Әл-Фараби атындағы Қазақ ұлттық университеті МАНАТ. 6D Математика (Қолданбалы математика)

Әл-Фараби атындағы Қазақ ұлттық университеті ӘОЖ 5.6 Қолжазба құқығында МАНАТ Біркелкі монотонды емес есептелмеліктер 6D6 Математика (Қолданбалы математика) Философия докторы (PhD) ғылыми дәрежесін алу үшін дайындалған диссертация Ғылыми жетекшілері ф.м.ғыл.докт., профессор С.А.Бадаев Сиена университетінің профессоры А.Сорби Қазақстан Республикасы Алматы, 22

МАЗМҰНЫ БЕЛГІЛЕУЛЕР МЕН ҚЫСҚАРТУЛАР 3 КІРІСПЕ 4 ЕСЕПТЕЛІМДІЛІК ТЕОРЕИЯСЫНЫҢ НЕГІЗІ ЭЛЕМЕНТТЕРІ. Негізгі функциялар.2 Рекурсив саналымды жиындар 3.3 Көшірулер және m-дәрежелер 5.4 Ершов иерархиясының ақырлы деңгейлері 6.5 Нөмірлеу теореиясы және Рожерс жарты торы туралы кейбір Теоремалар 2 2 РОЖЕРС ЖАРТЫ ТОРЫНЫҢ ҚУАТЫ 28 2. Бір элементті Рожрес жарты торы 28 2.2 Рожерс жарты торы қуатының шексіз болуының қажетті шарты 46 3 ЕРШОВ ИЕРАРХИЯСЫНДАҒЫ МИНИМАЛЬ НӨМІРЛЕУЛЕР 6 3. Позитив нөмірлеуі бар, бірақ Фридберг нөмірлеуі жоқ үйірлер 6 3.2 Шешілімсіз позитив нөмірлеуі бар үйірлер 66 ҚОРЫТЫНДЫ 79 ПАЙДАЛАНЫЛҒАН ӘДЕБИЕТЕР ТІЗІМІ 8 2

ω W o, W,.. ϕ, ϕ,.. o нөмірлеуі ( y) БЕЛГІЛЕУЛЕР МЕН ҚЫСҚАРТУЛАР Натурал сандар жиыны Есептелімді саналымды жиындар үйірі үшін Пост нөмірлеуі Бір орынды жартылай есептелімді функциялар үйірі үшін Клинии c Контор нөмірлеу функциясы l ( c( y)) = x Сол жақ Кантор функциясы r ( c( y)) = x Оң жақ Кантор функциясы R a ( A) A үйірінің Рожерс жарты торы Com a ( A) A үйірінің барлық есептелімді нөмірлеулер жиыны Клинилік ордианлдың белгілеу жүйесі θ α нөмірлеудің эквивалент қатынасы domf f функциясының анықталу обылысы rangf f функциясының мәндер обылысы 3

КІРІСПЕ Зерттеу тақырыбының өзектілігі. Есептелімді саналымды жиындар үйірі үшін біртекті есептілімділік немесе басқаша айқатнда есептелімді нөмірлеу ұғымы алгоритмдер теориясының классикалық зерттеу нысаны болып табылады. Соңғы жылдарда осы сала мамандарының аса қызығушылығын туғызған тақырыптар: арифметикалық, аналитикалық және Ершов иерархиясындағы жиындар үйірлері үшін біртекті есептелімділік еді. Аталған иерархиядағы есептелімділіктің басқа есептелімділіктерден айырмашылығы олардың монотонды болмауы. Осындай монотонды емес есептелімділік заманауи математика мен оның қоладанылыуында жиі кездеседі. Мысал ретінде, нейросет пен сараптау жүйесіндегі есептелімділікті алуға болады. Оның негізгі ерекшелігі есептедімділік барысында алынған ақпараттардың саны уақытқа байланысты өсіп отырмай, қайта азайып немесе көбейіп отыруы мүмкін. Соның салдарынан есептеу барысында бұрыннан алынған ақпараттарды жалған деп, есептеудің тактикасын өзгертуге тура келеді. Математикалық логикада бұндай барыстар 96-жылдарда "сынақ және қателік" атымен белгілі болған. Мұндай есептелімділіктің кеңінен пайдаланылғаны Ершов иерархиясындағы жиындар үйірі үшін біртекті есептеулер еді. Бұндағы есептелімділіктің мүмкін болатын сынақ және қателіктер саны жоғарыдан қандай да бір тұрақтымен шектеледі, ол шектеу Ершов иерархиясындағы үйірдің деңгейін анықтайды. Есептеудің осындай монотонды емес түрі есептелімділіктер феноменына жаңа ұғымдар мен тұжырымдарды алып келді. Диссертациялық жұмыстың мақсаты Монотонды емес есептелімділіктің әртүрлі иерархиядағы жиындары үйірі үшін классикалық жағдайдағы монотонды есептелімдіктен айырмашылығын анықтау. Зерттеудің ғылыми жаңалығы Жұмыста келесі жаңа нәтижелер алынған: Кез келген n ω {ω} және кез келген нөлдік емес ординалдың белгілеуі a үшін R a ( A) = Роджерс жарты торы бір элементті болатындай дәл n элементтен тұратын Σ a есептелімді үйір табылатынын дәлелдедік. Яғни, С.Бадаевпен Ж.Таласбаевның бұрын алған нәтижесі Ершов иерархиясының кез келген деңгейі үшін де ақиқат болатыны дәлелденді. Роджерс жарты торы бір ғана элементтен тұратындай қабаттасқан екі Σ a жиындарының үйірі табылатынын көрсеттілді. Мұндағы a - лимиттік емес есептелімді ординалдың белгілеуі. a қандай ординал(шектік ординал болуы да мүмкін) болса да, егерде Σ a есептелімді A = { A, } үйірі және кез келген b, b < a үшін ψ ( b, b ) < a & b + b = ψ ( b, b ), теңдігі орындалатындай жартылай есептелімді ψ функциясы бар болатын болса, 4

онда ( A ) Роджерс жарты торының қуаты шексіз болатыны дәлелденді. R a a төмендегі шарттар орындалатын ординалдың белгілеуі болсын: b,b ординалдың белгілеуі табылып:. b, b < a және b + b a ; 2. Әрбір c үшін егер b c a болса, онда ψ (c) және < b + ψ ( c) = c. шарттары орындалатындай жартылай есептелімді функция ψ табылады. Онда A болатындай Σ a есептелімді A = { A, } үйірі табылып R a ( A) = болтыны көрсетіді. Кез келген нөлге тең емес ординалдың белгілеуі a үшін Σ a жиындар үйірі табылып, оның есептелімді позитивті нөмірлеуі бар, бірақ есептелімді Фридберг нөмірлеуі жоқ болатынын көрсеттік: бұл Ершов иерархиясының кез келген деңгейінде орындалады. Кез келген n ω, n,және кез келген ақырсыз есептелімді A Σ n үйірі үшін, егер. n жұп және A, не 2. n тақ және ω A, шарттарының бірі орындалатын болса, онда Com ( A a ) жиыны шексіз көп позитив және шешілімсіз { α } ω нөмірлеуін қамтитынын көрсетілді. Зерттеудің әдістері Алгоритмдер теориясының барлық классикалық әдістерін, оның ішінде конструктивті нысандарды құрастырудағы кеңінен қолданылатын тәсілдерінен түрлі приоритетті конструкция әдістерін қолдану көзделеді. Барлық приоритетті кострукцияларға ортақ бір құрылым бар, ол құрастырмақшы болып отырған нысанға қойылған анық, дәл талап, осы талаптардың әрбірін қанағаттандыратын стратегиялар және осы стратегиялар арасындағы мүмкін болатын конфликттер, қадам бойынша конструкциялар және осы алгоритмнің тексеруінен өткен стратегияның анық сипаттамасын қамтиды. Әрбір нақты берілген проблеманы немесе бір біріне байланысты проблемалар топтамасын шешу үшін приоритетті конструкциялар үшін уникальды стратегияны таңдап алуға тура келеді. Монотонды емес есептелімділіктердің осыған дейін жиналған тәжірибесі классикалық жағдайдағы әдіс-тәсілдердің монтонды емес жағдайға жарамдыдығы аз екенін көрсетті. Сондықтан да зерттеудің жаңа есептерінің бірі стратегияны құрастырудағы жаңа әдістерді табу болып табылады. Зерттеудің тәжірибелік және теориялық маңыздылығы Алынған нәтижелер монотонды емес есептелімділктердің қасиеттерін зерттеуде, Ершов иерархиясы жағдайындағы Роджерс жарты торкөзінің қуаты туралы сұрақтарға жауап іздегенде және есептелімді нөмірлеулердің қасиеттерін талдауда пайдалануға болады. 5

