ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 71 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ ΣΑΒΒΑΤΟ, 15 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2011

Transcript

1 Τηλ Fax: Tel Fax: ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΑΒΒΑΤΟ, 5 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 0 ΟΔΗΓΙΕΣ ΠΡΟΣ ΤΟΥΣ ΠΡΟΕΔΡΟΥΣ ΤΩΝ ΤΟΠΙΚΩΝ ΝΟΜΑΡΧΙΑΚΩΝ ΕΠΙΤΡΟΠΩΝ, ΠΡΟΕΔΡΟΥΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΩΝ ΚΕΝΤΡΩΝ ΚΑΙ ΕΠΙΤΗΡΗΤΕΣ. Παρακαλούμε να διαβάσετε προσεκτικά τις οδηγίες στους μαθητές.. Οι επιτηρητές των αιθουσών θα διανείμουν πρώτα κόλλες αναφοράς, στις οποίες οι μαθητές θα πρέπει απαραίτητα να γράψουν ΕΠΩΝΥΜΟ, ΟΝΟΜΑ, ΣΧΟΛΕΙΟ, ΤΑΞΗ, ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΚΑΤΟΙΚΙΑΣ και ΤΗΛΕΦΩΝΟ, τα οποία θα ελεγχθούν σε αντιπαραβολή με την ταυτότητα που θα έχουν οι εξεταζόμενοι, πριν καλυφθούν και μετά θα γίνει η υπαγόρευση ή διανομή φωτοτυπιών των θεμάτων στους μαθητές. 3. Να φωτοτυπηθεί και να μοιραστεί σε όλους τους μαθητές η επιστολή που σας αποστέλλουμε μαζί με τα θέματα. 4. Η εξέταση πρέπει να διαρκέσει ακριβώς τρεις (3) ώρες από τη στιγμή που θα γίνει η εκφώνηση των θεμάτων (9- περίπου). Δε θα επιτρέπεται σε κανένα μαθητή ν' αποχωρήσει πριν παρέλθει μία ώρα από την έναρξη της εξέτασης. 5. Οι επιτηρητές των αιθουσών έχουν το δικαίωμα ν' ακυρώσουν τη συμμετοχή μαθητών, αν αποδειχθεί ότι αυτοί έχουν χρησιμοποιήσει αθέμιτα μέσα, σημειώνοντας τούτο στις κόλλες των μαθητών. Η επιτροπή Διαγωνισμών της Ε.Μ.Ε. έχει δικαίωμα να επανεξετάσει μαθητή αν έχει λόγους να υποπτεύεται ότι το γραπτό του είναι αποτέλεσμα χρήσης αθέμιτου μέσου. 6. Υπολογιστές οποιουδήποτε τύπου καθώς και η χρήση κινητών απαγορεύονται. 7. Αμέσως μετά το πέρας της εξέτασης, οι κόλλες των μαθητών πρέπει να σφραγιστούν εντός φακέλου ή φακέλων, που θα έχουν την υπογραφή του υπεύθυνου του εξεταστικού κέντρου και ν' αποσταλούν στην Επιτροπή Διαγωνισμών της Ε.Μ.Ε., Πανεπιστημίου 34, Αθήνα, αφού πρώτα στα παραρτήματα, εφόσον είναι εφικτό, γίνει μία πρώτη βαθμολόγηση, σύμφωνα με το σχέδιο βαθμολόγησης της επιτροπής διαγωνισμών. 8. Τα αποτελέσματα του διαγωνισμού θα σταλούν στους Προέδρους των Τοπικών Νομαρχιακών Επιτροπών (ΤΝΕ) και τα Παραρτήματα της Ε.Μ.Ε. 9. Η Εθνική Ολυμπιάδα Μαθηματικών «ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ» θα γίνει στις 6 Φεβρουαρίου 0 στην Αθήνα. Από το διαγωνισμό αυτό και επί πλέον από ένα τελικό προκριματικό διαγωνισμό στην Ε.Μ.Ε. συνοδευόμενο από μια προφορική εξέταση με προκαθορισμένη διαδικασία θα επιλεγούν οι εθνικές ομάδες, που θα συμμετάσχουν στην 8 η Βαλκανική Μαθηματική Ολυμπιάδα (Ρουμανία, Μάιος 0), στην 5 η Βαλκανική Μαθηματική Ολυμπιάδα Νέων (Κύπρος, Ιούνιος 0) και στην 5η Διεθνή Μαθηματική Ολυμπιάδα (Ολλανδία, Ιούλιος 0). 0. Με την ευκαιρία αυτή, το Δ.Σ. της Ε.Μ.Ε. ευχαριστεί όλους τους συναδέλφους που συμβάλλουν αφιλοκερδώς στην επιτυχία των Πανελληνίων Μαθητικών Διαγωνισμών της Ελληνικής Μαθηματικής Εταιρείας.. Παρακαλούμαι τον Πρόεδρο της ΤΝΕ να αναπαράγει με τα ονόματα των επιτηρητών την ευχαριστήρια επιστολή του Δ.Σ. της Ελληνικής Μαθηματικής Εταιρείας και την παραδώσει στους επιτηρητές. ΓΙΑ ΤΟ Δ.Σ. ΤΗΣ Ε.Μ.Ε. Ο Πρόεδρος Καθηγητής Γρηγόρης Καλογερόπουλος Ο Γενικός Γραμματέας Ιωάννης Τυρλής

