Ενότητα 5: Ακρότατα συναρτησιακών μιας συνάρτησης. Νίκος Καραμπετάκης Τμήμα Μαθηματικών

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Ενότητα 5: Ακρότατα συναρτησιακών μιας συνάρτησης. Νίκος Καραμπετάκης Τμήμα Μαθηματικών"

Transcript

1 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 5: Ακρότατα συναρτησιακών μιας συνάρτησης Νίκος Καραμπετάκης

2 Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. 2

3 Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο» έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 3

4 Διατύπωση ικανών (Legendre - Jacobi) και αναγκαίων (Euler - Lagrange) συνθηκών για την εύρεση τοπικού ακρότατου ενός συναρτησιακού το οποίο εξαρτάται από μια συνάρτηση μιας μεταβλητής x(t) και την παράγωγο της π.χ. J(t,x(t),x (t)). Συνθήκες εγκαρσιότητας που πρέπει να πληρούνται από τις αρχικές και τις τελικές συνθήκες της συνάρτησης x(t) ώστε να έχει ακρότατο το συναρτησιακό J(t,x(t),x (t)). Επίλυση του βραχυστόχρονου προβλήματος (brachistochrone problem) και του προβλήματος της αλυσίδας (hanging chain or catenary problem). 4

5 Διατύπωση αναγκαίων συνθηκών Euler-Lagrance για την ύπαρξη τοπικού ακρότατου ενός συναρτησιακού. Διατύπωση ικανών συνθηκών Legendre-Jacobi για την ύπαρξη τοπικού ακρότατου ενός συναρτησιακού. Τερματική συνθήκη/ες ή συνθήκη/ες εγκαρσιότητας και μελέτη ειδικών περιπτώσεων. Επίλυση βραχυστόχρονου προβλήματος (brachistochrone problem). Επίλυση του προβλήματος αλυσίδας (hanging chain or catenary problem). 5

6 Έστω x t συνάρτηση με συνεχείς πρώτες παραγώγους. Επιθυμούμε να υπολογίσουμε την συνάρτηση x t για την οποία το συναρτησιακό έχει σχετικό ακρότατο. t J x = f t0 F t, x t, x t dt Υπόθεση: 1. Η F έχει πρώτη και δεύτερη μερική παράγωγο ως προς x, x, t. 2. Έστω x t 0 = x 0, x t f = x f, t 0, t f συγκεκριμένα. 6

7 Να βρεθεί η συνάρτηση x t που ελαχιστοποιεί το συναρτησιακό J x = x t 2 1/2 dt, x 1 = 1, x 3 = 3 7

8 Θεώρημα Έστω το συναρτησιακό J: C 2 t 0, t f, R με t J x = f t0 F t, x t, x t dt όπου x t 0 = x 0, x t f = x f και έστω ότι η συνάρτηση F είναι κλάσης C 2 ως προς t, x, x (έχει δηλαδή συνεχείς πρώτες και δεύτερες μερικές παραγώγους ως προς t, x, x). Εάν το συναρτησιακό J δέχεται ακρότατο στη συνάρτηση x C 2 t 0, t f 8

9 τότε θα ικανοποιείται η διαφορική εξίσωση Euler-Lagrange x t, x t, x t Απόδειξη d dt x t, x t, x t ΔJ x, δx = J x + δx J x = = 0, t t 0, t f = t0 t f F t, x t + δx t, x t + δ x t F t, x t, x t dt Γνωρίζουμε ότι το ανάπτυγμα Taylor της F t, x t + δx t, x t + δ x t 9

10 στο t, x t, x t F t, x t + δx t, = F t, x t, x t + 1 t, x t, x t 1! x + 1 2! 2 F x2 t, x t, είναι x t + δ x t = δx t + x t, x t, x t δ x t δx t 2 + 2δx t δ x t x t 2 F x x t, x t, x t 10

11 Αντικατάσταση στην J x, δx και διατήρηση του γραμμικού μέρους x t = d dt x t δ x t = d dt δx t δj x, δx = = t f t 0 x t, x t, x t δx t + x t, x t, x t δ x t dt = t f t f t f f y=f y t0 t 0 t y f 0 11

12 = x + t, x t, x t δx t t 0 t 0 t f x t, x t, x t t f + d dt x t, x t, x t δx t dt Επειδή από την υπόθεση x t 0 = x 0, x t f = x f προκύπτει δx t 0 = δx t f = 0 x = x t f = t, x t, x t δx t t 0 t, x t, x t δx t f x t=t f t, x t, x t δx t 0 = 0 t=t 0 12

13 Συνεπώς η πρώτη μεταβολή θα έχει την μορφή δj x, δx = t 0 t f x t, x t, x t d dt x t, x t, x t δx t dt Συνεπώς αναγκαία συνθήκη ακρότατου του συναρτησιακού είναι η παρακάτω t 0 t f x t, x t, x t d dt x t, x t, x t δx t dt = 0 Η παραπάνω σχέση, σύμφωνα με το λήμμα που δείξαμε ισχύει για κάθε δx C 2 t 0, t f που ικανοποιεί τις συνθήκες δx t 0 = δx t f = 0 ανν 13

14 x t, x t, x t d dt x t, x t, x t = 0 Διαφορική εξίσωση Euler-Lagrange 14

15 Να βρεθεί συνάρτηση που ελαχιστοποιεί το συναρτησιακό J x = x t 2 1/2 dt, και ικανοποιεί τις συνοριακές συνθήκες x 1 = 1, x 3 = 3. x(t) t 15

16 Από x t, x t, x t x 1 + x t 0 d dt d dt d dt x t, x t, x t = d dt x 1 + x t = 0 x 1 + x 1 + x t = 0 x t = 0 16

17 d dt x t x t 2 = 0 d dt 1 + x t x t 1 + x t = c x t x t x t 2 = c x t 2 = 0 x t 2 2 = c2 x t 2 = c2 1 c 2 x t = ± c 2 1 c 2 c 1 x t = c 1 t + c 2 17

18 Για να ικανοποιούνται οι αρχικές συνθήκες θα πρέπει να έχουμε x 1 = 1 = c 1 + c 2 x 3 = 3 = 3c 1 + c 2 Άρα c 1 = 1, c 2 = 0. Συνεπώς έχουμε πιθανό σχετικό ακρότατο (λόγω αναγκαίας συνθήκης) στην καμπύλη x t = t η οποία είναι η ευθεία η οποία ενώνει τα σημεία x 1 = 1, x 3 = 3. Είναι όμως τοπικό ελάχιστο; Η συνθήκη Euler-Lagrange είναι αναγκαία και όχι ικανή! 18

19 Θεώρημα: Ας υποθέσουμε ότι το συναρτησιακό J: C 2 t 0, t f, w R με t J x = f t0 F t, x t, x t δέχεται ακρότατο στην συνάρτηση x C 2 t 0, t f. Η άκρα καμπύλη x δίνει ασθενές σχετικό ελάχιστο (μέγιστο) στο συναρτησιακό J όταν επαληθεύει τις 2 παρακάτω αυστηρές συνθήκες των Legendre και Jacobi: dt 19

20 Σχετικό Ελάχιστο R t = 2 F x 2 t, x t, x t > 0, t t 0, t f Σχετικό Μέγιστο R t = 2 F x 2 t, x t, x t < 0, t t 0, t f 20

21 Έστω P t = 2 F t, x 2 x t, x t Q t = 2 F x x t, x t, x t R t = 2 F x 2 t, x t, x t Θα πρέπει η λύση της διαφορικής εξίσωσης P t d dt Q t u t d dt R t u t = 0, u t 0 = 0, u t 0 = 1 να μην μηδενίζεται στο t 0, t f ], π. χ. u t 0, t t 0, t f ]. 21

22 Στην περίπτωση που ενδιαφερόμαστε για ισχυρό σχετικό ελάχιστο (μέγιστο) θα πρέπει να προστεθούν και άλλες επιπλέον συνθήκες οι οποίες διατυπώθηκαν από τον Weierstrass. 22

23 Να βρεθεί η συνάρτηση x C 1 1,3 που ελαχιστοποιεί το συναρτησιακό J x = F x t 2 1/2 x t dt, και ικανοποιεί τις συνοριακές συνθήκες x 1 = 1, x 3 = 3. Η J x έχει πιθανό σχετικό ακρότατο στην καμπύλη x t = t. Από την αυστηρή συνθήκη Legendre θα έχουμε R t = 2 F x 2 t, x t, x t = 2 x x t 2 1/2 23

24 = = = x 1 + x t x t 2 x t =x t x t 2 x 2 x t t x t x t 2 = x t 2 3/2 = = 1 2 3/2 > 0 2 και συνεπώς επειδή R t = 1 23/2 > 0 θα έχουμε πιθανό σχετικό ελάχιστο. = 24

25 Για το J x = έχουμε Οπότε F x t 2 1/2 x t dt, P t = 2 F x 2 t, x t, x t = 0 Q t = 2 F x x t, x t, x t = 0 R t = 2 F x 2 t, x t, x t = 1 2 3/2 P t d dt Q t u t d dt R t u t = 0 25

