Εισαγωγή στο Πεδίο Βαρύτητας

Transcript

1 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Εισαγωγή στο Πεδίο Βαρύτητας Ενότητα : Πεδία Έλξης Η.Ν. Τζιαβός - Γ.Σ. Βέργος Τμήμα Αγρονόμων & Τοπογράφων Μηχανικών Εισαγωγή στο πεδίο βαρύτητας Η.Ν. Τζιαβός - Γ.Σ. Βέργος

2 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Εισαγωγή στο πεδίο βαρύτητας Η.Ν. Τζιαβός - Γ.Σ. Βέργος

3 Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης» έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Εισαγωγή στο πεδίο βαρύτητας Η.Ν. Τζιαβός - Γ.Σ. Βέργος

4 ΑΠΘ/ΤΑΤΜ Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας 4 ο Εξάμηνο Εισαγωγή στο πεδίο βαρύτητας Introduction to gravity field Ακαδημαϊκή Χρονιά: Πρόγραμμα: Τετάρτη 9:00 13:00 Διδάσκοντες: Η.Ν. Τζιαβός, Γ.Σ. Βέργος Εισαγωγή στο πεδίο βαρύτητας Η.Ν. Τζιαβός - Γ.Σ. Βέργος

5 Ιστοσελίδες ΔΕΠ Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας Η. Τζιαβός ή Γ. Βέργος Μαθήματα - εργασίες Εισαγωγή στο πεδίο βαρύτητας Η.Ν. Τζιαβός - Γ.Σ. Βέργος

6 ΥΠΟΧΡΕΩΣΕΙΣ ΦΟΙΤΗΤΩΝ Εκπόνηση θέματος Βαθμός προαγωγής Γραπτό: 8 μονάδες (άριστα) Θέμα: μονάδες (άριστα) ΠΡΟΣΟΧΗ!!! Το θέμα ενεργοποιείται εφόσον ο βαθμός του γραπτού είναι με άριστα το 8 Εισαγωγή στο πεδίο βαρύτητας Η.Ν. Τζιαβός - Γ.Σ. Βέργος

7 Ελληνική Δ. Αραμπέλος (000): Βαρυτημετρία. Δ. Αραμπέλος (00): Εισαγωγή στη θεωρία του δυναμικού. K. Κατσάμπαλος και H.Ν. Τζιαβός (1991): Φυσική Γεωδαισία. Ξενόγλωσση.A. Heiskanen and H. Moritz (1967): Physical Geodesy. H. Moritz (1980): Advanced Physical Geodesy. M.G. Sideris (1993): The gravity field in Surveying and Geodesy, Lecture Notes, University of Calgary.. Torge (001): Geodesy, 3 rd edition. I.N. Tziavos (1993): Numerical considerations of FFT methods in Gravity Field Modelling, University of Hannover. P. Vanicek and E. Karakiwsky (198): Geodesy ΣΧΕΤΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ H. ellenhof and H. Moritz (005): Physical Geodesy. Εισαγωγή στο πεδίο βαρύτητας Η.Ν. Τζιαβός - Γ.Σ. Βέργος

8 Εισαγωγή στο πεδίο βαρύτητας Η.Ν. Τζιαβός - Γ.Σ. Βέργος

9 ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΒΑΡΥΤΗΜΕΤΡΙΑΣ Εικόνα 1 Όργανα μέτρησης σχετικών τιμών βαρύτητας Εισαγωγή στο πεδίο βαρύτητας Η.Ν. Τζιαβός - Γ.Σ. Βέργος

10 ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΒΑΡΥΤΗΜΕΤΡΙΑΣ Εικόνα Όργανα μέτρησης απόλυτων τιμών βαρύτητας Εισαγωγή στο πεδίο βαρύτητας Η.Ν. Τζιαβός - Γ.Σ. Βέργος

11 ΜΟΝΑΔΕΣ ΒΑΡΥΤΗΤΑΣ Βαρύτητα 1 gal = 1 cm sec - 1 mgal = 10-5 m sec - Δυναμικό m sec - Μεταβολή g κατά την κατακόρυφη 1E = 10-9 sec - (Eotvos) Εισαγωγή στο πεδίο βαρύτητας Η.Ν. Τζιαβός - Γ.Σ. Βέργος

12 Η ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗ ΤΗΣ ΓΗΣ φυγόκεντρη δύναμη f = ω R cosφ Εικόνα 3 g = F + f Στον ισημερινό η μέγιστη τιμή: f max = ω R = 3.4 gal g equ = gal Στους πόλους: f = 0 g pole = 983. gal Εισαγωγή στο πεδίο βαρύτητας Η.Ν. Τζιαβός - Γ.Σ. Βέργος

13 ΘΕΩΡΙΕΣ ΣΧΕΤΙΚΕΣ ΜΕ ΤΗ ΒΑΡΥΤΗΤΑ Νεύτων παγκόσμια έλξη Ηλεκτρομαγνητισμός Ισχυρή & ασθενής πυρηνική δύναμη Αινστάϊν γεωμετρία χωροχρόνου 5η δύναμη ; (αντι-βαρύτητα;) Εισαγωγή στο πεδίο βαρύτητας Η.Ν. Τζιαβός - Γ.Σ. Βέργος

