Συστήματα Επικοινωνιών

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Συστήματα Επικοινωνιών"

Transcript

1 Συστήματα Επικοινωνιών Ενότητα 3: Αποδιαμόρφωση Σαγκριώτης Εμμανουήλ Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών

2 Σκοποί ενότητας 1. Γνωριμία με τις τεχνικές δημιουργίας διακριτού καναλιού.. Γνωριμία με τεχνικές ελαχιστοποίησης της επίδρασης του θορύβου στην αξιοπιστία του διακριτού καναλιού. 3. Δυνατότητα αξιολόγησης των ψηφιακών συστημάτων Μ-PAM, M-PSK, M-QAM, M-FSK

3 Περιεχόμενα ενότητας 1. Δημιουργίας διακριτού καναλιού με τη χρήση φυσικού καναλιού και παλμοσειρών ή κυματοσειρών.. Προσδιορίζεται η κρουστική απόκριση του βέλτιστου φίλτρου στην έξοδο του καναλιού για τη μέτρηση πλάτους κυματομορφής παρουσία AWG θορύβου. 3. Αναλύονται οι επιδόσεις των συστημάτων M-PAM, M-PSK, M-QAM,M-FSK. 3

4 Ενότητα 3 Αποδιαμόρφωση (Demodulation)

5 Μέσα από τα Φυσικά κανάλια είναι αδύνατον να διαβιβαστούν απευθείας αριθμοί! Η διαβίβαση των αριθμών μέσα από τα φυσικά κανάλια γίνεται έμμεσα με τη βοήθεια των κυματομορφών. Για παράδειγμα επιλέγουμε τη βασική κυματομορφή ψ(t) με πεπερασμένη διάρκεια Τ, η οποία παρουσιάζει τα εξής χαρακτηριστικά: ψ(t) t 0 για t<0 ή για t 1. Μπορεί να διέλθει από το φυσικό κανάλι με μικρή παραμόρφωση, ή ακόμα και χωρίς παραμόρφωση.. Η ενέργειά της είναι μονάδα. t t dt t dt 0 1 5

6 Χρησιμοποιώντας τη βασική κυματομορφή ψ(t) και ολισθημένα αντίγραφά της κατασκευάζουμε την κυματοσειρά: 7Α 3Α ΣΤΙΓΜΙΟΤΥΠΟ ΚΥΜΑΤΟΣΕΙΡΑΣ ΤΕΤΡΑΔΙΚΟΥ ASK 0 Τ Τ 3Τ 4Τ 5Τ 6Τ 5Α Α a n: A 3A A 5A A 7A {,3,5,7 } n n n s t a t n a A A A A 6

7 ΣΤΙΓΜΙΟΤΥΠΟ ΚΥΜΑΤΟΣΕΙΡΑΣ ΤΕΤΡΑΔΙΚΟΥ PAM st a { 3,,,3 } np t n t0 an A A A A n 7

8 ΑΠΟΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗ ΓΝΩΣΤΗΣ ΚΥΜΑΤΟΜΟΡΦΗΣ ΠΑΡΟΥΣΙΑ AWG ΘΟΡΥΒΟΥ Στο δέκτη κατά την n-στη περίοδο σηματοδοσίας γίνεται επεξεργασία του τμήματος της κυματοσειράς που αντιστοιχεί στην n-στη ολίσθηση της κυματομορφής s t a t n, n t n 1 n στο σήμα αυτό έχει προστεθεί και ο θόρυβος του καναλιού, που είναι AWG θόρυβος n(t)με μέση τιμή μηδέν και PSD G n (f) G n (f)=n 0 / Στο δέκτη δηλαδή φθάνει το σήμα r(t) r t a t n n( t), n t n 1 n 8

9 Στη διαβίβαση διακριτών δεδομένων είναι χαρακτηριστικό ότι ο δέκτης γνωρίζει επακριβώς την βασική κυματομορφή ψ(t), η οποία είναι ένα αιτιατό σήμα και απαιτείται μόνο να προσδιορίσει την τυχαία μεταβλητή a n, στην οποία ο πομπός έχει αποτυπώσει την πληροφορία. Τη διαδικασία αυτή του προσδιορισμού της α n για κάθε περίοδο σηματοδοσίας από το λαμβανόμενο ενθόρυβο σήμα r(t) καλούμε αποδιαμόρφωση (demodulation) του σήματος της κυματοσειράς. 9

10 Για τη διαδικασία της αποδιαμόρφωσης χρησιμοποιείται φίλτρο για την εξουδετέρωση κατά το δυνατόν της επίδρασης του θορύβου στην ακρίβεια μέτρησης της α n. Έστω h(t) η κρουστική απόκριση του φίλτρου. (Απόκριση Συχνότητας H(f)). Θεωρώντας τη διαδικασία αποδιαμόρφωσης για n=0, ισχύει s(t)=a 0 ψ(t) +n(t) για 0<=t<. r(t)=s(t)+n(t) h(t) t= r=s+v v Gaussian μ=0 σ=σ 0 10

11 r(t)=s(t)+n(t) s(t)=a 0 ψ(t) h(t) t= r=s+v v Gaussian μ=0 σ=σ 0 Δειγματοληπτώντας την έξοδο του φίλτρου στο τέλος της διάρκειας επεξεργασίας, δηλαδή τη χρονική στιγμή t= λαμβάνουμε το δείγμα r. r=s+v Επειδή το φίλτρο είναι γραμμικό το δείγμα r θα αποτελείται από δύο συνιστώσες, δηλαδή r=s+ν. Οι συνιστώσες αυτές: ν: Είναι η έξοδος του φίλτρου που οφείλεται μόνο στον θόρυβο n(t). s: Είναι η έξοδος του φίλτρου που οφείλεται στο σήμα a 0 ψ(t). 11

12 Σύμφωνα με τις ιδιότητες του Gaussian θορύβου θα ισχύει ότι η ν είναι μία τυχαία μεταβλητή, με κατανομή Gaussian και μέση τιμή μηδέν. Από τις γνώσεις μας για τα σήματα ισχύος γνωρίζουμε ότι η διακύμανση της ν, η σ ν θα ισούται: N N H f df ht dt 0 0 v Ο δεύτερος προσθετέος του r, το s, οφείλεται στο σήμα και είναι η τιμή που θα είχε το r αν δεν υπήρχε θόρυβος. Ισχύει s=s(τ)*h(τ) t=, δηλαδή: s h t s t dt a h t t dt 0 1

13 ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΒΕΛΤΙΣΤΟΥ ΦΙΛΤΡΟΥ Στο σημείο αυτό τίθεται το ερώτημα: Ποιο είναι το βέλτιστο φίλτρο για την εφαρμογή αυτή; Δηλαδή ποια πρέπει να είναι η συνάρτηση h(t) ώστε να ελαχιστοποιηθεί η επίδραση του θορύβου στον προσδιορισμό του s; Ισοδύναμα Ποια πρέπει να είναι η συνάρτηση h(t) ώστε να γίνει μέγιστος ο λόγος s 0 N 0 a t h t dt h t dt 13

14 Δηλαδή ποια η h(t) ώστε ο λόγος t h t dt h t dt να γίνει μέγιστος; 14

15 ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΒΕΛΤΙΣΤΗΣ ΛΥΣΗΣ Γνωριμία με το μαθηματικό τύπο Cauchy-Schwartz Για τις μιγαδικές συναρτήσεις g 1 (t) και g (t) ισχύει. g t g t dt g t dt g t dt 1 1 Η ισότητα ισχύει μόνο όταν g 1 (t)=cg * (t), c οποιοσδήποτε μιγαδικός αριθμός. ή αλλιώς για τις πραγματικές συναρτήσεις g 1 (t) και g (t) ισχύει. 1 g t g t dt g t dt 1 g t dt Η ισότητα ισχύει μόνο όταν g 1 (t)=cg (t), c οποιοσδήποτε πραγματικός αριθμός. 15

16 ΑΝΑΚΕΦΑΛΑΙΩΣΗ Ποια η h(t) ώστε να γίνει μέγιστος ο λόγος Αναζήτηση Τύπος Cauchy-Schwartz t h t dt h t dt 1 g t g t dt g t dt 1 g t dt Η ισότητα ισχύει μόνο όταν g 1 (t)=cg (t), c οποιοσδήποτε πραγματικός αριθμός. Εφαρμόζοντας λοιπόν τον τύπο Cauchy-Schwartz για g 1 (t)=ψ(-t) και g (t)=h(t) προκύπτει: 16

17 t h t dt h t dt t Η ισότητα ισχύει μόνο όταν h(t)=cψ(-t), c οποιοσδήποτε πραγματικός αριθμός. dt Θέτοντας -t=z προκύπτει εύκολα t dt z dz 1 δηλαδή t h t dt h t 1 dt Η ισότητα ισχύει μόνο όταν h(t)=cψ(-t), c οποιοσδήποτε πραγματικός αριθμός. 17

18 Επομένως η μεγαλύτερη τιμή που μπορεί να λάβει το κλάσμα είναι t h t dt h t Η ισότητα ισχύει μόνο όταν h(t)=cψ(-t), c οποιοσδήποτε πραγματικός αριθμός, και αυτή είναι η κρουστική απόκριση του βέλτιστου φίλτρου. 1 Ανακεφαλαιώνοντας λοιπόν, για h(t)=cψ(-t), dt s a0 και αυτό αποτελεί τη μέγιστη τιμή του λόγου N0 για καθορισμένα a 0 και Ν 0. Παρατηρείστε ότι αν δεχθούμε h(t)=ψ(-t), (c=1)s=a 0, δηλαδή το δείγμα στην έξοδο του φίλτρου, όταν δεν υπάρχει θόρυβος καναλιού, ισούται με την υπό προσδιορισμό μεταβλητή α 0! 18

19 Η σχέση h(t)=cψ(-t), που δίνει την κρουστική απόκριση του βέλτιστου φίλτρου, μας δείχνει ότι τελευταίο αυτό είναι προσαρμοσμένο στην γνωστή κυματομορφή ψ(t) του επικοινωνιακού συστήματος. Για το λόγο αυτό το βέλτιστο φίλτρο στη βιβλιογραφία αναφέρεται και ως matched (προσαρμοσμένο) φίλτρο. Είναι ενδιαφέρον να υπολογιστεί η απόκριση συχνότητας, Η(f) του βέλτιστου φίλτρου. Ισχύει: Η(f)=F{h(t)}= F{ψ(-t)}=Υ * (f) exp(-jπf) Όπου Υ(f) =F{ψ(t)} 19

20 MACHED ΦΙΛΤΡΟ ΚΑΙ ΤΡΟΠΟΣ ΥΛΟΠΟΙΗΣΗΣ ΤΟΥ (1/) Το βέλτιστο φίλτρο λήψης, λόγω της ομοιότητας που παρουσιάζει η κρουστική του απόκριση με την κυματομορφή λήψης, καλείται και Φίλτρο Προσαρμοσμένο (matched) στην Κυματομορφή Σηματοδοσίας Παράδειγμα Κυματομορφής και Προσαρμοσμένου Φίλτρου s a ψ(t) s(t)=h(t)*ψ(t) s(t) 0 0 t s 0 h(t)=ψ(-t) t N 0 0

21 MACHED ΦΙΛΤΡΟ ΚΑΙ ΤΡΟΠΟΣ ΥΛΟΠΟΙΗΣΗΣ ΤΟΥ (/) Φίλτρο Συσχέτισης Αποδείξαμε ότι το βέλτιστο φίλτρο έχει κρουστική απόκριση h(t) =ψ(-t), όμως προκύπτει το πρόβλημα: πώς μπορεί να υλοποιηθεί το φίλτρο αυτό; Ας υποθέσουμε ότι στην είσοδο του βέλτιστου φίλτρου, οδηγείται σήμα x(t). Στην έξοδο του φίλτρου τη χρονική στιγμή Τ θα ληφθεί: x x t h t dt x t t dt Αλλάζοντας τη μεταβλητή ολοκλήρωσης σε z=-t 1

