Θεωρία Τηλεπικοινωνιακής Κίνησης Ενότητα 3: Μαρκοβιανά συστήματα απωλειών

Transcript

1 Θεωρία Τηλεπικοινωνιακής Κίνησης Ενότητα 3: Μαρκοβιανά συστήματα απωλειών Μιχαήλ Λογοθέτης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών

2 Συνιστώμενο Βιβλίο: Εκδόσεις : Παπασωτηρίου Θεωρία Τηλεπικοινωνιακής Κινήσεως και Εφαρμογές Μιχαήλ Δ. Λογοθέτη Δεύτερη Έκδοση Το βιβλίο αυτό απευθύνεται κατ' αρχήν σε τηλεπικοινωνιακούς μηχανικούς και μηχανικούς Η/Υ. Δεδομένης όμως της διεισδυτικότητας της Θεωρίας Τηλεπικοινωνιακής Κινήσεως στον γενικότερο επιστημονικό τομέα των μηχανικών, συνιστάται η γνώση του αντικειμένου του βιβλίου αυτού σ' όλους τους Ηλεκτρολόγους/Ηλεκτρονικούς Μηχανικούς και ιδιαιτέρως σε όλους όσους εξειδικεύονται στον τομέα των τηλεπικοινωνιακών δικτύων ή δικτύων υπολογιστών ως διαχειριστές, αναλυτές ή σχεδιαστές. Πρόθεση του συγγραφέα είναι το βιβλίο αυτό να αποτελέσει εγχειρίδιο μελέτης για προπτυχιακούς φοιτητές. Συνιστάται δε ως βασικό υπόβαθρο στους φοιτητές που ενδιαφέρονται να ακολουθήσουν μεταπτυχιακές σπουδές στους προαναφερθέντες τομείς. Copyight 2012 Α. Παπασωτηρίου & ΣΙΑ Ο.Ε. Μιχαήλ Δ. Λογοθέτης 2

3 Σκοποί ενότητας Περιγραφή και ανάλυση των Μαρκοβιανών συστημάτων απωλειών Elang M/M/(0) και Enget M(n)/M/(0) Περιγραφή της έννοιας της στατιστικής ισορροπίας Υπολογισμός της πιθανότητας απωλείας κλήσεως και της πιθανότητας συμφόρησης στον χρόνο σε σύστημα απωλειών Enget Υπολογισμός της πιθανότητας απωλείας κλήσεως σε σύστημα απωλειών Elang Περιγραφή της έννοιας της απόδοσης γραμμών (tunk efficiency/occupancy) και της ταξινομημένης αναζήτησης γραμμής (odeed tunk hunting) 3

4 Περιεχόμενα ενότητας Το σύστημα απωλειών Μ/Μ/(0) Η έννοια της στατιστικής ισορροπίας Το σύστημα απωλειών Μ(n)/M/(0) Πιθανότητα απωλείας κλήσεως στο σύστημα απωλειών Enget Πιθανότητα συμφόρησης στον χρόνο στο σύστημα απωλειών Enget Τύπος απωλειών Elang Elang B fomula Απόδοση γραμμών (tunk efficiency/occupancy) Ταξινομημένη αναζήτηση γραμμής (odeed tunk hunting) 4

5 Το σύστημα απωλειών Μ/Μ/(0) (1) κλήσεις στο σύστημα, μ: ρυθμός εξυπηρέτησης Χρήστες (πηγές κίνησης) λ, ρυθμός άφιξης Προσφερομένη κίνηση Απώλειες Σύστημα ( εξυπηρετητές) Φορτίο κίνησης (διεκπεραιουμένη κίνηση) Θεωρούμε το σύστημα απωλειών με αφίξεις Poion και εκθετικό χρόνο εξυπηρέτησης του παραπάνω σχήματος. Από την στιγμή που οι αφίξεις μπλοκάρονται και εγκαταλείπουν το σύστημα όταν βρουν όλους τους εξυπηρετητές απασχολημένους, είναι επόμενο ο αριθμός των υπαρχουσών κλήσεων στο σύστημα να ισούται με τον αριθμό των κλήσεων που εξυπηρετούνται, δηλαδή με τον αριθμό των απασχολημένων εξυπηρετητών. 5

