Қазақстан Республикасының Білім және ғылым министрлігі Д.СЕРІКБЕ атындағы ШЫҒЫС ҚЗҚСТН МЕМЛЕКЕТ ТЕХНИКЛЫҚ УНИЕРСИТЕТІ Муслиманова Г.Е., Байзакова Г.. ТЕОРИЯЛЫҚ МЕХНИК СТТИК КИНЕМТИК ДИНМИК 509000 - «Кӛлікті пайдалану және жүк қозғалысы мен тасымалдауды ұйымдастыру», 50700 «Технологиялық машиналар және жабдықтар», 50700 «Кӛлік, кӛлік техникасы және технологиясы», 50700 «Машина жасау» мамандықтары бойынша оқитын студенттерге практикалық және студенттің ӛзіндік жұмыстарына арналған тапсырмалар мен әдістемелік нұсқаулар Ӛскемен 0
МЗМҰНЫ КІРІСПЕ СТТИК 5. Статика есептерін шығару үшін жалпы әдістемелік нұсқаулар 5. Статиканың негізгі анықтамалары 6. Статиканың аксиомалары 7. Байланыстар. Байланыстар реакциясы. 8.5 Күш жүйелерінің түрлері.6 Жинақталатын күштер жүйесі.7 -ші есеп. Жазықтықта еркін орналасқан күштер жүйесінің тепетеңдігі.8 ші есеп. Құрамалы құрылма тіреулерінің реакцияларын анықтау 8.9 -ші есеп. Кеңістікте еркін орналасқан күштер жүйесінің тепетеңдігі 5 КИНЕМТИК 5. Материялық нүкте кинематикасының және жалпы кинематика 5 есептерін шешуге қысқаша әдістемелік нұсқаулар. Нүкте қозғалысының берілу тәсілдері 5. Нүкте жылдамдығы 7. Нүкте үдеуі 9.5 -ші есеп. Қозғалысы координаталық тәсілмен берілген материялық нүктенің жылдамдығы мен үдеуін анықтау.6 Қатты дене кинематикасы 8.7 Қатты дененің жазық-параллель қозғалысы 5.8 5-ші есеп. Жазық тетігінің кинематикалық сипаттамаларын табу 5.9 6-шы есеп. Кӛпбуынды механизмді кинематикалық талдау 6.0 Нүктенің күрделі қозғалысы 70. 7-ші есеп. Күрделі қозғалыстағы материялық нүктенің абсолют 7 жылдамдығы мен абсолют үдеуін анықтау ДИНМИК 8. Есептерін шешу әдістері туралы жалпы мағлұматтар 8. Материалдық нүкте динамикасы 85. 8 есеп. Тұрақты күштердің әсерінен қозғалатын материялық 89 нүктенің дифференциалдық қозғалыс теңдеулерін интегралдау. Қатты дене динамикасы 9.5 Кинетикалық энергия және күш жұмысы. Күш қуаты 9.6 Кинетикалық энергияның ӛзгеруі туралы теорема 96.7 9-шы есеп. Механикалық жүйенің кинетикалық энергиясының 96 ӛзгеруі туралы теорема.8 Даламбер принципі 07.9 0-шы есеп. Механикалық жүйе динамикасының есептерін шешу үшін Даламбер принципін қолдану әдісі ӘДЕБИЕТ 9
5 КІРІСПЕ Теориялық механика материялық денелердің механикалық қозғалыстарының жалпы заңдылықтары мен тепе-теңдігін және осы материялық денелердің ӛзара механикалық әсерлесуін зерттейді. Бұл пән статика, кинематика және динамика деп аталатын үш бӛлімнен тұрады. Статика бӛлімінде абсолют қатты денеге әсер ететін әр түрлі күштер жүйесінің тепе-теңдік шарттары қарастырылады. Кинематика бӛлімінде әсер ететін күштерді ескермей, материялық нүктенің, абсолют қатты дененің қозғалыстарының жалпы геометриялық сипаттамалары зерттеледі. Динамика бӛлімінде материялық нүктенің, қатты дененің қозғалысы зерттелгенде, осы қозғалыстың себебі болатын әсер етуші күштер және материялық объектілердің инерттілігі (массасы) ескеріледі. Теориялық механика болашақ механикалық мамандығының іргетасын қалайтын негізгі пәндердің бірі болып саналады. Жаңа машиналар мен жабдықтарды жобалау, машиналар мен механизм жұмыстарын талдау үшін теориялық механиканың маңызы зор және техниканың дамуына ӛзінің ықпалын тигізіп отырады. Теориялық механика пәнін игеру кезінде студент ӛз бетімен болашақ мамандығына үйлесімді болатын есептерді тиімді әдістермен шығара білуі керек. Бұл әдістемелік нұсқауда оқу бағдарламасын қамтитын семестрлік тапсырмалар ретінде берілетін есептер ұсынылады және студенттің ӛзіне қажетті тақырыптар бойынша тапсырманы орындауы үшін есептердің шығарылу үлгісі кӛрсетілген. Тапсырмаларды орындау алдында есептің берілген шартын бүкіл берілген сандық мәндерімен кӛшіріп жазу керек. Есепте сурет болса оның эскизін дұрыстап сызу қажет. Содан кейін шығару жолын таңдап алып тапсырманы келтірілген мысалға қарап орындауға тырысу керек Есептеулер белгілі тәртіп бойынша орындалып, жазбаша түсіндірмесі болу тиіс. Тапсырма есептері механикалық мамандықтардың күндізгі оқу түрінде оқитын студенттерге арналған.
6 СТТИК. Статика есептерін шығару үшін жалпы әдістемелік нұсқаулар Статика есептерін шығарудың стандарттық әдістерін игеру үшін студенттерге ӛз бетімен орындауға үш есептен тұратын тапсырмалар ұсынылады. Бірінші есепте отыз нұсқа берілген. Күрделілік жағынан отыз нұсқаның әрқайсысы бірдей. Бұл әдістемелік нұсқаудағы статика есептері еркін емес денеге түсірілген белгілі күштер арқылы тіректердің белгісіз байланыс реакцияларын анықтауға арналған. Статика есептерін шығаруға ең қолайлы әдіс - аналитикалық әдіс болып келеді. Бұл есептерді аналитикалық әдіспен шешу үшін тӛмендегідей ережелер ұсынылады: ) тепе-теңдіктегі денені немесе материялық нүктені таңдап алу; ) таңдап алынған денеге (нүктеге) салынған байланыстарды анықтау. Денені байланыстардан босату, яғни байланыстарды ӛздерінің реакцияларымен алмастыру; ) дененің және оған әсер етіп тұрған барлық актив күштер мен реакциялардың шартты кескіндерін суретке салу; ) шыққан күштер жүйесінің түрін анықтап, тепе-теңдік теңдеулерінің санын анықтау; 5) есепке ыңғайлы келетін координаталық ӛстерді енгізіп, күштер жүйесінің тепе-теңдік теңдеулерін құру; 6) есептің статикалық анықталатын жағдайын тексеру (есептің статикалық анықталатын жағдайы, егер онда белгісіздердің саны тепе-теңдік теңдеулердің санынан аспаса. Олай болмайтын болса, онда есеп статикалық анықталмайды, бұл жағдайда қосымша шарттар еңгізіп белгісіз шамалардың санын азайту керек); 7) егер таңдап алынған нысан құрылма конструкция болса, онда нысанның әр тұтас бӛлшегінің тепе-теңдігін бӛлек қарастырған жӛн. 8) есептеу нәтижелерін талдау. Статика есебі тек қана ондағы белгісіз шамалардың саны ӛзара тәуелсіз тепе-теңдік теңдеулердің санынан аспаған жағдайда ғана шешіледі. Әр түрлі күштер жүйелері үшін тепе-теңдік теңдеулерді құрастырғанда күштердің координаталық ӛстердегі проекцияларын және күштердің нүктелерге қатысты моменттерін қарастыру керек, ал кеңістікте еркін орналасқан күштер жүйесі үшін күштердің координаталық ӛстердегі проекцияларын және күштердің ӛстерге қатысты моменттерін қарастыру қажет. Егер күш ӛске перпендикуляр немесе параллель болса, онда оның осы ӛстегі проекциясы нӛлге тең болады. Күштердің ӛстердегі проекциялары кіретін тепе-теңдік
