Ενότητα 5: Ακρότατα συναρτησιακών μιας συνάρτησης. Νίκος Καραμπετάκης Τμήμα Μαθηματικών

Transcript

1 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 5: Ακρότατα συναρτησιακών μιας συνάρτησης Νίκος Καραμπετάκης

2 Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. 2

3 Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο» έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 3

4 Διατύπωση ικανών (Legendre - Jacobi) και αναγκαίων (Euler - Lagrange) συνθηκών για την εύρεση τοπικού ακρότατου ενός συναρτησιακού το οποίο εξαρτάται από μια συνάρτηση μιας μεταβλητής x(t) και την παράγωγο της π.χ. J(t,x(t),x (t)). Συνθήκες εγκαρσιότητας που πρέπει να πληρούνται από τις αρχικές και τις τελικές συνθήκες της συνάρτησης x(t) ώστε να έχει ακρότατο το συναρτησιακό J(t,x(t),x (t)). Επίλυση του βραχυστόχρονου προβλήματος (brachistochrone problem) και του προβλήματος της αλυσίδας (hanging chain or catenary problem). 4

5 Διατύπωση αναγκαίων συνθηκών Euler-Lagrance για την ύπαρξη τοπικού ακρότατου ενός συναρτησιακού. Διατύπωση ικανών συνθηκών Legendre-Jacobi για την ύπαρξη τοπικού ακρότατου ενός συναρτησιακού. Τερματική συνθήκη/ες ή συνθήκη/ες εγκαρσιότητας και μελέτη ειδικών περιπτώσεων. Επίλυση βραχυστόχρονου προβλήματος (brachistochrone problem). Επίλυση του προβλήματος αλυσίδας (hanging chain or catenary problem). 5

6 Έστω x t συνάρτηση με συνεχείς πρώτες παραγώγους. Επιθυμούμε να υπολογίσουμε την συνάρτηση x t για την οποία το συναρτησιακό έχει σχετικό ακρότατο. t J x = f t0 F t, x t, x t dt Υπόθεση: 1. Η F έχει πρώτη και δεύτερη μερική παράγωγο ως προς x, x, t. 2. Έστω x t 0 = x 0, x t f = x f, t 0, t f συγκεκριμένα. 6

7 Να βρεθεί η συνάρτηση x t που ελαχιστοποιεί το συναρτησιακό J x = x t 2 1/2 dt, x 1 = 1, x 3 = 3 7

8 Θεώρημα Έστω το συναρτησιακό J: C 2 t 0, t f, R με t J x = f t0 F t, x t, x t dt όπου x t 0 = x 0, x t f = x f και έστω ότι η συνάρτηση F είναι κλάσης C 2 ως προς t, x, x (έχει δηλαδή συνεχείς πρώτες και δεύτερες μερικές παραγώγους ως προς t, x, x). Εάν το συναρτησιακό J δέχεται ακρότατο στη συνάρτηση x C 2 t 0, t f 8

9 τότε θα ικανοποιείται η διαφορική εξίσωση Euler-Lagrange x t, x t, x t Απόδειξη d dt x t, x t, x t ΔJ x, δx = J x + δx J x = = 0, t t 0, t f = t0 t f F t, x t + δx t, x t + δ x t F t, x t, x t dt Γνωρίζουμε ότι το ανάπτυγμα Taylor της F t, x t + δx t, x t + δ x t 9

10 στο t, x t, x t F t, x t + δx t, = F t, x t, x t + 1 t, x t, x t 1! x + 1 2! 2 F x2 t, x t, είναι x t + δ x t = δx t + x t, x t, x t δ x t δx t 2 + 2δx t δ x t x t 2 F x x t, x t, x t 10

11 Αντικατάσταση στην J x, δx και διατήρηση του γραμμικού μέρους x t = d dt x t δ x t = d dt δx t δj x, δx = = t f t 0 x t, x t, x t δx t + x t, x t, x t δ x t dt = t f t f t f f y=f y t0 t 0 t y f 0 11

12 = x + t, x t, x t δx t t 0 t 0 t f x t, x t, x t t f + d dt x t, x t, x t δx t dt Επειδή από την υπόθεση x t 0 = x 0, x t f = x f προκύπτει δx t 0 = δx t f = 0 x = x t f = t, x t, x t δx t t 0 t, x t, x t δx t f x t=t f t, x t, x t δx t 0 = 0 t=t 0 12

13 Συνεπώς η πρώτη μεταβολή θα έχει την μορφή δj x, δx = t 0 t f x t, x t, x t d dt x t, x t, x t δx t dt Συνεπώς αναγκαία συνθήκη ακρότατου του συναρτησιακού είναι η παρακάτω t 0 t f x t, x t, x t d dt x t, x t, x t δx t dt = 0 Η παραπάνω σχέση, σύμφωνα με το λήμμα που δείξαμε ισχύει για κάθε δx C 2 t 0, t f που ικανοποιεί τις συνθήκες δx t 0 = δx t f = 0 ανν 13

