Анализа на триаголници: Упатство за наставникот

Анализа на триаголници: Упатство за наставникот Цел:. Што мислиш? Колку многу триаголници со основа a=4см и висина h=3см можеш да нацрташ? Линк да Видиш и Направиш Mathcast за Што мислиш? Нацртај точка и означи ја B. Нацртај точка C така што BC е хоризонтална отсечка со должина од 4см=4 виртуелни единици 1. Дали можеш да напишеш равенка: C=B+(, ) со внесување на броеви за координатите? Одг: Додаваме 4 на хоризонталната координата и 0 на вертикалната координата, односно додаваме (4,0). Каде може да ја нацрташ точката A така што ABC има висина од 3см. Како го правиш ова? Дали е потребно да нацрташ прво нешто друго? Одг: Точката А треба да биде 3см над линијата која ги поврзува В и С. Обично, несвесно "се обележува точка на BC " и се бројат 3 единици нагоре од оваа точка за да се добие A. Идејата овде е ова да се направи свесна акција. (Оваа несвесно означена точка е точката H во следниот чекор.) Означи ја точката каде висината ја сечи основата со H така што должината на AH= 3см и нацртај го симболот за прав агол. Бидејќи BC е хоризонтална, AH е вертикална. Забелешка: Сосема е можно и легитимно ученикот да ја означи A така што H е на линијата која ги поврзува B и C, но не на отсечката BC. Всушност, ние најпосле ќе сакаме тие да разберат дека H може да биде било која точка на 1 Во твојата замисла, замени што ќе значо линеарна единица см, инчи, милји, светлосни години, Ние ќе користиме см. 1

линијата, а не само на отсечката. Сепак, во овој момент важно е AH да е вертикална и должината на AH= 3см. Нацртај ја отсечката од A до H за да бидеш сигурен дека има должина од 3см. Дали можеш да напишеш равенка: A=H+(, ) со внесување на броеви за координатите? Одг: Бидејќи BC е хоризонтална, за да стигнеме од H до А, додаваме 0 на хоризонталната координата и 3 на вертикалната координата, што значи додаваме (0,3). Сега поврзи ги A, B и C за да направиш триаголник ABC и спореди ги твоите триаголници со триаголниците на твоите соученици. Што е исто? Што е различно? Каде може да биде H? Одг: Најверојатно тие ќе имаат различно точки за H, но сите точки H мора да бидат на линијата која ги поврзува B и C, а точката A мора да биде 3см над H. Дали некој се сети да го постави H на линијата која ги поврзува B и C, но надвор од BC? Дали во тој случај можеш да направиш триаголник со основа a=4см и висина h=3см? Одг: Предлагаме да нацрташ триаголник со H на линијата која ги поврзува B и C, но не на отсечката BC. Потоа изброј 3см од H за да ја означиш точката A. Нацртај ABC и означи ја висината h=3см и правиот агол. Замоли ги учениците да запомнат дека нашите единствени барања се: основа a=4см и висина h=3см. Значи овој триаголник ги исполнува барањата. Кое е единственото барање за позицијата на H? Одг: Како што кажавме во забелешката погоре, важно е да се разбери дека H можи да биди било која точка на линијата која ги поврзува B и C, а не само на отсечката BC. Конструкција со Геогебра: Како ќе направиш конструкција со Геогебра која ти овозможува да движиш точка и да ги направиш сите различни триаголници кои имаат основа a=4см и висина h=3см? Ова е како треба да изгледа твојата конструкцијата: Конструкција со Геогебра: Analiza_na_Triagolnici 1_1.ggb 2

