Lnear Programmng Loucks et al., 5 Chapter, secton 5 Lnear Programmng The objectve functon and constrants of an optmzaton model are all lnear Many models of comple water resources systems are or can be made, lnear. Because of the power and avalablty of computer programs that can solve large lnear programmng problems, a varety of methods have been developed to appromate non-lnear functons wth lnear ones. ١
Lnear Programmng In spte of ts power and popularty, for most realworld water resources plannng and management problems, lnear programmng, lke the other optmzaton methods already dscussed n ths chapter, s best vewed as a prelmnary screenng tool. Its value s more for reducng the number of alternatves for further more detaled smulatons than for fndng the best decson. Lnear Programmng (our frst tool, and probably the most mportant one.) mnmze or mamze a lnear objectve subject to lnear equaltes and nequaltes mamze + y subject to 5 + 8y, y ; Non-negatvty Condton A feasble soluton satsfes all of the constrants. =, y = s feasble; =, y = s nfeasble. An optmal soluton s the best feasble soluton. The optmal soluton s =.8, y =. ٢
Termnology Decson varables: e.g., and y. In general, there are quanttes you can control to mprove your objectve whch should completely descrbe the set of decsons to be made. Constrants: e.g., 5 + 8y,, y Lmtatons on the values of the decson varables. Objectve Functon. e.g., + y Value measure used to rank alternatves Seek to mamze or mnmze ths objectve eamples: mamze NPV, mnmze cost Lnear Programmng The general structure of a lnear programmng model s: ٣
Reservors Storage Yeld relatons S t Q t K R t Q t K S t R t Storage-Yeld relaton Increase yeld buld a reservor Storage-yeld relatonshp gves Capacty for varous yelds, or Yeld for varous capactes Comple methods Math Programmng Yeld, R 9 8 7 6 5 6 8 Capacty, K ۴
Water Resources Systems Plannng Lnear Programmng R = Release S = Storage Q = Inflow SP = Spllway K = Reservor capacty t = tme step T = Total number of tme step - : - Ma. R s.t.: S t+ =S t + Q t R SP t ; t=,,...,t T+= S t K ; t=,,...,t Mn K, Gven R Q t S t K R SP t Mnmze storage capacty gven constant release and nflows: Mnmze subject to K S t + S K t = S + Q SP R t =,...,T ; T + = t t t t =,...,T ۵
Mn K, Gven R Q t S t K R RE t Inflow Storage Release Yeld t Q(t) S(t) sp(t) R 5 6.5.5 7 5.5 8 7.5.5.5 5.5.5 6 9.5 7 7.5.5 8 5.5 9.5.5 6.5 8.5.5 9 5.5 9.5.5 8.5 5 9 7.5.5 Mnmze K, Gven R Q(t) S(t) RE(t) R 8 6 5 6 7 8 9 5 Ma R, Gven K Mamze constant release gven capacty and nflows Q t Inflows to the reservor S t Storage volumes n the reservor R Constant release (yeld) from the reservor RE t Total release from the reservor (Spllway+R) K Capacty of the reservor Mamze subject to S t+ R R RE S K t = S + Q RE t t t t t =,..., T t =,..., T Q t t =,..., T; T + = S t K R RE t ۶
Ma R, Gven K Q t S t K R RE t t Q(t) S(t) RE(t) R sp(t) 5.5.5.5 7 5.5.5 8 7.5.5.5.5.5 5.5.5.5 6 9.5.5 7 7.5.5.5 8 5.5.5 9.5.5.5 6.5.5 8.5.5.5 9 5.5.5 9.5.5.5 8.5.5 5 9 7.5.5 7.5.5 Mamze R, Gven K Q(t) S(t) R RE(t) 8 6 5 6 7 8 9 5 ٧