2 Τηλ Fax: Tel Fax: Αθήνα, 5 Ιανουαρίου 0 Αγαπητοί μαθητές, Σας καλωσορίζουμε στο διαγωνισμό της Ελληνικής Μαθηματικής Εταιρείας (ΕΜΕ) ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ. Σήμερα δεν δίνετε τις συνηθισμένες εξετάσεις. Συμμετέχετε σε έναν αγώνα του πνεύματος. Και μόνο η απόφασή σας για συμμετοχή και η πρόκρισή σας από τον προηγούμενο διαγωνισμό ΘΑΛΗΣ είναι μια επιτυχία. Με την ευκαιρία αυτής μας της επικοινωνίας θα θέλαμε να σας πληροφορήσουμε για τα εξής : Στα περιοδικά της ΕΜΕ Ευκλείδης Α και Ευκλείδης Β δημοσιεύονται εκτός των άλλων θεμάτων ανά τάξη και θέματα με τις λύσεις τους από Διεθνείς Μαθηματικούς Διαγωνισμούς. Επίσης έχουν εκδοθεί βιβλία της ΕΜΕ με τα θέματα των Διεθνών Μαθηματικών Ολυμπιάδων ( τεύχη), Βαλκανικών Μαθηματικών Ολυμπιάδων ( ), Θεωρίας αριθμών και τα βιβλία με τα Θέματα των Ελληνικών Μαθηματικών Διαγωνισμών σε τεύχη. Επιπλέον, η ΕΜΕ θα οργανώσει Θερινά Σχολεία διάρκειας μιας εβδομάδας προς το τέλος Ιουλίου και αρχές Αυγούστου 0. Τα μαθήματα θα επικεντρωθούν σε ειδικά Κεφάλαια της σχολικής ύλης και σε θέματα Μαθηματικών Ολυμπιάδων. Λεπτομέρειες θα ανακοινωθούν στον επόμενο διαγωνισμό και στην ιστοσελίδα της ΕΜΕ. Για το νέο έτος το Δ.Σ. της ΕΜΕ σας εύχεται ολόψυχα καλή χρονιά, προσωπική και οικογενειακή ευτυχία. ΓΙΑ ΤΟ Δ.Σ. ΤΗΣ Ε.Μ.Ε. Ο Πρόεδρος Καθηγητής Γρηγόρης Καλογερόπουλος Ο Γενικός Γραμματέας Ιωάννης Τυρλής