6 Το σύστημα απωλειών Μ/Μ/(0) (2) Έστω N(t) ο αριθμός των κλήσεων στο σύστημα την χρονική στιγμή t, και έστω ότι δεν υπάρχουν καταστάσεις όπου δύο ή περισσότερες κλήσεις ξεκινούν ή τερματίζουν σε (t, t+δt] όταν Δt >0. Τότε, το γεγονός {N(t+Δt)=} προκύπτει από μία από τις παρακάτω περιπτώσεις: 1. A: N(t) = και καμία κλήση δεν ξεκινά ή τερματίζει στο (t, t+δt] 2. B: N(t) = 1 και μία κλήση ξεκινά στο (t, t+δt] 3. C: N(t) = +1 και μία κλήση τερματίζει στο (t, t+δt] 6

7 Το σύστημα απωλειών Μ/Μ/(0) (3) Έστω P (t) = P {N(t)=}. Επειδή η πιθανότητα να τερματίσει μια κλήση στο (t, t+δt), με κλήσεις να βρίσκονται σε εξέλιξη, ισούται με μ Δt, έχουμε τις παρακάτω πιθανότητες: P{A} = P (t) (1 λδt μδt) P{B} = P 1 (t) λδt (1) P{C} = P +1 (t) (+1)μΔt Επειδή τα γεγονότα Α, Β, C είναι μοναδικά έχουμε: P (t+δt) = P{A}+P{B}+P{C} =P(t)+[λP 1 (t) (λ+μ)p (t)+(+1)μp +1 (t)]δt (2) 7

8 Το σύστημα απωλειών Μ/Μ/(0) (4) Η (2) μας δίνει την διαφορική εξίσωση: P ( t t) P ( t) lim = dp t 0 (t)/dt = λp -1 (t)-(λ+μ)p (t)+(+1)μp +1 (t). (3) t Πρακτικά ενδιαφερόμαστε για την μόνιμη κατάσταση μετά από αρκετό χρόνο. Aν υπάρχει μια τέτοια κατάσταση τότε υπάρχει και μια μοναδική οριακή πιθανοτική κατανομή {P } τέτοια ώστε για t να ισχύει: P (t) P, {dp (t)/dt} 0 ανεξάρτητα από την αρχική κατάσταση. Αυτό καλείται στατιστική ισορροπία (tatitical equilibium) και το P λέγεται πιθανότητα μονίμου καταστάσεως (teady tate pobability). Άρα, στην μόνιμη κατάσταση, το αριστερό μέλος της (3) είναι 0. 8

9 Το σύστημα απωλειών Μ/Μ/(0) (5) Επομένως προκύπτει η σχέση (εξίσωση κατάστασης ισορροπίας): (λ+μ)p = λp 1 +(+1)μP +1, = 0,1,..., (4) όπου P =0για = 1, +1 Η επίλυση της (4), μέσω προσθέσεων κατά μέλη των σχέσεων που προκύπτουν από την (4) για =0ως =i 1, μας δίνει την σχέση: P i =(α/i)p i 1 i=1,2,..., α = λ/μ (5) ή P i =(α/i)p i 1 =[α 2 /i(i 1)]P i 2 =... = (α i /i!)p 0 (6) όπου P 0 η πιθανότητα το σύστημα να είναι κενό (χωρίς κλήσεις). 9

10 Το σύστημα απωλειών Μ/Μ/(0) (6) Από την συνθήκη κανονικοποίησης: προκύπτει τελικά ότι: P 0 και λόγω της (6), προκύπτει η κατανομή Elang: i P P P 1 (7) i! i 0 0 i0 i1 i0 i i! 1 P! i i! i 0 (8) (9) 10

11 Το σύστημα απωλειών Μ/Μ/(0) (7) Αν στην (9), η τιμή του γίνει πολύ μεγάλη τότε προκύπτει η κατανομή Poion: P [α /! ] e α (9α) Για τον λόγο αυτό η (9) μεταφράζεται ως η διαδικασία Poion περικοπτόμενη από την χωρητικότητα των γραμμών (εξυπηρετητών). Γι' αυτό η (9) λέγεται και περικεκομμένη κατανομή Poion (Tuncated Poion Ditibution). 11