Lnear Programmng Smple LP Model and Graphcal Soluton Eample: A Pant Factory - Mamze gross ncome Produces both nteror and eteror house pant Two basc raw materals, A and B are used Ma. avalablty of A s 6 tons/day Ma. avalablty of B s 8 tons/day Daly requrements of the raw materals per ton n table below P E = $/ton P I = $/ton Market survey: Interor pant cannot eceed Eteror by one Mamum demand for nteror pant s lmted to tons daly Tons of raw materal per ton of pant Eteror Interor Mamum Avalablty (tons) Raw materal A 6 Raw materal B 8 ٨
Water Resources Systems Plannng - LP Eample: Manufacturng-Waste Treatment System ھدف: حداكثر نمودن درآمد خالص قيمت فروش ھر واحد محصول توليدي= $ ھزينه ھر واحد محصول توليد شده = $ ھزينه ھر واحد زباله تصفيه شده = $.6 ماليات ھر واحد زباله تخليه شده = $ راندمان تصفيه خانه = %8 درآمد خالص: Z = -{ +.6( - ) +[ +.( - )]} Z = 5 - Water Resources Systems Plannng (LP) Eample: Manufacturng-Waste Treatment System Ma. Z = 5 - : - قيود : ١- محدوديت ظرفيت تصفيهخانه: ٢- محدوديت مقدار تخليه زباله: +.( - ) =. +.8 ٣- محدوديت مثبت بودن زباله تصفيه شونده: - or - + ٩
Water Resources Systems Plannng (LP) Eample: Manufacturng-Waste Treatment System Graphcal Soluton: Water Resources Systems Plannng (LP) Eample: Water Qualty Management Model Ste: Estng Qual. Desred Qual. 7 6 Fnd: The level of wastewater treatment (waste removed) at stes and requred to acheve the desred concentratons at stes and at a mnmum cost. ١٠
Water Resources Systems Plannng (LP) Eample: Water Qualty Management Model a w j (a j = The mprovement n the qualty nde at ste j per unt of waste removed at ste = Amount of waste to be treated at ste = Fracton of waste removed by treatment at ste )(w ) = Qualty mprovement at ste jdue to w Q = Desred qualty unts of waste removed at ste q = Estng Qualty s.t. Mn.C q q + a + a ( w w ) + C + a Q ( w ) Q Water Resources Systems Plannng (LP) Eample: Water Qualty Management Model. =, <=.95 =, a a w w = a =.5 mg/l =.5 mg/l = unts/day = unts/day + (.5)().8 + (.5)() + (.5)() + 7 6.6 ١١
Water Resources Systems Plannng (LP) Eample: Water Qualty Management Model Graphcal Soluton Two Lnear Cost Functons Water Resources Systems Plannng (LP) Eample: Manufacturng-Waste Treatment System آلگوريتم حل برنامهنويسي خطي Algorthm for Solvng LP O.F. : Cons. : Cons. : Cons. : Z 5. - + +.8 + + s + s + s + s + s + s + s + s : + s + s + s + s = = = = Z =. با انتخاب = s و = قدم اول شروع از يك نقطه نھايي (= ),= كداميك از متغيرھاي و يا را افزايش دھيم در قيد اول: =/ + / s / = 5 s =, s =, Z=5 ١٢
Some Basc Solutons to the Eample Problem X X S S S Z - Inf. 5 5-5 Inf. 5 5 - Inf. 6 8 6 Water Resources Systems Plannng Eample: Manufacturng-Waste Treatment System Algebra of Smple Method Basc Z s s s Sol. Z -5 s s s Z 5 + s s s = -..8 -. (n-m) :. :. :. :. :( ). : ١٣