3 Τηλ Fax: Tel Fax: ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΑΒΒΑΤΟ, 5 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 0 B τάξη Γυμνασίου (α) Να συγκρίνετε τους αριθμούς Α= : και : + + Β= γ (β) Αν ισχύει ότι: + + =, α β 6 6 να βρείτε την τιμή της παράστασης: 8 α β γ 3 Γ= α 3β Μονάδες Πρόβλημα Ένας έμπορος αυτοκινήτων είχε στο κατάστημά του την αρχή της περυσινής χρονιάς 0 αυτοκίνητα τύπου Α και 60 αυτοκίνητα τύπου Β. Η τιμή πώλησης για κάθε αυτοκίνητο τύπου Α είναι 0000 ευρώ, ενώ για κάθε αυτοκίνητο τύπου Β είναι 000 ευρώ. Στο τέλος της χρονιάς είχε πουλήσει το 30% των αυτοκινήτων τύπου Α και το 60% του συνόλου των αυτοκινήτων τύπου Α και Β. Να βρείτε ποιο θα είναι το κέρδος του από την πώληση των αυτοκινήτων, αν γνωρίζετε ότι από καθένα αυτοκίνητο τύπου Α κερδίζει το 5% της τιμής πώλησής του, ενώ από καθένα αυτοκίνητο τύπου Β κερδίζει το 0% της τιμής πώλησής του. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ=ΑΓ και Α= ˆ Από την κορυφή Α φέρουμε ευθεία ε παράλληλη προς την πλευρά ΒΓ. Η διχοτόμος της γωνίας Β τέμνει την πλευρά ΑΓ στο σημείο Δ και την ευθεία ε στο σημείο Ε. Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα ΑΒΔ, ΒΓΔ, ΑΔΕ και ΑΒΕ είναι ισοσκελή. Να προσδιορίσετε τριψήφιο θετικό ακέραιο Α = αβγ = 00α + 0β + γ, αν ισχύουν και οι τρεις επόμενες προτάσεις: (i) Α Β= 7, όπου Β= αγβ = 00α + 0γ + β. (ii) Το άθροισμα των ψηφίων β, γ ισούται με το μικρότερο ακέραιο που είναι λύση της ανίσωσης: 3x + < 5x. (iii) Ο αριθμός Α διαιρείται με το 3.

4 Τηλ Fax: Tel Fax: ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΑΒΒΑΤΟ, 5 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 0 Γ τάξη Γυμνασίου (α) Να λύσετε την εξίσωση: x x =. Μονάδες 4 8 (β) Να βρείτε την τιμή της παράστασης: 3 Α= + 9β 0, β 9 3β για β =. 3 Πρόβλημα Οι ακέραιοι α, β είναι μεγαλύτεροι ή ίσοι του 0 και τέτοιοι ώστε ( ) ( ) α 0, β και α 40 β 0. Να βρείτε τη μεγαλύτερη και τη μικρότερη της παράστασης Α = 3α β. Δίνεται τετράγωνο ΑΒΓΔ πλευράς α και ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΕ εξωτερικά του τετραγώνου ΑΒΓΔ. Δίνεται ακόμη ότι ο κύκλος C που περνάει από τα σημεία Γ, Δ και Ε έχει ακτίνα 4 cm. (i) Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΕΔΓ είναι ισοσκελές. Μονάδες (ii) Να βρείτε την πλευρά α του τετραγώνου. Μονάδες (iii) Να βρείτε το εμβαδόν της επιφάνειας που βρίσκεται εξωτερικά του σχήματος ΕΑΒΓΔΕ και εσωτερικά του κύκλου C. Μονάδες Να προσδιορίσετε τριψήφιο θετικό ακέραιο Α = αβγ = 00α + 0β + γ, αν ισχύουν και οι τρεις επόμενες προτάσεις: (i) Α Β= 98, όπου Β= γβα = 00γ + 0β + α. x + α γ α γ (ii) Η εξίσωση = έχει δύο ρίζες με άθροισμα 4. α γ x (iii) Ο αριθμός Α διαιρείται με το 9.

