7 Μάθημα Πορεία μελέτης Ακόμη μία Άσκηση

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "7 Μάθημα Πορεία μελέτης Ακόμη μία Άσκηση"

Transcript

1 Περιεχόμενα I Εναρξη μαθήματος 3 II Αρχικά μαθήματα 5 1 Μάθημα Εισαγωγή Πορεία μελέτης Γραμμικά συστήματα Μάθημα Εσωτερικά γινόμενα Αρχίζοντας τη μελέτη της Γραμμικής άλγεβρας Μελέτη εισαγωγικών εννοιών Και άλλες σκέψεις Μάθημα Μελέτη εισαγωγικών εννοιών Πορεία μελέτης Ασκήσεις Σχόλια για τις προτεινόμενες ασκήσεις Μάθημα Πίνακες και γραμμικά συστήματα Πορεία μελέτης Στοιχειώδεις μετασχηματισμοί γραμμών πινάκων Πορεία μελέτης Και άλλες Ασκήσεις Μάθημα Πορεία μελέτης Πορεία μελέτης Σχόλια Άσκηση Μάθημα Πορεία μελέτης Μία άσκηση και η λύση της Ασκήσεις για σκέψη

2 7 Μάθημα Πορεία μελέτης Ακόμη μία Άσκηση

3 Μέρος I Εναρξη μαθήματος Γραμμική άλγεβρα Ι Ευάγγελος Ράπτης 1 Τα παρακάτω κείμενα, γράφονται και ενημερώνονται καθημερινά για τις ανάγκες του μαθήματος Γραμμική άλγεβρα Ι. Καλούνται οι φοιτητές να επισημαίνουν λάθη και παραλείψεις. Τα μαθήματα θα αρχίσουν την Παρασκευή 2 Οκτωβρίου Παρακάτω θα βρείτε συγγράμματα και συνδέσμους σε ηλεκτρονική μορφή, όλα χρήσιμα για τη μελέτη σας: 1. Πρόκειται για το βιβλίο «Εισαγωγή στη Γραμμική Άλγεβρα, Τόμος Α, Δ. Βάρσος, Δ. Δεριζιώτης, Μ. Μαλιάκας, Στ. Παπασταυρίδης, Ε. Ράπτης, Ο, Ταλέλλη, Εκδ. Σοφία 2003 Δείτε εδώ 2. Δείτε επίσης και εδώ ένα μάθημα για το «Τί είναι η Γραμμική άλγεβρα» 3. Δείτε στη διεύθυνση εδώ ένα δυνατό υπολογιστικό πακέτο, το οποίο βρίσκεται ελεύθερο στο δίκτυο και θα μας χρειασθεί σύντομα. 1 Ηλεκτρονική διεύθυνση: eraptis@math.uoa.gr Γραφείο: 211, τηλ Ηλεκτρονική διεύθυνση Ηλεκτρονικής τάξης του μαθήματος: 3

4 Οι παράπλευρες σελίδες συζήτησης Μπορείτε να διατυπώνετε τις απορίες σας και τις σκέψεις σας: 1. Στον σύνδεσμο Τηλεσυνεργασία, είναι ο σύνδεσμος αριστερά στη σελίδα του μαθήματος. Στη σελίδα αυτή έχετε τη δυνατότητα να γράφετε και λίγα μαθηματικά σύμβολα 2. Στον σύνδεσμο Περιοχές Συζητήσεων, αριστερά στη σελίδα του μαθήματος. Τηλεδιασκέψεις Κατά τη διάρκεια του μαθήματος θα γίνουν πολλές Τηλεδιασκέψεις. Κάθε Τηλεδιάσκεψη θα ανακοινώνεται έγκαιρα 4

5 Μέρος II Αρχικά μαθήματα 1 Μάθημα 1 Παρασκευή 2 Οκτωβρίου Εισαγωγή Η Γραμμική άλγεβρα 2 είναι μέρος της προσπάθειας να κατανοήσουμε το χώρο και τον κόσμο γύρω μας. Θα δούμε στην αρχή σημαντικές έννοιες όπως τα σύνολα και οι απεικονίσεις. 1.2 Πορεία μελέτης 1. Δείτε από το βιβλίο Εισαγωγή στη Γραμμική άλγεβρα τον ορισμό του συνόλου 2. Δείτε και εδώ μία άλλη ματιά για τα σύνολα 3. Δείτε και εδώ την ελληνική εκδοχή των παραπάνω 4. Ορισμός 1.1. Δύο σύνολα Α και Β λέγονται ίσα (θα συμβολίζουμε Α=Β) εάν και μόνο εάν έχουν τα ίδια ακριβώς στοιχεία 5. Δείτε προσεκτικά τον ορισμό του κενού συνόλου: Ορισμός 1.2. Το σύνολο που δεν έχει στοιχεία το λέμε κενό σύνολο και το συμβολίζουμε με το σύμβολο 6. Δείτε από το βιβλίο Εισαγωγή στη Γραμμική άλγεβρα τον ορισμό της τομής δύο συνόλων, της ένωσης δύο συνόλων και της διαφοράς δύο συνόλων 2 Το βιβλίο αυτό γράφεται κατά τη διάρκεια του Φθινοπώρου 2015 για τις ανάγκες της διδασκαλίας του μαθήματος Γραμμική άλγεβρα Ι(121) Ευάγγελος Ράπτης Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Μαθηματικών 5

6 1.3 Γραμμικά συστήματα Σε επόμενα μαθήματα θα μελετήσουμε συστηματικά τα γραμμικά συστήματα, διότι είναι σημαντικό μέρος της Γραμμικής άλγεβρας. Στο σημερινό μάθημα απλά θέτουμε τα ερωτήματα. Αρχίζουμε με ένα παράδειγμα γραμμικού συστήματος τριών εξισώσεων με τρείς αγνώστους: Ερωτήματα (Σ) x + 2y + 3z = 0 4x + 5y + 6z = 0 7x + 8y + 9z = 0 1. Τι είναι το σύνολο λύσεων του συστήματος (Σ); 2. Ποια είναι τα γεωμετρικά χαρακτηριστικά του (Σ); 3. Υπάρχουν άλλα συστήματα με το ίδιο σύνολο λύσεων; 4. Εχει το σύστημα (Σ) πεπερασμένο ή άπειρο σύνολο λύσεων; 5. Ποιο είναι το «απλούστερο» κατά την γνώμη σας γραμμικό σύστημα με το ίδιο σύνολο λύσεων όπως το (Σ); Τέλος του πρώτου μαθήματος 6

7 2 Μάθημα Εσωτερικά γινόμενα 1. Το σύνολο ζευγών πραγματικών αριθμών το συμβολίζουμε με R 2. Στο σύνολο αυτό ορίζουμε το εσωτερικό γινόμενο ως εξής: (α 1, α 2 ) (β 1, β 2 ) = α 1 β 1 + α 2 β 2 2. Το σύνολο τριάδων πραγματικών αριθμών το συμβολίζουμε με R 3. Στο σύνολο αυτό ορίζουμε το εσωτερικό γινόμενο ως εξής: (α 1, α 2, α 3 ) (β 1, β 2, β 3 ) = α 1 β 1 + α 2 β 2 + α 3 β 3 Τα εσωτερικά γινόμενα έχουν έναν σημαντικό ρόλο στη μελέτη της Γραμμικής άλγεβρας. Θα δούμε αρκετά στα επόμενα μαθήματα 2.2 Αρχίζοντας τη μελέτη της Γραμμικής άλγεβρας 1. Δείτε ξανά μία εισαγωγή στην Γραμμική άλγεβρα του καθηγητή W.Strang, MIT εδώ 2. Διαβάστε την Εισαγωγή από το βιβλίο «Εισαγωγή στη Γραμμική άλγεβρα Τόμος Α» 3 3. Ρίξτε επίσης μια ματιά και στη διεύθυνση Εγκυκλοπαίδεια wikipedia Στη διεύθυνση αυτή θα βρείτε και άλλα ιστορικά στοιχεία, όπως και υλικό για τη Γραμμική άλγεβρα 4. Αρχίζουμε να μελετάμε τους πίνακες. Οι πίνακες είναι πρωταρχικής σημασίας στο μάθημα αυτό. Συνοπτικά μιλώντας (ο ακριβής ορισμός θα δοθεί στη συνέχεια) πίνακας είναι μία ορθογώνια διευθέτηση αντικειμένων. Για παράδειγμα το σύμβολο είναι ένας πίνακας 4 γραμμών και 3 στηλών ή ένας 4 3 πίνακας. Ο όρος στα αγγλικά είναι matrix. 3 Το βιβλίο αυτό θα το βρείτε ηλεκτρονικά από την αρχική σελίδα του μαθήματος 7

8 5. Θα μπορούσαμε να πούμε ότι κύριος στόχος του μαθήματος είναι να μελετήσει τη δομή του συνόλου λύσεων Λ του γραμμικού συστήματος: (Σ) όπου τα α ij, β i είναι συντελεστές 4 α 11 x 1 + α 12 x α 1ν x ν = β 1 α 21 x 1 + α 22 x α 2ν x ν = β 2 α µ1 x 1 + α µ2 x α µν x ν = β µ 6. Δείτε επίσης το βίντεο εδώ και μελετήστε ένα δικό σας ομογενές σύστημα. 7. Ορισμός 2.1. Σύνολο λύσεων του συστήματος (Σ) είναι το σύνολο Λ = {(ξ 1, ξ 2,, ξ ν } που έχει την ιδιότητα αν θέσουμε x 1 = ξ 1, x 2 = ξ 2,, x ν = ξ ν, τότε όλες οι εξισώσεις του συστήματος επαληθεύονται. Σε κάθε γραμμικό σύστημα (Σ) όπως πιο πάνω αντιστοιχούν δύο πίνακες E = α 11 α 12 α 1ν β 1 α 21 α 22 α 2ν β 2 α µ1 α µ2 α µν β µ και ο πίνακας A = α 11 α 12 α 1ν α 21 α 22 α 2ν α µ1 α µ2 α µν Ορισμός 2.2. Ο πίνακας Α ονομάζεται πίνακας του συστήματος. Ο πίνακας Ε ονομάζεται επαυξημένος πίνακας του συστήματος Εύκολα παρατηρούμε ότι το ζεύγος των πινάκων Α και Ε κωδικοποιούν πλήρως όλες τις πληροφορίες του συστήματος. 4 Χωρίς λάθος μπορούμε να θεωρούμε ότι οι συντελεστές είναι πραγματικοί αριθμοί. Σε επόμενα μαθήματα θα αποσαφηνίσουμε περισσότερο το ρόλο των συντελεστών 8