22 x x z z dz Επειδή όμως η κυματομορφή ψ(t) ισούται με μηδέν εκτός του διαστήματος [0,Τ] 0 H παράσταση όμως που δίνει την x μπορεί να υλοποιηθεί από το πιο κάτω κύκλωμα. x x z z dz ψ(t) x(t) x 0 dt x

23 Δηλαδή τα δύο κυκλώματα για το ίδιο σήμα στην είσοδο δίνουν την ίδια ακριβώς έξοδο τη χρονική στιγμή Τ. ψ(t) x(t) 0 dt x h(t)=ψ(τ-t) t= x Το κύκλωμα λοιπόν αυτό, μπορεί να υλοποιήσει με βέλτιστο τρόπο την αποδιαμόρφωση. Από τον τρόπο που έχει κατασκευαστεί καλείται Φίλτρο Συσχέτισης 3

24 ΑΠΟΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗ ΤΗΣ ΚΥΜΑΤΟΣΕΙΡΑΣ 7Α 3Α 0 Τ Τ 3Τ 4Τ 5Τ 6Τ 5Α Α ψ 1 κυματομορφή βάσης j ( )dt ADC ( j 1) {1,,1,3,1,4} Αποδιαμόρφωση Φώραση 4

25 ΣΥΜΦΩΝΑ ή ΣΥΧΡΟΝΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ COHEREN SYSEMS Το φίλτρο συσχέτισης περιλαμβάνει μια λειτουργία γνωστή στις τηλεπικοινωνίες ως Σύμφωνη Αποδιαμόρφωση (Coherent Demodulation). Τα συστήματα που χρησιμοποιούν την τεχνική αυτή είναι τα πλέον αποδοτικά ως προς την ισχύ. Η λειτουργία της Σύμφωνης Αποδιαμόρφωσης παρουσιάζει μια δυσκολία που δεν έγινε φανερή μέχρι τώρα, επειδή δεχθήκαμε ότι οι κυματομορφές διέρχονται από το κανάλι χωρίς καμία αλλαγή! Στην πράξη όμως μια αρμονική κυματομορφή, όταν διέρθει από ένα κανάλι, αλλάζει η φάση της κατά μια άγνωστη τυχαία ποσότητα φ0. 5

26 ΑΠΟΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗ ΗΣ ΚΥΜΑΤΟΣΕΙΡΑΣ 7Α 3Α 0 Τ Τ 3Τ 4Τ 5Τ 6Τ 5Α Α PLL Τοπικός Ταλαντωτής j ( )dt ( j 1) ADC {1,,1,3,1,4} Αποδιαμόρφωση Φώραση 6

27 Η ύπαρξη αυτή της φ 0 έχει ως αποτέλεσμα η βασική κυματομορφή στην είσοδο του δέκτη να έχει τη μορφή ψ(t)=y 0 cos(πf c t+φ 0 ) και επομένως και ο τοπικός ταλαντωτής του δέκτη πρέπει να δίνει ένα σήμα με την ίδια συχνότητα και την ίδια φάση. Όταν η συμπεριφορά του καναλιού μεταβάλλεται σχετικά αργά, δηλαδή αυτή δεν αλλάζει σημαντικά σε χρόνο που έχει διάρκεια μερικές εκατοντάδες σύμβολα, ο δέκτης χρησιμοποιεί ειδικό ηλεκτρονικό κύκλωμα παρακολούθησης της φάσης, το Βρόχο Κλειδώματος της Φάσης (Phase Locked Loop-PLL). Στην περίπτωση που το κανάλι αλλάζει συμπεριφορά ταχύτερα χρησιμοποιούνται άλλες τεχνικές προσδιορισμού της φάσης ή ακόμη και υποβέλτιστες τεχνικές αποδιαμόρφωσης. 7

28 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Η βασική κυματομορφή, ψ(t) σε ένα σύστημα είναι της μορφής t cos f t,0 t 0 με 1/f c =Τ c <<. Να υπολογίσετε τη σταθερά ψ 0 ώστε η ενέργεια της ψ(t) να είναι μοναδιαία. Απάντηση 1 cos 4 ft c 0 E 0cos f 0 cos 4 0 ct dt dt f 0 0 ct dt αλλάζοντας τη μεταβλητή ολοκλήρωσης με 4πf c t=φ f c sin 4 0 f c E cos d 1 4 f 0 c 4 fc c και θέτοντας f c =1/Τ c 0 E 1 sin c4 c 8

29 Θυμηθείτε ότι για το sinc(4f c Τ) ισχύει: sin c 4 0 για 4Τ/Τ c = ακέραιος, ή για 4Τ/Τ c >>1 c οπότε E 0 Για να είναι μοναδιαία η ενέργεια πρέπει λοιπόν να ισχύει και η βασική κυματομορφή θα είναι 0 t cos fct,0 t 9

30 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Υποθέστε ότι η βασική κυματομορφή φθάνει στο δέκτη με διαφορά φάσης φ 0, οπότε η κυματομορφή s(t) st a0 cos fct 0,0 t όπου α 0 το διαβιβαζόμενο σύμβολο, ενώ ο τοπικός ταλαντωτής έχει φάση φ L L t cos fct L,0 t Να υπολογίσετε την έξοδο, s, του φίλτρου συσχέτισης. 30

31 L t cos fct L,0 t st a0 cos fct 0,0 t x 0 dt s s a0 cos f 0 cos 0 ct fct L dt a 0 s cos f 0 cos 0 ct fct L dt a sa cos 0 cos 0 0 L dt cos 4 f 0 ct 0 L dt 0 0 L Η τελευταία σχέση δείχνει ότι αν φ 0 =φ L ισχύει s=a 0 δηλαδή ισχύει το ίδιο, όπως και στην περίπτωση που δεν είχαμε ολίσθηση φάσης μέσα από το κανάλι. Όταν όμως φ 0 -φ L είναι διάφορο του μηδενός, το s<a 0, οπότε το λαμβανόμενο σήμα ελαττώνει την ενέργειά του. 31

32 ΕΠΙΔΟΣΕΙΣ ΔΥΑΔΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΕ ΣΥΜΒΟΛΑ: ΑΝΤΙΠΟΔΑ ΚΑΙ ΟΝ OFF Για σύστημα με κυματομορφές, s 1 (t) & s (t) με ενέργειες Ε 1 & Ε, ισχύει: si s s i 1, i 1, & Pe Q 0 Για αντίποδα: s 1 =-s E 1 =E =E b και P e E Q b N 0 Για ΟΝ- ΟFF: s =0 E =0 και E b =E/ E b Pe Q N 0 3

33 P b =f([ε b /N 0 ] dβ ) Δυαδικό On OFF Αντίποδα Σύμβολα P e E Q b N 0 3 db ΟΝ- ΟFF: Σύμβολα E b Pe Q N 0 [ε b /N 0 ] dβ 33

34 Παράδειγμα Διαθέτουμε ηλεκτρικό κανάλι με απόσβεση L=30 db και AWG θόρυβο με φασματική πυκνότητα θορύβου Ν 0 /=10-7 Watt/Hz. Με βάση το κανάλι αυτό κατασκευάζεται σύστημα διαβίβασης δεδομένων με δύο αντίποδα σύμβολα και πιθανότητα σφάλματος P b =10-6. Αν η ισχύς του πομπού είναι P 0 Watt να υπολογίσετε τη μέγιστη δυνατή τιμή του ρυθμού διαβίβασης R bmax. N 0 / Λύση P L db =30 db L= δέκτης P R Από το διάγραμμα επιδόσεων των αντίποδων σημάτων προκύπτει ότι για P b =10-6 πρέπει (Ε b /N 0 ) db =10.4 db (Ε b /N 0 )= (Ε b /N 0 )=11 Ισχύει: P R =P /L P R 0 mwatt Ε b R b =P R (Ε b /N 0 )N 0 R b =P R Οπότε : R b =P R /[(Ε b /N 0 )N 0 ]R b 0x10-3 Watt/[11xx10-7 Watt/Hz] R b 9100 bits/sec R bmax = 9100 bits/sec 34

35 Την άσκηση αυτή μπορούμε να επιλύσουμε χρησιμοποιώντας τον μαθηματικό τύπο της πιθανότητας σφάλματος για τα αντίποδα σήματα. Έτσι κρατάμε από την προηγούμενη διαφάνεια ότι P R 0 mwatt. Από τον μαθηματικό τύπο της πιθανότητας σφάλματος για τα αντίποδα σήματα Οπότε P b E Q b N 0 (Ε b /N 0 ) =[Q -1 (P b )] (Ε b /N 0 )= 0.5x[Q -1 (10-6 )] Από το διάγραμμα του Q(k) προκύπτει [Q -1 (10-6 )]=4.8 Οπότε : (Ε b /N 0 )= 0.5x[Q -1 (10-6 )] (Ε b /N 0 )= 11.3 Ισχύει: P R =P /L P R 0 mwatt Ε b R b =P R (Ε b /N 0 )N 0 R b =P R Οπότε : R b =P R /[(Ε b /N 0 )N 0 ]R b 0x10-3 Watt/[11.3xx10-7 Watt/Hz] R b 8900 bits/sec R bmax = 8900 bits/sec 35

36 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΣΦΑΛΜΑΤΟΣ Pe ΣΕ Μ-PAM Αν θεωρήσουμε ότι ο θόρυβος του καναλιού είναι μηδενικός, σε ένα Μ-PAM οι παλμοί που φθάνουν στο δέκτη είναι όλοι πολλαπλάσια ενός παλμού με μοναδιαία ενέργεια ψ(t). Οι Μ διαφορετικοί παλμοί είναι p m (t)= Α m A ψ(t) A m 1 M, m 0,1,,..., M 1 m Ή πιο αναλυτικά τα Μ διαφορετικά πλάτη των παλμών είναι πολλαπλάσια του πλάτους ψ( t) -(Μ-1)Α,..., -3Α, -Α, Α, 3Α,...,(Μ-1)Α 36

37 Ή πιο αναλυτικά τα Μ διαφορετικά πλάτη των παλμών είναι πολλαπλάσια του πλάτους ψ(t) -(Μ-1)Α,..., -3Α, -Α, Α, 3Α,...,(Μ-1)Α Επομένως (στην περίπτωση που ο θόρυβος του καναλιού είναι μηδέν) μετά την αποδιαμόρφωση η έξοδος θα έχει τιμή s: s A A A E, A m 1 M, m 0,1,,..., M 1 m m g m όπου Ε g είναι η ενέργεια του απόλυτα μικρότερου πλάτους παλμού Αν ο θόρυβος δεν είναι αμελητέος, τότε στην έξοδο του αποδιαμορφωτή, στην εκάστοτε τιμή του συμβόλου προστίθεται και η Gaussian τυχαία μεταβλητή v, με μ=0 και σ =Ν 0 /. 37

38 Από τό κεφάλαιο της φώρασης γνωρίζουμε ότι στην περίπτωση του Μ-PAM η πιθανότητα σφάλματος, P e =P M είναι: M 1 A Pe PM Q M και αντικαθιστώντας Α και σ από την προηγούμενη διαφάνεια Ισχύει όμως P M M 1 E g Q M N 0 M1 1 1 M g M 1 av m m1 M g M m0 M m0 3 Οπότε 38

