Road Runner show. να στηρίξει τον βράχο που έχει μάζα m = 70 kg και ακτίνα r = 0,5 m, τοποθετεί από κάτω έναν κύβο ακμής α

Transcript

1 Road Runner show. Το κογιότ θέλοντας να κουμπί στήσει παγίδα στον Road Runner (= R.R.) τοποθετεί έναν βράχο σε μία πλαγιά Ο ύψους Η = 6,5 (το κέντρο μάζας του βράχου), από το κατώτερο σημείο της γειτονικής κοιλάδας που καταλήγει σε ημικύκλιο ακτίνας R =,5. Για να στηρίξει τον βράχο που έχει μάζα = 70 kg και ακτίνα r = 0,5, τοποθετεί από κάτω έναν κύβο ακμής α έτσι ώστε ο βράχος μόλις που δεν τον υπερπηδά. Σε εκείνο το σημείο η καμπύλη πλαγιά έχει γωνία κλίσης θ = 60 ο. Το κογιότ μαζί με το αβαρές νήμα που έχει δέσει τον κύβο κάθεται στο κατώτερο σημείο της πλαγιάς και περιμένει τον R.R. να περάσει ώστε να τραβήξει το σχοινί να πατήσει ο βράχος τον R.R.. Κάποια στιγμή ο R.R. προσπερνά τον βράχο και κατευθύνεται προς το κρυμμένο κογιότ το οποίο τραβά το σχοινί. Βέβαια ο R.R. είναι πολύ γρήγορος και έτσι ο βράχος ισοπεδώνει το κογιότ. Στην συνέχεια ο βράχος συνεχίζει την πορεία του προς το ημικύκλιο και στο ανώτερο σημείο της τροχιάς του συγκρούεται με δοκό μήκους l =,4 και μάζας = 4,75 kg, που είναι αρθρωμένη σε σημείο Ο (στο πάνω άκρο της) γύρω από το οποίο μπορεί να στρέφεται χωρίς τριβές. Ο βράχος χτυπά την ράβδο σε απόσταση d από το σημείο Ο, με αποτέλεσμα αυτός να χάσει όλη την μεταφορική κινητική του ενέργεια ενώ η δοκός μόλις που φτάνει στο ανώτερο σημείο και ακουμπά με μηδενική (σχεδόν) ταχύτητα διακόπτη, (που είχε ξεμείνει εκεί από παλιότερη παγίδα του κογιότ), με αποτέλεσμα να ελευθερωθεί μία μικρή μπάλα κανονιού μάζας = 4 kg (αμελητέων διαστάσεων). Ο βράχος πέφτει κατακόρυφα και πετυχαίνει το κογιότ που μόλις είχε συνέλθει από το προηγούμενο ΔΟΥΚΑΤΖΗΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΦΥΣΙΚΟΣ 697 7, W.U.

2 χτύπημα. Η μπάλα αυτή ακολουθεί ένα χιονισμένο και παγωμένο μονοπάτι όπου ολισθαίνει χωρίς τριβές (και περιστροφές) που οδηγεί σε μία πόρτα ύψους h = και μάζας Μ = kg η οποία μπορεί να στρέφεται γύρω από άξονα που περνά από το κατώτερο της σημείο (έδαφος) και ταυτίζεται με την κάτω της πλευρά. Η μπάλα κατά τις συγκρούσεις της με τα πλαϊνά τοιχώματα της διαδρομής της έχει χάσει ενέργεια Ε απ. = 64 J. Η μπάλα πετυχαίνει την πόρτα σε σημείο που απέχει d =,5 από το έδαφος και μετά ακινητοποιείται (στιγμιαία). Να βρείτε: α. την ακμή του κύβου β. την δύναμη που δέχεται το κογιότ από το πάτημα του βράχου στο κατώτερο σημείο της διαδρομής γ. την στροφορμή του βράχου γύρω από τον άξονα του (spin) την στιγμή που του ρχεται ο βράχος στο κεφάλι δ. την γωνιακή ταχύτητα της δοκού μετά την κρούση ε. το σημείο που ο βράχος χτύπησε την δοκό (απόσταση d) στ. την ταχύτητα της μπάλας πριν αυτή χτυπήσει την πόρτα ζ. την ροπή αδράνειας της πόρτας η. την γωνιακή ταχύτητα με την οποία "ξεκολλάει η πόρτα" (αυτή την φορά την γλίτωσε το κογιότ, μην το ξεκάνουμε κιόλας έχουμε κι άλλα επεισόδια). Δίνονται: Η ροπή αδράνειας ράβδου ως προς άξονα που περνά από το άκρο της I, η ροπή αδράνειας σφαίρας ως προς το κέντρο μάζας της Λύση 60, 60. I r, και για τις πράξεις g = 0 /s. 5 α. Όταν ο βράχος είναι έτοιμος να υπερπηδήσει το εμπόδιο, η αντίδραση από το έδαφος είναι οριακά μηδέν. Οι ροπές των δύο συνιστωσών του βάρους είναι οριακά ίσες. wy wx g ( ) g (r ) r (r ) (r ) (r ) (r ) ΔΟΥΚΑΤΖΗΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΦΥΣΙΚΟΣ 697 7, W.U.