26 0 d dt 0 u t d dt u t = u t = 0 u t = c 1t + c 2 u 1 = 0 = c 1 + c 2 u 1 = 1 = c 1 c 1 = 1 c 2 = 1 και άρα η λύση είναι η u t = t 1 0, t 1,3]. Συνεπώς ικανοποιείται η αυστηρή συνθήκη του Jacobi και η x t = t αποτελεί ασθενές σχετικό ελάχιστο για το συναρτησιακό μας. 26

27 Ένα σωματίδιο κινείται πάνω σε μια καμπύλη y C 1 που ενώνει τα σημεία A,B υπό την επίδραση της βαρύτητας. Ποιο είναι το σχήμα της καμπύλης που ελαχιστοποιεί τον χρόνο κατάβασης; A(0,0) x y*(x) B(b,y f ) y(x) 27

28 A(0,0) x y*(x) y(x) B(b,y f ) Λύση Από την αρχή διατήρησης της ενέργειας θα έχουμε ότι η κινητική ενέργεια στην θέση Β θα είναι ίση με την δυναμική ενέργεια στην θέση Α 1 2 mu t 2 = mgv x u t = 2gv x = ds dt Εάν T είναι ο χρόνος κατάβασης και s το μήκος της καμπύλης, 28

29 A(0,0) x y*(x) B(b,y f ) y(x) T = 0 T dt = 0 T dt ds ds = 0 T 1 2gy x) 1 + y x) 2 dx = = 1 T 1 + y x) 2 1/2 2g 0 y x) 1/2 F y, y,x 29

30 Αναγκαίες συνθήκες Euler-Lagrange y x, y t, y t d dx y x, y t, y t = 0 y 1 + y x) 2 1/2 y x) 1/2 d dx y 1 + y x y x 1 2 = y x y x 3 d y x dx 2 y x y x y x y x y x = 0 = 0 30

31 y x = p y y x = p y x d dx y x = p y p y x 1 + p 2 + 2p p y y = 0 2p p y y = 1 + p 2 2p p p = y y y>0 31

32 log p log y = c 1 log y p ) = c 1 log y y ) ) = c 1 y y ) = e c 1 = c Έστω y = 1 tan z 32

33 y 1 tan 2 z + 1 = c dx dz = tan z dy dz y = c sin 2 z = c 1 cos 2z 2 dy = csin 2z, dz dy dx = dy /dz dx/dz = 1 tan z) = csin 2z tan z = 2csin z cos z = 2csin 2 z = 2c 2 1 cos 2z) sin z) cos z) = 33

34 x z = c 1 cos 2z dz = c z sin 2z 2 + c 1 y = c 1 cos 2z) 2 x = c 0 z π 2 2z sin 2z) + c 34

35 Οριακές συνθήκες-υπολογισμός παραμέτρων y 0 = 0 x = y = 0 y = c 2 1 cos 2z) = 0 x = c 2 2z sin 2z) + c = 0 c 2 = c cos 2z) 2 c 2 2z = c 2 sin 2z c 1 = cos 2z c = 0 cz = c sin 2z c 2 35

36 z = ±kπ c = 0 c ±kπ = c sin ±2kπ c 2 0 = 0 c z = ±kπ c = 0 c ±kπ = c c = 0 z = ±kπ c = 0 για k = 0 εχουμε 0 = c c = 0 c = 0 c = c = 0 36

37 Αν πάρουμε c = 0 και θέσουμε θ = 2z y θ = c 1 cos θ)) 2 x θ = c, 0 θ < 2π 2 θ sin θ)) όπου c/2 είναι η ακτίνα του κυλιόμενου κύκλου. c /2 37

38 c /2 Αν για παράδειγμα είχαμε επιπλέον y 1 = 1 y x = 1 c 1 = 1 = 1 cos θ 2 1 cos θ c 2 θ sin θ = θ = θ sin θ y = c 2 1 cos θ c = 2y 1 cos θ) == 2 1 cos ) =

39 Συνεπώς η παραμετρική οικογένεια που ψάχνουμε θα είχε την μορφή y = cos θ, θ 0 x = θ sin θ

40 Παράδειγμα: Δοθέντων δύο σημείων A x 0, y 0, B x 1, y 1 ) να βρεθεί καμπύλη y C 2 x 0, x 1 με y x 0 = y 0, y x 1 = y 1 που ενώνει τα σημεία A,B και η οποία αν περιστραφεί γύρω από τον άξονα των xx να δημιουργεί μια επιφάνεια ελαχίστου εμβαδού. B(x 1,y 1 ) y(x) A(x 0,y 0 ) x J y = 2π x f y x) 1 + x 0 y x) 2 1/2 dx F y, y) 40

41 y x, y x, y x d dx y x, y x, y x = 0 y y x) 1 + y x) 2 1/2 d dx y y x) 1 + y x) 2 1/2 = y x) 2 1/2 d dx y x) 2 y x 2y x) y x y x) 2 1/2 = 0 y x + 1 = 0 41

42 Οπότε y x = p y x y x) 2 y x p = y x d dx y x = p y y x y x + 1 = 0 p 2 y x p y p y x = p y p p y p + 1 = 0 p p p = 1 y y p p p = 1 y>0 y y + c 1 log p log y x = c 1 c 1 =log c, c>0 42

43 log p y = log c) p y = c x y x = 1 c p c =1/c y x = c y x 2 + 1) 1/2 Όμως y x = sinh t y t = c sinh t = c cosh 2 t 1 2 = c cosh t 43

44 Έχουμε dy dx = dy dt dx dt = c t + c t = dy dt = c sinh t sinh t = c sinh t dx dt x c c y x = c cosh t = c cosh t 0 dx dt = c x x c ) c 44

45 Συνοριακές συνθήκες Έστω για παράδειγμα το σημείο Α έχει συντατεγμένες 0,1) και το Β έχει 1,1) y 0 = 1 c cosh c = 1 c y 1 = 1 c cosh 1 c = 1 c c = , c =

46 46

47 Συνοριακές συνθήκες Έστω τώρα ότι το σημείο Α έχει συντατεγμένες 0,1) και το Β έχει 1, y 1 ) y 0 = 1 c cosh y 1 = y 1 c cosh 1 = k 1 cosh k 2 ) y 1 = k 1 cosh 1 k 1 + k 2 c c 1 c c = 1 = y 1 k 1 = k 1 =c, k 2 = c /c 1 cosh k 2 ) y 1 = cosh cosh k 2 + k 2 ) cosh k 2 ) 47

48 48

49 In[13]:= ContourPlot k 1 Cosh k 2 k 1 1, k 1 Cosh 1 k 2 k 1 1, k 1, 1, 1, k 2, 2, Out[13]=

50 FindRoot k 1 Cosh k 2 k 1 1, k 1 Cosh 1 k 2 k 1 1, k 1, 1, k 2, 1 N Out[8]= k , k FindRoot k 1 Cosh k 2 k 1 1, k 1 Cosh 1 k 2 k 1 1, k 1, 0.3, k 2, 0.3 N Out[16]= k , k In[20]:= y 1 x_ : Cosh x In[21]:= y 2 x_ : ` Cosh x ` In[32]:= Plot y 1 x, y 2 x, x, 0, 1, PlotStyle RGBColor 1, 0, 0, RGBColor 0, 1, 0, PlotLegend "y 1 t ", "y 2 t ", LegendPosition 1, 0, AxesOrigin 0, y 1 t y 2 t Out[32]=

51 In[24]:= Integrate 2 Pi y 1 x 1 y 1 ' x 2, x, 0, 1 Out[24]= In[27]:= RevolutionPlot3D y 1 x, x, 0, 1, AspectRatio 1, RevolutionAxis 1, 0, 0 Out[27]= 51

52 In[25]:= Integrate 2 Pi y 2 x 1 y 2 ' x 2, x, 0, 1 Out[25]= In[30]:= SurfaceOfRevolution y 2 x, x, 0, 1, AspectRatio 1, RevolutionAxis 1, 0, 0 Out[30]= Άσκηση. Να ελέγξετε τις ικανές συνθήκες Legendre-Jacobi για τις δύο καμπύλες. 52

53 Πρόβλημα 2: Να βρεθεί μια αναγκαία συνθήκη ώστε το συναρτησιακό J x = t ff x t, x t, t dt t 0 Με συγκεκριμένα t 0, x t 0, t f αλλά ελεύθερα x t f, να έχει σχετικό ακρότατο. 53

54 δj x, δx = + t 0 t f x x x t, x t, x t, t x t, t δx d dt t) t0 x t f + x t, x t, t Ας είναι η x η λύση, τότε θα ικανοποιεί τις αναγκαίες δx t dt συνθήκες για το Πρόβλημα 1, μια που θα αποτελεί σχετικό ακρότατο για το Πρόβλημα 1. x x t, x t, t d dt x x t, x t, t = 0 54

55 Τότε επειδή δx t 0 = 0 θα έχουμε δj x, δx = 0 αν-ν x x t f, x t f, t f δx t f = 0 δx t f x x t f, x t f, t f = 0 Θεώρημα: Μια αναγκαία συνθήκη για να είναι το x t) σχετικό t ακρότατο της J x = f t0 F x t, x t, t dt με σταθερά t 0, t f, x t 0 ) και ελεύθερο x t f ) είναι οι εξής: 1. x x t, x t, t d dt x x t, x t, t = 0 2. x t x f, x t f, t f = 0 55

