамыз:

I ρ ( ) 5 d d d dϕ ρdρ ( 5) d dϕ ( 5) V ρ ρdρ 5 6 7 dϕ ( ρ ρ ρ ) dρ ρ ρ ρ dϕ dϕ 6 6 6 6 мысал Берілген u скалярлық өрісінің l i j k векторының бағыты бойынша M(;;) нүктесіндегі туындысын табу керек Шешуі Туындыны: u l u u u cosα cosβ cos γ (6) формуласымен есептейміз Егер l l l i l j l k бағыты векторы арқылы берілсе, онда l l l cos α, cos β, cos γ l l l (65) тең болады Берілген функцияның дербес туындыларын табамыз: u u u u u u,, Сонда M M M Берілген вектор l i ( i j k) cos α, cos β, cos γ l, сондықтан Бағыт u бойынша туынды мынаған тең: l u(; ) M(;) 7 мысал Скалярлық өрістің нүктесіндегі градиентін табу керек Шешуі u (M) u(; ;) функциясының градиенті: grdu u u i u j k (66) Берілген M(;) нүктедегі дербес туындылар мәнін табамыз:

u M M ; u M M (66) формула бойынша grdu i j 8 мысал Егер (N) P(;)i Q(;)j R(;)k векторлық өрісі берілсе, оның векторлық сызықтар жиыны мына жүйеден анықталады: d P(;;) d Q(;;) d R(; ;) (67) (N) i j k Мына өрісінің векторлық сызықтарын табу керек болсын дейік Жүйе мына түрде жазылады: d d немесе d d d d Осыдан C, C, C, C 9 мысал Беттік интегралды есептеу керек: I ( 5) δ dδ мұндағы δ - жазықтығымен қиылған параболоидының сыртқы беті

Шешуі δ беті O D жазықтығына облысына бірмәнді проекциаланады және I интегралы (5) формула бойынша есептеледі Ал (55) формула бойынша δ мына түрде анықтаймыз: бетіне сыртқы нормаль болатын бірлік векторын i j k ± i j k Мұнда нормаль үшін минус таңбасы алынады Өйткені O өсі мен нормаль арасындағы γ cosγ ± ( ) бұрышы сүйір және болу керек Сонымен, I D D ( 5)( ) ( 5)( ) dd dd оң D көшеміз: облысы дөңгелегі Енді полярлық координаталарға ( ϕ, ρ ) I dϕ ( ρ cos ϕ ρ si ϕ 5)( ρ cos ϕ ρ si ) ϕ ρdρ 5 9 dϕ ( 9ρ ρ ρ ) dρ ( ρ 5ρ 6 ρ 6 ) dϕ 9 7 5 dϕ 6 Дивергенция, ротор, градиент түсініктерін символикалық вектор - набла арқылы жазуға болады i j k ; ; Бұл вектор скаляр u - ға және скалярлық және векторлық түрде векторлық алгебраның кәдімгі ережелері бойынша вектор а-ға көбейтіледі

Бірақ көбейту айтылған шамалардан дербес туынды алу деп түсініледі Набла векторы арқылы бірінші ретті векторлық-дифференциалдық амалдар grdu u, k u j u i u grdu div, k j i div ro, k j i ro Ал төмендегі амалдар екінші ретті векторлық-дифференциалдық амалдар деп аталады ) ( ) ro div ) ( ) ( ) ( ) u u u u u u grdu div, мұндағы - Лапластың дифференциалдық операторы; ) ( ) ( ) ( ) u u grdu ro ) ( ) ( ) k j i div grd 5) ( ) ( ) grd div ro ro Соңғысын бір проекциясы үшін дәлелдейік div ro ro ro ro I мысал 5k j i векторлық өрісінің дивергенциясы мен роторын табу керек Шешуі Дивергенцияны (57) формула бойынша есептейміз: ( ) ( ) ( ) 5 5 5 div Роторды (58) формула бойынша есептейміз:

ro i j k 5 ( 5) ( ) i ( 5) ( ) j ( ) ( ) k i j мысал Жоғарыдағы сызбада берілген жазықтығы мен параболоиды арқылы пайда болған δ тұйық беті бойынша i j 5k векторлық өрісінің ағынын есептеу керек Шешуі Қарастырылып отырған бет жазықтығының бөлігі δ бетінен және параболоидының бөлігі δ бетінен тұрады Сондықтан δ беті бойынша өтетін ағын векторының құраушы беттер бойынша ағындарының қосындысына тең: (, ) dδ (, ) Π Π Π dδ δ δ мұндағы, және жазықтық пен пораболоидтың сыртқы нормаль векторлары Енді жазықтығының (55) формулаға сүйеніп векторын табайық Сонда δ бетінде (, ) Π dδ 5dδ 5 dd 5 dϕ ρdρ 5 δ δ D мәні алынады Әрі қарай δ k нормаль болғандықтан беті бойынша өтетін ағынды есептейміз Жоғарыда (9 мысал) векторы анықталған болатын Осыны пайдаланып Π ағынын есептейміз: Π ( ) ( ), dδ δ δ 5 7 dδ 6 Сонда δ беті бойынша өтетін ағын мынаған тең: Π Π Π 7 5 6 7 6

Остроградский осы есептің шешуін (6) Остроградский формуласы бойынша табайық Жоғарыда i j 5k есептелген болатын: div 5 Сондықтан Π divdv V V ( ) 7 5 dv 6 өрісінің дивергенциясы мысал Мына i j 5k векторлық өрісінің теңдеуімен берілген δ беті мен теңдеуімен берілген δ бетінің қиылысу сызығы L контуры бойынша айналуын (циркуляциясын) есептеу керек Шешуі Бұл беттердің қиылысу сызығы шеңбері, Осы L контурымен шектелген облыс контур бойынша қозғалѓанда сол жақта қалып отыратындай бағытты таңдап аламыз Осы L контурының параметрлік cos, d si d, si, d cos d, теңдеулері: Осыдан d ал параметр ден - ге дейін өзгереді Сонда Ц Pd Qd Rd dr cos L L ( si ) d si cosd 5 Енді Стокс формуласын қолданайық Мұнда δ беті үшін жазықтық бөлігін алуға болады Бұл бетке k нормаль бағыты L контурын айналып өту бағытына сәйкес келеді Берілген өрістің роторы мысалда есептелген: ro i j Сондықтан өрістің циркуляциясы мынаған тең: ( ro,) dδ ( i j ) Ц k dδ δ δ Әдебиет: [], - бет Әдебиеттер тізімі Негізгі: Қабдықайыр Қ Жоғары математика:[жоғары оқу орындарына арналған оқулық]-өңделiп, толықтырылған -шi басылымы-алматы:қазақ университетi-6-56 Дүйсек АК, Қасымбеков СҚ Жоғары математика:оқу құралы- Алматы--9 бб Өсенбаева Қ Жоғары математика курсы:оқу құралы-алматы:қарасай- 7-8 б

Махмеджанов НМ Жоғары математика есептерiнiң жинағы:[жоғары оқу орындарының бейматематика манадықтарының студ арналған оқу құралы]-алматы:дәуiр-8-89 б 5 Қабдықайыр Қ Жоғары математика:[жоғары оқу орындарына арналған оқулық] -Алматы-7-8 б Қосымша 6 Айдос ЕЖ Жоғары математика-:оқулық-алматы:бастау-8-66 б 7 Мұхтаров ММ Математика:тәжiрибелiк сабақтарды өткiзуге арналған әдiстемелiк нұсқаулар-павлодар:с Торайғыров атындағы ПМУ-7-5 б