Συστήματα Αναμονής. Ενότητα 5: Ανέλιξη Poisson. Αγγελική Σγώρα Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ

Transcript

1 Συστήματα Αναμονής Ενότητα 5: Ανέλιξη Poisson Αγγελική Σγώρα Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ

2 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. 2

3 Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο TEI Δυτικής Μακεδονίας και στην Ανώτατη Εκκλησιαστική Ακαδημία Θεσσαλονίκης» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 3

4 Σκοποί ενότητας Αυτή η ενότητα πραγματεύεται το ζήτημα της ανέλιξης Poisson. 4

5 Περιεχόμενα ενότητας (1/2) Εισαγωγή. Ανέλιξη Poisson - Ορισμός 1. Ανέλιξη Poisson - Ορισμός 2. Στοχαστική ανέλιξη ενδιάμεσων χρόνων. Ανεξάρτητες και στάσιμες προσαυξήσεις. Ανέλιξη χρόνων αναμονής. Πυκνότητα πιθανότητας χρόνου. 5

6 Περιεχόμενα ενότητας (2/2) Οπισθοδρομικός και προδρομικός χρόνος επανόδου. Κατανομή τυχαίας μεταβλητής R. Κατανομή της τυχαίας μεταβλητής St. Γενικεύσεις της ανέλιξης Poisson. Μη-ομογενής ανέλιξη Poisson. Ανέλιξη Poisson με τυχαίο ρυθμό. Σύνθετη ανέλιξη Poisson. 6

7 Εισαγωγή (1/2) Ανελίξεις. Σε συνεχή χρόνο. Με διακριτό χώρο καταστάσεων. Ικανοποιούν χαρακτηριστικές ιδιότητες. Έστω ότι μελετάμε ένα σύστημα. Χρησιμοποιώντας μία ανέλιξη απαρίθμησης Ν t t 0. Στοχαστική ανέλιξη, στην οποία η τυχαία μεταβλητή Ν, αναπαριστά το πλήθος των συμβάντος που πραγματοποιούνται στο χρονικό διάστημα (0, t]. 7

8 Εισαγωγή (2/2) Όταν ικανοποιούνται οι ακόλουθες ιδιότητες, η ανέλιξη απαρίθμησης Ν t t 0 ονομάζεται ανέλιξη Poisson: Συμβάντα που πραγματοποιούνται σε μη επικαλυπτόμενα χρονικά διαστήματα είναι μεταξύ τους ανεξάρτητα. Η πιθανότητα να πραγματοποιηθεί ένα πλήθος συμβάντων σε ένα συγκεκριμένο χρονικό διάστημα είναι ίδια για όλα τα χρονικά διαστήματα που έχουν την ίδια διάρκεια. Σε ένα πολύ μικρό χρονικό διάστημα, μπορεί να πραγματοποιηθεί το πολύ ένα συμβάν. 8

9 Ανέλιξη Poisson - Ορισμός 1 Μία ανέλιξη απαρίθμησης Ν t t 0 ονομάζεται ανέλιξη Poisson με ρυθμό λ αν ισχύουν τα παρακάτω: Η Ν t t 0 διαθέτει ανεξάρτητες και στάσιμες προσαυξήσεις. Ν 0 = 0. P N t+h N t = 1 = λh + o(h). P N t+h N t 2 = o(h). 9

10 Ανέλιξη Poisson - Ορισμός 2 Επιπρόσθετα, μία ανέλιξη απαρίθμησης Ν t t 0 ονομάζεται ανέλιξη Poisson με ρυθμό λ αν ισχύουν τα παρακάτω: Η Ν t t 0 διαθέτει ανεξάρτητες προσαυξήσεις. Ν 0 =

11 Στοχαστική ανέλιξη ενδιάμεσων χρόνων Έστω ότι η τυχαία μεταβλητή Τ 1 αναπαριστά το χρόνο. Από τη χρονική στιγμή 0 έως την πραγματοποίηση του 1 ου γεγονότος. Επίσης, έστω ότι για n > 1: Η Τ n αναπαριστά το χρόνο από την πραγματοποίηση του συμβάντος n-1 έως την πραγματοποίηση του συμβάντος n. Σε μία τέτοια περίπτωση, η στοχαστική ανέλιξη: Ονομάζεται στοχαστική ανέλιξη ενδιάμεσων χρόνων. 11

12 Ανεξάρτητες και στάσιμες προσαυξήσεις Η υπόθεση των ανεξάρτητων και στάσιμων προσαυξήσεων σε μία στοχαστική ανέλιξη Poisson. Ισοδυναμεί με το γεγονός ότι σε κάθε χρονική στιγμή, πιθανοθεωρητικά η ανέλιξη αρχίζει και πάλι από την αρχή. Με άλλα λόγια, από μια δεδομένη χρονική στιγμή και μετά, η στοχαστική ανέλιξη δεν εξαρτάται καθόλου από τα συμβάντα που έχουν πραγματοποιηθεί έως εκείνη τη χρονική στιγμή. 12

13 Ανέλιξη χρόνων αναμονής Αν W n είναι ο χρόνος μέχρι την πραγματοποίηση του συμβάντος n. Σε μία ανέλιξη Poisson με ρυθμό λ. Τότε η στοχαστική ανέλιξη: Ονομάζεται ανέλιξη χρόνων αναμονής και ισχύει: 13