Во Геогебра, креирај точка B =(0,0). Внеси ја твојата формула од погоре за C. Провери дали C е на x-оската и должината на BC е 4. Кои се координатите на C? Што треба следно да нацрташ? Точката H или точката A? Нацртај движечка точка H на линијата која минува низ B и C со користење на алатката Нова точка и кликнување на x-оската. Зошто x-оската? Внеси ја твојата формула од погоре за A. Кликни на Алатката Поместување, кликни на точката H и влечи ја. Дали A се движи? ДалиAH= 3? Користи ја алатката Многуаголник за да нацрташ ABC. Користи ја алатката Отсечка меѓу две точки за да нацрташ AH и преименувај ја отсечката h. Провери дали можиш да ја движиш H и да ги добиеш сите различни триаголници со основа BC= a и висина AH= 3. Провери: Означи ги темињата A, B, C и страните a, b, c така што BC= a, AC= b и AB= c и висината h така што AH= h. Ако сакаш, обој ја твојата конструкција. Прашања (соодветното ниво на одделение е прикажано во заградата, а СС стандардот 2 во хиперлинкот). П1[5]: Што имаат заедничко сите триаголници со основа a=4см и висина h=3см (освен a и h )? Како можеш да му го покажиш ова својство на твојот соученик со Геогебра? Треба да кажеш: "Погледни што можам да ти кажам. Оваа вредност е плоштина на триаголникот. Ќе ги направам сите триаголници со основа a=4см и висина h=3см. Погледни. Оваа вредност никогаш не се менува. Така, сите овие триаголници имаат иста плоштина. " Сугестија: Погледни ја вредноста на триаголникот многуаголник1 3 промениш името на многуаголник1 за да се прикажи оваа "вредност"). (можиш да го 2 Стандарди за содржина се дизајнирани за да се потикнат повисоки достигнувања за секој ученик, со дефинирање на знаењето, концептите и вештините кои ученикот треба да ги стекни во секое ниво на одделение. 3 Во нашиот Гегебра документ Analiza_na_Triagolnici1_1[1].ggb, го преименувавме многуаголник1 во ABC. 3

Одг: Забележи дека со движење на точката Н, се добиваат различни триаголници, но плоштината е секогаш иста. Погледни во Алгебарскиот прозорец, ABC = 6 (сл.1). Сл.1 Плоштината на сите триаголници со а=4см и h=3см е еднаква Прашања за периметрите и должината на страните на триаголници со основа a=4см и висина h=3см. П2[5]: Напиши формула за L еднаква на периметарот на триаголникот ABC. Движи ја H лево и десно и види како се менува L. Одг: Внеси L=a+b+c и кликни на Enter. (или имињата на страните на ABC во твојата Геогебра конструкција). П3[5]: Дали знаеш колку големо може да стани L? Како можиш да го најдиш одговорот на ова прашање со твојата Геогебра конструкција? Дали треба да одзумираш? (За да зумираш, постави го покажувачот на глувчето во блокчето за цртање и користи го копчето за лизгање на глувчето). Дали има граница за максималната големината на L? Дали има максимална големина на L за триаголник со основа a=4см и висина h=3см? Напиши реченица за ова. Одг: Како што кажавме во забелешката погоре, важно е да се разбери дека H може да биде било која точка на линијата која ги поврзува B и C, а не само на отсечката BC. Со одзумирање и движење на точката Н налево од точката В или надесно од точката С периметарот се зголемува. Не постои граница за максимална големина на L за триаголник со основа a=4см и висина h=3см, односно не постои максимален периметар. 4

П4[6]: Дали знаеш колку е најмалата вредност која можи да ја има L? Дали има граница за минималната големина на L за триаголник со основа a=4см и висина h=3см? Ако е така, движи ја H додека не ја најдиш минималната вредност на L. Напиши реченица за ова. Одг: Минималната вредност на L е кога Н е точка на отсечката BC со координати (2,0). На сл.2 Во Алгебарскиот прозорец се гледа минималната вредност на периметарот L на триаголникот АВС и таа изнесува L=11.21см. сл.2 Триаголник со а=4см и h=3см со минимален периметар П5[6]: Каков вид на триаголник е ABC кога L е најмал? (Зумирај се додека триаголникот го исполни блокчето за цртање.) Опиши ја позицијата на H на BC? Напиши реченица која ги содржи одговорите на двете прашања. Одг: Кога L е најмал (периметар L=11.21см) триаголникот е рамнокрак и тогаш Н е средна точка на отсечката BC (сл.8). Провери го твојот одговор со одговорите на твоите ученици. Тие можеби ќе имаат ист опис, но со други зборови. Дискутирај кои одговори ги содржат сите информации и се наједноставни за да се разберат. П6[7]: За триаголникот со минимум периметар L и базиран на твоите анализи за H, најди ги должините на BH и HC. Провери го одговорот со твојата конструкција. Сега користи ја Питагоровата теорема за да ги најдиш должините на страните AB и AC 5

