مقاومت مصالح 2 فصل 9: خيز تيرها. 9. Deflection of Beams

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "مقاومت مصالح 2 فصل 9: خيز تيرها. 9. Deflection of Beams"

Μυρρίνη Αναγνώστου
6 χρόνια πριν
Προβολές:

1 مقاومت مصالح فصل 9: خيز تيرها 9. Deflection of eams دکتر مح مدرضا نيرومند دااگشنه ايپم نور اصفهان

2 eer Johnston DeWolf ( ) رابطه بين گشتاور خمشی و انحنا: تير طره ای تحت بار متمرکز در انتهای آزاد: P انحنا به صورت خطی با تغيير می کند. ρ 0, ρ در انتهای آزاد : 0, PL در تکيه گاه : 00 The cgraw-hill ompanies, Inc. ll rights reserved. 9 -

بين نقاط E و D لنگر خمشی دارای عالمت منفی و تقعر تير به سمت پايين است.

3 eer Johnston DeWolf الف- تير سرآويز ب- نيروهای تکيه گاهی الف ج- نمودار لنگر خمشی در هر نقطه ای که لنگر خمشی صفر است انحنا برابر صفر است. يعنی دو انتها و نقطه E. ( ) بين نقاط و E لنگر خمشی دارای عالمت مثبت و تقعر تير به سمت باالست. بين نقاط E و D لنگر خمشی دارای عالمت منفی و تقعر تير به سمت پايين است. ب ج در نقطه که گشتاور ماکزيمم است انحنای سطح تير ماکزيمم است )شعاع انحنا مينيمم است(. کند می مشخص را آن طول د معادله ای که شکل تير در منحنی االستيک نام دارد. 00 The cgraw-hill ompanies, Inc. ll rights reserved. 9 -

4 eer Johnston DeWolf از رياضيات داريم: d d d d d d d d ( ) معادله فوق را معادله ديفرانسيل منحنی االستيک و جمله 0 d 0 d d 0 مرتب سازی و انتگرال گيری: را صالبت خمشی می گويند. شيب تير در هر نقطه را مشخص می کند. خيز تير در هر نقطه را مشخص می کند. d d d d 00 The cgraw-hill ompanies, Inc. ll rights reserved. 9 -

تير با تکيه گاه ساده Overhanging beam 0, 0 تير سرآويز antilever beam

5 eer Johnston DeWolf ثوابت معادله با استفاده از شرايط مرزی تعيين می شوند: 0 d 0 d Simpl supported beam 0, 0 سه نوع تير معين استاتيکی: تير با تکيه گاه ساده Overhanging beam 0, 0 تير سرآويز antilever beam تير طره ای 0, 0 00 The cgraw-hill ompanies, Inc. ll rights reserved. 9-5

6 eer Johnston DeWolf نکته: () برای مختلفی توابع تير مختلف های قسمت برای پيچيده های بارگذاری در با به انتگرال برای عبارت مختلف تعيين تير گيری ديگر اين از ثابت ممکن کدام هر های شرايط است از زيادی مرزی ناپيوسته معادالت وجود دقت بايد باشند گشتاور داشته کرد و دو به که ثابت تعداد اگرچه گيری انتگرال زيادی شرط برشی نيروی به مرزی و نياز وجود خواهد لنگر است. نياز خمشی اما خيز و شيب تير دارای گسستگی نيستند. است. آمد. نقاط در 00 The cgraw-hill ompanies, Inc. ll rights reserved. 9-6

7 eer Johnston DeWolf برای يک تير تحت بار توزيعی :w() d d V d d dv d w معادله ديفرانسيل مرتبه چهارم منحنی االستيک: d d d d w چهار بار انتگرال گيری: d d d w d 6 ثوابت معادله با استفاده از شرايط مرزی بدست می آيند. 00 The cgraw-hill ompanies, Inc. ll rights reserved. 9-7

eer Johnston DeWolf با تکيه گاه ثابت و تکيه گاه غلتکی را درنظربگيريد.

شرايط تعادل استاتيکی: F 0 F 0 0 سه معادله و چهار مجهول لذا تير از نظر استاتيکی

در مقاومت مصالح ديديم که برای تعيين نيروهای تکيه گاهی در سازه های نامعين استاتيکی

8 eer Johnston DeWolf با تکيه گاه ثابت و تکيه گاه غلتکی را درنظربگيريد. تير از دياگرام آزاد مشخص است که چهار نيروی مجهول وجود دارد. شرايط تعادل استاتيکی: F 0 F 0 0 سه معادله و چهار مجهول لذا تير از نظر استاتيکی نامعين است. در مقاومت مصالح ديديم که برای تعيين نيروهای تکيه گاهی در سازه های نامعين استاتيکی بايد تغيير شکل های سازه را هم درنظرگرفت )معادالت سازگاری(. 0 d 0 d t 0, 0 0 t L, 0 معادله خيز تير: در نتيجه سه معادله و دو مجهول اضافه می شود. 00 The cgraw-hill ompanies, Inc. ll rights reserved. 9-8