Зерттеудің талқылануы Диссертациялық жұмыстың негізгі нәтижелері төмендегі конференцияларда және ғылыми семинарларда талқыланды: Халықаралық ғылыми конференция «Logc Colloquum 29» (3 шілде 5 тамыз 29жылы. София, Болғария) Халықаралық ғылыми конференця «Есептелімділік және Моделдер» (3қазан қараша2, Алматы, Қазақстан) Халықаралық ғылыми конференция «Logc Colloquum 2». ( 6 шілде, 2жылы. Барселона, Испания) Халықаралық ғылыми конференция «Мальцев оқылары 2». ( 4 қазан 2жылы. Новосибирск, Ресей) «Asan Intatv for Infnty-AII» докторанттардың жазғы семинарында болған талқылауда. (2 маусым 7 шілде 22, Сингапур) Әл-Фараби атындағы ҚазҰУ, механика-математика факультетінде Профессор Н.Т.Данаевтың жетекшілігімен болған семинардағы талдау. Пекниндегі jng Unon Unvrsty де болған семинардағы баяандамада (5.8 9.8.22жылы, Бейжиң, Қытай) Жарияланымдар Барлық ғылыми нәтижелер ашық баспада 2 ғылыми жариялымда бастырылған (ғылыми басылымдардағы 7 мақала, оның ішінде 3 мақала шетелдік жоғары импакт-факторға ие журналда жарияланған және халықаралық конференцияның материалдарында тезисі ретінде 5 мақала). Жарияланған жұмыстардағы ғылыми жетекшілермен авторлық бірлестікте есептің қойылымы ғылыми жетекшінікі және оны талдап шығаруда ғылыми жетекшілермен бірлесе отырып алынған. Жарияланымдардың тізімі (IF арқылы журналдың импакт-факторы көрсетілген):. Manat Mustafa, Andra Sorb, A not on Rogrs sm lattcs of famls of two mbddd sts n th Ershov hrarchy // Әл-Фараби атындағы КазҰУ «Хабаршысы». -2.- (68).- P.4-3. 2. Manat Mustafa. Famls wthout Frdbrg but wth postv numbrngs n th Ershov hrarchy // Әл-Фараби атындағы КазҰУ «Хабаршысы». -2.- 2(69).-P. 34-39. 3. Manat Mustafa. Not on cardnalty of Rogrs smlattc n th Ershov hrarchy // Әл-Фараби атындағы КазҰУ «Хабаршысы». -2.- 4(7). P.8-2 4. Manat Mustafa, Andra Sorb. Postv undcdabl numbrngs n th Ershov hrarchy // Algbra and logc.-2. - 6(5).-P.52-525, (IF:.455) 5.Манат Мустафа, Андреа Сорби. Позитивные неразрешимые нумерации в иерархии Ершова // Алгебра и Логика. -2. 6(5).-C.759-78. 6

6. adav Srzhan, Manat Mustafa, Andra Sorb. Rogrs sm lattcs of famls of two mbddd sts n th Ershov hrarchy // Mathmatcal Logc Quartrly. -22, august.-vol.58, ssu 4-5. P.366 376. (IF:.496) 7. Abshv K., adav S., Mustafa M. Famls wthout mnmal numbrngs // ulltn of Symbolc Logc. -2. -Vol.6,.-P.7-8. (IF:.69) Диссертацияның құрылымы Жұмыс кіріспеден, екі бөлімнен, қорытынды және әдебиеттер тізімінен тұрады. Тұжырымдар мен формулалар нөмірлері үш көрсеткіштен құралған. Бірінші көрсеткіш-бөлімнің нөмерін, екінші көрсеткіш- бөлімнің ішкі бөлімдерінің нөмерін, үшінші көрсеткіш -сол ішкі бөлімдегі тұжырымдар мен фомулалардың меншікті нөмерін көрсетеді. Жұмыстың көлемі 83 бет. Әдебиеттер саны -53. Автор отандық ғылыми кеңесшім физика-математика ғылымдарының докторы, профессор С.А. Бадаевқа осы үш жылдағы барлық көрсеткен көмектеріне, есептерді талдап, оны түсіндіріп, негізгі идеяларын айтып, диссертацияның дәл уақытында бітуіне көп көңіл бөлгеніне сонымен бірге ғылыми зерттеумен айналысыма барлық жағдайды жасап бергені үшін шынайы алғысымды білдіремін. Әрі шетелдік ғылыми кеңесшім, Сиена университетінің профессоры Андреа Сорбиге жан жақты қоллау білдіргеніне, диссертациялық жұмыстағы көптеген нәтижелерді алуда көрсеткен орасан еңбегіне дән ризашылығымды білдіремін. Егер екі ғылыми жетекшімнің шынайы қолдауы болмағанда, осы диссертациялық жұмысымның уағында бітуі неғайбыл еді. Осындай ғалымдардың менің ғылыми жетекшім болғаны өмірімдегі ең зор бақытым деп білемін. Жұмыстың негізгі мазмұны Диссертациялық жұмстың бірінші бөлігі есептелімді нөмірлеу теориясымен Ершов иерархиясының негізі анықтамаларымен оның кейбір қасиеттеріне арналған. Бұл жұмыстың екінші бөлімі және негізгі бөлімінің бірі Ершов иерархиясындағы есептелімді нөмірлеулердің қасиеттерімен Роджерс жарты торкөздерінің қуаты төңірегіндегі мәселелерге арналған. Есептелімді нөмірлеу дегенде ең бастапқы осы идеяаның түп негізін Геделден бастап алуға болатыны анық. Есептелімді нөмірлеу теорисының дамуның келесі қадамында, нөмірлеулерді пайдаланып барлық жартылай анықталған рекурсив функциялар үйірі үшін универсал жартылай есептелімді функцияны құрастырған Клииниді атауға болады. Клинидің нөмірлеу туралы теоремасы алгоритмдер теориясымен конструктивті обектілердің қасиеттерін зерттеудегі ең табысты қадамдардың бірі және осы саланың теория ретінде қалыптаса бастау кезеңі деп та қарауға болады. Кейіннен осы теорияның тереңдей дамуына Колмогоровпен оның оқушысы 7

Успенский көп еңбек етті. Успенский жартылай анықталған функциялар үшін есептелімді нөмірлеу теориясын жүйелі түрде саралап, оны алгоритмдер теориясына қолданды, сонымен бір уақытта, тәуелсіз түрде, барлық бір орынды жартылай анықталған функциялар үйірі үшін есептелімді нөмірлеулер теориясын зерттеуді Х.Роджерс енгізді. Ол жартылай анықталған функциялар үйірі үшін мүмкін болатын барлық есептелімді нөмірлеулермен ( Comp (F) ) осы нөмірлеулер арасында жартылай реттеу болатын көшу ( ) ұғымын енгізді. Осы көшу бойынша алынған эквивалент қатынас( ) бойынша факторизациялау, Роджерс жарты торкөзі ұғымын алып келді. Роджерс жарты торкөзі берілген қандай да бір үйірдің әр түрлі есептеулерін өлшеуге, салыстыруға, сонымен бірге әр түрлі үйірлердің есептелімді нөмірлеулерін қасиеттері бойынша классификация жасауға арналған, яғни, есептелімді нөмірлеулердің негізгі сұрақтарының бәрі Роджерс жарты торкөзінің алгебралық және элементар қасиеттеріне зерттеуге арналған. Есептелімді саналымды жиындар үйірі үшін Роджерс жарты торкөзіне қатысты ең алғашқы өте маңызды сұрақты, яғни, оның қуаты туралы және осы жарты торкөздің торкөз болу болмауы туралы академик Ю.Ершов жағынан 6-жылдары ортаға қойылған еді. Осы сұрақтармен ең бастан Мальцевтің [], Ю.Ершовтың [2] еңбектерімен қоса, С.Денисов [3], А.Б.Хуторецкий [4], С.Марченков [5; 6], С.Гончаров [7; 9], С.Бадаев [; ], В.Селиванов [2; 3], М.Куммер [4; 5], А.Лахлан [6; 7], В.Вюгин [8; 9] және басқада ғалымдардың еңбегін атап өтуге болады. Роджерс өзі жартылай анықталған функциялар үйірі үшін Роджерс жарты торкөзінің ең үлкен элементін құрастырып берді, ал оның минмималь элементімен оның кейбір қасиеттері туралы сұрақты кейіннен Р.Фридберг [2], A.Мальцев [,3-35 б.], [2; 22], Пур-Ел [23] көптеп қарастырды. А.Б.Хуторецкий мен Селиванов есепетлеміді саналымды жиындар үйірі үшін Роджерс жарты торкөзі торкөз болмайтынын, әрі егер ол екі элементтен артық қамтитын болса, онда оның қуаты шексіз болатынын дәлелдеді. Ұзақ уақытқа дейін шешімін таппай тұрған сұрақтың бірі (C.Бадаев және С.Гончаров [24]) Хуторецкийдің ( теоремадағы) теоремасы Ершов иерархиясындағы басқада үйірлер үшін дұрыс болатындығы еді. Кейіннен 29-жылы С.Бадаев және Ш.Лемпп [25] Хуторецский теоремасын Ершов иерархиясындағы кейбір 2-есептелімді саналымды жиындар (d.c.) үйірі үшін орындалмайтынын көрсетті. А.В.Хуторецкий, С.Гончаровтың, А.Сорбидің басқа иерархиялардағы теоремаларды дәлелдеудегі әдіс-тәсілдері Ершов иерархиясындағы есептелімділік үшін әрқашан орындала бермейтінін, сонымен бірге Ершов иерархиясындағы есептелімділіктің монотонды болмауынан, классикалық жағдайда алынған нәтижелерді сондағы әдістерді пайдалана отырып Ершов иерархиясында қайта шешуге қиындық тудырды. Осыдан бастап, Ершов иерархиясындағы Роджерс жарты торкөзінің қуаты туралы сұрақтың маңыздылығы арта бастады. 8