56 Να βρεθεί η καμπύλη ελαχίστου μήκους που συνδέει το σημείο x 1 = 1 με την ευθεία t = 3. Οι εξισώσεις Euler-Lagrange δίνουν x t = 0 x t = c 1 t + c 2 Επειδή x 1 = 1 c 1 + c 2 = 1 x 3, x 3, 3 x 1+ J x = x 3 x 3 2 1/2 = 0 c 1 = /2 dt = = 0 x 1 = dt = t 1 3 = 2 56

57 Πρόβλημα 3: Να βρεθεί αναγκαία συνθήκη η οποία πρέπει να ικανοποιείται ώστε το συναρτησιακό με x t 0 = x 0, x t f = x f συγκεκριμένα και t f ελεύθερο, να έχει σχετικό ακρότατο. 57

58 J = t f +δt ff t ff x t, x t, t dt x t, x t, t dt = t 0 = t 0 t 0 t f F x t, x t, t F x t, x t, t dt + t f +δt ff x t, x t, t dt = = t 0 t f F x t + δx t, x t + δ x t), t Ανάπτυγμα Taylor x, x ) F x t, x t, t + + t f +δt ff x t, x t, t dt 58

59 ΔJ = t 0 t f x x t, x t, t δx t + x x t, x t, t δ x t) dt + O δx t, δ x t) + t f +δt ff x t, x t, t dt t f t 0 2 F x t f, x t f,t f δt f +O δt f = x x t f, x t f, t f δx t f + F x t f, x t f, t f δt f t f + x x t, x t, t d dt x x t, x t, t δx t dt + O ) 59

60 Ανάπτυγμα Taylor στο x t f, x t f F x t f, x t f, t f = F x t f, x t f, t f + + x x t f, x t f, t f δx t f + x x t f, x t f, t f δ x t f + O δx t f + x t f δt f = 0 δx t f = x t f δt f 60

61 ΔJ = x x t f, x t f, t f δx t f + F x t f, x t f, t f δt f t f + t 0 x x t, x t, t d dt x x t, x t, t δx t dt + O ) δx t f + x t f δt f = 0 δx t f = x t f δt f 61

62 Γραμμική Συνάρτηση Γ Δ δj x, δx = 0 Μεταβολή λόγω διαφοράς τελικού χρόνου x x t f, x t f, t f x t f + F x t f, x t f, t f δt f t f + x x t, x t, t d dt x x t, x t, t δx t dt t 0 Λόγω: 1. δt f αυθαίρετο μεταβολή λόγω δx t στο t 0, t f 2. Η x t ικανοποιεί τις συνθήκες του προβλήματος (1) στο t 0, t f. 62

63 Θεώρημα: Μια αναγκαία συνθήκη για να είναι το x t) σχετικό t ακρότατο της J x = f t0 F x t, x t, t dt με σταθερά t 0,x t 0 ), x t f ) και ελεύθερο t f είναι οι εξής: 1) x x t, x t, t d dt x x t, x t, t = 0 2) F x t f, x t f, t f x x t f, x t f, t f x t f = 0 63

64 Να βρεθεί η καμπύλη ελαχίστου μήκους που συνδέει το σημείο x 1 = 1 με το x t f = 3. J x = 1 t f 1 + F x t 2 1/2 x t dt Οι εξισώσεις Euler-Lagrange δίνουν: x t = c 1 t + c 2 x 1 = 1 = c 1 + c 2 F x t f, x t f, t f 1 + c c 1 1+c x x t f, x t f, t f x t f c 1 = 0 1 = 0 ΑΤΟΠΟ 1+c = 0 c 1 άρα κάθετη 64

65 Φυσικά, μπορούμε να υποθέσουμε ότι υπάρχει συνάρτηση t x) (αντί x t)) και να εφαρμόσουμε την παραπάνω διαδικασία για το συναρτησιακό J t = t x) 2 1/2 dx Με την υπόθεση ότι x 1 = 1 t 1 = 1 και x t f t 3 = t f. = 3 Το πρόβλημα αυτό έχει ως λύση την t x = c 1 x + c 2. Λόγω των αρχικών συνθηκών θα έχουμε t 1 = 1 = c 1 + c 2 t 3 = t f = 3c 1 + c 2 65

66 x g 3, t 3, t t 3) 3) = 1 + t 3 2 1/2 = 0 c c 2 1/2 = 0 c 1 = 0. 1 Από τις παραπάνω συνθήκες έχουμε c 1 = 0, c 2 = 1, t f = 1 και άρα η συνάρτηση που αναζητούμε είναι η t x = 1 δηλαδή η κάθετη στην στον άξονα xx στο σημείο 1,0. 66

67 Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να υπολογίσουμε το σχετικό ακρότατο του συναρτησιακού t f J x = x 2 t + x 2 t dt όπου x 0 = 1, x t f = 2, t f > 0. Διαφορικές εξισώσεις Euler-Lagrange x t, x t, x t) d dt x t, x t, x t 2x t d dt 2 x t 1 = 0 x t x t = 0 = 0 1 ρ 2 =0 ρ=±1 67

68 x t = c 1 e t + c 2 e t Άγνωστα c 1, c 1, t f. Συνοριακές συνθήκες F x t f, x t f, t f x 0 = 1 c 1 + c 2 = 1 x t f = 2 c 1 e t f + c 2 e t f = 2 x x t f, x t f, t f x t f = 0 c 1 e t f + c 2 e t f 2 + c 1 e t f c 2 e t f 2 2 c 1 e t f c 2 e t f 2 = 0 c 1 e t f + c 2 e t f 2 c 1 e t f c 2 e t f 2 = 0 68

69 4c 2 e t fc 1 e t f = 0 4c 2 c 1 = 0 c 1 = 0 c 2 = 0 c 1 = 0, c 2 = 1 c 1 = 1 0 = 1 c 1 =0 c 1 e t f + c 2 e t c 2 =1 f = 2 e t f = 2 e t f = 1 2 t f = ln 1 2 = ln 2) c 2 = 0, c 1 = 1 c 2 = 1 0 = 1 c 1 =1 c 1 e t f + c 2 e t c 2 =0 f = 2 e t f = 2 t f = ln 2 69

70 = J x = ln 2) 1 ln 2) 1 2e 2t dt = 2 e t 2 + e t 2 dt = 1 = 4 e 2 ln 2) 2e 2t dt = 70

71 Πρόβλημα 4: Να βρεθεί αναγκαία συνθήκη για να είναι το x t σχετικό ακρότατο της t J x = f t0 F x t, x t, t dt αν t 0, x t 0 είναι συγκεκριμένα και t f, x t f ελεύθερα. x(t) δx(t f) x f x x* δx f x 0 t 0 t f t f + δt f t 71

72 = = = + t 0 t 0 t 0 J = t f +δt ff t ff x t, x t, t dt x t), x t, t dt = t 0 t 0 t f F x t, x t, t F x, x t, t dt + t f F x t + δx t, t f x x t, x t, t t f +δt ff x t, x t, t dt = t f t f x t + δ x t, t F x t), x t, t Taylor F x +δx, x +δ x) δx t + x x t, x t, t t f +δt ff x t, δ x t dt + t f x=x +δx x t, t dt = t f +δt ff x t, x t, t dt = dt + O δx t, δ x t t f +δt ff x t, x t, t dt = F x tf, x t f, t f δt f + O δt f ) t f 72

73 J = x x t f, x t f, t f δx t f x x t 0, x t 0, t 0 δx t 0 + F x t f, x t f, t f δt f t f + x x t, x t, t d dt x x t, x t, t δx t dt + O δx t 0 = 0 t 0 Αν τώρα πάρουμε το ανάπτυγμα Taylor γύρω από το x t f, x t f F x t f, x t f, t f θα έχουμε: της F x t f, x t f, t f = F x t f, x t f, t f + x x t f, x t f, t f + x x t f, x t f, t f δx t f + δ x t f + O ) 73

74 J = x x t f, x t f, t f δx t f + F x t f, x t f, t f δt f t f + x x t, x t, t d dt x x t, x t, t δx t dt + O δj t 0 = x x t f, x t f, t f δx t f + F x t f, x t f, t f δt f t f + x x t, x t, t d dt x x t, x t, t δx t dt t 0 74

75 δx f = δx t f + x t f δt f δx t f = δx f x t f δt f δj x, δx = x x t f, x t f, t f δx f + + F x t f, x t f, t f x x t f, x t f, t f x t f δt f + + t 0 t f x x t, x t, t d dt x x t, x t, t δx t dt = 0 75

76 x x t f, x t f, t f δx f + F x t f, x t f, t f + t 0 t f x x t, x t, t d dt x x t f, x t f, t f x x t, x t, t δx t dt = 0 x t f δt f + Ας υποθέσουμε ότι έχουμε υπολογίσει την άκρα καμπύλη x του συναρτησιακού J x και συνεπώς γνωρίζουμε την τιμή των t f, x t f = x f. Τότε από το Θεώρημα 2.3 η καμπύλη αυτή θα πρέπει να ικανοποιεί τις διαφορικές εξισώσεις των Euler-Lagrange, εφόσον έχουμε συγκεκριμένες αρχικές και τελικές συνθήκες π.χ. x x t, x t, t d dt x x t, x t, t = 0 Συνεπώς η πρώτη μεταβολή ανάγεται στη σχέση 76