14 ΝΕΥΤΩΝΙΟ ΠΕΔΙΟ ΕΛΞΗΣ Οι ελκτικές δυνάμεις μεταξύ των μαζών είναι η κύρια πηγή του πεδίου βαρύτητας Το 0.3% του πεδίου βαρύτητας οφείλεται στη φυγόκεντρο δύναμη ΣΗΜΑΝΤΙΚΑ!! Μέτρο, Διεύθυνση, Φορά των ελκτικών δυνάμεων των μαζών Οι παράμετροι (Μέτρο, Διεύθυνση, Φορά) εξαρτώνται από την κατανομή των μαζών Εισαγωγή στο πεδίο βαρύτητας Η.Ν. Τζιαβός - Γ.Σ. Βέργος

15 ΓΕΩΚΕΝΤΡΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΑΝΑΦΟΡΑΣ Ελλειψοειδές γεωκεντρικό σύστημα αναφοράς Γεωμετρία (μεγάλος & μικρός ημιάξονας a, b, κέντρο κέντρο μάζας Γης Ο άξονας Ζ συμπίπτει με το μέσο άξονα περιστροφής της Γης (μέση θέση πόλου Conventional International Origin CIO) Ο άξονας X διέρχεται από την τομή του αστρονομικού μεσημβρινού του Greenwich (μηδενικός μεσημβρινός μηκών Διεθνές Γραφείο Ώρας Bureau Internationale de l Heure - BIH) Ο άξονας Υ συμπληρώνει ένα δεξιόστροφο τρισορθογώνιο σύστημα Z h P Y X Εικόνα 4 Εισαγωγή στο πεδίο βαρύτητας Η.Ν. Τζιαβός - Γ.Σ. Βέργος

16 ΤΟ ΕΛΛΕΙΨΟΕΙΔΕΣ ΚΑΙ Η ΓΗ Το ελλειψοειδές και η ορατή τοπογραφία N Τοπογραφία Β. Αμερική Ευρώπη O 1 Ν. Αμερική Αφρική Εικόνα 5 Εισαγωγή στο πεδίο βαρύτητας Η.Ν. Τζιαβός - Γ.Σ. Βέργος

17 ΤΟ ΕΛΛΕΙΨΟΕΙΔΕΣ ΚΑΙ Η ΓΗ Το ελλειψοειδές και το γεωειδές Ποιο ελλειψοειδές να επιλέξω ; N N Τοπογραφία Β. Αμερική Ευρώπη O 1 O Ν. Αμερική Αφρική Εικόνα 6 Εισαγωγή στο πεδίο βαρύτητας Η.Ν. Τζιαβός - Γ.Σ. Βέργος

18 ΤΟ ΕΛΛΕΙΨΟΕΙΔΕΣ ΚΑΙ Η ΓΗ 1η προσέγγιση η γη προσεγγίζεται με ελλειψοειδές Εικόνα 7 Εισαγωγή στο πεδίο βαρύτητας Η.Ν. Τζιαβός - Γ.Σ. Βέργος

19 Η ΓΗ ΚΑΙ Η ΣΦΑΙΡΑ η προσέγγιση η γη προσεγγίζεται με σφαίρα O O 1 Εικόνα 8 Εισαγωγή στο πεδίο βαρύτητας Η.Ν. Τζιαβός - Γ.Σ. Βέργος

20 ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΑΝΑΦΟΡΑΣ ΚΑΘΕΤΟΣ & ΚΑΤΑΚΟΡΥΦΟΣ h = H + N Εικόνα 9 Εισαγωγή στο πεδίο βαρύτητας Η.Ν. Τζιαβός - Γ.Σ. Βέργος

21 ΥΨΟΜΕΤΡΙΑ Ι Υψομετρία h προσδιορίζονται με GPS P h Τοπογραφία h = Ελλειψοειδές υψόμετρο Ελλειψοειδές Εικόνα 10 Εισαγωγή στο πεδίο βαρύτητας Η.Ν. Τζιαβός - Γ.Σ. Βέργος

22 ΥΨΟΜΕΤΡΙΑ ΙΙ Υψομετρία Το γεωειδές είναι ισοδυναμική επιφάνεια που συμπίπτει με Μέση Στάθμη Θάλασσας Μ.Σ.Θ. Οι διακυμάνσεις του γεωειδούς οφείλονται σε επιδράσεις της τοπογραφίας, P γεωλογίας κ.λπ. h H Τα ορθομετρικά υψόμετρα αναφέρονται τυπικά σε ένα Datum που συμπίπτει με τη Μέση Στάθμη της Θάλασσας Μ.Σ.Θ. Γεωειδές Ελλειψοειδές Τοπογραφία Γεωειδές H = υψόμετρο από γεωειδές (~ορθομετρικό υψόμετρο) Εικόνα 11 Εισαγωγή στο πεδίο βαρύτητας Η.Ν. Τζιαβός - Γ.Σ. Βέργος

