ҚАЗАҚСТАН РЕСПУБЛИКАСЫ БІЛІМ ЖƏНЕ ҒЫЛЫМ МИНИСТРЛІГІ Қ. И. Сəтбаев атындағы Қазақ ұлттық техникалық университеті Өнеркəсіптік инженерия институты Сызба геометрия жəне инженерлік графика кафедрасы Ж. М. Есмұхан, Қ. Ə. Құспеков, Е. А. Əуезов, Е. Е. Мəсімбаев СЫЗБА ГЕОМЕТРИЯ Сызба геометриядан орындалатын зертханалық жұмыстарға əдістемелік нұсқау 1-бөлім. (Геология жəне барлау, құрылыс, сəулет жəне дизайн мамандықтарынан басқа мамандықтардың бағдарламаларын толық қамтиды) S1 М1 11 m 1=h1 M1 t1 t1 S2 12 m2 M2 h2 t2 Алматы 2014
ЖОК 515. 2 ҚҰРАСТЫРҒАНДАР: Ж. М. Есмұхан, Қ. Ə. Құспеков, Е. Ə. Əуезов, Е. Е. Мəсімбаев. Сызба геометриядан зертханалық жұмыстарды орындауға арналған əдістемелік нұсқау 1-бөлім. Алматы: ҚазҰТУ, 2014 1 27 б. Ұсынылып отырған əдістемелік нұсқау Қазақстан мен ТМД елдерінде бұрын - соңды болмаған еңбек. Онда жоғары техникалық оқу орындарында оқитын студенттерге арналған екі бөлімнен тұратын зертханалық жұмыстар баяндалған. Атап айтқанда Сызба геометриядан 1-ші бөлімінде 5 зертханалық жұмысты қалай жəне қандай көлемде орындау керектігі көрсетілген. Олар геология барлау құрылыс, сəулет жəне дизайн мамандықтарынан басқа мамандықтардың бағдарламаларын толық қамтиды. Зертханалық жұмыстар студенттердің сызба геометрия пəнінен теориялық терең білім алуларына, кеңістікті елестету жəне қисынды ойлау қабілеттерін жетілдірулеріне мүмкіндік береді. Ол оқушыларды бүгінгі жəне ертеңгі талаптарға сай ғылыми-зерттеу мен тиімді жобалау жұмыстарын жүргізуге алғашқы қадам жасауларына итермелейді. Əдебиеттер тізімі-13 атау. Пікір жазған: техн. ғыл. кандидаты, доцент С. Қ. Қажғалиева Қазақстан Республикасының Білім жəне ғылым министрлігінің 2014 жылғы типтік оқу жоспары бойынша басылады. Қ. И. Сəтбаев атындағы ҚазҰТУ, 2014ж.
КІРІСПЕ Көп жылғы тəжірибеміз көрсеткендей, студенттер сызба геометрияны да əдеби кітаптарды оқығандай судыратып оқып шығады. Сондықтан олардың көбі түсінбейді, оқығандарын ұмытып қалады. Қайтадан оны тағы да судыратып оқи бастайды да «ой, мынау қиын пəн екен, бəрібір түсінбейтін шығармын» деп оқулықты жауып тастап, басқа жұмыстарымен айналысады. Нəтижиесінде емтиханды ойдағыдай тапсыра алмай қиналады. Шын мəнісінде сызба геометрияны меңгеру оңай. Ол үшін біріншіден орта білім беретін оқу орындарының бағдарламаларына сəйкес геометрияны білу керек. Егер оқушы мектеп геометриясын ұмытып қалса, оны еске түсіру үшін əдебиеттер тізімінде көрсетілген [2] оқу құралының 1 - тарауын пайдалануларына болады. Екіншіден сызба геометрияны асықпай оқу керек. Əр сөйлемді оқығаннан кейін үзіліс жасап, ойланған дұрыс, ал түсінбесе неге түсінбегенін анықтауға ұмтылған жөн. Неге түсінбегенін білгеннен кейін ғана қайталап оқу пайдалы болмақ. Əдетте үш рет қайталап оқу жеткілікті болады. Əрине бұл оқушының жеке ерекшелігіне байланысты. Тез түсінетіндер үшін қайталаудың қажеті де болмас. Сызба геометрияның тағы бір ерекшелігі оны модульдік жүйемен баяндау немесе оқып үйрену мүмкін емес. Модульдік жүйеде пəннің мазмұнын біріне - бірі мүмкіндігінше байланысты болмайтын бөліктерге (модульдерге) бөледі. Оқушылар осындай модульдердің қайсысын ұнатса, сонысын оқуларына болады. Ал сызба геометрияда проекциялау əдісін, оның инварианттарын білмей кітапты ортасынан бастап оқуға