Algorithim, ο Search Algorithim of Grover και τον Shor Factoring Algorithm.

Transcript

1 Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Βασικές Αρχές Κβαντικού Υπολογισμού Παναγιώτης Παπουλίδης Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Πληροφορικής Σεπτέμβριος 4 Αυτή η πτυχιακή κατατέθηκε για την απόκτηση Πτυχίου Πληροφορικής

2

3 Περίληψη Το ισχύον υπολογιστικό μοντέλο βασίζεται στους νόμους της κλασικής φυσικής. Ομως ο κόσμος δεν είναι κλασικός αλλά ακολουθεί τους νόμους της κβαντικής μηχανικής. Ενας κβαντικός υπολογιστής είναι ένα μοντέλο υπολογισμού που βασίζεται στην κβαντική μηχανική. Εχει αποδειχθεί ότι ένα τέτοιο μοντέλο υπολογισμού είναι πολύ πιο ισχυρό από το κλασικό ανάλογο του. Αυτό συνεπαγεταί ότι μπορεί να εκτελεί τους ίδιους υπολογισμούς με έναν συμβαντικό υπολογιστή (περίπου στο ίδιο χρονικό διάστημα) αλλά υπάρχουν κάποια προβλήματα τα οποία εκτελεί πολύ γρηγορότερα ο κβαντικός υπολογιστής. Στην διπλωματική αυτή εξηγείται τι είναι κβαντικός υπολογισμός, πάνω σε ποιά φαινόμενα βασίζεται και πώς δουλεύει. Επιπλέον πραγματοποιούμε εξομοίωση του κβαντικού υπολογισμού σε γλώσσα προγραμματισμού Java υλοποιώντας τους κβαντικούς καταχωρητές, τα κβαντικές πύλες, τους κβαντικούς υπολογισμούς με παραδείγματα και τέλος υλοποιούνται οι βασικοί κβαντικοί αλγόριθμοι, που ενδεικτικά είναι: Deutsch και την γενίκευση του ο οποιός είναι ο Deutsch-Jozsa Algorithim, Simon Periodicity Algorithim, ο Search Algorithim of Grover και τον Shor Factoring Algorithm. 3

4 4

5 Ευχαριστίες Αυτή η διπλωματική αφιερώνεται στον καθηγητή μου Κωσταντίνο Τσίχλα που έδειξε αμέριστη κατανόηση και υπομονή στην πορεία συγγραφής της διπλωματικής και στην οικογένεια μου, που είχα υποστήριξη τους σε κάθε μου βήμα. 5

6 6

7 Περιεχόμενα Περίληψη 3 Ευχαριστίες 5 Εισαγωγή. Εισαγωγή Θεμελιώδη στοίχεια κβαντομηχανικής 7. Εισαγωγή Η ακτινοβολία του μέλανος σώματος Το φωτοηλεκτρικό φαινόμενο Φαινόμενο Compton Οι ακτίνες Χ Η σκέδαση Compton Κυματική φύση της ύλης Η διπλή υπόσταση της ύλης Η αρχή της απροσδιοριστίας Στοιχεία γραμμικής άλγεβρας 3 3. Τανυστικό γινόμενο Ερμιτιανοί τελεστές Ερμιτιανοί πίνακες Ορθομοναδιαίοι πίνακες (Unitary) Τελεστές περιστροφής Αναλύση Κβαντικού Υπολογισμού 7 4. Διανυσματικοί χώροι, περιγραφή Dirac και διανύσματα Bra-Ket Διανυσματικοί χώροι Περιγραφή Dirac Διανύσματα Bra-Ket Εσωτερικό γινόμενο και εξωτερικό γινόμενο Εσωτερικό γινόμενο Εξωτερικό γινόμενο Βασική ορολογία

8 8 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 4.3 Η κατάσταση υπέρθεση Η αναπαράσταση του qubit σε σφαίρα-bloch Sphere Ο κβαντικός καταχωρητής Κβαντικός καταχωρητής με δύο qubits Κβαντικός καταχωρητής με τρία qubits Κβαντικός καταχωρητής με n qubits Οι κβαντικές πύλες Κβαντικές πύλες που δρούν σε ένα qubit Κβαντική πύλη αδράνειας Κβαντική πύλη μετατόπισης φάσης Η κβαντική πύλη Hadamard Η κβαντική πύλη NOT Κβαντικές πύλες που δρούν σε δύο qubits Κβαντική πύλη ελεγχόμενου ΟΧΙ Κβαντική πύλη ελεγχόμενης μετατόπισης φάσης.. 58 Καθολικό θεώρημα - Universality Theorem Καταστάσεις Bell Κβαντικές πύλες που δρούν σε τρία qubits Κβαντική πύλη Toffoli ή διπλά ελεγχόμενου ΟΧΙ Κβαντική πύλη Fredkin Πίνακες Pauli Αντιγραφή qubit Το μοντέλο των κβαντικών υπολογισμών Εισαγωγή ος αναλυτικός κβαντικός υπολογισμός ος αναλυτικός κβαντικός υπολογισμός Η κατάσταση της κβαντικής διεμπλοκής (entanglement) Εισαγωγή Η κατάσταση της κβαντικής αποσυνοχής (decoherence) Κβαντικοί αλγόριθμοι Εισαγωγή Κβαντικός αλγόριθμος του Deutsch-Jozsa Κβαντικος αλγόριθμος περιοδικότητας του Simon Κβαντικος αλγόριθμος αναζήτησης του Grover Κβαντικος αλγόριθμος του Shor

9 Λίστα Σχημάτων. Max Planck( ) Γερμανός φυσικός, θεμελιωτής της κβαντικής θεωρίας. Νόμπελ Φυσικής Albert Einstein, Ο Άλμπερτ Αϊνστάιν ήταν φυσικός γερμανοεβραϊκής καταγωγής, ο οποίος έχει βραβευθεί με το Νόμπελ Φυσικής για τη συμβολή του στη θεωρητική φυσική, και για την εξήγηση του φωτοηλεκτρικού φαινομένου. Είναι ο θεμελιωτής της Θεωρίας της Σχετικότητας Wilchelm Rontgen ήταν Γερμανός φυσικός. Σπούδασε στο ΕΤΗ Ζυρίχης. Τιμήθηκε με το μετάλλιο Ρούμφορ της Βασιλικής Εταιρείας και το 9 με το βραβείο Νόμπελ Φυσικής. Επίσης ανακάλυψε τις ακτίνες Χ Arthur Holly Compton ήταν Αμερικανός φυσικός στον οποίο το 97 απονεμήθηκε το βραβείο Νόμπελ Φυσικής για την ανακάλυψη του φαινομένου που φέρει το όνομα του Louis De BroglieΗ σημαντικότερη συνεισφορά του στη φυσική (η οποία του χάρισε και το βραβείο Νόμπελ το 99) ήταν η πρόταση του ότι ο δυισμός κύματος σωματιδίου δεν βρίσκει εφαρμογή μόνο στο φως αλλά και στην ύλη Werner Heisenberg (9-976) Γερμανία. Σε ηλικία είκοσι ετών ολοκλήρωσε την βασική του εργασία για την κβαντική θεωρία. Βραβείο Νόμπελ για την αρχή της αβεβαιότητας το Κβαντική υπέρθεση Κβαντική υπέρθεση Αναράσταση του υπέρθεσης σε σχέση με το κλασικό bit Σφαίρα Bloch Η αναλογία μεταξύ κλασικού καταχωρητή και κβαντικού αριθμοί και ο μέσος όρος τους Μετά την αντιστροφή γύρω από τον μέσο όρο Ο αλγόριθμος του Grover Οι πρώτες εξόδους της συνάρτησης f 3, Οι έξοδοι της συνάρτησης f 4,

10 ΛΙΣΤΑ ΣΧΗΜΑΤΩΝ

11 Λίστα Πινάκων 3. Αναλυτικότερη Περιγραφή των συμβολισμών Διαφορές μεταξύ ενός κλασικού και ενός κβαντικού bit (qubits) Η κβαντική πύλη αδράνειας Η κβαντική πύλη μετατόπισης φάσης Η κβαντική πύλη Hadamard Η κβαντική πύλη ΝΟΤ Η κβαντική πύλη ελεγχόμενου NOT Η κβαντική πύλη ελεγχόμενης μετατόπισης φάσης Η κβαντική πύλη διπλά ελεγχόμενου NOT Η κβαντική πύλη Fredkin Περιπτώσεις του κβαντικού αλγορίθμου Deutsch Ο αλγορίθμος παραγοντοποίησης του 5 και του Ο αλγορίθμος παραγοντοποίησης του 5 και του Ο αλγορίθμος παραγοντοποίησης του 5 και του Ο αλγορίθμος παραγοντοποίησης του 5 και του

12 ΛΙΣΤΑ ΠΙΝΑΚΩΝ

13 Κεφάλαιο Εισαγωγή Η κβαντική μηχανική είναι ένα αναπόσπαστο κομμάτι της επιστήμης, από τη θεμελίωση της τη δεκαετία του 9 μέχρι σήμερα και έχει τεράστιο τεχνολογικό και κοινωνικό αντίκτυπο. Για να αποδεχτούμε κάτι τέτοιο αρκεί να θεωρήσουμε την ανακάλυψη του τρανζίστορ, ίσως την πιο αξιοσημείωτη ανάμεσα στις αμέτρητες εφαρμογές της κβαντικής φυσικής. Από την άλλη πλευρά, είναι πολύ εύκολο να διαπιστώσουμε την τεράστια επιρροή των υπολογιστών στην καθημερινή μας ζωή. Η συμβολή αυτή των υπολογιστών είναι τόσο σηματική που είναι σωστό να θεωρούμε ότι ζούμε στην εποχή της πληροφοριάς. Ετσι είναι φυσικό να συνεργαστούν οι δύο επιστήμες. Σήμερα, αυτή συνεργασία προσφέρει καινούργιες ευκαιρίες τόσο στη θεμελιώδη φυσική όσο και στην τεχνολογική εφαρμογή. Συγκεκριμένα, αναφερόμαστε στο γεγονός ότι η κβαντική μηχανική μπορεί να χρησιμοποιηθεί στην εξέλιξη και στην μεταβίβαση της πληροφορίας. Το 959 ο αμερικάνος φυσικός Richard Feynman, στην ομιλία που έδωσε στο Ινστιτούτο Τεχνολογίας της Καλιφόρνιας, περιέγραψε πώς ο ανθρώπος θα μπορούσε να χειριστεί την ύλη στο μικροσκοπικό επίπεδο, εγκαταλείποντας το μακροσκοπικό. Ο Feynman ανέφερε ένα εντυπωσιακό παράδειγμα για το πώς θα μπορούσαν να χωρέσουν στην κορυφή μιας καρφίτσας 4 εκατομμύρια τόμοι των 3 μεγαλύτερων βιβλιοθηκών του κόσμου, αν ο άνθρωπος μπορούσε να χρησιμοποιήσει σαν μονάδα αποθήκευσης της πληροφορίας έναν κύβο ύλης με πλευρά 5 ατόμων (δηλαδή συνολικά 5 άτομα). Αυτό το άλμα προς τις μικρότερες διαστάσεις -που το 959 θεωρούνταν επιστημονική φαντασία- δεν το απαγόρευε κανένας φυσικός νόμος. Επίσης, ο Feynman στην ομιλία του επεκτάθηκε και σε θέματα όπως ο χειρισμός και η μηχανική σε μοριακό επίπεδο, ως άμεση συνέπεια της δυνατότητας να χειριζόμαστε την ύλη σε ατομικό επίπεδο. Επεσήμανε, βέβαια, πως ο χειρισμός στο ατομικό επίπεδο προϋποθέτει τη χρήση της κβαντικής φυσικής από την στιγμή που αυτή είναι η κυρίαρχη θεωρία στα φαινόμενα του μικρόκοσμου. Σήμερα, η ομιλία αύτη θεωρείται ως η πρώτη παρουσίαση της νανοτεχνολογίας και των κβαντικών υπολογιστών. Στις αρχές της δεκαετιάς του 8 ο Richard Feynman δημοσίευσε μια εργασία

14 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ. ΕΙΣΑΓΩΓΗ στην όποια αποδείκνυε ότι υπάρχουν φαινόμενα στον χώρο της κβαντικής μηχανικής τα οποία δεν μπορούν να εξομοιωθούν πλήρως σε ένα κλασικό υπολογιστικό σύστημα. Το αποτέλεσμα αυτό προέκυψε εν τέλει φυσιολογικά, αν αναλογιστούμε το γεγονός ότι τα αντικείμενα που υπεισέρχονται στην μελέτη της κβαντικής μηχανικής λειτουργούν πολλές φορές πέρα από την προσδοκώμενη συμπεριφορά τους (με βάση την διαίσθηση μας, η οποία με την σειρά της ακολουθεί την λογική της κλασικής μηχανικής). Είναι πια κοινή αντίληψη ότι η κβαντική θεωρία είναι καθολική, δηλαδή οι νόμοι της ερμηνεύουν την λειτουργία του σύμπαντος, με την κλασική μηχανική να περιορίζεται στην ερμηνεία των αντικειμένων που βλέπουμε γύρω μας. Ακόμα ο Feynman επεσήμανε ότι οι ψηφιακοί υπολογιστές δεν μπορούν να προσομοιώσουν κβαντικά συστήματα χωρίς να μεσολαβήσει εκθετική επιβράδυνση. Ο Feynman δεν ενδιαφερόταν ιδιαίτερα στο να προσεγγίσει τη κβαντική φυσική αλλά περισσότερο να την προσομοιώσει και ένα από τα κύρια ερωτήματα του ήταν το αν οι ψηφιακοί υπολογιστές θα μπορούσαν να κάνουν όμοια πράγματα, όπως και ένα κβαντικό σύστημα. Το ενδιαφέρον του Feynman για τη φυσική των υπολογιστών άνοιξε τον ορίζοντα για την έρευνα στην κβαντική υπολογιστική. Άλλες έρευνες που συνέβαλαν στην αρχική ανάπτυξη της κβαντικής υπολογιστικής επιστήμης ήταν αυτή του Bennett, του Fredkin και του Toffoli στους αντιστρεπτούς υπολογισμούς, καθώς και προηγούμενες έρευνες από τον Landauer. Στους κβαντικούς υπολογισμούς ενδιαφερόμαστε για την υπολογιστική δύναμη των φυσικών συστημάτων που από την φύση τους πρέπει να αναλυθούν ή να γίνουν κατανοητά βάσει της κβαντικής μηχανικής. Οι κβαντικοί υπολογισμοί βασίζονται στον ακριβή χειρισμό των ανεξάρτητων κβαντικών φυσικών αντικειμένων, σε διάκριση από τους κλασικούς υπολογιστές όπου οι μέσες κλασικές στατιστικές ιδιότητες επαρκούν. Αυτή είναι η πηγή της δύναμης των κβαντικών υπολογισμών καθώς και των δυσκολιών στην κατασκευή κβαντικών συσκευών. Δεν μπορεί να γίνει κάποια αλλαγή στο κλασικό σύστημα κατά τη διάρκεια του υπολογισμού, καθώς αυτό θα κατέστρεφε τα χαρακτηριστικά που προσδίδουν στον κβαντικό υπολογιστή τη δύναμή του. Οι κβαντικοί υπολογιστές φαίνεται ότι δεν επιτρέπουν τον υπολογισμό συναρτήσεων που δεν είναι θεωρητικά υπολογίσιμες από κλασικούς υπολογιστές, δηλαδή δεν μεταβάλλουν την Church-Turing thesis η οποία αναφέρει ότι : Οποιοδήποτε λογικό υπολογιστικό μοντέλο μπορεί να προσομοιωθεί αποτελεσματικά από μια πιθανοκρατική μηχανή Turing. Το κέρδος είναι μόνο στην αποδοτικότητα. Κάποιοι ερευνητές στον τομέα αυτό παρατηρούν ότι, καθώς η κλασική φυσική είναι θεμελιωδώς λανθασμένη, κάθε σωστή θεωρία πάνω στους υπολογισμούς θα πρέπει να βασίζεται στην κβαντική μηχανική. Αυτή η άποψη δηλώνεται πολύ καθαρά στην εργασία του Deutsch, όπου υποστηρίζει ότι υπάρχει μια φυσική αξίωση που χαρακτηρίζει την υπόθεση Church-Turing. Ο Deutsch αμφισβητεί ότι η υπόθεση Church-Turing είναι σε ασυμφωνία με την κλασική φυσική και υποστηρίζει ότι μπορεί να αναδιατυπωθεί ώστε να είναι ισοδύναμη με την κβαντική φυσική. Σύμφωνα με αυτή την άποψη, οι κβαντικοί υπολογιστές δεν είναι πιο ισχυροί από τις μηχανές Turing, αλλά μπορεί να είναι ταχύτεροι. Η βασική διαφωνία είναι ότι η συνεχής φύση της κλασικής φυσικής την καθιστά αδύνατη να προσομοιώσει ένα κλασικό φυσικό σύστημα από έναν διακριτό υπολογιστή. Αλλά η κβαντική φυσική είναι άπο την βάση της διακριτή, και για αυτό