5 Τηλ Fax: Tel Fax: ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΑΒΒΑΤΟ, 5 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 0 Α τάξη Λυκείου (i) Να βρείτε τις τιμές των ρητών αριθμών α, β για τις οποίες ο αριθμός α + β 0 είναι ρητός. (ii) Να αποδείξετε ότι ο αριθμός x = 5 + είναι άρρητος. Μονάδες Πρόβλημα Να προσδιορίσετε τις λύσεις της εξίσωσης ( ) x = x + 4α, για τις διάφορες τιμές του πραγματικού αριθμού α. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και ευθεία ( ε ) που διέρχεται από την κορυφή του Α και είναι παράλληλη προς τη πλευρά ΒΓ. Η διχοτόμος της γωνίας ˆΒ τέμνει την ευθεία (ε ) στο σημείο Δ και έ- στω Ε το συμμετρικό του Δ ως προς τη κορυφή Α. Από το Α τέλος θεωρούμε παράλληλη προς την ΕΒ η οποία τέμνει τη ΒΔ στο σημείο M και τη ΒΓ στο σημείο Κ. Να αποδείξετε ότι: ΑΒ = ΒΚ = ΚΔ = ΔΑ. Να προσδιορίσετε τους πραγματικούς αριθμούς α, βγ, που ικανοποιούν τις ισότητες α + β + γ = 00 και αβ + βγ + γα =

6 Τηλ Fax: Tel Fax: ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΑΒΒΑΤΟ, 5 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 0 Β τάξη Λυκείου Να λύσετε στους πραγματικούς αριθμούς την εξίσωση ( ) x = x + α, για τις διάφορες τιμές του πραγματικού αριθμού α. Πρόβλημα Να λύσετε στους πραγματικούς αριθμούς το σύστημα: x + y + z = 8 x + y + z = 6 Αν οι αβγ,, ( ) xy + xz = yz +. είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί τέτοιοι ώστε + + =, να αποδεί- α β γ αβγ ξετε ότι: ( α +β ) γ ( β +γ ) α ( γ +α ) β + + <. α +β β +γ γ +α Πότε ισχύει η ισότητα; Δίνεται οξυγώνιο και σκαληνό τρίγωνο ΑΒΓ (με ΑΒ< AΓ) εγγεγραμμένο σε κύκλο () c με κέντρο O και ακτίνα R. Από το σημείο Α φέρνουμε τις δύο εφαπτόμενες προς τον κύκλο ( c ), που έχει κέντρο το σημείο O και ακτίνα r = OM ( M είναι το μέσο της BΓ ). Η μία εφαπτόμενη εφάπτεται στο κύκλο ( c ) στο σημείο T, τέμνει την ΒΓ στο σημείο Ν και το κύκλο () c στο σημείο N (θεωρούμε BN < BM ). Η άλλη εφαπτόμενη εφάπτεται στο κύκλο ( c ) στο σημείο Σ, τέμνει την ΒΓ στο σημείο K και το κύκλο () c στο σημείο K (θεωρούμε ΓK< ΓM). Να αποδείξετε ότι οι ευθείες BN, ΓΚ και AM περνάνε από το ίδιο σημείο (συντρέχουν).

7 Τηλ Fax: Tel Fax: ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΑΒΒΑΤΟ, 5 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 0 Γ τάξη Λυκείου Αν οι αβγ,, είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί με άθροισμα, να αποδείξετε ότι: ( 4 ) ( 4 ) ( 4 ) α + β γ β + γ α γ + α β + + > 4αβ 4βγ 4γα Πρόβλημα Να λύσετε στους πραγματικούς αριθμούς το σύστημα: x + xy = 5 y 3xy =. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ εγγεγραμμένο σε κύκλο () c με κέντρο O και ακτίνα R. Ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου ΑOB (έστω ( c )), τέμνει την AΓ στο σημείο K και την ΒΓ στο σημείο Ν. Έστω (c ) ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου ΓΚΝ και (c 3) ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου O ΓΚ. Να αποδείξετε ότι οι κύκλοι ( c ), (c ) και ( c3 ) είναι ίσοι μεταξύ τους. * Η ακολουθία a, n n, ορίζεται αναδρομικά από τις σχέσεις k * a = n a + n, n, n a =, όπου k θετικός ακέραιος. (i) Να προσδιορίσετε το γενικό όρο an της ακολουθίας ως συνάρτηση των n και k. Μονάδες (ii) Να αποδείξετε ότι υπάρχουν μοναδικοί θετικοί ακέραιοι k, n τέτοιοι ώστε : a n =. 000