14 x t, x t, x t d dt x t, x t, x t = 0 Διαφορική εξίσωση Euler-Lagrange 14

15 Να βρεθεί συνάρτηση που ελαχιστοποιεί το συναρτησιακό J x = x t 2 1/2 dt, και ικανοποιεί τις συνοριακές συνθήκες x 1 = 1, x 3 = 3. x(t) t 15

16 Από x t, x t, x t x 1 + x t 0 d dt d dt d dt x t, x t, x t = d dt x 1 + x t = 0 x 1 + x 1 + x t = 0 x t = 0 16

17 d dt x t x t 2 = 0 d dt 1 + x t x t 1 + x t = c x t x t x t 2 = c x t 2 = 0 x t 2 2 = c2 x t 2 = c2 1 c 2 x t = ± c 2 1 c 2 c 1 x t = c 1 t + c 2 17

18 Για να ικανοποιούνται οι αρχικές συνθήκες θα πρέπει να έχουμε x 1 = 1 = c 1 + c 2 x 3 = 3 = 3c 1 + c 2 Άρα c 1 = 1, c 2 = 0. Συνεπώς έχουμε πιθανό σχετικό ακρότατο (λόγω αναγκαίας συνθήκης) στην καμπύλη x t = t η οποία είναι η ευθεία η οποία ενώνει τα σημεία x 1 = 1, x 3 = 3. Είναι όμως τοπικό ελάχιστο; Η συνθήκη Euler-Lagrange είναι αναγκαία και όχι ικανή! 18

19 Θεώρημα: Ας υποθέσουμε ότι το συναρτησιακό J: C 2 t 0, t f, w R με t J x = f t0 F t, x t, x t δέχεται ακρότατο στην συνάρτηση x C 2 t 0, t f. Η άκρα καμπύλη x δίνει ασθενές σχετικό ελάχιστο (μέγιστο) στο συναρτησιακό J όταν επαληθεύει τις 2 παρακάτω αυστηρές συνθήκες των Legendre και Jacobi: dt 19

20 Σχετικό Ελάχιστο R t = 2 F x 2 t, x t, x t > 0, t t 0, t f Σχετικό Μέγιστο R t = 2 F x 2 t, x t, x t < 0, t t 0, t f 20

21 Έστω P t = 2 F t, x 2 x t, x t Q t = 2 F x x t, x t, x t R t = 2 F x 2 t, x t, x t Θα πρέπει η λύση της διαφορικής εξίσωσης P t d dt Q t u t d dt R t u t = 0, u t 0 = 0, u t 0 = 1 να μην μηδενίζεται στο t 0, t f ], π. χ. u t 0, t t 0, t f ]. 21

22 Στην περίπτωση που ενδιαφερόμαστε για ισχυρό σχετικό ελάχιστο (μέγιστο) θα πρέπει να προστεθούν και άλλες επιπλέον συνθήκες οι οποίες διατυπώθηκαν από τον Weierstrass. 22

23 Να βρεθεί η συνάρτηση x C 1 1,3 που ελαχιστοποιεί το συναρτησιακό J x = F x t 2 1/2 x t dt, και ικανοποιεί τις συνοριακές συνθήκες x 1 = 1, x 3 = 3. Η J x έχει πιθανό σχετικό ακρότατο στην καμπύλη x t = t. Από την αυστηρή συνθήκη Legendre θα έχουμε R t = 2 F x 2 t, x t, x t = 2 x x t 2 1/2 23

24 = = = x 1 + x t x t 2 x t =x t x t 2 x 2 x t t x t x t 2 = x t 2 3/2 = = 1 2 3/2 > 0 2 και συνεπώς επειδή R t = 1 23/2 > 0 θα έχουμε πιθανό σχετικό ελάχιστο. = 24

25 Για το J x = έχουμε Οπότε F x t 2 1/2 x t dt, P t = 2 F x 2 t, x t, x t = 0 Q t = 2 F x x t, x t, x t = 0 R t = 2 F x 2 t, x t, x t = 1 2 3/2 P t d dt Q t u t d dt R t u t = 0 25

26 0 d dt 0 u t d dt u t = u t = 0 u t = c 1t + c 2 u 1 = 0 = c 1 + c 2 u 1 = 1 = c 1 c 1 = 1 c 2 = 1 και άρα η λύση είναι η u t = t 1 0, t 1,3]. Συνεπώς ικανοποιείται η αυστηρή συνθήκη του Jacobi και η x t = t αποτελεί ασθενές σχετικό ελάχιστο για το συναρτησιακό μας. 26