болмайды. Өйткені оған түсіну мүмкін емес. Немесе беттердің жасалуын, сызбада берілуін меңгермей беттер қатысатын позициялық, метрикалық есептерді шешіп үйрену де мүмкін емес. Дəл сол сияқты бір сабақты жіберіп қойған студент келесі сабаққа алдыңғы сабақта қарастырылған материалдарды (теоремалар мен алгоритмдерді) білмей түсінуі екі талай. Үшіншіден бұл пəнге түсініп, оның əдістерін іс жүзінде қолдана білу тек графикалық жұмыстарды (сызбаларды) орындау арқылы жүзеге асады. «Компьютер тұрғанда студенттерге сызбаны қолдан салдырудың керегі жоқ» деп асығыс, педагогика мен психология сияқты ғылымдарға сүйенбей, ешбір тəжірибе өткізбей айтылған пікірдің қате екенін ескеру керек. Қ. И. Сəтбаев атындағы Қазақ ұлттық техникалық университетінің сызба геометрия жəне инженерлік графика кафедрасы сызба геометрияның алғашқы оқу - əдістемелік кешенін (ОƏК) өткен ғасырдың 80 - жылдары жасап бітірген еді [1, 2,..., 13]. Содан бері ОƏК - ге жыл сайын өзгерістер мен жаңалықтар енгізіп, оның сапасын арттырып келеді. Бұл əдістемелік нұсқау ОƏК - ді жетілдіру барысында дүниеге келді жəне ол студенттердің сапалы білім алуларына көмектеседі деп сенеміз. Зертханалық жұмысты түсініп оқу, толтыру (толықтыруға да болады), мысалдарды жоғары дəлдікпен шешу жəне талдау жасап, шығару тəсілдеріне қысқаша түсініктеме жазу керек. Əр жұмыс тағайындалған мерзім ішінде орындалуы жəне бағалануы тиіс. 3
1. Зертханалық жұмыс Проекциялардың қасиеттерін (инварианттарын) зерттеу (2 сағат) Зертханалық жұмыстың мақсаты: центрлік, параллель жəне тікбұрышты проекциялардың сақталатын қасиеттерін (инварианттарын) зерттеу жəне оларды өзара салыстыру. 1. Центрлік проекция Центрлік проекцияның негізгі қасиеттері (инварианттары): 1.1.1 Нүктенің проекциясы... болады. 1.1.2 Проекциялаушы түзудің проекциясы... болады, ал одан басқа түзудің проекциясы... болады. 1.1.3 Түзуге тиісті нүктенің проекциясы сол түзудің проекциясына... болады. 1-мысал. Берілген ABСD параллелограмының π' жазықтығындағы проекциясын салуды аяқтау жəне AB кесіндісін 2:3 ( АЕ : ЕВ =2:3) қатынасындай етіп бөлетін Е нүктесінің центрлік проекциясы болатын Е' нүктесін анықтау керек. Орындалған тұрғызуларды математикалық символдардың көмегімен S проекциялау центрі; π' проекциялар жазықтығы; (SA),(SB),(SC),... проекциялаушы түзулер. S B C A D π A C D 4
1.2 Параллель проекция. Параллель проекцияның қосымша қасиеттері (инварианттары): 1.2.4 Параллель түзулердің проекциясы да... болады. a b a' b' 1.2.5 Параллель түзулердің немесе бір түзудің бойынан алынған кесінділердің қатынасы.... AB A B AB A B (AB) (EF ) EF... E F. немесе А (ВС) EF... B C 1.2.6 Проекциялар жазықтығына параллель жазық фигура бұрмаланбай натурал шамасын сақтап проекцияланады. АВС π' А'В'С'... АВС 2-мысал. Берілген ABСD параллелограмының π' жазықтығындағы s бағытындағы проекциясын салуды аяқтау жəне СD кесіндісін 2:3 ( СМ : МD =2:3) қатынасындай етіп бөлетін М нүктесінің параллель проекциясы болатын М' нүктесін анықтау керек. Орындалған тұрғызуларды математикалық символдардың көмегімен жазып көрсетіңіз (түсіндіріңіз). s-проекциялау бағыты; π'-проекциялар жазықтығы; (AA') (BB') (CC') проекциялаушы түзулер. B A C s D B A C π 5
