ιδακτική Ενότητα: Μηχανικές Αρµονικές Ταλαντώσεις Ασκήσεις που δόθηκαν στις εξετάσεις των Πανελληνίων ως

Transcript

1 Τίτλος Κεφαλαίου: Μηχανικές & Ηλεκτρικές Ταλαντώσεις ιδακτική Ενότητα: Μηχανικές Αρµονικές Ταλαντώσεις Ασκήσεις που δόθηκαν στις εξετάσεις των Πανελληνίων ως Θέµα 3ο: (Ιούλιος Ηµερήσιο) Σώµα Σ 1 µάζας m 1 = 1kg ισορροπεί πάνω σε λείο κεκλιµένο επίπεδο που σχηµατίζει µε τον ορίζοντα γωνία φ = 30 ο. Το σώµα Σ 1 είναι δεµένο στην άκρη ιδανικού ελατηρίου σταθεράς Κ = 100Ν/m το άλλο άκρο του οποίου στερεώνεται στη βάση του κεκλιµένου επιπέδου, όπως φαίνεται στο σχήµα. Εκτρέπουµε το σώµα Σ 1 κατά d 1 = 0,1m από τη θέση ισορροπίας του κατά µήκος του κεκλιµένου επιπέδου και το αφήνουµε ελεύθερο. α. Να αποδείξετε ότι το σώµα Σ 1 εκτελεί απλή αρµονική ταλάντωση. Μονάδες 5 β. Να υπολογίσετε τη µέγιστη τιµή του µέτρου του ρυθµού µεταβολής της ορµής του σώµατος Σ 1. Μονάδες 5 Μετακινούµε το σώµα Σ 1 προς τα κάτω κατά µήκος του κεκλιµένου επιπέδου µέχρι το ελατήριο να συµπιεστεί από το φυσικό του µήκος κατά l = 0,3m. Τοποθετούµε ένα δεύτερο σώµα Σ 2 µάζας m 2 = 1kg στο κεκλιµένο επίπεδο, ώστε να είναι σε επαφή µε το σώµα Σ 1, και ύστερα αφήνουµε τα σώµατα ελεύθερα. γ. Να υπολογίσετε τη σταθερά επαναφοράς του σώµατος Σ 2 κατά τη διάρκεια της ταλάντωσής του. Μονάδες 6 Γεώργιος Μακεδών, Φυσικός Ρ/Η Σελίδα 1

2 δ. Να υπολογίσετε σε πόση απόσταση από τη θέση που αφήσαµε ελεύθερα τα σώµατα χάνεται η επαφή µεταξύ τους. Μονάδες 9 ίνονται: ηµ30 ο = 1/2, g = 10m/s 2 (Ιούνιος Εσπερινό) Στο ένα άκρο ιδανικού ελατηρίου είναι στερεωµένο σώµα µάζας m 1 =1,44kg, ενώ το άλλο του άκρο είναι ακλόνητο. Πάνω στο σώµα κάθεται ένα πουλί µάζας m 2 και το σύστηµα ταλαντώνεται σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Η µέγιστη ταχύτητα ταλάντωσης του συστήµατος είναι 0,4π m και η δυναµική του ενέργεια s µηδενίζεται κάθε 0,5s. Όταν το σύστηµα διέρχεται από την ακραία θέση ταλάντωσης, το πουλί πετά κατακόρυφα και το νέο σύστηµα ταλαντώνεται µε κυκλική συχνότητα 2,5π rad. Να βρείτε: s Α. Την περίοδο και το πλάτος της αρχικής ταλάντωσης. Μονάδες 6 Β. Τη σταθερά του ελατηρίου. Μονάδες 6 Γ. Τη µέγιστη ταχύτητα της νέας ταλάντωσης. Μονάδες 6. Τη µάζα του πουλιού. Μονάδες 7 (Ιούνιος Εσπερινό) To σώµα Σ του σχήµατος είναι συνδεδεµένο στο άκρο ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k=900 N/m, το άλλο άκρο του οποίου είναι στερεωµένο σε ακλόνητο σηµείο. Το σύστηµα ταλαντώνεται σε λείο οριζόντιο επίπεδο µε περίοδο Τ=(π/15) s. Το σώµα τη χρονική στιγµή t=0 διέρχεται από τη θέση ισορροπίας του µε ταχύτητα υ=6 m/s κινούµενο προς τα δεξιά. Να βρείτε: Α. Το πλάτος της ταλάντωσης του σώµατος. Μονάδες 5 Β. Τη µάζα του σώµατος. Μονάδες 5 Γ. Την αποµάκρυνση του σώµατος από τη θέση ισορροπίας σε συνάρτηση µε το χρόνο και να τη σχεδιάσετε σε αριθµηµένους άξονες για το χρονικό διάστηµα από 0 έως (2π/15) s. Μονάδες 8 (ΟΕΦΕ 2002) Στο ελεύθερο άκρο ενός κατακόρυφου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k=100n/m εξαρτάται σώµα µάζας m=1kg. Το άνω άκρο του ελατηρίου είναι σταθερά στερεωµένο. Ανυψώνουµε το σώµα κατακόρυφα, ώστε το ελατήριο να αποκτήσει το φυσικό του µήκος και τη χρονική στιγµή t = 0 του προσδίδουµε κατακόρυφη ταχύτητα µέτρου u = 3m / sµε φορά προς τα κάτω. α. Να υπολογίσετε το πλάτος και την περίοδο της ταλάντωσης του σώµατος. Γεώργιος Μακεδών, Φυσικός Ρ/Η Σελίδα 2