77 + F x t f, x x t f, x t f, t f δx f + x t f, t f x x t f, x t f, t f x t f δt f = 0 Τερματική συνθήκη ή συνθήκη εγκαρσιότητας (transversality conditions) Περίπτωση 1. Γνωρίζουμε τα t f, x t f = x f και συνεπώς η παραπάνω σχέση είναι εκ ταυτότητας μηδέν μιας και οι μεταβολές δx f, δt f θα είναι μηδέν. 77

78 Περίπτωση 2. Δεν γνωρίζουμε τον τελικό χρόνο t f αλλά γνωρίζουμε την τελική κατάσταση x t f = x f. δx f = 0 x(t) δx(tf) x f x* x x 0 F x t f, t 0 x t f, t f x x t f, x t f, t f t f t f + δt f t x t f = 0 78

79 Περίπτωση 3. Γνωρίζουμε τον τελικό χρόνο t f αλλά δεν γνωρίζουμε την τελική κατάσταση x t f = x f. δt f = 0 x(t) x0 t0 tf t x x t f, x t f, t f = 0 79

80 Περίπτωση 4. Δεν γνωρίζουμε τον τελικό χρόνο t f αλλά ούτε και την τελική κατάσταση x t f = x f. Εδώ διακρίνουμε δύο υποπεριπτώσεις: Περίπτωση 4.1 Δεν υπάρχει εξάρτηση μεταξύ των t f και x t f = x f και συνεπώς τα δt f, δx f είναι γραμμικά ανεξάρτητα και άρα F x t f, x x t f, x t f, t f = 0 x t f, t f x x t f, x t f, t f F x t f, x t f, t f = 0 x t f = 0 80

81 Περίπτωση 4.2 Υπάρχει εξάρτηση μεταξύ των t f και x t f της μορφής και συνεπώς + F x t f, x t f = y t f ) δx f = x x t f, x t f, t f y t f )δt f y t f )δt f + x t f, t f x x t f, x t f, t f = x f x t f δt f = 0 81

82 x x t f, x t f, t f x x t f, x t f, t f y t f ) + F x t f, x t f, t f x t f δt f = 0 x x t f, x t f, t f y t f ) x t f + F x t f, x t f, t f = 0 82

83 Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να υπολογίσουμε την καμπύλη x C 1 0, t f ελαχίστου μήκους που συνδέει το σημείο x 0 = 0 με την ευθεία y t = t + 1. Είναι γνωστό από προηγούμενα παραδείγματα ότι η καμπύλη που ψάχνουμε είναι η ευθεία x t = c 1 t + c 2 που θα πρέπει να ικανοποιεί: a) Τις αρχικές συνθήκες. x 0 = 0 c c 2 = 0 c 2 = 0. b) Από την περίπτωση 4.2. δx f = d dt y t f δt f δx f = δt f 83

84 και συνεπώς x x t f, x t f, t f 1 x t f + F x t f, x t f, t f = x t f x t f 2 1/2 1 x t f x t f 2 1/2 = 0 c c 1 2 1/2 1 c c 1 2 1/2 = 0 c 1 c c c 1 2 1/2 = 0 84

85 c c 1 2 1/2 = 0 c 1 = 1. c) Από το σημείο τομής της x t με την y t) στο σημείο t f θα έχουμε x t f = y t f c 1 t f + c 2 = t f + 1 c 1 = 1 c 2 = 0 t f + 0 = t f + 1 t f =

86 3 2 1 x t y t συνεπώς η ευθεία x t = t είναι η καμπύλη ελαχίστου μήκους που συνδέει το σημείο x 0 = 0 με την ευθεία y t = t + 1 (η κάθετη από το σημείο 0,0 στην y t = t + 1 όπως περιμέναμε). Το σημείο τομής των δύο ευθειών είναι το t f = 1 2. J x = 0 1/ /2 dt = 0 1/2 2dt = 2t 0 1/2 =

87 x x t, x t, t x x t f, x t f, t f + F x t f, F x t 0, + t 0 t f d dt δj x, δx = 0 x x t, x t, t = 0 δx f x x t f, x t f, t f δx 0 x t f, t f x x t f, x t f, t f x t 0, t 0 x x t 0, x t 0, t 0 x x t, x t, t d dt x t f δt f x t 0 δt 0 x x t, x t, t δx t dt = 0 87

88 x x t, x t, t d dt x x t, x t, t = 0 x x t f, x t f, t f + F x t f, F x t 0, δx f x x t f, x t f, t f δx 0 + x t f, t f x x t f, x t f, t f x t 0, t 0 x x t 0, x t 0, t 0 x t f δt f x t 0 δt 0 = 0 88

89 Να βρεθεί η καμπύλη x C 1 t 0, t f ελαχίστου μήκους που συνδέει τις δύο καμπύλες y 1 t = e t και y 2 t = t. 7 6 y 1 t 5 4 y2 t

90 Είναι γνωστό ότι η καμπύλη ελαχίστου μήκους x C 1 t 0, t f που ενώνει ένα σημείο t 0, y 1 t 0 της καμπύλης y 1 t = e t με ένα σημείο t f, y 2 t f της καμπύλης y 2 t = t είναι η ευθεία x t = c 1 t + c 2. x x t 0, x t 0, t 0 dy 1 dt t 0 x t 0 + F x t 0, x t 0, t 0 = x t 0 x t 2 1/2 0 et 0 x t x t 0 2 1/2 = 0 90

91 c c 1 2 1/2 et 0 c c 1 2 1/2 = 0 c 1 e t 0 c c 1 2 = 0 c 1 e t = 0 c 1 = 1 e t 0 c 1 = e t 0 91

92 x x t f, x t f, t f dy 2 dt t f x t f + F x t f, x t f, t f = x t f x t f 2 1/2 1 2 t f x t f x t f 2 1/2 = 0 c c 1 2 1/2 1 2 t f c c 1 2 1/2 = 0 c t f c c 1 2 = 0 c t f + 1 = 0 c 1 = 2 t f 92

93 Η ευθεία x t θα τέμνει τις καμπύλες y 1 t = e t και y 2 t = t στα σημεία t 0 και t f αντίστοιχα και συνεπώς x t 0 = y 1 t 0 c 1 t 0 + c 2 = e t 0 x t f = y 2 t f c 1 t f + c 2 = t f c 1 = e t 0 c 1 = c 1 = 2 t f c 2 = c 1 t 0 + c 2 = e t 0 t 0 = c 1 t f + c 2 = t f t f = x t = t

94 J x = /2 dt = Παρατηρήστε ότι στο σημείο t 0 = η συνάρτηση x t = t είναι κάθετη στην εφαπτομένη της y 1 t = e t μιας και y 1 t 0 x t 0 = 1. Παρόμοια έχουμε ότι στο σημείο t f = η συνάρτηση x t = t είναι κάθετη στην εφαπτομένη της y 2 t = t y 1 t y 2 t x t μιας και y 2 t f x t f =

95 Η ιδιότητα αυτή ισχύει για οποιαδήποτε συνάρτηση y 1 t, y 2 t μιας και έχουμε: x x t f, x t f, t f y i t f x t f + F x t f, x t f, t f = x t f x t f 2 1/2 y i t f x t f x t f 2 1/2 = 0 x t =c 1 t+c 2 x t f =c 1 95

96 c c 1 2 1/2 y i t f c c 1 2 1/2 = 0 c 1 y i t f c c 1 2 = 0 c 1 y i t f c 1 y i t f + 1 = 0 = 1 x t f y i t f = 1 96

97 Άσκηση 2.3 Να υπολογισθεί το σχετικό ακρότατο του συναρτησιακού: όταν x 1 = 1, x 2 = 1 2. J x = 2 t 2 1 x t 2 dt Υπάρχει σχετικό ακρότατο x C 2 1,2 στην περίπτωση που οι συνοριακές συνθήκες είναι x 1 = 1, x 2 = 1 2 ; Άσκηση 2.7 Να υπολογισθούν τα ακρότατα των συναρτησιακών: b i. J x = a x t 2 + x t 2 + 2x t e t dt ii. J x = 0 1 x t cos t 2 dt, x 0 = 1, x 1 = 0. iii. π/2 J x = 0 x t 2 x t 2 dt, x 0 = 0, x π = free. 2 iv. J x = 0 t f 1 2 x t 2 x t )dt, x 0 = 0, x t f = free. 97

98 Άσκηση 2.16 a) Δείξτε ότι αναγκαία συνθήκη για να αποτελεί η συνάρτηση x C 2 a, b ακρότατο του συναρτησιακού: J x = a b F t, x t, x t, x t Δεδομένου ότι είναι γνωστά τα a, b, x a = x a, x b = x b, x a = x 1 a, x b = x 1 b, είναι να ικανοποιείται η συνθήκη: x d dt x + d2 dt 2 dt x = 0 98

99 Νικόλαος Καραμπετάκης, 2009, Βέλτιστος Έλεγχος Συστημάτων, Εκδόσεις Ζήτη. D.E. Kirk, 1970, Optimal Control Theory, Prentice Hall, Englewood Cliffs, NJ. D. S. Naidu, 2002, Optimal Control Systems, CRC Press LLC. 99

100 Copyright, Νικόλαος Καραμπετάκης. «. Ενότητα 5: Ακρότατα συναρτησιακών μιας συνάρτησης». Έκδοση: 1.0. Θεσσαλονίκη Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση:

101 Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά - Παρόμοια Διανομή [1] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων». Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί. [1]

102 Οποιαδήποτε αναπαραγωγή ή διασκευή του υλικού θα πρέπει να συμπεριλαμβάνει: το Σημείωμα Αναφοράς το Σημείωμα Αδειοδότησης τη δήλωση Διατήρησης Σημειωμάτων το Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων (εφόσον υπάρχει) μαζί με τους συνοδευόμενους υπερσυνδέσμους.