1.3 Тікбұрышты проекция Тікбұрышты проекцияның қосымша қасиеті: 1.3.7 А' В' = АВ АВ кесіндісінің ұзындығы; А'В' АВ кесіндісінің тікбұрышты проекциясының ұзындығы; α АВ түзуінің проекциялар жазықтығына көлбеулік бұрышы. 3-мысал. Проекциялар жазықтығына 60 - қа тең бұрыш жасап көлбейтін СD кесіндісі тікбұрышты проекциясының ұзындығы 30 мм. Осы кесіндінің ұзындығын анықтау керек. B Берілгені: С' D' =30 мм.; α =(СD)^ π'=60. (BB ) π α A A о B0 B π Центрлік, параллель жəне тікбұрышты проекциялардың қасиеттерін салыстырып, қорытынды жасаңыз... 6
2. Зертханалық жұмыс Аксонометриялық проекцияларды салу жəне зерттеу (4 сағат) Зертханалық жұмыстың мақсаты: аксонометриялық координаталар жүйесімен, аксонометрияның негізгі теоремасымен, бұрмалану көрсеткіштерімен танысу жəне стандарт аксонометрияларды салып үйрену. 2.1 Аксонометриялық координаталар жүйесін О'х'у'z' тікбұрышты декарттық координаталар жүйесін Охуz проекциялар жазықтығына параллель проекциялаудың нəтижиесінде шығарып алады. х' аксонометриялық... осі; у' аксонометриялық... осі; z' аксонометриялық... осі; E 0' E'x... осі бағытындағы аксонометриялық масштаб; 0' E'у... осі бағытындағы E аксонометриялық масштаб; E 0' E'z... осі бағытындағы x аксонометриялық масштаб. Аксонометрияның негізгі теоремасы (К. Польке теоремасы): К. Польке теоремасының салдары: аксонометриялық осьтердің бағыттарын жəне аксонометриялық масштабтардың ұзындықтарын... тағайындауға болады екен. 2.2 Координаталарымен берілген нүктенің аксонометриялық проекциясын салу 1-мысал. М(4; 2; 2) нүкте сінің аксонометриялық проекциясын салу керек. Шешуі. Аксонометриялық осьтерді қалауымызша жүргізіп, аксонометриялық масштабтарды қалауымызша тағайындаймыз. Нүкте белгісінен кейінгі жақша ішіндегі бірінші сан нүктенің абсциссасын, екінші сан ординатасын, ал үшінші сан аппликатасын анықтайды. Абсциссалар осіне 0'E' x кесіндісіне тең 4 кесінді, ординаталар осіне 0'E'у кесіндісіне тең 2 кесінді жəне аппликаталар осіне 0'E'z 7 M M1 M3 M E E E M M M2
кесіндісіне тең 2 кесінді салып, сəйкесінше М'х, М'у, жəне М'z нүктелерін белгілейміз. М'х нүктесі арқылы z' осіне параллель етіп жүргізілген түзу М'z нүктесі арқылы х' осіне параллель етіп жүргізілген түзумен М'1 нүктесінде қиылысады. М'х нүктесі арқылы у' осіне параллель етіп жүргізілген түзу М'у нүктесі арқылы х' осіне параллель етіп жүргізілген түзумен М'2 нүктесінде қиылысады. Сондай-ақ, М'у нүктесін бастыра аппликаталар осіне параллель түзу жəне М'z нүктесін бастыра ординаталар осіне параллель түзу жүргізсек, олар М'3 нүктесінде қиылысады. Табылған М'1, М'2 жəне М'3 нүктелерін М нүктесінің екінші проекциялары деп айтады. Екінші проекциялар арқылы сəйкесінше абсциссалар, ординаталар жəне аппликаталар остеріне параллель етіп жүргізілген үш түзу М' нүктесінде қиылысады. Сонда параллелепипед шығады. М' нүктесін М нүктесінің аксонометриялық проекциясы деп айтады. О' нүктесінен параллелепипедтің қырлары бойымен жүріп отырып М' нүктесіне апаратын 6 жол бар. Оларды координаталық сынық сызықтар дейді. Алға қарай О'М'хМ'2М' сынық сызығын пайдаланамыз. 2-мысал. А(2; 3; 5) жəне В(5; 2; 2) нүктелері анықтайтын АВ түзуінің жəне оның координаталар жазықтықтарымен қиылысу нүктелерінің екінші жəне аксонометриялық проекцияларын салу керек. (АВ) (х0z)=v; (АВ) (х0y)=h; (АВ) (y0z)=w. E E E 8