9 2.3 Μελέτη εισαγωγικών εννοιών 1. Δείτε από το βιβλίο «Εισαγωγή στη Γραμμική άλγεβρα Τόμος Α» τον ορισμό του καρτεσιανού γινομένου συνόλων 2. Δείτε από το βιβλίο «Εισαγωγή στη Γραμμική άλγεβρα Τόμος Α» τον ορισμό της σχέσης ισοδυναμίας Ορισμός 2.3. Εστω Α ένα μη-κενό σύνολο. Διαμέριση του συνόλου Α είναι μία οικογένεια υποσυνόλων του A i, i I με τις παρακάτω ιδιότητες 1. A i i I 2. A i A j = εάν i j 3. i I A i = A Θα πρέπει κανείς να σταθεί πολύ στον ορισμό αυτό ξεκινώντας τη μελέτη στην Άλγεβρα. Στο σημείο αυτό δείτε το βίντεο εδώ Κάθε διαμέριση δημιουργεί μία σχέση μεταξύ των στοιχείων του Α ως εξής: Το στοιχείο χ του Α σχετίζεται με το στοιχείο ψ του Α εάν το χ και το ψ βρίσκονται σε κάποιο A i και τα δύο Θα συμβολίζουμε χ ψ Η παραπάνω σχέση έχει τις παρακάτω ιδιότητες: 1. χ χ για κάθε στοιχείο χ του Α. Αυτό είναι άμεσο. Η ιδιότητα αυτή λέγεται αυτοπαθής 2. Αν x y τότε x, y A i για κάποιο A i και άρα y, x A i, δηλαδή y x. Η ιδιότητα αυτή λέγεται συμμετρική 3. Αν x y και y z, τότε τα x, y, z A i για κάποιο κοινό A i οπότε x z. Η ιδιότητα αυτή λέγεται μεταβατική Μπορούμε εδώ να διατυπώσουμε την παρακάτω Πρόταση 2.4. Εστω Α ένα μη κενό σύνολο. Κάθε διαμέριση του συνόλου Α επάγει(δημιουργεί) μία σχέση ισοδυναμίας στο σύνολο Α Απόδειξη Άμεση από την παραπάνω συζήτηση Στην πραγματικότητα αν Α ένα μη κενό σύνολο, μία σχέση ισοδυναμίας στο Α είναι ένα μη κενό υποσύνολο R του καρτεσιανού γινομένου A A δηλαδή R A A με τις παρακάτω ιδιότητες: 9

10 1. (x, x) R για κάθε x A 2. Αν (x, y) R, τότε (y, x) R 3. Αν (x, y) R και (y, z) R, τότε (x, z) R Πολλές φορές θα συμβολίζουμε ή (x, y) R ή xry ή x y Με βάση αυτόν το γενικό ορισμό της σχέσης ισοδυναμίας στο μη κενό σύνολο Α δημιουργούμε υποσύνολα ως εξής: Αν x A, τότε [x] = {y A y x} Κάθε υποσύνολο [x] όπως παραπάνω θα το ονομάζουμε κλάση ισοδυναμίας με αντιπρόσωπο το x Πρόταση 2.5. Εστω μία σχέση ισοδυναμίας στο μη-κενό σύνολο Α 1. Κάθε κλάση ισοδυναμίας [x] περιέχει το x διότι x x. Άρα κάθε κλάση ισοδυναμίας είναι μη-κενό σύνολο 2. Αν [x] [y] δύο κλάσεις ισοδυναμίας, τότε είτε [x] = [y] είτε [x] [y] = 3. x A [x] = A Απόδειξη: Το σημείο 1 έχει ήδη αποδειχθεί Για το σημείο 2 τώρα. Αν [x] [y] = είναι δεκτό. Αν [x] [y], τότε υπάρχει ω [x] [y] και έτσι x ω και y ω. Τότε όμως λόγω της μεταβατικής ιδιότητας έχουμε x y και έτσι [x] = [y] Η τρίτη απαίτηση είναι άμεση, διότι κάθε x [x] και έτσι x A [x] = A Καταλήγουμε έτσι ότι το σύνολο [x] x A, δηλαδή το σύνολο των κλάσεων ισοδυναμίας σχηματίζει μία διαμέριση του Α Καταλήξαμε στο παρακάτω πολύ σημαντικό: Θεώρημα 2.6. Εστω Α ένα μη κενό σύνολο. Υπάρχει μία 1-1 και επί σχέση D I όπου D το σύνολο των διαμερίσεων του Α και I το σύνολο των σχέσεων ισοδυναμίας. Κάθε διαμέριση απεικονίζεται σε μία σχέση ισοδυναμίας που περιγράψαμε πιο πάνω. Αντίστροφα κάθε σχέση ισοδυναμίας δημιουργεί μία διαμέριση που επίσης περιγράψαμε πιο πάνω. Η μία απεικόνιση είναι αντίστροφη της άλλης Ορισμός 2.7. Εστω Α ένα μη κενό σύνολο και μία σχέση ισοδυναμίας στο σύνολο αυτό. 1. Το σύνολο {[x], x A} δηλαδή το σύνολο των κλάσεων ισοδυναμίας λέγεται σύνολο-πηλίκο και συμβολίζεται A/ 2. Η απεικόνιση A A/ με x [x] λέγεται προβολή 10

11 2.4 Και άλλες σκέψεις 1. Στο σύνολο των πραγματικών αριθμών R ορίζουμε τη σχέση: α β η διαφορά α β είναι ακέραιος αριθμός. Εξετάστε εάν η σχέση αυτή είναι σχέση ισοδυναμίας. Βρείτε και τις κλάσεις ισοδυναμίας αν είναι πράγματι σχέση ισοδυναμίας. Σκεφθείτε μία γεωμετρική προσέγγιση. 2. Στο σύνολο των ακεραίων αριθμών Z ορίζουμε τη σχέση: α β το 2 διαιρεί τη διαφορά α β. Δείξτε ότι η σχέση αυτή είναι σχέση ισοδυναμίας. ισοδυναμίας Τέλος του δευτέρου μαθήματος Βρείτε και τις κλάσεις 11

12 3 Μάθημα Μελέτη εισαγωγικών εννοιών 1. Δείτε από το βιβλίο «Εισαγωγή στη Γραμμική άλγεβρα Τόμος Α» 5 τον ορισμό της απεικόνισης και τα παραδείγματα 2. Πότε μία απεικόνιση λέγεται ότι είναι 1-1;, πότε επί; 3.2 Πορεία μελέτης 1. Μελετήστε την παράγραφο 2.1 του κεφαλαίου 2 (Πίνακες και Γραμμικές εξισώσεις) σελίδα 29 από το βιβλίο «Εισαγωγή στη Γραμμική άλγεβρα Τόμος Α» 6 2. Μελετήστε τους ορισμούς 2.2.1, 2.2.2, 2.2.3, καθώς και τα παραδείγματα 2.2.5, και σελ 31 και 32 από το βιβλίο «Εισαγωγή στη Γραμμική άλγεβρα Τόμος Α» 3. Δείτε στη διεύθυνση εδώ σχετικά με τους πίνακες. 3.3 Ασκήσεις Οι λύσεις των παρακάτω ασκήσεων να γίνουν στοιχειωδώς. Άσκηση Να βρεθεί το σύνολο λύσεων του παρακάτω συστήματος 3x + 5y + 6z = 28 x + y + z = 6 δηλαδή να βρεθεί το σύνολο Λ όλων των τριάδων (ξ 1, ξ 2, ξ 3 ) πραγματικών αριθμών, έτσι ώστε αν αντικαταστήσουμε x = ξ 1, y = ξ 2, z = ξ 3, ικανοποιούνται και οι δύο εξισώσεις του συστήματος. 2. Να κάνετε το ίδιο και για το σύστημα 3x + 5y + 6z = 0 x + y + z = 0 3. Αν Λ το σύνολο λύσεων του πρώτου συστήματος και Λ το σύνολο λύσεων του δευτέρου, να βρεθεί η τομή Λ Λ 5 Το βιβλίο αυτό θα το βρείτε ηλεκτρονικά από την αρχική σελίδα του μαθήματος 6 Το βιβλίο αυτό θα το βρείτε ηλεκτρονικά από την κεντρική σελίδα του μαθήματος 12

13 3.4 Σχόλια για τις προτεινόμενες ασκήσεις 1. Για την πρώτη άσκηση βρίσκουμε με οποιονδήποτε τρόπο ότι υπάρχει έστω και μία τριάδα (ξ 1, ξ 2, ξ 3 ) πραγματικών αριθμών, που είναι λύση. Αργότερα θα πούμε «σίγουρες» διαδικασίες για εύρεση λύσης. Μετά ( αφού δηλαδή εξασφαλίσουμε ότι το σύνολο λύσεων Λ είναι μη-κενό) σκεφθείτε «γεωμετρικά» τι περιμένουμε να είναι το Λ. Η πρώτη εξίσωση, λοιπόν, η 3x + 5y + 6z = 28 του συστήματος από μόνη της παριστάνει ένα επίπεδο στον χώρο που ζούμε 7. Το ίδιο και η δεύτερη εξίσωση x + y + z = 6 παριστάνει ένα επίπεδο. Επιστρατεύουμε εδώ τη φαντασία μας για να μαντέψουμε το αποτέλεσμα και τη μαθηματική μας διαίσθηση για να προχωρήσουμε αυστηρά. Αν τα δύο επίπεδα είναι παράλληλα, τότε δεν τέμνονται και έτσι το σύστημα δεν έχει λύσεις, δηλαδή το Λ είναι το κενό σύνολο. Υπάρχουν τώρα οι περιπτώσεις τα δύο επίπεδα να ταυτίζονται ή τα δύο επίπεδα να τέμνονται αλλά να μην ταυτίζονται. Σκεφθείτε λίγο την προσέγγιση αυτή αφού πρώτα δείτε και το βίντεο εδώ 2. Η δεύτερη άσκηση αντιμετωπίζεται όπως και η προηγούμενη. μόνο που στην περίπτωση αυτή κατά προφανή τρόπο το σύστημα έχει λύση την (0,0,0) Σύστημα σαν αυτό το ονομάζουμε ομογενές σύστημα. 3. Για το τρίτο ερώτημα σκεφθείτε ότι έχουμε να λύσουμε ένα σύστημα 4 εξισώσεων 7 Αυτό χρειάζεται απόδειξη 13

14 4 Μάθημα Πίνακες και γραμμικά συστήματα Θεωρούμε ξανά το γραμμικό σύστημα (Σ) α 11 x 1 + α 12 x α 1ν x ν = β 1 α 21 x 1 + α 22 x α 2ν x ν = β 2 α µ1 x 1 + α µ2 x α µν x ν = β µ 1. Αν «ξεχάσουμε» τα x 1, x 2,, x ν και τα σύμβολα της πρόσθεσης, καταλήγουμε σε δύο πίνακες (αʹ) A = α 11 α 12 α 13 α 1ν α 21 α 22 α 23 α 2ν α 31 α 32 α 33 α 3ν α µ1 α µ2 α µ3 α µν (βʹ) C = α 11 α 12 α 13 α 1ν β 1 α 21 α 22 α 23 α 2ν β 2 α 31 α 32 α 33 α 3ν β 3 α µ1 α µ2 α µ3 α µν β µ 2. Ορισμός 4.1. Ο πίνακας Α λέγεται πίνακας του συστήματος και ο πίνακας C λέγεται επαυξημένος πίνακας του συστήματος 3. Μπορούμε να διαπιστώσουμε ότι ο πίνακας Α του συστήματος και ο επαυξημένος πίνακας C του συστήματος έχει όλες τις πληροφορίες του συστήματος. 4. Σημαντικό ερώτημα: Πως μπορούμε να ορίσουμε αυστηρά ότι ένα σύστημα είναι απλούστερο από κάποιο άλλο; Είναι δυνατόν ένα σύστημα (Σ) να μετασχηματισθεί σε κάποιο άλλο απλούστερο (Σ ), ώστε το σύνολο λύσεων του Σ να είναι ίσο με το σύνολο λύσεων του (Σ ); 14

