ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ 1. Ένα σώμα μάζας m είναι δεμένο στην ελεύθερη άκρη κατακόρυφου ιδανικού ελατηρίου

Transcript

1 Χριστουγεννιάτικη Επανάληψη ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ 1. Ένα σώμα μάζας m είναι δεμένο στην ελεύθερη άκρη κατακόρυφου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k και ηρεμεί στη θέση ισορροπίας. Απομακρύνουμε το σώμα προς τα κάτω κατά Α και το αφήνουμε ελεύθερο. Το σύστημα εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση. Αντικαθιστούμε το ελατήριο με άλλο, σταθεράς 2k, χωρίς να αλλάξουμε το αναρτημένο σώμα. Απομακρύνουμε το σώμα προς τα κάτω από τη νέα θέση ισορροπίας κατά Α και το αφήνουμε ελεύθερο. Το σύστημα εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση. Ο λόγος αα max (1) αα max (2) των μέτρων των μεγίστων επιταχύνσεων των δύο ταλαντώσεων είναι ίσος με α) 1 β) 2 γ) 1/2 2. Η φάση μιας απλής αρμονικής ταλάντωσης μεταβάλλεται με το χρόνο όπως φαίνεται στο διάγραμμα: Η περίοδος της ταλάντωσης ειναι : α) 1s β) 2s γ) 4π s Να επιλέξετε τη σωστή πρόταση και να αιτιολογήσετε την επιλογή σας 3. Ένα μικρό σώμα εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση έχοντας ενέργεια ταλάντωσης 20J. Κάποια στιγμή, που το σώμα βρίσκεται σε ακραία θέση της ταλάντωσης, του ασκούμε στιγμιαία δύναμη με αποτέλεσμα το διπλασιασμό του πλάτους ταλάντωσης. Το έργο που προσφέραμε στο ταλαντούμενο σύστημα μέσω αυτής της στιγμιαίας δύναμης, για το διπλασιασμό του πλάτους ταλάντωσης, είναι ίσο με α) 20J. β) 60J. γ) 80J. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. 4. Σώμα μάζας m ειναι στερεωμένο στο ελεύθερο άκρο οριζόντιου ελατηρίου σταθεράς k, το άλλο άκρο του οποίου ειναι ακλόνητα στερεωμένο. Απομακρύνουμε το σώμα απο τη θέση ισορροπίας του συσπειρώνοντας το ελατήριο κατά d. Τη χρονική στιγμή t=0 δίνουμε στο σώμα αρχική ταχύτητα μέτρου υ0 στη διεύθυνση του άξονα του ελατηρίου και το αφήνουμε ελεύθερο να εκτελέσει απλή αρμονική ταλάντωση πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Το πλάτος της ταλάντωσης ειναι ίσο με : α) mmυυ dd β) mmυυ kk kk dd2 γ) mmυυ dd kk Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση και να αιτιολογήσετε την επιλογή σας 5. Ένα σώμα εκτελεί ταλάντωση που προέρχεται από τη σύνθεση δύο απλών αρμονικών ταλαντώσεων ίδιας συχνότητας που γίνονται στην ίδια διεύθυνση γύρω από το ίδιο σημείο. Όταν το σώμα εκτελεί μόνο την πρώτη ταλάντωση, η ενέργεια της ταλάντωσης είναι E1=2J. Όταν το σώμα εκτελεί μόνο τη δεύτερη ταλάντωση, η ενέργεια της ταλάντωσης είναι E2=8J. Όταν το σώμα εκτελεί ταυτόχρονα τις δύο απλές αρμονικές ταλαντώσεις, η ενέργεια της 1

2 ταλάντωσης είναι E=10J. Η διαφορά φάσης των δύο ταλαντώσεων είναι ίση με α) 30. β) 90. γ) 60. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. 6. Ένα σώμα εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση με περίοδο Τ και πλάτος Α και τη χρονική στιγμή t=0 περνά από τη θέση ισορροπίας του με ταχύτητα θετική. Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές και ποιες λανθασμένες; 1. Τη χρονική στιγμή t=t/4 το σώμα βρίσκεται στη θέση x=+a 2. Τη χρονική στιγμή t=t/2 το σώμα βρίσκεται στη θέση x=-a 3. Τη χρονική στιγμή t=3t/4 το σώμα βρίσκεται στη θέση x=-a 4. Τη χρονική στιγμή t=t/8 το σώμα βρίσκεται στη θέση xx = + AA Τη χρονική στιγμή t=t/3 το σώμα βρίσκεται στη θέση xx = + AA Τη χρονική στιγμή t=32t/6 το σώμα βρίσκεται στη θέση xx = + AA Τη χρονική στιγμή t=t/4 η ταχύτητα του σώματος είναι υ=+2πα/τ 8. Τη χρονική