27 Ένα σωματίδιο κινείται πάνω σε μια καμπύλη y C 1 που ενώνει τα σημεία A,B υπό την επίδραση της βαρύτητας. Ποιο είναι το σχήμα της καμπύλης που ελαχιστοποιεί τον χρόνο κατάβασης; A(0,0) x y*(x) B(b,y f ) y(x) 27

28 A(0,0) x y*(x) y(x) B(b,y f ) Λύση Από την αρχή διατήρησης της ενέργειας θα έχουμε ότι η κινητική ενέργεια στην θέση Β θα είναι ίση με την δυναμική ενέργεια στην θέση Α 1 2 mu t 2 = mgv x u t = 2gv x = ds dt Εάν T είναι ο χρόνος κατάβασης και s το μήκος της καμπύλης, 28

29 A(0,0) x y*(x) B(b,y f ) y(x) T = 0 T dt = 0 T dt ds ds = 0 T 1 2gy x) 1 + y x) 2 dx = = 1 T 1 + y x) 2 1/2 2g 0 y x) 1/2 F y, y,x 29

30 Αναγκαίες συνθήκες Euler-Lagrange y x, y t, y t d dx y x, y t, y t = 0 y 1 + y x) 2 1/2 y x) 1/2 d dx y 1 + y x y x 1 2 = y x y x 3 d y x dx 2 y x y x y x y x y x = 0 = 0 30

31 y x = p y y x = p y x d dx y x = p y p y x 1 + p 2 + 2p p y y = 0 2p p y y = 1 + p 2 2p p p = y y y>0 31

32 log p log y = c 1 log y p ) = c 1 log y y ) ) = c 1 y y ) = e c 1 = c Έστω y = 1 tan z 32

33 y 1 tan 2 z + 1 = c dx dz = tan z dy dz y = c sin 2 z = c 1 cos 2z 2 dy = csin 2z, dz dy dx = dy /dz dx/dz = 1 tan z) = csin 2z tan z = 2csin z cos z = 2csin 2 z = 2c 2 1 cos 2z) sin z) cos z) = 33

34 x z = c 1 cos 2z dz = c z sin 2z 2 + c 1 y = c 1 cos 2z) 2 x = c 0 z π 2 2z sin 2z) + c 34

35 Οριακές συνθήκες-υπολογισμός παραμέτρων y 0 = 0 x = y = 0 y = c 2 1 cos 2z) = 0 x = c 2 2z sin 2z) + c = 0 c 2 = c cos 2z) 2 c 2 2z = c 2 sin 2z c 1 = cos 2z c = 0 cz = c sin 2z c 2 35

36 z = ±kπ c = 0 c ±kπ = c sin ±2kπ c 2 0 = 0 c z = ±kπ c = 0 c ±kπ = c c = 0 z = ±kπ c = 0 για k = 0 εχουμε 0 = c c = 0 c = 0 c = c = 0 36

37 Αν πάρουμε c = 0 και θέσουμε θ = 2z y θ = c 1 cos θ)) 2 x θ = c, 0 θ < 2π 2 θ sin θ)) όπου c/2 είναι η ακτίνα του κυλιόμενου κύκλου. c /2 37

38 c /2 Αν για παράδειγμα είχαμε επιπλέον y 1 = 1 y x = 1 c 1 = 1 = 1 cos θ 2 1 cos θ c 2 θ sin θ = θ = θ sin θ y = c 2 1 cos θ c = 2y 1 cos θ) == 2 1 cos ) =

39 Συνεπώς η παραμετρική οικογένεια που ψάχνουμε θα είχε την μορφή y = cos θ, θ 0 x = θ sin θ

40 Παράδειγμα: Δοθέντων δύο σημείων A x 0, y 0, B x 1, y 1 ) να βρεθεί καμπύλη y C 2 x 0, x 1 με y x 0 = y 0, y x 1 = y 1 που ενώνει τα σημεία A,B και η οποία αν περιστραφεί γύρω από τον άξονα των xx να δημιουργεί μια επιφάνεια ελαχίστου εμβαδού. B(x 1,y 1 ) y(x) A(x 0,y 0 ) x J y = 2π x f y x) 1 + x 0 y x) 2 1/2 dx F y, y) 40

41 y x, y x, y x d dx y x, y x, y x = 0 y y x) 1 + y x) 2 1/2 d dx y y x) 1 + y x) 2 1/2 = y x) 2 1/2 d dx y x) 2 y x 2y x) y x y x) 2 1/2 = 0 y x + 1 = 0 41

42 Οπότε y x = p y x y x) 2 y x p = y x d dx y x = p y y x y x + 1 = 0 p 2 y x p y p y x = p y p p y p + 1 = 0 p p p = 1 y y p p p = 1 y>0 y y + c 1 log p log y x = c 1 c 1 =log c, c>0 42

