απόσταση ταλαντωτή από τη ΘΙ είναι 5cm τότε στην αντικατάσταση το µέγεθος αυτό ενδεχοµένως να είναι αρνητικό.. χ-t, υ-t, α-t

Transcript

1 1 ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ 1. εργάζοµαι µε µονάδες SI. κάνω σωστές πράξεις 3. χρησιµοποιώ τα σύµβολα που δόθηκαν και όχι δικά µου 4. προσέχω αν ζητιέται το µέτρο του µεγέθους ή η αριθµητική του τιµή 5. βρίσκω µε βάση γεωµετρία αποστάσεις, γωνίες, εµβαδά κτλ 6. Υποχρεωτικά κάνω σχήµα και ορίζω θετική φορά αν δεν δίνεται. ΘΙ Το διάνυσµα της επιτάχυνσης του ταλαντωτή κατευθύνεται προς τη θέση ισορροπίας ανεξάρτητα από τη θέση και τη ταχύτητα του σώµατος 8. Οι εξισώσεις χ-t, υ-t, α-t µας δίνουν την αριθµητική τιµή γιαυτό χρειάζεται προσοχή κατά την αντικατάσταση πχ αν δίνεται ότι η απόσταση ταλαντωτή από τη ΘΙ είναι 5cm τότε στην αντικατάσταση το µέγεθος αυτό ενδεχοµένως να είναι αρνητικό.. 9. Ενδεχοµένως να χρειάζονται οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων χ-t, υ-t, α-t 10. στις γραφικές παραστάσεις U χ ΣF-χ το πεδίο ορισµού του χ είναι από Α έως Α και αυτό το δείχνουµε στο διάγραµµα. 11. Η συνισταµένη δύναµη που δέχεται ο ταλαντωτής λέγεται δύναµη επαναφοράς ΣF= - Dχ το χ µετριέται από ΘΙ. Tο διάνυσµα της δύναηµης κατευθύνεται πάντα προς τη ΘΙ 1. Αν ταλαντωτής είναι σώµα ελατήριο τότε: Κάνω ένα πολύ καλό σχήµα, µισή σελίδα Στο σχήµα τα πρέπει να έχω σχεδιάσει και το ελατήριο στο φυσικό µήκος τη ΘΙ και την ακραία θέση Η θέση ισορροπίας βρίσκεται παίρνοντας τη συνθήκη ΣF=0 Η δύναµη του ελατηρίου έχει µέτρο F ελ =Κχ 1 και το χ 1 µετριέται από το φυσικό µήκος Για το ταλαντωτή έχουµε ΣF =Κχ αλλά ΠΡΟΣΟΧΗ το χ µετριέται από τη θέση ισορροπίας ΧΡΗΣΙΜΟΠΟΙΩ ΤΟ ΣΥΜΒΟΛΟ χ ΜΟΝΟ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΠΟΜΑΚΡΥΝΣΗ ΚΑΙ ΟΧΙ ΓΙΑ ΑΛΛΕΣ ΑΠΟΣΤΑΣΕΙΣ Αν αλλάζει η θέση ισορροπίας τότε σχεδιάζω και τη νέα θέση ισορροπίας και παίρνω τη συνθήκη ΣF=0

2 για δεύτερη φορά για να βρω το χ που µετριέται από το φυσικό µήκος. 13. προσέχω αν ο ταλαντωτής έχει αρχική φάση, για να τη βρω θέτω τα δεδοµένα στην εξίσωση αποµάκρυνσης ή ταχύτητας τη χρονική στιγµή t=0 Προσοχή αν τη στιγµή 0 είναι στη ΘΙ µε αρνητική ταχύτητα η αρχική φάση είναι π 14. το πλάτος ταλάντωσης δεν καθορίζεται από το ταλαντωτή αλλά από εκείνον που έδωσε στο ταλαντωτή την ενέργεια 15. Η αριθµητική τιµή αποµάκρυνσης και η αριθµητική τιµή επιτάχυνσης συνδέονται µε τη σχέση α=-ω χ έτσι αν δίνεται ένα από αυτά δύο µεγέθη αυτοµάτως υπολογίζω το άλλο υ 16. Η σχέση x + = A είναι πάρα πολύ χρήσιµη, προσοχή αν ω ζητιέται το χ ή η ταχύτητα υπάρχουν δύο λύσεις και πρέπει να διαλέξω τη µία µε βάση τα δεδοµένα 17. το χ και το υ στη παραπάνω εξίσωση αναφέρονται στην ίδια θέση του σώµατος Αν χρειασθεί να πάρω το ΘΜΚΕ (συνήθως το αποφεύγω και αντί για αυτό χρησιµοποιώ τη σχέση που αναφέρθηκε προηγουµένως ) θα γράφω οµως για ποιες θέσεις του σώµατος το εφαρµόζω Επειδή στην εφαρµογή του ΘΜΚΕ γίνονται τα πιο πολλά λάθη προσέχω: Το έργο βάρους είναι θετικό όταν το σώµα κατεβαίνει κατά h (h κατακόρυφη µετατόπιση) Το έργο βάρους είναι αρνητικό όταν το σώµα ανεβαίνει Τα έργο δύναµης ελατηρίου = U αρχ U 1 U = Kχ 1 W F τελ χ µετριέται από φυσικό µήκος Παίρνω το θεώρηµα ΜΚΕ, ΠΡΙΝ τη κρούση ή ΜΕΤΑ Μετρώ σωστά τις ποσότητες που εµπλέκονται στο ΘΜΚΕ 1. Αποφεύγω ΘΜΚΕ όταν έχω σύστηµα σωµάτων 13. Όταν υπολογίζω περίοδο ταλαντωτή προσέχω τη µάζα του ταλαντωτή γιατί µπορεί ένα σώµα µε µάζα που κρεµόταν σε ελατήριο να µην ταλαντώνεται αλλά να ταλαντώνεται το συσσωµάτωµα που προέκυψε 14. Όταν λύνω τριγωνοµετρική εξίσωση έχω απειρία λύσεων ενδεχοµένως να απορρίψω κάποιες που δεν συµβιβάζονται µε τα δεδοµένα πχ όταν η αποµάκρυνση είναι +Α/ και το σώµα κατευθύνεται προς τη θέση Ισορροπίας (αρνητική ταχύτητα) τότε έχω τις λύσεις 5π π ω t+ ϕ o = kπ + ω t+ φo = kπ θέτοντας αυτές στην εξίσωση ταχύτητα ς µόνο η δεύτερη δίνει αρνητική ταχύτητα

3 3 15. αν ζητιέται να δείξουµε ότι το σώµα κάνει ΑΑΤ σχεδιάζω στο σώµα όλες τις δυνάµεις εντοπίζω ΘI και µετρώ αποστάσεις από αυτή ορίζω θετική φορά από τη µεριά που βρίσκεται το σώµα βρίσκω τη συνισταµένη των δυνάµεων µε βάση τη φορά που όρισα και πρέπει να φθάσω σε εξίσωση ΣF= - D χ 16. Προσέχω το ξεκίνηµα του ταλαντωτή από ποια θέση έγινε Αν έγινε από ΘΙ τότε έχει υ max και έχω υ max =ωα Αν έγινε από ακραία θέση τότε η απόσταση της ακραίας θέσης από τη m 1 ΘΙ είναι το πλάτος πχ αν κοπεί το σχοινί το µι ξεκινά από ακραία θέση Αν έγινε από µια άλλη θέση (πχ θέση Γ στο σχήµα) λόγω πρόσκρουσης ενός άλλου σώµατος τότε υ x + κ = ω Το χ είναι αυτό που φαίνεται στο σχήµα και το υ κ η κοινή ταχύτητα Προσοχή τα χ 1 και χ µετριώνται από το φυσικό µήκος ενώ το χ είναι η απόσταση της θέσης από τη νέα ΘΙ A χ 1 Γ χ Αρχική ΘΙ Φυσικό µηκος υ κ χ Α Νέα ΘΙ