15 5. Το σύνολο των πινάκων με μ γραμμές και ν στήλες και συντελεστές πραγματικούς αριθμούς, το συμβολίζουμε με R µ ν 6. Στο σύνολο των πινάκων ορίζουμε ορισμένες πράξεις: (αʹ) την πράξη της πρόσθεσης. (βʹ) Την πράξη της αφαίρεσης (γʹ) Την πράξη του πολλαπλασιασμού πραγματικού αριθμού με πίνακα 4.2 Πορεία μελέτης 1. Μελετήστε την παράγραφο 2.3 του κεφαλαίου 2 (Πίνακες και Γραμμικές εξισώσεις) από το βιβλίο «Εισαγωγή στη Γραμμική άλγεβρα Τόμος Α» και ιδιαίτερα δείτε τον τρόπο που γίνονται οι παραπάνω τρείς πράξεις 2. Κατεβάστε και ξεφυλίστε το βιβλίο Γραμμικής άλγεβρας κάνοντας κλικ εδώ 3. Δείτε ξανά στη διεύθυνση εδώ σχετικά με τους πίνακες και τις πράξεις μεταξύ πινάκων. 4.3 Στοιχειώδεις μετασχηματισμοί γραμμών πινάκων Το ερώτημα που θα μας απασχολήσει επίσης στο μάθημα αυτό είναι ποιές είναι οι αλλαγές που μπορούμε να κάνουμε στο γραμμικό σύστημα: (Σ) α 11 x 1 + α 12 x α 1ν x ν = β 1 α 21 x 1 + α 22 x α 2ν x ν = β 2 α µ1 x 1 + α µ2 x α µν x ν = β µ έτσι ώστε το σύστημα να γίνει πιο απλό ως προς τη λύση του. Ποιές είναι οι επιπτώσεις των αλλαγών αυτών στον πίνακα του συστήματος και στον επαυξημένο; 1. Θεωρούμε το παραπάνω σύστημα (Σ) και το σύστημα: (Σ ) (α 11 + α 21 ) x 1 + (α 12 + α 22 ) x (α 1ν + α 2ν ) x ν = β 1 + β 2 α 21 x 1 + α 22 x α 2ν x ν = β 2 α µ1 x 1 + α µ2 x α µν x ν = β µ 2. Παρατηρούμε ότι το δεύτερο σύστημα το πήραμε προσθέτοντας στην πρώτη εξίσωση τη δεύτερη. Παρατηρούμε επίσης ότι η επίπτωση στους αντίστοιχους πίνακες είναι: (αʹ) Ο πίνακας A του συστήματος Σ προκύπτει από τον πίνακα Α του συστήματος Σ προσθέτοντας στην πρώτη γραμμή τη δεύτερη γραμμή. 15

16 (βʹ) Ο επαυξημένος πίνακας C του συστήματος Σ προκύπτει από τον επαυξημένο πίνακα C του συστήματος Σ προσθέτοντας στην πρώτη γραμμή τη δεύτερη γραμμή 3. Σημαντική παρατήρηση. Το σύνολο λύσεων Λ του συστήματος (Σ) είναι ίσο με το σύνολο λύσεων Λ του συστήματος Σ Απόδειξη 8 Εστω (ξ 1, ξ 2,, ξ ν ) ένα στοιχείο του Λ. Τότε η ν-άδα αυτή ικανοποιεί κάθε εξίσωση του Λ και προφανώς κάθε εξίσωση του Λ και αντίστροφα. 4. Αν κάποια εξίσωση του συστήματος Σ πολλαπλασιασθεί με ένα αριθμό διαφορετικό του μηδενός προκύπτει ένα σύστημα Σ, του οποίου το σύνολο λύσεων εξακολουθεί να είναι το ίδιο με το σύνολο λύσεων του Σ 5. Αν αλλάξουμε τη θέση δύο εξισώσεων του Σ το σύνολο λύσεων δεν μεταβάλλεται 6. Παρατηρούμε λοιπόν ότι μπορούμε να κάνουμε κάποιους μετασχηματισμούς στο γραμμικό σύστημα Σ, χωρίς να μεταβληθεί το σύνολο λύσεων Λ, με σκοπό πάντα να καταλήξουμε σε απλούστερο σύστημα. 7. Οι μετασχηματισμοί του συστήματος Σ, οδηγούν στους παρακάτω μετασχηματισμούς τους δύο πίνακες Α του συστήματος και C του επαυξημένου πίνακα του συστήματος. 8. (αʹ) Πολλαπλασιασμός μιας γραμμής του πίνακα με ένα στοιχείο λ διάφορο του μηδενός (βʹ) Πολλαπλασιασμός της κ-γραμμής με λ και πρόσθεσης του αποτελέσματος στην i-γραμμή, k i (γʹ) εναλλαγή δύο γραμμών Ορισμός 4.2. Οι παραπάνω μετασχηματισμοί πινάκων λέγονται στοιχειώδεις μετασχηματισμοί γραμμών. Δύο πίνακες Α και Β που προκύπτει ο ένας από τον άλλον με επαναλάψηψη στοιχειωδών μετασχηματισμών γραμμών λέγονται γραμμοϊσοδύναμοι πίνακες 4.4 Πορεία μελέτης 1. Μελετήστε καλά τα παραπάνω 2. Δείτε τον ορισμό του κλιμακωτού πίνακα από το βιβλίο «Εισαγωγή στη Γραμμική άλγεβρα Τόμος Α. 8 Ο αναγνώστης καλείται να κάνει την απόδειξη λεπτομερώς 16

17 3. Δείτε τον ορισμό του ανηγμένου κλιμακωτού πίνακα από το βιβλίο «Εισαγωγή στη Γραμμική άλγεβρα Τόμος Α. 4. Δείτε ξανά το βίντεο με την ομιλία του καθηγητή G.Strang εδώ 4.5 Και άλλες Ασκήσεις 1. Εστω Σ και Σ δύο γραμμικά συστήματα των οποίων οι επαυξημένοι πίνακες C και C αντίστοιχα ικανοποιούν τη σχέση C = λ C με λ 0. Εξετάστε εάν τα σύνολα λύσεων του Σ και Σ είναι ίσα 2. Δύο γραμμικά συστήματα Σ και Σ έχουν επαυξημένους πίνακες C και C αντίστοιχα. Η μόνη διαφορά των πινάκων αυτών είναι ότι η πρώτη γραμμή του C είναι το άθροισμα της πρώτης και της δεύτερης γραμμής του C. Εξετάστε εάν το Σ και το Σ έχουν το ίδιο σύνολο λύσεων 3. Δίνεται ο πίνακας A = Να βρείτε ένα ανηγμένο κλιμακωτό πίνακα A, ο οποίος να είναι γραμμοϊσοδύναμος με τον Α 4. Δείξτε ότι δύο οποιοιδήποτε ανηγμένοι κλιμακωτοί πίνακες γραμμοισοδύναμοι με τον πίνακα Α είναι ίσοι. Διατυπώστε και αποδείξτε ένα θεώρημα σχετικά με τους ανηγμένους κλιμακωτούς πίνακες κάθε πίνακα. Τέλος του τετάρτου μαθήματος 17

18 5 Μάθημα 5 Με το σημερινό 9 μάθημα αρχίζουμε τη μελέτη των Διανυσματικών χώρων, μία πολύ βασική έννοια της Γραμμικής Άλγεβρας Διανυσματικοί χώροι 5.1 Πορεία μελέτης 1. Δείτε από το βιβλίο «Εισαγωγή στη Γραμμική άλγεβρα Τόμος Α» τα εξής: (αʹ) Τον ορισμό του διανυσματικού χώρου. Είναι ο ορισμός (βʹ) Δείτε τις παρατηρήσεις συνέχεια. Αναφέρεται στην μοναδικότητα του μηδενικού στοιχείου και του αντιθέτου. (γʹ) Τα παραδείγματα Προσέξτε ένα-ένα τα παραδείγματα διανυσματικών χώρων 2. Δείτε λεπτομερώς το πόρισμα από το βιβλίο «Εισαγωγή στη Γραμμική άλγεβρα Τόμος Α». Αναφέρεται σε βασικές ιδιότητες των πινάκων που θα χρησιμοποιούμε συχνά 3. Δείτε πληροφορίες για τους Διανυσματικούς χώρους ( στα αγγλικά ο όρος είναι vector space ή linear space ) στη διεύθυνση εδώ Πρόκειται για ένα εξαιρετικά κατατοπιστικό άρθρο που περιγράφει και τις διασυνδέσεις και επιρροές της Γραμμικής άλγεβρας και με άλλους κλάδους των Μαθηματικών. 4. Στη διεύθυνση εδώ θα βρείτε ένα καλό βιβλίο Γραμμικής Άλγεβρας, μαζί με ένα βιβλίο ασκήσεων και λύσεων! Πάρτε το και αρχίστε τη μελέτη 5. Δείτε το βιντεο-μάθημα από τη διεύθυνση εδώ 6. Δείτε ένα ακόμη βιντεο-μάθημα από τη διεύθυνση εδώ 9 Το βιβλίο αυτό γράφεται το Φθινόπωρο του 2012 για τις ανάγκες της διδασκαλίας του μαθήματος Γραμμική άλγεβρα, Ευάγγελος Ράπτης Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Μαθηματικών 18

19 Ταυτόχρονα με τη συνεχιζόμενη μελέτη των πινάκων και των ιδιοτήτων τους, εισάγουμε σήμερα την έννοια του υπόχωρου ενός διανυσματικού χώρου. Ο υπόχωρος είναι ένα μη κενό υποσύνολο του χώρου και έχει την ίδια δομή δηλαδή είναι και αυτός ένας διανυσματικός χώρος με πράξεις τον περιορισμό των πράξεων του χώρου στο σύνολο Α. 5.2 Πορεία μελέτης 1. Μελετήστε προσεκτικά το παράδειγμα από το βιβλίο «Εισαγωγή στη Γραμμική άλγεβρα Τόμος Α». Στο παράδειγμα αυτό γίνεται συζήτηση για τη σωστή χρήση των αξιωμάτων και των ορισμών 2. Δείτε τον ορισμό από το βιβλίο «Εισαγωγή στη Γραμμική άλγεβρα Τόμος Α», της διαφοράς δύο πινάκων A, B F µ ν 3. Δείτε επίσης τον ορισμό από το βιβλίο «Εισαγωγή στη Γραμμική άλγεβρα Τόμος Α» (αʹ) Του Συμμετρικού πίνακα, συμμετρικός είναι ένας τετραγωνικός πίνακας Α με την ιδιότητα A = A t (βʹ) Του Αντισυμμετρικού πίνακα,αντισυμμετρικός είναι ένας τετραγωνικός πίνακας Α με την ιδιότητα A = A t 4. Δίνουμε τώρα τον παρακάτω ορισμό Ορισμός 5.1. Εστω V ένας Διανυσματικός χώρος επί του F 10 Το υποσύνολο Α του V θα λέγεται υπόχωρος του V (ή διανυσματικός υπόχωρος του V ) εάν ικανοποιεί τα παρακάτω (αʹ) Το μηδενικό στοιχείο 0 V του χώρου ανήκει στο Α (έτσι το Α είναι μήκενό σύνολο) (βʹ) Αν α και β δύο στοιχεία του Α, τότε και το α+β είναι και αυτό στοιχείο του Α (γʹ) Αν α είναι κάποιο στοιχείο του Α και λ F, τότε και το λα ανήκει στο Α 10 Επισημαίνουμε ότι με το σύμβολο F στο μάθημα αυτό θα συμβολίζουμε ένα από τα τρία σύνολα (αʹ) Το σύνολο R των πραγματικών αριθμών (βʹ) Το σύνολο C των μιγαδικών αριθμών (γʹ) σύνολο Q των ρητών αριθμών 19

