ӘДІСТЕМЕЛІК НҰСҚАУЛЫҚ

Әдістемелік нұсқаулық Нысан ПМУ ҰС Н 78/5 Қазақстан Республикасының білім және ғылым министрлігі С Торайғыров атындағы Павлодар мемлекеттік университеті Математика кафедрасы Математикалық талдау пәнді оқыту ӘДІСТЕМЕЛІК НҰСҚАУЛЫҚ В57 «Ақпараттық жүйелер» В57 «Есептеуіш техника және бағдарламалау» студенттеріне арналған Павлодар

Әдістемелік нұсқаулықты бекіту парағы 78/5 Нысан ПМУ ҰС Н БЕКІТЕМІН ФМжАТФ деканы ЖК Нурбекова _ж Құрастырушы: ПМУдоценті ФК Баяхметов Математика кафедрасы Математикалық талдау пәнді оқыту Әдістемелік нұсқаулық В57 «Ақпараттық жүйелер» В57 «Есептеуіш техника және бағдарламалау» мамандыққа арналған ж тамызында кафедра отырысында ұсынылған Хаттама Кафедра меңгерушісі ИИПавлюк Физика математика және ақпараттық технологиялар факультеттің әдістемелік кеңесімен құпталған _ж хаттама ӘК төрағасы ЖГМуканова

Математикалық талдау пәнінің негізгі мақсаты мен міндеттері Мақсаты: Ғылымның техниканың және экономиканың өніп-өркендеуіне математикальқ зерттеу модельдеу және жобалау әдіс-тәсілдерінің колданылуы ерекше әсер ететіні белгілі Бұған қзipri кезеңдегі cптriш техникалардьң айрықша түрлерінің дамығандығы және компьютерлік жүйенің өмірдегі және табиғаттағы ic әрекеттердің баршасына жаппай араласуының мәні зор болып отыр Осылардан - математикалық әдіс-тәсілдері өмірлік нақтылы есептерге колдана білудің ауқымы ұлғайды Сондықтан да техникалық инженер мамандар даярлауда математика пәндері фундаменталдік білімдер жүйесінің алдыңгыларына жатады да оны оқытудың мақсат негіздері мыналарға бағытталады: - логикалық және алгоритмдік ой тұю қабілеттіліктерің жетілдіру; - cптi қоя білуді және оны есептеу мен шешімдерін математикалық зерттеп әдістерін негізінде игерту; - математикалық білімін өз еркімен кеңейтуге және өндірістік қолданбалы есептерге нақтылы қолдана білуге машықтандыру; - математикалық есептегіш әдістерінің негіздерін иrpiп олардың ЭЕМларда өткерілуіне үйрену; - математикалық модельдеудің басты принциптерінің негізін оқыту математикалық модельдерді құру әдістеріне үйрету және процесстер мен объектілерді математикалық формальді тұрпаттардың бейнелеуді игерту; - есептеу-қисаптау сынақтарды өткізгенде математикалық модельдерді тікелей қолдана білуге және есеп шешімдерінің ұтымдылығын зерттеуде модельдерін қуатын арттыруды үйрету Міндеттері: Математикалық білім беру жалпы инженерліқ пәндерді оқыту бағдарламаларымен тығыз байланыста өтуі шарт Математикалық білім беру түптен келгенде болашақ техника инженерлерініц профессионалдық мақсаттарына бағытталуы қажет Қойылган мақсаттардың орындалуы үшін математиканы оқытып үйретуге мынадай негізгі талаптар қойылады: - студенттерге математикалық ұғым мен әдістердің тәсілдердің негізінде ғылыми зерттеудің мағанасын ашып көрсету; - өндірістік қолданбалы есептерді шешудегі математиканың алатын орны мен оның спецификасы; - студенттердің кәсіби ic әрекеттерінде математикалық әдістердің қосымшаларына назар аудару

Ұсынылатын әдебиет тізімі Негізгі әдебиет: Фихтенгольц ГМ Математикалық анализ негіздері том Алматы 97 Темірғалиев Н Математикалық анализ Бірінші және екінші бөлім Алматы 99 НА Давыдов и др Сборник задач по математичесому анализу М 97 Қабдықаиров Қ Есельбаева Р Дифференциалдық және интегралдық есептеулер Алматы «Мектеп» Қосымша әдебиет Уваренков ИМ Малер МЗ Курс математического анализа Том М 97 Задачник по курсу математического анализа Под ред НЯ Виленкина Ч М 97 БП Демидович Сборник задач и упражнений по математическому анализу М: Наука 977-58с ГН Берман Сборник задач по курсу математического анализа М: Наука 985-с

Тақырып Математикалық талдауға кіріспе Нақты санның геометриялық бейнесі-сандар өсіндегі нүкте және керісінше сандар өсіндегі әрбір нүкте нақты санды анықтайды Сондықтан «нақты сан» «сандар өсіндегі нүкте» терминдері бір мағыналы яғни синонимді сөздер ретінде қолданылады Нақты сандар жиыны рационал және иррационал сандар жиындарының біріктірілуінен тұрады Рационал сан деп екі бүтін санның қатнасы ретінде өрнектелетін санды айтады Бұл сан шекті ондық бөлшек немесе периодты шексіз ондық бөлшек түріне келтіріледі Иррационал сан периодты емес шексіз ондық бөлшек түрінде өрнектеледі Егер сандар өсіндегі нүктенің координат басына дейінгі қашықтығы бірлік кесіндімен масштабпен өлшемдес болса онда бұл нүкте рационал санның өлшемдес болмаса иррационал санның бейнесі болады Рационал сандар жиыны Q иррационал сандар жиыны I ал нақты сандар жиыны R әріпімен белгіленеді және R Q I болады «Нақты сандар жиыны» мен «нақты сандар өсіндегі нүктелер жиыны» туралы ұғымдар бір мағынада қолданылады да қысқаша «сандар жиыны» немесе «нүктелер жиыны» деп айтылады Екі санмен шектелген нүктелер жиыны аралық деп аталады да b деп белгіленеді Егер аралықты шектейтін нүктелер осы жиынға енсе онда бұл аралық сегмент деп аталады да [ b] деп ал енбесе интервал делінеді де b деп белгіленеді; осы нүктелердің біреуі еніп екіншісі енбесе онда аралық жартылай интервал немесе жартысегмент деп аталады да [ b немесе b] деп белгіленеді Интервал өзіне енетін кез келген нүктенің маңайы деп аталады Центрі нүктесінде болатын ұзындығы -ге тең интервал осы нүктенің -маңайы деп аталды да O деп белгіленеді Нақты сандар жиынының негізгі қасиеті-оның үзіліссіздігі Бұл қасиет төмендегі теорема түрінде айтылады: Теорема Ұзындықтары нөлге ұмтылатын бірінің ішінде бірі орналасқан сегменттердің бәріне ортақ тек қана бір нүкте бар болады Төмендегі суретте осы теореманың геометриялық нұсқасы көрсетілген х~ b b b Мұндағы [ b ] [ b ] [ ] b және [ b ] сегментінің ұзындығы b нөлге ұмтылатын шама ал ~ х осы сегменттердің бәріне ортақ нүкте Өлшеу процесін қолдануға болатын әрбір объектің сандық мәні шама деп аталады Табиғатты зерттейтін ғылым саласының тек өзіне тән шамалары болады Атап айтқанда: физикадасалмақ масса жылу сыйымдылығы тсс; химияда-атомдық салмақ валенттілік тт; геометриядакесіндінің ұзындығы фигураның ауданы дененің көлемі тсс Белгілі бір сандық мәнін сақтайтын шама тұрақты деп аталады Әр түрлі сандық мәндер қабылдай алатын шама айнымалы делінеді Әдетте тұрақты шама латын алфавитінің алғашқы әріптерімен b c айнымалы шама соңғы әріптерімен y белгіленеді Функция түсінігі Функцияның анықтамасы