39 Επειδή Ε av =log (M)E bav Επειδή Συνεπάγεται: 39

40 P e =f([ε b /N 0 ] dβ ) για Μ-αδικα μονοδιάστατα σήματα [ε b /N 0 ] dβ 40

41 Στο σημείο αυτό πρέπει να αναφέρουμε ότι κάθε Μ-δικό κανάλι μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την υλοποίηση ενός δυαδικού καναλιού. ΚΩΔΙΚ/ΤΗΣ {d n } ΣΥΜΒΟΛΩΝ {s m } Μ-ΑΔΙΚΟ ΚΑΝΑΛΙ ΑΠ/ΤΗΣ {s m} ΣΥΜΒΟΛΩΝ {d n } k bits σε 1 Μ-αδικό σύμβολο M-ΑΔΙΚΟ P e R Τ 1 Μ-αδικό σύμβολο σε k bits ΔΥΑΔΙΚΟ P b R b Τ b Ισχύει πάντα: k=log (M) οπότε ισχύει επίσης πάντοτε R b =kr και Τ b =/k 41

42 Σε ένα Μ-PAM στη βαθμίδα Κωδικοποίησης Συμβόλων συνήθως χρησιμοποιείται ο Kώδικας Gray Κώδικας Gray για 8-αδικό PAM σύστημα Με τον κώδικα Gray εξασφαλίζεται ότι, όταν συμβεί ένα λάθος κατά τη διαβίβαση ενός συμβόλου, με μεγάλη πιθανότητα, μόνο ένα bit της ισοδύναμης δυαδικής ακολουθίας θα είναι λανθασμένο. Στην περίπτωση του Μ-PAM όταν χρησιμοποιείται κώδικας Gray ισχύει: P b =P e /k, k=log (M) 4

43 Παράδειγμα Διαθέτουμε ηλεκτρικό κανάλι με AWG θόρυβο με φασματική πυκνότητα θορύβου Ν 0 /=10-7 Watt/Hz. Με βάση το κανάλι αυτό κατασκευάζεται σύστημα διαβίβασης δεδομένων 16-PAM αντίποδα σύμβολα και πιθανότητα σφάλματος P b =10-4. Αν η ισχύς λήψης είναι P R 0 mwatt να υπολογίσετε τη μέγιστη δυνατή τιμή του ρυθμού διαβίβασης R bmax. Λύση Επειδή P e =P b k, k=log (M) P e =4x10-4 Από το διάγραμμα επιδόσεων του 16 PAM προκύπτει ότι για P e =4x10-4 πρέπει (Ε b /N 0 ) db =1 db (Ε b /N 0 )=10.1 (Ε b /N 0 )=16 Ισχύει: Ε b R b =P R (Ε b /N 0 )N 0 R b =P R Οπότε : R b =P R /[(Ε b /N 0 )N 0 ]R b 0x10-3 Watt/[16xx10-7 Watt/Hz] R b 794 bits/sec R bmax = 794 bits/sec 43

44 Την άσκηση αυτή μπορούμε να επιλύσουμε χρησιμοποιώντας τον μαθηματικό τύπο της πιθανότητας σφάλματος για τα 16-PAM συατήματα. Επειδή P e =P b k, k=log (M) P e =4x10-4 Από τον μαθηματικό τύπο της πιθανότητας σφάλματος για τα αντίποδα σήματα και επιλύοντας ως προς (Ε b /N 0 ) E b M 1 1 M Q Pe Q Q.1 10 N0 6log M M Από τo διάγραμμα της συνάρτησης Q(k) για Q(k)=.1x10-4 k=3.53 Οπότε E b N 0 και : R b =P R /[(Ε b /N 0 )N 0 ]R b 0x10-3 Watt/[13xx10-7 Watt/Hz] R b 831 bits/sec R bmax = 831 bits/sec 44

45 ΟΡΘΟΚΑΝΟΝΙΚΕΣ ΚΥΜΑΤΟΜΟΡΦΕΣ Θεωρείστε τις κυματομορφές: t, 1 t Με μηδενική τιμή έξω από το διάστημα [0,Τ] και με την ιδιότητα Τότε οι κυματομορφές αυτές καλούνται ορθογώνιες (orthogonal) E t dt t dt 1 t t dt t t dt Αν επιπλέον ισχύουν οι σχέσεις 0 E t dt t dt 1 0 οι κυματομορφές καλούνται ορθοκανονικές. 45

46 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΟΡΘΟΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΚΥΜΑΤΟΜΟΡΦΩΝ Θεωρείστε τις δύο κυματομορφές: 1 t cos( fct) Ισχύει: t sin( fct) E t dt cos( f ) 1 sinc 4 0 Ct dt fc E 0 t dt sin( f ) 1 sinc 4 0 Ct dt fc Όταν 4f C =ακέραιος ή όταν f C >>1 E 1 E 1 46

47 1 t cos( fct) t sin( fct) Επιπλέον ισχύει I 1t tdt cos f sin 0 0 ct fct dt και τελικά 0 1 I t t dt 1 cos 4 f 4 f c c Όταν f C =ακέραιος ή όταν f C >>1 0 1 I t t dt 0 47

48 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΟΡΘΟΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΚΥΜΑΤΟΜΟΡΦΩΝ (1/) 1 t cos( fct) Παρατηρείστε ότι οι κυματομορφές έχουν ενέργεια μονάδα. Επιπλέον ισχύει: t cos( fct t / ) I I 1t tdt cos fctcos fct t / dt I cos 4 fc t dt sin t / dt 0 0 sin 4 1 cos sin 4 fc fc 4 fc 4 fc 48

49 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΟΡΘΟΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΚΥΜΑΤΟΜΟΡΦΩΝ (/) Εύκολα καταλήγουμε ότι Ι=0 αρκεί f C =ακέραιο, ή για Τ>>1/f C 49

50 Όταν χρησιμοποιηθούν οι ορθοκανονικές κυματομορφές t, 1 t τότε γίνεται δυνατή η διαβίβαση μέσω του καναλιού διανυσμάτων με δύο συνιστώσες, ή αλλιώς μιγαδικών αριθμών. Αυτό επιτυγχάνεται μέσω της κυματομοφής s(t) s t a t b t 1 όπου (a, b) ανήκει σε αλφάβητο (αστερισμό) Α 50

51 Ο δέκτης σχεδιάζεται με φίλτρα προσαρμοσμένα στις δύο κυματομοφές ως κάτωθι: h 1 (t)=ψ 1 (Τ-t) r 1 h (t)=ψ (Τ-t) Αποδεικνύεται (σχετικά) εύκολα η σχέση εισόδου εξόδου είναι όπως στον πιο κάτω πίνακα. r out input r(t) out 1 r 1 r ψ 1 (t) 1 0 ψ (t) 0 1 n(t) n 1 n Τα n 1 και n είναι τυχαίες μεταβλητές, στατιστικά ανεξάρτητες με Gaussian κατανομή και τις ίδιες παραμέτρους (iid) μέση τιμή 0 και σ =Ν 0 / 51

52 Παράδειγμα Εργαστηριακού Συστήματος με δύο ορθογώνιες κυματομορφές ψ 1 (t) και ψ (t) 5

53 1 t cos( fct) f C t sin( fct) 53

54 1 t cos( fct) f C t cos fc 1 t 54

55 ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ 1. Όταν r (t)=ψ 1 (t) r 1 =1 & r = r t h t dt t dt t dt ενώ r t h t dt t t dt t t dt Όταν r(t)=ψ (t) r =1 & r 1 =0 Αποδεικνύεται όπως και στο Όταν r (t)=n(t) r 1 =n 1 & r =n, n 1,n iid Gaussian με μέση τιμή 0 και διακύμανση σ =Ν 0 / Τα πιο πάνω έχουν ήδη αποδειχθεί εκτός από την ανεξαρτησία των n 1,n 55

56 Οι συνιστώσες του θορύβου n 1, και n Είναι μεταξύ τους ασυσχέτιστες (Ε[n 1 n ]=0. Πράγματι! 1 En1n E n( ) h1 ( ) d n( w) h ( w) dw 1 E n( ) h1 ( ) n( w) h ( w) d dw E n( ) h ( ) n( w) h ( w) d dw h1 ( ) h ( w) En( ) n( w) dw d N0 1 h1 ( ) h ( w) wdw d 56

57 N0 1 h1 ( ) h ( w) wdw d N 0 1 h1 ( ) h ( ) d N 0 1 1( z) ( z) dz 0 Είναι όμως γνωστό ότι δύο Gaussian μεταβλητές όταν είναι ασυσχέτιστες είναι και στατιστικά ανεξάρτητες. 57

58 Από τα πιο πάνω προκύπτει ότι u(t)=aψ 1 (t)+bψ (t)+n(t) h 1 (t)=ψ 1 (Τ-t) r 1 h (t)=ψ (Τ-t) r Όταν στην είσοδο τεθεί σήμα u(t)=aψ 1 (t)+bψ (t)+n(t) στις εξόδους λαμβάνουμε: r 1 =a+ n 1 & r =b+n Όπου n 1,n ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές με Gaussian κατανομή, μέση τιμή μηδέν και διακύμανση σ n1 =σ n =Ν 0 / 58

59 ΖΩΝΟΠΕΡΑΤΑ ΣΗΜΑΤΑ ΔΥΟ ΔΙΑΣΤΑΣΕΩΝ 1. PHASE SHIF KEYING (PSK) ΜΕΤΑΛΛΑΓΗ ΟΛΙΣΘΗΣΗΣ ΦΑΣΗΣ Es ΣΥΣΤΗΜΑ cos ΜΕ m ΟΡΘΟΚΑΝΟΝΙΚΕΣ u, 0,1,..., ΚΥΜΑΤΟΜΟΡΦΕΣ m t fct m M 1 0 t Το σήμα αυτό μπορεί να αναλυθεί : 59

60 Μ-PSK Es m umt cos fct, m 0,1,..., M 1 0 t Ισοδύναμα Αναλύεται σε. m um t Es cos cos fct M t 1 m Es sin sin fct, M t m 0,1,..., M 1 0 t E Και επομένως ο αστερισμός είναι m m sm Es cos,sin M M m0,1,..., M 1 E s s (1,0), Ή αναλυτικά E cos, sin s s E cos M 1, E sin M 1 s 60

61 ΣΗΜΑΝΤΙΚΗ ΙΔΙΟΤΗΤΑ ΤΟΥ Μ-PSK! Όλα τα στοιχεία του αστερισμού ενός Μ-PSK έχουν την ίδια ενέργεια Ε=Ε s Πράγματι τα στοιχεία του αστερισμού είναι m m sm Es cos,sin M M m0,1,..., M 1 Με Ε m : m m E E cos E sin E M M m0,1,..., M 1 m s s s 61

62 Παράδειγμα Κυματοσειράς Τετραδικού PSK (QPSK) Παράδειγμα Αστερισμού Τετραδικού PSK (QPSK) 6

63 ΑΠΟΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗ ΤΗΣ PSK ΚΥΜΑΤΟΣΕΙΡΑΣ PLL Τοπικός Ταλαντωτής 1 cos C t f t j ( )dt ( j 1) E s m cos n M c -π/ j ( )dt ( j 1) k E s m sin n M s sin C t f t 63

64 Στους Αστερισμούς αυτούς δίνεται συγχρόνως και η απεικόνιση των bits του δυαδικού καναλιού. Για την απεικόνιση αυτή έχει χρησιμοποιηθεί Κώδικας Gray. 64

65 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΣΦΑΛΜΑΤΟΣ P e ΣΕ Μ-PSK Για -αδικό PSK (Αντίποδα Σύμβολα ) Τη σχέση αυτή την έχουμε ήδη αποδείξει: Για Μ> αποδεικνύεται: log Για Μ-PSK, Μ>=4 P e M Eb Q sin N 0 65

66 Μ-PSK P ε =f([ε b /N 0 ] dβ ) [ε b /N 0 ] dβ 66

67 Σύγκριση Συστημάτων ΜPAM MPSK M-PAM M-PSK 67

68 Όπως και τα μονοδιάστατα συστήματα (PAM), έτσι και στα συστήματα με δύο βασικές κυματομορφές η απεικόνιση των bits στα σύμβολα μπορεί να γίνει με βάσει τον κώδικα Gray. Στην περίπτωση αυτή ισχύει λοιπόν: P b =P e /k, k=log (M) Κώδικας Gray για 8-αδικό Σύστημα Απεικόνιση των τιμών των bits σε 8- PSK με βάση τον Gray Κώδικα. 68

