Γραμμική Άλγεβρα Ενότητα 2: Εισαγωγικές έννοιες
|
|
- Δαμιανός Παπακωνσταντίνου
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Γραμμική Άλγεβρα Ενότητα 2: Εισαγωγικές έννοιες Ευάγγελος Ράπτης Τμήμα Πληροφορικής
2 Μέρος I Εναρξη μαθήματος Γραμμική άλγεβρα Ι Ευάγγελος Ράπτης 1 Τα παρακάτω κείμενα, γράφονται και ενημερώνονται καθημερινά για τις ανάγκες του μαθήματος Γραμμική άλγεβρα Ι. Καλούνται οι φοιτητές να επισημαίνουν λάθη και παραλείψεις. Τα μαθήματα θα αρχίσουν την Δευτέρα 1 Οκτωβρίου Παρακάτω θα βρείτε συγγράμματα και συνδέσμους σε ηλεκτρονική μορφή, όλα χρήσιμα για τη μελέτη σας: 1. Πρόκειται για το βιβλίο «Εισαγωγή στη Γραμμική Άλγεβρα, Τόμος Α, Δ. Βάρσος, Δ. Δεριζιώτης, Μ. Μαλιάκας, Στ. Παπασταυρίδης, Ε. Ράπτης, Ο, Ταλέλλη, Εκδ. Σοφία 2003 Δείτε εδώ 2. Ενα ακόμη αρκετά καλό βιβλίο Γραμμικής άλγεβρας εδώ 3. Δείτε επίσης και εδώ ένα μάθημα για το «Τί είναι η Γραμμική άλγεβρα» 4. Δείτε στη διεύθυνση εδώ ένα δυνατό υπολογιστικό πακέτο, το οποίο βρίσκεται ελεύθερο στο δίκτυο και θα μας χρειασθεί σύντομα. 5. Δείτε επίσης εδώ για προετοιμασία το πρώτο μάθημα Γραμμικής άλγεβρας στο Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών το χειμερινό εξάμηνο Επίσης δείτε εδώ και εδώ 1 Ηλεκτρονική διεύθυνση: eraptis@math.uoa.gr Γραφείο: 211, τηλ Ηλεκτρονική διεύθυνση Ηλεκτρονικής τάξης του μαθήματος: 5
3 Οι παράπλευρες σελίδες συζήτησης Μπορείτε να διατυπώνετε τις απορίες σας και τις σκέψεις σας: 1. Στον σύνδεσμο Τηλεσυνεργασία, είναι ο σύνδεσμος αριστερά στη σελίδα του μαθήματος. Στη σελίδα αυτή έχετε τη δυνατότητα να γράφετε και λίγα μαθηματικά σύμβολα 2. Στον σύνδεσμο Περιοχές Συζητήσεων, αριστερά στη σελίδα του μαθήματος. Τηλεδιασκέψεις Κατά τη διάρκεια του μαθήματος θα γίνουν πολλές Τηλεδιασκέψεις. Κάθε Τηλεδιάσκεψη θα ανακοινώνεται έγκαιρα 6
4 Μέρος II Αρχικά μαθήματα 1 Μάθημα 1 Δευτέρα 1 Οκτωβρίου Εισαγωγή Η Γραμμική άλγεβρα 2 είναι μέρος της προσπάθειας να κατανοήσουμε το χώρο και τον κόσμο γύρω μας. Θα δούμε στην αρχή σημαντικές έννοιες όπως τα σύνολα και οι απεικονίσεις. 1.2 Πορεία μελέτης 1. Δείτε από το βιβλίο Εισαγωγή στη Γραμμική άλγεβρα τον ορισμό του συνόλου 2. Δείτε και εδώ μία άλλη ματιά για τα σύνολα 3. Δείτε και εδώ την ελληνική εκδοχή των παραπάνω 4. Ορισμός 1.1. Δύο σύνολα Α και Β λέγονται ίσα (θα συμβολίζουμε Α=Β) εάν και μόνο εάν έχουν τα ίδια ακριβώς στοιχεία 5. Δείτε προσεκτικά τον ορισμό του κενού συνόλου: Ορισμός 1.2. Το σύνολο που δεν έχει στοιχεία το λέμε κενό σύνολο και το συμβολίζουμε με το σύμβολο 6. Δείτε από το βιβλίο Εισαγωγή στη Γραμμική άλγεβρα τον ορισμό της τομής δύο συνόλων, της ένωσης δύο συνόλων και της διαφοράς δύο συνόλων 2 Το βιβλίο αυτό γράφεται κατά τη διάρκεια του Φθινοπώρου 2012 για τις ανάγκες της διδασκαλίας του μαθήματος Γραμμική άλγεβρα Ι(121) Ευάγγελος Ράπτης Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Μαθηματικών 7
5 1.3 Γραμμικά συστήματα Σε επόμενα μαθήματα θα μελετήσουμε συστηματικά τα γραμμικά συστήματα, διότι είναι σημαντικό μέρος της Γραμμικής άλγεβρας. Στο σημερινό μάθημα απλά θέτουμε τα ερωτήματα. Αρχίζουμε με ένα παράδειγμα γραμμικού συστήματος τριών εξισώσεων με τρείς αγνώστους: Ερωτήματα (Σ) x + 2y + 3z = 0 4x + 5y + 6z = 0 7x + 8y + 9z = 0 1. Τι είναι το σύνολο λύσεων του συστήματος (Σ); 2. Ποια είναι τα γεωμετρικά χαρακτηριστικά του (Σ); 3. Υπάρχουν άλλα συστήματα με το ίδιο σύνολο λύσεων; 4. Εχει το σύστημα (Σ) πεπερασμένο ή άπειρο σύνολο λύσεων; 5. Ποιο είναι το «απλούστερο» κατά την γνώμη σας γραμμικό σύστημα με το ίδιο σύνολο λύσεων όπως το (Σ); Τέλος του πρώτου μαθήματος 8
6 2 Μάθημα 2 Τετάρτη 3 Οκτωβρίου Εσωτερικά γινόμενα 1. Το σύνολο ζευγών πραγματικών αριθμών το συμβολίζουμε με R 2. Στο σύνολο αυτό ορίζουμε το εσωτερικό γινόμενο ως εξής: (α 1, α 2 ) (β 1, β 2 ) = α 1 β 1 + α 2 β 2 2. Το σύνολο τριάδων πραγματικών αριθμών το συμβολίζουμε με R 3. Στο σύνολο αυτό ορίζουμε το εσωτερικό γινόμενο ως εξής: (α 1, α 2, α 3 ) (β 1, β 2, β 3 ) = α 1 β 1 + α 2 β 2 + α 3 β 3 Τα εσωτερικά γινόμενα έχουν έναν σημαντικό ρόλο στη μελέτη της Γραμμικής άλγεβρας. Θα δούμε αρκετά στα επόμενα μαθήματα 2.2 Αρχίζοντας τη μελέτη της Γραμμικής άλγεβρας 1. Δείτε ξανά μία εισαγωγή στην Γραμμική άλγεβρα του καθηγητή W.Strang, MIT εδώ 2. Διαβάστε την Εισαγωγή από το βιβλίο «Εισαγωγή στη Γραμμική άλγεβρα Τόμος Α» 3 3. Ρίξτε επίσης μια ματιά και στη διεύθυνση Εγκυκλοπαίδεια wikipedia Στη διεύθυνση αυτή θα βρείτε και άλλα ιστορικά στοιχεία, όπως και υλικό για τη Γραμμική άλγεβρα 4. Αρχίζουμε να μελετάμε τους πίνακες. Οι πίνακες είναι πρωταρχικής σημασίας στο μάθημα αυτό. Συνοπτικά μιλώντας (ο ακριβής ορισμός θα δοθεί στη συνέχεια) πίνακας είναι μία ορθογώνια διευθέτηση αντικειμένων. Για παράδειγμα το σύμβολο είναι ένας πίνακας 4 γραμμών και 3 στηλών ή ένας 4 3 πίνακας. Ο όρος στα αγγλικά είναι matrix. 3 Το βιβλίο αυτό θα το βρείτε ηλεκτρονικά από την αρχική σελίδα του μαθήματος 9
7 5. Θα μπορούσαμε να πούμε ότι κύριος στόχος του μαθήματος είναι να μελετήσει τη δομή του συνόλου λύσεων Λ του γραμμικού συστήματος: (Σ) όπου τα α ij, β i είναι συντελεστές 4 α 11 x 1 + α 12 x α 1ν x ν = β 1 α 21 x 1 + α 22 x α 2ν x ν = β 2 α µ1 x 1 + α µ2 x α µν x ν = β µ 6. Δείτε επίσης το βίντεο εδώ και μελετήστε ένα δικό σας ομογενές σύστημα. 7. Ορισμός 2.1. Σύνολο λύσεων του συστήματος (Σ) είναι το σύνολο Λ = {(ξ 1, ξ 2,, ξ ν } που έχει την ιδιότητα αν θέσουμε x 1 = ξ 1, x 2 = ξ 2,, x ν = ξ ν, τότε όλες οι εξισώσεις του συστήματος επαληθεύονται. Σε κάθε γραμμικό σύστημα (Σ) όπως πιο πάνω αντιστοιχούν δύο πίνακες E = α 11 α 12 α 1ν β 1 α 21 α 22 α 2ν β 2 α µ1 α µ2 α µν β µ και ο πίνακας A = α 11 α 12 α 1ν α 21 α 22 α 2ν α µ1 α µ2 α µν Ορισμός 2.2. Ο πίνακας Α ονομάζεται πίνακας του συστήματος. Ο πίνακας Ε ονομάζεται επαυξημένος πίνακας του συστήματος Εύκολα παρατηρούμε ότι το ζεύγος των πινάκων Α και Ε κωδικοποιούν πλήρως όλες τις πληροφορίες του συστήματος. 4 Χωρίς λάθος μπορούμε να θεωρούμε ότι οι συντελεστές είναι πραγματικοί αριθμοί. Σε επόμενα μαθήματα θα αποσαφηνίσουμε περισσότερο το ρόλο των συντελεστών 10