3 β. Να γράψετε την εξίσωση της ταχύτητας του σώµατος, σε συνάρτηση µε το χρόνο. γ. Να υπολογίσετε το έργο της δύναµης του ελατηρίου κατά τη µετατόπιση του σώµατος από το σηµείο εκκίνησης µέχρι το κατώτερο σηµείο της τροχιάς του. ίνεται: g = 10 m/s 2. Γεώργιος Μακεδών, Φυσικός Ρ/Η Σελίδα 3

4 ιδακτική Ενότητα: Ηλεκτρικές Αρµονικές Ταλαντώσεις Αακήαεις που δόθηκαν στις εξετάσεις των Πανελληνίων ως Θέµα 3ο: (ΟΕΦΕ 2011) Για το κύκλωµα του σχήµατος δίνεται ότι ο πυκνωτής έχει χωρητικότητα C=5µF και είναι αρχικά αφόρτιστος, το πηνίο έχει συντελεστή αυτεπαγωγής L=0,2H, ο αντιστάτης έχει ωµική αντίσταση R=10Ω και η πηγή έχει ηλεκτρεγερτική δύναµη Ε=10V και αµελητέα εσωτερική αντίσταση. Το πηνίο και οι υπόλοιποι αγωγοί έχουν αµελητέα ωµική αντίσταση. Αρχικά, ο µεταγωγός µ βρίσκεται στη θέση Α και το πηνίο διαρρέεται από σταθερό ρεύµα. Γ 1. Να υπολογίσετε την τιµή της ενέργειας του µαγνητικού πεδίου του πηνίου. Μονάδες 6 Τη χρονική στιγµή t 0 = 0 µεταφέρουµε ακαριαία το µεταγωγό από τη θέση Α στη θέση Γ, χωρίς να υπάρχουν απώλειες ενέργειας και το κύκλωµα LC αρχίζει να εκτελεί αµείωτες ηλεκτρικές ταλαντώσεις. Γ 2. Να υπολογίσετε το χρονικό διάστηµα που µεσολαβεί µεταξύ δύο διαδοχικών µηδενισµών της έντασης του ηλεκτρικού ρεύµατος. Μονάδες 6 Γ 3. Να γράψετε την εξίσωση της ηλεκτρικής ενέργειας του πυκνωτή σε συνάρτηση µε το χρόνο. Θεωρήστε θετική τη φορά του ρεύµατος στο πηνίο τη χρονική στιγµή t 0 = 0. Μονάδες 6 Γεώργιος Μακεδών, Φυσικός Ρ/Η Σελίδα 4