20 5.3 Σχόλια 1. Ενας υπόχωρος Α είναι ένας «μικρός διανυσματικός χώρος» μέσα στον «μεγάλο» διανυσματικό χώρο V 2. Είναι σημαντικό να γνωρίζουμε εάν ένας διανυσματικός χώρος έχει υπόχωρους, πόσους έχει και ποιοί είναι 3. Αν ο Α είναι υπόχωρος του V, συμβολίζουμε με A V 5.4 Άσκηση Να μελετήσετε με στοιχειώδεις τρόπους τους υπόχωρους του παρακάτω διανυσματικού χώρου V = {f : R R f(x) = αx + β, α, β R}. Οι πράξεις στον Διανυσματικό χώρο αυτό είναι οι συνήθεις Τέλος του πέμπτου μαθήματος 20

21 6 Μάθημα Πορεία μελέτης 1. Μελετήστε το παρακάτω θεώρημα: Θεώρημα 6.1. Εστω Α και Β δύο υπόχωροι του διανυσματικού χώρου V. Τότε η τομή A B είναι υπόχωρος. Απόδειξη Το μηδενικό στοιχείο 0 V ανήκει εξ ορισμού κα στο Α και στο Β άρα και στην τομή τους. Αν α,β ανήκουν και στον υπόχωρο Α και στον Β, τότε το άθροισμα α+β θα ανήκει επίσης και στους δύο υπόχωρους, άρα και στην τομή τους Αν χ ανήκει στον υπόχωρο Α και στον Β και λ F, τότε από τον ορισμό έχουμε ότι το λχ ανήκει και στον Α και στον Β άρα και στην τομή τους Τελικά η τομή των υπόχωρων είναι υπόχωρος. 2. Από το βιβλίο «Εισαγωγή στη Γραμμική άλγεβρα Τόμος Α» να μελετήσετε τον ορισμό και τα παραδείγματα και που αναφέρονται στο γινόμενο πινάκων 6.2 Μία άσκηση και η λύση της Δείξτε ότι το σύνολο των διπλά παραγωγίσιμων συναρτήσεων f : R R που ικανοποιούν τη σχέση f 5 f +6 f = 0 είναι ένας Διανυσματικός χώρος με συντελεστές πραγματικούς αριθμούς Λύση της άσκησης Η άσκηση αναφέρεται σε ένα σύνολο V πραγματικών συναρτήσεων μιας πραγματικής μεταβλητής. Κάθε στοιχείο f(x) V είναι μία συνάρτηση f : R R, για την οποία υπάρχει η δεύτερη παράγωγος και ισχύει επί πλέον f 5 f + 6 f = 0 Για να είναι το σύνολο V Διανυσματικός χώρος θα πρέπει να ικανοποιούνται τα αξιώματα του Διανυσματικού χώρου δες Το σύνολο V είναι μη κενό, διότι η μηδενική συνάρτηση 0 : R R με 0(x) = 0 x R παραγωγίζεται δύο φορές και προφανώς ικανοποιεί τη συνθήκη f 5 f + 6 f = 0 2. Αν f 1 (x), f 2 (x) V, τότε f 1 5 f f 1 = 0 και f 2 5 f f 2 = 0 Προσθέτοντας κατά μέλη έχουμε (f 1 + f 2 ) 5 (f 1 + f 2 ) + 6 (f 1 + f 2 ) = 0 3. Συνεχίζουμε με τον τρόπο αυτό αποδεικνύοντας ότι ικανοποιούνται όλα τα αξιώματα του διανυσματικού χώρου για το σύνολο V 21

22 6.3 Ασκήσεις για σκέψη 1. Εστω R 2 2 ο διανυσματικός χώρος των 2 2 πινάκων με συντελεστές πραγματικούς αριθμούς. Να βρείτε όλους τους υπόχωρους που περιέχουν τους παρακάτω ( ) 4 ( πίνακες: ) ( ) ( ) ,,, Εστω R ο διανυσματικός χώρος των πραγματικών αριθμών επί του R. Να βρεθούν οι υπόχωροί του. 3. Εστω R 2 = {(x, y) x, y R} ο διανυσματικός χώρος των ζευγών πραγματικών αριθμών επί του R. Να περιγραφούν οι υπόχωροί του 4. Εστω C ο διανυσματικός χώρος των μιγαδικών αριθμών επί του R. Να περιγραφούν οι υπόχωροί του. 5. Εστω C ο διανυσματικός χώρος των μιγαδικών αριθμών επί του C. Να βρεθούν οι υπόχωροί του. Τέλος του έκτου μαθήματος 22

23 7 Μάθημα Πορεία μελέτης 1. Δείτε την απόδειξη της πρότασης από το βιβλίο Εισαγωγή στη Γραμμική άλγεβρα Τόμος Α 11 Είναι εντελώς ίδια με την απόδειξη του θεωρήματος 6.1 παραπάνω. Η μόνη διαφορά είναι ότι δεν έχουμε κατ ανάγκη δύο υπόχωρους αλλά ένα μη κενό σύνολο υπόχωρων, ενδεχομένως και άπειρο. Μελετήστε καλά την απόδειξη 2. Οι υπόχωροι. Μέρος ΙΙ Εστω A i, i I μία οικογένεια υπόχωρων. Τι μπορεί να σημαίνει αυτή η έκφραση; Και γιατί είμαστε αναγκασμένοι να την χρησιμοποιούμε; Και τι αποτελέσματα μπορούμε να πάρουμε; Ας επαναλάβουμε ήδη γνωστά αποτελέσματα που τα διαβάσαμε λίγο πρίν: (αʹ) Αν Α και Β δύο υπόχωροι ενός διανυσματικού χώρου V, τότε και η τομή τους είναι υπόχωρος του V. Απόδειξη: Το μηδενικό στοιχείο 0 V του χώρου ανήκει και στον υ- πόχωρο Α και στον υπόχωρο Β (από τον ορισμό), άρα ανήκει και στην τομή τους. Ετσι η πρώτη απαίτηση για να είναι η τομή A B υπόχωρος ικανοποιείται. Εστω τώρα x, y A B. Θέλουμε να αποδείξουμε ότι x + y A B. Εχουμε από υπόθεση ότι x, y A και x, y B. Επειδή τώρα Α και Β είναι υπόχωρος θα έχουμε ξεχωριστά ότι x + y A και x + y B, άρα x + y A B Εστω λ F και x A B. Άρα ξεχωριστά θα έχουμε ότι x A και x B. Επειδή τώρα Α και Β υπόχωροι και λ είναι συντελεστής, θα έχουμε λx A λx A Τελικά λx A B. Ικανοποιούνται έτσι και οι τρείς απαιτήσεις και έτσι η τομή δύο υπόχωρων είναι υπόχωρος (βʹ) Η τομή πεπερασμένου πλήθους υπόχωρων του V είναι υπόχωρος επίσης, δηλαδή αν A 1, A 2,, A ν είναι υπόχωροι του V, τότε και η τομή ν i=1 A i είναι υπόχωρος. Η απόδειξη γίνεται με επαγωγή. Δοκιμάστε να την κάνετε (γʹ) Αν τώρα πάρουμε για παράδειγμα όλους τους υπόχωρους του R 2 και θελήσουμε να τους βάλουμε σε μία σειρά θα δούμε ότι αυτό είναι αδύνατο. Αυτό σχετίζεται με ένα σπουδαίο θεώρημα που λέει ότι δέν υπάρχει συνάρτηση f : R N, η οποία να είναι 1-1 και επί. Με άλλα λόγια δεν είναι δυνατόν να βάλουμε τους πραγματικούς αριθμούς σε μια σειρά και να τους θεωρήσουμε ως στοιχεία ακολουθίας! Υπάρχει μία ιστορία με το ξενοδοχείο των αριθμών που θα πούμε σε επόμενα μαθήματα. Στο 11 Το βιβλίο αυτό θα το βρείτε σε ηλεκτρονική μορφή από την αρχική σελίδα του μαθήματος 23

24 μάθημα αυτό δεν θα αποδείξουμε τον παραπάνω ισχυρισμό, αλλά αυτό μας επιβάλει να γράφουμε ως εξής: Εστω A i, i I, η οικογένεια των υπόχωρων του V που έχουν μία ιδιότητα. Δεν μπορούμε, αλλά ούτε χρειαζόμαστε να βάλουμε σε μία σειρά τους υπόχωρους. Θεώρημα 7.1. Εστω Α ένα υποσύνολο ενός διανυσματικού χώρου V. Τότε η τομή όλων των υπόχωρων του V, που περιέχουν το Α είναι υπόχωρος. Απόδειξη Είναι όμοια με την παραπάνω. Η διαφορά βρίσκεται στο γεγονός ότι δεν δικαιούμαστε να θεωρήσουμε τους υπόχωρους που περιέχουν το Α, ως στοιχεία ακολουθίας Θέμα για σκέψη: Να βρεθεί η τομή όλων των υπόχωρων του V. Να βρεθεί η τομή όλων των υπόχωρων του R 2 που ο καθένας περιέχει το (2,3) 3. Δείτε προσεκτικά τον ορισμό από το βιβλίο «Εισαγωγή στη Γραμμική άλγεβρα Τόμος Α» του γραμμικού συνδυασμού στοιχείων του υποσυνόλου Κ ενός διανυσματικού χώρου V. Παρατηρήστε ότι (αʹ) Το σύνολο Κ είναι ένα οποιοδήποτε υποσύνολο του διανυσματικού χώρου, πεπερασμένο ή άπειρο. Αρκεί να είναι μη-κενό. (βʹ) Ο γραμμικός συνδυασμός εμπλέκει πάντα πεπερασμένο σύνολο διανυμάτων. 4. Μελετήστε επίσης προσεκτικά την απόδειξη του θεωρήματος από το βιβλίο «Εισαγωγή στη Γραμμική άλγεβρα Τόμος Α». Αναφέρει και αποδεικνύει ότι το σύνολο των γραμμικών συνδυασμών ενός μη-κενού συνόλου Κ είναι ένας υπόχωρος. 5. Ο παραπάνω υπόχωρος λέγεται υπόχωρος του V που παράγεται από το Κ ή γραμμική θήκη του Κ και συμβολίζεται με < K >. Δες και τον ορισμό από το βιβλίο «Εισαγωγή στη Γραμμική άλγεβρα Τόμος Α». 6. Αν το Κ είναι πεπερασμένο σύνολο, τότε ο υπόχωρος < K > θα λέγεται πεπερασμένα παραγόμενος. 7. Μελετήστε τα παραδείγματα από το βιβλίο «Εισαγωγή στη Γραμμική άλγεβρα Τόμος Α». 8. Από το παράδειγμα από το βιβλίο «Εισαγωγή στη Γραμμική άλγεβρα Τόμος Α» διαπιστώστε ότι υπάρχουν διανυσματικοί χώροι, οι οποίοι δεν είναι πεπερασμένα παραγόμενοι. Βρείτε εσείς ακόμη ένα δικό σας παράδειγμα ενός μη-πεπερασμένα παραγόμενου διανυσματικού χώρου 9. Εστω Κ ένα μή-κενό υποσύνολο του διανυσματικού χώρου V. Η τομή ό- λων των υπόχωρων του V καθένας εκ των οποίων περιέχει το Κ είναι ένας υπόχωρος K του V. 24

