Ο µαθητής που έχει µελετήσει το κεφάλαιο νόµοι αερίων - κινητική θεωρία πρέπει να γνωρίζει:

Transcript

1 Ο µαθητής που έχει µελετήσει το κεφάλαιο νόµοι αερίων - κινητική θεωρία πρέπει να γνωρίζει: Ποιο είναι το θερµοδυναµικό σύστηµα που µελετάµε και ποιο είναι το περιβάλλον. Ποιο µέγεθος ονοµάζουµε πίεση και ποια είναι η µονάδα µέτρησής της. Ποια κατάσταση είναι η µικροσκοπική και ποια η µακροσκοπική. Τι δεδοµένα κρύβουν οι λέξεις ακλόνητα ή ανένδοτα τοιχώµατα, αγώγιµα, αδιαβατικά ή µονωτικά. Τι είναι το γραµµοµόριο (mol), η γραµµοµοριακή µάζα (Μ), ο αριθµός Ν. Avogadro ( ) Α Tη σχέση κλίµακας Kelvin και κλίµακας Kελσίου. Τους νόµους των αερίων και τις χρήσιµες σχέσεις που προκύπτουν απ αυτούς. Να σχεδιάζει τις µεταβολές των αερίων σε διαγράµµατα P -V, P-T, V-T. Πώς πραγµατοποιείται κάθε µεταβολή (ισόχωρη, ισοβαρής, ισόθερ- µη). Να γράφει την καταστατική εξίσωση των ιδανικών αερίων και να διακρίνει πότε χρησιµοποιούµε την σταθερά R = 0,08 και πότε mol K L atm J R = 8,314. mol K Ποιο αέριο θεωρούµε ιδανικό και τι ιδιότητες έχουν τα ιδανικά αέρια.

2 10. Nόµοι αερίων - κινητική θεωρία Τύποι - Βασικές έννοιες Σε ασκήσεις µε έµβολα που ισορροπούν να εφαρµόζει την εξίσωση ΣF = 0. Αν η µάζα του αερίου αλλάξει, να εφαρµόζει πάντα καταστατική εξίσωση. Ότι η µέση κινητική ενέργεια των µορίων ενός αερίου, εξαρτάται µόνο από τη θερµοκρασία και όχι από το είδος του αερίου. Να διακρίνει τη µεταβολή του αερίου και να εφαρµόζει τον αντίστοιχο νόµο. Ότι οι γραµµοµοριακές µάζες µετρούνται σε kg mol. 5 N Συνθήκες s.t.p. είναι: P = 1atm = 1, και T = 73K. m Όταν οι θερµοκρασίες πλησιάζουν το απόλυτο µηδέν δεν ισχύουν οι νόµοι των αερίων. Ισχύει η σχέση υ = υ = υ. ΕΝ rms Όγκος κυλίνδρου µε εµβαδόν βάσης Α και ύψος l : VK = A l. Τη µορφή που παίρνει η καταστατική εξίσωση σε συνδυασµό µε την πυκνότητα p M = ρ R T. Νόµοι αερίων - Κινητική θεωρία: Τύποι - Βασικές έννοιες Φυσικά µεγέθη, µονάδες µετρήσεως και µετατροπές 5 P: Η πίεση ενός αερίου σε N/m ( 1atm = 1, N / m ) V: Ο όγκος του σε m ( 1cm = 10 m,1l = 10 m ) T: Η θερµοκρασία του σε βαθµούς Κέλβιν ( T = θ + 73 ) ρ: Η πυκνότητα του αερίου σε kg/m ( 1g/cm =10 kg/m ) R: Παγκόσµια σταθερά των ιδανικών αερίων Latm = 0,08 mol grad J R = 8,314 mol grad στο S.I.

3 Τύποι - Βασικές έννοιες Nόµοι αερίων - κινητική θεωρία 11. Η καταστατική εξίσωση των ιδανικών αερίων m Καταστατική εξίσωση: PV = nrt, PV = RT, PΜ= ρrt (n ο αριθµός M των mol και Μ η γραµµοµοριακή µάζα του αερίου) Ισόχωρη µεταβολή ΑΒ: Ισόχωρη θέρµανση και ΒΑ: Ισόχωρη ψύξη Στις ισόχωρες µεταβολές ισχύει P A /TA = P B /T ( = nr / V, νόµος Charles) B Ισοβαρής µεταβολή AB: Ισοβαρής θέρµανση (ή ισοβαρής εκτόνωση) και ΒΑ: Ισοβαρής ψύξη (ή ισοβαρής συµπίεση). Στις ισοβαρείς µεταβολές ισχύει V/T=V/T A A B B ( = nr/p, νόµος του Gay- Lussac)

4 1. Nόµοι αερίων - κινητική θεωρία Τύποι - Βασικές έννοιες Ισόθερµη µεταβολή ΑΒ: Ισόθερµη εκτόνωση και ΒΑ: Ισόθερµη συµπίεση. Στις ισόθερµες µεταβολές ισχύει PV=PV ( = nrt, νόµος Boyle) A A B B Κινητική θεωρία των αερίων Θα χρειαστούµε τα εξής µεγέθη: Σύµβολο Επεξήγηση Μονάδες P Η πίεση του αερίου N/m V Ο όγκος του αερίου 3 m T Η θερµοκρασία του αερίου K ρ Η πυκνότητα του αερίου 3 kg/m N,N A,n υεν Αριθµός µορίων, αριθµός Avogadro, αριθµός mol (N = nn ) A mµ Η µάζα ενός µορίου (mολ = Nm µ ) kg υ Ο µέσος όρος των τετραγώνων των ταχυτήτων των µορίων m /s ή υrms Κ Η ενεργός ταχύτητα (Ορισµός: υ rms = υ ) m/s Η κατά µέσον όρο κινητική ενέργεια κάθε µορίου Joule k Σταθερά του Boltzmann (k = R / N A ) Ένα αέριο πυκνότητας ρ βρίσκεται µέσα σε ένα δοχείο έχοντας πίεση Ρ. Αποδεικνύεται ότι ισχύουν: RT 3kT P = ρυ K= mµ υ= kt υεν = = 3 M mµ

5 Βήµα 1 ο Μαθαίνουµε τις αποδείξεις 13. ΘΕΩΡΙΑ 1 Απόδειξη α. Μορφές καταστατικής εξίσωσης. β. Σχέση απόλυτης θερµοκρασίας µε µέση κινητική ενέργεια µορίων και πίεσης µε υ EN. γ. Σχέση ενεργού ταχύτητας και γραµµοµοριακής µάζας (Μ). α. m n= ΟΛ m Μ ΟΛ P V= n R T P V= R Τ Μ m ρ= ΟΛ V P M = ρ R T. Επίσης είναι R P V= N Τ P V= N k T. N A N n = εποµένως προκύπτει N A 1 N mµ υ β. Είναι P= () 1 ( m µ : µάζα µορίου) 3 V 1 1 όµως N mµ = m άρα ΟΛ P = ρυ = ρ υ. ΕΝ 3 3 n R T 1 N K 3 n R Επίσης () 1 = K = T V 3 V N 3 R 3 K= T K= kt N A 1 3 3kΤ 3RΤ 3RΤ γ. Είναι K = mµ υ = kτ υ ΕΝ ΕΝ = υ ΕΝ = = m NA mµ M µ

6 14. Επαναλαµβάνουµε τις ασκήσεις κλειδιά Βήµα ο Α. Από το σχολικό βιβλίο ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ έκδοση 003. σ. 6: Ερωτήσεις 1.1, 1., 1.3, 1.4, 1.5, 1.6, 1.7, 1.8, 1.10, 1.11, 1.13 σ. 31: Προβλήµατα 1.30, 1.31, 1.3, 1.33, 1.34, 1.35 σ. 3: Πρόβληµα 1.36 Β. Από τα Βιλιοµαθήµατα ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ εκδόσεις ΟΡΟΣΗΜΟ σ.σ. 14-0: Τα παραδείγµατα 1., 1.3, 1.4, 1.5, 1.6, 1.7, 1.8, 1.9, 1.10 σ.σ. 9-31: Τα παραδείγµατα 1.11, 1.1, 1.13, 1.15, 1.17 σ. 5: Ξεχωριστό θέµα 1 σ. 37: Ξεχωριστό θέµα 1 σ.σ. 3, 4: Ασκήσεις 1.3, 1.4, 1.9 σ.σ : Ασκήσεις 1.11, 1.14, 1.17

7 Βήµα 3 ο Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις ίνεται η κυκλική µεταβολή ΑΒΓ Α. α. Να βρείτε το είδος κάθε µεταβολής. β. Να γράψετε τις εξισώσεις κάθε µεταβολής. γ. Να κάνετε τα διαγράµµατα P V και P T. Λύση: α. ΑΒ: ισόχωρη θέρµανση ΒΓ: ισοβαρής εκτόνωση (θέρµανση) Γ : ισόθερµη εκτόνωση Α: ισοβαρής συµπίεση (ψύξη) β. ΑΒ: γ. ΒΓ: P T V T A A B B P = T B B V = Τ Γ : ΡΓ VΓ = Ρ V V VΑ Α: = T Τ Γ Γ Α

8 16. Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις Βήµα 3 ο. Ιδανικό αέριο βρίσκεται σε κατακόρυφο κυλινδρικό δοχείο. Το δοχείο κλείνεται στο πάνω µέρος του µε έµβολο που έχει βάρος 5Ν και εµβαδόν διατοµής 1cm που µπορεί να ολισθαίνει χωρίς τριβή. Το αέριο ο έχει αρχική θερµοκρασία θ1 = 7 C και το έµβολο ισορροπεί σε απόσταση l1 = 30cm από την βάση του κυλίνδρου. Η ατµοσφαιρική πίεση είναι Pατµ = 1atm. α. Υπολογίστε την πίεση του αερίου. β. Θερµαίνουµε αργά το αέριο µέχρι η θερµοκρασία του να γίνει ο θ = 17 C. Πόση είναι η απόσταση l της νέας θέσης ισορροπίας του εµβόλου από την βάση του δοχείου; γ. Υπολογίστε την αρχική πίεση του αερίου. i. Αν ο κύλινδρος είναι οριζόντιος. ii. Αν ο κύλινδρος είναι κατακόρυφος µε το έµβολο από κάτω. 5 N ίνεται: 1atm = 10. m Λύση: α. Στο έµβολο ασκούνται το βάρος, η F ατµ λόγω της ατµοσφαιρικής πίεσης και F αερ λόγω της πίεσης του αερίου. Είναι: ΣF = 0 W + Fατµ = Fαερ W Ρ= Ρ + = 1,5 10 A N m 5 ατµ β. Η µεταβολή είναι ισοβαρής: V V A l A l T = = l = l = 40cm T Τ T T T γ.i. Αν είναι οριζόντιος: N P = P = 10 m 5 atm ii. Είναι ΣF = 0 W Ρ= P = 0,5 10 A N m 5 ατµ

9 Βήµα 3 ο Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις Ποσότητα g He βρίσκεται σε κατακόρυφο δοχείο που κλείνεται στο πάνω µέρος του µε οριζόντιο έµβολο το οποίο µπορεί να κινείται χωρίς τριβές. Η πίεση του αερίου είναι P1 = 0,8atm και ο όγκος V1 = 0L. α. Να υπολογίσετε την απόλυτη θερµοκρασία T 1 του αερίου. β. Εισάγουµε στο δοχείο ορισµένη ποσότητα Ηe και παρατηρούµε ότι ο όγκος του αερίου διπλασιάστηκε, η πίεση παρέµεινε σταθερή, ενώ 5 η απόλυτη θερµοκρασία έγινε T = T1. Υπολογίστε την µάζα του 4 He που εισάγαµε στο δοχείο. γ. Στη συνέχεια το He που είναι µέσα στο δοχείο υποβάλλεται σε ισόχωρη µεταβολή µέχρι να αποκτήσει την αρχική του θερµοκρασία. Να υπολογίσετε την τελική πίεση του αερίου. L atm g 5 ίνονται: R R = 0,08, MHe = 4 και 1atm = 10 N / m. mol K mol Λύση: m n= = 0,5mol M P V 0,8atm 0L P V = nrt T = = = 400K nr L atm 0,08 0,5mol mol K 1 1 α P V = n RT P V n RT = β P V = n 5 RT P V1 n R T 1 1 4n 8 n n 0,8mol 1 = = 1 = 5n 5 Άρα εισάγαµε 0,3mol He δηλ. 1,g He P P3 0,8atm P3 4 γ. Ισόχωρη: = = P3 = 0,8atm P3 = 0,656atm T 5 T1 T T

10 18. Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις Βήµα 3 ο 4. ύο οριζόντια κυλινδρικά δοχεία, περιέχουν το ίδιο ιδανικό αέριο και επικοινωνούν µεταξύ τους µε ένα πολύ λεπτό σωλήνα, που κλείνει µε VA m υπάρχουν mol στρόφιγγα. Στο δοχείο Α που έχει όγκο = R 5 N αερίου υπό πίεση P = 10. Στο δοχείο Β που έχει όγκο m VB A m υπάρχουν 3 mol = 5 N αερίου υπό πίεση P = 310. m B R α. Υπολογίστε τις αρχικές θερµοκρασίες σε κάθε δοχείο. β. Ανοίγουµε την στρόφιγγα και µετά την αποκατάσταση της θερµικής 5 N ισορροπίας η τελική πίεση του αερίου είναι P=,5 10. Υπο- m λογίστε την τελική θερµοκρασία του αερίου. ίνεται: R 8,314 = στο S.I. Λύση: α. Στο δοχείο Α: P V = = = A A PA VA narta TA 300K nar PB VB Στο δοχείο Β: PB VB = nbrtb TB = = 400K n R β. Όταν ανοίξουµε την στρόφιγγα έχουµε µετακίνηση µορίων από το ένα δοχείο στο άλλο, αλλά ο συνολικός τους αριθµός παραµένει σταθερός, δηλ. ' ' P VA P V P B ( VA + VB) na + nb = na + nb na + nb = + T= = 315K R T R T R n + n B ( ) A B 5. Στο δοχείο του σχήµατος περιέχεται ποσότητα 4mol αερίου υπό πίεση P 0 και θερµοκρασία T 0. Το στόµιο του δοχείου φέρει βαλβίδα η οποία ανοίγει όταν η πίεση του αερίου γίνει ίση µε P 0. Θερµαίνουµε το αέριο σε θερµοκρασία 4T 0 οπότε η βαλβίδα ανοίγει, διαφεύγει ποσότητα αερίου και στη συνέχεια η βαλβίδα κλείνει διατηρώντας το υπόλοιπο αέριο που έµεινε στη φιάλη στην θερµοκρασία 4T 0.

11 Βήµα 3 ο Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις 19. α. Nα υπολογίσετε τον αριθµό των mol που παρα- µένουν στο δοχείο µετά τη θέρµανση στη θερµοκρασία 4T 0. β. Αν η ποσότητα του αερίου που διέφυγε από τη φιάλη κατά τη θέρµανση συλλεχθεί κατάλληλα V πόσα δοχεία όγκου V = 0 1 µπορεί να γεµίσει σε 10 συνθήκες P= P 0 και T= T 0 ; Λύση: α. Πριν ανοίξει η βαλβίδα εφαρµόζουµε καταστατική εξίσωση PV 0 0 = 4RT0 () 1 µετά το άνοιγµα της βαλβίδας και την διαφυγή x mol αερίου παραµένουν στη φιάλη x = ( 4 x) mol σε συνθήκες P, V 0 0, 4T 0 και ισχύει: ( ) ( ) P V = 4 x R4T ιαιρούµε κατά µέλη τις (1), () PV 0 0 4RT0 = P V 4 x R4T ( ) = = x = 4 x 4 4 x Εποµένως παραµένουν x = 4 = molαερίου β. Αφού κάθε δοχείο όγκου V 0 10 θα περιέχει τον ίδιο αριθµό mol n 1 θα ισχύει: y n1 = mol n1 = όπου (y) ο αριθµός των δοχείων όγκου y V 10 = 0 µε την καταστατική εξίσωση για κάθε δοχείο: P n RT ( 4) ιαιρώ κατά µέλη τις (1) και (5) V Γράφου- V0 P0 10 PV nrt 1 0 = 4RT RT 0 1 y 4 = = y= 5δοχεία 10 4RT y 10 0

12 0. Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις Βήµα 3 ο ιαθέτουµε ποσότητα αερίου Ν µορίων σε δοχείο όγκου V= 10 m. Η συνολική κινητική ενέργεια των µορίων του αερίου στο δοχείο είναι 3 = 10J και η πυκνότητά του ρ= 0,5kg/m. KΟΛ α. Να υπολογίσετε την ενεργό ταχύτητα των µορίων του αερίου. β. Το αέριο εκτονώνεται ισοβαρώς µέχρι την κατάσταση εκείνη στην 3 οποία η ενεργός ταχύτητά του γίνεται 410m/s και στην συνέχεια ψύχεται ισόχωρα µέχρι να υποδιπλασιασθεί η πίεσή του. Να βρεθεί η τελική τιµή της θερµοκρασίας του αερίου καθώς και η τελική τιµή του όγκου του αερίου. ίνονται: R = 8,3J/mol Κ και η γραµµοµοριακή µάζα του αερίου Λύση: 4g/mol. α. 1 K 1 ΟΛ = ΝΚ = Ν mυ Ν mυ KΟΛ = = m N m ΟΛ N m ρ ρ = = V V V υv K ΟΛ υ ρv = KΟΛ = υ = υ ρv εν υ = 10 0,5 10 εν 5 6 m/s υ = 4 10 m/s υ = 10 3 m/s () 1 εν εν β. Κατά την ισοβαρή εκτόνωση διπλασιάζεται η ενεργός ταχύτητα: υ εν = υεν 3RT Μ r 3RT = T = 4T ( ) όπου Τ η αρχική θερµοκρασία του αερίου. M r Ακόµη βάσει νόµου Gay - Lussac V = 4V ( α). Κατά την ισόχωρη ψύξη υποδιπλασιάζεται η πίεση άρα σύµφωνα µε τον Νόµο του Charles υποδιπλασιάζεται και η απόλυτη θερµοκρασία. Ισχύει λοιπόν: Τ 4Τ Τ = = = Τ και V = V = 4V Εποµένως ο τελικός όγκος του αερίου είναι τετραπλάσιος του αρχικού ενώ η τελική απόλυτη θερµοκρασία είναι διπλάσια της αρχικής.

13 Βήµα 3 ο Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις 1. Υπολογίζουµε την αρχική θερµοκρασία του αερίου: υ 3RT 3RT 410 S.I. 3 6 εν = 10 m/s= ( ) Mr M = r M T = r 38, T= 4,9 6 3 K T = K T = 64,5K οπότε T = Τ = 185Κ 4,9 7. Σε δοχείο όγκου V = 1L περιέχεται ορισµένη ποσότητα Ηe υπό πίεση 6 N P = 10. Αν η ενεργός ταχύτητα των µορίων του αερίου είναι m 3 m υ = 10 να βρείτε: s εν α. την πυκνότητα του αερίου β. τον αριθµό των mol του αερίου µέσα στο δοχείο γ. την συνολική κινητική ενέργεια λόγω µεταφορικής κίνησης του αερίου δ. θερµαίνουµε το αέριο και παρατηρούµε ότι η ενεργός ταχύτητα των µορίων διπλασιάζεται. Να βρείτε τον λόγο της τελικής προς την αρχική θερµοκρασία του αερίου. ίνεται ότι αέριο. Λύση: α. kg = και το He συµπεριφέρεται ως ιδανικό 3 MHe 410 mol 1 1 3P 3 10 P = ρ υ P= ρ υ ρ= ρ= kg/m 3 3 υ εν εν 3 ( ) β. ρ= kg/m ρ= 0, m m V kg 6 3 ΟΛ 3 5 ρ = mολ = ρ V mολ = 0, kg mολ = kg

14 . Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις Βήµα 3 ο m ΟΛ n = n = n = 18, mol 3 Mr R 3 N 3 3 K = Ν Κ= Ν k Τ= Ν T= R T= nrt= P V= N N γ. ολ 3 3 = = = J 10 J 1500J A A δ. υ υ ' εν εν 3RΤ = Μr 3RΤ = Μ r 3RΤ ' υ Μ εν r υεν 3RΤ' Μr Τ Τ 4 : = = = = υ εν 3RΤ υ εν 3RΤ Μ r 1 Τ Τ 1 Μ () r 8. Ποσότητα n= 3 mol ιδανικού αερίου R (όπου R η παγκόσµια σταθερά των ιδανικών αερίων) υποβάλλεται στη µεταβολή που φαίνεται στο διπλανό διάγραµµα. α. Να χαρακτηρίσετε το είδος της µεταβολής στην οποία υπόκειται το αέριο και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. β. Να υπολογίσετε την ενεργό ταχύτητα των µορίων του αερίου στην κατάσταση Β γ. Να υπολογίσετε τον όγκο του αερίου στην κατάσταση Α. δ. Να υπολογίσετε τον λόγο της µέσης κινητικής ενέργειας των µορίων του αερίου στην κατάσταση Β προς την µέση κινητική ενέργεια των µορίων του αερίου στην κατάσταση Α. 5 J ίνονται: R = και η γραµµοµοριακή µάζα του αερίου 3 mol K g M =. mol

15 Βήµα 3 ο Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις 3. Λύση: α. Στο διάγραµµα έχουµε την µεταβολή της πίεσης ιδανικού αερίου σε συνάρτηση µε την µέση τιµή των τετραγώνων των ταχυτήτων των µορίων του. m ΟΛ 1 1 Γνωρίζουµε ότι P = ρ υ P= υ. Επειδή η γραφική παράσταση 3 3 V είναι ευθεία που διέρχεται από την αρχή των αξόνων συµπεραίνουµε ότι η συνάρτηση που την παριστάνει είναι της µορφής y = α x µε α = σταθ. Στην m ΟΛ m ΟΛ 1 1 περίπτωσή µας α = άρα = σταθ. και επειδή mολ 3 V 3 V µπεραίνουµε ότι και V = σταθ. συ- = σταθ. Εποµένως η µεταβολή είναι ισόχωρη. Επειδή παρατηρούµε ότι η υ αυξάνεται, συµπεραίνουµε ότι η θερµοκρασία του αερίου αυξάνεται άρα τελικά πρόκειται για ισόχωρη θέρµανση. β. Επειδή η κλίση είναι σταθερή θα ισχύει: P Ρ A Β 6 6 = = υ 6 Β = 4 10 m /s υβ = 4 10 m/s 10 Α Β Β υ υ υ m 3 υεν( Β) = 10 s γ. 1 3P 3 10 kg P ρ υ ρ ρ kg/m ρ 0,3 5 A 3 A = A Α Α = Α = 6 Α = 3 3 υ 10 m Α m 3 3 = = = = M R 5 3 ΟΛ 3 3 n mολ n M mολ 10 kg m ΟΛ 10 kg moλ = 10 kg moλ = 0, 7 10 kg 5 m m 0,7 10 ρ V V m V,4 10 m ή 3 ΟΛ ΟΛ A = A = A = A = VA ρa 0,3 VA =,4L Προφανώς επειδή η µεταβολή ΑΒ είναι ισόχωρη ισχύει VB = VA =,4L

16 4. Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις Βήµα 3 ο δ. 1 KB = m υ 1 B m υb 6 KB B () υ 4 10 : = = = = KA 1 υ 10 KA = m υ m υ Α Α Α 9. Ορισµένη ποσότητα αερίου βρίσκεται σε µία κατάσταση θερµοδυνα- µικής ισορροπίας Α µε PA = 8atm, VA = 3L και TA = 300K. Το αέριο υφίσταται τις παρακάτω διαδοχικές αντιστρεπτές µεταβολές: α. µεταβολή ΑΒ κατά την διάρκεια της οποίας η δύναµη που ασκεί το αέριο στα τοιχώµατα του δοχείου που το περιέχει ανά µονάδα επιφανείας παραµένει σταθερή και στο τέλος αυτής η µέση κινητική ενέργεια των µορίων του αερίου έχει διπλασιασθεί β. µεταβολή ΒΓ κατά την διάρκεια της οποίας η µέση κινητική ενέργεια των µορίων του αερίου παραµένει σταθερή και η πυκνότητα του αερίου στο τέλος αυτής υποδιπλασιάζεται γ. µεταβολή Γ κατά την διάρκεια της οποίας η πυκνότητα του αερίου παραµένει σταθερή και στο τέλος αυτής η ενεργός ταχύτητα των µορίων του αερίου υποδιπλασιάζεται. i. Να χαρακτηρίσετε το είδος των µεταβολών και να βρείτε τα P, V, T στις καταστάσεις Β, Γ και. ii. Να σχεδιάσετε τις µεταβολές αυτές σε άξονες P V, P T και V T βαθµολογηµένους. Λύση: i. ΑΒ: Επειδή η δύναµη ανά µονάδα επιφάνειας είναι η πίεση, η πίεση παρα- 3 µένει σταθερή και επειδή K = kt για να αυξηθεί η K πρέπει ν αυξηθεί η Τ, η µεταβολή ΑΒ είναι ισοβαρής θέρµανση (εκτόνωση) 3 ΒΓ: Επειδή K = kt για να παραµένει η K σταθερή πρέπει T = σταθ και moλ επειδή ρ = και mολ = σταθ για να υποδιπλασιαστεί η Ρ πρέπει να διπλασιασθεί ο όγκος, η µεταβολή ΒΓ είναι ισόθερµη εκτόνωση. V mολ Γ : Επειδή ρ = και mολ = σταθ για να παραµένει η ρ σταθερή πρέπει V

17 Βήµα 3 ο Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις 5. 3RT V = σταθ και επειδή υεν = για να υποδιπλασιασθεί η υ εν πρέπει η Τ Mr να ελαττωθεί, η µεταβολή Γ είναι ισόχωρη ψύξη Α: PA = 8atm, VA = 3L, TA = 300K ΑΒ: ισοβαρής εκτόνωση: PB = PA = 8atm 3 KB = k T 3 B k TB KB KA TB () : = = = TB = 300K = 600K 3 KA 3 KA 300 KA = k T k T A A VA VB 3L VB = = VB = 6L T T A Β: PB B = 8atm, VB = 6L, TB = 600K ΒΓ: ισόθερµη εκτόνωση: TΓ = TB = 600K ρ m OΛ Β = V Β mολ mολ mολ 1 Γ Γ B VΓ VΒ VΓ VB VΓ ρ = = = V = V = 6L= 1L ρb = ρ Γ Νόµος Boyle 48 PB VB = PΓ VΓ 8 6atm= PΓ 1 PΓ = atm PΓ = 4atm 1 Γ: PΓ = 4atm, VΓ = 1L, TΓ = 600K Γ : ισόχωρη ψύξη: V = VΓ = 1L υ υ εν( Γ) εν( ) 3RΤ Γ = Γ Μr υεν( Γ) Μ υ r εν( Γ) 3RΤΓ Μr 600 () : 3RΤ υ υ εν( ) 3RΤ εν( Γ) 3RΤ Μr Τ = Μ r 3RΤ = = = Μ r

18 6. Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις Βήµα 3 ο ii = Τ = K Τ = 150Κ Τ 4 Γ ΡΓ Ρ 4atm Ρ 600 = = Ρ = atm Ρ = 1atm Τ Τ : P = 1atm, V = 1L, T = 150K

19 Βήµα 4 ο Λύνουµε µόνοι µας n = mol ιδανικού αερίου βρίσκονται σε δοχείο όγκου L υπό πίεση R N / m. Το αέριο υφίσταται τις εξής διαδοχικές µεταβολές: εκτονώνεται ισόθερµα µέχρι να εξαπλασιαστεί ο όγκος του, ψύχεται ισοβαρώς µέχρι να υποτριπλασιαστεί η θερµοκρασία του, συµπιέζεται ισόθερµα και επιστρέφει µε ισόχωρη θέρµανση στο αρχικό σηµείο. α. Να παρασταθεί η παραπάνω κυκλική µεταβολή σε διαγράµµατα P V, P T και V T. β. Να δειχτεί ότι: P PΑ i. = ii. VΓ ΤΑ = VΒ Τ Τ Τ Γ Β ίνεται: R = 8,314 στο S.I ο. Ένα δοχείο όγκου 100mL περιέχει Ήλιο (He) σε θερµοκρασία 13 C. Η πίεση του αερίoυ είναι 10atm. Πόσα mol περιέχονται στο δοχείο; Υπολογίστε την πυκνότητα του αερίου. 5 ίνονται: 1atm = 1, N / m, R = 8,314 (στο S.I.) και η γραµµο- µοριακή µάζα του He = 4g / mol.

