فن( محاسبات بوهر نيروي جاذبه الکتروستاتيکي بين هسته و الکترون در اتم هيدروژن از رابطه زير قابل محاسبه F K است: که در ا ن بار الکترون فاصله الکترون از هسته (يا شعاع مدار مجاز) و K ثابتي است که 4πε مقدار ا ن در سيستم بينالمللي برابر است. چون ε وذپذيري خلاء) 9 8988. m.j /C برابر C /m.j. 8854 در نظر گرفته ميشود: مقدار K برابر K مقدار c. g. است. ولي در سيستم الکتروستاتيک s برابر واحد است. از اين رو در اينجا براي سهولت محاسبات در سيستم اخير صورت گرفته و K حذف ميشود. مقدار نيروي حاصل از چرخش الکترون به دور هسته را نيز ميتوان از رابطه زير حساب کرد: mv F که در ا ن m جرم الکترون و v سرعت حرکت ا ن در مدار مجاز به شعاع است. با توجه به اينکه مسير حرکت الکترون به صورت دايره است مقدار اين دو نيرو بايد با يکديگر برابر باشد. از اين رو با مساوي قرار دادن F و F ميتوان نتيجه گرفت که: v m
h l mv n π را با استفاده از رابطه بدست ا ورده و در رابطه بالا قرار دهيم v اگر مقدار ( n) n h 4π m خواهيم داشت: براساس اين رابطه در مورد شعاع اتم هيدروژن در حالت اصلي ا ن( n ( ميتوان نوشت: 34 () ( 666. J.s ) 3 9 94805. kg.m.s 4346 (. ) ( 996. kg ) 60. C C 4 / 3/ J. s ( kg. m. s ) s 3 3 0.59 0.59 kg. m. s ( kg. m. s ) A 0.59 m 0.59 m 0.59A 0.59A m که با مقدار بدست ا مده از روشهاي ديگر مطابقت کامل دارد و در حقيقت اولين معيار براي درستي نظريه اتمي بوهر محسوب ميشود. اين طول را معمولا با a نشان ميدهند و ا ن را شعاع بوهر و يا يک بوهر مينامند که به عنوان واحدي براي تعيين طول شعاع اتمي شعاع يوني طول پيوند و غيره بکار ميرود. با توجه به رابطه n در h. n a. n ( n) 4π m مورد شعاع مدار n ا م ميتوان نوشت: يعني اندازه شعاع مدارهاي مجاز داراي محدوديت کوا نتومي ميباشد. مثال. فاصله سومين و چهارمين مدار مجاز را در اتم هيدروژن برحسب a و برحسب ا نگستروم حساب کنيد. n ميتوان نوشت: a حل. براساس رابطه n.
(3) a 3 9a (4) a 4 6a 7a 7 0.59 3.704A (4) (3) محاسبه سرعت حرکت الکترون بر روي مدارهاي مجاز l mv n h π اگر مقدارv را از رابطه استخراج کنيم خواهيم داشت: h v( n ) n π m و اگر به جاي مقدار ا ن را قرار دهيم نتيجه ميشود: v ( n) nh 4π m π m n h nh 0.59 A براساس رابطه بالا در مورد سرعت الکترون در حالت پايه اتم هيدروژن ) و n ( داريم: v 7 ()( 6.66 g. s) 3.46 9.96 g 0.59 () 8 8 ( gcm.. s ) 8g. s s 8 8.88.88.88 cm/ s gcm. gcm. cm 37 قابل توجه است که اين مقدار حدود سرعت نور است.
محاسبه انرژي کل الکترون انرژي کل الکترون بر روي هر مدار ايستاده در اطراف هسته( E ( که در واقع سطح انرژي ا ن مدار را مشخص ميکند برابر جمع جبري مقادير انرژي پتانسيل جاذبه هسته و الکترون( V ( و انرژي جنبشي E V + E k E k الکترون ) ( بر روي ا ن مدار ايستاده است: v ميتوان مقدار انرژي جنبشي الکترون را در هر مدار ايستاده m با استفاده از رابطه Ek mv m m حساب کرد: ميدانيم که انرژي پتانسيل مقدار انرژي جاذبهاي است که براي ا وردن الکترون از فاصله بينهايت دور از هسته (که در حالت سکون فرض ميشود) و نزديک کردن ا ن تا فاصله به هسته لازم است. با بيان رياضي پتانسيل نيروي جاذبه الکتروستاتيکي گراديان نيروي جاذبه نسبت به فاصله و يا انتگرال مکاني نيروي جاذبه است. چنانچه پتانسيل جاذبه هسته براي الکترون در فاصله بينهايت برابر صفر فرض شود مقدار ا ن در مورد الکتروني که به فاصله از هسته اتم قرار داشته باشد از رابطه زير قابل محاسبه است: V Fd d با در نظر گرفتن 3 رابطه بالا ميتوان نوشت: اگر به جاي E مقدار ا ن را در اين رابطه قرار دهيم خواهيم داشت:
4 π m E( n ) n h E ( n ) مقدار انرژي الکترون در حالت ايستاده اتم هيدروژن برابر است با: 4 / 3/ 9 C 9.4805 kg. m. s, V.60 J E() 3 9 94805. kg m.s 346 (. ) 996. kg 60. C C 34 kg.m.s () 666. Js 8 80. kgm s J 4. 3/ 4 ( ) 8 J 8 80. kgm s 80. J kgm s 8 9 ( )( ) 80. J V / 60. J 3. 6V E () 3.6V E n n ( ) E() در مورد انرژي مدار مجاز n ام ميتوان نوشت: يعني انرژي الکترون از محدوديت کوا نتومي پيروي ميکند و به نسبت عکس توان دوم عدد کوا نتومي مدارهاي ايستاده کم و يا زياد ميشود. بديهي است که هر چه الکترون از هسته دورتر باشد چون n بزرگتر ميشود انرژي کل ا ن از لحاظ قدرمطلق کاهش يافته ولي با توجه به علامت منها مقدار ا ن افزايش مييابد. قابل توجه است که با دورتر شدن الکترون از هسته در محدوده جاذبه هسته مقدار انرژي پتانسيل ا ن افزايش ولي مقدار انرژي جنبشي ا ن کاهش مييابد. ولي افزايش مقدار انرژي پتانسيل ا ن بر کاهش انرژي جنبشي ا ن غلبه دارد. در نتيجه مقدار کل انرژي الکترون افزايش مييابد.