23 ΥΨΟΜΕΤΡΙΑ ΙΙΙ Υψομετρία Η διαφορά ανάμεσα σε γεωειδές και ελλειψοειδές ονομάζεται διακύμανση του γεωειδούς (υψόμετρο γεωειδούς) Για τον υπολογισμό ορθομετρικών υψομέτρων πρέπει να λαμβάνονται υπόψη τα υψόμετρα του γεωειδούς P H h Τοπογραφία N Γεωειδές N = υψόμετρο γεωειδούς Ελλειψοειδές Εικόνα 1 Εισαγωγή στο πεδίο βαρύτητας Η.Ν. Τζιαβός - Γ.Σ. Βέργος

24 ΥΨΟΜΕΤΡΙΑ ΙV Υψομετρία Το υψόμετρο του γεωειδούς μπορεί να είναι θετικό ή αρνητικό h = ελλειψοειδές υψόμετρο H = υψόμετρο από το γεωειδές (~ορθομετρικό υψόμετρο) P H h Τοπογραφία N = υψόμετρο γεωειδούς N Γεωειδές h = H + N Ελλειψοειδές Εικόνα 13 Εισαγωγή στο πεδίο βαρύτητας Η.Ν. Τζιαβός - Γ.Σ. Βέργος

25 ΠΕΔΙΟ ΒΑΡΥΤΗΤΑΣ ΣΦΑΙΡΙΚΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ Σφαιρικές πολικές συντεταγμένες (r, θ, λ) r γεωκεντρική απόσταση 0 90 γεωκεντρικό πλάτος tan b a tan φ ελλειψοειδές γεωγραφικό πλάτος X sin cos Διάνυσμα θέσης r Y r sin sin Z cos Εισαγωγή στο πεδίο βαρύτητας Η.Ν. Τζιαβός - Γ.Σ. Βέργος

26 ΤΟΠΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΑΝΑΦΟΡΑΣ ΠΕΔΙΟΥ ΒΑΡΥΤΗΤΑΣ Γεωμετρία σε τοπική κλίμακα τοπικά συστήματα συντεταγμένων Άξονας z συμπίπτει με διεύθυνση κατακορύφου (κατευθύνεται στο ναδίρ / διεύθυνση διανύσματος g της βαρύτητας) x, y τοπικό σύστημα, x κατευθύνεται στο βορρά (αστρονομικός μεσημβρινός) και y στην ανατολή Φ αστρονομικό πλάτος Λ αστρονομικό μήκος Α αστρονομικό αζιμούθιο Γεωδαιτικής Αστρονομίας Ακρίβειες Εικόνα 14 Εισαγωγή στο πεδίο βαρύτητας Η.Ν. Τζιαβός - Γ.Σ. Βέργος

27 ΤΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΤΗΣ ΒΑΡΥΤΗΤΑΣ g cos cos g gn g cos sin sin Εικόνα 15 n το μοναδιαίο διάνυσμα της εξωτερικής καθέτου Εισαγωγή στο πεδίο βαρύτητας Η.Ν. Τζιαβός - Γ.Σ. Βέργος

28 ΝΕΥΤΩΝΙΟ ΠΕΔΙΟ ΕΛΞΗΣ F G m m 1 l l x y z Εικόνα 16 Παγκόσμια σταθερά έλξης G x 10 m kg 1 sec Δύναμη μεταξύ δύο σημειακών μαζών που απέχουν 1 cm είναι 6.673x10 8 dyn Εισαγωγή στο πεδίο βαρύτητας Η.Ν. Τζιαβός - Γ.Σ. Βέργος

29 ΝΕΥΤΩΝΙΟ ΠΕΔΙΟ ΕΛΞΗΣ Η μία από τις ελκόμενες μάζες μοναδιαία b είναι η δύναμη που ασκεί η μάζα m στη μονάδα της μάζας που βρίσκεται σε οποιοδήποτε σημείο απέχει απόσταση l b G m l H μάζα m δημιουργεί πεδίο ελκτικών δυνάμεων Εισαγωγή στο πεδίο βαρύτητας Η.Ν. Τζιαβός - Γ.Σ. Βέργος

30 ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΤΟ ΠΕΔΙΟ ΒΑΡΥΤΗΤΑΣ Επιτάχυνση βαρύτητας g Επιτάχυνση ελκτικών μαζών b g b z Φυγόκεντρη επιτάχυνση z Εικόνα 17 Δύναμη της βαρύτητας F mg Ένταση της βαρύτητας g g (μέτρο διανύσματος, διεύθυνση της κατακορύφου) Εισαγωγή στο πεδίο βαρύτητας Η.Ν. Τζιαβός - Γ.Σ. Βέργος

31 ΜΟΝΑΔΕΣ ΒΑΡΥΤΗΤΑΣ ΣΤΟ ΔΙΕΘΝΕΣ ΣΥΣΤΗΜΑ (SI) Διεθνής Ένωση Γεωδαισίας και Γεωφυσικής (International Association of Geodesy and Geophysics) ms μονάδα μέτρησης της βαρύτητας 6 1 ms 10 ms 9 1nms 10 ms 1 Gal 1cms Galileo 5 1mGal 10 ms 8 1 Gal 10 ms SI Εισαγωγή στο πεδίο βαρύτητας Η.Ν. Τζιαβός - Γ.Σ. Βέργος