(тоа ќе биде квадратен корен). Погледни во Алгебарскиот прозорец на Геогебра. Каде е децималното приближување на квадратниот корен? Провери ја оваа вредност со користење на калкулатор и најди го рачно периметарот на ABC. Дали овој број се совпаѓа со L во твојот Геогебра работен лист? Одг: Бидејќи триаголникот има минимален периметар кога Н е средна точка на отсечката BC (која е основата на триаголникот и има должина 4), должините на отсечките се половина од должината на отсечката BC (основата а) т.е. BH =HC =2см. Во Алгебарскиот прозорец децималното приближување се должините на отсечките b и c (сл.3). сл.3 Триаголник со а=4см и h=3см со минимален периметар Да ги најдиме страните на триаголникот со Питагоровата теорема. = = = = 3.6см = = = = 3.6см Периметар: L= a + b + c = 4+3.6+3.6 = 11.2см Ако ги споредиме "рачно" добиените вредности на страните и периметарот со вредностите на истите во Алгебарскиот прозорец ќе видиме дека тие се совпаѓаат. 6

4 Анализирање на триаголници Сега сакаме да видиме дали постои правоаголен триаголник со основа a=4см и висина h=3см. П7[6]: Дали со движење на H можиш да го направиш ABC правоаголен? На колку начини? Опиши ја позицијата на H. Колку е периметарот на овој триаголник ABC? Дали е тој ист за двата правоаголни триаголници? Најди го овој периметар "рачно" со користење на Питагоровата теорема. Дали оваа вредност се совпаѓа со L во твојот Геогебра работен лист? Одг: Со движење на точката H може да се добие правоаголен триаголник и тоа на два начини. Точката H се совпаѓа со точката В (значи H = B) во првиот случај (сл.4а), односно со точката С (H = C) во вториот случај (сл.4б). Периметарот e L=12 (види во Алгебарскиот прозорец на Геогебра) и тој е ист за двата правоаголни триаголници. а) H=B б) H=С сл.4 Правоаголен триаголник со а=4см и h=3см Сега ќе го одредиме периметарот L рачно. Прво треба да ги одредиме страните на триаголникот. Позната ни е должината на основата a=4см и висина h=3см. Кога H = B, c=h, па со Питагоровата теорема: = = = = 5см Периметарот L=a+b+c=4+5+3=12см. Кога H = C, b=h, па со Питагоровата теорема: = = = = 5см Периметарот L=a+b+c=4+3+5=12см. 7

П8[6]: Ако H е на основата а, каков вид на триаголник е ABC? Специјално ако H е на половина помеѓу B и C (средна точка на BC), каков вид на триаголник е ABC? Ако H е на крајот на страната a (H = B или H = C), каков вид на триаголник е ABC? Ако H е надвор од страната a, каков вид на триаголник е ABC? Одг: Ако H е на основата а, триаголникот е остроаголен (сл.5а). Специјално ако H е на половина помеѓу B и C (средна точка на BC), триаголникот е остроаголен и рамнокрак. Ако H е на крајот на страната а (H = B или H = C), триаголникот е правоаголен и разностран (сл.5б). Ако H е дадвор од основата а, триаголникот е тапоаголен и разностран (сл.5в). а) остроаголен б) правоаголен в) тапоаголен сл.5 Видови триаголници со а=4см и h=3см Прашања за аглите на триаголници со основа a=4см и висина h=3см. Конструкција со Геогебра: Analiza_na_Triagolnici 1_3.ggb. Во твојот Геогебра работен лист, нацртај го аголот на врвот α да биде BAC. (Користи ја алатката Агол.) П9[6]: Кој е најмалиот можен агол на врвот α за ABC? Како можи да го најдиш одговорот на ова прашање со твојата Геогебра конструкција? Дали е потребно да одзумираш? Дали постои најмала вредност за α за триаголник со основа a=4 см и висина h=3 см? Напиши реченица за она што се случува со триаголникот. Одг: Со одзумирање и движење на точката Н налево од точката В или надесно од точката С периметарот се зголемува, а аголот на врвот се намалува. Не постои 8

граница за максимална големина на L за триаголник со основа a=4см и висина h=3см, а со тоа не постои најмала вредност за агол на врвот α. П10[6]: Кој е најголемиот агол на врвот α? Дали постои лимит за најголемата вредност на α за триаголник со основа a=4см и висина h=3см? Ако е така, движи ја H се додека не ја најдиш максималната вредност на α. Напиши реченица за ова. Одг: Во ситуација кога H е на половина помеѓу B и C (средна точка на BC), аголот на врвот α е со максимална вредност. Ако Н се движи налево или надесно од таа позиција аголот на врвот се намалува. Максималната вредност на аголот на врвот изнесува 67.38 (сл.6). сл.6 Триаголник со а=4см и h=3см со максимален агол при врвот П11[6]: Kаков вид на триаголник е ABC кога α е максимален? Најди ја големината на сите (внатрешни) агли за ABC. Одг: Кога α е максимален, триаголникот е остроаголен и рамнокрак. За "рачно" наоѓање на аглите ја користиме формулата за тангенс. Ако со β го означиме аголот при темето В, а со γ аголот при темето С, тогаш β = γ, (во рамнокрак триаголник аглите при основата се еднакви т.е. спроти краците лежат еднакви агли). = = 1.5 од каде следува дека β = 56.3. Сега бидејќи β = γ, 2β + α = 180 следува дека α = 180-2β = 67.4. 9

