Θέματα πανελληνίων διαγωνισμών Ε.Μ.Ε. Β γυμνασίου Θαλής

Θέματα πανελληνίων διαγωνισμών Ε.Μ.Ε. Β γυμνασίυ Θαλής 1995-1996 Κ, 3cm. Με κέντρ τ σημεί Λ τυ κύκλυ να χαράξετε δεύτερ κύκλ Λ, 3cm. Η διάκεντρς ΚΛ τέμνει τν Κ στ Α και τν Λ στ Β, αν πρεκταθεί. Να κατασκευάσετε τις ακτίνες ΚΓ, ΛΔ κάθετες στην ΚΛ και πρς τ αυτό μέρς της ΚΛ. (α) Τι είδυς είναι τα σχήματα ΚΛΔΓ, ΑΓΔ, ΑΔΒ, ΑΚΔΓ, ΑΓΔΒ; (β) Να υπλγίσετε τα εμβαδά των πέντε σχημάτων. (1) Να χαράξετε κύκλ () Αν α 0 και α 1 να υπλγίσετε τ άθρισμα: 1 1 1 1 1 Α...... 1995 1994 0 1994 1995 α 1 α 1 α 1 α 1 α 1 (3) Πις από τυς αριθμύς Α, Β είναι μεγαλύτερς; (α) Α 1995 1996, Β 1996 1995 1 1 1 (β) Α 1... 1 3 99 100, Β 0,0100001 5555553 6666665 (γ) Α, Β 5555557 6666669 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Α 1... 1... 1 3 99 100 1 3 99 100 1 1 1 1 1 1 1 0,01 Β 100 100 100 5.555.553 5.555.555 5 1.111.111 5x Α 5.555.557 5.555.555 5 1.111.111 5x, θέτντας 1.111.111 x Επίσης: 6.666.665 6.666.666 1 6 1.111.111 1 6x 1 Β, θέτντας 1.111.111 x 6.666.669 6.666.666 3 6 1.111.111 3 6x 3 (4) Έχετε 00 αυγά τα πία θέλετε να τπθετήσετε σε καλάθια κατά τρόπ, ώστε να περιέχυν διαφρετικό αριθμό αυγών. Πις είναι μέγιστς αριθμός καλαθιών πυ μπρείτε να χρησιμπιήσετε σε αυτή τη διαδικασία; 1996-1997 (1) Έστω ι αριθμί α, β με 1 α, 5β 1, 5α 1 β 6. Να βρείτε τη τιμή της παράστασης: 114 3α β α β 5 3 5α β 1 Α α β 4 3β 1 α 5β Σελίδα 1 από 14

() Κάπις μαθητής έβαλε στ νυ τυ πέντε αριθμύς διαφρετικύς μεταξύ τυς ακεραίυς, θετικύς και αρνητικύς, πυ τ γινόμεν τυς ήταν 0. Να βρείτε τυς διαφρετικύς αυτύς ακέραιυς. (3) Στην ημιευθεία Οε θεωρύμε σημεία Α, Β, Γ ώστε ΟΑ OB 6m, OΓ 1m. Έστω Δ, Ε, Ζ τα μέσα των ΑΒ, ΒΓ, ΓΑ αντί- ΔΖ, ΕΓ. Τι παρατηρείται; στιχα. Να υπλγίσετε τα m, (4) Ένα τετράγων λέγεται «μαγικό» όταν τ άθρισμα των αριθμών σε κάθε ριζόντια γραμμή είναι ίσ με τ άθρισμα των αριθμών σε κάθε στήλη και επίσης ίσ με τ άθρισμα σε κάθε μια από τις δύ διαγώνιες. π.χ. εδώ αριστερά έχυμε 7 6 9 5 1... 