στιγμή t=t/6 η ταχύτητα του σώματος είναι υ=+πα/τ 9. Τη χρονική στιγμή t=3t/4 η επιτάχυνση του σώματος είναι α= - 4π 2 Α/Τ Tη χρονική στιγμή t=5t/4 η επιτάχυνση του σώματος είναι α= α= - 4π 2 Α/Τ Τη χρονική στιγμή t=23t/6 η συνισταμένη δύναμη που ασκείται στο σώμα είναι F= - 4mπ 2 Α/Τ Τη χρονική στιγμή t=3t/4 η κινητική ενέργεια του σώματος του σώματος είναι ίση με μηδέν 13. Τη χρονική στιγμή t=t/8 η φάση της ταλάντωσης είναι φ=π/4 rad 14. Τη χρονική στιγμή στην οποία το σώμα περνά από τη θέση ισορροπίας του για πρώτη φορά με ταχύτητα αρνητική η φάση της ταλάντωσης είναι π/2 rad 15. Το χρονικό διάστημα που μεσολαβεί μεταξύ δύο διαδοχικών μεγιστοποιήσεων της κινητικής ενέργειας του σώματος είναι Δt=T/2 16. Τις χρονικές στιγμές στις οποίες η κινητική ενέργεια του σώματος είναι ίση με το 1/4 της μέγιστης τιμής της, η δυναμική ενέργεια της ταλάντωσης είναι ίση με τα 3/4 της μέγιστης τιμής της 17. Το διάστημα που διανύει το σώμα σε χρόνο μιας περιόδου είναι 2Α 18. Αν το μέτρο της ταχύτητας του σώματος τη χρονική στιγμή t1 είναι υ1, τη χρονική στιγμή t2=t1+t/2 το μέτρο της ταχύτητας είναι υ2=υ1/2 19. Το διάστημα που διανύει το σώμα σε χρόνο t=t/4 είναι πάντα Α 20. Το έργο της δύναμης επαναφοράς σε χρόνο στον οποίο το σώμα διανύει διάστημα 2Α είναι πάντα ίσο με μηδέν 7. Kύκλωμα αποτελείται από πυκνωτή χωρητικότητας C, ένα ιδανικό πηνίο με συντελεστή αυτεπαγωγής L και διακόπτη (δ). Οι αγωγοί σύνδεσης έχουν αμελητέα αντίσταση. Αρχικά ο διακόπτης είναι ανοικτός και το φορτίο του πυκνωτή είναι Q. Τη χρονική στιγμή t=0 κλείνουμε το διακόπτη και το κύκλωμα εκτελεί ηλεκτρικές ταλαντώσεις με περίοδο Τ. Το μέγιστο ρεύμα που διαρρέει το κύκλωμα είναι Ι. Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές και ποιες λανθασμένες; 1. Η περίοδος της ταλάντωσης δίνεται από τη σχέση ΤΤ = 2ππ LLLL 2. Η γωνιακή συχνότητα της ταλάντωσης είναι ωω = LLLL 3. Η εξίσωση του φορτίου του οπλισμού του πυκνωτή που ήταν αρχικά θετικά φορτισμένος δίνεται από τη σχέση q=qσυνωt 2

3 4. Η εξίσωση της έντασης του ρεύματος που διαρρέει το πηνίο δίνεται από τη σχέση i=iημωt 5. Τις χρονικές στιγμές στις οποίες η ενέργεια του ηλεκτρικού πεδίου στον πυκνωτή είναι ίση με τη μαγνητική ενέργεια στο πηνίο είναι ίσες, το φορτίο του πυκνωτή είναι Q/2 6. Τις χρονικές στιγμές που το ρεύμα έχει φορά προς τον θετικό οπλισμό του πυκνωτή ο πυκνωτής φορτίζεται 7. Τις χρονικές στιγμές στις οποίες το ρεύμα έχει το ίδιο πρόσημο με το φορτίο, ο πυκνωτής φορτίζεται 8. Η εξίσωση της τάσης από αυτεπαγωγή (τάση στο πηνίο) σε συνάρτηση με τον χρόνο είναι Vπηνίου=(Q/C) συνωt 9. Η ένταση του ρεύματος που διαρρέει το πηνίο προηγείται χρονικά του φορτίου του θετικού οπλισμού του πυκνωτή κατά Τ/4 10. Η μέγιστη τιμή της έντασης του ρεύματος που διαρρέει το πηνίο και το μέγιστο φορτίο στον πυκνωτή συνδέονται με τη σχέση Ι=ωQ 8. Σώμα εκτελεί φθίνουσα ταλάντωση με πλάτος που μειώνεται με το χρόνο σύμφωνα με τη σχέση Α=Α0e -Λt. Αν το ποσοστό ελάττωσης της ενέργειας ανά περίοδο είναι 19%, το ποσοστό % μείωσης του πλάτους ανά περίοδο είναι: α) 10% β) 20% γ) 30% δ) 50% 9. Ένα σώμα μάζας m εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση πλάτους A. Η ενέργεια της ταλάντωσης είναι E=0,8J. Η γραφική παράσταση της ταχύτητας υ του σώματος σε συνάρτηση με το χρόνο t απεικονίζεται στο διπλανό σχήμα: α) να βρείτε το πλάτος Α της ταλάντωσης. β) να υπολογίσετε τη σταθερά επαναφοράς D της ταλάντωσης. γ) να παραστήσετε γραφικά τη φάση φ της ταλάντωσης συναρτήσει του χρόνου t, στο χρονικό