Θαλής 1998 Β Γυµνασίου Α=

Transcript

1

2 Να αποδείξετε ότι ο αριθµός είναι ακέραιος. Να βρεθεί ο ακέραιος αυτός. Θαλής 1998 Β Γυµνασίου Να αποδειχθεί ότι ο αριθµός Α= είναι πολλαπλάσιο του Θαλής 1998 Β Γυµνασίου 198

3 Να βρείτε τους φυσικούς αριθµούς x, y x 2 ( y+ 2) = αν Ευκλείδης 1998 Β Γυµνασίου Αν α, β, γ είναι αριθµοί τέτοιοι ώστε α+ β+ γ = 20 και 3α + 2β+ 3γ = 67, να προσδιορίσετε την τιµή της παράστασης Α= 2α + β+ 2γ 4α + 3β+ 4γ. ( )( ) Ευκλείδης 1998 Β Γυµνασίου Αν ( ) 1000 a= και β = να συγκρίνετε τους αριθµούς και β. 2 α Ευκλείδης 1998 Β Γυµνασίου 199

4 Να αποδείξετε ότι ο αριθµός A= δεν είναι τέλειο τετράγωνο. Ευκλείδης 1998 Β Γυµνασίου Για τον τριψήφιο αριθµό αβγ=100α+10β+γ, ξέρουµε ότι: το ψηφίο των εκατοντάδων ισούται µε το άθροισµα των ψηφίων των δεκάδων και των µονάδων.ii.β(γ+1)=52-4α Να βρεθεί ο αριθµός. Αρχιµήδης 1999 Μικροί 200

5 ίνονται οι αριθµοί: ν ν+ 1 A= ( 2), και B= 2 3, όπου ν άρτιος φυσικός αριθµός. Να συγκριθούν οι αριθµοί 3 Α ν και Β. Θαλής 1999 Β Γυµνασίου Να υπολογίσετε τον αριθµό α, β ), αν είναι α+ β α = , β = (µέσος όρος των Θαλής 1999 Β Γυµνασίου 201

6 ( 2) ν ( 2) Αν είναι Α= και Β=, όπου ν θετικός 2 2 2ν 2ν + 3 ακέραιος, να βρεθεί ποιος από τους αριθµούς Α, Β είναι µεγαλύτερος. ν Θαλής 1999 Γ Γυµνασίου ίνονται οι παραστάσεις A= 5 2 : B= 5 2 : Να βρεθούν οι Α και Β και να και ( ) ( ) συγκριθούν οι αριθµοί A 20B, 22B A. Αρχιµήδης 1999 Μικροί 202

7 ίνονται οι παραστάσεις: A= , B= Να βρείτε τον αριθµό A B. Θαλής 2000 Β Γυµνασίου ίνονται οι αλγεβρικές παραστάσεις: A= -5 2 : 1 2 ( ) ( ) + ( ) B= (-5) ( 2) 1 : Να βρείτε τους αριθµούς Α, Β και να συγκρίνετε τους αριθµούς A B, 25B 23A., Θαλής 2000 Γ Γυµνασίου 203

8 Αν για κάθε θετικό ακέραιο αριθµό ν ισχύει η ισότητα =, να υπολογίσετε το άθροισµα ν (ν+ 1) ν ν Σ= Ευκλείδης 2000 Β Γυµνασίου Αν ο αριθµός ν είναι θετικός ακέραιος, να αποδείξετε ότι ο 1 αριθµός Α= 1 δεν είναι ποτέ ακέραιος ν Ευκλείδης 2000 Β Γυµνασίου 204

9 (α) Να αποδείξετε ότι = ν (ν+ 1) (ν+ 2) ν ν+ 1 ν+1 ν+ 2, (β) Να υπολογίσετε το άθροισµα Σ= Ευκλείδης 2000 Γ Γυµνασίου Αν α, β, x, y είναι θετικοί πραγµατικοί αριθµοί τέτοιοι ώστε α+β=1, να αποδείξετε ότι 1 αx+βy. α β + x y Πότε ισχύει η ισότητα; Αρχιµήδης 2000 Μικροί 205