7 теңдеулерін құрастырғанда, ӛстерді, белгісіз күштер перпендикуляр болып келетіндей етіп таңдап алу керек. Күштердің нүктелерге қатысты моменттері кіретін тепе-теңдік теңдеулерін құрастырғанда, бұл нүктелерді, бір немесе бірнеше белгісіз күштердің әсер ету сызықтары ӛтетіндей етіп таңдап алған дұрыс. Күштердің ӛстерге қатысты моменттері бар тепе-теңдік теңдеулерін құрастырғанда, оларға бірнеше белгісіз күштер параллель немесе қиылысып орналасқан ӛстерді таңдап алған орынды.. Статиканың негізгі анықтамалары КҮШ материялық денелердің механикалық ӛзара әсерлесуін сипаттайтын векторлық шама. Ӛлшем бірлігі-ньютон (Н) кг=9,8н, Н=0,0кг Күш көсеткіштері: Әсер ету сызығы Түсу нүктесі Шамасы (модулі) Күш түрлері: Беттік Кӛлемдік Ішкі және сыртқы (механикалық жүйелер үшін ажыратылады) ктив және пассив (байланыс реакциялары) F F... F : бсолют қатты денеге әсер ететін ( ) күштер жиынтығын күштер жүйесі (системасы) деп атайды. : Егер дене басқа денемен байланыста болмаса, ешнәрсемен бекітілмесе, онда мұндай дене еркін дене деп аталады. : Егер еркін дене, түсірілген күштер жүйесінің әсерінен тыныштық күйде болса, онда мұндай күштер жиынтығы тепе-теңдіктегі жүйе деп немесе нӛлге эквивалент деп аталады: ( F F... F, F..., F F ) ~ 0. P P... P, : Егер ( ) және ( s ) күштер жүйесінің әрқайсысы еркін қатты денені тыныштық күйінен бірдей қозғалысқа келтіретін болса, онда олар бір-біріне эквивалентті жүйелер болады. ( F, F... F, P P... P, ) ~ ( s ). Бір-біріне эквивалентті күштер жүйесінің бір денеге жасайтын әсерлері бірдей болады. Сондықтан осындай екі күштер жүйесінің бірін екіншісімен алмастыруға болады. _ F кг м Н с
8 F F... F, 5: Қатты денеге түсірілген ( ) күштер жүйесі бір R күшіне эквивалент болса онда, R күші күштер жүйесінің тең әсер етуші күші деп аталады: ( F, F... F ) ~ R. 6: Егер қатты денеге әсер етуші барлық күштер жиыны тепе-теңдікте болатын F F... F күштер жиынтығын құрайтын болса, ( ) ~ 0 онда бұл дененің ӛзі де тепе-теңдікте болады немесе ӛзінің қозғалысын ӛзгерте алмайды делінеді. Бұл анықтама бойынша тек тыныштықта тұрған дене ғана емес бірқалыпты түзу сызықты ілгерілемелі қозғалыстағы дене де тепе-теңдікте деп есептелінеді. Статиканың негізгі мәселелері: бсолют қатты денеге әсер етуші күштер жүйесін эквивалент күштер жүйесіне түрлендіру, яғни берілген күштер жүйесін қарапайым түрге келтіру; бсолют қатты денеге әсер ететін күштер жүйелерінің тепе-теңдік шарттары мен теңдеулерін анықтау.,. Статиканың аксиомалары Статика аксиомалары Галилей-Ньютонның жалпы заңдарынан туындайды. к: (екі күштің тепе-теңдік шарты туралы) Еркін абсолют қатты денеге түсірілген екі күш тепе-теңдікте болу үшін олардың модульдері тең болуы және бір түзудің бойымен қарама-қарсы бағытталуы қажет және жеткілікті. F F =F F к: (күштер жүйесін түрлендіру туралы) Күштердің кез келген жүйесіне күштердің нӛлге эквивалент жүйесін қосуға немесе одан оны алып тастауға болады, бұдан берілген жүйенің қатты денеге әсері ӛзгермейді _ Р _ F _ F _ F п _ Р
P )~ 0 ( F, F... F ) ~ ( F, F... F (, P 9 P )., P, к: (күштер параллелограмының заңы) Дененің бір нүктесіне түсірілген екі күштердің тең әсер етуші күші сол нүктеге түсіріледі де, осы күштерден құрылған параллелограмның диагоналімен анықталады. _ F _ F _ R = F + F к: (әсер және кері әсер заңы) R ^ F F F cos F F. F, Екі дененің бір-біріне әсер ету күштері шамасы жағынан тең және бір түзу бойымен қарама-қарсы бағытталады. _ F _ F к5: (қатаю принципі) Егер қатты емес дене тепе-теңдікте болса, онда ол қатты денеге айналғанда тепе-теңдік шарты бұзылмайды. Мысалы: жіп, шынжыр, қайыс сияқты қатты емес механикалық жүйелердің тепе-теңдік шарттарын қолдану үшін осы принципті негізге аламыз. Механикалық жүйе деп әрбір нүктелерінің орналасу жағдайы мен қозғалысы ӛзара тәуелді болап келетін, материялық нүктелер жиынтығын айтамыз.. Байланыстар. Байланыстар реакциясы. Кеңістіктің кез келгенбағытында қозғала алатын дене еркін дене деп аталады. Қозғалысы кеңістікте басқа бір немесе бірнеше денемен шектелетін денені еріксіз (еркін емес) дене дейді.
.-кесте. Байланыстардың негізгі түрлері және олардың реакциялары 0 Байланыс атаулары Схемалық сызбасы Реакцияларының бағыттары Иілгіш созылмайтын (жіп, арқан, шынжыр т.б.) N N Жылтыр бет Р Р F F F F Шарнирліжылжымайтын және шарнирліжылжымалы тіреулер Сырықтық (стерженьдер) F F x y R B ò³ðåó x y N F áåò³íå F R B R B 5 Нүкте немесе бет (қабырға) арқылы тірелсе
6 Қатаң бекітіліс F x M F y 7 Тиек Р M R Р M R B M 8 Цилиндрлік шарнир және ӛкшелік z F x z y F B x Р y x B z B x B y B Р y 9 Сфералық шарнир, топса O z y x 0 z 0 O y 0 x z C B C B x Р Р R B Дененің орын ауыстыруын шектейтін шарттарды механикада байланыстар деп атайды. л байланыстың берілген денеге әсер күшін байланыс реакциясы дейміз. Реакция күштерін пассив күш деп те айтады. Денеге, байланыс реакцияларынан басқа да байланысқа тәуелсіз болатын күштер әсер етеді. Мұндай күштерді актив күштер немесе берілген күштер деп атаймыз.
Байланыстар аксиомасы (байланыстан босату принципі). Кез келген еркін емес денені ойша байланыстардан босатып және осы байланыстар әсерін сәйкес реакция күштерімен алмастырсақ, онда еркін емес денені еркін дене деп қарастыруға болады. Статика есептерінде кездесетін байланыстар: Денелердің ӛзара түйісуі; Денелерді топсалармен байланыстыру; Сырықтар және иілгіш байланыстар; Қазықша байланыстар..5 Күш жүйелерінің түрлері F F... F бсолют қатты дененің нүктелеріне күштері түсірілген болсын. Бір денеге түсірілген күштер жинағын қысқаша күштер жүйесі дейміз. Жүйедегі күштер векторларының кеңістікте орналасуына қарай, күштер жүйесі бірнеше түрге бӛлінеді. Жиі кездесетін күштер жүйелері мыналар: а) бір нүктеге түсірілген күштердің жүйесі; б) бір нүктеге жинақталатын күштер жүйесі. Мұндағы күштердің әсер ету сызықтары бір бір нүктені басып ӛтеді. в) параллель күшетр жүйесі; г) күштердің жазық жүйесі. Денеге әсер ететін күш векторларының барлығыда бір жазықтықта жатады. д) кеңістікте кез келген бағытпен орналасқан күштер жүйесін немесе күштердің кез келген кеңістік жүйесі дейміз; ж) қос күштер жүйесі. Денеге тек қос күштер әсері етуі мүмкін. Бұл жағдайда денедегі барлық қос күштер жиынын қос күштер жүйесі деп атаймыз.,.6 Жинақталатын күштер жүйесі Әсер ету сызықтары бір нүктеде қиылысатын күштер жиынтығы жинақталатын күштер жүйесін құрайды. Кеңістіктік және жазық күштер жүйесі. Бұл тарауда статиканың негізгі екі мәселесіне сәйкес денеге әсер ететін жинақталатын күштер жүйесін тең әсер етуші күшпен алмастырып және осы күштер жүйесінің қажетті және жеткілікті болатын тепе-теңдік шарттарын қарастырамыз. i F 0; F 0; F 0; F 0; F 0. ix i iy i iz i ix i iy