15 η υπόθεση Church-Turing συνδέει αποτελεσματικές μεθόδους όχι με τις κλασικές υπολογιστικές μηχανές αλλά με τις κβαντικές υπολογιστικές μηχανές. Τί είναι, όμως, η κβαντική μηχανική; Η Κβαντομηχανική είναι μια θεωρία της φυσικής μηχανικής. Θεωρείται πιο θεμελιώδης από την κλασική μηχανική, καθώς εξηγεί φαινόμενα που η κλασσική μηχανική και η κλασσική ηλεκτροδυναμική α- δυνατούν να αναλύσουν. Κεντρική σημασία στη θεωρία της κβαντικής μηχανικής κατέχει η έννοια της κβάντωσης: ένα φυσικό μέγεθος είναι δυνατόν να είναι κβαντισμένο, πράγμα που σημαίνει ότι το μέγεθος αυτό δεν μπορεί να πάρει οποιαδήποτε τιμή, αλλά μόνο συγκεκριμένες τιμές. Για παράδειγμα, η κίνηση ενός ηλεκτρονίου σε κάποιο άτομο πραγματοποιείται μόνο σε συγκεκριμένες ενεργειακές τροχιές. Η κβαντομηχανική σε έναν αιώνα πειραματισμού δεν έχει διαψευστεί. Κρύβεται πίσω από πολλά φυσικά φαινόμενα και ιδιαιτέρως τα χημικά φαινόμενα καθώς και τη φυσική της στερεάς κατάστασης. Μέσα στο πλαίσιο της θεωρίας αυτής, αναπτύχθηκαν κλάδοι όπως ο κβαντικός υπολογισμός, ο οποιός αποτελεί τη μελέτη δεδομένων που έχουν επεξεργαστεί βάσει συστημάτων κβαντικής μηχανικής. Γιατί όμως οι κβαντικοί νόμοι έχουν γίνει τόσο σημαντικοί για την επιστήμη των υπολογιστών Η απάντηση βρίσκεται στο γεγονός ότι η βιομηχανία ηλεκτρονικών για υπολογιστές κατευθύνεται σταδιακά στη μειώση του μεγέθους των ολοκληρωμένων κυκλώματων. Αυτή η σμίκρυνση είναι απαραίτητη για την αύξηση της δύναμης των υπολογιστών, δηλαδή του αριθμού των εφαρμογών με κινητή υποδιαστολή που μπορεί να εκτέλεσει ο υπολογιστής. Μέχρι πρότινος, οι ηλεκτρονικοί υπολογιστές είχαν δυνατότητα να εκτελούν εφαρμογές με κινητή υποδιαστολή, ε- νώ στις μέρες μας υπάρχουν υπέρ-υπολογιστές των οποίων οι δυνατότητες έχουν αυξηθεί τεράστια. Η τεράστια αυτή ανάπτυξη της δύναμης των υπολογιστών έγινε εφικτή χάρη στην πρόοδο της σμίκρυνσης των ολοκληρωμένων κυκλωμάτων, η ο- ποία μπορεί να υπολογιστεί εμπειρικά από το νόμο του Moore. Αυτός ο νόμος είναι αποτέλεσμα μιας αξιοσημείωτης παρατήρησης που έγινε από τον Gordon Moore [47] το 965 και αναφέρει: Ο αριθμός των τρανζίστορ που μπορούν να τοποθετηθούν σε ένα απλό τσιπ ολοκληρωμένου κυκλώματος διπλασιάζεται κάθε 8-4 μήνες. Αυτή η ανάπτυξη δεν έχει κορεστεί ακόμα με αποτέλεσμα ο νόμος του Moore να ισχύει ακόμα. Δηλαδή αυτή την παρούσα στιγμή, το όριο είναι περίπου 8 τρανζίστορ ανά τσιπ και το τυπικό μέγεθος ενός κυκλώματος είναι της τάξης των νανομέτρων. Βάσει του νόμου του Moore, μπορούμε να εκτιμήσουμε ότι γύρω στο θα καταφέρουμε να αποθηκεύσουμε σε ατομικό μέγεθος, ένα bit πληροφορίας. Τότε, η κβαντική επιρροή θα κυριαρχήσει αναπόφευκτα. Κάτω από αυτές τις συνθήκες, η κατασκευή ενός κβαντικού υπολογιστή αντιπροσωπεύει μια ριζοσπαστικά διαφορετική πρόκληση, καθώς ο στόχος είναι να κατασκευαστεί μια μηχανή που να βασίζεται στην κβαντική λογική, δηλαδή να εξελίσσει την πληροφορία και να εκτελεί λογικές λειτουργίες εκμεταλλευόμενη τους νόμους της κβαντικής μηχανικής. Επειδή στην σύγχονη εποχή παρατηρείται μια ραγδαία αύξηση των τηλεπικοινωνιακών συστημάτων λόγω της ανάγκης για ταχύτατη επεξεργασία και διακίνηση των πληροφοριών, που είναι ένας ακόμα ενδιαφέρων λόγος η δημιουργία ενός κβαντικού υπολογιστή. Η κατασκευή κβαντικών υπολογιστων αποδείχτηκε τελικά δύσκολη υπόθεση 3

16 4 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ. ΕΙΣΑΓΩΓΗ στα χρόνια που μεσολάβησαν μεταξύ του Feynman και στην τωρινή κατάσταση. Η εξέλιξη της κβαντικής πληροφορικής υπήρξε εξαιρετικά αργή μέχρι το 994, οπότε και ο Peter Shor δημιοσίευσε μια εργασία η οποία έμελλε να δώσει σημαντική ώθηση στο νέο αυτό κλάδο της πληροφορικής. Στην εργασία αυτή ο Shor περίγραψε έναν κβαντικό αλγόριθμο πολυωνιμικής πολυπλοκότητας για την παραγοντοποίηση ακεραίων αριθμών, δίνοτας λύση σε ένα πρόβλημα το οποίο θεωρούνταν από τους περισσοτέρους αδύνατο να λύθει αποτελεσματικά με χρήση κλασικών μεθόδων. Η εργασία αυτή προκάλεσε το ενδιαφέρον της επιστημονικής κοινότητας και έδωσε έναν αυτόνομο χαρακτήρα στην κβαντική πληροφορική. Λίγα χρόνια νωρίτερα, είχε ήδη αποδειχθεί ότι οποιοσδήποτε κλασσικός αλγόριθμος θα μπορούσε να λειτουργήσει σε έναν κβαντικό υπολογιστή. Ο Shor απέδειξε ότι, αν είχαμε την δυνατότητα να κατασκευάσουμε έναν κβαντικό υπολογιστικό σύστημα, αυτό θα μπορούσε να ήταν ισχυρότερο από οποιοδήποτε κλασικό υπολογιστή, με δεδομένο ότι δεν γνωρίζουμε αν υπάρχει κλασικός πολυωνυμικός αλγόριθμος για την παραγοντοποίηση. Το γεγονός αυτό έχει από μόνο του τεράστιο ενδιαφέρον, προκαλώντας έτσι έντονη δραστηριότητα προς την κατεύθυνση της δημιουργίας ενός κβαντικού υπολογιστή, με τα πρώτα αποτελέσματα να έχουν κάνει ήδη την εμφάνιση τους, με τον πρώτο -bit κβαντικό υπολογιστή, που λειτουργεί κάνοντας χρήση του κβαντικού περιβάλλοντος. Τώρα ας υπησέλθουμε στο ποιό είναι το θεμελιώδες στοιχείο που διαφοροποιεί τους κβαντικούς υπολογιστες από τους κλασικούς. Στην κλασική υπολογιστική το θεμελιώδες στοιχείο είναι το bit ενώ την κβαντική υπολογιστική έιναι το κβαντικό bit ή αλλιώς qubit. Ενώ ένα κλασικό bit μπορεί να βρεθεί σε συνολικά δύο καταστάσεις ( ή ), το qubit, εκτός από τις δύο αυτές καταστάσεις, μπορεί να βρεθεί και σε κάποιο συνδιασμό αυτών. Ενας κβαντικός υπολογιστής είναι σαν ένα σύστημα από πολλά qubit και ένας κβαντικός υπολογισμός είναι ένας μοναδιαίος μετασχηματισμός ο οποίος δρα πάνω στο σύστημα των πολλών qubit που αποτελούν τον κβαντικό υπολογιστή. Η δύναμη των κβαντικών υπολογισμών οφείλεται σε τυπικά κβαντικά φαίνομενα, όπως η υπέρθεση (superposition) και η διεμπλοκή (entanglement) κβαντικών καταστάσεων. Σε απλούς όρους, ένας κβαντικός υπολογιστής μπορεί να επεξεργαστεί έναν μεγάλο αριθμό κλασικών δεδομένων σε μια απλή διαδρομή. Από την άλλη, αυτό συνεπάγεται ότι θα εμφανιστεί ένας μεγάλος αριθμός αποτελεσμάτων στην έξοδο. Σε αυτήν την περίπτωση, είναι καθήκον των κβαντικών αλγορίθμων, που βασίζονται στην κβαντική λογική, να εκμεταλλευτούν τον κβαντικό παραλληλισμό της κβαντικής μηχανικής για να έρθουν στο επιθυμητό αποτέλεσμα. Με λίγα λόγια, οι κβαντικοί υπολογιστές απαιτούν την ανάπτυξη κατάλληλου κβαντικού λογισμικού, δηλαδή την ανάπτυξη αποτελεσματικών κβαντικών αλγορίθμων. Η ισχύς ενός κβαντικού υπολογιστικού συστήματος έγκειται κυρίως στο γεγονός ότι μπορεί να πραγματοποιήσει παράλληλους υπολογισμούς, χωρίς αυτό να προκαλεί εκθετική αύξηση του απαιτούμενου χώρου (όπως συμβαίνει στην κλασική περίπτωση). Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι ο χώρος καταστάσεων ενός κβαντικού συστήματος είναι ριζικά διαφορετικός από την κλασική περίπτωση. Ενας κβαντικός υπολογιστής αποτελείται από n qubits, τα οποία περιγράφονται σαν ένα ορθομοναδιαίο διάνυσμα σε έναν διανυσματικό χώρο διάστασης n. Το φαινόμενο της υπέρθεσης καταστάσεων σε έναν τέτοιο χώρο προκαλεί την εκθετική αύξηση

17 5 στο πλήθος των υπολογισμών που μπορούν να πραγματοποιηθούν σε δεδομένο χρόνο. Παρόλο όμως που ένα κβαντικό σύστημα μπορεί να πραγματοποιήσει πολλούς υπολογισμούς ταυτόχρονα, η πρόσβαση στα αποτελέσματα αυτών των υπολογισμών δέχεται αυστηρούς περιορισμούς, οι οποίοι πηγάζουν από τα θεμελιώδη αξιώματα της κβαντικής μηχανικής. Για να τα διαχειριστεί κάποιος, θα πρέπει να επέμβει στην κατάσταση του κβαντικού συστήματος μέσω της παρατήρησης, γεγονός το οποίο με την σειρά του προκαλεί την προβολή αυτής της κατάστασης σε κάποιο από τα διανύσματα βάσης του χώρου καταστάσεων μέσω της κατανομής πιθανότητας μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής. Οι τιμές αυτής της μεταβλητής αντιστοιχούν στα αποτελέσματα των υπολογισμών που πραγματοποιούνται από έναν κβαντικό υπολογιστή. Οχι μόνο λοιπόν δεν μπορούμε να δούμε παρά ένα αποτέλεσμα κάθε φορά, αλλά και αυτό το αποτέλεσμα δεν μπορούμε καν να το προβλέψουμε πλήρως. Η διεμπλοκή είναι η πιο εντυπωσιακή υλοποιήση της κβαντικής μηχανικής, που παρατηρείται σε σύνθετα κβαντικά συστήματα επισημαίνει την ύπαρξη μη τοπικών συσχετισμών ανάμεσα σε μετρήσεις που εκτελούνται σε καλά διαχωρισμένα σωματίδια. Αφού δύο κλασικά συστήματα έχουν αλληλεπιδράσει, βρίσκονται σε καλά καθορισμένες ανεξάρτητες καταστάσεις. Αντιθέτως, αφού δύο κβαντικά σωματίδια έχουν αλληλεπριδράσει, δεν μπορούν πλέον να περιγραφούν ανεξάρτητα το ένα από το άλλο. Θα υπάρξουν απολύτως κβαντικές συσχετίσεις ανάμεσα σε δύο τέτοια σωματίδια, ανεξάρτητα από τον χωρικό τους διαχωρισμό. Αυτό είναι το περιεχόμενο του παραδόξου EPR, ενός πειράματος που προτάθηκε από τους Einstein, Podolsky και Rosen το 935. Εδειξαν ότι η κβαντική θεωρία οδηγεί σε αντίφαση, υπό τον όρο ότι αποδεχόμαστε τις δύο, φαινομενικά φυσικές, αρχές του ρεαλισμού και της τοπικότητας. Η αρχή του ρεαλισμού αναφέρει ότι εάν μπορούμε να προβλέψουμε με βεβαιότητα την τιμή μιας φυσικής ποσότητας, τότε αυτή η τιμή έχει φυσική πραγματικότητα, ανεξάρτητα από την παρατήρησή μας. Η αρχή της τοπικότητας αναφέρει ότι εάν δύο συστήματα είναι αποσυνδεδεμένα, τότε η αρχή τα αποτελέσματα οποιασδήποτε μέτρησης που γίνεται στο ένα σύστημα, δεν γίνεται να επηρεάσουν το αποτέλεσμα μιας μέτρησης που γίνεται στο δεύτερο σύστημα. Το 964, ο Bell απέδειξε ότι αυτή η άποψη (γνωστή και ως τοπικός ρεαλισμός), οδηγεί σε προβλέψεις που έρχονται σε αντίθεση με την κβαντική θεωρία. Πειράματα που έγιναν το 98 με ζευγάρια πλεγμένων φωτονίων επέδειξαν μια ξεκάθαρη παραβίαση της ανισότητας του Bell και μια εντυπωσιακή συμφωνία με την κβαντική μηχανική. Ολα αυτά τα πειράματα δείχνουν ότι η διεμπλοκή είναι μια βασική νέα πηγή, πέρα από την κυριαρχία της κλασικής φυσικής, και ότι είναι πιθανό να χειριστούμε πειραματικά πεπλεγμένες καταστάσεις. Η κβαντική διεμπλοκή έχει σημαντικό ρόλο σε πολλά κβαντικά-επικοινωνιακά πρωτόκολλα. Ιδιαίτερης σημασίας είναι η πυκνή κβαντική κωδικοποίηση, που επιτρέπει την μετάδοση δύο bits κλασικής πληροφορίας μέσω της παραποίησης ενός από τα δύο πλεγμένα qubits και η κβαντική τηλεμεταφορά, που επιτρέπει τη μεταφορά μιας κατάστασης ενός κβαντικού συστήματος σε ένα άλλο σε μια αυθαίρετη απόσταση. Σε πρόσφατα πειράματα, βασισμένα σε ζευγάρια φωτονίων, η διεμπλοκή κατανεμήθηκε με την χρήση οπτικών ινών, σε αποστάσεις μεγαλύτερες από χιλιόμετρα. Η διανομή της διεμπλοκής σε μεγάλη απόσταση έχει επίσης πρόσφατα αποδειχθεί, με τους δύο αποδέκτες των πλεγμένων φωτονίων να χωρίζονται από 6 μέτρα. Είναι ση-