12 Η έννοια της στατιστικής ισορροπίας (1) Αν πολλαπλασιάσουμε και τα δύο μέλη της (λ+μ)p = λp 1 +(+1)μP +1 με Δt έχουμε: P λδt+p μδt=p 1 λδt+p +1 (+1) μδt (10) ηοποίαερμηνεύεταιωςεξής: Έστω S η κατάσταση όπου υπάρχουν κλήσεις στο σύστημα. Τότε, το αριστερό μέλος της (10) αναπαριστά την πιθανότητα S S +1 ή S S 1, (από την S σε γειτονικές καταστάσεις) ενώτοδεξιόμέλοςαναπαριστάτηνπιθανότητα S 1 S ή S +1 S (από τις γειτονικές καταστάσεις στην S ) 12

13 Η έννοια της στατιστικής ισορροπίας (2) Επομένως, από την (10) φαίνεται ότι η πιθανότητα να πάμε από την κατάσταση S σε γειτονικές καταστάσεις, ισούται με την πιθανότητα να πάμε από γειτονικές καταστάσεις στην S. Αυτό ονομάζεται «ρυθμός εισόδου = ρυθμός εξόδου» (ate in = ate out). λδt λδt μδt (+1)μΔt 13

14 Η έννοια της στατιστικής ισορροπίας (3) Από την σχέση (5) προκύπτει και η σχέση: λp 1 = μp =1,2,..., (10α) Το αριστερό μέλος της (10α) εκφράζει τον ρυθμό κατάστασης που «ανεβαίνει» και το δεξιό μέλος τον ρυθμό κατάστασης που «κατεβαίνει» και έτσι η (10α) ονομάζεται «ρυθμός ανόδου=ρυθμός καθόδου» (ate_up = ate_down). Η (10α) αναφέρεται και ως τοπική ισορροπία (local balance). Η (4) και ως σφαιρική ισορροπία (global balance). Η ύπαρξη σφαιρικής ισορροπίας δεν συνεπάγεται την ύπαρξη τοπικής ισορροπίας. Το αντίθετο ισχύει. 14

15 Η έννοια της στατιστικής ισορροπίας (4) λδt λδt λδt μδt Τοπική ισορροπία μδt (+1)μΔt Σφαιρική ισορροπία 15

16 Το σύστημα απωλειών Μ(n)/Μ/(0) (1) Θεωρούμε ένα σύστημα απωλειών παρόμοιο με το προηγούμενο, με πεπερασμένες όμως πηγές εισόδου, n. Επίσης, υποθέτουμε ότι ο χρόνος άφιξης από μία αδρανή είσοδο είναι εκθετικά κατανεμημένος με μέση τιμή v 1. Αυτό ονομάζεται ψευδo τυχαία είσοδος (διαδικασία, άφιξη, κ.λ.π.). Για την ανάλυση του συστήματος θεωρούμε ότι υπάρχουν κλήσεις στο σύστημα, οπότε n πηγές είναι αδρανείς και ο πραγματικός ρυθμός αφίξεων είναι (n )v (βλ. διάγραμμα καταστάσεων). (n-+1)ν Δ t (n-)ν Δ t μδt (+1)μΔt 16

17 Το σύστημα απωλειών Μ(n)/Μ/(0) (2) Από την σχέση «ρυθμός εξόδου = ρυθμός εισόδου», έχουμε την εξίσωση μονίμου καταστάσεως (teady tate equation): [(n ) v + μ ] P = (n + 1) v P 1 + ( + 1) μ P +1, = 0, 1,...,, (11) όπου P 1 =P +1 =0 Ακολουθώντας παρόμοια διαδικασία με εκείνη του M/M/(0) προκύπτει η αναδρομική σχέση: P ={(n +1)ν h/}p 1, = 1,2,..., (11α) όπου h=μ 1 είναι ο μέσος χρόνος εξυπηρέτησης. 17

18 18 Το σύστημα απωλειών Μ(n)/Μ/(0) (3) Από την (11α) και την συνθήκη κανονικοποίησης προκύπτει η κατανομή Enget: Αν n και nvh=α = σταθερό, τότε: οπότε η (12) συμπίπτει με την (9) (κατανομή Elang). i i vh i n vh n P 0 =0, 1,, (12)!! nvh n n n n n vh n (13)