4 4 17. Συνηθίζονται θέµατα όπως αυτό που δείχνει η εικόνα δηλαδή σφήνωµα βλήµατος σε σώµα που κάνει ταλάντωση τότε έχω αλλαγή ω!!!!!!!!!!!!!!!!!! ή ορµή διατηρείται µόνο στο χ άξονα Αν γίνει το σφήνωµα στην ακραία θέση ΕΝ µεταβάλλεται η ολική ενέργεια ούτε το πλάτος ταλάντωσης µεταβάλλονται τα ω, υ max, Αν γίνει το σφήνωµα στην ΘΙ τότε ακαριαία µεταβάλλεται η µέγιστη ταχύτητα οπότε έχω αλλαγή πλάτους,ενέργειας κτλ υ 1max =ω 1 Α 1 Αν γίνει το σφήνωµα γίνει σε κάποια θέση µε αποµάκρυνση χ τότε έχω απότοµη µεταβολή της ταχύτητας λόγω διατήρησης ορµής στο χ άξονα και για τη θέση αυτή έχω µε x = + ω υ υ 1 τη κοινή ταχύτητα 1 1 A γραφικές παραστάσεις Κ και U σε συνάρτηση µε το χρόνο, τι προσέχω : Ότι οι τιµές Κ και U είναι θετικές. Ότι η περίοδος των συναρτήσεων είναι η µισή από τη περίοδο του ταλαντωτή Μήπως ο ταλαντωτής έχει φάση δηλ δεν παίρνω έτοιµες τις συναρτήσεις τις αποδεικνύω Θυµάµαι ότι Κ max =Ε Κ+U= Ε U max =E 18. Πως από µια εξίσωση πηγαίνω σε άλλη αν δίνεται η εξίσωση αποµάκρυνσης τότε µε παραγώγιση βρίσκω την εξίσωση της ταχύτητας πχ αν δίνεται η εξίσωση ταχύτητας τότε η εξίσωση της αποµάκρυνσης έχει φάση µικρότερη από την εξίσωση της ταχύτητας κατά π/ όµως ίδιος ο τριγωνοµετρικός αριθµός (ελέγχω την εξίσωση που βρήκα αν µε παραγώσιση µου δίνει τη εξίσωση της ταχύτητας) π τότε π π υ = ηµ 3t + χ = Aηµ 3t Η εξίσωση της επιτάχυνσης βρίσκεται από τη σχέση α=-ω χ

5 5 Ο ρυθµός 19. Αν δοθεί διάγραµµα για κάποιο µέγεθος τότε ιαβάζω ποια µεγέθη µου δόθηκαν στους άξονες και τις µονάδες τους Αξιοποιώ όλα τα δεδοµένα που υπάρχουν στο διάγραµµα για τη λύση πχ από το διάγραµµα για ένα σώµα που κάνει ταλ ντωση στο άκρο κατακόρυφου ελατηρίου βρίσκω Μέγιστη δύναµη ελατηρίου, ελάχιστη δυναµη ελατηρίου, βάρoς σώµατος µάζα σώµατος a max τις στιγµές t 1 =T/1 t =5T/1 F ελ (Ν) 15,0 1,5 t 10,0 7,5 5,0 t 1 t χρόνος

6 6 Κυκλώµατα L-C 1. χρησιµοποιώ τύπους βιβλίου αν δίνεται ότι για t=0 ο πυκνωτής είναι φορτισµένος µε το µέγιστο φορτίο. Αν για t=0 είναι φορτισµένος µε φορτίο µικρότερο από το µέγιστο τότε ΕΝ ισχύουν οι εξισώσεις του βιβλίου 3. Για τη λύση καταφεύγω στους τύπους ενέργειας πολλές φορές για την ίδια άσκηση 4. προσοχή στις µονάδες µf και mh 5. Αν δίνονται δεδοµένα κάποια στιγµή εντοπίζω αν πρόκειται για άδειασµα πυκνωτή ή για γέµισµα τη στιγµή αυτή 6. χρησιµοποιώ τη σχέση i + ( qω ) = I σε πάρα πολλές περιπτώσεις όµως πρέπει να την αποδείξω 7. Αποφεύγω πολύπλοκες πράξεις σε τελικούς τύπους 8. θυµάµαι ότι ο ρυθµός µεταβολής ενέργειας του πυκνωτή και ο ρυθµός µεταβολής ενέργειας του πηνίου, σε κύκλωµα αµείωτων ταλαντώσεων,συνδέονται µε τη σχέση du dt du = dt 9. για το ρυθµό µεταβολής ενέργειας στο πυκνωτή ή στο πηνίο έχω du dt E E B Αυτό προκύπτει από το γεγονός ότι η ενέργεια που φεύγει από το πυκνωτή µεταφέρεται εξ ολοκλήρου στο πηνίο δηλ αρνητικός ο ρυθµός ενέργειας; στο πυκνωτή και θετικός στο πηνίο (µπορεί να ισχύει και το αντίστροφο) 10. Θυµάµαι ότι το µέτρο της τάσης στο πυκνωτή και το µέτρο της τάσης στο πηνίο είναι ίσα λόγω του ότι τα στοιχεία είναι παράλληλα E = αυτ = V i V c c 11. Ακόµη το µέτρο της ΗΕ από αυτεπαγωγή είναι ίσο µε di Eαυτ = L dt ηλαδή παραγώγιση του ρεύµατος και µε βάση τη προηγούµενη σχεση βρίσκω την Ε αυτ 1. γραφικές παραστάσεις U E και U B σε συνάρτηση µε το χρόνο, τι προσέχω : Ότι οι τιµές U E και U B είναι θετικές. Ότι η περίοδος των συναρτήσεων ενέργειας είναι η µισή από τη περίοδο του ταλάντωσης. Μήπως ο ταλαντωτής έχει αρχική φάση αν έχει δεν παίρνω έτοιµες τις συναρτήσεις ενεργειών µε χρόνο τις αποδεικνύω U E E U B E tmx = tmx =

7 7 Θυµάµαι ότι U E +U B = Ε U E T/ t Μόνο αν έχω τη περίπτωση του βιβλίου είναι έτσι η γραφική παράσταση!!! 19. Πως από µια εξίσωση πηγαίνω σε άλλη αν δίνεται η εξίσωση φορτίου του πυκνωτή τότε µε παραγώγιση βρίσκω την εξίσωση της έντασης του ρεύµατος πχ αν δίνεται η εξίσωση της έντασης του ρεύµατος τότε η εξίσωση του φορτίου έχει φάση µικρότερη από την εξίσωση της έντασης κατά π/ όµως ίδιος ο τριγωνοµετρικός αριθµός (ελέγχω την εξίσωση που βρήκα αν µε παραγώσιση µου δίνει τη εξίσωση της έντασης του ρεύµατος) i= ηµ 3000t+ π 3 τότε π π q= Qηµ 3000t+ 3 φορτίο ένταση 0. Σχετικά µε την αρχική φάση: Χρησιµοποιώ τους τύπους του βιβλίου όταν δίνεται ότι ο πυκνωτής έχει το µέγιστο φορτίο τη στιγµή t=0 Προφανώς η εξίσωση q=qσυνωt µας δίνει το φορτίο του Γ Γ

8 8 οπλισµού Γ το οποίο στο πρώτο τέταρτο και στο τελευταίο τέταρτο της περιόδου είναι θετικό Ακόµη θυµάµαι αυτό του βιβλίου Α ν δ ί ν ε ότι η ένταση του ρεύµατος είναι θετική αν η συµβατική φορά µεταφέρει φορτία στον οπλισµό που ήταν αρχικά φορτισµένος Εστω ότι κάποια στιγµή έχω την κατάσταση που φαίνεται στο σχήµα και ότι το φορτίο που έχει ο πυκνωτής είναι το µισό του µέγιστου και ακόµη ότι για t =0 είχε τα θετικά φορτία ο Γ τότε η τιµή του ρεύµατος είναι ΑΡΝΗΤΙΚΗ µε4 βάση τη συνθήκη του βιβλίου Από τη σχέση q=qσυν(ωt +φ) βρισκω για q=q/ φ=π/3 ή φ=π-π/3 η δεύτερη λύση αν τεθεί στην εξίσωση ι=-ιηµ(ωt+φ) δίνει ένταση θετική γιαυτο απορίπτεται + + Γ Εστω ότι δίνεται ότι έχω το κύκλωµα του σχήµατος και ότι το ρεύµα έχει σταθεροποιηθεί. Αν δοθεί ότι τη στιγµή 0 µεταφέρω το διακόπτη στη θέση τότε αρχίζουν οι ταλαντώσεις µε αρχική κατάσταση εκείνη που η ολική ενέργεια είναι στο πηνίο. Προφανώς δεν έχει εφαρµογή αυτό που δίνει το βιβλίο Με µόνο αυτό το δεδοµένο έχω δύο λύσεις για τη φάση τις οποίες αναλύω στη συνέχεια

