Μοντέρνα Θεωρία Ελέγχου

Transcript

1 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 14. Ελάχιστες Πραγματώσεις Νίκος Καραμπετάκης

2 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. 2

3 Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο» έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 3

4 Περιεχόμενα Ενότητας Πραγματώσεις. Μη αναγώγιμο σύστημα. Ελάχιστη πραγμάτωση. Θεώρημα (Kalman). 4

5 Σκοποί Ενότητας Μελέτη των εννοιών του μη αναγώγιμου συστήματος και της ελάχιστης πραγμάτωσης της συνάρτησης μεταφοράς του συστήματος. 5

6 Πραγματώσεις Ορισμός. Δεδομένου ενός p m πίνακα G(s) κανονικών ρητών συναρτήσεων g ij s : g 11 s g 12 s g 1m s g G s = 21 s g 22 s g 2m s R pr s p m g p1 s g p2 s g pm s g ij s = n ij s d ij s R pr s degd ij s degn ij s τότε μία τετράδα πινάκων A R n n, B R n m, C R p n, D R p m ονομάζεται πραγμάτωση του G(s) αν G s = C si n A 1 B + D 6

7 Ελάχιστη (minimal) πραγμάτωση Έστω το σύστημα x t = Ax t + Bu t (1) y t = Cx t + Du t Ορισμός. Αν το σύστημα (1) είναι ελέγξιμο και παρατηρήσιμο, τότε ονομάζεται μη αναγώγιμο (irreducible). Στην περίπτωση αυτή η τριάδα πινάκων A R n n, B R n m, C R p n ονομάζεται ελάχιστη (minimal) πραγμάτωση της συνάρτησης μεταφοράς G(s) του συστήματος. 7

8 Πρόταση (1) Πρόταση. Αν το σύστημα (1) είναι μη αναγώγιμο, τότε οι πόλοι της συνάρτησης μεταφοράς ταυτίζονται με τους πόλους του συστήματος (ιδιοτιμές του πίνακα Α). Έχουμε δει ότι η συνάρτηση μεταφοράς G s = C si n A 1 B + D ενός συστήματος (1) παραμένει αναλλοίωτη κάτω από μετασχηματισμούς ομοιότητας. Δηλαδή αν ορίσουμε την τετράδα πινάκων 8

9 Πρόταση (2) A QAQ 1 R n n B QB R n m C CQ 1 R p n (2) D D R p m όπου Q R n n αυθαίρετος και ομαλός πίνακας ( Q 0), τότε G s = C si n A 1 B + D = CQ 1 sqq 1 QAQ 1 1 QB + D = = CQ 1 Q si n A Q 1 1 QB + D = CQ 1 Q si n A 1 Q 1 QB + D 9

10 Πρόταση (3) Δηλαδή αν = C si n A 1 B + D = G s A R n n, B R n m, C R p n, D R p m είναι μία πραγμάτωση του πίνακα κανονικών ρητών συναρτήσεων G s R pr s p m, τότε όλα τα μέλη της κλάσης ισοδυναμίας ομοιότητας που δίνονται από τετράδες πινάκων (2) αποτελούν πραγματώσεις του G(s). Το παρακάτω θεώρημα αποτελεί το αντίστροφο της παραπάνω πρότασης και είναι ένα από τα πλέον βασικά θεωρήματα της Μαθηματικής Θεωρίας Συστημάτων. 10

11 Θεώρημα 1 (1) Θεώρημα. Αν δύο πραγματώσεις A 1 R n n, B 1 R n m, C 1 R p n, D 1 R p m (3) A 2 R n n, B 2 R n m, C 2 R p n, D 2 R p m (4) ενός πίνακα πραγματικών (κανονικών) ρητών συναρτήσεων G s : G s = C 1 si n A 1 1 B 1 + D 1 = C 2 si n A 2 1 B 2 + D 2 (5) είναι ελάχιστες, δηλαδή μη αναγώγιμες (ελέγξιμες και παρατηρήσιμες), τότε είναι όμοιες, υπάρχει δηλαδή 11