20 8. Λύνουµε µόνοι µας Βήµα 4 ο Κοίλο σφαιρικό δοχείο Β όγκου V V 10 m = = συνδέεται µέσω σωλήνα αµελητέου όγκου µε κυλινδρικό κατακόρυφο δοχείο αρχικού όγκου V1 = 10 m. Το πάνω µέρος του κυλίνδρου κλείνεται µε αεροστεγές έµβολο το οποίο έχει αµελητέο βάρος και ισορροπεί. Η ενεργός ταχύτητα των µορίων στο δοχείο (Α) και η ενεργός ταχύτητα των µορίων στο δοχείο (Β) ικανοποιούν τη σχέση υ Β,εν = υ Α,εν. Η ατµοσφαιρική πίεση είναι Ρατµ = 10 Ν/m και το ύψος h= 1m. Κάθε δοχείο 5 περιέχει το ίδιο αριθµό mol n 1 = n = όπου R η παγκόσµια σταθερά R των αερίων σε µονάδες S.I. Να υπολογισθούν: α. η θερµοκρασία του αερίου στο δοχείο Α β. η πίεση του αερίου στο δοχείο Β. γ. Ανοίγουµε την στρόφιγγα και διαπιστώνουµε ότι µετά από κάποιο χρονικό διάστηµα το έµβολο ισορροπεί σε µια νέα θέση ψηλότερα από την αρχική και το αέριο έχει µια ενιαία θερµοκρασία T = 700Κ. i. πόσο µετακινήθηκε το έµβολο; ii. πόσα mol αερίου µετακινήθηκαν από το ένα δοχείο στο άλλο; (Η απάντηση στο (ii) ερώτηµα να δοθεί σε συνάρτηση µε την σταθερά R)...

21 Βήµα 4 ο Λύνουµε µόνοι µας Ιδανικό αέριο υφίσταται την κυκλική µεταβολή του σχήµατος. α. Να χαρακτηρίσετε κάθε µεταβολή. β. Να βρείτε τα V, B V, Γ Ρ. γ. Να γίνουν τα διαγράµµατα Ρ Τ, V Τ. δ. Αν η πυκνότητα του αερίου στη κατάσταση Α είναι 0,3, να υπολο- kg m 3 γιστεί η ενεργός του ταχύτητα στην κατάσταση αυτή Μια ποσότητα ιδανικού αερίου n= mol βρίσκεται µέσα σε δοχείο 3 5 N όγκου VA = 6L και πίεση ΡA = 10. Θερµαίνουµε το αέριο ισοβαρώς µέχρι την θερµοκρασία T B m = 400K, µετά ψύχουµε ισόχωρα µέ-

22 30. Λύνουµε µόνοι µας Βήµα 4 ο χρι την κατάσταση Γ και τέλος το επαναφέρουµε στην αρχική κατάσταση ισόθερµα. α. Να βρείτε την T, A V και B Ρ. Γ β. Να γίνουν τα διαγράµµατα Ρ V, Ρ Τ, V Τ. γ. Να βρείτε το λόγο των ενεργών ταχυτήτων για τις καταστάσεις Β J και Γ. ίνεται: R = 8,31. mol K 5 N 6. οχείο όγκου V= L περιέχει ιδανικό αέριο He υπό πίεση P = 10 m kg και πυκνότητα ρ= 0,. Να βρείτε: m 3 α. την θερµοκρασία του αερίου β. την ενεργό ταχύτητα των µορίων του γ. τη µέση κινητική ενέργεια των µορίων του αερίου δ. τη συνολική κινητική ενέργεια του αερίου. J gr 3 µορια ίνονται: R = 8,31, MHe = 4 και N mol K mol A = mol

23 Βήµα 4 ο Λύνουµε µόνοι µας Ένας κύλινδρος µε ανένδοτα τοιχώµατα χωρίζεται σε δύο τµήµατα Α και Β µε θερµοµονωτικό έµβολο που µπορεί να κινείται χωρίς τριβές. Στο τµήµα Α υπάρχουν 6g H ενώ στο τµήµα Β υπάρχουν 1,5mol O. Το έµβολο ισορροπεί όταν τα αέρια βρίσκονται σε θερµοκρασία T = 350K. l α. Υπολογίστε το λόγο 1 l. β. Θερµαίνουµε το O µέχρι να αποκτήσει θερµοκρασία T = 800K και το H µέχρι να αποκτήσει θερµοκρασία T οπότε το έµβολο ισορροπεί στο µέσο του κυλίνδρου. Βρείτε την T 1 1. γ. Υπολογίστε το λόγο των ενεργών ταχυτήτων των µορίων του H και του O στην αρχική και στην νέα κατάσταση. gr gr ίνονται: MH = και M O = 3. mol mol

24 3. Ελέγχουµε τη γνώση µας Βήµα 5 ο Θέµα 1 ο Α.1. Ίσες ποσότητες οξυγόνου και υδρογόνου βρίσκονται στην ίδια θερµοκρασία. Τότε έχουν τις ίδιες: α. ενεργές ταχύτητες β. πιέσεις γ. µέσες κινητικές ενέργειες δ. ίδιες επιταχύνσεις. Ποσότητα ιδανικού αερίου ψύχεται αλλά η πυκνότητα του παραµένει σταθερή. Η πίεση του αερίου: α. αυξάνεται β. µειώνεται γ. µένει σταθερή δ. δεν µπορούµε να γνωρίζουµε 3. Εάν τετραπλασιάσουµε την θερµοκρασία µιας ποσότητας ιδανικού αερίου τότε η ενεργός ταχύτητα των µορίων του: α. διπλασιάζεται β. υποδιπλασιάζεται γ. τετραπλασιάζεται δ. δεν αλλάζει 4. Ποιο από τα παρακάτω διαγράµµατα αναφέρεται σε τυχαία µεταβολή:

25 Βήµα 5 ο Ελέγχουµε τη γνώση µας 33. Β. Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές και ποιες λανθασµένες: α. Αν σε µια µεταβολή ΑΒ αερίου ισχύει P A V A = P B V B τότε η µεταβολή αυτή είναι οπωσδήποτε ισόθερµη. β. Όταν έχουµε εκτόνωση αερίου τότε ο όγκος του αυξάνεται ενώ στην συ- µπίεση ο όγκος του αερίου µειώνεται. γ. Γραµµοµοριακή µάζα (Μ) είναι η µάζα του mol. δ. Η καταστατική εξίσωση PV = n R T ισχύει για κάθε κατάσταση ισορροπίας του ιδανικού αερίου. (Μονάδες 5) Θέµα 0 1. Ορισµένη ποσότητα ιδανικού αερίου βρίσκεται σε δοχείο όγκου V ασκώντας πίεση Ρ. Τοποθετούµε το αέριο σε δοχείο όγκου V και τότε ασκεί πίεση Ρ. Να βρείτε: α. πόσο µεταβλήθηκε η θερµοκρασία του αερίου β. πόσο µεταβλήθηκε η ενεργός ταχύτητα των µορίων του. Ιδανικό αέριο εκτονώνεται ισοβαρώς έτσι ώστε να διπλασιαστεί η ενεργός ταχύτητα των µορίων του. Να βρείτε την µεταβολή του όγκου του αερίου. 3. Να παρασταθεί γραφικά σε διάγραµµα P V T η καταστατική εξίσωση για ποσότητα ιδανικού αερίου. Τι εκφράζει η κλίση της ευθείας; (Μονάδες 5) Θέµα 3 0 Ιδανικό αέριο βρίσκεται σε κατάσταση (Α) όπου η πίεση και η θερµοκρασία 5 του έχουν τις τιµές PA = 10 N/m και TA = 400K. Αν η πυκνότητα του αερίου kg είναι ρ= 0,3, να βρείτε: m 3 α. την ενεργό ταχύτητα των µορίων του αερίου β. τη µέση µεταφορική κινητική ενέργεια των µορίων του αερίου γ. τη θερµοκρασία στην οποία πρέπει να θερµανθεί το αέριο, ώστε να διπλασιαστεί η µέση κινητική ενέργεια των µορίων του. 5 6 ίνεται η µάζα ενός µορίου του αερίου: m= 10 kg. 3 (Μονάδες 5)

26 34. Ελέγχουµε τη γνώση µας Βήµα 5 ο Θέµα 4 0 Στο παρακάτω διάγραµµα φαίνεται η κυκλική µεταβολή µιας ποσότητας ιδανικού αερίου. Αν η θερµοκρασία στην κατάσταση Α είναι TA = 00K και η ενεργός ταχύτητα των µορίων του αερίου στην κατάσταση Γ είναι διπλάσια απ ότι στην κατάσταση Α, α. να παραστήσετε ποιοτικά την παραπάνω κυκλική µεταβολή σε διάγραµµα P V και V T β. να βρείτε την θερµοκρασία στις καταστάσεις Β και Γ γ. να βρείτε τον λόγο των µεταφορικών κινητικών ενεργειών στις καταστάσεις Α και Β δ. δείξτε ότι η πίεση στην κατάσταση Γ είναι τετραπλάσια της πίεσης στην κατάσταση Α. (Μονάδες 5)

27 Ο µαθητής που έχει µελετήσει το κεφάλαιο νόµοι θερµοδυναµικής - θερµικές µηχανές πρέπει να γνωρίζει: Ποιες µεταβολές λέγονται αντιστρεπτές και ποιες όχι και πως παριστάνονται. Τι ονοµάζουµε κατάσταση ισορροπίας αερίου. Ποιο µέγεθος ονοµάζουµε θερµότητα και που εµφανίζεται. Τι είναι η εσωτερική ενέργεια και από τι εξαρτάται. Η µεταβολή της εσωτερικής ενέργειας δεν εξαρτάται από το είδος της µεταβολής αλλά µόνο από την αρχική και την τελική κατάσταση. Tι είναι οι γραµµοµοριακές ειδικές θερµότητες και ότι το κάθε αέριο έχει τις δικές του. Πως υπολογίζονται το έργο (W) η θερµότητα (Q) και η µεταβολή της εσωτερικής ενέργειας ( U) για κάθε µεταβολή. Το έργο για κάθε µεταβολή ισούται µε την αριθµητική τιµή του εµβαδού σε διάγραµµα P-V µεταξύ της µεταβολής και του άξονα του όγκου. Το έργο κατά την εκτόνωση είναι θετικό ενώ κατά την συµπίεση αρνητικό. Να διατυπώνει και να εφαρµόζει τον 1ο θερµοδυναµικό νόµο για κάθε µεταβολή. Η θερµότητα και το έργο σε αντίθεση µε την µεταβολή της εσωτερικής ενέργειας εξαρτώνται από το είδος της µεταβολής. Τι είναι η θερµική µηχανή. Σε κυκλική µεταβολή το U = 0. Τι ονοµάζουµε απόδοση θερµικής µηχανής.

28 36. Νόµοι θερµοδυναµικής - θερµικές µηχανές Τύποι - Βασικές έννοιες Πως διατυπώνεται ο ος θερµοδυναµικός νόµος. Από ποιες µεταβολές αποτελείται ο κύκλος Carnot. Η µεγαλύτερη σε απόδοση θερµική µηχανή ανάµεσα σε όλες όσες δουλεύουν µεταξύ των ίδιων θερµοκρασιών, είναι η µηχανή Carnot. Ποια µεταβολή ονοµάζουµε αδιαβατική. Πότε η θερµότητα (Q) και η µεταβολή της εσωτερικής ενέργειας ( U) παίρνουν θετικές και πότε αρνητικές τιµές. Τι εκφράζει ο 1ος θερµοδυναµικός νόµος. Γιατί οι αδιαβατικές µεταβολές είναι πιο απότοµες από τις ισόθερµες. Γιατί δεν µπορούν να τέµνονται δύο ισόθερµες ή δύο αδιαβατικές. Nόµοι θερµοδυναµικής: Τύποι - Βασικές έννοιες Έργο, θερµότητα, µεταβολή εσωτερικής ενέργειας Ισόχωρη Ισόθερµη Ισοβαρής Αδιαβατική 0 Q W U ncv Τ 0 ncv Τ nrtln V B/ VA nrtln P A / PB W 0 PVln V B/ VA ncp Τ P V = n R T ncv Τ P V P1 V1 1 γ ncv Τ Κυκλικές ΣQ ΣW 0

29 Τύποι - Βασικές έννοιες Νόµοι θερµοδυναµικής - θερµικές µηχανές 37. 1oς Νόµος Θ/ : Q= W+ U Το ποσό θερµότητας που ανταλλάσει ένα αέριο µε το περιβάλλον του είναι ίσο µε το άθροισµα του έργου που παράγει ή καταναλώνει και τη µεταβολή της εσωτερικής του ενέργειας. oς Νόµος Θ/ : ιατύπωση Kelvin - Planck Είναι αδύνατη η κατασκευή µιας θερµικής µηχανής στην οποία ένα αέριο εκτελώντας κυκλική µεταβολή να µετατρέπει ένα δεδοµένο ποσό θερµότητας εξ ολοκλήρου σε ωφέλιµο έργο. ιατύπωση Clausius Είναι αδύνατη η µεταφορά θερµότητας από ένα ψυχρό σε ένα θερµό σώµα χωρίς την κατανάλωση έργου. Πρόσηµα Στις εκτονώσεις ( V > 0) είναι W > 0 ενώ στις συµπιέσεις ( V 0) W< 0. Στις θερµάνσεις ( T > 0) είναι U > 0 ενώ στις ψύξεις ( T 0) < είναι < είναι U < 0. Όταν ένα αέριο προσλαµβάνει θερµότητα από το περιβάλλον τότε Q> 0, ενώ όταν αποβάλλει θερµότητα προς το περιβάλλον τότε Q< 0. Θερµικές µηχανές Απόδοση W Q Q Q Q Q Q ΟΛ προσφ αποβ αποβ e = = = 1 προσφ προσφ προσφ Ειδικά στον κύκλο Carnot αποδεικνύεται ότι T e 1 T c =. h Tc T h Qαποβ = εποµένως Q προσφ

30 38. Μαθαίνουµε τις αποδείξεις Βήµα 1 ο ΘΕΩΡΙΑ 1 α. Υπολογισµός εσωτερικής ενέργειας. β. Σχέση C και P C V. γ. Υπολογισµός γραµµοµοριακών ειδικών θερµοτήτων και αδιαβατικού συντελεστή (γ) στα ιδανικά αέρια. Απόδειξη α. 3 R 3 3 U= N K= N T= nrt= PV N A β. Εφαρµόζουµε 1 ο νόµο Θερµοδυναµικής σε ισοβαρή εκτόνωση ιδανικού αερίου: Q = W + U n C T = P V + n C T n C T = n R T + n C T P P C = R + C V P V V γ. 3 3 U= nrt U = nr Τ όµως: U nc Τ = V εποµένως CV 5 τέλος, CP = CV + R CP = R 3 = R

31 Βήµα 1 ο Μαθαίνουµε τις αποδείξεις 39. ενώ γ 5 R c 5 γ c 3 V R 3 P = = = ΘΕΩΡΙΑ Να αποδείξετε ότι το έργο που παράγει ένα αέριο όταν ο όγκος του αυξάνεται κατά µικρή ποσότητα V είναι W = P V όπου Ρ η πίεση του. Απόδειξη Έστω ένα αέριο σε κύλινδρο που κλείνεται από εφαρµοστό έµβολο. Καθώς τα µόρια του αερίου µέσα στον κύλινδρο συγκρούονται µε τα τοιχώµατά του α- σκούν δυνάµεις σε αυτά. Για µια µικρή µετατόπιση του εµβόλου κατά x το έργο που παράγει η δύναµη που ασκεί το αέριο σε αυτό είναι: W = F x όµως F= P A όπου F η ολική δύναµη που ασκεί το αέριο στο έµβολο. Εποµένως W = P A x = P V όπου V µια µικρή µεταβολή του όγκου του αερίου. *ΘΕΩΡΙΑ 3 Απόδειξη Να αποδείξετε την σχέση Q Q Τ = Τ c h 1 Ισόθερµη εκτόνωση ΑΒ (Ν. Boyle): P1 V1 = P V γ γ Αδιαβατική εκτόνωση ΒΓ (Ν. Poisson): P V = P V 3 3 Ισόθερµη συµπίεση Γ (Ν. Boyle): P3 V3 = P4 V4 γ γ Αδιαβατική συµπίεση ΒΓ (Ν. Poisson): P V = P V Με πολλαπλασιασµό κατά µέλη των παραπάνω σχέσεων, παίρνουµε: PV PV PV PV = PV PV PV PV γ γ γ γ γ γ γ γ V V4 V3 V1 γ 1 γ 1 γ 1 γ 1 V V3 = 4 = 3 1 = V V4 V3 V1 V1 V4 () V V V V 1

32 40. Μαθαίνουµε τις αποδείξεις Βήµα 1 ο Στην ισόθερµη εκτόνωση ΑΒ: Στην ισόθερµη συµπίεση Γ : Q Q V = nrt ln V h 1 V 4 c = nrtln V 3 1 V Q nrt lnv lnv Q nrt lnv lnv Q nrt ln V Q 3 c = 4 3 c = 3 4 c = 4 V = nrt ln V c 3 4 Άρα: V nrt ln Qc = = Q V Q Τ nrt ln V 3 () 1 V Q 4 c Τ h 1 h 1 1 Τρείς σπουδαίες λεπτοµέρειες στην αδιαβατική µεταβολή. PV PV 1 1 α. Υπολογισµός έργου: W = 1 γ 1 ος Θ.Ν. στην αδιαβατική µεταβολή ( Q = 0 ) PV PV 1 1 W = U = ncv( T T1) W = ncv nr nr Cv W= P V P1 V1 1 R ( ) ( ) C C 1 1 R C C p Cv p γ 1 1 C v v Όµως = = = ( ) v 1 PV PV 1 1. γ 1 1 γ 1 1 Από τις (1) και () έχουµε: W= ( P V PV ) W= β. Ο N.Poisson στην αδιαβατική µπορεί να συνδέσει ανά δύο τα P, V, T. γ γ i. ο κλασικός : P1 V1 = P V ii. Σχέση V, T:

33 Βήµα 1 ο Μαθαίνουµε τις αποδείξεις 41. nrt nrt P V P V V V Τ V Τ V γ γ 1 γ γ γ 1 γ = 1 = 1 1 = V1 V iii. Σχέση P, T: γ γ γ γ nrt1 nrt 1 γ γ 1 γ γ 1 1 = 1 = 1 1 = P1 P P V P V P P P Τ P Τ. γ. Γιατί οι αδιαβατικές καµπύλες είναι πιο απότοµες από τις ισόθερµες; Μια εξήγηση: (υπάρχουν κι άλλες) Κατά την αδιαβατική συµπίεση Α Β ( Q= 0) 1 0ς Θ.Ν W = U Κατά την συµπίεση είναι W< 0, οπότε U > 0 δηλαδή το αέριο θερµαίνεται. Άρα η αδιαβατική καµπύλη ΑΒ θα τέ- µνει συνεχώς ισόθερµες υψηλότερης θερ- µοκρασίας, µε συνέπεια να είναι πιο α- πότοµη (µεγαλύτερη κλίση) από τις ισόθερµες.

34 4. Επαναλαµβάνουµε τις ασκήσεις κλειδιά Βήµα ο Α. Από το σχολικό βιβλίο ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ έκδοση 003. σ.σ : Ερωτήσεις.10,.11,.13,.14,.15,.16,.17,.18,.19,.7,.8 σ.σ 76-79: Προβλήµατα.57,.60,.63,.64,.65,.66,.70,.71α, β,.7α Β. Από τα Βιλιοµαθήµατα ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ εκδόσεις ΟΡΟΣΗΜΟ σ.σ : Τα παραδείγµατα.3,.4,.5,.6,.7,.8 σ.σ : Τα παραδείγµατα.9,.10,.11,.1,.13,.14 σ. 61: Ξεχωριστό θέµα 1 σ. 69: Ξεχωριστό θέµα 1 σ.σ : Ασκήσεις.3,.4,.5,.7,.8,.9,.10 σ.σ. 77, 78: Ασκήσεις.1,.14

35 Βήµα 3 ο Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις ίνεται η κυκλική µεταβολή του σχήµατος. Να συµπληρωθεί ο πίνακας θέτοντας το κατάλληλο πρόσηµο σε κάθε τετράγωνο. Η ΓΑ είναι αδιαβατική θέρµανση. Λύση: Γνωρίζουµε ότι: Η U είναι θετική όταν αυξάνεται η θερµοκρασία (µεταβολές ΑΒ και ΓΑ) και αρνητική στην αντίθετη περίπτωση (µεταβολή ΒΓ). Το W είναι θετικό όταν αυξάνεται ο όγκος (µεταβολή ΑΒ) και αρνητικό όταν µειώνεται ο όγκος (µεταβολές ΒΓ και ΓΑ). Το Q είναι θετικό όταν αυξάνεται η θερµοκρασία στην ισοβαρή µεταβολή (ΑΒ), ενώ στην αδιαβατική θέρµανση είναι µηδέν (ΓΑ). Το πρόσηµο του Q επίσης µπορεί να εξαχθεί και από το 1ο θερµοδυναµικό µόνο (µεταβολή ΒΓ). Έτσι συµπληρώνουµε τον ακόλουθο πίνακα: U W Q A B B Γ Γ Α

36 44. Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις Βήµα 3 ο. Κυλινδρικό δοχείο µε αδιαβατικά τοιχώµατα έχει κατακόρυφο άξονα και κλείνεται στο πάνω µέρος του µε έµβολο επιφάνειας Α και βάρους W. Το αέριο στο δοχείο περιέχει 1 ήλιο σε θερµοκρασία T 1 και καταλαµβάνει όγκο V. Προσθέτουµε σιγά-σιγά διάφορα 1 σταθµά συνολικού βάρους W πάνω στο έµβολο. Το ήλιο συµπιέζεται και καταλαµβάνει όγκο V. Να υπολογίσετε: α. τη νέα θερµοκρασία του αερίου β. τη µεταβολή της εσωτερικής του ενέργειας γ. το έργο που καταναλώνεται από το αέριο. 3 ίνεται P, C ατµ V = R. Λύση: Από την ισορροπία του εµβόλου πριν την τοποθέτηση των σταθµών: W1 P1 = Pατµ + () 1 A Από την ισορροπία του εµβόλου µετά την τοποθέτηση των σταθµών: W + W A ( ) 1 P = Pατµ + P Από το συνδυαστικό νόµο έχουµε: 1 V1 P V P V T1 = T = T T P V Σε κάθε αντιστρεπτή µεταβολή ιδανικού αερίου ισχύει: 3 U = ncv Τ = nr Τ 3 P V 3 P V P V T 3 U = T T = T = P V P V T T P V ( ) ( ) Επειδή η µεταβολή είναι αδιαβατική ( Q= 0) ισχύει W = U εποµένως 3 W P V P V ( ) = 1 1 µε 1 P και P γνωστά από τις (1) και ().