Әсер ету сызықтары бір жазықтықта жатпайтын, бірақ бір нүктеде қиылысатын күштер жүйесін жинақталатын кеңістіктік күштер жүйесі деп атайды. Әсер ету сызықтары бір жазықтықта жататын және бір нүктеде қиылысатын күштер жүйесін жинақталатын күштердің жазық жүйесі деп аталады. Жинақталатын күштер жүйесінің тепе-теңдік шарттары R F F... F 0 R R R x y z F F F x y z F F F x y z... F... F... F x y z 0; 0; 0. Кеңістіктік күштер жүйесінің тепе-теңдігі: i F ix 0; i F iy 0; i F iz 0; Жазықтықта орналасқан күштер жүйесінің тепе-теңдігі: i F ix 0; i F iy 0. Бағыттаушы косинустар Rx cos Ri, ; R Ry cos R, j ; R Rz cos Rk, ; R Үш күш туралы теорема: x i R x Егер бір-біріне параллель емес, бір жазықтықта орналасқан үш күштің әсерінен дене тепе-теңдікте болса, онда күштердің әсер ету сызықтары бір нүктеде қиылысады (керісінше болмайды) Статикалық анықталатын және статикалық анықталмайтын есептер: k x z R z б R j Ry y y
Егер белгісіз күштер саны осы есепке сәйкес жазылатын тепе-теңдік теңдеулер санынан артық болмаса, онда мұндай есептер статикалық анықталатын есептер қатарына жатады. Егер белгісіз күштер саны тепе-теңдік теңдеулер санынан артық болса, онда ол статикалық анықталмайтын есептер деп аталады..7 -ші есеп. Жазықтықта еркін орналасқан күштер жүйесінің тепе-теңдігі Жазық раманың салмақ күштерін ескермей, берілген күштер, бұрыштар және ӛлшемдері арқылы тірек реакцияларын анықтау керек. Есеп схемалар. (а,б,в,г) - суреттерде, ал бастапқы шарттары.-кестесінде берілген. y y M 5 0 P x P M 60 0 q x q q y y M x P 0 0 P 60 0 q M x 5 6 y y q P P q 60 0 M x M x 5 0.(а)-сурет
5 7 8 y q x 5 0 M P M P 90 0 0 0 q Д x 9 y 0 y q 60 0 P M q x M P 600 0 0 x P y 60 0 y q P 5 0 M 0 0 q x M x y P y q 5 0 M x M P 5 0 q x 5 P y q 6 5 0 M x y M 0 0 P q x.(б)-сурет
6 7 8 9 0 5 6.(в)-сурет 0 0 P x y q q 60 0 M P x y x q y M 60 0 P x M 5 0 P y q M q y 5 0 P x y x 5 0 M P q 60 0 M q y P x q 60 0 M P x y x M 60 0 P y q q 5 0 M P x y
7 7 8 y M P 60 0 q x P y 0 0 q M x 9 y 0 q M P 60 0 x q P 60 0.(г)-сурет. -ші есептің схемалары.-кесте -ші есептің бастапқы шарттары Нұсқау Р, кн М, кн м q, кн Нұсқау Р, кн М, кн м q, кн м м 0 6 6 6 0 5 7 0 5 8 8 5 9 6 6 5 0 5 0 0 5 6 6 0 0 7 6 0 8 0 0 0 9 0 6 0 5 0 5 0 6 0 5 0 5 7 0 6 0 8 0 0 5 9 5 5 5 0 5 0 0 0
8 -ші есептің шығару үлгісі Берілген: конструкцияның схемасы (.-сурет); F = 0 кн; Р = 5 кн; М = 8 кн; q = 0,5 кн/м; = 0º. тірегінің және С ӛзегінің реакциясын анықтау керек. O q а а/ C M а/ а P G.-сурет. Есеп шешімі : арқалығына әсер етіп тұрған теңестірілген күштер жүйесін қарастырайық. Байланыстар аксиомасы бойынша арқалығын - қозғалмайтын шарнирлі тіруінен, С - ӛзегінен және иілгіш жіп байланыстарынан босатамыз. Ол үшін байланыстарды ойша алып тастап, олардың әсерлерін байланыс реакцияларымен алмастырамыз (.-сурет). Қозғалмайтын топсалы тірек реакциясының бағыты белгісіз болғандықтан, оны Х және У бӛлшектері арқылы анықтаймыз. Модулі Р-ға тең жіптің T реакциясын және С ӛзектік тіректің реакциясын R C деп кӛрсетеміз. Бірқалыпты таралған q күшті қадалған Q күшпен алмастырамыз. Q күші таралған күш эпюрасының ауырлық центріне түсіеді, шамасы Q= q= 0,5=кН болады. рқалыққа әсер етіп тұрған күштердің жазық жүйесі үшін тепе-теңдік теңдеулерін құрастырамыз: Σ F kx = 0; X - R C cos = 0; (.) Σ F ky = 0; Y Q F + R C si + T = 0; (.) Σ M k = 0; -Q - T + R C si M + T 6 = 0. (.) (.) теңдеуден R C -ні анықтаймыз:
9 y Y 90º T R Q C M C B X a/ a a/ a x F.-сурет R C = (Q + T + M - T 6) / si = ( + 0 + 8-5 6) / 0,5 =,5 кн. (.) теңдеуден Х -ны анықтаймыз: Х = R C cos =,5 0,866 =,90 кн. (.) теңдеуден Y -ны табамыз: Y = Q + F - R C si - T = +0,5 0,5 5 =,75 кн. Х, У, R C шамалары оң мәнді болып шықты. Бұл осы күштердің қабылданған бағыттары олардың нақты бағыттарымен сәйкес екенін кӛрсетеді..8 ші есеп. Құрамалы құрылма тіреулерінің реакцияларын анықтау Ӛлшемдері, бұрыштары және күштері берілген, салмақсыз екі рамадан құралған дене жүйесі үшін тірек реакцияларын анықтау керек. Мұнда бірқалыпты таралған күш q, қадалған күш Р және қос күш М әсер етіп тұр. -ші есептің схемалары. (а,б,в)-суреттерде, бастапқы шарттары.- кестесінде берілген.
,5,5 0 q M С 60 0 P 5 0 q M P 5 6 P С M P 7 8 С P 60 0 q 0 0 С P q M P С 60 0 M 5 0 M P 0 0 P 60 0 P P q q 60 0 P 0 0 P q P M M С P q С 9 0 0 0 P P 0 0 M С q P M С P 5 0 q
.(а)-сурет P 0 0 С P q,5,5 M q M С 60 0 P q P 5 M С 60 0 P P С M q 5 q 6 0 0 M P С q P 5 0 С P M 5 0 7 8 P M С P 60 0 M С P q 0 0 P 9 0 q С M P 60 0 q M,5 С P,5,5
,5,5.(б)-сурет 0 0 P P С 5 0 P q 60 0 Д M q С M Д P q М С 0 0 P 0 0 P q С M 5 6 С M P q 60 0 М P С q 7 8 P С q 5 P 0 P С M M 60 0 60 0 q P 9 0 P 5 0 q С P M P q С P 0 0 M
.(в) - сурет -ші есептің схемалары.-кесте -ші есептің бастапқы шарттары. Нұсқау Р, Р, М, q, Нұсқау Р, Р, М, q, кн кн кн м кн кн кн кн м кн м м 5 9 6 7 -,8 6-0 7 9 6 7 9,5 8 0 8,5 8-8,8 9 9 0 5 9-6,6 0 5 8 5,5 6 0 8 5, 0 7 0 7 7 0 5 6 5,5 8 6 5, 8-0, 9-0, 5, 0 -,6 5 6 7, 5 5,8 6-9,5 6 7 0 7 9-6, 8 8 9, 6-0, 9 6 0 5, 5 5 -,6 0 0 7,6 -ші есептің шығару үлгісі Берілген: конструкцияның схемасы (.5 сурет); F = 0 кн; F = кн; M = 5 кнм; q = кн/м; = 60º. Тіректердің реакцияларын және С шарнирінің реакциясын анықтау керек. F C M F q B.5-сурет
Есеп шешімі: Бүкіл конструкцияға әсер етіп тұрған теңестірілген күштер жүйесін қарастырайық (.6-сурет). лдымен мен тіректер реакцияларының вертикаль бӛлшектерін анықтап аламыз. F күштің моментін есептеу жолын жеңілдету үшін оны F x және F y бӛлшектерге жіктеп аламыз: F x = F cos = 0 0,5 = 5 кн; F у = F si = 0 0,866 = 8,66 кн. F y F y C F x Q M F Y X У B Х x Сонда тепе-теңдік теңдеулердің түрі.6-сурет Σ F kx =0; X + X B F x + Q =0; (.) Σ F ky =0; - F y + Y F + Y B = 0; (.5) Σ M k = 0; F x + F y - Q M F 5 + Y B 7 = 0. (.6) (.6) теңдеуінен Y B ны есептеп аламыз: Y B = (-F x - F y + Q + M + F 5) / 7 = (-5 8,66 + 8 + 5 + 5) / 7 = 7,86 кн. (.5) теңдеуінен Y ны анықтаймыз:
5 Y = F y + F - Y B = 8,66 + - 7,86 =,8 кн. (.) теңдеуінде екі белгісіз шамалар болғандықтан, оларды анықтау мүмкін емес. Бұл теңдеу сол белгісіз шамалардың тек қана ӛзаралық байланыстарын кӛрсетеді. Енді конструкцияның оң жағына әсер етіп теңестірілген күштер жүйесін қарастырамыз (.7-сурет). Олардың тепе-теңдік теңдеулері Σ F kx =0; X С + X B = 0; (.7) Σ F ky =0; Y С F + Y B = 0; (.8) (.9) Σ M kс = 0; M F + Х + Y B = 0. (.9) теңдеуінен Х ны есептеп шығарамыз: Х = ( M + F - Х ) / = (5+ 7,86 ) / =,9 кн. (.7) теңдеуінен X С - ны анықтаймыз: X С = - X B = -,9 кн. (.8) теңдеуінен Y С - ны анықтаймыз: Y С = F - Y B = 7,86 =, кн. (.) теңдеуінен X -ны есептеп шығарамыз: X = - X B + F x - Q = -,9 + 5 8 = - 7,9 кн. y Y C C X C M F У X x
6.7-сурет Есеп нәтижесінің дұрыстығын тексеру үшін бүкіл конструкцияға әсер ететін күштер үшін кез келген тепе-теңдік теңдеуін құрып, тепе-теңдік шартының орындалуын кӛрсетуге болады, мысалы: Σ M k = 0; F x + F y 0 - Q M + F 5 Y 7 = 0 5 + 8,86 0-8,8 7 5 + 0,6 0,6 = 0 0 = 0..9 -ші есеп. Кеңістікте еркін орналасқан күштер жүйесінің тепе-теңдігі Салмағын ескермей, берілген ӛлшемдері, бұрыштары және әсер еткен күштер арқылы біліктің тірек реакцияларын анықтау керек сурет.8 (а, б, в, г, д, е, ж, з).
