Για το Διοικητικό Συμβούλιο της Ελληνικής Μαθηματικής Εταιρείας

Transcript

1 Τηλ Fax: Tel Fax: ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΑΒΒΑΤΟ, 1 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 01 ΟΔΗΓΙΕΣ ΠΡΟΣ ΤΟΥΣ ΠΡΟΕΔΡΟΥΣ ΤΩΝ ΤΟΠΙΚΩΝ ΝΟΜΑΡΧΙΑΚΩΝ ΕΠΙΤΡΟΠΩΝ, ΠΡΟΕΔΡΟΥΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΩΝ ΚΕΝΤΡΩΝ ΚΑΙ ΕΠΙΤΗΡΗΤΕΣ 1 Παρακαλούμε να διαβάσετε προσεκτικά τις οδηγίες στους μαθητές Οι επιτηρητές των αιθουσών θα διανείμουν πρώτα κόλλες αναφοράς, στις οποίες οι μαθητές θα πρέπει απαραίτητα να γράψουν ΕΠΩΝΥΜΟ, ΟΝΟΜΑ, ΣΧΟΛΕΙΟ, ΤΑΞΗ, το ΣΤΑΘΕΡΟ και ΚΙΝΗΤΟ ΤΗΛΕΦΩΝΟ, τα οποία θα ελεγχθούν σε αντιπαραβολή με την ταυτότητα που θα έχουν οι εξεταζόμενοι, πριν καλυφθούν και μετά θα γίνει η υπαγόρευση ή διανομή φωτοτυπιών των θεμάτων στους μαθητές Να φωτοτυπηθεί και να μοιραστεί σε όλους τους μαθητές η επιστολή που σας αποστέλλουμε μαζί με τα θέματα 4 Η εξέταση πρέπει να διαρκέσει ακριβώς τρεις () ώρες από τη στιγμή που θα γίνει η εκφώνηση των θεμάτων (9-1 περίπου) Δε θα επιτρέπεται σε κανένα μαθητή ν' αποχωρήσει πριν παρέλθει μία ώρα από την έναρξη της εξέτασης 5 Οι επιτηρητές των αιθουσών έχουν το δικαίωμα ν' ακυρώσουν τη συμμετοχή μαθητών, αν αποδειχθεί ότι αυτοί έχουν χρησιμοποιήσει αθέμιτα μέσα, σημειώνοντας τούτο στις κόλλες των μαθητών Η επιτροπή Διαγωνισμών της ΕΜΕ έχει δικαίωμα να επανεξετάσει μαθητή αν έχει λόγους να υποπτεύεται ότι το γραπτό του είναι αποτέλεσμα χρήσης αθέμιτου μέσου 6 Υπολογιστές οποιουδήποτε τύπου καθώς και η χρήση κινητών απαγορεύονται 7 Αμέσως μετά το πέρας της εξέτασης, οι κόλλες των μαθητών πρέπει να σφραγιστούν εντός φακέλου ή φακέλων, που θα έχουν την υπογραφή του υπεύθυνου του εξεταστικού κέντρου και ν' αποσταλούν στην Επιτροπή Διαγωνισμών της ΕΜΕ, Πανεπιστημίου 4, Αθήνα, αφού πρώτα στα παραρτήματα, εφόσον είναι εφικτό, γίνει μία πρώτη βαθμολόγηση, σύμφωνα με το σχέδιο βαθμολόγησης της επιτροπής διαγωνισμών 8 Τα αποτελέσματα του διαγωνισμού θα σταλούν στους Προέδρους των Τοπικών Νομαρχιακών Επιτροπών (ΤΝΕ) και τα Παραρτήματα της ΕΜΕ 9 Η Εθνική Ολυμπιάδα Μαθηματικών «ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ» θα γίνει στις Φεβρουαρίου 01 στην Αθήνα Από τους διαγωνισμούς αυτούς και επί πλέον από ένα τελικό διαγωνισμό στην ΕΜΕ και μια προφορική εξέταση με προκαθορισμένη διαδικασία θα επιλεγεί η εθνική ομάδα, που θα συμμετάσχει στην 0 η Βαλκανική Μαθηματική Ολυμπιάδα (Αλβανία, Μάιος 01), στην 17 η Βαλκανική Μαθηματική Ολυμπιάδα Νέων (Αττάλεια, Τουρκία, Ιούνιος 01) και στην 54 η Διεθνή Μαθηματική Ολυμπιάδα (Κολομβία, Ιούλιος 01) 10 Με την ευκαιρία αυτή, το ΔΣ της ΕΜΕ ευχαριστεί όλους τους συναδέλφους που συμβάλλουν με την εθελοντική τους συμμετοχή στην επιτυχία των Πανελλήνιων Μαθητικών Διαγωνισμών της Ελληνικής Μαθηματικής Εταιρείας 11 Παρακαλούμε τον Πρόεδρο της ΤΝΕ να αναπαράγει με τα ονόματα των επιτηρητών την ευχαριστήρια επιστολή του ΔΣ της Ελληνικής Μαθηματικής Εταιρείας και την παραδώσει στους επιτηρητές Για το Διοικητικό Συμβούλιο της Ελληνικής Μαθηματικής Εταιρείας Ο Πρόεδρος Γρηγόριος Καλογερόπουλος Καθηγητής Πανεπιστημίου Αθηνών Ο Γενικός Γραμματέας Εμμανουήλ Κρητικός Λέκτορας Οικονομικού Πανεπιστημίου Αθηνών