37 Βήµα 3 ο Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις Ιδανικό αέριο συµπιέζεται αντιστρεπτά ισόθερµα από την κατάσταση Λύση: α. Α ( P,V,T 0 0 0) έως ότου ο όγκος του υποτριπλασιαστεί στην κατάσταση Β. Κατόπιν εκτονώνεται αντιστρεπτά ισοβαρώς µέχρι την κατάσταση Γ, από την οποία µε ισόχωρη ψύξη θα επανέλθει στην αρχική του κατάσταση Α. α. Να παρασταθούν γραφικά οι µεταβολές σε άξονες πίεσης (P) - όγκου (V). β. Να βρεθεί το έργο που παράγεται κατά τη διάρκεια της κυκλικής µεταβολής ΑΒΓΑ. γ. Να βρεθεί η απόδοση του κύκλου. ίνεται: ln3 1,1 P 3P 0 Â Ã P 0 A 0 V/3 0 V 0 V β. V0 3 1 W = n R T ln = P V ln = P V ln3= 1,1 P V AB V0 3 V V W = 3P V = 3P = P V BΓ και WΓΑ = 0 άρα Woλ = WAB + WΒΓ + WΓΑ = 0,9P0V0 γ. το αέριο απορροφά θερµότητα στην µεταβολή ΒΓ: Q = n C Τ = n R T = 3P V = 3P V V = 5P V 3 η απόδοση του παραπάνω κύκλου είναι: Wολ 0,9P0 V0 e= = = 0,18= 18% Q 5P V ΒΓ p προσφ 0 0

38 46. Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις Βήµα 3 ο 4. Ορισµένη ποσότητα ιδανικού αερίου µε R =, εκτελεί την κυκλική µεταβολή που CV 3 φαίνεται στο σχήµα. Αν VΓ = V, A 5 5 U = 4,5 10 J και U = 9 10 J, να γίνουν τα A Λύση: Γ διαγράµµατα Τ-V, P-V, και να υπολογιστεί η ενέργεια που απορροφά το αέριο, µε τη µορφή µηχανικού έργου, στην παραπάνω κυκλική µεταβολή. ίνεται: R = 8,314 στο S.I. Με δεδοµένο το γεγονός ότι η εσωτερική ενέργεια είναι ανάλογη της απόλυτης θερµοκρασίας, το διάγραµµα Τ-V θα είναι το ακόλουθο: UΓ ΤΓ ΤΓ Επίσης: = = Τ = Τ = Τ U Τ Τ Α Α Α Για την ισόχωρη µεταβολή ΑΒ: Γ Α Β Ρ Ρ Ρ Τ Ρ Τ = Ρ = = Ρ = Ρ Τ Τ Τ Τ Α Β Α Β Α Α Β Β Α Α Β Α Α Άρα το διάγραµµα Ρ-V είναι το ακόλουθο:

39 Βήµα 3 ο Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις 47. Τα µεγέθη της κάθε κατάστασης παρουσιάζονται στον παρακάτω πίνακα: ΑΒ(ισόχωρη): ΒΓ(ισόθερµη): Α Β Γ P P P = Ρ ΡΑ B = A Γ Α VA VB = VA VΓ = VA TA ΤΒ = ΤΑ ΤΓ = ΤΒ = ΤΑ WAB = 0 V W = n R T ln = n R T ln Γ BΓ B A VA ΓΑ(ισοβαρής): ( ) ( ) W = Ρ V V = Ρ V V = P V = n R T ΓΑ Α A Γ Α A A A A A Άρα, το συνολικό έργο είναι: W = W + W + W = n R T ( ln 1) ( I) Όµως, U nc ( T T ) = ΓΑ V A Γ oλ AB BΓ ΓΑ A 3R UA UΓ = n ( TA TA) ( 4, ) J= n R TA 5 n R TA = 3 10 J. 5 Οπότε, η (Ι) γίνεται: = ( ) W 3 10 ln 1 J oλ 5. Να υπολογιστεί ο συντελεστής απόδοσης µιας µηχανής που λειτουργεί µε τον θερµοδυναµικό κύκλο του σχήµατος. ίνεται: C = 3R/ V

40 48. Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις Βήµα 3 ο Λύση: Q Ο συντελεστής απόδοσης δίνεται, όπως είναι γνωστό από τη σχέση α 1 Qh όπου QC = QΒΓ + Q το ποσό θερµότητας που αποβάλλει το σύστηµα προς το Γ C =, περιβάλλον, και Qh = QAB + Q το προσφερόµενο στο αέριο ποσό θερµότητας. Α Τα επιµέρους ποσά θερµότητας υπολογίζονται ως εξής: V QAB = nrt ln = nrt ln V ( ) Q = nc T T = nc T BΓ V V V QΓ = nrt ln = nrt ln V ( ) Q = nc T T = nc T Α V V Άρα, Q = nc T nrt ln Q = nt( C + R ln ) c V c V ( l ) Q = nrt ln+ nc T Q = nt R n+ C h V h V α 1 C + R l n R ln R ln ln C + R ln C + R ln + R l n 1,5+ ln V = = = = 3R V V 5 6. Ένα αέριο, µε γ =, εκτελεί την κυκλική 3 µεταβολή Α Β Γ του σχήµατος. Αν στη µεταβολή ΓΑ το αέριο προσφέρει στο περιβάλλον του θερµότητα 6000J, να υπολογιστούν: α. το έργο της κυκλική µεταβολής Α Β Γ Α β. οι µεταβολές της εσωτερικής ενέργειας στις µεταβολές ΑΒ και ΒΓ γ. η ισχύς µιας µηχανής που λειτουργεί µε τον παραπάνω κύκλο, αν εκτελεί 100 κύκλους / s. Λύση: α. Το έργο υπολογίζεται από το εµβαδόν που περικλείεται από την κυκλική µεταβολή:

41 Βήµα 3 ο Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις 49. W ( 5P P ) ( V V ) = = P V Όµως ( ) ( ) ( ) 0 0 Q = nc T T = 5 nr T T = 5 P V P V = 5 P V ΓΑ p A Γ A Γ ( ) Q 6000 J ΓΑ P0V 0 = = P0V 0 = 400J 5 5 Άρα, W = 4800J β. Οι µεταβολές εσωτερικής ενέργειας στις µεταβολές ΑΒ και ΒΓ είναι: 3 3 UAB = n CV ( TB TA ) = n R ( TB TA ) = ( 5P0 V0 P0 V0 ) = = 6P0V0 = 6 400J = 14400J 3 3 UBΓ = n CV( TΓ TΒ) = n R( TΓ TΒ) = ( P0V0 5P0V0) = = 4,5P0V0 = 4,5 400J = 10800J γ. Η ισχύς σύµφωνα µε τον ορισµό είναι το πηλίκο του ωφέλιµου έργου προς το αντίστοιχο χρονικό διάστηµα. W N = = = = t t OΛ 5 Ρ W Watt 4,8 10 Watt 7. Μία µηχανή Carnot λειτουργεί µεταξύ των θερµοκρασιών 300 Κ και 100Κ και σε κάθε κύκλο αποδίδει ωφέλιµο έργο 4500 J. Να υπολογιστεί ο συντελεστής απόδοσης της µηχανής και το ποσό θερµότητας που προσφέρεται σε κάθε κύκλο στη µηχανή. Λύση: Ο συντελεστής απόδοσης υπολογίζεται από τη σχέση: Τ α= 1 = 1 0,5= 0,75 Τ 1 = που προσφέρεται σε κάθε κύκλο στη µηχανή υπολογίζεται από τον ορισµό της απόδοσης µηχανής: W W 4500J α = Qh = = Qh = 6000 J Q α 0,75 Το ποσό θερµότητας ( Qπροσφ. Qh ) h

42 50. Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις Βήµα 3 ο 8. Ιδανικό αέριο εκτελεί την αντιστρεπτή κυκλική µεταβολή ΑΒΓΑ, όπως φαίνεται στο σχήµα. Αν το αέριο απορροφά θερµότητα QAB = 60J στην αντιστρεπτή µεταβολή ΑΒ: α. Πόσο έργο παράγει το αέριο κατά την παραπάνω κυκλική µεταβολή ΑΒΓΑ; β. Πόση θερµότητα αποδίδει στην αντιστρεπτή µεταβολή ΓΑ; γ. Να συγκρίνετε την απόδοση του κύκλου µε την απόδοση µιας µηχανής Carnot που θα λειτουργούσε µεταξύ της ανώτερης και κατώτερης θερµοκρασίας του παραπάνω κύκλου. Λύση: ίνεται: CV = 3R/, ln = 0, α. Κατ αρχήν CP = CV + R CP = R+ R CP = R, επίσης P V = n R Τ και P V = n R Τ. Για την ισοβαρή εκτόνωση ΑΒ το ποσό της θερµότητας Q AB που απορροφά το αέριο από το περιβάλλον είναι: QAB = n CP Τ = n R Τ = P0 V = P0 ( V0 V0 ) = 5P0 V0 Q AB P0 V0 = = J= 1J άρα, ( ) ( ) P P V V P V 1J = = = = = W εµβαδόν 6J β. Είναι ΡΑ VA = PΓ VΓ = Ρ0 V0 εποµένως TA = TΓ άρα UΓΑ = 0. Από 1ο νόµο Θ..: 3Ρ0 QΓΑ = WΓΑ + UΓΑ = WΓΑ = εµβαδόν τραπεζίου = V0 = 18J Wολ 6J γ. η απόδοση του παραπάνω κύκλου είναι: e = 0,1 10% Q = προσφ 60J = = και η απόδοση του κύκλου Carnot είναι:

43 Βήµα 3 ο Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις 51. P0 V0 µε θερµοκρασία ψυχρής δεξαµενής TC = TA = TΓ = n R 4P0 V0 µε θερµοκρασία θερµής δεξαµενής Th = TB = n R και P V 0 0 TC 1 1 ec = 1 = 1 n R = 1 = = 50% T 4P h 0 V0 n R 9. Μια ποσότητα ιδανικού αερίου φέρεται από την κατάσταση θερµοδυναµικής ισορροπίας Α ( P,V 0 0) στην κατάσταση θερµοδυναµικής ισορροπίας Β ( P/,4V) µε δύο τρόπους. 0 0 Ι. Με αντιστρεπτή ισοβαρή εκτόνωση στην ενδιάµεση κατάσταση θερ- µοδυναµικής ισορροπίας Γ ( P,V) 0 0 και κατόπιν µε µια αντιστρεπτή ισόθερµη εκτόνωση στην κατάσταση θερµοδυναµικής ισορροπίας Β ( P/,4V). 0 0 ΙΙ. Με αντιστρεπτή ισόχωρη ψύξη στην ενδιάµεση κατάσταση θερµοδυναµικής ισορροπίας ( P/,V) 0 0 και κατόπιν µε µια αντιστρεπτή ισοβαρή εκτόνωση στην κατάσταση θερµοδυναµικής ισορροπίας Β ( P/,4V). 0 0 α. Να παρασταθούν γραφικά οι µεταβολές σε άξονες πίεσης - όγκου. β. Να συγκριθεί το ποσό θερµότητας που ανταλλάσσει το αέριο µε το περιβάλλον στους δύο τρόπους. ίνεται: CV = 3R/, ln= 0,7. Λύση: α..

44 5. Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις Βήµα 3 ο 3 5 β. Κατ αρχήν Cp = CV + R Cp = R+ R Cp = R, επίσης P V = n R Τ και P V = n R T. Για την ισοβαρή εκτόνωση ΑΓ το ποσό της θερµότητας Q ΑΓ που απορροφά το αέριο από το περιβάλλον είναι: QΑΓ = n Cp T = n R Τ = P0 V = P0 ( V0 V0 ) = 5 = P V =,5 P V Για την ισόθερµη εκτόνωση ΓΒ το ποσό της θερµότητας Q ΑΓ που απορροφά το αέριο από το περιβάλλον είναι: VB 4V0 Q = ΓΒ W = ΓΒ n R T Γ ln P0 V0 ln V = = ln P V = 1,4 P V V Γ 0 (Ισχύει PΓ VΓ = n R TΓ P0 V0 = n R TΓ ) Τελικά QΑΓΒ = QΑΓ + QΓΒ QΑΓΒ =,5 P0 V0 + 1,4 P0 V0 = 3,9 P0 V0 Για την ισόχωρη ψύξη Α το ποσό θερµότητας Q Α που αποδίδει το αέριο στο περιβάλλον είναι: P0 QΑ = UΑ = n CV Τ = n R T = P V0 = P0 V0 = 3 P = V0 = P0 V0 Για την ισοβαρή εκτόνωση Β το ποσό της θερµότητας το αέριο από το περιβάλλον είναι: 5 5 P0 5 P0 Q Β = n Cp Τ = n R Τ = V = ( 4V0 V0 ) = 5 P 15 3V P V 4 0 = 0 = 0 0 Q Β που απορροφά Q = Q + Q Q = 3 P V + 15 P V = 3 P V 4 4 Τελικά Α Β Α Β Α Β Άρα QΑΓΒ QΑ Β >.

45 Βήµα 3 ο Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις n Λύση: = mol ιδανικού αερίου βρίσκονται σε κατάσταση ισορροπίας R 3 ( A A A ) A P,V = m,t = 00K και υφίστανται τις διαδοχικές αντιστρεπτές µεταβολές που φαίνονται στην γραφική παράσταση πίεσης 3R - εσωτερικής ενέργειας. Αν VB = V και A CV = ( R = 8,314 στο S.I.) α. Να βρείτε το είδος της κάθε µεταβολής. β. Να κάνετε διάγραµµα P-V. γ. Να υπολογίσετε το λόγο U AB U. BΓ δ. Bρείτε τη µέση κινητική ενέργεια των µορίων στην κατάσταση Β αν η αντίστοιχη τιµή για την κατάσταση Α είναι 1 4, J. ε. Να υπολογίσετε το συντελεστή απόδοσης της θερµικής µηχανής που δουλεύει µε αυτόν τον κύκλο. ίνεται: l n = 0,7. α. Η µεταβολή ΑΒ επειδή είναι κάθετη στον άξονα της πίεσης είναι ισοβαρής, ενώ επειδή αυξάνεται η εσωτερική ενέργεια θα αυξάνεται η θερµοκρασία και ο όγκος, δηλαδή είναι ισοβαρής εκτόνωση. Η µεταβολή ΒΓ είναι ισόχωρη ψύξη γιατί η πίεση είναι ανάλογη της εσωτερικής ενέργειας U άρα και της θερµοκρασίας. Η µεταβολή ΓΑ είναι ισόθερµη συµπίεση γιατί είναι κάθετη στον άξονα της εσωτερικής ενέργειας, άρα θερµοκρασία = σταθ. β.

46 54. Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις Βήµα 3 ο γ. ( ) ( ) U nc T T U nc T T AB V B A = = BΓ V A B 1 δ. Καταστατική εξίσωση στο Α: Ν. Gay-Lussac στην ισοβαρή ΑΒ: R 00 PA VA = n R TA PA = = 10 N/m R V T V A B = TB = A TB 400K 5 Ν. Charles στην ισόχωρη ΒΓ: Ρ Τ Β Β Ρ Γ 5 = ΡΓ = 10 N/m. ΤΓ K 3 kt K 3 = kt άρα B = B, A A K K T B B 1 = B = A TA K 8, J ε. Q Q + Q e = 1 = 1 Q Q c BΓ ΓΑ h ΑB 5 QAB = ncp ( TB TA ) = R 00 = 1000 J R 3 QBΓ = ncv( TΓ TΒ) = R ( ) = 600 J R V = l = l =. Άρα A QΓΑ nrta n 400 nj 80J VΓ 880J e = 1 = 0,1 ή 1% 1000J 11. Ορισµένη ποσότητα ιδανικού αερίου εκτελεί κυκλική αντιστρεπτή µεταβολή ΑΒ- Γ Α. Η µεταβολή της πίεσης Ρ του αερίου σε συνάρτηση µε την πυκνότητά του ρ φαίνεται στο παρακάτω διάγραµµα. 5 Για το αέριο δίνεται ο λόγος γ = και ότι 3 ρ = 4ρ1. α. Να παρασταθεί η κυκλική µεταβολή σε διάγραµµα µε άξονες P-V (ποιοτικά) β. Να αποδείξετε ότι: P B = 16P

47 Βήµα 3 ο Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις 55. Λύση: γ. Να αποδείξετε: υ ( ) = υ εν Β εν( ) δ. Να υπολογίσετε την απόδοση θερµικής µηχανής που λειτουργεί µε τον παραπάνω κύκλο. ίνεται: l n = 0,7. α. Από το διάγραµµα που δίνεται φαίνεται ότι κατά τη µεταβολή ΑΒ η πυκνότητα του αερίου παραµένει σταθερή. Είναι ρ = και m = σταθ. οπότε προ- m V κύπτει ότι και V = σταθ. δηλαδή η µεταβολή ΑΒ είναι ισόχωρη. Όµοια και η µεταβολή Γ είναι ισόχωρη. Στις µεταβολές ΒΓ και Α παρατηρούµε ότι η πίεση είναι ανάλογη της πυκνότητας. Από την καταστατική εξίσωση έχουµε ότι: ρ R T P V= n R T P= από όπου φαίνεται ότι η πίεση είναι ανάλογη M της πυκνότητας όταν η απόλυτη θερµοκρασία παραµένει σταθερή δηλαδή οι µεταβολές ΒΓ και Α είναι ισόθερµες. Έτσι το ζητούµενο διάγραµµα έχει τη µορφή: β. Από τον νόµο του Boyle για τις ισόθερµες µεταβολές ΒΓ και Α έχω αντίστοιχα: P V = P V () 1 και P V = P V ( ). Με διαίρεση κατά µέλη B Ρ Β V 1 των (1) και () προκύπτει: = () 3. Ρ V m m Για την κατάσταση Β έχω ρ = ενώ για την είναι ρ 1 =. Είναι V V1 m m ρ = 4ρ = 4 V = 4V οπότε η (3) γίνεται: 1 1 V V1 Ρ 16 P 16P Β B Ρ = =

48 56. Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις Βήµα 3 ο 1 0 = και για την κατάσταση Γ εν Α 3 1 Ρ0 = ρ1 υεν( Γ) ( 5). Από τις σχέσεις (4) και (5) προκύπτει: 3 γ. Για την κατάσταση Α έχουµε Ρ ρ υ ( ) ( 4) 1 1 ρ υεν( A) = ρ1 υεν( Γ) υ 3 3 ( ) = 4 υ εν Γ εν ( A ) υεν ( Γ ) = υεν ( Α ). Επειδή ΤΓ = ΤΒ = Τ και ΤΑ = Τ = Τ1 είναι υ ( ) = υ εν Γ εν( Β) και υ ( ) = υ εν Α εν ( ). Έτσι τελικά έχουµε: υ ( ) = υ εν Β εν( ). δ. Ισχύει υ ( ) υ εν Β εν( ) 3kT m 3kT = = 1. m 1 = από όπου έχουµε 1 T 4T ( 6) Είναι: ( ) Q = n C T T Q = 3n C T AB V 1 AB V 1 V 4V Q = n R T l n = 4nRT l n = 8nRT l n 1 BΓ 1 1 V V Οπότε h AB BΓ V 1 1 Q = Q + Q = 3nC T + 8nRT ln Επίσης: ( ) Q = nc T T Q = 3nC T Γ V 1 Γ V 1 V V Q = n R T l n = nrt l n = nrt l n Α V1 4V Οπότε: C Γ Α V 1 1 Q = Q + Q = 3nC T nrt ln Έτσι η απόδοση της µηχανής που λειτουργεί σε αυτό το κύκλο είναι: QC 3nCV T1 + nr T1 ln 3CV + R ln e = 1 = 1 = 1 Q 3nC T + 8nR T ln 3C + 8R ln Με h V 1 1 V 5 3 γ = προκύπτει ότι CV = R οπότε τελικά έχουµε: R + R ln 9+ 4 ln 1 ln e= 1 = 1 = 0,4 3 3 R + 8R ln ln ln γ C C + R p V = = = CV CV R 1+ C V R γ 1 C = V CV 1 = R γ 1 C V R R 3 = = = R γ

49 Βήµα 4 ο Λύνουµε µόνοι µας Ιδανικό αέριο, όταν εκτελεί τη µεταβολή του σχήµατος, απορροφά από το περιβάλλον Q143 W143 = 100J και παράγει έργο = 83, 6J. Πόσο έργο παράγει κατά τη µεταβολή 1 3, αν στην ίδια µεταβολή Q13 = 110J ; Ορισµένη ποσότητα ιδανικού αερίου υφίσταται την αντιστρεπτή µεταβολή ΑΒ που φαίνεται στο σχήµα. Να υπολογίσετε τη µεταβολή της εσωτερικής του ενέργειας, το έργο και τη θερµότητα που ανταλλάσσει το αέριο µε το περιβάλλον του, σε συνάρτηση των P και V....

50 58. Λύνουµε µόνοι µας Βήµα 4 ο Κατά τη θέρµανση ιδανικού αερίου υπό σταθερή πίεση το ποσό θερµότητας Q είναι ίσο µε τα 7/ του παραγόµενου έργου W. Να υπολογιστεί η αδιαβατική σταθερά γ του αερίου Μια ποσότητα ιδανικού αερίου βρίσκεται στην κατάσταση A( P A, V A, T A) και εκτελεί τις παρακάτω διαδοχικές µεταβολές: ΑΒ: ισόθερµη εκτόνωση ώσπου VB = 4V. A ΒΓ: αδιαβατική συµπίεση ώσπου TΓ = 4Τ. Α α. Να παραστήσετε γραφικά τις µεταβολές σε διάγραµµα: P V β. Για κάθε µεταβολή να υπολογίσετε τα Q, U και W. 5 ίνονται P, A V και γ =. A

51 Βήµα 4 ο Λύνουµε µόνοι µας R mol He που βρίσκονται σε κατάσταση ισορροπίας Α, καταλαµβάνουν όγκο V, υπό πίεση A P A = atm και θερµοκρασία TA = 300K. Το αέριο συµπιέζεται αντιστρεπτά υπό σταθερή θερµοκρασία, ώσπου να τετραπλασιαστεί η πίεσή του. Αν R = 8,314 (S.I.) ζητείται: α. Να παρασταθεί η µεταβολή σε διάγραµµα P V. β. Να υπολογίσετε το έργο που παράγεται πάνω στο αέριο, καθώς και τη µεταβολή της εσωτερικής του ενέργειας, στην παραπάνω µεταβολή. 6. n = mol ιδανικού αερίου, που βρίσκονται σε κατάσταση ισορροπίας Α, καταλαµβάνουν όγκο VA = 16L, υπό πίεση PA = 0,5atm και θερ- 75R µοκρασία T. Με αδιαβατική συµπίεση ΑΒ, το αέριο αποκτά όγκο A VB = L. α. Να υπολογίσετε την αρχική θερµοκρασία του αερίου. β. Να υπολογίσετε την τελική πίεση και θερµοκρασία του αερίου. γ. Να παρασταθεί η µεταβολή σε διάγραµµα P V.

52 60. Λύνουµε µόνοι µας Βήµα 4 ο δ. Να υπολογίσετε τη µεταβολή της εσωτερικής ενέργειας του αερίου στη διαδικασία ΑΒ. 5 ίνεται: γ = και R = 8,314 (στο S.I.) 3 7. Ιδανικό αέριο που καταλαµβάνει όγκο V1 = 10L, εκτονώνεται ισόθερ- µα µέχρι να υποδιπλασιαστεί η πίεσή του. Στη συνέχεια συµπιέζεται ισοβαρώς, απορροφώντας το µισό από το έργο που απέδωσε στην ισόθερµη εκτόνωση. Να υπολογιστεί ο τελικός όγκος του αερίου. ίνεται: ln 0,7. 8. Ιδανικό αέριο βρίσκεται στους δύο χώρους του θερµικά µονωµένου δοχείου του σχήµατος, που χωρίζονται µε λεπτό µονωτικό διάφραγµα. Στον

53 Βήµα 4 ο Λύνουµε µόνοι µας 61. πρώτο χώρο περιέχονται 4Ν µόρια του αερίου σε πίεση Ρ, όγκο V και θερµοκρασία T, ενώ στο δεύτερο χώρο Ν µόρια του αερίου σε πίεση 1 4Ρ και όγκο V. Nα βρεθεί η θερµοκρασία και η πίεση στο δοχείο όταν ανασύρουµε το διάφραγµα mol ιδανικού αερίου εκτελούν τη µεταβολή που παριστάνεται στο ακόλου- R θο διάγραµµα. α. Να γίνει P T διάγραµµα της παραπάνω κυκλικής µεταβολής. β. Να υπολογιστούν οι τιµές των P, V και Τ για κάθε κατάσταση ισορροπίας, αν PA = 1atm και VA = 0,m 3 γ. Να υπολογιστούν το συνολικό έργο που παράγεται σε ένα κύκλο, καθώς και η µεταβολή της εσωτερικής ενέργειας στη µεταβολή Β Γ. ίνονται: R = 8,314 (στο S.I.) και τα P, V.

54 6. Λύνουµε µόνοι µας Βήµα 4 ο 10. Ιδανικό µονατοµικό αέριο βρίσκεται σε κατάσταση θερµοδυναµικής 6 Ν ισορροπίας Α µε όγκο V και πίεση Α ΡΑ = 10. Από την κατάσταση m Α, υποβάλλεται διαδοχικά στις παρακάτω αντιστρεπτές µεταβολές: α. Ισοβαρή εκτόνωση µέχρι την κατάσταση θερµοδυναµικής ισορροπίας Β µε όγκο VB = 4V, κατά την οποία το αέριο παράγει έργο A W β. Αδιαβατική εκτόνωση µέχρι την κατάσταση θερµοδυναµικής ι- σορροπίας Γ µε όγκο V και πίεση Γ Ρ. Γ γ. Ισόθερµη συµπίεση µέχρι την αρχική κατάσταση Α. Ζητείται: Α. Να παραστήσετε (ποιοτικά) τις παραπάνω µεταβολές σε διάγραµ- µα πίεσης - όγκου ( P V ). = 3 A B 3 10 J. Β. Να υπολογίσετε την τιµή του όγκου V. Α Γ. Να υπολογίσετε την τιµή του λόγου υ ενβ /υ ενγ όπου υ ενβ και υ ενγ οι ενεργές ταχύτητες των ατόµων του αερίου στις καταστάσεις Β και Γ αντίστοιχα.. Να υπολογίσετε το ποσό θερµότητας που αποδίδεται από το αέριο στο περιβάλλον κατά την ισόθερµη συµπίεση Γ Α, όταν ο συντελεστής απόδοσης θερµικής µηχανής που λειτουργεί διαγράφοντας τον παραπάνω κύκλο είναι e= 0, ίνονται: Cp = R και CV = R. 11. Oι θερµικές µηχανές του σχήµατος έχουν συντελεστές απόδοσης e 1 και e αντίστοιχα. Ποιος είναι ο συντελεστής απόδοσης του συστή- µατος των δύο µηχανών;

55 Βήµα 4 ο Λύνουµε µόνοι µας Μια ιδανική θερµική µηχανή λειτουργεί σύµφωνα µε τον κύκλο του σχήµατος, χρησιµοποιώντας ως µέσο ένα ι- δανικό αέριο. Ο κύκλος αποτελείται από µια ισόθερµη εκτόνωση ΑΒ σε θερµοκρασία T1 = 600K µέχρι διπλασιασµού του όγκου του αερίου, µια ισοβαρή συ- µπίεση ΒΓ µέχρι τον αρχικό όγκο του αερίου και µια ισόχωρη θέρµανση ΓΑ µέχρι την αρχική κατάσταση του αερίου. Να υπολογίσετε την απόδοση του κύκλου. ίνεται: l n = 0,7 και 5 γ = Ιδανικό αέριο υποβάλλεται στις εξής αντιστρεπτές µεταβολές. TA ΑΒ: ισοβαρή ψύξη µέχρι TB = 4

56 64. Λύνουµε µόνοι µας Βήµα 4 ο ΒΓ: αδιαβατική συµπίεση µέχρι TΓ = ΤΑ ΓΑ: ισόθερµη εκτόνωση α. Να παρασταθεί η κυκλική µεταβολή σε διάγραµµα P V. 3 β. Να υπολογιστεί ο συντελεστής απόδοσης αν CV = R, l n = 0, Ορισµένη ποσότητα ιδανικού µονοατοµικού αερίου βρίσκεται σε κατάσταση θερµοδυναµικής ισορροπίας Α σε θερµοκρασία TA = 400K, πίεση PA = 4 10 N / m και όγκο VA = 10 m. Από την κατάσταση αυτή το αέριο υποβάλλεται στις παρακάτω διαδοχικές µεταβολές: α. ισοβαρή θέρµανση ΑΒ, µέχρι την κατάσταση θερµοδυναµικής 3 3 ισορροπίας Β µε όγκο VB = 10 m β. αδιαβατική ψύξη ΒΓ, µέχρι την κατάσταση θερµοδυναµικής ισορροπίας Γ µε όγκο VΓ = 3, 10 m και πίεση PΓ = 10 N/m. Α. Να παρασταθούν γραφικά (ποιοτικά) οι παραπάνω µεταβολές σε διάγραµµα P V. Β. Να υπολογιστεί η θερµοκρασία του αερίου στην κατάσταση Β. Γ. Να υπολογιστεί το παραγόµενο έργο κατά την ισοβαρή µεταβολή ΑΒ.. Να υπολογιστεί η συνολική µεταβολή της εσωτερικής ενέργειας του αερίου. 5 3 ίνονται: γ = και CV = R

57 Βήµα 4 ο Λύνουµε µόνοι µας Ιδανικό µονοατοµικό αέριο εκτελεί κυκλική θερµοδυναµική µεταβολή που αποτελείται από τις εξής αντιστρεπτές µεταβολές: α. από την κατάσταση θερµοδυναµικής ισορροπίας 1, µε P1 = 3 10 N / m και V1 = 4 10 m εκτονώνεται ισοβαρώς στην κατάσταση, µε V = 3V1, β. από την κατάσταση ψύχεται ισόχωρα στην κατάσταση 3 και, γ. από την κατάσταση 3 συµπιέζεται ισόθερµα στην θερµοκρασία T 1, στην αρχική κατάσταση 1. 3 Αν η ποσότητα του αερίου είναι n= mol, όπου R είναι η παγκόσµια σταθερά των ιδανικών αερίων σε J/ ( mol K), ζητείται: R Α. Να παρασταθούν γραφικά οι παραπάνω µεταβολές σε διάγραµµα P V. πίεσης - όγκου ( ) U1 Β. Να βρεθεί ο λόγος της µεταβολής της εσωτερικής ενέργειας του αερίου κατά την ισοβαρή εκτόνωση προς τη µεταβολή U 3 της εσωτερικής του ενέργειας κατά την ισόχωρη ψύξη. Γ. Να βρεθεί ο συντελεστής απόδοσης ιδανικής µηχανής Carnot που θα λειτουργούσε µεταξύ των ίδιων ακραίων θερµοκρασιών της παραπάνω κυκλικής µεταβολής.. Να βρεθεί το ολικό ποσό θερµότητας που ανταλλάσσει το αέριο µε το περιβάλλον κατά τη διάρκεια µιας τέτοιας κυκλικής µεταβολής, αν το ποσό του έργου κατά την ισόθερµη συµπίεση του αερίου W3 1 = 1318 Joule.