25 10. Μελετήστε την απόδειξη της πρότασης από το βιβλίο «Εισαγωγή στη Γραμμική άλγεβρα Τόμος Α». Η πρόταση αυτή με λόγια λέει: Το σύνολο των γραμμικών συνδυασμών στοιχείων του μη-κενού συνόλου Κ, K V είναι ίσο με την τομή όλων των υπόχωρων του V, καθένας εκ των οποίων περιέχει το Κ. 11. Το μόνο που μένει είναι η περίπτωση Κ=. Στην περίπτωση αυτή αναγκαστικά έχουμε ότι < >= {0 V }. Γιατί; 7.2 Ακόμη μία Άσκηση 1. Δίνεται ο διανυσματικός χώρος R 2 [x] των τριωνύμων με συντελεστές πραγματικούς αριθμούς, δηλαδή R 2 [x] = {α x 2 +β x+γ, α, β, γ R}. Να εξετάσετε εάν το σύνολο {1 + x, 1 + 2x, 1 + x 2, 1 + 2x 2 } παράγει τον διανυσματικό χώρο R 2 [x]. 12 Τέλος του εβδόμου μαθήματος Α». 12 Είναι η άσκηση 1 της παραγράφου 3.3 από το βιβλίο «Εισαγωγή στη Γραμμική άλγεβρα Τόμος 25

Γραμμική Άλγεβρα Ενότητα 2: Εισαγωγικές έννοιες

Γραμμική Άλγεβρα Ενότητα 2: Εισαγωγικές έννοιες Γραμμική Άλγεβρα Ενότητα 2: Εισαγωγικές έννοιες Ευάγγελος Ράπτης Τμήμα Πληροφορικής Μέρος I Εναρξη μαθήματος Γραμμική άλγεβρα Ι Ευάγγελος Ράπτης 1 Τα παρακάτω κείμενα, γράφονται και ενημερώνονται καθημερινά

Διαβάστε περισσότερα

7 Μάθημα Πορεία μελέτης Άσκηση Πορεία μελέτης

7 Μάθημα Πορεία μελέτης Άσκηση Πορεία μελέτης Περιεχόμενα I Εναρξη μαθήματος 5 II Αρχικά μαθήματα 7 1 Μάθημα 1 7 1.1 Εισαγωγή............................... 7 1.2 Πορεία μελέτης............................ 7 1.3 Γραμμικά συστήματα.........................

Διαβάστε περισσότερα

7 Μάθημα Πορεία μελέτης Ακόμη μία Άσκηση Μάθημα Πορεία μελέτης....

7 Μάθημα Πορεία μελέτης Ακόμη μία Άσκηση Μάθημα Πορεία μελέτης.... Περιεχόμενα I Εναρξη μαθήματος 5 II Αρχικά μαθήματα 7 1 Μάθημα 1 7 1.1 Εισαγωγή............................... 7 1.2 Πορεία μελέτης............................ 7 1.3 Γραμμικά συστήματα.........................

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: Εισαγωγικές Εννοιες. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών

Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: Εισαγωγικές Εννοιες. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Εισαγωγικές Εννοιες Ευάγγελος Ράπτης Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμική Άλγεβρα Ενότητα 2: Διανυσματικοί χώροι

Γραμμική Άλγεβρα Ενότητα 2: Διανυσματικοί χώροι Γραμμική Άλγεβρα Ενότητα 2: Διανυσματικοί χώροι Ευάγγελος Ράπτης Τμήμα Πληροφορικής 5 Μάθημα 5 Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012 Με το σημερινό 9 μάθημα αρχίζουμε τη μελέτη των Διανυσματικών χώρων, μία πολύ βασική

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: ιανυσµατικοί χώροι. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών

Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: ιανυσµατικοί χώροι. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: ιανυσµατικοί χώροι Ευάγγελος Ράπτης Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Abstract Algebra: The Basic Graduate Year: Robert B. Ash

Abstract Algebra: The Basic Graduate Year: Robert B. Ash Περιεχόμενα I Εναρξη μαθήματος 2 II Βασική άλγεβρα. Αρχικά μαθήματα 4 1 Μάθημα 1 4 1.1 Πορεία μελέτης............................ 4 1.2 Διάφορα σχόλια............................ 5 1.3 Πορεία μελέτης............................

Διαβάστε περισσότερα

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac Σημειώσεις μαθήματος Μ1212 Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Χρήστος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2014 Κεφάλαιο 1 Διανυσματικοί Χώροι Στο εισαγωγικό μάθημα Γραμμικής Άλγεβρας ξεκινήσαμε μελετώντας

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Πρόλογος 3

Περιεχόμενα. Πρόλογος 3 Πρόλογος Η χρησιμότητα της Γραμμικής Άλγεβρας είναι σχεδόν αυταπόδεικτη. Αρκεί μια ματιά στο πρόγραμμα σπουδών, σχεδόν κάθε πανεπιστημιακού τμήματος θετικών επιστημών, για να διαπιστώσει κανείς την παρουσία

Διαβάστε περισσότερα

1. Για καθένα από τους ακόλουθους διανυσματικούς χώρους βρείτε μια βάση και τη διάσταση. 3. U x y z x y z x y. {(,, ) } a b. c d

1. Για καθένα από τους ακόλουθους διανυσματικούς χώρους βρείτε μια βάση και τη διάσταση. 3. U x y z x y z x y. {(,, ) } a b. c d Γραμμική Άλγεβρα Ι, 07-8 Ασκήσεις6: Βάση και Διάσταση Βασικά σημεία Βάση διανυσματικού χώρου (ορισμός, παραδείγματα, μοναδικότητα συντελεστών) Θεώρημα (ύπαρξη, πρώτη μορφή) Έστω V K μη μηδενικός με K πεπερασμένο

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστική άλγεβρα Ενότητα 1: Πολυωνυμικές σχέσεις και ταυτότητες, μέρος Ι

Υπολογιστική άλγεβρα Ενότητα 1: Πολυωνυμικές σχέσεις και ταυτότητες, μέρος Ι Υπολογιστική άλγεβρα Ενότητα 1: Πολυωνυμικές σχέσεις και ταυτότητες, μέρος Ι Ράπτης Ευάγγελος Σχολή Θετικών επιστημών Τμήμα Μαθηματικών Μέρος I Εναρξη μαθήματος 5 7 Υπολογιστική Άλγεβρα (439) ) Ευάγγελος

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμική Άλγεβρα Ενότητα 4: Ορίζουσες

Γραμμική Άλγεβρα Ενότητα 4: Ορίζουσες Γραμμική Άλγεβρα Ενότητα 4: Ορίζουσες Ευάγγελος Ράπτης Τμήμα Πληροφορικής 23 Μάθημα 23 Παρασκευή 30 Νοεμβρίου 2012 23.1 Ορίζουσες 1. Οι ορίζουσες εκτός των άλλων εφαρμογών, βοηθούν και στην εύρεση λύσεων

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: Γραµµικές απεικονίσεις. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών

Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: Γραµµικές απεικονίσεις. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Γραµµικές απεικονίσεις Ευάγγελος Ράπτης Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Πρόλογος 3

Περιεχόμενα. Πρόλογος 3 Πρόλογος Η Γραμμική Άλγεβρα είναι ένα σημαντικό συστατικό στο πρόγραμμα σπουδών, όχι μόνο των Μαθηματικών, αλλά και άλλων τμημάτων, όπως είναι το τμήμα Φυσικής, Χημείας, των τμημάτων του Πολυτεχνείου,

Διαβάστε περισσότερα

12. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ. είναι δύο παραστάσεις μιας μεταβλητής x πού παίρνει τιμές στο

12. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ. είναι δύο παραστάσεις μιας μεταβλητής x πού παίρνει τιμές στο ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΑΝΙΣΩΣΕΩΝ Έστω f σύνολο Α, g Α ΒΑΘΜΟΥ είναι δύο παραστάσεις μιας μεταβλητής πού παίρνει τιμές στο Ανίσωση με έναν άγνωστο λέγεται κάθε σχέση της μορφής f f g g ή, η οποία αληθεύει για ορισμένες

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119)

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΙΩΑΝΝΗΣ Α. ΤΣΑΓΡΑΚΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΜΕΡΟΣ 5: ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΥΠΟΧΩΡΟΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΒΑΣΕΙΣ & ΔΙΑΣΤΑΣΗ Δ.Χ. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 17 Οκτωβρίου 2011

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 17 Οκτωβρίου 2011 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 7 Οκτωβρίου 0 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 5 Νοεμβρίου 0 Οι ασκήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις3 Διαγωνίσιμες Γραμμικές Απεικονίσεις

Ασκήσεις3 Διαγωνίσιμες Γραμμικές Απεικονίσεις Ασκήσεις 5 Βασικά σημεία Ιδιότητες ιδιόχωρων: Έστω,, Ισχύουν τα εξής Ασκήσεις Διαγωνίσιμες Γραμμικές Απεικονίσεις κάποιες διακεκριμένες ιδιοτιμές της γραμμικής απεικόνισης : V V, όπου o Αν v v 0, όπου

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗ 12- Σχέση ισοδυναμίας, γραμμικά συστήματα και απαλοιφή Gauss

ΠΛΗ 12- Σχέση ισοδυναμίας, γραμμικά συστήματα και απαλοιφή Gauss .4 Σχέση ισοδυναμίας, γραμμικά συστήματα και απαλοιφή Gauss Σχέση ισοδυναμίας. Έστω το σύνολο των ρητών αριθμών Q και η σχέση της ισότητας σε αυτό που ορίζεται ως εξής: Δύο στοιχεία α, γ Q είναι ίσα αν

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (Εξ. Ιουνίου - 02/07/08) ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (Εξ. Ιουνίου - 02/07/08) ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Ονοματεπώνυμο:......... Α.Μ....... Ετος... ΑΙΘΟΥΣΑ:....... I. (περί τις 55μ. = ++5++. Σωστό ή Λάθος: ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (Εξ. Ιουνίου - //8 ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ (αʹ Αν AB = BA όπου A, B τετραγωνικά και

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. ρ Χρήστου Νικολαϊδη

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. ρ Χρήστου Νικολαϊδη ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ ρ Χρήστου Νικολαϊδη Δεκέμβριος Περιεχόμενα Κεφάλαιο : σελ. Τι είναι ένας πίνακας. Απλές πράξεις πινάκων. Πολλαπλασιασμός πινάκων.