10 Οι αριθµοί m, n είναι ακέραιοι. (α) Να βρεθούν τα ζεύγη (m,n) που επαληθεύουν την εξίσωση m 4mn = 8n 2m n. (β) Από τα ζεύγη που θα βρείτε να προσδιορίσετε εκείνα 2 που ικανοποιούν την εξίσωση m+ n = 3. Αρχιµήδης 2000 Μικροί Να υπολογίσετε τις αλγεβρικές παραστάσεις Α = (2 : 2 ) 3 : (3 3) + 5 (2 + 3 ), B = 5 (2 1) + 8 (3 20) 8 (5 15). Θαλής 2001 Β Γυµνασίου 206

11 Να υπολογίσετε τις αλγεβρικές παραστάσεις 2ν 2ν Α = [( 1) + ( 1) ] (3 + 2 ), ( 3) ( 2) = + 2 Β ( 2) : ( 2), ( 4) όταν ο ν είναι θετικός ακέραιος. Θαλής 1999 Γ Γυµνασίου Να προσδιορίσετε την ελάχιστη τιµή της παράστασης 2 2 Α= α 10αβ+ 27β 8β+ 8. Για ποιες τιµές των α,β λαµβάνεται η ελάχιστη τιµή της παράστασης Α; Θαλής 2001 Γ Γυµνασίου 207

12 Να υπολογίσετε την παράσταση Α= [( 1) + ( 1) ] (2 3 ) + 5 : Ευκλείδης 2001 Β Γυµνασίου Να υπολογίσετε την τιµή της αριθµητικής παράστασης Α= 2002 [( 1) + ( 1) ] [( 2) ] Ευκλείδης 2001 Γ Γυµνασίου Να παραγοντοποιήσετε την παράσταση: Β= (2 + x+ x ) x. Ευκλείδης 2001 Γ Γυµνασίου 208

13 Να προσδιορίσετε τους µη αρνητικούς ακέραιους αριθµούς x,y,z µε x y z για τους οποίους ισχύει ότι: xy+ yz+ zx xyz= 2. Αρχιµήδης 2001 Μικροί Να υπολογίσετε την τιµή της παράστασης 2 K= :10+ 5 ( ) 92. Θαλής 2002 Β Γυµνασίου 209

14 ίνονται οι αριθµοί : A= 2, B= 8, Γ= 4 και = 32. (α) Να βρείτε ποιος από τους αριθµούς αυτούς είναι ο µεγαλύτερος. (β) Να εκφράσετε το άθροισµα Α+Β+Γ+ ως γινόµενο πρώτων παραγόντων. Θαλής 2002 Β Γυµνασίου Nα βρείτε την τιµή της παράστασης αν είναι β 1 β K =α (1 +α ) α 2 α 3 α= και β= 3. 2, Θαλής 2002 Γ Γυµνασίου 210

15 Να προσδιορίσετε τους ακέραιους α, β, γ και δ, αν είναι γνωστό ότι: α = 2, β = 3, γ = 4 και αβγδ=120. β 3 γ 4 δ 5 Ευκλείδης 2002 Β Γυµνασίου Αν για τους πραγµατικούς αριθµούς x, y, z, w ισχύει η ισότητα x + 10y + 10z + 9w = 6(xy+ yz+ zw), να βρεθεί η σχέση που συνδέει τους x και w. Ευκλείδης 2002 Γ Γυµνασίου 211

16 Να προσδιορίσετε όλους τους θετικούς ακέραιους οι οποίοι µπορούν να παρασταθούν ως κλάσµατα της µορφής µν+ 1, όπου µ, ν είναι θετικοί ακέραιοι. µ + ν Αρχιµήδης 2002 Μικροί Να υπολογίσετε την τιµή της παράστασης Α= Θαλής 2003 Β Γυµνασίου 212