58 66. Ελέγχουµε τη γνώση µας Βήµα 5 ο Θέµα 1 ο 5 Α.1. Κατά την ισοβαρή εκτόνωση αερίου για το οποίο γ = απορροφάται από 3 το περιβάλλον θερµότητα Q= 10J. Το έργο (W) και η µεταβολή της εσωτερικής ενέργειας ( U) είναι: α. W = 6J, U = 4J, β. W = 4J, U = 6J, γ. W = 8J, U = J, δ. W = 5J, U = 5J.. Σε ποια µεταβολή στην οποία το αέριο εκτονώνεται έχουµε ψύξη: α. ισόθερµη β. αδιαβατική γ. ισοβαρής δ. ισόχωρη. 3. Μια άλλη µορφή της καταστατικής εξίσωσης ιδανικού αερίου είναι: α. P V = 3U β. 3P V = U γ. P V = U δ. P V = 3U 4. Αν µία θερµική µηχανή έχει απόδοση ίση µε το 50% της απόδοσης µιας µηχανής Carnot που λειτουργεί µεταξύ των ίδιων θερµοκρασιών, και µε 1 e = ( της µηχανής) ποιός ο λόγος των θερµοκρασιών µεταξύ των οποίων λειτουργούν οι µηχανές: 4 Tc α. 1 T = β. Tc 1 = γ. Tc 1 T = δ. c 1 = T 4 T T 3 h h h h

59 Βήµα 5 ο Ελέγχουµε τη γνώση µας Να αντιστοιχίσετε τις αντιστρεπτές µεταβολές ενός ιδανικού αερίου της στήλης Α µε τις σχέσεις της στήλης Β. Α Β α. Ισόχωρη 1. U = W β. Ισοβαρής. Q = U + W γ. Αδιαβατική 3. Q = U δ. Κυκλική 4. Q= W ε. Τυχαία (Μονάδες 5) Θέµα 0 α. Να αποδειχτεί η σχέση CP = CV + R, όπως επίσης CP 5 γ = για ιδανικό µονοατοµικό αέριο. 3 β. Αποδείξτε ότι στον κύκλο Carnot ίσα ποσά θερµότητας µπορεί να παράγουν το ίδιο ή διαφορετικό µηχανικό έργο. γ. Να παρασταθεί ο κύκλος σε διάγραµµα P V, V T. Θέµα 3 0 ίνεται η παρακάτω κυκλική µεταβολή που εκτελεί ιδανικό αέριο. 5 3 = R, CV = R και (Μονάδες 5) ΑΒ: ισόχωρη θέρµανση ΒΓ: εκτόνωση ΓΑ: ισοβαρής ψύξη Αν WΑΒΓΑ = 300J και WΓΑ = 00J. Να βρείτε:

60 68. Ελέγχουµε τη γνώση µας Βήµα 5 ο U α. τη θερµότητα Q β. το έργο W AB ΒΓ γ. το λόγο AB U. Θέµα 4 0 Μια ποσότητα ιδανικού αερίου ( 5N 3 3 PA 4 10,VA 5 10 m ) ΓA (Μονάδες 5) = = πραγµατοποιεί m µια κυκλική µεταβολή που αποτελείται από τις παρακάτω επιµέρους αντιστρεπτές µεταβολές: ΑΒ: ισόχωρη θέρµανση ( P = P ) ΒΓ: ισόθερµη εκτόνωση ΓΑ: ισοβαρής ψύξη. B A 5 ίνονται: l n = 0,7 και γ = 3 α. Να αποδοθεί η κυκλική µεταβολή σε διάγραµµα P-V. β. Να βρεθούν η πίεση, ο όγκος και η εσωτερική ενέργεια του αερίου σε καθε- µία από τις καταστάσεις ισορροπίας Α, Β, Γ. γ. Να υπολογιστεί η ενέργεια που ανταλλάσει το αέριο µε το περιβάλλον του σε κάθε µεταβολή. δ. Να υπολογιστεί η απόδοση του κύκλου. (Μονάδες 5)

61 Ο µαθητής που έχει µελετήσει το κεφάλαιο κίνηση φορτίου σε ηλεκτρικό πεδίο πρέπει να γνωρίζει: Πως ορίζεται η ένταση ηλεκτροστατικού πεδίου και µε τι ισούται η ένταση πεδίου Coulomb. Τη σχέση έντασης και διαφοράς δυναµικού στο οµογενές ηλεκτροστατικό πεδίο. Η ένταση προστίθεται διανυσµατικά σε αντίθεση µε το δυναµικό που προστίθεται αλγεβρικά. Η δυναµική ενέργεια φορτίων αναφέρεται σε σύστηµα φορτίων και όχι σε ένα µεµονωµένο φορτίο. Η δυναµική ενέργεια µπορεί να είναι θετική, αρνητική ή µηδέν. ( Q q> 0τότε U > 0, Q q < 0 τότε U < 0 για σύστηµα δύο σηµειακών ηλεκτρικών φορτίων). Ποια είναι η φυσική σηµασία του προσήµου της δυναµικής ενέργειας. Όταν έχουµε σύστηµα πολλών ηλεκτρικών σηµειακών φορτίων τότε η δυναµική ενέργεια είναι το άθροισµα των δυναµικών ενεργειών όλων των δυνατών ζευγαριών των φορτίων. Πως να εφαρµόζει αρχή διατήρησης ενέργειας για σύστηµα φορτίων. Όταν έχουµε κίνηση φορτισµένου σωµατιδίου µπορούµε να εφαρµόζουµε και Θ.Μ.Κ.Ε. (Συνιστάται σε οµογενές Η.Π). Όταν έχουµε δύο αποµονωµένα φορτία που µπορούν να κινηθούν µόνο µε την επίδραση της µεταξύ τους ασκούµενης δύναµης τότε µπορούµε να εφαρµόσουµε αρχή διατήρησης ορµής. Αν το φορτίο είναι θετικό και αφεθεί σε οµογενές πεδίο τότε η δύναµη έχει την ίδια φορά µε την ένταση ενώ αν είναι αρνητικό αντίθετη.

62 70. Κίνηση φορτίου σε ηλεκτρικό πεδίο Τύποι - Βασικές έννοιες Αν δεν δίνεται το g ή ζητείται τότε θα θεωρούµε τις δυνάµεις βαρύτητας αµελητέες. Σε κάθε κίνηση ποιες εξισώσεις ισχύουν και πως εφαρµόζονται. Κίνηση φορτίου σε ηλεκτρικό πεδίο: Τύποι - Βασικές έννοιες QQ 1 υναµική ενέργεια συστήµατος δύο σηµειακών φορτίων U= Kc r Χωρητικότητα πυκνωτή : Q S Ορισµός C = επίπεδος πυκνωτής C = εε όπου S, l εµβαδόν και απόσταση 0 V l οπλισµών. V Ένταση και διαφορά δυναµικού στο οµογενές ηλεκτρικό πεδίο E = l υναµική ενέργεια αποθηκευµένη στο Ηλεκτρικό πεδίο ενός πυκνωτή 1 U= CV Εξισώσεις κίνησης φορτίου που µπαίνει σε οµογενές ηλεκτροστατικό πεδίο κάθετα στις δυναµικές γραµµές. xx yy Fx = 0 Fy = E q αx 0 υ α = y E q = m υ = α t x = υ0 y y x = υ0 t 1 y = αy t

63 Βήµα 1 ο Μαθαίνουµε τις αποδείξεις 71. ΘΕΩΡΙΑ 1 Σχέση έργου-µεταβολής δυναµικής ενέργειας. Απόδειξη Το έργο που παράγει ένα ηλεκτρικό πεδίο κατά τη µετακίνηση ενός σηµειακού φορτίου q από ένα σηµείο Α µε δυναµικό V A, σε ένα άλλο σηµείο Γ µε δυναµικό V, δίνεται από τη σχέση W = q V = q ( V V ) Γ A Γ AΓ A Γ Αν WA Γ > 0 τότε το πεδίο παράγει έργο και η δυναµική ενέργεια του συστήµατος ελαττώνεται. Αν WA Γ < 0 τότε το πεδίο καταναλώνει έργο και η δυναµική ενέργεια του συστήµατος αυξάνεται. ΘΕΩΡΙΑ Να αποδείξετε τη σχέση µέτρου έντασης και διαφοράς δυναµικού σε οµογενές ηλεκτροστατικό πεδίο. Απόδειξη Έστω ένα δοκιµαστικό φορτίο +q αφήνεται πολύ κοντά στον θετικά φορτισµένο οπλισµό επίπεδου πυκνωτή. Λόγω του οµογενούς ηλεκτρικού πεδίου, το φορτίο δέχεται δύναµη F= E q () 1 και µετακινείται µέχρι τον αρνητικά φορτισµένο οπλισµό. Κατά τη µετακίνηση αυτή η δύναµη του πεδίου παράγει έργο W = F L ( ). Από (1) και () έχουµε W = E q L () 3. Το έργο όµως γνωρίζουµε ότι µπορεί να υπολογιστεί από τον τύπο W = q V ( 4) V Εποµένως από (3), (4) έχουµε E q L= q V, άρα E = L

64 7. Μαθαίνουµε τις αποδείξεις Βήµα 1 ο ΘΕΩΡΙΑ 3 υναµική ενέργεια συστήµατος φορτίων Απόδειξη Σχηµατισµός - ιάλυση συστήµατος φορτίων Όταν δυο ή περισσότερα φορτία είναι τοποθετηµένα σε τέτοιες θέσεις ώστε να αλληλεπιδρούν µεταξύ τους, αποτελούν ένα σύστηµα. Για να υπολογίσουµε την ενέργεια που απαιτείται για το σχηµατισµό (κατασκευή) του συστήµατος ή για τη διάλυση (καταστροφή) του συστήµατος θα χρησιµοποιούµε την αρχή διατήρησης της ενέργειας, δηλ: Eαρχ,συστ + Επροσφ = Ετελ,συστ Υπολογισµός δυναµικής ενέργειας συστήµατος φορτίων Η δυναµική ενέργεια ενός συστήµατος φορτίων είναι ίση µε το έργο που απαιτείται για τη µεταφορά των φορτίων από πολύ µεγάλη απόσταση µέχρι να τοποθετηθούν στη θέση τους. Αυτή υπολογίζεται µε δύο τρόπους: 1ος τρόπος: υπολογίζουµε τη δυναµική ενέργεια αλληλεπίδρασης όλων των φορτίων ανά δύο. Προσθέτοντας τις επιµέρους δυναµικές ενέργειες βρίσκουµε την ολική δυναµική ενέργεια του συστήµατος. ος τρόπος: µεταφέρουµε ένα-ένα τα φορτία στις θέσεις τους και υπολογίζου- µε το έργο που απαιτείται κάθε φορά που φέρνουµε ένα φορτίο. Προσθέτουµε τα επιµέρους έργα και το συνολικό έργο είναι ίσο µε τη δυναµική ενέργεια του συστήµατος. Παράδειγµα Τρία όµοια φορτία Q βρίσκονται στις τρεις κορυφές ισόπλευρου τριγώνου πλευράς α. Να υπολογιστεί: α. η δυναµική ενέργεια του συστήµατος, β. η ενέργεια που απαιτείται για τη δηµιουργία του συστήµατος των τριών φορτίων. Απάντηση α. 1ος τρόπος Η δυναµική ενέργεια του συστήµατος είναι: UΣυστ = UA,B + UB,Γ + UΓ,Α QAQB QBQΓ QΓQA U Συστ. = k + k + k α α α U Συστ. = Q 3k α.

65 Βήµα 1 ο Μαθαίνουµε τις αποδείξεις 73. ος τρόπος Το πρώτο φορτίο Q µπορεί να µεταφερθεί στο Α χωρίς δαπάνη έργου. Στη συνέχεια µεταφέρουµε το δεύτερο φορτίο Q στο σηµείο Β προσφέροντας ενέργεια: W1 = W B = WB = Q.k = k Q Q α α Μεταφέρουµε το τρίτο φορτίο Q στο Γ. W = W = W = Q V. Γ Γ Γ Q Q Q Όµως VΓ = VΑ + VB = k + k = k. Άρα: α α α Το συνολικό έργο είναι: Q = =. W W Γ k α Q Q Q W = W1 + W = k + k = 3k α α α Q Συνεπώς η δυναµική ενέργεια του συστήµατος είναι: UΣυστ. = 3k. α Σηµείωση: Η δυναµική ενέργεια που υπολογίσαµε ανήκει στο σύστηµα των φορτίων. β. Eαρχ,συστ Επροσφ Ετελ,συστ Uσυστ, Επροσφ Uσυστ + = + = Q Q 0 + Επροσφ = 3k Επροσφ = 3k α α ΘΕΩΡΙΑ 4 Κίνηση σηµειακού ηλεκτρικού φορτίου σε οµογενές η- λεκτρικό πεδίο. i. Παράλληλα στις δυναµικές γραµµές Ε q Eξισώσεις κίνησης: α =, υ= υ0 ± α t, m 1 y = υ0 t± α t ii. Κάθετα στις δυναµικές γραµµές οµογενούς ηλεκτρικού πεδίου Απόδειξη ii. Σωµατίδιο µε µάζα m και φορτίο +q επιταχύνεται από ηλεκτρικό πεδίο τάσης V 0 και αποκτά ταχύτητα υ 0. Στην συνέχεια εισέρχεται σε οµογενές ηλεκτρικό πεδίο κάθετα στις δυναµικές του γραµµές. Το πεδίο αυτό δηµιουργείται από δύο οριζόντιες µεταλλικές πλάκες µήκους L. Η απόσταση ανάµεσα στις

66 74. Μαθαίνουµε τις αποδείξεις Βήµα 1 ο πλάκες είναι d και µεταξύ τους υπάρχει διαφορά δυναµικού V. α. Να υπολογίσετε την ταχύτητα υ 0 που αποκτά αρχικά το σωµατίδιο. β. Να περιγράψετε την κίνηση του σωµατιδίου µέσα στο οµογενές ηλεκτρικό πεδίο. Να γράψετε τις εξισώσεις κίνησης και να υπολογίσετε την επιτάχυνσή του. γ. Να υπολογίσετε τον ολικό χρόνο κίνησης του σωµατιδίου στο πεδίο. δ. Να βρείτε την εξίσωση της τροχιάς της κίνησης του. ε. Να βρείτε την κατακόρυφη απόκλιση ανάµεσα στα σηµεία εισόδου - εξόδου. στ. Να υπολογιστεί η διαφορά δυναµικού ανάµεσα στα σηµεία εισόδου - εξόδου. ζ. Να υπολογιστεί η απόσταση S ανάµεσα στα σηµεία εισόδου εξόδου. η. Να βρεθεί η διεύθυνση της ταχύτητας κατά την έξοδό της από το πεδίο. θ. Να υπολογιστεί το µέτρο της ταχύτητας εξόδου από το πεδίο από το πεδίο εάν: i. είναι γνωστός ο ολικός χρόνος κίνησης, ii. είναι γνωστή η κάθετη απόκλιση y ολ και iii. είναι γνωστή η διαφορά δυναµικού V y,ολ για αυτή την απόκλιση. ι. Να υπολογιστεί το µέτρο της µεταβολής της ορµής του σωµατιδίου από τη στιγµή της εισόδου του στο οµογενές ηλεκτρικό πεδίο µέχρι τη στιγµή της εξόδου του από αυτό. Θεωρούµε αµελητέο το βάρος του σωµατιδίου. Απάντηση: α. Εφαρµόζω ΘΜΚΕ για την κίνηση του σωµατιδίου στο αρχικό πεδίο. 1 qv Κ = ΣW K τελ - Κ αρχ = qv 0 m υ = qv 0 υ0 = m β. Στο σωµατίδιο ασκείται µια ηλεκτρική δύναµη παράλληλη στις δυναµικές γραµµές µε φορά προς τα πάνω. Σύµφωνα µε την αρχή ανεξαρτησίας των κινήσεων αναλύω την κίνηση σε δύο ανεξάρτητες µεταξύ τους κινήσεις. Μια ευθύγραµµη οµαλή στον άξονα x x µε ταχύτητα υ 0 και µια ευθύγραµµη οµαλά επιταχυνόµενη στον y y χωρίς αρχική ταχύτητα

67 Βήµα 1 ο Μαθαίνουµε τις αποδείξεις 75. γ. Μόλις βγει από το πεδίο στον x x έχει διανύσει απόσταση x = L. Συνεπώς από ( ) L= υ t t = ( 4) 0 ολ ολ δ. Εξίσωση τροχιάς είναι µια εξίσωση που συνδέει τις αποµακρύνσεις x και y. Προκύπτει από τις σχέσεις () και (1) µε απαλοιφή χρόνου. x 1 x α t = και τότε από () 1 y= α y= x υ υ υ ( ) 0 L υ L ε. Από τις σχέσεις (1) και (4) για t = tολ = έχουµε: υ ολ ολ ολ md υ0 ( ) qv L y = α t y = 5 ή από την (5) για 1 qv L x = L y = ολ md υ0 xx yy Fx = 0 Fy = E q αx 0 υ α = y E q qv = = m md = υ υ = α t () 3 x 0 1 x = υ0 t ( ) y = αy t () 1 y y 1 qv x y = md υ 0 στ. Vy ολ E = Vy,oλ = Ε y και µε τη βοήθεια της σχέσης (5) ολ y ολ V 1 qv L qv L Vy,ολ = V = 6 d md υ md υ y,ολ 0 0 ζ. Απόσταση S είναι η ευθεία που ενώνει το σηµείο εισόδου Ο µε το σηµείο εξόδου Α. Επειδή το τρίγωνο που σχηµατίζεται είναι ορθογώνιο ισχύει: ( ) S = L + y S L + y και λόγω (5) ολ ολ S qvl 4 = L m d υ0

68 76. Μαθαίνουµε τις αποδείξεις Βήµα 1 ο qv L η. Στο σηµείο εξόδου υx = υ0 και υy = α toλ υy =. md υ0 Άρα για τη διεύθυνση της ταχύτητας εξόδου θα έχουµε: qvl εφθ υ εφθ mdυ εφθ qvl y 0 = = =. υx υ0 mdυ0 θ. i.. qv L υ= υx + υy υ0 + α tολ υ= υ0 +. md υ0 ii. Εφαρµόζω ΘΜΚΕ για την κίνηση του φορτίου ανάµεσα στα σηµεία εισόδου - εξόδου. 1 1 Κ = ΣW K τελ Καρχ = F yoλ mυ mυ0 = qeyoλ V qv mυ mυ = 0 q yoλ υ υ0 yολ d = md qv υ= υ0 + yολ md iii. Εφαρµόζω ΘΜΚΕ για την κίνηση του φορτίου ανάµεσα στα σηµεία εισόδου - εξόδου. Κ = ΣW K τελ Καρχ = q Vy oλ 1 1 mυ mυ0 = qvy,ολ mυ mυ0 = qvy,ολ qv y,ολ qv υ υ0 = υ= υ0 + m m y,ολ ι. Ισχύει P L V L F = P = F t P = qe P = q t υ d υ 0 0

69 Βήµα 3 ο Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις 77. Α. Από το σχολικό βιβλίο ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ έκδοση 003. σ.σ : Ερωτήσεις 3.17, 3.18, 3.19, 3.0, 3.1, 3. σ. 138: Ασκήσεις 3.90, 3.91, 3.9, 3.93 σ. 139: Ασκήσεις 3.94, 3.95, 3.97 σ. 140: Ασκήσεις 3.98, 3.99, Β. Από τα Βιλιοµαθήµατα ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ εκδόσεις ΟΡΟΣΗΜΟ σ.σ : Τα παραδείγµατα 3.1, 3., 3.3, 3.4, 3.6, 3.7, 3.9, 3.10, 3.1 σ. 109: Ξεχωριστό θέµα 1 (διόρθωση στην απάντηση του β ερωτήµατος: Kc q x = ) 6mυ0 σ.σ : Ασκήσεις 3., 3.4, 3.5, 3.6, 3.10, 3.1

70 78. Επαναλαµβάνουµε τις ασκήσεις κλειδιά Βήµα ο 1. Στις κορυφές ΑΒΓ τετραγώνου πλευράς α= 0,36cm βρίσκονται αντίστοιχα τοποθετηµένα τα φορτία Q, Q, Q και Q µε Q= µc. α. Υπολογίστε τη συνολική δυναµική ενέργεια του συστήµατος των τεσσάρων φορτίων. β. Αφήνουµε το φορτίο Q της κορυφής Γ ελεύθερο να κινηθεί. Αν η µάζα του είναι m= g, υπολογίστε τη µέγιστη ταχύτητα που θα αποκτήσει. 9 ίνεται: K = 9 10 (στο SI). Βαρυτικά πεδία αµελητέα. Λύση: c 3 α. Είναι AB= BΓ= Γ = Α= 3,6 10 m ενώ AΓ= B = α = 3,6 10 m. Η συνολική δυναµική ενέργεια του συστήµατος είναι: Q Q Q 4Q U= 4 Kc + Κc + Κc α α α 9 1 c c c 3 8KQ 5KQ KQ U= + = 8 8 J α α α + = + 3, = J β. Το φορτίο θα αποκτήσει µέγιστη ταχύτητα στο άπειρο, όπου όλη η αρχική δυναµική του ενέργεια θα έχει µετατραπεί σε κινητική. Α..Ε: ( Γ) ( ) Q Q Q 1 Uαρχ = Κτελ Kc + Κc + Κc = mυ α α α KcQ υ = 4+ mα υ = / m / s 17m / s 3

71 Βήµα 3 ο Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις 79.. Ένα σύστηµα αποτελείται από ένα ακλόνητο φορτίο Q= 0µC και ένα φορτίο q= 1µC µάζας m= 4g το οποίο µπορεί να κινηθεί. Η δυναµική ενέργεια του συστήµατος είναι U= 3,6J. α. Υπολογίστε την απόσταση των δύο φορτίων. β. Αφήνουµε το q ελεύθερο να κινηθεί. Περιγράψτε το είδος της κίνησής του και βρείτε την ταχύτητα του όταν η απόσταση των φορτίων διπλασιαστεί. γ. Να υπολογιστεί η µέγιστη ταχύτητα του φορτίου q. 9 ίνεται: K = 9 10 (στο SI) Λύση: α. Είναι c Qq KQq c U= Kc r = = m= 5 10 m r U 3,6 β. Το φορτίο q αποµακρυνόµενο θα απωθείται µε διαρκώς µικρότερη δύναµη Coulomb. Η κίνησή του θα είναι επιταχυνόµενη µε επιτάχυνση που συνεχώς µειώνεται. Η ταχύτητά του θα αυξάνεται µε όλο και πιο αργό ρυθµό, και τελικά θα αποκτήσει (σε άπειρη απόσταση) σταθερή τιµή. 1 Α Ε από r έως r: EΑΡΧ = ΕΤΕΛ UΑΡΧ = UΤΕΛ + mυ Qq Qq 1 KQq c Kc = Kc + mυ υ= = 30m/s r r mr γ. Η ταχύτητα γίνεται µέγιστη σε άπειρη απόσταση. Α Ε από r µέχρι το άπειρο: KQq c 1 KQq c ΕΑΡΧ = ΕΤΕΛ = mυ υ= = 30 m/s. r mr ύο φορτία q1 = 10 C και q = 4 10 C συγκρατούνται ακίνητα σε τέτοιες θέσεις ώστε η µεταξύ τους απόσταση να είναι r = 0cm. Αν το q 1 παραµείνει ακίνητο και το q αφεθεί ελεύθερο να κινηθεί, θα φτάσει στο άπειρο µε ταχύτητα υ = 10 m/s. Αν αφηνόταν το q 1 ελεύθερο συγκρατώντας το q, αυτό θα έφτανε στο άπειρο µε υ1 = 6 10 m/s. Τέλος κάνοντας το ίδιο πείραµα αφήνουµε και τα δύο ελεύθερα να κινηθούν ώστε να φτάσουν στο άπειρο. α. Ποια η αρχική δυναµική ενέργεια του συστήµατος;

72 80. Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις Βήµα 3 ο Λύση: β. Ποιες οι µάζες m 1, m ; γ. Ποιες ταχύτητες αποκτούν όταν αφήνονται και τα δύο φορτία ελεύθερα; α. Η αρχική δυναµική ενέργεια είναι: 9 9 q1 q c 1 8 U= K = 9 10 J U = J r 10 β.1. β.. Με διατήρηση ενέργειας ανάµεσα στις θέσεις Ι και ΙΙ παίρνω E I q1 q 1 Kcq1 q = EII Kc = m υ m = r υ r m = kg= 9 10 kg Οµοίως µε διατήρηση ενέργειας ανάµεσα στις θέσεις ΙΙΙ και ΙV έχω q1 q 1 EIII = EIV Kc = m1 υ1 r 8 8 Kcq1 q υ1 r m = = kg = kg m = 10 kg ( 610 ) γ. Τώρα που κινούνται και τα δύο εφαρµόζω αρχές διατήρησης ενέργειας και διατήρησης ορµής. ( εν υπάρχουν εξωτερικές δυνάµεις στο σύστηµα). P = P 0= m υ m υ Α..Ο: αρχ τελ 1 1 4