12 Θεώρημα 1 (2) πίνακας Q 1 R n n, ομαλός τέτοιος ώστε οι δύο πραγματώσεις να συνδέονται μέσω των Απόδειξη. Έστω A 1 Q 1 1 A 2 Q 1 R n n B 1 Q 1 1 B 2 R n m C 1 C 2 Q 1 R p n D 1 D 2 R p m M i = B i A i B i A i n 1 B i, W i = C i C i A i C i A i n 1, i = 1,2 12

13 Θεώρημα 1 (3) Από την (5), εφόσον για A R n n ο πίνακας si n A 1 1 αναπτύσσεται σε σειρά Laurent ως si n A 1 = 1 s I n + 1 s 2 A + 1 s 3 A2 + έχουμε ότι ο πίνακας συναρτήσεων μεταφοράς αναπτύσσεται σε σειρά Laurent ως G s = C 1 si n A 1 1 B 1 + D 1 = D s C 1B s 2 C 1A 1 B s 3 C 1A 1 2 B 1 + = C 2 si n A 2 1 B 2 + D 2 = D s C 2B s 2 C 2A 2 B s 3 C 2A 2 2 B

14 Θεώρημα 1 (4) Η (5) συνεπάγεται τις D 1 = D 2 C 1 A k 1 B 1 = C 2 A k 2 B 2, k = 0,1,2,3, Οι (6) συνεπάγονται την C 1 B 1 C 1 A 1 B 1 C 1 A n 1 1 B 1 C 1 A 1 B 1 C 1 A 2 1 B 1 C 1 A n 1 B 1 C 1 A 1 n 1 B 1 C 1 A 1 n B 1 C 1 A 1 2n 2 B 1 = C 2 B 2 C 2 A 2 B 2 C 2 A n 1 2 B 2 C 2 A 2 B 2 C 2 A 2 2 B 2 C 2 A n 2 B 2 C 2 A n 1 2 B 2 C 2 A n 2 B 2 C 2 A 2n 2 2 B 2 14

15 Θεώρημα 1 (5) ή C 1 C 1 A 1 C 1 A 1 n 1 = B 1 A 1 B 1 A 1 n 1 B 1 C 2 C 2 A 2 C 2 A 2 n 1 B 2 A 2 B 2 A 2 n 1 B 2 W 1 M 1 = W 2 M 2 (7) Εφόσον οι πραγματώσεις είναι μη αναγώγιμες, οι σχέσεις 15

16 Θεώρημα 1 (6) rankm i = rank B i A i B i A n 1 i B i = n, i = 1,2 C i rankw i = rank C i A i n 1 C i A i = n, i = 1,2 συνεπάγονται τις rank M 1 M T 1 = n rank W T 1 W 1 = n Ορίζουμε τους πίνακες: Q 1 M 2 M T T 1 M 1 M 1 1 R n n 16

17 Θεώρημα 1 (7) και Q 2 W 1 T W 1 1 W 1 T W 2 R n n και έχουμε ότι Q 2 Q 1 = W T 1 W 1 1 W T 1 W 2 M 2 M T T 1 1 M 1 M 1 = W T 1 W 1 1 W T 1 W 1 M 1 M T T 1 M 1 M 1 1 = I n 7 Q 2 = Q 1 1 (8) Επιπλέον Q 2 M 2 = W T 1 W 1 1 W T 1 W 2 M 2 = W T 1 W 1 1 W T 1 W 1 M 1 = M 1 17

18 Θεώρημα 1 (8) ή Q 2 M 2 = M 1 (9) 8 Μ2 = Q 1 M 1 (10) Η (9) γράφεται Q 2 B 2 A 2 B 2 A 2 n 1 B 2 = B 1 A 1 B 1 A 1 n 1 B 1 από την οποία έχουμε ότι Q 2 B 2 = B 1 B 1 = Q 1 1 B 2 R n m (11) Επίσης έχουμε ότι W 2 Q 1 = W 2 M 2 M 1 T M 1 M 1 T 1 = W 1 M 1 M 1 T M 1 M 1 T 1 = W 1 18

19 Θεώρημα 1 (9) ή W 2 Q 1 = W 1 (12) 8 W2 Q 1 2 = W 1 (13) Ομοίως, μέσω της (13), μπορούμε να δείξουμε ότι C 2 Q 1 2 = C 1 C 1 = C 2 Q 1 R p n (14) Τέλος, οι σχέσεις C 1 A k 1 B 1 = C 2 A k 2 B 2, k = 0,1,2,3, συνεπάγονται την σχέση 19