Жұмыстың екінші бөлігі негізінен Роджерс жарты торкөзінің қуаты турады сұрақ төңірегінде болды. [9,83-84 б.] мақалада, авторлар Роджерс жарты торының жалғыз элементті болатындай Ершов иерархиясындағы ақырсыз үйірінің мысалы келітіріген болса, кейін С.Бадаевпен Ж.Таласбаева [26] жоғарыдағы үйірден өзгеше Роджерс жарты торының бір элементті болатындай саналымды қуатқа ие үйірдің мысалын келтірді. Бұл нәтиже Ершов иерархиясының екінші деңгейі үшін дәлелденген еді. Бұл иерархияның кез келген ординал деңгейі үшін де жарамды болатынын диссертация авторы [27] еңбегінде дәлелдеген. Бұл осы жұмыстағы 8-теорема. А.Мальцев есептелімді саналымды жиындар үйірінде Роджерс жарты торкөзінің бір элементті болатын эффективті дискретті үйірдің мысалын тауып берді [,3-33б.; 2,75-76б.], үйір есептелімді функциялар үйір болған жағдайда Роджерс жарты торкөзінің бір элементті болатын үйірді Ю.Ершов [2, 7-24 б.] еңбегінде көрсеткен еді. Ал егер үйір C Σ n ақырлы және дискретті емес болатын болса, онда Роджерс жарты торкөзінің шексіз болуы үшін үйірде кемінде бір жұп қабаттасқан жиындардың бар болуы қажетті болатынын Ю.Ершов дәлелдеген. Осы жұмыста, тек қана бұл үйір де емес, есептелімділіктің C { Σ n, Π n, Σ n, Π n, n : n } кез келгені үшін де, қабаттасқан жиындардың кез келген C - есептелімді { A, } үйірлер үшін Роджерс жарты торкөзінің шексіз болатындығын 9-теорема арқылы жақсы дәлелі берілді. Бірақ, Ершов иерархиясының екіншді деңгейінде жоағырдағыдан өзгеше бір нәтиже алынған. Онда С.Бадаев пен Ж.Таласбаева [26, 6-7 б.] иерархияның екінші деңгейінде қабаттасқан жиындар үйірі табылып, оның Роджерс жарты торкөзінің бір элементті болатынын көрсетті. Диссертацияның 2-теоремасынан, осы тұжырым кез келген шектік емес ординал деңгейіне дейін дұрыс болатынын көре аласыз. Бұл автордың [27] мақаласында жарық көрген теоремалар негізінде алынған. Теорамнаның дәлелі С.Бадаевпен Ж.Таласбаеваның қолданған дәлелдеу әдісінен өзгешерек. Бірақ жалпы идея сақталған. Бұл нәтиже ең қызығы Ершов иерархиясының шектік ординал деңгейі үшін әрқашан орындала бермейді. Жоғарыдағы нәтижені алғаннан кейін бір жылдық талдау, зерттеу арқылы, шектің ординал деңгейі үшін Роджерс жарты торкөзінің қуаты туралы бірден жауап беру қиын болатыны байқалды. 22-теорема бойынша, қабаттасқан жиындардың үйіріндегі a ординал деңгейінде, мейлі шектік, мейлі шектік емес ординал болсада, егер осы деңгейден кіші кез келген екі ординал үшін теорема тұжырымындағы теңдік орындалатындай жартылай анықталған есептелімді функциясы бар болатын болса, онда осы деңгейді Рожерс жарты торының қуаты шексіз болатыны дәлелденді. Бұл теоремалар және төменде айтылатын осыған ұқсас тұжырымдардың қортындысы автордың қос ғылыми жетекшісімен бірге жарияланған [28] мақаладан көруге болады. Жоғарыдағы теореманың тұжырымы ω ординал деңгейіндегі қабаттасқан жиындар үйірі үшін де ақиқат. Оны осы теореманың соңындағы салдардан көруге болады. Бірақ 9

жоғарыдағы тұжырым кез келген қосынды бойынша тұйық болатын есептелімді ординал үшін орындалатыны әлде орындалмайтындығы әлі ашық күйінде қалып отыр. Сонымен бірге, бұл жұмыстың келесі бөлігінде ординалдың белгілеуіне қатаң шарттар қою арқылы, Роджерс жарты торкөзінің жалғыз элементтен тұратындай қабаттасқан жиындардың үйірі табылатынын дәлелденді. Анығырақ айтқанда, 2.2.2-теоремадағы шарттар орындалса, онда A болатындай Σ есептелімді A = { A, } үйірі табылып, R a a ( A) = болады. Бұл да автордың шетелдік ғылыми басылмдағы[28, 37 б.] мақаласы негізінде жазылған. Сонымен осы бірқанша нәтижелер арқылы диссертацияның екінші бөлігі аяқталады. Диссертацияның үшінші бөлігі минималь нөмірлеудің ерекші түрлеріне арналады. Атап айтқанда, позитив, Фридберг, шешілімді нөмірлеулер туралы еді. Осы жерде айта кететіні, әрбір Фридберг нөмірлеу позитив болады, егер ақырсыз үйірдің шешілімді нөмірлеуі бар болатын болса, онда ол міндетті түрде Фридберг нөмірлеуіне пара-пар болады. Минимал нөмірлеулердің ең басты мәселелері ретінде 6-7 жылдары Ю.Ершов ортаға қойған сұрақтарын атауға болды. Үйір есептелімді саналымды жиындардың үйірі болған жағдайда, Ю.Ершов, Марченков позитив нөмірлеуі бар, бірақ Фридбергі нөмірлеуі жоқ үйірдің мысалын тапқан[29,338-34 б.; 5,887 б.], сонымен бірге, С.Бадаев пен С.Марченков дербес түрде минималь нөмірлеуі бар бірақ позитив нөмірлеуі жоқ үйірдің де бар екенін дәлелдеді[24, 3-34 б.]. Есептелімді саналымды жиындар үйірі үшін Ершовтың сұрақтарына жауап беретіндей көптеген мақалалар жарық көрді. [24,3 б.] мақалада авторлар Ершов иерархиясы жағдайында шексіз үйірдің Σ n+2 -есептелімді позитив нөмірлеуі бар болса, осы үйірде әрқашан Σ n+2 -есептелімді Фридберг нөмірлеуі бар бола ма деген сұрақты ортаға қойған еді. Бұл сұраққа осы диссертацияның авторы шетелдік ғылыми жетекшісімен бірлесе отырып, жоғарыдағы тұжырымның әрқашан орындала бермейтінін көрсетті.автор Ершов иерархиясында есептелімді позитив нөмірлеуі бар, бірақ Фридберг нөмірлеуі жоқ шексіз үйірдің табылатынын екі түрлі жолмен дәлелдеу арқылы көрстті. Теореманың дәлелі «Алгебра және Логика» журналында жарияланған, теорема авторларға тиесілі және осы диссертацияның негізгі теоремаларының бірі болып табылады. Үшінші бөлімде көрсетілген келесі нәтиже, [3]-мақаласындағы Ж.Таласбаеваның позитив нөмірлеуге қатысты теоремасының Ершов иерархиясының кез келген деңгейі үшін де дұрыс болатыныны көрсетілді. Оны осы жұмыстың екінші бөлігіндегі бесінші және алтыншы теоремалардан көруге болады.