73 Βήµα 3 ο Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις 81. m υ υ υ 9 υ 1 1 = 1 = m1 Α..Ε: () () 1 q1 q 1 1 Eαρχ = Eτελ Kc = m1 υ1 + m υ r q q 1 1 K m 81υ m υ r 1 c = 1 + m και επειδή m1 = 9 q1 q 1 1 K c = m 9υ + m υ r q q 1 K q q K = 5m υ υ = 1 c 1 c r 5m r υ = m/s= 0,4 10 m/s και από την (1): 1 υ = 9 0,4 10 m/s 4. Σε ύψος l = 8m βρίσκεται ακλόνητα τοποθετηµένο ένα φορτίο Q= µc µάζας M = 00g. Στην ίδια κατεύθυνση µε το Q εκτοξεύουµε από το έδαφος κατακόρυφα ένα δεύτερο φορτίο q= 1mC µάζας m= 0g µε αρχική ταχύτητα υ 0 = 5m/s. α. Βρείτε το µέγιστο ύψος h στο οποίο θα φτάσει το φορτίο q. β. Τη στιγµή που το q βρίσκεται στο µέγιστο ύψος της τροχιάς του το ακινητοποιούµε και ταυτόχρονα αφήνουµε ελεύθερο το Q να κινηθεί. Να υπολογίσετε την µέγιστη ταχύτητα του. 9 N m c = ίνονται: g= 10m/s και K 910 Λύση: α. Τη στιγµή που το q βρίσκεται στο µέγιστο ύψος της τροχιάς του, θα είναι στιγµιαία ακίνητο (φάση Β). Α Ε για το q από (Α) σε (Β) : C

74 8. Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις Βήµα 3 ο Qq 1 Qq UΗΛ,Α + ΚΑ = UΗΛ,Β + UΒΑΡ,Β Kc + mυ0 = Κc + mgh l l h µε h < l = + 0,h (h σε m) 8 8 h 0m απορρ. γιατί 0m > l = 8m h 41h + 0 = 0 h = 0,5m δεκτή β. Στη φάση (Β) το Q δέχεται από το q απωστική δύναµη Q q 18 FΗΛ = Κc = N 7,5 ( l h) ενώ το βάρος του είναι B= Mg= N. Προφανώς B> F ΗΛ εποµένως αφήνοντας το Q ελεύθερο, αυτό θα κινηθεί προς τα κάτω. Η ταχύτητά του θα γίνει µέγιστη τη στιγµή που θα απέχει από το q απόσταση x τέτοια ώστε FΗΛ Qq KQq c = B (φάση Γ) άρα: Kc Mg x 3m x = = Mg = Α Ε για το Q από το (Β) σε (Γ): UΗΛ,Β + UΒΑΡ,Β = UΗΛ,Γ + UΒΑΡ,Γ + ΚΓ K Qq + Mgl = K Qq + Mg h+ x + 1 Mυ l h x ( ) c c max = 6 + 3,5 + 0,1υ 7,5 5, 4 = 0,1υ υ= 54m/s= 3 6m/s 5. Στη βάση κεκλιµένου επιπέδου γωνίας κλίσης 4 o 30 βρίσκεται ακλόνητα τοποθετηµένο ένα φορτίο Q= 10 C. Από ένα σηµείο του επιπέδου το οποίο βρίσκεται σε ύψος h = 6m εκτοξεύουµε προς το Q ένα φορτίο 4 q= 10 C µάζας m= 50g µε αρχική ταχύτητα υ0 = 40m/s. Να υπολογιστεί η µέγιστη και η ελάχιστη απόσταση των δύο φορτίων. ίνονται g= 10m/s και K = 9 10 (SI). Λύση: c 9 Είτε τα φορτία βρίσκονται σε ελάχιστη είτε σε µέγιστη απόσταση, το q θα είναι στιγµιαία ακίνητο. Θα εφαρµόσουµε Α Ε για το q από το αρχικό σηµείο του σχή- µατος µέχρι να µηδενιστεί στιγµιαία η ταχύτητά του, σε απόσταση r από το Q.

75 Βήµα 3 ο Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις 83. Παρατηρείστε ότι η αρχική απόσταση των φορτίων είναι h γιατί ΑΡΧ ΑΡΧ ΤΕΛ ΤΕΛ ΑΡΧ ΒΑΡ ΗΛ ΒΑΡ ΗΛ K + U + U = U + U 1 KQq c r KQq c mυ0 + + mgh = mg + h r r = + (r σε m) 4 r 8,85m r 3r + 70 = 0 r = 3,15m Εποµένως rmin = 3,15m και r max = 8,85m. ο φ= Aνάµεσα σε δύο αντίθετα φορτισµένες πλάκες που απέχουν απόσταση d= 10cm και η διαφορά δυναµικού τους είναι V = 100Volt, τοποθετώ χωρίς αρχική ταχύτητα φορτίο q= 5µC σε σηµείο Α πολύ κοντά στη θετική πλάκα. Α. Πόση επιτάχυνση θα αποκτήσει; Β. Σε πόσο χρόνο θα συναντήσει την αρνητική πλάκα; Γ. Το ίδιο φορτίο εισέρχεται από µικρή οπή της αρνητικής πλάκας µε ταχύτητα υ 0 παράλληλη στις δυναµικές γραµµές. α. Ποια η υ 0 ώστε µόλις να φτάσει στη θετική; β. µε τι ταχύτητα επιστρέφει στο σηµείο εισόδου; 11 ίνεται: m= 10 kg. Λύση: Α. Η ένταση του Ο.Η.Π. που δηµιουργείται ανάµεσα στις πλάκες ισούται µε: E V 10 V d 1 m = = 3 10 ή E= 10 V/m Η επιτάχυνση που αποκτά το φορτίο σ αυτό το πεδίο ισούται µε 6 F q E α= = = 10 m/s α= 5 10 m/s 11 m m 10 Παρατηρούµε πως α 8 g γι αυτό και το βαρυτικό πεδίο αγνοείται.

76 84. Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις Βήµα 3 ο Β. Η κίνησή του είναι οµαλά επιταχυνόµενη χωρίς αρχική ταχύτητα. 1 1 d 10 d = αt t = = s = 8 α s t = 10 s Γ. Η κίνηση τώρα είναι οµαλά επιβραδυνόµενη γιατί ταχύτητα και δύναµη έχουν αντίθετες φορές. α. υ= υ0 αt 0 υ0 αt = υ 0 υ0 υ0 1 d = υ0 t αt d = α α 0 = αt υ 0 t = α υ d = υ0 = α d υ0 = m/s= 10 m/s α 4 υ ενώ ο χρόνος είναι t = = s= 10 s. 8 α 5 10 β. Για να επιστρέψει πρέπει η συνολική του µετατόπιση να είναι µηδέν: 1 υ0 y= 0 υ t 0 αt = 0 t = α υ= υ 0 αt υ = υ0 δηλαδή κατά µέτρο ίση µε την αρχική αλλά αντίθετης φοράς (αποδεικνύεται και µε τη διατήρηση ενέργειας) Ηλεκτρόνιο µε q = 1,6 10 C και m= 9 10 kg εισέρχεται σε οµογενές ηλεκτροστατικό πεδίο παράλληλα προς τους οπλισµούς πυκνωτή µήκους L= 10cm και έντασης E = 10. Σε απόσταση S= 10cm υ- C πάρχει φθορίζουσα οθόνη. Το ηλεκτρόνιο εισέρχεται µε ταχύτητα υ 0 και εξέρχεται µε ταχύτητα υ 0. Μετά την κίνησή του στον πυκνωτή συνεχίζει και πέφτει στο σηµείο της οθόνης. Να υπολογίσετε: α. την διαφορά δυναµικού ΓΑ β. την µεταβολή της κινητικής ενέργειας ανάµεσα στα σηµεία Α, Γ γ. το µέτρο της µεταβολής της ορµής Ρ ανάµεσα στα σηµεία Α, Γ και τον ρυθµό µεταβολής της ορµής δ. την εκτροπή Η του ηλεκτρονίου. 4 N

77 Βήµα 3 ο Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις 85. Λύση: Μέσα στο οµογενές Η.Π. το ηλεκτρόνιο διαγράφει σύνθετη κίνηση. Εξισώσεις κίνησης: xx yy Fx = 0 Fy = E q αx 0 υ = y υ α E q = m υ = α t x = 0 y y x = υ0 t 1 y = αy t α. Επειδή υ= υ0 το υ0 υ0 συνφ = υ = υ =. Άρα 0 ο φ= 45. Όταν εξέλθει από το Η.Π. τότε: x = L L t = x = υt 0 υ0 Όµως Εq t ο υy EqL εφ45 = = m = EqL ΕqL 4 7 υ 1 υ 0 10 m/s 0 υ0 mυ = = = 0 mυ0 m 3 ο εφ45 = 1

78 86. Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις Βήµα 3 ο L Eq Άρα t = = 10 s και ΓΕ = αyt = t = 0,05m. υ0 4 m Επειδή το πεδίο είναι οµογενές Η.Π. και συντηρητικό VΓΑ = VΓΕ (αφού V VAE = 0) ΓΕ VΓA Ε= = VΓΑ = E ΓΕ= 500V ΓΕ ΓΕ β. Εφαρµόζω Θ.Μ.Κ.Ε A Γ: AΓ Κ Κ = W τελ αρχ ολ 19 ( ) ( ) Κ = q V Κ = 1, 6 10 C 500V 17 Κ = 8 10 J Ρ γ. Από τον ο νόµο Νεύτωνα F = Ρ 15 t = E q = 1,6 10 N t F= E q ενώ Ρ = E q t = 1, 6 10 N 10 s = 1, 10 N s 4 δ. Επειδή το τρίγωνο Γ Ζ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές Ζ = ΓΖ = S = 10cm. Το ZH = ΓΕ = 5cm άρα H = ΖΗ+ Ζ= 15cm. 8. Σώµα µάζας m= 0kg και φορτίου 10µC βρίσκεται δεµένο στην ελεύθερη άκρη νήµατος µε όριο θραύσης Tορ = 10 Ν, η άλλη άκρη του οποίου είναι δεµένη σε κατακόρυφο τοίχο όπως δείχνει το σχήµα. Στο χώρο υπάρχει οριζόντιο Η.Π. παράλληλο προς το νήµα µε τιµή ( ) t S.I. 0 t s Ε = 10N/C t > s α. Πότε κόβεται το νήµα; β. Να παραστήσετε γραφικά την επιτάχυνση σε συνάρτηση µε τον χρόνο στο διάστηµα 0 t 4s γ. Πόση ταχύτητα αποκτά την χρονική στιγµή s; δ. Κατά πόσο θα µετατοπιστεί από τη χρονική στιγµή s έως τη χρονική στιγµή 4s. Τριβές αµελητέες.

79 Βήµα 3 ο Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις 87. Λύση: α. Για να κοπεί το νήµα πρέπει η ηλεκτρική δύναµη να ξεπεράσει οριακά το όριο θραύσης του νήµατος. Fe Tθ q E T ρ θ t 10 t 1s. ρ β. Αµέσως µετά αρχίζει επιταχυνόµενη κίνηση µε επιτάχυνση: 5 7 F qe t α = = = α m m 10 Έτσι από t = 5t µε 1 t s. = 1s έως t = s η επιτάχυνση µετα- βάλλεται γραµµικά από 5m /s έως 10m / s. Στη συνέχεια η επιτάχυνση διατηρείται σταθερή και ίση µε 10m / s. γ. Ως γνωστόν το γραµµοσκιασµένο εµβαδό εκφράζει τη µεταβολή της ταχύτητας από t = 1 έως t = (ξεκινά χωρίς αρχική ταχύτητα η κίνησή του). Άρα υ = 1m / s = 7,5m / s υ υ0 = 7,5m/s υ= 7,5m/s. δ. Από την χρονική στιγµή sec και µετά η κίνηση είναι οµαλά επιταχυνόµενη και σε χρονική διάρκεια t = s (από έως 4 sec) η µετατόπισή του είναι 1 1 x = υ0 t + α t x = 7,5 10 m x 35m + =.

80 88. Λύνουµε µόνοι µας Βήµα 4 ο 1. Στα άκρα Α, Γ της διαγωνίου ΑΓ τετραγώνου ΑΒΓ πλευράς α= 0,1m, βρίσκονται ακλόνητα τα 9 φορτία qa = 1 10 C και qγ = 10 C. Να υπολογιστούν: α. το δυναµικό του ηλεκτρικού πεδίου στην κορυφή Β β. η δυναµική ενέργεια του συστήµατος των δύο φορτίων γ. η ελάχιστη ενέργεια που πρέπει να προσφερθεί για τη µετακίνηση του ενός από τα δύο φορτία σε άπειρη απόσταση. ίνεται: K 9 = 9 10 N m /C. c Πάνω σε λεία και µονωτική οριζόντια επιφάνεια κινείται µε ταχύτητα υ 0 µια µικρή σφαίρα µε µάζα m και φορτίο +q. Κατά µήκος της ευθείας κίνησης της σφαίρας βρίσκεται σε ηρεµία µια άλλη µικρή σφαίρα µάζας

81 Βήµα 4 ο Λύνουµε µόνοι µας 89. Μ και ηλεκτρικού φορτίου +Q. Αν δεχτούµε ότι αρχικά οι δυο σφαίρες βρίσκονται σε πολύ µεγάλη απόσταση µεταξύ τους, να υπολογιστούν: α. τα µέτρα των ταχυτήτων τους όταν η απόστασή τους είναι ελάχιστη β. η ελάχιστη απόσταση στην οποία θα πλησιάσουν. ίνεται η σταθερά K c Έστω κατακόρυφο οµογενές Η.Σ.Π. του οποίου οι δυναµικές γραµ- µές έχουν φορά προς τα πάνω. Από κάποιο σηµείο του πεδίου εκτοξεύεται κατακόρυφα προς τα πάνω µε αρχική ταχύτητα µέτρου υ0 = 50m/s µικρή σφαίρα µάζας m= 6g και φορτίου q= 1,5µC. Η σφαίρα επιστρέφει στο σηµείο βολής µετά από χρόνο t = 4s. Να βρεθεί το µέτρο της έντασης του Η.Σ.Π. ίνεται: g= 10m/s. 4. ύο οριζόντιες µεταλλικές πλάκες απέχουν απόσταση l = 4cm. Στο χώρο 4 µεταξύ των πλακών αιωρείται µικρή σταγόνα µάζας m= 10 kg και

82 90. Λύνουµε µόνοι µας Βήµα 4 ο 7 φορτίου q = 10 C. α. Θεωρώντας ως δεδοµένο ότι η σταγόνα ισορροπεί να προσδιορίσετε την πολικότητα των δύο πλακών. β. Ποια είναι η διαφορά δυναµικού µεταξύ των δύο πλακών; γ. Πόση είναι η επιτάχυνση που αποκτά η σταγόνα αν διπλασιάσουµε την τάση; ίνεται: g= 10m/s Σωµατίδιο µάζας 410 g και φορτίου q= 0µC εισέρχεται µε υ0 = 100m/s κάθετα σε οµογενές ηλεκτρικό πεδίο που δη- µιουργείται µεταξύ των οριζόντιων οπλισµών επίπεδου πυκνωτή οι οποίοι απέχουν d= 5cm και έχουν διαφορά δυναµικού 1,5kV. Κατά την είσοδό του το σωµατίδιο απέχει h= 4,5cm από τον αρνητικό ο- πλισµό και κινείται κάθετα στις δυναµικές γραµµές του ηλεκτρικού πεδίου. Οι οπλισµοί έχουν µήκος L= 8cm ενώ σε απόσταση b= 10cm από το πέρας του πυκνωτή υπάρχει κατακόρυφο πέτασµα πάνω στο οποίο πέφτει το σωµατίδιο µετά την έξοδό του από το ηλεκτρικό πεδίο. Θεωρήστε τη βαρύτητα αµελητέα και υπολογίστε: α. θέση και ταχύτητα σωµατιδίου τη στιγµή t = 0,ms β. την ταχύτητα του σωµατιδίου κατά την έξοδό του από το ηλεκτρικό

83 Βήµα 4 ο Λύνουµε µόνοι µας 91. πεδίο καθώς και τη συνολική µεταβολή της κινητικής του ενέργειας γ. την κατακόρυφη απόκλιση ΚΖ την οποία θα υποστεί το σωµατίδιο λόγω του ηλεκτρικού πεδίου και τη διαφορά δυναµικού µεταξύ των σηµείων εισόδου και εξόδου Α και Ζ δ. την τελική µεταβολή της ορµής του σωµατιδίου ε. το µέτρο της εκτροπής ΟΓ πάνω στο πέτασµα Σωµατίδιο φορτίου q= 1µC τοποθετείται σε λείο οριζόντιο επίπεδο σε απόσταση r= 1m από ακλόνητο φορτίο Q= 100µC. Στο χώρο υπάρχει οριζόντιο οµογενές ΗΣΠ έντασης 5 E= 4 10 N/C µε φορά όπως στο σχήµα. Αφήνουµε το q ελεύθερο. α. Βρείτε προς ποια κατεύθυνση θα κινηθεί. β. Σε πόση απόσταση από το Q θα αποκτήσει το q µέγιστη κινητική ενέργεια; Πόση θα είναι αυτή; γ. Υπολογίστε τη µέγιστη απόσταση των δύο φορτίων. 9 ίνεται: Kc = 9 10 (στο S.I.)......

84 9. Ελέγχουµε τη γνώση µας Βήµα 5 ο Θέµα 1 ο Α.1. Ηλεκτρόνιο εκτοξεύεται οµόρροπα στις δυναµικές γραµµές οµογενούς η- λεκτρικού πεδίου. Η κίνηση του είναι: α. ευθύγραµµη οµαλή. β. ευθύγραµµη οµαλά επιταχυνόµενη. γ. µεταβαλλόµενη. δ. ευθύγραµµη οµαλά επιβραδυνόµενη.. ύο σηµειακά ηλεκτρικά φορτία + Q1 και + Q απέχουν µεταξύ τους απόσταση r. Αν διατηρήσουµε ακλόνητο το Q1 και αφήσουµε ελεύθερο το Q θα κάνει κίνηση: α. ευθύγραµµη οµαλή. β. ευθύγραµµη οµαλά επιταχυνόµενη. γ. ευθύγραµµη επιταχυνόµενη. δ. ευθύγραµµη επιβραδυνόµενη. 3. Ένα ηλεκτρόνιο µπαίνει κάθετα στις δυναµικές γραµµές οµογενούς ηλεκτρικού πεδίου µε ταχύτητα υ 0. Τότε: α. Ο χρόνος παραµονής του ηλεκτρόνιου στο πεδίο δεν εξαρτάται από τη υ 0. β. Η απόκλιση από την αρχική διεύθυνση δεν εξαρτάται από τη υ 0. γ. Η ταχύτητα του ηλεκτρονίου κατά την έξοδό του από το πεδίο δεν εξαρτάται από τη υ Στις κορυφές ισόπλευρου τριγώνου βρίσκονται τρία ίσα φορτία έχοντας = 0J. Αν διπλασιάσουµε όλες τις πλευρές του τρι- δυναµική ενέργεια U γώνου τότε: α. Η δυναµική ενέργεια του συστήµατος γίνεται U 40J =. β. Η δυναµική ενέργεια του συστήµατος γίνεται U = 10J.

85 Βήµα 5 ο Ελέγχουµε τη γνώση µας 93. γ. Η δυναµική ενέργεια του συστήµατος γίνεται U = 10J, δ. Η δυναµική ενέργεια του συστήµατος γίνεται U = 40J. Β. Ποιές από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές και ποιές λανθασµένες. α. Αν από το ίδιο σηµείο οµογενούς ηλεκτρικού πεδίου αλλά σε διαφορετικές χρονικές στιγµές, εκτοξευθούν ένα πρωτόνιο και ένα ηλεκτρόνιο κάθετα στις δυναµικές γραµµές του πεδίου τότε θα παραµείνουν τον ίδιο χρόνο στο πεδίο, αν έχουν την ίδια αρχική ταχύτητα. ( ) β. Η δύναµη που δέχεται φορτισµένο σωµατίδιο που θα βρεθεί µέσα σε οµογενές ηλεκτρικό πεδίο είναι σταθερή άρα και η επιτάχυνση που θα αποκτήσει θα είναι σταθερή. ( ) γ. Αν αφήσουµε σε οµογενές ηλεκτρικό πεδίο φορτισµένο σωµατίδιο αµελητέου βάρους, τότε δεν δέχεται δύναµη, άρα θα παραµείνει ακίνητο. ( ) δ. Η επιτάχυνση και η απόκλιση ενός φορτισµένου σωµατιδίου που έχει µπει κάθετα σε οµογενές ηλεκτρικό πεδίο όπου δηµιουργείται ανάµεσα στις πλάκες πυκνωτή δεν εξαρτάται από την διαφορά δυναµικού των πλακών. ( ) (Μονάδες 5) Θέµα 0 1. Από τα σηµεία οµογενούς ηλεκτρικού πεδίου εκτοξεύονται ταυτόχρονα ένα ηλεκτρόνιο και ένα πρωτόνιο όπως στο σχήµα, µε την ίδια ταχύτητα. ίνεται: qp = qe, mp > me Βαρυτικές αλληλεπιδράσεις αµελητέες. Αµελητέα να θεωρηθεί και η ηλεκτροστατική αλληλεπίδραση p και e. α. Θα γυρίσουν ταυτόχρονα στο σηµείο εκτόξευσης τους; β. Βρείτε το χρόνο µέχρι να ξαναεπιστρέψουν στο σηµείο εκτόξευσης. ικαιολογήστε τις απαντήσεις σας.

86 94. Ελέγχουµε τη γνώση µας Βήµα 5 ο.α. Το σωµατίδιο µάζας m και φορτίου q ισορροπεί µέσα στο οµογενές ηλεκτρικό πεδίο όπως φαίνεται στο σχήµα. Αν µειώσουµε την απόσταση µεταξύ των οπλισµών του πυκνωτή προς τα που θα κινηθεί το φορτίο; α. προς τα πάνω, β. προς τα κάτω, γ. θα µείνει ακίνητο Β. ικαιολογήστε την απάντησή σας. 3. Το φορτισµένο σωµατίδιο του σχήµατος ισορροπεί µέσα στο οµογενές ηλεκτρικό πεδίο µε την βοήθεια του νήµατος σχηµατίζοντας γωνία 45 ο µε την κατακόρυφο. Να δείξετε ότι το µέτρο του βάρους είναι ίσο µε το µέτρο της ηλεκτρικής δύναµης F. Θέµα 3 0 (Μονάδες 5) Φορτισµένο σωµατίδιο εκτοξεύεται παράλληλα και οµόρροπα στις δυναµικές γραµµές οµογενούς ηλεκτρικού πεδίου µε ταχύτητα υ 0 = 00m / s. Το σωµατίδιο επιστρέφει στο σηµείο της εκτόξευσης µετά από χρόνο t = 10 s. Αν η 14 ένταση του πεδίου είναι E=100 N C. Να βρείτε : α. Τι κίνηση θα εκτελέσει το φορτίο και τι πρόσηµο έχει το φορτίο. β. Το λόγο q του φορτίου προς την µάζα του σωµατιδίου. m γ. Την διαφορά δυναµικού από το σηµείο της εκτόξευσης µέχρι το σηµείο που µηδενίζεται για πρώτη φορά η ταχύτητα του. (Μονάδες 5)

87 Βήµα 5 ο Ελέγχουµε τη γνώση µας 95. Θέµα Φορτισµένο σωµατίδιο µάζας m= 10 kg και φορτίου q= 10 C αφήνεται από την άκρη οµογενούς ηλεκτρικού πεδίου που στα άκρα του έχει διαφορά δυναµικού V 0 =00V. Το φορτίο βγαίνοντας από το ηλεκτρικό πεδίο µπαίνει κάθετα στις δυναµικές γραµµές ενός άλλου οµογενούς ηλεκτρικού πεδίου που δηµιουργείται από πυκνωτή. Το σηµείο εισόδου του φορτίου απέχει από το θετικό οπλισµό l 1 = 8cm. Αν η διαφορά δυναµικού µεταξύ των πλακών του πυκνωτή είναι V=100V η απόσταση µεταξύ των πλακών είναι l = 0cm και το µήκος των πλακών d = 40cm, να βρείτε: (Οι βαρυτικές δυνάµεις να θεωρηθούν αµελητέες) α. Την ταχύτητα µε την οποία µπαίνει το φορτίο στο πεδίο του πυκνωτή. β. Αποδείξτε ότι το φορτίο θα βγεί από το πεδίο του πυκνωτή. γ. Τον χρόνο κίνησης του σωµατιδίου και στα δύο πεδία, αν ο χρόνος του στο πρώτο πεδίο είναι διπλάσιος του χρόνου στο πεδίο του πυκνωτή. δ. Ποιά η διαφορά δυναµικού µεταξύ σηµείου εισόδου και εξόδου στον πυκνωτή. (Μονάδες 5)

88

89 Ο µαθητής που έχει µελετήσει το κεφάλαιο της κίνησης φορτίου σε οµογενές µαγνητικό πεδίο πρέπει να γνωρίζει: Τι είναι η δύναµη Lorentz. Πότε εµφανίζεται και ποιος είναι ο µαθηµατικός τύπος της. Τι κίνηση εκτελεί ένα φορτισµένο σωµατίδιο ανάλογα µε την γωνία µε την οποία εισέρχεται στο οµογενές µαγνητικό πεδίο. Η δύναµη Lorentz είναι µηδέν όταν υ= 0 ή όταν ο φ= 0 ή ο φ= 180 ή όταν το σωµατίδιο είναι αφόρτιστο. Αν από το ίδιο σηµείο του µαγνητικού πεδίου µπουν ταυτόχρονα όµοια σωµατίδια µε το ίδιο φορτίο και µάζα αλλά µε διαφορετικές ταχύτητες κάθετα στις δυναµικές γραµµές του µαγνητικού πεδίου, παρόλο που θα εκτελέσουν κύκλους διαφορετικών ακτίνων, θα φτάσουν ταυτόχρονα στο σηµείο της εκτόξευσης δηλαδή θα έχουν την ίδια περίοδο T. Να βρίσκει τις εξισώσεις ακτίνας και περίοδου για σωµατίδιο που µπαίνει κάθετα στις δυναµικές γραµµές οµογενούς µαγνητικού πεδίου. ο Αν το σωµατίδιο µπει µε γωνία φ= 90 ως προς τις δυναµικές γραµ- µές οµογενούς µαγνητικού πεδίου και ζητείται το συνολικό µήκος τόξου που διαγράφει και οι περιστροφές του σωµατιδίου σε χρόνο t να t γνωρίζει τις σχέσεις s = N πr, N = όπου Ν ο αριθµός των περιστροφών (όχι απαραίτητα φυσικός αριθµός). T Για να προσδιοριστεί το κέντρο της κυκλικής τροχιάς που διαγράφει ένα σωµατίδιο όταν εισέρχεται σε οµογενές µαγνητικό πεδίο κάθετα στις δυναµικές γραµµές: κατασκευάζουµε το ευθύγραµµο τµήµα που συνδέει το σηµείο εισόδου και το σηµείο εξόδου, φέρουµε την µεσο-