9 9 1 Γ i. Παρατηρω ότι ο κάτω οπλισµός θα αποκτήσει µετα τη στιγµή t =0 θετικά φορτία και ο Γ θα φορτίζεται µε αρνητικό φορτίο Αν θεωρήσω ότι η εξίσωση του φορτίου θα µου δίνει το φορτίο του οπλισµού Γ τότε η εξίσωση του φορτίου είναι q= -Qηµωt µε παραγώγιση βρίσκω την εξίσωση της έντασης του ρεύµατος 1 Γ ii. Αν δοθεί ότι η εξίσωση θα δίνει το φορτίο του οπλισµού τότε q=qηµωt και µε µε παραγώγιση βρίσκω την εξίσωση της έντασης του ρεύµατος

10 10 Γ iii. Αν δοθεί το κύκλωµα του σχήµατος (πηνίο ιδανικό) τότε Ο πυκνωτής,όση ώρα είναι κλειστός ο διακόπτης, δεν έχει φορτία Η ένταση του ρεύµατος έχει φθάσει στη µέγιστη τιµή Ι=Ε/R Με το ανοιγµα του διακόπτη δ αρχιζουν οι ηλεκτρικές ταλαντώσεις Ο οπλισµός φορτίζεται αρχικά µε θετικά φορτία Για t =0 η ενέργεια του πηνίου είναι µέγιστη και φυσικά έχω µέγιστο ρεύµα Ι Για να γράψω εξισώσεις βάζω προυπόθεση δηλ η εξίσωση του φορτίου να µου δίνει τα φορτία του Γ ή του όπως στη προηγούµενη περίπτωση

11 11 Συνθεση αρµονικών ταλαντώσεων µε ίδιες συχνότητες διεύθυνση και ΘΙ Κάνω οπωσδήποτε το ανυσµατικό διάγραµµα ακόµα και αν δεν ζητιέται προσέχοντας τη φάση κάθε ταλάντωσης Η διαφορά φάσης βρίσκεται ως εξής φ= φάση της ταλάντωσης φάση της ταλάντωσης 1 Οπωσδήποτε το φ πρέπει να είναι θετικό ΕΝ χρησιµοποιώ το τύπο του βιβλίου για την εφθ αν τον χρησιµοποιήσω θα πρέπει η ταλάντωση που χαρακτηρίζεται µε το δείκτη να έχει µεγαλυτερη φάση από την άλλη ειδικότερα Αν το σχηµατιζόµενο παραλληλογραµµο είναι τετράγωνο ή ρόµβος η γωνία θ είναι το ΜΙΣΟ της διαφοράς φασης θ=φ/ Αν είναι ορθογώνιο τότε Αν δεν είναι τίποτα από αυτά που αναφερθηκαν κάνω το σχήµα και αποδεικνύω το τύπο για την εφθ για τη περίπτωση µου

12 1 Για να γράψω την εξίσωση της αποµάκρυνσης για τη συνισταµένη ταλάντωση και ειδικά για τη φαση εργαζοµε ως εξής Φάση συνισταµένης ταλάντωσης = φάση της ταλάντωσης που καθυστερεί + θ Γενικά ΕΝ ισχύει Ε ολ συνισταµένης ταλ = Ε ολ ταλάντωσης 1 +Ε ολ ταλ ισχύει αν η διαφορά φάσης των ταλαντώσεων είναι π/ Χρησιµοποιώ την αρχή της επαλληλίας σε κάθε περίπτωση ειδικά σε γραφικές παραστάσεις ΣΤΑΣΙΜΑ ΚΥΜΑΤΑ (ΕΓΚΑΡΣΙΑ) ΣΕ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΕΛΑΣΤΙΚΟ ΜΕΣΟ 1. ΣΧΗΜΑΤΑ ΠΑΝΤΑ ME MOΛYBI... στο χαρτί µε τα θέµατα κυκλώνω µε µολύβι λεξεις ή φράσεις για να µη χρειάζοµε να διαβάζω πολλές φορές ολη την εκφώνιση πχ εγκάρσιο κύµα κτλ 3. Αν ίδια κύµατα διαδίδονται σε αντίθετες κατευθύνσεις συµβάλουν στη θέση χ=0 και διαδίδονται σύµφωνα µε το µηχανισµό πρώτα όρος και µετά κοιλάδα, στο σηµείο συνάντησης έχω κοιλία κίνησης Κατά τα γνωστά βρίσκω τις θέσεις κοιλιών και δεσµών. Η εξίσωση του στάσιµου είναι η εξίσωση του βιβλίου όπως και οι εξισώσεις των τρεχόντων H συµβολή αρχίζει τη στιγµή t=0 (ΑΝ η συµβολή των δύο κυµάτων αρχιζε απο οποιοδήποτε άλλο σηµείο τότε το σηµείο θα ήταν πάλι κοιλια όµως δεν θα ίσχυε η εξίσωση του βιβλίου για το στάσιµο) Ο χ Εικόνα 1 στιγµιότυπο τη στιγµή 0 που αρχίζει η συµβολή των κυµάτων 4. Αν κύµατα διαδίδονται σε αντίθετες κατευθύνσεις συµβάλουν στη θέση χ=0 και διαδίδονται σύµφωνα µε το µηχανισµό πρώτα κοιλάδα και µετά όρος στο σηµείο συνάντησης έχω κοιλία

13 13 κίνησης ΕΝ ισχύουν οι εξισώσεις του βιβλίου ούτε για στάσιµο ούτε για τρέχοντα. Κατά τα γνωστά βρίσκω τις θέσεις κοιλιών και δεσµών. H συµβολή αρχίζει τη στιγµή t=0 ψ Εικόνα στιγµιότυπο τη στιγµή 0 που συναντιώται τα κύµατα στο χ=0 5. Αν τα κύµατα διαδίδονται σε αντίθετες κατευθύνσεις συµβάλουν στη θέση χ=0 και διαδίδονται το ένα σύµφωνα µε το µηχανισµό πρώτα όρος και µετά κοιλάδα ενώ το άλλο µηχανισµό κοιλάδα πρώτα και µετά όρος ενώ το άλλο στο σηµείο συνάντησης έχουµε δεσµό, πολύ εύκολα βρίσκω θέσεις των κοιλιών και δεσµών ΕΝ ισχύει η εξίσωση του στάσιµου του βιβλίου ψ 4. Αν έχω διάδοση κύµατος κατά τη θετική κατεύθυνση και ανάκλαση σε ένα σηµείο (στο τοίχο) τότε δεν ισχύουν οι εξισώσεις του βιβλίου για το στάσιµο όµως στο σηµείο ανάκλασης έχω δεσµό οπότε µπορώ να βρω τις θέσεις δεσµών και κοιλιών ψ Ο χ