18 6 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ. ΕΙΣΑΓΩΓΗ μαντικό να επισημάνουμε ότι την αναταραχή που εμφανίζεται κατα μήκος τέτοιων οπτικών διαδρόμων είναι συγκρίσιμη με την αναταραχή που εμφανίζεται στη μετάδοση μεταξύ γης - δορυφόρου. Συπεπώς, κάποιος θα περίμενε ότι στο κοντινό μέλλον θα γίνει πιθανή η διαδρομή σύζευξης μεταξύ δεκτών που βρίσκονται πολύ μακριά ο ένας από τον άλλο (για παράδειγμα σε διαφορετικές ηπείρους) χρησιμοποιώντας συνδέσεις βασιζόμενες σε δορυφόρους.. Δομή και Περιεχόμενο Εργασίας Το ακόλουθο ερώτημα προκύπτει : Είναι πιθανόν να κατασκευστεί ένας χρήσιμος κβαντικός υπολογιστής που θα υπερτερεί σε σχέση με τους ήδη υπάρχοντες κλασικούς υπολογιστές σε υπολογιστικά θέματα Στην παρούσα διπλωματική εξετάζουμε την προσπάθεια να εξομοιώσουμε κβαντικά φαινόμενα όπως είναι, αναφέρουμε ενδεικτικά τα κβαντικάbit, κβαντικές πύλες, κβαντικούς υπολογισμούς με παραδείγματα και 4 βασικούς κβαντικούς αλγόριθμους σε ένα κλασικό υπολογιστικό σύστημα. Οι κβαντικοί αλγόριθμοι που υλοποιούνται είναι οι ακόλουθοι : ο αλγόριθμος του Deutsch-Jozsa ο περιοδικός αλγόριθμος του Simon ο αλγόριθμος αναζήτησης του Grover ο αλγόριθμος του Shor

19 Κεφάλαιο Θεμελιώδη στοίχεια κβαντομηχανικής. Εισαγωγή Η Κλασική Φυσική ήταν στο απόγειο της στο τέλος του 9ου αιώνα. Ενα πνευματικό οικοδόμημα λιτό, κομψό και με μεγάλη εμβέλεια και βάθος ερμηνευτικής ισχύος. Ετσι η έπαρση των λόγων του Κέλβιν δεν ήταν χωρίς κάποια αντικειμενική βάση. Η Μηχανική είχε ωριμάσει χάρη στον Νεύτωνα και ο Λαγκράνζ την είχε συστηματοποιήσει τόσο, ώστε φαινόταν να προσφέρεται ως καθολικό μοντέλο. Υπήρχε η ελπίδα ότι κάθε κλάδος της Φυσικής θα μπορούσε να αναχθεί σε Μηχανική, μια μόνη εξίσωση, η εξίσωση που εκφράζει τον δεύτερο νόμο του Νεύτωνα, καθορίζει την κίνηση των υλικών σημείων και σωμάτων. Χρειάζεται μόνο να ξέρει κανείς τη δύναμη και τη μάζα. Ωστόσο, η προσδοκία αυτή ήταν πρόσκαιρη, κυρίως επειδή ο Ηλεκτρομαγνητισμός του Maxwell δεν έδειχνε να μπορεί να «προσαρμοστεί» στη Μηχανική, όπως ο ίδιος ο Maxwell είχε ελπίσει αρχικά. Πάντως, το οικοδόμημα του Σύμπαντος έδειχνε να στηρίζεται σε δυο ακρογωνιαίους λίθους: τη Μηχανική και τον Ηλεκτρομαγνητισμό. Στην πραγματικότητα, εκτός από τους δίδυμους στύλους της Μηχανικής και του Ηλεκτρομαγνητισμού υπήρξε και μια τρίτη σθεναρή στήριξη της Φυσικής το 9 η Θερμοδυναμική και η Στατιστική Μηχανική. Η Κλασική Φυσική είναι μια επιστήμη συνέχειας και αιτιοκρατίας. Η φύση δεν παρουσιάζει απρόσμενες μεταβολές οι μεταβολές είναι ομαλές, σταδιακές και αναπόφευκτες συνέπειες προσδιορίσιμων αιτίων. Στη κβαντική θεωρία, από την άλλη, η φύση σε ατομική κλίμακα είναι ασυνεχής και μη προβλέψιμη. Η θεωρία αυτή εισήχθη στη Φυσική στη προσπάθεια να κατανοηθούν προβλήματα. Η κλασική θεώρηση του κόσμου, ότι δηλαδή αποτελείται από ύλη και ακτινοβολία (κύματα) θα μπορούσε να αποτελέσει τη βάση περιγραφής όλων των φυσικών φαινομένων. Ως σημειακά σωμάτια θεωρούνται τα ηλεκτρόνια, τα πρωτόνια, καθένα από τα οποία έχει μάζα, και μοναδιαίο ηλεκτρικό φορτίο. Αυτά αλληλεπιδρούν μέσω 7

20 8 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ. ΘΕΜΕΛΙΩΔΗ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ των ηλεκτρομαγνητικών δυνάμεων και των δυνάμεων της βαρύτητας. Ωστόσο, α- κόμα και πριν την ανακάλυψη του πρωτονίου η αντίληψη αυτή της κλασικής Φυσικής αποδείχθηκε ανεπαρκής για την περιγραφή της κίνησης των ηλεκτρονίων και της αλληλεπίδρασής τους με την ακτινοβολία. Ο Maxwell, με την ενοποιημένη θεωρία του για τον ηλεκτρομαγνητισμό (864), είχε προβλέψει την ύπαρξη των ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων ως μηχανισμού διάδοσης ενέργειας του ηλεκτρομαγνητικού πεδίου στο χώρο. Αρκετά χρόνια αργότερα, το 886, ο Γερμανός Heinrich Hertz παρήγαγε ηλεκτρομαγνητικά κύματα με ταλαντούμενα ηλεκτρικά δίπολα και απέδειξε ότι αυτά διαδίδονται στο χώρο με την ταχύτητα του φωτός. Είχε ανοίξει ο δρόμος για τη διερεύνηση της αλληλεπίδρασης ακτινοβολίας και ύλης. Ενα ηλεκτρομαγνητικό κύμα μπορούσε να μεταφέρει ενέργεια σε ένα άτομο θέτοντας το σε εξαναγκασμένη ταλάντωση και, αντίστροφα, ένα ταλαντούμενο άτομο, παρήγαγε ένα ηλεκτρομαγνητικό κύμα. Σχήμα.: Max Planck( ) Γερμανός φυσικός, θεμελιωτής της κβαντικής θεωρίας. Νόμπελ Φυσικής 98 Η κλασική θεωρία προβλέπει ότι η ηλεκτρομαγνητική ακτινοβολία μπορεί να μεταφέρει οποιοδήποτε ποσό ενέργειας, ανάλογα με τη συχνότητα της. Εντούτοις, μια ακολουθία από φαινόμενα, όπως η ακτινοβολία του μέλανος σώματος, το φωτοηλεκτρεκτρικό φαινόμενο και το φαινόμενο της σκέδασης των ακτίνων Χ (φαινόμενο Compton), δεν μπορούσαν να ερμηνευτούν με την κλασική θεώρια. Η υπόθεση του Planck ήταν το θεμέλιο μιας νέας θεωρίας, της κβαντικής θεωρίας. Η οποία ερμηνεύει φαινόμενα σε ατομικό επίπεδο τα οποία αδυνατεί να ερμηνεύσει η κλασική θεωρία. Οταν εξετάζουμε φαινόμενα του μακρόκοσμου η

21 9 κβάντωση των μεγεθών γίνεται δυσδιάκριτη και τα συμπεράσματα της κβαντικής θεωρίας ταυτίζονται με αυτά της κλασικής.. Η ακτινοβολία του μέλανος σώματος Ενα οποιοδήποτε σωμάτιο δε φαίνεται στο σκοτάδι αν όμως το φωτίσουμε μπορούμε να το δούμε. Αυτό συμβαίνει γιατί όλο ή ένα μέρος από το φώς που πέφτει στο σωμάτιο επανεκπέμπεται-διαχέεται στο περιβάλλον με άμεση συνέπεια κάποιες από τις επανεκπεμπόμενες ακτίνες να φτάνουν στα μάτια μας. Με βάση αυτή την διαδικασία καθορίζεται το ποιό χρώμα αποδίδουμε στο σωμάτιο. Συγκεκριμενοποιώντας την προηγούμενη διαδικασία, αν φωτίσουμε ένα σωμάτιο με λευκό φως εν γένει απορροφά ορισμένα από τα μήκη κύματος ενώ τα υπόλοιπα τα επανεκπέμπει. Από τα επανεκπεμπόμενα μήκη κύματος καθορίζεται το τί χρώμα βλέπουμε έκαστως. Στην ξεχωριστή περίπτωση που το σωμάτιο φαίνεται λευκό είναι όταν επανεκπέμπονται όλα τα μήκη κύματος. Στην αντίθετη περίπτωση, δηλαδή όταν το σωμάτιο φαίνεται μαύρο απορροφά όλα τα μήκη κύματος. Κατά αναλογία τα υπόλοιπα χρώματα παράγονται με ακραία όρια αντίστοιχα το μαύρο και το λευκό. Μέλαν σώματιο είναι το σώμα που απορροφά την ηλετρομαγνητική ακτινοβολία που προσπίπτει σε αυτό, σε όλο το φάσμα της( σε όλες τις συχνότητες). Κάθε σώμα σε οποιαδήποτε θερμοκρασία και αν βρίσκεται εκπέμπει ενέργεια με την μορφή ηλεκτρομαγνητικής ακτινοβολίας. Η ακτινοβολία αυτή ονομάζεται θερμική ακτινοβολία. Το μέγεθος που εκφράζει την ενέργεια που εκπέμπεται από τη μονάδα της επιφάνειας ενός σώματος στη μονάδα του χρόνου ονομάζεται ένταση της ακτινοβολίας, συμβολίζεται με το I και στο S.I. μετριέται σε J/m ή W/m. Η ένταση της ακτινοβολίας που εκπέμπει ένα σώμα εξαρτάται από την θερμοκρασία του. Η μελέτη της θερμικής ακτινοβολίας του μέλανος σώματος είναι ουσιαστική σε αυτό το σημείο. Δηλαδή το μέλαν σώμα σε οποιαδήποτε θερμοκρασία και αν βρίσκεται εκπέμπει ενέργεια με τη μορφή ηλεκτρομαγνητικής ακτινοβολίας σε όλο το φάσμα της. Το μεγαλύτερο όμως τμήμα της ενέργειας περιορίζεται σε μια στενή περιοχή, με κορυφή κάποιο μήκος κύματος λ max, διαφορετικό για κάθε θερμοκρασία. Για την ερμηνεία των πειραματικών δεδομένων οι ερευνητές δέχτηκαν ότι τα άτομα των σωματιδίων ταλαντώνοται. Το πλάτος της ταλάντωσης είναι συνάρτηση της θερμοκράσιας στην οποία βρίσκονται τα σωμάτια.αποτέλεσμα αυτής της ταλάντωσης είναι η εκπομπή ηλεκτρομαγνητικής ακτινοβολίας. Ομως η υπόθεση αυτή δεν επαληθέφτηκε πλήρως με πειραματικά αποτελέσματα. Το φαινόμενο αυτό ταλάνιζε για πολλά χρόνια τους ερευνητές μέχρι που ο Planck διατήπωσε, το 9, δύο υποθέσεις: Η ενέργεια των ταλαντούμενων ατόμων δε μπορεί να πάρει οποιαδήποτε τιμή. Μπορεί να πάρει μόνο διακριτές (κβαντισμένες) τιμές. Οι τιμές της ενέργειας που μπορεί να έχει το ταλαντούμενο άτομο είναι E n = nhf

22 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ. ΘΕΜΕΛΙΩΔΗ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ : όπου n ένας θετικός ακέραιος αριθμός που ονομάζεται κβαντικός αριθμός, η h η σταθερά δράσης του Planck: h = 6, 66x 34 Js και f η συχνότητα ταλάντωσης του ατόμου Το ποσό της ενέργειας, που μπορεί να απορροφήσει ή να εκπέμψει ένα άτομο, υπό μορφή ηλεκτρομαγνητικής ακτινοβολίας, μπορεί να πάρει διακριτές τίμες. Δηλαδή αν το άτομο απορροφήσει ένα κβάντο ενέργειας, αυξάνει την ε- νέργεια του κατά ένα σκαλοπάτι στην κλίμακα των ενεργειακών σταθμών. Αν πάλι το άτομο εκπέμψει ένα κβάντο ενέργειας υπό μορφή ηλεκτρομαγνητικής ακτινοβολίας τότε κατεβαίνει ένα σκαλοπάτι στην ίδια κλίμακα. Οσο ένα άτομο παραμένει στην ίδια ενεργειακή κατάσταση (στάθμη), ούτε εκπέμπει ούτε απορροφά ενέργεια. Τα άτομα, λοιπόν, απορροφούν ή εκπέμπουν ενέργεια όχι συνεχώς αλλά κάνοντας ενεργειακά άλματα..3 Το φωτοηλεκτρικό φαινόμενο Το φωτοηλεκτρικό φαινόμενο είναι αυτό κατά το οποίο μια μεταλλική επιφάνεια απελευθερώνει ηλεκτρόνια στο περιβάλλον όταν παράλληλα προσπίπτει πάνω της φως. Τα ηλεκτρόνια που υπάρχουν στο εσωτερικό ενός αγωγού περιορίζονται στο χώρο που καταλαμβάνει ο αγωγός, από δυνάμεις που εμποδίζουν την διάχυση τους στο περιβάλλον. Οταν μία δέσμη φωτός προσπίπτει πάνω στην επιφάνεια του αγωγού κάποια ηλεκτρόνια απορροφούν ενέργεια αρκετή για να υπερνικήσουν αυτές τις δύναμεις και βγαίνουν από το μέταλλο (φωτοηλεκτρόνια). Για να υπερνικήσει τις δυνάμεις που το συγκρατούν στο μέταλλο ένα ηλεκτρόνιο πρέπει να προσλάβει ένα ελάχιστο ποσό ενέργειας. Η ενέργεια αυτή λέγεται έργο εξαγωγής και συμβολίζεται με φ. Το έργο εξαγωγής ποικίλει από μέταλλο σε μέταλλο. Το φως, ως ηλεκτρομαγνητικό κύμα, μεταφέρει ενέργεια, επομένως, είναι αναμενόμενο ότι τα ηλεκτρόνια κάποιου μετάλλου μπορούν να απορροφήσουν ενέργεια από το φως και να εξέλθουν από το μέταλλο. Η κλασική θεωρία όμως δεν μπόρεσε να ερμηνεύσει το γεγονός, ότι η εξαγωγή ηλεκτρονίων από το μέταλλο και η κινητική ενέργεια με την οποία εξέρχονται εξαρτάται από την συχνότητα της προσπίπτουσας ακτινοβολίας και όχι από την ενέργεια που μεταφέρει η φωτεινή δέσμη που προσπίπτει στο μέταλλο, δηλαδή από την ένταση της ακτινοβολίας. Το φαινόμενο ερμηνεύτηκε το 95 από τον Einstein ο οποιός, επεκτείνοντας τις α- πόψεις του Planck, υπέθεσε ότι: το φως αποτελείται από μικρά πακέτα ενέργειας, που ονομάζονται κβάντα φωτός ή φωτόνια