5 Γ 4. Να υπολογίσετε το πηλίκο U U E B της ενέργειας του ηλεκτρικού πεδίου του πυκνωτή προς την ενέργεια του µαγνηντικού πεδίου του πηνίου, όταν η στιγµιαία τιµή της έντασης του ηλεκτρικού ρεύµατος στο κύκλωµα ισούται µε το µισό της µέγιστης τιµής της. Μονάδες 7 (Οµογενών Σεπτέµβριος 2011) Ιδανικό κύκλωµα ηλεκτρικών ταλαντώσεων LC αποτελείται από πυκνωτή χωρητικότητας C=10-6 F και πηνίο µε συντελεστή αυτεπαγωγής L=10-4 H. Γ 1. Να υπολογίσετε τη συχνότητα της ηλεκτρικής ταλάντωσης. Μονάδες 5 Γ 2. Να υπολογίσετε το µέγιστο φορτίο του πυκνωτή, αν γνωρίζουµε ότι το ηλεκτρικό φορτίο του πυκνωτή είναι q= C όταν η ένταση του ρεύµατος που διαρρέει το κύκλωµα, είναι i= A Μονάδες 6 Γ 3. Να υπολογίσετε το φορτίο του θετικού οπλισµού του πυκνωτή τις χρονικές στιγµές που η ενέργεια του µαγνητικού πεδίου του πηνίου είναι τριπλάσια από την ενέργεια του ηλεκτρικού πεδίου του πυκνωτή. Μονάδες 7 Γ 4. Αν τη χρονική στιγµή t=0 ο πυκνωτής έχει το µέγιστο φορτιο του, να γράψετε την εξίσωση της ενέργειας του ηλεκτρικού πεδίου του πυκνωτή σε συνάρτηση µε το χρόνο (µονάδες 2) και να την παραστήσετε γραφικά για χρονικό διάστηµα µιας περιόδου της ηλεκτρικής ταλάντωσης (µονάδες 5). Για το σχεδιασµό της γραφικής παράστασης να χρησιµοποιήσετε το χαρτί milimetre του τετραδίου σας. Μονάδες 7 (Ιούνιος Ηµερήσιο) Στο κύκλωµα του σχήµατος δίνονται: πηγή ηλεκτρεγερτικής δύναµης Ε=5V µηδενικής εσωτερικής αντίστασης, πυκνωτής χωρητικότητας C= F, πηνίο µε συντελεστή αυτεπαγωγής L= H. Αρχικά ο διακόπτης 1 είναι κλειστός και ο διακόπτης 2 ανοιχτός. α. Να υπολογίσετε το φορτίο Q του πυκνωτή. Μονάδες 6 Ανοίγουµε το διακόπτη 1 και τη χρονική στιγµή t=0 κλείνουµε το διακόπτη 2. Το κύκλωµα LC αρχίζει να εκτελεί αµείωτες ηλεκτρικές ταλαντώσεις. β. Να υπολογίσετε την περίοδο των ηλεκτρικών ταλαντώσεων. Μονάδες 6 Γεώργιος Μακεδών, Φυσικός Ρ/Η Σελίδα 5