15. Σε κάπι μαγικό τετράγων ι αριθμί έσβησαν και έμειναν μόν τ 7 και τ 13 όπως εδώ δεξιά. Να δείξετε ότι απαραιτήτως σε κάπια θέση τυ μαγικύ αυτύ τετραγώνυ υπάρχει αριθμός 1, ανεξάρτητα από τα πια είναι τα υπόλιπα νύμερα τυ. 13 7 1997-1998 (1) Γράφυμε τυς αριθμύς από τ 1990 έως τ 1997. Να εξετάσετε αν αριθμός πυ πρκύπτει είναι πρώτς. () Μια πδσφαιρική μάδα έχει 0 πδσφαιριστές, από τυς πίυς μικρότερς είναι 18 χρνών και μεγαλύτερς 33. Να εξετάσετε αν υπάρχυν δύ πδσφαιριστές με την ίδια ηλικία. (3) Θεωρύμε τ τραπέζι ΑΒΓΔ ΑΒ //ΓΔ με ΑΒ 10cm και ΓΔ 5cm και Μ τυχαί σημεί της βάσεις ΑΒ. Να βρείτε τη σχέση τυ εμβαδύ τυ τριγώνυ ΓΔΜ με τ μέρς τυ τραπεζίυ πυ περισσεύει. Σελίδα από 14

(4) Στ σχλεί διργανώνεται ένας διαγωνισμός χρύ, στν πί θα συμμετέχυν μόν ζευγάρια (αγόρι κρίτσι). Δηλώνυν συμμετχή ζευγάρια πυ σχηματίστηκαν από τα 8 τυ συνλικύ αριθμύ των 13 αγριών και τα τυ συνλικύ αριθμύ των κριτσιών. Να πρσδιρίσετε τ πσστό των μαθητών πυ λαμβάνυν μέρς στ 3 χρό. 1998-1999 (1) Στ σχήμα, Αx //Δy Να υπλγίσετε τ άθρισμα των γωνιών ˆΑ, ˆΒ, ˆΓ, ˆΔ. () Ένα δχεί, όταν είναι κατά 30% άδει, περιέχει 0 λίτρα περισσότερ από την περίπτωση πυ θα ήταν κατά 30% γεμάτ. Πόσα λίτρα περιέχει τ δχεί όταν είναι πλήρες; (3) Ν απδειχτεί ότι αριθμός 3 4444410 16 Α είναι ακέραις και να βρεθεί ακέραις αυτός. 3 4444410 16 Α (4) Ν απδειχτεί ότι αριθμός Α 1998 1997 1996 1995... 1 είναι πλλαπλάσι τυ 1999. 1999-000 (1) Πάνω σε μια ευθεία (ε) θεωρύμε τα διαδχικά σημεία Α, Β, Γ. Έστω Μ είναι τ μέσν τυ ΑΒ και Ν είναι τ μέσν τυ ΒΓ. Να υπλγίσετε τ μήκς τυ τμήματς ΜΝ, όταν: (α) ΑΒ 8cm, ΒΓ 10cm (β) ΑΒ 10cm, ΑΓ 18cm Σελίδα 3 από 14

() Στ παρακάτω σχήμα δίνεται ότι: (α) ε 1 // ε // ε3 (β) ΓΔ ε 1 (γ) ΑΕ ΕΔ (δ) ω 30, φ 50 Να βρείτε τις γωνίες τυ τετραπλεύρυ ΑΒΓΔ. (3) Δίννται ι αριθμί: 500 998 499 1.000 3 1 Α 3 Β 3 Να συγκρίνετε τυς αριθμύς ν ν 1, ν άρτις φυσικός ν 3 Α και Β. 000-001 (1) Δίννται ι παραστάσεις 4 3 Α 5 : 1 και Β 5 4 : 3 1 Να βρείτε τις παραστάσεις Α, Β και να συγκρίνετε τυς αριθμύς Α 0Β, Β Α. () Τυ τραπεζίυ ΑΒΓΔ ΑΔ //ΒΓ (α) ΑΒ ΓΔ 1 μέτρα (β) Η περίμετρς τυ 54 μέτρα (γ) Τ εμβαδόν τυ Ε 10 τ.μ. Να βρείτε τ ύψς τυ υ. δίννται: (3) Στ σχήμα δίννται: (α) ε // ε 1 (β) ΑΒ ΑΓ και ΒΑΓ ˆ 0 (γ) Η ΒΔ είναι διχτόμς της γωνίας ΑΒΓ ˆ (δ) ΓΔ ΑΓ Να βρείτε τις γωνίες φ ΓΔΕ ˆ, θ ΑΕΔ ˆ και ω. Σελίδα 4 από 14