19 Το σύστημα απωλειών Μ(n)/Μ/(0) (4) Στην ειδική περίπτωση όπου n (οπότε δεν χάνονται κλήσεις), ο παρονομαστής της (12) γίνεται (1+νh) n και η (12) απλοποιείται στην διωνυμική κατανομή (binomial ditibution): όπου: P n n 1 (14) α=vh/(1+vh) (14α) 19

20 Το σύστημα απωλειών Μ(n)/Μ/(0) (5) Υπολογισμός της πιθανότητας Π να υπάρχουν κλήσεις στο σύστημα ακριβώς πριν την άφιξη μιας κλήσης Έστω ΔΕ το γεγονός της άφιξης μιας κλήσης σε χρόνο Δt και E το γεγονός ότι υπάρχουν κλήσεις στο σύστημα (στην κατάσταση ισορροπίας). Από το θεώρημα Baye έχουμε: Π P{E ΔE} io P{E P{E }P{Δ E i }P{Δ E } i } (15) 20

21 Το σύστημα απωλειών Μ(n)/Μ/(0) (6) Επειδή P{ΔΕ/Ε } = (n )vδt και P{E } = P μέσω της (12), έχουμε: n n1 P{E }P{ΔE E } νh P0nνΔt νh PnνΔt 0 (15α) και τελικά μέσω της (15): i 0 n 1 h n 1 h i =0, 1,, (16) 21

22 Το σύστημα απωλειών Μ(n)/Μ/(0) (7) Συγκρίνοντας την (16) με την (12) έχουμε: Π [n] P [n 1] (17) H (17) μπορεί να εξηγηθεί ως εξής: Από την στιγμή που ένας εισερχόμενος πελάτης καταλαμβάνει μια είσοδο, θα δει την συμπεριφορά του συστήματος με τις εναπομένουσες (n 1) εισόδους. Αν n, τότε η είσοδος γίνεται Poion και έχουμε: Π [ ] = P [ ] (18) Η σχέση (18) αναμενόταν λόγω της ιδιότητας PASTA. 22

23 Πιθανότητα απωλείας κλήσεως στο σύστημα απωλειών Enget (1) Έστω α το προσφερόμενο φορτίο κίνησης και α c το φορτίο κίνησης που διεκπεραιώνεται από ένα σύστημα. Τότε ο ρυθμός απωλειών που καλείται και πιθανότητα απωλείας κλήσεως (call blocking pobability) δίνεται από την σχέση: Β=(α α c )/α (19) Έστω Ν ο αριθμός των κλήσεων στην κατάσταση ισορροπίας. Τότε, από την 4 η ιδιότητα του φορτίου κίνησης έχουμε: c E{ N } Επίσης, από την σχέση α=ch, έχουμε: 0 P P nvh n 1 n n1 α E{n N}vh ( n) Pvh νh ( n) ( vh) P0 Pnvh 0 ( vh) vh (20) (21) 23

24 24 Πιθανότητα απωλείας κλήσεως στο σύστημα απωλειών Enget (2) Η (19) μέσω των (20) και (21) οδηγεί στον τύπο απωλειών του Enget (Enget lo fomula), γνωστό και ως πιθανότητα συμφόρησης κλήσεων: i 0 i Π vh i 1 n vh 1 n B (22)

25 Πιθανότητα απωλείας κλήσεως στο σύστημα απωλειών Enget (3) Από την (22) έχουμε τον ακόλουθο αναδρομικό τύπο απωλειών του Enget: B, n, vh n vhb 1, n, vh n vhb 1, n, vh (23) όπου B(, n, νh): η πιθανότητα απωλείας κλήσεως : ο αριθμός των εξυπηρετητών n: ο αριθμός των πηγών κίνησης ν: ο ρυθμός άφιξης κλήσεων ανά ανενεργή πηγή h: ο μέσος χρόνος εξυπηρέτησης των κλήσεων Το γινόμενο νh μπορεί να εκφραστεί από την σχέση: vh n α 1 ;ό όπου vh το φορτίο κίνησης για κάθε ανενεργή πηγή και α το συνολικό φορτίο κίνησης α B, n, vh (24) 25