32 ΠΕΔΙΟ ΕΛΚΤΙΚΩΝ ΔΥΝΑΜΕΩΝ ' r r b( r) G dm ' 3 r r r διανυσματική ακτίνα θέσης ελκόμενου σημείου r διανυσματική ακτίνα θέσης έλκοντος σημείου Εικόνα 18 μάζες dm rd δυναμικό Εισαγωγή στο πεδίο βαρύτητας Η.Ν. Τζιαβός - Γ.Σ. Βέργος

33 ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΕΛΚΤΙΚΩΝ ΔΥΝΑΜΕΩΝ Πεδίο των ελκτικών δυνάμεων είναι συντηρητικό b 0 Συνάρτηση δυναμικού V(r) b limv r 0 V 0 όπου δεν υπάρχουν μάζες δεν υπάρχει δυναμικό μονάδα δυναμικού m s Εισαγωγή στο πεδίο βαρύτητας Η.Ν. Τζιαβός - Γ.Σ. Βέργος

34 ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΕΛΚΤΙΚΩΝ ΔΥΝΑΜΕΩΝ Ανάλογες σχέσεις για το φυγόκεντρο δυναμικό z 0 φυγόκεντρο πεδίο, συντηρητικό πεδίο z Z φυγόκεντρο δυναμικό limz r 0 0 Εισαγωγή στο πεδίο βαρύτητας Η.Ν. Τζιαβός - Γ.Σ. Βέργος

35 ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΕΛΚΤΙΚΩΝ ΔΥΝΑΜΕΩΝ V ( r) G ( r') d r' r Εικόνα 19 V k dm r k d r Εισαγωγή στο πεδίο βαρύτητας Η.Ν. Τζιαβός - Γ.Σ. Βέργος

36 ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΕΛΞΗΣ Το δυναμικό έλξης σε κάποιο σημείο του χώρου θα είναι: V m k l m 1 m V k n m i i 1 l i m i Εικόνα 0 Εισαγωγή στο πεδίο βαρύτητας Η.Ν. Τζιαβός - Γ.Σ. Βέργος

37 ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΕΛΞΗΣ dm V k k d l l dm d l V V V gradv V i j k x y z V l V l V l i j k l x l y l z Εικόνα 1 km 3 x i y j z k F l Χ Ζ m 1 (ξ,η,ζ) Εικόνα m (x,y,z) Υ Εισαγωγή στο πεδίο βαρύτητας Η.Ν. Τζιαβός - Γ.Σ. Βέργος

38 V GM R ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΣΦΑΙΡΙΚΗΣ ΓΗΣ για σημεία επί της σφαιρικής Γης (ακτίνας R) GM V για σημεία εκτός της σφαιρικής Γης (r > R) r Για GM x10 m s R=6371 km V 7 6.7x10 m s b 9.8ms Z( r) d φυγόκεντρο δυναμικό Εισαγωγή στο πεδίο βαρύτητας Η.Ν. Τζιαβός - Γ.Σ. Βέργος

39 Εισαγωγή στο πεδίο βαρύτητας Η.Ν. Τζιαβός - Γ.Σ. Βέργος ) ( ) ( ) ( r Z r V r k Z j Y i X g Z Y X T g,, Z Y X Z Y X /, /, / 0 g ZY YZ ZX XZ XY XY,,... / Y X XY ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΒΑΡΥΤΗΤΑΣ

40 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΙ & ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΙΚΟΙ ΤΥΠΟΙ ΓΙΑ ΤΟ ΕΛΚΤΙΚΟ ΔΥΝΑΜΙΚΟ Έννοια της συνοριακής επιφάνειας S Θεώρημα Gauss V ds n S υ Δ Vdυ Εικόνα 3 Σχέση ανάμεσα στην παράγωγο του δυναμικού V κατά τη διεύθυνση της εξωτερικής καθέτου n s στη συνοριακή επιφάνεια S και της παραγώγου δευτέρας τάξης του δυναμικού Εισαγωγή στο πεδίο βαρύτητας Η.Ν. Τζιαβός - Γ.Σ. Βέργος

41 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΙ ΤΥΠΟΙ ΓΙΑ ΤΟ ΕΛΚΤΙΚΟ ΔΥΝΑΜΙΚΟ o Έννοια της συνοριακής επιφάνειας Θεώρημα Gauss S V ds n S υ Δ Vdυ Σχέση ανάμεσα? στην παράγωγο του δυναμικού V κατά τη διεύθυνση της εξωτερικής καθέτου n s στη συνοριακή επιφάνεια S και της παραγώγου δευτέρας τάξης του δυναμικού Εισαγωγή στο πεδίο βαρύτητας Η.Ν. Τζιαβός - Γ.Σ. Βέργος

