Μοντέρνα Θεωρία Ελέγχου

Transcript

1 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 2: Επίλυση Διακριτών Γραμμικών Συστημάτων Νίκος Καραμπετάκης

2 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. 2

3 Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο» έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 3

4 Περιεχόμενα Ενότητας Επίλυση ομογενούς διακριτού συστήματος. Υπολογισμός του πίνακα A k. Επίλυση μη ομογενούς διακριτού συστήματος. Απόκριση σταθερής και μεταβατικής κατάστασης. Ελεύθερη απόκριση. Δυναμική απόκριση. 4

5 Σκοποί Ενότητας Μελέτη του τρόπου επίλυσης ομογενούς διακριτού συστήματος στο χώρο των καταστάσεων. Μελέτη του τρόπου επίλυσης μη-ομογενούς διακριτού συστήματος στο χώρο των καταστάσεων. 5

6 Επίλυση ομογενούς συστήματος Έστω το ομογενές σύστημα x k + = Ax k Παράδειγμα. x k + x 2 k + = 2 2 x k x 2 k, x 0 x 2 0 x k = Ax k = A Ax k 2 = = A 2 x k 2 = A 2 Ax k 3 = = A 3 x k 3 = = = A k x 0 = 6

7 Επειδή Επίλυση ομογενούς συστήματος με αρχικές συνθήκες στο k=k0 x k = A k x 0 θα έχουμε (αν ο Α αντιστρέφεται) x k 0 = A k 0x 0 x 0 = A k 0x k 0 Άρα x k = A k A k 0x k 0 = A k k 0x k 0 ή και χωρίς αντιστροφή του Α και εφόσον k > k 0 x k = A k k 0x k (k k 0 ) = A k k 0x k 0 7

8 Υπολογισμός A k () Υπάρχει πίνακας U (πίνακας δεξιών ιδιοδιανυσμάτων) τέτοιος ώστε: λ 0 0 A u u 2 u n = u u 2 u n 0 λ 2 0 U και συνεπώς U A = UJU 0 0 λ n A k = UJU k = UJU UJU UJU = = UJ k U J 8

9 Υπολογισμός A k (2) όπου: J k = και J k = k λ k λ k λ n λ k όταν J = k λ k k n λ k 0 k λ k n 2 λ k 0 0 k λ λ λ λ n όταν J = λ λ λ λ 9

10 Παράδειγμα () A = 2 2 Υπάρχει πίνακας U (πίνακας δεξιών ιδιοδιανυσμάτων) τέτοιος ώστε: 2 2 A 2 2 A U = U = U J J 2 2 U 2 2 0

11 Παράδειγμα (2) A k = A k = U 3 k 0 0 k J k 2 2 U 2 3 k + k 2 3 k + k 2 3 k + k 2 3 k + k 2 2

12 Παράδειγμα (3) Συνεπώς το ομογενές σύστημα x k + x 2 k + = 2 x k 2 x 2 k, x 0 x 2 0 έχει ως λύση την παρακάτω x k = A k x 0 = 2 3 k + k 2 3 k + k 2 3 k + k 2 3 k + k k 3 = 3 k = 2

13 Επίλυση μη ομογενούς συστήματος () Έστω το μη ομογενές σύστημα x k + = Ax k + Bu k Θα έχουμε x k = Ax k + Bu k = A Ax k 2 + Bu k 2 + Bu k = = A 2 x k 2 + ABu k 2 + Bu k = = k = A k x 0 + A k i Bu i i=0 3

14 Επίλυση μη ομογενούς συστήματος (2) Έστω το μη ομογενές σύστημα x kt + T = Ax kt + Bu kt Θα έχουμε x kt = Ax kt T + Bu kt T = A Ax kt 2T + Bu kt 2T + Bu kt T = = A 2 x kt 2T + ABu kt 2T + Bu kt T = = k = A k x 0 + A k i Bu it i=0 4

15 Παράδειγμα 2 () Συνεπώς το μη ομογενές σύστημα x k + x 2 k + = 2 x k 2 x 2 k + u k, 0 x 0 x 2 0 =, u k =, k N x k = x free k + x dynamic k Ελεύθερη απόκριση (λύση του συστήματος με μηδενική είσοδο) x free k = A k x 0 = 2 3 k + k 2 3 k + k 2 3 k + k 2 3 k + k = 3 k 3 k 5

16 Παράδειγμα 2 (2) Δυναμική απόκριση (λύση του συστήματος με μηδενικές αρχικές συνθήκες) x dynamic k = A k i Bu i = k i= k 2 k k 2 k 6