26 Πιθανότητα απωλείας κλήσεως στο σύστημα απωλειών Enget (4) Παράδειγμα εφαρμογής του αναδρομικού τύπου απωλειών Enget Να υπολογιστεί η πιθανότητα απώλειας κλήσεως σε ένα γραφείο όπου έχουμε 4 τηλέφωνα που προσφέρουν κίνηση 1 el σε δύο τηλεφωνικές γραμμές. Για τον υπολογισμό της πιθανότητας απώλειας κλήσεως εργαζόμαστε ως εξής: Έχουμε n = 4, =2 ενώ στην σχέση (23) ο όρος vh είναι άγνωστος. Θέτουμε αρχικά B(, n, νh)=0 1 ο Βήμα: Υπολογίζουμε τον όρο νh από την (24) 2 ο Βήμα: Υπολογίζουμε το B(, n, νh) από την (23) (για = 1, 2 ενώ για =0 υποθέτουμε ότι B=1) 3 ο βήμα: Υπολογίζουμε το α = nνh/(1+νh(1 B)). Αν το α ισούται με την τιμή που δίνεται στην εκφώνηση (εδώ 1 el) τότε σταματάμε. Διαφορετικά επαναλαμβάνουμε τα βήματα 1 ως 3. (25) 26

27 Πιθανότητα απωλείας κλήσεως στο B(, n, νh)=0 σύστημα απωλειών Enget (5) 1 1 βήμα : h (1 0) B(0,4,0.3333) 1 (4 1) βήμα : B(1,4,0.3333) (4 1) (4 2) B(2,4,0.3333) (4 2) βήμα : a ( ) Επειδή η τιμή el δεν είναι κοντά στο 1elεπαναλαμβάνουμε τα βήματα 1 ως 3, θεωρώντας B(, n, νh) =

28 Πιθανότητα απωλείας κλήσεως στο B(, n, νh)= σύστημα απωλειών Enget (6) 1 1 βήμα : h ( ) B(0,4,0.3182) 1 (4 1) βήμα : B(1,4,0.3182) (4 1) (4 2) B(2,4,0.3182) (42) o βήμα : a ( ) Η τιμή el δεν είναι τόσο κοντά στο 1elοπότε επαναλαμβάνουμε τα βήματα 1 ως 3, θεωρώντας B(, n, νh) =

29 Πιθανότητα απωλείας κλήσεως στο σύστημα απωλειών Enget (7) B(, n, νh)= o 1 1 βήμα : h ( ) B(0, 4,0.3190) 1 o (4 1) βήμα : B(1, 4, ) (4 1) (4 2) B(2, 4,0.3190) (4 2) o βήμα : a ( ) Άρα η πιθανότητα απωλείας κλήσεως είναι 13.49%. 29

30 Πιθανότητα συμφόρησης στον χρόνο στο σύστημα απωλειών Enget (1) Η πιθανότητα ένας εξωτερικός παρατηρητής να βρει όλους τους εξυπηρετητές κατειλημμένους υπολογίζεται από την (12) ως εξής: B T n vh n vh i i0 i P (26) Η πιθανότητα αυτή καλείται πιθανότητα συμφόρησης στον χρόνο (time congetion pobability) αφού τείνει να ισούται με το ποσοστό του χρόνου που όλοι οι εξυπηρετητές είναι κατειλημμένοι, όταν το διάστημα παρατήρησης είναι πολύ μεγάλο. 30

31 Πιθανότητα συμφόρησης στον χρόνο στο σύστημα απωλειών Enget (2) Σημειώνεται ότι ακόμη και όταν τα n, h και v δίνονται, το α εξαρτάται απ το B. Πάντως, στη περίπτωση όπου n έχουμε Β = 0, οπότε όλο το προσφερόμενο φορτίο διεκπεραιώνεται. Ισχύει δηλαδή: α= nνh/(1+νh) α (27) όπου α το επιδιωκόμενο φορτίο κίνησης (intended taffic load). Σ αυτή την περίπτωση η πιθανότητα κατάστασης P j απλοποιείται στη διωνυμική κατανομή, όπως φαίνεται στην (14), και η σχέση (14α) γίνεται α = α /n το οποίο είναι το προσφερόμενο φορτίο ανά πηγή κίνησης. 31

32 Τύπος απωλειών Elang Elang B fomula (1) Αν n και v 0, και κρατήσουμε σταθερό το γινόμενο nνh= α, χρησιμοποιώντας την σχέση (13) έχουμε τον τύπο απωλειών του Elang: B B T i0 α! i α i! E α (28) ο οποίος αναφέρεται και ως Elang B fomula και συμβολίζεται με E (α). Σ αυτή την περίπτωση έχουμε την σχέση, ότι το προσφερόμενο φορτίο ισούται με το επιδιωκόμενο/προσδοκώμενο: α lim n 1 nvh nv 1 B α (29) 32

33 Τύπος απωλειών Elang Elang B fomula (2) Από την σχέση (28) έχουμε τον επαναληπτικό (αναδρομικό) τύπο: Ε (α)=αe 1 (α)/(+αe 1 (α)), E 0 (α)=1 (30) ο οποίος είναι πολύ βολικός για αριθμητικούς υπολογισμούς. Η B fomula του Elang είναι χρήσιμη στον τηλεπικοινωνιακό μηχανικό καθώς βρίσκει εφαρμογές στον σχεδιασμό ενσύρματων τηλεπικοινωνιακών συστημάτων, δικτύων GSM κτλ. 33

34 Τύπος απωλειών Elang Elang B fomula (3) Απόδειξη του αναδρομικού τύπου Elang B 1 αα α α! ( 1)! ( 1)! i! E(α) α α α α αα 1 αα i αα αα ( 1)! i0 i 1 i 1 i i i0i! i0i!! i0i! ( 1)! α ( 1)! οπότε με βάση το γεγονός ότι: E 1 (α) 1 i0 1 α ( 1)! i α i! αποδεικνύεται τελικά η αναδρομική σχέση (30). i0 i! 34

35 Τύπος απωλειών Elang Elang B fomula (4) 1.0 Call Blocking Pobability eve 10 eve 15 eve Offeed Taffic Load (el) Στην γραφική παράσταση απεικονίζεται η πιθανότητα απωλείας των κλήσεων συναρτήσει του προσφερομένου φορτίου κίνησης, το οποίο μεταβάλλεται από 0 έως 20 el, όταν ο αριθμός των eve είναι 5 ή 10 ή

36 Απόδοση γραμμών (tunk efficiency/occupancy) (1) Το φορτίο κίνησης που μεταφέρεται από μια γραμμή (δηλαδή ο λόγος της διεκπεραιουμένης κινήσεως προς τον συνολικό αριθμό των γραμμών) λέγεται απόδοση των γραμμών (tunk efficiency occupancy) και δίδεται από την σχέση: η = α c / = {α(1 B)}/ (31) Παρατήρηση Πρέπει να τονιστεί ότι αφού μια γραμμή μπορεί να μεταφέρει το μέγιστο 1 el, έχουμε την σχέση η 1. Έτσι, σε συστήματα απωλειών αν και το προσφερόμενο φορτίο α>, το μεταφερόμενο φορτίο είναι α c = α(1 B) < οπότε η σταθερή (μόνιμη) κατάσταση πάντοτε υφίσταται. 36

37 Απόδοση γραμμών (tunk efficiency/occupancy) (2) Tunk Occupancy Numbe of eve Το παραπάνω σχήμα δείχνει ένα παράδειγμα της απόδοσης γραμμών, με δεδομένη την πιθανότητα απωλείας κλήσεως Β=0.01. Βλέπουμε ότι με δεδομένο GOS, όσο μεγαλύτερο αριθμό γραμμών έχουμε τόσο μεγαλύτερη είναι και η απόδοση γραμμών. Αυτό λέγεται επίδραση μεγάλης κλίμακας (lage cale effect) και είναι η περίπτωση ενός γενικού συστήματος κίνησης, αποτελεί δε σπουδαίο χαρακτηριστικό στον σχεδιασμό τηλεπικοινωνιακών συστημάτων. 37