Айталық бізге нақты сандардан тұратын X және Y жиындары берілсін Анықтама Егер белгілі бір ереже немесе заң бойынша X жиынының әрбір элементі х -ке Y жиынының тек қана бір элементі у сәйкес келсе онда X жиынында бір мәнді y f функциясы анықталған дейді Бұл ережені немесе заңды X жиынын Y жиынына бейнелеу деп те атайды Осы анықтамадағы X жиынын y f функциясының анықталу облысы ал Y жиынын y f функциясы мәндерінің жиыны немесе функцияның өзгеру облысы деп х - ты тәуелсіз айнымалы немесе аргумент деп ал у - ті тәуелді айнымалы немесе функциясы деп атайды Тәуелсіз айнымалы х - тың кейбір х мәніне сәйкес тәуелді айнымалы функция y f -тің мәнін функцияның х х болғандағы немесе х нүктесіндегі мәні деп атайды және y f символымен белгілейді Мысалы у х функциясы берілсе оның х нүктесіндегі мәні y f Егер X сан осінің бойында жатқан жиын болса онда y f функциясының анықталу облысы не интервал ; b не сегмент [ ; b] не жартылай түзулер [ ; ; ] немесе бүкіл сан осі ; болуы мүмкін Сонымен қатар функцияның анықталу облысы бірнеше аралықтың бірігуі болуы мүмкін Мысалы y lg функциясын қарастырайық Бұл функция айнымалы х - тың мына теңсіздігін қанағаттандыратын мәндерінде анықталған Сонда бұл теңсіздіктен немесе теңсіздігі шығады Демек берілген функцияның анықталу облысы екі аралықтан тұрады: ; және ; Яғни X ; ; Бір X жиынында берілген f және функцияларына қосу f f азайту f көбейту f бөлу амалдарын қолдануға болады сонда осы амалдар орындалғаннан кейін шығатын функциялардың да анықталу облысы X немесе оның бөлігі болуға тиіс Мысалы мына y формуламен берілген функцияны қарастырайық Бұл функция екі функцияның қосындысынан тұрады Олардың біреуі f ал екіншісі Бірінші функцияның анықталу облысы яғни [ ; Екінші функцияның анықталу облысы немесе ; Сонда осы екі функцияның қосындысы болып табылатын бастапқы y функциясының анықталу облысы қосылғыш функциялардың анықталу облыстарының көбейтіндісі жартылай интервал [ ; болады y f функциясының графигі деп координаттары берілген функционалдық тәуелділікті қанағаттандыратын жазықтықтағы нүктелер жиынын айтады M ; f нүктелер жиыны Функциялардың графиктері көбінесе қисық сызықтар немесе түзулер болады Функцияның берілу тәсілдері Функцияның берілуінің бірнеше тәсілдері бар Солардың негізгілері аналитикалық таблица түрінде графикпен және сөзбен берілу тәсілдері Айнымалылар арасындағы сәйкестік формуламен берілсе онда функция аналитикалық түрде берілді дейді

Мысалы y y tg y lgcos Аналитикалық тәсілмен берілген функцияның ықшамдығы оның зерттеулерде қолданылуының қолайлығын арттырады және берілген функцияны зерттегенде математиканың аппаратымен пайдалануға өте жақсы бейімделген Функцияның таблицалық әдіспен берілу тәсілі эксперименттік жұмыстарда қолданылады Мұның артықшылығы аргументтің әрбір мәніне сәйкес функцияның мәні тікелей табылатындығында Сонымен бірге аргументтің өзгеруіне байланысты функцияның өзгеру заңдылығы таблицадан байқалмайды және математикалық амалдар қолдануға өте ыңғайсыз Функцияның графикпен берілу тәсілі көп тараған әдіс Оның басқалардан артықшылығы оның көрнектілігінде өйткені аргументтің өзгеруіне байланысты функцияның өзгеруінің бағыттарын тыңғылықты байқап отыруға болады Функциялардың классификациясы Негізгі элементар функциялар деп келесі функцияларды айтады: тұрақты функция y c c cost дәрежелік функция y - кез келген сан көрсеткіштік функция y логарифмдік функция y log тригонометриялық функциялар: y si y cos y tg y ctg және кері тригонометриялық функциялар: rcsi rccos rctg rcctg Алгебралық амалдарды тиісті композицияларды қолданып жоғарыда аталған негізгі элементар функциялар тобынан құрылған күрделі функцияларды элементар функциялар деп атайды Мысалы y tgl y ctg y log si Барлық элементар функциялар алгебралық және трансценденттік функциялар болып екі класқа бөлінеді Алгебралық функцияларға бүтін-рационал бөлшек-рационал иррационал функциялар жатады Кез келген иррационал емес функция трансценденттік функция болып табылады Мысалы y si y si және тсс Мысалы y - алгебралық ал y y log 5 5 y si y rg tg тб трансценденттік функциялар Айқындалған және айқындалмаған функциялар y f түрінде берілген функция айқындалған деп аталады Мысалы y y l cos y айқындалған функциялар F y түрінде берілген функция айқындылмаған деп аталады мысалы y y y 5 айқындалмаған функциялар Бір мәнді және көп мәнді функциялар y y si y 5 бір мәнді ал y y rg si y rg tg көп мәнді функциялар Кері функция Берілген функцияға кері функцияның болу шарты: Егер y f функциясы ; b аралығында бірсарынды және бір мәнді болып осы аралықта с; d аралығында бейнелесе онда кері функция y бар болады және c ; d аралығында бір мәнді және бірсарынды функция болады Мысалы y сандар өсінде анықталған және осы аралықта өспелі функция Сондықтан ; аралығында анықталған y кері функция бір мәнді және бірсарынды Осы функциядағы аргументі мен функцияның әдеттегідей х у деп белгілесек бұл функция y түрінде жазылады Демек y пен y - функциялары өзара кері болады Дәл сол сияқты y және y log функциялары өзара кері Күрделі функция