2.3 Бұрмалану көрсеткіштері жəне аксонометрияның түрлері Бұрмалану көрсеткіші масштабқа қатынасын айтады. О'E'x OEx О'E'y OEy О'E'z OEz деп... масштабтың... = u -... осі бағытындағы бұрмалану көрсеткіші; = v -... осі бағытындағы бұрмалану көрсеткіші; = w -... осі бағытындағы бұрмалану көрсеткіші; ОЕх = ОЕу = ОЕz натурал масштаб. Егер u=v=w болса, аксонометрияны... деп, ал u v w u болса... деп атайды. Егер u= w v, немесе u= v w, немесе u v= w болса, онда аксонометрияны... деп атайды. s π'... аксонометрия; s π'... аксонометрия. 2.4 Стандарт аксонометриялық проекциялар: 2.4.1 Тікбұрышты изометрия 2.4.2 Тікбұрышты диметрия w= 2.4.3 Қиғашбұрышты фронталь диметрия u= u= v= u= w= v= 2.4.4 Қиғашбұрышты фронталь изометрия w= u= 2.4.5 Қиғашбұрышты горизонталь изометрия w= v= w= v= v= 9 u=
2.5 Стандарт аксонометрияларды салудың мысалдары 3-мысал. Тікбұрышты келтірілген изометрияда N(3; 2; 5) нүктесі арқылы үш түзу f, h жəне p жүргізу керек. Олардың біріншісі f ординаталар осімен қиылысады жəне x0z жазықтығына параллель. Екіншісі h аппликаталар осімен қиылысады жəне x0y жазықтығына параллель, ал үшіншісі p абсциссалар осімен қиылысады жəне y0z жазықтығына параллель. xʹ ^ yʹ= x' ^ z'= y' ^ z'=... ; U=V=W=... ; xʹ ^ yʹ=... ; 1 4-мысал. x0y жазықтығына перпендикуляр орналасқан АВС үшбұрышының тікбұрышты келтірілген диметриясын салу керек. A(5; 2; 5); В(0; 4; 2); С(1; у; 7). x ^ z =... ; x' ^ y'=... ; y' ^ z' =... ; U=W=... ; V=... ; 1 1 8 7 10
5-мысал. Биіктігі 6 бірлікке тең, х0у жазықтығында тұрған үшбұрышты тік призманың қиғашбұрышты фронталь диметриясын салу керек. Призманың бүйір қырларының біреуі аппликаталар осінде жатыр, ал қалған екеуі сəйкесінше Е(5, 2, 3) жəне F(1, 3, 2) нүктелері арқылы өтеді. x' ^ z'=... ; x' ^ y'= y' ^ z'=... ; u=w=... ; v=.... 1 3. Зертханалық жұмыс Өзара перпендикуляр екі жазықтыққа тік бұрыштап проекциялау (Монж эпюрі). Аксонометрия мен Монж эпюрінің арасындағы байланыс (2 сағат) Зертханалық жұмыстың мақсаты: техникада қолданылатын кескіндеудің негізгі əдісін зерттеу; аксонометрияда берілген фигураның сызбасын жəне сызбасы бойынша оның аксонометриясын салып үйрену. 3.1 (Кешенді) сызба (Монж эпюрі) Бір проекциядан тұратын кескін қайтымды болмайды. Сондықтан француз ғалымы Г. Монж (1746-1818) нəрсені өзара перпендикуляр екі жазықтыққа тік бұрыштап проекциялауды, бұдан кейін бұл екі жазықтықты қиылысу сызығы-нан айналдырып сызба салынатын жазықтықпен беттестіруді ұсынды. Пайда болған жазық кескінді Монж эпюрі деп атайды, ал біз оны алға қарай (кешенді) сызба дейтін боламыз. 11
Бұл екі жазықтықтың біреуін (π2) горизонталь орналастырады, ал екіншісін оған перпендикуляр етіп (π1) алдымызда көлденең орналастырады. z13 π1 А1 А 1 π 1 В1 А В 1 В В12 В х А х В 2 O А12 x 12 π 2 В2 А 2 А2 π2 y2 Аксонометрия Сызба (Монж эпюрі) π1... проекциялар жазықтығы; π2... проекциялар жазықтығы; π1 π2= проекциялар осі; A1B1 AB кесендісінің... проекциясы; A2B2 AB кесендісінің... проекциясы; (A1A2) ; (B1B2) ; (A1A2) (B1B2) (проекциялық ) байланыс сазықтары. 