ҚАЗАҚСТАН РЕСПУБЛИКАСЫНЫҢ БІЛІМ ЖӘНЕ ҒЫЛЫМ МИНИСТРЛІГІ Жәңгір хан атындағы Батыс Қазақстан аграрлықтехникалық университеті Математика талапкерге (Оқу-әдістемелік құрал) Орал 2013ж.
УДК 1(0) ББК 22.1 М 3 Құрастырушылар: Cадыкова Г.А., аға оқытушы; Нургазинова М.К., аға оқытушы; Берниязова Ф.А., аға оқытушы Рецензент: ф.-м.ғ.к., доц. Ш.Д.Махмудова МАТЕМАТИКА ТАЛАПКЕРГЕ (оқу-әдістемелік құрал) «Физика и математика» кафедрасының отырысында талқыланды, протокол 10, 20 мамыр 2013 жыл. Политехникалық факультетінің оқу-әдістемелік бюросы мақұлдаған және ұсынған, протокол 10, 26 мамыр 2013 жыл. Басылымға Жәңгір хан атындағы Батыс Қазақстан аграрлық-техникалық университетінің оқу-әдістемелік кеңесі мақұлдаған және ұсынған; протокол Оқу-әдістемелік құралда орта білім бағдарламасына сәйкес математиканың маңызды тараулары қазіргі заманғы талаптарына ұштастыра отырып жазылған. Мұнда элементар математиканың материалдары мен математикалық анализ элементтері қарастырылады. Оқу-әдістемелік құрал жоғары оқу орындарына түсушілерге, оларды дайындайтын оқу бөлімдерінің оқытушыларына, репетиторларға және элементар математиканы өздігінше оқып дайындалатын оқырмандарға арналған. Берілген оқу-әдістемелік құралдың мақсаты дайындық бөлімі тыңдаушылары мен талапкерлерге КТ және ҰБТ-ге пайдаланатын мектеп курсының тақырыптары бойынша өз білімдерін тексеру. РМК «Жәңгір хан атындағы Батыс Қазақстан аграрлық- техникалық университеті» 2
Кіріспе Математика пәні бойынша жоғары оқу орындарына түсетін талапкерлерге арналған қазақ тіліндегі оқу құралы. Мұнда әрбір тақырыпта алдымен материалдың теориялық сұрақтары, содан соң олардың мағынасын ашатын мысалдар, соңында тапсырмалар жауаптарымен бірге беріледі. Элементар математиканың негізгі құрамы болғандықтан сандарға, теңдеулер мен теңсіздіктерге, функцияларға арналған сұрақтарға көбірек орын берілді. Сонымен қатар әр тақырыптың соңында өздігімен жұмыстануы үшін әр тақырыпқа тапсырмалар мен тест сұрақтары берілген. Бірақ оқу құралдың қарапайымдылығына қарамастан оқырмандар берілген материалды зейін қойып түпкілікті игермесе практика жүзінде оны игеру өте қиын. Бұл құрал орта мектептің 11 сыныптар оқушылары мен жоғары оқу орындарына түсуші талапкерлерге арналған. Ұсынылған жұмыс жоғары оқу орындарының даярлық бөлімінің тыңдаушыларына пайдалы болуы мүмкін. 3
І тарау. САНДАР 1. Негізгі теориялық мәліметтер. 1.1. Натурал сандарға қолданылатын арифметикалық амалдар. Қосу: a b c ; a, b - қосылғыштар, c - қосынды Азайту: a b c ; a - азайғыш, b - азайтқыш, c -айырма. Көбейту: a b c ; a - көбейгіш, b - көбейткіш, c -көбейтінді. a Бөлу: a : b c немесе c ; a - бөлінгіш, b - бөлгіш, c -бөлінді. b 1.2. Арифметикалық амалдардың қасиеттері. Қосу заңдары. 1. a b b a - орын ауыстыру (коммутативті) 2. a ( b c) ( a b) c ( a c) b a b c - терімділік (ассоциативті) 3. a 0 a. a ( a) 0 Азайту заңдары. 1. Саннан қосындыны азайту a ( b c) a b c 2. Қосындыдан санды азайту ( a b) c a ( b c) ( a c) b 3. Санға айырманы қосу a ( b c) a b c. Саннан айырманы азайту a ( b c) a b c Көбейту заңдары. 1. a b b a - орын ауыстыру (коммутативті) 2. a ( b c) ( a b) c ( a c) b a b c - терімділік (ассоциативті) 3. a ( b c) a b a c -үлестірімділік қосуға қатысты (дистрибутивті). a 1 a 1. a 1 ( a 0) a 6. Санды айырмаға көбейту a ( b c) a b a c Бөлу заңдары. 1. ( a b) : c a : c b : c - қосындыны санға бөлу 2. ( a b) : c a : c b : c - айырманы санға бөлу 3. a : ( b c) a : b : c a : c : b -санды көбейтіндіге бөлу. ( a b) : c ( a : c) b ( b : c) a -көбейтіндіні санға бөлу Қалдықпен бөлу: a b q r; b ( a r) : q Нәрселерді санағанда қолданылатын сандар натурал сандар деп аталады. Натурал сандар жиыны N 1,2,3,,... 3 N Координаттық түзуде санақ басынан бірдей қашықтықта, бірақ қарамақарсы бағытта кескінделетін сандар қарама-қарсы сандар деп аталады.
-2, саны 2, санына қарама қарсы сан. Натурал сандар, оларға қарамақарсы сандар және 0 саны бүтін сандар жиынын құрайды және Z әрпімен белгіленеді. 1.3. Арифметикалық амалдардың орындалу реті. 1. Жақшаның ішіндегі амалдар орындалады. Жақшаның ішіндегі алдымен көбейту мен бөлу (егер екеуі қатар келсе, онда олар орналасу ретімен орындалады), содан соң қосу мен азайту амалдары (егер екеуі қатар келсе, онда олар орналасу ретімен) орындалады. 2. Жақшасыз амалдар орындалады. Бұл жағдайда да алдымен көбейту мен бөлу, содан соң қосу мен азайту амалдары. 3. Егер жақшаның ішіндегі өрнек жақшаларды қамтитын болса, онда алдымен ішкі жақшалар ішіндегі амалдар орындалады. 1.. Натурал санның бөлгіші. Натурал санның еселігі. a : b c a - бөлінгіш, b - бөлгіш, c -бөлінді. Ереже: Натурал сан a -ның бөлгіші деп осы a саны қалдықсыз бөлінетін санды атайды. 1 саны кез келген натурал санның бөлгіші болады. Мысалы: 6 санының бөлгіштері 1, 2, 3 және 6. санының бөлгіштері 1 және. 3 саны бөлгіші болатындай натурал сандар 3, 6, 9, 12,... Бұл сандар 3-ке бөлінеді. Ереже: Натурал b санына еселік сан деп сол b санына қалдықсыз бөлінетін натурал санды атайды. a : b c ; a - b -ға еселік сан және a b c. Жалпы түрде a b n, мұндағы n 1,2,3,... Ереже: 2-ге бөлінетін сандар жұп сандар, ал 2-ге бөлінбейтін сандар тақ сандар деп аталады. 1.. Бөлінгіштік белгілері. 1)Жазылуы жұп цифрлармен, яғни 0,2,,6,8 цифрларының біріне аяқталатын барлық натурал сандар 2-ге бөлінеді. Мысалы: 8 : 2 2) Берілген санның цифрларының қосындысы 3 ке бөлінсе, онда ол санның өзі де 3 ке бөлінеді. Мысалы: 6 саны 3-ке бөлінеді, себебі 6 саны цифрларының қосындысы 6++=1; 1 : 3, онда 6 : 3 218 3) Соңғы екі цифры ноль немесе -ке бөлінсе, онда ол санның өзі де -ке бөлінеді. ) Жазылуы 0 цифрымен немесе цифрымен аяқталатын барлық натурал сандар -ке бөлінеді. Жалпы түрде n өрнегімен жазылады. ) 2-ге және 3-ке бөлінгіштік белгілері бір мезгілде орындалса, онда ол сан 6-ға бөлінеді. 6) Берілген санның соңғы үш цифры ноль немесе 8-ге бөлінсе, онда ол сан 8-ге бөлінеді.
