Εφαρμοσμένη Στατιστική

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Εφαρμοσμένη Στατιστική Διαστήματα εμπιστοσύνης Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Κωνσταντίνος Μπλέκας

2 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Cretve Commos. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς.

3 Διαστήματα Εμπιστοσύνης Ορισμός Έστω τ.δ. ={,,, } προερχόμενο από κατανομή με σ.π.π. f(x;θ) και έστω g(θ) μία παραμετρική συνάρτηση που θέλουμε να εκτιμήσουμε. Εστω στατιστικές συναρτήσεις L() και U(). Τότε το τυχαίο διάστημα [L(), U()] ονομάζεται διάστημα εμπιστοσύνης (δ.ε.) για την g(θ) σε επίπεδο σημαντικότητας -α αν ισχύει ότι: P g L, U PL g U Το -α καλείται συντελεστής εμπιστοσύνης. Εφαρμοσμένη Στατιστική Μέρος 3 ο - Κ. Μπλέκας ()

4 Γενική μέθοδος κατασκευής δ.ε.. Βρίσκουμε μία συνάρτηση T() της οποίας η κατανομή να εξαρτάται από το g(θ) (συνήθως μία εκτιμήτρια).. Κατασκευάζουμε μία συνάρτηση =h(t, g(θ)) η κατανομή της οποίας να μην εξαρτάται από το g(θ). 3. Υπολογίζουμε δύο σταθερές c, c ώστε: P(c < < c) = α. 4. Λύνουμε την σχέση c < =h(t,g(θ)) < c ως προς g(θ) και έτσι προκύπτει η ανισότητα L() < g(θ) < U(). Το διάστημα [L, U] είναι το δ.ε. της g(θ) με συντελεστή εμπιστοσύνης -α. Εφαρμοσμένη Στατιστική Μέρος 3 ο - Κ. Μπλέκας ()

5 (Α) δ.ε. για μέσο μ όταν η διασπορά σ είναι γνωστή Βασιζόμαστε στο γεγονός ότι Έτσι P( < Z < ) = -α => P(-<Z<) = Φ() Φ(-) = Φ()- = -α => = Φ - (-α/) (διαθέσιμο από πίνακα) Ετσι το δ.ε. κατασκευάζεται από την ανίσωση Εφαρμοσμένη Στατιστική Μέρος 3 ο - Κ. Μπλέκας (3) 0, / N Z / / Z L() U()

6 (B) δ.ε. για μέσο μ όταν η διασπορά σ είναι άγνωστή Βασιζόμαστε στο ότι όπου η δειγματική διασπορά Έτσι δουλεύοντας όπως και πριν βρίσκουμε την αντίστροφο από την κατανομή t stuet, δηλ. = Φ - (-α/) = t - (α/) (διαθέσιμο από πίνακα) Ετσι το δ.ε. κατασκευάζεται από την ανίσωση: Εφαρμοσμένη Στατιστική Μέρος 3 ο - Κ. Μπλέκας (4) / t Z t t L() U()

7 (Γ) δ.ε. για τη διασπορά σ όταν ο μέσος μ είναι γνωστός Βασιζόμαστε στο αποτέλεσμα ότι Έτσι P( < < ) = -α, όπου, Το δ.ε. κατασκευάζεται από την ανίσωση: Εφαρμοσμένη Στατιστική Μέρος 3 ο - Κ. Μπλέκας (5) L() U() Z / / P P

8 (Δ) δ.ε. για τη διασπορά σ όταν ο μέσος μ είναι άγνωστο Βασιζόμαστε στο αποτέλεσμα ότι Δουλεύοντας με ανάλογο τρόπο, το δ.ε. κατασκευάζεται ως εξής: Εφαρμοσμένη Στατιστική Μέρος 3 ο - Κ. Μπλέκας (6) L() U() 4 L() U() 4 ή

9 (Ε) δ.ε. για τη διαφορά των μέσων δύο ανεξ. κανονικών πληθυσμών Έστω τ.δ. Χ={Χ, Χ,, Χ } από N(μ,σ ) και ={,,, }, από N(μ,σ ) (Ε) γνωστές διασπορές σ, σ Καθώς Δουλεύοντας με ανάλογο τρόπο με την περίπτωση (Α) βρίσκουμε το δ.ε.: Εφαρμοσμένη Στατιστική Μέρος 3 ο - Κ. Μπλέκας (7) L() U(), N, N,, N Z

10 (Ε) άγνωστες διασπορές και ίσες (σ =σ =σ ) Καθώς Έχουμε: Εφαρμοσμένη Στατιστική Μέρος 3 ο - Κ. Μπλέκας (8) 0,, N N, t Z

11 (Ε) άγνωστες διασπορές και ίσες (σ =σ =σ ) (συνέχεια) Εργαζόμενοι παρόμοια όπως στην (Β) περίπτωση παίρνουμε τα δ.ε.: όπου Εφαρμοσμένη Στατιστική Μέρος 3 ο - Κ. Μπλέκας (9), t L ), (, U L, t U,

12 (ΣΤ) δ.ε. για το λόγο διασπορών δύο ανεξ. κανονικών πληθυσμών Έστω τ.δ. Χ={Χ, Χ,, Χ } από N(μ,σ ) και ={,,, }, από N(μ,σ ) (ΣΤ) τα μέσα μ, μ είναι γνωστά Όπως γνωρίζουμε x x / F Z / Δουλεύοντας με τον κλασσικό τρόπο βρίσκουμε το δ.ε.: P P x x Z P, Z, F,,,, Z P Z P Z,,, Εφαρμοσμένη Στατιστική Μέρος 3 ο - Κ. Μπλέκας (0) F, F

13 (ΣΤ) τα μέσα μ, μ είναι γνωστά (συνέχεια) Έτσι το δ.ε. είναι: (ΣΤ) τα μέσα μ, μ είναι άγνωστά Δουλεύουμε ακριβώς όπως και πριν, απλά εδώ χρησιμοποιούμε ότι Έτσι το δ.ε. είναι: (αλλάζει μόνο η κατανομή F) Εφαρμοσμένη Στατιστική Μέρος 3 ο - Κ. Μπλέκας (),,, Z F F L() U() x x,,, Z F F

14 Τέλος Ενότητας

15 Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.

16 Σημειώματα

17 Σημείωμα Ιστορικού Εκδόσεων Έργου Το παρόν έργο αποτελεί την έκδοση.0. Έχουν προηγηθεί οι κάτωθι εκδόσεις: Έκδοση.0 διαθέσιμη εδώ.

18 Σημείωμα Αναφοράς Copyrght Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων, Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Κωνσταντίνος Μπλέκας. «Εφαρμοσμένη Στατιστική. Διαστήματα εμπιστοσύνης». Έκδοση:.0. Ιωάννινα 04. Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση:

19 Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Cretve Commos Αναφορά Δημιουργού - Παρόμοια Διανομή, Διεθνής Έκδοση 4.0 [] ή μεταγενέστερη. []