3.2 Аксонометрия мен сызбаның арасындағы байланыс Тікбұрышты декарттық координаталар жүйесін қалауымызша орналастыруға болады. Бірақ салуды жеңілдету үшін абсциссалар осі ретінде фронталь жəне горизонталь проекциялар жазықтықтарының қиылысу сызығын қабылдаймыз: π1 π2=. Оның бойынан бас нүктені О қалауымызша белгілеп, z а б с ц и с с а л а р о с і н е п е р п е н д и кул я р орналасқан у жəне z осьтерін фронталь жəне горизонт а ль жазықтықт арда жүргіземіз: y x; z x; y π2; z π1. Горизонталь проекциялар жазықтығын A қиылысу сызығынан айналдырып фронталь проекциялар жазықтығымен беттестіреміз. 1-мысал. Тікбұрышты изометрияда A берілген А нүктесі мен қиғашбұрышты ф р о н т а л ь д и а м е т р и я д а бе р і л ге н В x нүктесінің фронталь жəне горизонталь A проекцияларын салу керек. x 2 12
B O B B2 2-мысал. Сызбада фронталь А1В1С1 жəне горизонталь А2В2С2 проекцияларымен берілген АВС үшбұрышының тікбұрышты келтірілген диметриясын салу керек. В1 А1 С1 А12 В12 С12 O В2 А2 С2 13
3-мысал. Қиғашбұрышты фронталь диаметрияда ке скінделген үшбұрышты тік призманың фронталь жəне горизонталь проекцияларын салу керек. C A B O F D E 4-мысал. Төбелері A(5;4;8), B(10;4;2), C(2;7;0) жəне D(2;0;2) нүктелері болатын ABCD пирамидасының фронталь жəне горизонталь проекцияларын салу керек. Фронталь проекциялар жазықтығына параллель орналасқан қырын табыңыз. Горизонталь проекциялар жазықтықтығына параллель орналасқан қырын табыңыз. O 14
Аксонометриялық проекциялар мен сызбаны (Монж эпюрін) салыстырып, олардың кемшіліктері мен артықшылықтарын анықтаңыз. 4. Зертханалық жұмыс Негізгі позициялық есептерді шешу алгоритмдерін зерттеу (4 сағат) Зертханалық жұмыстың мақсаты: негзгі позициялық есептермен танысып, оларды шешу алгоритмдерін үйреніп меңгеру. 4.1 Негізгі позициялық есептер Негізгі позициялық есептер деп нүктелердің, түзулердің жəне жазықтықтардың өзара орналасуын анықтауға берілген есептерді айтады. Позициялық есептерде геометриялық элементтердің біріне-бірі тиісті болуы, өзара параллель болуы немесе қиылысуы анықталады. 1-мысал. Берілген А(6;3;4), В(6;3;2), С(3;2;2) жəне D(3;5;2) нүктелерінің фронталь жəне гори1 зонталь проекцияларын салып, олардың өзара қалай орналасқандықтарын анықтаңыз. А жəне В нүктелері... бəсекелес, ал С жəне D... бəсекелес O нүктелер. А жəне В нүктелерінің x қайсысының фронталь проекциясы... орналасса, сонысы горизонталь проекцияда көрінеді, ал С жəне D нүктелерінің қайсысының горизонталь проекциясы... орналасса, сонысы фронталь проекцияда көрінеді. 12 4.1.1 Түзудің проекциялар жазықтықтарына қатысты орналасыуы Фронталь проекциялар жазықтығына параллель түзуді... деп атап, f əрпімен белгілейді. Горизонталь проекциялар жазықтығына параллель түзуді... деп атап, h əрпімен белгілейді. 15
f -... ; h -... ; a жалпы жағдай түзуі. Деңгейлік түзулердің жетіспейтін проекцияларын жүргізу жəне оларды проекциялар жазықтықтарына көлбеулік бұрыштарын көрсету керек. A2 f2 ; B1 h1 ; f ^ π2 = ; h ^ π1 = ; a1 B1 f1 А1 α0 0 β h1 B2 А2 a2 2-мысал. Берілген А нүктесі арқылы өтетін үш түзу b, f жəне h жүргізу керек. Олардың біріншісі b берілген а түзуіне параллель орналассын, ал екіншісі f фронталь проекциялар жазықтығына a параллель орналасып, а түзуімен қиылыссын. Үшінші h түзуі а түзуімен қиылысады жəне горизонталь проекция-лар А жазықтығына параллель. 1 1 3 - м ы са л. Ұ з ы н д ы ғ ы 3 0 м м А В a А кесіндісі фронталь f-тің бойында орналасқан. Оның фронталь проекциясын салуды аяқтау ке-рек. Қандай жағдайда есептің екі шешімі, бір шешімі болады немесе шешімі болмайды? A2B2 <30 мм болса есептің... ше-шімі, A2B2 =30 мм болса... шешімі жəне A2B2 > 30 мм болса есептің шешімі....... 2 2 А1 А2 B2 16 f2
