Εισαγωγικές έννοιες θεωρίας Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου Ενότητα 2 η : ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΕ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ

Transcript

1 Εισαγωγικές έννοιες θεωρίας Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου Ενότητα 2 η : ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΕ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ Επ. Καθηγητής Γαύρος Κωνσταντίνος ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΤΕ

2 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. 2

3 Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο TEI Δυτικής Μακεδονίας και στην Ανώτατη Εκκλησιαστική Ακαδημία Θεσσαλονίκης» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 3

4 Σκοποί ενότητας Στην ενότητα αυτή παρουσιάζεται o σχεδιασμός και η ανάλυση των συστημάτων αυτομάτου ελέγχου χρησιμοποιώντας διάφορα ποσοτικά μαθηματικά μοντέλα για τα φυσικά συστήματα. Επειδή τα περισσότερα φυσικά συστήματα παρουσιάζουν γενικά μη γραμμική συμπεριφορά, γίνεται αναφορά σε προσεγγιστικές γραμμικοποιήσεις που μας επιτρέπουν να χρησιμοποιήσουμε τον μετασχηματισμό Laplace. Οι μονάδες που αποτελούν το υπό μελέτη σύστημα και οι οποίες αντιστοιχούν σε κάποια συνάρτηση μεταφοράς, μπορούν να δοθούν με την μορφή δομικών στοιχείων σε ένα λειτουργικό διάγραμμα, όπου παριστάνονται γραφικά όλες οι διασυνδέσεις των στοιχείων που συνθέτουν ένα συγκεκριμένο σύστημα. 4

5 Περιεχόμενα ενότητας Περιγραφή Συστημάτων. Βασικές Ιδιότητες Μετασχηματισμού Laplace. Μετασχηματισμοί δομικών διαγραμμάτων. 5

6 Περιγραφή Συστημάτων (1/3) Ένα σύστημα ελέγχου θα πρέπει να περιγραφεί και με μια μαθηματική παράσταση που θα περιγράφει τη σχέση μεταξύ εισόδου και εξόδου του συστήματος. Τα επικρατέστερα μαθηματικά μοντέλα για την περιγραφή συστημάτων είναι: Οι ολοκληρωδιαφορικές εξισώσεις. 1. Η συνάρτηση μεταφοράς. 2. Η κρουστική απόκριση. 3. Οι εξισώσεις κατάστασης. 6

7 Περιγραφή Συστημάτων (2/3) Έστω ότι ένα γραμμικό μη χρονικά μεταβαλλόμενο σύστημα μιας εισόδου μιας εξόδου όπως το παρακάτω με είσοδο x(t) και έξοδο y(t) περιγράφεται από την παρακάτω διαφορική εξίσωση. (n>=m) Εικόνα 1: Περιγραφή Συστημάτων. Πηγή:FEEDBACK INSTRUMENTS LTD, Control and Instrumentation, Modular Servo System Ms150 DC, Synchro & AC Basic Assignments. 7

8 Περιγραφή Συστημάτων (3/3) Η Συνάρτηση μεταφοράς του Σ.Α.Ε. που περιγράφεται από την παραπάνω διαφορική εξίσωση είναι το πηλίκο της μετασχηματισμένης εξόδου δια την μετασχηματισμένη είσοδο με μηδενικές αρχικές συνθήκες. Εικόνα 2: Περιγραφή Συστημάτων. Πηγή: FEEDBACK INSTRUMENTS LTD, Control and Instrumentation, Modular Servo System Ms150 DC, Synchro & AC Basic Assignments. 8

9 Ανάλογα συστήματα (1/2) Εικόνα 3: Μηχανικό σύστημα. Πηγή: FEEDBACK INSTRUMENTS LTD, Control and Instrumentation, Modular Servo System Ms150 DC, Synchro & AC Basic Assignments. 9

10 Ανάλογα συστήματα (2/2) Εικόνα 4: Ηλεκτρικό ανάλογο. Πηγή: FEEDBACK INSTRUMENTS LTD, Control and Instrumentation, Modular Servo System Ms150 DC, Synchro & AC Basic Assignments. 10

11 Μετασχηματισμός Laplace Εικόνα 5: Μετασχηματισμός Laplace. Πηγή: FEEDBACK INSTRUMENTS LTD, Control and Instrumentation, Modular Servo System Ms150 DC, Synchro & AC Basic Assignments. 11

12 Βασικές Ιδιότητες Μετασχηματισμού Laplace Πίνακας 1: Βασικές Ιδιότητες Μετασχηματισμού Laplace. Πηγή: FEEDBACK INSTRUMENTS LTD, Control and Instrumentation, Modular Servo System Ms150 DC, Synchro & AC Basic Assignments. 12

13 Μετασχηματισμοί Laplace Βασικών Συναρτήσεων Πίνακας 2: Μετασχηματισμοί Laplace Βασικών Συναρτήσεων. Πηγή: FEEDBACK INSTRUMENTS LTD, Control and Instrumentation, Modular Servo System Ms150 DC, Synchro & AC Basic Assignments. 13

14 Ιδιότητες Μιγαδικών Αριθμών Πίνακας 3. Ιδιότητες Μιγαδικών Αριθμών. Πηγή: FEEDBACK INSTRUMENTS LTD, Control and Instrumentation, Modular Servo System Ms150 DC, Synchro & AC Basic Assignments. 14

15 Αντίστροφος Μετασχηματισμός Laplace (1/5) Ο αντίστροφος μετασχηματισμός είναι η διαδικασία υπολογισμού της συναρτήσεως g(t) όταν γνωρίζουμε την συνάρτηση G(s). Περίπτωση Διακεκριμένων Πόλων. Έστω η συνάρτηση G (s) 15