69 ΟΡΘΟΓΩΝΙΑ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗ ΚΑΤΑ ΠΛΑΤΟΣ (QUADRAURE AMPLIUDE MODULAION-QAM) Eg Eg sm t Amc cos fct Ams sin fct sm t Amc Eg cos fct Ams Eg sin fct t 1 t A ( M 1), M 3,, 1, 1,,( M 1) mc c c c A ( M 1), M 3,, 1, 1,,( M 1) ms s s s Ο Αστερισμός του QAM προκύπτει ως καρτεσιανό γινόμενο των δύο PAM Aστερισμών και επομένως περιέχει Μ=Μ c XM S Σύμβολα. 69

70 ΑΠΟΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗ ΤΗΣ QAM ΚΥΜΑΤΟΣΕΙΡΑΣ PLL Τοπικός Ταλαντωτής 1 cos C t f t j ( )dt ( j 1) Amc Eg nc -π/ j ( )dt ( j 1) k Ams Es ns sin C t f t 70

71 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΑΣΤΕΡΙΣΜΩΝ QAM 71

72 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΣΦΑΛΜΑΤΟΣ M-QAM P MQAM 4Q 3 ε avqam M 1 N0 7

73 Πιθανότητα Σφάλματος ανά σύμβολο για M-QAM P MQAM 4Q 3log M M 1 N 0 b 73

74 Παράδειγμα Διαθέτουμε ηλεκτρικό κανάλι με AWG θόρυβο με φασματική πυκνότητα θορύβου Ν 0 /=10-8 Watt/Hz. Με βάση το κανάλι αυτό κατασκευάζεται σύστημα διαβίβασης δεδομένων 16-QAM σύμβολα και πιθανότητα σφάλματος P b =10-5. Αν η ισχύς λήψης είναι P R 0 mwatt να υπολογίσετε τη μέγιστη δυνατή τιμή του ρυθμού διαβίβασης R bmax. Λύση Επειδή P e =P b k, k=log (M) P e =4x10-5 Από το διάγραμμα επιδόσεων του 16-QAM προκύπτει ότι για P e =4x10-5 πρέπει (Ε b /N 0 ) db =13.5 db (Ε b /N 0 )= (Ε b /N 0 )=.4 Ισχύει: Ε b R b =P R (Ε b /N 0 )N 0 R b =P R Οπότε : R b =P R /[(Ε b /N 0 )N 0 ]R b 0x10-3 Watt/[.4xx10-8 Watt/Hz] R b bits/sec R bmax = bits/sec 74

75 P MQAM ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΕΠΙΔΟΣΕΩΝ ΤΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜQAM - MPSK ΓΙΑ Μ-QAM 4Q 3 ε avqam M 1 N0 P MPSK ΓΙΑ Μ-PSK ε Q N0 Για να είναι P MQAM ~P MPSK αρκεί τα υπόρριζα να είναι ίσα. Αν ορίσουμε M =ε avpsk /ε avqam avpsk sin π Μ 75

76 ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΕΠΙΔΟΣΕΩΝ M-QAM & MPSK M-QAM M-PSK 76

77 Η χρήση του κώδικα Gray για την απεικόνιση των τιμών των bits στα σύμβολα του QAM ώστε να εξασφαλίζεται πως τα γειτονικά σύμβολα θα διαφέρουν μόνο σε ένα bit, δεν γίνεται με τόσο προφανή τρόπο, όπως στο M-PAM και στο Μ-PSK. Εν τούτοις στη βιβλιογραφία προτείνονται κατάλληλες απεικονίσεις όπως αυτή του 16-QAM που δίνεται πιο κάτω. Και στο QAM λοιπόν μπορούμε να δεχθούμε ότι ισχύει: P b =P e /k, k=log (M) 77

78 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΜΕ Μ ΟΡΘΟΓΩΝΙΕΣ ΚΥΜΑΤΟΜΟΡΦΕΣ Σε ένα πλήθος εφαρμογών, στις οποίες υπάρχει διαθέσιμο μεγάλο εύρος ζώνης, ενώ η ισχύς είναι δυσεύρετη, χρησιμοποιούνται Συστήματα με Μ κυματομορφές όλες μεταξύ τους ορθογώνιες! Τέτοια συστήματα είναι τα M-FSK (Frequency Shift Keying) Για το σκοπό αυτό μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε κυματομορφές ψ m (t) της μορφής mt cos fc m f t 0 t m0,1,..., M 1 Όπως θα δούμε στη συνέχεια, επιλέγοντας κατάλληλα την ποσότητα Δf όλες οι πιο πάνω κυματομορφές γίνονται ορθογώνιες μεταξύ τους. 78

79 Πράγματι! Imn cos cos 0 m t n t f 0 c mf t fc nf tdt 1 Imn cos f cos 0 c m n f tdt m n ftdt 0 I Ι mn mn sin m n f m n f Για m διάφορο του n, όταν επιλεγεί Δf=k(1/), ή ισοδύναμα όταν Δf=kR/ τότε Ι mn =0, ενώ για m=n Ι mn =1. Δηλαδή, επιλέγοντας να ισχύει Δf=kR/, οι ψ m και ψ n καθίστανται ορθοκανονικές κυματομορφές. I mn 0 1 m m n n 79

80 ΣΥΣΤΗΜΑ ΜΕΤΑΛΛΑΓΗΣ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ (FREQUENCY SHIF KEYING - FSK) Το Μ-FSK είναι ένα σύστημα με Μ ορθογώνιες μεταξύ του κυματομορφές s m (t), m=0,1,,m-1 Es R smt cos fc m t 0 t R 1 m 0,1,..., M 1 κάθε μία από τις οποίες έχει ενέργεια E s. 80

81 ΑΠΟΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗ ΣΥΜΦΩΝΗΣ ΦΑΣΗΣ Μ-ΔΙΚΩΝ FSK ΣΗΜΑΤΩΝ Το Δf επιλέγεται ως Δf =1/(Τ)=R/ Με τον τρόπο αυτό το εύρος ζώνης της κυματοσειράς γίνεται ελάχιστο. 81

82 Όταν στην είσοδο υπάρχει μόνο η κυματομορφή s m (t) στην έξοδο λαμβάνεται ένα διάνυσμα με Μ συνιστώσες από τις οποίες όλες είναι μηδέν εκτός από τη m-στη που έχει E s τιμή: Επομένως ο αστερισμός Α του συστήματος αυτού είναι το σύνολο των Μ διανυσμάτων με Μ συνιστώσες το κάθε ένα: { A Es,0,...,0, 0, Es,...,0, ή πιο σύντομα: 0,0,..., E s } A { s, s,..., s } 0 1 M 1 8

83 Όταν στην είσοδο υπάρχει μόνο ο θόρυβος του καναλιού n(t) στην έξοδο λαμβάνεται ένα διάνυσμα με Μ συνιστώσες οι οποίες είναι iid τυχαίες μεταβλητές με κατανομή Gaussian μέση τιμή μηδέν και διακύμανση σ =Ν 0 / Όταν λοιπόν στην είσοδο φθάσει το σήμα: ut sm t nt στην έξοδο του αποδιαμορφωτή λαμβάνεται το διάνυσμα r v,..., v, E v, v,..., v 0,...,0, E,0,0,...,0 v,..., v, v, v,..., v 0 m1 s m m1 M 1 s 0 m1 m m1 M 1 r s v ή Με βάση το διάνυσμα r γίνεται η φώραση του συμβόλου που έχει αποσταλεί. 83

84 ΦΩΡΑΣΗ ΤΩΝ ΣΗΜΑΤΩΝ FSK Για λήψη στην έξοδο του αποδιαμορφωτή r s v Η φώραση στα συστήματα M-FSK γίνεται με βάση την αρχή της ελάχιστης απόστασης του διανύσματος r από τα διανύσματα του αστερισμού. Καθώς όλα τα διανύσματα του αστερισμού Α έχουν το ίδιο μέτρο s m = E s το κριτήριο της ελάχιστης απόστασης απλοποιείται στο κριτήριο s s r r j 0,1,..., M 1, j m m m j Δηλαδή ο Φωρατής στα συστήματα αυτά αναδεικνύει το δείκτη της μέγιστης συνιστώσας του διανύσματος λήψης r. 84

85 ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΕΠΙΔΟΣΕΩΝ M-FSK M-QAM 85

86 Από τις επιδόσεις των συστημάτων M-FSK προκύπτει ότι αυτά έχουν πολύ μικρότερη απαίτηση σε ισχύ από τα μονοδιάστατα και τα δυδιάστατα συστήματα αλλά πρέπει να αναφέρουμε ότι χρειάζονται πολύ περισσότερο εύρος ζώνης ανά διαβιβαζόμενο σύμβολο. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΤΗ ΣΥΜΦΩΝΗ ΑΠΟΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗ ΤΩΝ Μ-FSK Στο Μ-FSK η επίτευξη σύμφωνης αποδιαμόρφωση είναι εξαιρετικά δύσκολη, επειδή κάθε φίλτρο συσχέτισης απαιτεί διαφορετικό PLL και η κάθε συχνότητα εμφανίζεται μόνο 1/Μ του χρόνου. Για το λόγο αυτό καταφεύγουμε σε ασύμφωνη αποκωδιαμόρφωση. 86

87 ΑΣΥΜΦΩΝΗ ΑΠΟΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗ ΣΗΜΑΤΟΣ M-FSK 87

88 ΑΣΥΜΦΩΝΗ ΑΠΟΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗ ΣΗΜΑΤΟΣ M-FSK (1/5) Όταν στην είσοδο του δέκτη βρίσκεται η s m (t) κυματομορφή με φάση φ m και ο θόρυβος του καναλιού n(t) E u t fc m f t m n t s cos αποδεικνύεται ότι στο ζεύγος εξόδων r kc και r ks του ασύμφωνου αποδιαμορφωτή λαμβάνονται οι τιμές: k 0,1,..., M 1 88

89 ΑΣΥΜΦΩΝΗ ΑΠΟΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗ ΣΗΜΑΤΟΣ M-FSK (/5) και χρησιμοποιώντας τις συναρτήσεις cott(x) και sinc(x) cott x r E sinc k m f cos cott k m f sin n kc s m m kc r E cott k m f cos sinc k m f sin n k 0,1,..., M 1 ks s m m ks cos x 1 x τα ζεύγη εξόδων γίνονται Όπως μπορείτε να διαπιστώσετε από το διάγραμμα των συναρτήσεων cott(x) και sinc(x) που δίνεται στην επόμενη σελίδα, αυτές μηδενίζονται και οι δύο για όλα τα x που είναι άρτιοι ακέραιοι. 89

90 ΑΣΥΜΦΩΝΗ ΑΠΟΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗ ΣΗΜΑΤΟΣ M-FSK (3/5) cott(x) sinc(x) cos( x) 1 cot tx ( ) x sin x sin cx ( ) x Αν επιλέξουμε λοιπόν Δf=1Δf=R Τα ζεύγη εξόδων του ασύμφωνου αποδιαμορφωτή γίνονται. 90

91 ΑΣΥΜΦΩΝΗ ΑΠΟΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗ ΣΗΜΑΤΟΣ M-FSK (4/5) r n, r n k 0,1,..., M 1k m kc kc ks ks Ενώ όταν k=m Και αν εφαρμόσουμε : r r r n nc ns Και δεχθούμε πολύ ισχυρό σήμα σε σχέση με το θόρυβο προκύπτει r n n k 0,1,..., M 1k m k kc ks m Ενώ όταν k=m r E k m s 91