17 Να υπολογίσετε την τιµή της παράστασης 6 10x+ 2(4x y 3) 1 Α= x+ 2y, αν είναι 3(x z) + 3(y+ z) 3 x+y=2003. Θαλής 2003 Γ Γυµνασίου Οι ακέραιοι x και y είναι ανάλογοι προς τον αριθµητή και τον παρανοµαστή, αντίστοιχα, του κλάσµατος που προκύπτει από τη µετατροπή σε κλασµατική µορφή του δεκαδικού αριθµού α=4,333 Να υπολογίσετε την τιµή της παράστασης 6x 5y 21 Β=. 6x+ 5y 31 Θαλής 2003 Γ Γυµνασίου 213

18 Ένα ορθογώνιο παραλληλόγραµµο διαιρείται σε 4 µικρότερα ορθογώνια παραλληλόγραµµα µε δύο ευθείες παράλληλες προς τις πλευρές του. Τα τρία απ αυτά τα 2 τέσσερα ορθογώνια έχουν εµβαδά 10, 18 και 25 cm αντίστοιχα. Να βρεθεί το εµβαδόν του τέταρτου ορθογωνίου Θαλής 1998 Γ Γυµνασίου Στο διπλανό σχήµα, όπου η ευθεία Αx είναι παράλληλη προς τη y, να υπολογισθεί το άθροισµα των γωνιών α, β, γ και δ. Θαλής 1998 Β Γυµνασίου 214

19 Το σηµείο Μ 1 είναι το µέσο του ΑΒ, το Μ 2 είναι το µέσο του ΑΜ 1, το Μ 3 είναι το µέσο του ΑΜ 2 κτλ. και το Μ 10 είναι 11 το µέσο του ΑΜ 9. Αν ΑΒ = 2 3, να βρείτε το ( ΑΜ 10). Ευκλείδης 1998 Β Γυµνασίου Έστω ορθογώνιο ΑΒΓ µε ΑΒ = 2Α και ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΜ, όπου το Μ βρίσκεται προς το µέρος της Γ. Αν Ε είναι το µέσο της ΒΜ, να υπολογίσετε τη γωνία ΒΕΓ. Ευκλείδης 1998 Β Γυµνασίου 215

20 Πάνω σε µια ευθεία ε θεωρούµε τα σηµεία Α, Β, Γ, µε τη σειρά που δίνονται. Αν Μ είναι το µέσο του ΑΒ και Ν το µέσο του ΒΓ, να υπολογίσετε το µήκος του ευθύγραµµου τµήµατος ΜΝ, όταν: α) ΑΒ = 8cm, ΒΓ = 10cm β) ΑΒ = 10cm, ΒΓ = 18cm Θαλής 1999 Β Γυµνασίου Στο διπλανό σχήµα δίνεται ότι: ε ε ε a b. Γ ε3 c. ΑΕ = Ε o d. ω = 30 και o φ = 50 Να βρεθούν οι γωνίες του τετραπλεύρου ΑΒΓ. Θαλής 1999 Β Γυµνασίου 216

21 Στο διπλανό σχήµα είναι: I.ΑΒ Ε II. Β= ˆ 90 ο III. ΒΑΓ=ΓΕ = ˆ ˆ 45 ο IV. Ε=2ΑΒ, ΑΒ=α Να υπολογίσετε το µήκος του ευθύγραµµου τµήµατος Α Ε. Θαλής 1999 Γ Γυµνασίου Στο διπλανό σχήµα το τετράπλευρο ΑΒΓ είναι τετράγωνο, ενώ το τετράπλευρο ΑΖΕΓ είναι ορθογώνιο. Να υπολογίσετε το λόγο των εµβαδών ( ΑΒΓ ) ( ΑΖΕΓ ) Θαλής 1999 Γ Γυµνασίου 217

22 ίνονται τρία µη συνευθειακά σηµεία στο επίπεδο. Βρείτε ευθεία του επιπέδου από την οποία τα τρία σηµεία να απέχουν ίσες αποστάσεις. Πόσες τέτοιες ευθείες του επιπέδου υπάρχουν; Αρχιµήδης 1999 Μικροί Σε ένα τραπέζιο ΑΒΓ µε ΒΓ Α δίνονται: (α) ΑΒ = Γ = 12 µέτρα (β) η περίµετρός του είναι 54 µέτρα (γ) το εµβαδόν του Ε = 120 τ.µ. Να βρείτε το ύψος του υ. Θαλής 2000 Β Γυµνασίου 218