23 Η ενέργεια κάθε φωτονίου είναι E = hf όπου f η συχνότητα του και h η σταθερά του Planck. Σχήμα.: Albert Einstein, Ο Άλμπερτ Αϊνστάιν ήταν φυσικός γερμανοεβραϊκής καταγωγής, ο οποίος έχει βραβευθεί με το Νόμπελ Φυσικής για τη συμβολή του στη θεωρητική φυσική, και για την εξήγηση του φωτοηλεκτρικού φαινομένου. Είναι ο θεμελιωτής της Θεωρίας της Σχετικότητας. Κατά τον Einstein, κάθε φωτόνιο της δέσμης που φωτίζει την κάθοδο μεταδίδει όλη του την ενέργεια hf σε ένα μόνο από τα ηλεκτρόνια του μετάλλου. Αν η ενέργεια hf του φωτονίου είναι μικρότερη από το έργο εξαγωγής, το ηλεκτρόνιο δε μπορεί να εγκαταλείψει το μέταλλο. Εάν είναι μεγαλύτερη ή ίση με το έργο εξαγωγής φ το ηλεκτρόνιο εγκαταλείπει το μέταλλο με κινητική ενέργεια που υ- πολογίζεται από την σχέση: K = hf ϕ φωτοηλεκτρική εξίσωση του Einstein Η φωτοηλεκτρική εξίσωση του Einstein ερμηνεύει όλα τα πειραματικά δεδομένα..3. Παράδειγμα της δυαδικής φύσης του φωτός Η ορμή των φωτονίων Ενα σωμάτιο με μηδενική μάζα ηρεμίας (τέτοιο είναι το φωτόνιο) έχει ενέργεια

24 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ. ΘΕΜΕΛΙΩΔΗ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ E=pc. Ομως είδαμε επίσης ότι η ενέργεια ενός φωτονίου είναι E=hf. Εύκολα βρίσκει κανείς ότι p=hf/c. Αν λάβουμε υπόψη ότι c=λf καταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι η ορμή του φωτονίου δίνεται από την σχέση: p = h λ Το φως στο φωτοηλεκτρικό φαινόμενο συμπεριφέρεται σαν ένα ρεύμα σωματιδίων (φωτονίων). Σε άλλες περιπτώσεις όμως το φως συμπεριφέρεται σαν κύμα. Αυτή η κυματο-σωματοειδή συμπεριφορά είναι που τονίζει την δυαδική φύση του φωτός. Από την μία έχει την ορμή που είναι μια σωματιδιακή ιδιότητα και παράλληλα έχει και το μήκος κύματος που είναι κυματική ιδιοτότητα. Οι δύο αυτές ιδιότητες συνδέονται με την σταθερά του Planck.

25 .4 Φαινόμενο Compton.4. Οι ακτίνες Χ Το 895 ο Wilchelm Rontgen ανακάλυψε ότι όταν ένα μέταλλο βομβαρδιστεί με ηλεκτρόνια που κινούνται με αρκετά μεγάλη ταχύτητα εκπέμπει ηλεκτρομαγνητική ακτινοβολία. Η ακτινοβολία αυτή ονομάστηκε ακτίνες Χ ή ακτίνες Rontgen. Αυτές 3 Σχήμα.3: Wilchelm Rontgen ήταν Γερμανός φυσικός. Σπούδασε στο ΕΤΗ Ζυρίχης. Τιμήθηκε με το μετάλλιο Ρούμφορ της Βασιλικής Εταιρείας και το 9 με το βραβείο Νόμπελ Φυσικής. Επίσης ανακάλυψε τις ακτίνες Χ οι ακτίνες χρησιμοποιούνται καθημερινά για την λήψη ακτινογραφιών και έχουν μήκη κύματος από.nm έως nm. Ο μηχανισμός παραγωγής των ακτίνων Χ είναι ακριβώς ο αντίστροφος του φωτοηλεκτρικού φαινομένου Στο φωτοηλεκτρικό φαινόμενο μια μεταλλική επιφάνεια βομβαρδίζεται με ηλεκτρομαγνητικά κύματα και εμπέμπει ηλεκτρόνια. Στις ακτίνες Χ η μεταλλική επιφάνεια βομβαρδίζεται με ηλεκτρόνια και εκπέμπει ηλεκτρομαγνητικά κύματα. Οταν τα ηλεκτρόνια της δέσμης φτάνουν στην επιφάνεια του μετάλλου επιβραδύνονται απότομα. Η επιβράδυνση αυτή συνοδεύεται από εκπομπή ακτινοβολίας, το φωτόνιο της οποίας θα έχει ενέργεια μικρότερη ή ίση με την ενέργεια του ηλεκτρονίου στο οποίο οφείλεται η εκπομπή του.

26 4 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ. ΘΕΜΕΛΙΩΔΗ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ.4. Η σκέδαση Compton Η ύπαρξη φωτονίων επιβεβαιώθηκε πειραματικά το 94 από τον Αμερικανό Arthur Holly Compton. Ο Compton παρατήρησε ότι όταν ακτίνες Χ προσπίπτουν πάνω σε μια υλική επιφάνεια ένα μέρος τους εκτρέπεται από τα σωματίδια της ύλης (σκεδάζεται). Σχήμα.4: Arthur Holly Compton ήταν Αμερικανός φυσικός στον οποίο το 97 απονεμήθηκε το βραβείο Νόμπελ Φυσικής για την ανακάλυψη του φαινομένου που φέρει το όνομα του Ο Compton διαπίστωσε ότι το σκεδαζόμενο τμήμα της ακτινοβολίας έχει μήκος κύματος μεγαλύτερο από το μήκος κύματος της προσπίπτουσας ακτινοβολίας (μικρότερη συχνότητα). Οι μετρήσεις του Compton έδειξαν ότι η μεταβολή του μήκους κύματος ανάμεσα στην προσπίπτουσα και τη σκεδαζόμενη δέσμη εξαρτάται μόνο από τη γωνία ανάμεσα στις δύο δέσμες και μάλιστα υπακούει στη σχέση: λ -λ= h mc (-sin φ) όπου λ το μήκος κύματος της σκεδαζόμενης δέσμης, λ το μήκος κύματος της προσπίπτουσας δέσμης, μ η μάζα του ηλεκτρονίου και φ η γωνία μεταξύ προσπίπτουσας και ανακλώμενης δέσμης. Σύμφωνα με την κλασική θεωρία ένα η- λεκτρομαγνητικό κύμα συχνότητας φ που προσπίπτει σ ένα υλικό αναγκάζει τα ηλεκτρόνια του υλικού να ταλαντώνονται με την ίδια συχνότητα και, επακόλουθα, να παράγουν με τη σειρά τους σαν μικρές κεραίες, ηλεκτρομαγνητικό κύμα της ίδιας συχνότητας φ. Η κλασική θεωρία, λοιπόν, θα περίμενε η σκεδαζόμενη δέσμη να έχει την ίδια συχνότητα και, αντίστοιχα, ίδιο μήκος κύματος με την προσπίπτου-

27 5 σα δέσμη. Τα πράγματα φωτίζονται αν δούμε την ηλεκτρομαγνητική ακτινοβολία ως ρεύμα φωτονίων, δηλαδή σωματίων με μηδενική μάζα ηρεμίας που μεταφέρουν ενέργεια και ορμή. Τότε το πρόβλημα της σκέδασης της ακτινοβολίας μετατρέπεται σε πρόβλημα κρούσης ανάμεσα σ ένα φωτόνιο και ένα ηλεκτρόνιο.

28 6 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ. ΘΕΜΕΛΙΩΔΗ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ.5 Κυματική φύση της ύλης Είκοσι περίπου χρόνια μετά την υπόθεση του Einstein ότι ένα ηλεκτρομαγνητικό κύμα, όπως το φως, έχει σωματιδιακή υπόσταση, στα 94, ο Γάλλος Louis de Broglie πιστεύοντας στη συμμετρία της φύσης έθεσε το αξίωμα ότι οποιοδήποτε σωμάτιο ορμής ρ είναι συνδεδεμένο με ένα κύμα μήκους κύματος λ που δίνεται από τη σχέση: λ = h p Η υπόθεση de Broglie δεν άργησε να επαληθευθεί. Το 97, στην Αμερική, οι Davisson και Germer διαπίστωσαν ότι μία δέσμη ηλεκτρονίων που κινούνται με μεγάλη ταχύτητα περιθλάται με τρόπο ανάλογο με αυτόν που περιθλάται μια δέσμη ηλεκτρομαγνητικής ακτινοβολίας, μια δέσμη ακτίνων Χ για παράδειγμα. Σύντομα, Σχήμα.5: Louis De BroglieΗ σημαντικότερη συνεισφορά του στη φυσική (η οποία του χάρισε και το βραβείο Νόμπελ το 99) ήταν η πρόταση του ότι ο δυισμός κύματος σωματιδίου δεν βρίσκει εφαρμογή μόνο στο φως αλλά και στην ύλη. νέα πειράματα έδειξαν ότι κυματική συμπεριφορά παρουσιάζουν και δέσμες σωματιδίων α και δέσμες νετρονίων. Τα αποτελέσματα ήταν τέτοια που δεν άφηναν κανένα περιθώριο να αμφισβητηθεί ότι τα σωμάτια έχουν και κυματική φύση.

29 7.6 Η διπλή υπόσταση της ύλης Τα ηλεκτρομαγνητικά κύματα όπως είδαμε συμπεριφέρονται άλλοτε σαν κύματα και άλλοτε έχουν σωματιδιακή φύση. Ετσι μπορούμε να πούμε η ύλη έχει διπλό χαρακτήρα, κυματικό και σωματιδιακό. Ομως πρέπει να αναφέρουμε ότι η φύση του φωτός είναι μία δηλαδή δεν αλλάζει συνεχώς, αλλά ανάλογα με τις συνθήκες που εφαρμόζονται παίρνει την κατάλληλη μορφή (κυματοειδής ή σωματοειδής). Για να εκδηλωθεί ο κυματικός χαρακτήρας ενός σωματιδίου θα πρέπει αυτό να έχει ελάχιστη μάζα και μεγάλη ταχύτητα (π.χ. ηλεκτρόνιο).

30 8 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ. ΘΕΜΕΛΙΩΔΗ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ.7 Η αρχή της απροσδιοριστίας Η αρχή της απροσδιοριστίας ή διαφορετικά αρχή της αβεβαιότητας είναι βασικό αξίωμα της Κβαντικής Μηχανικής που διατυπώθηκε για πρώτη φορά το 97 από τον Werner Heisenberg, 9-976). Σύμφωνα με την αρχή της απροσδιοριστίας είναι αδύνατο να μετρηθεί ταυτόχρονα και με ακρίβεια, ούτε πρακτικά, ούτε και θεωρητικά η θέση και η ταχύτητα, ή ορμή, ενός σωματίου. Εν αντιθέσει με την αρχή της αιτιοκρατίας, σύμφωνα με την αρχή της απροσδιοριστίας υπάρχουν γεγονότα των οποίων η εκδήλωση δεν υπαγορεύεται από κάποια αιτία. Η απροσδιοριστία αυτή δεν αναφέρεται στην ανικανότητα του ανθρώπου να παρατηρήσει ορισμένα φαινόμενα στον μικρόκοσμο αλλά σε μία πραγματική ιδιότητα του Φυσικού Κόσμου, η οποία εμφανίζεται και πειραματικά. Ο λόγος που δεν βλέπουμε αυτή την αβεβαιότητα στην καθημερινότητα είναι ότι εμφανίζεται σε πολύ μικρή κλίμακα και γίνεται κυρίως εμφανής στον μικρόκοσμο. Οπως είδαμε, τα ηλεκτρομαγνητικά κύματα συμπεριφέρονται άλλοτε σαν κύματα και άλλοτε σαν δέσμες σωματίων. Επίσης δέσμες κλασικών σωματιδίων, όπως τα ηλεκτρόνια, έχουν και κυματική συμπεριφορά. Μπορούμε να πούμε ότι η ύλη, με την ευρύτερη έννοια (συμπεριλαμβάνοντας και την ενέργεια), έχει διπλή οντότητα - σωματιδιακή και κυματική. Πρόκειται για ένα συμπέρασμα πολύ καλά θεμελιωμένο πειραματικά. Κάτω από μια τέτοια θεώρηση προκύπτει ένα σημαντικό πρόβλημα. Ενα σωματίδιο, όπως το αντιλαμβάνονται οι κλασικοί φυσικοί, είναι κάτι του οποίου η θέση στο χώρο ήταν αυστηρά προσδιορισμένη. Αντίθετα, ένα κύμα εκτείνεται στο χώρο. Ενα σωματίδιο με κυματική συμπεριφορά πού βρίσκεται; Η απάντηση της κβαντικής θεωρίας, όσο κι αν μας σοκάρει, είναι: δεν μπορούμε να γνωρίζουμε πού ακριβώς βρίσκεται. Σύμφωνα με την αρχή της απροδιοριστίας είναι αδύνατον να προσδιορίσουμε με αυθαίρετη ακρίβεια, σε μια δεδομένη χρονική στιγμή, τη θέση και την ταχύτητα των σωματίων και προκειμένου για ένα οποιοδήποτε σύστημα οι τιμές που λαμβάνονται προκύπτουν ως συνδυασμός των συντεταγμένων και των συνδεδεμένων προς αυτές ορμών. Προκύπτει επίσης ότι είναι αδύνατον να προσδιορίσουμε με αυθαίρετη ακρίβεια τη χρονική διάρκεια σταθερότητας ενός συστήματος σε μια δεδομένη κατάσταση και την ενέργεια που σχετίζεται με αυτήν. Η αρχή της απροσδιοριστίας βασίζεται στο ότι αναγκαστικά, κατά τη μέτρηση ενός μεγέθους, παρουσιάζεται μια αλληλεπίδραση ανάμεσα στο παρατηρούμενο φαινόμενο και στα μέσα παρατήρησής του, η οποία προκαλεί στα άλλα μεγέθη μια σημαντική διατάραξη, που δεν μπορεί να προσδιοριστεί με ακρίβεια και οφείλεται στη διπλή φύση σωματική και κυματική τόσο των σωματίων όσο και των ακτινοβολιών που χρησιμοποιούνται για την παρατήρηση (αρχή της συμπλήρωσης). Το αποτέλεσμα της ελάχιστης διατάραξης που δημιουργεί η παρατήρηση στο παρατηρούμενο φαινόμενο αποτέλεσμα μικρό αλλά ξεπερασμένο εξαιτίας της κβαντικής φύσης των φαινομένων είναι αμελητέο, εφόσον ασκείται σε μεγέθη μακροσκοπικά, αποκτά όμως θεμελιώδη σημασία κατά τη μελέτη των φαινομένων σε ατομική και υποατομική κλίμακα. Ενα παράδειγμα θα διασαφηνίσει αυτή την κατάσταση: έστω ότι θέλουμε να