ЕСЕПТЕЛІМДІЛІК ТЕОРЕИЯСЫНЫҢ НЕГІЗІ ЭЛЕМЕНТТЕРІ. Негізгі функциялар Примитив рекурсив функциялар класы f :ϖ ϖ түріндегі барлық сандық функцияларды қамтитын ең кіші функциялар класы болып табылады. Анықтама.. Примитив рекурсив функциялар класы C төмендегі аксиомалармен анықталған функциялардың ең кіші класы (яғни, барлық функциялар класының қиылысуы):.барлық тұрақты сан функциялар λ xx2 x[ m] (мұндағы, m )- C класына тиісті. 2. Бірді қосу λ x[ x + ] функциясы C класына тиісті. 3. Тепе теңдік немесе (проекция) λ x x x 2 [ x ], функциясы C класына тиісті. 4. Композиция : Егер f функциясы C класының орынды, ал g, g2,..., g функцияларының бәрі осы кластағы m орынды функциялар болатын болса, онда олардың λx xm[ f ( g( x,..., xm),..., g ( x,..., xm))],, m C класына тиісті. 5. Егер h функциясы C класының + орынды функциясы, ал g функциясы осы кластың орынды функциясы болатын болса, онда төмендегідей анықталған орынды f функциясы осы C класына тиісті болады. : f f (, x,, x ) = g( x,, x ) y +, x,, x ) = h( y, f ( y, x,, x ), x ( 2 2,, x Жоғарыдағы анықтамадан көргеніміздей примитив функциялар класы базалық 3 функция мен оларға қолданылған екі амал негізінде алынған ең кіші функциялар класы екенін көруге болады. Жартылай анықталған рекурсив (ж.р) функциялар класы жоғарыдағы примитив рекурсив функциялар класының анықтамасындағы (-анықтама ) () -ден (5) -ке дейінгі шартпен қоса төмендегі (6)-шарт орындалатын функциялардың класын айтамыз. Жалпы анықталған (тотал) рекурсив функция (қысқаша рекурсив функция) барлық жерде анықталған жартылай рекурсив функцияны айтамыз. (6).(Шектелмеген іздеу:) Егер θ ( x, xn, y) функциясы n + орынды жартылай анықталған рекурсив функция және ψ ( x,, xn) = µ y[ θ ( x,, xn, y) = &( z y)[ θ ( x,, xn, z) ]] шарты орындалса, онда ψ де n орынды жартылай рекурсив функция болады. Анықтама..2 Қандай да бір жиын үшін, егер оның жалпы рекурсивті )

характеристикалық функциясы бар болса, яғни, кез келген x үшін x A f(x) = және x A f(x) = (..) орындалатындай f -жалпы рекурсив функциясы бар болатын болса, онда жиынды рекурсив жиын деп атаймыз. Қарапайым тілмен айтқанда кез келген элемент үшін оның осы жиынға тиісті, не тиісті еместігін анықтайтын әдіс бар болса, онда жиын рекурсив деп аталады. Мысалдар. Келесі жиындар рекурсив болады: () Бүкіл жұп сандар жиыны {, 2, 4, } () N және () Кез келген ақырлы жиын (v) Толықтауы ақырлы болатындай кез келген жиын. Рекурсив жиындардың саны саналымды. Натурал сандардың ішкі жиындарының саны 2 N, онда жиындардың қуаты түсінігінен рекурсив емес жиындарда да бар болатыны анық. n R ω, n қатынасының мінездемелік функциясы χ R рекурсив (сәйкесінше примитив рекурсив, P қасиетке ие) болса, онда бұл қатынасты рекурсив (примтив рекурсив, P-қасиетке ие) қатынас деп атаймыз. Мұнда, егер ( x,, x ) n R болса, онда χ x, x ) =, керісінше жағдайда χ x, x ) =. R ( n 2 R ( n.2 Рекурсив саналымды жиындар Анықтама.2. ЕгерA =, немесе A жиыны қандай да бір жартылай анықталған рекурсив функцияның мәндер обылысы болатын болса, онда осы жиынды рекурсив саналымды жиын деп атаймыз. Яғни, егер жиынның элементтерін санайтын эффективті тәсіл бар болса жиын рекурсив саналымды деп аталады. Санау барысында жиынның кейбір элементтері қайталануы мүмкін. Теорема.2. A рекурсив A рекурсив саналымды. Д ә л е л деу. () Егер A бос жиын болса, анықтама бойынша A рекурсив саналымды. () A ақырлы және A. A = {n, n,, n } болсын. f функциясын келесі түрде анықтайық: f(x) = n x <, n, x. (.2.) () A ақырсыз. g функциясы A жиынының мінездемелік функциясы болсын. f() = μy[g(y) = ]; (.3) f(x + ) = μy[g(y) = және f(x) < y]; (.2.2) () және () жағдайларында f функциясы Черч тезисі бойынша жалпы рекурсивті және A = rang f.

Теорема.2.2. A рекурсив A рекурсив саналымды. Дәлелдеу. A рекурсив болса, A толықтауы да рекурсив, онда бірінші теорема бойынша A рекурсив саналымды. Егер A немесе A бос немесе ақырлы жиын болатын болса A рекурсив болатыны анық. Ал егер A және A жиындарының екеуі де бос емес және ақырлы болмаса, онда қандай да бір f, g жалпы рекурсив функциялары табылып, A = rang f және A = rangg болады. f және g функцияларын қолдану арқылы x санының A жиынында жататынын немесе жатпайтынын анықтау үшін f(), g(), f(), g(), f(2), функцияларын кезекпен қарап отырамыз. Егерx саны f функциясының мәніне тең болса, x A, ал егер x саны g функциясының мәніне тең болса, x A болады. A A = N болатындықтан x міндетті түрде f функциясының немесе g функциясының бірінің мәніне тең болады. Рекурсив саналымды жиындардың қуаты да саналымды. Олай болса, рекурсив саналымды емес жиындар да бар, себебі,n натурал сандар жиынының 2 N ішкі жиыны бар). Бұған мысал ретінде {x φ x жалпы рекурсив} жиынын алуға болады. Теорема.2.3. Әр ақырсыз рекурсив саналымды жиынның ақырсыз ішкі жиыны бар. Д ә л е л деу. A ақырсыз рекурсив саналымды болсын. f жалпы рекурсивті функция және A = rangf болсын. g жалпы рекурсивті функциясын төмендегідей анықтайық: g() = f() (.2.3) g(x + ) = f(μy[f(y) > g(x)]) (.2.4) = rang g болсын. Онда g өсу ретімен жиынын құрайды. ақырсыз және рекурсивті. A болғандықтан теорема тұжырымы дәлелденді. Келесі теорема рекурсив саналымдылықтың тағы бір қасиетін көрсетеді. Бұл қарапайым бірақ қажетті нәтиже. Теорема.2.4. (рекурсив саналымды жиындар тұралы негізгі теорема). A рекурсив саналымды A қандай да бір жартылай рекурсив функцияның анықталу облысы болса. (( x)[a = Dom φ x ]). Дәлелдеу.. () жағдай. Егер A бос жиын болса. φ еш жерде анықталмаған жартылай рекурсив функция болсын. Онда A = Dom φ. () жағдай. A. Онда A қандай да бір f жалпы рекурсив функциясының мәндер жиыны. φ функциясын келесі жолмен берейік: φ(x) функциясын есептеу үшін f функциясының мәндерін есептеп отырамыз. Осы мәндерден құрылған кестеде x пайда болған кезде x ті φ функциясының мәні ретінде аламыз. φ функциясы жартылай рекурсив екені анық және де A = Dom φ. 3

. A = Dom φ болсын. Мұнда φ жартылай рекурсив функция. Егер A бос болмаса оны есептейтін эффективті тәсіл құрамыз. Бұл тәсіл бірнеше сатыдан тұрады. ). -қадам: φ() ді есептеудегі бірінші қадамды жасаймыз. Егер φ() ді есептеу бірінші қадамда тоқтаса, санын A жиыны үшін құрылған кестеге саламыз. n + қадам). φ(), φ(),, φ(n) мәндерін есептеуде n + қадамнан жасаймыз. n + қадамда немесе оған дейін тоқтайтын φ() функцияларындағы ( n) сандарын A үшін құрылған кестеге салып отырамыз. Енді η функциясын келесі жолмен алайық: η() = [есептеудегі санаудың бірінші элементі]; η(x + ) = μy [y кестеге x + қадамда салынған және = y {η(), η(),, η(x)}], егер ондай y бар болса; (.2.5) η(), кері жағдайда. Черч тезисі бойынша η жартылай рекурсив функция болады. Егер A = болса, онда анықтама бойынша A рекурсив саналымды. Егер A болса, онда құрылымы бойынша η функциясы барлық жерде анықталған және Rang η = Dom φ = A; Сондықтан A жиыны рекурсив саналымды. Анықтама.2.2 -ші рекурсив саналымды жиынды төмендегідей анықтаймыз: W = domϕ = { x : ϕ ( x) } = { x : ( y) T (, y)}, = ϕ.(егер x W, s болса, онда x, < s ) W s dom, s Салдар.2. Кез келген x үшін келесі шарттарды қанағаттандыратын f және g жалпы рекурсив функциялары бар: Rang φ f(x) = Dom φ x (.2.6) Dom φ g(x) = Rang φ x (.2.7) Теорема.2.5 Ақырлы рекурсив саналымды жиындар үйірі жиындардың бірігу және қиылысу амалдары бойынша тұйық болады. Рекурсив жиынның толықтауы қайтадан рекурсив жиын болады, бірақ, рекурсив саналымды жиындардың толықтауы барлық жағдайда қайтадан рекурсив саналымды бола бермейді. Мысалы ретінде төмендегі К-креатив жиынды және жай жиындарды атауға болады. 4