103 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Επεξεργασία: Αναστασία Γ. Γρηγοριάδου Θεσσαλονίκη, Εαρινό εξάμηνο

Λογισμός 3. Ενότητα 18: Θεώρημα Πεπλεγμένων (Ειδική περίπτωση) Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ

Λογισμός 3. Ενότητα 18: Θεώρημα Πεπλεγμένων (Ειδική περίπτωση) Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 18: Θεώρημα Πεπλεγμένων (Ειδική περίπτωση) Μιχ. Γ. Μαριάς Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Εκκλησιαστικό Δίκαιο. Ενότητα 10η: Ιερά Σύνοδος της Ιεραρχίας και Διαρκής Ιερά Σύνοδος Κυριάκος Κυριαζόπουλος Τμήμα Νομικής Α.Π.Θ.

Εκκλησιαστικό Δίκαιο. Ενότητα 10η: Ιερά Σύνοδος της Ιεραρχίας και Διαρκής Ιερά Σύνοδος Κυριάκος Κυριαζόπουλος Τμήμα Νομικής Α.Π.Θ. ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 10η: Ιερά Σύνοδος της Ιεραρχίας και Διαρκής Ιερά Σύνοδος Κυριάκος Κυριαζόπουλος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Ιστορία της μετάφρασης

Ιστορία της μετάφρασης ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 6: Μεταφραστές και πρωτότυπα. Ελένη Κασάπη ΤΜΗΜΑ ΑΓΓΛΙΚΗΣ ΓΛΩΣΣΑΣ ΚΑΙ ΦΙΛΟΛΟΓΙΑΣ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα

Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Ενότητα: Ασκήσεις 10 Ανδριανός Ε. Τσεκρέκος Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής Σελίδα 2 1. Σκοποί ενότητας... 5

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Β. Διαφορικός Λογισμός

Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Β. Διαφορικός Λογισμός Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Β. Διαφορικός Λογισμός Κεφάλαιο Β.10: Αναπτύγματα σε Σειρά Όνομα Καθηγητή: Γεώργιος Ν. Μπροδήμας Τμήμα Φυσικής Γεώργιος Νικ. Μπροδήμας Κεφάλαιο Β.10: Αναπτύγματα

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Β. Διαφορικός Λογισμός

Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Β. Διαφορικός Λογισμός Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Β. Διαφορικός Λογισμός Κεφάλαιο Β.08: Υπερβολικές Συναρτήσεις Όνομα Καθηγητή: Γεώργιος Ν. Μπροδήμας Τμήμα Φυσικής Γεώργιος Νικ. Μπροδήμας Κεφάλαιο Β.08: Υπερβολικές

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανολογικό Σχέδιο Ι

Μηχανολογικό Σχέδιο Ι ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα # 8: Άτρακτοι και σφήνες Μ. Γρηγοριάδου Μηχανολόγων Μηχανικών Α.Π.Θ. Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ. Λογισμός 4. Ενότητα 3: Το Θεώρημα του Lebesgue. Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών

ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ. Λογισμός 4. Ενότητα 3: Το Θεώρημα του Lebesgue. Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 3: Το Θεώρημα του Lebesgue. Μιχ. Γ. Μαριάς Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Γ. Ολοκληρωτικός Λογισμός

Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Γ. Ολοκληρωτικός Λογισμός 1/8 Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Γ. Ολοκληρωτικός Λογισμός Κεφάλαιο Γ.05: Ολοκλήρωση Ρητών Συναρτήσεων Όνομα Καθηγητή: Γεώργιος Ν. Μπροδήμας Τμήμα Φυσικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Κλασσική Θεωρία Ελέγχου

Κλασσική Θεωρία Ελέγχου ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 11: Γεωμετρικός τόπος των ριζών Νίκος Καραμπετάκης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα

Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Ενότητα: Ασκήσεις 1 Ανδριανός Ε. Τσεκρέκος Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής Σελίδα 2 1. Σκοποί ενότητας... 5 2.

Διαβάστε περισσότερα

Οικονομετρία. Εξειδίκευση του υποδείγματος. Μορφή της συνάρτησης: Πολυωνυμική, αντίστροφη και αλληλεπίδραση μεταβλητών

Οικονομετρία. Εξειδίκευση του υποδείγματος. Μορφή της συνάρτησης: Πολυωνυμική, αντίστροφη και αλληλεπίδραση μεταβλητών Οικονομετρία Εξειδίκευση του υποδείγματος Μορφή της συνάρτησης: Πολυωνυμική, αντίστροφη και αλληλεπίδραση μεταβλητών Τμήμα: Αγροτικής Οικονομίας & Ανάπτυξης Διδάσκων: Λαζαρίδης Παναγιώτης Μαθησιακοί Στόχοι

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική και Έλεγχος E-L Ηλεκτρομηχανικών Συστημάτων

Δυναμική και Έλεγχος E-L Ηλεκτρομηχανικών Συστημάτων Δυναμική και Έλεγχος E-L Ηλεκτρομηχανικών Συστημάτων Ενότητα 1: E-L Συστήματα Καθηγητής Αντώνιος Αλεξανδρίδης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Σημείωμα Αδειοδότησης

Διαβάστε περισσότερα

Συμπεριφορά Καταναλωτή

Συμπεριφορά Καταναλωτή ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 9 : Ομάδες αναφοράς Χριστίνα Μπουτσούκη Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Β. Διαφορικός Λογισμός

Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Β. Διαφορικός Λογισμός Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Β. Διαφορικός Λογισμός Κεφάλαιο Β.: Η Παράγωγος Συνάρτησης Όνομα Καθηγητή: Γεώργιος Ν. Μπροδήμας Τμήμα Φυσικής Γεώργιος Νικ. Μπροδήμας Κεφάλαιο Β.: Η Παράγωγος

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Φροντιστήριο 1

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Φροντιστήριο 1 Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Φροντιστήριο 1 Διδάσκων Χρήστος Ζαρολιάγκης Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Πατρών Email: zaro@ceid.upatras.gr Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Γ. Ολοκληρωτικός Λογισμός

Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Γ. Ολοκληρωτικός Λογισμός Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Γ. Ολοκληρωτικός Λογισμός Κεφάλαιο Γ.08.1: Μήκος Τόξου Καμπύλης Όνομα Καθηγητή: Γεώργιος Ν. Μπροδήμας Τμήμα Φυσικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Γ. Ολοκληρωτικός Λογισμός

Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Γ. Ολοκληρωτικός Λογισμός Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Γ. Ολοκληρωτικός Λογισμός Κεφάλαιο Γ.03: Μέθοδοι Ολοκλήρωσης Όνομα Καθηγητή: Γεώργιος Ν. Μπροδήμας Τμήμα Φυσικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων

Εισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων Εισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων Ενότητα 7: ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΓΕΘΟΥΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΗΣ Μαυρίδης Δημήτριος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Ανάλυση ΙI

Μαθηματική Ανάλυση ΙI Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Μαθηματική Ανάλυση ΙI Ενότητα 6: Παράγωγος κατά κατεύθυνση, κλίση, εφαπτόμενα επίπεδα Επίκουρος Καθηγητής Θ. Ζυγκιρίδης e-mail: tzygiridis@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών

Διαβάστε περισσότερα

Γενική Φυσική Ενότητα: Κινητική

Γενική Φυσική Ενότητα: Κινητική Γενική Φυσική Ενότητα: Κινητική Όνομα Καθηγητή: Γεώργιος Βούλγαρης Τμήμα: Μαθηματικό Σελίδα 2 1. Ασκήσεις κινητικής... 4 1.1 Άσκηση 1... 4 1.2 Άσκηση 2... 4 1.3 Άσκηση 3... 4 1.4 Άσκηση 4... 4 1.5 Άσκηση

Διαβάστε περισσότερα

Λογιστική Κόστους Ενότητα 8: Κοστολογική διάρθρωση Κύρια / Βοηθητικά Κέντρα Κόστους.