διάστημα από t0=0 ως t=t, αν γνωρίζουμε ότι η απομάκρυνση του σώματος μεταβάλλεται όπως το ημίτονο σε σχέση με το χρόνο. δ) να βρείτε το ρυθμό μεταβολής της ορμής του σώματος τη χρονική στιγμή t1=π/40 s. [Απ. α) Α=0,2m, β) D=40N/m, δ) dp/dt=0] 10. Στο κύκλωμα του σχήματος δίνονται: πηγή ηλεκτρεγερτικής δύναμης E=10V μηδενικής εσωτερικής αντίστασης, πυκνωτής χωρητικότητας C=100μF, ιδανικό πηνίο με συντελεστή αυτεπαγωγής L. Αρχικά ο μεταγωγός μ είναι στη θέση (Α) και ο πυκνωτής είναι πλήρως φορτισμένος. Στρέφουμε το μεταγωγό στη θέση (Β) και το κύκλωμα LC αρχίζει να εκτελεί αμείωτες ηλεκτρικές ταλαντώσεις. Η μέγιστη τιμή της έντασης του ρεύματος στο κύκλωμα LC είναι I=0,1A. Να βρείτε: α) Το μέγιστο φορτίο Q του πυκνωτή. β) Την περίοδο T της ηλεκτρικής ταλάντωσης. γ) Το συντελεστή αυτεπαγωγής L του πηνίου. δ) Το λόγο UU EE της ενέργειας του ηλεκτρικού πεδίου του πυκνωτή προς την ενέργεια του UU BB μαγνητικού πεδίου του πηνίου τις χρονικές στιγμές που το φορτίο του πυκνωτή είναι qq = QQ

4 [Aπ. α) Q=10-3 C, β) Τ=π/50 s, γ) L=1H, δ) 1] 11. Ένα σώμα μάζας m=4kg ισορροπεί πάνω σε λείο κεκλιμένο επίπεδο που σχηματίζει με τον ορίζοντα γωνία φ=30. Το σώμα είναι δεμένο στην άκρη ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k=100n/m το άλλο άκρο του οποίου στερεώνεται στην κορυφή του κεκλιμένου επιπέδου, όπως φαίνεται στο σχήμα. Εκτρέπουμε το σώμα κατά 0,1m από τη θέση ισορροπίας του προς τα κάτω κατά μήκος του κεκλιμένου επιπέδου και τη χρονική στιγμή t0=0 το αφήνουμε ελεύθερο. Θεωρώντας θετική τη φορά του σχήματος: α) Να αποδείξετε ότι το σώμα θα εκτελέσει απλή αρμονική ταλάντωση. β) Να γράψετε την εξίσωση που περιγράφει πως μεταβάλλεται η επιτάχυνση του σώματος σε σχέση με το χρόνο κατά τη διάρκεια της απλής αρμονικής ταλάντωσης. γ) Να βρείτε το ρυθμό μεταβολής της ορμής του σώματος στη θέση x=-a/2, όπου Α το πλάτος της απλής αρμονικής ταλάντωσης. δ) Να υπολογίσετε την επιπλέον ενέργεια W που πρέπει να δοθεί στο σύστημα, προκειμένου να διπλασιαστεί το πλάτος της απλής αρμονικής ταλάντωσης. [Aπ β) α=-2,5ημ(5t+π/2) (S.I.), γ) 5 N, δ) 1,5J] 4

5 KYMATA 1. Κατά μήκος του θετικού ημιάξονα Οx διαδίδεται αρμονικό κύμα.το σημείο της θέσης x=0 τη χρονική στιγμή t=0 διέρχεται από τη θέση ισορροπίας με θετική ταχύτητα. Τη χρονική στιγμή t=5t/4 το σημείο της θέσης x=λ/2 έχει ταχύτητα με μέτρο α) υ=0 β) υ=υmax γ) 0<υ<υmax Να επιλέξετε τη σωστή πρόταση. Να δικαιολογήσετε την επιλογή σας. 2. Σε γραμμικό ελαστικό μέσο διαδίδεται προς τη θετική κατεύθυνση ένα αρμονικό κύμα. Το υλικό σημείο Ο(x=0) αρχίζει τη χρονική στιγμή t0=0 να εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση με εξίσωση y=aημωt. Τη χρονική στιγμή t=3t το πλήθος των υλικών σημείων του θετικού ημιάξονα τα οποία βρίσκονται σε απόσταση d=a από τη θέση ισορροπίας τους είναι α) 3 β) 4 γ) 6 3. Σε γραμμικό ελαστικό μέσο που ταυτίζεται με τον άξονα x x διαδίδεται προς τη θετική κατεύθυνση ένα αρμονικό κύμα με μήκος κύματος λ. Το υλικό σημείο Ο(x=0) αρχίζει τη χρονική στιγμή t0=0 να εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση χωρίς αρχική φάση. Τη χρονική στιγμή t=t/2 η φάση της ταλάντωσης του σημείου Κ(xΚ= - λ) είναι ίση με: α) π rad β) 2π rad γ) 3π rad 4. Δύο σύγχρονες πηγές αρμονικών κυμάτων Π1 και Π2 βρίσκονται στην επιφάνεια υγρού και εκτελούν απλή αρμονική ταλάντωση με εξισώσεις y1=y1=aημωt. Οι αποστάσεις ενός υλικού σημείου Κ της επιφάνειας του υγρού από τη πηγή Π1 είναι r1=8λ και από τη πηγή Π2 είναι r2=7λ, όπου λ το μήκος κύματος των