функциясы ;b аралығында анықталып өзгеру облысы с;d болсын және с;d аралығында y f функциясы анықталсын Соңғы теңдіктегі - ті оның мәнімен ауыстырып y f функциясына келеміз Бұл жаңа функция ;b аралығында анықталған Осы функцияны функциядан функция алу әдісімен анықталған күрделі функция деп атайды Функциялар суперпозициясы Мысалы: y деп алып y - күрделі функциясын кұрамыз Тақырып Тізбек және тізбектің шегі Натурал сандар жиынында анықталған f функциясының мәндерін сан тізбегі немесе тізбек деп атайды Егер f тізбегі берілсе оны символымен белгілейді немесе былай жазады: Анықтама Егер кез келген үшін теңсіздігі орындалса онда тізбегін өспелі дейді Анықтама егер кез келген үшін теңсіздігі орындалса онда тізбегін кемімелі дейді Анықтама егер кез келген үшін M теңсіздігін қанағаттандыратындай оң M саны табылса онда тізбегін шектелген деп атайды Анықтама Егер әрбір алдын ала берілген санына сәйкес N натурал саны табылса және кез келген N нөмірлері үшін теңсіздігі орындалса онда санын тізбегінің шегі деп атайды Жазылуы: li немесе ұмтылғанда деп жазады 5 7 9 Мысалы ; ; ; ; ; тізбектің шегін табу керек 7 Шешімі li li болады Анықтама Шегі бар тізбекті жинақты деп шегі жоқ тізбекті жинақсыз деп атайды Егер тізбектің шегі бар болса онда тізбек шектелген болады Жинақты тізбектің бір ғана шегі бар Жоғары төменгі жағынан шектелген өспелі кемімелі тізбектің шегі бар Анықтама Егер тізбектің шегі нөльге тең болса онда мұндай тізбекті шексіз аз деп атайды Теорема Екі шексіз аз тізбектердің қосындысы шексіз аз болады Теорема Шектелген тізбектің шексіз аз тізбекке көбейтіндісі шексіз аз тізбек болады Анықтама Егер кез келген саны үшін N нөмірі табылып барлық N үшін теңсіздігі орындалса онда тізбегін шексіз үлкен шама дейді және былай жазады: li Теорема Егер тізбегі шексіз үлкен болса онда және керісінше тізбегі шексіз аз болса онда тізбегі шексіз үлкен Теорема Егер және b тізбектері жинақты болса онда тізбегі шексіз аз

li b li lib ; li b li lib ; li li lib ; b lib li c c li Егер b онда li lib Анықталмаған өрнектер Ақырлы шегі бар шамаларға арифметикалық амалдар қолдану нәтижесінде шекке көшкенде ешбір мазмұны жоқ анықталмаған өрнекте деп аталатын өрнектер шығуы мүмкін Ондай жағдайларда айнымалы шаманың шектік мәнін табуға көшпес бұрын шыққан өрнектерді түрлендіру керек берілген айнымалылар мен y үшін li және li y y болсын Онда олардың қатынасының шегі y li түріндегі анықталмағандық y болады Себебі бұл екі айнымалының өзгеру заңына байланысты бұл шек неше түрлі мәнге ие болуы мүмкін немесе шектің болмауы да мүмкін Мысалы егер y болса олардың қатынасының шегін табу керек y li li li li li y Сонда li яғни түріндегі y li y анықталмағандық шығады Бірақ : Демек li li y y Ақырсыз аз шамаларды салыстыру Ақырсыз аз { } және { } шамалары берілсін Осы шамаларды салыстыру денеміз қатнасының шегін табу Бұл қатынас түріндегі анықталмағандық деп аталады Анықтама 5 Егер ақырсыз { } және { } шамалары үшін: а li болса онда { } шамасы -мен салыстырғанда жоғарғы ретті ақырсыз аз шама деп аталады ал шамасы ақырсыз аз шама деп аталады б li болса онда мен аталады в li болса онда мен аталады Жиі қолданылатын шектер si li бірінші тамаша шек х li - екінші тамаша шек -мен салыстырғанда төменгі ретті бір ретті ақырсыз аз шамалар деп эквивалентті ақырсыз аз шамалар деп

тізбегі үшін теңсіздігі орындалады Сондықтан { } жоғарыдан шенелген өспелі тізбек li шегі бар болады е санының жуық мәні е 7 болатыны дәлелденген Бұл сан Непер саны деп аталады Тақырып Функцияның шегі y f функциясы нүктесінің манайында мүмкін сол нүктенің өзінен басқа анықталсын Анықтама Егер кішкене саны үшін осы саннан тәуелді санын теңсіздігін қанағаттандыратын барлық х нүктелерінде f теңсіздігі орындалатындай етіп табуға болса онда А саны f -тің нүктесіндегі шегі деп аталадыда li f А деп белгілінеді Аталған шек f түрінде де жазылады Мысалы li 5 7 екенін дәлелдейік Кез келген саны үшін 5 7 деп алып болатынын көреміз Демек Яғни болса 5 7 болады Анықтама Бізге Е жиынындағы сандардан құралған кез келген тізбегі яғни берілсін Ол тізбек нүктесіне жинақталатын шегі бар тізбек болсын яғни li - кез келген натурал сан Сонда егер осы тізбегінің мәндеріне сәйкес берілген функция мәндерінің тізбегі f f f әрқашан да бір А санына жинақталатын болса онда f функциясы А санына ұмтылады дейді де А санын f функциясының нүктесіндегі шегі деп атайды Оны былай жазады: f li Бұл екі анықтама эквивалентті анықтамалар Шектер туралы теоремалар және оларды шешу тәсілдері : Теорема li y li y li Қосындының шегі шектердің қосындысына тең Теорема li y li li y Көбейтіндінің шегі шектердің көбейтіндісіне тең Теорема li li li y li y у Егер li у болса онда бөлшектің шегі алымының шегін бөлімнің шегіне бөлгенге тең Теорема li Тұрақты шаманың шегі сол шаманың өзіне тең Теорема 5 li y li y Тұрақты шаманы шектің сыртына шығаруға болады Шектерді есептеу мысалдар: Мысал Шек астындағы бөлшекті х--ге қысқартып Мысал li li li 5 5 7 li li