7.8(а)-сурет 5
8 6.8(б)-сурет 7 8
9 9 0.8(в)-сурет
0.8(г)-сурет 5 6 7
8 9.8(д)-сурет
0.8(е)-сурет
5 6.8(ж)-сурет
7 8 9 0.8(з)-сурет. -ші есептің схемалары мен шарттары -ші есептің шығару үлгісі
5 Горизонталь білікке тісті дӛңгелек отырғызылған. Біліктің сол шетмойыны топсаға тіреледі, ал оң шетмойыны - ӛкшелікте. Дӛңгелекке үш күш әсер етеді: жанама (айналма) F = 00 Н; радиал (білік ӛсіне қарай бағытталған) F r = 550 Н; ӛстік (білік ӛсіне параллель) F а = 760 Н. Координаттық ӛстер.9-суретінде кӛрсетілген. Берілген күштер түскен дӛңгелектің нүктесі xz және ху жазықтықтарында орналасқан (.9-сурет). Білік пен дӛңгелектің салмақтарын ескермейміз. Механикалық жүйе тепе-теңдікте болған жағдайдағы х ӛсіне қатысты айналдыратын қос күш моментін және мен тіректерінің реакцияларын анықтау керек. Дӛңгелек диаметрі d=89мм, дӛңгелек радиусы r = 0,5d = 9,5 мм. F F a B m F r C d b a F Z B F a X B B Z r F r m Y B x Y z y.9-сурет Есеп шешімі :
6 Білік пен дӛңгелектің тепе-теңдігін қарастырайық. Білікке берілген F, F r, F a күштері, анықтауға жататын момент m қос күш және мен тіректерінің байланыс реакциялары әсер етеді. топсасы білік ӛсіне перпендикуляр жазықтықтағы радиал күштің әсерін ғана қабылдайды, ал біліктің ӛз ӛсі бойымен жылжуына кедергі жасамайды. Сондықтан топсасының реакциясын Х және Z күштерімен алмастырамыз. ӛкшелік, радиал күшпен қатар, біліктің ӛсі бойынша әсер ететін ӛстік күшті де қабылдайды. Сондықтан ӛкшеліктің реакциясын үш X B, Y B, Z B күштерімен алмастырамыз. Білікке әсер ететін қос күштің моментін және белгісіз бес реакция күштерін анықтау үшін, кеңістікте еркін орналасып, білікке әсер етіп тұрған күштер жүйесінің тепе-теңдік теңдеулерін құрамыз: F kx = 0, X B F a = 0; F ky = 0, Y F + Y B = 0; F kz = 0, - Z + F r Z B = 0; m x (F k ) = 0, m - F r = 0; m y (F k ) = o, F r - Z B 8 + F a r = 0; m z (F k ) = 0, F - Y B 8 = 0. Құру нәтижесіндегі алты теңдеулерде алты белгісіз күштер бар. Сондықтан бұл есеп статикалық анықталады деп санаймыз да, құралған теңдеулерге берілген күштердің сан мәндерін қойып теңдеулерді шығарамыз. Теңдеулердің шығару нәтижесінде анықтауға жататын білікке әсерлі қос күштің моментін және тірек реакцияларын табамыз. Жауабы: Y = 00 H, Z = - 80 H, X B = 760 H, Y B = 00 H, Z B = 66 H, m = 97 H м. Z реакциясының минус таңбасы,.9 - суретте кӛрсетілген бағытқа қарамақарсы келетінін кӛрсетеді. КИНЕМТИК
7. Материялық нүкте кинематикасының және жалпы кинематика есептерін шешуге қысқаша әдістемелік нұсқаулар Материялық нүкте кинематикасының есептері қозғалысы әр түрлі тәсілдермен берілген нүкте кинематикасының негізгі сипаттамаларын (траектория, жылдамдық, үдеу) анықтауға арналған. Материялық нүктенің қозғалысы берілген тәсілге байланысты оның анықтауға жататын жылдамдығы мен үдеуі таңдап алған координаталық ӛстер бойындағы бӛлшектері арқылы кӛрсетіледі. Қозғалысы координаталық тәсілмен берілгенде, олар координаталық ӛстер бойындағы проекцияларына жіктелінеді. Нүктенің қозғалыс теңдеулерін декарттық координаталарда беру кең таралған тәсіл болып келеді. Қозғалысты табиғи тәсілмен бергенде материялық нүктенің жылдамдығы мен үдеуі табиғи үш (жанама, бас нормаль және би нормаль) қырлықтың жанама және бас нормаль ӛстеріндегі проекциялары арқылы анықталады. Бұл бӛлімде материялық нүкте кинематикасының бірінші есебі қозғалысы координаталық тәсілмен берілген материялық нүктенің белгілі уақыт мезетінде траекториясын, жылдамдығын және үдеуін анықтауға ұсынылған. Қатты дене кинематикасына үш есеп берілген: жазық механизмнің кинематикалық сипаттамаларын табу, кӛпбуынды механизмді кинематикалық талдау және күрделі қозғалыстағы материялық нүктенің абсолют жылдамдығы мен абсолют үдеуін анықтау. Материялық нүктенің немесе абсолют қатты дененің кинематикалық сипаттамаларын анықтауда әрдайым кейбір математикалық функцияларды уақыт бойымен дифференциялдау қоса жүреді. Қатты дененің жазықтық қозғалысын зерттеудің маңызды, қолданбалы мағынасы бар, ӛйткені механизмдер мен машиналардың кӛптеген бӛлшектері жазық параллель қозғалыстарды атқарады.. Нүкте қозғалысының берілу тәсілдері Кез келген уақытта санақ жүйесіне қарағанда нүкте орнын анықтайтын теңдеулер белгілі болса, нүкте қозғалысы берілген деп есептеледі. Кинематикада нүкте қозғалысы үш түрлі тәсілдермен беріледі: табиғи координаталық векторлық
. Табиғи тәсіл 8 Қозғалыс бұл тәсілмен берілгенде нүкте траекториясы ме оның осы траектория бойындағы қозғалысының теңдеуі белгілі болады. s st нүкте қозғалысының заңы s(t) функциясы бір мәнді, үздіксіз және екі рет, дифференциалданатын болуы қажет. Нүкте қозғалысының табиғи тәсілмен берілу үшін келесі шарттар орындалуы қажет: материалдық нүктенің траекториясы (графикпен немесе теңдеумен); нүктенің бастапқы уақыт кезеңіндегі орны мен бағыты; нүкте траектория бойындағы қозғалыс заңы (теңдеуі). Доғалық координатаның уақытқа байланысты ӛзгеретін функциясы.. Координаталық тәсіл Координата жүйелерінің түрлері: тік бұрышты декарттық цилиндрлік (полярлық) сфералық және т.б. Декарттық координаталар жүйесі x y z x y z t t t Қозғалыс теңдеулері: Цилиндрлік координатлар
9 Сфералық координаталар. Нүкте жылдамдығы. екторлық тәсіл
0 Нүктенің кез келген уақыт кезеңіндегі жылдамдығы орташа жылдамдықтың Δt уақыт аралығы нӛлге ұмтылғандағы шегі ретінде анықталады, яғни t 0 Жылдамдық векторы траекторияның нүктесі арқылы жүргізілген жанаманың бойымен қозғалыстың бағытына қарай бағытталады. Нүкте қозғалысы векторлық тәсілмен берілгенде, оның жылдамдығы радиус-вектордан уақыт бойынша алынған бірінші туындыға тең векторлық шама болады.. Табиғи тәсіл dr ds V dr dt ds dt болғандықтан () Жылдамдық модулі нүктенің қозғалыс теңдеуінен немесе доғалық координатасынан уақыт бойынша алынған туындының абсолют шамасына тең. Жанама ӛсінің бойымен, әрдайым доғалық координатаның ӛсу бағытына қарай бағытталады.. Координаталық тәсіл r xi yj zk болса, V dr dt dx dt i dy dt j dz k dt V x dx ; dt V y dy dt ; V z dz dt ; () Жылдамдық модулі: V V x V y V z x y z Жылдамдық векторының бағыттаушы косинустары: cos Vx V, i ; V cos Vy V, j ; V cos Vz V, k ; V