31 9 προσδιορίσουμε την τροχιά ενός ηλεκτρονίου σε ένα άτομο. Γι αυτό τον σκοπό σύμφωνα με την κλασική φυσική πρέπει να προσδιορίσουμε με τη μεγαλύτερη δυνατή ακρίβεια τη θέση και την ορμή του ηλεκτρονίου σε μια δεδομένη στιγμή. Ο καθορισμός της θέσης μπορεί να πετύχει αν εκπέμψουμε προς το ηλεκτρόνιο αυτό μια ακτινοβολία (η οποία αποτελείται από φωτόνια) και συγκεντρώσουμε ύστερα την ακτινοβολία που διαχέεται από το ηλεκτρόνιο με τη βοήθεια ενός μικροσκοπίου, το οποίο θα σχηματίσει το είδωλο του ηλεκτρονίου επάνω σε μια φωτογραφική πλάκα. Από τη θέση της κηλίδας πάνω στη φωτογραφική πλάκα μπορούμε να βρούμε τη θέση του ηλεκτρονίου. Η ακρίβεια με την οποία προσδιορίζεται η θέση του ηλεκτρονίου είναι τόσο μεγαλύτερη όσο μικρότερο είναι το μήκος κύματος της ακτινοβολίας που χρησιμοποιήσαμε. Πραγματικά ένα κύμα δεν διαχέεται κατά τρόπο που να μπορεί να προσδιοριστεί όταν προσπέσει σε εμπόδια μικρά σε σχέση με το μήκος κύματός του. Από το άλλο μέρος, όσο μικρότερο είναι το μήκος κύματος της ακτινοβολίας τόσο μεγαλύτερη είναι η συχνότητά της, η οποία είναι συνδεδεμένη με την ενέργεια των φωτονίων, που αποτελούν την ακτινοβολία, με τη σχέση: E=hv, απ όπου εξάγεται το συμπέρασμα ότι σε υψηλή συχνότητα ακτινοβολίας αντιστοιχούν φωτόνια υψηλών ενεργειών. Επομένως, ένα φωτόνιο που επιτρέπει με μεγάλη ακρίβεια προσδιορισμό της θέσης προσκρούει στο ηλεκτρόνιο και το πλήττει με μεγάλη ενέργεια μεταβάλλοντας έτσι, κατά τρόπο αξιοσημείωτο και απρόβλεπτο, την τροχιά και την ορμή του. Ωστόσο η μέτρηση της ορμής, η οποία εκτελείται ύστερα από τον υπολογισμό της θέσης, αναμφίβολα δεν μπορεί να αναφέρεται στην ορμή που είχε το ηλεκτρόνιο στη θεωρούμενη χρονική στιγμή, παρά μόνο με ένα ευρύ περιθώριο απροσδιοριστίας. Είναι φανερό πως με τέτοιες συνθήκες δεν μπορεί να γίνει πραγματικά λόγος για τροχιά του ηλεκτρονίου με την έννοια που δίνει στον όρο η κλασική μηχανική. Η μικρή αριθμητική τιμή της σταθεράς του Πλανκ εξηγεί γιατί η αρχή της απροσδιοριστίας δεν ενδιαφέρει πρακτικά, τα φαινόμενα που θεωρούνται κάτω από μικροσκοπική κλίμακα. Πραγματικά στην περίπτωση αυτή η τάξη μεγέθους των αποστάσεων, των μαζών και των ενεργειών είναι τέτοια, ώστε να επιτρέπει σχετικά σφάλματα κατά τον υπολογισμό των πολύ μικρών αυτών μεγεθών, έστω και με αρκετά μεγάλη αβεβαιότητα όσον αφορά τα ξεχωριστά μεγέθη, ώστε να τηρείται η αρχή της απροσδιοριστίας. Η αρχή αυτή αντίθετα παίζει βασικό ρόλο στην περιγραφή φαινομένων που θεωρούνται κάτω από ατομική ή υποατομική κλίμακα. Στην περίπτωση αυτή η τάξη μεγέθους των μαζών, των ενεργειών και των αποστάσεων είναι τόσο μικρή, ώστε δεν είναι πια δυνατόν να γίνουν μικρά σχετικά λάθη κατά την ταυτόχρονη μέτρηση δύο συνεζευγμένων μεγεθών χωρίς να παραβιαστεί η αρχή της απροσδιοριστίας. Συνέπεια των παραπάνω είναι για παράδειγμα ότι για ένα κινούμενο σωμάτιο σε μια περιοχή χώρου της τάξης μεγέθους του ατόμου, επειδή δεν μπορούμε απόλυτα να προσδιορίσουμε ταυτόχρονα, με ένα μικρό σχετικό σφάλμα, θέση και ορμή σε μια δεδομένη χρονική στιγμή, χάνει εντελώς τη σημασία της η έννοια της τροχιάς. Με αυτό τον τρόπο καταλαβαίνει κανείς τη σημασία που έχει η αρχή της απροσδιοριστίας, η οποία από το ένα μέρος περιορίζει την εφαρμογή των μεθόδων της κλασικής μηχανικής και από το άλλο θεμελιώνει την κβαντομηχανική. Μέχρι το 96 όλοι πίστευαν στην αιτιοκρατία. Αιτιοκρατία σημαίνει ότι ένας

32 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ. ΘΕΜΕΛΙΩΔΗ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ παρατηρητής μπορεί να κάνει πρόβλεψη για οτιδήποτε θα συμβεί στο Σύμπαν αρκεί να πληρούνται οι παρακάτω δυο προϋποθέσεις: να γνωρίζει πλήρως την κατάσταση του Σύμπαντος κάποια χρονική στιγμή να χρησιμοποιήσει ένα σύνολο επιστημονικών νόμων για να κάνει τους υπολογισμούς του. Ο Heisenberg έδειξε ότι η πρώτη προϋπόθεση είναι αδύνατη. Απέδειξε ότι δεν μπορούμε να μετρήσουμε ταυτόχρονα τη θέση και τη ταχύτητα ενός σωματιδίου με όση ακρίβεια επιθυμούμε, ασχέτως εάν τα όργανα μέτρησης που χρησιμοποιούμε είναι πολύ ακριβή. Ο πιο απλός τρόπος για να βρούμε τη θέση ενός σωματιδίου είναι να το φωτίσουμε φως. Ενα μέρος των φωτεινών κυμάτων θα σκεδαστεί από το σωματίδιο και έτσι θα προσδιορίσουμε τη θέση που βρίσκεται. Η ακρίβεια που θα έχουμε στον προσδιορισμό της θέσης του σωματιδίου εξαρτάται από το μήκος κύματος των φωτεινών κυμάτων που θα χρησιμοποιήσουμε. Επομένως για να μετρήσουμε με μεγάλη ακρίβεια τη θέση του σωματιδίου χρειαζόμαστε φωτεινά κύματα με μικρό μήκος κύματος. Λόγω της υπόθεσης του Planck δεν μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τυχαία ένα οσοδήποτε μικρό ποσό φωτός, αλλά το ελάχιστο που μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε είναι τουλάχιστον ένα κβάντο φωτός. Αυτό το κβάντο φωτός θα αλληλεπιδράσει με το σωματίδιο και θα του αλλάξει την ταχύτητά του κατά τρόπο μη προβλέψιμο. Επιπλέον, εάν θέλουμε να είναι όσο το δυνατόν πιο ακριβής η μέτρηση της θέσης του σωματιδίου, τόσο πιο μικρό μήκος κύματος χρειαζόμαστε, αλλά τότε μεγαλώνει πολύ η ενέργεια του φωτόνιου και κατά συνέπεια η ταχύτητα του σωματιδίου θα μεταβληθεί πολύ. Με απλά λόγια: όσο πιο ακριβής είναι η μέτρηση της θέσης ενός σωματιδίου τόσο λιγότερο ακριβής είναι η μέτρηση της ταχύτητάς του και αντιστρόφως. Ο Heisenberg έδειξε ότι, αν πολλαπλασιάσουμε την απροσδιοριστία στη θέση του σωματιδίου επί την απροσδιοριστία στην ταχύτητά του επί τη μάζα του, θα έχουμε έναν αριθμό που δεν μπορεί ποτέ να γίνει πιο μικρός από ορισμένη ποσότητα, τη λεγόμενη σταθερά δράσης του Planck. Η μαθηματική σχέση που εκφράζει την αρχή αβεβαιότητας του Heisenberg είναι η παρακάτω: p x x 4π Η αρχή αβεβαιότητας βάζει ένα όριο στην ακρίβεια των μετρήσεων που μπορούμε να κάνουμε, αυτό το όριο δεν εξαρτάται ούτε από την μέθοδο μέτρησης που χρησιμοποιούμε, αλλά ούτε και από το είδος του σωματιδίου (δηλ. αν είναι πρωτόνιο ή ηλεκτρόνιο ή νετρόνιο κ.λ.π.).

33 Σχήμα.6: Werner Heisenberg (9-976) Γερμανία. Σε ηλικία είκοσι ετών ολοκλήρωσε την βασική του εργασία για την κβαντική θεωρία. Βραβείο Νόμπελ για την αρχή της αβεβαιότητας το 93. Η αρχή αβεβαιότητας του Heisenberg είναι θεμελιώδης, αναπόδραστη χαρακτηριστική ιδιότητα του Κόσμου. Η αβεβαιότητα ισχύει μόνο για σωμάτια ατομικής και υποατομικής κλίμακας. Η αρχή αβεβαιότητας είχε βαθιά επίπτωση στην εικόνα του ανθρώπου για τον Κόσμο. Αν και πέρασαν περισσότερα από πενήντα χρόνια, αυτή η επίπτωση δεν έχει κατανοηθεί από πολλούς φιλοσόφους, και εξακολουθεί να αποτελεί αντικείμενο διαμάχης. Επίσης σήμανε το τέλος του ονείρου του Laplace για μια θεωρία της φυσικής και ένα μοντέλο του Σύμπαντος που θα ήταν απόλυτα ντετερμινιστικά: δεν μπορούμε βέβαια να προβλέψουμε με απόλυτη ακρίβεια τα μελλοντικά γεγονότα του Σύμπαντος αν δεν μπορούμε να προσδιορίσουμε με απόλυτη ακρίβεια ούτε την σημερινή του κατάσταση!

34 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ. ΘΕΜΕΛΙΩΔΗ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ

35 Κεφάλαιο 3 Στοιχεία γραμμικής άλγεβρας 3. Τανυστικό γινόμενο Στην κβαντική μηχανική το τανυστικό γινόμενο (tensor product) χρησιμοποιείται συνεχώς και συμβολίζεται με. μπορεί να εφαρμόζεται σε διανύσματα ( vectors), πίνακες (matrices), τανυστές (tensors). Σε κάθε περίπτωση η σημασία του συμβόλου είναι η ίδια: Η πιο γενική διγραμμική πράξη. Σε μερικά βιβλία αυτό το γινόμενο αναφέρεται επίσης ως εξωτερικό γινόμενο (outer product). Παράδειγμα: [ ] [ ] a a b b = a a b b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b βαθμός (rank) =, διάσταση (dimension) πίνακα = 4 x Δυαδικό γινόμενο (Ειδική περίπτωση τανυστικού γινομένου) Στα μαθηματικά και ιδιαίτερα στη πολυγραμμική άλγεβρα (multilinear algebra), το δυαδικό γινόμενο (dyadic product) P = u v δύο διανυσμάτων, και, που έχουν την ίδια διάσταση (dimension), είναι το τανυστικό γινόμενο δύο διανυσμάτων που έχει ως αποτέλεσμα τανυστή (tensor) δεύτερου βαθμού (rank two). 3

36 4 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 3. ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Το δυαδικό γινόμενο (dyadic product) παρουσιάζεται ως τετραγωνικός πίνακας που προκύπτει από τον πολλαπλασιασμό του u ως διάνυσμα στήλη (column vector) με το v ως διάνυσμα σειρά. u v u u u 3 ( v v v 3 ) 3. Τελεστές και χώροι καταστάσεων Στην κβαντική μηχανική χρησιμοποιούνται γραμμικοί διανυσματικοί χώροι με στοιχεία γενικά μιγαδικές συναρτήσεις. Οι διανυσματικοί αυτοί χώροι λέγονται χώροι Hilbert. Μια από τις σπουδαιότερες έννοιες των χώρων αυτών είναι η έννοια της απεικονίσεως ενός χώρου S πανώ στον εαυτό του. Μια τέτοια απεικόνιση πραγματοποιείται με ένα τελεστή Α, που όταν δρά πάνω σε ένα στοιχείο του χώρου S, δηλαδή πάνω σε μια συνάρτηση ψ, δίνει ένα άλλο στοιχείο του χώρου S, δηλαδή μια άλλη συνάρτηση Φ που: ψ S : Ay =Φ S Μια χρήσιμη κατηγορία τελεστών είναι οι γραμμικοί τελεστές. Ορίζουμε ως γραμμικό τελεστή αυτόν, για τον οποίο ισχύει: Α(C y + C y ) = C Αy + C Αy Οπου C, C σταθερές και γενικά μιγαδικοί αριθμοί. Αν εξετάσουμε τη σχέση: Αψ = αψ τότε παρατηρούμε ότι αν επιδράσουμε τον τελεστή Α πάνω στη συνάρτηση ψ, τότε έχουμε πάλι τη συνάρτηση ψ επί κάποια σταθερή ποσότητα α. Ομως ο δοθέν τελεστής Α δεν ικανοποιείται για κάθε συνάρτηση ψ. Δηλαδή οι συναρτήσεις που επαληθεύουν την παραπάνω εξίσωση λέγονται ιδιοσυναρτήσεις του τελεστή Α και οι τιμές της σταθεράς α για τις οποίες ισχύει η σχεση που αναφέραμε πρωτύτερα λέγονται ιδιοτιμές του τελεστή Α. Με αυτόν τον τρόπο προσδιορίζει τόσο τις ιδιοτιμές όσο και τις ιδιοσυναρτήσεις του τελεστή Α και μπορούμε να έχουμε δύο ή και περισσότερες γραμμικά ανεξάρτητες ιδιοσυναρτήσεις που να αντιστοιχούν στην ίδια ιδιοτιμή του τελεστή Α. Η μορφή ενός τελεστή εξαρτάται από τον εκάστοτε χρησιμοποιούμενο χώρο. Ετσι εάν έχουμε έναν χώρο όπου τα στοιχεία του είναι διανύσματα στήλης ο τελεστής μπορεί να πάρει την μορφή πίνακα κάτι το οποίο συμβαίνει στην προκειμένη περίπτωση.