43 log p y = log c) p y = c x y x = 1 c p c =1/c y x = c y x 2 + 1) 1/2 Όμως y x = sinh t y t = c sinh t = c cosh 2 t 1 2 = c cosh t 43

44 Έχουμε dy dx = dy dt dx dt = c t + c t = dy dt = c sinh t sinh t = c sinh t dx dt x c c y x = c cosh t = c cosh t 0 dx dt = c x x c ) c 44

45 Συνοριακές συνθήκες Έστω για παράδειγμα το σημείο Α έχει συντατεγμένες 0,1) και το Β έχει 1,1) y 0 = 1 c cosh c = 1 c y 1 = 1 c cosh 1 c = 1 c c = , c =

46 46

47 Συνοριακές συνθήκες Έστω τώρα ότι το σημείο Α έχει συντατεγμένες 0,1) και το Β έχει 1, y 1 ) y 0 = 1 c cosh y 1 = y 1 c cosh 1 = k 1 cosh k 2 ) y 1 = k 1 cosh 1 k 1 + k 2 c c 1 c c = 1 = y 1 k 1 = k 1 =c, k 2 = c /c 1 cosh k 2 ) y 1 = cosh cosh k 2 + k 2 ) cosh k 2 ) 47

48 48

49 In[13]:= ContourPlot k 1 Cosh k 2 k 1 1, k 1 Cosh 1 k 2 k 1 1, k 1, 1, 1, k 2, 2, Out[13]=

50 FindRoot k 1 Cosh k 2 k 1 1, k 1 Cosh 1 k 2 k 1 1, k 1, 1, k 2, 1 N Out[8]= k , k FindRoot k 1 Cosh k 2 k 1 1, k 1 Cosh 1 k 2 k 1 1, k 1, 0.3, k 2, 0.3 N Out[16]= k , k In[20]:= y 1 x_ : Cosh x In[21]:= y 2 x_ : ` Cosh x ` In[32]:= Plot y 1 x, y 2 x, x, 0, 1, PlotStyle RGBColor 1, 0, 0, RGBColor 0, 1, 0, PlotLegend "y 1 t ", "y 2 t ", LegendPosition 1, 0, AxesOrigin 0, y 1 t y 2 t Out[32]=

51 In[24]:= Integrate 2 Pi y 1 x 1 y 1 ' x 2, x, 0, 1 Out[24]= In[27]:= RevolutionPlot3D y 1 x, x, 0, 1, AspectRatio 1, RevolutionAxis 1, 0, 0 Out[27]= 51

52 In[25]:= Integrate 2 Pi y 2 x 1 y 2 ' x 2, x, 0, 1 Out[25]= In[30]:= SurfaceOfRevolution y 2 x, x, 0, 1, AspectRatio 1, RevolutionAxis 1, 0, 0 Out[30]= Άσκηση. Να ελέγξετε τις ικανές συνθήκες Legendre-Jacobi για τις δύο καμπύλες. 52

53 Πρόβλημα 2: Να βρεθεί μια αναγκαία συνθήκη ώστε το συναρτησιακό J x = t ff x t, x t, t dt t 0 Με συγκεκριμένα t 0, x t 0, t f αλλά ελεύθερα x t f, να έχει σχετικό ακρότατο. 53

54 δj x, δx = + t 0 t f x x x t, x t, x t, t x t, t δx d dt t) t0 x t f + x t, x t, t Ας είναι η x η λύση, τότε θα ικανοποιεί τις αναγκαίες δx t dt συνθήκες για το Πρόβλημα 1, μια που θα αποτελεί σχετικό ακρότατο για το Πρόβλημα 1. x x t, x t, t d dt x x t, x t, t = 0 54

55 Τότε επειδή δx t 0 = 0 θα έχουμε δj x, δx = 0 αν-ν x x t f, x t f, t f δx t f = 0 δx t f x x t f, x t f, t f = 0 Θεώρημα: Μια αναγκαία συνθήκη για να είναι το x t) σχετικό t ακρότατο της J x = f t0 F x t, x t, t dt με σταθερά t 0, t f, x t 0 ) και ελεύθερο x t f ) είναι οι εξής: 1. x x t, x t, t d dt x x t, x t, t = 0 2. x t x f, x t f, t f = 0 55

56 Να βρεθεί η καμπύλη ελαχίστου μήκους που συνδέει το σημείο x 1 = 1 με την ευθεία t = 3. Οι εξισώσεις Euler-Lagrange δίνουν x t = 0 x t = c 1 t + c 2 Επειδή x 1 = 1 c 1 + c 2 = 1 x 3, x 3, 3 x 1+ J x = x 3 x 3 2 1/2 = 0 c 1 = /2 dt = = 0 x 1 = dt = t 1 3 = 2 56