42 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΙ ΤΥΠΟΙ ΓΙΑ ΤΟ ΕΛΚΤΙΚΟ ΔΥΝΑΜΙΚΟ Θεώρημα Gauss S V ds n S υ Δ Vdυ Σχέση ανάμεσα στην παράγωγο του δυναμικού V κατά τη διεύθυνση της εξωτερικής καθέτου n s στη συνοριακή επιφάνεια S και της παραγώγου δευτέρας τάξης του δυναμικού Δηλώνει (απλά) ότι οι μάζες είναι οι πηγές του βαρυτικού πεδίου και ότι η δύναμη των πηγών αυτών V V V gradv V i j k x y z km 3 x i y j z k F l Εισαγωγή στο πεδίο βαρύτητας Η.Ν. Τζιαβός - Γ.Σ. Βέργος

43 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΙ ΤΥΠΟΙ ΓΙΑ ΤΟ ΕΛΚΤΙΚΟ ΔΥΝΑΜΙΚΟ Θεώρημα Gauss S V ds n S υ Δ Vdυ Σχέση ανάμεσα στην παράγωγο του δυναμικού V κατά τη διεύθυνση της εξωτερικής καθέτου n s στη συνοριακή επιφάνεια S και της παραγώγου δευτέρας τάξης του δυναμικού Δηλώνει (απλά) ότι οι μάζες είναι οι πηγές του βαρυτικού πεδίου και ότι η δύναμη των πηγών αυτών είναι ανάλογη της πυκνότητας των μαζών ρ (ροή της βαρύτητας δια μέσου της επιφάνειας S) Εξίσωση Poisson στο χώρο εντός των ελκουσών μαζών: f f f x y z V V 4 k Εισαγωγή στο πεδίο βαρύτητας Η.Ν. Τζιαβός - Γ.Σ. Βέργος

44 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΙ ΤΥΠΟΙ ΓΙΑ ΤΟ ΕΛΚΤΙΚΟ ΔΥΝΑΜΙΚΟ M r' d S V n S 4 GM Θεωρία δυναμικού V 4 G ( r') Εξίσωση Poisson, ισχύει για το εσωτερικό των μαζών (εσωτερικό συνοριακής επιφάνειας) V 0 V V X V Y V Z Εξίσωση Laplace (για το χώρο εκτός των μαζών) Εισαγωγή στο πεδίο βαρύτητας Η.Ν. Τζιαβός - Γ.Σ. Βέργος

45 Εισαγωγή στο πεδίο βαρύτητας Η.Ν. Τζιαβός - Γ.Σ. Βέργος z V y V x V V V 0 V Εξίσωση Laplace: Στο χώρο έξω από τις έλκουσες μάζες πυκνότητα σταθερή (έξω από τη συνοριακή επιφάνεια) k z V y V x V V V 4 Εξίσωση Poisson: ΓΗΙΝΟ ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΕΛΞΗΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Laplace & Poisson

46 ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥ ΕΛΚΤΙΚΟΥ ΔΥΝΑΜΙΚΟΥ ΚΑΙ ΤΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΩΝ Στο χώρο εκτός των μαζών το V και οι παράγωγοι 1 ης και ης τάξης είναι πεπερασμένες και συνεχείς συναρτήσεις Το δυναμικό σύμφωνα με την εξίσωση του Laplace είναι αρμονική συνάρτηση και επομένως μπορεί να αναπτυχθεί σε σειρά Μέσα στις μάζες το V και οι παράγωγοι 1 ης τάξης είναι συνεχείς συναρτήσεις. Κάποιες από τις παραγώγους ης τάξης παρουσιάζουν ασυνέχειες λόγω απότομων μεταβολών της πυκνότητας λόγω της διαφορικής εξίσωσης του Poisson Επάνω στη συνοριακή επιφάνεια το V και οι παράγωγοι 1ης τάξης είναι συνεχείς και πεπερασμένες συναρτήσεις. Οι παράγωγοι δεύτερης τάξης παρουσιάζουν ασυνέχεια λόγω της διαφορικής εξίσωσης του Poisson Εισαγωγή στο πεδίο βαρύτητας Η.Ν. Τζιαβός - Γ.Σ. Βέργος

47 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΟΥ ΠΕΔΙΟΥ ΒΑΡΥΤΗΤΑΣ Ισοδυναμικές γραμμές και κατακόρυφοι ( r) ό Εικόνα 4 ισοδυναμικές ή χωροσταθμικές επιφάνειες d g dr gdrcos( g, dr) μεταβολή θέσης και δυναμικό παραγωγή έργου d 0 επιφάνεια ισορροπίας μηδενικό έργο Εισαγωγή στο πεδίο βαρύτητας Η.Ν. Τζιαβός - Γ.Σ. Βέργος