Анықтама.2.3 Егер ( x)( y)[[y A & x < y] x A] (.2.8) шарты орындалатын болса, онда А жиыны N жиынының бастапқы сегменті деп аталады. Анықтама.2.4 K = {x φ x (x) анықталған} = {x x W x } түріндегі жиынды әдетте Креатив жиын деп атайды. K жиыны рекурсив саналымды бірақ рекурсив емес. Теорема.2.6 Егер ψ жартылай анықталған рекурсив функция және A рекурсив саналымды жиын болса, онда ψ (A) рекурсив саналымды жиын болады..3 Көшірулер және m-дәрежелер Жинақтылықтың екі түрін қарастырайық. Анықтама.3. Егер A және жиындары үшін, қандай да бір рекурсив функция f бар болып ( x)[x A f(x) ] шарты орындалатын болса, онда A жиыны жиынына m-көшеді деп атаймыз (A m түрінде жазылады). () Егерде A m көшуіндегі f функциясы бірден бір мәнді функция болса, онда A жиыны жиынына -көшеді деп атаймыз (жазылуы A ) Жоғарыда келтірілген анықтамалардың әрқайсысында ( x)[x A f(x) ] шарты келесі эквивалентті түрлердің кез келгені болуы мүмкін: A = f () ; f(a) &f(a ) В ; с А = с В f, бұл жерде с А және с В сәйкесінше A және жиындарының мінездемелік функциялары. Егер A m және m A көшулері бірдей орындалса, онда A жиыны жиынына m-пара-пар деп аталады, оны A m түрінде жазамыз. Осыған ұқсас түрде -пара пар ұғымын да анықтауға болады. dg m (A) = { : A m }. dg (A) = { : A }. m (сәйкесінше ) модулі бойынша пара-пар кластар m-дәреже (-дәреже) деп аталады. Келесі теорема арқылы біз көшу ұғымының кейбір қасиеттерін біле аламыз. Теорема.3. (а) және m қатынастары рефлексив және транзитив, антисимметриялы. Сондықтан да да ол жартылай реттеу болады. (b)a A m. (c)a A. (d)a m A m. ()[A m және рекурсив] A рекурсив. 5

(f)[a m және рекурсив саналымды] A рекурсив саналымды. Анықтама.3.2 Кез келген екі жиынның тура қосындысын төмендегідей анықтаймыз: A = {y [y = 2x және x А] немесе [y = 2x + және x В]}. Енді бізге керекті келесі бір көшу ұғымын анықтайық: Анықтама.3.3 A жиыны жиыны бойынша есептелімді (немесе, A жиыны жиынына Тьюринг бойынша көшіріледі) деп атаймыз, егерде c A = φ (A Т ), яғни, A жиынының мінездемелік функциясы -есептелімді функция болатын болса, онда A жиыны жиыны бойынша есептелімді болады. Т қатынасы рефлексив және транзитив және антисимметриялы болады. Анықтама.3.4 Егер A Т және Т A болса, онда A Т болады. Т эквивалент кластары тьюрингтік дәрежелер, немесе T-дәрежелер деп аталады. T-көшіруді көбінесе әлсіз көшіру ретінде, ал m- көшіруді және - көшіруді қатаң көшіру ретінде топтастырады. Анықтама.3.5 K A = {x φ x A (x) анықталған} = {x x W x A }..4 Ершов иерархиясының ақырлы деңгейлері Алгоритмдер теориясында Клини-Мостовский арифметикалық иерархиясы мен Клини аналитикалық иерархиясының өзіндік орны бар. Ж.Аддисон ол иерархиялардың ақырлы деңгейінің жиындар үйіріне белгілеулер (арифметикалық иерархия үшін Σ n, Π n, аналитикалық иерархия үшін Σ n, Π n ) енгізуді ұсынған. Кейінде осы иерархия үшін Ю.Л.Ершов өзінің жұмыстарында Клини-Мостовский иерархиясынан жіңішке иерархия құрды (ақырлы деңгейлі жиындар үйірі-σ n, Π n ). Қазір ол иерархия әдебиеттерде Ершов иерархиясы деген атпен белгілі. Ершов иерархиясының ақырлы деңгейлері алғаш рет басқа да атпен Голдтың (965), Путнамның (965) еңбектерінде анықталып зерттелген. Анықтама.4. Егер x -тің кез-келген мәнінде барлық дерлік s үшін (соңғы саннан басқа) f s (x) = f(x) теңдігі орындалатын болса, онда жалпы анықталған, бір орынды f функциясын жалпы анықталған {f s } s ω функциялар қатарының шегі деп атаймыз. Басқа сөзбен айтқанда {f s } s ω функциялар қатары f функциясына жинақталады (таңбалануы f = lm s f s ). Лемма (шек тұралы). Кез-келген f функциясы және кез-келген A жиыны үшін f T A сонда және тек сонда ғана егер біртекті A-есептелімді {f s } s ω функциялар тізбегі бар болып, f = lm s f s болатын болса. Дербес жағдайда, кез-келген f T функциясы кейбір біртекті есептелімді {f s } s ω функциялар 6

тізбегінің шегі болады. Егер шек туралы леммада, f функциясы қандай да бір жиынның мінездемелік функциясы болатын болса, онда біркелкі A - есептелімді {f s } s ω функциялар тізбегін кез-келген s және x үшін f s (x) = {,} алуға болады. A T болсын. Шек туралы лемма бойынша, A = lm s f ( s, x ) болатындай f есептелімді функциясы табылады және x N үшін f(, x) =. Рекурсив саналымды R, N жиындарын төмендегідей құрастырайық: R = {y s(f(s, y) = )}, R = {y s < s (f(s, y) =, f(s, y) = )}, және жалпы жағдайда x үшін R x = {y s < < s x (f(s, y) =, f(s, y) =,, f(s x, y) = rst(x +,2))}, R x жиындары рекурсив саналымды, {R x } x ω қатары біркелкі есептелімді және R R R 2 Келесі тұжырымды тексеру қиын емес: R n = және A= (R n= 2n R 2n+ ) (.4.) n= Керісінше, {R x } x ω қатары (.4.) теңдігі орындалатындай біркелкі есептелімді рекурсив саналымды жиындар тізбегі болсын. Кез-келген x ω үшін: егер x R, онда x A, егер де x R, онда x A n(x R 2n R 2n+ ) ( R n = болғандықтан ондай n табылады). n= Сондықтан A T. Осылайша (.4.) теңдігі орындалатындай біркелкі есептелімді рекурсив саналымды жиындар тізбегінің бар болуы 2 жиынының сипаттамасы болады. Бұл тұжырымды келесі теорема түрінде берейік. Теорема.4. A T орындалады, сонда және тек сонда ғана, егер R R R 2, R n = n= және A = (R 2n R 2n+ ) (.4.2) n= шарттары орындалатындай біркелкі есептелімді {R x } x ω рекурсив саналымды жиындар тізбегі бар болса. Егер A жиынын жоғарыдағыдай анықтағанда, қандайда бір n санынан кейін бүкіл {R x } x ω жиындары бос жиынға тең болса, онда біз осы жиынды Ершов иерархиясының n ақырлы деңгейіне тиісті жиын деп атаймыз. Анықтама.4.2 Егер n= болғанда A = болса, немесе n> болғанда 7