Мысал li li сos li si li li si Мұндағы li бірінші тамаша шек Мысал tg si li li li si si cos Бесінші және алтыншы мысалдардағы шектер бізге белгілі li немесе li екінші тамаша шек теңсіздіктерін қолдану арқылы есептеледі Мысал 5 Мысал li li si Ескерту: li li li шегі анықталмағандығын ал li шектері анықталмағандығын айқындайды li және Анықтама y f функциясының болып х-тің -ге ұмтылғандағы -ге тең шегі осы функцияның сол жақты шегі деп аталады да li f деп белгіленеді ал болып х-тің -ге ұмтылғандығы -ге тең шегі функцияның оң жақты шегі деп аталады да li f деп белгіленеді Егер y f функциясы нүктесінде және осы нүктенің маңайында анықталып li f li f f теңдігі орындалса онда f функциясы нүктесінде үзіліссіз болады Егер осы екі теңдіктің ең кемінде біреуі орындалмаса онда үзіліс нүктесі деп аталады Үзілістің екі түрі бар: Секірме үзіліс егер А А болып f f немесе f f немесе нүктесінде y f анықталмаса Шексіз үзіліс Мысал

f функциясы үшін li f li li f li теңдіктері орындалады демек - секірме үзіліс нүктесі; секіріс -ге тең У - х Сурет Мысал f tg [; ] функциясын нүктесінде функцияны үзіліссіздікке зерттейік li f li tg li f li tg теңдіктері орындалады демек шексіз үзіліс нүктесі Сурет- у π х

Сурет Тақырып 5 Функцияның нүктедегі туындысы мен дифференциалы 8 Туындының анықтамасы Туындының механикалық мағынасы 8 Туындының геометриялық мағынасы 8 Функцияның дифференциалдануы 8 Функцияның дифференциалы 85 Жоғары ретті туындылар мен дифференциалдар Лейбниц формуласы 8 Дифференциалданатын функциялардың негізгі теоремалары Лопиталь ережесі 87 Туынды арқылы функцияның зерттеу 5 Туындының анықтамасы Туындының механикалық мағынасы Түзу сызықты қозғалыстың жылдамдығын қарастырайық Дене түзу сызық бойымен және t уақыт ішінде s жолын жүрсін яғни s қашықтық t уақыттың функциясы берілсін: s f t Бұл қозғалыс теңдеуі Дене қозғалысын уақыттың t мезгілінен t t мезгіліне дейін яғни t интервалында қарастырамыз Дене t уақытта s f t t f t жол жүреді s қатынасын дене қозғалысының t уақыты ішіндегі орта жылдамдығы деп t s аталады және белгілеуі: vорта t s f t t f t Шекке көшеміз: livорта li li v t t t t Анықтама Жол өсімшесінің уақыт өсімшесіне қатынасының уақыт өсімшесі нөльге s ұмтылғандағы шегі: li v теңдігімен анықталатын v шамасын дене қозғалысының t t t t мезгіліндегі лездік жылдамдығы деп аталады Айталық Х аралығында y f функциясы анықталсын Бұл аралықтан нүктесін алып оған өсімшесін берейік Сонда y f функциясы да өсімше қабылдайды: y f f мұнда X Анықтама Егер нөльге ұмтылғанда функция өсімшесі мен аргумент өсімшесі қатынасының шегі бар болса онда бұл шек берілген функцияның нүктесіндегі ' y f f туындысы деп аталады: y li li Туындыны табу амалын функцияны дифференциалдау деп атайды Жоғарыда қарастырылған физикалық есепте айнымалы жылдамдық жүрген жолдың туындысына тең: v f t Бұл есеп туындының механикалық мағынасын анықтайды 5 Туындының геометриялық мағынасы

L қисық сызықтың бойынан екі нүкте M және N алайық және сол нүктелер арқылы қиюшы жүргізейік M нүктесін қозғалмайды деп есептеп N нүктесін L қисығы бойымен M нүктесіне дейін жүргізейік Егер MN онда MN түзуі MP -ға ұмтылады Анықтама M нүктесі N нүктесіне ұмтылғанда қиюшы MN мен түзу MP арасындағы бұрыш нөльге ұмтылса онда MP түзуін L қисық сызықтың M нүктесіндегі жанамасы деп атайды Айталық f -тың нүктесіндегі туындысы f Қиюшы MN O осімен f f y y бұрыш жасайды Сонда tg немесе rctg Егер онда N M ; MN MP ; y y онда li rctg rctg li rctg f li rctg f онда li rctg f f tg Сонымен туынды f y f функцияның M y нүктесіне жүргізілген жанама мен O осінің оң бағытының арасындағы бұрыштың тангенсін кескіндейді Онда жанаманың теңдеуі: y y f Осы нүктедегі жанамаға перпендикуляр түзуді нормаль түзу деп атайды; оның теңдеуі: y y f 5 Функцияның дифференциалдануы Функцияның туындысын табу амалын дифференциалдау деп ал туындысы бар функцияны дифференциалданатын функция деп атайды Егер y f функциясының нүктесінде туындысы бар болса онда y f функциясы осы нүктеде үздіксіз болады ал үзіліс функцияның нүктеде туындысы болмайды Арифметикалық амалдардың дифференциалдау ережелері: Айталық u және v үздіксіз функциялары берілсін Екі функцияның алгебралық қосындысының көбейтіндісінің және қатынасының туындылары бар болады да мына формулалар бойынша табылады: u vuv; u vuv u v ; u uv u v v v v Егер көбейтіндіде көбейткіштің біреуі тұрақты шама болса онда uu uu өйткені тұрақты шаманың туындысы нөльге тең Күрделі функцияның дифференциалдануы: Егер u функциясының нүктесінде ал y f u функциясының сол -ке сәйкес u нүктесінде туындылары бар болса онда сол нүктесінде күрделі y f функциясының да туындысы бар болады және мынаған тең: y [ f ] f u f u Мысалы: y y? u y u 5 y u u u u 8 8 Кері функцияның дифференциалдануы: Егер y f функциясының нүктесінде нөльге тең емес f туындысы бар болса онда сол -ке сәйкес y f нүктесінде щған кері y функциясының туындысы бар болады және y y f