20 Θεώρημα 1 (10) C 1 C 1 A 1 C 1 A 1 n 1 = A 1 B 1 A 1 B 1 A 1 n 1 B 1 C 2 C 2 A 2 n 1 C 2 A 2 A 2 B 2 A 2 B 2 A 2 n 1 B 2 W 1 A 1 M 1 = W 2 A 2 M 2 = 12, 10 W 1Q 1 1 A 2 Q 1 M 1 η οποία τελικά συνεπάγεται την A 1 = Q 1 1 A 2 Q 1 (15) Οι σχέσεις (15), (11), (14) δείχνουν ότι οι πραγματώσεις (3) και (4) είναι όμοιες. 20

21 Θεώρημα (Kalman) Γενικά, κάθε σύστημα της μορφής του χώρου των καταστάσεων είναι όμοιο με ένα σύστημα της μορφής x a t x b t και x c t x d t = A aa A ab A ac A ad 0 A bb 0 A bd 0 0 A cc A cd A dd y t = 0 C b 0 C d x b t x c t x a t x d t G s x a t x b t x c t x d t + + Du t = C b si n A bb 1 B d + D B a B b 0 0 u t 21

22 Παράδειγμα (1) Έστω το γραμμικό και χρονικά αναλλοίωτο σύστημα z t = Λz t + Eu t y t = Γz t + Du t Έστω n = 4, m = p = 1 (με μία είσοδο, μία έξοδο) και D = 0. z1 t z2 t z3 t z4 t = y t = z 1 t z 2 t z 3 t z 4 t z 1 t z 2 t z 3 t z 4 t u t 22

23 Παράδειγμα (2) Το σύστημα είναι αναγώγιμο (δηλαδή είναι μη ελέγξιμο και μη παρατηρήσιμο). Οι πόλοι του συστήματος είναι: 1,2,3, 4 Η τάξη του συστήματος είναι: n = 4 Το σύστημα έχει: δύο αποσυζευκτικά μηδενικά εισόδου:,3, 4, δύο αποσυζευκτικά μηδενικά εξόδου: 2, 4, ένα αποσυζευκτικό μηδενικό εισόδου-εξόδου (το οποίο είναι αποσυζευκτικό μηδενικό εισόδου και αποσυζευκτικό μηδενικό εξόδου): 3, 4 2, 4 = 4. 23

24 Παράδειγμα (3) {αποσυζευκτικά μηδενικά του συστήματος}= {αποσυζευκτικά μηδενικά εισόδου} {αποσυζευκτικά μηδενικά εξόδου} {αποσυζευκτικά μηδενικά εισόδου εξόδου} ή 2,3, 4 = 3,4 2, 4 4 {πόλοι του συστήματος}= {πόλοι της συνάρτησης μεταφοράς} {αποσυζευκτικά μηδενικά του συστήματος} ή 1,2,3, 4 = 1 2,3, 4 24

25 Παράδειγμα (4) z1 t = z 1 t + u t z2 t = 2z 2 t + u t z 3 t = 3z 3 t z4 t = 4z 4 t y t = z 1 t + z 2 t 25

26 Παράδειγμα (5) Παρατηρούμε ότι: η είσοδος u(t) δεν επηρεάζει τις καταστάσεις z 3 t, z 4 t, η έξοδος y(t) δεν επηρεάζεται από τις καταστάσεις z 2 t, z 4 t. Έχουμε οτι si 4 Λ = s s s s

27 Παράδειγμα (6) οπότε και si 4 Λ 1 = 1 s s s s

28 Παράδειγμα (7) s s + 1 si 4 Λ 1 E = s = s 2 s s + 4 έτσι ώστε η συνάρτηση μεταφοράς του συστήματος να είναι η 28

29 Παράδειγμα (8) G s = Γ si 4 Λ 1 E = s s = 1 s + 1 Μία ελάχιστη πραγμάτωση της συνάρτησης μεταφοράς G(s) είναι: A = 1, B = 1, C = 1, D = 0 G s = C si n A 1 B + D = 1 s = 1 s + 1 Το παραπάνω αποτελεί παράδειγμα για το 29