9 eer Johnston DeWolf W 68 P 50kips I 7in L 5ft E 90 a ft 6 psi برای قسمت از تير سرآويز فوالدی الف- معادله منحنی االستيک ب- محل خيز ماکزيمم ج- مقدار خيز ماکزيمم مطلوبست: 00 The cgraw-hill ompanies, Inc. ll rights reserved. 9-9

10 eer Johnston DeWolf حل: الف- منحنی االستيک - نيروهای تکيه گاهی Pa a R R P L L - با استفاده از تعادل گشتاور در قسمت :D a P 0 L L - معادله ديفرانسيل منحنی االستيک: d d P a L 00 The cgraw-hill ompanies, Inc. ll rights reserved. 9-0

11 eer Johnston DeWolf دو بار انتگرال گيری و اعمال شرايط مرزی: d d a P L a P 6 L at 0, 0 : 0 at L, 0 : 0 a P L 6 L L 6 PaL d d a P L a P 6 L 6 6 PaL PaL d d PaL 6 L جايگذاری: منحنی االستيک PaL 6 L L 00 The cgraw-hill ompanies, Inc. ll rights reserved. 9 -

12 eer Johnston DeWolf ب- محل خيز ماکزيمم خيز ماکزيمم در نقطه E که شيب صفر است رخ می دهد. d d 0 PaL 6 m L m L L ج- مقدار خيز ماکزيمم PaL ma ma PaL ma kips8in80in 6 0 psi 7in 6 9 ma 0.8in 00 The cgraw-hill ompanies, Inc. ll rights reserved. 9 -

13 eer Johnston DeWolf برای تير مطلوبست: الف- واکنش در تکيه گاه ب- معادله منحنی االستيک ج- شيب در انتهای 00 The cgraw-hill ompanies, Inc. ll rights reserved. 9 -

14 eer Johnston DeWolf R D R 0 w0 L حل: توجه: تير ناميعن استاتيکی درجه اول است. w0 6L 0 الف- نيروی تکيه گاهی معادله گشتاور معادله ديفرانسيل منحنی االستيک d d R w0 6L 00 The cgraw-hill ompanies, Inc. ll rights reserved. 9 -

15 eer Johnston DeWolf d d 6 R R 5 w0 0L w0 L دو بار انتگرال گيری اعمال شرايط مرزی: at 0, 0 : 0 at L, 0 : R L w0l 0 at L, 0 : 6 R L w0l 0 L 0 حل معادله جهت تعيين نيروی تکيه گاه : R L 0L w 0 0 R w 0 L 0 00 The cgraw-hill ompanies, Inc. ll rights reserved. 9-5

16 eer Johnston DeWolf ب- معادله منحنی االستيک R و و جايگذاری 6 0 w 0 L 5 w 0 0L 0 w 0 L w 5 0 L 0L L ج- شيب در انتهای مشتق گيری برای پيدا کردن شيب d d w 0L L L at = 0, w L The cgraw-hill ompanies, Inc. ll rights reserved. 9-6

17 eer Johnston DeWolf اصل ترکيب :)Superposition( تغيير شکل تيرها يک از بارگذاری ها. )خيز و شيب( ناشی از چند بارگذاری برابر است با ترکيب خطی تغيير شکل ناشی از هر 00 The cgraw-hill ompanies, Inc. ll rights reserved. 9-7

18 eer Johnston DeWolf برای تير مقابل شيب و خيز در انتهای را بدست آوريد. و درنظر می گيريم. حل: بارگذاری را به صورت برآيند بارگذاری 00 The cgraw-hill ompanies, Inc. ll rights reserved. 9-8

19 eer Johnston DeWolf Loading I: wl 6 I I wl 8 Loading II: wl 8 II II wl 8 در قسمت لنگر خمشی صفر است و لذا محنی االستيک برای اين قسمت به صورت يک خط راست است. II II wl 8 II wl 8 wl 8 L 7wL 8 00 The cgraw-hill ompanies, Inc. ll rights reserved. 9-9

20 eer Johnston DeWolf ترکيب حل ها: I II wl 6 wl 8 7wL 8 I II wl 8 7wL 8 wl 8 00 The cgraw-hill ompanies, Inc. ll rights reserved. 9-0

درنظرمی گيريم. تغييرشکل های ناشی از بار مجهول و بارهای وارده را جداگانه حساب کرده و سپس ترکيب می کنيم.

