مثال( مساله الپالس در ناحیه داده شده را حل کنید. u(x,0)=f(x) f(x) حل: به کمک جداسازی متغیرها: ثابت = k. u(x,y)=x(x)y(y) X"Y=-XY" X" X" kx = 0

Transcript

1 مثال( مساله الپالس در ناحیه داده شده را حل کنید. (,)=() > > < π () حل: به کمک جداسازی متغیرها: + = (,)=X()Y() X"Y=-XY" X" = Y" ثابت = k X Y X" kx = { Y" + ky = X() =, X(π) = X" kx = { X() = X(π) = معادله S L k= : X()=A+B X()=B= ; X(π)==A X()= جواب بدیهی k=μ 2 : X() = Asinhμ + Bcoshμ X() = B =, X(π) = A = جواب بدیهی = X() k= μ 2 < : X() = Asinμ + Bcosμ X() = B = { مقادیر ویژه < 2 X(π) = Asinμπ = μ n = n Z + k n = n توابع ویژه X n () = A n sin n حل معادله Y: Y" n 2 Y = Y() = Ae n + Be n B= کراندار( )پتانسیل lim (, ) = زمانی که انتظار داریم

2 Y n () = c n e n (, ) = D n e n sin n n=1 (, ) = () = D n sin n n=1 D n = 2 π π () sin n d اعداد مختلط : z = + i r = rcosθ, = rsinθ, < θ < 2π, قطبی r = e i = cos + isin )رابطه اویلر( z = + i = re iθ = r(cos θ + isin θ) { z 1 = 1 + i 1 تفریق, جمع( 1 z 2 = 2 + i 2 z 1 ± z 2 = ( 1 ± 2 ) + i( 1 ± 2 ) تعبیر هندسی:

3 ) 2 z :ضرب 1 z 2 = ( 1 + i 1 )( 2 + i 2 ) = r 1 r 2 e i(θ 1+θ 2) تعبیر هندسی: حالت خاص: ضرب کردن z در i iz = e i(π 2 ) re i(θ) = e i(π 2 +θ) ضرب کردن عدد در i = به اندازه π خالف ساعت دوران 2 مثال( اثر تبدیل فوق را روی شکل زیر بررسی کنید: مثال( مطلوبست محاسبه عبارت های زیر: 1) 2 + i 2 i 2 + i 2 + i = i = i 2) i = e i(π 2 ) = e i(π 4 ) = i

4 3)1 + i + i i 1 = 1(1 i11 ) = 1 1 i r = 1 z = re iθ z n = r n e inθ = 1 { con nθ = 1 sin nθ = مثال) مطلوبست حل معادله = 1 n ) z ریشه های یک) θ = 2kπ n, k Z { k = z 1 = e i() k = 1 z 2 = e i(2π n )... k = n 1 z n = e i(2π n ) توابع مختلط: منظور از یک تابع مختلط دستوری است که یک عدد مختلط را به عدد مختلط یکتایی متناظر می کند: w = (z) z = + i w = + iv هر تابع مختلط یک تابع : R 2 R 2 مثال( w = (z) = z 2 = ( + i) 2 = ( 2 2 ) + i(2)

5 تعبیر هندسی : مثال) اثر نگاشت w = (z) = e z روی خط = c بررسی کنید w = (z) = e +i = e (cos + isin) = e cos + ie sin = c { = ec cos ثابت ) معادله دایره) v = e c sin 2 + v 2 = e 2c w = (z) = (, ) + i v(, ) قرارداد: هرتابع مختلط را از این به بعد به صورت زیرنمایش می دهیم: ( ) ( (, ) v(, ) )

6 ε > δ > z z < δ (z) L < ε حد و پیوستگی در توابع مختلط: گوییم تابع (z) w = در نقطه z = z دارای حد L است هرگاه تذکر: چون ساختار تعریف مشابه تعریف حد در اعداد حقیقی است کلیه قضایای اعداد حقیقی نیز در اینجا برقرار است. lim z z [(z) ± g(z)] = l 1 ± l 2 lim (,) (, ) (, ) = lim (,) (, ) v(, ) = v lim آنگاه : z z g(z) = l 2, lim z z قضیه اگر (z) = l 1 lim آنگاه : z z اگر برای تابع (z) = + iv داشته باشیم (z) = + iv و برعکس. نتیجه: است. حد هرتابع مختلط برابر مجموع حدود قسمت های حقیقی و موهومی آن به عنوان توابع دومتغیره