[ n 2 ] A = (R 2 R 2+ ) = (Мұнда n тақ болғанда, R n = ) болатындай R n R n 2.. R R е.с жиындары табылатын болса, онда A жиыны n-есептелімді саналымды жиын (қысқаша n-е.с. жиын деп аталады.) Осы анықтамаға сәйкес n> және n жұп (n=2m) болса m A = (R 2 R 2+ ) = n> және n тақ (n=2m+) болғанда болады. m A = [ (R 2 R 2+ )] R 2m = -е.с.жиындар барлық рекурсив саналымды жиындар. 2-е.с.жиындар R R түріндегі жиындар (R R е.с жиындар), кейде оларды d-е.с.жиындар деп те атайды. 3-е.с.жиындар (R R ) R 2 түріндегі жиындар. т.с.с. n-е.с жиындар Ершов иерархиясының n-деңгейін анықтайды және де n жиындары деп те аталады. n жиындарының толықтауларынан тұратын жиындар иерархияның n деңгейін анықтайды. n арқылы осы екі жиынның қиылысы белгіленеді: n = n Π n (.4.3) Теорема.4.2 Қандай да бір n үшін A жиыны n е.с. жиын болады сонда және тек сонда ғана, егер келесі шарттарды қанағаттандыратын, екі (s, x) айнымалыдан тәуелді g есептелімді функциясы бар болса: және A(x) = lm s g(s, x), x g(, x) = (.4.4) {s g(s +, x) g(s, x)} n (.4.5) Теорема.4.3 (Иерархия туралы теорема) Кез-келген n > үшін n+ Π n+ n n (.4.6) n е.с. жиынды төмендегідей анықтауға да болады. Бұл анықтама 8

Ю.Ершовтың ең бастапқы осы иерархия туралы мақаласында көрсетілген. F арқылы барлық бір орынды бірден бір мәнді жалпы рекурсив функциялар үйірін белгілейік. Натурал сандар жиынының ішкі жиындар үйірін индукция бойынша төмендегідей анықтайық:. Σ = Π барлық рекурсив жиындар үйірі; 2. Σ n+ = {X f F, Y Π n (X = f(y))} (.4.7) 3. Π n+ = {X Y Σ n+ (X = N\Y)} (.4.8) Негізгі қасиеттері:. Σ n Π n Σ n+ Π n+ 2. n X, Y(X m Y & Y Σ n (Π n ) X Σ n (Π n )), 3. n Y X(X Σ n (X Π n ) X Y). 4.Жоғарыда атап өткеніміздей, n+ 2 n > X Σ n X = (R 2 \R 2 ), = (R n+ ) шарттары орындалатындай R R 2 R n рекурсив саналымды жиындар тізбегі табылады. Осыған ұқсас түрде, n 2 n > X Π n X = (R 2 \R 2+ ), (анықтама бойынша R = N, R n+ = ) = шарттары орындалатындай R R 2 R n рекурсив саналымды жиындар тізбегі табылады. 5. n= Σ n = (Σ ) - р.с. жиындардан туындаған ең кіші жиындар. 6.. X Σ n+ Π n+ R X Σ n және ( N\R ) X Π n шарттары орындалатындай R рекурсив жиын табылады. 7. n > R, R 2,, R 2n, R 2n+ рекурсив саналымды жиындар, 9

X = (R \R 2 ) (R 3 \R 4 ) (R 2n \R 2n ), Y = X Σ 2n+ X Σ 2n,Y Σ 2n+. Осыған ұқсас түрде, n >, N, R 2,, R 2n, R 2n+ рекурсив саналымды жиындар үшін, X = (R \R 2 ) (R 3 \R 4 ) (R 2n \R 2n ), Y = X Σ 2n+ X Π 2n..5 Нөмірлеу теореиясы және Рожерс жарты торы туралы кейбір теоремалар Нөмірлеу дегеніміз натурал сандар жиынынан натурал сандардан құралған ақырлы немесе саналымды жиынына берілген бейнелеу,яғни α : N A. Есептелімді саналымды A үйірінің нөмірлеуі үшін егерде Gα = {< n, x >: x α( n)} жиыны қайтадан рекурсив саналымды жиын болатын болса, онда α : N A нөмірлеуі есептелімді нөмірлеу деп аталады. Осылайша, үйірмен жоғарыда анықталған есептелімді нөмірлеулер бір мәнді түрде G α функциясы арқылы анықтап алуға болады, Яғни, α( n) = { x :< n, x > Gα } әрі A = { α ( n) : n N} Ұқсас бір үйірдің екі нөмірлеуін алып қарастырайық: α : N A және β : N A болсын. Егерде f рекурсив функциясы табылып, кез келген x N үшін α ( x) = βf ( x) теңдігі орындалса, онда α нөмірлеуі β нөмірлеуіне көшеді деп атаймыз да, Оны α β арқылы белгілейміз. α, β екі нөмірлеуі пара-пар деп аталады, егерде α β және β α болса. Әрине,бір Үйірдің барлық нөмірлеулері үшін қатынасы транзитив, рефелексив және антисимметриялы болады. Шынында да, α, β, γ бір үйірдің үш нөмірлеуі әрі α β, мұндағы көшіру функциясы f және β γ, мұндағы көшіру функциясы f 2 болсын, онда α ( x) = β ( f( x)) = γ ( f2( f( x))) және рекурсив функциялардың композиция амалына байланысты тұйықтық қасиеті бойынша f 2 ( f ( x)) қайтадан рекурсив функция болады. Бір үйірдің өзара пара-пар болатын нөмірлеулері есептелімділік тұрғысынан алып қарағанда айырмашылық жоқ, олардың бәрін бір нөмірлеудің класы деп қарауға болады. Біз α нөмірлеуінің пара-пар нөмірлеулерінің жиынын [α ] арқылы белгілейміз. Жоғарыдағы нөмірлеулердің көшу ұғымын пара-пар болатын нөмірлеулердің кластары арасында да төмендегідей анықтауға болады: [ α] [ β ] α β Сонымен қатар, бір үйірдің нөмірлеулері арасында тура қосындыны 2

төмендегідей анықтаймыз: n α ( ), ( α β )( n) == 2 n β ( ), 2 егер n жұп болса, егер n тақ болса, α, β, γ бір үйірдің үш нөмірлеуі болсын. Онда α β γ орындалады сонда және тек қана сонда егерде α γ және β γ бір уақытта орындалса. Үйірдің пара-пар нөмірлеулерінің жиынын R (A) арқылы белгілейік. Нөмірлеулер арасындағы көшу қатынасы бойынша алынған < ( A), > R жартылай реттелген жиын жоғары жарты тор құрайды. Яғни, кез келген екі элементтің жоғары шегі бар болады. Біз осындай жиынды диссертацияның қалған бөлігінде көптеп пайдаланатын боламыз. α, β бір үйірдің екі нөмірлеуі болсын. Егер α β әрі β есептелімді нөмірлеу болатын болса, онда α нөмірлеуі де есептелімді болады. Егер α, β нөмірлеулері бірдей есептелімді болатын болса, онда α β нөмірлеуі де есептелімді болады, яғни, есептелімді нөмірлеулер тура қосынды амалы бойынша тұйық болады. A жиынының α нөмірлеуі минималь нөмірлеу деп алатады, егерде осы жиынның кез келген β нөмірлеуі үшін пара-парлығы (α β) шығатын болса. 2 β α қатысынан екі нөмірлеудің α арқылы A үйірінің нөмірлеуін белгілейік. Кез келген j үшін, егер α() α(j) болса, онда α Фридберг нөмірлеуі деп аталады; α нөмірлеуі шешілімді деп аталады, егерде {<, j>: α ( ) = α( j) } жиыны шешілімді(рекурсив) жиын болатын болса; α нөмірлеуі позитив нөмірлеу деп аталады, егерде {<, j>: α ( ) = α( j) } жиыны есептелімді саналымды жиын болатын болса. Фридберг және позитив нөмірлеулері минимал нөмірлеулердің ерекше әрі өте маңызды дербес түрі. Черч пен Клиини ординал сандар үшін ординалдардың белгілеуінің жалпы жүйесін анықтап берді(черч және Клиини [937], Черч[938] және Клиини [938]). Ординалдарға қатысты көптеген теорияларды оның белгілеуіне байланысты теориялар түрінде қарауға болады. Көбіне көп ординалдармен емес, оның белгілеуімен жұмыс жасаған әлде қайда қолайлы. Төменде біз Клинидің ординалдардың белгілеу жүйесі туралы анықтамасын қарайық: Анықтама.5. Ординалдардың белгілеу жүйесі ( S арқылы белгілейміз)