Λογιστική Κόστους Ενότητα 8: Κοστολογική διάρθρωση Κύρια / Βοηθητικά Κέντρα Κόστους. Λογιστική Κόστους Ενότητα 8: Κοστολογική διάρθρωση Κύρια / Βοηθητικά Κέντρα Κόστους. Μαυρίδης Δημήτριος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών

Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών Ενότητα 11: Διανύσματα (Φροντιστήριο) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων &

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένη Βελτιστοποίηση

Εφαρμοσμένη Βελτιστοποίηση Εφαρμοσμένη Βελτιστοποίηση Ενότητα 2: Συναρτήσεις Χώροι - Μεταβλητές Καθηγητής Αντώνιος Αλεξανδρίδης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Σημείωμα Αδειοδότησης Το

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Ανάλυση Ι

Μαθηματική Ανάλυση Ι Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Μαθηματική Ανάλυση Ι Ενότητα 4: Συναρτήσεις Επίκ. Καθηγητής Θ. Ζυγκιρίδης e-mail: tzygiridis@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Β. Διαφορικός Λογισμός

Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Β. Διαφορικός Λογισμός Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Β. Διαφορικός Λογισμός Κεφάλαιο Β.5.1: Μελέτη Συνάρτησης Όνομα Καθηγητή: Γεώργιος Ν. Μπροδήμας Τμήμα Φυσικής Γεώργιος Νικ. Μπροδήμας Κεφάλαιο Β.5.1: Μελέτη

Διαβάστε περισσότερα

Συμπεριφορά Καταναλωτή

Συμπεριφορά Καταναλωτή ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 8 : Η σημασία της κουλτούρας στη Συμπεριφορά του Καταναλωτή Χριστίνα Μπουτσούκη Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Διεθνείς Οικονομικές Σχέσεις και Ανάπτυξη

Διεθνείς Οικονομικές Σχέσεις και Ανάπτυξη ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Διεθνείς Οικονομικές Σχέσεις και Ανάπτυξη Ενότητα 3: Κλασικά Υποδείγματα της Διεθνούς Οικονομικής Θεωρίας (Heckscher-Ohlin model) Γρηγόριος

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Γ. Ολοκληρωτικός Λογισμός

Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Γ. Ολοκληρωτικός Λογισμός Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Γ. Ολοκληρωτικός Λογισμός Κεφάλαιο Γ.08.: Επίπεδα Εμβαδά Όνομα Καθηγητή: Γεώργιος Ν. Μπροδήμας Τμήμα Φυσικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Γ. Ολοκληρωτικός Λογισμός

Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Γ. Ολοκληρωτικός Λογισμός Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Γ. Ολοκληρωτικός Λογισμός Κεφάλαιο Γ.07: Ολοκληρώματα με Ριζικά Όνομα Καθηγητή: Γεώργιος Ν. Μπροδήμας Τμήμα Φυσικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα

Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Ενότητα: Εισαγωγή στις Διαφορικές Εξισώσεις Ανδριανός Ε. Τσεκρέκος Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής Σελίδα . Σκοποί

Διαβάστε περισσότερα

Κλασική Hλεκτροδυναμική

Κλασική Hλεκτροδυναμική Κλασική Hλεκτροδυναμική Ενότητα 3: Η συνάρτηση Green σε επίπεδη γεωμετρία και η μέθοδος των ειδώλων σε σφαιρική Ανδρέας Τερζής Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής Σκοποί ενότητας Σκοπός της ενότητας

Διαβάστε περισσότερα

Βέλτιστος Έλεγχος Συστημάτων

Βέλτιστος Έλεγχος Συστημάτων Βέλτιστος Έλεγχος Συστημάτων Ενότητα 12: Αρχή ελαχίστου του Pontryagin Καθηγητής Αντώνιος Αλεξανδρίδης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Σημείωμα Αδειοδότησης Το

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 6 η Άσκηση - DFS δένδρα Διδάσκων Χρήστος Ζαρολιάγκης Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Πατρών Email: zaro@ceid.upatras.gr Άδειες Χρήσης Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

Οικονομετρία. Εξειδίκευση του υποδείγματος. Μορφή της συνάρτησης: Γραμμική, διπλή λογαριθμική, ημιλογαριθμική. Τμήμα: Αγροτικής Οικονομίας & Ανάπτυξης

Οικονομετρία. Εξειδίκευση του υποδείγματος. Μορφή της συνάρτησης: Γραμμική, διπλή λογαριθμική, ημιλογαριθμική. Τμήμα: Αγροτικής Οικονομίας & Ανάπτυξης Οικονομετρία Εξειδίκευση του υποδείγματος Μορφή της συνάρτησης: Γραμμική, διπλή λογαριθμική, ημιλογαριθμική Τμήμα: Αγροτικής Οικονομίας & Ανάπτυξης Διδάσκων: Λαζαρίδης Παναγιώτης Μαθησιακοί Στόχοι Γνώση

Διαβάστε περισσότερα

Διδακτική της Πληροφορικής

Διδακτική της Πληροφορικής ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 14: Διδακτικές Προσεγγίσεις για τον Προγραμματισμό Σταύρος Δημητριάδης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα

Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Ενότητα: Πραγματικές Συναρτήσεις Πολλών Μεταβλητών (μέρος 1) Ανδριανός Ε Τσεκρέκος Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής

Διαβάστε περισσότερα

Διεθνείς Οικονομικές Σχέσεις και Ανάπτυξη

Διεθνείς Οικονομικές Σχέσεις και Ανάπτυξη ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Διεθνείς Οικονομικές Σχέσεις και Ανάπτυξη Ενότητα 5: Υποδείγματα Γρηγόριος Ζαρωτιάδης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Ανάλυση ΙI

Μαθηματική Ανάλυση ΙI Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Μαθηματική Ανάλυση ΙI Ενότητα 3: Συναρτήσεις πολλών μεταβλητών Επίκουρος Καθηγητής Θ. Ζυγκιρίδης e-mail: tzygiridis@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων

Εισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων Εισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων Ενότητα 6: ΜΕΓΕΘΟΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΗΣ Μαυρίδης Δημήτριος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

Μάρκετινγκ Εξαγωγών. Ενότητα 3 : Το Περιβάλλον και το Διεθνές Μάρκετινγκ Κοινωνικο-Πολιτιστικό Περιβάλλον

Μάρκετινγκ Εξαγωγών. Ενότητα 3 : Το Περιβάλλον και το Διεθνές Μάρκετινγκ Κοινωνικο-Πολιτιστικό Περιβάλλον ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 3 : Το Περιβάλλον και το Διεθνές Μάρκετινγκ Κοινωνικο-Πολιτιστικό Περιβάλλον Χριστίνα Μπουτσούκη Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων

Εισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων Εισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων Ενότητα 4: Στρατηγικοί προσανατολισμοί Μαυρίδης Δημήτριος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Διοίκηση Εξωτερικής Εμπορικής Δραστηριότητας

Διοίκηση Εξωτερικής Εμπορικής Δραστηριότητας Διοίκηση Εξωτερικής Εμπορικής Δραστηριότητας Ενότητα 8: Αξιολόγηση και επιλογή αγορών στόχων από ελληνική εταιρία στον κλάδο παραγωγής και εμπορίας έτοιμου γυναικείου Καθ. Αλεξανδρίδης Αναστάσιος Δρ. Αντωνιάδης

Διαβάστε περισσότερα

Επιμέλεια μεταφράσεων και εκδοτικός χώρος

Επιμέλεια μεταφράσεων και εκδοτικός χώρος ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Επιμέλεια μεταφράσεων και εκδοτικός χώρος 2 η ενότητα: Οργάνωση ημερίδας Ελένη Κασάπη Τμήμα Ιταλικής Γλώσσας και Φιλολογίας Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Λογιστική Κόστους Ενότητα 10: Ασκήσεις Προτύπου Κόστους Αποκλίσεων.

Λογιστική Κόστους Ενότητα 10: Ασκήσεις Προτύπου Κόστους Αποκλίσεων. Λογιστική Κόστους Ενότητα 10: Ασκήσεις Προτύπου Κόστους Αποκλίσεων. Μαυρίδης Δημήτριος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Ενότητα 3: Πολλαπλή Παλινδρόμηση. Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά)

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Ενότητα 3: Πολλαπλή Παλινδρόμηση. Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ενότητα 3: Πολλαπλή Παλινδρόμηση. Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

Eγγειοβελτιωτικά έργα και επιπτώσεις στο περιβάλλον

Eγγειοβελτιωτικά έργα και επιπτώσεις στο περιβάλλον ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Eγγειοβελτιωτικά έργα και επιπτώσεις στο περιβάλλον Ενότητα 5 : Προστασία αγωγών από πλήγμα κριού Ευαγγελίδης Χρήστος Τμήμα Αγρονόμων

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων

Εισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων Εισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων Ενότητα 11: Θεωρία Οργάνωσης & Διοίκησης Μαυρίδης Δημήτριος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην πληροφορική

Εισαγωγή στην πληροφορική Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Εισαγωγή στην πληροφορική Ενότητα 4: Ψηφιακή Λογική, Άλγεβρα Boole, Πίνακες Αλήθειας (Μέρος Α) Αγγελίδης Παντελής Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αναμονής. Ενότητα 4: Αλυσίδες Markov. Αγγελική Σγώρα Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ

Συστήματα Αναμονής. Ενότητα 4: Αλυσίδες Markov. Αγγελική Σγώρα Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Συστήματα Αναμονής Ενότητα 4: Αλυσίδες Markov Αγγελική Σγώρα Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,