14 14 Εικόνα 4 Στιγµιότυπο τη στιγµή t 1 που φθάνει το κύµα στο σηµείο ανάκλασης Προσοχή αν το ελαστικό µέσο είναι σχοινι τότε Για να έχω στάσιµο πρέπει να ισχύει L=πολαπλάσιο λ / όπου το µήκος σχοινιού που έχω το χέρι δηµιουργείται δεσµός.η σχεδον δεσµός Η συµβολή δεν αρχίζει τη στιγµή 0 αλλα τη στιγµή t 1 που φθάνει το τρέχον στο τοίχο 5. Αν δίνεται ότι ένα σηµείο του µέσου είναι σε ακραία θέση τότε ΟΛΑ τα σηµεία του ελαστικού µέσου βρίσκονται σε ακραία θέση και µετά Τ/4 θα διέρχονται όλα ταυτόχρονα από τη ΘΙ 6. Το πλάτος ταλάντωσης κάθε υλικού σηµείου υπολογίζεται από τη πx σχέση A1 = Aσυν εφ όσο είναι η περίπτωση του βιβλίου λ 7. Τα σηµεία µεταξύ δύο διαδοχικών δεσµών έχουν ίδια φάση, ίδια διεύθυνση ταχύτητας 8. κάθε σηµείο του ελαστικού µέσου µεταξύ των δεσµών Γ και µε κάθε σηµείο του ελαστικού µέσου µεταξύ των δεσµών και Ζ βρίσκεται σε αντίθεση φάσης δηλ έχουν διαφορά φάσης π ετσι αν ζητιέται η διοφορά φάσης δύο σηµείων σε ΣΤΑΣΙΜΟ δεν τη βρίσκω µε συναρτησεις αλλα µε βάση το στιγµιότυπο Γ Ζ Εικόνα 5 στιγµιότυπο στάσιµου κάποια στιγµή 9. Για να βρω την εξίσωση αποµάκρυνσης ενός σηµείου στη θέση χ 1 θέτω το χ 1 στην εξίσωση στάσιµου!!! Με βάση την εξίσωση της αποµάκρυνσης γράφω και την εξίσωση της ταχύτητας (παραγώγιση) 10. Η εξίσωση αποµάκρυνσης κοιλίας θα πρέπει να προκύψει (µε βάση τη προηγούµενη παρατήρηση ) µία εξίσωση της µορφής ψ=a ηµωt ή ψ=-a ηµωt (µε βάσει τις προυποθέσεις του βιβλίου) υ 11. ισχύει για κάθε σηµείο η εξίσωση ψ + = A όµως προσοχή το ω Α 1 είναι το πλάτος ταλάντωσης του σηµείου αυτού, ψ και υ είναι δεδοµένα αποµάκρυνσης και ταχύτητας για ίδια θέση!!!! Ακόµη εργάζοµαι στο SI 1

15 15 1. όταν ζητιέται στιγµιότυπο στάσιµου κάποια στιγµή t 1 τότε βρίσκω που βρίσκεται µια κοιλία που επιλέγω, τη στιγµή αυτή, και σχεδιάζω το στιγµιότυπο 13. προσοχή άλλο πλάτος ταλάντωσης υλικού σηµείου αν διαδίδεται το ένα κύµα και άλλο όταν έχω στάσιµο 14. συνήθως όταν έχω στάσιµο και δίνεται απόσταση των ακραίων θέσεων µιας κοιλίας, αυτή είναι 4Α 15. Όταν αλλάξω τη συχνότητα του κύµατος σε συγκεκριµένο ελαστικό µέσο τότε αλλάζει και το µήκος κύµατος και ΟΧΙ η ταχύτητα διάδοσης Προφανώς αν έχω στάσιµα τότε θα αλλάξουν θέσεις οι δεσµοί και οι κοιλίες 16. µετρώ αποστάσεις µε θρησκευτική ευλάβεια 17. σε κάθε άσκηση ένα στιγµιότυπο ίσως είναι απαραίτητο 18. Όταν ζητιέται στιγµιότυπο στάσιµου να προσέξετε σε πόσο µήκος σχοινιού ζητιέται να σχεδιασθεί Πχ αν έχω τη περίπτωση συµβολής που δείχνει η εικόνα και µου ζητηθεί στιγµιότυπο τη στιγµιότυπο τη στιγµή Τ/4 τότε θα βρώ σε ποσο µήκος έχω στάσιµο δεν έχω σ ολο το σχοινί Ο χ Τη στιγµή Τ/4 το σηµείο Ο βρίσκεται σε ακραία θέση (ψ=α) εξια από το Ο το στασιµο έχει εξαπλωθεί κατά λ/4 αριστερά από το Ο το στασιµο έχει εξαπλωθεί κατά λ/4 στο υπόλοιπο σχοινι έχω τρέχον κύµα αρα έχω το εξής στιγµιότυπο Ο χ λ/ 19. ΣΕ ΕΡΩΤΗΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΗΣ ΣΧΕ ΙΑΖΩ ΜΕΡΟΣ ΑΠΟ ΤΟ ΣΤΙΓΜΙΟΤΥΠΟ ΓΙΑΤΙ ΜΠΟΡΕΙ ΝΑ ΕΙΝΑΙ ΧΡΗΣΙΜΟ

16 16 0. συνήθως ανακατεύουµε ταχύτητα διάδοσης του κύµατος µε ταχύτητα ταλάντωσης υλικού σηµείου όµως κάτι τέτοιο είναι 1. ΕΝ χρησιµοποιω για σύµβολο σηµείου το γράµµα Α γιατί χρησιµοποιείται για το πλάτος ταλάντωσης. Αν δοθούν οι εξισώσεις τρεχόντων κυµάτων (σε αντίθετες κατευθύνσεις ) που δεν είναι όπως οι εξισώσεις του βιβλίου τότε για να βρω την εξίσωση στάσιµου εφαρµόζω αρχή επαλληλίας ψ=ψ 1 +ψ A+ B A B ηµ A+ ηµ B= ηµ συν 3. Η ταχύτητα διάδοσης κύµατος είναι σταθερή και εξαρτάται µόνο από το ελαστικό µέσο ενώ η ταλάντωσης έχει µεταβλητή αριθµητική τιµή µε το µεγαλύτερο µέτρο να το έχει όταν το υλικό σηµείο διέρχεται από τη ΘΙ

17 17 Τρέχοντα κύµατα t χ 1. Η εξίσωση ψ = A ηµ π ( ) του τρέχοντος κύµατος έχει T λ εφαρµογή στη περίπτωση που συντρέχουν οι προϋποθέσεις : το ελαστικό µέσο συµπίπτει µε τον Οχ η διάδοση γίνεται προς τη θετική κατεύθυνση του χ άξονα η πηγή κυµάτων είναι στο Ο και η εξίσωση για την αποµάκρυνση της είναι ψ=a ηµωt, αυτό δηλώνει ότι τη στιγµή t=0 η ταχύτητα του Ο είναι µέγιστη και έχει θετική φορά κάθε σηµείο του υλικού µέσου τη στιγµή που αρχίζει τη ταλάντωση του έχει φάση 0 γενικά η φάση κάθε σηµείου είναι η ποσότητα t χ Προσοχή αν σε ασκηση ϕ = συντρεχουν π ( ) οι προυποθέσεις για ν α πάρετε αυτά που γραφτηκαν T πιο λ πάνω... EΝ ΑΝΑΚΑΤΕΥΩ ΤΑΧΥΤΗΤΑ ΙΑ ΟΣΗΣ ΜΕ ΤΑΧΥΤΗΤΑ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ ΥΛΙΚΟΥ ΣΗΜΕΙΟΥ 3. Η εξίσωση για την ταχύτητα είναι t χ υ = ωaσυν π ( ) T λ εφοσο ΙΣΧΥΕΙ Η ΕΞΙΣΩΣΗ ΑΠΟΜΑΚΡΥΝΣΗΣ του βιβλιου Επίσης το µέτρο της ταχύτητας βρίσκεται και από ψ υ + ω = A αριϑταλ 4. Η συχνότητα είναι f = t 5. όταν δίνεται ότι ένα υλικό σηµείο του µέσου, σε χρόνο t πέρασε από τη ΘΙ Ν φορές, τότε στο χρόνο αυτό έκανε Ν/ ταλαντώσεις Η συχνότητα θα βρεθεί µε βάση τη προηγούµενη παρατήρηση 6. οδηγίες για στιγµιότυπο ενός εγκάρσιου κύµατος που διαδίδεται στη θετική κατεύθυνση του χ άξονα, τη στιγµή t 1 όταν η πηγή κάνει ταλάντωση της µορφής ψ=a ηµωt τότε η διάδοση γίνεται πρώτα όρος και µετά κοιλάδα δηλ τερµατίζει το όρος.