92 ΑΣΥΜΦΩΝΗ ΑΠΟΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗ ΣΗΜΑΤΟΣ M-FSK (5/5) Στις προηγούμενες σχέσεις μπορείτε να διαπιστώσετε ότι ο θόρυβος έπαψε να είναι Gaussian οπότε και η φώραση σύμφωνα με το κριτήριο ελάχιστης απόστασης δεν ισχύει πλέον. Εν τούτοις στην πράξη εφαρμόζεται το ίδιο κριτήριο με αποτέλεσμα την μικρή αύξηση της πιθανότητας σφάλματος. Επίσης το κύκλωμα της αποδιαμόφωσης δεν διαθέτει πλέον το βέλτιστο φίλτρο, και αυτό είναι αιτία να αυξηθεί επιπλέον η πιθανότητα σφάλματος. Τέλος, επειδή στο ασύμφωνο M-FSK υποχρεωθήκαμε να διπλασιάσουμε την τιμή του Δf σε σχέση με την τιμή που χρησιμοποιήσαμε στο σύμφωνο M-FSK, θα διπλασιαστεί ανάλογα και το αντίστοιχο εύρος ζώνης που απαιτείται για τη διαβίβαση των κυματοσειρών 9

93 ΑΣΥΜΦΩΝΗ ΑΠΟΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗ ΣΗΜΑΤΩΝ Μ-FSK 93

94 ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΕΠΙΔΟΣΕΩΝ ΣΥΜΦΩΝΗΣ & ΑΣΥΜΦΩΝΗΣ ΑΠΟΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΓΙΑ ΣΥΣΤΗΜΑ Μ-FSK ΣΥΜΦΩΝΗ ΑΠΟΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗ ΑΣΥΜΦΩΝΗ ΑΠΟΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗ 94

95 Μπορείτε να παρατηρήσετε ότι, στα ορθογώνια συστήματα που περιγράψαμε, η απόσταση μεταξύ οποιουδήποτε ζεύγους συμβόλων του αστερισμού έχει την ίδια τιμή. Στα συστήματα λοιπόν αυτά, όταν συμβαίνει λάθος στην διαβίβαση ενός συμβόλου του αστερισμού, στο δέκτη προκύπτει με την ίδια πιθανότητα οποιαδήποτε από τα υπόλοιπα Μ-1 σύμβολα. Στα ορθογώνια λοιπόν συστήματα δεν ωφελεί σε τίποτα να γίνει απεικόνιση των bits στα σύμβολα με βάση το Gray κώδικα. Επειδή κατά το σφάλμα συμβόλου προκύπτει οποιοδήποτε σύμβολο με την ίδια πιθανότητα, τα k bits που αντιστοιχούν στο διαβιβαζόμενο σύμβολο αντικαθίστανται από k τυχαία bits. Για αυτό το λόγο κατά μέσο όρο τα μισά από τα k bits θα είναι λανθασμένα. Στα ορθογώνια λοιπόν συστήματα ισχύει: P b =P e / 95

96 Τέλος Ενότητας Αποδιαμόρφωση

97 Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στo πλαίσιo του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Αθηνών» έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 97

98 Σημειώματα

99 Σημείωμα Αναφοράς Copyright Εθνικόν και Καποδιστριακόν Πανεπιστήμιον Αθηνών, Σαγκριώτης Εμμανουήλ. «Εισαγωγή στα Συστήματα Επικοινωνιών. Ενότητα 3: Αποδιαμόρφωση». Έκδοση: 1.01 Αθήνα 015. Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: 99

100 Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά, Μη Εμπορική Χρήση Παρόμοια Διανομή 4.0 [1] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων». [1] Ως Μη Εμπορική ορίζεται η χρήση: που δεν περιλαμβάνει άμεσο ή έμμεσο οικονομικό όφελος από την χρήση του έργου, για το διανομέα του έργου και αδειοδόχο που δεν περιλαμβάνει οικονομική συναλλαγή ως προϋπόθεση για τη χρήση ή πρόσβαση στο έργο που δεν προσπορίζει στο διανομέα του έργου και αδειοδόχο έμμεσο οικονομικό όφελος (π.χ. διαφημίσεις) από την προβολή του έργου σε διαδικτυακό τόπο Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί. 100

101 Διατήρηση Σημειωμάτων Οποιαδήποτε αναπαραγωγή ή διασκευή του υλικού θα πρέπει να συμπεριλαμβάνει: το Σημείωμα Αναφοράς το Σημείωμα Αδειοδότησης τη δήλωση Διατήρησης Σημειωμάτων το Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων (εφόσον υπάρχει) μαζί με τους συνοδευόμενους υπερσυνδέσμους. 101

ΑΠΟ ΙΑΜΟΡΦΩΣΗ (DEMODULATION) ΚΥΜΑΤΟΣΕΙΡΑΣ

ΑΠΟ ΙΑΜΟΡΦΩΣΗ (DEMODULATION) ΚΥΜΑΤΟΣΕΙΡΑΣ 13-14 3/5/14 1:56:33 µµ ΑΠΟ ΙΑΜΟΡΦΩΣΗ (DEMODULAION) ΚΥΜΑΤΟΣΕΙΡΑΣ Μέσα από τα Φυσικά κανάλια είναι αδύνατον να διαβιβαστούν απευθείας αριθµοί! Η διαβίβαση των αριθµών µέσα από τα φυσικά κανάλια γίνεται

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Επικοινωνιών

Συστήματα Επικοινωνιών Συστήματα Επικοινωνιών Ενότητα 3: Σύγκριση ψηφιακών Συστημάτων Σαγκριώτης Εμμανουήλ Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Σκοποί ενότητας 1. Ανάδειξη τεχνικών για τη σύγκριση των

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Επικοινωνιών

Συστήματα Επικοινωνιών Συστήματα Επικοινωνιών Ενότητα 11: Ψηφιακή Διαμόρφωση Μέρος Α Μιχαήλ Λογοθέτης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Σκοποί ενότητας Περιγραφή διαμόρφωσης παλμών κατά

Διαβάστε περισσότερα

ΦΡΟΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΙΣ. ΣΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ

ΦΡΟΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΙΣ. ΣΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ Πρόβλημα 1 ΦΡΟΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΙΣ. ΣΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΚΑΝΑΛΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ s + r Ο πομπός στέλνει στο δέκτη μέσω του καναλιού του σχήματος την ακολουθία συμβόλων {st} t=1,2,,10 που ανήκουν στο

Διαβάστε περισσότερα

Ψηφιακές Επικοινωνίες

Ψηφιακές Επικοινωνίες Ψηφιακές Επικοινωνίες Ενότητα 3: Μαθιόπουλος Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Μέρος Α 3 Διαμόρφωση βασικής ζώνης (1) H ψηφιακή πληροφορία μεταδίδεται απ ευθείας με τεχνικές

Διαβάστε περισσότερα

Επεξεργασία Στοχαστικών Σημάτων

Επεξεργασία Στοχαστικών Σημάτων Επεξεργασία Στοχαστικών Σημάτων Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σημάτων Σεραφείμ Καραμπογιάς Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σημάτων Τα σύγχρονα συστήματα

Διαβάστε περισσότερα

Επεξεργασία Στοχαστικών Σημάτων

Επεξεργασία Στοχαστικών Σημάτων Επεξεργασία Στοχαστικών Σημάτων Βέλτιστα γραμμικά χρονικά αναλλοίωτα συστήματα Σεραφείμ Καραμπογιάς Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Βέλτιστα γραμμικά χρονικά αναλλοίωτα συστήματα

Διαβάστε περισσότερα

Αναλογικές και Ψηφιακές Επικοινωνίες

Αναλογικές και Ψηφιακές Επικοινωνίες Αναλογικές και Ψηφιακές Επικοινωνίες Ενότητα : Βέλτιστος δέκτης για ψηφιακά διαμορφωμένα σήματα Σεραφείμ Καραμπογιάς Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Πληροφορικής και Επικοινωνιών Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΤΥΧΑΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Επικοινωνιών

Συστήματα Επικοινωνιών Συστήματα Επικοινωνιών Ενότητα 10: Ψηφιακή Μετάδοση Βασικής Ζώνης Μιχαήλ Λογοθέτης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Σκοποί ενότητας Παρουσίαση των πινάκων αναζήτησης

Διαβάστε περισσότερα

ΡΗ /3/2010 ΑΛΛΗΛΟΠΑΡΕΜΒΟΛΗ ΣΥΜΒΟΛΩΝ (INTERSYMBOL INTERFERENCE-ISI)

ΡΗ /3/2010 ΑΛΛΗΛΟΠΑΡΕΜΒΟΛΗ ΣΥΜΒΟΛΩΝ (INTERSYMBOL INTERFERENCE-ISI) ΑΛΛΗΛΟΠΑΡΕΜΒΟΛΗ ΣΥΜΒΟΛΩΝ (INTERSYMBOL INTERFERENCE-ISI) Μέχρι τώρα είχαμε δεχθεί ότι κάθε κυματομορφή επικοινωνίας διέρχεται από το κανάλι χωρίς παραμόρφωση με μοναδική αλλαγή της κυματομορφής την ελάττωση

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Επικοινωνιών

Συστήματα Επικοινωνιών Συστήματα Επικοινωνιών Ενότητα 6: Συστήματα Αναλογικής Διαμόρφωσης Σαγκριώτης Εμμανουήλ Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Σκοποί ενότητας 1. Η αναγνώριση της ανάγκης διαμόρφωσης

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ Κ 17 Επικοινωνίες ΙΙ Χειμερινό Εξάμηνο Διάλεξη 15 η Νικόλαος Χ. Σαγιάς Επίκουρος Καθηγητής Webpage: http://eclass.uop.gr/courses/tst15

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Επικοινωνιών

Συστήματα Επικοινωνιών Συστήματα Επικοινωνιών Ενότητα 5: Μαθιόπουλος Παναγιώτης Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Περιγραφή ενότητας Πλεονεκτήματα-Μειονεκτήματα ψηφιακών επικοινωνιών, Κριτήρια Αξιολόγησης

Διαβάστε περισσότερα

Ψηφιακές Επικοινωνίες

Ψηφιακές Επικοινωνίες Ψηφιακές Επικοινωνίες Ενότητα 4: Ψηφιακές Διαμορφώσεις Υψηλής Φασματικής Αποδοτικότητας Παναγιώτης Μαθιόπουλος Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Ψηφιακές Διαμορφώσεις Υψηλής

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Επικοινωνιών

Συστήματα Επικοινωνιών Συστήματα Επικοινωνιών Ενότητα 12: Ψηφιακή Διαμόρφωση Μέρος B Μιχαήλ Λογοθέτης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Σκοποί ενότητας Περιγραφή της διαμόρφωσης παλμών

Διαβάστε περισσότερα

Ψηφιακές Τηλεπικοινωνίες. Δισδιάστατες Κυματομορφές Σήματος

Ψηφιακές Τηλεπικοινωνίες. Δισδιάστατες Κυματομορφές Σήματος Ψηφιακές Τηλεπικοινωνίες Δισδιάστατες Κυματομορφές Σήματος Εισαγωγή Στα προηγούμενα μελετήσαμε τη διαμόρφωση PAM δυαδικό και Μ-αδικό, βασικής ζώνης και ζωνοπερατό Σε κάθε περίπτωση προέκυπταν μονοδιάστατες

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Επικοινωνιών

Συστήματα Επικοινωνιών Συστήματα Επικοινωνιών Ενότητα 5: Διαμορφώσεις γωνίας Μιχαήλ Λογοθέτης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Σκοποί ενότητας Παρουσίαση της διαμόρφωσης συχνότητας και

Διαβάστε περισσότερα

Ψηφιακές Επικοινωνίες

Ψηφιακές Επικοινωνίες Ψηφιακές Επικοινωνίες Ενότητα 2: Παναγιώτης Μαθιόπουλος Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Εισαγωγή (1) Οι Ψηφιακές Επικοινωνίες (Digital Communications) καλύπτουν σήμερα το

