Άδειες Χρήσης. Διδακτική Μαθηματικών I. Κατηγορίες προβλημάτων - Ρεαλιστικά Μαθηματικά. Διδάσκων: Επίκουρος Καθ. Κ. Τάτσης

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Άδειες Χρήσης Διδακτική Μαθηματικών I Κατηγορίες προβλημάτων - Ρεαλιστικά Μαθηματικά Διδάσκων: Επίκουρος Καθ. Κ. Τάτσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς.

2 Διδακτική Μαθηματικών Ι Μάθημα 7 ο Κατηγορίες προβλημάτων 2 Μαΐου 2014 Κατηγορίες προβλημάτων ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΤΥΠΟΥ Προβλήματα που επιλύονται πραγματοποιώντας συγκεκριμένα βήματα (αλγόριθμοι) Προβλήματα που απαιτούν τη χρήση διαφόρων ευρετικών (δηλαδή κάποιων στρατηγικών επίλυσης) ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΝΟΙΧΤΟΥ ΤΥΠΟΥ (PROJECT) Παραλλαγμένες ασκήσεις οι οποίες περιλαμβάνουν: Ελλιπή δεδομένα Ανοιχτού τύπου ερωτήσεις Εύρεση δομών, εντοπισμό λαθών Προβλήματα που βασίζονται σε πραγματικές καταστάσεις. ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ (PROBLEM POSING) Πέμπτη Δημοτικού Πέμπτη Δημοτικού Τι ερωτήσεις μπορείτε να κάνετε; 1

3 Πέμπτη Δημοτικού Ευρετικές Λύσε ένα απλούστερο πρόβλημα (π.χ. μια συγκεκριμένη περίπτωση). Λύσε ένα παρεμφερές πρόβλημα. Διατύπωσε μία υπόθεση και έλεγξέ την (trial and error). Λύσε ένα ισοδύναμο πρόβλημα (π.χ. δουλεύοντας αντίστροφα). Χρησιμοποίησε μια αναπαράσταση (πίνακα, σχεδιάγραμμα). Ευρετικές Διατύπωσε μία υπόθεση και έλεγξέ την (trial and error). Ένας αγρότης έχει στην φάρμα του αγελάδες και κοτόπουλα. Τα κεφάλια όλων των ζώων μαζί είναι 50 και τα πόδια τους 172. Πόσες αγελάδες έχει στη φάρμα; Μικρή επανάληψη Πόσους από τους αριθμούς από το 0 έως το 20 μπορείς να σχηματίσεις χρησιμοποιώντας τέσσερα 4 και τις τέσσερις βασικές πράξεις μαζί και με παρενθέσεις αν χρειαστούν; Λύσε το πρόβλημα με όσο περισσότερους τρόπους μπορείς! 2

4 Τα Μαθηματικά πρέπει να είναι κοντά στα παιδιά και να αφορούν καθημερινές για αυτά καταστάσεις. Ο όρος «ρεαλιστικά» δεν αναφέρεται αποκλειστικά σε πραγματικές καταστάσεις, αλλά μπορεί να αφορά και οτιδήποτε είναι «πραγματικό» για τα παιδιά. Τα Μαθηματικά είναι μια ανθρώπινη δραστηριότητα. Τα παιδιά πρέπει να εμπλακούν σε μια καθοδηγούμενη ανακάλυψη. Δηλαδή, πρέπει να: εξερευνούν καταστάσεις ανακαλύπτουν και αναγνωρίζουν τις απαιτούμενες μαθηματικές έννοιες σχηματοποιούν και οπτικοποιούν τις όποιες σχέσεις σχεδιάζουν ένα μοντέλο που οδηγεί σε μια μαθηματική έννοια μέσω γενικεύσεων και αναστοχασμού Η μάθηση των Μαθηματικών πραγματοποιείται μαθηματικοποιώντας την πραγματικότητα. Οριζόντια μαθηματικοποίηση: το πραγματικό πρόβλημα μεταφράζεται σε μαθηματικό (εντοπίζουμε τις μαθηματικές έννοιες και δομές που περιέχει ανακάλυψη σχέσεων, ομοιοτήτων) Κατακόρυφη μαθηματικοποίηση: το μεταφρασμένο πρόβλημα αντιμετωπίζεται με μαθηματικά εργαλεία. Ρόλος πλαισίου 1. Ασύνδετο πλαίσιο (μηδενικής τάξης) Η τομή της επιφάνειας ενός ποτηριού σαμπάνιας περιγράφεται από την καμπύλη με τύπο y = 3ημ(x + ½π) + 3. Υπολογίστε τον όγκο του ποτηριού. Το κέρδος P σε ευρώ από την πώληση ενός αυτοκινήτου ορισμένου τύπου και ο χρόνος παραγωγής του t σε ώρες σχετίζονται με τον τύπο: Ρ(t) = 20( /t t 2 ), t > 3 Να βρεθεί το μέγιστο δυνατό κέρδος. 3