37 3.. Ερμιτιανοί τελεστές Οι ιδιοτιμές ενός τελεστή είναι γενικά μιγαδικές. Υπάρχει μια κατηγορία τελεστων που έχουν πραγματικές ιδιοτιμές. Αυτή είναι οι ερμιτιανοί τελεστές που υλοποιούνται σε κώδικα στην κλάση AdjacencyMatrix.java. Ενας τελεστής Α είναι ερμιτιανός εάν ταυτίζεται με τον συζυγή του (adjoint operator. Α = A Ενας τελεστής είναι συζυγής όταν ισχύει: 5 y Ay = (A y ) y Οπου ο * σημαίνει συζυγείς μιγαδικές ποσότητες. 3.3 Ερμιτιανοί πίνακες Τους τελεστές μπορούμε να τους εκφράσουμε με την μορφή πινάκων. Δηλαδή στους ερμιτιανούς τελεστές αντιστοιχούν οι ερμιτιανοί πίνακες όπου έχουν ιδιότητα να είναι ανάστροφοι και συζυγείς. Για παράδειγμα οι πίνακες Pauli είναι ερμιτιανοί. Χ = σ x = [ ] Y = σ Y = [ i i ] Ζ = σ z = [ ] και ισχύει: Α = A 3.4 Ορθομοναδιαίοι πίνακες (Unitary) Ενας τυχαίος πίνακας U: [ ] u u U = u u

38 6 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 3. ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ είναι ορθομοναδιαίος αν και μόνον αν: [ ] [ ] [ UU u u = u u u u u u = ] = Ι Εναλλακτικά μπορούμε να βρούμε αν ο πίνακας είναι ορθομοναδιαίος εαν: U = U Οπου: U = (U ) T Πίνακας 3.: Αναλυτικότερη Περιγραφή των συμβολισμών Συμβολισμός U U U T U Περιγραφή του συμβολισμού ο συζυγής του U συζυγής ανάστροφος ανάστροφος του U ο αντίστροφος πίνακας του U Παράδειγμα [ Α = + i 3 i i είναι ορθομοναδιαίος. Πραγματικά, [ ] [ ΑA = + i i i 3 i i 3 + i ] ] = [ ] = Ι 3.5 Τελεστές περιστροφής Οι τελεστές περιστροφής είναι αυτοί που αλλάζουν την γωνία περιστροφής. Δηλαδή: U = e ih

39 Κεφάλαιο 4 Αναλύση Κβαντικού Υπολογισμού 4. Διανυσματικοί χώροι, περιγραφή Dirac και διανύσματα Bra-Ket 4.. Διανυσματικοί χώροι Στη κβαντομηχανική, ο χώρος των φυσικών καταστάσεων που ουσιαστικά είναι ο χώρος των μιγαδικών καταστάσεων με n διαστάσεις, δηλώνεται C n. Ο χώρος αυτός ονομάζεται χώρος Hilbert. Μπορούμε να θεωρήσουμε τις φυσικές καταστάσεις σαν διανύσματα ενός διανυσματικού χώρου, να κάνουμε δηλαδή έναν φορμαλισμό από τις φυσικές καταστάσεις σε ένα μαθηματικό υπόβαθρο. 4.. Περιγραφή Dirac Στην περιγραφή αυτή έχουμε μια κατάσταση ψ ή αλλιώς ένα διάνυσμα του χώρου Hilbert που συμβολίζεται σαν ψ> και είναι ο γραμμικός συνδυασμός των διανυσμάτων βάσης του χώρου τα οποία συμβολίζονται με ( >, > για n = -δισδιάστατος χώρος Hilbert- και είναι ευφικτό να αυξήσουμε τις διαστάσεις δηλαδή >, >, >, > όταν έχουμε χώρο 4 διαστάσεων και με αυτήν την αναλογία αυξάνονται οι διαστάσεις Διανύσματα Bra-Ket Ο Paul Dirac, ενάς από τους μεγάλους φυσικούς που συνέβαλε στην ανάπτυξη της κβαντικής μηχανικής, ήταν ο θεμελιωτής των συμβολισμών < και > που είναι διανύσματα κατάστασης των κβαντικών συστημάτων. Το πρώτο σύμβολο το 7

40 8 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 4. ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΒΑΝΤΙΚΟΥ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ονόμασε bra, από τα τρία πρώτα γράμματα της λέξης bracket και το δεύτερο ket, από τα τρία τελευταία γράμματα της ίδιας λέξης. Τα διανύσματα Ket μπορούν να γραφούν σαν πίνακες με μία στήλη. Οι πίνακες αυτοί λέγονται πίνακες κατάστασης και τα διανύσματα τα οποία ενεργούν λέγονται διανύσματα κατάστασης και συμβολίζονται με >. Στην περίπτωση των κβαντικών συστημάτων δύο καταστάσεων οι πίνακες αυτοί έχουν δύο στοιχεία και ορίζονται [ ] a ψ> = α > + β > = b Δηλαδή τα δύο στοιχεία του πίνακα είναι τα μήκη της προβολής του ψ> στους άξονες > και >. Οι βασικές καταστάσεις στα διανύσματα ket όμως είναι: Για το > θα έχουμε: [ ] > = > + > = Για το > θα έχουμε: [ ] > = > + > = Για να κατανοήσουμε καλύτερα τη σχέση των διανυσμάτων bra και ket ας γράψουμε το διάνυσμα κατάστασης ψ> σαν διάνυσμα bra: [ ] a <ψ = a < +b < = b όπου a και b είναι οι μιγαδικοί συζυγείς των α και β. Να θυμίσουμε τώρα οτι ο μιγαδικός συζυγής του αριθμού (p + iq) είναι ο (p - iq). Δηλαδή, ο πίνακας που αντιστοιχεί στο διάνυσμα <ψ προκύπτει από τον πίνακα που αντιστοιχεί στο διάνυσμα ψ > με την μετατροπή της στήλης σε γραμμή και με αντικατάσταση των στοιχείων με τα μιγαδικά συζυγή τους. Με τον ίδιο τρόπο γράφουμε και τα διανύσματα bra των βασικών καταστάσεων: [ ] < = < + < = [ ] < = < + < = Συνεπώς το συζυγές του ket είναι το bra που συμβολίζεται με <. Για κάθε διάνυσμα ψ > υπάρχει ο συζυγής του που είναι ο <ψ. Με γνωστούς συμβολισμούς θα είναι ο συζυγής του ψ> δηλαδή ο ψ> t

41 9 Υλοποιείται σε κώδικα, στην κλάση Braket.java. Υλοποίηση τις κλάσεως Braket.java. Καταρχήν πρέπει να ορίσουμε των αριθμό των bits και αν είναι η κατάσταση Bra ή Ket. Αρχίζουμε με τον clone κονστράκτορα που αρχικοποιεί τις δύο προηγούμενες παραμέτρους μέσω μιας μεταβλητής b.

42 3 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 4. ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΒΑΝΤΙΚΟΥ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ 4..4 Εσωτερικό γινόμενο και εξωτερικό γινόμενο Ας πάρουμε μια τυχαία κατάσταση του κβαντίκου συστήματος ψ> και θα έχουμε: ψ> = α > + β > = ( a b ) όπου: a + b = Δηλαδή όταν το κβαντικό σύστημα βρίσκεται στην κατάσταση αυτή, η πιθανότητα να βρούμε το κβαντική σύστημα στην κατάσταση > και αμέσως να την μετρήσουμε, είναι α και η πιθανότητα να βρούμε το κβαντικό σύστημα στην κατάσταση > είναι β Εσωτερικό γινόμενο Το εσωτερικό γινόμενο δύο καταστάσεων ψ> και ψ> διατυπώνεται ως <ψ ψ >, δηλαδή είναι το γινόμενο bra της πρώτης κατάστασης επί το ket της δεύτερης. Δηλαδή: <ψ ψ > Το εσωτερικό γινόμενο δύο καταστάσεων είναι ένας μιγαδικός αριθμός στην γενική περίπτωση. Τα εσωτερικά γινόμενα των βασικών καταστάστεων του κβαντικού συστήματος είναι τα εξής: < > = [ ][ < > = [ ][ < > = [ ][ < > = [ ][ ] = ] = ] = ] =

43 3 Οταν το εσωτερικό γινόμενο δύο καταστάσεων είναι μηδέν, τότε οι δύο καταστάσεις λέγονται ορθογώνιες (orthogonal states). Ολες οι βασικές καταστάσεις είναι ορθογώνιες μεταξύ τους. Αυτό μπορουμε να το γράψουμε ως εξής: <j k> = δ jk όπου τα j και k είναι οι βασικές καταστάσεις ενός κβαντικού συστήματος. Ιδιότητες εσωτερικού γινομένου <ψ ψ > = <ψ ψ > Άρα: <ψ ψ > = <ψ ψ > οπότε ο αριθμός <ψ ψ > είναι πραγματικός αριθμός. Είναι μια πράξη γραμμική ως προς τα ket. Δηλαδή αν ψ 3 > = α ψ > + β ψ > τότε <ψ 4 ψ 3 > = α <ψ 4 ψ > + β <ψ 4 ψ > Επίσης <ψ 3 ψ 4 > = α <ψ ψ 4 > + β <ψ ψ 4 > Το εσωτερικό γινόμενο ενός διανύσματος με τον εαυτό του είναι θετικά ορισμένο. Δηλαδή <ψ ψ> Ενδεικτικά θα παρουσιάσουμε, εκτός από την περιγραφή Dirac, την περιγραφή Heisenberg Η περιγραφή Heisenberg κάθε κατάσταση περιγράφεται με ένα μονοδιάστατο πίνακα μιας στήλης. Παραδείγματα [ ] > = [ ] > = ψ > = > + > = [ ] = [ ]

44 3 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 4. ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΒΑΝΤΙΚΟΥ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ Εξωτερικό γινόμενο Το εξωτερικό γινόμενο δύο καταστάσεων ψ > και ψ > συμβολίζεται με ψ ><ψ, δηλαδή είναι το γινόμενο ket της πρώτης κατάστασης επί το bra της δεύτερης. Σε μορφή πινάκων ισχύει: [ ] a [ ψ ><ψ = a b ] [ ] aa b ab = ba bb Δηλαδή το εξωτερικό γινόμενο δύο καταστάσεων είναι ένας πίνακας.

45 33 4. Βασική ορολογία Στους κβαντικούς υπολογισμούς φορέας της πληροφορίας δεν είναι το bit όπως στους συμβατικούς υπολογιστές αλλά το qubit ή κβαντικό bit το οποίο μπορεί να λάβει τις τιμές ή ή οποιαδήποτε υπέρθεση αυτών. Η κατάσταση μπορεί να περιγραφεί με αρκετούς τρόπους, όμως θα επιλέξουμε την περιγραφή του Dirac όπου η κβαντική κατάσταση περιγράφεται με τον συμβολισμό > και η κατάσταση αντίστοιχα με >. Το κβαντικό bit σε μια τυχαία κατάσταση περιγράφεται σαν: ψ> = α > + β > Οπου α, β είναι μιγαδικοί αριθμοί για τους οποίους ισχύει: a + b = Ενώ το bit είναι ένας συγκεκριμένος αριθμός, ή, το qubit είναι ένα διάνυσμα ενός δισδιάστατου χώρου Hilbert. Αναπαριστούμε το, ή κατάσταση > ως [ ] > = και το, ή την κατάσταση > ως [ ] > = Οταν θέλουμε να αναπαραστήσουμε ένα qubit έχουμε: [ ] a b όπου τα α και β είναι οι μιγαδικοί αριθμοί που περιγράφουν (περιγραφή Dirac) το qubit. Οταν θέλουμε να πάρουμε μέτρηση του κβαντικού μας συστήματος τότε το κβαντικό bit καταρέει και παίρνουμε μέτρηση του κλασικού bit. Δηλαδή a είναι αν έχουμε την πιθανότητα,αμεσώς μετά που θα κάνουμε την μέτρηση του qubit, να βρεθεί στην κατάσταση >. b είναι αν έχουμε την πιθανότητα,αμεσώς μετά που θα κάνουμε την μέτρηση του qubit, να βρεθεί στην κατάσταση >.

46 34 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 4. ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΒΑΝΤΙΚΟΥ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ Παράδειγματα Οταν βρίσκονται σε κλασική κατάσταση-συμβατικά bits: [ ] ψ > = > = [ ] ψ > = > = σε κατάσταση υπέρθεσης των qubits: ψ > = n ( > + >) = [ ] Πίνακας 4.: Διαφορές μεταξύ ενός κλασικού και ενός κβαντικού bit (qubits) Κλασικό bit Ενα bit έχει πάντα μία συγκεκριμένη τιμή Κβαντικό bit Ενα qubit έχει ένα διάνυσμα τιμών

47 Αφού έχουμε ορίσει το κβαντικό bit και τις διαφορές του από τα κλασικά bits έφτασε η στιγμή να εξηγήσουμε σε ποιά φαινόμενα βασίζεται ο κβαντικός υπολογισμός και γιατί υπερτερεί των κλασικών υπολογιστών. 35

48 36 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 4. ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΒΑΝΤΙΚΟΥ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ 4.3 Η κατάσταση υπέρθεση Η κβαντική υπέρθεση αποτελεί θεμελιώδη αρχή της κβαντομηχανικής, που υποστηρίζει ότι ένα φυσικό σύστημα, όπως ένα ηλεκτρόνιο, υπάρχει εν μέρει σε όλες της τις ιδιαίτερα θεωρητικά πιθανές καταστάσεις (ή, διαμόρφωση των ιδιοτήτων του) ταυτόχρονα. Οταν όμως μετριέται, δίνει ένα αποτέλεσμα που αντιστοιχεί σε μία μόνο τις δυνατές καταστάσεις «όπως περιγράφεται στην ερμηνεία της κβαντομηχανικής). Στον αυστηρό φορμαλισμό των μαθηματικών, αναφέρεται σε μια ιδιότητα λύσεων της εξίσωσης του Schrödinger. Δεδομένου ότι η εξίσωση Schrödinger είναι γραμμική, οποιοδήποτε γραμμικό συνδυασμό και αν πάρουμε θα είναι λύση της εξίσωσης. Τέτοιες λύσεις φτιάχνονται για να είναι ορθογώνιες(τα διανύσματα σχηματίζουν ορθή γωνία μεταξύ τους), όπως και ενεργειακά επίπεδα ενός ηλεκτρονίου. Με άλλα λόγια, η επικάλυψη των καταστάσεων που ακυρώνεται και η αναμενόμενη τιμή του Operator στις μεμονωμένες καταστάσεις, πολλαπλασιαζόμενο με το κλάσμα της κατάστασης υπέρθεσης που είναι in σε αυτήν την κατάσταση. Σχήμα 4.: Κβαντική υπέρθεση Σχήμα 4.: Κβαντική υπέρθεση Ενα παράδειγμα μιας άμεσα παρατηρήσιμης επίδρασης της υπέρθεσης είναι