57 Πρόβλημα 3: Να βρεθεί αναγκαία συνθήκη η οποία πρέπει να ικανοποιείται ώστε το συναρτησιακό με x t 0 = x 0, x t f = x f συγκεκριμένα και t f ελεύθερο, να έχει σχετικό ακρότατο. 57

58 J = t f +δt ff t ff x t, x t, t dt x t, x t, t dt = t 0 = t 0 t 0 t f F x t, x t, t F x t, x t, t dt + t f +δt ff x t, x t, t dt = = t 0 t f F x t + δx t, x t + δ x t), t Ανάπτυγμα Taylor x, x ) F x t, x t, t + + t f +δt ff x t, x t, t dt 58

59 ΔJ = t 0 t f x x t, x t, t δx t + x x t, x t, t δ x t) dt + O δx t, δ x t) + t f +δt ff x t, x t, t dt t f t 0 2 F x t f, x t f,t f δt f +O δt f = x x t f, x t f, t f δx t f + F x t f, x t f, t f δt f t f + x x t, x t, t d dt x x t, x t, t δx t dt + O ) 59

60 Ανάπτυγμα Taylor στο x t f, x t f F x t f, x t f, t f = F x t f, x t f, t f + + x x t f, x t f, t f δx t f + x x t f, x t f, t f δ x t f + O δx t f + x t f δt f = 0 δx t f = x t f δt f 60

61 ΔJ = x x t f, x t f, t f δx t f + F x t f, x t f, t f δt f t f + t 0 x x t, x t, t d dt x x t, x t, t δx t dt + O ) δx t f + x t f δt f = 0 δx t f = x t f δt f 61

62 Γραμμική Συνάρτηση Γ Δ δj x, δx = 0 Μεταβολή λόγω διαφοράς τελικού χρόνου x x t f, x t f, t f x t f + F x t f, x t f, t f δt f t f + x x t, x t, t d dt x x t, x t, t δx t dt t 0 Λόγω: 1. δt f αυθαίρετο μεταβολή λόγω δx t στο t 0, t f 2. Η x t ικανοποιεί τις συνθήκες του προβλήματος (1) στο t 0, t f. 62

63 Θεώρημα: Μια αναγκαία συνθήκη για να είναι το x t) σχετικό t ακρότατο της J x = f t0 F x t, x t, t dt με σταθερά t 0,x t 0 ), x t f ) και ελεύθερο t f είναι οι εξής: 1) x x t, x t, t d dt x x t, x t, t = 0 2) F x t f, x t f, t f x x t f, x t f, t f x t f = 0 63

64 Να βρεθεί η καμπύλη ελαχίστου μήκους που συνδέει το σημείο x 1 = 1 με το x t f = 3. J x = 1 t f 1 + F x t 2 1/2 x t dt Οι εξισώσεις Euler-Lagrange δίνουν: x t = c 1 t + c 2 x 1 = 1 = c 1 + c 2 F x t f, x t f, t f 1 + c c 1 1+c x x t f, x t f, t f x t f c 1 = 0 1 = 0 ΑΤΟΠΟ 1+c = 0 c 1 άρα κάθετη 64

65 Φυσικά, μπορούμε να υποθέσουμε ότι υπάρχει συνάρτηση t x) (αντί x t)) και να εφαρμόσουμε την παραπάνω διαδικασία για το συναρτησιακό J t = t x) 2 1/2 dx Με την υπόθεση ότι x 1 = 1 t 1 = 1 και x t f t 3 = t f. = 3 Το πρόβλημα αυτό έχει ως λύση την t x = c 1 x + c 2. Λόγω των αρχικών συνθηκών θα έχουμε t 1 = 1 = c 1 + c 2 t 3 = t f = 3c 1 + c 2 65

66 x g 3, t 3, t t 3) 3) = 1 + t 3 2 1/2 = 0 c c 2 1/2 = 0 c 1 = 0. 1 Από τις παραπάνω συνθήκες έχουμε c 1 = 0, c 2 = 1, t f = 1 και άρα η συνάρτηση που αναζητούμε είναι η t x = 1 δηλαδή η κάθετη στην στον άξονα xx στο σημείο 1,0. 66

67 Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να υπολογίσουμε το σχετικό ακρότατο του συναρτησιακού t f J x = x 2 t + x 2 t dt όπου x 0 = 1, x t f = 2, t f > 0. Διαφορικές εξισώσεις Euler-Lagrange x t, x t, x t) d dt x t, x t, x t 2x t d dt 2 x t 1 = 0 x t x t = 0 = 0 1 ρ 2 =0 ρ=±1 67