4.1.2 Жазықтықтың проекциялар жазықтығына қатысты орналасуы Фронталь проекциялар жазықтығына перпендикуляр жазықтықты... проекциялаушы жазықтық деп атайды. Горизонталь проекциялар жазықтығына... жазықтықты... проекциялаушы жазықтық деп айтады. Жазықтықтың... деп оның проекциялар жазықтығымен... сызығын айтады. α π1= fα α жазықтығының... ізі; f α π2= hα α жазықтығының... ізі; α = Xα іздердің тоғысу нүктесі; α жалпы жағдай жазықтығы. Оның іздерінің ішінде проекциялар осіне перпендикуляр не-месе X параллель орналасқаны болмайды x 4-мысал. Фронталь проекциялаушы α(m, n) жазықтығында жатқан М нүктесінің фронталь проекциясын (М1) тауып, горизонталь проекциялар жазықтығына параллель β жазықтығында жатқан h АВС үшбұрышының фронталь проекциясын салуды аяқтау керек. Фронталь проекциялаушы α жазықтығының горизонталь проекциялар жазықтығына көлбеулік бұрышын жəне АВС үшбұрышының натурал шамасын көрсетіңіз. α α 12 α n1 = fα = α1 A1 hβ = β1 n2 M2 B2 A2 C2 4.2 Жазықтыққа тиісті нүкте мен түзудің проекциялары Нүкте жазықтыққа тиісті болу үшін оның жазықтықта жатқан түзудің бойында орналасуы керек. Түзу жазықтыққа тиісті болу үшін оның екі нүктесі жазықтықта жатуы керек. 17
5-мысал. Параллель түзулер а жəне b анықтайтын α(a b) жазықтығында жатқан m түзуінің фронталь проекциясын тұрғызып, жазық бесбұрыш АВСDE-нің горизонталь проекциясын салуды аяқтау керек. α(a b) жазық-тығының горизонтальдарының біреуін, жазық бесбұрыш жазықтығының A нүктесі арқылы өтетін фронталін салыңыз. B1 A1 a1 b1 C1 E1 D1 C2 m2 A2 b2 a2 B2 4.3 Түзу мен жазықтықтың қиылысу нүктесін салу Берілген а түзуі мен α жазықтығының өзара орналасуын анықтау алгоритмі: берілген түзу арқылы көмекші проекциялаушы β жазықтығы жүргізіледі: a β π1 (немесе π2 ); көмекші β жəне α берілген жазықтықтарының қиылысу сызығы k тұр-ғызылады: α β = k (1, 2); 1 жəне 2 нүктелері қиылысу сызығы k-ны анықтайтын нүктелер; берілген а түзуі мен қиылысу сызығы k-ның өзара орналасуы зерттеледі. Бұл арада үш жағдай болуы мүмкін: 1) егер а k болса, онда а түзуі α жазықтығына параллель екені анықталады: а k а α ; 2) егер а = k болса, онда а түзуі α жазықтығында жатады: а = k а α ; 18
3) егер а k = K болса, онда K нүктесі а түзуі мен α жазықтығының қиы-лысу нүктесі болады: a k=k а α = K ; бəсекелес нүктелер əдісін пайдаланып берілген түзудің көрінбейтін бөліктері анықталады. 6-мысал. Берілген а түзуі мен АВС үшбұрышы анықтайтын α жазықтығы-ның қиылысу нүктесін тауып, а түзуінің АВС үшбұрышына қатысты фронталь жəне горизонталь проекциялардағы көрінбейтін бөліктерін анықтаңыз. Екінші суретте көрсетілген b түзуімен γ( fγ hγ ) жазықтығының қиылысу нүктесін салыңыз. a1 B1 fγ b1 A1 C1 Xγ A2 C2 hγ b2 a2 B2 4.4 Екі жазықтықтың қиылысу сызығын салу Екі жазықтықтың қиылысу сызығы түзу болады, ал түзуді жүргізу үшін оның екі нүктесі белгілі болу керек. Сондықтан берілген жазықтықтарға ортақ екі нүкте анықталады. Ол үшін түзу мен жазықтықтың қиылысу нүктесін табу есебін екі рет қайталап шешу жеткілікті. 19