. Нүкте үдеуі. екторлық әдіс Нүкте қозғалысы векторлық тәсілмен берілгенде, оның үдеуі жылдамдық векторынан уақыт бойынша алынған бірінші немесе нүктенің радиус-
векторынан уақыт бойынша алынған екінші туындыға тең векторлық шама болады. r xi yj zk. Координаталық әдіс a d r dt d x i dt d y dt j d z k dt a a a x y z d x dvx x ; dt dt d y dvy y ; dt dt d z dvz z. dt dt. Табиғи әдіс
dt d V dt dv dt dv a V V V dt dv a V dt ds ds d dt d dt d
Толық үдеудің модуль шамасы тӛмендегідей есептелінеді және нормаль үдеудің шамасы әр уақытта оң сан болғандықтан толық үдеу векторы үнемі траекторияның ойыс жағына (бас нормальдың оң бағытына) қарай бағытталады: a = a a Нүкте қозғалысының дербес жағдайлары. Жылдамдығы тұрақты қозғалысты бірқалыпты қозғалыс деп атайды. Нүктенің бір қалыпты қоғылысының теңдеуі: S S0 0t Жанама үдеу бұл жағдайда нӛлге тең. Егер барлық уақытта да жанама үдеу тұрақты болса, яғни жылдамдықтың модулі бірлік уақытта тұрақты шамаға ӛзгеретін болса, онда қозғалыс бірқалыпты айнымалы қозғалыс деп аталады. Жылдамдық модулінің ӛзгеру заңы мен материалдық нүктенің бірқалыпты айнымалы қозғалысы келесі түрде жазылады:
5 0 a t және S S 0 t 0 a t.5 -ші есеп. Қозғалысы координаталық тәсілмен берілген материялық нүктенің жылдамдығы мен үдеуін анықтау Материялық М нүктесі ху жазықтықтығында қозғалады. Нүктенің қозғалыс заңдары х = f (t), y = f (t) теңдеулер арқылы берілген. нықтау керек: ) нүктенің траектория теңдеулерін, t=t (с) уақыт мезетіндегі нүктенің траекториядағы орнын; ) нүктенің t=t (с) уақыт мезетіндегі жылдамдығын; ) нүктенің t=t (с) уақыт мезетіндегі үдеулерін. Есеп шешіміне керек шамалардың мағыналары.-кестеде берілген..-кесте -ші есептің шарттары Қозғалыс теңдеулері арианттың t, сек. х = х (t), см y = у (t), см - t + -5 t / cos (πt/) + si (πt/) -cos(πt /) + Si(πt/) - t + -/(t+) 5 si(πt/) -cos(πt/) 6 t t + 5t -5t/ 7 t + -t / 8 7si(πt /6) + 7cos (πt /6) 9 -/(t + ) t +6
6 0 -cos(πt /) -si(πt/) -t + -t / 5si (πt/6) -5cos (πt/6) 5cos (πt /) -5si(πt /) -t -/(t + ) 5 сos (πt/) -si(πt/) 6 t t + / 7 7si (πt/6) 5-7cos (πt/6) 8 + cos (πt/) si(πt/) + 9-5t t 0 t 6t t/ t 0 6si (πt /6) 6cos (πt /6) + 7t 5t / t + t 5t + 5t/ - cos (πt/) - si(πt/) 5-6t - t 6 8cos (πt/6) + -8si (πt/6) 7-9si(πt /6) - 9cos(πt /6) 8 - t + - t 9 5t + 5t/ t + t + 0 cos (πt /) - si(πt / +
7 -ші есептің шығару үлгісі. Материялық нүктенің ху жазықтықтағы қозғалыс теңдеулері: x = - cos ( t) +, y = si ( 8 t) - ( x, y ӛлшемдері - сантиметрмен, t ӛлшемі - секундпен ӛлшенеді). Нүкте траекториясының теңдеуін, t = c уақыт мезеті үшін нүктенің жылдамдығы мен үдеуін, сонымен қатар оның траекториясының сәйкес нүктесіндегі жанама мен нормаль үдеулерін және қисықтық радиусын анықтау керек. Есеп шешімі :. Нүкте траекториясының теңдеуін анықтау үшін берілген қозғалыс теңдеулерінен t уақытты алып тастау керек. t - тригонометриялық теңдеулердің аргументтерінде болған соң, мынадай формулаларды қолданамыз: немесе сos = si cos ( t) = si ( 8 t). (.) Қозғалыс теңдеулерінен тиісті функцияларды тауып алып, оларға (.) теңдігін қоямыз. Сонда сонымен, х у cos ( t) =, si ( t) = 8 х у., Бұдан нүкте траекториясының мынадай теңдеуі шығады (бұл теңдеу парабола қисығы болып келеді,.-сурет): x = (y + ) +. (.). Нүктенің жылдамдығын оның координаталық ӛстердегі проекциялары арқылы табамыз. Жылдамдық проекцияларының жалпы түрі: dx V x = = si ( t), dt
8 dy V y = = cos ( t); dt 8 V = v x + v y. Уақыттың t = c мезетінде V x =,см/с, V y = 0,7 см/с, V =, см/с. (.). Нүктенің үдеуін анықтаймыз: d x а x = dt = 8 cos ( t), d y а y = dt = - si ( 8 t); а = a x + a y. Уақыттың t = c мезетінде a `x = 0,87 см/с, a y = - 0, см/с, a = 0,88 см/с. (.). V = V x + V y табамыз: теңдеуді дифференциялап нүктенің жанама үдеуін V dv/dt = V x dv x /dt + V y dv y /dt, осыдан a x = dv/dt = (V x a x + V y a y )/V. (.5) (.5) формуладағы барлық шамалардың сан мәндері белгілі, (.) және (.) теңдеулермен берілген. Сол сандарды (.5) қойып алып, уақыт t = с мезетіндегі жанама үдеуді табамыз: a τ = 0,66 см/с. 5. Нүктенің нормаль үдеуі а = a - a τ. Осыған a мен a τ шамаларын қойып уақыт t = с мезетіндегі нормаль үдеуді анықтаймыз: a = 0,58 см/с ә.
9 6. Нүкте траекториясының қисықтық радиусы ρ = V /a. Осыған V және a шамалардың мағынасын қойып, уақыт t = с мезетіндегі қисықтық радиусын табамыз: ρ =,05 см. Ескеру. Траекторияның қисықтық радиусы жалпы түрде уақыттқа тәуелді шама, ӛйткені қисық сызық әртүрлі қисықтық радиусы бар кӛптеген шеңберлер доғаларынан құрастырылған деп түсінеміз. Сонда қисықтың бойымен қозғалып тұрған материялық нүкте траекторисының қисықтық радиусы да ӛзгеріп тұрады. 7. Қозғалыстағы материялық нүктенің уақыт t = с мезетіндегі траектория бойындағы орнын х пен у координаталары нұсқайды: х =,6 см, у = -0, см. 8..-кестесінде нүктенің уақыт t = с мезетіндегі барлық кинематикалық сипаттамаларының (жылдамдық және оның проекциялары, үдеу және оның проекциялары, жанама, нормаль үдеулер, траекторияның қисықтық радиусы) сан мағыналары кӛрсетілген. Осы шамалар және траекторияның (.) теңдеуі бойынша материялық нүктенің уақыт t = с мезетіндегі кинематикалық қозғалыс графигін саламыз..-кесте Нүктенің уақыт t = с мезетіндегі кинематикалық сипаттамалары. Координата, см Жылдамдық, см/с Үдеу, см/с ә радиусы, Қисықтық см х у V x V y V a x a y a a τ a ρ,6-0,, 0,7, 0,87-0, 0,88 0,66 0,58,05 9. лдымен Оху координаталық осьтерді қабылдаймыз да, оған қолайлы масштаб кіргіземіз. Осы осьтерге тиімді траекторияның қисық сызығын суретке түсіреміз (.-сурет). Материялық нүктенің уақыт t = с мезетіне траекторияның бойындағы М (х, у ) орнын х, у координаталар арқылы табамыз. Жылдамдық векторын оның бӛлшектері арқылы сызамыз: V = V x + V y. Оның үстіне V вектордың траектория жанамасында орналасуы қажет. Дәл солай үдеуді де кӛрсетеміз: а = а х +а у.