8 2.3 Μελέτη εισαγωγικών εννοιών 1. Δείτε από το βιβλίο «Εισαγωγή στη Γραμμική άλγεβρα Τόμος Α» τον ορισμό του καρτεσιανού γινομένου συνόλων 2. Δείτε από το βιβλίο «Εισαγωγή στη Γραμμική άλγεβρα Τόμος Α» τον ορισμό της σχέσης ισοδυναμίας Ορισμός 2.3. Εστω Α ένα μη-κενό σύνολο. Διαμέριση του συνόλου Α είναι μία οικογένεια υποσυνόλων του A i, i I με τις παρακάτω ιδιότητες 1. A i i I 2. A i A j = εάν i j 3. i I A i = A Θα πρέπει κανείς να σταθεί πολύ στον ορισμό αυτό ξεκινώντας τη μελέτη στην Άλγεβρα. Στο σημείο αυτό δείτε το βίντεο εδώ Κάθε διαμέριση δημιουργεί μία σχέση μεταξύ των στοιχείων του Α ως εξής: Το στοιχείο χ του Α σχετίζεται με το στοιχείο ψ του Α εάν το χ και το ψ βρίσκονται σε κάποιο A i και τα δύο Θα συμβολίζουμε χ ψ Η παραπάνω σχέση έχει τις παρακάτω ιδιότητες: 1. χ χ για κάθε στοιχείο χ του Α. Αυτό είναι άμεσο. Η ιδιότητα αυτή λέγεται αυτοπαθής 2. Αν x y τότε x, y A i για κάποιο A i και άρα y, x A i, δηλαδή y x. Η ιδιότητα αυτή λέγεται συμμετρική 3. Αν x y και y z, τότε τα x, y, z A i για κάποιο κοινό A i οπότε x z. Η ιδιότητα αυτή λέγεται μεταβατική Μπορούμε εδώ να διατυπώσουμε την παρακάτω Πρόταση 2.4. Εστω Α ένα μη κενό σύνολο. Κάθε διαμέριση του συνόλου Α επάγει(δημιουργεί) μία σχέση ισοδυναμίας στο σύνολο Α Απόδειξη Άμεση από την παραπάνω συζήτηση Στην πραγματικότητα αν Α ένα μη κενό σύνολο, μία σχέση ισοδυναμίας στο Α είναι ένα μη κενό υποσύνολο R του καρτεσιανού γινομένου A A δηλαδή R A A με τις παρακάτω ιδιότητες: 11
9 1. (x, x) R για κάθε x A 2. Αν (x, y) R, τότε (y, x) R 3. Αν (x, y) R και (y, z) R, τότε (x, z) R Πολλές φορές θα συμβολίζουμε ή (x, y) R ή xry ή x y Με βάση αυτόν το γενικό ορισμό της σχέσης ισοδυναμίας στο μη κενό σύνολο Α δημιουργούμε υποσύνολα ως εξής: Αν x A, τότε [x] = {y A y x} Κάθε υποσύνολο [x] όπως παραπάνω θα το ονομάζουμε κλάση ισοδυναμίας με αντιπρόσωπο το x Πρόταση 2.5. Εστω μία σχέση ισοδυναμίας στο μη-κενό σύνολο Α 1. Κάθε κλάση ισοδυναμίας [x] περιέχει το x διότι x x. Άρα κάθε κλάση ισοδυναμίας είναι μη-κενό σύνολο 2. Αν [x] [y] δύο κλάσεις ισοδυναμίας, τότε είτε [x] = [y] είτε [x] [y] = 3. x A [x] = A Απόδειξη: Το σημείο 1 έχει ήδη αποδειχθεί Για το σημείο 2 τώρα. Αν [x] [y] = είναι δεκτό. Αν [x] [y], τότε υπάρχει ω [x] [y] και έτσι x ω και y ω. Τότε όμως λόγω της μεταβατικής ιδιότητας έχουμε x y και έτσι [x] = [y] Η τρίτη απαίτηση είναι άμεση, διότι κάθε x [x] και έτσι x A [x] = A Καταλήγουμε έτσι ότι το σύνολο [x] x A, δηλαδή το σύνολο των κλάσεων ισοδυναμίας σχηματίζει μία διαμέριση του Α Καταλήξαμε στο παρακάτω πολύ σημαντικό: Θεώρημα 2.6. Εστω Α ένα μη κενό σύνολο. Υπάρχει μία 1-1 και επί σχέση D I όπου D το σύνολο των διαμερίσεων του Α και I το σύνολο των σχέσεων ισοδυναμίας. Κάθε διαμέριση απεικονίζεται σε μία σχέση ισοδυναμίας που περιγράψαμε πιο πάνω. Αντίστροφα κάθε σχέση ισοδυναμίας δημιουργεί μία διαμέριση που επίσης περιγράψαμε πιο πάνω. Η μία απεικόνιση είναι αντίστροφη της άλλης Ορισμός 2.7. Εστω Α ένα μη κενό σύνολο και μία σχέση ισοδυναμίας στο σύνολο αυτό. 1. Το σύνολο {[x], x A} δηλαδή το σύνολο των κλάσεων ισοδυναμίας λέγεται σύνολο-πηλίκο και συμβολίζεται A/ 2. Η απεικόνιση A A/ με x [x] λέγεται προβολή 12
10 2.4 Και άλλες σκέψεις 1. Στο σύνολο των πραγματικών αριθμών R ορίζουμε τη σχέση: α β η διαφορά α β είναι ακέραιος αριθμός. Εξετάστε εάν η σχέση αυτή είναι σχέση ισοδυναμίας. Βρείτε και τις κλάσεις ισοδυναμίας αν είναι πράγματι σχέση ισοδυναμίας. Σκεφθείτε μία γεωμετρική προσέγγιση. 2. Στο σύνολο των ακεραίων αριθμών Z ορίζουμε τη σχέση: α β το 2 διαιρεί τη διαφορά α β. Δείξτε ότι η σχέση αυτή είναι σχέση ισοδυναμίας. ισοδυναμίας Τέλος του δευτέρου μαθήματος Βρείτε και τις κλάσεις 13
11 3 Μάθημα 3 Παρασκευή 4 Νοεμβρίου Μελέτη εισαγωγικών εννοιών 1. Δείτε από το βιβλίο «Εισαγωγή στη Γραμμική άλγεβρα Τόμος Α» 5 τον ορισμό της απεικόνισης και τα παραδείγματα 2. Πότε μία απεικόνιση λέγεται ότι είναι 1-1;, πότε επί; 3.2 Πορεία μελέτης 1. Μελετήστε την παράγραφο 2.1 του κεφαλαίου 2 (Πίνακες και Γραμμικές εξισώσεις) σελίδα 29 από το βιβλίο «Εισαγωγή στη Γραμμική άλγεβρα Τόμος Α» 6 2. Μελετήστε τους ορισμούς 2.2.1, 2.2.2, 2.2.3, καθώς και τα παραδείγματα 2.2.5, και σελ 31 και 32 από το βιβλίο «Εισαγωγή στη Γραμμική άλγεβρα Τόμος Α» 3. Δείτε στη διεύθυνση εδώ σχετικά με τους πίνακες. 3.3 Ασκήσεις Οι λύσεις των παρακάτω ασκήσεων να γίνουν στοιχειωδώς. Άσκηση Να βρεθεί το σύνολο λύσεων του παρακάτω συστήματος 3x + 5y + 6z = 28 x + y + z = 6 δηλαδή να βρεθεί το σύνολο Λ όλων των τριάδων (ξ 1, ξ 2, ξ 3 ) πραγματικών αριθμών, έτσι ώστε αν αντικαταστήσουμε x = ξ 1, y = ξ 2, z = ξ 3, ικανοποιούνται και οι δύο εξισώσεις του συστήματος. 2. Να κάνετε το ίδιο και για το σύστημα 3x + 5y + 6z = 0 x + y + z = 0 3. Αν Λ το σύνολο λύσεων του πρώτου συστήματος και Λ το σύνολο λύσεων του δευτέρου, να βρεθεί η τομή Λ Λ 5 Το βιβλίο αυτό θα το βρείτε ηλεκτρονικά από την αρχική σελίδα του μαθήματος 6 Το βιβλίο αυτό θα το βρείτε ηλεκτρονικά από την κεντρική σελίδα του μαθήματος 14