) Берілген санның цифрларының қосындысы 9-ға бөлінсе, онда ол санның өзі де 9-ға бөлінеді. 8) Берілген санның соңғы екі цифры 2-ке бөлінсе, онда ол санның өзі де 2-ке бөлінеді. 9) Соңғы екі цифры ноль болатын сан, 100-ге бөлінеді. 10) Соңғы үш цифры ноль болатын сан, 1000-ға бөлінеді. 1.6. Жай және құрама сандар. Ереже: 1-ге және өзіне ғана бөлінетін санды жай сан деп атайды. Жай санның екі бөлгіші бар. Олар 1 және сол санның өзі. Мысалы: 13 санының бөлгіштері: 1 және 13. Ең кіші жай сан 2 саны. Ереже: Екіден көп бөлгіштері бар болатын сандарды құрама сандар деп атайды. 8 саны құрама сан, бөлгіштері 1, 2,, 8. 2 саны құрама сан, бөлгіштері 1, 2, 3,,,6, 8, 12, 2. Натурал 1 санының бір ғана бөлгіші бар, ол сол санның өзі 1 саны. Құрама сандарды жай сандардың көбейтіндісі түрінде жазуды оларды жай 2 көбейткіштерге жіктеу деп атайды. 60 2 3 1.. Ең кіші ортақ еселік. Ереже: Берілген натурал сандардың әрқайсысына еселік болатын ең кіші натурал санды ең кіші ортақ еселік деп атайды. ЕКОЕ(6;12)=12 Ең кіші ортақ еселікті табу 1.Берілген натурал сандар жай көбейткіштерге жіктеледі. 2.Берілген сандардың ең үлкеніндегі жай көбейткіштер жазылады да, ал оның құрамында жоқ, бірақ басқа сандардың құрамында бар жай көбейткіштермен толықтырылады. Шыққан көбейткіштердің көбейтіндісі берілген натурал сандардың ең кіші ортақ еселігі болады. 2 Мысалы: ЕКОЕ(0;28)= 2 2 00 0 2 2 ; 28 2 2 1) Егер берілген натурал сандардың үлкені кішілеріне еселік болса, онда үлкен сан осы сандардың ең кіші ортақ еселігі болады. Мысалы: ЕКОЕ(;19)=; ЕКОЕ(8;16;32)=32 Ереже: Егер берілген натурал сандардың 1 санынан басқа ортақ жай көбейткіші болмаса, ондай натурал сандар өзара жай сандар деп аталады. Мысалы: 10 және 21; 10 1 2 ; 21 1 3 1-ден басқа жай көбейткіші жоқ. 2) Егер берілген сандар өзара жай сандар болса, онда ең кіші ортақ еселік осы сандардың көбейтіндісі болады. Мысал: ЕКОЕ(;) =3; ЕКОЕ(3;11) =33 1.8. Ең үлкен ортақ бөлгіш. Ереже: Ең үлкен ортақ бөлгіш деп сол сандардың әрқайсысы бөлінетін ең үлкен натурал санды айтады. 6
Мысал: 8;1 және 22 сандарының ең үлкен ортақ бөлгіші. 8: 1;2;;8. 1: 1;2;;1. 22санының бөлгіштері: 1;2;11;22. 1) Өзара жай сандардың ортақ бөлгіші біреу ғана, ол 1 саны. 2) Егер берілген сандардың ең кішісі үлкендердің бөлгіші болса, онда сол ең кіші сан берілген сандардың ең үлкен ортақ бөлгіші болады. ЕҮОБ(120;0;20) =20 ЕҮОБ(18;2;36) =6 Ең үлкен ортақ бөлгішін табу 1.Берілген сандарды жай көбейткіштерге жіктейміз. 2. Шыққан жіктелулердегі барлық ортақ жай көбейткіштерді табамыз. 3. Ортақ жай көбейткіштердің көбейтіндісі сол сандардың ең үлкен ортақ бөлгіші болады. Қорыта айтқанда, берілген сандардың ең үлкен ортақ бөлгіші сол сандардың жіктелуіндегі ортақ жай көбейткіштердің көбейтіндісіне тең. 1.9. Жаттығуға арналған тест тапсырмалары 1. Есептеңіз: 1 + (1000-3) : 2. А) 32 В) 200 С) 1160 D) 1190 E) 992 2. Амалдарды орындаңыз: 62 : 103: 9 29 30 : 30. А) 00 В) 600 С) 0 D)00 E) 0 3. Амалдарды орындаңыз: (81108:2-12*12) :. А) 33 В) 3 С) 3 D)36 E) 3.. Амалдарды орындаңыз: (20 * 3 : 26-21 : *1) - (31 : 63 * + 13 * 16). А) 110 В) 200 С) 10 D) 100 E) 90. Амалдарды орындаңыз: (2 * 9 1 * 9) (2 * 9 + 1 * 9) :8100. А)0 В) 2 С) 3 D) E) 1 6. Есептеңіз: (18*93-(192-183)*31)+6 А) В) С) D) 2 E) 6. Егер х тақ сан болса, онда келесі сандардың қайсысы барлық уақытта тақ? А) 2(х+2). В) 3(х+1). С) х 3 +. D) х 2 Е) (х(х+3))/2 8. 3 және 1 сандарының ең үлкен ортақ бөлгіш және ең кіші ортақ еселігін табыңыз: А) 102, 1 В) 3, 102 С)1, 102 D) 3, 102 E) 2, 3 9. 90 және 8 сандарының ең үлкен ортақ бөлгішін табыңыз: А) 2.В) 6.С)9. D). E) 3. 10. 2, 2,108 сандарының ең кіші ортақ еселігін табыңыз: А) 108 В) 2 С) 216 D) 1 E) 36 11. және 2 сандарының ең үлкен ортақ бөлгішін табыңыз:
А) В) 1 С) D) E) 3 12. Ең үлкен ортақ бөлгішін табыңыз: 200,20,320 А) 80 В) 20 С) 10 D) 0 E)8 13. 6 және 680 сандарының ең үлкен ортақ бөлгішін табыңыз: А) 1 В) 11 С) D) 3 E) 1. ЕҮОБ(210,10,180) табыңыз:. А) 30 В) 1 С) 18 D) 3 E) 2 1. 20-дан 0-қа дейінгі жай сандарды тауып жаз: А) 21;23;2;31 В) 23;29;31;3 С) 23;31;3;39 D) 2;29;31;3 E) 23;29;3;3 16. Жай сандарды теріп жазыңыз: 28;36;0:6;96;23;1200;31;18;20;9 А) 28;9;1; 23 В) 31;23;9;18 С) 1;23;9; 20 D) 23;31;9 E) 1;31;23;20 1. 220 және 2 сандарының ең үлкен ортақ бөлгішін табыңыз: А) В) 6 С) D) 3 E) 18. 2 және 88 сандарының ең кіші ортақ еселігін табыңыз: А) 101 В) 100 С) 1699 D) 110 E) 102 19. -ке еселі сандардың формуласын жазыңыз: А) n В) n+1 С) 1 D) 10n+1 E) 2 20. 3-ке қалдықсыз бөлінетін сандардың жалпы формуласын жазыңыз: А) 2n+1 В) n+3 С) 3n D)9 E) 3n-1 21. -ге бөлгенде қалдық қалатын сандардың жалпы түрін жазыңыз: А) (n+) В) n+ С) n- D) 28n E) n+n 22. 90 санының бөлгіші болатын ең үлкен жай санды табыңыз: А) 1 В) 23 С) 33 D) 30 E) 11 23. а санына қарама-қарсы сан мен 3-тің қосындысын әріпті өрнек түрінде жазыңыз: 1 А) а+3 В) 3 С) а+3 D) а 1 3 E) 3а а 2. 60 санының ең үлкен бөлгіші болатын жай санды көрсетіңіз: А) 11 В) 21 С) 13 D) 1 E) 1. 2. -ке бөлгенде 3 қалдық қалатын сандардың формуласын жазыңыз: А) n В) n+1 С) 1 D) 10n+3 E) n+3 26. a саны -ке бөлінеді. b санын -ке бөлгенде 1 қалдық қалады, ал с санын -ке бөлгенде 2 қалдық қалады. b +с қосындысын -ке бөлгенде қандай қалдық қалады? А) 1 В) 3, С),0 D) 3 E) 2. 12 және 10 сандарының ЕКОЕ табыңыз: А) 0 В) 3 С) 20 D) E) 2 28. 6 үш таңбалы санындағы жұлдызшанын орнына қандай цифр қойғанда шыққан сан 2, 3, 6, 9 сандарының бәріне бөлінеді? А) В) 6 С) D) 8 E) 2 29. Есептеңіз: 21 31 21 8