18 18 Υπολογίζω πόσο µακριά έφθασε το κύµα από τη πηγή χ 1 =ταχύτητα διάδοσης t 1 Θέτω τη στιγµή t 1 στην εξίσωση του κύµατος και φθάνω σε µια συνάρτηση ψ-χ την οποίας κάνω τη γραφική παράσταση ( προσοχή το χ 1 ) Η γραφική παράσταση είναι το ζητούµενο στιγµιότυπο Για επαλήθευση σχεδιάζω το στιγµιότυπο χωρίς την εξίσωση ξεκινώντας από το τέλος.. και το συγκρίνω µε αυτό που έχω σχεδιάσει όρος Απόσταση που διαδόθηκε το κύµα 3. ΣΕ ΕΡΩΤΗΜΑΤΑ ΣΧΕ ΙΑΖΩ ΜΕΡΟΣ ΑΠΟ ΤΟ ΣΤΙΓΜΙΟΤΥΠΟ ΓΙΑΤΙ ΜΠΟΡΕΙ ΝΑ ΕΙΝΑΙ ΧΡΗΣΙΜΟ 4. Η φάση κάθε σηµείου για κύµα που διαδίδεται στη θετική κατεύθυνση του χ άξονα, είναι ίση µε προφανώς η πηγή για κάθε στιγµή έχει τη µεγαλύτερη φάση από κάθε άλλο σηµείο του ελαστικού µέσου. 5. όταν το κύµα φθάσει πρώτα στο σηµείο Γ και µετά στο τότε το Γ έχει µεγαλύτερή φάση από το.η διαφορά φάσης των σηµείων αυτών που απέχουν d είναι ίση µε πd ϕ = λ 6. Αν δύο σηµεία του ελαστικού µέσου απέχουν ακέραιο πολλαπλάσιο του µήκους κύµατος, τότε Για κάθε στιγµή έχουν την ίδια αποµάκρυνση, ίδια ταχύτητα ίδια επιτάχυνση, αυτό είναι πολύ χρήσιµο αν στη περίπτωση που γνωρίζω ένα µέγεθος για το ένα σηµείο δεν χρειάζεται να το υπολογίσω για το άλλο 7. Αν δύο σηµεία του ελαστικού µέσου απέχουν περιττό πολλαπλάσιο του λ/ τότε: Για κάθε στιγµή έχουν αντίθετες αποµακρύνσεις, ψ 1 = - ψ αντίθετες ταχύτητες υ 1 = -υ Αντίθετες επιταχύνσεις, α 1 = -α αυτό είναι πολύ χρήσιµο αν στη περίπτωση που γνωρίζω ένα µέγεθος για το ένα σηµείο δεν χρειάζεται να το υπολογίσω για το άλλο

19 19 7. Για να βρίσκω φορά της ταχύτητας ταλάντωσης κτλ όταν δίνεται κάποιο στιγµιότυπο σχεδιάζω το αµέσως επόµενο στιγµιότυπο έτσι βρίσκω ότι το σηµείο Γ κατευθύνεται προς τα κάτω ενώ το σηµείο προς τα πάνω (τα παραπάνω ισχύουν όταν το κύµα που διαδίδεται στη θετική κατεύθυνση του χ άξονα) t t+ t.γ. 8. Όταν ζητιέται χρονική στιγµή τότε επιλύω τριγωνοµετρική εξίσωση, όµως από τη αρχή βάζω προϋποθέσεις γιατί θα βρω απειρία λύσεων. πχ τη ποια στιγµή το σηµείο στη θέση χ 1 έχει αποµάκρυνση ψ=α/ και κατευθύνεται προς την ακραία θέση για δεύτερη φορά ;( κύµα που διαδίδεται στη θετική κατεύθυνση του χ άξονα,) έτσι Από τα δύο σύνολα λύσεων απορρίπτεται εκείνο που δίνει αρνητική ταχύτητα αφού η ταχύτητα του σηµείου είναι θετική Η φάση του συγκεκριµένου σηµείου πρέπει να είναι µεταξύ π και π+π/ αφού πάει για δεύτερη φορά 9. Όταν ζητιέται η θέση χ σηµείου κάποια δεδοµένη στιγµή τότε επιλύω τριγωνοµετρική εξίσωση, όµως από τη αρχή βάζω προϋποθέσεις γιατί θα βρω απειρία λύσεων. Πχ µια στιγµή t 1 που έχω το στιγµιότυπο που δείχνει η εικόνα, ποια είναι η θέση του πλησιέστερου στη πηγή υλικόυ σηµείου που έχει αποµάκρυνση Α/ και κατευθύνεται προς την ΘΙ; Από τα δύο σύνολα λύσεων απορρίπτεται το ένα που θα δίνει αρνητική ταχύτητα Από το στιγµιότυπο για τη στιγµή που δόθηκε εντοπίζω τη θέση του σηµείου και πρέπει χ<3λ/4

20 0. t χ 10. Η εξίσωση ψ = A ηµ π ( + ) του τρέχοντος κύµατος έχει T λ εφαρµογή στη περίπτωση που συντρέχουν οι προϋποθέσεις του βιβλίου : το ελαστικό µέσο συµπίπτει µε τον Οχ η διάδοση γίνεται προς τη αρνητική κατεύθυνση του χ άξονα δεν γνωρίζουµε που είναι η πηγή κυµάτων µπορούµε να θεωρήσουµε σαν πηγή το Ο τη στιγµή 0 το κύµα έχει φθάσει στην αρχή των αξόνων t χ η φάση κάθε σηµείου είναι φ = π ( + ) προσοχή αν T λ το σηµείο έχει χ αρνητικό!!!!!!! ηλ βρίσκεται πάνω στον αρνητικό ηµιάξονα t=0 c O t 1 χ 1

21 1 11. παρατηρήσεις για στιγµιότυπο εγκάρσιου κύµατος που διαδίδεται προς την αρνητική κατεύθυνση του Οχ (βλέπε προηγούµενη εικόνα) Τη στιγµή t=0 το στιγµιότυπο υπάρχει µόνο στο θετικό ηµιάξονα Οχ!!!!!!!! Για t>0 το στιγµιότυπο έχει καλύψει και τµήµα του αρνητικού ηµιάξονα Για να σχεδιάσω το στιγµιότυπο τη στιγµή t 1 θέτω τη στιγµή t 1 στην εξίσωση του κύµατος και φθάνω σε µια συνάρτηση ψ-χ την οποίας κάνω τη γραφική παράσταση ( προσοχή το χ 1 =ct 1 ) Η γραφική παράσταση είναι το ζητούµενο στιγµιότυπο προσοχή το στιγµιότυπο έχει διαδοθεί σε µήκος χ 1 πάνω στον αρνητικό ηµιάξονα Αν διαδίδεται µε το µηχανισµό πρώτα όρος και µετά κοιλάδα το λαµβάνω υπόψη µου και µπορώ να το σχεδιάσω χωρίς τη µαθηµατική συνάρτηση 11 Για να βρίσκω φορά της ταχύτητας ταλάντωσης κτλ όταν δίνεται κάποιο στιγµιότυπο σχεδιάζω το αµέσως εποµενο στιγµιότυπο έτσι βρίσκω ότι το σηµείο Γ κατευθυνεται προς τα κάτω ενώ το σηµείο προς τα πάνω προσοχή εδώ διαδίδεται πρώτα όρος και µετά κοιλάδα t+ t t

22 Προχωρηµένα θέµατα Εξισώσεις κυµατος σε διάφορες περιπτώσεις Αν για τη στιγµή 0 το στιγµιότυπο κυµατος είναι το παρακάτω τότε τη στιγµή 0 το σηµείο Ο έχει µέγιστη κατά µέτρο και αρνητική ταχύτητα έτσι η εξίσωση αποµάκρυνσης του είναι ψ=αηµ(ωt+π) Προφανώς κάθε σηµείο του ελαστικού µέσου που θα ξεκινά τη ταλάντωση θα έχει φάση π γιαυτο και η εξίσωση του τρέχοντος είναι η: t χ ψ = A ηµ π ( + π ) T λ Ο Αν το στιγµιότυπο τη στιγµή 0 είναι το παρακάτω τότε τότε τη στιγµή 0 το σηµείο Γ έχει µέγιστη κατά µέτρο Για να βρω την εξίσωση κύµατος γράφω t χ την εξίσωση ως εξής ψ = A ηµ π ( + δ ) T λ t χ Για να υπολογίσω το δ θέτω στην εξίσωση φ = π ( + δ ) t =0, T λ χ=d και φ=0 Για το παράδειγµα d =λ οπότε δ=1 d Γ