Διαβάστε περισσότερα

Συγκριτικό Εκκλησιαστικό Δίκαιο

Συγκριτικό Εκκλησιαστικό Δίκαιο ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Συγκριτικό Εκκλησιαστικό Δίκαιο Ενότητα 10η: Εσθονική και λευκορωσική νομοθεσία Κυριάκος Κυριαζόπουλος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αναμονής. Ενότητα 3: Στοχαστικές Ανελίξεις. Αγγελική Σγώρα Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ

Συστήματα Αναμονής. Ενότητα 3: Στοχαστικές Ανελίξεις. Αγγελική Σγώρα Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Συστήματα Αναμονής Ενότητα 3: Στοχαστικές Ανελίξεις Αγγελική Σγώρα Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Λογιστική Κόστους. Ενότητα 4: ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ - ΦΥΣΗ ΚΟΣΤΟΥΣ. Μαυρίδης Δημήτριος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής

Λογιστική Κόστους. Ενότητα 4: ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ - ΦΥΣΗ ΚΟΣΤΟΥΣ. Μαυρίδης Δημήτριος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Λογιστική Κόστους Ενότητα 4: ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ - ΦΥΣΗ ΚΟΣΤΟΥΣ Μαυρίδης Δημήτριος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Εργαστήριο Φυσικής Ι

Τίτλος Μαθήματος: Εργαστήριο Φυσικής Ι Τίτλος Μαθήματος: Εργαστήριο Φυσικής Ι Ενότητα: Επαναληπτικές Ασκήσεις Ενοτήτων 5, 6 & 7 Όνομα Καθηγητή: Γεωργά Σταυρούλα Τμήμα Φυσικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Οικονομετρία Ι. Ενότητα 3: Θεώρημα των Gauss Markov. Δρ. Χαϊδώ Δριτσάκη Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής

Οικονομετρία Ι. Ενότητα 3: Θεώρημα των Gauss Markov. Δρ. Χαϊδώ Δριτσάκη Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής Οικονομετρία Ι Ενότητα 3: Θεώρημα των Gauss Markov Δρ. Χαϊδώ Δριτσάκη Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Διεθνείς Οικονομικές Σχέσεις και Ανάπτυξη

Διεθνείς Οικονομικές Σχέσεις και Ανάπτυξη ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Διεθνείς Οικονομικές Σχέσεις και Ανάπτυξη Ενότητα 9: Άσκηση εμπορικής πολιτικής Παράδειγμα άσκησης εμπορικής πολιτικής Γρηγόριος Ζαρωτιάδης

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων

Εισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων Εισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων Ενότητα 2: Οργάνωση και Διοίκηση Εισαγωγή Μαυρίδης Δημήτριος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στο Μάρκετινγκ

Εισαγωγή στο Μάρκετινγκ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 5 : Τμηματοποίηση Αγοράς Χριστίνα Μπουτσούκη Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Ανάλυση Ι

Μαθηματική Ανάλυση Ι Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Μαθηματική Ανάλυση Ι Ενότητα 9: Εφαρμογές Ολοκληρωμάτων Επίκουρος Καθηγητής Θ. Ζυγκιρίδης e-mil: tzgiridis@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών

Διαβάστε περισσότερα

Κλασσική Θεωρία Ελέγχου

Κλασσική Θεωρία Ελέγχου ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 9: Περιγραφή συστημάτων στο πεδίο της συχνότητας Νίκος Καραμπετάκης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Γ. Ολοκληρωτικός Λογισμός

Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Γ. Ολοκληρωτικός Λογισμός Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Γ. Ολοκληρωτικός Λογισμός Κεφάλαιο Γ.08.5: Το Ολοκλήρωμα στην Φυσική Όνομα Καθηγητή: Γεώργιος Ν. Μπροδήμας Τμήμα Φυσικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγικές έννοιες θεωρίας Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου Ενότητα 2 η : ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΕ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ

Εισαγωγικές έννοιες θεωρίας Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου Ενότητα 2 η : ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΕ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ Εισαγωγικές έννοιες θεωρίας Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου Ενότητα 2 η : ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΕ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ Επ. Καθηγητής Γαύρος Κωνσταντίνος ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

Βέλτιστος Έλεγχος Συστημάτων

Βέλτιστος Έλεγχος Συστημάτων Βέλτιστος Έλεγχος Συστημάτων Ενότητα 5: Το γραμμικό τετραγωνικό πρόβλημα ρύθμισης (LQ Regulators) Καθηγητής Αντώνιος Αλεξανδρίδης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στο Μάρκετινγκ

Εισαγωγή στο Μάρκετινγκ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 10 : Προώθηση πωλήσεων Χριστίνα Μπουτσούκη Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Διεθνείς Οικονομικές Σχέσεις και Ανάπτυξη

Διεθνείς Οικονομικές Σχέσεις και Ανάπτυξη ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Διεθνείς Οικονομικές Σχέσεις και Ανάπτυξη Ενότητα 4: Κλασικά Υποδείγματα της Διεθνούς Οικονομικής Θεωρίας (Heckscher-Ohlin model) Γρηγόριος

Διαβάστε περισσότερα

Βάσεις Δεδομένων. Ενότητα 1: Εισαγωγή στις Βάσεις δεδομένων. Πασχαλίδης Δημοσθένης Τμήμα Ιερατικών σπουδών

Βάσεις Δεδομένων. Ενότητα 1: Εισαγωγή στις Βάσεις δεδομένων. Πασχαλίδης Δημοσθένης Τμήμα Ιερατικών σπουδών Βάσεις Δεδομένων Ενότητα 1: Εισαγωγή στις Βάσεις δεδομένων Πασχαλίδης Δημοσθένης Τμήμα Ιερατικών σπουδών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Ελληνική Δημοκρατία Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ηπείρου. Μικροοικονομική. Ενότητα 11 : Κόστος παραγωγής Καραμάνης Κωνσταντίνος

Ελληνική Δημοκρατία Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ηπείρου. Μικροοικονομική. Ενότητα 11 : Κόστος παραγωγής Καραμάνης Κωνσταντίνος 1 Ελληνική Δημοκρατία Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ηπείρου Μικροοικονομική Ενότητα 11 : Κόστος παραγωγής Καραμάνης Κωνσταντίνος 2 Ανοιχτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ηπείρου Λογιστικής και χρηματοοικονομικής

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΗ ΚΑΙ ΑΝΟΡΓΑΝΗ ΧΗΜΕΙΑ

ΓΕΝΙΚΗ ΚΑΙ ΑΝΟΡΓΑΝΗ ΧΗΜΕΙΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΓΕΝΙΚΗ ΚΑΙ ΑΝΟΡΓΑΝΗ ΧΗΜΕΙΑ Ενότητα # (7): Δεσμοί στον Άνθρακα Ακρίβος Περικλής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε

Διαβάστε περισσότερα

Εκκλησιαστικό Δίκαιο

Εκκλησιαστικό Δίκαιο ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 4η: Προστασία των θρησκευτικών ανθρωπίνων δικαιωμάτων στην Ε.Ε. Κυριάκος Κυριαζόπουλος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό

Διαβάστε περισσότερα

Μάρκετινγκ Εξαγωγών Ενότητα 5

Μάρκετινγκ Εξαγωγών Ενότητα 5 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 5 : Προώθηση και Κανάλια Διανομής Χριστίνα Μπουτσούκη Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Ανάλυση Ι

Μαθηματική Ανάλυση Ι Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Μαθηματική Ανάλυση Ι Ενότητα 5: Όρια και Συνέχεια Επίκ. Καθηγητής Θ. Ζυγκιρίδης e-mail: tzygiridis@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών

Διαβάστε περισσότερα

Λογιστική Κόστους Ενότητα 11: Λογισμός Κόστους

Λογιστική Κόστους Ενότητα 11: Λογισμός Κόστους Λογιστική Κόστους Ενότητα 11: Λογισμός Κόστους Μαυρίδης Δημήτριος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Ελληνική Δημοκρατία Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ηπείρου. Μικροοικονομική. Ενότητα 7 : Ισορροπία αγοράς Καραμάνης Κωνσταντίνος

Ελληνική Δημοκρατία Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ηπείρου. Μικροοικονομική. Ενότητα 7 : Ισορροπία αγοράς Καραμάνης Κωνσταντίνος 1 Ελληνική Δημοκρατία Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ηπείρου Μικροοικονομική Ενότητα 7 : Ισορροπία αγοράς Καραμάνης Κωνσταντίνος 2 Ανοιχτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ηπείρου Λογιστικής και χρηματοοικονομικής

Διαβάστε περισσότερα

Συμπεριφορά Καταναλωτή

Συμπεριφορά Καταναλωτή ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 7 : Ψυχογραφικά χαρακτηριστικά καταναλωτή Χριστίνα Μπουτσούκη Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΕΙΣ Διδάσκων : Επίκ. Καθ. Κολάσης Χαράλαμπος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Διοικητική Λογιστική

Διοικητική Λογιστική Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ιονίων Νήσων Διοικητική Λογιστική Ενότητα 6: Μέθοδοι ς Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται με άδεια Creative Commons εκτός και αν αναφέρεται διαφορετικά Το έργο

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένη Βελτιστοποίηση

Εφαρμοσμένη Βελτιστοποίηση Εφαρμοσμένη Βελτιστοποίηση Ενότητα 1: Το πρόβλημα της βελτιστοποίησης Καθηγητής Αντώνιος Αλεξανδρίδης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Σημείωμα Αδειοδότησης Το