16 Αντίστροφος Μετασχηματισμός Laplace (2/5) Γράφουμε τη συνάρτηση στην παρακάτω μορφή αφού υπολογίσουμε τις ρίζες του παρονομαστή που ονομάζονται και πόλοι της συνάρτησης. 16

17 Αντίστροφος Μετασχηματισμός Laplace (3/5) Υπολογίζουμε τις τιμές των συντελεστών ki από τη σχέση: 17

18 Αντίστροφος Μετασχηματισμός Laplace (4/5) Χρησιμοποιώντας τους παραπάνω πίνακες η σχέση γίνεται: 18

19 Αντίστροφος Μετασχηματισμός Laplace (5/5) Εικόνα 6: Αντίστροφος Μετασχηματισμός Laplace. Πηγή: FEEDBACK INSTRUMENTS LTD, Control and Instrumentation, Modular Servo System Ms150 DC, Synchro & AC Basic Assignments. 19

20 Βασικές Συναρτήσεις Διέγερσης Συστημάτων (1/2) Εικόνα 7: Βασικές Συναρτήσεις Διέγερσης Συστημάτων. Πηγή: FEEDBACK INSTRUMENTS LTD, Control and Instrumentation, Modular Servo System Ms150 DC, Synchro & AC Basic Assignments. 20

21 Βασικές Συναρτήσεις Διέγερσης Συστημάτων (2/2) Εικόνα 8: Βασικές Συναρτήσεις Διέγερσης Συστημάτων.Πηγή: FEEDBACK INSTRUMENTS LTD, Control and Instrumentation, Modular Servo System Ms150 DC, Synchro & AC Basic Assignments. 21

22 Παραδείγματα Εικόνα 9: Παραδείγματα. Πηγή: FEEDBACK INSTRUMENTS LTD, Control and Instrumentation, Modular Servo System Ms150 DC, Synchro & AC Basic Assignments. 22

23 Υπολογισμός χρονικής απόκρισης εξόδου C(t) με 1 βηματική είσοδο Εικόνα 10: Υπολογισμός χρονικής απόκρισης. Πηγή: FEEDBACK INSTRUMENTS LTD, Control and Instrumentation, Modular Servo System Ms150 DC, Synchro & AC Basic Assignments. 23

24 Μετασχηματισμοί δομικών διαγραμμάτων (1/2) Εικόνα 11: Μετασχηματισμοί δομικών διαγραμμάτων. Πηγή: FEEDBACK INSTRUMENTS LTD, Control and Instrumentation, Modular Servo System Ms150 DC, Synchro & AC Basic Assignments. 24

25 Μετασχηματισμοί δομικών διαγραμμάτων (2/2) Εικόνα 12: Μετασχηματισμοί δομικών διαγραμμάτων. Πηγή: FEEDBACK INSTRUMENTS LTD, Control and Instrumentation, Modular Servo System Ms150 DC, Synchro & AC Basic Assignments. 25

26 Υπολογισμός Συνάρτησης Μεταφοράς του συστήματος (1/2) Εικόνα 13: Παράδειγμα. Πηγή: FEEDBACK INSTRUMENTS LTD, Control and Instrumentation, Modular Servo System Ms150 DC, Synchro & AC Basic Assignments. 26

27 Υπολογισμός Συνάρτησης Μεταφοράς του συστήματος (2/2) Εικόνα 14: Παράδειγμα. Πηγή: FEEDBACK INSTRUMENTS LTD, Control and Instrumentation, Modular Servo System Ms150 DC, Synchro & AC Basic Assignments. 27

28 Βιβλιογραφία 1. FEEDBACK INSTRUMENTS LTD, Control and Instrumentation, Modular Servo System Ms150 DC, Synchro & AC Basic Assignments....28

29 Τέλος Ενότητας

30 Σημείωμα Αναφοράς Copyright ΤΕΙ Δυτικής Μακεδονίας, Γαύρος Κωνσταντίνος. «Εισαγωγικές έννοιες θεωρίας Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου». Έκδοση: 1.0. Κοζάνη Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: URL.

31 Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά, Μη Εμπορική Χρήση Παρόμοια Διανομή 4.0 [1] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων». [1] Ως Μη Εμπορική ορίζεται η χρήση: που δεν περιλαμβάνει άμεσο ή έμμεσο οικονομικό όφελος από την χρήση του έργου, για το διανομέα του έργου και αδειοδόχο. που δεν περιλαμβάνει οικονομική συναλλαγή ως προϋπόθεση για τη χρήση ή πρόσβαση στο έργο. που δεν προσπορίζει στο διανομέα του έργου και αδειοδόχο έμμεσο οικονομικό όφελος (π.χ. διαφημίσεις) από την προβολή του έργου σε διαδικτυακό τόπο. Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί. 31

32 Διατήρηση Σημειωμάτων Οποιαδήποτε αναπαραγωγή ή διασκευή του υλικού θα πρέπει να συμπεριλαμβάνει: το Σημείωμα Αναφοράς. το Σημείωμα Αδειοδότησης. τη δήλωση Διατήρησης Σημειωμάτων. το Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων (εφόσον υπάρχει). μαζί με τους συνοδευόμενους υπερσυνδέσμους. 32

33 Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων Το Έργο αυτό κάνει χρήση των ακόλουθων έργων: Εικόνες/Σχήματα/Διαγράμματα/Φωτογραφί ες: FEEDBACK INSTRUMENTS LTD, Control and Instrumentation, Modular Servo System Ms150 DC, Synchro & AC Basic Assignments. 33