12 3.4 Σχόλια για τις προτεινόμενες ασκήσεις 1. Για την πρώτη άσκηση βρίσκουμε με οποιονδήποτε τρόπο ότι υπάρχει έστω και μία τριάδα (ξ 1, ξ 2, ξ 3 ) πραγματικών αριθμών, που είναι λύση. Αργότερα θα πούμε «σίγουρες» διαδικασίες για εύρεση λύσης. Μετά ( αφού δηλαδή εξασφαλίσουμε ότι το σύνολο λύσεων Λ είναι μη-κενό) σκεφθείτε «γεωμετρικά» τι περιμένουμε να είναι το Λ. Η πρώτη εξίσωση, λοιπόν, η 3x + 5y + 6z = 28 του συστήματος από μόνη της παριστάνει ένα επίπεδο στον χώρο που ζούμε 7. Το ίδιο και η δεύτερη εξίσωση x + y + z = 6 παριστάνει ένα επίπεδο. Επιστρατεύουμε εδώ τη φαντασία μας για να μαντέψουμε το αποτέλεσμα και τη μαθηματική μας διαίσθηση για να προχωρήσουμε αυστηρά. Αν τα δύο επίπεδα είναι παράλληλα, τότε δεν τέμνονται και έτσι το σύστημα δεν έχει λύσεις, δηλαδή το Λ είναι το κενό σύνολο. Υπάρχουν τώρα οι περιπτώσεις τα δύο επίπεδα να ταυτίζονται ή τα δύο επίπεδα να τέμνονται αλλά να μην ταυτίζονται. Σκεφθείτε λίγο την προσέγγιση αυτή αφού πρώτα δείτε και το βίντεο εδώ 2. Η δεύτερη άσκηση αντιμετωπίζεται όπως και η προηγούμενη. μόνο που στην περίπτωση αυτή κατά προφανή τρόπο το σύστημα έχει λύση την (0,0,0) Σύστημα σαν αυτό το ονομάζουμε ομογενές σύστημα. 3. Για το τρίτο ερώτημα σκεφθείτε ότι έχουμε να λύσουμε ένα σύστημα 4 εξισώσεων 7 Αυτό χρειάζεται απόδειξη 15
13 4 Μάθημα 4 Δευτέρα 8 Οκτωβρίου Πίνακες και γραμμικά συστήματα Θεωρούμε ξανά το γραμμικό σύστημα (Σ) α 11 x 1 + α 12 x α 1ν x ν = β 1 α 21 x 1 + α 22 x α 2ν x ν = β 2 α µ1 x 1 + α µ2 x α µν x ν = β µ 1. Αν «ξεχάσουμε» τα x 1, x 2,, x ν και τα σύμβολα της πρόσθεσης, καταλήγουμε σε δύο πίνακες 2. (αʹ) (βʹ) A = C = α 11 α 12 α 13 α 1ν α 21 α 22 α 23 α 2ν α 31 α 32 α 33 α 3ν α µ1 α µ2 α µ3 α µν α 11 α 12 α 13 α 1ν β 1 α 21 α 22 α 23 α 2ν β 2 α 31 α 32 α 33 α 3ν β 3 α µ1 α µ2 α µ3 α µν β µ Ορισμός 4.1. Ο πίνακας Α λέγεται πίνακας του συστήματος και ο πίνακας C λέγεται επαυξημένος πίνακας του συστήματος 3. Μπορούμε να διαπιστώσουμε ότι ο πίνακας Α του συστήματος και ο επαυξημένος πίνακας C του συστήματος έχει όλες τις πληροφορίες του συστήματος. 4. Σημαντικό ερώτημα: Πως μπορούμε να ορίσουμε αυστηρά ότι ένα σύστημα είναι απλούστερο από κάποιο άλλο; Είναι δυνατόν ένα σύστημα (Σ) να μετασχηματισθεί σε κάποιο άλλο απλούστερο (Σ ), ώστε το σύνολο λύσεων του Σ να είναι ίσο με το σύνολο λύσεων του (Σ ); 16
14 5. Το σύνολο των πινάκων με μ γραμμές και ν στήλες και συντελεστές πραγματικούς αριθμούς, το συμβολίζουμε με R µ ν 6. Στο σύνολο των πινάκων ορίζουμε ορισμένες πράξεις: (αʹ) την πράξη της πρόσθεσης. (βʹ) Την πράξη της αφαίρεσης (γʹ) Την πράξη του πολλαπλασιασμού πραγματικού αριθμού με πίνακα 4.2 Πορεία μελέτης 1. Μελετήστε την παράγραφο 2.3 του κεφαλαίου 2 (Πίνακες και Γραμμικές εξισώσεις) από το βιβλίο «Εισαγωγή στη Γραμμική άλγεβρα Τόμος Α» και ιδιαίτερα δείτε τον τρόπο που γίνονται οι παραπάνω τρείς πράξεις 2. Κατεβάστε και ξεφυλίστε το βιβλίο Γραμμικής άλγεβρας κάνοντας κλικ εδώ 3. Δείτε ξανά στη διεύθυνση εδώ σχετικά με τους πίνακες και τις πράξεις μεταξύ πινάκων. 4.3 Στοιχειώδεις μετασχηματισμοί γραμμών πινάκων Το ερώτημα που θα μας απασχολήσει επίσης στο μάθημα αυτό είναι ποιές είναι οι αλλαγές που μπορούμε να κάνουμε στο γραμμικό σύστημα: (Σ) α 11 x 1 + α 12 x α 1ν x ν = β 1 α 21 x 1 + α 22 x α 2ν x ν = β 2 α µ1 x 1 + α µ2 x α µν x ν = β µ έτσι ώστε το σύστημα να γίνει πιο απλό ως προς τη λύση του. Ποιές είναι οι επιπτώσεις των αλλαγών αυτών στον πίνακα του συστήματος και στον επαυξημένο; 1. Θεωρούμε το παραπάνω σύστημα (Σ) και το σύστημα: (Σ ) (α 11 + α 21 ) x 1 + (α 12 + α 22 ) x (α 1ν + α 2ν ) x ν = β 1 + β 2 α 21 x 1 + α 22 x α 2ν x ν = β 2 α µ1 x 1 + α µ2 x α µν x ν = β µ 2. Παρατηρούμε ότι το δεύτερο σύστημα το πήραμε προσθέτοντας στην πρώτη εξίσωση τη δεύτερη. Παρατηρούμε επίσης ότι η επίπτωση στους αντίστοιχους πίνακες είναι: (αʹ) Ο πίνακας A του συστήματος Σ προκύπτει από τον πίνακα Α του συστήματος Σ προσθέτοντας στην πρώτη γραμμή τη δεύτερη γραμμή. 17
15 (βʹ) Ο επαυξημένος πίνακας C του συστήματος Σ προκύπτει από τον επαυξημένο πίνακα C του συστήματος Σ προσθέτοντας στην πρώτη γραμμή τη δεύτερη γραμμή 3. Σημαντική παρατήρηση. Το σύνολο λύσεων Λ του συστήματος (Σ) είναι ίσο με το σύνολο λύσεων Λ του συστήματος Σ Απόδειξη 8 Εστω (ξ 1, ξ 2,, ξ ν ) ένα στοιχείο του Λ. Τότε η ν-άδα αυτή ικανοποιεί κάθε εξίσωση του Λ και προφανώς κάθε εξίσωση του Λ και αντίστροφα. 4. Αν κάποια εξίσωση του συστήματος Σ πολλαπλασιασθεί με ένα αριθμό διαφορετικό του μηδενός προκύπτει ένα σύστημα Σ, του οποίου το σύνολο λύσεων εξακολουθεί να είναι το ίδιο με το σύνολο λύσεων του Σ 5. Αν αλλάξουμε τη θέση δύο εξισώσεων του Σ το σύνολο λύσεων δεν μεταβάλλεται 6. Παρατηρούμε λοιπόν ότι μπορούμε να κάνουμε κάποιους μετασχηματισμούς στο γραμμικό σύστημα Σ, χωρίς να μεταβληθεί το σύνολο λύσεων Λ, με σκοπό πάντα να καταλήξουμε σε απλούστερο σύστημα. 7. Οι μετασχηματισμοί του συστήματος Σ, οδηγούν στους παρακάτω μετασχηματισμούς τους δύο πίνακες Α του συστήματος και C του επαυξημένου πίνακα του συστήματος. 8. (αʹ) Πολλαπλασιασμός μιας γραμμής του πίνακα με ένα στοιχείο λ διάφορο του μηδενός (βʹ) Πολλαπλασιασμός της κ-γραμμής με λ και πρόσθεσης του αποτελέσματος στην i-γραμμή, k i (γʹ) εναλλαγή δύο γραμμών Ορισμός 4.2. Οι παραπάνω μετασχηματισμοί πινάκων λέγονται στοιχειώδεις μετασχηματισμοί γραμμών. Δύο πίνακες Α και Β που προκύπτει ο ένας από τον άλλον με επαναλάψηψη στοιχειωδών μετασχηματισμών γραμμών λέγονται γραμμοϊσοδύναμοι πίνακες 4.4 Πορεία μελέτης 1. Μελετήστε καλά τα παραπάνω 2. Δείτε τον ορισμό του κλιμακωτού πίνακα από το βιβλίο «Εισαγωγή στη Γραμμική άλγεβρα Τόμος Α. 8 Ο αναγνώστης καλείται να κάνει την απόδειξη λεπτομερώς 18