дегеніміз D s бүтін сандар жиынынан (бұл жиынның элементтері ординалдың белгілеуі деп аталады) ординал сандардың сегіментіне берілген ν s төмендегідей бейнелеуін айтамыз:. s жартылай анықталған рекурсив функциясы бар болып: ν s ( x) = s ( x) = Егер ν s (x) туындатушы (бірді қосу) ординалы болса, онда s (x) = Егер ν (x) шектік (лимит) ординалы болса, онда (x) = 2 s 2. p s жартылай анықталған рекурсив функциясы табылып: Егер ν s (x) туындатушы (бірді қосу) ординалы болса, онда [ p s ( x) анықталған және ν ( x) = ( p ( x)) + ]. s ν s s 3. Егер ν s (x) шектік (лимит) ордианлы болса, онда: [ q s ( x) анықталған және ϕ q s ( x) функциясы толық анықталған әрі ν s (x) шектік n= ординал болатындай, сонымен бірге { ν s ( ϕq ( x) ( n))} s n= кемімейтін тізбек] шарттары орындалатындай q s жартылай рекурсив функциясы табылады. D s бүтін сандар жиынының элементтері ординалдың белгілеуі деп аталады. Біз есептелімді ординалдар үшін.5.-анықтамадағы Клинилік ординалдардың белгілеу жүйесін пайдаланамыз, яғни, a арқылы a ординалын белгілеуін сипаттаймыз. Жоғарыдағы бөлімдерде Ершов иерархиясының жалпы анықтамасы берілген болатын(анықтама.4.2). Ершов иерархиясының басқада қасиеттері туралы толық [3; 32; 33; 25,62-625 б.] материялдарынан қарауға болады. Ал біздің бұдан былайғы жерде қолданылатын Ершов иерархиясының негізгі сипаттамасы С.Оспичевтың [34] анықтамасына негізделген. Анықтама.5.2 a есептелімді ординалдың белгілеуі болсын. Егерде f ( z, есептелімді функциясы мен γ ( z, жартылай есептелімді функциясы табылып, кез келген z үшін, төмендегі шарттар орындалатын болса:. A( z) = lmt f ( z,, және f (z,) = ; 2. γ ( z, γ ( z, t + ), және γ ( z, t + ) γ ( z, < a ; 3. f ( z, t + ) f ( z, γ ( z, t + ) γ ( z,. онда A сандар жиыны Σ a (немесе A Σ a ) жиын деп аталады. Біз жартылай анықталған γ функциясын f функциясына сәйкес A жиынының күй ауыстыру функциясы деп атаймыз. (Мұнда, егерде ерекше ескерту берілмеген жағдайда, берілген A жиыны үшін, A (x) осы жиынының x -тегі мінездемелік функциясының мәнін білдіреді.) Қандай да бір Σ a жиын үшін жоғарыдағы [ 3] шарттарын 22 s

қанағаттандыратын есептелімді және жартылай есептелімді функциялардың f, γ жұбы осы жиынның Σ a жуықтауы деп аталады. Егер a ординалы ақырлы, мысалы a = n болатын болса, онда оның белігілеуі бір мәнді болатындықтан, Σ a жазуының орынна Σ n түрінде аламыз. Ақырлы деңгейде жоғарыдағы.4.2-анықтамамен бұл анықтама пара-пар болатынын көру қиын емес. Ершов ( = ) немесе арифемтикалық ( = ) иерархиясының n -ші деңгейінендегі Σ n класының A үйірі үшін есептелімді нөмірлеуді С.Гончаров пен А.Сорбидың [8,36-365 б. 24, 3-33 б.] берген анықтамасы бойынша төмендегідей түсінуге болады: Анықтама.5.3 Σ a жиындарының A үйірінде анықталған Σ a есептелімді нөмірлеу, немесе жай ғана есептелімді нөмірлеу {, x : x α( ) } Σ a шарты орындалатындай α : ω A жаба бейнелеу функциясын айтамыз. Ескере кететін жайт, егер { m : x α( m)} жиыны Патнам [35] бойынша n есептелімді саналымды болатын болса ғана, тек сол жағдайда ғана { m : x α ( m)} Σn қатынасы орындалады. Жоғарыдағы екі анықтамадан бірден шығатыны, Σ a жиындарының A үйірі үшін есептелімді нөмірлеу дегеніміз, кез келген, t үшін f (, есептелімді функциясы мен γ (, жартылай есептелімді функциясы табылып, осы функциялар жұбы үшін:. α ( x) = lmt f (,, және f (, ) = ; 2. γ (, γ (, t + ) ; γ (, t + ) γ (, < a ; және 3. f (, t + ) f (, γ (, t + ) γ (,. шарттары орындалатындай α : ω A жаба бейнелеуін айтамыз. С.Оспичев [34,32-34б.] Σ a жиындар үйірінің барлық есептелімді нөмірлеулері үшін бір келкі { α } ω индекстеуінің бар екенін көрсетті, яғни индекстеу {,, x : x α ( )} Σa шартын қанағаттандырады, сонымен бірге -индексін пайдаланып.5.2-анықтамасына сәйкес f есептелімді функциясымен γ жартылай есептелімді функциясын бір келкі(бір текті) алуға болады. Әрине 23

{, x : x α ( )} Σa орындалатыны анық. Біз бұдан кейінгі жерде A Σ a үйірінің барлық есептелімді нөмірлеулерінің жиынын Com ( A a ) арқылы белгілейміз. Егер ( A Coma ) бос емес ( Com a ( A) ) жиын болатын болса, онда A Σ a үйірі есептелімді болады, басқаша айтқанда, егер үйірдің кемінде бір есептелімді нөмірлеуі бар болатын болса, онда үйір есептелімді үйір болады. Үйірдің әртүрлі нөмірлеулері арасындағы көшу қатынасы, мұндағы көшу (немесе Рожерс көшуі) бойыша алынған дәрежелері нөмірлеулердің құрылымдық дәрежесін (Рожерс дәрежесін) береді, яғни, көшуі бойынша пара-пар ( ) болатын нөмірлеулердің эквиваленттік класын алуға болады. Com ( A a ) элементтері Рожерс дәрежесінің жиынын R ( A a ) арқылы белгілейміз де, оны A үйірінің Рожерс жарты торы деп атаймыз. Бізге белгілі, егер R ( A a ) болса, онда R a ( A) жоғары жарты тор құрайды. X жиыны X R a ( A) жиынының шекісіз ішкі жиыны болсын. Егер X жиынының кез келген екі элементі көшу бойынша салыстырымды болса, яғни, a b немесе b a қатысының бірі орындалатын болса, онда X -жиыны "тізбек" деп аталады. Керісінше жағдайда, яғни, a, b X элементтеріі үшін a / b және b / a бірдей орындалатын болса, онда X -жиыны "кері тізбек" деп аталады. Рожрес жарты торы берілген A үйірінің әр түрлі есептеулерін өлшеуге, салыстыруға, сонымен бірге әр түрлі A үйірлерінің есептелімді нөмірлеулерін қасиеттері бойынша классификация жасауға арналған, яғни, есептелімді нөмірлеулердің негізгі сұрақтарының бәрі Рожерс жарты торының алгебралық және элементар қасиеттеріне келіп тіреледі. Осы жерден және де айта кететін жайт, A Σ n үйірінің Σn - есептелімді нөмірлеулері R n (A) Рожерс жарты торының минималь элементтерін тудырады. Есептелімді саналымды жиындар үйірі үшін Рожерс жарты торына қатысты ең алғашқы сұрақты Ю.Ершов [2, 2-25б.] төмендегідей ортаға қойған болатын: -Рожерс жарты торының қуаты қандай болуы мүмкін? -Рожерс жарты торы тор болама? Осы сұрақтарға толық жауап беруге ең бастан Мальцевтің [,4-45 б.], Ю.Ершовтың [2,23-25 б.] еңбектерімен қоса, Денисов[3], А.Б.Хуторецкий [4], Марченков [5; 6], С.Бадаев [; ], Селиванов [2; 3] және тағы басқада ғалымдар көптеп еңбек етті. Жоғарыдағы ғалымдарның осы сұрақ төңірегіндегі жауаптары негізінде, есептелімді саналымды жиындар үйрі үшін сұраққа толықтай жауап ретінде төмендегі екі теореманы беруге болады: 24

Теорема.5. [А.Б.Хуторецкий ] A есептелімді саналымды жиындар үйірі болсын..егер A үйірінің µ, ν есептелімді нөмірлеулері үшін µ / ν орындалса, онда осы үйірдің π / ν және µ / π ν қатынастары орындалатындай π есептелінді нөмірлеуі табылады. 2. Егер A үйірінің Рожерс жарты торының элеметтерінің саны бірден көп болса, онда ол шексіз болады. Хуторецкий теоремасының бірінші бөлгінің дәлелі қателіктері ақырлы приоритетті аргумент тәсілін пайдаланса, ал екінші бөлігі бірінші бөлігінен индукция тәсілі бойынша алған еді. Әрине, Хуторецкий ω түріндегі сызықты реттеуді R (A) Рожрес жарты торының ең үлкен элементінен өзгеге кірістіреді. Есептелімді саналымды үйір жағдайдағы Ершовтың екінші сұрағына В.Л.Селйвановтың төмендегі теоремасы жауап берді: Теорема.5.2 [В.Л.Селиванов ] A есептелімді саналымды жиындар үйірі болсын. Егер Рожерс жарты торы екі элементті қамтитын болса, онда ол тор болмайды. Кейіннен С.Гончаров пен А.Сорби [8, 367б.] арифметикалық иерархияның ақырлы деңгейі үшін Ершовтың екі сұрағына толықтай жауап берді. Олардың осы ( ) есепті толықтай қайта шешуі Σ n + -есептелімділік пен n -оракулды есептелімділік арасындағы тығыз байланыстылық ара қатысын тередеңдей бекітті. Теорема.5.3 [С.С.Гочаров, А.Сорби] Егер A Σ n + үйірі екі элементті қамтитын болса, онда R n + ( A) Рожерс жарты торы шексіз болады әрі ол тор болмайды. A үйірі шексіз болғандағы аса маңызды жағдай, С.Гончаровпен А.Сорби R ( A n ) жарты торының кез келген бір пар элементтерінің R ( A n ) жарты торында төменгі шегі болмайтындай элементтердің шексіз тізбегін құрастырды. Ал үйір ақырлы болған жағдайда, төмендегі өте маңызды бірақ өте қарапайым тұжырымды қолданған. Яғни, кез келген Σn -есептелімді A -үйірін Σm -есептелімді үйір ретінде құрастырады, мұндағы m > n. Осыдан кейін R ( A n ) Рожерс жарты торын R m (A) Рожрес жарты торының идеалы ретінде алатындай енгізуді алуға болады. Анықтама.5.4 ( A Rn ) жиыны Rm( A) жоғары жарты торының иедалы деп аталады, егерде R ( A ) жиыны төмендегі шарттарды қанағаттандырса: n 25