Мысалы: y Осы функцияға кері функция: y және y y y y Олай болса Дәрежелік функцияның туындысы: Тригонометриялық функциялардың туындысы: si cos ; cos si ; tg ; ctg cos si Кері тригонометриялық функциялардың туындысы: rcsi ; rccos ; rctg ; rcctg Логарифмдік және көрсеткіштік функциялардың туындылары: l ; l ; v Логарифмдік дифференциалдау тәсілі: y [ u ] көрсеткішті-дәрежелік функцияның туындысын анықтайық Ол үшін берілген функцияны логарифмдеп содан кейін логарифмдеу нәтижесінде шыққан функцияға дифференциалдау ережелерін қолданамыз v Сонымен y u функциясын логарифмдесек l y v l u болады Осы өрнектен күрделі функцияның туындысының формуласы бойынша: l y v l u ; yvl u v u; v y u [ vl u v u] ; y u u Мысалы: y cos функциясының туындысын табу керек l y l cos l y l cos l cos cos si y l cos si y y[ l cos ] y cos cos si y cos [ l cos ] cos Айқындалмаған функциялардың туындылары: Айталық y -тің айқындалмаған функциясы яғни тәуелсіз айнымалыны y функциясымен байланыстыратын y -ке қатысты шешілмейтін қандай да бір теңдеу арқылы беріледі Онда y функциясы -тен тәуелді екенін есепке ала тұра бұл теңдеуді бойынша дифференциалдаймыз Мысалы: y теңдеуімен берілген y функциясының туындысын табу керек y yy y y Параметр арқылы берілген функцияның туындысы: Айталық функция y -тің аргументі t y t -тен тәуелділігі параметр t арқылы берілсін: t b және t t функциялардың туындылары бар болсын Бұл тәуелділікті былай түсінуге болады: егер t функцияның кері функциясы t бар болса және t t онда бір формуладан тұратын теңдікке келуге болады: y Енді күрделі функцияны t y t дифференциалдау ережесін пайдаланамыз: y t t Осыдан y t t

Екінші ретті туынды: y y t t және үшінші ретті туынды: y y t t 5 Функцияның дифференциалы Айталық f функциясының шектелген туындысы бар болсын онда y y li f демек f li - шексіз аз шама Онда функцияның өсімшесі: y f Осы теңдікте екінші қосылғыш жоғары ретті шексіз аз шама болғандықтан бірінші қосылғыш функция өсімшесіне эквивалентті болады Анықтама Функцияның туындысы мен аргумент өсімшесінің көбейтіндісі дифференциал деп аталады және мына түрде жазады: dy f Онда жоғарыда берілген теңдіктің бірінші қосылғышы дифференциал болады Дербес жағдайда егер y болса онда dy d яғни d және осыны пайдаланып дифференциалдың формуласын келесі түрде жазуға болады: dy f d dy Осыдан f яғни туынды функция дифференциалының аргумент дифференциалына d бөлінген мәніне тең Дифференциалдың қасиеттері: Негізігі элементар функциялардың туындыларын біле тұрып біз еш қиындықсыз осы функциялардың дифференциалдарының кестесін құрастыра аламыз Айталық d d d l d тсс Арифметикалық амалдар нәтижелерінің дифференциалдары: d u v w du dv dw ; d uv vdu udv ; u vdu udv d v v Күрделі функцияның дифференциалы: Айталық y f u және u - үзіліссіз функциялар және олардың туынддылары: f u Егер F f [ ] белгілесек онда y F f u Екі жағын d -ке көбейтеміз: dy f u d ал d du олай болса dy f u du Функцияның дифференциалдануы Анықтама f функциясы нүктесінде дифференциалданады егер оның осы нүктеде дифференциалы болса Егер f функциясы дифференциалданатын болса онда ол міндетті түрде үзіліссіз болады Дифференциалды жуықтап есептеулерге пайдалану y f f f f dy f f f Соңғы жуықталған теңдік ең алдымен тәжірибелік тұрғыдан қарағанда келесі есепті шешу үшін қолданады: f f мәндері белгілі; f -тің жуық мәнін есептеу керек Сонда төменгі формула анықталады: f f f Мысалы: 8 мәнін табу керек: f 8 демек f f f Сонда f 8 8 8 55 Жоғары ретті туындылар мен дифференциалдар Лейбниц формуласы Егер y f функциясының туындысы бар болса онда оны f деп белгілеп бірінші ретті туынды деп атаймыз Осы -ші ретті туындыны бөлек функция деп қарастырайық онда Ал

оның туындысы бар болуы мүмкін және f екінші ретті туынды деп аталады Сол сияқты функцияның -ші ретті туындысын жазуға болады: f f немесе y y Мысалдар: l si si cos cos Егер u және v дифференциалданатын функциялар болса онда сызықты комбинация үшін келесі формула орынды: cu cv cu cv c c cost ал олардың көбейтіндісі үшін: u v u v u v u v u v! u v u v Бұл формула Лейбниц формуласы деп аталады! Мұнда u u v v ; - бином коэффициенттері!! Жоғары ретті дифференциалдар Функцияның бірінші ретті дифференциалы келесі формуламен анықталады: dy f d ал екінші ретті дифференциалы: d y f d d y d dy Сол сияқты -ші ретті дифференциал мына формуламен анықталады: d y d y d d y f d Бұл формуладан: y f -ші ретті туынды d шығады Тақырып Дифференциалданатын функциялардың негізгі теоремалары Ферма теоремасы Айталық y f функциясы қандайда бір аралықта анықталсыносы аралықтың ішкі нүктесінде ең үлкен немесе ең кіші мәндерін қабылдайтын болса онда бұл нүктедегі туындысы нөльге тең болады: f Ферма теоремасының геометриялық мағынасы: функцияның графигіне жүргізілген жанама оның ең үлкен немесе ең кіші нүктесінде абсцисса осіне параллель болып орналасады Ролль теоремасы Егер y f функциясы [ ; b] кесіндіде үзіліссіз және осы интервалдың ішкі нүктелерінде дифференциалданатын болса f f b теңдігі орындалса онда [ ; b] -да ең болмағанда бір нүктесі табылып сол нүктеде f болады Лагранж теоремасы Егер [ ; b] сегментінде y f функциясы үзіліссіз ; b аралығында дифференциалданса онда сол аралықта кем дегенде бір нүктесі табылып келесі теңдік орындалады: f f b f b Коши теоремасы Айталық [ ; b] сегментінде f және g функциялары анықталсын сол кесіндіде үзіліссіз және оның ішкі нүктелерінде дифференциалданатын