180 0 160 Έχυμε ΑΒΓ ˆ ΑΓΒ ˆ 80 80, πότε ΓΒΔ ˆ 40 Επειδή η γωνία φ είναι εξωτερική στ τρίγων ΔΒΓ θα έχυμε: ˆ ˆ φ ΔΒΓ ΒΓΔ 80 40 10. Επειδή είναι ε 1 //ε έπεται ότι θ ΔΒΓ ˆ 40, ως εντός εναλλάξ γωνίες. Επιπλέν έχυμε: ω ΑΖΓ(ως ˆ κατά κρυφή γωνίες) 90 ΖΑΓ(γιατί ˆ ΓΖ ΑΓ) 90 80 10 Οι ευθείες ΒΕ και ΓΖ δεν είναι παράλληλες, γιατί ι δύ εντός και επί τα αυτά γωνίες φ και ΑΓΖ ˆ πυ σχηματίζυν τεμνόμενες από την ΑΓ έχυν άθρισμα φ ΑΓΖ ˆ 10 90 10 180. (4) Δίννται ι παραστάσεις: 3 4 5.001 Α..., 3 4.000 1 1 1 1 Β 1... 3 4.000 Να βρείτε τν αριθμό Α Β. 001-00 (1) Να υπλγίσετε τις αλγεβρικές παραστάσεις: 10 6 1 9 3 3 3 Α : 3 : 3 3 5 3 Β 5 1 8 3 0 8 5 15. () Είναι γνωστό ότι τ αλεύρι αυξάνει τ βάρς τυ κατά τ ζύμωμα κατά 50%, ενώ τ ζυμάρι χάνει στ ψήσιμ τ 0% τυ βάρυς τυ. Να βρείτε πόσα κιλά αλεύρι πρέπει να χρησιμπιήσυμε για την παραγωγή 840 κιλών ψωμιύ. (3) Ο αγρός ΑΒΓΔΕΖ στ σχήμα απτελείται από τ τραπέζι ΑΒΕΖ με ˆΑ 90 και τ ρθγώνι ΒΓΔΕ με ΑΒ ΒΓ 60 m και ΑΖ 40 m. Τ εμβαδόν τυ αγρύ είναι 10.00 m. Να υπλγίσετε τ μήκς της πλευράς ΓΔ. Σελίδα 5 από 14

(4) Στ σχήμα τ τετράπλευρ είναι τραπέζι. Τ τρίγων ΕΒΓ είναι ισόπλευρ και τα ΑΒΕ και ΓΔΕ ισσκελή με ΒΑ ΒΕ και ΔΓ ΔΕ. Να υπλγίσετε τη γωνία ΒΑΔ ˆ ω. 00-003 (1) Να υπλγίσετε την τιμή της παράστασης: Κ 50 40 :10 5 100 4 0 9. () Ένα τετράγων πλευράς 4 διαιρείται με τέσσερις ευθείες παράλληλες ανά δύ πρς τις πλευρές τυ σε σχήματα, έτσι ώστε τα τέσσερα γραμμσκιασμένα από αυτά, όπως φαίνεται στ σχήμα, είναι τετράγωνα πλευράς 1. Πόσα είναι τα τετράγωνα πυ υπάρχυν στ σχήμα και πι είναι τ άθρισμα των εμβαδών τυς; 41 13 1 8 (3) Δίννται ι αριθμί: Α, Β 8, Γ 4 και Δ 3. (α) Να βρείτε πις από τυς αριθμύς αυτύς είναι μεγαλύτερς. (β) Να εκφράσετε τ άθρισμα Α Β Γ Δ ως γινόμεν πρώτων παραγόντων. (4) Στις Δημτικές εκλγές σε ένα Δήμ συμμετείχαν ι συνδυασμί Α, Β και Γ. Ονμάζυμε ν τν αριθμό των εγγεγραμμένων στυς εκλγικύς καταλόγυς ψηφφόρων. Συνλικά ψήφισε τ 75% τυ αριθμύ ν και όλα τα ψηφδέλτια ήταν έγκυρα. Ο συνδυασμός Α ψηφίστηκε από τ 39% τυ αριθμύ ν, ενώ συνδυασμός Β ψηφίστηκε από τ 7% τυ αριθμύ ν. Λευκά ψηφδέλτια δεν βρέθηκαν. Σελίδα 6 από 14