48 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΟΥ ΠΕΔΙΟΥ ΒΑΡΥΤΗΤΑΣ Οι κατακόρυφες τέμνουν κάθετα τις ισοδυναμικές γραμμές Όταν dr συμπίπτει με την κατακόρυφο (εξωτερική κάθετος n της επιφάνειας) cos(g,dr)=-1 και επομένως d=-gdn Αύξηση της τιμής της βαρύτητας σύγκλιση ισοδυναμικών γραμμών (οι ισοδυναμικές γραμμές δεν είναι παράλληλες) Η ισοδυναμική επιφάνεια που προσεγγίζει βέλτιστα τη μέση στάθμη της θάλασσας καλείται γεωειδές Εισαγωγή στο πεδίο βαρύτητας Η.Ν. Τζιαβός - Γ.Σ. Βέργος

49 ΒΑΘΜΙΔΕΣ ΤΗΣ ΒΑΡΥΤΗΤΑΣ ΚΑΙ ΚΑΜΠΥΛΟΤΗΤΑ Βαθμίδες βαρύτητας T T g gn X, Y, Z X / X... g XX YX ZX XY YY ZY XZ YZ ZZ τανυστής βαθμίδων βαρύτητας (τανυστής Εotvos) V V V ΔV 4πkρ x y z ΔΦ Φ Φ Φ x y z ω XX YY ZZ 4 G Εισαγωγή στο πεδίο βαρύτητας Η.Ν. Τζιαβός - Γ.Σ. Βέργος

50 ΒΑΘΜΙΔΕΣ ΤΗΣ ΒΑΡΥΤΗΤΑΣ ΚΑΙ ΚΑΜΠΥΛΟΤΗΤΑ Βαθμίδες της βαρύτητας (gravity gradients) ZS T g,, ZX ZY ZZ Εικόνα 5 Οριζόντια βαθμίδα (οριζόντιο επίπδο) ZS ZX ZY 1/ διεύθυνση μεταβολής της βαρύτητας προσδιορίζει την καμπυλότητα της κατακορύφου που διέρχεται από το Ρ A ZS arctan ZY ZX Εισαγωγή στο πεδίο βαρύτητας Η.Ν. Τζιαβός - Γ.Σ. Βέργος

51 ΒΑΘΜΙΔΕΣ ΤΗΣ ΒΑΡΥΤΗΤΑΣ ΚΑΙ ΚΑΜΠΥΛΟΤΗΤΑ ZS κάθετη συνιστώσα χρήσιμη για την αναγωγή και ερμηνεία των δεδομένων βαρύτητας ZZ Z g Z XX YY 4 G μέση καμπυλότητα των ισοδυναμικών επιφανειών 1 J XX YY g Εισαγωγή στο πεδίο βαρύτητας Η.Ν. Τζιαβός - Γ.Σ. Βέργος

52 ΜΟΝΤΕΛΑ ΤΟΥ ΠΕΔΙΟΥ ΒΑΡΥΤΗΤΑΣ Βέλτιστες προσεγγίσεις του πραγματικού πεδίου βαρύτητας Τοπικά μοντέλα επίπεδες προσεγγίσεις Παγκόσμια ή σφαιρικά μοντέλα αναπτύγματα σφαιρικών αρμονικών συναρτήσεων Χωροσταθμική επιφάνεια χωροσταθμικό σφαιροειδές (level spheroid) (εφαρμογές στη γεωδαισία, γεωδυναμική, γεωεπιστήμες γενικότερα, πλοήγηση, ) Το κανονικό πεδίο πρέπει να προσεγγίζει το πραγματικό με τέτοιο τρόπο ώστε οι διαφορές να ερμηνεύονται με γραμμικές σχέσεις Το κανονικό πεδίο (μοντέλο) πρέπει να είναι συμβατό με ένα μοντέλο κατανομής πυκνοτήτων στο εσωτερικό της Γης (γεωφυσικές ερμηνείες) Εισαγωγή στο πεδίο βαρύτητας Η.Ν. Τζιαβός - Γ.Σ. Βέργος

53 ΧΩΡΟΣΤΑΘΜΙΚΟ ΕΛΛΕΙΨΟΕΙΔΕΣ Ελλειψοειδές εκ περιστροφής, μάζα Μ (μοντέλο Γης) γωνιακή ταχύτητα ω (ισοδυναμική επιφάνεια πεδίου βαρύτητας, συμμετρία ως προς άξονα Ζ) Επιπλάτυνση f a a b Εικόνα 6 Εξωτερικό πεδίο βαρύτητας ορίζεται με a, f, M, ω περιγράφεται με U(r) Εισαγωγή στο πεδίο βαρύτητας Η.Ν. Τζιαβός - Γ.Σ. Βέργος

54 ΧΩΡΟΣΤΑΘΜΙΚΟ ΕΛΛΕΙΨΟΕΙΔΕΣ & ΣΦΑΙΡΟΔΥΝΑΜΙΚΕΣ Σφαιροδυναμικές επιφάνειες κανονική βαρύτητα Σφαιροδυναμικές επιφάνειες U(r) = σταθερό Είναι αντίστοιχες με τις ισοδυναμικές (δεν είναι ελλειψοειδή) Ελλειψοειδές είναι μόνο το χωροσταθμικό ελλειψοειδές Για το ελλειψοειδές μόνη αναγκαία υπόθεση η κατανομή κατά στρώματα της πυκνότητας (αύξηση από την επιφάνεια προς το κέντρο) U(r) = Uo γεωφυσική ερμηνεία Εισαγωγή στο πεδίο βαρύτητας Η.Ν. Τζιαβός - Γ.Σ. Βέργος