16 3. Δείτε τον ορισμό του ανηγμένου κλιμακωτού πίνακα από το βιβλίο «Εισαγωγή στη Γραμμική άλγεβρα Τόμος Α. 4. Δείτε ξανά το βίντεο με την ομιλία του καθηγητή G.Strang εδώ 4.5 Και άλλες Ασκήσεις 1. Εστω Σ και Σ δύο γραμμικά συστήματα των οποίων οι επαυξημένοι πίνακες C και C αντίστοιχα ικανοποιούν τη σχέση C = λ C με λ 0. Εξετάστε εάν τα σύνολα λύσεων του Σ και Σ είναι ίσα 2. Δύο γραμμικά συστήματα Σ και Σ έχουν επαυξημένους πίνακες C και C αντίστοιχα. Η μόνη διαφορά των πινάκων αυτών είναι ότι η πρώτη γραμμή του C είναι το άθροισμα της πρώτης και της δεύτερης γραμμής του C. Εξετάστε εάν το Σ και το Σ έχουν το ίδιο σύνολο λύσεων 3. Δίνεται ο πίνακας A = Να βρείτε ένα ανηγμένο κλιμακωτό πίνακα A, ο οποίος να είναι γραμμοϊσοδύναμος με τον Α 4. Δείξτε ότι δύο οποιοιδήποτε ανηγμένοι κλιμακωτοί πίνακες γραμμοισοδύναμοι με τον πίνακα Α είναι ίσοι. Διατυπώστε και αποδείξτε ένα θεώρημα σχετικά με τους ανηγμένους κλιμακωτούς πίνακες κάθε πίνακα. Τέλος του τετάρτου μαθήματος 19
17 Σημειώματα Σημείωμα Αναφοράς Copyright Εθνικόν και Καποδιστριακόν Πανεπιστήμιον Αθηνών, Ράπτης Ευάγγελος «Γραμμική Άλγεβρα, Ενότητα 1 η, Εισαγωγικές Έννοιες». Έκδοση: 1.0. Αθήνα Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά, Μη Εμπορική Χρήση Παρόμοια Διανομή 4.0 [1] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων». [1] Ως Μη Εμπορική ορίζεται η χρήση: που δεν περιλαμβάνει άμεσο ή έμμεσο οικονομικό όφελος από την χρήση του έργου, για το διανομέα του έργου και αδειοδόχο που δεν περιλαμβάνει οικονομική συναλλαγή ως προϋπόθεση για τη χρήση ή πρόσβαση στο έργο που δεν προσπορίζει στο διανομέα του έργου και αδειοδόχο έμμεσο οικονομικό όφελος (π.χ. διαφημίσεις) από την προβολή του έργου σε διαδικτυακό τόπο Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί.
18 Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στo πλαίσιo του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Αθηνών» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.
7 Μάθημα Πορεία μελέτης Ακόμη μία Άσκηση
Περιεχόμενα I Εναρξη μαθήματος 3 II Αρχικά μαθήματα 5 1 Μάθημα 1 5 1.1 Εισαγωγή............................... 5 1.2 Πορεία μελέτης............................ 5 1.3 Γραμμικά συστήματα.........................
Διαβάστε περισσότεραΓραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: Εισαγωγικές Εννοιες. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών
Ενότητα: Εισαγωγικές Εννοιες Ευάγγελος Ράπτης Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται
Διαβάστε περισσότερα7 Μάθημα Πορεία μελέτης Άσκηση Πορεία μελέτης
Περιεχόμενα I Εναρξη μαθήματος 5 II Αρχικά μαθήματα 7 1 Μάθημα 1 7 1.1 Εισαγωγή............................... 7 1.2 Πορεία μελέτης............................ 7 1.3 Γραμμικά συστήματα.........................
Διαβάστε περισσότεραΥπολογιστική άλγεβρα Ενότητα 1: Πολυωνυμικές σχέσεις και ταυτότητες, μέρος Ι
Υπολογιστική άλγεβρα Ενότητα 1: Πολυωνυμικές σχέσεις και ταυτότητες, μέρος Ι Ράπτης Ευάγγελος Σχολή Θετικών επιστημών Τμήμα Μαθηματικών Μέρος I Εναρξη μαθήματος 5 7 Υπολογιστική Άλγεβρα (439) ) Ευάγγελος
Διαβάστε περισσότερα7 Μάθημα Πορεία μελέτης Ακόμη μία Άσκηση Μάθημα Πορεία μελέτης....
Περιεχόμενα I Εναρξη μαθήματος 5 II Αρχικά μαθήματα 7 1 Μάθημα 1 7 1.1 Εισαγωγή............................... 7 1.2 Πορεία μελέτης............................ 7 1.3 Γραμμικά συστήματα.........................
Διαβάστε περισσότεραΥπολογιστική άλγεβρα Ενότητα 10: Βάσεις Groebner ενός ιδεώδους ΙΙΙ
Υπολογιστική άλγεβρα Ενότητα 10: Βάσεις Groebner ενός ιδεώδους ΙΙΙ Ράπτης Ευάγγελος Σχολή Θετικών επιστημών Τμήμα Μαθηματικών Κεφάλαιο 10 Βάσεις Groebner ενός ιδεώδους 10.1 Τρίτο μέρος Επαναλαμβάνουμε
Διαβάστε περισσότεραΥπολογιστική άλγεβρα Ενότητα 3: Πολυώνυμα τρίτου βαθμού
Υπολογιστική άλγεβρα Ενότητα 3: Πολυώνυμα τρίτου βαθμού Ράπτης Ευάγγελος Σχολή Θετικών επιστημών Τμήμα Μαθηματικών Μέρος II Πολυώνυμα μίας μεταβλητής 17 Κεφάλαιο 3 Πολυώνυμα τρίτου βαθμού 3.1 Μάθημα
Διαβάστε περισσότεραΓραμμική Άλγεβρα Ενότητα 4: Ορίζουσες
Γραμμική Άλγεβρα Ενότητα 4: Ορίζουσες Ευάγγελος Ράπτης Τμήμα Πληροφορικής 23 Μάθημα 23 Παρασκευή 30 Νοεμβρίου 2012 23.1 Ορίζουσες 1. Οι ορίζουσες εκτός των άλλων εφαρμογών, βοηθούν και στην εύρεση λύσεων
Διαβάστε περισσότεραΓραμμική Άλγεβρα Ενότητα 2: Διανυσματικοί χώροι
Γραμμική Άλγεβρα Ενότητα 2: Διανυσματικοί χώροι Ευάγγελος Ράπτης Τμήμα Πληροφορικής 5 Μάθημα 5 Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012 Με το σημερινό 9 μάθημα αρχίζουμε τη μελέτη των Διανυσματικών χώρων, μία πολύ βασική
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών
Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών Ενότητα 12: Μήτρες (Θεωρία) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων & Τροφίμων
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών
Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών Ενότητα 2: Γραμμικές συναρτήσεις (Φροντιστήριο) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων
Διαβάστε περισσότεραΥπολογιστική άλγεβρα Ενότητα 6: Ο αλγόριθμος της διαίρεσης
Υπολογιστική άλγεβρα Ενότητα 6: Ο αλγόριθμος της διαίρεσης Ράπτης Ευάγγελος Σχολή Θετικών επιστημών Τμήμα Μαθηματικών Μέρος III Πολυώνυμα πολλών μεταβλητών 33 Κεφάλαιο 6 Ο αλγόριθμος της διαίρεσης Τετάρτη
Διαβάστε περισσότεραAbstract Algebra: The Basic Graduate Year: Robert B. Ash
Περιεχόμενα I Εναρξη μαθήματος 2 II Βασική άλγεβρα. Αρχικά μαθήματα 4 1 Μάθημα 1 4 1.1 Πορεία μελέτης............................ 4 1.2 Διάφορα σχόλια............................ 5 1.3 Πορεία μελέτης............................