5 Ρόλος πλαισίου 2. Σχετικό πλαίσιο (1 ης τάξης) το πλαίσιο είναι απαραίτητο για την απάντηση Σε μια εκδήλωση αναμένονται 150 άτομα. Θα χρησιμοποιηθούν τραπέζια των 4 θέσεων. Πόσα τραπέζια θα χρειαστούν; Ρόλος πλαισίου 3. Σχετικό πλαίσιο (2 ης τάξης) το πλαίσιο είναι απαραίτητο για την απάντηση απαιτείται μοντελοποίηση (οριζόντια μαθηματικοποίηση) Μία σκάλα μήκους 3 μέτρων τοποθετείται σε ένα τοίχο, σε απόσταση ενός μέτρου από τη βάση του. Μέχρι ποιο ύψος του τοίχου θα φτάσει; Ρόλος πλαισίου 3. Σχετικό πλαίσιο (2 ης τάξης) το πλαίσιο είναι απαραίτητο για την απάντηση απαιτείται μοντελοποίηση (οριζόντια μαθηματικοποίηση) 4

6 Πόσο πραγματικό είναι το πλαίσιο; Έστω ότι η διάμετρος του πασσάλου είναι 10 cm Σε ποιο ύψος βρίσκεται το καταφύγιο της εικόνας; Ποιο είναι το συνολικό μήκος της κορδέλας που θα χρειαστεί; Εφτά νάνοι δουλεύουν στο δάσος. Αποφάσισαν να κάνουν ένα διάλειμμα για φαγητό. Υπάρχουν αρκετά μανιτάρια για όλους; Καθοδηγούμενη πορεία από το συγκεκριμένο στο αφηρημένο Παράδειγμα: Από μια φωτογραφία Το μοντέλο του «παγόβουνου» σε μια εικόνα Οι σχηματισμοί των πουλιών είναι συχνά σε σχήμα V. Το σμήνος που βλέπετε ξεκίνησε από 3 πουλιά σε σχήμα V. Σε ένα λεπτό έγιναν 5 και σε δυο λεπτά, όπως βλέπετε στην εικόνα ήταν ήδη 7. Αν συνεχίζουν να αυξάνονται με τον ίδιο τρόπο πόσα πουλιά θα έχει το σμήνος σε 10 λεπτά; 5

7 Ζωγραφίστε τον τέταρτο σχηματισμό κουκίδων. Είναι δυνατό σε έναν τέτοιο σχηματισμό να υπάρξουν 84 σημεία; Γιατί ναι ή γιατί όχι; Πόσα σημεία θα έχει ο έκτος σχηματισμός; Ο δέκατος σχηματισμός; Ο εκατοστός; Δικαιολογείστε την απάντησή σας. Δυο σχηματισμοί πουλιών καθένας σε σχήμα V ενώνονται. Είναι δυνατόν να δημιουργηθεί από την ένωσή τους ένας νέος σχηματισμός V; Έχω επιλέξει δύο ακέραιους αριθμούς. Τους πρόσθεσα και το άθροισμα είναι άρτιος αριθμός. Τι μπορείτε να πείτε για τους δυο αρχικούς αριθμούς; Έχω επιλέξει δύο ακέραιους αριθμούς. Τους πρόσθεσα και το άθροισμα είναι περιττός αριθμός. Τι μπορείτε να πείτε για τους δυο αρχικούς αριθμούς; Είναι δυνατό σε έναν τέτοιο σχηματισμό να υπάρξουν 84 σημεία; Γιατί ναι ή γιατί όχι; Όχι, επειδή υπάρχει ένα πουλί στο μέτωπο (σωστός, άτυπος συλλογισμός, που αναφέρεται στα πουλιά αντί στα σημεία) Όχι, εάν χωρίσουμε το 84 σε δύο έχουμε 42 από κάθε πλευρά αλλά πρέπει να υπάρξει ένα επιπλέον πουλί στο μέτωπο (σωστός, προ τυπικός συλλογισμός. Αναφορά στις ιδιότητες του αριθμού αλλά και με το σχέδιο των πουλιών στο μυαλό.) Όχι κάθε σχηματισμός V είναι περιττός αριθμός και το 84 είναι άρτιος (σωστός, τυπικός συλλογισμός, που αναφέρεται στις ιδιότητες του αριθμού) Πόσα σημεία θα έχει ο εκατοστός σχηματισμός; Στη μια πλευρά 49 και στην άλλη 51 (λανθασμένη απάντηση που βασίζεται στον άτυπο συλλογισμό) 201, επειδή χρειαζόμαστε τον ίδιο αριθμό πουλιών σε κάθε ένα πλευρά και έναν αρχηγό (σωστός, άτυπος συλλογισμός) 201, διπλασιάζουμε τον αριθμό του σχηματισμού(εκατοστός)και προσθέτουμε 1 (σωστός, προ-τυπικός συλλογισμός) 2x (αριθμός σχηματισμού) + 1 (σωστός, τυπικός) 6