50 y V y a τ V O М 5 6 x V x a x - a y a - - a.-сурет. Содан кейін а τ жанама үдеуді суретке саламыз. Оның шама таңбасы V жылдамдықтың таңбасымен бірдей (екеуі де плюс), сондықтан нүкте қозғалысы үдемелі болып келеді. a = a τ + a екенін ескере отырып нормаль үдеуді суретте кӛрсетеміз. Жылдамдық пен толық үдеудің векторлары бір жаққа қарай бағытталғаны материялық нүктенің қозғалыс түрі үдемелі екенін нұсқайды да жоғарыда осы туралы айтылғанды құптайтын дәлел болып келеді..6 Қатты дене кинематикасы Қатты дененің ілгерілемелі қозғалысы Қатты дене қозғалысының 6 түрі бар: ) ілгерілемелі, ) тұрақты ӛстен айналмалы, ) жазық - параллель, ) сфералық, 5) күрделі, 6) еркін қатты дене қозғалысының жалпы жағдайы. : Қатты дененің ілгерілемелі қозғалысы деп оның әрбір екі нүктесін қосатын түзулердің кез-келгені ӛзіне ӛзі тек параллель қозғалатындай қозғалыс түрін айтамыз. Ілгерілемелі қозғалыстағы қатты дененің барлық нүктелері бірдей қозғалады. Қатты дененің ілгерілемелі қозғалысы оның бір нүктесінің қозғалысымен толық сипатталады. Үш ӛлшемді кеңістікте ілгерілемелі қозғалыстағы дененің еркіндік дәреже саны үшке тең. Оның қозғалысын үш тәуелсіз координаталық түрдегі қозғалыс теңдеулерімен былай жазуға болады
5 х М = x(t), y М = y(t), z М = z(t), мұндағы М дененің кез-келген нүктесі. Ілгерілемелі қозғалыстағы дене нүктелерінің траекториялары, жылдамдықтары және үдеулері туралы теорема: ілгерілемелі қозғалыста дене нүктелерінің траекториялары, жылдамдықтары мен үдеулерінің әрбір уақыт кезінде мәндері мен бағыттары бірдей, яғни дене нүктелері конгруэнтті қозғалыста болады. Мысалы: v v, а а Қатты дененің қозғалмайтын тұрақты өсті айнала қозғалысы : Егер қозғалыстағы дененің кем дегенде екі нүктесі қозғалмайтын болса, онда мұндай дене тұрақты (қозғалмайтын) ӛстен айналмалы қозғалыста болады. Дененің кез келген уақыттағы орнын анықтайтын айналу (бұрылу) бұрышы деп аталатын жазық бұрышы мен уақыттың арасындағы байланыс: = (t) дененің қозғалмайтын ӛстен айналмалы қозғалысының теңдеуі немесе айналу заңы болып табылады.
5 Дененің айналу бұрышы уақыттың ӛтуіне қарай ӛзгеру тездігін белгілейтін бұрыштық жылдамдық векторы: k. мұндағы теңдіктегі - k - айналу ӛсінің бірлік векторы, - алгебралық бұрыштық жылдамдық. Бұрыштық жылдамдық векторын айналу ӛсі бойымен бағыттайды және осы вектордың ұшынан бақылаушы дененің айналуы сағат тілі айналуына қарама-қарсы бағытта екенін кӛреміз, яғни векторының бағыты оң бұранда ережесімен анықталады. Бұрыштық жылдамдықтың ӛзгеруін бұрыштық үдеу векторы сипаттайды: k Бұрыштық үдеу векторы айналу ӛсінің бойымен бағытталады. Дененің үдемелі айналмалы қозғалысында және векторлары бағыттас, ал кемімелі қозғалысында қарама-қарсы болады. Бұрыштық жылдамдық ӛлшемі - рад/с, бұрыштық үдеу ӛлшемі - рад/с. Тұрақты ӛсті айнала қозғалысының дербес жағдайлары. Егер айналмалы қозғалыстың барлық кезеңінде бұрыштық жылдамдық тұрақты сost болса, онда айналмалы қозғалыс бірқалыпты болады. Мұндай қозғалыс теңдеуін () формуласынан анықталған интеграл табу арқылы анықталады: = 0 + t Егер айналмалы қозғалыстың барлық кезеңінде бұрыштық үдеу тұрақты сost болса, онда айналмалы қозғалыс бірқалыпты айнымалы (үдемелі немесе кемімелі) болады. Дененің айналысының бірқалыпты айнымалы заңы келесі түрде болады: о t 0 0 t t айналу бұрышы мен N айналым саны және бұрыштық жылдамдық пен айн техникада жиі кездесетін айналу жиілігінің п, араларындағы механика мин есептерін шығаруда пайдаланатын байланыстар: N,. 60 0
5 йналмалы қозғалыстағы дене нүктелерінің жылдамдықтары мен үдеулері Дене айналғанда, оның барлық нүктелері радиусы h-қа тең жазықтығы айналу ӛсіне перпендикуляр болатын шеңбер сызады. Бұл шеңбердің О центрі айналу ӛсінде жатады. йналмалы қозғлыстағы дене нүктесінің жылдамдығы дененің бұрыштық жылдамдығы мен нүктенің айналу ӛсіне дейінгі қашықтығының кӛбейтіндісіне тең: v = h Жылдамдық векторы шеңбердің нүктесінен жүргізілген жанаманың бойымен айналу бағытына қарай бағытталады. Жалпы жағдайда айналмалы қозғалыстағы дене нүктесінің үдеуі бір біріне перпендикуляр екі құраушылардан тұрады. Шеңбер бойымен қозғалған нүктенің жанама үдеуі және оның нормаль үдеуі: a = h a = h. Нүктенің толық үдеу векторының модулі a = h..7 Қатты дененің жазық-параллель қозғалысы Қатты дененің жазық-параллель қозғалысы деп, дененің барлық нүктелері қозғалмайтын деп алынған негізгі жазықтыққа параллель жүргізілген жазықтықтардағы қозғалысын айтады немесе дене нүктелері қозғалмайтын жазықтыққа параллель жүргізілген ӛз жазықтықтарында қозғалыста болады.
5 Дененің мұндай қозғалысын қарапайым түрге келтіруге болады, яғни негізгі жазықтыққа параллель қимасының ӛз жазықтығындағы қозғаласы қарастырылады. Жазық қиманың қозғалысын бір мезгілде екі қозғалыстың қосындысынан тұрады деп қарастыруға болады. Оның біреу жазық қиманың полюс деп алынған кез келген бір нүктесімен ілгерілей қозғалуы; екіншісі сол полюс тӛңерегіндегі оның айналмалы қозғалысы. Жазық қиманың айналмалы қозғалысындағы бұрыштық жылдамдық пен бұрыштық үдеу полюсті таңдауымыздан тәуелсіз шамалар. Жазық қиманың орны хоу жазықтығында кез келген кесіндісінің орнымен анықталады. Кесіндінің орнын білу үшін нүктесінің координатасымен бұрышы берілсе жеткілікті. Қозғалыс барысында бұл шамалар уақытқа байланысты ӛзгереді, яғни x = x(t), y = y(t), =(t) бұл дененің жазық-параллель қозғалысының кинематикалық теңдеуі. Өз жазықтығында қозғалып бара жатқан жазық қима нүктелерінің жылдамдықтарын анықтау. Жазық қима нүктесінің жылдамдығын полюс арқылы анықтау. Жазық фигураның кез келген М нүктесінің жылдамдығы полюс деп алынған нүктесінің жылдамдығы мен осы М нүктесінің полюс тӛңерегіндегі салыстырмалы айналмалы қозғалысындағы сызықтық жылдамдығының геометриялық қосындысына тең: v M v v М М Есеп шарты бойынша қай нүктенің жылдамдығы белгілі, сол нүктені полюс ретінде қабылдайды.
55 М жылдамдығының векторы қозғалып бара жатқан фигура жазықтығында жатады және оның модулі тең болады: v М М Нүкте жылдамдығының екі құраушысын векторларды қосу ережесі бойынша қосады (геометриялық немесе аналитикалық әдіспен). Жазық қима нүктесінің жылдамдығын проекция әдісі бойынша анықтау. Теорема: Жазық қиманың кез келген екі нүктесінің жылдамдықтарының осы нүктелерді қосатын түзуге проекциялары ӛзара тең болады. v, v cos v cos. Х v Х Жазық қима нүктесінің жылдамдығын лездік жылдамдықтар центрі арқылы анықтау. Теорема: Әрбір жеке уақыт кезеңінде ӛз жазықтығында қозғалатын жазық қиманың жылдамдығы нӛлге тең бір ғана нүктесі болады. Бұл нүкте жазық қиманың лездік жылдамдықтар центрі деп аталады (Р нүктесі). ЛЖЦ-нің орнын анықтау тәсілдері (сурет ).