6 γ. Να γράψετε την εξίσωση σε συνάρτηση µε το χρόνο για την ένταση του ηλεκτρικού ρεύµατος που διαρρέει το πηνίο. Μονάδες 6 δ. Να υπολογίσετε το ηλεκτρικό φορτίο του πυκνωτή τη χρονική στιγµή κατά την οποία η ενέργεια του µαγνητικού πεδίου στο πηνίο είναι τριπλάσια από την ενέργεια του ηλεκτρικού πεδίου στον πυκνωτή. Μονάδες 7 (Ιούνιος Εσπερινό) Σε ιδανικό κύκλωµα LC παραγωγής ηλεκτρικών ταλαντώσεων, η ένταση του ρεύµατος i που διαρρέει το κύκλωµα συναρτήσει του χρόνου t δίνεται από τη 4 σχέση: i= 0,5 ηµ 10 t( S. I.) Το πηνίο έχει συντελεστή αυτεπαγωγής L= 10 2 H. Να υπολογίσετε: α. Την περίοδο Τ των ηλεκτρικών ταλαντώσεων. Μονάδες 6 β. Τη χωρητικότητα C του πυκνωτή. Μονάδες 6 γ. Το µέγιστο φορτίο Q του πυκνωτή. Μονάδες 6 δ. Την απόλυτη τιµή της έντασης του ρεύµατος που διαρρέει το κύκλωµα, όταν το 5 ηλεκτρικό φορτίο του πυκνωτή είναι q= 3 10 C. Μονάδες 7 (Οµογενών Σεπτέµβριος 2008) Πυκνωτής χωρητικότητας F φορτίζεται σε τάση 50V. Τη χρονική στιγµή t = 0 οι οπλισµοί του πυκνωτή συνδέονται στα άκρα ιδανικού πηνίου µε συντελεστή αυτεπαγωγής H και το κύκλωµα εκτελεί αµείωτη ηλεκτρική ταλάντωση. α. Να υπολογίσετε την περίοδο της ηλεκτρικής ταλάντωσης. Μονάδες 7 β. Να γράψετε την εξίσωση η οποία δίνει την ένταση του ρεύµατος που διαρρέει το πηνίο σε συνάρτηση µε το χρόνο. Μονάδες 8 γ. Να υπολογίσετε το λόγο της ενέργειας του ηλεκτρικού πεδίου του πυκνωτή προς την ενέργεια του µαγνητικού πεδίου του πηνίου, όταν το πηνίο διαρρέεται από ρεύµα έντασης i = 0,1 A. ίνεται: π = 3,14. Μονάδες 10 (Ιούλιος Ηµερήσιο) Ιδανικό κύκλωµα LC εκτελεί αµείωτη ηλεκτρική ταλάντωση µε περίοδο Τ = 4π10 3 s. Τη χρονική στιγµή t = 0, o πυκνωτής έχει το µέγιστο ηλεκτρικό φορτίο. Ο πυκνωτής έχει χωρητικότητα C = 10µF και η µέγιστη τιµή της έντασης του ρεύµατος, το οποίο διαρρέει το πηνίο, είναι Α. α. Να υπολογισθεί ο συντελεστής αυτεπαγωγής L του πηνίου. Μονάδες 6 Γεώργιος Μακεδών, Φυσικός Ρ/Η Σελίδα 6

7 β. Ποια χρονική στιγµή η ενέργεια του µαγνητικού πεδίου του πηνίου γίνεται µέγιστη για πρώτη φορά. Μονάδες 6 γ. Να υπολογισθεί η µέγιστη τάση στους οπλισµούς του πυκνωτή. Μονάδες 6 δ. Να υπολογισθεί η ένταση του ρεύµατος, το οποίο διαρρέει το πηνίο, τις χρονικές στιγµές κατά τις οποίες η ενέργεια του ηλεκτρικού πεδίου στον πυκνωτή είναι τριπλάσια της ενέργειας του µαγνητικού πεδίου στο πηνίο. Μονάδες 7 ίνονται: 1µF =10 6 F, π =3,14. (Ιούλιος Εσπερινό) Η ολική ενέργεια ιδανικού κυκλώµατος LC, του παρακάτω σχήµατος, είναι 4, J η δε περίοδος T = 4π 10 s. 5 Εάν η χωρητικότητα του πυκνωτή είναι C= 4 10 Fνα υπολογίσετε: 1. το συντελεστή αυτεπαγωγής του πηνίου. Μονάδες 5 2. το πλάτος της έντασης του ρεύµατος. Μονάδες 5 3. το µέγιστο φορτίο στους οπλισµούς του πυκνωτή. Μονάδες 6 4. το φορτίο στους οπλισµούς του πυκνωτή τη χρονική στιγµή που η ενέργεια του µαγνητικού πεδίου στο πηνίο είναι τριπλάσια της ενέργειας του ηλεκτρικού πεδίου του πυκνωτή. Μονάδες 9. Για ποιες αποµακρύνσεις ισχύει Κ=3U, όπου Κ η κινητική ενέργεια και U η δυναµική ενέργεια του συστήµατος. Μονάδες 7 (Ιούνιος Ηµερήσιο) Το ηλεκτρικό κύκλωµα του σχήµατος αποτελείται από πυκνωτή µε χωρητικότητα F, ένα ιδανικό πηνίο µε συντελεστή αυτεπαγωγής 0,05Η και διακόπτη όπως φαίνονται στο παρακάτω σχήµα. Αρχικά ο διακόπτης είναι ανοικτός και ο πυκνωτής είναι φορτισµένος µε ηλεκτρικό φορτίο 5 10 αγωγοί σύνδεσης έχουν αµελητέα αντίσταση. 7 C. Οι Γεώργιος Μακεδών, Φυσικός Ρ/Η Σελίδα 7