А) 21000 В) 2100 С) 21900 D) 21 E) 210 30. Егер a -оң сан ( a 0) және b -теріс сан ( b 0) болса, онда келесі жауаптардың қайсысы ең үлкен болады. А) a 3 b В) a b 3 3 b С) D) a b а E) b a 3 2. РАЦИОНАЛ САНДАР 2.1. Жай бөлшектер m, n Z; n 0 болсын. m Анықтама: түріндегі өрнек жай бөлшек деп аталады. m -бөлшектің n алымы, n -бөлшектің бөлімі. Мысалы: 2 ; 3 9 -дұрыс бөлшектер, өйткені 2<3;<9 Жай бөлшектер натурал сандардан және бөлшек сызығынан тұрады. Үлес дегеніміз өзара тең бөліктер. Жазылуы 1 ; оқылуы «төрттен бір» Бөлшек сызығының астындағы сан 1-дің ( толық шаманың) неше бөлікке бөлгенін көрсетеді, сондықтан оны бөлшектің бөлімі деп атайды. Мысалы: 3 ; ; 8 ; 9 9 11 - бөлшектерінде ;;9;11 сандары бөлшектердің бөлімдері. Бөлшек сызығының үстіндегі сан қанша бөліктің алынғанын көрсетеді, сондықтан оны бөлшектің алымы деп атайды. 3;;8;9 сандары бөлшектердің алымдары болады. a a b b : -жай бөлшек. a -бөлшектің алымы, b -бөлшектің бөлімі. 2.2. Бөлшектің негізгі қасиеті Жай бөлшектің алымын да бөлімін де бір натурал санға көбейткеннен немесе бөлгеннен жай бөлшек өзгермейді. Бөлшектің алымын да, бөлімін де олардың 1 ден өзге ортақ бөлгішіне бөлу жай бөлшекті қысқарту деп аталады. 1-тәсіл: Жай бөлшектің алымы мен бөлімін олардың ең үлкен ортақ бөлгішіне қысқарту 2 2 : 8 3 2 3 ; ; ЕҮОБ(2;32)=8 32 32 : 8 32 2-тәсіл: Жай бөлшектің алымы мен бөлімін жай көбейткіштерге жіктеу арқылы қысқарту 36 2 2 3 3 9 ; 6 2 2 2 1 3-тәсіл: Біртіндеп қысқарту 36 6 9 1 9
630 91 126 13 18 Алымы мен бөлімі өзара жай сандар болатын бөлшектерді қысқартылмайтын бөлшектер деп атайды. 2.3. Дұрыс және бұрыс бөлшектер. Егер бөлшектің алымы бөлімінен кіші болса, ондай бөлшек дұрыс бөлшек деп аталады. Мысалы: 2 ; ; 3 9 3 10 ; 8 2<3; <9; 3<10; <8 Дұрыс бөлшек 1 ден кіші болады. 2 3 1; 1; 1; 1 3 9 10 8 - Егер бөлшектің алымы бөліміне тең немесе одан үлкен болса, ондай бөлшек бұрыс бөлшек деп аталады. Мысалы: 11 12 10 36 ; ; ; ; 6 10 3 - =; 11>6; 12>; 10=10; 36>3 Бұрыс бөлшек 1-ге тең немесе 1-ден үлкен болады. 3 Аралас сандар 3.1. Аралас сан Бүтін бөліктен және бөлшек бөліктен тұратын сан аралас сан деп аталады. Мысалы: қабылданған. 2 2 1 қосындысын, қосу белгісін жазбай Мұндағы 1 -аралас сан. Оқылуы: «бір бүтін бестен екі». Бұрыс бөлшекті аралас сан түрінде жазу үшін 1. Алымды бөлімге қалдықпен бөлу керек : 1(қалдық 2) 2 1 деп жазу 2. Толымсыз бөлінді бүтін бөлік болады. 3. Қалдық (егер ол бар болса) бөлшек бөлігінің алымы, ал бөлгіш бөлімі болады. Сонда 2 1 ; 32 2 6 ; 3 3 8 8 Аралас санды бұрыс бөлшек түрінде жазу үшін: 1. Аралас санның бүтін бөлігін бөлшек бөлігінің бөліміне көбейту керек 2. Шыққан көбейтіндіге бөлшек бөлігінің алымын қосу керек 3. Шыққан қосындыны бұрыс бөлшектің алымы етіп жазып, бөлшектің бөлімін өзгертпей қалдыру керек 10
Мысалы: 2 6 3 2 20 3 8 3 6 ; 3 3 3 8 8 Натурал сандарды аралас сан түрінде жазуға болады: 9 8 3 8 Натурал санды бұрыс бөлшек түрінде жазу: ; 1 3.2.Жай бөлшектерге арифметикалық амалдар қолдану Жай бөлшектерді қосу Бөлімдері бірдей бөлшектерді қосқанда олардың алымдарын қосып, алым етіп жазады да, бөлімін сол күйінде қалдырады a b a b, n n n мұндағы n -бөлшектің бөлімі. a, b -бөлшектің алымдары Егер қосылғыш бөлшектердің бөлімдері әр түрлі сандар болса, онда 1. Бөлшектерді ең кіші ортақ бөлімге келтіру керек 2. Бөлімдері бірдей бөлшектерді қосу ережесі бойынша қосу амалын орындаймыз Мысалы: 12 1 12 1 1) ЕКОЕ(12,1)=60 2) 60:12= бірінші бөлшектің толықтауыш көбейткіші 2 60 28 60 60:1= екінші бөлшектің толықтауыш көбейткіші Жай бөлшектерді азайту Бөлімдері бірдей бөлшектерді азайтқанда азайғыштың алымынан азайтқыштың алымын шегеріп, алым етіп жазып, бөлімін сол күйінде қалдырады a n b a b n n, ( a b ) мұндағы n -бөлшектің бөлімі. a, b -бөлшектің алымдары Егер бөлшектердің бөлімдері әр түрлі сандар болса, онда 3. Бөлшектерді ең кіші ортақ бөлімге келтіру керек. Бөлімдері бірдей бөлшектерді азайту ережесі бойынша азайту амалын орындаймыз 3.3.Жай бөлшектерді ең кіші ортақ бөлімге келтіру Бөлімдері әр түрлі бөлшектердің бәріне бөлім бола алатындай санды сол бөлшектердің ортақ бөлімі деп атайды. Берілген қысқартылмайтын бөлшектердің ең кіші ортақ бөлімі сол бөлшектер бөлімдерінің ең кіші ортақ еселігі болады. Берілген бөлшектерді ортақ бөліміне келтіру үшін алымын да бөлімін де көбейтетін санды толықтауыш көбейткіш деп атаймыз. Толықтауыш 3 60 2 6 11