49 37 παρεμβολές κορυφών του ηλεκτρονιακού κύματος στο πείραμα διπλής σχισμής. Ενα άλλο παράδειγμα είναι μια κβαντική λογική κατάσταση qubit, όπως χρησιμοποιείται στην κβαντική επεξεργασία των πληροφοριών, η οποία είναι μια γραμμική υπέρθεση των βασικών καταστάσεων. Εδώ είναι ο συμβολισμός Dirac για την κβαντική κατάσταση που θα δίνουν πάντα το ως αποτέλεσμα όταν μετατρέπεται σε κλασική λογική με την διαδικασία της μέτρησης. Παρόμοια είναι η κατάσταση που θα μετατρέπονται πάντα σε. Σχήμα 4.3: Αναράσταση του υπέρθεσης σε σχέση με το κλασικό bit

50 38 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 4. ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΒΑΝΤΙΚΟΥ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ 4.4 Η αναπαράσταση του qubit σε σφαίρα-bloch Sphere Ενας τρόπος, πολύ αναπαραστατικός, για το qubit, ο οποίος απεικονίζει σχεδόν όλα τις ιδιότητες-χαρακτηριστικά του είναι η σφαίρα Bloch. Αυτή η ιδιότυπη σφαίρα έχει ακτίνα ίση με την μονάδα και το διάνυσμα κατάστασης ψ> του qubit, έχει την αρχή του στο κέντρο της σφαίρας και καταλήγει σε κάποιο σημείο της επιφάνειας της σφαίρας, είναι πρακτικά μια ακτίνα της σφαίρας Bloch. Σχήμα 4.4: Σφαίρα Bloch Οταν το qubit βρίσκεται στην βασική κατάσταση > συμβολίζεται μπλε χρωματισμό στο σχήμα 4.4, το διάνυσμα είναι κατακόρυφο με φορά προς τα επάνω και όταν βρίσκεται στην βασική κατάσταση > συμβολίζεται με κόκκινο χρωματισμό στο σχήμα 4.4, το διάνυσμα είναι κατακόρυφο με φορά προς τα κάτω. Προσοχή στο ότι ενώ οι καταστάσεις > και > είναι ορθογώνιες μεταξύ τους, στην σφαίρα Bloch εμφανίζονται στην ίδια γραμμή. Οπως έχουμε αναφέρει, η σφαίρα Bloch απεικονίζει σχεδόν όλα τα χαρακτηριστικά του qubit. Ομως τα πλάτη πιθανότητας α και β είναι μιγαδικοί αριθμοί, μπορούμε μετασχηματίσουμε την εξίσωση ψ> = α > + β > σε μια πιο γενική μορφή:

51 39 ψ> = cos θ > +eiφ sin θ > όπου οι γωνίες φ και θ είναι πραγματικοί αριθμοί. Επειδή e iφ = για κάθε φ έχουμε: cos θ + e iφ sin θ = cos θ + sin θ = Οι γωνίες φ και θ ορίζουν ένα σημείο πάνω στην επιφάνεια της σφαίρας Bloch. Το σημείο αυτό είναι το τέλος του διανύσματος ψ> όπως φαίνεται στο σχήμα 4.4. Η γωνία θ καθορίζει τις τιμές των πλατών πιθανότητας. Η γωνία φ ονομάζεται γωνία φάσης. Οι βασικές καταστάσεις a> και b> είναι υποπεριπτώσεις του γενικόυ διανύσματος ψ> και δίνονται από: a> = cos θ > + eiφ sin θ > b> = cos θ > + sin θ > Αν κάνουμε οποιαδήποτε μετρήση τότε θα καταρρεύσει το κβαντικό σύστημα οπότε η πιθανότητα το καθένα από τα δύο qubits να είναι στην κατάσταση > είναι ίση με cos θ και η πιθανότητα να βρούμε το καθένα από τα δύο αυτά qubits στην κατάσταση > είναι ίση με sin θ. Με μαθηματικό φορμαλισμό θα δούμε πως από την γενίκευση της αναπαράστασης ενός μιγαδικού αριθμού z με μέτρο όπου ισχύει: z = σαν ένα σημείο ενός κύκλου. Εστω z=x+iy όπου x,y πραγματικοί τότε: z = z z = (x iy)(x + iy) = x + y Και επειδή z =, ο μιγαδικός z έχει σε σημείο του κύκλου ακτίνας. Ενα qubit μπορεί να γραφτεί ως: ψ> = α > + β > με α + α =

52 4 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 4. ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΒΑΝΤΙΚΟΥ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ Μπορούμε να εκφράσουμε την κατάσταση ψ> με σφαιρικές συντεταγμένες: ψ> = r a e iφa > + r b e iφ b > όπου έχουμε 4 μη μετρήσιμες πραγματικές παραμέτρους που είναι: r a, φ a, r b, φ b Ουσιαστικά οι μόνες μετρήσιμες ποσότητες είναι οι πιθανότητες α και β μπορούμε να πολλαπλασιάσουμε με τον παράγοντα e iγ χωρίς παρατηρήσιμες αλλαγές αφού δεν αλλάζουν οι πιθανότητες α και β. Δηλαδή: e iγ a = (e iγ a) (e iγ ) = a a = α Αντίστοιχα και για το β. Πολλαπλασιάζουμε με το e iφa την αρχική μας κατάσταση και έχουμε: ψ> = r a e iφa > + r b e iφ b > με τις προσθέσεις του παράγοντα e iφa : ψ > = e iφa r a e iφa > + e iφa r b e iφ b > = r a > + r b e iφ > όπου φ = φ b - φ a Οποτε περιγράψαμε την τελική μας κατάσταση με 3 πραγματικές παραμέτρους: r a, r b, φ. Από τις σφαιρικές συντεταγμένες έχουμε: x = r sin θ cos φ y = r sin θ sin φ z = r cos θ Οπότε μετατρέποντας το r a σε z και αφού ξέρουμε ότι r = έχουμε: ψ > = z > + (x+iy) > =cos θ > + sin θ(cos φ + i sin φ) >= cos θ > +e iφ sin θ > Επομένως έχουμε παραμέτρους αντί για τρείς που είχαμε πρίν, που ορίζουν μια σφαίρα.

53 4 Εμείς όμως θέλουμε η γωνία θ να κυμαίνεται μεταξύ θ π οπότε: ψ> = cos( θ ) > +eiφ sin( θ ) > όπου cos( θ ) θα έχουμε θ π και e iφ sin( θ ) θα έχουμε θ π για θ = θα έχουμε ψ> = > για θ = π θα έχουμε ψ> = > Οποτε για θ = π και φ = θα έχουμε ψ> = ( > + >) Άρα αποδείχθηκε. Δηλαδή η Bloch σφαίρα δεν είναι τίποτε άλλο παρά μια γενίκευση της αναπαράστασης ενός μιγαδικού αριθμού με σφαιρικές συντεταγμένες.

54 4 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 4. ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΒΑΝΤΙΚΟΥ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ 4.5 Ο κβαντικός καταχωρητής Στους συμβαντικούς υπολογιστές ένα σύνολο από bits αποτελεί έναν καταχωρητή. Στους καταχωρητές αποθηκεύονται οι τιμές κάποιων μεταβλητών. Αντίστοιχα στους κβαντικούς υπολογιστές ένα σύνολο από qubits τα οποία όμως είναι διατεταγμένα σε σειρά, συνιστούν έναν κβαντικό καταχωρητή. Σχήμα 4.5: Η αναλογία μεταξύ κλασικού καταχωρητή και κβαντικού 4.5. Κβαντικός καταχωρητής με δύο qubits Σε έναν κβαντικό καταχωρητή έχουμε την δυνατότητα να αποθηκεύσουμε πολύ περισσότερη πληροφορία από όση στον κλασικό καταχωρητή. Θα αρχίσουμε την απλούστερη περίπτωση του κβαντικού καταχωρητή που αποτελείται από δύο μόνο qubits, τα ψ > και ψ >. Το αποτέλεσμα που είναι ο κβαντικός καταχωρητής ψ R > δίνεται από το τανυστικό γινόμενο των καταστάσεων των qubits που τον αποτελούν και έχουμε: ψ R > = ψ > ψ > = ψ > ψ >= ψ ψ > όπου το συμβολίζει το τανυστικό γινόμενο. Οποτε, αν οι καταστάσεις των δύο qubits δίνονται από: [ ] a ψ > = a > + b > = b [ ] c ψ > = c > + d > = d τότε η κατάσταση του κβαντικού καταχωρητή είναι η εξής: ψ R > = ψ > ψ > = (a > + b >) (c > + d >) = ( ac) > > + (ad) > > + (bc) > > + (bd) > > = c > +c > +c > +c 3 >

55 43 Δηλαδή ο κβαντικός καταχωρητής αποτελείται από δύο qubits είναι ένα σύστημα τεσσάρων καταστάσεων. Η κάθε μία από τις βασικές του καταστάσεις προκύπτει από το τανυστικό γινόμενο των βασικών καταστάσεων των qubits. Άρα μας μένει να ορίσουμε τις βαικές καταστάσεις του κβαντικού καταχωρητή που αποτελείται από δύο qubits σε μορφή πινάκων, και έχουμε: > > = > > = > = [ ] [ ] = [ > > = > > = > = [ > > = > > = > = ] [ ] [ ] = ] = > > = > > = > = [ ] [ ] = [ > > = > > = > = ] [ ] = όπου οι καταστάσεις αυτές είναι ορθογώνιες μεταξύ τους. Με συνδυασμό των βασικών καταστάσεων και της κατάστασης του κβαντικού καταχωρητή που αναφέραμε πρωτίτερα, έχουμε: [ a ψ R > = ψ > ψ > = b ] [ c d ] = ac ad bc bd = c c c c 3

56 44 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 4. ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΒΑΝΤΙΚΟΥ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ = c +c c c 3 = c >+c >+c >+c 3 > Οπου τα c, c, c, c 3 είναι τα πλάτη πιθανότητας και είναι μιγαδικοί αριθμοί. Σε περίπτωση που ο κβαντικός καταχωρητής των δύο qubits βρίσκεται σε υπέρθεση τεσσάρων βασικών καταστάσεων, μία μέτρηση της κατάστασης του, θα δώσει μία από τις τέσσερις βασικές καταστάσεις με πιθανότητα ίση με το τετράγωνο του μέτρου των c, c, c και c 3. Δηλαδή μία μέτρηση της κατάστασης του, θα δώσει αποτέλεσμα την κατάσταση > με πιθανότητα c, το > με πιθανότητα c, το > με πιθανότητα c και το > με πιθανότητα c 3. Το άθροισμα των τεσσάρων προηγούμενων πιθανοτήτων θα πρέπει να είναι ίσο με την μονάδα: ψ R > = c n >+c >+c >+c 3 > όπου: c n + c + c + c 3 = Το διάνυσμα κατάστασης του κβαντικού καταχωρητή υπάρχει στο χώρο Hilbert τεσσάρων διαστάσεων και το μήκος του καταχωρητή είναι ίσο με την μονάδα. Η πιθανότητα όμως να εμφανιστεί > στο πρώτο qubit είναι c + c ενώ η πιθανότητα να εμφανιστεί > στο qubit είναι c + c. Σε έναν συμβατικό καταχωρητή δύο bits μπορούμε να αποθηκεύσουμε τον δυαδικό αριθμό ή τον ή τον ή τον. Αντίθετα σε έναν κβαντικό καταχωρητή της ίδιας αναλογίας διαστάσεων με τον συμβατικό που βρίσκεται σε κβαντική υπέρθεση των βασικών καταστάσεων, μπορούμε να αποθηκεύσουμε τον δυαδικό αριθμό και τον και τον και τον, δηλαδή ο κβαντικός καταχωρητής των δύο qubits μπορεί να κρατήσει ταυτόχρονα τέσσερις αριθμούς. Ας εκφράσουμε την κατάσταση υπέρθεσης του κβαντικού καταχωρητή ως εξής: ψ R > = c >+c >+c >+c 3 >=c >+c >+c >+c 3 3> = 3 c i i > i= όπου οι δυαδικοί αριθμοί που συμβολίζουν τις βασικές καταστάσεις αντικαταστάθηκαν με τους αντίστοιχους δεκαδικούς. Η δυνατότητα να κρατηθούν ταυτόχρονα και οι τέσσερις βασικές καταστάσεις, δηλαδή τέσσερις αριθμοί, από ένα

57 45 κβαντικό καταχωρητή αποτελεί τη βάση της κβαντικής παραλληλίας Κβαντικός καταχωρητής με τρία qubits Κατά αναλογία μπορούμε να δούμε τον κβαντικό καταχωρητή που αποτελείται από τρία qubits τα ψ >, ψ > και ψ >: [ ] a ψ > = a > + b > = b [ ] c ψ > = c > + d > = d [ ] e ψ > = e > + f > = f Η κάθε μία από τις βασικές καταστάσεις του κβαντικού καταχωρητή προκύπτει ως τανυστικό γινόμενο των βασικών καταστάσεων των qubits. Το τανυστικό γινόμενο τριών πινάκων με μία στήλη είναι: ace acf [ ] [ ] [ ] [ ] ce ade a c e a = cf b d f b de = adf bce df bcf bde bdf

58 46 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 4. ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΒΑΝΤΙΚΟΥ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ Παράδειγμα του πίνακα που αντιστοιχεί στη βασική κατάσταση > > > = >: [ ] [ ][ ] = [ ] = Ομοια υπολογίζονται και οι άλλοι πίνακες. Η κατάσταση του κβαντικού καταχωρητή με πίνακες είναι η εξής: ψ R >= ψ > ψ > ψ >= [ a b ] [ c d ] [ e f ] = [ a b ] ce cf de df = ace acf ade adf bce bcf bde bdf = c c c c 3 c 4 c 5 c 6 c 7 =c +c +c +c 3 +c 4 c 5 +c 6 +c 7 =c >+c >c >+c 3 >+c 4 >+c 5 >+c 6 >+c 7 > όπου ace, acf, ade, adf,...,bdf τα αντικαταστήσαμε με c, c, c, c 3, c 4...c 7 αντιστοίχως. Οπότε μπορούμε να εκφράσουμε την προηγούμενη σχέση με τον εξής τρόπο: ψ R >=c >+c >c >+c 3 >+c 4 >+c 5 >+c 6 >+c 7 >=c >+c >c > +c 3 3>+c 4 4>+c 5 5>+c 6 6>+c 7 7>= 7 i= c i i >

59 47 Το άθροισμα των πιθανοτήτων είναι μονάδα: c + c + c + c 3 + c 4 + c 5 + c 6 + c 7 = Το διάνυσμα κατάστασης του κβαντικού καταχωρητή που αποτελείται από τρία qubits υπάρχει στο χώρο Hilbert οκτώ διαστάσεων και το μήκος του είναι ίσο με τη μονάδα. Ο κβαντικός αυτός καταχωρητής είναι ένα κβαντικό σύστημα με οκτώ βασικές καταστάσεις που είναι ορθογώνιες μεταξύ τους. Επιπλέον όταν βρίσκεται σε υπέρθεση των βασικών καταστάσεων, μπορεί να κρατήσει ταυτόχρονα οκτώ αριθμούς.