Διαβάστε περισσότεραΦυσική ΙΙΙ. Ενότητα 4: Ηλεκτρικά Κυκλώματα. Γεώργιος Βούλγαρης Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής
Φυσική ΙΙΙ Ενότητα 4: Ηλεκτρικά Κυκλώματα Γεώργιος Βούλγαρης Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής Ασκήσεις ΦΙΙΙ Ασκήσεις κυκλωμάτων συνεχούς ρεύματος. Κανόνες Kirchhoff. Γ. Βούλγαρης 2 Ο Νόμος των Ρευμάτων
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών
Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών Ενότητα 11: Διανύσματα (Θεωρία) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων & Τροφίμων
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών
Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών Ενότητα 7: Παράγωγος, ελαστικότητα, παραγώγιση συναρτήσεων (Φροντιστήριο) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης
Διαβάστε περισσότεραΥπολογιστική άλγεβρα Ενότητα 7: Βάσεις Groebner I
Υπολογιστική άλγεβρα Ενότητα 7: Βάσεις Groebner I Ράπτης Ευάγγελος Σχολή Θετικών επιστημών Τμήμα Μαθηματικών Κεφάλαιο 7 Βάσεις Groebner Ι Τετάρτη 21 Μαϊου 2014 7.1 Ιδεώδη μονονύμων Εχουμε ήδη δει οτι
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών
Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών Ενότητα 11: Διανύσματα (Φροντιστήριο) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων &
Διαβάστε περισσότεραΓραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα
Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Ενότητα: Ασκήσεις 1 Ανδριανός Ε. Τσεκρέκος Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής Σελίδα 2 1. Σκοποί ενότητας... 5 2.
Διαβάστε περισσότερα1 η Διάλεξη. Ενδεικτικές λύσεις ασκήσεων
1 η Διάλεξη Ενδεικτικές λύσεις ασκήσεων 1 Περιεχόμενα 1 η Άσκηση... 3 2 η Άσκηση... 3 3 η Άσκηση... 3 4 η Άσκηση... 3 5 η Άσκηση... 4 6 η Άσκηση... 4 7 η Άσκηση... 4 8 η Άσκηση... 5 9 η Άσκηση... 5 10
Διαβάστε περισσότεραΥπολογιστική άλγεβρα Ενότητα 4: Πολυώνυμα τετάρτου και μεγαλύτερου βαθμού
Υπολογιστική άλγεβρα Ενότητα 4: Πολυώνυμα τετάρτου και μεγαλύτερου βαθμού Ράπτης Ευάγγελος Σχολή Θετικών επιστημών Τμήμα Μαθηματικών Κεφάλαιο 4 Πολυώνυμα τετάρτου και μεγαλυτέρου βαθμού 4.1 Εξίσωση τετάρτου
Διαβάστε περισσότεραΕνδεικτικές λύσεις ασκήσεων διαχείρισης έργου υπό συνθήκες αβεβαιότητας
Ενδεικτικές λύσεις ασκήσεων διαχείρισης έργου υπό συνθήκες αβεβαιότητας 1 Περιεχόμενα 1 η Άσκηση... 4 2 η Άσκηση... 7 3 η Άσκηση... 10 Χρηματοδότηση... 12 Σημείωμα Αναφοράς... 13 Σημείωμα Αδειοδότησης...
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών
Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών Ενότητα 6: Όριο και συνέχεια συναρτήσεων (Θεωρία) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματική Ανάλυση Ι
Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Μαθηματική Ανάλυση Ι Ενότητα 1: Σύνολα, Πραγματικοί αριθμοί Επίκ. Καθηγητής Θ. Ζυγκιρίδης e-mail: tzygiridis@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών
Διαβάστε περισσότεραΤίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Γ. Ολοκληρωτικός Λογισμός
Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Γ. Ολοκληρωτικός Λογισμός Κεφάλαιο Γ.4: Ολοκλήρωση με Αντικατάσταση Όνομα Καθηγητή: Γεώργιος Ν. Μπροδήμας Τμήμα Φυσικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΘερμοδυναμική. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Πίνακες Νερού σε κατάσταση Κορεσμού. Γεώργιος Κ. Χατζηκωνσταντής Επίκουρος Καθηγητής
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Πίνακες Νερού σε κατάσταση Κορεσμού Γεώργιος Κ. Χατζηκωνσταντής Επίκουρος Καθηγητής Διπλ. Ναυπηγός Μηχανολόγος Μηχανικός M.Sc. Διασφάλιση
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών
Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών Ενότητα 10: Συστήματα γραμμικών εξισώσεων (Θεωρία) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών
Διαβάστε περισσότεραΓραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα
Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Ενότητα: Διανυσματικοί Χώροι και Υπόχωροι: Βάσεις και Διάσταση Ανδριανός Ε Τσεκρέκος Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής
Διαβάστε περισσότεραΚβαντική Επεξεργασία Πληροφορίας
Κβαντική Επεξεργασία Πληροφορίας Ενότητα 12: Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα Σγάρμπας Κυριάκος Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Σκοποί ενότητας Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα
Διαβάστε περισσότεραΛογισμός 3. Ενότητα 19: Θεώρημα Πεπλεγμένων (γενική μορφή) Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 19: Θεώρημα Πεπλεγμένων (γενική μορφή) Μιχ. Γ. Μαριάς Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative
Διαβάστε περισσότεραΧωρικές σχέσεις και Γεωμετρικές Έννοιες στην Προσχολική Εκπαίδευση
Χωρικές σχέσεις και Γεωμετρικές Έννοιες στην Προσχολική Εκπαίδευση Ενότητα 7: Κανονικότητες, συμμετρίες και μετασχηματισμοί στο χώρο Δημήτρης Χασάπης Τμήμα Εκπαίδευσης και Αγωγής στην Προσχολική Ηλικία
Διαβάστε περισσότεραΛΟΓΙΚΟ-ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ & ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΗΝ ΠΡΟΣΧΟΛΙΚΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ
ΛΟΓΙΚΟ-ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ & ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΗΝ ΠΡΟΣΧΟΛΙΚΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ Ενότητα 4: Οι αριθμητικοί πράξεις: Πολλαπλασιασμός - Διαίρεση Δημήτρης Χασάπης Τμήμα Εκπαίδευσης και Αγωγής στην Προσχολική Ηλικία
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στους Αλγορίθμους
Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 5 η Άσκηση Συγχώνευση & απαρίθμηση Διδάσκων Χρήστος Ζαρολιάγκης Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Πατρών Email: zaro@ceid.upatras.gr Άδειες Χρήσης
Διαβάστε περισσότεραΕκπαιδευτική Διαδικασία και Μάθηση στο Νηπιαγωγείο Ενότητα 1: Εισαγωγή
Εκπαιδευτική Διαδικασία και Μάθηση στο Νηπιαγωγείο Ενότητα 1: Εισαγωγή Διδάσκουσα: Μαρία Καμπεζά Τμήμα Επιστημών της Εκπαίδευσης και της Αγωγής στην Προσχολική Ηλικία Σκοποί ενότητας Να ενημερωθούν οι
Διαβάστε περισσότεραΓενική Φυσική Ενότητα: Ταλαντώσεις
Γενική Φυσική Ενότητα: Ταλαντώσεις Όνομα Καθηγητή: Γεώργιος Βούλγαρης Τμήμα: Μαθηματικό Σελίδα 2 1. Ερωτήσεις Ταλαντώσεων... 4 1.1 Ερώτηση 1... 4 2. Ασκήσεις Ταλαντώσεων... 4 2.1 Άσκηση 1... 4 2.2 Άσκηση
Διαβάστε περισσότεραΔιοικητική Λογιστική