Διαβάστε περισσότερα

+ r=s+v ΚΑΝΑΛΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ. ΦΡΟΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΙΣ. ΣΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ 30/11/ :27 µµ Πρόβληµα 1

+ r=s+v ΚΑΝΑΛΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ. ΦΡΟΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΙΣ. ΣΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ 30/11/ :27 µµ Πρόβληµα 1 Πρόβληµα 1 Ο ποµπός στέλνει στο δέκτη µέσω του καναλιού του σχήµατος την ακολουθία συµβόλων {s t } t=1,2,,10 που ανήκουν στο αλφάβητο {-3,-1,1,3} Στον δέκτη λαµβάνεται η ακολουθία {r i } i=1,2,,10 του

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Επικοινωνιών

Συστήματα Επικοινωνιών Συστήματα Επικοινωνιών Ενότητα : Φώραση Εμμανουήλ Σαγκριώτης Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Σκοποί ενότητας 1. Γνωριμία με τεχνικές εκτίμησης της τιμής συμβόλου όταν αυτό

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Επικοινωνιών

Συστήματα Επικοινωνιών Συστήματα Επικοινωνιών Ενότητα 2: Μαθιόπουλος Παναγιώτης Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Περιγραφή ενότητας Τυχαίες Διαδικασίες: Ορισμοί, Μέσες τιμές συνόλου (Ensemble averages),

Διαβάστε περισσότερα

Βέλτιστος Έλεγχος Συστημάτων

Βέλτιστος Έλεγχος Συστημάτων Βέλτιστος Έλεγχος Συστημάτων Ενότητα 1: Εισαγωγή Καθηγητής Αντώνιος Αλεξανδρίδης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται

Διαβάστε περισσότερα

Ψηφιακές Επικοινωνίες

Ψηφιακές Επικοινωνίες Ψηφιακές Επικοινωνίες Ενότητα 6: Συγχρονισμός στις Ψηφιακές Επικοινωνίες Παναγιώτης Μαθιόπουλος Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Συγχρονισμός στις Ψηφιακές Επικοινωνίες Συγχρονισμός

Διαβάστε περισσότερα

Επεξεργασία Στοχαστικών Σημάτων

Επεξεργασία Στοχαστικών Σημάτων Επεξεργασία Στοχαστικών Σημάτων Σεραφείμ Καραμπογιάς Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Η Έννοια της τυχαίας Διαδικασίας Η έννοια της τυχαίας διαδικασίας βασίζεται στην επέκταση

Διαβάστε περισσότερα

Κβαντική Επεξεργασία Πληροφορίας

Κβαντική Επεξεργασία Πληροφορίας Κβαντική Επεξεργασία Πληροφορίας Ενότητα 12: Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα Σγάρμπας Κυριάκος Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Σκοποί ενότητας Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα

Διαβάστε περισσότερα

Έλεγχος και Διασφάλιση Ποιότητας Ενότητα 4: Μελέτη ISO Κουππάρης Μιχαήλ Τμήμα Χημείας Εργαστήριο Αναλυτικής Χημείας

Έλεγχος και Διασφάλιση Ποιότητας Ενότητα 4: Μελέτη ISO Κουππάρης Μιχαήλ Τμήμα Χημείας Εργαστήριο Αναλυτικής Χημείας Έλεγχος και Διασφάλιση Ποιότητας Ενότητα 4: Μελέτη Κουππάρης Μιχαήλ Τμήμα Χημείας Εργαστήριο Αναλυτικής Χημείας ISO 17025 5.9. ΔΙΑΣΦΑΛΙΣΗ ΤΗΣ ΠΟΙΟΤΗΤΑΣ ΤΩΝ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ ΔΟΚΙΜΩΝ (1) 5.9.1 Το Εργαστήριο

Διαβάστε περισσότερα

Ψηφιακές Τηλεπικοινωνίες. Πιθανότητα Σφάλματος για Δυαδική Διαμόρφωση

Ψηφιακές Τηλεπικοινωνίες. Πιθανότητα Σφάλματος για Δυαδική Διαμόρφωση Ψηφιακές Τηλεπικοινωνίες Πιθανότητα Σφάλματος για Δυαδική Διαμόρφωση Σύνδεση με τα Προηγούμενα Σχεδιάστηκε ο βέλτιστος δέκτης για κανάλι AWGN Επειδή πάντοτε υπάρχει ο θόρυβος, ακόμη κι ο βέλτιστος δέκτης

Διαβάστε περισσότερα

Ψηφιακές Τηλεπικοινωνίες. Βέλτιστος Δέκτης

Ψηφιακές Τηλεπικοινωνίες. Βέλτιστος Δέκτης Ψηφιακές Τηλεπικοινωνίες Βέλτιστος Δέκτης Σύνδεση με τα Προηγούμενα Επειδή το πραγματικό κανάλι είναι αναλογικό, κατά τη διαβίβαση ψηφιακής πληροφορίας, αντιστοιχίζουμε τα σύμβολα σε αναλογικές κυματομορφές

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Επικοινωνιών

Συστήματα Επικοινωνιών Συστήματα Επικοινωνιών Ενότητα 7: Απόδοση συστημάτων γωνίας υπό θόρυβο Μιχαήλ Λογοθέτης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Σκοποί ενότητας Παρουσίαση της γενικής

Διαβάστε περισσότερα

Σύνδεση με τα Προηγούμενα. Προχωρημένα Θέματα Τηλεπικοινωνιών. Εισαγωγή (2) Εισαγωγή. Βέλτιστος Δέκτης. παρουσία AWGN.

Σύνδεση με τα Προηγούμενα. Προχωρημένα Θέματα Τηλεπικοινωνιών. Εισαγωγή (2) Εισαγωγή. Βέλτιστος Δέκτης. παρουσία AWGN. Προχωρημένα Θέματα Τηλεπικοινωνιών Βέλτιστος Δέκτης για Ψηφιακά Διαμορφωμένα Σήματα παρουσία AWGN Σύνδεση με τα Προηγούμενα Στις «Ψηφιακές Τηλεπικοινωνίες», αναφερθήκαμε στο βέλτιστο δέκτη ψηφιακά διαμορφωμένων

Διαβάστε περισσότερα

Βέλτιστος Έλεγχος Συστημάτων

Βέλτιστος Έλεγχος Συστημάτων Βέλτιστος Έλεγχος Συστημάτων Ενότητα 7: Βέλτιστος έλεγχος συστημάτων διακριτού χρόνου Καθηγητής Αντώνιος Αλεξανδρίδης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Σημείωμα

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΕΠΙ ΟΣΕΩΝ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΚΑΝΑΛΙΩΝ & ΟΡΙΑ ΤΗΣ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑΣ ΑΥΤΩΝ

ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΕΠΙ ΟΣΕΩΝ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΚΑΝΑΛΙΩΝ & ΟΡΙΑ ΤΗΣ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑΣ ΑΥΤΩΝ ΕΙΣ. ΣΥΣΤ. ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ 011-1 16/1/011 9:45:1 µµ ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΕΠΙ ΟΣΕΩΝ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΚΑΝΑΛΙΩΝ & ΟΡΙΑ ΤΗΣ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑΣ ΑΥΤΩΝ ΑΠΑΙΤΗΣΕΙΣ ΣΕ ΕΥΡΟΣ ΖΩΝΗΣ ΤΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΙΑΒΙΒΑΣΗΣ ΙΑΚΡΙΤΩΝ Ε ΟΜΕΝΩΝ Η ΣΧΕΣΗ ΜΕΤΑΞΥ ΕΥΡΟΥΣ

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Επικοινωνιών

Συστήματα Επικοινωνιών Συστήματα Επικοινωνιών Ενότητα 4: Απόδοση συστημάτων AM υπό θόρυβο Μιχαήλ Λογοθέτης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Σκοποί ενότητας Παρουσίαση της γενικής μορφής

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών

Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών Ενότητα 11: Διανύσματα (Φροντιστήριο) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων &

Διαβάστε περισσότερα

Βέλτιστος Έλεγχος Συστημάτων

Βέλτιστος Έλεγχος Συστημάτων Βέλτιστος Έλεγχος Συστημάτων Ενότητα 4: Το γενικευμένο πρόβλημα βέλτιστου ελέγχου για συστήματα συνεχούς Καθηγητής Αντώνιος Αλεξανδρίδης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών

Διαβάστε περισσότερα

Κβαντική Επεξεργασία Πληροφορίας

Κβαντική Επεξεργασία Πληροφορίας Κβαντική Επεξεργασία Πληροφορίας Ενότητα 4: Κλασσική και Κβαντική Πιθανότητα Σγάρμπας Κυριάκος Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Σκοποί ενότητας Σκοπός της ενότητας

Διαβάστε περισσότερα

Κινητά Δίκτυα Επικοινωνιών

Κινητά Δίκτυα Επικοινωνιών Κινητά Δίκτυα Επικοινωνιών Ενότητα 8: Πιθανότητα Σφάλματος σε AWGN Κανάλι Καθ. Κώστας Μπερμπερίδης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Σκοποί ενότητας Η εξοικείωση του φοιτητή με τεχνικές

Διαβάστε περισσότερα

Διοικητική Λογιστική

Διοικητική Λογιστική Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ιονίων Νήσων Διοικητική Λογιστική Ενότητα 10: Προσφορά και κόστος Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται με άδεια Creative Commons εκτός και αν αναφέρεται διαφορετικά

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογίζουμε εύκολα τον αντίστροφο Μετασχηματισμό Fourier μιας συνάρτησης χωρίς να καταφεύγουμε στην εξίσωση ανάλυσης.

Υπολογίζουμε εύκολα τον αντίστροφο Μετασχηματισμό Fourier μιας συνάρτησης χωρίς να καταφεύγουμε στην εξίσωση ανάλυσης. 4. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ FOURIER Υπολογίζουμε εύκολα τον αντίστροφο Μετασχηματισμό Fourir μιας συνάρτησης χωρίς να καταφεύγουμε στην εξίσωση ανάλυσης. Υπολογίζουμε εύκολα την απόκριση

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα

Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Ενότητα: Ασκήσεις 11 Ανδριανός Ε. Τσεκρέκος Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής Σελίδα 2 1. Σκοποί ενότητας... 5

Διαβάστε περισσότερα

Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Αθήνας. Βιοστατιστική (Ε) Ενότητα 3: Έλεγχοι στατιστικών υποθέσεων

Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Αθήνας. Βιοστατιστική (Ε) Ενότητα 3: Έλεγχοι στατιστικών υποθέσεων Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Αθήνας Βιοστατιστική (Ε) Ενότητα 3: Έλεγχοι στατιστικών υποθέσεων Δρ.Ευσταθία Παπαγεωργίου, Αναπληρώτρια Καθηγήτρια Τμήμα Ιατρικών Εργαστηρίων Το περιεχόμενο του μαθήματος

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 5 η Άσκηση Συγχώνευση & απαρίθμηση Διδάσκων Χρήστος Ζαρολιάγκης Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Πατρών Email: zaro@ceid.upatras.gr Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Ορισμός κανονικής τ.μ.

Ορισμός κανονικής τ.μ. Πιθανότητες και Στατιστική Ενότητα 4: Τυχαίες τυχαίες μεταβλητές Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Αθήνα 2015 Ορισμός κανονικής τ.μ. Ορισμός κανονικής τ.μ. Μια συνεχής τ.μ.

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στους Η/Υ. Ενότητα 2β: Αντίστροφο Πρόβλημα. Δημήτρης Σαραβάνος, Καθηγητής Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Μηχανολόγων & Αεροναυπηγών Μηχανικών

Εισαγωγή στους Η/Υ. Ενότητα 2β: Αντίστροφο Πρόβλημα. Δημήτρης Σαραβάνος, Καθηγητής Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Μηχανολόγων & Αεροναυπηγών Μηχανικών Εισαγωγή στους Η/Υ Ενότητα 2β: Δημήτρης Σαραβάνος, Καθηγητής Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Μηχανολόγων & Αεροναυπηγών Μηχανικών Σκοποί ενότητας Εύρεση συνάρτησης Boole όταν είναι γνωστός μόνο ο πίνακας αληθείας.

