Αυτοματοποιημένη χαρτογραφία

Transcript

1 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑ ΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Αυτοματοποιημένη χαρτογραφία Ενότητα # 3: Αλγοριθμικές μέθοδοι παρεμβολής Ιωάννης Γ. Παρασχάκης Τμήμα Αγρονόμων & Τοπογράφων Μηχανικών

2 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creatve Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς.

3 Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο και από εθνικούς πόρους. 3

4 Σκοποί ενότητας Κατανόηση των αλγοριθμικών μεθόδων παρεμβολής στα ψηφιακά χαρτογραφικά δεδομένα 4

5 Αλγοριθμικές μέθοδοι παρεμβολής

6 Περιεχόμενα ενότητας Πιστή και εξομαλυντική παρεμβολή με τη μέθοδο της σημειακής προσαρμογής Η συνάρτηση συμμεταβλητότητας Απλή και κεντροβαρική κινητή μέση τιμή και δυναμικό 6

7 Πιστή εξομαλυντική παρεμβολή με τη μέθοδο της σημειακής προσαρμογής (/7 Όπως ήδη αναφέραμε οι άγνωστες παράμετροι a,,,3,,m μπορούν να θεωρηθούν ως στοχαστικές μεταβολές που χαρακτηρίζονται από στατιστικές ποσότητες. Στην περίπτωση αυτή ο πίνακας βάρους R των αγνώστων παραμέτρων, μπορεί να οριστεί ως ο αντίστροφος κάποιου πίνακα συμμεταβλητότητας των a. Θεωρώντας ότι οι παράμετρες a είναι ασυσχέτιστες μεταξύ τους και μεταβλητότητα σ, ο πίνακας R είναι διαγώνιος με στοιχεία:,,,3,...,m σ R ι

8 Πιστή εξομαλυντική παρεμβολή με τη μέθοδο της σημειακής προσαρμογής (/7 Θεωρώντας δύο σημεία Ρ και Ρ, καθώς και τις τιμές της συνάρτησης παρεμβολής f(ρ και f(p στα παραπάνω σημεία, μπορούμε να εφαρμόσουμε το Νόμο Μετάδοσης των Μεταβλητοτήτων στην f(x,y και να υπολογίσουμε τη συμμεταβλητότητα σ(f(p,f(p : σ(f(p,f(p f(p f(p a m, a σ(a,a Επειδή οι παράμετροι a είναι ασυσχέτιστες μεταξύ τους ισχύει ότι: σ(a,a σ για 0για

9 Πιστή εξομαλυντική παρεμβολή με τη μέθοδο της σημειακής προσαρμογής (3/7 Επίσης έχουμε : f(p f(p φ(ρ, a a Οπότε καταλήγουμε : φ(ρ σ(f(p,f(p m, m f(p f(p σ(a,a φ(ρ φ (Ρ σ a a,

10 Πιστή εξομαλυντική παρεμβολή με τη μέθοδο της σημειακής προσαρμογής (4/7 Μετά τον υπολογισμό των παραμέτρων a η τιμή της συνάρτησης για κάποιο τυχαίο σημείο Ρ, θα f δίνεται από τη σχέση: f(p a φ (Ρ + a φ (Ρ T T [ φ (Ρ φ(ρ... φm(ρ ] [ a a... am] φ a Αντικαθιστώντας στην παραπάνω σχέση το : a f(p Θέτοντας C ΦR έχουµε T f(p c C P φ - - z T a Φ T φ και T R c Ρ a m - φ m Φ (Ρ T ΦR (ΦR - φ - Φ T - z

11 Πιστή εξομαλυντική παρεμβολή με τη μέθοδο της σημειακής προσαρμογής (5/7 Οι πίνακες C και c P έχουν στοιχεία C και c P m k m k φ φ k k (Ρ φ (Ρ φ k k (Ρ σ (Ρσ k k σ(ρ,ρ σ(ρ,ρ ι

12 Πιστή εξομαλυντική παρεμβολή με τη μέθοδο της σημειακής προσαρμογής (6/7 Η λύση της f(p c T P C - z μπορεί να βρεθεί αν ξέρουμε τη συνάρτηση συμμεταβλητότητας της f(x,y χωρίς να είναι ανάγκη να χρησιμοποιήσουμε συναρτήσεις βάσης και χωρίς να χρειαστεί να υπολογίσουμε τις άγνωστες παραμέτρους. Αν αντί της συνθήκης ελαχιστοποίησης a Τ R a mn, εφαρμόσουμε την v Τ P v + a Τ R a mn, τότε θεωρώντας ότι Ρ Σ -, όπου Σ ο πίνακας συμμεταβλητότητας των αποκλίσεων v από την επιφάνεια παρεμβολής, έχουμε: T - T - T - T - f(p φ R Φ (ΦR Φ + Σ z c (C+ Σ z P

