Αυτοματοποιημένη χαρτογραφία

Transcript

1 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑ ΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Αυτοματοποιημένη χαρτογραφία Ενότητα # 8: Μοντελοποίηση Χαρτογραφικών Δεδομένων Ιωάννης Γ. Παρασχάκης Τμήμα Αγρονόμων & Τοπογράφων Μηχανικών

2 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. 2

3 Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 3

4 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑ ΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μοντελοποίηση Χαρτογραφικών Δεδομένων

5 Περιεχόμενα ενότητας 1. Μοντέλα χαρτογραφικών Δεδομένων 2. Ντετερμινιστικά & Στοχαστικά 3. Ντετερμινιστικά μοντέλα 4. Ελάχιστα τετράγωνα 5. Άλλες συναρτήσεις βάσης 6. Στοχαστικά μοντέλα 7. Γενικά πολυωνυμικά μοντέλα 8. Fractals 5

6 Σκοποί ενότητας Κατανόηση των χαρτογραφικών μοντέλων που χρησιμοποιούνται στα χαρτογραφικά δεδομένα 6

7 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ Μοντελοποίηση χαρτογραφικών δεδομένων

8 Μοντέλα χαρτογραφικών Ιδιότητες Δεδομένων Περιγραφικά (η άποψή μας για το φαινόμενο) Δυναμικά (λαμβάνουν υπόψη τις αλλαγές στη γνώση) Αφαιρετικά Ελλιπή Λανθασμένα

9 Μοντελοποίηση χαρτογραφικών δεδομένων Μοντέλο Ορισμός παρατηρούμενων ποσοτήτων και οι μεταξύ τους σχέσεις Ιδιότητες του φαινομένου Τα αποτελέσματα νέων παρατηρήσεων Πληρότητα Πλουτισμός γνώσεων και επαλήθευση μέσω πειραμάτων Μοναδικότητα Εξαγωγή μοναδικών ή μονοσήμαντων συμπερασμάτων Απλότητα Λιγότερες υποθέσεις και λιγότερες παραμέτρους

10 Ντετερμινιστικά & Στοχαστικά Ντετερμινιστικά Οι παράμετροι είναι άγνωστες και σταθερές Στοχαστικά Οι παράμετροι είναι άγνωστες και δεν είναι σταθερές, αλλά αποτελούν δείγματα πληθυσμών που οι στατιστικές κατανομές τους, μας είναι κατά κανόνα άγνωστες.

11 Ντετερμινιστικά Μοντέλα Ι Συναρτήσεις Βάσης f n ak k k= 0 ( t) f(t) = φ (t) Πολυωνυµικά µοντέλα φ k (t)= x k f(t) = f(x) = a o +a 1 x+a 2 x 2 + +a m x m

12 Ντετερμινιστικά Μοντέλα ΙΙ Πολυώνυμα Chebyshev Πολυώνυμα Legendre (ορθοκανονικά)

13 Ντετερμινιστικά Μοντέλα ΙΙΙ Στη γενική περίπτωση η συνάρτηση που f(t) περιγράφει το χαρτογραφούμενο φαινόμενο είναι άγνωστη. Έστω ότι η γνωστή συνάρτηση που χρησιμοποιείται είναι f(t) με m άγνωστες παραμέτρους. Έστω ότι έχουμε μετρήσεις του φαινομένου σε n σημεία και κατ επέκταση έχουμε τις τιμές τις συνάρτησης, σε f i (t) με i=1,2,3,,n

14 Ντετερμινιστικά Μοντέλα ΙV Μοναδική λύση Αριθμός αγνώστων παραμέτρων mίσος με τον αριθμό των παρατηρήσεων n(m=n) Αδύνατο Αριθμός αγνώστων παραμέτρων mμικρότερος από τον αριθμό των παρατηρήσεων n(m<n) Άπειρες λύσεις Αριθμός αγνώστων παραμέτρων mμεγα-λύτεροςαπό τον αριθμό των παρατηρήσεων n(m>n)

15 Ελάχιστα τετράγωνα Εισαγωγή κάποιας συνθήκης ελαχίστου πχ: Ομοιόμορφη νόρμα Chebyshev f - ~ f = max α x β ~ f min Νόρμα τετραγωνικού σφάλματος f - = f - ~ f β = [f α - ~ f] 2 dt = min

16 Άλλες συναρτήσεις βάσης Πεπερασμένα στοιχεία (finite elements) Κατά τμήματα συνεχή πολυώνυμα (piecewise polynomials) Κυβικές splines

17 Στοχαστικά μοντέλα Η μέση τιμή x = E{xk } Η μεταβλητότητα σ 2 x k = E{(x k - x k ) 2 } Η συμμεταβλητότητα σ = E{(x + - x )(x 2 xk xk d k k k+ d k+ d - x )}

18 Γενικά πολυωνυμικάμοντέλα Αυτοπαλινδρόμηση (Auto Regressive, AR) Η γενική μορφή του μοντέλου είναι f(t k ) = γ 1 f(t k-1 ) + γ 2 f(t k-2 ) + + γ p f(t k-p ) + e k μοντέλο αυτοπαλινδρόμησης τάξης p, όπου γ i πραγματικοί αριθμοί, το k=2,3,,n και τα e k είναι στοχαστικές και ανεξάρτητες μεταξύ τους μεταβλητές κανονικής κατανομής με μέση τιμή μηδέν και ίσες μεταβλητότητες σ k = 2 2 e σe Κινητός μέσος όρος (Moving Average, MA) Η γενική μορφή του μοντέλου είναι f(t k ) = e k + α 1 e k-1 + α 2 e k α p e k-p μοντέλο κινητού μέσου όρου τάξης q Μικτά ARMA (Auto Regressive Moving Average) Μοντέλα διαφορικών εξισώσεων

19 ν f(t) Fractals ν Η σχέση e k = = Df(t) ν περιγράφει τη γενική t περίπτωση ενός AR μοντέλου, όπου ν ακέραιος αριθμός. Θεωρώντας στη θέση του ν οποιονδήποτε θετικό πραγματικό αριθμό, όχι κατ ανάγκη ακέραιο, εισάγουμε μια ολόκληρη οικογένεια συναρτήσεων. e k = D ν f(t), όπου D ν η ν-οστή παράγωγος της συνάρτησης, όχι κατ ανάγκη ακέραια

20 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑ ΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Τέλος ενότητας Επεξεργασία: Δημήτριος Σαραφίδης Θεσσαλονίκη, Εαρινό Εξάμηνο