68 x t = c 1 e t + c 2 e t Άγνωστα c 1, c 1, t f. Συνοριακές συνθήκες F x t f, x t f, t f x 0 = 1 c 1 + c 2 = 1 x t f = 2 c 1 e t f + c 2 e t f = 2 x x t f, x t f, t f x t f = 0 c 1 e t f + c 2 e t f 2 + c 1 e t f c 2 e t f 2 2 c 1 e t f c 2 e t f 2 = 0 c 1 e t f + c 2 e t f 2 c 1 e t f c 2 e t f 2 = 0 68

69 4c 2 e t fc 1 e t f = 0 4c 2 c 1 = 0 c 1 = 0 c 2 = 0 c 1 = 0, c 2 = 1 c 1 = 1 0 = 1 c 1 =0 c 1 e t f + c 2 e t c 2 =1 f = 2 e t f = 2 e t f = 1 2 t f = ln 1 2 = ln 2) c 2 = 0, c 1 = 1 c 2 = 1 0 = 1 c 1 =1 c 1 e t f + c 2 e t c 2 =0 f = 2 e t f = 2 t f = ln 2 69

70 = J x = ln 2) 1 ln 2) 1 2e 2t dt = 2 e t 2 + e t 2 dt = 1 = 4 e 2 ln 2) 2e 2t dt = 70

71 Πρόβλημα 4: Να βρεθεί αναγκαία συνθήκη για να είναι το x t σχετικό ακρότατο της t J x = f t0 F x t, x t, t dt αν t 0, x t 0 είναι συγκεκριμένα και t f, x t f ελεύθερα. x(t) δx(t f) x f x x* δx f x 0 t 0 t f t f + δt f t 71

72 = = = + t 0 t 0 t 0 J = t f +δt ff t ff x t, x t, t dt x t), x t, t dt = t 0 t 0 t f F x t, x t, t F x, x t, t dt + t f F x t + δx t, t f x x t, x t, t t f +δt ff x t, x t, t dt = t f t f x t + δ x t, t F x t), x t, t Taylor F x +δx, x +δ x) δx t + x x t, x t, t t f +δt ff x t, δ x t dt + t f x=x +δx x t, t dt = t f +δt ff x t, x t, t dt = dt + O δx t, δ x t t f +δt ff x t, x t, t dt = F x tf, x t f, t f δt f + O δt f ) t f 72

73 J = x x t f, x t f, t f δx t f x x t 0, x t 0, t 0 δx t 0 + F x t f, x t f, t f δt f t f + x x t, x t, t d dt x x t, x t, t δx t dt + O δx t 0 = 0 t 0 Αν τώρα πάρουμε το ανάπτυγμα Taylor γύρω από το x t f, x t f F x t f, x t f, t f θα έχουμε: της F x t f, x t f, t f = F x t f, x t f, t f + x x t f, x t f, t f + x x t f, x t f, t f δx t f + δ x t f + O ) 73

74 J = x x t f, x t f, t f δx t f + F x t f, x t f, t f δt f t f + x x t, x t, t d dt x x t, x t, t δx t dt + O δj t 0 = x x t f, x t f, t f δx t f + F x t f, x t f, t f δt f t f + x x t, x t, t d dt x x t, x t, t δx t dt t 0 74

75 δx f = δx t f + x t f δt f δx t f = δx f x t f δt f δj x, δx = x x t f, x t f, t f δx f + + F x t f, x t f, t f x x t f, x t f, t f x t f δt f + + t 0 t f x x t, x t, t d dt x x t, x t, t δx t dt = 0 75

76 x x t f, x t f, t f δx f + F x t f, x t f, t f + t 0 t f x x t, x t, t d dt x x t f, x t f, t f x x t, x t, t δx t dt = 0 x t f δt f + Ας υποθέσουμε ότι έχουμε υπολογίσει την άκρα καμπύλη x του συναρτησιακού J x και συνεπώς γνωρίζουμε την τιμή των t f, x t f = x f. Τότε από το Θεώρημα 2.3 η καμπύλη αυτή θα πρέπει να ικανοποιεί τις διαφορικές εξισώσεις των Euler-Lagrange, εφόσον έχουμε συγκεκριμένες αρχικές και τελικές συνθήκες π.χ. x x t, x t, t d dt x x t, x t, t = 0 Συνεπώς η πρώτη μεταβολή ανάγεται στη σχέση 76

77 + F x t f, x x t f, x t f, t f δx f + x t f, t f x x t f, x t f, t f x t f δt f = 0 Τερματική συνθήκη ή συνθήκη εγκαρσιότητας (transversality conditions) Περίπτωση 1. Γνωρίζουμε τα t f, x t f = x f και συνεπώς η παραπάνω σχέση είναι εκ ταυτότητας μηδέν μιας και οι μεταβολές δx f, δt f θα είναι μηδέν. 77