Διαβάστε περισσότερα

,..., v n. W πεπερασμένα παραγόμενοι και dimv. Τα ακόλουθα είναι ισοδύναμα f είναι ισομορφιμός. f είναι 1-1. f είναι επί.

,..., v n. W πεπερασμένα παραγόμενοι και dimv. Τα ακόλουθα είναι ισοδύναμα f είναι ισομορφιμός. f είναι 1-1. f είναι επί. Γραμμική Άλγεβρα Ι, 07-8 Ασκήσεις7: Γραμμικές Απεικονίσεις Βασικά σημεία Ορισμός και παραδείγματα γραμμικών απεικονίσεων Σύνθεση γραμμικών απεικονίσεων, ισομορφισμοί Κάθε γραμμική απεικόνιση f : V W, όπου

Διαβάστε περισσότερα

f I X i I f i X, για κάθεi I.

f I X i I f i X, για κάθεi I. 47 2 Πράξεις σε τοπολογικούς χώρους 2. Η τοπολογία γινόμενο Σε προηγούμενη παράγραφο ορίσαμε την τοπολογία γινόμενο στο καρτεσιανό γινόμενο Y δύο τοπολογικών χώρων Y, ( παράδειγμα.33 () ). Στην παρούσα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ :. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Σε κάθε τετραγωνικό πίνακα ) τάξης n θα αντιστοιχίσουμε έναν πραγματικό ( ij αριθμό, τον οποίο θα ονομάσουμε ορίζουσα του πίνακα. Η ορίζουσα θα συμβολίζεται det ή Α ή n n

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΣ121: ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ I Εαρινό εξάμηνο , Διδάσκων: Γιώργος Γεωργίου ΕΝΔΙΑΜΕΣΗ ΕΞΕΤΑΣΗ, Διάρκεια: 2 ώρες 18 Νοεμβρίου, 2017

ΜΑΣ121: ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ I Εαρινό εξάμηνο , Διδάσκων: Γιώργος Γεωργίου ΕΝΔΙΑΜΕΣΗ ΕΞΕΤΑΣΗ, Διάρκεια: 2 ώρες 18 Νοεμβρίου, 2017 ΜΑΣ: ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ I Εαρινό εξάμηνο 07-08, Διδάσκων: Γιώργος Γεωργίου ΕΝΔΙΑΜΕΣΗ ΕΞΕΤΑΣΗ, Διάρκεια: ώρες 8 Νοεμβρίου, 07 Δίνονται 4 προβλήματα που αντιστοιχούν σε 0 μονάδες με άριστα το 00! ΟΝΟΜΑ: Αρ.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Πρότυπα. x y x z για κάθε x, y, R με την ιδιότητα 1R. x για κάθε x R, iii) υπάρχει στοιχείο 1 R. ii) ( x y) z x ( y z)

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Πρότυπα. x y x z για κάθε x, y, R με την ιδιότητα 1R. x για κάθε x R, iii) υπάρχει στοιχείο 1 R. ii) ( x y) z x ( y z) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Πρότυπα Στο κεφάλαιο αυτό θα υπενθυμίσουμε τις βασικές έννοιες που αφορούν πρότυπα πάνω από ένα δακτύλιο Θα περιοριστούμε στα πλέον απαραίτητα για αυτά που ακολουθούν στα άλλα κεφάλαια Η κατευθυντήρια

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 20 Οκτωβρίου 2008

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 20 Οκτωβρίου 2008 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 0 Οκτωβρίου 008 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: Νοεμβρίου 008 Πριν

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΕΝΑΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, Μ. Παπαδημητράκης.

ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΕΝΑΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, Μ. Παπαδημητράκης. ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΕΝΑΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, 5-10-13 Μ. Παπαδημητράκης. 1 Τώρα θα μιλήσουμε για την έννοια της περιοχής, η οποία έχει κεντρικό ρόλο στη μελέτη της έννοιας του ορίου (ακολουθίας και συνάρτησης). Αν > 0, ονομάζουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 2 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 28 Νοεμβρίου 2011

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 2 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 28 Νοεμβρίου 2011 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 8 Νοεμβρίου 0 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 6 Ιανουαρίου 0 Οι ασκήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Τα παρακάτω σύνολα θα τα θεωρήσουμε γενικά γνωστά, αν και θα δούμε πολλές από τις ιδιότητές τους: N Z Q R C

Τα παρακάτω σύνολα θα τα θεωρήσουμε γενικά γνωστά, αν και θα δούμε πολλές από τις ιδιότητές τους: N Z Q R C Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικές έννοιες Στο κεφάλαιο αυτό θα αναφερθούμε σε ορισμένες έννοιες, οι οποίες ίσως δεν έχουν άμεση σχέση με τους διανυσματικούς χώρους, όμως θα χρησιμοποιηθούν αρκετά κατά τη μελέτη τόσο

Διαβάστε περισσότερα

0 + a = a + 0 = a, a k, a + ( a) = ( a) + a = 0, 1 a = a 1 = a, a k, a a 1 = a 1 a = 1,

0 + a = a + 0 = a, a k, a + ( a) = ( a) + a = 0, 1 a = a 1 = a, a k, a a 1 = a 1 a = 1, I ΠΙΝΑΚΕΣ 11 Σώμα 111 Ορισμός: Ενα σύνολο k εφοδιασμένο με δύο πράξεις + και ονομάζεται σώμα αν ικανοποιούνται οι παρακάτω ιδιότητες: (Α (α (Προσεταιριστική ιδιότητα της πρόσθεσης (a + b + c = a + (b +

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 4

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΑΡΤΙΟΙ) Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/linearalgebrai/lai2018/lai2018.html Παρασκευή 23 Νοεµβρίου

Διαβάστε περισσότερα

6 Συνεκτικοί τοπολογικοί χώροι

6 Συνεκτικοί τοπολογικοί χώροι 36 6 Συνεκτικοί τοπολογικοί χώροι Έστω R διάστημα και f : R συνεχής συνάρτηση τότε, όπως γνωρίζουμε από τον Απειροστικό Λογισμό, η f έχει την ιδιότητα της ενδιάμεσου τιμής. Η ιδιότητα αυτή δεν εξαρτάται

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις2 8. ; Αληθεύει ότι το (1, 0, 1, 2) είναι ιδιοδιάνυσμα της f ; b. Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα της γραμμικής απεικόνισης 3 3

Ασκήσεις2 8. ; Αληθεύει ότι το (1, 0, 1, 2) είναι ιδιοδιάνυσμα της f ; b. Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα της γραμμικής απεικόνισης 3 3 Ασκήσεις 8 Ασκήσεις Ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα Βασικά σημεία Ορισμός ιδιοτιμων και ιδιοδιανυσμάτων, υπολογισμός τους Σε διακεκριμένες ιδιοτιμές αντιστοιχούν γραμμικά ανεξάρτητα ιδιοδιανύσματα Αν ΑΧ=λΧ,

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 8: Σχέσεις - Πράξεις Δομές Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5 Γραμμικοί Μετασχηματισμοί

Κεφάλαιο 5 Γραμμικοί Μετασχηματισμοί Κεφάλαιο 5 Γραμμικοί Μετασχηματισμοί 5 Γενικά Γραμμικοί Μετασχηματισμοί Μία σχέση μεταξύ των στοιχείων δύο συνόλων Α,Β αντιστοιχίζει στοιχεία του Α με στοιχεία του Β άλλου μέσω ενός κανόνα που μπορεί να

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ημιαπλοί Δακτύλιοι

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ημιαπλοί Δακτύλιοι ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Ημιαπλοί Δακτύλιοι Είδαμε στο κύριο θεώρημα του προηγούμενου κεφαλαίου ότι κάθε δακτύλιος διαίρεσης έχει την ιδιότητα κάθε πρότυπο είναι ευθύ άθροισμα απλών προτύπων Εδώ θα χαρακτηρίσουμε όλους

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΑΚ. ΕΤΟΣ Μαθηματικά για Οικονομολόγους ΙI-Μάθημα 4 Γραμμικά Συστήματα

ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΑΚ. ΕΤΟΣ Μαθηματικά για Οικονομολόγους ΙI-Μάθημα 4 Γραμμικά Συστήματα ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΑΚ. ΕΤΟΣ 2009-2010 Μαθηματικά για Οικονομολόγους ΙI-Μάθημα 4 Γραμμικά Συστήματα ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ι Ένα σύνολο m εξισώσεων n αγνώστων που έχει την ακόλουθη

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

2018 Φάση 2 ιαγωνίσµατα Επανάληψης ΑΛΓΕΒΡΑ. Α' Γενικού Λυκείου. Σάββατο 21 Απριλίου 2018 ιάρκεια Εξέτασης:3 ώρες ΘΕΜΑΤΑ

2018 Φάση 2 ιαγωνίσµατα Επανάληψης ΑΛΓΕΒΡΑ. Α' Γενικού Λυκείου. Σάββατο 21 Απριλίου 2018 ιάρκεια Εξέτασης:3 ώρες ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ A ΑΛΓΕΒΡΑ Α' Γενικού Λυκείου Σάββατο 1 Απριλίου 018 ιάρκεια Εξέτασης: ώρες ΘΕΜΑΤΑ Πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης f (x) από ένα σύνολο Α σε ένα σύνολο Β ονομάζουμε το σύνολο Α, στο οποίο φαίνονται οι

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΝΑΚΩΝ. Ορισμός 1: Ένας πίνακας Α με m γραμμές και n στήλες,

ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΝΑΚΩΝ. Ορισμός 1: Ένας πίνακας Α με m γραμμές και n στήλες, ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΝΑΚΩΝ Ορισμός 1: Ένας πίνακας Α με m γραμμές και n στήλες, παριστάνεται με την εξής ορθογώνια διάταξη: α11 α12 α1n α21 α22 α2n A = αm1 αm2 αmn Ορισμός 2: Δύο πίνακες Α και Β είναι ίσοι, και γράφουμε

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστική άλγεβρα Ενότητα 6: Ο αλγόριθμος της διαίρεσης

Υπολογιστική άλγεβρα Ενότητα 6: Ο αλγόριθμος της διαίρεσης Υπολογιστική άλγεβρα Ενότητα 6: Ο αλγόριθμος της διαίρεσης Ράπτης Ευάγγελος Σχολή Θετικών επιστημών Τμήμα Μαθηματικών Μέρος III Πολυώνυμα πολλών μεταβλητών 33 Κεφάλαιο 6 Ο αλγόριθμος της διαίρεσης Τετάρτη

Διαβάστε περισσότερα

a = a a Z n. a = a mod n.

a = a a Z n. a = a mod n. Αλγεβρα Ι Χειμερινο Εξαμηνο 2017 18 Διάλεξη 1 Ενότητα 1. Πράξεις: Πράξεις στο σύνολο S, ο πίνακας της πράξης, αντιμεταθετικές πράξεις. Προσεταιριστικές πράξεις, το στοιχείο a 1 a 2 a n. Η πράξη «σύνθεση

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων Μελετάμε εδώ τη συνθήκη της αύξουσας αλυσίδας υποπροτύπων και τη συνθήκη της φθίνουσας αλυσίδας υποπροτύπων Αυτές συνδέονται μεταξύ τους με την έννοια της συνθετικής σειράς

Διαβάστε περισσότερα

( ) 10 ( ) εποµ ένως. π π π π ή γενικότερα: π π. π π. π π. Άσκηση 1 (10 µον) Θεωρούµε το µιγαδικό αριθµό z= i.