(α) Να εξετάσετε αν αρχηγός τυ συνδυασμύ Α εξελέγη Δήμαρχς, δηλαδή αν συνδυασμός τυ έλαβε πσστό μεγαλύτερ τυ 50% ως πρς τν αριθμό των εγκύρων ψηφδελτίων. (β) Να βρείτε τ πσστό των ψήφων τυ συνδυασμύ Γ ως πρς τν αριθμό των έγκυρων ψηφδελτίων. 003-004 (1) Να υπλγίσετε την τιμή της παράστασης: Α.415 4 10.003 3 () Αν παρατάξυμε τυς μαθητές ενός Γυμνασίυ σε τριάδες περισσεύυν. Αν τυς παρατάξυμε σε τετράδες ή σε πεντάδες επίσης περισσεύυν. Να πρσδιρίσετε τν αριθμό των μαθητών, αν γνωρίζυμε ότι είναι τριψήφις με άθρισμα ψηφίων 5. (3) Στ τραπέζι ΑΒΓΔ ΑΒ //ΓΔ τυ σχήματς δίννται ΔΑΒ ˆ ΑΒΓ ˆ ωˆ και ότι τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΑΓΔ είναι ι- σσκελή με ΑΒ ΑΓ και ΔΑ ΔΓ. (α) Να απδείξετε ότι η ΑΓ διχτμεί τη γωνία ΔΑΒ ˆ. (β) Να υπλγίσετε τη γωνία ˆω. (4) Η τιμή ενός πρϊόντς αυξήθηκε τ.001 (από 1-1-001 μέχρι 31-1-001) κατά 0%. Στη συνέχεια τ.00 μειώθηκε κατά 10%, ενώ τ 003 αναμένεται αύξηση κατά 5%. (α) Να πρσδιρίσετε τ πσστό επί τις εκατό, της μεταβλής της τιμής τυ πρϊόντς κατά την τριετία από 1-1-001 μέχρι 31-1- 003. (β) Αν η τιμή τυ πρϊόντς ήταν 1,60 την 1-1-001, πια θα είναι η τιμή τυ την 31-1-003; 004-005 (1) Να υπλγίσετε την τιμή της παράστασης: 3 3 Α 5 004 : 4 3 4 100 3. () Ένας τετραψήφις αριθμός Κ έχει όλα τα ψηφία τυ ίσα και τ ά- θρισμα των ψηφίων τυ είναι 0. (α) Να βρείτε τν αριθμό Κ. (β) Να βρείτε δεκαδικό αριθμό α και φυσικό αριθμό ν τέτιυς ώστε ν να ισχύει: Κ α 10, με 1 α 10. Σελίδα 7 από 14

(3) Στ σχήμα η ευθεία ΜΛ είναι κάθετη πρς την πλευρά ΒΓ στ μέσν Μ. Επιπλέν δίννται: ΜΓ 5 cm, ΜΛΓ ˆ 45, ˆ ΑΒΛ 30 και τ εμβαδόν Ε τυ τριγώνυ ΑΒΓ είναι ίσ με 35k cm. Να βρείτε: (α) Τις γωνίες ˆΑ, ˆΒ, ˆΓ τυ τριγώνυ ΑΒΓ. (β) Τ ύψς ΑΔ τυ τριγώνυ ΑΒΓ. (4) Η τιμή τυ πετρελαίυ στη Ν. Υόρκη ένα χρόν πριν στις 30/10/003 ήταν 3 $ τ βαρέλι, ενώ σήμερα είναι 54,4 $ τ βαρέλι. (α) Πόσ τις εκατό έχει αυξηθεί η τιμή τυ βαρελιύ σε σχέση με την τιμή πυ είχε ένα χρόν πριν; (β) Πόσα δλάρια πρέπει να μειωθεί η τιμή τυ βαρελιύ μέχρι 30/11/004 έτσι ώστε η τιμή πυ θα έχει τότε να είναι αυξημένη κατά 40% σε σχέση με την τιμή πυ είχε στις 30/10/003; 005-006 (1) Να υπλγίσετε τ 3,6% τυ αριθμύ: 