23 Στο σχήµα που ακολουθεί δίνονται: (α) ε1 ε2 (β) ΑΒΓ ισοσκελές τρίγωνο (ΑΒ=ΑΓ) µε ΒΑΓ= ˆ 20 ο (γ) η Β είναι διχοτόµος της γωνίας ΑΒΓ ˆ (δ) ΓΖ ΑΓ Θαλής 2000 Β Γυµνασίου Στο διπλανό σχήµα δίνονται: (α) ε1 ε2 (β) το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισόπλευρο πλευράς α. (γ) ΓΕ ΑΓ και Α ΒΓ. (δ) ΑΕ = 2α. Να βρείτε: I. το λόγο ΓΕ Α. II. το εµβαδόν του τραπεζίου Α ΓΕ Θαλής 2000 Β Γυµνασίου 219

24 Έστω ΧΟΥ µια γωνία 70, ΟΑ µια ηµιευθεία που είναι κάθετος επί της ΟΧ και ΟΒ µια ηµιευθεία που είναι κάθετος επί της ΟΥ. Να υπολογιστούν τα µέτρα των γωνιών ΑΟΒ, ΑΟΥ και ΒΟΧ. Θαλής 2005 Β Γυµνασίου Στο διπλανό σχήµα έχουµε ότι: (α) Οι ευθείες x x, y y είναι παράλληλες. (β) Η ευθεία δ δ είναι µεσοκάθετος του ΑΒ. (γ) Η ευθεία t t διχοτοµεί τη γωνία (δ) ΑΓΒ=ΓΒ ˆ ˆ t= ω. ˆ ΑΒΓ. Να βρεθούν οι γωνίες του τριγώνου ΑΒΓ. Ευκλείδης 2001 Β Γυµνασίου 220

25 Ο αγρός ΑΒΓ ΕΖ του διπλανού σχήµατος αποτελείται από το τραπέζιο ΑΒΕΖ και το ορθογώνιο ΒΓ Ε µε ΑΖ ΒΕ, ˆΑ = 90, ΑΒ=ΒΓ=60 µέτρα και ΑΖ=40 µέτρα. Το εµβαδό του αγρού είναι τ. µέτρα. Να υπολογίσετε το µήκος της πλευράς Γ. Θαλής 2001 Β Γυµνασίου Στο διπλανό σχήµα, δίνεται ένα τραπέζιο ΑΒΓ και σηµείο Ε στην πλευρά του Α τέτοιο ώστε το τρίγωνο ΒΕΓ να είναι ισόπλευρο και τα τρίγωνα ΑΒΕ, Γ Ε να είναι ισοσκελή, µε ΑΒ=ΒΕ και Γ= Ε. Να υπολογίσετε τη γωνία ΒΑ = ˆ ω. Θαλής 2001 Β Γυµνασίου 221

26 Τρίγωνο ΑΒΓ έχει πλευρές ΑΒ = x, ΑΓ = x+2 και ΒΓ= Αν ισχύει ότι (x+ 2) x = 28, να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο µε ˆΑ = 90. Θαλής 2001 Γ Γυµνασίου Στο εσωτερικό τετραγώνου ABΓ πλευράς α κατασκευάζουµε ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΕ α) Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα Α Ε και ΒΓΕ είναι ίσα. β) Να υπολογίσετε τα εµβαδά των τριγώνων Γ Ε, Α Ε και ΑΓΕ. Θαλής 2001 Β Γυµνασίου 222

27 Στο διπλανό σχήµα, δίνεται ότι το άθροισµα των εµβαδών των δύο ηµικυκλίων µε διαµέτρους τις ΑΒ και ΑΓ, ισούται µε το εµβαδόν του ηµικυκλίου διαµέτρου ΒΓ. Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο. Ευκλείδης 2001 Γ Γυµνασίου Προς το εξωτερικό ισοπλεύρου τριγώνου ΑΒΓ πλευράς α κατασκευάζουµε ορθογώνιο ισοσκελές τρίγωνο ΑΓ µε ΓΑ = ˆ 90 ο. Τα ευθύγραµµα τµήµατα Α και ΓΒ προεκτεινόµενα τέµνονται στο σηµείο Ευκλείδης α) Να υπολογίσετε τη γωνία ΒΓ ˆ. β) Να υπολογίσετε το εµβαδόν του τριγώνου Γ Ε συναρτήσει της πλευράς α. γ) Να υπολογίσετε το µήκος του ευθύγραµµου τµήµατος Β συναρτήσει του α. Αρχιµήδης 2001 Μικροί 223