Water Resources Systems Plannng Eample: Manufacturng-Waste Treatment System Algebra of Smple Method عمليات سطري Sol. Basc Z s s s Z -5 (+)(5)( ) s s s ( ) : ικ > = b /a k :. α ικ -..8 - = b / a = / = 5 = b / a = /. = ( )() (+)(-.)( ) (+)()( ) k mn = mn(, ) = mn(5, ) = 5 s = Water Resources Systems Plannng Eample: Manufacturng-Waste Treatment System Algebra of Smple Method Basc Z s s s Sol. Z -.5.5 5 s s -.5.5 -. 5 a kl = (a kl a j a kj a l ) / a j Basc Z s s s Sol. Z..5 8 s..5 -. 6 ١۴
Water Resources Systems Plannng روشھاي متغير مصنوعي Artfcal Varable Methods كاربرد: مصداق: موارديكه حل پايهاي قابل قبول با اضافه نمودن متغيرھاي slack بدست نميآيند. - s = مدلھايي كه شامل قيود از نوع ) ) و يا (=) ھستند. s s s - Σa j j s + R = b Σa j j + R = b راه حل: الف) براي قيود از نوع ) ) : ( براي قيود از نوع ) = ( : R ب بطوريكه روشھاي حل مدلھاي LP با متغيرھاي مصنوعي: روش M بزرگ Method) (Bg-M -١ روش دو فازي Method) (Two-Phase ٢- Water Resources Systems Engneerng(LP) روشھاي متغير مصنوعي Artfcal Varable Methods + s = روش M بزرگ Method) (Bg-M معادالت قيود مثال قبل را مي توان به اين صورت نوشت:. +.8 + s = ;,, s, s, s, R s + R = R = - + + s بطوريكه s, s, R متغيرھاي پايهاي شروع كننده ميباشند. نكته: براي تبديل متغير مصنوعي به متغير غير پايهاي و نگه داشتن آن در ھمان حالت منفي و يا مثبت بزرگي مانند (M+ M-) or ضرب و به تابع ھدف اضافه ميكنيم. آنرا در ضريب Ma. Z = n c m j j j= = MR ; Mn. Z = n j= c j j + m = MR Ma. Z = 5 Ma. Z = 5 Z (5 + M) + s + s M( + ( + M) + s + + s + Ms MR ) = تابع ھدف مثال قبل را مي توان چنين نوشت: ١۵
Basc Z s s s R Sol. Z -(5+M) (+M) M s s R -..8 - - Z -.5 -.5.5+M s s. -.5 -.5 - -..5 Z -.5.5 M 5 s s -.5 - -..5 Z..5 M 8 s - -...5 5 6 Water Resources Systems Plannng Artfcal Varable Methods روشھاي متغير مصنوعي روش دو فازي Method) :(Two-Phase دو اشكال اساسي روش M بزرگ: ١- در صورت عدم وجود حل قابل قبول آلگوريتم تا مرحله نھايي ميبايست انجام شود (<R). ٢- در كاريرد كامپيوتري اين روش اختصاص عدد بزرك به M توليد خطاھاي محاسباتي ميكند. در روش دو فازي محاسبات را در دو مرحله انجام ميدھيم: مرحله اول:اھتمام بر اينكه بتوان متغير(متغيرھاي) مصنوعي را از حل خارج نمود. براي ھر دو مسائل بيشينه و كمينه سازي مجموع متغيرھاي مصنوعي را مينيمم (صفر) مينمائيم. Mn. r = K R k k= در صورتيكه در حالت بھينه r باشد مسئله داراي فضاي قابل قبول نميباشد. تابع ھدف فوق به انضمام معادالت قيود در فاز اول بھينهسازي (كمينه) گرديده و در صورت احراز شرائط الزم ( = r) جدول نھايي اين فاز در مرحله بعدي جھت بھينهسازي تابع ھدف اصلي استفاده ميشود. ١۶
s.t.: Water Resources Systems Plannng Artfcal Varable Methods روشھاي متغير مصنوعي Method) (Two-Phase روش دو فازي Mn. r = R. +.8 + Mn. r = + + s s s + + s = = R = Basc r s s s R Sol. r - - s s R -..8 - - r - s s. -.5 -.5 - -..5 Phase I مرحله دوم: بھينهسازي با متغيرھاي مصنوعي غيرپايهاي( صفر) شروع ميشود. Ma. Z = 5 Z 5 + = s.t. :.5 Basc Z s s s Sol. Z -5 s s. -.5 -.5 Z -.5 -.5 s s. -.5 -.5 Z -.5.5 5 s s -.5 -..5 Z..5 8 s s s + s +.s + -.5s = = = -...5 Phase II (5)+ 5 6 ١٧
An educatonal ste http://www.me.uteas.edu/~jensen/ormm/methods/ unt/lnear/subunts/prmal/nde.html ١٨