90 98. Κίνηση φορτίου σε οµογενές µαγνητικό πεδίο Τύποι - Βασικές έννοιες κάθετη του παραπάνω ευθύγραµµου τµήµατος και σχεδιάζουµε την δύναµη Lorentz στο σηµείο εισόδου ή στο σηµείο εξόδου. Το σηµείο τοµής της µεσοκαθέτου και της διεύθυνσης της δύναµης Lorentz θα αποτελεί το κέντρο της κυκλικής τροχιάς. Όταν το σωµατίδιο µπει κάθετα στις δυναµικές γραµµές οµογενούς µαγνητικού πεδίου τότε σε ίσους χρόνους διαγράφει ίσα τόξα. Αν το σωµατίδιο µπει κάθετα στις δυναµικές γραµµές του οµογενούς µαγνητικού πεδίου, η F L µεταβάλλει µόνο την διεύθυνση της ταχύτητας του φορτίου και όχι το µέτρο της γιατί παίζει το ρόλο της κεντροµόλου υ δύναµης. Έτσι το σωµατίδιο αποκτά κεντροµόλο επιτάχυνση ακ =. R Επειδή η δύναµη F L είναι συνεχώς κάθετη στη διεύθυνση της ταχύτητας του σωµατιδίου δεν παράγει έργο. Κίνηση φορτίου σε µαγνητικό πεδίο: Τύποι - Βασικές έννοιες ύναµη Lorentz, που ασκεί το µαγνητικό πεδίο σε κινούµενο φορτίο: FL = Bυ qηµφ Aκτίνα κυκλικής τροχιάς, όταν υ Β mυ : R = Βq Περίοδος περιστροφής σωµατιδίου: ( ) Ακτίνα ελικοειδούς κίνησης, υ,β = φ : πm T = Bq mυ ηµφ R = q Β Βήµα έλικας: β= υσυνφ Τ

91 Βήµα 1 ο Μαθαίνουµε τις αποδείξεις 99. ΘΕΩΡΙΑ 1 α. Kίνηση φορτίου που µπαίνει µε υ Β σε οµογενές µαγνητικό πεδίο. β. Κίνηση φορτίου που µπαίνει υπό τυχαία γωνία σε ο- µογενές ΜΠ Απόδειξη α. Το θετικό φορτίο q δέχεται δύναµη Lorentz η οποία παραµένει µονίµως κάθετη στην ταχύτητά του παίζοντας ρόλο κεντροµόλου. Έτσι το φορτίο εκτελεί οµαλή κυκλική κίνηση, της οποίας υπολογίζουµε ακτίνα και περίοδο: mυ mυ FL = FKENT Bυq = R = R qb mυ π πr qb πm ενώ T = = =. υ υ qb Παρατηρούµε ότι η περίοδος είναι ανεξάρτητη της ταχύτητας του σωµατιδίου. β. Το φορτισµένο σωµατίδιο µε φορτίο +q κινείται µε ταχύτητα υ η οποία σχηµατίζει γωνία θ µε το διάνυσµα της έντασης του µαγνητικού πεδίου Β. Η µελέτη της κίνησης του σωµατιδίου θα γίνει χρησιµοποιώντας την αρχή ανεξαρτησίας των κινήσεων. Αναλύουµε την ταχύτητα υ σε δύο άξονες: ο ένας στη διεύθυνση των δυναµικών γραµµών, έστω x και ο άλλος κάθετος προς τις δυναµικές γραµµές. Οι δύο συνιστώσες τις ταχύτητας είναι:

92 100. Μαθαίνουµε τις αποδείξεις Βήµα 1 ο x () υ = υ συνθ 1 κ ( ) υ = υ ηµθ Επειδή η συνιστώσα υ x είναι παράλληλη µε τις δυναµικές γραµµές δεν αναπτύσσεται δύναµη Lorentz κατά µήκος του άξονα x και ως εκ τούτου το σωµατίδιο θα κινηθεί ευθύγραµµα και οµαλά. Λόγω της συνιστώσας υ κ που είναι κάθετη στις δυναµικές γραµµές θα αναπτυχθεί δύναµη Lorentz µέτρου: FL = qυβ κ = qυβηµθη οποία το αναγκάζει να εκτελέσει κυκλική κίνηση σε επίπεδο κάθετο στις δυναµικές γραµµές (αφού η F L αναπτύσσεται κάθετα στα διανύσµατα Β και υ ) µε γραµµική ταχύτητα µέτρου υ κ και ακτίνα R η οποία υπολογίζεται όπως προηγούµενα: m υ m υ ηµθ = = q B q B () κ R 3 Από τη σύνθεση των δύο προηγούµενων κινήσεων, µιας οµαλής κυκλικής σε επίπεδο κάθετο προς τις δυναµικές γραµµές και µιας ευθύγραµµης οµαλής κατά τη διεύθυνση των δυναµικών γραµµών, προκύπτει µια ελικοειδής κίνηση, ειδικότερα η τροχιά είναι κυλινδρική έλικα σταθερού βήµατος. Χαρακτηριστικά στοιχεία της ελικοειδούς τροχιάς είναι η ακτίνα R κάθε σπείρας και το βήµα β της έλικας. Το βήµα της έλικας είναι η απόσταση µεταξύ δύο διαδοχικών σπειρών και ισούται µε το µήκος που διανύει το σωµατίδιο, λόγω της υ x συνιστώσας, σε χρόνο που χρειάζεται το σωµατίδιο να διαγράψει µια σπείρα, δηλαδή σε χρόνο µιας περιόδου Τ της κυκλικής κίνησης. x () 1 ( ) β= υ T β= υ συνθ Τ 4 Λαµβάνοντας υπόψη τη σχέση για την περίοδο: πm T = και αντικαθιστώντας qb στη σχέση (4) προκύπτει: πmυ συνθ β = q Β

93 Βήµα ο Επαναλαµβάνουµε τις ασκήσεις κλειδιά 101. Α. Από το σχολικό βιβλίο ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ έκδοση 003. σ.σ : Ερωτήσεις 4.14, 4.15, 4.17, 4.18, 4., 4.3, 4.4, 4.5, 4.6, 4.7 σ. 176: Ασκήσεις 4.46, 4.47, 4.48 σ. 179: Προβλήµατα 4.59, 4.60, 4.64 Β. Από τα Βιλιοµαθήµατα ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ εκδόσεις ΟΡΟΣΗΜΟ σ.σ : Τα παραδείγµατα 4., 4.3, 4.6, 4.7, 4.9, σ. 18: Ασκήσεις 4., 4.5

94 10. Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις Βήµα 3 ο Ένα ηλεκτρόνιο µε φορτίο 1,6 10 C και µάζα 910 kg εισέρχεται 3 σε οµογενές µαγνητικό πεδίο έντασης B = 10 T µε ορµή 6 p= 8,8 10 kg m/s κάθετα στις δυναµικές γραµµές του πεδίου. Να υπολογιστούν: α. η ταχύτητά του και η ακτίνα της κυκλικής του τροχιάς β. ο χρόνος που απαιτείται για να διαγράψει το ηλεκτρόνιο ένα τεταρτοκύκλιο γ. η µεταβολή της κινητικής του ενέργειας στη διάρκεια µίας περιστροφής δ. το µέτρο της µεταβολής της ορµής του ηλεκτρονίου όταν θα έχει διαγράψει ένα τεταρτοκύκλιο. Λύση: α. Υπολογίζουµε την ταχύτητα µε την οποία εισέρχεται στο Ο.Μ.Π. από τη σχέση p = m υ υ= = m/s υ= 3, 10 m/s, µέσα στο οποίο θα 6 p 8, m 9 10 εκτελέσει το ένα τέταρτο της κυκλικής του τροχιάς. α. Η ακτίνα της κυκλικής του τροχιάς είναι: 31 5 mυ , 10 4 R = = m R = 9 10 m q Β 1, β. Η περίοδος της κυκλικής του κίνησης είναι: πm π 9 10 qb 1, T = = s = 5,65π 10 s 19 3 άρα ο χρόνος που απαιτείται για T 9 ένα τεταρτοκύκλιο είναι t = = 1,4 10 π s. 4 γ. Επειδή το µέτρο της ταχύτητας του ηλεκτρονίου δεν αλλάζει µέσα στο Ο.Μ.Π., η µεταβολή στην κινητική του ενέργεια είναι:

95 Βήµα 3 ο Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις Κ = mυ mυ = 0 δ. Η µεταβολή της ορµής θα είναι: p = p p = p + p ( ) τελ αρχ τελ αρχ Εποµένως το µέτρο της µεταβολής της ορµής θα υπολογιστεί: αρχ τελ ( ) ( ) ( ) p = p + p = mυ + mυ = mυ = = = 6 mυ 8,8 10 Kg m / s 19. Ένα ηλεκτρόνιο µε φορτίο 1,6 10 C και 31 µάζα 910 kgεισέρχεται σε οµογενές µαγνητικό πεδίο έντασης B= 10 T, το οποίο έχει 5 τοµή ισοπλεύρου τριγώνου πλευράς α= 0,18m. Το ηλεκτρόνιο εισέρχεται στο πεδίο κάθετα από το µέσο της µιας πλευράς του τριγώνου και εξέρχεται κάθετα από το µέσο της άλλης πλευράς. Να υπολογίσετε: α. την ταχύτητα µε την οποία εισέρχεται το ηλεκτρόνιο στο µαγνητικό πεδίο β. τον χρόνο παραµονής του ηλεκτρονίου µέσα στο οµογενές µαγνητικό πεδίο γ. το έργο της δύναµης που του ασκείται από το οµογενές µαγνητικό πεδίο. Λύση: Όταν το ηλεκτρόνιο εισέρχεται κάθετα από το µέσο της ΒΓ και εξέρχεται κάθετα από το µέσο της ΑΓ, το κέντρο της κυκλικής τροχιάς του θα είναι η κορυφή Γ του ισοπλεύρου τριγώνου και η ακτίνα της κυκλικής τροχιάς θα είναι ίση µε α.

96 104. Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις Βήµα 3 ο α. Εποµένως, α mυ α q Β 0,18 1, q Β m R = = υ= = m/s υ= 1,6 10 m/s 31 β. Η περίοδος της κυκλικής κίνησης θα είναι: πm T = q Β π , Τ= s Τ= 1,15π 10 s 19 5 = π t; rad 60 3 T = = 6 6 Σε χρόνο Τ 1,15π 10 s διαγράφει γωνία π rad 7 άρα t 1,875 π 10 s o ( = ) γ. Επειδή η δύναµη Lorentz που ασκεί το Ο.Μ.Π. στο ηλεκτρόνιο είναι συνεχώς κάθετη στην ταχύτητα εποµένως και στη µετατόπιση, δεν παράγει έργο, δηλαδή WF L = Η κάθετη τοµή ενός οµογενούς µαγνητικού πεδίου είναι τετράγωνο ΑΕΓ πλευράς α= 10cm. Ένα φορτισµένο σωµατίδιο µε φορτίο 1 q 10 C και µάζα = 18 m 10 kg = κινεί- 5 ται µε ταχύτητα υ0 = 10 m/s και εισέρχεται στο µαγνητικό πεδίο κάθετα στο µέσο της πλευράς Α. Να υπολογίσετε: α. την ένταση του οµογενούς µαγνητικού πεδίου, τη δύναµη Lorentz και τον χρόνο παραµονής του σωµατιδίου µέσα στο πεδίο, προκειµένου το σωµατίδιο να εξέρχεται από την κορυφή του τετραγώνου β. την ένταση του οµογενούς µαγνητικού πεδίου και τη δύναµη Lorentz που ασκείται στο φορτισµένο σωµατίδιο από το µαγνητικό πεδίο, προκειµένου αυτό να εξέλθει από την κορυφή Γ του τετραγώνου.

97 Βήµα 3 ο Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις 105. Λύση: α. Όταν εξέρχεται από την κορυφή του τετραγώνου, έχει διαγράψει ηµικύκλιο µέσα στο Ο.Μ.Π. οπότε: R = R = =,5 10 m. ( M = R). α α mυ mυ T Άρα: R = Β= = B= 4T 1 qβ qr 10,5 10 Η δύναµη Lorentz θα είναι: Η περίοδος θα είναι: F = Bυq = N F = 4 10 Ν L qb L 18 πm π 10 π 6 Τ= = s Τ= 10 s 1 άρα ο χρόνος πα- T π 6 ραµονής του σωµατιδίου στο Ο.Μ.Π. είναι t = = 10 s. 4 β. Όταν εξέρχεται από την κορυφή Γ του τετραγώνου, το κέντρο της κυκλικής του τροχιάς βρίσκεται στο σηµείο Ο, που είναι το σηµείο τοµής των καθέτων που φέρνουµε στη διεύθυνση της ταχύτητας εισόδου και ταχύτητας εξόδου από το Ο.Μ.Π. Στο τρίγωνο Ο Γ έχουµε: ( ) α 5α 5 1 R = α + R R = = 10 m. 4 4 Εποµένως: mυ mυ R = Β= B= 0,8T qβ qr OΓ = Γ + Ο = Γ + ΟΜ Μ Η δύναµη Lorentz θα είναι: 8 FL = Bυq FL = 8 10 Ν 4. Φορτισµένο σωµατίδιο µε µάζα φορτίο q= 15 m 10 kg = και 6 10 C εισέρχεται µε ταχύτητα 5 υ0 = 4 10 m/s κάθετη στις δυναµικές γραµµές οµογενούς µαγνητικού πεδίου έντασης B1 = 5 10 T και αφού διαγράψει ηµικύκλιο εισέρχεται σε δεύτερο οµογενές µαγνητικό πεδίο έντασης B = 10 T και αντίθετης φοράς µε το πρώτο πεδίο. Να 1 υπολογιστούν:

98 106. Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις Βήµα 3 ο Λύση: α. οι ακτίνες των ηµικυκλίων που διαγράφει το σωµατίδιο σε κάθε ένα από τα πεδία β. η δύναµη Lorentz που ασκείται στο σωµατίδιο από το δεύτερο πεδίο γ. ο χρόνος από την αρχική εκτόξευση µέχρι να εξέλθει το σωµατίδιο και από το δεύτερο µαγνητικό πεδίο δ. το διάστηµα που διατρέχει το σωµατίδιο στον αντίστοιχο χρόνο του γ ερωτήµατος. α. Στο Ο.Μ.Π. έντασης B 1 διαγράφει ηµικύκλιο ακτίνας και στο Ο.Μ.Π. έντασης B ακτίνας R mυ β. Η δύναµη Lorentz από το Ο.Μ.Π. έντασης B είναι: mυ = = 0 3 R m qβ1 0 3 = = 4 10 m. qβ FL = B υ0 q= 4 10 N γ. Ο χρόνος που διαγράφει το ηµικύκλιο στο Ο.Μ.Π. έντασης B 1 είναι: T πm = = =, ενώ ο χρόνος που διαγράφει το ηµικύκλιο στο 1 8 t1 t1 π10 s qb1 Ο.Μ.Π. έντασης B είναι: θα είναι: t = t + t = 3π10 s. 1 T πm = = =. Άρα ο συνολικός χρόνος 8 t π10 s qb 8 δ. Το διάστηµα που διατρέχει το σωµατίδιο στο Ο.Μ.Π. έντασης B 1 είναι: πr = = = ενώ στο Ο.Μ.Π. έντασης B είναι: 1 3 x1 πr1 8π 10 m πr 3 x = = πr = 4π 10 m. Άρα το συνολικό διάστηµα θα είναι: 3 x= x1+ x = 1π10 m 5. Ηλεκτρόνιο µάζας 31 m 9 10 kg = και φορτίου 19 q 1,6 10 C κινείται = 0 4 µε ταχύτητα υ = 6 10 m/s και µπαίνει στο εσωτερικό πηνίου σχηµα- ο τίζοντας γωνία φ= 60 µε τον άξονά του. Το πηνίο έχει µήκος l = 36cm, αποτελείται από N= 70 σπείρες και διαρρέεται από ρεύµα έντασης

99 Βήµα 3 ο Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις 107. I= 1,5A. Αν θεωρήσουµε ότι σε όλο το µήκος του πηνίου το µαγνητικό πεδίο είναι οµογενές µε ένταση µαγνητικού πεδίου όση είναι στο κέντρο του, να βρεθούν: α. η ένταση του µαγνητικού πεδίου που δηµιουργεί το πηνίο στο εσωτερικό του β. το είδος της κίνησης του ηλεκτρονίου γ. η περίοδος της κυκλικής κίνησης και το βήµα της έλικας δ. ο χρόνος που χρειάζεται για να βγει το ηλεκτρόνιο από το πηνίο ε. ο αριθµός των περιστροφών που θα διαγράψει το ηλεκτρόνιο µέχρι να βγει από το πηνίο. 7 Ν ίνεται: kµ = 10. Α Λύση: α. Η ένταση του µαγνητικού πεδίου στο εσωτερικό του πηνίου είναι: Ν 4 Β= kµ 4π Ι = 3,75 π 10 Τ. l β. Αναλύουµε τη υ 0 σε δύο συνιστώσεις, υ ox και υ oy. Με την υ ox θα κινηθεί ευθύγραµµα και οµαλά, ενώ µε την υ θα εκτελέσει οµαλή κυκλική κίνηση. oy Από τη σύνθεση των δύο κινήσεων προκύπτει µια ελικοειδής κίνηση. πm 8 γ. Η περίοδος της κυκλικής κίνησης είναι: Τ= = 3 10 s και το βήµα της qb 4 έλικας είναι: β= υox T β= υ0συνφ Τ β= 9 10 m. δ. Ο χρόνος για να βγεί το ηλεκτρόνιο από το πηνίο υπολογίζεται ως εξής: l l l = = = =. 6 υox t t t 1 10 s υox υ0συνφ ε. Ο αριθµός των περιστροφών που θα διαγράψει το ηλεκτρόνιο µέχρι να βγεί t από το πηνίο θα είναι: N = = 400 στροφές. T

100 108. Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις Βήµα 3 ο 6. Οι οριζόντιοι οπλισµοί ενός πυκνωτή µε απόσταση µεταξύ των οπλισµών l = 4cm και µήκος οπλισµών d= 10cm, φέρουν φορτίο Q = 18nC. Από το µέσο της απόστασης µεταξύ των οπλισµών του πυκνωτή εκτοξεύουµε ένα πρωτόνιο µε αρχική ταχύτητα 3 = 10 m/s, κάθετα στις δυναµικές γραµµές του οµογενούς ηλεκ- υ0 τρικού πεδίου που δηµιουργείται µεταξύ των οπλισµών του πυκνωτή. Το πρωτόνιο εξέρχεται από τον πυκνωτή εφαπτοµενικά στον αρνητικό οπλισµό και εισέρχεται σε οµογενές µαγνητικό πεδίο έντασης B= 0,T, του οποίου οι δυναµικές του γραµµές είναι παράλληλες µε την κατεύθυνση της αρχικής ταχύτητας υ 0. Να βρείτε: α. την ένταση του οµογενούς ηλεκτρικού πεδίου που δηµιουργείται µεταξύ των οπλισµών του πυκνωτή β. τη διαφορά δυναµικού µεταξύ των οπλισµών του πυκνωτή γ. τη χωρητικότητα του πυκνωτή δ. την ακτίνα της έλικας που θα εκτελέσει το πρωτόνιο ε. το βήµα της έλικας στ. αν το οµογενές µαγνητικό πεδίο έχει µήκος x= 0cm, σε πόσο χρόνο το πρωτόνιο θα βγει από το µαγνητικό πεδίο; 7 19 ίνεται: mp = 1,6 10 kg, qp = 1,6 10 C. Λύση: Αναλύουµε την κίνηση του πρωτονίου σε δύο ανεξάρτητες κινήσεις. Μια ευθύγραµµη οµαλή στον άξονα x x µε εξισώσεις κίνησης: υx = υ0 () 1 και x = υ t και µια ευθύγραµµη οµαλά επιταχυνόµενη χωρίς αρχική ταχύτη- 0 ( )

101 Βήµα 3 ο Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις 109. τα στον άξονα y y: υ α t () 3 F q E α= = ( 5). m m y = και y αt ( 4) α. Ο χρόνος που θα κινηθεί το πρωτόνιο στο Ο.Η.Π. είναι αφού η απόκλιση του θα είναι l, τότε από την (4) έχω: 1 = µε επιτάχυνση: d = = και υ 5 t 5 10 s l 1 q E t E 1, = = N/C. m β. Η διαφορά δυναµικού µεταξύ των οπλισµών του πυκνωτή θα είναι: V = = l = l 3 E V E 6,4 10 V. Q 5 γ. Η χωρητικότητα του πυκνωτή θα είναι: C= C= 10 F. V δ. Το πρωτόνιο εισέρχεται στο Ο.Μ.Π. µε την υx = υ0 να είναι παράλληλη στις δυναµικές γραµµές και την υ y να είναι κάθετη σε αυτές. Άρα θα εκτελέσει 0 ελικοειδή κίνηση. Η ακτίνα της έλικας θα είναι: q E αφού υy = α t υy = t. m mυ y 5 R = R = 4 10 m, qβ 4 ε. Το βήµα της έλικας θα είναι: β= υx T= υ0 T β= π 10 m. στ. Ο χρόνος που χρειάζεται το πρωτόνιο για να βγεί από το µαγνητικό πεδίο είναι: x = = =. 4 x υ0 t t t 10 s υ0 7. Σε ένα πυρηνικό πείραµα, ένας πυρήνας 4 Ηe κινείται µέσα σε οµογενές µαγνητικό πεδίο έντασης B= 10 T, κάθετα στις δυναµικές γραµµές του πεδίου και διαγράφει κυκλική τροχιά ακτίνας R1 = 4cm. Κάποια στιγµή ο πυρήνας διαπερνά ένα λεπτό φύλλο µολύβδου, οπότε χάνει ενέργεια. Αµέσως µετά ο πυρήνας συνεχίζει να κινείται µέσα στο ίδιο

102 110. Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις Βήµα 3 ο οµογενές µαγνητικό πεδίο αλλά σε κυκλική τροχιά ακτίνας R = 1cm. Να υπολογιστούν: α. η ταχύτητα του πυρήνα πριν διαπεράσει το φύλλο µολύβδου β. η κινητική ενέργεια του πυρήνα αφού διαπεράσει το φύλλο µολύβδου γ. η περίοδος της κίνησης του πυρήνα πριν περάσει το φύλλο του µολύβδου και αφού το διαπεράσει. Τι παρατηρείτε; δ. η απώλεια ενέργειας του πυρήνα κατά το πέρασµά του µέσα από το φύλλο του µολύβδου. ίνονται: 19 πρωτονίου = 1,6 10 C. Λύση: 7 µάζα πρωτονίου µάζα νετρονίου 1,6 10 kg = = και φορτίο α. Είναι: R mυ 4m υ R q B = = = = 1 p 1 1 p 1 υ1 qb qp B 4mp = = 41, , m/s 10 m/s R1 υ1 β. Επειδή R = θα είναι και υ = Εποµένως: Κ = mυ = 8 10 J πm π4mp 5 πm γ. T1 = = = 4π 10 sενώ T = = T1 εποµένως παρατηρούµε ότι qb qp B qb η περίοδος της κίνησης δεν µεταβάλλεται δ. Κ = Κ Κ1 = mυ mυ1 = 1, 10 J. 18 Εποµένως απώλειες = Κ = 1, 10 J

103 Βήµα 4 ο Λύνουµε µόνοι µας ύο θετικά ιόντα Α και Β µε µάζες = ma 6m και φορτία q = B A 3q B, εκτοξεύονται µε την ίδια ταχύτητα υ 0 κάθετα προς τις δυναµικές γραµ- µές ενός οµογενούς µαγνητικού πεδίου έντασης Β. Να υπολογιστούν: α. ο λόγος των κινητικών τους ενεργειών β. ο λόγος των ακτίνων των κυκλικών τροχιών που διαγράφουν τα ιόντα µέσα στο οµογενές µαγνητικό πεδίο γ. ο λόγος των περιόδων των δύο ιόντων ύο σωµατίδια µε µάζες m1 = 10 kg και m = 10 kg και φορτία 6 6 q1 = C και q =+ 10 C εκτοξεύονται ταυτόχρονα από το ίδιο σηµείο µε ταχύτητες υ1 = 0m/s και υ = 40m/s κάθετα προς τις δυναµικές γραµµές οµογενούς µαγνητικού πεδίου έντασης B= 10 T. 3 α. Να υπολογίσετε τις ακτίνες των τροχιών των δύο σωµατιδίων. β. Να βρεθεί ο λόγος των περιόδων της κίνησης των δύο σωµατιδίων. γ. Αν το πρώτο σωµατίδιο έχει διαγράψει 100 περιστροφές, πόσες θα έχει διαγράψει το δεύτερο σωµατίδιο στον ίδιο χρόνο;..