( ) 10 ( ) εποµ ένως. π π π π ή γενικότερα: π π. π π. π π. Άσκηση 1 (10 µον) Θεωρούµε το µιγαδικό αριθµό z= i. http://elern.mths.gr/, mths@mths.gr, Τηλ: 697905 Ενδεικτικές απαντήσεις ης Γραπτής Εργασίας ΠΛΗ 00-0: Άσκηση (0 µον) Θεωρούµε το µιγαδικό αριθµό z= i. α) (5 µον) Βρείτε την τριγωνοµετρική µορφή του z.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι Κεφάλαιο Διανυσματικοί Χώροι Διανυσματικοί χώροι - Βασικοί ορισμοί και ιδιότητες Θεωρούμε τρία διαφορετικά σύνολα: Διανυσματικοί Χώροι α) Το σύνολο διανυσμάτων (πινάκων με μία στήλη) με στοιχεία το οποίο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΠΕΜΠΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, Μ. Παπαδημητράκης.

ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΠΕΜΠΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, Μ. Παπαδημητράκης. ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΠΕΜΠΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, 17-10-13 Μ. Παπαδημητράκης. 1 Την προηγούμενη φορά αναφέραμε (και αποδείξαμε στην περίπτωση n = 2) το θεώρημα που λέει ότι, αν n N, n 2, τότε για κάθε y 0 υπάρχει μοναδική μηαρνητική

Διαβάστε περισσότερα

Δακτύλιοι και Πρότυπα Ασκήσεις 6. Η ύλη των ασκήσεων αυτών είναι η Ενότητα6, Εφαρμογές Θεωρημάτων Δομής στη Γραμμική Αλγεβρα.

Δακτύλιοι και Πρότυπα Ασκήσεις 6. Η ύλη των ασκήσεων αυτών είναι η Ενότητα6, Εφαρμογές Θεωρημάτων Δομής στη Γραμμική Αλγεβρα. Δακτύλιοι και Πρότυπα 0-7 Ασκήσεις Η ύλη των ασκήσεων αυτών είναι η Ενότητα, Εφαρμογές Θεωρημάτων Δομής στη Γραμμική Αλγεβρα Βρείτε τη ρητή κανονική μορφή και μια κανονική μορφή Jorda του M( ) 0 0 Έστω

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 12 Οκτωβρίου 2007

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 12 Οκτωβρίου 2007 ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 1) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 1 Οκτωβρίου 007 Ηµεροµηνία παράδοσης της Εργασίας: 9 Νοεµβρίου 007. Πριν από την λύση κάθε άσκησης

Διαβάστε περισσότερα

1. a. Έστω b. Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα του A Έστω A και ( x) [ x]

1. a. Έστω b. Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα του A Έστω A και ( x) [ x] σκήσεις Ασκήσεις Ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα Βασικά σημεία Ορισμός ιδιοτιμών και ιδιοδιανυσμάτων, υπολογισμός τους Ιδιόχωροι, διάσταση ιδιόχωρου, εύρεση βάσης ιδιόχωρου Σε διακεκριμένες ιδιοτιμές αντιστοιχούν

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΑ ΑΠΟ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ομόσημοι Ετερόσημοι αριθμοί Αντίθετοι Αντίστροφοι αριθμοί Πρόσθεση ομόσημων και ετερόσημων ρητών αριθμών Απαλοιφή παρενθέσεων Πολλαπλασιασμός και Διαίρεση ρητών αριθμών

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι Κεφάλαιο Διανυσματικοί χώροι - Βασικοί ορισμοί και ιδιότητες Θεωρούμε τρία διαφορετικά σύνολα: α) Το σύνολο διανυσμάτων (πινάκων με μία στήλη) με στοιχεία το οποίο συμβολίζουμε με Σε αυτό το σύνολο γνωρίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει: Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει: Να αναγνωρίζει πότε μια αλγεβρική παράσταση της πραγματικής μεταβλητής x, είναι πολυώνυμο και να διακρίνει τα στοιχεία του: όροι, συντελεστές, σταθερός

Διαβάστε περισσότερα

1 Επανάληψη εννοιών από τον Απειροστικό Λογισμό

1 Επανάληψη εννοιών από τον Απειροστικό Λογισμό 1 Επανάληψη εννοιών από τον Απειροστικό Λογισμό 1.1 Όρια ακολουθιών Λέμε ότι η ακολουθία { n } συγκλίνει με όριο R αν για κάθε ϵ > 0 υπάρχει ακέραιος N = N(ϵ) τέτοιος ώστε (1.1) n < ϵ για κάθε n > N, και

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Πρόλογος 3

Περιεχόμενα. Πρόλογος 3 Πρόλογος Τα πρώτα μαθήματα, σχεδόν σε όλους τους κλάδους των μαθηματικών, περιέχουν, ή θεωρούν γνωστές, εισαγωγικές έννοιες που αφορούν σύνολα, συναρτήσεις, σχέσεις ισοδυναμίας, αλγεβρικές δομές, κλπ.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΤΟ ΔΙΩΝΥΜΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΤΟ ΔΙΩΝΥΜΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΤΟ ΔΙΩΝΥΜΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ Εισαγωγή Οι αριθμοί που εκφράζουν το πλήθος των στοιχείων ανά αποτελούν ίσως τους πιο σημαντικούς αριθμούς της Συνδυαστικής και καλούνται διωνυμικοί συντελεστές διότι εμφανίζονται

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Διανυσματικοί Χώροι Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Διανυσματικός Χώρος επί του F Αλγεβρική δομή που αποτελείται

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 1

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2016/asi2016.html Πέµπτη 25 Φεβρουαβρίου

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Γραμμικά Συστήματα Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Γραμμικό Σύστημα a11x1 + a12x2 + + a1 nxn = b1 a x + a x + +

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 Πρότυπα. Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουμε την έννοια του προτύπου πάνω από δακτύλιο.

Κεφάλαιο 1 Πρότυπα. Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουμε την έννοια του προτύπου πάνω από δακτύλιο. Κεφάλαιο Πρότυπα Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουμε την έννοια του προτύπου πάνω από δακτύλιο Ορισμοί και Παραδείγματα Παραδοχές Στo βιβλίο αυτό θα κάνουμε τις εξής παραδοχές Χρησιμοποιούμε προσθετικό συμβολισμό

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Διανυσματικοί Χώροι Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Διανυσματικός Χώρος επί του F Αλγεβρική δομή που αποτελείται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΥΠΕΥΘΥΝΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ Α. Ντούνης ΔΙΔΑΣΚΩΝ ΑΚΑΔ. ΥΠΟΤΡΟΦΟΣ Χ. Τσιρώνης ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑ ΔΕΥΤΕΡΟ - Διανύσματα - Πράξεις με πίνακες - Διαφορικός λογισμός (1D) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΥΠΟΒΑΘΡΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 3

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 3 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/aeligia/linearalgerai/lai07/lai07html Παρασκευή Νοεµβρίου 07 Ασκηση Αν

Διαβάστε περισσότερα

9 Πολυώνυμα Διαίρεση πολυωνύμων

9 Πολυώνυμα Διαίρεση πολυωνύμων 4ο Κεφάλαιο 9 Πολυώνυμα Διαίρεση πολυωνύμων Α ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορισμοί Μονώνυμο του x ονομάζουμε κάθε παράσταση της μορφής ν αx όπου α R, * ν N και x μια μεταβλητή που μπορεί να πάρει οποιαδήποτε

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 6

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 6 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 6 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebrai/lai2017/lai2017html Παρασκευή 15 εκεµβρίου 2017

Διαβάστε περισσότερα

ή κανονικός ( regular ), αν για κάθε x και κάθε κλειστό αντιπαραδείγματα με τα οποία αποδεικνύεται ότι οι αντίστροφες συνεπαγωγές δεν ισχύουν.

ή κανονικός ( regular ), αν για κάθε x και κάθε κλειστό αντιπαραδείγματα με τα οποία αποδεικνύεται ότι οι αντίστροφες συνεπαγωγές δεν ισχύουν. 93 4 Διαχωριστικά αξιώματα Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουμε τα λεγόμενα διαχωριστικά αξιώματα και εξετάζουμε τις βασικές ιδιότητές τους. Ένα από αυτά το έχουμε ήδη εισαγάγει δηλαδή το αξίωμα Husdorff ( ορισμός

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 6

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 6 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 6 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebrai/lai2018/lai2018html Παρασκευή 7 εκεµβρίου 2018 Ασκηση

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2: Διανυσματικός λογισμός συστήματα αναφοράς

Κεφάλαιο 2: Διανυσματικός λογισμός συστήματα αναφοράς Κεφάλαιο 2: Διανυσματικός λογισμός συστήματα αναφοράς 2.1 Η έννοια του διανύσματος Ο τρόπος που παριστάνομε τα διανυσματικά μεγέθη είναι με τη μαθηματική έννοια του διανύσματος. Διάνυσμα δεν είναι τίποτε

Διαβάστε περισσότερα

2.0 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

2.0 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ .0 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Έστω διανύσματα που ανήκουν στο χώρο δ i = ( a i, ai,, ai) i =,,, και έστω γραμμικός συνδυασμός των i : xδ + x δ + + x δ = b που ισούται με το διάνυσμα b,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 Συστήματα γραμμικών εξισώσεων

Κεφάλαιο 1 Συστήματα γραμμικών εξισώσεων Κεφάλαιο Συστήματα γραμμικών εξισώσεων Παραδείγματα από εφαρμογές Γραμμική Άλγεβρα Παράδειγμα : Σε ένα δίκτυο (αγωγών ή σωλήνων ή δρόμων) ισχύει ο κανόνας των κόμβων όπου το άθροισμα των εισερχόμενων ροών

Διαβάστε περισσότερα

P(n, r) = n! P(n, r) = n r. (n r)! n r. n+r 1 r n!