4, 3 0,1 Α. 1 7 0,315 0,3 3 () Ο Γιώργς πήγε στ βιβλιπωλεί έχντας 0. Στ μαγαζί υπάρχυν δύ είδη μλυβιών. Η εξάδα τυ πρώτυ είδυς κόστιζε 1,17 ενώ η εξάδα τυ δεύτερυ είδυς κόστιζε 1,60. Πόσες εξάδες κάθε κατηγρίες πρέπει ω αγράσει Γιώργς έτσι ώστε να πάρει τα λιγότερα ρέστα; (3) Για πια ψηφία α και β διαιρείται δια τυ 45 αριθμός τυ πίυ η παράσταση στ δεκαδικό σύστημα αρίθμησης είναι 6α1β; (4) Έστω xoy ˆ μια γωνία 70, ΟΑ μια ημιευθεία πυ είναι κάθετς επί της Οx και ΟΒ μια ημιευθεία πυ είναι κάθετς επί της Οy. Να υπλγίσετε τα μέτρα των γωνιών ΑΟΒ ˆ, ΑΟy ˆ και ΒΟx ˆ. 006-007 (1) Να υπλγίσετε την παράσταση: 54 Α 111 64 15 5 :1 :11 1 6 Σελίδα 8 από 14

54 Α 111 64 15 5 :1 :11 1 6 Είναι δυνατόν ένα χαρτνόμισμα των 100 να ανταλλαγεί με 18 νμίσματα των και των 10 ; (3) Τ 6% τυ αριθμύ α 0 είναι ίσ με τ 4% τυ αριθμύ β. Να 9α 3β βρείτε την τιμή τυ κλάσματς: κ 6α β (4) Στ παρακάτω σχήμα είναι ΑΒ ΒΓ και η διχτόμς Γx της γωνίας ΑΓΔ ˆ είναι παράλληλη στην ΑΒ. Να υπλγίσετε τις γωνίες τυ τριγώνυ ΑΒΓ. 007-008 (1) Να υπλγίσετε την τιμή της αριθμητικής παράστασης: 13 1 007 Α 00 : 8 1 100 00 : 8 76 1 1 1 () Οι μαθητές ενός Γυμνασίυ μπρύν να παραταχθύν σε εξάδες, σε κτάδες και σε δεκάδες, χωρίς να περισσεύει κανείς. Τα πλήθη των μαθητών των τάξεων Α, Β και Γ είναι αριθμί ανάλγι πρς τυς αριθμύς 5, 4 και 3, αντίστιχα. Αν τ πλήθς των μαθητών τυ Γυμνασίυ είναι αριθμός μεγαλύτερς τυ 300 και μικρότερς τυ 400, να βρεθεί τ πλήθς των μαθητών κάθε τάξεις. (3) Ένας έμπρς αγόρασε 00 κιλά φράυλες με τιμή αγράς 3 τ κιλό. Κατά τη μεταφρά είχε απώλεια 10% στα κιλά πυ αγόρασε. Πόσ πρέπει να πυλήσει τ κιλό τις φράυλες ώστε να έχει κέρδς 0% επί της τιμής αγράς. (4) Στ τραπέζι ΑΒΓΔ τυ διπλανύ σχήματς η μεγάλη βάση ΒΓ είναι διπλάσια της μικρής βάσης ΑΔ. Αν τ εμβαδόν τυ τραπεζίυ είναι 300 cm και τ σημεί Κ είναι συμμετρικό τυ Α ως πρς την ευθεία ΒΓ (δηλαδή η ΒΓ είναι μεσκάθετς της ΑΚ), να υπλγίσετε: (α) τ εμβαδόν τυ τριγώνυ ΑΒΔ και (β) τ εμβαδόν τυ τετραπλεύρυ ΑΒΚΓ Σελίδα 9 από 14