көбейткішті табу үшін, ортақ бөлімді берілген бөлшектің бөліміне бөлу керек. Шыққан бөлінді сол бөлшектің толықтауыш көбейткіші болады. Мысалы: 1 3 пен бөлшектерінің ортақ бөлімі 1 саны. Ең кіші ортақ бөлімге келтіру 1) Берілген бөлшектер бөлімдерінің ең кіші ортақ еселігін табамыз. Бұл ең кіші ортақ бөлім болады. 2) Бөлшектердің әрқайсысы үшін толықтауыш көбейткішті табамыз 3) Әрбір бөлшектің алымы мен бөлімін толықтауыш көбейткішіне көбейтеміз Мысалы: ; 3 ; ЕКОЕ(;;1)=28 1 Толықтауыш көбейткіштер 16 ; 28 3 21 ; 28 Егер аралас сан берілсе, олардың бөлшек бөліктерін ең кіші ортақ бөлімге келтіреміз: 3 1 ; ЕКОЕ(;12)=12; 2 12 3 1 1 9 12 ; 2 12 3.. Бөлшектерді көбейту. Өзара кері сандар. Екі жай бөлшектің көбейтіндісі алымы берілген бөлшектердің алымдарының көбейтіндісіне, ал бөлімі бөлімдерінің көбейтіндісіне тең бөлшек a c a c b d b d Натурал санды бөлшекке көбейткенде натурал сан бөлшектің алымына көбейтіп, көбейтінді бөлшектің алымы ретінде алынады да, бөлімі өзгеріссіз сол қалпында қалады. a n b a n b Егер бірінші бөлшектің алымы екінші бөлшектің бөліміне, ал бірінші бөлшектің бөлімі екінші бөлшектің алымына тең болса, ондай бөлшектер өзара кері сандар деп аталады. Екі өзара кері сандардың көбейтіндісі 1-ге тең болады. 3.. Жай бөлшекті жай бөлшекке бөлу Жай бөлшекті жай бөлшекке бөлу үшін бөлінгіш бөлшекті бөлгіш бөлшекке кері санға көбейту керек. a c : b d a d b c Бөлінгіш немесе бөлгіш аралас сан болған жағдайда аралас санды бұрыс бөлшекке айналдырып, содан кейін бөлуді орындау керек. 1 10 28 12
. Ондық бөлшектер.1. Ондық бөлшектер Бөлшек бөлігінің бөлімі 10 ға еселік сандар (10,100,1000 және т.с.с. ) болып келсе, онда бөлшектер ондық бөлшектер деп аталады. 1-мысал: 9дмсм 9 10 ; кг13г 13 1000 Бөлімдері 10,100,1000,..., яғни бөлімі 10-ның қандай да бір дәрежесіне тең сандарды бөлімсіз жазуға келісілген. Бөлімі 10,100,1000,..., яғни бөлімі 10-ның қандай да бір дәрежесіне тең жай бөлшекті ақырлы ондық бөлшек түрінде жазуға болады. 2-мысал: 0, 0 ; 23 0, 0023 100 100000 Ең алдымен бүтін бөлігі, содан соң бөлшек бөлігінің алымы жазылады. Бүтін бөлікті бөлшек бөліктен үтірмен айырады. 9 9, ( оқылуы төғыз бүтін оннан жеті). кг. 13,13( оқылуы бес бүтін мыңнан 13). 1000 Мұндағы 9,;,13 ондық бөлшектер. Егер бөлшек дұрыс бөлшек болса, үтірдің алдына 0 цифрын жазады. 3-мысал: 9 0, 9 ; ( оқылуы нөл бүтін оннан тоғыз). 10 Ондық бөлшек екі бөліктен тұрады сол жағында ондық бөлшектің бүтін бөлігінің цифрлары және оң жағында бөлшек бөлігінің цифрлары. Үтірден кейін бөлшек бөлігінің бөлімінде неше 0 болса, алымында сонша цифр болуы қажет. -мысал: 29 1000 6 санын ондық бөлшекпен жазайық. Мұнда бөлшектің бөлімінде үш нөл, алымында екі цифр бар. Сондықтан алымының алдына бір нөл қосып 029 1000 жазамыз: 6 6, 029 Ондық бөлшектің бөлшек бөлігінің цифрлары ондық таңбалар деп атайды. -мысал: 3,1санында,,1-ондық таңбалар. Үтірдің оң жағындағы бірінші цифр () ондық үлестер санын, екінші цифр () жүздік үлестер санын, үшінші цифр (1) мыңдық үлестер санын көрсетеді. Солдан оңға қарай әрбір келесі бірлік алдыңғысымен салыстырғанда 10 есе кіші болады. Себебі ондық үлестер разряды 1 0, 1, жүздік үлестер разряды 10 1 0,01, мыңдық үлестер разряды 1 0, 001 100 1000 10 және т.с.с. Қорытынды: Бірліктен де кіші разрядтары бар болатын ондық жүйеде жазылған санды ондық бөлшек деп атаймыз. 13
Кез келген ақырлы болады. 30122 10 p, p N, q 10 q Мысалы: 3,0122 ; 0,00012 Сөйтіп, p q n 12 10 түріндегі жай бөлшекке келтіруге жай бөлшегінің бөлімі 10 санының қандай да бір дәрежесі болса, онда ол бөлшекті ақырлы ондық бөлшекке жіктеуге болады екен. Керісінше, ақырлы ондық бөлшек бөлімі 10-ның қандай да бір дәрежесі болатын жай бөлшектің ондық жіктелуі. Натурал сан ақырлы ондық бөлшектің дербес жағдайы екенін ескертеміз, мысалы: 3= 3,0= 3,00= 3,000=.... p Теорема: Қысқартылмайтын бөлшегі ақырлы ондық бөлшекке q жіктелуі үшін, оның q бөлімінің 2 мен тең басқа жай бөлгіштері болмауы қажетті және жеткілікті. 2 8 0,8 2 10 Бөлшектің негізгі қасиетін пайдалана отырып,23 бөлшегін төмендегіше жазуға болады: 23 230 2300,23 1000 10000 100000..., Бұдан,23,230,2300...екенін көреміз. Сонымен, ондық бөлшектің оң жағына нөлдерді қосып жазғаннан немесе ондық бөлшектің оң жағындағы нөлдерді алып тастағаннан ондық бөлшек өзгермейді.2. Ондық бөлшектерге амалдар қолдану Ондық бөлшектерді қосу (азайту) үшін олардың бірдей разрядтарының бірінің астына бірі, ал үтірді үтірдің астына түсетіндей етіп жазады да, натурал сандар сияқты қосады (азайтады) 0,132 9,81 2,3,320 2,86 2,1 Сонымен, 0,132+2,3=2,86; 9,81-,320=2,1 Ондық бөлшектерді көбейту үшін үтірге назар аудармай (натурал сандарды көбейту сияқты) оларды көбейтіп, көбейткіштердің үтірлерінен кейін барлығы қанша цифр болса, алынған көбейтіндінің оң жағынан сонша цифр тастап үтір қою керек. Мысалы, 2,-ні 1,3-ке көбейтейік. Алдымен 2 13 31аламыз. 1