7 پیوستگی z=z تابع w=(z) درنقطهی پیوسته است هرگاه: lim ( z ) ( z ) zz نکته: چون مقدماتی در ساختار تعریف پیوستگی مشابه حالت توابع حقیقی اعداد حقیقی در اعداد مختلط نیز برقرار است. قضایای کلیه باشد می مختلط: توابع حد با رابطه در شده اثبات قضیه ی به توجه با نتیجه: پیوسته است و ) w iv lim (, (, ) (, ) lim v (, ) v(, ) (, ) یعنی یک تابع پیوسته باشند. مشتق: مختلط وقتی پیوسته است که قسمت های حقیقی و موهومی آن به عنوان توابع دو متغیره مشتق یک تابع مختلط در نقطه ی را به صورت زیر تعریف می کنیم: ( z ) ( z ) ( z z ) ( z ) ( z ) lim lim ' z z z z z z ( z ) تابع کنید ثابت z نیست. پذیر مشتق جا هیچ در اما است پیوسته جا همه در z i w ( z ) i اثبات پیوستگی: lim (, ) (, ) lim (, ) (, ) (, ) lim (, ) (, ) lim v(, ) (, ) (, ) lim ( z ) i ( z ) zz پیوسته است برای مشتق حد رو به رو باید وجود داشته باشد: ( z ) ( z ) i ( i ) ( z ) lim lim ( ) ' z z z z z z i i

8 :مسیرI i ( i ) lim lim 1 i ( i ) :مسیرII i ( i ) i ( ) lim lim 1 i ( i ) i( ) تابع پس (z) در z ندارد. مشتق 2 ( z) z تابع پذیری مشتق مورد در کنید. بحث ( z ) z ( z ) ( z ) ( ) ' ( z ) lim lim z z z z z z i ( i ) :مسیرI ( ) lim lim 2 i ( i ) z z :مسیر II ( ) lim lim i2 i ( i ) i( ) z ندارد. مشتق نقاط سایر در در جز به حالت این نکته: چون ساختار تعریف در اینجا نیز برقرار است. کلیه ی است حقیقی اعداد مشابه مشتق گیری مشتق دستورات ' ' ' ( z ) g ( z ) ( z ) g ( z ) ' ' ' ( z ) g ( z ) ( z ) g ( z ) ( z ) g ( z ) ' ' ( ) '(z) (z) (z)g ( ) 2 ( ) ( ) z g z g z g z ' ' ' ( g ( z )) ( g ( z ))g ( z ) مشتق برای قسمت این اساسی قضیه پذیری) شرط معادالت الزم کوشی_ ریمان(: ( z ) ( z ) ( z ) lim z z ' z z :مسیر I

9 (, ) iv (, ) ( (, ) iv (, )) (, ) (, ) i ( v (, ) v(, )) lim lim lim ( i ) ( i ) (, ) iv (, ) :مسیر II (, ) iv (, ) ( (, ) iv (, )) (, ) (, ) i ( v (, ) v(, )) lim lim lim ( i ) ( i ) i( ) i( ) i (, ) v (, ) شرط الزم برای مشتق داشتن: (, ) iv (, ) i (, ) v (, ) شرط الزم کوشی_ریمان (, ) v (, ) ) v (, برای وجود مشتق (, ) مختلط: مزدوج تابع برای ( z ) z i 1v 1 مشتق پذیرنیست در 2 2 کنید ثابت ( z ) 2i نیست: پذیر مشتق 2 2 (, ), v (, ) 2 v 2, 2 شرط کوشی-ریمان باشد. نمی پذیر مشتق و نیست برقرار اگر :) پذیری مشتق برای کافی شرایط قضیه) مختلط: تابع شود فرض ( z ) (, ) iv (, )

10 در نقطه ی ( (, پیوسته بوده و مشتقات جزئی مرتبه ی اول توابع دو متغیره و پیوسته بوده و معادالت کوشی-ریمان برقرار باشند آنگاه تابع موجود است. (, ) ' ( z) (, ) در نیز v(, ) شرط الزم مشتق پذیری شرایط کوشی_ریمان v, ( z) مشتق پذیری شرایط کوشی_ریمان و پیوستگی و مشتق پذیری مرتبه اول در مثال قبل: (z) پیوسته است در = مشتق پذیراست مشتقات جزیی مرتبه اول پیوسته اند (z) برای = شرایط کوشی_ریمان برقرارند توابع همساز) nctions :)harmonic تعریف: (, ) تابع دو متغیره( h(, موجود در باشند و در معادله الپالس صدق همساز گوییم کنند. دوم مرتبه ی جزئی مشتقات هرگاه h h z i تابع اگر قضیه: ) ( z ) (, ) iv (, در در آنگاه باشد پذیر مشتق توابع نقطه این ) (, و ) v (, شوند. می همساز اثبات: روابط کوشی-ریمان: v v v v v v v v در توابع مختلط اگر نقطه پیوسته است. آن در تابع جزئی مشتقات تمام آنگاه باشد پیوسته ای نقطه در تابعی مشتق پذیری همساز بودن

11 مشتق پذیری همساز بودن + شرایط کوشی_ریمان 2 2 (,) ( )cos 2 sin آیا تابع فرم می تواند قسمت باشد تابع را مشخص کنید. با پذیر مشتق تابع یک حقیقی ( z ) (, ) iv (, ) باید چک کنیم آیا ) (, همسازاست 2 2 2cos 2 sin 2 sin cos ( ) 2 cos 2 cos 2 sin cos ( )sin 2 sin 2 cos 2 cos 2 sin 2cos بنابراین همساز نمی باشد.