болса онда бір нүктесі табылып сол нүктеде төмендегі теңдік орындалады: f b f f g b g g Лопиталь ережесі u және v функциялары ; b интервалында дифференциалданатын және c нүктесінде нөльге айналатын болсын Сонда егер тиісті u u шектер бар болса: li li v v онда осы өрнектер бойынша c v c v табылған шектерді анықталмағандықтың түрін айқындаудың Лопиталь ережесі деп аталады Туынды арқылы функцияның зерттеу Дифференциалдық есептеудің ең маңыздысы оны функцияның зерттеуіне қолдану әсіресе бірінші ретті туындыны қолдану Функцияның монотондылығы Айталық [ ; b] кесіндіде f функциясы анықталсын және кесіндінің ішінде дифференциалданатын болсын онда f функциясы [ ; b] -да кемімейтін өспейтін функция болу үшін ; b f f теңсіздіктердің орындалуы қажетті және жеткілікті f функциясы [ ; b] -да өспелі кемімелі болуы үшін ; b f f теңсіздіктердің орындалуы қажетті және жеткілікті Анықтама f функциясының туындысын нөльге айналдыратын нүктелерді кризистік нүктелер деп атайды Кризистік нүктелерді табу үшін f теңдеуін шешу керек Функцияның монотондылық аралықтарын табу үшін: берілген функцияның анықталу облысын табамыз; берілген функцияның кризистік нүктелерін табамыз; кризистік нүктелер функцияның анықталу облысын интервалдарға бөледібұл интервалдардың әрқайсынды туынды тұрақты таңбаларын сақтайды; f болатын интервалда функция қатал өседі ал f болатын интервалда қатал кемиді Функцияның экстремум нүктелері Анықтама Бір аралықта анықталған және үзіліссіз болатын y f функциясы берілсін осы аралықта ішкі нүктесі Егер нүктесінің ; аймағының ішінде жатқан барлық -тер үшін f f f f теңсіздігі орындалса онда f функциясының нүктесінде максимумы минимумы бар деп айтады Функцияның минимум және максимум нүктелерін экстремум нүктелер ал осы нүктедегі функция мәндерін функцияның экстремумы деп атайды [ ; b] сегменттің мен b нүктелерінде функцияның экстремумы бола алмайды Егер нүктесі f функциясының экстремум нүктесі болса онда бұл нүктеде функцияның туындысы болады және нөльге тең Айталық f функциясы нүктесінде үзіліссіз және оның аймағында туындысы болса онда егер функция -ден өткенде f өзінің таңбасын плюстен минуске өзгертсе - функцияның максимум нүктесі болады; егер функция -ден өткенде f өзінің таңбасын минустен плюске өзгертсе - функцияның минимум нүктесі болады Сонымен функцияның экстремумын табу үшін: функцияның туындысын табамыз; туындыны нөльге теңстіріп кризистік нүктелерді табамыз; туындының кризистік нүкте аймағында таңбаларын зерттеп экстремумын анықтаймыз Функцияның экстремумын екінші ретті туындыны пайдаланып іздестіруге болады

Ол үшін: бірінші ретті туындыны табамыз; кризистік нүктелерін анықтаймыз; егер кризистік нүктелер болсаекінші ретті туындыны табамыз; егер f онда осы нүктеде минимум анықталады ал f онда максимум болады Функцияның ең үлкен және ең кіші мәндері Анықтама [ ; b] сегментінде үзіліссіз f функцияның ең үлкен ең кіші мәні деп осы функцияның экстремумдерінің және f мен f b сандарының ішіндегі ең үлкенін ең кішісін айтады Функцияның ең үлкен және ең кіші мәндерін табу үшін: кризистік нүктелерін табамыз; функцияның максимум және минимум мәндерін сондай-ақ f мен f b мәндерін есептейміз; есептелген мәндердің ішінен ең үлкенін және ең кішісін аламыз Қисықтың ойыстығы мен дөңестігі Иілу нүктелері Егер ; b интервалында f f болса онда осы интервалда f қисығы дөңес ойыс болады яғни қисық сызық жанаманың астында үстінде орналасқан Егер f немесе болмаса бірақ f бар болса және -ші ретті туындының нүктесінің маңайында таңбасы өзгеретін болса онда ; f нүктесі f қисығының иілу нүктесі деп аталады Асимптоталар Анықтама Түзу сызық y f қисығының асимптотасы деп аталады егер де қисық бойында жатқан нүктенің қисықтың қандай да тармағы бойымен шексіздікке қозғалысында сол нүктенің түзу сызықтан қашықтығы нөльге ұмтылатын болса Асимптотаның үштүрі болады: вертикаль горизонталь көлбеу li f li f Егер мына шектердің біреуі плюс немесе минус шексіздікке тең болса онда түзуін y f функцияның вертикаль асимптотасы деп атайды y b түзуі f b li [ y ] y сызығының көлбеу асимптотасы болады егер y li Егер болса онда li f b яғни y b түзуі горизонталь асимптота болып табылады Тақырып 8 Бір айнымалы функцияны интегралдық есептеу Анықталмаған интеграл Алғашқы функция анықталмаған интеграл ұғымы: Егер бір Х аралығының әрбір нүктесінде F функциясы үшін F f немесе df f d теңдігі орындалса онда F функциясы осы аралықта f үшін алғашқы функция болады Мысалы F si функциясы f cos функциясының алғашқы функциясы болады