17 Απόκριση σταθερής και μεταβατικής κατάστασης () x k = x con k + x tr k Η απόκριση στην μόνιμη κατάσταση ισορροπίας (Το μέρος της ολικής απόκρισης που δεν μηδενίζεται όταν ο χρόνος τείνει στο άπειρο) x con k = 3 k k 2 k 3 k k 2 k 7

18 Απόκριση σταθερής και μεταβατικής κατάστασης (2) x k = x con k + x tr k Απόκριση μεταβατικής κατάστασης (Το μέρος της ολικής απόκρισης που τείνει στο μηδέν όταν ο χρόνος τείνει στο άπειρο) x tr k = 0 0 8

19 Παράδειγμα (άλλος τρόπος αναγωγή σε εξίσωση διαφορών μεγαλυτέρου βαθμού) () Συνεπώς το ομογενές σύστημα x k + x 2 k + = 2 2 x k x 2 k, x 0 x 2 0 = x 2 k + = x k 2x 2 k x 2 k + 2 = x k + 2x 2 k + x 2 k + 2 = 2x k + x 2 k 2x 2 k + x 2 k x 2 k + x 2 k = 2x k x 2 k x 2 k + x 2 k = 2 x 2 k + + 2x 2 k 9

20 Παράδειγμα (άλλος τρόπος αναγωγή σε εξίσωση διαφορών μεγαλυτέρου βαθμού) (2) x 2 k x 2 k + + 3x 2 k = 0 x 2 k x 2 k + + 3x 2 k = 0 Η χαρακτηριστική εξίσωση s 2 + 4s + 3 = 0 s = s = 3. 20

21 Παράδειγμα (άλλος τρόπος αναγωγή σε εξίσωση διαφορών μεγαλυτέρου βαθμού) (3) Ελεύθερη απόκριση x 2 free k x k = x 2 k + + 2x 2 k = = c k + c 2 3 k = c k+ + c 2 3 k+ + 2 c k + c 2 3 k x free k = c k c 2 3 k Αρχικές συνθήκες x free 0 = c c 2 = x free 2 0 = c + c 2 = c = 0 c 2 = x free k = 3 k x 2 free k = 3 k 2

22 Παράδειγμα (άλλος τρόπος αναγωγή σε εξίσωση διαφορών μεγαλυτέρου βαθμού) (4) Δυναμική απόκριση w 2 k w 2 k + + 3w 2 k w 2 k w 2 0 = 0, w 2 = = c k + c 2 3 k w 2 0 = c + c 2 = 0 c = w 2 = c 3c 2 = = u k 2 c 2 = 2 w 2 k = 2 k 2 3 k 22

23 Παράδειγμα (άλλος τρόπος αναγωγή σε εξίσωση διαφορών μεγαλυτέρου βαθμού) (5) Δυναμική απόκριση x 2 dynamic k = k j=0 2 k j 2 w 2 k j = k 2 k 3 k j u j + i 23

24 Παράδειγμα (άλλος τρόπος αναγωγή σε εξίσωση διαφορών μεγαλυτέρου βαθμού) (6) x k = x 2 k + + 2x 2 k x k = 3 k k+ 2 k k k 2 k x k = 3 k k 2 k 24

25 Λύση με Mathematica 25

26 Βιβλιογραφία Βαρδουλάκης Α.Ι.Γ., 202, Εισαγωγή στην Μαθηματική Θεωρία Σημάτων, Συστημάτων και Ελέγχου, Τόμος Β.. Εκδόσεις Τζιόλα. Antsaklis P. and Michel A.N., 977, Linear Systems, The McGraw-Hill Companies Inc. New York. Charles Ε., Donald G., James L., Melsa J., Rohrs C., Schultz D., 996, Γραμμικά συστήματα αυτομάτου ελέγχου, Εκδόσεις Τζιόλα. Chen C.T., 970, Introduction to Linear System Theory, Holt, Renehart and Winston Inc. New York. Kailath T., 980, Linear Systems, Prentice Hall. 26

27 Σημείωμα Αναφοράς Copyright, Νικόλαος Καραμπετάκης. «. Ενότητα 2: Επίλυση Διακριτών Συστημάτων». Έκδοση:.0. Θεσσαλονίκη 204. Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: 27

28 Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά - Παρόμοια Διανομή [] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων». Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί. [] 28

29 Διατήρηση Σημειωμάτων Οποιαδήποτε αναπαραγωγή ή διασκευή του υλικού θα πρέπει να συμπεριλαμβάνει: το Σημείωμα Αναφοράς το Σημείωμα Αδειοδότησης τη δήλωση Διατήρησης Σημειωμάτων το Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων (εφόσον υπάρχει) μαζί με τους συνοδευόμενους υπερσυνδέσμους. 29

30 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Τέλος Ενότητας Επεξεργασία: Αναστασία Γ. Γρηγοριάδου Θεσσαλονίκη, Εαρινό εξάμηνο