Көбейткіштердің үтірлерінен кейінгі барлық цифрлар екеу болғандықтан, көбейтіндінің оң жағынан екі цифр тастап үтір қоямыз: 2, 1,3 3, 1 Егер үтірмен ажырататын цифрлар көбейтіндіде жетіспесе, онда көбейтіндінің алдына нөлдер жазады. 2,12 0,13 + 212 636 0,26 n Ескерту. Ондық бөлшекті 10,100,1000,..., яғни, 10 сандарына көбейту (бөлу) үшін, үтірді оңға (солға) n таңба санға жылжыту керек. Ондық бөлшекті бүтін санға бөлу. 1) Егер бөлінгіш бөлгіштен кіші болса, онда бөліндінің бүтін бөлігіне ноль жазамыз да, одан кейін үтір қоямыз. Содан кейін, үтірге көңіл аудармай, бөлінгіштің бүтін бөлігінің оң жағына оның бөлшек бөлігінің бірінші цифрын тіркеп жазамыз; егер бөлгіштен кіші сан шығатын болса, онда үтірден кейін ноль жазамыз да, бөлінгіштің тағы бір цифрын тіркейміз; егер бұдан кейін де бөлгіштен кіші сан шығатын болса, онда тағы бір ноль жазамыз және т.с.с., бөлгіштен үлкен сан шыққанша жалғастыра береміз. Әрі қарай бөлу бүтін сандар жағдайындағыдай орындалады; қажет болса бөлінгіштің соңына нольдері тіркеп жазу арқылы оны оңға қарай «кеңейтуге» болады. 2) Егер бөлінгіш бөлгіштен үлкен болса, онда алдымен оның бүтін бөлігін бөлеміз; бөліндіде бөлу нәтижесін жазып, соңына үтір қоямыз. Бұдан кейін бөлу алдыңғы жағдайдағыдай жүргізіледі. Санды ондық бөлшекке бөлу үшін: Бөлгіште үтірден кейін қанша таңба тұрса, бөлінгіш пен бөлгіштегі үтірді оңға қарай сонша таңбаға жылжыту керек (бөлгіш натурал сан болатындай разряд бірлігіне бөлу керек. 1-мысал, 3,2:0,=3,2:=8,68 Сонан кейін ондық бөлшекті бүтін санға бөлуді орындау керек. 2-мысал, 22,26:20,8=222,6:208=1,0 3-мысал, 6,:0,18=60:18=31 Санды 1-ден үлкен бөлшекке бөлген кезде, ол сан кемиді, ал 1-ден кіші ондық бөлшекке бөлген кезде ол сан артады. 2 және 3 мысалдан 22,26>1,0 6,<31 1. Ондық бөлшекті жай бөлшекке айналдыру үшін: Алымына үтірсіз алынған ондық бөлшек, ал бөліміне ондық таңбалар санындай 0-дері бар разрядтық бірліктер жазылады. 1
861,861 861 :1000 1000 62 6,2 62 :100 100 861 1000 2. Енді жай бөлшекті ондық бөлшекке айналдыруды қарастырайық. Жай бөлшекті ондық бөлшекке айналдыру үшін бөлшектің алымын бөліміне «бұрыштап» бөледі. Бөлімдері 2;;;20;2;0 болатын бөлшектерді ондық бөлшекке айналдыруды қарастырайық: n Шешуі: Бөлшектің бөлімі 10 тең болатындай етіп түрлендіру. Ол үшін бөлшектің негізгі қасиетін пайдалана отырып алымы мен бөлімін нөлге 1 1 1 2 2 1 3 3 3 3 3,2 ; 3 3, 2 10 2 2 2 2 100 тең емес санға көбейту керек: 8 8 8 8 8, 2 3. Жай бөлшекті ондық бөлшекке айналдырғанда бөлу амалы шексіз жалғасып, периодты бөлшек пайда болуы мүмкін. Мұндай бөлшекті жазғанда периодты жақшаға алады..3. Периодты ондық бөлшектер түсінігі Үтірден кейін ақырсыз көп цифрлары бар ақырсыз ондық бөлшек деп аталатын ондық бөлшектерді қарастырамыз. Мысалы, қысқартылмайтын бөлшектің бөлімінің жай бөлгіші 3 болғандықтан, ол 9 ақырлы ондық бөлшекке жіктелмейді. Алымын бөліміне «бұрыштап» бөлу ережесін қолданайық: 9 101 0,11222... 0,11(2 900 13 3,1... 3,1( 1) 0,... 0,() 1 6 2) ) 3) ) Оқылуы: 1) 0,() нөл бүтін және периодында жеті; 2) 0,11(2) нөл бүтін жүзден он бір және периодында екі; 3) 3,1() үш бүтін оннан бір және периодында жеті. Периодты ондық бөлшекі жай бөлшeктерге айналдыру Периодты ондық бөлшекте период үтірден кейін бірден басталатын болса, онда ол санды таза периодты деп атайды; ал егер үтір мен периодтың арасында ең болмағанда бір цифр болса, онда ол санды аралас периодты деп атайды. 1 16
Таза периодты дұрыс (яғни, бүтін бөлігі нольге тең ондық бөлшек) ондық бөлшек алымында периоды, ал бөлімінде периодта қанша орын болса сонша 9 цифры жазылған жай бөлшекке тең. Мысалдар: 6 2 3 1) 0,(6) ; 2) 0,(3). 9 3 99 Аралас периодты дұрыс ондық бөлшек алымы үтірден кейінгі периодпен қоса алынған сан мен үтір мен период арасындағы саннын айырмасы, ал бөлімі периодта қанша цифр болса сонша 9 цифры және одан кейін үтір мен период арасында қанша цифр болса, сонша нөл цифрынан тұратын жай бөлшекке тең. 231 2 229 0,2(31). 990 990 6 681 22 3,(6) 3 3 3. 900 900 300.. Пропорция. Масштаб. Процент Пропорция деп, a c мен b d қатынастарының теңдігін a b c d айтады; Мұнда a мен d пропорцияның шеткі, ал b мен c ортаңғы мүшелері деп аталады. Пропорцияның қасиеттері: 1. Пропорцияны оның шеткі мүшелерінің көбейтіндісі мен ортаңғы мүшелерінің көбейтіндісінің теңдігі түрінде жазуға болады: a c ad bc; b d 2. Пропорцияда шеткі мүшелері мен ортаңғы мүшелерінің орындарын ауыстыруға болады, яғни d b c d b a b, a c a c d a c b d пропорциясынан, пропорцияларын алуға болады. Пропорционал бөлу Санды берілген сандарға пропорционал бөлу үшін, сол санды берлген сандардың қосындысына бөлу және шыққан бөліндіні әрқайсысына жеке көбейту керек Мысалы: 3 санын 2; және сандарына тура пропорционал бөлу 3 3 3 3 2 2 ; 1, ; 12, 2 1 1 1 Тексеру: +1,+12,=3 Жауабы: ;1,;12,. Мысалы: 190 санын 3; 2 1 ; сандарына кері пропорционал үш бөлікке бөліңіз. 1