) a R ( A n ),, b R ( A ) m, b a b R ( A n ) 2) a, b R ( A ) a b ( A ) n Теорема.5.4 [Ершов] Егер A Σ үйірі арқырлы болса, онда R n +( A) Рожерс жарты торы шексіз болады A үйірінде бір қабаттасқан екі жиын бар болса. [] еңбегінде С.Бадаев тривалды емес Рожерс жарты торының шексіз көп тізбегі табылатынын, сонымен бірге бұл тізбектер R (A) жарты торының кез келген ең үлкен немесе ең кіші емес элементтерін қамтитындай талдап алуға болатынын көрсетті. Ұзақ уақытқа дейін шешімін таппай тұрған сұрақтың бірі (Бадаев және Гончаров [24, 3-35б.]) Хуторетскийдің (.5. теоремадағы) жоғарыда алған нәтижесі Ершов иерархиясындағы басқада үйірлер үшін орындылатын әлде орындалмайтындығы еді. Кейіннен 29-жылы С.Бадаев және Ш.Лемпп[25, 68б.] Хуторетский теоремасы Ершов иерархиясындағы кейбір 2-есептелімді саналымды жиындар(d.c.) үйірі үшін орындалмайтынын көрсетті. Теорема.5.5 [C.Бадаев,Ш.Лемпп] 2-есептелімді саналымды жиындары F үйірі және осы үйірдің µ / ν шарттары орындалатындай µ және ν есептелімді нөмірлеулері табылады, сонымен бірге осы үйірдің кез келген есептелімді нөмірлеуі π үшін не µ π немесе π ν қатысы орындалады. Жоғарыдағыға теореманың қортындысынан, авторлар төмендегі нәтижелердің де дұрыс болатындығын көрсетті: -F үйірі есептелімді саналымды жиындар үйірі болады және ν нөмірлеуі F есептелімді саналымды жиындардың үйірі болатындай есептелімді нөмірлеуі болады. - µ және ν бірдей Фридберг нөмірлеуі бола алады, яғни үйірдің минималь нөмірлеулері. Сондықтан, кез келген осы үйірдің есептелімді нөмірлеуі π үшін π ν не µ π шарттары орындалады. Осы күтпеген нәтижеден кейін, Σ n жиындар үйірінің n > болғанда Рожерс жарты торларымен Σ n жиындар үйірінің n > болғандағы Рожерс жарты торлары арасында айырықша айырмашылық бар екенін анық байқалды. Есептелімді саналымды үйрлер жағдайында, А.В.Хуторетский [4, 35 б.] қиылыспайтын бас идеал мен бас филтрдің бірігуіне жіктелетіндей A есептелімді саналымды жиындар үйірінің R ( A) тривиалды Рожерс жарты торы табылмайтынын көрсетті, сонымен бірге егер R ( A) Рожерс жарты торы екі элеметтен тұратын болса, онда оның қуаты шексіз болатынын анықтап берді. Ал, 26 R n

Селиванов Рожерс жарты торы тор болмайтынын сонымен бірге Σ n есептелімді нөмірлеулердің n > үшін Рожерс жарты торы не жалғыз не шексіз көп элементтен тұратынын дәлелдеді [8, 367 б.]. Ал, С.Бадаевпен Ш.Лемпп жоғарыдағы тұжырымдар Ершов иерархиясы үшін әрқашан орындала бермейтінін көрсетті[25, 68 б.]. Осыдан барып, біз Ершов иерархиясындағы Рожерс жарты торларының қуаты туралы бірден тұжырым жасай алмайтындығымыз шығады. А.В.Хуторетский, С.Гончаровтың, А.Сорбидің жоғарыдағы нәтижелерді дәлелдеудегі әдіс-тәсілдері Ершов иерархия сындағы есептелімділік үшін әрқашан орындала бермейтінін, сонымен бірге Ершов иерархиясындағы есептелімділіктің монотонды болмауы кез келген адамның классикалық жағдайда алынған нәтижелерді сондағы әдістерді пайдалана отырып Ершов иерархиясында қайта шешуіне мүмкіндік бермеді. Осыдан бастап, Ершов иерархиясындағы Рожерс жарты торының қуаты туралы сұрақтың өз маңыздылығы арта бастады. 27

2 РОЖЕРС ЖАРТЫ ТОРЫНЫҢ ҚУАТЫ 2. Бір элементті Рожрес жарты торы Мальцев [, 4-45 б.; 2,76 б.] еңбегінде есептелімді саналымды жиындар үйірінде Рожерс жарты торы бір элементті болатын айырықша үйірді эффективті дискеретті үйірдің анықтамасын берген, Кейіннен осыған ұқсас түрдегі үйірдің мысалын есетелімді функциялар үшін Ю.Ершов [2,2 б.] еңбегінде көрсеткен еді. Осы екі анықтама негізінде Вьюгин әлсіз эффективті дискретті үйірдің ұғымын енгізді [8; 9]. Енді осы үйірлердің анықтамасына тоқталайық. A үйірі есептелімді саналымды жиындар үйірі болсын. Біз осы үйірдегі топологияны төмендегідей анықтайық. Кез келген ақырлы жиын S үшін V (S) арқылы { F F A, S F} үйірін белгілейік. { V S S жиыны A үйіріндегі ақырлы жиын} үйірін τ A топологиясындағы ашық жиынның базисі ретінде аламыз. Анықтама 2.. Егерде τ A топологиясы дискертті болса, яғни, кез келген F A үшін V ( S) = { F} теңдігі орындалатындай F жиынының ақырлы ішкі жиыны S бар болатын болса, онда A үйірі дискретті деп аталады. Егерде ақырлы жиындардың есептелімді тізбегі S,, S, Sn, бар болып, әрбір V ( S n ), n ω, жиыны A үйірінің тек бір ғана элементінен тұратын болса және F A жиынының әрбір элементі қандай да бір V ( S n ) жиынына тиісті болатын болса, онда A үйірі әлсіз эффективті дискертті деп аталады. Егерде жоғарыдағы ақырлы жиындардың тізбегі S,, S, Sn, қатаң түрде тек қана есептелімді болатын жиындардан талданып алынған болса, онда A үйірі эффективті дискретті деп аталады. Егер біз функцияларды оның графигі бойынша бірге анықтайтын болсақ, онда біз жоғарыдағы анықтамаларды тура есептелімді функцияларға да анықтауға болатынын көреміз. Жоғарыдағы анықтманы енгізе отырып, Мальцев ең алғаш Рожерс жарты торы бір элементтен тұратындай үйірдің мысалын келтірді, анығында, егер үйір эффективті дискертті болса, ондағы есептелімді нөмірлеулердің барлығы позитив болатынын көрсетті. Теореманың тұжырымы төмендегідей: Теорема 2.. [А.И.Мальцев] Егер A есептелімді саналымды жиындардың эффективті дискретті үйірі болатын болса, онда оның барлық есептелімді нөмірлеуі позитивті болады. Әсіресе, оның Рожерс жарты торы R (A) тек жалғыз элементтен тұрады. Осыған ұқсас түрдегі нәтижені есептелімді функциялар үйірі үшін Ершовтың тапқанын айттық. Қосымша ескере кететін жайыт, есептелімді функциялар үйірінің дискеретті болуы оның Рожерс жарты торының бір элементті болуының қажетті шарты. С.Гончаров, Ш.Лемпп, Д.Соломон R ( ) Рожерс жарты торы жалғыз 28 2 A