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ιονίων Νήσων Διοικητική Λογιστική Ενότητα 10: Προσφορά και κόστος Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται με άδεια Creative Commons εκτός και αν αναφέρεται διαφορετικά
Διαβάστε περισσότεραΛΟΓΙΚΟ-ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ & ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΗΝ ΠΡΟΣΧΟΛΙΚΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ
ΛΟΓΙΚΟ-ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ & ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΗΝ ΠΡΟΣΧΟΛΙΚΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ Ενότητα 5: Οι διαδοχικές επεκτάσεις της έννοιας του αριθμού: ακέραιος, κλάσμα, ρητός και πραγματικός αριθμός Δημήτρης Χασάπης
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών
Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών Ενότητα 1: Συναρτήσεις (Θεωρία) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων & Τροφίμων
Διαβάστε περισσότεραΒέλτιστος Έλεγχος Συστημάτων
Βέλτιστος Έλεγχος Συστημάτων Ενότητα 7: Βέλτιστος έλεγχος συστημάτων διακριτού χρόνου Καθηγητής Αντώνιος Αλεξανδρίδης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Σημείωμα
Διαβάστε περισσότεραΜικροοικονομική Ανάλυση της Κατανάλωσης και της Παραγωγής
Μικροοικονομική Ανάλυση της Κατανάλωσης και της Παραγωγής Διάλεξη 13: Καμπύλες κόστους Ανδρέας Παπανδρέου Σχολή Οικονομικών και Πολιτικών Επιστημών Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Μορφές καμπυλών κόστους Καμπύλη
Διαβάστε περισσότεραΔιδακτική των εικαστικών τεχνών Ενότητα 2
Διδακτική των εικαστικών τεχνών Ενότητα 2 Ουρανία Κούβου Εθνικὸ καi Καποδιστριακὸ Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Εκπαίδευσης και Αγωγής στην Προσχολική Ηλικία Ενότητα 2. Το παιδικό σχέδιο ως γνωστική διεργασία:
Διαβάστε περισσότεραΔιδακτική των εικαστικών τεχνών Ενότητα 2
Διδακτική των εικαστικών τεχνών Ενότητα 2 Ουρανία Κούβου Εθνικὸ καi Καποδιστριακὸ Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Εκπαίδευσης και Αγωγής στην Προσχολική Ηλικία Ενότητα 2. Το παιδικό σχέδιο ως γνωστική διεργασία:
Διαβάστε περισσότεραΔιδακτική των εικαστικών τεχνών Ενότητα 2
Διδακτική των εικαστικών τεχνών Ενότητα 2 Ουρανία Κούβου Εθνικὸ καi Καποδιστριακὸ Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Εκπαίδευσης και Αγωγής στην Προσχολική Ηλικία Ενότητα 2. Το παιδικό σχέδιο ως γνωστική διεργασία:
Διαβάστε περισσότεραΔιδακτική των εικαστικών τεχνών Ενότητα 2
Διδακτική των εικαστικών τεχνών Ενότητα 2 Ουρανία Κούβου Εθνικὸ καi Καποδιστριακὸ Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Εκπαίδευσης και Αγωγής στην Προσχολική Ηλικία Ενότητα 2. Το παιδικό σχέδιο ως γνωστική διεργασία:
Διαβάστε περισσότεραΑνοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Αθήνας. Βιοστατιστική (Ε) Ενότητα 3: Έλεγχοι στατιστικών υποθέσεων
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Αθήνας Βιοστατιστική (Ε) Ενότητα 3: Έλεγχοι στατιστικών υποθέσεων Δρ.Ευσταθία Παπαγεωργίου, Αναπληρώτρια Καθηγήτρια Τμήμα Ιατρικών Εργαστηρίων Το περιεχόμενο του μαθήματος
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών
Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών Ενότητα 3: Μη γραμμικές συναρτήσεις (Φροντιστήριο) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών
Διαβάστε περισσότεραΑνοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Αθήνας. Βιοστατιστική (Ε) Ενότητα 1: Καταχώρηση δεδομένων
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Αθήνας Βιοστατιστική (Ε) Ενότητα 1: Καταχώρηση δεδομένων Δρ.Ευσταθία Παπαγεωργίου, Αναπληρώτρια Καθηγήτρια Τμήμα Ιατρικών Εργαστηρίων Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται
Διαβάστε περισσότεραΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ ΜΕΤΑΒΑΤΙΚΑ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ ΣΤΑ ΣΗΕ Λαμπρίδης Δημήτρης Κατσανού Βάνα Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών
Διαβάστε περισσότεραΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ ΜΕΤΑΒΑΤΙΚΑ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ ΣΤΑ ΣΗΕ Λαμπρίδης Δημήτρης Κατσανού Βάνα Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών
Διαβάστε περισσότεραΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ ΜΕΤΑΒΑΤΙΚΑ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ ΣΤΑ ΣΗΕ Λαμπρίδης Δημήτρης Κατσανού Βάνα Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών
Διαβάστε περισσότεραΕπιχειρησιακή Έρευνα
Επιχειρησιακή Έρευνα Ενότητα 7: Επίλυση με τη μέθοδο Simplex (1 ο μέρος) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων & Τροφίμων (Δ.Ε.Α.Π.Τ.)
Διαβάστε περισσότεραΘΕΡΜΟΔΥΝΑΜΙΚΗ Ι. Ενότητα 2: Θερμοδυναμικές συναρτήσεις. Σογομών Μπογοσιάν Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Χημικών Μηχανικών
ΘΕΡΜΟΔΥΝΑΜΙΚΗ Ι Ενότητα 2: Θερμοδυναμικές συναρτήσεις Σογομών Μπογοσιάν Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Χημικών Μηχανικών Σκοποί ενότητας Σκοπός της ενότητας αυτής είναι η εισαγωγή νέων θερμοδυναμικών συναρτήσεων
Διαβάστε περισσότεραΑνοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Αθήνας. Βιοστατιστική (Ε) Ενότητα 2: Περιγραφική στατιστική
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Αθήνας Βιοστατιστική (Ε) Ενότητα 2: Περιγραφική στατιστική Δρ.Ευσταθία Παπαγεωργίου, Αναπληρώτρια Καθηγήτρια Τμήμα Ιατρικών Εργαστηρίων Το περιεχόμενο του μαθήματος
Διαβάστε περισσότεραΦιλοσοφία της Ιστορίας και του Πολιτισμού
Φιλοσοφία της Ιστορίας και του Πολιτισμού Ενότητα 1: Εισαγωγή στις έννοιες Ιστορίας και Πολιτισμού Λάζου Άννα Εθνικὸ και Καποδιστριακὸ Πανεπιστήμιο Aθηνών Τμήμα Φιλοσοφίας Παιδαγωγικής και Ψυχολογίας Φιλοσοφία
Διαβάστε περισσότεραΈλεγχος και Διασφάλιση Ποιότητας Ενότητα 4: Μελέτη ISO Κουππάρης Μιχαήλ Τμήμα Χημείας Εργαστήριο Αναλυτικής Χημείας
Έλεγχος και Διασφάλιση Ποιότητας Ενότητα 4: Μελέτη Κουππάρης Μιχαήλ Τμήμα Χημείας Εργαστήριο Αναλυτικής Χημείας ISO 17025 5.9. ΔΙΑΣΦΑΛΙΣΗ ΤΗΣ ΠΟΙΟΤΗΤΑΣ ΤΩΝ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ ΔΟΚΙΜΩΝ (1) 5.9.1 Το Εργαστήριο
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στους Αλγορίθμους
Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 5 η Άσκηση - Συγχώνευση Διδάσκων Χρήστος Ζαρολιάγκης Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Πατρών Email: zaro@ceid.upatras.gr Άδειες Χρήσης Το παρόν