008-009 (1) Να υπλγίσετε την τιμή της παράστασης: Α 4 5 008 : 4 3 3 5 49 10 4 () Στ διπλανό σχήμα η ευθεία Αy είναι παράλληλη πρς την πλευρά ΒΓ τυ τριγώνυ ΑΒΓ και διχτόμς της γωνίας ΓΑx ˆ. Δίνεται ακόμη ότι: ΒΑΓ ˆ 6 και ΑΒ ΑΔ. (α) Να βρείτε τις γωνίες ˆΒ και ˆΓ τυ τριγώνυ ΑΒΓ. (β) Να εξηγήσετε γιατί η ΒΔ είναι διχτόμς της γωνίας ΑΒΓ ˆ. 1 4 1 (3) Αν για τ θετικό ακέραι αριθμό α ισχύει;, να βρείτε τη 5 α 4 τιμή της παράστασης: Α α 5 4 α 3 α 4 1919 (4) Ένα Γυμνάσι συμμετέχει στην παρέλαση για την επέτει μιας Εθνικής Ερτής με τ 60% τυ αριθμύ των αγριών και τ 80% τυ α- ριθμύ των κριτσιών τυ. Τα αγόρια πυ συμμετέχυν, αν παραταχθύν σε τριάδες, τότε δεν περισσεύει κανείς, ενώ, αν παραταχθύν σε πεντάδες ή επτάδες, τότε και στις δύ περιπτώσεις περισσεύυν από τρεις. Όλα τα αγόρια τυ Γυμνασίυ είναι περισσότερα από 100 και λιγότερα από 00. Αν τ 80% των κριτσιών είναι αριθμός διπλάσις από τν αριθμό πυ αντιστιχεί στ 60% τυ αριθμύ των αγριών, να βρείτε τ συνλικό αριθμό των κριτσιών και αγριών τυ Γυμνασίυ. 009-010 1 (1) Αν α 4 και 5 3 5 β 5, να υπλγίσετε την τιμή της πα- ράστασης: 009 1 Α α : β β. 5α () Έστω α θετικός ακέραις τν πί διαιρύμε με 4. (α) Πιες είναι ι δυνατές μρφές τυ παραπάνω θετικύ ακέραιυ α; (β) Πιες είναι ι δυνατές τιμές πυ μπρεί να πάρει αριθμός α, αν είναι περιττός μεγαλύτερς από 39 και μικρότερς από 50, και διαιρύμενς με τ 4 δίνει υπόλιπ 1. Σελίδα 10 από 14

(3) Δίνεται ένα τρίγων ΑΒΓ τυ πίυ ι γωνίες ˆΒ και ˆΓ έχυν άθρισμα 140 και είναι ανάλγες με τυς αριθμύς 1 και 6, αντίστιχα. (α) Να βρείτε τις γωνίες τυ τριγώνυ (β) Να υπλγίσετε τη γωνία πυ σχηματίζυν τ ύψς και η διχτόμς τυ τριγώνυ ΑΒΓ πυ αντιστιχύν στην πλευρά τυ ΒΓ. (4) Από τυς μαθητές ενός Γυμνασίυ, τ 1 4 ασχλείται με τ στίβ, τ 1 5 ασχλείται με τ μπάσκετ, τ 1 ασχλείται με τ βόλεϊ και περισσεύυν και 80 μαθητές πυ δεν ασχλύνται με κανένα από αυτά τα 8 αθλήματα. Δεδμένυ ότι ι μαθητές τυ Γυμνασίυ ι ασχλύμενι με τν αθλητισμό, ασχλύνται με ένα μόν άθλημα, εκτός από 1 μαθητές πυ ασχλύνται και με τ μπάσκετ και με τ βόλεϊ, να βρείτε: (α) Πις είναι αριθμός των μαθητών τυ Γυμνασίυ; (β) Πόσι είναι ι μαθητές τυ Γυμνασίυ πυ ασχλύνται μόν με τ μπάσκετ; 010-011 3 5 3 (1) Έστω x 3 4 : 4 και y 4 5 4 7 3. (α) Να βρείτε τυς αριθμύς x και y. (β) Να πρσδιρίσετε τ μεγαλύτερ θετικό ακέραι Α, τυ πίυ ι αριθμί x και y είναι πλλαπλάσια. () Έστω α, β φυσικί αριθμί. Δίνεται ότι η Ευκλείδεια διαίρεση με διαιρετέ τν α και διαιρέτη τν β δίνει πηλίκ 6. Να βρείτε τν αριθμός α, αν επιπλέν γνωρίζετε ότι α είναι πλλαπλάσι τυ 7, ενώ αριθμός β είναι ΜΚΔ 16, 3, 48. (3) Δίνεται τρίγων ΑΒΓ. Οι διχτόμι των γωνιών Β και Γ τέμννται στ σημεί Ι. Η παράλληλη από τ Ι πρς την πλευρά ΑΒ τέμνει την πλευρά ΒΓ στ Δ ενώ η παράλληλη από τ Ι πρς την πλευρά ΑΓ τέμνει την πλευρά ΒΓ στ σημεί Ε. Αν είναι ΙΔΓ ˆ 70 και ΙΕΓ ˆ 130, να βρείτε: (α) τη γωνία ˆΑ τυ τριγώνυ ΑΒΓ. (β) τις γωνίες ΒΙΔ ˆ και ΕΙΓ ˆ. (4) Ένας αγρότης καλλιέργησε δύ κτήματα με ελαιόδεντρα. Τ ένα κτήμα είναι δικό τυ και έχει 80 ελαιόδεντρα, ενώ τ άλλ τ μισθώνει και έχει 10 ελαιόδεντρα. Η συνλική παραγωγή λαδιύ ήταν.600 κιλά λάδι. Αν είχε συμφωνήσει να δώσει στν ιδικτήτη τυ μισθωμένυ κτήματς τ 10% της παραγωγής λαδιύ τυ μισθωμένυ κτήματς, πόσα κιλά λάδι θα πάρει ιδικτήτης τυ μισθωμένυ κτήματς σε καθεμία από τις παρακάτω περιπτώσεις: Σελίδα 11 από 14

(α) Καθένα από τα ελαιόδεντρα των δύ κτημάτων παράγει τα ίδια κιλά λάδι. (β)κάθε ελαιόδεντρ τυ μισθωμένυ κτήματς έχει απόδση σε λάδι ίση με τ 150% της απόδσης σε λάδι κάθε ελαιόδεντρυ τυ κτήματς τυ αγρότη. 011-01 (1) Να υπλγίσετε την τιμή της παράστασης: 1 17 1 1 3 7 Α 1 : 5 1 7 14 7 6 3 () Αν ν είναι πρώτς φυσικός αριθμός και τ κλάσμα 10 ν παριστάνει φυσικό αριθμό, να βρείτε όλες τις δυνατές τιμές της παράστασης: ν ν Β : 1 ν 9 5 (3) Τρεις αριθμί α, β, γ είναι ανάλγι με τυς αριθμύς 3, 9, 11 αντίστιχα. Αν πάρυμε τν αριθμό γ ως μειωτέ και τν αριθμό α ως αφαιρετέ, τότε πρκύπτει διαφρά ίση με 56. Να βρεθύν ι αριθμί α, β και γ. (4) Δίνεται ξυγώνι τρίγων ΑΒΓ με ΑΒ ΑΓ και η διχτόμς τυ ΑΔ. Πρεκτείνυμε τη διχτόμ ΑΔ κατά ευθύγραμμ τμήμα ΔΗ έτσι ώ- στε ΑΔ ΔΗ. Από τ σημεί Η φέρνυμε ευθεία παράλληλη πρς την πλευρά ΑΒ πυ τέμνει την πλευρά ΑΓ στ σημεί Ε και την πλευρά ΒΓ στ σημεί Ζ. (α) Να απδείξετε ότι: ΑΔΕ ˆ 90 (β) Να βρείτε τη γωνία ΕΔΖ ˆ, αν γνωρίζετε ότι: Βˆ Γˆ 0. 01-013 (1) Να υπλγίσετε την τιμή της παράστασης: 5 44 39 A 18 : 11 5 5 5 6 3 11 () Αν κ είναι πρώτς θετικός ακέραις και διαιρέτης τυ μέγιστυ κινύ διαιρέτη των ακεραίων 1, 30 και 54, να βρείτε τις δυνατές τιμές τυ κ και της παράστασης: Σελίδα 1 από 14