7-мысал. Берілген АВСD параллелограмы мен EFG үшбұрышының қиылысу сызығын салу керек. Үшбұрыштың көрінетін бөліктерін сызықтаңыз. E1 C1 B1 F1 A1 D1 G1 G2 B2 C2 E2 F2 A2 D2 4.5 Параллель жазықтықтарды салу Екі жазықтықтың өзара параллель болуының белгісі: егер бір жазықтық-тың қиылысатын екі түзуі екінші жазықтықтың екі түзуіне сəйкесінше параллель болса, онда бұл екі жазықтық өзара параллель болады. 20
8-мысал. Берілген А нүктесі арқылы өтетін жəне қиылысатын түзулер а мен b анықтайтын α (a b) жазықтығына параллель β жазықтығын салу керек. Екінші суретте В нүктесі арқылы өтетін жəне α ( fα hα ) жазықтығына параллель β жазықтығының іздерін анықтаңыз. a1 fα b1 B1 A1 Xα b2 B2 A2 hα a2 5. Зертханалық жұмыс Метрикалық есептерді шешу алгоритмдерін зерттеу (2 сағат) Зертханалық жұмыстың мақсаты: перпендикулярлық туралы леммалармен жəне теоремамен танысу; өзара перпендикуляр түзулер мен жазықтықтарды салып дағдылану. 5.1 Метрикалық есептер туралы негізгі түсініктер Метрикалық есептер деп берілген фигуралардың арақашықтықтарын, олардың арасындағы бұрыштарды, беттердің аудандарын жəне денелердің көлемдерін анықтауға берілген есептерді айтады. Метрикалық есептерді шешу алгоритмдері өзара перпендикуляр түзулер мен жазықтықтарды салуға негізделген. Сондықтан бұл зертханалық жұмыста түзулер мен жазықтықтардың өзара перпендикуляр орналасуларына байланысты мəселелер қарастырылады. Метрикалық есептерді шешу үшін сызбаны түрлендіру тəсілдерін пайдалану қолайлы. Түрлендіру тəсілдерін пайдаланып метрикалық есептерді шешу жолдары келесі жұмыста қарастырылады. 21
5. 2 Өзара перпендикуляр түзулер 1 - лемма. Өзара перпендикуляр екі түзудің біреуі фронталь болса, онда олардың фронталь проекциялары... жасап орналасады. Керісінше, екі түзудің... проекциялары тікбұрыш жасап орналасса, жəне олардың біреуі фронталь болса, онда олар өзара... болады. a f a1 f1 ; a1 f1 a f. 1-мысал. Берілген М нүктесі арқылы фронталь проекциялар жазықтығына параллель орналасатын жəне берілген a(a1, a2) түзуіне перпендикуляр болатын түзу жүргізу керек. Есепті шешу жолын жазып, түсіндіріңіз. a1 М1 a2 М2 2-лемма. Өзара перпендикуляр екі түзудің біреуі горизонталь болса, онда олардың горизонталь проекциялары.. жасап орналасады. Керісінше, екі түзудің.... проекциялары жасап орналасса жəне олардың біреуі горизонталь болса, онда олар өзара.. болады. b h b2 h2 ; b2 h2 b h. 2-мысал. Берілген N нүктесі арқылы өтетін жəне горизонталь проекциялар жазықтығына параллель h түзуімен тікбұрыш жасап қиылысатын b түзуін жүргізу керек. N1 h1 h2 N2 5.3 Өзара перпендикуляр түзу мен жазықтық Теорема. Түзу жазықтыққа перпен-дикуляр болуы үшін сызбада оның фрон-таль проекциясы жазықтық фронталінің фронталь проекциясына, ал горизонталь проекциясы жазықтық горизонталінің горизонталь проекциясына перпендикуляр болуы қажетті жəне жетілікті. 22
Егер a(a1, a2) түзуі мен α( f h ) жазықтығын қарастыратын болсақ, онда: a α ( f h) a1 f2 жəне a2 h2. 3-мысал. А нүктесі арқылы өтетін жəне берілген a түзуіне перпендикуляр орналасатын α жазықтығын салу керек. A1 a1 a2 A2 4-мысал. Берілген М нүктесінен АВС үшбұрышы анықтайтын α жазықтығына перпендикуляр түсіріңіз. Есепті шешу діріңіз. B1 M1 A1 C1 A2 M2 C2 B2 23 жолын жазып түсін-