55 ΕΛΛΕΙΨΟΕΙΔΕΙΣ & ΚΑΡΤΕΣΙΑΝΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ φ = ελλειψοειδές γεωγραφικό πλάτος λ = ελλειψοειδές γεωγραφικό μήκος h= ελλειψοειδές ύψος tan b a tan Εικόνα 7 Εισαγωγή στο πεδίο βαρύτητας Η.Ν. Τζιαβός - Γ.Σ. Βέργος

56 ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ M 3/ N sin 1/ 1 a 1 e sin e 1 e a e a a b επαναλήψεις h<<n r Εικόνα 8 X ( N Y ( N Z 1 h)cos cos h)cos sin e N h sin h arctan arctan X cos Y X Y X Z Y N 1 e N N h 1 διάνυσμα θέσης σημείου Ρ r a 1 f sin (επί του ελλειψοειδούς) Εισαγωγή στο πεδίο βαρύτητας Η.Ν. Τζιαβός - Γ.Σ. Βέργος

57 ΤΟ ΚΑΝΟΝΙΚΟ ΠΕΔΙΟ ΒΑΡΥΤΗΤΑΣ κανονική βαρύτητα (μοντέλο) βαρύτητα ( πραγματική ) U g κανονική βαρύτητα επί ελλειψοειδούς τύπος Somigliana Εικόνα 9 0 a e cos a cos b P sin bsin e a ' GM me q 1 m 1 f 6 q ' 0 0 P GM a 1 me 3 ' q q ' 0 0 Εισαγωγή στο πεδίο βαρύτητας Η.Ν. Τζιαβός - Γ.Σ. Βέργος

58 1 3 3 ' ' ' q0 1 arctan e q arctan e 1 ' ' ' ' e ΤΟ ΚΑΝΟΝΙΚΟ ΠΕΔΙΟ ΒΑΡΥΤΗΤΑΣ e e 1 1 e m a 1 f GM 3GM 3 a b a b a b e' b δεύτερη αριθμητική εκκεντρότητα a b f a a b γεωμετρική πλάτυνση p e βαρυτική πλάτυνση e Εισαγωγή στο πεδίο βαρύτητας Η.Ν. Τζιαβός - Γ.Σ. Βέργος

59 ΤΟ ΚΑΝΟΝΙΚΟ ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΒΑΡΥΤΗΤΑΣ U GM r a 1 J npn cos r r n n sin J n C n,0 n άρτιος συγκλίνει γρήγορα, όροι για n>6 παραλείπονται στο ανάπτυγμα n= P cos 3 cos 1 U GM r a J cos r r 3 GM sin J δυναμικός συντελεστής μορφής της Γης Εισαγωγή στο πεδίο βαρύτητας Η.Ν. Τζιαβός - Γ.Σ. Βέργος

60 ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΚΑΝΟΝΙΚΟΥ ΚΑΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥ ΠΕΔΙΟΥ T T n U, U, X Y U Z U U U U XX YX ZX U U U XY YY ZY U U U XZ YZ ZZ Εικόνα 30 Εισαγωγή στο πεδίο βαρύτητας Η.Ν. Τζιαβός - Γ.Σ. Βέργος

61 ΠΡΟΣ ΤΑ ΠΑΝΩ ΕΠΕΚΤΑΣΗ ΤΙΜΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΗΣ ΒΑΡΥΤΗΤΑΣ Κάθετη συνιστώσα της βαθμίδας της κανονικής βαρύτητας (ελλειψοειδές) U ZZ M N 1, 0 h h h h 0 σε ύψος h 0 0 από τύπο Somigliana / h, / h U ZZ / h 0 Εισαγωγή στο πεδίο βαρύτητας Η.Ν. Τζιαβός - Γ.Σ. Βέργος

62 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΦΟΡΑΣ Ι Διεθνής Ένωση Γεωδαισίας και Γεωφυσικής Διεθνής τύπος βαρύτητας του Cassinis 1930 (Στοκχόλμη) Ελλειψοειδές Hayford α = m f=1/97.0 Tύπος κανονικής βαρύτητας του Cassinis sin sin 9 ms a, f, e, Διεθνές σύστημα αναφοράς 1930 Εισαγωγή στο πεδίο βαρύτητας Η.Ν. Τζιαβός - Γ.Σ. Βέργος

63 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΦΟΡΑΣ ΙΙ Γεωδαιτικό σύστημα αναφοράς 1967 Geodetic Reference System 1967 GRS67 (Λουκέρνη) a m, GM m s, J rads sin sin 9 ms Εισαγωγή στο πεδίο βαρύτητας Η.Ν. Τζιαβός - Γ.Σ. Βέργος