2 Τηλ Fax: Tel Fax: ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΑΒΒΑΤΟ, 1 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 01 B τάξη Γυμνασίου Να συγκρίνετε τους αριθμούς Α= : και Β= 1 : Πρόβλημα Ένας φορητός υπολογιστής έχει τιμή πώλησης 70 ευρώ σε μετρητά Όταν ο πελάτης τον πληρώσει σε 1 ισόποσες μηνιαίες δόσεις, τότε επιβαρύνεται συνολικά με τόκους 5% πάνω στην τιμή πώλησης Όταν ο πελάτης τον πληρώσει σε 4 ισόποσες μηνιαίες δόσεις τότε επιβαρύνεται συνολικά με τόκους 14% πάνω στην τιμή πώλησης Να βρείτε σε καθεμία από τις δύο περιπτώσεις πόση θα είναι η μηνιαία δόση Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ=ΑΓ Από την κορυφή Α φέρουμε ευθύγραμμο τμήμα ΑΔ παράλληλο προς τη βάση ΒΓ και ίσο με την πλευρά ΑΒ Η ευθεία ΒΔ τέμνει την πλευρά ΑΓ στο σημείο Ε (α) Να αποδείξετε ότι η ευθεία ΒΔ διχοτομεί τη γωνία ΑΒΓ ˆ (β) Αν το τρίγωνο ΑΔΕ είναι ισοσκελές, να βρείτε πόσων μοιρών είναι η γωνία ΒΑΓ ˆ = ω Από τους μαθητές ενός Γυμνασίου το 60% παίζει ποδόσφαιρο, το 45% παίζει μπάσκετ, ενώ το 15% παίζει και ποδόσφαιρο και μπάσκετ Αν υπάρχουν 4 μαθητές που δεν παίζουν κανένα από τα δύο αθλήματα, να βρείτε πόσους μαθητές έχει το Γυμνάσιο, πόσοι από αυτούς παίζουν ποδόσφαιρο και πόσοι από αυτούς παίζουν μπάσκετ

3 Τηλ Fax: Tel Fax: ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΑΒΒΑΤΟ, 1 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 01 Γ τάξη Γυμνασίου (α) Να βρείτε την τιμή της παράστασης: x 1 x 81x + 7 y, όταν x Α= + + =, y = y y y Μονάδες 89 (β) Να βρείτε το πλήθος των ψηφίων του αριθμού Β = 16 5, όταν αυτός γραφεί στη δεκαδική αναπαράστασή του Μονάδες Πρόβλημα Από τους μαθητές ενός Γυμνασίου το 65% παίζει ποδόσφαιρο, το 45% παίζει μπάσκετ, ενώ το 0% παίζει και ποδόσφαιρο και μπάσκετ Επιπλέον υπάρχουν 1 μαθητές που δεν παίζουν κανένα άθλημα, ενώ υπάρχουν άλλοι 4 μαθητές που παίζουν μόνο βόλεϊ Να βρείτε πόσους μαθητές έχει το Γυμνάσιο, πόσοι από αυτούς παίζουν ποδόσφαιρο και πόσοι από αυτούς παίζουν μπάσκετ Δίνεται ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ πλευράς α Προεκτείνουμε το ύψος του ΑΔ προς το μέρος του A κατά τμήμα ΑΕ = ΑΔ Φέρουμε τις ΕΒ, ΕΓ και εξωτερικά του τριγώνου ΕΒΓ κατασκευάζουμε ισόπλευρο τρίγωνο ΕΖΓ Έστω Μ το μέσον του τμήματος ΑΕ (i) Να αποδείξετε ότι: ΑΖ = ΕΓ (ii) Να βρείτε το εμβαδό του τετραπλεύρου ΑΓΖΕ ως συνάρτηση του α (iii) Να βρείτε το εμβαδό του τετραπλεύρου ΒΓΖΜ ως συνάρτηση του α Δίνονται τα πολυώνυμα P x ax bx c ax b ( ) = ( + + )( + ) και ( ) 4 abcde είναι θετικοί ακέραιοι Αν ισχύει ότι ( ) abcde για τις οποίες τα πολυώνυμα P( x) και ( ) όπου οι συντελεστές,,,, τιμές των,,,, Q x = a x + x + dx+ e, Q x είναι ίσα P 1 = 1, να βρείτε τις