Шешуі: 3; 2 1 ; сандарына кері сандар сәйкесінше 3 1 ;2; 1. Есеп шартына сәйкес 1 1 х 2х х 190 3 38 х 190, 1 38 х 190 : 1 1 1 1 1 х, Онда: х 2, 2х 2 10, х 1 3 3 Жауабы: 2;10;1. Масштаб Нәрселер өлшемдері үлкен болса, қағаз бетінде кішірейтіліп, ал кіші болса, үлкейтіліп кескінделеді. Нәрселердің өлшемдерін кескіндеуден бұрын барлық өлшемдерінің сандық мәндері бір өлшем бірлігіне келтіріледі. Масштаб дегеніміз сызбада келтірілген өлшемнің нақты өлшемге қатынасы. Сонда масштаб дегеніміз алымы 1 (бірлік), бөлімі нақты өлшем мәні болатын бөлшек. Әріппен жазсақ, с M d с- сызбадағы өлшемі; d-нақты өлшемі; М масштаб. Сызбадағы кескін өлшемін анықтау үшін с d M әріпті өрнегін пайдаланамыз. Нақты өлшемді анықтау үшін с М d 1-мысал. әріпті өрнегін пайдаланамыз. 1 10 000000 немесе -1:10 000 000масштаб. Бұл санның мағынасы: картадағы 1см нақты қашықтықтың 10 000000см=100000м=100км-ін кескіндейтінін білдіреді. Масштабты пайдаланып, сызбадан нақты өлшемді анықтауды қарастырайық. 2-мысал. 1:2 000 000 масштабпен берілген картада екі қаланың арасы 12см. Екі қаланың бір-бірінен нақты қашықтығын тап. Масштаб анықтамасын пайдаланып, берілген масштабқа сәйкес пропорция жазамыз: 12 х 1, 2 000 000 х-нақты өлшем. Пропорциядан белгісіз шаманы табамыз: х=12 2 000 000=300 000 000 cм=3 000 000 м=3000 км. Жауабы: Екі қаланың арасы 3000км. Ондық бөлшектердің ішінде процент деп аталатын 0,01 бөлшегі өмірде жиі пайдаланылады. 18
Процент санның жүзден бір бөлігі. Оны % символы арқылы белгілейді. Мысалы, %, 1000%. 1) Процентті сан түрінде өрнектеу үшін процентке көрсетілген санды 100-ге бөледі. Мысалы, 12%=1,2; 2,3%=0,023 a 2) в-санының а % табу үшін, в-ны -ге көбейту керек. 100 60 30 100 Мысалы, 60-тың 30%-ті 18 -ге тең. 3) Проценті бойынша санды табу. Егер х-санының а % -ті в-ға тең болса, онда х аламыз. b 100 a a х b 100 теңдігінен Мысалы, егер жинақ кассасына салынған ақшаның 3%-ті 10 теңге 10 3 болса, онда бұл ақша 100 000 теңге болғаны. ) в мен а сандарының проценттік қатынасын табу үшін, бұл сандардың қатынасын 100%-ке көбейту керек, яғни 100 %-есептеу керек. Мысалы, завод жоспарындағы 60 автомобиль орнына 66 автомобиль жасап шығарса, онда ол жоспарды 100 110% орындайды. 66 60 Мысалы: Банктерде жыл сайын салынған ақшаға 2% қосады. Банкке $10 салынды. 2 жылдан соң бұл ақша қанша болады? Шешуі: Бірінші жылдың соңында ақша 10+10 0,02=$13, ал екінші жылдың соңында 13+13 0,02=$16,06 болады. n Жалпы мынадай күрделі процент формуласы бар: N a (1 0,01 p), мұндағы a - бастапқы салынған ақша, n-ақшаның сақталу мерзімі, N саны n жылдан кейінгі ақша шамасы, р-процент саны. Назарыңызға: Процентке арналған есептерді пропорциялық схема арқылы шығару ыңғайлы. Өйткені, есептегі белгісіз шаманы b a a c b d пропорциясының төрт мүшесінің біреуі деп алуға болады. Мысалы, %-ті 20 тең санды табу керек. Белгісіз санды, және ол 100%-ке сәйкес деп алып, келесі пропорциялық схеманы жазуға болады х 20 100% % Ал, бұл схеманы 100 20 х 00 аламыз. х 100 20 пропорциясы түріне көшірсек 19
.. Жай бөлшектерді салыстыру. Пропорцияның қасиеттерін жай бөлшектерді салыстыруға пайдалануға болады. І. Ереже. a b және bc көбейтінділерін салыстырады. Егер: c d 1) олар тең болса, онда оң жай бөлшектерді салыстыру үшін ad және a c ; b d 2) олар тең емес болса, онда үлкен көбейтінді құрамында а мен с сандарының (яғни, бөлшектердің алымдарының) қайсысы бар болса, сол санға (алымға) сәйкес келетін жай бөлшек үлкен болады. Мысалы, орындалады. 1 23 және 13 сандары үшін 1 1 238 13 23 299 теңсіздігі 1 Ереженің 2) пункті бойынша, 1 13. 23 1 ІІ. Бөлімдері бірдей бөлшектердің қайсысының алымы үлкен болса, сол бөлшек үлкен болады 6 8 8 ІІІ. Алымдары бірдей жай бөлшектердің қайсысының бөлімі кіші болса, сол бөлшек үлкен болады 3 3 8.6. Типтік есептердің шығару жолдары 31. Төмендегі сандардың ішінен ең үлкенін табыңыз: 116 338 22 12 112 А) В) С) D) Е) 231 6 03 23 223 Шешуі: 116 11, 0, 1 0, 231 231 2 231 338 33, 0, 1 0, 6 6 2 6 22 21, 0, 1 0, 03 03 2 03 12 11, 0, 1 0, 23 23 2 23 112 111, 0, 1 0, 223 223 2 223 А), В) С) D) Е) Бес қосындының бірінші қосылғыштары өзара тең (әрқайсысы 2 1 санына тең), екінші қосылғыштарының (оң қосылғыштар) алымдары бірдей, 20