3 (r ) (r ) r 6r r r 8r ,75 0 w y Κ Λ Ο w x με διακρίνουσα Δ = 4 και οι ρίζες είναι:, 4 0,75 / 8 \ 0,5 όπου δεκτή λύση είναι α = 0,5. Η λύση α = 0,75 απορρίπτεται αφού α > r οπότε αποκλείεται να υπερπηδήσει το εμπόδιο. β. Εφαρμόζω Θ.Μ.Κ.Ε. για την κίνηση του βράχου από το σημείο που τον αφήνουμε μέχρι το κατώτερο σημείο της τροχιάς. Η κινητική ενέργεια σφαίρας όταν κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει είναι: 7 K I r K 5 r 0 c c c c 7 0g(H r) 65 W 0 g(h r) s c, c, c, Ο βράχος όμως εκτελεί κυκλική κίνηση ακτίνας (R r) έτσι: () N c, 7 FR F g N 700 R r N = 85N w γ. Αφού ο βράχος συγκρουστεί με την δοκό χάνει όλη την μεταφορική κινητική ενέργεια και του μένει μόνο η περιστροφική κινητική ενέργεια, η οποία κατά την ελεύθερη πτώση του βράχου δεν θα μεταβληθεί γιατί κατά την διάρκεια της πτώσης η μόνη δύναμη που ασκείται πάνω στο βράχο είναι η δύναμη του βάρους που είναι κεντρική δύναμη και έτσι δεν προκαλεί ροπές που θα μετέβαλλαν την κινητική ενέργεια και την στροφορμή του βράχου. Θα βρούμε την γωνιακή L sp U ταχύτητα του βράχου στο ανώτερο σημείο της τροχιάς. Εφαρμόζουμε Θ.Μ.Κ.Ε. από την αρχική θέση έως το ανώτερο σημείο της τροχιάς. 7 0g(H R r) W c, 0 g(h R r) c, 0 7 ΔΟΥΚΑΤΖΗΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΦΥΣΙΚΟΣ 697 7, W.U.

4 υ = 5 η γωνιακή ταχύτητα εκείνη τη στιγμή είναι: υ c, = ω r ω = 0 rad/s. s c, Άρα η στροφορμή είναι Lsp I r 70 0, kg L sp = 70 s δ. Η δοκός μετά την κρούση με τον βράχο μόλις που φτάνει στην ανώτερη θέση (ω 0). Εφαρμόζουμε Θ.Μ.Κ.Ε. από την κάτω θέση την δοκού έως την πάνω. rad ω = 5 s κουμπί 6g W 0 I Ww g ε. Κατά την κρούση ισχύει η αρχή διατήρησης της στροφορμής. L L c,d I ύ c,d l d c, d =, στ. Το ύψος που θα κατέβει η μπάλα είναι: h = l + (d r) + R d h = 6,6. d Η μπάλα ολισθαίνει χωρίς περιστροφές. Με εφαρμογή της r Α.Δ.Ε. από την αρχική θέση και ως λίγο πριν χτυπήσει την πόρτα έχουμε: R r d gh υ = 0 s ζ. Για να υπολογίσουμε την ροπή αδράνειας της πόρτας ως προς άξονα που περνά από την κάτω οριζόντια πλευρά της και ταυτίζεται μ αυτή, θα χωρίσουμε την πόρτα σε ν λεπτές ράβδους μάζας η καθεμιά i και μήκους h. Η ροπή αδράνειας της κάθε τέτοιας ράβδου εί- h ναι i i h. Άρα η ροπή αδράνειας είναι: ΔΟΥΚΑΤΖΗΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΦΥΣΙΚΟΣ 697 7, W.U. 4

5 I I M h M h... M h h (M M...M ) h i Ι = 6kg π η. Για την κρούση ισχύει η αρχή διατήρησης της στροφορμής και έ- χουμε: L L d I 4 0,5 6 rad ω =,75 s ΔΟΥΚΑΤΖΗΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΦΥΣΙΚΟΣ 697 7, W.U. 5