Διαβάστε περισσότερα

Οικονομετρία Ι. Ενότητα 2: Ανάλυση Παλινδρόμησης. Δρ. Χαϊδώ Δριτσάκη Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής

Οικονομετρία Ι. Ενότητα 2: Ανάλυση Παλινδρόμησης. Δρ. Χαϊδώ Δριτσάκη Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής Οικονομετρία Ι Ενότητα 2: Ανάλυση Παλινδρόμησης Δρ. Χαϊδώ Δριτσάκη Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commos. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανολογικό Σχέδιο Ι

Μηχανολογικό Σχέδιο Ι ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα # 7: Οδοντωτοί τροχοί Μ. Γρηγοριάδου Μηχανολόγων Μηχανικών Α.Π.Θ. Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Γιώργος Κ. Ζαρίφης Τμήμα Φιλοσοφίας και Παιδαγωγικής. Ενότητα 7: Προϋποθέσεις Οργάνωσης και Σχεδιασμού ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ

Γιώργος Κ. Ζαρίφης Τμήμα Φιλοσοφίας και Παιδαγωγικής. Ενότητα 7: Προϋποθέσεις Οργάνωσης και Σχεδιασμού ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Επαγγελματική Εκπαίδευση και Κατάρτιση: Ζητήματα Οργάνωσης και Σχεδιασμού Εκπαιδευτικών Προγραμμάτων με Στόχο την Ανάπτυξη και Βελτίωση

Διαβάστε περισσότερα

Διδακτική της Φυσικής Αγωγής στην πρωτοβάθμια εκπαίδευση

Διδακτική της Φυσικής Αγωγής στην πρωτοβάθμια εκπαίδευση ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Διδακτική της Φυσικής Αγωγής στην πρωτοβάθμια εκπαίδευση Ενότητα 2: Αποτελεσματική διδασκαλία Χατζόπουλος Δημήτρης Τμήμα Επιστήμης Φυσικής

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ ΤΡΟΦΙΜΩΝ Ι

ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ ΤΡΟΦΙΜΩΝ Ι ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ ΤΡΟΦΙΜΩΝ Ι Ενότητα η - Α ΜΕΡΟΣ ΧΗΜΙΚΗ ΚΙΝΗΤΙΚΗ Όνομα καθηγητή: ΕΥΑΓΓΕΛΙΟΥ ΒΑΣΙΛΙΚΗ Τμήμα: Επιστήμης Τροφίμων και Διατροφής του Ανθρώπου ΣΤΟΧΟΙ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ Στόχος (): Κατανόηση των εννοιών:

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΩΝ

ΑΝΑΛΥΣΗ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΩΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΩΝ Ενότητα 11: «Ασκήσεις 1» ΚΥΡΙΑΖΟΠΟΥΛΟΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ Τμήμα ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΕΚΤΡΟΤΕΧΝΙΑ-ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ

ΗΛΕΚΤΡΟΤΕΧΝΙΑ-ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΗΛΕΚΤΡΟΤΕΧΝΙΑ-ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ Ενότητα 4: Ισχύς στο Συνεχές Ρεύμα Αριστείδης Νικ. Παυλίδης Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών και Βιομηχανικού Σχεδιασμού ΤΕ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙΙ

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙΙ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙΙ Μάθημα ασκήσεων 6: Μακριά γραμμή μεταφοράς -Τετράπολα Λαμπρίδης Δημήτρης Ανδρέου Γεώργιος Δούκας Δημήτριος

Διαβάστε περισσότερα

Ανατομία - Φυσιολογία Ακοής Ομιλίας Λόγου

Ανατομία - Φυσιολογία Ακοής Ομιλίας Λόγου 1 Ελληνική Δημοκρατία Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ηπείρου Ανατομία - Φυσιολογία Ακοής Ομιλίας Λόγου Ενότητα 5 : Στοματική κοιλότητα Φάρυγγας (Μέρος Α ) Ναυσικά Ζιάβρα 2 Ανοιχτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα

Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Ενότητα: Γραμμικοί Μετασχηματισμοί Ανδριανός Ε Τσεκρέκος Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής Σελίδα Σκοποί ενότητας

Διαβάστε περισσότερα

Ιστορία της μετάφρασης

Ιστορία της μετάφρασης ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 1: Από τον Ηρόδοτο μέχρι τον Απόστολο Παύλο Ελένη Κασάπη ΤΜΗΜΑ ΑΓΓΛΙΚΗΣ ΓΛΩΣΣΑΣ ΚΑΙ ΦΙΛΟΛΟΓΙΑΣ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ. Ενότητα 2: ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ. Αν. Καθηγητής Πουλάκης Νικόλαος ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Τ.Ε.

ΦΥΣΙΚΗ. Ενότητα 2: ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ. Αν. Καθηγητής Πουλάκης Νικόλαος ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Τ.Ε. ΦΥΣΙΚΗ Ενότητα 2: ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ Αν. Καθηγητής Πουλάκης Νικόλαος ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Τ.Ε. Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Γ. Ολοκληρωτικός Λογισμός

Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Γ. Ολοκληρωτικός Λογισμός Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Γ. Ολοκληρωτικός Λογισμός Κεφάλαιο Γ.08.4: Υπολογισμός Όγκων Όνομα Καθηγητή: Γεώργιος Ν. Μπροδήμας Τμήμα Φυσικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΗ ΚΑΙ ΑΝΟΡΓΑΝΗ ΧΗΜΕΙΑ

ΓΕΝΙΚΗ ΚΑΙ ΑΝΟΡΓΑΝΗ ΧΗΜΕΙΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΓΕΝΙΚΗ ΚΑΙ ΑΝΟΡΓΑΝΗ ΧΗΜΕΙΑ Ενότητα # (11): Ομοιοπολικός Δεσμός Ακρίβος Περικλής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε

Διαβάστε περισσότερα

Επιμέλεια μεταφράσεων και εκδοτικός χώρος

Επιμέλεια μεταφράσεων και εκδοτικός χώρος ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Επιμέλεια μεταφράσεων και εκδοτικός χώρος 10 η ενότητα: μετάφραση κόμικ Ελένη Κασάπη Τμήμα Ιταλικής Γλώσσας και Φιλολογίας Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Περιφερειακή Ανάπτυξη

Περιφερειακή Ανάπτυξη ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Περιφερειακή Ανάπτυξη Ενότητα 1: Ορισμοί και Στόχοι στην Περιφερειακή Ανάπτυξη Ζαχαρούλα Ανδρεοπούλου Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Στρατηγικό Μάρκετινγκ

Στρατηγικό Μάρκετινγκ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 7: Καθορισμός της στρατηγικής προϊόντος Χριστίνα Μπουτσούκη Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Αποτυπώσεις Μνημείων και Αρχαιολογικών Χώρων

Αποτυπώσεις Μνημείων και Αρχαιολογικών Χώρων ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Αποτυπώσεις Μνημείων και Αρχαιολογικών Χώρων Ενότητα 7 : 3D Laser Scanner Τοκμακίδης Κωνσταντίνος Τμήμα Αγρονόμων & Τοπογράφων Μηχανικών

Διαβάστε περισσότερα

Νέες Τεχνολογίες και Καλλιτεχνική Δημιουργία

Νέες Τεχνολογίες και Καλλιτεχνική Δημιουργία Παιδαγωγικό Τμήμα Νηπιαγωγών Νέες Τεχνολογίες και Καλλιτεχνική Δημιουργία Ενότητα # 9: Ψηφιακός Ήχος - Audacity Θαρρενός Μπράτιτσης Παιδαγωγικό Τμήμα Νηπιαγωγών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό

Διαβάστε περισσότερα

Διδακτική Πληροφορικής

Διδακτική Πληροφορικής Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ιονίων Νήσων Διδακτική Πληροφορικής Ενότητα 1: Εισαγωγή Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται με άδεια Creative Commons εκτός και αν αναφέρεται διαφορετικά Το έργο

Διαβάστε περισσότερα

Προγραμματισμός H/Y Ενότητα 4: Δείκτες. Επικ. Καθηγητής Συνδουκάς Δημήτριος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά)

Προγραμματισμός H/Y Ενότητα 4: Δείκτες. Επικ. Καθηγητής Συνδουκάς Δημήτριος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Προγραμματισμός H/Y Ενότητα 4: Δείκτες Επικ. Καθηγητής Συνδουκάς Δημήτριος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΕΚΤΡΟΤΕΧΝΙΑ-ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ

ΗΛΕΚΤΡΟΤΕΧΝΙΑ-ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΗΛΕΚΤΡΟΤΕΧΝΙΑ-ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ Ενότητα 3: Νόμος του Ohm Κανόνες του Kirchhoff Αριστείδης Νικ. Παυλίδης Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών και Βιομηχανικού Σχεδιασμού ΤΕ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Εφηρμοσμένη Θερμοδυναμική

Εφηρμοσμένη Θερμοδυναμική ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Εφηρμοσμένη Θερμοδυναμική Ενότητα 12: Κλιματισμός Χατζηαθανασίου Βασίλειος Καδή Στυλιανή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Η/Υ

Διαβάστε περισσότερα