κυμάτων που παράγουν οι πηγές. Το διάστημα που διανύει το υλικό σημείο Κ από τη στιγμή που αρχίζει να ταλαντώνεται έως τη χρονική στιγμή t=10t είναι ίσο με α) 10Α β) 15Α γ) 20Α 5. Δύο σύγχρονες πηγές αρμονικών κυμάτων Π1 και Π2 βρίσκονται στην επιφάνεια υγρού και εκτελούν απλή αρμονική ταλάντωση με εξισώσεις y1=y1=aημωt. Οι αποστάσεις ενός υλικού σημείου Κ της επιφάνειας του υγρού από τη πηγή Π1 είναι r1 και από τη πηγή Π2 είναι r2. Τα κύματα από τις δύο πηγές φτάνουν στο σημείο Κ με χρονική διαφορά ίση με 3Τ/2. Το πλάτος της ταλάντωσης του υλικού σημείου Κ μετά τη συμβολή των κυμάτων σε αυτό είναι ίσο με: α) 0 β) Α/2 γ) 2Α 6. Σε γραμμικό ελαστικό μέσο που ταυτίζεται με τον άξονα x x έχει δημιουργηθεί στάσιμο κύμα. Η εξίσωση του στάσιμου κύματος είναι yy = 2AAAAAAAA2ππ xx λλ ηηηη2ππ tt TT Η απόσταση των θέσεων ισορροπίας των υλικών σημείων Κ, που είναι η τρίτη αριστερά του Ο κοιλία, και του Λ, που είναι ο δέκατος δεξιά του Ο δεσμός είναι ίση με : α) 10λ β) 15λ/2 γ) 25λ/4 5

6 7. Σε γραμμικό ελαστικό μέσο που ταυτίζεται με τον άξονα x x έχει δημιουργηθεί στάσιμο κύμα. Η εξίσωση του στάσιμου κύματος είναι yy = 2AAAAAAAA2ππ xx λλ ηηηη2ππ tt TT Το πλήθος των κοιλιών στην περιοχή του ελαστικού μέσου από το υλικό σημείο που βρίσκεται στη θέση x1=+5λ/4 έως το υλικό σημείο που βρίσκεται στη θέση x2= - 5λ/4 είναι ίσο με: α)5 β) 10 γ) Για μονοχρωματική ακτίνα που διαδίδεται από το οπτικό μέσο (1) με δείκτη διάθλασης n1 στον αέρα η κρίσιμη γωνία είναι θcr(1)=60. Για την ίδια ακτίνα όταν διαδίδεται από το οπτικό μέσο (2) με δείκτη διάθλασης nn 2 = 3nn 1 στον αέρα, η κρίσιμη γωνία είναι ίση με: α) 30 β) 45 γ)60 9. Ένα ηλεκτρομαγνητικό κύμα διαδίδεται κατά τη θετική κατεύθυνση του οριζοντίου άξονα. Σε ένα σημείο του χώρου η φάση του ηλεκτρικού πεδίου περιγράφεται από τη σχέση φ=2π(f t- 1) (S.I.) Στο σημείο του χώρου, όπου το ηλεκτρικό πεδίο του ηλεκτρομαγνητικού κύματος παρουσιάζει την παραπάνω φάση, η ένταση του ηλεκτρικού πεδίου α) είναι σε συμφωνία φάσης με την ένταση του μαγνητικού πεδίου. β) παρουσιάζει διαφορά φάσης π/2 με την ένταση του μαγνητικού πεδίου. γ) είναι χρονικά σταθερή. Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση. Να δικαιολογήσετε την επιλογή σας. 10. Κατά μήκος μιας ελαστικής χορδής μεγάλου μήκους που το ένα άκρο της είναι ακλόνητα στερεωμένο, διαδίδονται δύο κύματα, των οποίων οι εξισώσεις είναι αντίστοιχα: y1=10ημ2π(5t-x) και y2=10ημ2π(5t+x), όπου y και x είναι μετρημένα σε cm και το t σε s. Στη θέση x=0, που είναι το ελεύθερο άκρο της χορδής δημιουργείται κοιλία. α) Να βρείτε την ταχύτητα διάδοσης των κυμάτων στη χορδή. β) Να βρείτε την εξίσωση του στάσιμου κύματος που θα δημιουργηθεί από τη συμβολή των δύο αυτών κυμάτων και το πλάτος ταλάντωσης κάθε υλικού σημείου της χορδής, συναρτήσει της απόστασής του από το ελεύθερο άκρο της. γ) Να σχεδιάσετε τις γραφικές παραστάσεις απομάκρυνσης - χρόνου, για τα σημεία Α, Β και Γ, τα οποία απέχουν από το ελεύθερο άκρο αντίστοιχα, xa=λ/4, xb=λ/2 και xγ=λ, αφού δημιουργηθεί το στάσιμο. δ) Να βρείτε τη σχέση που δίνει τη μέγιστη ταχύτητα ταλάντωσης κάθε υλικού σημείου της χορδής. Μεταξύ ποιών τιμών κυμαίνεται το μέτρο της μέγιστης ταχύτητας των υλικών σημείων της χορδής; [Απ. α) 5cm/s, β) y=20 συν2πx ημ10πt,δ) 0<υmax<2π m/s] 11. Κατά μήκος ενός γραμμικού ελαστικού μέσου και κατά τη θετική κατεύθυνση του άξονα x'0x διαδίδεται αρμονικό κύμα με εξίσωση: yy = 0,1ηηηη(4ππtt ππxx ) (S.I.). Κάποια χρονική στιγμή t οι φάσεις δυο σημείων (Μ) και (Ν) του 2 μέσου, τα οποία βρίσκονται δεξιά της πηγής (Ο), είναι φφ ΜΜ = 10ππ rrrrrr και φφ 3 ΝΝ = 17ππ rrrrrr αντίστοιχα. 6 α) Να βρείτε το μέτρο της ταχύτητας διάδοσης του κύματος. 6