8 Μπορούν δυο σχηματισμοί να ενωθούν ώστε να φτιάξουν έναν νέο σχηματισμό; Δεν μπορούμε να ξέρουμε, γιατί δεν ξέρουμε πως θα πετάξουν τα πουλιά. (λανθασμένος, άτυπος) Πρώτα πρέπει να ξέρουμε πόσα πουλιά είναι στο σύνολο. (λανθασμένος, άτυπος) Όχι, αυτό είναι αδύνατο, δεν υπάρχει κανένας αρχηγός. (σωστός, άτυπος) Όχι, επειδή περιττός και περιττός δίνει άρτιο (σωστός,τυπικός) Έχω επιλέξει δύο ακέραιους αριθμούς. Τους πρόσθεσα και το άθροισμα είναι περιττός αριθμός. Τι μπορείτε να πείτε για τους δυο αρχικούς αριθμούς; Δεν μπορώ να ξέρω τίποτα για τους αριθμούς, είναι στο κεφάλι σας! Ξέρω ότι επιλέξατε 3 και 8 επειδή = 11 Ο ένας πρέπει να είναι περιττός και ο άλλος άρτιος. Στην πορεία από το συγκεκριμένο στο αφηρημένο οι διάφορες στρατηγικές των μαθητών χρησιμοποιούνται από τον εκπαιδευτικό ως: - ενδείξεις του επιπέδου τους και - αφορμή για περαιτέρω ανάλυση του μαθηματικού θέματος. Τα Μαθηματικά πρέπει να είναι κοντά στα παιδιά και να αφορούν καθημερινές για αυτά καταστάσεις. Ο όρος «ρεαλιστικά» δεν αναφέρεται αποκλειστικά σε πραγματικές καταστάσεις, αλλά μπορεί να αφορά και οτιδήποτε είναι «πραγματικό» για τα παιδιά. Τα Μαθηματικά είναι μια ανθρώπινη δραστηριότητα. Τα παιδιά πρέπει να εμπλακούν σε μια καθοδηγούμενη ανακάλυψη. 7

9 Μη πλαισιωμένο πρόβλημα Τα μήκη των πλευρών ενός τριγώνου είναι 21, 14 και 16. Πρόκειται για ορθογώνιο τρίγωνο; 8

10 Χρηματοδότηση Τέλος Ενότητας Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. Σημείωμα Ιστορικού Εκδόσεων Έργου Σημειώματα Το παρόν έργο αποτελεί την έκδοση 1.0. Έχουν προηγηθεί οι κάτωθι εκδόσεις: Έκδοση 1.0 διαθέσιμη εδώ.

11 Σημείωμα Αναφοράς Σημείωμα Αδειοδότησης Copyright Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων, Διδάσκων: Επίκουρος Καθ. Κ. Τάτσης. «Διδακτική Μαθηματικών I. Κατηγορίες προβλημάτων -». Έκδοση: 1.0. Ιωάννινα Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά Δημιουργού - Παρόμοια Διανομή, Διεθνής Έκδοση 4.0 [1] ή μεταγενέστερη. [1]