56.8 5-ші есеп. Жазық тетігінің кинематикалық сипаттамаларын табу Схемада кӛрсетілген тетік орнына сәйкес және С нүктелерінің жылдамдықтары мен үдеулерін және осы нүктелер жататын буынның бұрыштық жылдамдығы мен бұрыштық үдеуін табындар. Тетіктер схемалары.(а,б,в,г)-суреттерде, ал есептеуге керекті шамалардың мәндері.-кестеде кӛрсетілген..-кесте 5-ші есептің шарттары ариант нӛмірі Ӛлшемдер, см O r B C O, рад/с I, рад/с O, ðàä/ñ, ñì/ñ a, см/с 0 5-8 - - - 0 5-8 - - - - 50 - - - - - 50 00 5 - - 5-8 - - 5 5 - - 0 - - - 6 0 5-6 0 - - 7 5-75 60 5-0 - - 8 - - 0 0 - - - 0 0 9 - - 5 0 - - - 0 0 0 5-80 0 - - - - - 0 5 - - - 0 0 - - 0 0 - - - 0 0 5-55 0 - - 0 5 5-8 0-0 5 0 5-8 - - 0 6 55 0 - - - 5-0 7-0 - 0 - - - 80 50 8 0-0 5-6 - - 9 0 5-0,5 0 - - 0 - - 0 - - - 0 5 0-60 5-8 - - 5-60 0-0 - - - - 60 0 - - - 5 0 5-5 5 - - - 5 0-70 0 - - - 6 0 5-0, 0 - - 7-5 - 5 - - - 60 0 8 0-50 5 - - -
57.(а)-сурет
58.(б)-сурет
59.(в)-сурет 5-ші есептің шығару үлгісі. Тетік схемасының орны (.-сүрет), есептеуге қажетті шамалар O = 0 см, C = 0 см, С=С, ω O = 5 рад/с, ε O = 0 рад/с. Табу керек:,, a, a,, B C B C B B
60 С О О О.-сурет Есеп шешімі : ) Нүкте қозғалысы жылдамдықтары мен буынның бұрыштық жылдамдығын анықтау. О айналшақта жататын нүктесінің жылдамдығы: O O. Р нүкте жылдымдығының бағыты О айналшаққа перпендикуляр. жылжыманың жылдамдығы О сызықтың бойымен бағытталған. бұлғақтың лездік жылдамдықтар центрі P B мен B нүктелерінен осы нүктелер жылдамдықтарына жүргізілген перпендикулярлардың қиылысында жатады. B бұлғақтың бұрыштық жылдамдығы: Â Ñ С À B B C. P BP CP B B B Р, Р и СР арақашықтықтары СР и Р тікбұрышты үшбұрыштарды қарастырудан табылады : P =O=0 см, P = 0 см, СP = 0 5 см..-сурет О О
6 Табылған мәндері ескерсек, 00 ñì/ñ, 5 рад/с B ; B 00 ; C 00 5. c векторы СР кесіндісіне перпендикуляр, ал бағыты бұлғақтың айналу бағытымен бірдей. ) B буынның бұрыштық үдеуін және оның, B нүктелерінің үдеулерің табу. нүктенің үдеуі жанама және нормаль құраушы үдеулердең тұрады: a a a Келтірілген формулар бойынша шамаларды табамыз: немесе a a O O O 00 ñì/ñ O 000 ñì/ñ. Жазық пішін нүктелерінің үдеуі туралы теоремаға сай: a a B B a a a a B a a B B a, B. (.6) a a  a a  à Â С ε a a ε О О бұлғағының полюс арқылы айналмалы қозғалысындағы нүктесінің нормаль үдеуі: a B 000 см/с B B.5-сурет a векторы нүктесінен О нүктеге бағытталған және a векторына перпендикуляр, ал бағыты векторына қарсы, себебі O айналшақтың аналуы кемімелі.
6 a B векторы B нүктесінен нүктесіне бағытталған, ал a B векторы B кесіндісіне перпендикуляр. B нүктесінің үдеуі мен үдеу бағыты ғана белгілі: a B векторы жылжыма бойымен қозғалады, ал a B векторы кесіндісіне перпендикуляр. Осы белгісіз шамалардың бағыттары.5 сүреттегідей болады. Үдеу векторын ӛз түзуінің бойымен кез келген бағытта алуға болады. Есеп жауабындағы таңба суретте кӛрсетілген векторлардың бағытының дұрыс емес екендігін кӛрсетеді..5-сүретте кӛрсетілген x және y ӛсьтеріне (.6) теңдеудің екі жағын проекциялайық: a cos5 a a, (.7) B B a B si 5 a B a. (.8) (.7) теңдеуден a B 000 00 960 ñì/ñ. (.8) теңдеуден a B a a B 000 00 00 ñì/ñ. a үдеуінің бағыты.5-суреттегідей, ал B бағытқа қарама-қарсы. B бұлғақтың бұрыштық үдеуі: B a B B 00 0 ðàä/ñ. 0 a B бағыты суреттегі кӛрсетілген полюсіне қатысты үдеу бағыты бұрыштық үдеудің бағытын анықтайды. Қарастырылып отырған жағдайда, бұрыштық үдеудің бағыты бұлғағының айналу бағытына қарсы. C нүктесінің үдеуі: a C a a a C a C.
6 ÀÂ С a a Ñ a Ñ a a a х у ε О О.6-сурет Мұндағы: a a C B C 0 0 00 см/с ; C B C 5 0 500 см/с. a C векторы a Cвекторына перпендикуляр, бағыты бұрыштық үдеу бағытына сәйкес, ал С нүктесінің үдеуін проекциялар әдісімен табамыз (.6- сурет). a C a a Cx Cy. Есептеу нәтижесінде: a Cx 900см / с, a Cy 00см / с, a C 500 см/с..9 6-шы есеп. Көпбуынды механизмді кинематикалық талдау Жазық механизм ӛзара топсалармен қосылған О,, E, О ӛзектерден және Е сырғақтан тұрады, сүрет.7(а,б,в,г). Механизм тұрақты О, О тіректерге де топса арқылы бекітілген. нүкте ӛзектің ортасында орналасқан. Ӛзектердің ұзындықтары сәйкес О = 0, м, =, м, Е =, м, О = 0,6 м. Механизмнің тұрған қалпы, β, γ, φ, θ бұрыштар арқылы анықталынады. Бұл бұрыштар мен басқа берілген шамалардың мағыналары. кестеде берілген. ω О, ε О = 7с - - тұрақты шама. Кестенің «нықтауға жататыны» деген қатарында кӛрсетілген шамаларды табу қажет.
6 Суреттердегі доғалы нұсқаулар механизмнің сызбасын салғанда сәйкес бұрыштардың бағыттарын кӛрсетеді: сағат тілінің бағытымен немесе оның бағытына қарама қарсы. Сызбаны бағыты бұрышпен кӛрсетілген ӛзектен бастау керек. Берілген бұрыштық жылдамдықты сағат тілінің бағытына қарсы деп санау қажет.. О β θ О γ E. О γ θ О β E φ φ. E φ. О β О θ β γ О φ E γ θ О 5. φ О E β γ θ О 6. О θ γ β E φ О.7(а)-сурет
65 7. E φ θ γ О β О 8. О β О γ θ φ E 9. θ γ E φ 0. E φ β О О β О γ θ О. φ. О E γ О θ β О О γ θ β E φ О.. E β О γ θ θ γ О β E φ О φ.7(б)-сурет
66 5. φ 6. О О γ β θ О E φ E β θ О γ 7. γ О 8. E φ θ β О θ γ О E φ β О 9. E О γ θ β О 0. φ E β θ γ О φ О. φ E О γ β θ О. О γ θ β О E φ.7(в)-сурет
67. О φ γ E β θ О. О θ β E γ О φ 5. φ E β О γ θ О 6. О О θ β γ E φ 7. О β 8. О β О γ θ φ E О θ γ E φ 9. О О β γ θ φ E 0. φ E γ β О θ О.7(г)-сурет 6-шы есептің схемалары.