7 β) Να βρείτε ποιο από τα δυο σημεία (Μ), (Ν) είναι πιο κοντά στην πηγή (Ο), καθώς και την απόσταση μεταξύ των δύο σημείων. γ) Να σχεδιάσετε το στιγμιότυπο του κύματος τη χρονική στιγμή t=1s. δ) Να βρείτε την απομάκρυνση του σημείου (Ν) από τη θέση ισορροπίας του, κάθε φορά που το σημείο (Μ) αποκτά τη μέγιστη θετική απομάκρυνση. [Απ. α) υ=8m/s, β) Δx=1m, δ) yn=0] 12. Κατά μήκος μιας ελαστικής χορδής μήκους L=16,25cm διαδίδεται αρμονικό κύμα της μορφής: yy = 8ηηηη(10ππtt 2ππxx ) όπου x, y σε cm και t σε s. Το ένα άκρο της χορδής είναι 5 στερεωμένα ακλόνητα, με αποτέλεσμα το κύμα να ανακλαστεί και να δημιουργηθεί στάσιμο κύμα. Το άλλο άκρο της χορδής είναι ελεύθερο, δημιουργείται σε αυτό κοιλία και θεωρούμε ότι βρίσκεται στη θέση x=0. Η κοιλία της θέσης x=0 εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση χωρίς αρχική φάση. α) Να βρείτε το μέτρο της ταχύτητας διάδοσης του αρμονικού κύματος. β) Να βρείτε τον αριθμό των κοιλιών που δημιουργούνται. γ) Να βρείτε την εξίσωση της ταχύτητας συναρτήσει του χρόνου για την κοιλία Κ που απέχει λ/2 από το σημείο x=0. δ) Αν ένα σημείο M του θετικού ημιάξονα ταλαντώνεται με πλάτος AA MM = 8 3cccc, να υπολογίσετε την απόσταση του σημείου αυτού από τον πλησιέστερο δεσμό. [Απ. α) υ=25cm/s, β) 7 κοιλίες, γ) υ=-1,6πσυν10πt (S.I.), δ) 5/6 cm] 13. Tο σημείο Ο ομογενούς ελαστικής χορδής μεγάλου μήκους, τη χρονική στιγμή t=0, αρχίζει να εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση με εξίσωση y=0,05ημ(8πt) (S.I.) κάθετα στη διεύθυνση της χορδής. Το αρμονικό κύμα που παράγεται διαδίδεται με ταχύτητα μέτρου 2m/s, κατά τη θετική φορά του άξονα x Οx, κατά μήκος της χορδής. α) Να βρεθούν ο χρόνος που χρειάζεται ένα υλικό σημείο του ελαστικού μέσου για να εκτελέσει μια πλήρη ταλάντωση καθώς και το μήκος κύματος του αρμονικού κύματος. β) Να γραφεί η εξίσωση του κύματος που παράγεται και να βρεθούν οι θέσεις όλων των σημείων που βρίσκονται σε συμφωνία φάσης με την πηγή. γ) Να γράψετε και να σχεδιάσετε την εξίσωση της ταχύτητας συναρτήσει του χρόνου για ένα υλικό σημείο Α που απέχει απόσταση x=3λ/2 από την πηγή. δ) Να σχεδιάσετε τα στιγμιότυπα του κύματος τις χρονικές στιγμές t1=t/4 και t2=3t/4 [Απ. α) t=0,25s, λ=0,5m, β) y=0,05ημ2π(4t 2x) (S.I.), γ) υ=0,4πσυν2π(4t 1,5)] 14. Δύο σύγχρονες πηγές κυμάτων Π1 και Π2 δημιουργούν στην επιφάνεια υγρού που ηρεμεί εγκάρσια κύματα που διαδίδονται με ταχύτητα υ=0,8m/s. Οι δύο πηγές τη χρονική στιγμή t=0 αρχίζουν να εκτελούν απλή αρμονική ταλάντωση, σε διεύθυνση κάθετη στην επιφάνεια του υγρού και η εξίσωση ταλάντωσής τους είναι y=aημ(ωt). Με την επίδραση των δύο κυμάτων ένα μικρό κομμάτι φελλού που βρίσκεται στην επιφάνεια του υγρού ταλαντώνεται, με εξίσωση απομάκρυνσης από τη θέση ισορροπίας του: y=4ημ2π(8t 4), όπου y σε cm και t σε s. Οι αποστάσεις του φελλού από τις πηγές Π1 και Π2 είναι r1, r2 αντίστοιχα και συνδέονται με τη σχέση r1 r2, όπου λ το μήκος κύματος των δυο κυμάτων. α) Να υπολογίσετε το πλάτος ταλάντωσης των πηγών. β) Να υπολογίσετε το μήκος κύματος λ των κυμάτων καθώς και τις αποστάσεις r1 και r2. γ) Να υπολογίσετε την επιτάχυνση ταλάντωσης του φελλού την χρονική στιγμή t1=1s. 7