64 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΦΟΡΑΣ ΙΙΙ Γεωδαιτικό σύστημα αναφοράς 1980 Geodetic Reference System 1980 GRS80 (Καμπέρα) a m, GM m s, J , rad s sin ms 1/ sin Εισαγωγή στο πεδίο βαρύτητας Η.Ν. Τζιαβός - Γ.Σ. Βέργος

65 ΓΕΩΔΑΙΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΦΟΡΑΣ Ελλειψοειδές γεωκεντρικό σύστημα αναφοράς Γεωμετρία (μεγάλος & μικρός ημιάξονας a, b, κέντρο κέντρο μάζας Γης Ο άξονας Ζ συμπίπτει με το μέσο άξονα περιστροφής της Γης (μέση θέση πόλου Conventional International Origin CIO) Ο άξονας X διέρχεται από την τομή του αστρονομικού μεσημβρινού του Greenwich (μηδενικός μεσημβρινός μηκών Διεθνές Γραφείο Ώρας Bureau Internationale de l Heure - BIH) Ο άξονας Υ συμπληρώνει ένα δεξιόστροφο τρισορθογώνιο σύστημα Z h P Y X Εισαγωγή στο πεδίο βαρύτητας Η.Ν. Τζιαβός - Γ.Σ. Βέργος

66 ΘΕΜΑ ΕΞΑΜΗΝΟΥ (Ι) Εισαγωγή στο πεδίο βαρύτητας Η.Ν. Τζιαβός - Γ.Σ. Βέργος

67 ΘΕΜΑ ΕΞΑΜΗΝΟΥ (ΙΙ) α/α φ λ g Η dg(egm08) dg(goco0s) dg(eigen6c) n=50 dg(eigen6c) n=1949 dg(rtm) N(EGM08) N(RTM) Εισαγωγή στο πεδίο βαρύτητας Η.Ν. Τζιαβός - Γ.Σ. Βέργος

68 ΘΕΜΑ ΕΞΑΜΗΝΟΥ (ΙΙΙ) Γεωδαιτικό σύστημα αναφοράς 1980 Geodetic Reference System 1980 GRS80 (Καμπέρα) a m, GM m s, J , rad s sin ms 1/ sin Αντικατάσταση του γεωγραφικού πλάτους κάθε σημείο και υπολογισμός του γ o GRS80 Εισαγωγή στο πεδίο βαρύτητας Η.Ν. Τζιαβός - Γ.Σ. Βέργος

69 Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων Το Έργο αυτό κάνει χρήση των ακόλουθων έργων: Εικόνες/Σχήματα/Διαγράμματα/Φωτογραφίες Εικόνες 1, : Φωτογραφική λήψη εξοπλισμού του Τομέα ΓΤΟ, ΤΑΤΜ, ΑΠΘ Εικόνα 3: Κατσάμπαλος Κ, Τζιαβός ΗΝ (199): Φυσική Γεωδαισία. Εκδόσεις Ζήτη, Θεσσαλονίκη. Εικόνες 4, 5, 6, 7, 8, 10, 11, 1, 13: Leica (000) Leica GPS Basics. Leica Geosystems AG, v1.0. Εικόνες 9, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 0, 1,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 30 : Αραμπέλος Δ και Τζιαβός ΗΝ (007) Εισαγωγή στο πεδίο βαρύτητας της Γης. Εκδόσεις Ζήτη, Θεσσαλονίκη. Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Εισαγωγή στο πεδίο βαρύτητας Η.Ν. Τζιαβός - Γ.Σ. Βέργος

70 Σημείωμα Αναφοράς Copyright Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης, Ηλίας Τζιαβός Γεώργιος Βέργος. «Εισαγωγή στο Πεδίο Βαρύτητας. Πεδία Έλξης». Έκδοση: 1.0. Θεσσαλονίκη 014. Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Εισαγωγή στο πεδίο βαρύτητας Η.Ν. Τζιαβός - Γ.Σ. Βέργος

71 Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά - Παρόμοια Διανομή [1] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων». Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί. [1] Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Εισαγωγή στο πεδίο βαρύτητας Η.Ν. Τζιαβός - Γ.Σ. Βέργος

72 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Τέλος ενότητας Επεξεργασία: Δαλάκης Νικόλαος Θεσσαλονίκη, 16/9/014 Εισαγωγή στο πεδίο βαρύτητας Η.Ν. Τζιαβός - Γ.Σ. Βέργος

73 ΣΗΜΕΙΩΜΑΤΑ Εισαγωγή στο πεδίο βαρύτητας Η.Ν. Τζιαβός - Γ.Σ. Βέργος

74 Διατήρηση Σημειωμάτων Οποιαδήποτε αναπαραγωγή ή διασκευή του υλικού θα πρέπει να συμπεριλαμβάνει: το Σημείωμα Αναφοράς το Σημείωμα Αδειοδότησης τη δήλωση Διατήρησης Σημειωμάτων το Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων (εφόσον υπάρχει) μαζί με τους συνοδευόμενους υπερσυνδέσμους. Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Εισαγωγή στο πεδίο βαρύτητας Η.Ν. Τζιαβός - Γ.Σ. Βέργος