14 Πυκνότητα πιθανότητας χρόνου Η πυκνότητα πιθανότητας του χρόνου W n ισούται με: Δηλαδή, η τυχαία μεταβλητή W n : Ακολουθεί την κατανομή γάμμα με παραμέτρους n και 1/λ. 14

15 Οπισθοδρομικός και προδρομικός χρόνος επανόδου Σε μία ανέλιξη Poisson Ν t t 0 με παράμετρο λ, η τυχαία μεταβλητή S t : Αναπαριστά το χρόνο μου μεσολαβεί από την πραγματοποίηση του συμβάντος j-1 έως τη στιγμή t κατά την οποία δεν πραγματοποιείται κανένα συμβάν. Ονομάζεται οπισθοδρομικός χρόνος επανόδου. Κατά αντιστοιχία, η τυχαία μεταβλητή R: Αναπαριστά το χρόνο από την χρονική στιγμή t, κατά την οποία δεν πραγματοποιείται κανένα συμβάν, έως την πραγματοποίηση του συμβάντος j. Ονομάζεται προδρομικός χρόνος επανόδου. 15

16 Κατανομή τυχαίας μεταβλητής R Η παρακάτω σχέση, μας δίνει την κατανομή της τυχαίας μεταβλητής R: Παρατηρούμε ότι ακολουθείται η εκθετική κατανομή με παράμετρο λ. 16

17 Κατανομή της τυχαίας μεταβλητής S t Αντίστοιχα, η κατανομή της τυχαίας μεταβλητής S t, μας δίνεται από τις σχέσεις: 17

18 Γενικεύσεις της ανέλιξης Poisson Μη-ομογενής ανέλιξη Poisson. Ανέλιξη Poisson με τυχαίο ρυθμό. Σύνθετη ανέλιξη Poisson. Συστήματα ουρών (Εξετάζονται σε επόμενη παρουσίαση). Ανελίξεις γέννησης-θανάτου (Εξετάζονται σε επόμενη παρουσίαση). 18

19 Μη-ομογενής ανέλιξη Poisson Έστω ότι ο ρυθμός λ: Δεν είναι σταθερός. Εξαρτάται από τον χρόνο. Δηλαδή ισχύει: Έτσι, θα έχουμε: Η τυχαία μεταβλητή Ν θα ακολουθεί την κατανομή Poisson με μέσο: 19

20 Ανέλιξη Poisson με τυχαίο ρυθμό Έστω ότι ο ρυθμός λ δεν είναι σταθερός. Μία τυχαία μεταβλητή Λ. Με κατανομή F. Μέση τιμή λ. Η κατανομή της τυχαίας μεταβλητής Ν, δίδεται από τη σχέση: Επίσης, η μέση της τιμή δίδεται από τη σχέση: 20

21 Σύνθετη ανέλιξη Poisson Έστω μία ανέλιξη Poisson Ν t t 0 με ρυθμό λ. Όπου : Ακολουθία ανεξάρτητων και ταυτοτικά κατανεμημένων τυχαίων μονάδων και ανεξάρτητων από την ανέλιξη Poisson. Επιπλέον, ισχύει ότι: 21

22 Βιβλιογραφία 1. Στοχαστικές ανελίξεις, Δάρας Τρύφων Ι., Σύψας Παναγιώτης Θ., Εκδόσεις Ζήτη Πελαγία & Σια Ο.Ε. 2. Ουρές Αναμονής, Φακίνος Δημήτρης, Εκδόσεις Σ. Αθανασόπουλος & ΣΙΑ Ο.Ε. 3. Πιθανότητες, τυχαίες μεταβλητές και στοχαστικές διαδικασίες, Παπούλης Αθανάσιος, Pillai S. Unnikrishna, Εκδόσεις Α. Τζιόλα & ΥΙΟΙ Α.Ε. 22

23 Τέλος Ενότητας

24 Σημείωμα Αναφοράς Copyright ΤΕΙ Δυτικής Μακεδονίας, Αγγελική Σγώρα. «Συστήματα Αναμονής». Έκδοση: 1.0. Κοζάνη Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: URL. 24

25 Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά, Μη Εμπορική Χρήση Παρόμοια Διανομή 4.0 [1] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων». [1] Ως Μη Εμπορική ορίζεται η χρήση: που δεν περιλαμβάνει άμεσο ή έμμεσο οικονομικό όφελος από την χρήση του έργου, για το διανομέα του έργου και αδειοδόχο. που δεν περιλαμβάνει οικονομική συναλλαγή ως προϋπόθεση για τη χρήση ή πρόσβαση στο έργο. που δεν προσπορίζει στο διανομέα του έργου και αδειοδόχο έμμεσο οικονομικό όφελος (π.χ. διαφημίσεις) από την προβολή του έργου σε διαδικτυακό τόπο. Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί. 25

26 Διατήρηση Σημειωμάτων Οποιαδήποτε αναπαραγωγή ή διασκευή του υλικού θα πρέπει να συμπεριλαμβάνει: το Σημείωμα Αναφοράς. το Σημείωμα Αδειοδότησης. τη δήλωση Διατήρησης Σημειωμάτων. το Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων (εφόσον υπάρχει). μαζί με τους συνοδευόμενους υπερσυνδέσμους. 26