5 - мысал. А нүктесі арқылы өтетін жəне берілген b түзуімен тікбұрыш жасап қиылысатын (жалпы жағдайда орналасқан) а түзін салу керек. Есепті шешу жолын жазып түсіндіріңіз. A1 b1 х12 b2 5.4 Өзара жазықтықтар перпендикуляр A2 Екі жазықтықтың өзара перпендикуляр болуының белгілері: егер екі жазықтықтың біреуі екіншісіне перпендикуляр түзу арқылы өтсе, онда бұл екі жазықтық өзара перпендикуляр болады: α а β а... β; егер екі жазықтықтың біреуі екінші жазықтықта жатқан түзуге перпендикуляр болса, онда бұл екі жазықтық өзара перпендикуляр болады: α а β а... β; 6 - мысал. Кескінделген а түзуі арқылы өтетін жəне М нүктесі мен n түзі анықтайтын β(м,n) жазықтығына перпендикуляр болатын α жазықтығын салыңыз. Есепті шешу жолын жазып түсіндіріңіз. M1 a1 n1 n2 M2 24 a2
Пайдаланылған əдебиеттер тізімі 1. Есмұханов Ж. М. Сызба геометрия. Алматы: «Мектеп», 1987. 168 б. 2. Есмұханов Ж. М., Макышев Е. М., Есмұханов Е. Ж. Сызба геометрия есептері. Алматы: «Білім», 1995. 272 б. 3. Есмұханов Ж. М., Есмұханова Ж. Ж. Сызба геометрия есептері. 2-бөлім. Алматы: ҚазҰТУ, 2005. 157 б. 4. Есмұхан Ж. М., Есмұханова Ж. Ж. Сызба геометрия. Оқулық. Алматы: ҚазҰТУ, 1998. 265 б. 5. Есмұханов Ж. М. Сызба геометрия есептерінің минимумы. Алматы: КазПТИ, 1990. 34 б. 6. Есмұханов Ж. М. Сызықтық сызба геометрия негіздері. Алматы: КазПТИ, 1991. 52 б. 7. Есмұханов Ж. М., Есмұханова Ж. Ж. Қисықтар мен беттердің сызба геометриясы. Алматы: ҚазҰТУ, 1995. 66 б. 8. Есмұханов Ж. М., Құспеков Қ. Ə. Сызба геометриядан орындалатын графикалық жұмыстар. Алматы: КазПТИ, 1990. 84 б. 9. Есмұханов Ж. М., Құспеков Қ. Ə., Есмұханова Ж. Ж. Аксонометриялық проекциялар. Алматы: ҚазҰТУ, 1998. 32 б. 10. Есмұханов Ж. М., Құспеков Қ. Ə., Позициялық жəне метрикалық есептер. Түрлендірулер. Алматы: ҚазҰТУ, 2008. 30 б. 11. Есмұханов Ж. М. Сызба геометрия тестілері Алматы: ҚазҰТУ, 1997. 35 б. 12. Есмұханов Ж. М. Краткий русско - казахский словарь терминов начертательной геометрии и черчения. Алматы: КазПТИ, 1990. 38 б. 13. Есмұхан Ж. М. Кешенді сызбаны түрлендіру жəне метрикалық есептер. Алматы: ҚазҰТУ, 2008. 34 б. 25
Мазмұны Кіріспе... 3 1. Зертханалық жұмыс Проекциялардың қасиеттерін (инварианттарын) зерттеу... 4 2. Зертханалық жұмыс. Аксонометриялық проекцияларды салу жəне зерттеу... 7 3. Зертханалық жұмыс. Өзара перпендикуляр екі жазықтыққа тікбұрыштап проекциялау (Монж эпюрі). Аксонометрия мен Монж эпюрінің арасындағы байланыс...11 4. Зертханалық жұмыс. Негізгі позициялық есептерді шешу алгоритмдерін зерттеу... 15 5. Зертханалық жұмыс. Метрикалық есептерді шешу алгоритмдерін зерттеу... 21 Пайдаланылған əдебиеттер тізімі... 25 26
Құрама жоспар 2014. Жанұзақ Мұхитұлы Есмұхан Қайырбек Əмірғазыұлы Құспеков Ерғазы Əбдісадықұлы Əуезов Ербол Естемесұлы Мəсімбаев СЫЗБА ГЕОМЕТРИЯ Сызба геометриядан орындалатын зертханалық жұмыстарға əдістемелік нұсқау 1-бөлім Редактор Г. Қ. Өпкебаева БЕКІТІЛДІ: Ə. Бүркітбаев атындағы ӨИИ ғылыми-əдістемелік кеңесінің төрағасы Ə. Т. Тұрдалиев «28» қараша 2014 ж. КЕЛІСІЛДІ: «СГжИГ»ӨИИ кафедрасы меңгерушісі Құспеков Қ. Ə. «22» қараша 2014 жыл. Басуға қол қойылды «28» қараша 2014 ж. Таралымы 100 дана. Пішімі 60х84 1/16 1 типографиялық қағаз. Көлемі 1.8 есепті баспа табақ. Тапсырыс 279. Бағасы келісімді. Қ. И. Сəтбаев атындағы Қазақ ұлттық техникалық университетінің басылымы Оқу - баспа орталығы, Сəтбаев көшесі, 22 үй. 27