8 δ) Να βρείτε τη χρονική στιγμή t, κατά την οποία ο φελλός περνάει από τη θέση μέγιστης απομάκρυνσης y=4cm για 1 η φορά, εκτελώντας σύνθετη ταλάντωση. ε) Να βρείτε το πλάτος ταλάντωσης των σημείων που βρίσκονται στην μεσοκάθετη του ευθύγραμμου τμήματος που ενώνει τις δύο πηγές. [Απ. α) Α=2cm, β) λ=0,1m, r1=50cm, r2=30cm, γ) α=0, δ) t=21/32 s, ε) Α=4cm] 15. Κατά μήκος ενός γραμμικού, ομογενούς, ελαστικού μέσου διαδίδεται στη θετική κατεύθυνση του άξονα x'οx ένα αρμονικό κύμα. Το σημείο Ο της θέσης x=0 εκτελεί αρμονική ταλάντωση που περιγράφεται από την y=aημ(ωt). Στο παρακάτω διάγραμμα φαίνεται η γραφική παράσταση της φάσης φ των υλικών σημείων που βρίσκονται στη διεύθυνση διάδοσης του αρμονικού κύματος, σε συνάρτηση με την απόσταση x από το σημείο O, σε μια δεδομένη χρονική στιγμή t1. α) Να υπολογίσετε το μήκος κύματος και να βρείτε τη φάση της πηγής τη χρονική στιγμή t1. β) Να υπολογίσετε πριν από πόσο χρόνο άρχισε να ταλαντώνεται η πηγή, δηλαδή τη χρονική στιγμή t1, αν γνωρίζετε ότι η συχνότητα ταλάντωσης της πηγής, είναι f=10hz. γ) Την παραπάνω χρονική στιγμή t1 1) Να βρείτε την απομάκρυνση του σημείου της θέσης x=0 (πηγή). 2) Να βρείτε τον αριθμό των πλήρων απλών αρμονικών ταλαντώσεων που έχει κάνει η πηγή. 3) Να σχεδιάσετε το στιγμιότυπο του κύματος. Δίνεται ότι το πλάτος ταλάντωσης της πηγής είναι A=0,1m. δ) Τη χρονική στιγμή t1 να βρείτε την ταχύτητα με την οποία ταλαντώνεται ένα υλικό σημείο, το οποίο βρίσκεται στη θέση x=5m και να αποδείξετε ότι αυτό το υλικό σημείο βρίσκεται σε αντίθετη φάση με την πηγή. [Απ. α) λ=2m, 10π rad, β) t1=0,5s, γ)1) y=0, 2) 5] 8

9 Χριστουγεννιάτικο Διαγώνισμα: Ταλαντώσεις Κύματα ΘΕΜΑ Α Α1. Σε μια απλή αρμονική ταλάντωση η εξίσωση που μας δίνει την επιτάχυνση του σώματος σε συνάρτηση με την απομάκρυνση από τη θέση ισορροπίας είναι η: α) α= - ωx β) α 2 =ωx 2 γ) α= - ω 2 x δ) α=ω 2 x Α2. Ένα σώμα που εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση, δεν έχει αρχική φάση (φ0=0) όταν τη χρονική στιγμή t=0: α) περνάει από τη θέση ισορροπίας του με θετική ταχύτητα β) βρίσκεται στην ακραία θετική του θέση γ) περνάει από τη θέση ισορροπίας του με αρνητική ταχύτητα δ) η επιτάχυνσή του είναι μέγιστα θετική Α3. Σε μια απλή αρμονική ταλάντωση, όταν το μέτρο της δύναμης επαναφοράς παίρνει τη μέγιστη τιμή του, τότε: α) η ταχύτητα είναι μέγιστη β) η επιτάχυνση είναι μηδέν γ) η απομάκρυνση από τη θέση ισορροπίας είναι μηδέν δ) η απομάκρυνση από τη θέση ισορροπίας είναι μέγιστη A4. Για ένα ιδανικό κύκλωμα LC που εκτελεί ηλεκτρικές ταλαντώσεις, ποιο από τα επόμενα μεγέθη μεταβάλλεται: α) η χωρητικότητα του πυκνωτή β) η μέγιστη ενέργεια στον πυκνωτή γ) το άθροισμα των ενεργειών του πηνίου και του πυκνωτή δ) η ενέργεια του μαγνητικού πεδίου στο πηνίο Α5. Σε μια φθίνουσα ταλάντωση όπου οι δυνάμεις που αντιστέκονται στην κίνηση είναι της μορφής F= - bυ η ενέργεια της ταλάντωσης: α) αυξάνεται β) παραμένει σταθερή γ) αυξάνεται εκθετικά με τη πάροδο του χρόνου δ) μειώνεται εκθετικά με τη πάροδο του χρόνου Α6. Να γράψετε στο τετράδιό σας το γράμμα κάθε πρότασης και δίπλα σε κάθε γράμμα τη λέξη Σωστό, για τη σωστή πρόταση, και τη λέξη Λάθος, για τη λανθασμένη α) Η σταθερά επαναφοράς D για μια απλή αρμονική ταλάντωση εξαρτάται από τη μάζα του σώματος που εκτελεί τη ταλάντωση β) Ικανή και αναγκαία συνθήκη για να εκτελεί ένα σώμα απλή αρμονική ταλάντωση είναι η ΣF= - Dx γ) Η φάση για μια απλή αρμονική ταλάντωση είναι συνάρτηση ανάλογη του χρόνου δ) Η περίοδος για ένα σώμα που εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση εξαρτάται από το πλάτος της ταλάντωσης 9