28 Ένα τετράγωνο πλευράς 4 διαιρείται µε τέσσερις ευθείες παράλληλες ανά δύο προς τις πλευρές του σε σχήµατα, έτσι ώστε τα τέσσερα γραµµοσκιασµένα από αυτά, όπως φαίνεται στο σχήµα, είναι τετράγωνα πλευράς 1. Πόσα είναι τα τετράγωνα που υπάρχουν στο σχήµα και ποιο είναι το άθροισµα των εµβαδών τους; Θαλής 2002 Β Γυµνασίου Στο διπλανό σχήµα υπάρχουν 10 ίσα τετράγωνα µεταξύ των ορθογωνίων ΑΒΓ και ΕΖΗΘ. Να υπολογίσετε την πλευρά των τετραγώνων, αν είναι γνωστό ότι το άθροισµα των εµβαδών τους ισούται των περιµέτρων των ορθογωνίων ΑΒΓ και ΕΖΗΘ. Θαλής 2002 Γ Γυµνασίου 224

29 Στο διπλανό σχήµα, το τετράπλευρο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο, η ΖΘ είναι µεσοκάθετος του ΓΕ και το τρίγωνο ΖΕΓ είναι ισοσκελές και ορθογώνιο στο Ζ. Αν ΑΖΕ= ˆ φ, να υπολογίσετε τη γωνία ΒΕΘ ˆ ως συνάρτηση του φ. Ευκλείδης 2002 Β Γυµνασίου ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ ορθογώνιο και ισοσκελές µε Α= ˆ 90 ο και ΑΒ=ΑΓ=α. Φέρουµε ευθεία xay εξωτερικά του τριγώνου έτσι ώστε xαγ= ˆ 30 ο. Από τα Γ και Β φέρουµε κάθετες προς την xay που την τέµνουν στα και Ε αντίστοιχα. Να υπολογίσετε το εµβαδόν του τραπεζίου ΒΓ Ε συναρτήσει του α. Ευκλείδης 2002 Γ Γυµνασίου 225

30 ίνεται οξυγώνιο ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ). Το ύψος του ΑΗ και η µεσοκάθετος ε της πλευράς ΑΒ τέµνονται στο σηµείο Μ. Η κάθετη προς την ευθεία ε στο σηµείο Μ τέµνει την πλευρά ΒΓ στο σηµείο. Αν ο περιγεγραµµένος κύκλος του τριγώνου ΒΜ τέµνει την ευθεία ε στο σηµείο Σ, να αποδείξετε ότι: α) ΒΣ ΑΜ β) το τετράπλευρο ΑΜΒΣ είναι ρόµβος Αρχιµήδης 2002 Μικροί 226

31 Να βρείτε πόσοι από τους αριθµούς 1, 2, 3,,1999 δεν διαιρούνται ούτε µε το 5 ούτε µε το 7. Θαλής 1999 Γ Γυµνασίου Να αποδείξετε ότι για κάθε τιµή των µη αρνητικών ακέραιων αριθµών α, β µε α> β ο αριθµός 2 2 (2α+ 1) (2β+ 1) κ= 4 είναι θετικός ακέραιος. Να προσδιορίσετε τις τιµές των α, β για τις οποίες ο κ είναι πρώτος, δηλαδή είναι κ> 1 και οι µοναδικοί θετικοί διαιρέτες του είναι οι αριθµοί 1 και κ. Θαλής 1998 Β Γυµνασίου 227