23 3 ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ 1. αν είναι ηλεκτροµαγνητικό στο κενό και δίνονται οι εξισώσεις θα εξετάσω. Ο δείκτης διάθλασης υλικού έχει διαφορετική τιµή για κάθε ακτινοβολία έτσι όσο µικραίνει το µήκος κυµατος αυξάνει ο δείκτης διάθλασης 3. Οι ακτινοβολίες του ορατού φωτός έχουν µήκη κύµατος από 400nm έως 700nm για το κενό 4. ισχύει ότι 5. Όταν έχω διάθλαση παίρνω το νόµο Snell 6. η γωνία πρόσπτωσης είναι ίση πάντοτε µε τη γωνία ανάκλασης 7. κατά τη διάθλαση αλλάζει η ταχύτητα της ακτινοβολίας και το µήκος κύµατος ΠΟΤΕ η συχνότητα 8. κατά τη διάθλαση από της ακτινοβολίες του ορατού φάσµατος τη µεγαλύτερη εκτροπή παθαίνουν οι ιώδεις 9. Αν η ακτινοβολία διαδίδεται από αραιό σε πυκνό µέσο τότε η διαθλώµενη πλησιάζει τη κάθετη που χαράζω στη διαχωριστική επιφάνεια 10. Όταν το φως διαδίδεται από πυκνό µέσο προς ένα αραιό δεν είναι σίγουρο ότι θα εισχωρήσει το αραιό για γίνει θα πρέπει η γωνία πρόπτωσης να είναι µικρότερη από τη κρίσιµη Υπολογίζω τη κρίσιµη µε βαση το νόµο Snell και το σχήµα 10. Στη διαχωριστική επιφάνεια έχω πάντα ανάκλαση σε κάποιο βαθµό 11. Όταν µια ακτινοβολία πέφτει κάθετα στη διαχωριστική επιφάνεια έχω διάθλαση αφού έχω αλλαγή ταχύτητας όµως η ακτίνα συνεχίζει να διαδίδεται ευθύγραµµα ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ ΚΡΟΥΣΗΣ ΥΟ ΣΩΜΑΤΩΝ Βρίσκω το είδος της κρούσης από δεδοµένα Αν είναι πλαστική έχω δηλ συσσωµάτωµα οπότε διατηρείται µόνο η ορµή. Η απώλεια της κινητικής ενέργειας του συστήµατος είναι ίση µε Κ αρχ συστήµατος Κ τελ συστήµατος Αν ειναι κεντρική και ελαστική διατηρείται εκτός απο την ορµή του συστήµατος και η κινητική ενέργεια του συστήµατος Ειδικότερα αν το ένα είναι ακίνητο χρησιµοποιώ τους τύπους βιβλίου

24 4 Ενώ αν κινούνται και τα δύο πριν τη κρούση αποδεικνύω τους τύπου εφ όσο ζητούνται ταχύτητες µετά τη κρούση ΦΑΙΝΟΜΕΝΟ DOPPLER συµβολα : υ ταχύτητα ηχου υ Α ταχύτητα παρατηρητή υ s ταχύτητα πηγής ήχου σηµαντικό Η διεύθυνση της ταχύτητας παρατηρητή και πηγής ήχου πρέπει να είναι ίδια µε την ευθεία που ενώνει παρατηρητή και πηγή ήχου Αν κινείται ο παρατηρητής τότε

25 5 Η ταχύτητα των ηχητικών κυµάτων που µετράει ο παρατηρητής είναι υ+υ Α εφ πλησιάζει ο παρατηρητής προς τη πηγή υ-υ Α εφόσο αποµακρύνεται ο παρατηρητής από τη πηγή αν κινείται η πηγή αποµακρυνόµενη από παρατηρητή τότε ο παρατηρητής αντιλαµβάνεται µεγαλύτερο µήκος κύµατος

26 6 και πλησιάζει το παρατηρητή τότε το µήκος κύµατος που υπολογίζει ο παρατηρητής είναι µικρότερο 19. εργάζοµαι µε µονάδες SI 0. κάνω σωστές πράξεις Σχεδιαση δυνάµεων 1. Σχεδιάζω σωστά τη στατική τριβή (κύλιση χωρίς στατική τριβή δεν γίνεται ) που δέχεται το στερεό σώµα όπως και τις υπόλοιπες δυνάµεις ειδικότερα: Στα άκρα σχοινιού σχεδιάζω τη δράση και την αντίδραση και λαµβάνω υπόψη ότι έχουν ίδια µέτρα (τρίτος νόµος Νεύτωνα ) Η δράση και η αντίδραση ασκούνται σε διαφορετικά σώµατα πχ τη δράση F 1 τη δεχεται ο κύλινδρος και την αντίδραση F το κιβώτιο εν ξεχνώ ότι, όπου υπάρχει δράση θα υπάρχει και αντίδραση F υ F 1 Σχεδιάζω σωστά τη δύναµη ελατηρίου και για το µέτρο της παίρνω F ελατηρίου =Kχ όπου χ η επιµήκυνση ( ή συσπείρωση) που µετριέται από το ΦΥΣΙΚΟ µήκος. Λαµβάνω υπόψη ότι αν ισορροπεί στερεό και αφαιρέσω κάποια δύναµη (πχ την F εξ στο σχήµα) τότε πιθανότατα αυτές που παρέµειναν δεν έχουν το ίδιο µέτρο που είχαν όταν είχαµε ισορροπία έτσι η δύναµη του σχοινιού αλλάζει

27 7 F εξ φ Η δύναµη της άρθρωσης συνήθως αναλύεται σε κάθετες συνιστώσες Όταν ισορροπεί στερεό και δρουν πάνω τρεις οµοεπίπεδες δυνάµεις οι φορείς τους τέµνονται στο ίδιο σηµείο εκτός και είναι παράλληλες (δες επόµενο σχήµα) εν µπερδεύω τη στατική τριβή µε τη τριβή ολίσθησης Όταν έχω επαφή σωµατος σε λεία επιφάνεια η αντίδραση που Αντίδραση λείου τοίχου δέχεται το σώµα είναι κάθετη στην επιφάνεια Απλές περιπτώσεις µε στατική τριβή R R Τ στατ r F-T=mα TR-Fr=mα F r Τ στατ F+T=mα Fr -TR =mα F

28 8 Τ στα τ υ cm Απαραίτητη η Τ για να έχω α γων υ cm Τ στα Η ροπή του κινητήρα που ασκείται στο τροχό έχει τ σαν αποτέλεσµα να σπρώχνεται από το τροχό,το έδαφος, προς τα πίσω έτσι ο τροχός δέχεται µια στατική τριβή προς τη κατεύθυνση της κίνησης υ cm Τ στα τ F εξω F υ cm Τ στατ Τ στα Αυτή τη κατεύθυνση έχει η Τ στ για να έχω α γων (επιβράδυνση) η κατεύθυνση που έχει τ η Τ στ προκύπτει από εφαρµογή των θεµελιωδών νόµων α cm F Τ στατ φ η κατεύθυνση που έχει η Τ στ είναι έτσι γιατί πρέπει να δηµιουργηθεί γωνιακή επιτάχυνση Αν έχω τριβή ολίσθησης τότε η κατεύθυνση της είναι αντίθετη από την ταχύτητα του σώµατος εκτός από ειδικές περιπτώσεις Εφαρµογή θεµελιωδών νόµων 1. Οταν εφαρµόζω το νόµο στροφικής κίνησης προσέχω που είναι ο άξονας Ο Στ=Ι ο α γων και ΟΧΙ Στ=Ι cm α γων. εφαρµόζω το νόµο της µεταφορικής κίνησης για κάθε σώµα ξεχωριστά προσέχοντας ποια δύναµη έχει το µεγαλύτερο µέτρο (προσέχω ποια είναι η φορά κίνησης του σώµατος)