Διαβάστε περισσότερα

Θερμοδυναμική. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Πίνακες Νερού σε κατάσταση Κορεσμού. Γεώργιος Κ. Χατζηκωνσταντής Επίκουρος Καθηγητής

Θερμοδυναμική. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Πίνακες Νερού σε κατάσταση Κορεσμού. Γεώργιος Κ. Χατζηκωνσταντής Επίκουρος Καθηγητής Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Πίνακες Νερού σε κατάσταση Κορεσμού Γεώργιος Κ. Χατζηκωνσταντής Επίκουρος Καθηγητής Διπλ. Ναυπηγός Μηχανολόγος Μηχανικός M.Sc. Διασφάλιση

Διαβάστε περισσότερα

Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνων

Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνων ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνων Ενότητα # 14: Τμηματοποίηση με χρήση τυχαίων πεδίων Markov Καθηγητής Γιώργος Τζιρίτας Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Τμηματοποίηση εικόνων

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Επικοινωνιών

Συστήματα Επικοινωνιών Συστήματα Επικοινωνιών Ενότητα 9: Παλμοκωδική Διαμόρφωση (PCM) Μιχαήλ Λογοθέτης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Σκοποί ενότητας Περιγραφή της μεθόδου παλμοκωδικής

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι Ενότητα 8: Συστήματα αρίθμησης

ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι Ενότητα 8: Συστήματα αρίθμησης ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι Ενότητα 8: Συστήματα αρίθμησης Μιχάλης Δρακόπουλος Σχολή Θετικών επιστημών Τμήμα Μαθηματικών ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (MATLAB) Ενότητα 8 Σημειώσεις βασισμένες στο βιβλίο Το MATLAB στην Υπολογιστική

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 5 η Άσκηση - Συγχώνευση Διδάσκων Χρήστος Ζαρολιάγκης Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Πατρών Email: zaro@ceid.upatras.gr Άδειες Χρήσης Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Αθήνας. Βιοστατιστική (Ε) Ενότητα 1: Καταχώρηση δεδομένων

Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Αθήνας. Βιοστατιστική (Ε) Ενότητα 1: Καταχώρηση δεδομένων Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Αθήνας Βιοστατιστική (Ε) Ενότητα 1: Καταχώρηση δεδομένων Δρ.Ευσταθία Παπαγεωργίου, Αναπληρώτρια Καθηγήτρια Τμήμα Ιατρικών Εργαστηρίων Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται

Διαβάστε περισσότερα

Κβαντική Επεξεργασία Πληροφορίας

Κβαντική Επεξεργασία Πληροφορίας Κβαντική Επεξεργασία Πληροφορίας Ενότητα 11: Είδη και μετασχηματισμοί πινάκων Σγάρμπας Κυριάκος Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Σκοποί ενότητας Είδη και μετασχηματισμοί

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΑΝΑΛΟΓΙΚΩΝ & ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΑΝΑΛΟΓΙΚΩΝ & ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΑΝΑΛΟΓΙΚΩΝ & ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΨΗΦΙΑΚΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ Εργαστήριο 9 ο : Διαμόρφωση BPSK & QPSK Βασική Θεωρία Εισαγωγή Κατά την μετάδοση ψηφιακών δεδομένων

Διαβάστε περισσότερα

Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Αθήνας. Βιοστατιστική (Ε) Ενότητα 2: Περιγραφική στατιστική

Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Αθήνας. Βιοστατιστική (Ε) Ενότητα 2: Περιγραφική στατιστική Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Αθήνας Βιοστατιστική (Ε) Ενότητα 2: Περιγραφική στατιστική Δρ.Ευσταθία Παπαγεωργίου, Αναπληρώτρια Καθηγήτρια Τμήμα Ιατρικών Εργαστηρίων Το περιεχόμενο του μαθήματος

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ IΙ Ενότητα 6

ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ IΙ Ενότητα 6 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ IΙ Ενότητα 6: Ανάδραση Χατζόπουλος Αλκιβιάδης Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχ. Υπολογιστών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Βέλτιστος Έλεγχος Συστημάτων

Βέλτιστος Έλεγχος Συστημάτων Βέλτιστος Έλεγχος Συστημάτων Ενότητα 11: Στοχαστικός βέλτιστος έλεγχος γραμμικών συστημάτων με χρήση τετραγωνικών κριτηρίων (LQG Problem) Καθηγητής Αντώνιος Αλεξανδρίδης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογία των Επιστημών του Ανθρώπου: Στατιστική

Μεθοδολογία των Επιστημών του Ανθρώπου: Στατιστική Μεθοδολογία των Επιστημών του Ανθρώπου: Στατιστική Ενότητα 2: Βασίλης Γιαλαμάς Σχολή Επιστημών της Αγωγής Τμήμα Εκπαίδευσης και Αγωγής στην Προσχολική Ηλικία Περιεχόμενα ενότητας Παρουσιάζονται οι βασικές

Διαβάστε περισσότερα

Ηλεκτρονική. Ενότητα 5: DC λειτουργία Πόλωση του διπολικού τρανζίστορ. Αγγελική Αραπογιάννη Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών

Ηλεκτρονική. Ενότητα 5: DC λειτουργία Πόλωση του διπολικού τρανζίστορ. Αγγελική Αραπογιάννη Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Ηλεκτρονική Ενότητα 5: D λειτουργία Πόλωση του διπολικού τρανζίστορ Αγγελική Αραπογιάννη Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Περιεχόμενα ενότητας Μεθοδολογία D ανάλυσης των κυκλωμάτων με διπολικά τρανζίστορ

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Γ. Ολοκληρωτικός Λογισμός

Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Γ. Ολοκληρωτικός Λογισμός Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Γ. Ολοκληρωτικός Λογισμός Κεφάλαιο Γ.4: Ολοκλήρωση με Αντικατάσταση Όνομα Καθηγητή: Γεώργιος Ν. Μπροδήμας Τμήμα Φυσικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική ΙΙΙ. Ενότητα 4: Ηλεκτρικά Κυκλώματα. Γεώργιος Βούλγαρης Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής

Φυσική ΙΙΙ. Ενότητα 4: Ηλεκτρικά Κυκλώματα. Γεώργιος Βούλγαρης Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής Φυσική ΙΙΙ Ενότητα 4: Ηλεκτρικά Κυκλώματα Γεώργιος Βούλγαρης Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής Ασκήσεις ΦΙΙΙ Ασκήσεις κυκλωμάτων συνεχούς ρεύματος. Κανόνες Kirchhoff. Γ. Βούλγαρης 2 Ο Νόμος των Ρευμάτων

Διαβάστε περισσότερα

Ενδεικτικές λύσεις ασκήσεων διαχείρισης έργου υπό συνθήκες αβεβαιότητας

Ενδεικτικές λύσεις ασκήσεων διαχείρισης έργου υπό συνθήκες αβεβαιότητας Ενδεικτικές λύσεις ασκήσεων διαχείρισης έργου υπό συνθήκες αβεβαιότητας 1 Περιεχόμενα 1 η Άσκηση... 4 2 η Άσκηση... 7 3 η Άσκηση... 10 Χρηματοδότηση... 12 Σημείωμα Αναφοράς... 13 Σημείωμα Αδειοδότησης...

Διαβάστε περισσότερα

Προηγμένος έλεγχος ηλεκτρικών μηχανών

Προηγμένος έλεγχος ηλεκτρικών μηχανών Προηγμένος έλεγχος ηλεκτρικών μηχανών Ενότητα 3: Βαθμωτός Έλεγχος Ασύχρονων Μηχανών Επαμεινώνδας Μητρονίκας - Αντώνιος Αλεξανδρίδης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Τεχνολογίας Υπολογιστών

Διαβάστε περισσότερα

Μικροοικονομική Ανάλυση της Κατανάλωσης και της Παραγωγής

Μικροοικονομική Ανάλυση της Κατανάλωσης και της Παραγωγής Μικροοικονομική Ανάλυση της Κατανάλωσης και της Παραγωγής Διάλεξη 13: Καμπύλες κόστους Ανδρέας Παπανδρέου Σχολή Οικονομικών και Πολιτικών Επιστημών Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Μορφές καμπυλών κόστους Καμπύλη

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Επικοινωνιών

Συστήματα Επικοινωνιών Συστήματα Επικοινωνιών Ενότητα 4: Μετατροπή Αναλογικών Σημάτων σε Ψηφιακά Μαθιόπουλος Παναγιώτης Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Περιγραφή ενότητας Δειγματοληψία: Ιδανική

Διαβάστε περισσότερα

Ηλεκτρονική. Ενότητα 8: Απόκριση κατά Συχνότητα των Ενισχυτών μιας βαθμίδας με διπολικά τρανζίστορ

Ηλεκτρονική. Ενότητα 8: Απόκριση κατά Συχνότητα των Ενισχυτών μιας βαθμίδας με διπολικά τρανζίστορ Ηλεκτρονική Ενότητα 8: Απόκριση κατά Συχνότητα των Ενισχυτών μιας βαθμίδας με διπολικά τρανζίστορ Αγγελική Αραπογιάννη Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Περιεχόμενα ενότητας Η έννοια της απόκρισης

Διαβάστε περισσότερα

Βέλτιστος Έλεγχος Συστημάτων

Βέλτιστος Έλεγχος Συστημάτων Βέλτιστος Έλεγχος Συστημάτων Ενότητα 12: Αρχή ελαχίστου του Pontryagin Καθηγητής Αντώνιος Αλεξανδρίδης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Σημείωμα Αδειοδότησης Το

Διαβάστε περισσότερα

Γενική Φυσική Ενότητα: Δυναμική Άκαμπτου Σώματος

Γενική Φυσική Ενότητα: Δυναμική Άκαμπτου Σώματος Γενική Φυσική Ενότητα: Δυναμική Άκαμπτου Σώματος Όνομα Καθηγητή: Γεώργιος Βούλγαρης Τμήμα: Μαθηματικό Σελίδα 2 1. Ερωτήσεις Δυναμικής Άκαμπτου Σώματος... 4 1.1 Ερώτηση 1... 4 1.2 Ερώτηση 2... 4 1.3 Ερώτηση

Διαβάστε περισσότερα

Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνων

Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνων ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνων Ενότητα # 8: Ορθομοναδιαίοι μετασχηματισμοί Καθηγητής Γιώργος Τζιρίτας Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Ορθομοναδιαίοι μετασχηματισμοί ισοδύναμη

Διαβάστε περισσότερα

Μικροοικονομική Ανάλυση της Κατανάλωσης και της Παραγωγής

Μικροοικονομική Ανάλυση της Κατανάλωσης και της Παραγωγής Μικροοικονομική Ανάλυση της Κατανάλωσης και της Παραγωγής Διάλεξη 11: Μεγιστοποίηση κέρδους Ανδρέας Παπανδρέου Σχολή Οικονομικών και Πολιτικών Επιστημών Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Οικονομικό κέρδος Μια

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών

Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών Ενότητα 7: Παράγωγος, ελαστικότητα, παραγώγιση συναρτήσεων (Φροντιστήριο) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Επικοινωνιών

Συστήματα Επικοινωνιών Συστήματα Επικοινωνιών Ενότητα 2: Εισαγωγή στις διαμορφώσεις αναλογικού σήματος Μιχαήλ Λογοθέτης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Σκοποί ενότητας Παρουσίαση βασικών

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα

Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Ενότητα: Ασκήσεις 1 Ανδριανός Ε. Τσεκρέκος Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής Σελίδα 2 1. Σκοποί ενότητας... 5 2.