Теорема Егер F функциясы Х аралығында f үшін алғашқы функциясы болса онда F С функциясы да С-кез келген тұрақты f үшін осы аралықта алғашқы функция болады Анықтама Егер F функциясы f -тің алғашқы функциясы болса онда оның барлық алғашқы функцияларының жиынын яғни F С өрнегін f -тің анықталмаған интегралы деп атайды және былай белгілейді: f d F Бұл өрнектегі f d -интеграл астындағы өрнек ал х-интегралдау айнымалысы деп аталады -интеграл белгісі Интегралдаудың негізгі ережелері: Егер F f болса онда f d F мұндағы ost f d f d демек тұрақты шаманы интеграл сыртына шығаруға болады f f d f d f d Егер f d F және u болса онда f u du F u болады Демек анықталмаған интеграл пішіні интегралдау айнымалысынан тәуелсіз Мысалы u b деп алсақ f b d f b d b F b Жиі қолданылатын интегралдар кестесі: d d d cos d si 5 si d cos d tg cos d 7 ctg si d 8 rctg rcctg d 9 rcsi rccos d d d tgd cos ctgd si d si 5 tg

d cos tg 7 shd ch 8 chd sh d 9 th ch d cth sh Интеграл астындағы функцияны ықшамдау арқылы кейбір анықталмаған интегралдар -8 кестелік интегралды қолданып есептеледі Осыған мысалдар келтірейік 5 Мысал J d Шешуі Қажетті элементар түрлендірулерді жүргізгеннен кейін мүшелеп интегралдасақ интеграл кестедегі және формулаларына келтіріледі d 5 5 J d 5 d d 5 Мысал J 5 d Шешуі Элементар түрлендірулері және формуланы қолданып мына тењдікке келеміз 5 d d J d 5 d d 5 d d 5 5 5 5 5 5 Мысал J tg d d Шешуі tg J d tg cos cos Мысал d J Бөліміндегі көпмүшеліктен толық квадрат бөліп аламыз 5 Енді d d екенін ескеріп кестедегі 8 формуланы пайдаланамыз d d d J rctg 5 5 5 Дифференциал белгісінің астына кіргізу арқылы интегралдау: ереже бойынша f d f d f u du F u F F u f u және мұндағы u Бұл түрлендіру функциясын дифференциал белгісінің астына кіргізу деп аталады Мысал 5

d 5 5 u 5 5 d 5 du 5d d5 5 u u du 5 5 5 Интегралдаудың негізгі әдістері Бөліктеп интегралдау әдіс: Бөліктеп интегралдау формуласы деп келесі теңдікті айтамыз udv uv vdu Бөліктеп интегралдау формуласы бір интегралды екінші интеграл арқылы өрнектейді Бұл формула екінші интегралды есептеу мүмкіндігі болған жағдайда қолданылады Кей жағдайда соңғы нәтижені алу үшін бөліктеп интегралдау әдісін қайталап қолдануға тура келеді P f d - түрдегі интеграл Егер P -п-дәрежелі көпмүшелік болып келесі f si cos =ost функциялардың бірі болса онда u P dv f d деп алып бөліктеп интегралданады Бұл жағдайда бөліктеп интегралдау п рет қайталанады P d -түріндегі интеграл Егер P -п дәрежелі көпмүшелік ал х -келесі функциялардың бірі болса rcsi rccos rctg rcctg ost онда u dv P d Деп алып бөліктеп интегралданады cos bd si bd түріндегі интегралдар мұндағы b- тұрақты сандар Бұл интегралдар айналымды интеграл деп аталады және екі рет бөліктеп интегралдау арқылы алғашқы интегралы бар теңдеуге келеміз Интеграл осы теңдеуді шешу арқылы есептеледі Шешуі du d v Мысал 7 d интегралын есептеу керек u 7 dv d деп аламыз Сонда -формуласы бойынша

7 7 7 7 d d v d du d dv u d Соңғы интегралға да бөліктеу интегарлдау әдісін пайдаланып d v d du d dv u d теңдігіне келеміз Интегралдың осы мәнін теңдігіне қойып берілген интегалды табамыз: Соңында d 7 7 7 Мысал d 5 Шешуі d dv u 7 деп алсақ онда v d du 5 Бөліктеп интегралдау формуласы бойынша

u dv 5 d 5 d d 5 du v 5 5 d 5 5 Мысал J si d интегралын есептеу керек Шешуі u dv si d -деп алсақ u dv si d J si d cos du d v cos u dv cos d cos d du d v si cos si si d Соңғы интегралды тағы да бөліктеп интегралдап берілген интеграл белгісіз ретінде енетін J cos si J теңдеуіне келеміз Осы теңдеуден 9 9 J si cos болатынын көреміз Алмастыру тәсілін пайдаланып интегралдау: Көп жағдайда тәуелсіз х айнымалысын алмастыру арқылы f d интегралын есептеуге болады Анықталмаған интегралдың айнымалысын екі түрлі тәсілмен алмастыруға болады а мұндағы -монотоннды үзіліссіз дифференциалданатын функция Бұл жағдайдағы айнымалыны алмастыру формуласы

f d F F f d Мысал J d Шешуі деп алсақ онда J d d d 5 d d 5 5 5 ә Алмастырудың екінші түрі u мұндағы u жаңа айнымалы Алмастыру формуласы: f d f u du F u F d Мысал 5 J Шешуі Жаңа айнымалыны t алмастыру арқылы еңгіземіз Бұл формуладан dt d t деп алып интеграл астындағы өрнекке қойсақ d dt dt t Енді алғашқы айнымалыға ораламыз t t d Тригонометриялық алмастырулар а Егер интегралда түріндегі өрнек кездессе si t cos t деп алынады да cos t болады; ә Егер интегралда түріндегі өрнек кездессе sc t деп алынады cos t да tgt болады; б Егер интегралда түріндегі өрнек кездессе tgt деп алынады да sct болады; cost Мысал J d Шешуі si t деп алсақ d cos tdt Осыдан

t t dt t tdt tdt t tdt d t d J si cos cos cos cos cos si Енді t si теңдігінен t t rcsi si Сондықтан d J rcsi Бөлшек-рационал функцияларды интегралдау Екі көпмүшеліктің қатынасы ретінде өрнектелетін R функциясын рационал функция деп атайды b b b Q P R мұндағы теріс емес бүтін сандар Егер < болса онда R дұрыс бөлшек деп ал болса бұрыс бөлшек деп аталады Келесі төрт түрде берілген бөлшектерді жай бөлшектер деп атайды q p N M q p N M ; ; ; мұндағы N M p q тұрақты ал - бүтін сан q p Рационал функцияларды интегралдағанда оларды дұрыс бөлшекке келтіріп дұрыс бөлшекті жай бөлшектердің қосынды түрінде жазамыз Жоғары алгебра пәнінде коэффициенттері нақты сан болатын дәрежелі көпмүшелік төмендегі канондық түрде жіктелетіні дәлелденген r s r r s q p q p b Q Мұндағы r s және r i i i q p Егер Q P бұрыс рационал бөлшек болса онда оны көпмүшелікті көпмүшелікке бөлу арқылы бөлщектің бүтін бөлімін анықтап Q P L Q P түріне келтіреміз Мұндағы демек Q P дұрыс бөлшек Ал кез келген дұрыс бөлшек жай бөлшектердің қосындысына төмендегі түрде жіктеледі:

q p c q p c q p c Q P s s Бұл тепе- теңдік Сондықтан анықталмаған А А А коэффициентерді бөлшектерді ортақ бөлімге келтіріп алымдарын теңестіру арқылы есептеледі Мысал d 5 интегралын есептейік Интеграл астындағы бұрыс бөлшекті көпмүшеліктерді бөлу арқылы дұрыс бөлшекке келтіреміз * ; 5 5 d d d интегралды жеке есептейміз Интеграл астындағы бөлшектің бөлімі х +х=хх+ түрінде жіктеп х х х дұрыс бөлшегін жай бөлшектердің қосындысы ретінде жазамыз: х В х А х х х Өрнектің оң жағын ортақ бөлімге келтіріп алымдарын теңестіреміз: х-=ах++вх Енді х=- деп алсақ онда В=5; ал х= десек А=- Сондықтан 5 Демек d d d 5 5 яғни берілген интеграл d 5 5 Мысал d интегралын есептеу керек Шешуі Интеграл астындағы бөлшек дұрыс Сондықтан оны жай бөлшектердің қосындысына жіктейміз Бөліміндегі х тің дәрежесінің кему ретімен үш қосындыға жіктеп жазамыз D ; D- белгісіздерді анықталмаған коэффициенттерді табу әдісімен есептейміз Ол үшін өрнектің оң жағын ортақ бөлімге келтіреміз де алымдарын теңестіреміз D D D х-тің коэффициентерін теңестіру арқылы келесі жүйеге келеміз

: : : : D D Бұл жүйенің шешімі: D Ендеше d d d Мысал d интегралын есептеу керек Шешуі теңдігі бойынша интеграл астындағы рационал бөлшекті жай бөлшектердің қосындысы ретінде жазамыз: D D- белгісіздерін табу үшін осы теңдіктің оң жағын ортақ бөлімге келтіріп алымдарын теңестіріп ұқсас мүшелерді біріктіріп х-тің дәрежесінің төмендеу ретімен жазамыз Сонда D D D Енді х-тің тең дәрежелерінің коэффициентерін теңестіру арқылы келесі жүйеге келеміз : : : : D D D Бұл жүйенің шешімі: D Осыдан d d d rctg d d d Иррационал функцияларды интегралдау

d R s r түріндегі интеграл Мұндағы R-рационал функция rs бүтін сандар Егер ; s r бөлшектерінің ортақ бөлімі к болса онда алмастыру арқылы интеграл астындағы функция тен тәуелді рационал функцияға келтіріледі: d R Мұндағы R рационал функция d c b R түрдегі интеграл -натурал сан bcd-тұрақты сандар және dcb d c b R бөлшек-сызықтық иррационал функция деп аталады Бұл функция c d b d c b d c b алмастыруы арқылы бұл интеграл рационал функциядан алынатын интегарға келтіріледі Мысал J d D d d d d ; ; Белгісіз D коэффициенттерін табу үшін d тепе-теңдігінен : : : : D теңдеулер жүйесіне келеміз Бұл жүйенің шешімі: D rctg rctg d d d d J Мысал

d d d 5 ; ; 5 d d d R - түрдегі интеграл мұндағы R квадраттық иррационал функция деп аталады =тұрақты шамалар Егер теңдеуінің шешімдері нақты сандар болса онда бұл интеграл пункттегі иррационал функцияға келтіріледі Егер теңдеуінің нақты шешімі болмаса онда А алмастыруы арқылы келесі интегралдардың біріне келеді d R d R d R Мұндағы бірінші интеграл S it екіншісі интеграл tgt үшінші интеграл t t cos sc алмастыруы арқылы рационал функциядан алынатын интегралға келтіріледі Эйлер алмастыруы а Егер А> болса онда алмастыруы ал < болып > болса c алмастыруы орындалады Бұл алмастырулар Эйлердің бірінші және екінші алмастырулары деп аталады Мысал d J Шешуі => Эйлердің бірінші алмастыруы бойынша ; ; d d Бұл рацинал функция J-ге қойсақ d J Алғашқы айнымалы х-ке оралып J болатынын көреміз

Мысал d Мұндағы ал c Эйлердің екінші алмастыруы бойынша Осы алмастыру арқылы берілген интеграл астындағы функция рационалданады да d 5rcsi болады 5 Тригонометриялық функцияларды интегралдау: si cos d бүтін нақты сандар Интеграл астындағы функция мына жағдайларда рационалданады: а Егер болса t=cos алмастыруы ал болса t=si алмастыруы арқылы: ә -жұп және нөлден үлкен немесе нөлге тең болса онда дәреже төмендететін келесі формулалар пайдаланылады: si cos ; cos cos ; si cos si Мысал J t cos d t si ; dt cos d si cos cos cos si cos t dt dt t si ; t t si Мысал J si cos d Шешуі cos cos d cos cos d 8 si cos d si d si cos d 8 8 8 cos d si d si si si 8 б Егер мен -сандары жұп болыпжәне біреуі теріс немесе + нөлден кіші жұп болса онда келесі алмастырулар қолданылады d tg ctg rctg; d ; si ; 5 cos si d Мысал d интегралды есептеу керек cos Шешуі

tg si d si d d d cos cos cos d cos tg 5 tg d tg 5 R si cos d түріндегі интеграл мұндағы R-интеграл астындағы рационал функция Бұл функция tg алмастыруы арқылы рационалданады Бұл алмастыру d si ; cos ; rctg rctg d формулалары арқылы si пен cos тен тәуелді рационал функцияны -тен тәуелді рационал функцияға келтіреді Осы мағынада бұл алмастыру универсал алмастыру деп аталады Ескерту: Кей жағдайда tg орнына ctg алмастыруы пайдаланылуы мүмкін d Мысал si cos Шешуі tg алмастыруы бойынша d d tg si cos d si si d cos cos d -түріндегі интегралдар si cos si si si si cos cos cos cos cos cos формулалар арқылы есептеледі Гиперболалық функцияларды интегралдау: Негізгі формулалар:

sh ch sh ch ch ch sh sh ch Мысал sh sh sh d sh sh d ch d ch