29 9 Ν 1 m 1 πχ εστω ότι το m 1 ανεβαίνει και το m κατεβαίνει Γράφω Ν 1 -m 1 g=m 1 α αφού η Ν 1 είναι µεγαλύτερη από το m 1 g 3. εφαρµόζω το νόµο της στροφικής κίνησης προσέχοντας το πρόσηµο της ροπής (θετική θεωρώ τη συνισταµένη ροπή θετική ακόµη και αν το σώµα έχει γωνιακή επιβράδυνση ) πχ όταν ανεβαίνει η µπίλια έχουµε υ cm γωνιακή επιβράδυνση παρ όλα αυτά στατική τριβή γράφουµε ΤR=I cm α γων δηλ δεν χρησιµοποιούµε προσηµα για να δείξουµε ότι υπάρχει γωνιακή επιβράδυνση. Για τον ίδιο λόγο γράφουµε mgηµφ -Τ=mα παρ οτι εχουµε επιβράδυνση του κέντρου µάζας 4. Στις περιπτώσεις συστήµατος σωµάτων συνδεµένων µε το σχοινί τότε όλα τα σηµεία του σχοινιού έχουν την ίδιο µέτρο ταχύτητας!!!!!!!! 5. Στις περιπτώσεις συστήµατος σωµάτων συνδεµένων µε σχοινι ελεγχω αν η επιτάχυνση του κέντρου µάζας του σώµατος έχει το ίδιο µέτρο µε την επιτάχυνση ενός σηµείου σχοινιού πχ α =α cm όπου α το µετρο της επιτάχυνσης ενός σηµείου του σχοινιού Α σχοινί F O. Γ. υ cm Ροπες 1. Υπολογίζω σωστά (µε γεωµετρία) το βραχίονα όταν υπολογίζω ροπή δύναµης απαραίτητο να σχεδιάσω το φορέα της δύναµης

30 30 βραχίονας ς Προσοχή µπορεί να ξεχάσω ροπή κάποιας δύναµης. 3 Αν ενα στερεό ξεκινάει να στρέφεται εξετάζω µε τις ροπές αν ξεκινάει να στρέφεται δεξιοστροφα ή αριστερόστροφα m 1 g m g 4. Η ροπή ζεύγους δυνάµεων ως προς άξονα είναι πάντοτε ίδια ανεξάρτητα από τη θέση του άξονα όµως ο άξονας πρέπει να είναι κάθετος στο επίπεδο των δυνάµεων τ ζεύγους =F.d 5 Υπολογίζω,πριν ξεκινήσω λύση,τη ροπή αδράνειας στερεού ως προς τον αξονα που περιστρέφεται το σώµα µε βάση το γνωστό θεώρηµα Steiner χωρίς αριθµητικά λάθη γιατί δεν θα µπορέσω να λύσω το πρόβληµα λόγω δυσκολίας στις επόµενες πράξεις (συνηθισµένο λάθος) Προσοχή ποια είναι η απόσταση d στη µαθηµατική σχέση του θεωρήµατος Steiner επίσης οι δύο άξονες να είναι παράλληλοι αλλιώς δεν ισχύει το θεώρηµα

31 31 6 Η ροπή αδράνειας δαχτυλιδιού ως προς άξονα που περνά πό το κέντρο µάζας δεν δίνεται,είναι ίση µε mr 7 Υπολογίζω, πριν ξεκινήσω λύση, τη ροπή αδράνειας συστήµατος σωµάτων ως προς τον άξονα, που στρέφται,όµως πρώτα έχω υπολογίσει τη ροπή αδράνειας κάθε ενός σώµατος όπως προβλέπεται στη προηγούµενο παρατήρηση 8 Πολλές φορές για να βρούµε ροπή αδράνειας βασιζόµαστε σε συµετρία 9 Η γωνία στροφής βρίσκεται από το διάγραµµα ω t και είναι ίση µε εµβαδον κάτω από τη γραφική παράσταση. 10 Η γωνία στροφής για στερεό που κυλάει µπορεί να βρεθεί αν γνωριζω τη µετατόπιση χ του κέντρου µάζας και την ακτίνα R αρστροφων = χ πr Γωνία στροφής= αριθµός στροφών.π 11 ένα στερεό γυρίζει γύρω από άξονα µε σταθερό ω τότε η γωνία στροφής είναι θ=ωt 1 Τη µεγαλύτερη γωνιακή ταχύτητα έχει ένα σώµα στη θέση που µηδενίζεται η γωνιακή επιβράδυνση δηλαδή εκεί που η συνισταµένη ροπή είναι µηδέν 13 Όταν ένα σώµα κυλάει µόνο τότε υ cm =ωr υ =0 όπου το σηµείο επαφής µε την επιφάνεια πάνω στην οποία κυλάει υ A =ωr A το ανώτερο σηµείο (αντιδιαµετρικό του ) αν το σώµα επιταχυνεται τότε ισχύει α cm =α γων R η ταχύτητα καθε σηµείου είναι διανυσµατικό άθροισµα δύο συνιστωσών,η µία είναι η ταχύτητα του κέντρου µάζας και η άλλη η ταχύτητα λόγω στροφκής κίνησης υ cm ωr Όταν ένα σώµα κυλάει ο οφορέας της ταχύτητας κάθε σηµείου της περιφέρειας ( δες σχήµα ) περνά από το ανώτατο σηµείο..

32 3 υ cm υ στρο =ωr ωr 17. όταν περιστρέφεται ένα στερεο γύρω από σταθερό άξονα τότε: όλα τα υλικά σηµεία έχουν ίδιο ω το µέτρο της ταχύτητας κάθε υλικού σηµειου είναι ίσο µε ω.r r η απόσταση του υλικού σηµείου από τον άξονα το µετρο της κεντροµολου επιτάχυνσης για κάθε υλικό σηµείο ειναι ω υ r ή (αυτή υπάρχει r ακόµα και αν το µέτρο της ταχύτητας είναι σταθερό) το µέτρο της επιτρόχιας επιτάχυνσης α ε είναι ίσο µε α γων r (αν δεν µεταβάλλεται το µέτρο της ταχύτητας τότε α ε =0) Να θυµάµαι ότι :κάθε υλικό σηµείο στερεού που περιστρέφεται γύρω από σταθερό άξονα έχει κεντροµόλο επιτάχυνση και ενδεχοµένως και επιτρόχια αν µεταβάλλεται το ω

33 33 ω α κ α ε Αν έχω συνδυαστικό θέµα µε ταλαντωτή και περιστροφή στερεού τότε προσεχω να µην ανακατέψω τα ω ταλαντωτή και κυκλικη συχνότητα περιστροφής στερςού ΣΤΡΟΦΟΡΜΉ Η στροφορµή υλικού σηµειου µε µάζα m, ως προς άξονα, έχει µετρο mυd όπου d η απόσταση του φορεα της ταχύτητας από τον άξονα που θεωρούµε d Γ Γ Φορέας ταχύτητας Ένα στερεό µπορεί να έχει στροφορµή λόγω περιστροφής του κέντρου µάζας γύρω από άξονα και γύρω από άξονα που περνά από το κέντρο