8 Τη χρονική στιγµή t=0 κλείνουµε το διακόπτη. Να υπολογίσετε: 1. την περίοδο της ηλεκτρικής ταλάντωσης Μονάδες 7 2. το πλάτος της έντασης του ρεύµατος Μονάδες 8 3. την ένταση του ρεύµατος τη στιγµή που το φορτίο του πυκνωτή C είναι C. Μονάδες 10 Γεώργιος Μακεδών, Φυσικός Ρ/Η Σελίδα 8

9 ιδακτική Ενότητα: Φθίνουσες Μηχανικές & Ηλεκτρικές Ταλαντώσεις Αακήαεις που δόθηκαν στις εξετάσεις των Πανελληνίων ως Θέµα 3ο: Γεώργιος Μακεδών, Φυσικός Ρ/Η Σελίδα 9

10 ιδακτική Ενότητα: Εξαναγκασµένες Ταλαντώσεις Αακήαεις που δόθηκαν στις εξετάσεις των Πανελληνίων ως Θέµα 3ο: Γεώργιος Μακεδών, Φυσικός Ρ/Η Σελίδα 10

11 ιδακτική Ενότητα: Σύνθεση Ταλαντώσεων Αακήαεις που δόθηκαν στις εξετάσεις των Πανελληνίων ως Θέµα 3ο: (Ηµερήσιο - Ιούλιος 2009) Υλικό σηµείο Σ εκτελεί ταυτόχρονα δύο απλές αρµονικές ταλαντώσεις, οι οποίες γίνονται στην ίδια διεύθυνση και γύρω από την ίδια θέση ισορροπίας. Οι ταλαντώσεις περιγράφονται από τις εξισώσεις : µε Α = 4 cm και ω = 10 rad/s. π x1 = Α ηµωt και x 2 = A ηµ ( ωt+ ) 3 α. Να υπολογισθεί το πλάτος Α ολ της συνισταµένης απλής αρµονικής ταλάντωσης που εκτελεί το Σ. Μονάδες 6 β. Να γραφεί η εξίσωση της αποµάκρυνσης της ταλάντωσης που εκτελεί το Σ. Μονάδες 6 γ. Να γραφεί η εξίσωση της ταχύτητας ταλάντωσης του Σ και να υπολογισθεί η αλγεβρική τιµή της ταχύτητας τη χρονική στιγµή π t = s µετά από τη στιγµή t=0. 15 Μονάδες 6 δ. Να υπολογισθεί ο λόγος της κινητικής προς τη δυναµική ενέργεια της ταλάντωσης του υλικού σηµείου τη χρονική στιγµή t = 120π s. π 1 ίνονται: ηµ =, 6 2 π συν = 6 3, 2 π π ηµ = συν = , π ηµ = 3 π 1 Α Β Α+Β συν =, ηµ Α+ ηµ Β= 2 συν ηµ Μονάδες Γεώργιος Μακεδών, Φυσικός Ρ/Η Σελίδα 11