30 Θεώρημα 2 (1) Θεώρημα. Αν στον πίνακα των συναρτήσεων μεταφοράς G(s) ενός συστήματος δεν εμφανίζονται ως πόλοι του G(s) όλοι οι πόλοι του συστήματος, δηλαδή όλες οι ιδιοτιμές του A, τότε το σύστημα είναι: (α) ή μη ελέγξιμο, (β) ή μη παρατηρήσιμο, (γ) ή μη ελέγξιμο και μη παρατηρήσιμο. 30

31 Θεώρημα 2 (2) Απόδειξη. Θεωρήστε ένα σύστημα στη διαγώνια κανονική μορφή z t = Λz t + Bu t y t = Γz t (16) B = T B 1 T B 2 T B 3 T B 4 R n m, Γ = Γ 1 Γ 2 Γ n R p n όπου B i T R 1 m, i = 1,2,.., n οι γραμμές του B R n m και Γ i R p 1, i = 1,2,, n οι στήλες του Γ R p n. 31

32 Θεώρημα 2 (3) Μετασχηματίζοντας κατά Laplace τις (16) έχουμε sz i s = λ i z i s + B i T u s z i s = 1 s λ i B i T u s, i = 1,2,, n y s = Γz s = Γ 1 Γ 2 Γ n z 2 s z 1 s z n s T 1 = Γ 1 z 1 s + Γ 2 z 2 s + + Γ n z n s = Γ i B i u s s λ i n i=1 32

33 Θεώρημα 2 (4) Άρα ο πίνακας συναρτήσεων μεταφοράς του συστήματος θα δίνεται από την n T 1 G s = Γ i B i s λ i i=1 όπου G i : = Γ i B i T R p m, i = 1,2,, n. n 1 = G i s λ i i=1 Αν στην έκφραση του G(s) δεν εμφανίζεται ως πόλος του G(s) η ιδιοτιμή λ i του Α (μηδενικό του si n Α: πόλος του συστήματος) θα πρέπει G i : = Γ i B i T = 0 p,m 33

34 Θεώρημα 2 (5) ή ισοδύναμα θα πρέπει rankg i = rank Γ i B i T = 0 η οποία ικανοποιείται αν και μόνο αν (α) ή B i T = 0 1,m το σύστημα είναι μη ελέγξιμο. (β) ή Γ i = 0 p,1 το σύστημα είναι μη παρατηρήσιμο. (γ) ή B i T = 0 1,m και Γ i = 0 p,1 το σύστημα είναι μη ελέγξιμο και μη παρατηρήσιμο. 34

35 Βιβλιογραφία Βαρδουλάκης Α.Ι.Γ., 2012, Εισαγωγή στην Μαθηματική Θεωρία Σημάτων, Συστημάτων και Ελέγχου, Τόμος Β.. Εκδόσεις Τζιόλα. Antsaklis P. and Michel A.N., 1977, Linear Systems, The McGraw-Hill Companies Inc. New York. Charles Ε., Donald G., James L., Melsa J., Rohrs C., Schultz D., 1996, Γραμμικά συστήματα αυτομάτου ελέγχου, Εκδόσεις Τζιόλα. Chen C.T., 1970, Introduction to Linear System Theory, Holt, Renehart and Winston Inc. New York. Kailath T., 1980, Linear Systems, Prentice Hall. 35

36 Σημείωμα Αναφοράς Copyright, Νικόλαος Καραμπετάκης. «. Ενότητα 14. Ελάχιστες Πραγματώσεις». Έκδοση: 1.0. Θεσσαλονίκη Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: 36

37 Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά - Παρόμοια Διανομή [1] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων». Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί. [1] 37

38 Διατήρηση Σημειωμάτων Οποιαδήποτε αναπαραγωγή ή διασκευή του υλικού θα πρέπει να συμπεριλαμβάνει: το Σημείωμα Αναφοράς το Σημείωμα Αδειοδότησης τη δήλωση Διατήρησης Σημειωμάτων το Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων (εφόσον υπάρχει) μαζί με τους συνοδευόμενους υπερσυνδέσμους. 38

39 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Τέλος Ενότητας Επεξεργασία: Αναστασία Γ. Γρηγοριάδου Θεσσαλονίκη, Εαρινό εξάμηνο