34 34 µάζας του (ιδιοστροφορµή) πχ η γη έχει τροχιακή στροφορµή λόγω περιφορας γύρω από τον ήλιο και ιδιοστροφορµη λόγω περιφοράς γύρω από το κεντρο µάζας της Η συνολική στροφή είναι το διανυσµατικό άθροισµα των δύο στροφορµών Spin γης Τροχιακή στροφορµή γης L = L + spin L τρ Όταν υπολογίζω στροφορµή συστήµατος σωµάτων βρίσκω το διανυσµατικό αθροισµα των στροφορµών σωµάτων Ετσι µπορεί να αφαιρέσω τα µέτρα των στροφορµών των σωµάτων για να βρω το µέτρο της στροφορµής του συστήµατος. Πχ όταν συγκρούεται ράβδος που περιστρέφεται µε βλήµα η στροφορµή του συστήµατος έχει µέτρο L συστ =L ράβδου - mυd αν έχω L ράβδου > mυd Προφανώς αν το µέτρο της στροφορµής του βλήµατος είναι µεγαλύτερο από το µέτρο της στροφορµής της ράβδου θα γράψω L συστ = mυd - L ράβδου προσεχω σε ποιες περιπτώσεις διατηρείται η στροφορµή συστήµατος Στο νού µου πάντα ο άξονας γιατί ως προς άλλο άξονα δεν διατηρείται ειδικότερα η στροφορµή συστήµατος ως προς άξονα διατηρείται όταν δεν υπάρχουν εξωτερικές ροπές, µερικές περιπτώσεις R F mυ 1 R 1 =mυ R Ι Α ω ο =(Ι Α +Ι Β )ω (αρχικά περιστρέφεταιι µόνο ο Α )

35 35 O Ι 1 ω 1 =Ι ω L γης =σταθερή γιατί η έλξη του ήλιου δεν δηµιουργεί ροπή m ω ο m d Υπόθεση: Η ράβδος περιστρέφεται µε ω ο και συγκρούεται µε ακίνητο σώµα,µετα τη σύγκρουση η ράβδος περιστρέφεται µε την ίδια φορα Ι ρ ω ο =Ι ρ ω+ mυl Ιω ο =(Ι+md )ω d Σφήνωµα βλήµατος σε ακίνητη ράβδο m υd=( Ι ρ +md ) ω 1 Ακίνητο τραινάκι και ακίνητος δίσκος µε ράγες mυr=iω

36 36 Ι αρχ ω ο = Ι µετα ω Οταν µεταβάλεται η στροφορµή ως προς άξονα ο ρυθµός µεταβολής της στροφορµής συστήµατος ως προς τον αξονα που στρέφεται η τροχαλία, είναι ίσος µε τη ροπή των εξωτερικών δυνάµεων δηλ δεν λαµβάνονται υπόψη οι εσωτερικές δυνάµεις αφού η µία από αυτές προκαλέι αντίθετη µεταβολή στη στροφορµή από ότι η άλλη Ν 3 dl dt συσ = m gr 1 Ν 1 Ν m Ενώ ο ρυθµός µεταβολής της στροφορµής της τροχαλίας είναι dl =Στ = N1R N 3R dt τρ εν λάβαµε υπόψη τη ροπή του βάρους της τροχαλίας και τη ροπή της δύναµ,ης που δέχεται από τον άξονα γιατί η ροπή αυτών των δυνα µεων είναι µηδεν Ενέργειες Το έργο ροπής είναι ίσο µε τα τ.θ άλλα πρέπει η ροπή ως προς τον άξονα να είναι σταθερή Αν µεταβάλεται τότε το βρίσκω από το διάγραµµα τ θ Όταν παίρνω διατήρηση ενέργειας χρειάζεται πολύ µεγάλη προσοχή µην ξεχάσω κάποια µορφή ενέργειας (συνηθισµένο λάθος)γιαυτό θυµάµε τη γενική φόρµα Κ αρχ +U βαρυτ + U ελατηρ = Κ τελ + U βαρυτ + U ελατηρ αν έχω σύτηµα παίρνω για όλα τα σώµατα τις κινητικές κτλ Επίσης η κινητική ενέργεια να έχει δύο όρους όταν σώµα κανει σύνθετη κίνηση (δες παρακάτω ) Οπωσδήποτε παιρνω ένα επίπεδο για τη µέτρηση της βαρυτικής δυναµικής ενέργειας και γράφω στο χαρτί ποιο είναι αυτό το επίπεδο

37 37 Η κινητική ενέργεια σώµατος που κυλάει έχει ΥΟ όρους Κ στρ + Κ µεταφ 1 Η δυναµική ενέργεια ελατηριου υπολογίζεται από τη σχέση : U = Kχ χ µετριεται από το φυσικό µήκος Το έργο βάρους είναι θετικό οταν κατεβαίνει το σώµα κάτά h όπου h η κατακόρυφη µετατόπιση του κέντρου µάζας! Το έργο βάρους είναι αρνητικό οταν ανεβαίνει το σώµα κάτα h όπου h η κατακόρυφη µετατόπιση του κέντρου µάζας! Γενικά για έγο δύναµης W=Fχσυνφ αλλά πρέπει η δύναµη να είναι σταθερή.. Το εργο της τριβής ολίσθησης είναι αρνητικό W=-Τχ Το εργο της στατικής τριβής είναι ΜΗ ΕΝ Το εργο δύναµης ελατηρίου είναι ίσο µε = U αρχ U W F τελ U = 1 Kχ Το χ µετριέται από το φυσικό µήκος!!!!!!!!!!!!!!!!!!! Ο ρυθµός µεταβολής της κινητικής ενέργειας στερεού είναι: Ίσος µε ΣF.υ όταν το σώµα κάνει µόνο µεταφορική κίνηση Ίσος µε Στ.ω όταν το σώµα κάνει µόνο στροφική κίνηση Ίσος µε ΣF.υ+ Στ.ω όταν κυλάει Γενικά εν ανακατεύω µάζες όταν έχω πολλα σώµατα µε διαφορετικές µάζες 1 Ν 3 Ν 1 Μ µάζα τροχαλίας m 1 µάζα σώµατος που ολισθαίνει m µάζα σώµατος που πέφτει Ν m

38 38 εν ανακατεύω ακτίνες όταν έχω κάτι τέτοιο δηλ καρούλι, διπλή τροχαλία R αξονας r F R R R/ εν ανακατεύω τα µέτρα των επιταχυνσεων του κέντρου µάζας σωµάτων σε σύστηµα σωµάτων πχ α σώµατος µε µάζα m =α cm Α σχοινί m F O. α cm Γ. Το ελάχιστο µέτρο ταχύτητας για να γίνει ανακυκλωση,µια µπίλια µε ακτίνα r, είναι ίσο µε gr Προσοχή για το θέµα αυτό υ cm =ωr και όχι υ cm =ω R!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! h υ cm Γ R σιδερένιος οδηγός (αυλάκι)

39 39 Προχωρηµένα θέµατα όταν κινείται ενα σώµα µπορεί να συµπεριφέρεται σαν ελεύθερο στερεό πχ ως το κλειδί της φωτογραφίας που κινείται πάνω σε λεία επιφάνεια.στο ελεύθερο στερεό δεν δρα συνισταµένη δυναµη εποµένως κέντρο µαζας κινείται ευθύγραµµµα Επίσης στο στερεό δεν δρα συνισταµένη ροπή εποµένως στρέφεται µε σταθερό ω Κατά τη σύγκρουση βλήµατος µε στερεό το οποίο Μπορεί να στρέφεται γύρω από σταθερό άξονα εφαρµόζω διατήρηση στροφορµής ως προς τον άξονα και όχι ορµής!!!!!!! Είναι ελεύθερο τότε εφαρµόζω Αρχή διατήρησης ορµής διατήρηση στροφορµής ως προς τον άξονα που περνά πό το κέντρο µάζας Αν ένα σώµα δεν κυλάει πχ µια ρόδα σπινιάρει τότε σχεδιάζω σωστά τις δυναµεις και εφαρµόζω τους θεµελιώδεις νόµους γιατί προφανώς ισχύουν διακρίνω δύο περιπτώσεις Αν υ έχει κατεύθυνση ίδια µε τη κατεύθυνση που θα κινηθεί το κεντρο µάζας τότε η τριβή ολίσθησης (προσοσχή δεν έχω στατική τριβή πλέον ) έχει τη κατεύθυνση που φαίνεται στο σχήµα. Κατι σηµαντικό δεν ισχύει α cm =α γων R..

40 40 Τ oλ R=Ι.α γων Τ ολ =mα cm Το cm επιβραδύνεται υ Τ ολ Αν υ έχει κατεύθυνση αντίθετη το κεντρο µάζας Τ από τη κατεύθυνση που θα κινηθεί ολ =µf κ Τ oλ R=Ι.α γων Τ ολ =mα cm υ Τ ολ Τ ολ =µf κ