4 Τηλ Fax: Tel Fax: ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΑΒΒΑΤΟ, 1 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 01 Α τάξη Λυκείου Να λύσετε στους πραγματικούς αριθμούς το σύστημα: ( x 1) x + x x + + x +, x( x + 4)( x 5x+ 4) = Πρόβλημα Να απλοποιήσετε τις κλασματικές παραστάσεις ( x + y )( x y )( x + y ) 4x + 16y + 16xy 5 Α ( xy, ) = και Β ( xy, ) =, 4 4 ( x y )( x + y + x y ) x+ 4y+ 5 αν y ± x και x+ 4y+ 5 0, και να λύσετε την εξίσωση ( x, y) ( x, y) Α =Β Δίνεται οξυγώνιο σκαληνό τρίγωνο ABΓ και σημεία Δ, E των πλευρών του AΓ, ΑΒ αντίστοιχα, ώστε AΔ =ΑΕ Οι κύκλοι c 1 (B, BE) και c (Γ, ΓΔ) τέμνουν την ευθεία ΒΓ στα σημεία Β 1, Β και Γ1, Γ, αντίστοιχα Το σημείο Β 1 βρίσκεται εκτός του τμήματος ΒΓ προς το μέρος του Β και το σημείο Γ βρίσκεται εκτός του τμήματος ΒΓ προς το μέρος του Γ Να αποδείξετε ότι: (α) Τα σημεία E, Β, Γ 1, Δ βρίσκονται επάνω σε κύκλο, έστω c (β) Τα σημεία E, Β1, Γ, Δ βρίσκονται επάνω σε κύκλο, έστω c 4 (γ) Το σημείο A και τα κέντρα των κύκλων c και c 4, βρίσκονται επάνω στην ίδια ευθεία Δίνεται η εξίσωση ( ) = 0, ax a x x όπου x άγνωστος και a παράμετρος Να λύσετε την εξίσωση για τις διάφορες τιμές της παραμέτρου a

5 Τηλ Fax: Tel Fax: ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΑΒΒΑΤΟ, 1 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 01 Β τάξη Λυκείου Να αποδείξετε ότι για κάθε xy, ισχύει ότι: Να βρείτε τα ζεύγη (, ) x+ y 1+ x+ + y+ 5 x y ακέραιων αριθμών, με x < 0, για τα οποία ισχύει ή ισότητα: x+ y 1+ x+ + y+ = 5 Πρόβλημα Αν για τους πραγματικούς αριθμούς x, y ισχύει ότι να αποδείξετε ότι: y 1 ( ) 4 ( 1)( ) x y y+ y y xy x+ y y, Δίνεται οξυγώνιο σκαληνό τρίγωνο ABΓ με AB < AΓ < BΓ Εξωτερικά του τριγώνου θεωρούμε ισοσκελή τρίγωνα ABΔ (AB = AΔ ) και AΓΕ ( AΓ = AΕ ) με ΒΑΔ ˆ = ΓΑΕ ˆ = ˆ θ < 90 Οι ΒΕ και ΓΔ τέμνονται στο σημείο K Οι περιγεγραμμένοι κύκλοι των τριγώνων AΔΓ και ABE τέμνονται στο σημείο Μ Να αποδείξετε ότι ΒΑΚ ˆ = ΓΑΜ ˆ Να προσδιορίσετε όλες τις τιμές του x για τις οποίες ο αριθμός 1 x x είναι ακέραιος

6 Τηλ Fax: Tel Fax: ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΑΒΒΑΤΟ, 1 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 01 Γ τάξη Λυκείου Στο σύνολο των ακεραίων, να λυθεί το σύστημα: xy = z +, y = x + x + 1 Πρόβλημα Να βρείτε τη συνάρτηση f :, για την οποία ισχύει: ( ) ( ) ( ) f x y = f x+ y f x y, για κάθε xy, Να προσδιορίσετε τις τιμές του πραγματικού αριθμού x για τις οποίες ο αριθμός a x + a+ x, όπου a > 1πραγματική παράμετρος, παίρνει ακέραιες τιμές Στη συνέχεια να αποδείξετε ότι είναι δυνατόν να ορίσουμε την τιμή της παραμέτρου a έτσι ώστε ο αριθμός a x + a+ x να είναι ακέραιος περισσότερες ή ίσες από K φορές, όπου K τυχόν θετικός ακέραιος Δίνεται οξυγώνιο σκαληνό τρίγωνο ABC (AB< AC < BC) εγγεγραμμένο σε κύκλο cor (, ) Η προέκταση του ύψους του AD τέμνει τον περιγεγραμμένο κύκλο του cor (, ) στο σημείο E Ο κύκλος c (, ) 1 D DA τέμνει την πλευρά AC στο σημείο T, την ευθεία AB στο σημείο S, τον κύκλο cor (, ) στο σημείο H και την ευθεία OA στο σημείο Z Να αποδείξετε ότι: (α) Το τετράπλευρο SBTC είναι εγγράψιμο σε κύκλο, έστω c (β) Τα σημεία ODEZH,,,, και το κέντρο του κύκλου c, βρίσκονται επάνω στο ίδιο κύκλο