78 Περίπτωση 2. Δεν γνωρίζουμε τον τελικό χρόνο t f αλλά γνωρίζουμε την τελική κατάσταση x t f = x f. δx f = 0 x(t) δx(tf) x f x* x x 0 F x t f, t 0 x t f, t f x x t f, x t f, t f t f t f + δt f t x t f = 0 78

79 Περίπτωση 3. Γνωρίζουμε τον τελικό χρόνο t f αλλά δεν γνωρίζουμε την τελική κατάσταση x t f = x f. δt f = 0 x(t) x0 t0 tf t x x t f, x t f, t f = 0 79

80 Περίπτωση 4. Δεν γνωρίζουμε τον τελικό χρόνο t f αλλά ούτε και την τελική κατάσταση x t f = x f. Εδώ διακρίνουμε δύο υποπεριπτώσεις: Περίπτωση 4.1 Δεν υπάρχει εξάρτηση μεταξύ των t f και x t f = x f και συνεπώς τα δt f, δx f είναι γραμμικά ανεξάρτητα και άρα F x t f, x x t f, x t f, t f = 0 x t f, t f x x t f, x t f, t f F x t f, x t f, t f = 0 x t f = 0 80

81 Περίπτωση 4.2 Υπάρχει εξάρτηση μεταξύ των t f και x t f της μορφής και συνεπώς + F x t f, x t f = y t f ) δx f = x x t f, x t f, t f y t f )δt f y t f )δt f + x t f, t f x x t f, x t f, t f = x f x t f δt f = 0 81

82 x x t f, x t f, t f x x t f, x t f, t f y t f ) + F x t f, x t f, t f x t f δt f = 0 x x t f, x t f, t f y t f ) x t f + F x t f, x t f, t f = 0 82

83 Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να υπολογίσουμε την καμπύλη x C 1 0, t f ελαχίστου μήκους που συνδέει το σημείο x 0 = 0 με την ευθεία y t = t + 1. Είναι γνωστό από προηγούμενα παραδείγματα ότι η καμπύλη που ψάχνουμε είναι η ευθεία x t = c 1 t + c 2 που θα πρέπει να ικανοποιεί: a) Τις αρχικές συνθήκες. x 0 = 0 c c 2 = 0 c 2 = 0. b) Από την περίπτωση 4.2. δx f = d dt y t f δt f δx f = δt f 83

84 και συνεπώς x x t f, x t f, t f 1 x t f + F x t f, x t f, t f = x t f x t f 2 1/2 1 x t f x t f 2 1/2 = 0 c c 1 2 1/2 1 c c 1 2 1/2 = 0 c 1 c c c 1 2 1/2 = 0 84

85 c c 1 2 1/2 = 0 c 1 = 1. c) Από το σημείο τομής της x t με την y t) στο σημείο t f θα έχουμε x t f = y t f c 1 t f + c 2 = t f + 1 c 1 = 1 c 2 = 0 t f + 0 = t f + 1 t f =

86 3 2 1 x t y t συνεπώς η ευθεία x t = t είναι η καμπύλη ελαχίστου μήκους που συνδέει το σημείο x 0 = 0 με την ευθεία y t = t + 1 (η κάθετη από το σημείο 0,0 στην y t = t + 1 όπως περιμέναμε). Το σημείο τομής των δύο ευθειών είναι το t f = 1 2. J x = 0 1/ /2 dt = 0 1/2 2dt = 2t 0 1/2 =

87 x x t, x t, t x x t f, x t f, t f + F x t f, F x t 0, + t 0 t f d dt δj x, δx = 0 x x t, x t, t = 0 δx f x x t f, x t f, t f δx 0 x t f, t f x x t f, x t f, t f x t 0, t 0 x x t 0, x t 0, t 0 x x t, x t, t d dt x t f δt f x t 0 δt 0 x x t, x t, t δx t dt = 0 87

88 x x t, x t, t d dt x x t, x t, t = 0 x x t f, x t f, t f + F x t f, F x t 0, δx f x x t f, x t f, t f δx 0 + x t f, t f x x t f, x t f, t f x t 0, t 0 x x t 0, x t 0, t 0 x t f δt f x t 0 δt 0 = 0 88

89 Να βρεθεί η καμπύλη x C 1 t 0, t f ελαχίστου μήκους που συνδέει τις δύο καμπύλες y 1 t = e t και y 2 t = t. 7 6 y 1 t 5 4 y2 t

90 Είναι γνωστό ότι η καμπύλη ελαχίστου μήκους x C 1 t 0, t f που ενώνει ένα σημείο t 0, y 1 t 0 της καμπύλης y 1 t = e t με ένα σημείο t f, y 2 t f της καμπύλης y 2 t = t είναι η ευθεία x t = c 1 t + c 2. x x t 0, x t 0, t 0 dy 1 dt t 0 x t 0 + F x t 0, x t 0, t 0 = x t 0 x t 2 1/2 0 et 0 x t x t 0 2 1/2 = 0 90