Διαβάστε περισσότεραΕνότητα 1: Εισαγωγή στην έννοια της Φιλοσοφίας του Δικαίου
ΦΙΛΟΣΟΦΙΑ ΤΟΥ ΔΙΚΑΙΟΥ Ενότητα 1: Εισαγωγή στην έννοια της Φιλοσοφίας του Δικαίου Παρούσης Μιχαήλ Τμήμα Φιλοσοφίας Σκοποί της ενότητας Το μάθημα είναι εισαγωγικό και στοχεύει να καταγράψει τα εξής: 1.Τι
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών
Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών Ενότητα 8: Εφαρμογές παραγώγων Μελέτη και βελτιστοποίηση συναρτήσεων μιας μεταβλητής (Φροντιστήριο) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων
Διαβάστε περισσότεραΔιδακτική των εικαστικών τεχνών Ενότητα 3
Διδακτική των εικαστικών τεχνών Ενότητα 3 Ουρανία Κούβου Εθνικὸ καi Καποδιστριακὸ Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Εκπαίδευσης και Αγωγής στην Προσχολική Ηλικία Ενότητα 3. Ο ρόλος του εκπαιδευτικού: σχεδιασμός
Διαβάστε περισσότεραΔιδακτική των εικαστικών τεχνών Ενότητα 2
Διδακτική των εικαστικών τεχνών Ενότητα 2 Ουρανία Κούβου Εθνικὸ καi Καποδιστριακὸ Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Εκπαίδευσης και Αγωγής στην Προσχολική Ηλικία Ενότητα 2. Το παιδικό σχέδιο ως γνωστική διεργασία:
Διαβάστε περισσότεραΚβαντική Επεξεργασία Πληροφορίας
Κβαντική Επεξεργασία Πληροφορίας Ενότητα 4: Κλασσική και Κβαντική Πιθανότητα Σγάρμπας Κυριάκος Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Σκοποί ενότητας Σκοπός της ενότητας
Διαβάστε περισσότεραΠρακτική Άσκηση σε σχολεία της δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης
Πρακτική Άσκηση σε σχολεία της δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης Ενότητα 1: Κρίσιμα συμβάντα Δέσποινα Πόταρη, Γιώργος Ψυχάρης Σχολή Θετικών επιστημών Τμήμα Μαθηματικό Απομαγνητοφώνηση αποσπάσματος από Β Λυκείου
Διαβάστε περισσότεραΛογιστική Κόστους Ενότητα 12: Λογισμός Κόστους (2)
Λογιστική Κόστους Ενότητα 12: Λογισμός Κόστους (2) Μαυρίδης Δημήτριος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για
Διαβάστε περισσότεραΤο Εικονογραφημένο Βιβλίο στην Προσχολική Εκπαίδευση
Το Εικονογραφημένο Βιβλίο στην Προσχολική Εκπαίδευση Ενότητα 1.1: Αγγελική Γιαννικοπούλου Τμήμα Εκπαίδευσης και Αγωγής στην Προσχολική Ηλικία (ΤΕΑΠΗ) Διδακτική Πρακτική Διδακτική πρακτική: Βασιλική Λεβέντη.
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών
Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών Ενότητα 5: Ακολουθίες, όρια, σειρές (Φροντιστήριο) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών
Διαβάστε περισσότεραΛΟΓΙΚΟ-ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ & ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΗΝ ΠΡΟΣΧΟΛΙΚΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ
ΛΟΓΙΚΟ-ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ & ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΗΝ ΠΡΟΣΧΟΛΙΚΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ Ενότητα 4: Δημήτρης Χασάπης Τμήμα Εκπαίδευσης και Αγωγής στην Προσχολική Ηλικία ΚΛΑΣΜΑ ΚΑΙ ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΟΣ ΑΡΙΘΜΟΣ ΤΙ ΕΙΝΑΙ ΤΟ ΚΛΑΣΜΑ
Διαβάστε περισσότεραΠοιοτική μεθοδολογία έρευνας στη Διδακτική των Μαθηματικών Ενότητα 7: Συγγραφή μιας εργασίας
Ποιοτική μεθοδολογία έρευνας στη Διδακτική των Μαθηματικών Ενότητα 7: Πόταρη Δέσποινα, Σακονίδης Χαράλαμπος Σχολή Θετικών επιστημών Τμήμα Μαθηματικών Έλεγχος του περιεχομένου της έρευνας (1) Είναι σημαντικά
Διαβάστε περισσότεραΔιδακτική Απειροστικού Λογισμού
Διδακτική Απειροστικού Λογισμού Ενότητα 4: Θέματα σχετικά με τη διδασκαλία της συνέχειας. Ζαχαριάδης Θεοδόσιος Τμήμα Μαθηματικών 4. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣ 1. Σε μια τάξη Γ Λυκείου στα μαθηματικά κατεύθυνσης
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Λήψης Αποφάσεων
Θεωρία Λήψης Αποφάσεων Ενότητα 3: Ασκήσεις Bayes Περιοχές Απόφασης Διακρίνουσες Συναρτήσεις Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων
Διαβάστε περισσότεραΔιδακτική των εικαστικών τεχνών Ενότητα 1
Διδακτική των εικαστικών τεχνών Ενότητα 1 Ουρανία Κούβου Εθνικὸ καi Καποδιστριακὸ Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Εκπαίδευσης και Αγωγής στην Προσχολική Ηλικία Ενότητα 1. Ιστορική αναδρομή της διδακτικής της
Διαβάστε περισσότεραΚβαντική Επεξεργασία Πληροφορίας
Κβαντική Επεξεργασία Πληροφορίας Ενότητα 11: Είδη και μετασχηματισμοί πινάκων Σγάρμπας Κυριάκος Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Σκοποί ενότητας Είδη και μετασχηματισμοί
Διαβάστε περισσότεραΜικροοικονομική Ανάλυση της Κατανάλωσης και της Παραγωγής
Μικροοικονομική Ανάλυση της Κατανάλωσης και της Παραγωγής Διάλεξη 12: Ελαχιστοποίηση κόστους Ανδρέας Παπανδρέου Σχολή Οικονομικών και Πολιτικών Επιστημών Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Ελαχιστοποίηση κόστους
Διαβάστε περισσότεραΛΟΓΙΚΟ-ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ & ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΗΝ ΠΡΟΣΧΟΛΙΚΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ
ΛΟΓΙΚΟ-ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ & ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΗΝ ΠΡΟΣΧΟΛΙΚΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ Ενότητα 2: Δημήτρης Χασάπης Τμήμα Εκπαίδευσης και Αγωγής στην Προσχολική Ηλικία ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΛΟΓΙΚΟ-ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΑΙ ΣΧΕΣΕΙΣ
Διαβάστε περισσότεραΠρακτική Άσκηση σε σχολεία της δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης
Πρακτική Άσκηση σε σχολεία της δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης Ενότητα 4: Η έννοια της γωνίας και του εμβαδού Δέσποινα Πόταρη, Γιώργος Ψυχάρης Σχολή Θετικών επιστημών Τμήμα Μαθηματικό ΟΝΟΜΑ: 1) 2) ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ:
Διαβάστε περισσότεραΗλεκτρομαγνητισμός - Οπτική - Σύγχρονη Φυσική Ενότητα: Οπτική. Βαρουτάς Δημήτρης Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών
Ηλεκτρομαγνητισμός - Οπτική - Σύγχρονη Φυσική Ενότητα: Οπτική Βαρουτάς Δημήτρης Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών ΟΠΤΙΚΗ (Ηλεκτροµαγνητισµός-Οπτική) Γεωµετρική Οπτική (Μάθηµα
Διαβάστε περισσότεραΤο Εικονογραφημένο Βιβλίο στην Προσχολική Εκπαίδευση
Το Εικονογραφημένο Βιβλίο στην Προσχολική Εκπαίδευση Ενότητα 2.1: Αγγελική Γιαννικοπούλου Τμήμα Εκπαίδευσης και Αγωγής στην Προσχολική Ηλικία (ΤΕΑΠΗ) Διδακτική Πρακτική Διδακτική πρακτική: Σοφία Μιχαλοπούλου.