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Επικοινωνιών

Συστήματα Επικοινωνιών Συστήματα Επικοινωνιών Ενότητα 8: Δειγματοληψία - Διαμόρφωση παλμών Μιχαήλ Λογοθέτης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Σκοποί ενότητας Περιγραφή της διαδικασίας

Διαβάστε περισσότερα

Ψηφιακές Επικοινωνίες

Ψηφιακές Επικοινωνίες Ψηφιακές Επικοινωνίες Ενότητα 3: Παναγιώτης Μαθιόπουλος Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Μέρος Β Διαμόρφωση ολίσθησης φάσης (Phase Shift Keying-PSK) Σταθερή περιβάλλουσα (Constant

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στους Υπολογιστές

Εισαγωγή στους Υπολογιστές Εισαγωγή στους Υπολογιστές Εργαστήριο 2 Καθηγητές: Αβούρης Νικόλαος, Παλιουράς Βασίλης, Κουκιάς Μιχαήλ, Σγάρμπας Κυριάκος Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Άσκηση 2 ου εργαστηρίου

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Επικοινωνιών

Συστήματα Επικοινωνιών Συστήματα Επικοινωνιών Ενότητα 3: Μαθιόπουλος Παναγιώτης Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Περιγραφή ενότητας Διαμόρφωση Πλάτους: Διπλής πλευρικής ζώνης με συνολικό φέρον,

Διαβάστε περισσότερα

Λογιστική Κόστους Ενότητα 12: Λογισμός Κόστους (2)

Λογιστική Κόστους Ενότητα 12: Λογισμός Κόστους (2) Λογιστική Κόστους Ενότητα 12: Λογισμός Κόστους (2) Μαυρίδης Δημήτριος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Ενότητα 1: Εκτιμητές και Ιδιότητες. Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά)

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Ενότητα 1: Εκτιμητές και Ιδιότητες. Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ενότητα 1: Εκτιμητές και Ιδιότητες. Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

Βέλτιστος Έλεγχος Συστημάτων

Βέλτιστος Έλεγχος Συστημάτων Βέλτιστος Έλεγχος Συστημάτων Ενότητα 6: Το γραμμικό τετραγωνικό πρόβλημα βέλτιστης Καθηγητής Αντώνιος Αλεξανδρίδης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Σημείωμα Αδειοδότησης

Διαβάστε περισσότερα

Ψηφιακές Τηλεπικοινωνίες. Πολυδιάστατες Κυματομορφές Σήματος

Ψηφιακές Τηλεπικοινωνίες. Πολυδιάστατες Κυματομορφές Σήματος Ψηφιακές Τηλεπικοινωνίες Πολυδιάστατες Κυματομορφές Σήματος Ανακεφαλαίωση Καθένα από τα Μ σύμβολα αντιστοιχίζεται σε μια αναλογική κυματομορφή Οι κυματομορφές ορίζονται σε ένα N-D χώρο σήματος (Ν Μ) Μονοδιάστατα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΑΝΑΛΟΓΙΚΩΝ & ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΑΝΑΛΟΓΙΚΩΝ & ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ Σχολή Θετικών Επιστημών Τεχνολογίας Τηλεπικοινωνιών Τμήμα Επιστήμης και Τεχνολογίας Τηλεπικοινωνιών ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΑΝΑΛΟΓΙΚΩΝ & ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ ΙI Εργαστήριο 7 ο : Διαμόρφωση BPSK & QPSK

Διαβάστε περισσότερα

Πρακτική Άσκηση σε σχολεία της δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης

Πρακτική Άσκηση σε σχολεία της δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης Πρακτική Άσκηση σε σχολεία της δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης Ενότητα 1: Κρίσιμα συμβάντα Δέσποινα Πόταρη, Γιώργος Ψυχάρης Σχολή Θετικών επιστημών Τμήμα Μαθηματικό Απομαγνητοφώνηση αποσπάσματος από Β Λυκείου

Διαβάστε περισσότερα

Σχεδίαση CMOS Ψηφιακών Ολοκληρωμένων Κυκλωμάτων

Σχεδίαση CMOS Ψηφιακών Ολοκληρωμένων Κυκλωμάτων Σχεδίαση CMOS Ψηφιακών Ολοκληρωμένων Κυκλωμάτων Ενότητα: Ασκήσεις Αγγελική Αραπογιάννη Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Σελίδα 2 1. Άσκηση 1... 5 2. Άσκηση 2... 5 3. Άσκηση 3... 7 4. Άσκηση 4...

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ ΜΕΤΑΒΑΤΙΚΑ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ ΣΤΑ ΣΗΕ Λαμπρίδης Δημήτρης Κατσανού Βάνα Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ ΜΕΤΑΒΑΤΙΚΑ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ ΣΤΑ ΣΗΕ Λαμπρίδης Δημήτρης Κατσανού Βάνα Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ ΜΕΤΑΒΑΤΙΚΑ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ ΣΤΑ ΣΗΕ Λαμπρίδης Δημήτρης Κατσανού Βάνα Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών

Διαβάστε περισσότερα

Ηλεκτρονική. Ενότητα 9: Τρανζίστορ Επίδρασης Πεδίου (FET) Αγγελική Αραπογιάννη Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών

Ηλεκτρονική. Ενότητα 9: Τρανζίστορ Επίδρασης Πεδίου (FET) Αγγελική Αραπογιάννη Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Ηλεκτρονική Αγγελική Αραπογιάννη Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Περιεχόμενο ενότητας (1 από 2) Τύποι τρανζίστορ επίδρασης πεδίου (JFET, MOSFET, MESFET). Ομοιότητες και διαφορές των FET με τα διπολικά

Διαβάστε περισσότερα

1 η Διάλεξη. Ενδεικτικές λύσεις ασκήσεων

1 η Διάλεξη. Ενδεικτικές λύσεις ασκήσεων 1 η Διάλεξη Ενδεικτικές λύσεις ασκήσεων 1 Περιεχόμενα 1 η Άσκηση... 3 2 η Άσκηση... 3 3 η Άσκηση... 3 4 η Άσκηση... 3 5 η Άσκηση... 4 6 η Άσκηση... 4 7 η Άσκηση... 4 8 η Άσκηση... 5 9 η Άσκηση... 5 10

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογία των Επιστημών του Ανθρώπου: Στατιστική

Μεθοδολογία των Επιστημών του Ανθρώπου: Στατιστική Μεθοδολογία των Επιστημών του Ανθρώπου: Στατιστική Ενότητα 2: Βασίλης Γιαλαμάς Σχολή Επιστημών της Αγωγής Τμήμα Εκπαίδευσης και Αγωγής στην Προσχολική Ηλικία Περιεχόμενα ενότητας Παρουσιάζονται οι βασικές

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη Δικτύωση Υπολογιστών

Εισαγωγή στη Δικτύωση Υπολογιστών Εισαγωγή στη Δικτύωση Υπολογιστών Ενότητα 2: Το Φυσικό Επίπεδο Δημήτριος Τσώλης Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διαχείρισης Πολιτισμικού Περιβάλλοντος και Νέων Τεχνολογιών Στόχοι Μαθήματος

Διαβάστε περισσότερα

Σχεδίαση Μεικτών VLSI Κυκλωμάτων Ενότητα 9: Ευστάθεια και Αντιστάθμιση Συχνότητας

Σχεδίαση Μεικτών VLSI Κυκλωμάτων Ενότητα 9: Ευστάθεια και Αντιστάθμιση Συχνότητας Σχεδίαση Μεικτών VLSI Κυκλωμάτων Αγγελική Αραπογιάννη Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Σύστημα αρνητικής ανάδρασης Y X s H(s) 1 H(s) Συνάρτηση μεταφοράς κλειστού βρόχου Ταλαντωτής

Διαβάστε περισσότερα

Διδακτική των εικαστικών τεχνών Ενότητα 2

Διδακτική των εικαστικών τεχνών Ενότητα 2 Διδακτική των εικαστικών τεχνών Ενότητα 2 Ουρανία Κούβου Εθνικὸ καi Καποδιστριακὸ Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Εκπαίδευσης και Αγωγής στην Προσχολική Ηλικία Ενότητα 2. Το παιδικό σχέδιο ως γνωστική διεργασία:

Διαβάστε περισσότερα

Διδακτική των εικαστικών τεχνών Ενότητα 2

Διδακτική των εικαστικών τεχνών Ενότητα 2 Διδακτική των εικαστικών τεχνών Ενότητα 2 Ουρανία Κούβου Εθνικὸ καi Καποδιστριακὸ Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Εκπαίδευσης και Αγωγής στην Προσχολική Ηλικία Ενότητα 2. Το παιδικό σχέδιο ως γνωστική διεργασία:

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών

Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών Ενότητα 8: Εφαρμογές παραγώγων Μελέτη και βελτιστοποίηση συναρτήσεων μιας μεταβλητής (Φροντιστήριο) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Διδακτική των εικαστικών τεχνών Ενότητα 2

Διδακτική των εικαστικών τεχνών Ενότητα 2 Διδακτική των εικαστικών τεχνών Ενότητα 2 Ουρανία Κούβου Εθνικὸ καi Καποδιστριακὸ Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Εκπαίδευσης και Αγωγής στην Προσχολική Ηλικία Ενότητα 2. Το παιδικό σχέδιο ως γνωστική διεργασία:

Διαβάστε περισσότερα

Διδακτική των εικαστικών τεχνών Ενότητα 2

Διδακτική των εικαστικών τεχνών Ενότητα 2 Διδακτική των εικαστικών τεχνών Ενότητα 2 Ουρανία Κούβου Εθνικὸ καi Καποδιστριακὸ Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Εκπαίδευσης και Αγωγής στην Προσχολική Ηλικία Ενότητα 2. Το παιδικό σχέδιο ως γνωστική διεργασία:

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα. Εισαγωγή στις βάσεις δεδομένων

Ενότητα. Εισαγωγή στις βάσεις δεδομένων Ενότητα 1 Εισαγωγή στις βάσεις δεδομένων 2 1.1 Βάσεις Δεδομένων Ένα βασικό στοιχείο των υπολογιστών είναι ότι έχουν τη δυνατότητα να επεξεργάζονται εύκολα και γρήγορα μεγάλο πλήθος δεδομένων και πληροφοριών.

Διαβάστε περισσότερα

Κβαντική Επεξεργασία Πληροφορίας

Κβαντική Επεξεργασία Πληροφορίας Κβαντική Επεξεργασία Πληροφορίας Ενότητα 23: Υπολογισμοί σε Κβαντικά Κυκλώματα ΙΙ Σγάρμπας Κυριάκος Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Σκοποί ενότητας Υπολογισμοί

Διαβάστε περισσότερα

Ηλεκτρονική. Ενότητα 7: Βασικές τοπολογίες ενισχυτών μιας βαθμίδας με διπολικά τρανζίστορ. Αγγελική Αραπογιάννη Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών

Ηλεκτρονική. Ενότητα 7: Βασικές τοπολογίες ενισχυτών μιας βαθμίδας με διπολικά τρανζίστορ. Αγγελική Αραπογιάννη Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Ηλεκτρονική Ενότητα 7: Βασικές τοπολογίες ενισχυτών μιας βαθμίδας με διπολικά τρανζίστορ Αγγελική Αραπογιάννη Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Περιεχόμενα ενότητας Ενισχυτής κοινού εκπομπού, ενισχυτής

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Λήψης Αποφάσεων

Θεωρία Λήψης Αποφάσεων Θεωρία Λήψης Αποφάσεων Ενότητα 2: Θεωρία Απόφασης του Bayes Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων & Τροφίμων (Δ.Ε.Α.Π.Τ.) Θεωρία

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Φροντιστήριο 1

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Φροντιστήριο 1 Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Φροντιστήριο 1 Διδάσκων Χρήστος Ζαρολιάγκης Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Πατρών Email: zaro@ceid.upatras.gr Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό

Διαβάστε περισσότερα