κ 3 κ Β : 1 κ κ. (3) Ένας ελαιπαραγωγός έχει παραγωγή λαδιύ 800 κιλά. Για την καλλιέργεια τυ ελαιώνα πυ ξόδεψε 407 και για τη συγκμιδή τυ καρπύ από τις ελιές τυ ξόδεψε 1.050. Η πώληση τυ λαδιύ είναι,5 τ κιλό και κατά την πώληση τυ λαδιύ υπάρχυν κρατήσεις σε πσστό 6% πάνω στην τιμή πώλησης. (α) Να βρείτε πόσα κιλά λάδι πρέπει να πωλήσει παραγωγός για να καλύψει τα έξδα τυ. (β) Αν επιπλέν τ ελαιτριβεί (εργστάσι πυ παράγει τ λάδι) κρατάει για την αμιβή τυ τ 8% τυ παραγόμενυ λαδιύ, να βρείτε πόσα κιλά λάδι θα μείνυν στν παραγωγό μετά την πώληση λαδιύ για την κάλυψη των εξόδων τυ. 3 (4) Δίνεται τρίγων ΑΒΓ με ˆΑ 60 και ΑΓ ΑΒ. Παίρνυμε σημεί Ε πάνω στην πλευρά ΑΓ τέτι ώστε ΑΕ ΑΒ. Αν η διχτόμς της γωνίας ˆΑ τέμνει τ ευθύγραμμ τμήμα ΒΕ στ σημεί Δ, να βρείτε τις γωνίες τυ τριγώνυ ΔΕΓ. 013-014 (1) Να υπλγίσετε την τιμή της παράστασης: 16 1 74 A 3 1 : 4 53 3 4 : 9 8 9 () Ένας ικγενειάρχης πήρε από την τράπεζα ένα πσόν χρημάτων. Από αυτά ξόδεψε τ 0% για την αγρά ενός φρητύ ηλεκτρνικύ υπλγιστή. Στη συνέχεια, από τα χρήματα πυ τυ έμειναν ξόδεψε τ 15% για αγρά τρφίμων της ικγένεια. Αν τυ έμειναν τελικά 1.360, να βρείτε: (α) Πόσα χρήματα πήρε από την τράπεζα ικγενειάρχης. (β) Πόσα χρήματα στίχησαν τα τρόφιμα. (γ) Πι πσστό των χρημάτων πυ πήρε από την τράπεζα ξόδεψε συνλικά. (3) Δίνεται τρίγων ΑΒΓ στ πί η γωνία ˆΒ είναι διπλάσια της γωνίας ˆΓ. Η μεσκάθετη της πλευράς ΒΓ τέμνει την πλευρά ΑΓ στ σημεί Ε και η ευθεία ΒΕ τέμνει την ευθεία ε, πυ περνάει από τ σημεί Α και είναι παράλληλη πρς την πλευρά ΒΓ, στ σημεί Ζ. Να απδείξετε ότι: (α) ΑΖ ΑΒ (β) ΑΕΒ ˆ Βˆ Σελίδα 13 από 14

7 (4) Ο λόγς δυ φυσικών αριθμών είναι. Διαιρώντας τν μεγαλύτερ 5 αριθμό με τ 18, τ πηλίκ της διαίρεσης είναι ίσ με τν αριθμό 8, ενώ διαιρώντας τν μικρότερ αριθμό με τ 1 τ πηλίκ της διαίρεσης είναι ίσ με τν αριθμό 9. Αν γνωρίζετε ότι τ υπόλιπ της διαίρεσης τυ μεγαλύτερυ αριθμύ με τ 18 είναι πενταπλάσι τυ υ- πόλιπυ της διαίρεσης τυ μικρότερυ αριθμύ με τ 1, να βρείτε τυς δύ αριθμύς. Σελίδα 14 από 14