13 Πιστή εξομαλυντική παρεμβολή με τη μέθοδο της σημειακής προσαρμογής (7/7 Η μέθοδος f(p c T P C - z ονομάζεται Πιστή Σημειακή Προσαρμογή με τη ΜΕΤ (Least Squares Collocaton, γιατί προσαρμόζει την επιφάνεια παρεμβολής στις αρχικές τιμές του φαινομένου. Αντιθέτως η μέθοδος T - f(p cp (C+ Σ z ονομάζεται Εξομαλυντική Σημειακή Προσαρμογή με τη ΜΕΤ γιατί δίνει καινούργιες τιμές στην επιφάνεια δεδομένων

14 Η συνάρτηση συμμεταβλητότητας (/ Η συνάρτηση συμμεταβλητότητας παίζει σπουδαίο ρόλο. Άλλωστε σ αυτήν στηρίζεται όλη η φιλοσοφία της μεθόδου. Συνήθως χρησιμοποιούμε ως συνάρτηση συμμεταβλητότητας μια εμπειρική συνάρτηση. Τέτοιου είδους συναρτήσεις είναι της μορφής: σ(r(- f - e r m όπου η φυσική σημασία των παραμέτρων είναι η παρακάτω: f επιδρά στο βαθμό εξομάλυνσης. Μεγάλη τιμή f μεγάλη εξομάλυνση m επιδρά στην κλίση της συνάρτηση και τέλος r (xp + xp + (y P - y P

15 Η συνάρτηση συμμεταβλητότητας (/ Οι παράμετροι της συνάρτησης σ(r μπορούν να οριστούν με τη βοήθεια των τιμών της επιφάνειας δεδομένων, μέσω της διαδικασίας κατασκευής ιστογράμματος. Εάν τέλος η συνάρτηση συμμεταβλητότητας που επιλέξαμε είναι ικανοποιητική, αυτό θα φανεί από τα αποτελέσματα της παρεμβολής.

16 Απλή και κεντροβαρική κινητή μέση τιμή και δυναμικό (/4 Θεωρώντας ό,τι έχουμε γνωστές τιμές ενός φαινομένου z,,,3,, n η τιμή του φαινομένου σε κάποιο σημείο k υπολογίζεται ως ο μέσος όρος των σημείων των γνωστών τιμών, που τυχαίνει να βρίσκονται εντός ενός κύκλου με κέντρο το k και ακτίνα ρ την οποία επιλέγουμε εμείς: fk f, όπουμτοπλήθοςτωνσηµείων που βρίσκονται M r ρ εντός του κύκλου και r (x - x k + (y - y k ρ k Η μέθοδος αυτή ονομάζεται κινητή μέση τιμή

17 Αν δεν πάρουμε απλά το μέσο όρο αλλά δώσουμε και κάποιο βάρος στις τιμές του φαινομένου, τότε έχουμε τον κεντροβαρικό κινητό μέσο όρο : f p f k p Απλή και κεντροβαρική κινητή μέση τιμή και δυναμικό (/4 όπου p p και p p (r, δηλαδή εξαρτάται από την απόσταση r

18 Απλή και κεντροβαρική κινητή μέση τιμή και δυναμικό (3/4 Η έννοια του δυναμικού που χρησιμοποιείται στη Χαρτογραφία δεν είναι τίποτε άλλο παρά ένας κινητός μέσος όρος που δίνεται από τη σχέση: p z + n για z r για όπου p το δυναμικό στο σημείο, z η τιμή του φαινομένου στο σημείο και r η απόσταση ανάμεσα στα σημεία I και. Γράφοντας την παραπάνω σχέση με μορφή πινάκων έχουμε:

19 m n n m m n z z z. r r.... r. r r. r p. p p. Απλή και κεντροβαρική κινητή μέση τιμή και δυναμικό (4/4

20 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑ ΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Τέλος ενότητας Επεξεργασία: Δημήτριος Σαραφίδης Θεσσαλονίκη, Εαρινό Εξάμηνο 0-3