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ. Ψηφιακή Επεξεργασία Σημάτων. Άσκηση 3η. Στυλιανού Ιωάννης. Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Ψηφιακή Επεξεργασία Σημάτων Άσκηση 3η Στυλιανού Ιωάννης Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-370: Ψηφιακή Επεξεργασία Σήµατος
Διαβάστε περισσότεραΔιεθνείς Οικονομικές Σχέσεις και Ανάπτυξη
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Διεθνείς Οικονομικές Σχέσεις και Ανάπτυξη Ενότητα 8: Η Οικονομική πολιτική της Ευρωπαϊκής Ένωσης Γρηγόριος Ζαρωτιάδης Άδειες Χρήσης Το
Διαβάστε περισσότεραΜικροοικονομική Ανάλυση της Κατανάλωσης και της Παραγωγής
Μικροοικονομική Ανάλυση της Κατανάλωσης και της Παραγωγής Διάλεξη 11: Μεγιστοποίηση κέρδους Ανδρέας Παπανδρέου Σχολή Οικονομικών και Πολιτικών Επιστημών Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Οικονομικό κέρδος Μια
Διαβάστε περισσότεραΕνότητα: Δακτύλιοι, Ακέραιες Περιοχές, Σώματα. Διδάσκων: Καθηγητής Μαρμαρίδης Νικόλαος - Θεοδόσιος
Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές ΙΙ Ενότητα: Δακτύλιοι, Ακέραιες Περιοχές, Σώματα Διδάσκων: Καθηγητής Μαρμαρίδης Νικόλαος - Θεοδόσιος Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 1 Προκαταρκτικές Έννοιες 1.1 Δακτύλιοι,
Διαβάστε περισσότεραΔιδακτική των εικαστικών τεχνών Ενότητα 2
Διδακτική των εικαστικών τεχνών Ενότητα 2 Ουρανία Κούβου Εθνικὸ καi Καποδιστριακὸ Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Εκπαίδευσης και Αγωγής στην Προσχολική Ηλικία Ενότητα 2. Το παιδικό σχέδιο ως γνωστική διεργασία:
Διαβάστε περισσότεραΓενική Φυσική Ενότητα: Δυναμική Άκαμπτου Σώματος
Γενική Φυσική Ενότητα: Δυναμική Άκαμπτου Σώματος Όνομα Καθηγητή: Γεώργιος Βούλγαρης Τμήμα: Μαθηματικό Σελίδα 2 1. Ερωτήσεις Δυναμικής Άκαμπτου Σώματος... 4 1.1 Ερώτηση 1... 4 1.2 Ερώτηση 2... 4 1.3 Ερώτηση
Διαβάστε περισσότεραΠρακτική Άσκηση σε σχολεία της δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης
Πρακτική Άσκηση σε σχολεία της δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης Ενότητα 7: Άλγεβρα Δέσποινα Πόταρη, Γιώργος Ψυχάρης Σχολή Θετικών επιστημών Τμήμα Μαθηματικό Ερευνητικά συμπεράσματα για τις ανισότητες Δυσκολίες
Διαβάστε περισσότεραΑριθμητική Ανάλυση. Ενότητα 1: Εισαγωγή Βασικές Έννοιες. Φραγκίσκος Κουτελιέρης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Χημικών Μηχανικών
Ενότητα 1: Εισαγωγή Βασικές Έννοιες Φραγκίσκος Κουτελιέρης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Χημικών Μηχανικών ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΦΡΑΓΚΙΣΚΟΣ ΚΟΥΤΕΛΙΕΡΗΣ Εισαγωγή 2 Περιεχόμενα 1. Εισαγωγή 2. Αριθμητική παραγώγιση
Διαβάστε περισσότεραΓενική Φυσική Ενότητα: Εισαγωγή στην Ειδική Θεωρία της Σχετικότητας
Γενική Φυσική Ενότητα: Εισαγωγή στην Ειδική Θεωρία της Σχετικότητας Όνομα Καθηγητή: Γεώργιος Βούλγαρης Τμήμα: Μαθηματικό Σελίδα 2 1. Ασκήσεις στην Εισαγωγή στην Ειδική Θεωρία της Σχετικότητας... 4 1.1
Διαβάστε περισσότεραΈννοιες Φυσικών Επιστημών Ι
Έννοιες Φυσικών Επιστημών Ι Ενότητα 3: Εναλλακτικές όψεις της επιστήμης που προβάλλονται στην εκπαίδευση Βασίλης Τσελφές Εθνικὸ και Καποδιστριακὸ Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Εκπαίδευσης και Αγωγής στην Προσχολική
Διαβάστε περισσότεραΔιδακτική Πληροφορικής
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ιονίων Νήσων Διδακτική Πληροφορικής Ενότητα 4: Διδακτικός μετασχηματισμός βασικών εννοιών πληροφορικής Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται με άδεια Creative Commons
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στις Επιστήμες της Αγωγής
Εισαγωγή στις Επιστήμες της Αγωγής Αλεξάνδρα Ανδρούσου - Βασίλης Τσάφος Τμήμα Εκπαίδευσης και Αγωγής στην Προσχολική Ηλικία (ΤΕΑΠΗ) Βασική θεματική Η διαμόρφωση των γνώσεων στο παιδί στο πλαίσιο του σχολείου
Διαβάστε περισσότεραΔιδακτική Απειροστικού Λογισμού
Διδακτική Απειροστικού Λογισμού Ενότητα 6: Θέματα σχετικά με τη διδασκαλία των ολοκληρωμάτων. Ζαχαριάδης Θεοδόσιος Τμήμα Μαθηματικών 6. ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣ 1. Ένας μαθητής κατά την μελέτη της ολοκλήρωσης
Διαβάστε περισσότεραΓραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα
Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Ενότητα: Θεωρία Συνόλων, Συναρτήσεις Πραγματικής Μεταβλητής, Όριο και Συνέχεια Ανδριανός Ε Τσεκρέκος Τμήμα Λογιστικής
Διαβάστε περισσότεραΠρογραμματισμός Ηλεκτρονικών Υπολογιστών 2 - Εργαστήριο
Προγραμματισμός Ηλεκτρονικών Υπολογιστών 2 - Εργαστήριο Ενότητα 2: Δημιουργία και Επεξεργασία διανυσμάτων και πινάκων μέσω του Matlab Διδάσκουσα: Τσαγκαλίδου Ροδή Τμήμα: Ηλεκτρολόγων Μηχανικών ΤΕ Άδειες
Διαβάστε περισσότεραΓραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα
Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Ενότητα: Ασκήσεις 11 Ανδριανός Ε. Τσεκρέκος Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής Σελίδα 2 1. Σκοποί ενότητας... 5
Διαβάστε περισσότεραΓραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα
Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Ενότητα: Γραμμικοί Μετασχηματισμοί Ανδριανός Ε Τσεκρέκος Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής Σελίδα Σκοποί ενότητας
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών
Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών Ενότητα 13: Η ορίζουσα και το ίχνος μιας μήτρας (Θεωρία) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών
Διαβάστε περισσότεραΥπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά
Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 8: Σχέσεις - Πράξεις Δομές Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών
Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών Ενότητα 2: Γραμμικές συναρτήσεις (Θεωρία) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων
Διαβάστε περισσότεραΤο Εικονογραφημένο Βιβλίο στην Προσχολική Εκπαίδευση
Το Εικονογραφημένο Βιβλίο στην Προσχολική Εκπαίδευση Ενότητα 1.1: Αγγελική Γιαννικοπούλου Τμήμα Εκπαίδευσης και Αγωγής στην Προσχολική Ηλικία (ΤΕΑΠΗ) Διδακτική Πρακτική Διδακτική πρακτική: Έλλη Χουντάλα.
Διαβάστε περισσότεραΜεθοδολογία Έρευνας Κοινωνικών Επιστημών Ενότητα 2: ΣΥΓΚΕΝΤΡΩΣΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΩΝ ΜΑΡΚΕΤΙΝΓΚ Λοίζου Ευστράτιος Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων-Kατεύθυνση
Μεθοδολογία Έρευνας Κοινωνικών Επιστημών Ενότητα 2: ΣΥΓΚΕΝΤΡΩΣΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΩΝ ΜΑΡΚΕΤΙΝΓΚ Λοίζου Ευστράτιος Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων-Kατεύθυνση Αγροτικής Οικονομίας Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό
Διαβάστε περισσότεραΘεατρικές Εφαρμογές και Διδακτική της Φυσικής Ι
Θεατρικές Εφαρμογές και Διδακτική της Φυσικής Ι Ενότητα 2: Παράλληλες θεωρητικές και εργαστηριακές προσεγγίσεις των τεχνικών και της δομής του κουκλοθέατρου, της κινούμενης εικόνας και ενός θέματος από
Διαβάστε περισσότεραΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι Ενότητα 8: Συστήματα αρίθμησης
ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι Ενότητα 8: Συστήματα αρίθμησης Μιχάλης Δρακόπουλος Σχολή Θετικών επιστημών Τμήμα Μαθηματικών ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (MATLAB) Ενότητα 8 Σημειώσεις βασισμένες στο βιβλίο Το MATLAB στην Υπολογιστική
Διαβάστε περισσότερα