сондықтан қайсысының бөлімі кіші болса, сол бөлшек үлкен болады. 12 Сонымен, есептің жауабы: 23 32. Төмендегі сандардың ішінен ең үлкенін табыңыз: 116066338 16166116 2 А) В) С) 2321132 323132231 30 32312122 1 Е) 1 D) 6628203 33. Төмендегі сандардың ішінен ең үлкенін табыңыз: 1 2312122 1 3 А) В) С) 1 2 12132231 12132231 6266166 D) 1 86 3 12 Жауабы: D) 23 116066338 Жауабы: А) 2321132 116066338 E) 23211326 6266166 Жауабы: С) 12132231 3. Теңіз суының құрамында массасы бойынша % тұз болады. 1л теңіз суына, ондағы тұздың концентрациясы 1,% құрайтын болуы үшін, қанша тұшы су құю керек? Шешуі: алдымен 1литр теңіз суындағы тұз көлемін анықтаймыз; 1 0, 100 0, 0,01 1 кг, х-қосылған тұшы су көлемі. x, х=3л. Жауабы: 3л... Координата түзуі. l түзуінің бойынан кез келген О нүктесін санау басы еттіп алып оған 0 санын сәйкес қоямыз. Түзудің бағытын анықтаймыз. Сонымен біз [0;1] бірлік кесіндісін көрсеттік. Бұл жағдайда координата түзуі берілді дейді. Әрбір натурал санға немесе бөлшекке l түзуінің бір нүктесі сәйкес келеді. Егер l түзуінің М нүктесі қандай да бір х санына сәйкес келсе, онда х санын М нүктеснің координатасы деп атайды да М(х) деп жазады. О нүктесінен қарағанда А нүктесіне симметриялы болатын А нүктесін аламыз. Координаттық түзуде санақ басынан бірдей қашықтықта, бірақ қарамақарсы бағытта кескінделетін сандар қарама-қарсы сандар деп аталады Жалпы а мен -а сандарын қарама-қарсы сандар деп атайды. Бүтін сандар - натурал сандар, натурал сандарға қарама-қарсы сандар және 0 саны. Бүтін сандар жиынын Z арқылы белгілейді: Z... 3, 2, 1,0,1,2,3,.... 21
Бүтін сандар мен бөлшектер (оң және теріс) бірігіп рационал сандар жиынын құрайды. Бұл жиынды Q деп белгілейді. Кез келген рационал санды p, p Z, q N q түрінде жазуға болады. Q жиынында қосу, азайту, көбейту, және бөлу (нөлге бөлуден басқа) амалдарын орындауға болады..8. Орта шамалар Шамалардың қосындысын осы шамалардың санына бөлгенде шыққан шаманы арифметикалық орта шама деп атайды. a1 a2... an Арифм. орта n a 1, a2.,..., a n -берілген шамалар, n-олардың саны. 1-мысал: 19,23,30, сандарының арифметикалық ортасын табыңыз. 19 23 30 116 Арифм. орта 29 Шамалардың көбейтіндісінен алынған дәреже көрсеткіші осы шамалардың санына тең түбірді геометриялық орта деп атайды. Геом. орта n a1 a2... an a 1, a2.,..., a n -берілген шамалар, n-олардың саны. 2-мысал: 2,3,12,18 сандарының геометриялық ортасын табыңыз. Геом. орта 2 3 12 18 1296 6 1 НАҚТЫ САНДАР.1. Иррационал сандар. Нақты сандар. Иррационал (рационал емес) сан деп, ақырсыз периодсыз ондық бөлшек түрінде жазуға болатын санды атайды. Мысалы, 0,101 10 1110 11110.... Математикада белгілі π саны, е саны (натурал логарифм негізі) иррационал сандар. Иррационал сан түсінігіне келтіретін мысалды мына теорема береді: «Квадраты 2-ге тең рационал сан жоқ». Басқаша айтқанда, рационал сандар жиынында 2 х 2 0 теңдеуін шешу мүмкін емес. Өйткені, бұл теңдеудің түбірлері 2 мен 2 - иррационал сандар. Осы сияқты квадраты -ке, -ге, 10-ға тең рационал сандар жоқ. Квадраты көрсетілген сандарға тең иррационал сандар сәйкес,, 10 деп 22
белгіленеді. Оларға қарама-қарсы,, 10 сандары да иррационал сандар. Рационал және иррационал сандардың бірігуі нақты сандар жиынын береді және оны R арқылы белгілейді. Кез келген нақты санды ақырсыз ондық бөлшек түрінде жазуға болады. Егер сан рационал болса, онда бөлшек периодты, егер сан иррационал болса, онда бөлшек периодсыз болады. a нақты санының модулі немесе абсолют шамасы деп, егер a оң сан болса, a санының өзін; егер a нөл болса, нөлді; егер a теріс сан болса, - a санын айтады. 3. Сөйлемнің дұрысын табыңыз: А) Рационал сандардың барлығы нақты сандар емес. В) Рационал сандардың барлығы нақты сандар. С) Барлық нақты сандар рационал сандар D) Барлық нақты сандар рационал сандар емес Е) Барлық нақты сандар иррационал сандар Шешуі: Q R, R Q, R I, Q I R, Q I бос мүше болғандықтан, жауабы: В) Рационал сандардың барлығы нақты сандар..2. Нақты сандарды салыстыру Екі ақырсыз ондық бөлшек сандары берілсін (екеуінің периоды 9 емес деп санаймыз) Оларды салыстыру үшін келесі ережелерді қолдануға болады. 1-ереже. Егер екі нақты санның таңбалары бірдей болып олардың модульдерінің бірдей бүтін бөліктері және сәйкес разрядтарының бірдей цифрлары бар болса, онда олар тең болады. Бірақ нөл саны үшін: 0=0,00... =-0,000...=+0,000... болатынын еске саламыз. 2-ереже. Теріс нақты сан 0-ден кіші және кез клген оң нақты саннан кіші. 0-саны кез келген оң нақты саннан кіші. 3-ереже. Екі оң нақты сандардың қайсысының бүтін бөлігі үлкен болса сонысы үлкен. Ал, егер бүтін бөліктері бірдей болса, онда цифрлары әртүрлі болатын ең кіші разрядына қараймыз: қайсы санның осы разрядының цифры үлкен болса, сол сан үлкен. Теріс нақты сандар үшін бәрі керісінше: Олардың қайсысының модулі кіші болса, сонысы үлкен болады. Егер a мен b нақты сандары тең болса, онда a b деп жазады. Егер де a саны b - дан кіші болса,онда a bнемесе b a деп жазады, ал a саны b - ға тең емес болса, онда a b деп жазады. Мысалы: -3,1 мен -3,(1) сандарын салыстыру керек. 3,1 3,1 3,1000...; 3,(1) 3,(1) 3,111...; 23