در شکل زير انرژي ترازهاي الکتروني انرژي برانگيختگي و انرژي لازم براي جدا شدن الكترون در هر يك از ترازهاي انرژي در اتم هيدروژن نشان داده شده است.  ¼TºH¼ S²I n ¾MlI] ÁºH k{hk] ÁºH «ThëºHM ÁºH 0 0 3.6 n5 n4 n3 nd¾th㫺hm S²I ûj -3.6/5-0/54 0.54 3.05-3.6/4-0.95 0.95.65 ]-3.6/3 -.5.5. n st¾th㫺hm S²I ò»H 3.6/3.4 3.4. a n ¾ÄIQ S²I -3.6V 3.6V 0V نمودار ترازهاي انرژي انرژيهاي برانگيختگي و انرژي لازم براي جدا شدن الکترون بر روي ترازهاي انرژي اتم هيدروژن. خطa نشان دهنده انرژي برانگيخته يونيزاسيون ). 36V ( و خطb نشان دهنده انرژي لازم براي ايجاد دومين حالت. ( و خطc نشان دهنده انرژي جدا شدن الکترون از اولين حالت برانگيخته ). 34V ( است. V ) مثال. الف.مقدار نيروي جاذبه الکترون- هسته ب. انرژي پتانسيل الکترون ج. انرژي جنبشي الکترون د. انرژي کل را براي الکتروني که بر روي دومين مدار مجاز به دور هسته ميچرخد g. c. حساب کنيد. برحسب واحدهاي سيستم الکتروستاتيکي s
حل. 8 8 059. cm. cm الف. ( ) a n. F ( 480. su ) 8 (. cm ) 53. 4 dyn V ( ) ( ) ب. ( 4 /80 su) g V( ) / 09 / 8 cm داريم: ج. E E k k ( 4.80 su ) 5.43 8. cm g E V + E.09 g + 5.43 g T K د..9 g + 5.43 g 5.47 g مثال. فاصله اولين و دومين تراز برانگيخته را در اتم هيدروژن برحسب ا نگستروم و نيز از نظر انرژي برحسب الکترون ولت حساب کنيد.
حل. چون مقدار n براي اولين و دومين تراز برانگيخته به ترتيب برابر و 3 است پس ميتوان نوشت: ( ) a ( n) n ( ) ( ) ( 3) ( ) a 059. A 4. A a 3 059. A 9 476. A 476.. A 64. A ( 3) ( ) ( ) E( ) E () 36.V 340. V 4 E( 3) E () 36.V 5. V 3 9 E E E 5. V 340. V 89. V ( 3) ( ) ( ) مثال. انرژي لازم براي اينکه الکترون در اتم هيدروژن از حالت پايه به سومين تراز برانگيخته ارتقاء يابد و انرژي لازم براي جدا شدن الکترون در اين حالت برانگيخته را برحسب V و کيلوکالري بر مول حساب کنيد. حل. چون براي سومين تراز برانگيخته 4 n است انرژي لازم براي ارتقاء الکترون از حالت پايه به سومين تراز برانگيخته عبارت است از: Ex E( 4) E() 3.60V 3.60V 4 0.85V + 3.60V.75V چون هر الکترون ولت برابر 3 / 06 کيلوکالري بر مول است ميتوان نوشت:
3.06 kcal / ml Ex.75V 94 kcal / ml V در مورد انرژي يونيزاسيون اتم هيدروژن در اين شرايط ميتوان نوشت: E E E 3.60V 3.60V 0/85V in ( ) ( 4) 4 3.06 kcal / ml 0.850V 9.6 kcal / ml V مثال. انرژي يونيزاسيون اتم هيدروژن را براساس نظريه اتمي بوهر حساب کنيد. (برحسب الکترون ولت) حل. چون انرژي يونيزاسيون مقدار انرژي لازم براي ارتقاء الکترون از حالت پايه به فاصله بينهايت دور از هسته اتم است از اين رو در مورد اتم هيدروژن ميتوان نوشت: Ein E( ) E() 3.6V 3.6V 3.6V