104 11. Λύνουµε µόνοι µας Βήµα 4 ο Ένα φορτισµένο σωµατίδιο µάζας m και φορτίου q=+ 3, 10 C εισέρχεται µε ταχύτητα υ0 = 4 10 m/s κάθετα στις δυναµικές γραµµές 6 οµογενούς µαγνητικού πεδίου έντασης B= 1,T. Το φορτισµένο σω- µατίδιο µέσα στο µαγνητικό πεδίο διαγράφει ηµικύκλιο ακτίνας R= 0cm. Να υπολογιστούν: α. η µάζα του σωµατιδίου β. ο χρόνος που απαιτείται για το σωµατίδιο για να διαγράψει το ηµικύκλιο γ. το µέτρο της δύναµης Lorentz δ. το µέτρο της µεταβολής της ορµής του Ένα ηλεκτρόνιο µάζας m= 9 10 kg έχει ορµή 1,8 10 kg m / s όταν µπαίνει σε οµογενές µαγνητικό πεδίο έντασης B= 0,5T, ενώ το διάνυσµα της ταχύτητάς του σχηµατίζει γωνία θ µε τις δυναµικές γραµ- µές του πεδίου. Αν το φορτίο του ηλεκτρονίου είναι κατά απόλυτη 19 τιµή ίσο µε 1,6 10 C και δίνεται ότι ηµθ = 0,8, τότε:

105 Βήµα 4 ο Λύνουµε µόνοι µας 113. α. Να περιγράψετε το είδος της κίνησης του ηλεκτρονίου. β. Να υπολογίσετε την ακτίνα. γ. Να υπολογίσετε το βήµα της ελικοειδούς τροχιάς που διαγράφει αυτό Έχουµε δύο όµοια φορτισµένα σωµατίδια Α και Β µε µάζα m= 10 kg και φορτίο q=+ µc, τα οποία εκτοξεύονται µε ταχύτητα ίδιου µέτρου υ= 10 m/s από το ίδιο σηµείο µέσα σε ένα οµογενές µαγνητι- 4 κό πεδίο έντασης B= 0,T. Το σωµατίδιο Α εκτοξεύεται κάθετα στις δυναµικές γραµµές του µαγνητικού πεδίου και το σωµατίδιο Β παράλληλα µε αυτές. α. Να υπολογιστεί η δύναµη Lorentz που θα ασκηθεί σε κάθε ένα από τα δύο σωµατίδια. β. Να προσδιοριστεί το είδος της κίνησης που θα εκτελέσει το κάθε ένα σωµατίδιο. γ. Για το σωµατίδιο που θα εκτελέσει κυκλική κίνηση, να υπολογιστεί η ακτίνα και η περίοδος της κυκλικής τροχιάς. δ. Σε χρόνο t = 4π 10 s, να υπολογιστεί το πλήθος των περιστροφών που θα εκτελέσει το ένα σωµατίδιο και την απόσταση που θα έχει διανύσει το άλλο σωµατίδιο. ε. Να δείξετε ότι και τα δύο σωµατίδια θα έχουν διανύσει το ίδιο µήκος τροχιάς.

106 114. Λύνουµε µόνοι µας Βήµα 4 ο Πρωτόνιο µάζας 1,6 10 kg και φορτίου 1,6 10 C αφήνεται χωρίς αρχική ταχύτητα µέσα σε οµογενές ηλεκτρικό πεδίο. Το πρωτόνιο επιταχύνεται και µετά από χρόνο t = 1s βγαίνει από το ηλεκτρικό πεδίο και µπαίνει σε οµογενές µαγνητικό πεδίο έντασης B= 10 T. Το πρωτόνιο εισέρχεται κάθετα στις δυναµικές γραµµές του οµογενούς µαγνητικού πεδίου, οπότε διαγράφει ηµικυκλική τροχιά ακτίνας R = 1mm και εξέρχεται από αυτό. α. Να υπολογιστεί η ταχύτητα του πρωτονίου µε την οποία εισέρχεται στο οµογενές µαγνητικό πεδίο. β. Να υπολογιστεί η ένταση του οµογενούς ηλεκτρικού πεδίου που επιταχύνει το πρωτόνιο. γ. Να υπολογιστεί το διάστηµα που διέτρεξε το πρωτόνιο µέσα στο οµογενές ηλεκτρικό πεδίο. δ. Να υπολογιστεί η µεταβολή στην κινητική ενέργεια του πρωτονίου από την στιγµή της εξόδου του από το οµογενές ηλεκτρικό πεδίο µέχρι την έξοδό του από το οµογενές µαγνητικό πεδίο Ένα φορτισµένο σωµατίδιο µε µάζα m= 10 kg και φορτίο q=+ µc κινείται ευθύγραµµα και οµαλά σε χώρο όπου συνυπάρχει ένα οµογενές ηλεκτρικό πεδίο έντασης E= 10 N/C και ένα οµογενές µαγνητικό 4 πεδίο έντασης B1 = 0,1T. Στη συνέχεια οδηγείται σε χώρο που υπάρχει ένα δεύτερο οµογενές µαγνητικό πεδίο έντασης B = 0,5T, µέσα στο οποίο αφού διαγράψει ηµικυκλική τροχιά εξέρχεται από αυτό. α. Να γίνει ένα σχήµα στο οποίο να φαίνεται η πορεία του σωµατιδίου µέσα από τα πεδία. β. Να περιγραφούν τα είδη των κινήσεων που θα εκτελέσει το σωµατίδιο. γ. Να υπολογιστεί η ακτίνα της ηµικυκλικής τροχιάς. δ. Να υπολογιστεί η χρονική διάρκεια της κίνησης του σωµατιδίου µέσα στο οµογενές µαγνητικό πεδίο έντασης B.

107 Βήµα 4 ο Λύνουµε µόνοι µας 115. ε. Να υπολογιστεί η απόσταση µεταξύ των δύο σηµείων εισόδου και εξόδου από το µαγνητικό πεδίο έντασης B Θετικό ιόν µε λόγο q/m= 10 C/kg ξεκινά από την ηρεµία και επιταχύνεται από τάση V = 000V. Στη συνέχεια µπαίνει κάθετα στις δυνα- µικές γραµµές οµογενούς µαγνητικού πεδίου έντασης B= 0,1T, όπου η δύναµη που ασκείται πάνω του από το πεδίο το εκτρέπει κατά τρόπο τέτοιο ώστε αφού διανύσει το ένα τέταρτο της περιφέρειας ενός κύκλου να βγει από το οµογενές µαγνητικό πεδίο και να µπει κάθετα στις δυναµικές γραµµές ενός οµογενούς ηλεκτρικού πεδίου έντασης 4 E= 10 N/C. Το θετικό ιόν βγαίνοντας από το οµογενές ηλεκτρικό πεδίο, που έχει µήκος L= 0cm, πέφτει πάνω σε οθόνη που βρίσκεται σε απόσταση S= 10cm από την έξοδο του πεδίου. Να βρεθούν: α. η ακτίνα του τεταρτοκυκλίου που διέγραψε το ιόν β. ο χρόνος παραµονής του ιόντος στο οµογενές µαγνητικό πεδίο γ. ο χρόνος κίνησης του ιόντος στο οµογενές ηλεκτρικό πεδίο δ. η ταχύτητα εξόδου του ιόντος από το οµογενές ηλεκτρικό πεδίο ε. η διαφορά δυναµικού µεταξύ των σηµείων εισόδου και εξόδου στο οµογενές ηλεκτρικό πεδίο στ. η συνολική απόκλιση του ιόντος πάνω στην οθόνη.

108 116. Ελέγχουµε τη γνώση µας Βήµα 5 ο Θέµα 1 ο Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής 1. Ένα φορτισµένο σωµατίδιο αφήνεται µέσα σε µαγνητικό πεδίο χωρίς ταχύτητα οπότε: α. θα κινηθεί κυκλικά β. θα κινηθεί ευθύγραµµα και οµαλά γ. θα παραµείνει ακίνητο δ. θα εκτελέσει ελικοειδή κίνηση. Η µεταβολή του µέτρου της ταχύτητας και της ορµής για ένα φορτίο που κινείται σε κυκλική τροχιά µέσα σε οµογενές µαγνητικό πεδίο είναι: α. σταθερή β. µηδέν γ. διπλάσια δ. µηδέν για την ταχύτητα και διπλάσια για την ορµή. 3. ύο σωµατίδια m1 = m και q 1 = q ρίχνονται κάθετα στις δυναµικές γραµ- µές οµογενούς µαγνητικού πεδίου µε υ1 > υ. Τότε: α. και τα δύο σωµατίδια θα εκτελέσουν κυκλικές τροχιές ίδιων ακτίνων β. τα δύο σωµατίδια θα διαγράψουν κύκλους διαφορετικών ακτίνων µε R1 < R γ. τα σωµατίδια θα διαγράψουν κυκλικές τροχιές µε την ίδια περίοδο δ. οι περίοδοι των σωµατιδίων θα είναι διαφορετικές 4. Η δύναµη που ασκεί το µαγνητικό πεδίο σε κινούµενο φορτίο εξαρτάται από: α. τη µάζα του β. το λόγο m q γ. το φορτίο του σωµατιδίου δ. κανένα από τα παραπάνω

109 Βήµα 5 ο Ελέγχουµε τη γνώση µας Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές και ποιες λάθος. α. όταν ένα φορτίο κάνει ευθύγραµµη οµαλή κίνηση µέσα σε µαγνητικό πεδίο τότε η διεύθυνση της ταχύτητας του σχηµατίζει γωνία 90 µε τις δυ- o ναµικές γραµµές του πεδίου β. δύο φορτία που διαγράφουν µέσα σε µαγνητικό πεδίο κυκλική τροχιά ίσων ακτίνων έχουν οπωσδήποτε ίσες ταχύτητες γ. όταν φορτίο µπει κάθετα στις δυναµικές γραµµές οµογενούς µαγνητικού πεδίου τότε θα κάνει οµαλή κυκλική κίνηση µε τον ρόλο της κεντροµόλου να τον έχει η δύναµη Lorentz δ. όταν ένα φορτίο είναι ακίνητο τότε στο χώρο δεν υπάρχει ούτε µαγνητικό ούτε ηλεκτρικό πεδίο. (Μονάδες 5) Θέµα 0 1. Να αποδείξετε τη σχέση που δίνει την ακτίνα της κυκλικής τροχιάς ενός φορτισµένου σωµατιδίου ( m,q ) που εισέρχεται µε ταχύτητα υ µέσα σε οµογενές µαγνητικό πεδίο έντασης Β κάθετα στις δυναµικές του γραµµές όπως επίσης και τη σχέση που δίνει την περίοδο του.. Για το παρακάτω φορτισµένο σωµατίδιο που µπαίνει µέσα στο οµογενές µαγνητικό πεδίο κάθετα στις δυναµικές γραµµές βρείτε το πρόσηµο του φορτίου και την ταχύτητα του φορτίου; ( ίνεται m 1 q = ). 3. Πρωτόνιο ( m,q 1 ) και σωµατίδιο α ( m 4m 1,q q) = = διαγράφουν κυκλικές τροχιές µε ακτίνες R 1 και R µέσα σε οµογενές µαγνητικό πεδίο έντασης B.

110 118. Ελέγχουµε τη γνώση µας Βήµα 5 ο α. δείξτε ότι ο λόγος των ακτίνων είναι ταχύτητα ίδιου µέτρου R1 1 = αν τα δύο σωµατίδια έχουν R β. ο λόγος των κινητικών ενεργειών είναι Θέµα 3 0 K K 1 1 R =. R (Μονάδες 5) q 5 Σωµατίδιο µε ειδικό φορτίο = 410C/kg µπαίνει µε m ταχύτητα υ 0 σε οµογενές µαγνητικό πεδίο έντασης Β= 1Τ κάθετα στις δυναµικές γραµµές του όπως στο σχήµα. Το µαγνητικό πεδίο εκτείνεται σε απόσταση d= 3 10 m. Ο χρόνος παραµονής του σωµατιδίου 1 5 µέσα στο πεδίο είναι t = 10 s και βγαίνει κάθετα 1π στο διαχωριστικό όριο. Να βρείτε: α. την περίοδο περιστροφής του σωµατιδίου β. την ακτίνα της κυκλικής τροχιάς γ. τη ταχύτητα υ 0 του σωµατιδίου δ. την απόκλιση (y) του σωµατιδίου. (Μονάδες 5) Θέµα 4 0 Φορτισµένο σωµατίδιο µπαίνει κάθετα σε χώρο όπου υ- πάρχουν δύο οµογενή µαγνητικά πεδία µεγάλης έκτασης όπως στο σχήµα. α. Να σχεδιαστεί η τροχιά του σωµατιδίου. β. Να αποδείξετε ότι η κίνηση είναι περιοδική. γ. Να βρείτε την περίοδο και το µήκος της τροχιάς του σωµατιδίου σε χρόνο περιόδων. ίνονται: B = 1,5πΤ, m 8 kg = 10, q C υ0 6 = 10 m/s. (Μονάδες 5)

111 Ο µαθητής που έχει µελετήσει το κεφάλαιο της επαγωγής - εναλλασσόµενο πρέπει να γνωρίζει: Πώς ορίζεται η µαγνητική ροή και τι εκφράζει. Ποιος είναι ο νόµος της επαγωγής. Το φαινόµενο της ηλεκτροµαγνητικής επαγωγής οφείλεται στη µεταβολή της µαγνητικής ροής. Η σχέση Eεπ = Βυl ισχύει όταν η κίνηση είναι µεταφορική και η ταχύτητα του αγωγού η ένταση του πεδίου και ο αγωγός σχηµατίζουν τρισορθογώνιο σύστηµα. Με τον κανόνα του δεξιού χεριού µπορούµε να βρούµε πολικότητα, δύναµη Lorentz και δύναµη Laplace. Γενικά η ΗΕ υπολογίζεται: Φ α. µέση τιµή Eεπ = Ν t β. στιγµιαία τιµή Eεπ = Βυl (µεταφορική) 1 γ. Eεπ = Βωl (περιστροφική) Για να υπάρχει δύναµη Laplace θα πρέπει ο αγωγός να βρίσκεται µέσα σε µαγνητικό πεδίο και να διαρρέεται από ρεύµα. Όταν ψάχνουµε οριακή ή µέγιστη ταχύτητα αγωγού να εφαρµόζουµε την συνθήκη ΣF = 0. Το πρόσηµο της E επ έχει σχέση µε τη φορά του ρεύµατος και µόνο.

112 10. Επαγωγή - Εναλλασσόµενο Τύποι - Βασικές έννοιες Αν υπάρχει αρχικά πηγή στο κύκλωµα έχουµε και δύναµη Laplace στον αγωγό µας, εξ αρχής. Ότι µπορεί να έχουµε τάση από επαγωγή αλλά να µην έχουµε ρεύµα, αν το κύκλωµα είναι ανοιχτό. Πώς εφαρµόζουµε τον κανόνα του Lenz. Tι ονοµάζουµε εναλλασσόµενη τάση. Πώς ορίζονται οι ενεργές τιµές τάσης και έντασης. Πώς υπολογίζεται η µέση ισχύς. Τα όργανα αµπερόµετρο και βαλτόµετρο µετρούν ενεργές τιµές στο εναλλασσόµενο ρεύµα. Νόµοι του Joule στο εναλλασσόµενο ρεύµα. Ο νόµος του Ohm στο εναλλασσόµενο ισχύει για πλάτη τάσης - έντα- V σης Ι = R για ενεργές τιµές VΕΝ Ιεν = R και για στιγµιαίες αν έχουµε υ µόνο αντίσταση i =. R Πώς ορίζεται η αµοιβαία επαγωγή και η αυτεπαγωγή και πότε εµφανίζεται η κάθε µία. Τι εκφράζει η αυτεπαγωγή Πώς υπολογίζεται η ενέργεια µαγνητικού πεδίου του πηνίου. Επαγωγή - Εναλλασσόµενο: Τύποι - Βασικές έννοιες ΗΕ σε κύκλωµα µε Ν σπείρες: Ε επ Φ Φ = Ν ή Eεπ = N t t Ηλεκτρικό φορτίο που διέρχεται στο κύκλωµα κατά τη διάρκεια του φαινοµένου, Φ Νόµος Neumann: Q = N R

113 Τύποι - Βασικές έννοιες Επαγωγή - Εναλλασσόµενο 11. HE από επαγωγή σε ευθύγραµµο αγωγό, υ Β l : Eεπ = Βυl ΗΕ από επαγωγή λόγω στροφικής κίνησης αγωγού: ΗΕ από επαγωγή σε στρεφόµενο πλαίσιο: Εεπ Εναλλασσόµενη τάση: υ= Vηµωt Εναλλασσόµενη ένταση ρεύµατος: i= Iηµωt Νόµος του Ohm: Ενεργός τάση: Ενεργός ένταση του ρεύµατος: V I = R Νόµος του Joule: Q= I Rt Μέση ισχύς (P ή P ): W P = = VενΙεν = ΙενR T HE από αµοιβαία επαγωγή: V I E εν εν επ = = εν V Ι i = Μ t Ε επ 1 = Βωl = ΝωΒΑηµωt Συντελεστής αµοιβαίας επαγωγής: (το δευτερεύον πηνίο βρίσκεται µέσα στο πρωτεύον. Άξονας κοινός) ΗΕ από αυτεπαγωγή: Συντελεστής αυτεπαγωγής: Αποθηκευµένη ενέργεια πηνίου: µµ 0N1NΑ M = l E αυτ i = L t Ν L = µµ 0 Α l 1 Uβ = LI

114 1. Μαθαίνουµε τις αποδείξεις Βήµα 1 ο ΘΕΩΡΙΑ 1 Επαγωγική τάση στα άκρα ευθύγραµµου αγωγού που κινείται µεταφορικά σε οµογενές µαγνητικό πεδίο. Απόδειξη Ευθύγραµµος αγωγός µήκους L κινείται µε σταθερή ταχύτητα υ κάθετα στις δυναµικές γραµµές οµογενούς µαγνητικού πεδίου, µαγνητικής έντασης Β. Τα ελεύθερα ηλεκτρόνιά του, συµµετέχοντας στην κίνηση του αγωγού, δέχονται δύναµη Lorentz FLOR = q υβ, που σύµφωνα µε τον κανόνα των τριών δακτύλων, έχει φορά όπως στο σχήµα. Η δύναµη αυτή προκαλεί την µετακίνηση των ελεύθερων ηλεκτρονίων προς το άκρο Ν, ενώ δηµιουργεί έλλειµµα αρνητικού φορτίου (θετικό φορτίο) στο άκρο Μ. Τα φορτία αυτά σχηµατίζουν στο χώρο του αγωγού οµογενές ηλεκτρικό πεδίο έντασης Ε, µε φορά από το Μ στο Ν. Τα ελεύθερα ηλεκτρόνια δέχονται µια ακόµη δύναµη από το ηλεκτρικό πεδίο µέτρου FE = qe= q και αντίθετης φοράς της δύναµης Lorentz. VMN L Kαθώς τα φορτία συσσωρεύονται στις άκρες του αγωγού ΜΝ, αυξάνεται η έ- νταση του ηλεκτρικού πεδίου, άρα και οι δυνάµεις που προκαλεί. Κάποια στιγ- µή οι δύο δυνάµεις γίνονται αντίθετες, σταµατά η επιπλέον συσσώρευση φορτίων στα άκρα του αγωγού και σταθεροποιείται η διαφορά δυναµικού στα άκρα του. Aυτή η διαφορά δυναµικού ονοµάζεται ΗΕ από επαγωγή και υπολογίζεται ως εξής: EΕΠ FLOR = FE q υb = q EEΠ = ΒυL ( Σ) L Στη περίπτωση που η ένταση του ΜΠ δεν είναι κάθετη στο επίπεδο κίνη-

115 Βήµα 1 ο Μαθαίνουµε τις αποδείξεις 13. σης του αγωγού, την αναλύουµε και ασχολούµαστε µόνο µε την κάθετη συνιστώσα (έστω Β y ). Στη περίπτωση που η ταχύτητα δεν είναι κάθετη στον αγωγό την αναλύου- µε και ασχολούµαστε µόνο µε την κάθετη συνιστώσα (έστω υ y ). Έτσι η σχέση (Σ) γίνεται ΕΕΠ = Βy υy L ΘΕΩΡΙΑ Επαγωγική τάση στα άκρα ευθύγραµµου αγωγού που περιστρέφεται σε οµογενές µαγνητικό πεδίο. Απόδειξη Αγωγός ΚΛ µήκους L στρέφεται µε σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω γύρω από άξονα που περνά από το άκρο του Κ, µε το επίπεδο περιστροφής του κάθετο σε οµογενές µαγνητικό πεδίο Β. Αν ο αγωγός σε χρόνο t σαρώνει επιφάνεια δίσκου εµβαδού Α, δηµιουργεί στα άκρα του ΗΕ από επαγωγή: E ΕΠ ( ) Φ ΒΑ Α = = = B ή t t t πl πl = = ή T ω EEΠ Β B π Ε EΠ 1 = ΒωL Στη περίπτωση που η ένταση του ΜΠ δεν είναι κάθετη στο επίπεδο κίνησης του αγωγού την αναλύουµε και ασχολούµαστε µόνο µε την κάθετη συνιστώσα (έστω Β y ). Αν ο αγωγός περιστρέφεται µε κέντρο όχι το άκρο του Κ αλλά κάποιο ενδιάµεσο σηµείο Γ που τον χωρίζει σε τµήµατα µήκους L1 (έστω L1 L = KΓ και L = ΛΓ ΚΛ ΚΓ ΓΛ > ) τότε: ΕΕπ = ΕΕπ ΕΕπ = ΒωL1 ΒωL = Βω( L1 L )

116 14. Μαθαίνουµε τις αποδείξεις Βήµα 1 ο ΘΕΩΡΙΑ 3 Ο Κανόνας του Lenz ως εφαρµογή της αρχής διατήρησης και της ενέργειας στο φαινόµενο της επαγωγής. Τα επαγωγικά ρεύµατα έχουν τέτοια φορά ώστε να αντιτίθενται στην αιτία που τα προκαλεί. Απόδειξη Αγωγός ΚΛ κινείται ισοταχώς µέσα σε οµογενές µαγνητικό πεδίο µένοντας σε επαφή µε τους ακίνητους αγωγούς Αx και Γy. Έστω ότι οι τριβές είναι αµελητέες. Στα άκρα του αγωγού εµφανίζεται EEΠ = Βυl και Βυl το κύκλωµα διαρρέεται από I EΠ =. R Σε χρόνο t θα παράγεται λόγω φαινοµένου Joule θερµότητα Βυl Q = IEΠ R t = t () 1. Για να παραµένει σταθερή η ταχύτητα του α- R γωγού πρέπει να ασκούµε εξωτερική δύναµη F αντίθετη της δύναµης Laplace: Βυl F = BIEΠl =. R Βυl Στο χρόνο t παράγουµε έργο: W = F x = F υ t = t ( ). R Από (1), () παρατηρούµε ότι το προσφερόµενο έργο είναι ίσο µε τη παραγόµενη θερµότητα. ΘΕΩΡΙΑ 4 Υπολογισµός του συντελεστή αυτεπαγωγής L, πηνίου µεγάλου µήκους l, µε Ν σπείρες και σιδηροπυρήνα µαγνητικής διαπερατότητας µ. Απόδειξη Η ένταση του µαγνητικού πεδίου στο εσωτερικό του πηνίου είναι: B = µ µ 0 n i, όπου n = N/ l. Άρα η µαγνητική ροή που περνάει µέσα από κάθε µια σπείρα, εµβαδού Α, είναι: Φ= Β Α ή Φ = µ µ 0 n A i Αντικαθιστούµε στον νόµο της επαγωγής:

117 Βήµα 1 ο Μαθαίνουµε τις αποδείξεις 15. Φ Ν i Eεπ = N Eεπ = Ν µ µ 0 Α t l t Ν L = µ µ 0 Α i l Εεπ = L t ΘΕΩΡΙΑ 5 Υπολογισµός του συντελεστή αµοιβαίας επαγωγής Μ. Απόδειξη Το µαγνητικό πεδίο στην κεντρική περιοχή του πρωτεύοντος πηνίου δίνεται από την σχέση: B () = µ µ 0n1 i 1 Αν το δευτερεύον πηνίο είναι έτσι ώστε να έχει κοινό άξονα µε το πρωτεύον, να το περικλείει ώστε να περνούν όλες οι δυναµικές γραµµές από µέσα του και ταυτόχρονα να βρίσκεται στην κεντρική περιοχή του πρωτεύοντος ώστε να ισχύει η προηγούµενη σχέση, η µαγνητική ροή που θα περνάει από κάθε σπείρα του είναι: Φ( ) = Β1 Α = µ 0n1 i A Η ΗΕ από επαγωγή που αναπτύσσεται στο δευτερεύον πηνίο είναι: Φ( ) i() 1 Eεπ = Ν Eεπ = Ν µ µ 0 n1 A t t M = µ µ Ν Α n i Eεπ = Μ t 0 1

118 16. Επαναλαµβάνουµε τις ασκήσεις κλειδιά Βήµα ο Α. Από το σχολικό βιβλίο ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ έκδοση 003. σ.1: Ερωτήσεις 5.6, 5.1, 5.16, 5.1, 5.4 σ.σ. 19-0: Ασκήσεις 5.41, 5.4, 5.43 σ.σ. 3-7: Προβλήµατα 5.60, 5.61, 5.6, 5.63, 5.64, 5.65, 5.66, 5.68, 5.69 Β. Από τα Βιλιοµαθήµατα ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ εκδόσεις ΟΡΟΣΗΜΟ σ.σ : Τα παραδείγµατα 5.1, 5., 5.5, 5.8, 5.18, 5.1 σ.σ : Τα παραδείγµατα 5., 5.3, 5.4, 5.5, 5.7 σ.σ : Τα παραδείγµατα 5.9, 5.30, 5.31, 5.33, 5.34 σ. 189: Ξεχωριστό θέµα 1 σ. 5: Ξεχωριστό θέµα 1 σ.σ : Ασκήσεις 5.1, 5., 5.3, 5.5, 5.6, 5.13 σ.σ. 0-05: Ασκήσεις 5.14, 5.1 σ.σ. 1-5: Ασκήσεις 5.4, 5.6

119 Βήµα 3 ο Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις Ευθύγραµµος αγωγός µήκους L= 1m µάζας m = 100g, αντίστασης R1 = 4Ω, γλυστρά χωρίς τριβή σε δύο κατακόρυφους µεταλλικούς στύλους, αµελητέας ωµικής αντίστασης που ενώνονται στα πάνω άκρα τους µε αντίσταση R = 6Ω. Η όλη διάταξη βρίσκεται µέσα σε οµογενές οριζόντιο µαγνητικό πεδίο έντασης µέτρου Β= 1Τ που είναι κάθετο στον αγωγό και στην ταχύτητά του. Αφήνουµε τον αγωγό ελεύθερο. α. Να περιγράψετε την κίνησή του. β. Να υπολογίσετε την οριακή ταχύτητά του. γ. Να υπολογίσετε τον ρυθµό µεταβολής της ηλεκτρικής ενέργειας σε θερµότητα στις δύο αντιστάσεις όταν υ= υ. δ. Αν διένυσε ύψος h= 9m µέχρι να αποκτήσει την οριακή του ταχύτητα, να υπολογίσετε την θερµότητα που αναπτύχθηκε σε κάθε α- ντίσταση µέχρι τότε. ε. Να υπολογίσετε το φορτίο που κινήθηκε στο κύκλωµα µέχρι υ= υορ. ίνεται: g= 10m/s Λύση: α. Αρχικά επιταχύνεται υπό την επίδραση του βάρους του. Ακολούθως δηµιουργείται EΕΠ EΕΠ BυL = ΒυL που προκαλεί ηλεκτρικό ρεύµα I = = R + R R + R ορ 1 1 δύναµη Laplace που δηµιουργείται, λόγω του κανόνα του Lenz αντιτίθεται στο βάρος. Η κίνηση είναι επιταχυνόµενη (όχι οµαλά) µε µειούµενο ρυθµό αύξησης της ταχύτητας γιατί η δύναµη Laplace αυξάνει συνεχώς. β. υ= υορ ΣF= 0 τότε FL = mg ή BIL = mg ή BυορL B L= mg ή R + R 1. Η

120 18. Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις Βήµα 3 ο υ ( + R ) mg R = = 10m/s BL 1 ορ γ. Όταν υ= υορ η ένταση του ρεύµατος έχει τιµή: Tότε: Q1 P1 = = I R1 = 4W και t Q P = = I R = 6W t BυορL I = 1A R + R = 1 δ. Η δυναµική βαρυτική ενέργεια mgh µετατράπηκε σε κινητική και σε θερµότητα στις δύο αντιστάσεις. 1 Α..Ε: mgh = mυορ + Q1 + Q Q 1 + Q = 4J (1) Eπειδή οι αντιστάσεις R 1 και R διαρρέονται από το ίδιο ρεύµα ΣΙ R t Q ΣΙ R t R = = = (). Από (1), () έχω Q =,4J και Q1 = 1,6J Q R 3 ε. Το φορτίο που κινήθηκε στο κύκλωµα είναι: EΕΠ Φ B Α BhL q= I t = t = = = = 0,9C R + R R + R R + R R + R όπου Α = hl το εµβαδό που σάρωσε ο αγωγός κατά την κίνησή του.