32 Να προσδιορίσετε τις τιµές του θετικού ακέραιου ν για τις 3 2 οποίες ο αριθµός Α= ν ν + ν 1 είναι πρώτος. Ευκλείδης 1998 Β Γυµνασίου Οι αριθµοί 203 και 298 διαιρούµενοι µε το θετικό ακέραιο x δίνουν και οι δύο υπόλοιπο 13. Ποιες είναι οι δυνατές τιµές του x; Ευκλείδης 1998 Β Γυµνασίου Να εξεταστεί, αν υπάρχουν ακέραιοι x, y που 2 2 ικανοποιούν την εξίσωση x + y = Ευκλείδης 1998 Β Γυµνασίου 228

33 Για ποια ψηφία x και y διαιρείται δια του 45 ο αριθµός του οποίου η παράσταση στο δεκαδικό σύστηµα αρίθµησης είναι 6x12y ; Θαλής 2005 Β Γυµνασίου 229

34 Α.. ΓΙΙΑ ΜΑΘΗΤΕΣ ΓΥΜΝΑΣΙΙΟΥ Με πόσους διαφορετικούς τρόπους µπορεί να γραφεί ο αριθµός 105 ως άθροισµα τουλάχιστον δύο θετικών διαδοχικών ακέραιων αριθµών; Θαλής 1998 Γ Γυµνασίου Κατά πόσους διαφορετικούς τρόπους µπορούµε να βάλουµε έναν κόκκινο, δύο µπλε και τρεις πράσινους βώλους σε έξι τρύπες που βρίσκονται σε ευθεία γραµµή και ισαπέχουν; Θαλής 1998 Γ Γυµνασίου 230

35 Ένα δοχείο, όταν είναι κατά 30% άδειο, περιέχει 20 λίτρα περισσότερο από την περίπτωση που θα ήταν κατά 30% γεµάτο. Πόσα λίτρα περιέχει το δοχείο όταν είναι πλήρες; Θαλής 1998 Β Γυµνασίου Να χωρίσετε ένα τετράγωνο µε πλευρά 4 cm σε ορθογώνια παραλληλόγραµµα, των οποίων το άθροισµα των περιµέτρων τους να είναι 25 cm. Ευκλείδης 1998 Γ Γυµνασίου 231

36 Σε προηγούµενη Μαθηµατική Ολυµπιάδα για ένα από τα προβλήµατα που τέθηκαν, στο οποίο η µέγιστη βαθµολογία ήταν 5, είχαµε τα παρακάτω αποτελέσµατα: Ο µέσος όρος των βαθµών των αγοριών ήταν 4, ο µέσος όρος των βαθµών των κοριτσιών ήταν 3,25 και ο µέσος όρος των βαθµών του συνόλου των µαθητών ήταν 3,6. Να βρείτε πόσα αγόρια και πόσα κορίτσια πήραν µέρος, αν ο αριθµός των µαθητών ήταν µεταξύ 30 και 50. Ευκλείδης 2000 Β Γυµνασίου Τέσσερις µαθητές αποφάσισαν να αγοράσουν βιβλία Μαθηµατικών, έτσι ώστε I. καθένας θα αγοράσει 3 βιβλία διαφορετικά µεταξύ τους, II. κάθε δύο από τους τέσσερις µαθητές θα αγοράσουν ένα µόνο ίδιο βιβλίο. Να βρείτε το µέγιστο και τον ελάχιστο αριθµό διαφορετικών βιβλίων που µπορούν να αγοράσουν συνολικά οι τέσσερις µαθητές. Αρχιµήδης 1999 Μικροί 232

37 Ο θετικός ακέραιος x είναι άρτιος και όταν διαιρείται µε το 7 δίνει υπόλοιπο 2. Να βρεθεί ο αριθµός x αν είναι µεταξύ των αριθµών 512 και 521. Θαλής 2000 Γ Γυµνασίου Σε µια Βαλκανική συνάντηση Νέων συµµετείχαν 199 παιδιά από 9 διαφορετικές χώρες. Να αποδείξετε ότι µία τουλάχιστον χώρα είχε στην αποστολή της 12 τουλάχιστον παιδιά του ίδιου φύλου. Θαλής 2000 Γ Γυµνασίου 233