10 ε) Η σχέση που μας δίνει τη μέγιστη ταχύτητα ενός σώματος που εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση είναι η υmax=ωα (Μονάδες 5) ΘΕΜΑ Β Β1. Η ταχύτητα με την οποία διαδίδεται ένα κύμα σ ένα ελαστικό μέσο εξαρτάται : α) από την ένταση της διαταραχής β) από τις ιδιότητες του μέσου γ) από τη συχνότητά του δ) από το πλάτος ταλάντωσης της πηγής του Β2. Δύο σύγχρονες πηγές αρμονικών κυμάτων δημιουργούν στην επίπεδη επιφάνεια ενός ελαστικού μέσου αρμονικά κύματα ίδιου πλάτους Α. Το πλάτος της ταλάντωσης των υλικών σημείων της επιφάνειας του ελαστικού μέσου τα οποία βρίσκονται στη μεσοκάθετο του ευθύγραμμου τμήματος που ενώνει τις δύο πηγές ισούται με : α) ΑΑ β) ΑΑ/2 γ) 2ΑΑ δ) 2 ΑΑ Β3. Δύο πηγές κυμάτων χαρακτηρίζονται σύγχρονες όταν: α) τα κύματα που προκαλούν έχουν το ίδιο μήκος κύματος β) εκτελούν ταλαντώσεις ίδιου πλάτους γ) η διαφορά φάσης των ταλαντώσεων που εκτελούν είναι κάθε στιγμή ίση με μηδέν δ) ταλαντώνονται με την ίδια συχνότητα Β4. Το στάσιμο κύμα προκύπτει από τη συμβολή δύο κυμάτων, τα οποία έχουν: α. το ίδιο πλάτος, την ίδια συχνότητα και την ίδια κατεύθυνση διάδοσης β. το ίδιο πλάτος, την ίδια συχνότητα και αντίθετες κατευθύνσεις διάδοσης γ. το ίδιο πλάτος, την ίδια κατεύθυνση διάδοσης και συχνότητες που διαφέρουν ελάχιστα δ. το ίδιο πλάτος, αντίθετες κατευθύνσεις διάδοσης και συχνότητες που διαφέρουν ελάχιστα Β5. Σε ένα γραμμικό ελαστικό μέσο διαδίδονται αντίθετα δύο κύματα με το ίδιο μήκος κύματος λ και από τη συμβολή τους δημιουργείται στάσιμο κύμα. Η απόσταση ενός δεσμού από τη διαδοχική κοιλία είναι: α. λ/4 β. λ/2 γ. λ δ. 2λ Β6. Να γράψετε στο τετράδιό σας το γράμμα κάθε πρότασης και δίπλα σε κάθε γράμμα τη λέξη Σωστό, για τη σωστή πρόταση, και τη λέξη Λάθος, για τη λανθασμένη α) Σε ένα ηλεκτρομαγνητικό κύμα ο λόγος των μέτρων των εντάσεων του μαγνητικού και του ηλεκτρικού πεδίου (Β/Ε) είναι κάθε στιγμή, ίσος με τη ταχύτητα του φωτός c β) Τα ραδιοκύματα εκπέμπονται από ραδιενεργούς πυρήνες 10

11 γ) Το στιγμιότυπο ενός εγκάρσιου αρμονικού κύματος παριστάνει την απομάκρυνση από τη θέση ισορροπίας των διαφόρων σημείων του μέσου μια συγκεκριμένη χρονική στιγμή δ) Σε ένα στάσιμο κύμα όλα τα σημεία του μέσου έχουν την ίδια μέγιστη ταχύτητα ε) Οι ακτίνες Χ έχουν μεγαλύτερη συχνότητα από τα μικροκύματα (Μονάδες 5) ΘΕΜΑ Γ Γ1. Σημειακό αντικείμενο εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση και τη χρονική στιγμή t=0 η κινητική του ενέργεια είναι μέγιστη, ενώ η ταχύτητά του είναι αρνητική. Η αρχική φάση της ταλάντωσης ισούται με α. π/2 rad β. π/3 rad γ. μηδέν δ. π rad Γ2. Μια ακτίνα φωτός προσπίπτει στη διαχωριστική επιφάνεια γυαλιού αέρα προερχόμενη από το γυαλί με γωνία πρόσπτωσης θπ 0. Η διαθλώμενη ακτίνα α. έχει την ίδια διεύθυνση με την ανακλώμενη ακτίνα β. είναι κάθετη στη προσπίπτουσα ακτίνα γ. είναι κάθετη στη διαχωριστική δ. απομακρύνεται από την κάθετη στη διαχωριστική επιφάνεια Γ3. Ένα κύκλωμα ηλεκτρικών ταλαντώσεων LC έχει σταθερή και μικρή ωμική αντίσταση που ισούται με R. Το μέγεθος που δεν ελαττώνεται με τη πάροδο του χρόνου είναι α. το μέγιστο φορτίο του πυκνωτή β. η μέγιστη τιμή της έντασης του ρεύματος γ. η περίοδος της ταλάντωσης δ. η ολική ενέργεια της ταλάντωσης Γ4. Ο διπλασιασμός του πλάτους ενός αρμονικού κύματος συνοδεύεται με διπλασιασμό α) της ταχύτητας διάδοσής του β) της συχνότητάς του γ) του μήκους κύματός του δ) τίποτε από τα παραπάνω Γ5. Η εξίσωση ενός αρμονικού κύματος είναι y=0,2ημπ(t-2x) (S.I.). Η ταχύτητα διάδοσης του κύματος σε m/s, είναι: α) 1 β) 0,2 γ) 0,5 δ) 0,4 Γ6. Να γράψετε στο τετράδιό σας το γράμμα κάθε πρότασης και δίπλα σε κάθε γράμμα τη λέξη Σωστό, για τη σωστή πρόταση, και τη λέξη Λάθος, για τη λανθασμένη. α) Σε μια εξαναγκασμένη ταλάντωση που έχει σταθερό πλάτος μεταφέρεται ενέργεια από το διεγέρτη στον ταλαντωτή β) Ο συντονισμός είναι η κατάσταση ενός μηχανικού συστήματος ταλαντώσεων η οποία χαρακτηρίζεται από το μέγιστο πλάτος της απομάκρυνσης της ταλάντωσης 11