Во Геогебра конструкцијата веднаш се гледа големината на аглите. Аголот при врвот е α= 67.38, а аглите при основата се β = γ = 56.31 (сл.6). П12[7]: Што мислиш и зошто? Дали можиш да направиш рамностран триаголник со основа a=4см и висина h=3см? Разговарај со твоите ученици за тоа што го прави триаголникот рамностран. Размислувај за аглите и висините, не само за страните. Потоа провери дали можиш да направиш ABC да ги има овие својства. Објасни зошто тоа е можно или не е можно. Дојдете до договор за одговорот и бидете сигурни дека сите разбрале зошто е тоа така. Дали до решението може да дојдеш на повеќе начини? Напиши ги сите можни начини на кои можеш да се сетиш. Одг: Решение 1: (Се користи Питагоровата теорема) Во рамностран триаголник сите страни и агли се еднакви. Бидејќи основата е a=4см, а сите страни треба да бидат еднакви, значи a=b=c=4см. Сега знаејќи дека висината во рамностран триаголник ја дели основата на два еднакви делови, според Питагоровата теорема, = = = = 3.5см Но, висината треба да биде 3см. Значи не е можно да се направи рамностран триаголник со основа a=4см и висина h=3см. Решение 2: (Се користи формулата за плоштина) Плоштината на било кој триаголник се пресметува според формулата:, каде а е основата, а h е висината на триаголникот. Потсети се дека за рамностран триаголник важи формулата за плоштина:. Сега ги израмнуваме десните страни на равенствата, и добиваме за основа a= 4см,. Значи не можи да се конструира таков триаголник. Решение 3: (Се користат тежишни линии). Потсети се како се дефинира тежишна линија. Какви се тежишните линии во рамностран триаголник? Знаеме дека тежишна линија е отсечка која поврзува теме на триаголникот со средината на спротивната страна. Во рамностран триаголник тежишните линии се и 10

висини во триаголникот и истите се сечат во една точка која се вика тежиште на триаголникот. Ќе направиме конструкција на рамностран триаголник во Геогебра со страна а=4см и ќе ги означиме тежишните линии (сл.7). Конструкција со Геогебра: Analiza_na_Triagolnici 1_4.ggb. сл.7 Конструкција со Геогебра за П12 За пресметка на висината ја користиме Питагоровата теорема. = = = = 3.5см Значи должината на висината е 3.5см. Тогаш точката А ќе има координати A=H+(0,3.5) или можиме да ги одредиме координатите на точката А како (x(h),3.5), каде x(h) е x-координатата на точката Н, а за y-координата ја ставаме вредноста 3.5 која е непроменлива. Конструкцијата на триаголникот чекор по чекор е опишана во табелата за Чекори на конструкцијата на сл.8. Кликни на менито Поглед и опцијата Чекори на конструкција за да ја видиш табелата. 11

сл.8 Прозорец Чекори на конструкција за П12 За да го најдеме тежиштето, прво ги цртаме тежишните линии. Тежишните линии може да ги нацртаме на два начини: 12

1. Со алатката Пресек на два објекти ја наоѓаме средината на страната AC, ја означуваме со В1 и со алатката Права низ две точки повлекуваме права низ В и В1, или 2. Со алатката Нормала цртаме нормала на АС која минува низ В. Со алатката Пресек на два објекти ја наоѓаме точката В1 како пресек на нормалата и отсечката АС. Нормалата е истовремено и тежишна линија. На ист начин ги наоѓаме и другите две тежишни линии. Во пресек на тежишните линии се наоѓа темето Т. Сега го набљудуваме триаголникот BА1Т. Познато е дека тежиштето во секој триаголник ја дели секоја од тежишните линии на во однос 2:1. Во рамностран триаголник тој однос е еднаков за сите тежишни линии. Претпоставуваме дека триаголникот има основа a=4см и висна h=3см и е нацртан рамностран триаголник со овие димензии. Тогаш: =2, =2k, =1k. Според Питагоровата теорема:, односно, или што е контрадикторно. Значи не можи да се конструира рамностран триаголник со основа a=4см и висна h=3см. 13