P(n, r) = n! P(n, r) = n r. (n r)! n r. n+r 1 r n! Διακριτά Μαθηματικά Σύνοψη Θεωρίας Τυπολόγιο Αναστασία Κόλλια 20/11/2016 1 / 55 Κανόνες γινομένου και αθροίσματος Κανόνας αθροίσματος: Αν ένα γεγονός μπορεί να συμβεί κατά m τρόπους και ένα άλλο γεγονός

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 4

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebrai/lai218/lai218html Παρασκευή 23 Νοεµβρίου 218 Ασκηση 1

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 2

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 2 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΑΡΤΙΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebrai/lai8/lai8html Παρασκευή 6 Οκτωβρίου 8 Υπενθυµίζουµε

Διαβάστε περισσότερα

Ευκλείδειοι Χώροι. Ορίζουµε ως R n, όπου n N, το σύνολο όλων διατεταµένων n -άδων πραγµατικών αριθµών ( x

Ευκλείδειοι Χώροι. Ορίζουµε ως R n, όπου n N, το σύνολο όλων διατεταµένων n -άδων πραγµατικών αριθµών ( x Ευκλείδειοι Χώροι Ορίζουµε ως R, όπου N, το σύνολο όλων διατεταµένων -άδων πραγµατικών αριθµών x, x,, x ) Tο R λέγεται ευκλείδειος -χώρος και τα στοιχεία του λέγονται διανύσµατα ή σηµεία Το x i λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

Α Δ Ι. Παρασκευή 25 Οκτωβρίου Ασκηση 1. Στο σύνολο των πραγματικών αριθμών R ορίζουμε μια σχέση R R R ως εξής:

Α Δ Ι. Παρασκευή 25 Οκτωβρίου Ασκηση 1. Στο σύνολο των πραγματικών αριθμών R ορίζουμε μια σχέση R R R ως εξής: Α Δ Ι Α - Φ 1 Δ : Ν. Μαρμαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ι Μ : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html, https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114 Παρασκευή 25 Οκτωβρίου 2013 Ασκηση

Διαβάστε περισσότερα

Η έννοια του συνόλου. Εισαγωγικό κεφάλαιο 27

Η έννοια του συνόλου. Εισαγωγικό κεφάλαιο 27 Εισαγωγικό κεφάλαιο 27 Η έννοια του συνόλου Σύνολο είναι κάθε συλλογή αντικειμένων, που προέρχονται από την εμπειρία μας ή τη διανόησή μας, είναι καλά ορισμένα και διακρίνονται το ένα από το άλλο. Αυτός

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ Γ. Π. Β. ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.) (Μαθηματικός) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο.

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1 Τελεστές και πίνακες 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. Ανάλογα, τελεστής είναι η απεικόνιση ενός διανύσματος σε ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ. ΕΝΟΤΗΤΑ: Διανυσματικοί Χώροι (1) ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Βλάμος Παναγιώτης ΙΟΝΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ. ΕΝΟΤΗΤΑ: Διανυσματικοί Χώροι (1) ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Βλάμος Παναγιώτης ΙΟΝΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΝΟΤΗΤΑ: Διανυσματικοί Χώροι (1) ΙΟΝΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Βλάμος Παναγιώτης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ (Α ΜΕΡΟΣ: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ) Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης, Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούνται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς, τους φυσικούς και τους ακέραιους αριθμούς. Δηλαδή είναι το μεγαλύτερο σύνολο αριθμών που μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

8. Πολλαπλές μερικές παράγωγοι

8. Πολλαπλές μερικές παράγωγοι 94 8 Πολλαπλές μερικές παράγωγοι Οι μερικές παράγωγοι,,, αν υπάρχουν, μιας συνάρτησης : U R R ( U ανοικτό είναι αυτές συναρτήσεις από το U στο R, επομένως μπορεί να ορισθεί για αυτές η έννοια της μερικής

Διαβάστε περισσότερα

Copyright: Ψωμόπουλος Ευάγγελος, Eκδόσεις Zήτη, Γ έκδοση: Μάρτιος 2012, Θεσσαλονίκη

Copyright: Ψωμόπουλος Ευάγγελος, Eκδόσεις Zήτη, Γ έκδοση: Μάρτιος 2012, Θεσσαλονίκη Kάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα ISBN 978-960-456-314-2 Copyright: Ψωμόπουλος Ευάγγελος, Eκδόσεις Zήτη, Γ έκδοση: Μάρτιος 2012, Θεσσαλονίκη Tο παρόν έργο πνευματικής ιδιοκτησίας προστατεύεται

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 4

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebrai/lai217/lai217html Παρασκευή 17 Νοεµβρίου 217 Ασκηση

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγματα Διανυσματικοί Χώροι Ι. Λυχναρόπουλος

Παραδείγματα Διανυσματικοί Χώροι Ι. Λυχναρόπουλος Παραδείγματα Διανυσματικοί Χώροι Ι. Λυχναρόπουλος Παράδειγμα Έστω το σύνολο V το σύνολο όλων των θετικών πραγματικών αριθμών εφοδιασμένο με την ακόλουθη πράξη της πρόσθεσης: y y με, y V και του πολλαπλασιασμού

Διαβάστε περισσότερα

= 7. Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις

= 7. Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις 1. Εισαγωγή Δίνεται η συνάρτηση μεταφοράς = = 1 + 6 + 11 + 6 = + 6 + 11 + 6 =. 2 Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις L = 0 # και L $ % &'

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμική Αλγεβρα ΙΙ Διάλεξη 1 Εισαγωγή Χρήστος Κουρουνιώτης Πανεπισ τήμιο Κρήτης 19/2/2014 Χ.Κουρουνιώτης (Παν.Κρήτης) Διάλεξη 1 19/2/ / 13

Γραμμική Αλγεβρα ΙΙ Διάλεξη 1 Εισαγωγή Χρήστος Κουρουνιώτης Πανεπισ τήμιο Κρήτης 19/2/2014 Χ.Κουρουνιώτης (Παν.Κρήτης) Διάλεξη 1 19/2/ / 13 Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Διάλεξη 1 Εισαγωγή Χρήστος Κουρουνιώτης Πανεπιστήμιο Κρήτης 19/2/2014 Χ.Κουρουνιώτης (Παν.Κρήτης) Διάλεξη 1 19/2/2014 1 / 13 Εισαγωγή Τι έχουμε μάθει; Στο πρώτο μάθημα Γραμμικής Άλγεβρας

Διαβάστε περισσότερα

AX=B (S) A A X=A B I X=A B X=A B I X=A B X=A B X=A B X X

AX=B (S) A A X=A B I X=A B X=A B I X=A B X=A B X=A B X X . Επίλυση γραμμικού συστήματος με χρήση αντιστρόφου Πρόταση Θεωρούμε ένα τετραγωνικό γραμμικό σύστημα (δηλαδή ο αριθμός των εξισώσεων είναι ίσος με τον αριθμό των αγνώστων) AX=B (S). Αν ο πίνακας Α είναι

Διαβάστε περισσότερα

Ισότητα, Αλγεβρικές και Αναλυτικές Ιδιότητες Πραγματικών Ακολουθιών

Ισότητα, Αλγεβρικές και Αναλυτικές Ιδιότητες Πραγματικών Ακολουθιών Ισότητα, Αλγεβρικές και Αναλυτικές Ιδιότητες Πραγματικών Ακολουθιών Συμβολισμοί Σε αναλογία με τους ορισμούς συμβολίζουμε μια ακολουθία: 1 είτε μέσω του διανυσματικού ορισμού, παραθέτοντας αναγκαστικά

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα

Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Ενότητα: Διανυσματικοί Χώροι και Υπόχωροι: Βάσεις και Διάσταση Ανδριανός Ε Τσεκρέκος Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής

Διαβάστε περισσότερα

Σημειώσεις Ανάλυσης Ι. Θεωρούμε γνωστούς τους φυσικούς αριθμούς

Σημειώσεις Ανάλυσης Ι. Θεωρούμε γνωστούς τους φυσικούς αριθμούς Σημειώσεις Ανάλυσης Ι 1. Οι ρητοί αριθμοί Θεωρούμε γνωστούς τους φυσικούς αριθμούς 1, 2, 3, και τις πράξεις (πρόσθεση - πολλαπλασιασμό)μεταξύ αυτών. Οι φυσικοί αριθμοί είναι επίσης διατεταγμένοι με κάποια

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Α λ γ ε β ρ ι κ έ ς π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) A. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Διδακτικοί στόχοι Θυμάμαι ποιοι αριθμοί λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

4.6 Η ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΔΙΟΦΑΝΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ

4.6 Η ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΔΙΟΦΑΝΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ 174 46 Η ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΔΙΟΦΑΝΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ Εισαγωγή Ένα από τα αρχαιότερα προβλήματα της Θεωρίας Αριθμών είναι η αναζήτηση των ακέραιων αριθμών που ικανοποιούν κάποιες δεδομένες σχέσεις Με σύγχρονη ορολογία

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμική Αλγεβρα ΙΙ Διάλεξη 7 Βάσεις Διάσταση Χρήστος Κουρουνιώτης Πανεπισ τήμιο Κρήτης 7/3/2014 Χ.Κουρουνιώτης (Παν.Κρήτης) Διάλεξη 7 7/3/ / 1

Γραμμική Αλγεβρα ΙΙ Διάλεξη 7 Βάσεις Διάσταση Χρήστος Κουρουνιώτης Πανεπισ τήμιο Κρήτης 7/3/2014 Χ.Κουρουνιώτης (Παν.Κρήτης) Διάλεξη 7 7/3/ / 1 Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Διάλεξη 7 Διάσταση Χρήστος Κουρουνιώτης Πανεπιστήμιο Κρήτης 7/3/2014 Χ.Κουρουνιώτης (Παν.Κρήτης) Διάλεξη 7 7/3/2014 1 / 1 Εάν ένα υποσύνολο S του διανυσματικού χώρου V παράγει το V,

Διαβάστε περισσότερα

M. J. Lighthill. g(y) = f(x) e 2πixy dx, (1) d N. g (p) (y) =

M. J. Lighthill. g(y) = f(x) e 2πixy dx, (1) d N. g (p) (y) = Εισαγωγή στην ανάλυση Fourier και τις γενικευμένες συναρτήσεις * M. J. Lighthill μετάφραση: Γ. Ευθυβουλίδης ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Η ΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΚΑΙ ΤΩΝ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ ΤΟΥΣ FOURIER 2.1. Καλές

Διαβάστε περισσότερα

Πολυωνυμική εξίσωση βαθμού ν ονομάζεται κάθε εξίσωση της μορφής α ν x ν +α ν-1 x ν α 1 x+α 0 =0,με α 0,α 1,...

Πολυωνυμική εξίσωση βαθμού ν ονομάζεται κάθε εξίσωση της μορφής α ν x ν +α ν-1 x ν α 1 x+α 0 =0,με α 0,α 1,... 3 0 ΛΥΚΕΙΟ ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ Λ. ΒΟΥΛΓΑΡΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΥ ΑΝΑΓΟΝΤΑΙ ΣΕ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ Πολυωνυμική εξίσωση βαθμού ν ονομάζεται κάθε εξίσωση της μορφής α ν x ν +α ν-1 x ν-1 +...+α

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστική άλγεβρα Ενότητα 3: Πολυώνυμα τρίτου βαθμού

Υπολογιστική άλγεβρα Ενότητα 3: Πολυώνυμα τρίτου βαθμού Υπολογιστική άλγεβρα Ενότητα 3: Πολυώνυμα τρίτου βαθμού Ράπτης Ευάγγελος Σχολή Θετικών επιστημών Τμήμα Μαθηματικών Μέρος II Πολυώνυμα μίας μεταβλητής 17 Κεφάλαιο 3 Πολυώνυμα τρίτου βαθμού 3.1 Μάθημα

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμική Άλγεβρα Ι,

Γραμμική Άλγεβρα Ι, Γραμμική Άλγεβρα Ι, 207-8 Ασκήσεις2 και Ασκήσεις3: Γραμμοϊσοδύναμοι Πίνακες και Επίλυση Γραμμικών Συστημάτων Βασικά σημεία Γραμμοϊσοδυναμία πινάκων o Στοιχειώδεις πράξεις γραμμών o Ανηγμένη κλιμακωτή μορφή

Διαβάστε περισσότερα