38 Ταξινομημένη αναζήτηση γραμμής (odeed tunk hunting) (1) Έστω το μοντέλο ταξινομημένης αναζήτησης (odeed tunk hunting) που φαίνεται στο σχήμα, στο οποίο το φορτίο κίνησης α el δίδεται για να απαριθμηθούν οι γραμμές (tunk) οι οποίες αναζητούνται σειριακά από τoν ελάχιστο ως τον μέγιστο αριθμό. Το φορτίο κίνησης που μεταφέρεται από την γραμμή δίδεται από την σχέση: α = α [E 1 (α) E (α)] (32) #1 #2 # #+1 # α αε (α) 38

39 Ταξινομημένη αναζήτηση γραμμής (odeed tunk hunting) (2) To σχήμα που ακολουθεί δείχνει ένα αριθμητικό παράδειγμα της (32). Φαίνεται ότι όσο μεγαλύτερο αριθμό γραμμών έχουμε, τόσο μικρότερο είναι το φορτίο ανά γραμμή που μεταφέρεται. Συγκεκριμένα το φορτίο που μεταφέρεται από την τελευταία γραμμή (την ) ονομάζεται χωρητικότητα της τελευταίας γραμμής (Lat Tunk Capacity LTC). 1.0 Διεκπεραιουμένη κίνηση Caied taffic fom ith-eve (el) από τον εξυπηρετητή i (el) αριθμός num be εξυπηρετητών of eve i. i (tunk) 39

40 Ταξινομημένη αναζήτηση γραμμής (odeed tunk hunting) (3) Το συνολικό μεταφερόμενο φορτίο α c είναι: c 1 [ 1 E ] (33) το οποίο είναι ανεξάρτητο από τον τρόπο αναζήτησης π.χ. σειριακός, τυχαίος κ.λ.π. Η επιπρόσθετη χωρητικότητα γραμμής (Additional Tunk Capacity ΑΤC) καθορίζεται από την αύξηση του φορτίου κίνησης Δα όταν μια γραμμή προστίθεται στην ζεύξη αλλά η πιθανότητα απωλείας κλήσεως Β παραμένει σταθερή. Άρα: E (α)=e +1 (α+δα)=β (34) Το LTC και το ATC χρησιμοποιούνται στον σχεδιασμό συστημάτων εναλλακτικής δρομολόγησης. 40

41 Τέλος Ενότητας

42 Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στo πλαίσιo του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Πανεπιστημίου Πατρών» έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 42

43 Σημειώματα 43

44 Σημείωμα Ιστορικού Εκδόσεων Έργου Το παρόν έργο αποτελεί την έκδοση

45 Σημείωμα Αναφοράς Copyight Πανεπιστήμιο Πατρών, Μιχαήλ Λογοθέτης. «Θεωρία Τηλεπικοινωνιακής Κίνησης. Μαρκοβιανά συστήματα απωλειών». Έκδοση: 1.0. Πάτρα Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: 45

46 Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Ceative Common Αναφορά, Μη Εμπορική Χρήση Παρόμοια Διανομή 4.0 [1] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων». [1] nc a/4.0/ Ως Μη Εμπορική ορίζεται η χρήση: που δεν περιλαμβάνει άμεσο ή έμμεσο οικονομικό όφελος από την χρήση του έργου, για το διανομέα του έργου και αδειοδόχο που δεν περιλαμβάνει οικονομική συναλλαγή ως προϋπόθεση για τη χρήση ή πρόσβαση στο έργο που δεν προσπορίζει στο διανομέα του έργου και αδειοδόχο έμμεσο οικονομικό όφελος (π.χ. διαφημίσεις) από την προβολή του έργου σε διαδικτυακό τόπο Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί. 46

47 Διατήρηση Σημειωμάτων Οποιαδήποτε αναπαραγωγή ή διασκευή του υλικού θα πρέπει να συμπεριλαμβάνει: το Σημείωμα Αναφοράς το Σημείωμα Αδειοδότησης τη δήλωση Διατήρησης Σημειωμάτων το Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων (εφόσον υπάρχει) μαζί με τους συνοδευόμενους υπερσυνδέσμους. 47

48 Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων Το Έργο αυτό κάνει χρήση του ακόλουθου έργου: Εικόνες/Σχήματα/Διαγράμματα/Φωτογραφίες/Πίνακες [1] Μιχαήλ Λογοθέτης, Θεωρία Τηλεπικοινωνιακής Κινήσεως και Εφαρμογές, 2 η έκδοση, Παπασωτηρίου,