.-кесте 6-шы есептің шарттары. 68 арианттың Бұрыштар, град. Берілгені нықтауға жататыны β γ φ θ ω О V нүкте лердің ω түйін нің а нүкте нің ε түйін нің 0 60 0 0 0 6, Е 90 0 50 0 0, Е 0 60 0 0 0 5, Е 0 0 60 0 50, Е 5 60 50 50 90 0 5, Е 6 90 0 0 90 60 6, Е 7 90 50 0 90 0, Е 8 0 60 60 0 0, Е 9 60 50 0 90 0, Е 0 0 0 50 90 60 8, Е 0 0 50 0 60 8, Е 0 0 0 90 50, е 0 60 90 0 0, Е 60 50 0 90 0, Е 5 0 50 0 0 60 6, Е 6 0 0 0 0 60, Е 7 90 0 90 90 60 0, Е 8 0 50 90 0 0 5, Е 9 0 0 0 0 60, Е 0 90 0 0 90 50 6, Е 60 60 60 90 0 5, Е 60 50 0 90 0 5, Е 0 60 0 0 0, Е 90 0 50 0 0 0, Е 5 60 50 50 0 50, Е 6 0 0 5 0 60, Е 7 0 0 60 0 60 8, Е 8 0 0 0 90 50, Е 9 90 0 90 60 90, Е 0 0 60 90 0 0 6, Е
69 6-шы есептің шығару үлгісі. E β θ О О γ φ Механизм ӛзара топсалармен қосылған,,, ӛзектер мен сырғақтан құрастырылған (.8-сурет), ал О және О тіректерге де топсалар арқылы бекітілген. Берілгені: = 60º, β = 50º, γ = 90º, φ = 0º, θ = 0º, = B, l =0,м, l =, м, l =, м, ω = с - (ω дің бағыты сағат тіліне қарсы). нықтауға қажеті: V B. V E. ω. a B..8-сурет. Есеп шешімі :. Механизмнің берілген қалпы. Механизмнің орнын берілген бұрыштарға сәйкес келтіріп суретке саламыз (.9-сурет).. V B жылдамдықты анықтау. нүкте ӛзекке жатады. V B жылдамдықты табу үшін бұл ӛзектің басқа бір нүктесінің жылдамдығы және V B -ның бағыты белгілі болулары керек. Есептің берілген шарттары бойынша, ω дің бағытын ескере тұрып, V жылдамдықты анықтаймыз: V = ω l = 0,8 м/c; V O. (.9) V B жылдамдықтың бағытын анықтау үшін нүкте бағыттаушы бойымен ілгерілемелі қозғалатын сырғаққа да жататынын ескеру қажет.енді, V жылдамдықты және V B ның бағытын біле тұрып, дененің ( ӛзектің) екі нүкте жылдамдықтарының сол нүктелерден ӛтетін түзудегі проекциялары туралы теореманы қолданамыз. лдымен бұл теорема арқылы V B вектордың қай жаққа бағытталғанын анықтаймыз (жылдамдықтар проекцияларының таңбалары бірдей болу керек. Содан кейін, осы проекцияларды санап, керек жылдамдықты табамыз: V B cos0º = V cos60º және V = 0,6 м/с. (.0). V Е жылдамдықты анықтау. Е нүкте E ӛзекке жатады. Сондықтан, осыдан ілгергіге сәйкес, V B жылдамдықты табу үшін, алдымен ӛзекке де бірдей жататын нүктенің жылдамдығын анықтау керек. Ол үшін, V мен V B жылдамдықтарды біле тұрып, ӛзек жылдамдықтарының лездік орталығын (ЖЛО) анықтаймыз; ол V мен V B жылдамдықтарға мен
70 нүктелерден ӛткен перпендикулярлар қиылысқан С нүкте (V жылдамдыққа ӛзек перпендикуляр болып келеді). О х С E 50º V a τ a ε ω 0º 60º V ω 90º a B V E V B a B φ ω a B τ С у.9-сурет. V вектордың бағыты бойынша ӛзектің С жылдамдықтар лездік орталығына қатысты айналу бағытын анықтаймыз. V вектор, мен С нүктелерді жалғастыратын С кесіндіге перпендикуляр болып келеді де айналу жаққа қарай бағытталады. V шамасын келесі пропорциядан табамыз: V / С = V / С. (.) С мен С шамаларын санап алу үшін, С - тікбұрышты үшбұрыш екенін ескереміз, ӛйткені оның сүйір бұрыштары 0º и 60º, ал С = si0º = 0,5 =. Сонда С тең қабырғалы үшбұрыш болып келеді және С = С. Нәтижесінде (.0) теңдеуден анықтағанымыз: V = V B = 0,6 /c; V C. (.). а үдеуді анықтау. нүкте ӛзекке жатады. а ны табу үшін ӛзектің басқа бір нүктесінің үдеуін және нүктенің траекториясын білу керек. Есеп шарттары бойынша а = а τ + а -ны анықтай аламыз. Онда а τ = ε l =,8 м/с ; а = ω l =,6 м/с. (.)
7 а вектор О бойымен бағытталған, ал а τ О -ге перпендикулярболады; бұл векторларды сызщбаға саламыз. нүкте сырғаққа да жатқан салдарынан а сырғақтың бағыттаушысына параллель келеді. а векторды, оның V B бағытымен бағыттас екенін ескере тұрып, сызбаға саламыз. а үдеуді анықтау үшін келесі теңдеуді пайдаланамыз: а = а τ + а + а τ + а. (.) a B ( нүктеден нүктеге дейін бойымен) мен a τ B (қай жаққа болса да -ға перпендикуляр) векторларды сызбаға бейнелейміз; сан жағынан a B = ω l. лдында анықталған ӛзек жылдамдықтар лездік орталығы арқылы ω -ті табамыз: ω = V / C = V / l cos0º = 0,66 c - және a B = 0,6 м/с. (.5) Сонымен, (.) теңдеуге кіретін а мен а τ шамалардың тек қана сан мағыналары белгісіз; оларды, (.) теңдеудің екі жағын да кейбір екі осьтерге проекциялап алып, анықтауға болады. а үдеуді анықтау үшін (.) теңдеудің екі жағын да белгісіз а τ векторге перпендикуляр болып келетін бағытқа проекциялаймыз (х осі). Сонда шығарып алатынымыз а сos0º = a τ cos60º - a cos0º + a B. (.6) (.) және (.5) теңдеулерден бар шамалардың сандарын (.6) теңдеуге қойып, санап шыққанда алатынымыз а = 0,7 м/с. (.7) а > 0 болып шыққан соң, а вектордың бағыты.-суретте кӛрсетілгендей болып келеді. 5. ӛзектің ε бұрыштық жылдамдығын анықтау. ε -ті табу үшін алдымен а τ -ны анықтаймыз. Ол үшін (.) теңдеудің екі жағын ға (у осі) перпендикуляр бағытқа проекциялаймыз. Сонда шығарып алатынымыз - а si0º = a τ si60º + a si0º + a τ B. (.8) (.7) және (.) теңдеулерден бар шамалардың сандарын (.8) теңдеуге қойып, санап шығаратынымыз а τ = -,58 м/с. Минус таңбасы а τ ның нақты бағыты.9 суретте кӛрсетілген бағытқа қарама-қарсы келеді деп кӛрсетеді.
Енді келесі теңдеуден: 7 а τ = ε l шығаратынымыз ε = а τ / l =,56 с -. Жауабы: V B = 0,6 м/c; V E = 0,6 м/c; ω = 0,67 c - ; a B = 0,7 м/c ; ε =,56 c -..0 Нүктенің күрделі қозғалысы Егер нүкте екі немесе одан да кӛп қозғалысқа қатысатын болса, онда нүктенің мұндай қозғалысын күрделі қозғалыс дейді. Күрделі қозғалысты зерттеу үшін әдетте бірі қозғалмайтын (O x y z ), ал екіншісі кез келген түрде қозғалыс жасайтын, жылжымалы координаталар жүйелері енгізіледі (Oxyz). Нүктенің жылжымалы жүйеге қатысты қозғалысын салыстырмалы қозғалыс, оның қозғалмайтын жүйеге қатысты қозғалысын абсолют қозғалыс, ал нүктемен бірге жылжымалы жүйенің қозғалмайтын жүйеге қатысты қозғалысын тасымал қозғалыс дейді. Жылдамдықтарды қосу туралы теорема: z х х o M r O z y O d d v dt dt O y r, ix jy kz r. O di dj dk dx dy dz ( x y z) (i j k ) ; dt dt dt dt dt dt i, j,k - жылжымалы координаталық жүйенің орттары (бірлік векторлар), орт ӛстің тӛңерегінде айналмалы қозғалыс жасайды, сондықтан оның ұшындағы di жылдамдық болады e i және с.с. : dt
7 do dx dy dz v e (ix jy kz) (i j k ), ; dt dt dt dt dx dy dz i j k ivrx jvry kv rz vr салыстырмалы жылдамдық. dt dt dt v v r v ; O e r Тасымал жылдамдық: ve vo e r, сондықтан нүктенің абсолют жылдамдығы тасымал (v e ) және салыстырмалы (v r ) жылдамдықтардың геометриялық қосындысына тең, яғни v v e v r, ал модуль шамасы: v ve vr vevr cos(v e,vr ) немесе проекция әдісі де қолданылады. Үдеулерді қосу туралы теорема (Кориолис теоремасы): a a е a r a c, мұндағы a c e vr Кориолистік үдеуі. Кориолис теоремасы: күрделі қозғалыстағы нүктенің абсолютті үдеуі тасымал, салыстырмалы және кориолистік үдеулердің геометриялық қосындысына тең. Кориолис үдеуі салыстырмалы қозғалыстағы тасымал, тасымал қозғалыстағы салыстырмалы жылдамдықтың ӛзгеруін сипаттайды. Кориолистік үдеудің модулі мен бағыты. Кориолистік үдеудің модуль шамасы мен бағыты екі вектордың векторлық кӛбейтіндісі ережесімен анықталады. Үдеудің модулі: а с = e v r si( e^v r ), бағыты Н.Е. Жуковский ережесі бойынша анықталады: салыстырмалы жылдамдық векторын тасымал бұрыштық жылдамдық векторына перпендикуляр жазықтыққа проекциялап, одан кейін бұл проекцияны тасымал бұрыштық жылдамдық векторының айналыс бағытындағы 90 о бұрышқа бұрамыз. v r v r si 90 о а с