91 c c 1 2 1/2 et 0 c c 1 2 1/2 = 0 c 1 e t 0 c c 1 2 = 0 c 1 e t = 0 c 1 = 1 e t 0 c 1 = e t 0 91

92 x x t f, x t f, t f dy 2 dt t f x t f + F x t f, x t f, t f = x t f x t f 2 1/2 1 2 t f x t f x t f 2 1/2 = 0 c c 1 2 1/2 1 2 t f c c 1 2 1/2 = 0 c t f c c 1 2 = 0 c t f + 1 = 0 c 1 = 2 t f 92

93 Η ευθεία x t θα τέμνει τις καμπύλες y 1 t = e t και y 2 t = t στα σημεία t 0 και t f αντίστοιχα και συνεπώς x t 0 = y 1 t 0 c 1 t 0 + c 2 = e t 0 x t f = y 2 t f c 1 t f + c 2 = t f c 1 = e t 0 c 1 = c 1 = 2 t f c 2 = c 1 t 0 + c 2 = e t 0 t 0 = c 1 t f + c 2 = t f t f = x t = t

94 J x = /2 dt = Παρατηρήστε ότι στο σημείο t 0 = η συνάρτηση x t = t είναι κάθετη στην εφαπτομένη της y 1 t = e t μιας και y 1 t 0 x t 0 = 1. Παρόμοια έχουμε ότι στο σημείο t f = η συνάρτηση x t = t είναι κάθετη στην εφαπτομένη της y 2 t = t y 1 t y 2 t x t μιας και y 2 t f x t f =

95 Η ιδιότητα αυτή ισχύει για οποιαδήποτε συνάρτηση y 1 t, y 2 t μιας και έχουμε: x x t f, x t f, t f y i t f x t f + F x t f, x t f, t f = x t f x t f 2 1/2 y i t f x t f x t f 2 1/2 = 0 x t =c 1 t+c 2 x t f =c 1 95

96 c c 1 2 1/2 y i t f c c 1 2 1/2 = 0 c 1 y i t f c c 1 2 = 0 c 1 y i t f c 1 y i t f + 1 = 0 = 1 x t f y i t f = 1 96

97 Άσκηση 2.3 Να υπολογισθεί το σχετικό ακρότατο του συναρτησιακού: όταν x 1 = 1, x 2 = 1 2. J x = 2 t 2 1 x t 2 dt Υπάρχει σχετικό ακρότατο x C 2 1,2 στην περίπτωση που οι συνοριακές συνθήκες είναι x 1 = 1, x 2 = 1 2 ; Άσκηση 2.7 Να υπολογισθούν τα ακρότατα των συναρτησιακών: b i. J x = a x t 2 + x t 2 + 2x t e t dt ii. J x = 0 1 x t cos t 2 dt, x 0 = 1, x 1 = 0. iii. π/2 J x = 0 x t 2 x t 2 dt, x 0 = 0, x π = free. 2 iv. J x = 0 t f 1 2 x t 2 x t )dt, x 0 = 0, x t f = free. 97

98 Άσκηση 2.16 a) Δείξτε ότι αναγκαία συνθήκη για να αποτελεί η συνάρτηση x C 2 a, b ακρότατο του συναρτησιακού: J x = a b F t, x t, x t, x t Δεδομένου ότι είναι γνωστά τα a, b, x a = x a, x b = x b, x a = x 1 a, x b = x 1 b, είναι να ικανοποιείται η συνθήκη: x d dt x + d2 dt 2 dt x = 0 98

99 Νικόλαος Καραμπετάκης, 2009, Βέλτιστος Έλεγχος Συστημάτων, Εκδόσεις Ζήτη. D.E. Kirk, 1970, Optimal Control Theory, Prentice Hall, Englewood Cliffs, NJ. D. S. Naidu, 2002, Optimal Control Systems, CRC Press LLC. 99

100 Copyright, Νικόλαος Καραμπετάκης. «. Ενότητα 5: Ακρότατα συναρτησιακών μιας συνάρτησης». Έκδοση: 1.0. Θεσσαλονίκη Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση:

101 Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά - Παρόμοια Διανομή [1] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων». Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί. [1]

102 Οποιαδήποτε αναπαραγωγή ή διασκευή του υλικού θα πρέπει να συμπεριλαμβάνει: το Σημείωμα Αναφοράς το Σημείωμα Αδειοδότησης τη δήλωση Διατήρησης Σημειωμάτων το Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων (εφόσον υπάρχει) μαζί με τους συνοδευόμενους υπερσυνδέσμους.

103 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Επεξεργασία: Αναστασία Γ. Γρηγοριάδου Θεσσαλονίκη, Εαρινό εξάμηνο