3,1<3,(1) болғандықтан -3,1>-3,(1) болады. Жоғарыдағы айтылған ережелерді геометриялық тұрғыдан былайша айтуға болады: Берілген екі санның координаталар түзуінде қайсысы оң жағында орналасса сонысы үлкен (оң жай бөлшектерді салыстыру ережесін қараңыз) <, > -қатаң теңсіздік таңбалары, ал, - қатаң емес теңсіздік таңбалары. a b жазуы «a саны b -дан кіші немесе a саны b -ға тең» деген айтылымдардың ең болмағанда біреуінің дұрыс екенін білдіреді ( a b жазуын - «a саны b -дан үлкен емес» - деп те оқиды). Мысалы 3, 6 дұрыс теңсіздіктер. Егер a 0 болса, онда a -ны теріс емес сан деп атайды. қолданылады. a b және b c болса, онда жазуы (қос теңсіздік).3. Нақты санның модулі Модуль белгісін 181 жылы неміс математигі Карл Вейерштрасс (181-189) енгізген. Модуль латынның modulus деген сөзі -өлшем дегенді білдіреді. Геометриялық тұрғыдан а символы координаталық түзуде О нүктесінен а нүктесіне дейінгі қашықтықты көрсетеді. Анықтама: а санының модулі немесе а санының абсолют шамасы а -ға тең, егер а нольден үлкен немесе тең болса, -а-ға тең, егер а саны нольден кіші болса, яғни a, åãåð a 0 a a, åãåð a 0 Егер координата түзуінде екі нүкте А(а), В( b ) берілсе, онда олардың арақашықтығы ( А; В) a b формуласымен өрнектеледі... Нақты сандар үшін орындалатын амалдар ережесі Табалары бірдей екі санның қосындысын табу үшін олардың модульдерін қосып, қосынды алдына қосылғыштардың таңбасы жазылады. Мысалы, (+1)+(+)=+20; (-12)+(-8)=-20. Таңбалары әртүрлі екі санның қосындысын табу үшін қосылғыштардағы үлкен модульден кіші модульді шегеріп, айырма алдына модулі үлкен санның таңбасын жазады. Мысалы, (+12)+(-8)=+(12-8)= (-12)+(+8)= - (12-8)= - Бір саннан екінші санды шегеру үшін, азайтқышқа қарама-қарсы санды азайғышқа қосады. Мысалы, 12-(-8)=12+(+8)=20; 12-(+8) =12+(-8) =. 2
Екі санның көбейтіндісін (бөліндісін) табу үшін ол екі санның модульдерін көбейтінді де (бірінші санның модулін екінші санның модуліне бөледі де) көбейтінді (бөлінді) алдына егер екі сан бірдей таңбалы болса «+», ал әртүрлі таңбалы болса «-» таңбасын жазады. Мысалы, (-12) (-8) =+12 8=96; ( 2) : ( 3) 8.. Санның бүтін және бөлшек бөліктері х нақты сан болсын. Оның бүтін бөлігі деп, х-тің аспайтын ең үлкен бүтін санды айтады да, оны x деп белгілейді. х санының бөлшек бөлігі деп, осы санмен оның бүтін бөлігінің айырмасын, яғни, х x айтады да, оны х деп белгілейді. Сонымен, х x x Мысалы, 2,3 2, 2,3 2,3 2 0,3; 10 10, 10 10 10 0 0,8 1, 0,8 0,8 1 0, 1.6. Теңсіздіктер Егер a b оң болса, онда a b және керісінше егер a b, онда a b оң Егер a b теріс болса, онда a b және керісінше егер a b, онда a b теріс. Айнымалының теңсіздікті қанағаттандыратын мәндерін оның шешімдері деп аталады. Теңсіздікті шешу дегеніміз оның барлық шешімдерін табу немесе шешімдерінің болмайтындығын дәлелдеу. Шешімдері бірдей болатын теңсіздіктерді мәндес теңсіздіктер деп атайды. Сандық теңсіздіктердің қасиеттері Кез келген a, b, c, d нақты сандар үшін келесі қасиеттер орындалады. 1. Егер a b, онда b a және керісінше b a, онда b 2. Егер a b және b c, онда a c. Оң сандардың қосындысы оң саны. 3. Егер a b, онда a с b с Теңсіздіктің екі бөлігіне бірдей санды, не өрнекті қоссақ (азайтсақ), онда мәндес теңсіздік шығады.. Егер теңсіздіктің екі бөлігін де бірдей оң санға көбейтсек, не бөлсек, онымен мәндес теңсіздік шығады: a b Егер с 0, онда aс bс, a b теңсіздігінің екі жақ бөлігін де с 0 санына бөлсек, онда a b c c теңсіздігі шығады; a. 2 3 2
Егер теңсіздіктің екі бөлігін де бірдей теріс санға көбейтсек, не бөлсек, берілген теңсіздіктің таңбасын онымен қарама-қарсыға өзгертсек, мәндес теңсіздік шығады a b егер с 0, онда aс bс a b теңсіздігінің екі бөлігін де бірдей с 0 теңсіздігі шығады. санына бөлсек, онда. Бірдей мағыналы екі теңсіздікті мүшелеп қосуға болады a b Егер c d a c b d 6. Қарама-қарсы мағыналы екі теңсіздікті мүшелеп азайтуға болады a b Егер c d a b c c a c b d. a, b, c, d - оң бөліктерімен берілген бірдей мағыналы теңсіздіктерді мүшелеп көбейтуге болады a b c d ac bd 8. Егер a b 0 болса, онда 1 1 a b 9. Егер a b 0 болса, онда кез келген натурал n саны үшін n n a b теңсіздігі орындалады. 3 x Мысал: y x y қай аралықта жатады? Жауабы: 12 x y 3 Сан аралықтары Координаттық түзудегі берілген a және b сәйкес нүктелердің аралығы a және b сандарының сан аралығын кескіндейді. Сан аралықтарының түрлері: интервал, кесінді, жартылай интервал, сәуле, ашық сәуле және сандық түзу... Дәрежелер мен түбірлер 1) a нақты санның n -ші ( n N, n 2) дәрежесі деп, әрқайсысы a санына n тең n көбейткіштердің көбейтіндісін айтады да оны a символымен белгілейді: 26