21 eer Johnston DeWolf برای تحليل يک تير نامعين استاتيکی می توان از روش ترکيب استفاده کرد. ابتدا يکی از تکيه گاه ها را )که تکيه گاه زائد ناميده می شود( حذف کرده و نيروی تکيه گاهی آنرا عنوان بار مجهول درنظرمی گيريم. تغييرشکل های ناشی از بار مجهول و بارهای وارده را جداگانه حساب کرده و سپس ترکيب می کنيم. تغيير شکل ناشی از ترکيب بارگذاری ها بايد با وضعيت تکيه گاه های تير اصلی سازگار باشد. به 00 The cgraw-hill ompanies, Inc. ll rights reserved. 9 -

22 eer Johnston DeWolf برای تير داده شده مطلوبست: الف واکنش در هر تکيه گاه ب- شيب در انتهای حل: تکيه گاه زائد را حذف می کنيم. اصل ترکيب )نيروی گسترده w و نيروی مجهول )R اعمال شرط سازگاری با توجه به تير اصلی )جابجايی در نقطه بايد صفر باشد(. 00 The cgraw-hill ompanies, Inc. ll rights reserved. 9 -

23 eer Johnston DeWolf اثر بارگذاری توزيعی: w w L L L L L wl 0.0 اثر نيروی تکيه گاه زائد: R R L L L R L الف- واکنش در تکيه گاه ها شرط سازگاری: wl R L 0 w R R wL از تعادل استاتيکی: R 0.7wL R 0. 0wL 00 The cgraw-hill ompanies, Inc. ll rights reserved. 9 -

24 eer Johnston DeWolf ب- شيب در انتهای w wl wl R wL 6L L L L wl w R wl wl wl The cgraw-hill ompanies, Inc. ll rights reserved. 9 -

25 eer Johnston DeWolf در اين قسمت برای تعيين شيب و خيز از خواص منحنی االستيک تير استفاده می کنيم. d d d d d d d d D D d قضيه اول ممان مساحت: )سطح زير منحنی // بين نقاط و D( D / 00 The cgraw-hill ompanies, Inc. ll rights reserved. 9-5

26 eer Johnston DeWolf P مماس های وارده از نقاط P و از نقطه را در نقاطی که به فاصله بر منحنی االستيک محور از هم قرار دارند قطع عمودی گذرا می کنند. dt dθ کوچک dt. d t / D D dt d d قضيه دوم ممان مساحت: انحراف مماسی نقطه نسبت به نقطه D منحنی زير سطح اول نقاط ( /D t( برابر است با ممان / بين و D نسبت به محور عمودی گذرا از نقطه. 00 The cgraw-hill ompanies, Inc. ll rights reserved. 9-6

eer Johnston DeWolf ديديم که قضيه دوم ممان مساحت

عنوان به گاه تکيه از وارده 0 D D / D td / شيب در D

دوم ممان- مساحت تير با تکيه گاه ساده تحت بارگذاری

وارده مماس 0 D D / D td / t / c شيب در D دوم ممان-

27 eer Johnston DeWolf ديديم که قضيه دوم ممان مساحت فاصله عمودی نقطه از منحنی االستيک )( تا مماس وارده از نقطه ديگر )D( را نشان می دهد. يک يک ثابت تير طره ای مماس مماس مرجع. عنوان به گاه تکيه از وارده 0 D D / D td / شيب در D با کمک قضيه اول ممان- مساحت خيز در D با کمک قضيه دوم ممان- مساحت تير با تکيه گاه ساده تحت بارگذاری متقارن: از مرکز به عنوان مماس مرجع. وارده مماس 0 D D / D td / t / c شيب در D با کمک قضيه اول ممان- مساحت خيز در D با کمک قضيه دوم ممان- مساحت 00 The cgraw-hill ompanies, Inc. ll rights reserved. 9-7

28 eer Johnston DeWolf t D/ زاويه تعيين برای معموال مماسی انحراف است بهتر θ D/ و صورت به وارده بارهای از يک هر برای را مذکور های جمله بيابيم. جداگانه جداگانه طور به بار هر برای را نمودار منظور اين برای / کنيم. می رسم های منحنی زير مساحت جبری مجموع از را زاويه D/ يابيم. می مختلف مماسی انحراف مذکور سطوح اول های ممان مجموع از t D/ را نقطه D يابيم. می از گذرا عمودی محور به نسبت نمودار طور به وارده بار هر برای طريق اين به که را / آيد می بدست جداگانه نمودار چندقسمتی می گويند. 00 The cgraw-hill ompanies, Inc. ll rights reserved. 9-8

29 eer Johnston DeWolf برای تير داده شده شيب و خيز در سر E را بيابيد. 00 The cgraw-hill ompanies, Inc. ll rights reserved. 9-9

30 eer Johnston DeWolf حل: - تعيين نيروهای تکيه گاهی R R D wa / رسم - نمودارهای نيروی برشی لنگر خمشی و wa L wa wa L a wa 6 00 The cgraw-hill ompanies, Inc. ll rights reserved. 9-0

31 eer Johnston DeWolf شيب در سر E: E E E wa L wa E L a wa 6 خيز در سر E: E t E t D L a wa L wa L 6 a L wa 8 wa L 6 E wa L 8 a 00 The cgraw-hill ompanies, Inc. ll rights reserved. 9 -

Σχετικά έγγραφα

محاسبه ی برآیند بردارها به روش تحلیلی

محاسبه ی برآیند بردارها به روش تحلیلی برای محاسبه ی برآیند بردارها به روش تحلیلی باید توانایی تجزیه ی یک بردار در دو راستا ( محور x ها و محور y ها ) را داشته باشیم. به بردارهای تجزیه شده در راستای محور