38 Το έτος 2001 έχει την εξής ιδιότητα: Είναι τετραψήφιος αριθµός και αν διπλασιάσουµε το ψηφίο των µονάδων παίρνουµε το ψηφίο των χιλιάδων. Να βρεθεί το πλήθος όλων των τετραψήφιων αριθµών που έχουν την παραπάνω ιδιότητα. Ευκλείδης 2000 Β Γυµνασίου Έχουµε 8 σώµατα διαφορετικού βάρους και µια ζυγαριά χωρίς σταθµά, δηλαδή µε αυτήν µπορούµε µόνο να συγκρίνουµε τα βάρη δύο σωµάτων. (α) Ποιος είναι ο ελάχιστος αριθµός ζυγίσεων που πρέπει να κάνουµε για να προσδιορίσουµε το βαρύτερο σώµα; (β) Πόσες επιπλέον ζυγίσεις θα χρειαστούµε για να προσδιορίσουµε το δεύτερο σε βάρος σώµα; Αρχιµήδης 2000 Μικροί 234

39 Στον παρακάτω πολλαπλασιασµό πρέπει να χρησιµοποιηθούν όλα τα ψηφία από το 1 έως το 9. Να συµπληρώσετε τα κενά τετράγωνα. Ευκλείδης 2001 Β Γυµνασίου Είναι γνωστό ότι το αλεύρι αυξάνει το βάρος του κατά το ζύµωµα κατά 50%, ενώ το ζυµάρι χάνει στο ψήσιµο το 20% του βάρους του. Να βρείτε πόσα κιλά αλεύρι πρέπει να χρησιµοποιήσουµε για την παραγωγή 840 κιλών ψωµιού. Θαλής 2001 Β Γυµνασίου 235

40 Στον διαγωνισµό ΑΡΧΙΜΗ ΗΣ της Ε.Μ.Ε. συµµετέχουν αγόρια και κορίτσια που χωρίζονται σε δύο κατηγορίες, στους µικρούς (µε ηλικία που την 1 η Ιανουαρίου δεν ξεπερνά τα 15 χρόνια) και στους µεγάλους. Τα αγόρια που λαµβάνουν µέρος στο φετινό ΑΡΧΙΜΗ Η αποτελούν το 55% αυτών που συµµετέχουν. Ο λόγος του πλήθους των µικρών αγοριών προς το πλήθος των µεγάλων αγοριών ισούται µε το λόγο του πλήθους των µικρών προς το πλήθος των µεγάλων. Να βρεθεί ο λόγος του πλήθους των µικρών αγοριών προς το πλήθος των µικρών κοριτσιών. Αρχιµήδης 2001 Μικροί 236

41 Στις ηµοτικές εκλογές της πρώτης Κυριακής (13 Οκτωβρίου 2002) σε ένα ήµο συµµετείχαν οι συνδυασµοί Α, Β και Γ. Ονοµάζουµε ν τον αριθµό των εγγεγραµµένων στους εκλογικούς καταλόγους ψηφοφόρων. Συνολικά ψήφισε το 75% του αριθµού ν και όλα τα ψηφοδέλτια ήταν έγκυρα. Ο συνδυασµός Α ψηφίστηκε από το 39% του αριθµού ν, ενώ ο συνδυασµός Β ψηφίστηκε από το 27% του αριθµού ν. Λευκά ψηφοδέλτια δεν βρέθηκαν. I. Να εξετάσετε αν ο αρχηγός του συνδυασµού Α εξελέγη ήµαρχος από την πρώτη Κυριακή, δηλαδή αν ο συνδυασµός του έλαβε ποσοστό µεγαλύτερο του 50% ως προς τον αριθµό των εγκύρων ψηφοδελτίων. II. Να βρείτε το ποσοστό των ψήφων του συνδυασµού Γ ως προς τον αριθµό των εγκύρων ψηφοδελτίων. Θαλής 2002 Β Γυµνασίου 237