12 γ) Το στιγμιότυπο ενός εγκάρσιου αρμονικού κύματος παριστάνει την απομάκρυνση από τη θέση ισορροπίας των διαφόρων σημείων του μέσου μια συγκεκριμένη χρονική στιγμή δ) Σε ένα στάσιμο κύμα όλα τα σημεία του μέσου έχουν την ίδια μέγιστη ταχύτητα ε) Αν ένα σώμα που εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση διέρχεται από τη θέση ισορροπίας του 6 φορές κάθε δευτερόλεπτο, τότε η συχνότητα της ταλάντωσής του είναι 3Hz (Μονάδες 5) ΘΕΜΑ Δ Δ1. Ιδανικό κύκλωμα LC εκτελεί ηλεκτρικές ταλαντώσεις. Η εξίσωση με την οποία υπολογίζεται το φορτίο του πυκνωτή είναι της μορφής q=qσυνωt. Η ηλεκτρική ενέργεια του πυκνωτή είναι ίση με τη μαγνητική ενέργεια του πηνίου τις χρονικές στιγμές που η ένταση του ρεύματος έχει τιμή: α) ii = ± ωωqq 2 β) ii = ± ωωqq 2 γ)ii = ±ωωqq 2 (Μονάδες 2) Να αιτιολογήσετε της απάντησή σας Δ2. Στην επίπεδη επιφάνεια ενός ελαστικού μέσου διαδίδονται δύο αρμονικά κύματα ίδιου πλάτους Α και ίδιου μήκους κύματος λ, τα οποία δημιουργούνται από δύο σύγχρονες πηγές Π1 και Π2. Σημείο Δ της επιφάνειας του ελαστικού μέσου απέχει από την πηγή Π1 απόσταση r1 = 5λ και από την πηγή Π2 απόσταση r2=7λ/3. Εξαιτίας της δράσης των δύο κυμάτων, το σημείο Δ ταλαντώνεται με πλάτος : α) Α β) 2Α γ) δεν ταλαντώνεται (Μονάδες 2) Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας Δ3. Αρμονικό κύμα συχνότητας f=4hz διαδίδεται με ταχύτητα υ=2m/s κατά μήκος γραμμικού ελαστικού μέσου. Ένα σημείο Κ του ελαστικού μέσου ξεκινά να ταλαντώνεται την χρονική στιγμή t1. Ένα άλλο σημείο Δ του ελαστικού μέσου ξεκινά να ταλαντώνεται την χρονική στιγμή t2 (t2>t1) και τότε η φάση του σημείου Κ είναι φκ(t2)=8π rad. Τα δύο σημεία απέχουν μεταξύ τους απόσταση : α) 2m β) 1m γ) 8m (Μονάδες 2) Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας Δ4. Οι παρακάτω εξισώσεις περιγράφουν στάσιμα κύματα που δημιουργούνται ξεχωριστά στο ίδιο γραμμικό ελαστικό μέσο 1. y1=0,04συν(4πx)ημ(10πt) (S.I) 2. y2=0,02συν(2πx)ημ(20πt) (S.I) 3. y3=0,1συν(8πx)ημ(5πt) (S.I) Η περίπτωση στην οποία η απόσταση δύο διαδοχικών δεσμών του στάσιμου κύματος είναι η μεγαλύτερη είναι η: 12

13 α) 1 β) 2 γ) 3 (Μονάδες 2) Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας ΘΕΜΑ Ε Αρμονικό κύμα με εξίσωση yy = 0,2ηηηη(5ππtt 4ππππ) (SS. II. ) διαδίδεται κατά μήκος γραμμικού ελαστικού μέσου που ταυτίζεται με τον άξονα x Οx. Ε1. Να υπολογίσετε τη ταχύτητα διάδοσης του κύματος καθώς και τη μέγιστη ταχύτητα ταλάντωσης των υλικών σημείων του ελαστικού μέσου (Μονάδες 4) Ε2. Να σχεδιάσετε σε βαθμολογημένους άξονες το στιγμιότυπο του κύματος στο θετικό ημιάξονα τη χρονική στιγμή t=1s Ε3. Να σχεδιάσετε σε βαθμολογημένους άξονες τη γραφική παράσταση της απομάκρυνσης του σημείου Μ(xM=+1,75m) του ελαστικού μέσου από τη θέση ισορροπίας του, σε συνάρτηση με το χρόνο Ε4. Να υπολογίσετε τη διαφορά φάσης των ταλαντώσεων των σημείων Μ και Λ(xΛ=+2,5m) του ελαστικού μέσου για κάθε χρονική στιγμή μετά την έναρξη της ταλάντωσής τους (Μονάδες 4) Ε5. Να υπολογίσετε το μέτρο της ταχύτητας ταλάντωσης του υλικού σημείου Μ τη χρονική στιγμή που η απομάκρυνση του από τη θέση ισορροπίας του ισούται με ym=+0,1m (Μονάδες 6) 13