121 Βήµα 3 ο Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις 19.. ύο παράλληλες µεταλλικές ράβδοι αµελητέας αντίστασης σχηµατίζουν ο µε τον ορίζοντα γωνία θ= 30, συνδέονται στο κάτω άκρο τους µε α- ντίσταση R1 = 1Ω και απέχουν 1m. Από το πάνω άκρο των ράβδων αφήνουµε να ολισθήσει χωρίς τριβή κατά µήκος τους ένας πρισµατικός αγωγός ΚΛ µάζας m= 0,3kg, µήκους L= 1m και αντίστασης R = 1Ω. Ο αγωγός µετά από λίγο αποκτά σταθερή ταχύτητα υ oρ. Αν η διάταξη βρίσκεται µέσα σε κατακόρυφο οµογενές µαγνητικό πεδίο έ- ντασης µέτρου Β= 1Τ να υπολογίσετε: α. την οριακή ταχύτητα (µέγιστη) β. την τάση στα άκρα του αγωγού όταν υ= υορ γ. τον ρυθµό µεταβολής της ταχύτητας και τον ρυθµό µεταβολής της Λύση: κινητικής ενέργειας όταν α. Όταν υ= υορ ΣF= 0 ή υ ορ υ =. ίνεται: g= 10m/s. FL συνθ = mgηµθ ή BILσυνθ 1 = mgηµθ ή ΕΕΠ B Lσυνθ = mgηµθ R + R ή Βσυνθ υορl Β Lσυνθ= mgηµθ ή R + R υ 1 ( + R ) mgηµθ R = ή υορ BLσυν θ 1 ορ β. Όταν υορ = 4m/s τότε: E Bσυνθ υ ΕΠ ορl I= = = R + R R + R 1 1 = 4m/s. 3A Η τάση στα άκρα του αγωγού ΚΛ είναι η πολική τάση της πηγής VΛΚ = VΠΟΛ = ΕΕΠ ΙR VΛΚ = Bσυνθ υορl IR V ΛΚ = 3Volt

122 130. Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις Βήµα 3 ο γ. Όταν υ ορ υ= = m/s τότε: ΕEΠ Bσυνθ υ L 3 I= = = R + R R + R 1 1 A. 3 Εποµένως η δύναµη Laplace είναι: F L = BIL= N. Από τον θεµ. Ν. Μηχ.: ΣFx = mα mgηµθ FLσυνθ = m α mgηµθ FLσυνθ dυ α= =,5m/s = (ρυθµός µεταβολής ταχύτητας). m dt Ο ρυθµός µεταβολής της κινητικής ενέργειας είναι: Κ Wολ Fολ x Κ = = = Fολυ= ( mgηµθ FL συνθ) υ = 1,5W t t t t 3. Οι αγωγοί Αx και Γy του σχήµατος είναι κατακόρυφοι και βρίσκονται µέσα σε οριζόντιο οµογενές µαγνητικό πεδίο έντασης Β µε φορά όπως φαίνεται στο σχήµα. Η πηγή έχει ΗΕ E= 10V και εσωτερική αντίσταση r = 1Ω. Ο αγωγός ΚΛ έχει µάζα m= 1kg, µήκος L= 1m και αντίσταση R = 1Ω και µπορεί να κινείται παραµένοντας οριζόντιος και σε επαφή µε τους αγωγούς Αx και Γy. ίνεται: g= 10m/s. Αρχικά κρατάµε ακίνητο τον αγωγό και όταν τον αφήνουµε ελεύθερο να κινηθεί παρατηρούµε ότι ισορροπεί. α. Να υπολογίσετε το µέτρο της έντασης του µαγνητικού πεδίου. β. Αν διπλασιάσουµε το µέτρο της έντασης του πεδίου διατηρώντας την κατεύθυνσή του να εξηγήσετε, γιατί η ράβδος ΚΛ θα αποκτήσει σταθερή (οριακή) ταχύτητα και να την υπολογίσετε. γ. Αν η πηγή µε ΗΕ Ε έχει αντίθετη πολικότητα να υπολογίσετε το µέτρο της ταχύτητας της ράβδου ΚΛ τη στιγµή που το ρεύµα αλλάζει φορά στο κύκλωµα. δ. Να υπολογίσετε την οριακή ταχύτητα που θα αποκτήσει η ράβδος ΚΛ όταν η πολικότητα της πηγής είναι αντίθετη.

123 Βήµα 3 ο Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις 131. ε. Να σχεδιάσετε την γραφική παράσταση της έντασης του ρεύµατος σε συνάρτηση µε την ταχύτητα της ράβδου ΚΛ, στην περίπτωση που η ΗΕ Ε της πηγής έχει αλλαγµένη πολικότητα. Λύση: α. Τη χρονική στιγµή t 0 = 0 η ράβδος έχει µηδενική ταχύτητα και ένα ρεύµα έντασης I 0 = E R+ r διαρρέει το κύκλωµα άρα και την ράβδο ΚΛ. Το ρεύ- µα αυτό γίνεται αιτία να δεχθεί η ΚΛ δύναµη Laplace η κατεύθυνση της οποίας φαίνεται στο σχή- µα. Είναι F = BI L επειδή η ράβδος ΚΛ ισορροπεί ΣF = 0 ή β. Όταν B1 L 0 0 FL 0 = B. βάρος είναι mg = mg ή E B L= mg R+ r ή B= T () 1 ' E FL = B 0 1 L= 0N. Αλλά το R+ r = 10 N άρα ' L F 0 > mg και η ράβδος θα κινηθεί προς τα πάνω. Αυτό θα έχει σαν αποτέλεσµα να αναπτυχθεί στην ΚΛ επαγωγική ΗΕ της οποίας η πολικότητα φαίνεται στο σχήµα. Μετά την εµφάνιση της Ε ΕΠ το ρεύµα στο κύκλωµα έχει ένταση E EEΠ E BυL I1 = = R+ r R+ r 10 4 υ1 10 4υ I = ή Ι 1 = ή 1+ 1 ή 1 Ι1 = 5 υ (S.I) (). Όταν το κύκλωµα διαρρέεται από το ρεύµα έντασης Ι 1 η δύναµη Laplace έχει µέτρο: FL = BIL = 4( 5 υ) ( S.I) ή FL 1 = 0 8υ ( S.I) Έτσι για την συνισταµένη των δυνάµεων ισχύει ΣF = F + mg ή ΣF FL 1 mg = ή ΣF = ( 0 8υ) 10 ( S.I ) ή ΣF 10 8υ ( S.I ) L 1 = (3). Καθώς η υ αυξάνεται, η ΣF µειώνεται και όταν η ΣF µηδενιστεί, η ταχύτητα θα αποκτήσει οριακή τιµή υ ορ και θα ισχύει: 0 = 10 8υ ορ ή υορ = 1,5m/s (4)

124 13. Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις Βήµα 3 ο γ. Αν αλλάξει η πολικότητα της E. Tην to = 0 η ράβδος ΚΛ διαρρέεται από ρεύµα µε φορά αυτή του σχήµατος. Η ράβδος ΚΛ δέχεται δύναµη Laplace της οποίας η κατεύθυνση φαίνεται στο σχήµα. Έτσι η ράβδος επιταχύνεται συνεχώς και λόγω της κίνησής της αναπτύσσεται σ αυτήν επαγωγική ΗΕ της οποίας η πολικότητα φαίνεται στο σχήµα. Το ρεύµα που διαρρέει το κύκλωµα έχει ένταση: ή I 5 υ ( S.I) E E I1 = R+ r ΕΠ E BυL ή I 1 = R+ r 1 = (5) όταν I 1 = 0 τότε υ=,5m/s ενώ EEΠ = Βυ 1 l = 10V καθώς E= EEΠ εκείνη τη στιγµή µηδενίζεται η F L αλλά λόγω του βάρους η ράβδος συνεχίζει να επιταχύνεται προς τα κάτω οπότε η ταχύτητα γίνεται µεγαλύτερη από υ=,5m/s και η EEΠ > Ε. Έτσι το ρεύµα αλλάζει φορά µε αποτέλεσµα να αλλάξει φορά και η F L. δ. Η συνισταµένη δύναµη γράφεται: ΣF = mg + FL ΣF = mg B1I L µε EΕΠ Ε BυL E BυL E I = =. Άρα ΣF = mg B1L. Καθώς η υ αυξάνεται R+ r R+ r R + r η ΣF µειώνεται και όταν ΣF = 0 η ράβδος αποκτά σταθερή οριακή ταχύτητα B1υορL E mg( R + r) E και ισχύει BL 1 = mg ή υορ = + ή υ R + r ορ = 3,75m/s. BI L BL 1

125 Βήµα 3 ο Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις 133. ε. Για να κάνουµε τη γραφική παράσταση της έντασης του ρεύµατος θα στηριχθούµε στην έκφραση της έντασης όταν η EΕΠ > Ε. Όταν η EΕΠ > Ε το ρεύµα θα προκύπτει αρνητικό. Από τη σχέση (5): Ι= 5 υ 0 υ υορ. 4. ύο οριζόντιοι παράλληλοι αγωγοί Αx και Γy αµελητέας ωµικής αντίστασης, απέχουν µεταξύ τους σταθερή απόσταση L= 1m. Μεταξύ των άκρων Α και Γ συνδέεται, µέσω ενός διακόπτη δ, πηγή µε ΗΕ E= 8V και εσωτερική αντίσταση r = 1Ω. Αγωγός µήκους L= 1m, µάζας m= 0,4kg και ωµικής αντίστασης R = 3Ω έχει τα άκρα του Κ, Λ πάνω σε αυτούς. Η όλη διάταξη βρίσκεται σε κατακόρυφο οµογενές µαγνητικό πεδίο έντασης µέτρου Β= 1Τ. Αρχικά ο αγωγός ΚΛ είναι ακίνητος και βρίσκεται σε µικρή απόσταση από την πηγή. Τη χρονική στιγ- µή t = 0 κλείνει ο διακόπτης και ο αγωγός ΚΛ αρχίζει να κινείται χωρίς τριβές αποµακρυνόµενος από την πηγή. Μετά από λίγο αποκτά σταθερή οριακή ταχύτητα. Ο αγωγός έχει επιτάχυνση µέτρου α= 3m/s κάποια χρονική στιγµή t πριν αποκτήσει σταθερή ταχύτητα. Ζητούνται: α. Να υπολογιστεί η σταθερή ταχύτητα που αποκτά ο αγωγός. β. Να υπολογιστεί το έργο της δύναµης Laplace από την χρονική στιγ- µή t µέχρι τη χρονική στιγµή κατά την οποία ο αγωγός αποκτά οριακή ταχύτητα. Λύση: E α. Την χρονική στιγµή t = 0: I = o A R+ r =. Ο αγωγός αρχίζει να επιταχύνεται προς τα δεξιά υπό την επίδραση της F = BI L= N. ηµιουργείται τότε L 0 στα άκρα του αγωγού ΚΛ ΗΕ από επαγωγή 0 EΕΠ = ΒυL. Οι δύο πηγές είναι E EEΠ E BυL σε αντίθεση και το ρεύµα: I = = : µειώνεται γιατί η ταχύτητα υ αυξάνεται. Όταν E = ΒυL τότε Ι= 0 και ο αγωγός αποκτά οριακή τα- R+ r R+ r Ε χύτητα υορ = = 8m/s. ΒL

126 134. Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις Βήµα 3 ο β. Την χρονική στιγµή t, όπου ο αγωγός έχει στιγµιαία επιτάχυνση µέτρου α= 3m/s, από τον θεµελιώδη Νόµο της Μηχανικής έχουµε: ΣF = mα ή FL = mα ή BIL = mα ή ( + r) BL ( E BυL) 1 R+ r = mα Ε mα R υ1 = ή υ 1 = 3,m/s. ΒL BL Εφαρµόζοντας ΘΜΚΕ από την χρονική στιγµή t µέχρι να αποκτήσει ο αγωγός σταθερή ταχύτητα: mυορ mυ1 = WF ή W 1 1 L F L = 10,75 J. 5. Τα άκρα Α, Γ δύο παραλλήλων οριζοντίων αγωγών ΑΝ και ΓΜ, χωρίς ώµική αντίσταση συνδέονται µε αντίσταση R1 = 5Ω. Πάνω στο επίπεδο των ΑΝ και ΓΜ ολισθαίνει χωρίς τριβές, αγωγός ΚΛ µήκους l = 1m µάζας 5kgr και αντίστασης R = 5Ω. Το σύστηµα των αγωγών βρίσκεται σε Ο.Μ.Π µε B= T κάθετη στο επίπεδο τους και φορά προς τη σελίδα τη χρονική στιγµή t = 0 ο αγωγός ΚΛ έχει ταχύτητα υ0 = 10m/s παράλληλη στους αγωγούς ΓΜ, ΑΝ και ασκείται σ αυτόν εξωτερική δύναµη F υ 0. Έτσι ο (ΚΛ) αποκτά σταθερή επιτάχυνση α= m/s, α υ 0. α. Να βρεθεί η ένταση του ρεύµατος σε συνάρτηση µε το χρόνο και να γίνει η γραφική παράσταση αυτής. β. Να βρεθεί το φορτίο που περνά απ την ΚΛ σε χρόνο 5s. γ. Να βρεθεί η F L και η F εξ την t = 5s. ή

127 Βήµα 3 ο Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις 135. Λύση: α. Εφαρµόζουµε τον Ν. Ohm για κλειστό κύκλωµα: Eεπ Bυl B ( υ0 + αt) I = = = R + R R + R R + R ( + t) = I= + 0,4t ( S.I) I 10 β. Το φορτίο βρίσκεται απ το εµβαδόν του γραµ- µοσκιασµένου χωρίου στο I t + 4 q= 5C= 15C γ. Την t = 5s, I= 4A άρα FL = BIl = 4 1N = 8N ΣF= m α Fεξ FL = m α Fεξ = FL + m α εξ ( ) F = 8+ 5 N= 18Ν 6. Μεταλλικός αγωγός σε σχήµα ορθής γωνίας µε πλευρές OA = l 1 = m και OΓ= l = 1m, περιστρέφεται γύρω από κατακόρυφο άξονα που διέρχεται απ την ορθή κορυφή Ο µε σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω= 5rad/s. Το επίπεδο του αγωγού είναι οριζόντιο ενώ η περιστροφή γίνεται µέσα σε Ο.Μ.Π. έντασης B= 1T µε κατεύθυνση κατακόρυφη όπως φαίνεται στο σχήµα της άσκησης. Να βρεθούν: α. οι πολικότητες των σηµείων Α και Γ β. οι Η.Ε.. από επαγωγή που αναπτύσσονται στα άκρα κάθε πλευράς

128 136. Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις Βήµα 3 ο Λύση: γ. οι διαφορές δυναµικού στα άκρα κάθε πλευράς δ. η τάση που αναπτύσσεται ανάµεσα στα Α, Γ. α. Τα ελεύθερα ηλεκτρόνια της ΟΑ δέχονται δύναµη Lorentz απ το πεδίο και κινούνται προς το Ο. Οµοίως και τα φορτία της ΟΓ. Άρα τα Α και Γ φορτίζονται θετικά. β. 1 1 ΕAΟ = Βωl1 = 1 5 V ΕAΟ = 10V 1 1 ΕΓΟ = Βωl = V ΕΓΟ =,5V γ. Οι τάσεις V, V AO ΓO είναι επίσης VΑO = 10V, VΓO =,5V γιατί οι πλευρές ΟΑ και ΟΓ δεν αποτελούν τµήµα κλειστού κυκλώµατος, άρα δεν διαρρέονται από ρεύµα και οι Η.Ε.. είναι ίσες µε τις τάσεις. δ. VΑΓ = ΕΑΟ ΕΓΟ = 7,5V 7. Α. Ένα ορθογώνιο πλαίσιο αποτελείται από 500 σπείρες εµβαδού 6dm η καθεµία και περιστρέφεται µε σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω= 400rad/s γύρω από οριζόντιο άξονα µέσα σε κατακόρυφο Ο.Μ.Π. έντασης B=,5 10 T. Αν τη χρονική στιγµή t = 0 το επίπεδο του πλαισίου ήταν κάθετο στο µαγνητικό πεδίο να βρείτε: α. την εξίσωση της εναλλασσόµενης τάσης που δηµιουργείται στα άκρα του πλαισίου. π β. την τιµή της τάσης τη χρονική στιγµή s 800. γ. την χρονική στιγµή που η τάση γίνεται για πρώτη φορά ίση µε την ενεργό τιµή της δ. την στιγµιαία ένταση που διαρρέει αντιστάτη R = 3KΩ στα άκρα του οποίου εφαρµόζεται η πιο πάνω εναλλασσόµενη τάση. Β. Να γίνουν οι γραφικές παραστάσεις στιγµιαίας τάσης και έντασης ως προς το χρόνο. Λύση: Α.α. Το πλάτος της εν/νης τάσης που δηµιουργείται στα άκρα του πλαισίου είναι:

129 Βήµα 3 ο Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις 137. V = N ωβ Α = , V V = 300V. Άρα η στιγµιαία τάση είναι: υ= V ηµωt υ= 300 ηµ400t ( S.I. ) β. π π υ = 300 ηµ400 V υ = 300 ηµ V υ = 300 1V υ = 300 V 800 γ. υ Vεν V ηµωt1 Vεν = = V V V ηµωt1 = επειδή Vεν = 1 π π π ηµωt1 = ωt1 = t1 = = s 4 4 ω 1600 δ. επειδή για την περίπτωση αντίστασης ισχύει ο νόµος του Ohm όπως και υ στο συνεχές, i = i= 0,1 ηµ400t (Α). R Β. Για τη χάραξη των γραφικών παραστάσεων θα χρειαστεί η τιµή της περιόδου: π π π T = = s Τ= s ή ω π T= s δηλαδή T = 5πms Το πηνίο του κυκλώµατος έχει N = 500 σπείρες ενώ το µήκος του είναι 10 l = 10cm και το εµβαδόν κάθε µιας απ αυτές είναι cm. Η Η.Ε.. της π πηγής είναι E= 0V η εσωτερική αντίστασή της r= Ω ενώ η αντίσταση R του αντιστάτη ίση µε 3Ω. α. Ποια η τιµή του συντελεστή αυτεπαγωγής; β. Ποια η µέγιστη ένταση ρεύµατος που διαρρέει το κύκλωµα; γ. Ποιός ο ρυθµός µεταβολής της έντασης του ρεύµατος όταν η τιµή της είναι το 80% της µέγιστης;

130 138. Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις Βήµα 3 ο Λύση: δ. Πόση ενέργεια αποταµιεύεται τελικά στο ιδανικό πηνίο; ίνεται: µ = 4π 10 ο 7 Τ m A Ν α. Ο συντελεστής αυτεπαγωγής δίνεται από τον τύπο: L = µ ο A όπου Ν l το πλήθος των σπειρών, l το µήκος του πηνίου και Α το εµβαδόν κάθε σπείρας ( ) L= 4π10 10 H L= 10 H ή L= 1mH 1 10 π β. Η µέγιστη ένταση ρεύµατος είναι ίση µε: E E 0 Imax = = = A= 4A R R+ r 3+ ΟΛ Ιmax = 4A γ. Όταν Ι= 0,8Ιmax I= 3,A έχουµε για το κλειστό κύκλωµα από διατήρηση ενέργειας ηλ L R r αυτ ( ) Ρ = Ρ + P + P E I= Ε Ι+ Ι R+ r Ι Ι E = L Ι ( R r) L E I( R r) t + + t = + ( ) Ι E I R+ r Ι 0 3, 5 Ι 3 A/s 3 = = 410A/s t L t 10 t = δ. Η ενέργεια που αποταµιεύεται στο Μ.Π. του πηνίου είναι: Umax = L Imax Umax = 10 4 J U max = 8mJ 9. Πηνίο µε συντελεστή αυτεπαγωγής 1 L= 10 H συνδέεται σε σειρά µε ωµική αντίσταση R = 0Ω και πηγή µε ΗΕ E = 60V και r = 0. Τη χρονική στιγµή t0 = 0 κλείνουµε τον διακόπτη. α. Βρείτε την ένταση του ρεύµατος µετά από µεγάλο χρονικό διάστηµα από το κλείσιµο του διακόπτη. β. Την τάση στα άκρα της αντίστασης R όταν το ρεύµα έχει τιµή i= 1A.

131 Βήµα 3 ο Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις 139. Λύση: γ. Την τάση (Ε αυτ ) στα άκρα του πηνίου και τον ρυθµό µεταβολής της έντασης του ρεύµατος όταν i= 1A. α. Λόγω της ύπαρξης του πηνίου το ρεύµα θα καθυστερήσει µέχρι να πάρει την µέγιστη τιµή του. Μετά την σταθεροποίηση της έντασης του ρεύµατος E δεν θα έχουµε εξάρτηση της τιµής από την ύπαρξη του πηνίου: i= = 3A. β. Από τον νόµο Οhm έχουµε: VR = i R = 1 0V = 0V. γ. Εκείνη την χρονική στιγµή ισχύει: Eαυτ = Ε VR = 60V 0V = 40V και i i 40 Eαυτ = L = A / s = 400A / s. 1 t t 10 R 10. Στο διπλανό κύκλωµα το πηνίο (1) διαρρέεται από ρεύµα I 1 = 10A το οποίο όταν ανοίξουµε τον διακόπτη ( ) µηδενίζεται σε χρόνο t = 0,1s. Εάν N 1 = 100 σπείρες, N = 50σπείρες και Φ = 0,8Φ1, να βρείτε: α. την µέση τιµή της τάσης από αµοιβαία επαγωγή στο πηνίο () β. τον συντελεστή αµοιβαίας επαγωγής γ. το ηλεκτρικό φορτίο που θα περάσει συνολικά από µια διατοµή του πηνίου Π. Λύση: ίνεται: R = 10Ω, l 1 = 5cm, A Ν1 α. Είναι: B = µ Ι l = cm. π Από τον νόµο επαγωγής του Faraday έχουµε: Φ N 0,8Φ 1 0,8B 1 A 1 N 4 E = N = = E = 6,4 10 V t t t Ι β. Από E = M M = 6,4µH t E γ. Το φορτίο υπολογίζεται q = I t = t q = 6, 4µC. R

132 140. Λύνουµε µόνοι µας Βήµα 4 ο 1. Ευθύγραµµος αγωγός ΚΛ µήκους l = 1m, µπορεί να ολισθαίνει χωρίς τριβές κατά µήκος ο- ριζόντιων και παράλληλων µεταξύ τους αγωγών A x, Γ y που απέχουν 1m, ώστε να είναι πάντα κάθετος σ αυτούς. Τα άκρα Α και Γ των A x, Γ y συνδέονται µέσω αντίστασης R= 4Ω και έτσι δηµιουργείται ένα πλαίσιο ΑΚΛΓ ορθογωνίου σχήµατος. Το επίπεδο των αγωγών είναι οριζόντιο, βρίσκεται δε µέσα σε Ο.Μ.Π. έντασης B= T κατακόρυφης µε φορά προς τη σελίδα. Εκτοξεύω τον ΚΛ µε οριζόντια ταχύτητα υ 0 παράλληλη προς τους Γ y και µέτρου 10m/s. Αν οι A x, A x, Γ y δεν παρουσιάζουν αντίσταση ενώ ο ΚΛ έχει R' = 10Ω και µάζα m = 500g. Α. είξτε ότι εκτελεί επιβραδυνόµενη κίνηση. Β. Βρείτε: α. την Η.Ε.. που δηµιουργείται αρχικά σ αυτόν β. τη διαφορά δυναµικού V εκείνη τη στιγµή KΛ γ. την Η.Ε.. όταν η ένταση του ρεύµατος είναι η µισή της αρχικής δ. το ρυθµό µετατροπής της κινητικής ενέργειας σε θερµότητα εκείνη τη στιγµή. Γ. Τη θερµότητα που αναπτύσσεται σε κάθε αντίσταση µέχρι να στα- µατήσει ο ΚΛ......

133 Βήµα 4 ο Λύνουµε µόνοι µας Η ράβδος ΚΛ µήκους l = 1m και µάζας m= kg µπορεί να κινείται χωρίς τριβές, έχοντας συνεχώς τα άκρα της Κ και Λ σε επαφή µε τους α- γωγούς Αx, Γy που δεν έχουν αντίσταση. Τα άκρα Α και Γ συνδέονται µε αντιστάτη αντίστασης R1 = 3Ω και όλο το κύκλωµα έχει το επίπεδό του κάθετο σε Ο.Μ.Π. έντασης B= T. Ασκούµε στην ΚΛ δύναµη F παράλληλη προς τους Αx, Γy και τέτοιας τιµής ώστε αυτή να κινείται µε σταθερή επιτάχυνση α = 4m/s. α. Ποιά η εξίσωση της έντασης του ρεύµατος συναρτήσει του χρόνου αν η ΚΛ έχει αντίσταση R = 1Ω ; β. Πόσο είναι το φορτίο που θα έχει κυκλοφορήσει στο κύκλωµα µέχρι τη στιγµή t = 3s ; γ. Ποιά η εξίσωση της δύναµης σε συνάρτηση µε τον χρόνο; δ. Ποιά η τάση στα άκρα της ΚΛ τη χρονική στιγµή t = 4s; Αγώγιµη ράβδος µήκους l = 0,5m αντίστασης R1 = 15Ω και µάζας m= 0,kg µπορεί να ολισθαίνει χωρίς τριβές πάνω σε παράλληλους οριζόντιους αγωγούς αµελητέας α- ντίστασης, τα άκρα των οποίων συνδέονται µε αντίσταση R = 5Ω. Η διάταξη βρίσκεται µέσα σε κατακόρυφο οµογενές µα-