42 Σε µία διοργάνωση σκακιού µέσω διαδικτύου συµµετείχαν 1119 αγόρια και κορίτσια. Το πρώτο κορίτσι έπαιξε µε 20 αγόρια, το δεύτερο κορίτσι έπαιξε µε 21 αγόρια, το τρίτο κορίτσι έπαιξε µε 22 αγόρια κ.ο.κ. µέχρι το τελευταίο κορίτσι που έπαιξε µε όλα τα αγόρια. Να βρείτε πόσα ήταν τα αγόρια και πόσα ήταν τα κορίτσια. Θαλής 2002 Γ Γυµνασίου Αν ο αριθµός x είναι θετικός ακέραιος και το κλάσµα 3 x είναι αριθµός αρνητικός και µεγαλύτερος του 1, να 2 προσδιορίσετε όλους τους τριψήφιους θετικούς ακέραιους των οποίων το άθροισµα των ψηφίων ισούται µε x. Ευκλείδης 2002 Β Γυµνασίου 238

43 Είναι δυνατόν το γινόµενο τριών διαδοχικών θετικών ακέραιων να ισούται µε τον κύβο ενός θετικού ακέραιου; Ευκλείδης 2002 Γ Γυµνασίου Να προσδιορίσετε τετραψήφιο αριθµό xyzw, ο οποίος έχει την ιδιότητα: Αν του προσθέσουµε το άθροισµα των ψηφίων του, προκύπτει ο αριθµός Αρχιµήδης 2002 Μικροί 239

44 Αν παρατάξουµε τους µαθητές ενός Γυµνασίου σε τριάδες περισσεύουν 2. Αν τους παρατάξουµε σε τετράδες ή σε πεντάδες επίσης περισσεύουν 2. Να προσδιορίσετε τον αριθµό των µαθητών, αν είναι γνωστό ότι αυτός είναι τριψήφιος µε άθροισµα ψηφίων 5. Θαλής 2003 Β Γυµνασίου Ένας επιστήµονας και ο βοηθός του ανέλαβαν µια έρευνα σε χηµικό εργαστήριο, από την οποία θα εισπράξουν Ο επιστήµονας θα απασχοληθεί για 42 µέρες και ο βοηθός του 45 ηµέρες. Η ηµερήσια αµοιβή του επιστήµονα είναι κατά 40% µεγαλύτερη της ηµερήσιας αµοιβής του βοηθού του. Πόσα χρήµατα θα εισπράξει ο καθένας στο τέλος της έρευνας; Ευκλείδης 2003 Β Γυµνασίου 240

45 Σε ένα δοχείο υπάρχουν 6 λευκά, 9 κίτρινα, 12 κόκκινα και 15 πράσινα σφαιρίδια. Να προσδιορισθεί ο ελάχιστος αριθµός σφαιριδίων που πρέπει να πάρουµε τυχαία έτσι ώστε να εξασφαλισθεί η παρουσία στο δείγµα τουλάχιστον Α) 3 λευκών Β) 5 κίτρινων Γ) 6 κόκκινων ) 10 πράσινων σφαιριδίων (τέσσερα διαφορετικά ερωτήµατα) Θαλής 2003 Γ Γυµνασίου έκα σηµεία είναι τοποθετηµένα σε σχήµα ισοπλεύρου τριγώνου όπως στο σχήµα. Να διαγραφεί ο ελάχιστος αριθµός σηµείων έτσι ώστε τα υπόλοιπα να µη σχηµατίζουν κανένα ισόπλευρο τρίγωνο. Ευκλείδης 2005 Β Γυµνασίου 241

46 Ποιος από τους αριθµούς και Α= Β= είναι µεγαλύτερος και γιατί; Ευκλείδης 2005 Β Γυµνασίου Ποιο από τα κλάσµατα κ= και λ= είναι µεγαλύτερο και γιατί; Ευκλείδης 2005 Γ Γυµνασίου 242

47 Αν οι αριθµοί α, β, γ, δ και ε είναι διαφορετικοί και καθένας παίρνει µια από τις τιµές 1, 2, 3, 4 και 5, είναι δυνατόν να έχουµε τη σχέση α+β β+γ γ+δ δ+ε ε+α = ( )( )( )( )( ) ( α+γ)( γ+ε)( ε+β)( β+δ)( δ+α); Ευκλείδης 2005 Γ Γυµνασίου 243

48