60 48 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 4. ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΒΑΝΤΙΚΟΥ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ Κβαντικός καταχωρητής με n qubits Η κατάσταση του κβαντικού καταχωρητή σε αυτό το σημείο αποτελείται από n qubits και εκφράζεται από: ψ R >= ψ n >... ψ > ψ >= ψ n...ψ ψ > Το διάνυσμα κατάστασης υπάρχει στο χώρο Hilbert με n διαστάσεις και έχει n βασικές καταστάσεις που είναι όλες ορθογώνιες μεταξύ τους. Θεωρούμε ως όρισμα την δεκαδική αναπαράσταση των κβαντικών καταστάσεων για αυτό μπορούμε να αναφέρουμε το εξής: <k m> = δ km όπου k, m,,,3... n Οταν αυτός ο κβαντικός καταχωρητής βρεθεί σε υπέρθεση αποθηκεύει ταυτόχρονα n αριθμούς και έχουμε: ψ R >=c...>+c...>+c...>+...+c n...> =c >+c >+c >+...+c n n >= n c i i > i= δηλαδή όλους τους αριθμούς από έως n Ενας κβαντικός καταχωρητής που αποτελείται από,3,4...n qubits μπορεί να αποθηκεύσει ταυτόχρονα 4,8,6... n αριθμούς. Αν σε έναν κβαντικό καταχωρητή των n qubits που μπορεί να αποθηκεύσει ταυτόχρονα n αριθμούς προστεθεί ένα ακόμη qubit, τότε ο κβαντικός καταχωρητής αποθηκεύει διπλάσιους αριθμούς, δηλαδή Για αυτό ακριβώς τον λόγο ο Michael Nielsen στην διδακτορική του εργασία ανέφερε ότι για να συμβαδίζουν οι κβαντικοί υπολογιστές με τον νόμο του Moore, που λέει ότι κάθε 8-4 μήνες διπλασιάζεται η ισχύς των συμβαντικών-κλασικών υπολογιστών, πρέπει να αυξάνουν κατά ένα qubit κάθε δύο χρόνια. Στην προηγούμενη ιδιότητα των κβαντικών καταχωρητών βασίζεται η δυνατότητα των κβαντικών υπολογιστών να επεξεργάζονται ποσότητες δεδομένων τις οποίες είναι αδύνατον να επεξεργαστούν οι συμβατικοί-κλασικοί υπολογιστές, να πραγματοποιούν εξόρυξη σε πολύ μεγάλες βάσεις δεδομένων και αντιμετωπίζουν πολύπλοκα υπολογιστικά προβλήματα σε αρκετά μικρό χρονικό διάστημα σε σχέση με τους συμβατικούς-κλασικούς υπολογιστές που απαιτούν αρκετά μεγάλο χρονικό διάστημα.

61 Οι κβαντικές πύλες Οι συμβαντικοί υπολογιστές αποτελούνται από λογικές πύλες και αγωγούς οι οποιές φτιάχνουν κυκλώματα. Οι αγωγοί μεταφέρουν την πληροφορία με την μορφή τάσης ή ρεύματος από πύλη σε πύλη. Οι λογικές πύλες επεξεργάζονται την πληροφορία που φτάνει στην είσοδο τους, με βάση τον πίνακα αληθείας. Οι λογικές πύλες στους συμβαντικούς υπολογιστές είναι φυσικά συστήματα κατασκευασμένα από πυρίτιο και σε όλους σχεδόν τους συμβαντικούς υπολογιστές, αποτελούνται από τρανζίστορς που αλλιώς λέγονται MOSFETs. Δηλαδή οι πύλες των -συμβαντικών-κλασικών υπολογιστών είναι φυσικά συστήματα όπου η πληροφορία διέρχεται από μέσα τους. Εν αντιθέσει στους κβαντικούς υπολογιστές οι κβαντικές πύλες δεν είναι φυσικά συστήματα αλλά αντιπροσωπεύουν δράσεις που ασκούνται σε qubits ή σε κβαντικούς καταχωρητές. Οι δράσεις στα κβαντικά συστήματα αντιπροσωπεύονται από τελεστές οι οποίοι περιγράφονται από πίνακες. Ομως στους κβαντικούς υπολογιστές οι κβαντικές πύλες δεν είναι φυσικά συστήματα αλλά είναι δράσεις που ασκούνται σε qubits. Οι καταστάσεις των qubits και των κβαντικών καταχωρητών είναι διανύσματα Hilbert. Οι κβαντικές πύλες είναι τελεστές του χώρου Hilbert που δρούν σε qubits και σε κβαντικούς καταχωρητές αλλάζοντας την κατάσταση τους. Οπότε συμπερένουμαι οτι οι κβαντικές πύλες περιστρέφουν τα διανύσματα κατάστασης των qubits και των κβαντικών καταχωρητών δίχως να μεταβάλλουν το μήκος τους, το οποίο είναι με την μονάδα. Οι κβαντικές πύλες πρέπει πληρούν τις εξής δύο ιδιότητες: να μη μεταβάλλουν το μήκος του διανύσματος κατάστασης να τηρούν την χρονική συμμετρία των κβαντικών συστημάτων. Οι τελεστές που έχουν αυτές τις δύο ιδιότητες ονομάζονται ορθομοναδιαίοι και περιγράφονται από ορθομοναδιαίους πίνακες. Η συμπεριφορά ενός κβαντικού συστήματος δεν αλλάζει, αν αλλάξει η φορά ροής του χρόνου. Αν δηλαδή σε μία κβαντική πύλη G που αντιπροσωπεύει τον τελεστή Ĝ αλλάζουμε την κατάσταση ενός κβαντικού καταχωρητή από q R > σε q R > τότε πρέπει αν δράσουμε στην κατάσταση q R > με την ίδια πύλη να πάρουμε πάλι την κατάσταση q R >. G q R > = q R > G q R > = q R > Αυτές οι πύλες ονομάζονται αναστρέψιμες. Ολες οι κβαντικές πύλες είναι αναστρέψιμες.

62 5 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 4. ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΒΑΝΤΙΚΟΥ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ 4.6. Κβαντικές πύλες που δρούν σε ένα qubit Οι κβαντικές πύλες που δρούν σε ένα μόνο qubit περιστρέφουν το διάνυσμα κατάστασης ενός qubit μέσα στη σφαίρα Bloch, δηλαδή μεταβάλλουν τις γωνίες θ και φ. Υπάρχουν άπειρες κβαντικές πύλες που δρούν σε ένα qubit. Δηλαδή, κάθε ορθομοναδιαίος τελεστής είναι μία κβαντική πύλη που δρά σε ένα qubit. Κάθε κβαντική πύλη που δρα σε ένα qubit, έχει αποδειχθεί ότι περιγράφεται γενικά από έναν πίνακα U με x στοιχεία που δίνεται από: U=e ia [ e i b e i b ] [ cos g sin g sin g cos g ] [ e i d e i d όπου τα a, b, g, d είναι πραγματικοί αριθμοί Κβαντική πύλη αδράνειας Η κβαντική πύλη αδράνειας είναι μία κβαντική πύλη που δρα σε ένα μόνο qubit. Πύλες σαν αυτή περιστρέφουν το διάνυσμα κατάστασης ενός qubit μέσα στη σφαίρα Bloch, δηλαδή μεταβάλλουν τις γωνίες θ και φ. Επιπλέον στον τύπο που βγάλαμε λίγο πιο πάνω έχουμε a=b=g=d= και e i = e = οπότε καταλήγουμε στον πίνακα Ι=U που περιγράφεται πιο κάτω. Η κβαντική πύλη αδράνειας συμβολίζεται με Ι και περιγράφεται από τον ακόλουθο πίνακα: [ ] Ι= Η πύλη αυτή περιγράφει έναν τελεστή που τελεστής αδράνειας και αφήνει αμετάβλητη την κατάσταση του qubit: Ι q>= q> Η πληροφορία δε διέρχεται μέσα από την πύλη αλλά συμβολίζουμε με q > την κατάσταση του qubit πριν τη δράση της πύλης και με q > την κατάσταση του μετά. Παρακάτω αναφέρονται το σύμβολο και οι ιδιότητες της πύλης Ι: ] Πίνακας 4.: Η κβαντική πύλη αδράνειας q > q > > > > > q > q > Η κβαντική πύλη αδράνειας υλοποιείται στην κλάση Gates.java.

63 Κβαντική πύλη μετατόπισης φάσης Η κβαντική πύλη μετατόπισης φάσης είναι μία κβαντική πύλη που δρα και αυτή σε ένα μόνο qubit. Συμβολίζεται με Φ και η δράση της αλλάζει μόνο τη γωνία φάσης του qubit. Πιο αναλυτικά: Αν πάρουμε τον βασικό τυπο που δείξαμε πιο πάνω και αν θέσουμε γ= έχουμε: U=e ia [ [ e i b e i b e i(a b ) [ e i(a+ b ) ] [ ] [ e i d e i d ] [ ] [ e i d e i d ] e i(a b d ) e i(a+ b + d ) Αν θέσουμε στην παραπάνω σχέση α= b + d έχουμε: [ ] Φ= e i(b+d) Αν θέσουμε επιπλέον φ=b+d και έχουμε: [ ] Φ= e if Η πύλη αυτή λέγεται πύλη μετατόπισης φάσης, συμβολίζεται με Φ και περιγράφεται από τον προηγούμενο πίνακα. Το αποτέλεσμα της δράσης αυτής της πύλης σε ένα qubit είναι: Αρχική κατάσταση qubit: Εστω ένα qubit q > και η κατάσταση του δίνεται από: [ ] a q > =a > + b >= b Η κβαντική πύλη μετατόπισης φάσης δρά σε αυτό το qubit και αλλάζει την κατάσταση του σε q >. Η νέα κατάσταση είναι: [ ][ a q >=Φ q >= e if b Τελικά θα έχουμε: ] [ = a e if b q >=a > + e if b > ] ] ] = =

64 5 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 4. ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΒΑΝΤΙΚΟΥ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ Είδαμε πως η δράση της πύλης Φ άλλαξε μόνο την γωνία φάσης του qubit. Πίνακας 4.3: Η κβαντική πύλη μετατόπισης φάσης q > q > > > > e if > a > + b > A > + e if b > Στο προηγούμενο σχήμα αναφέρονται το σύμβολο και οι ιδιότητες της πύλης Φ. Στην πρώτη στήλη του πίνακα φαίνονται οι καταστάσεις των qubits πριν να ενεργήσει η πύλη q > και στη δεύτερη οι καταστάσεις μετά την δράση της της πύλης q >. Η κβαντική πύλη μετατόπισης φάσης υλοποιείται στην κλάση Gates.java.

65 Η κβαντική πύλη Hadamard Η κβαντική πύλη Hadamard δρα επίσης σε ένα μόνο qubit. Συμβολίζεται με Η και περιγράφεται από τον ακόλουθο πίνακα: [ ] Η= που προκύπτει από τον βασικό τύπο, αν θέσουμε α= π, β=3π, γ= 3p και δ= έχουμε: U=Η=e i 3π [ ] [ ][ e i 3π e i 3π ] [ ] i i i[ = i i ] [ = e i π e i 3π e i 3π e i 3π e i 3π Ας δούμε τώρα και το αποτέλεσμα της δράσης αυτής της πύλης σε ένα qubit που βρίσκεται στην βασική κατάσταση >: Η( >=[ ] [ ] =[ ]= > + >= ( > + >) ] = Ας δούμε και το αποτέλεσμα της δράσης αυτής της πύλης σε ένα qubit που βρίσκεται στη βασική κατάσταση >: ] [ ] [ ] Η( >=[ = = > >= ( > >) Δηλαδή όταν η πύλη Hadamard δρα σε qubits που βρίσκονται σε μία από τις δύο βασικές καταστάσεις, τα βάζει σε μία κατάσταση που είναι υπέρθεση των βασικών καταστάσεων. Οταν ένα qubit βρίσκεται στην κατάσταση > ή στην κατάσταση > και εφαρμόζεται μία πύλη Hadamard, η πιθανότητανα μετρήσουμε και να το βρούμε στην βασική κατάσταση > είναι ίση με την πιθανότητα να το βρούμε στην βασική κατάσταση >. Άρα και οι δύο πιθανότητες είναι ίσες με.5. Τώρα θα εφαρμόσουμε μία πύλη Hadamard σε ένα qubit που είναι στην υπέρθεση καταστάσεων >, οπότε έχουμε: ][ ]=[ Η( ( > + >=[ ] = > Τώρα θα εφαρμόσουμε μία πύλη Hadamard σε ένα qubit που είναι στην υπέρθεση καταστάσεων >, οπότε έχουμε: ][ ] [ ] Η( ( > >=[ = = >

66 54 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 4. ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΒΑΝΤΙΚΟΥ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ Οπότε η πύλη Hadamard επιστρέφει τα qubits που βρίσκονται σε υπέρθεση καταστάσεων στις βασικές τους καταστάσεις. Στο παρακάτω σχήμα φαίνονται το σύμβολο και οι ιδιότητες της πύλης Η. Στην πρώτη στήλη του πίνακα φαίνονται οι καταστάσεις των qubits πριν τη δράση της πύλης, ενώ στη δεύτερη οι καταστάσεις μετά τη δράση της πύλης. ςοπψ.θπγ Πίνακας 4.4: Η κβαντική πύλη Hadamard q > q > > ( > + > > ( > > ( > + > > ( > > > Αν εφαρμόσουμε την πύλη Η, σε κάθε qubit της αρχικής κατάστασης...> ενός καταχωρητή με n qubits, τότε προκύπτουν όλες οι πιθανές n καταστάσεις: n n x= x >. Αυτό γίνεται γιατί προέκυψε μια υπέρθεση όλων των βασικών καταστάσεων από έως n σε ένα βήμα. Με την πύλη Hadamard θα επικοινωνούμε μεταξύ κλασικών και κβαντικούς υπολογισμών μέσω της υπέρθεσης των qubits. Η πύλη Hadamard υλοποιείται στην κλάση Gates.java.

67 Η κβαντική πύλη NOT Η πύλη ΝΟΤ περιγράφεται από τον ακόλουθο πίνακα: [ ] ΝΟΤ= Η κβαντική πύλη ΝΟΤ λειτούργει όπως η κλασική ΝΟΤ δηλαδή μετατρέπει την κατάσταση από σε και το αντίστροφο. [ ][ ] [ ] ΝΟΤ >= = = > [ ][ ] [ ] ΝΟΤ >= = = > [ ][ ] [ ] a b ΝΟΤ q>= = b a Στο παρακάτω σχήμα φαίνονται οι ιδιότητες της πύλης ΝΟΤ. Στην πρώτη στήλη του πίνακα φαίνονται οι καταστάσεις των qubits πριν τη δράση της πύλης, ενώ στη δεύτερη οι καταστάσεις μετά τη δράση της πύλης. Πίνακας 4.5: Η κβαντική πύλη ΝΟΤ q > q > > > > > a + bi > b + ai > 55 Η πύλη ΝΟΤ υλοποιείται στην κλάση Gates.java.

68 56 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 4. ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΒΑΝΤΙΚΟΥ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ 4.6. Κβαντικές πύλες που δρούν σε δύο qubits Τώρα θα παρουσιάσουμε τις κβαντικές πύλες που δρούν σε δύο qubits Κβαντική πύλη ελεγχόμενου ΟΧΙ Η κβαντική πύλη ελεγχόμενου ΟΧΙ είναι μία κβαντική πύλη που συμβολίζεται με το CNOT και δρά σε δύο qubits. Το ένα qubit λέγεται qubit ελέγχου και συμβολίζεται με c και το άλλο λέγεται qubit στόχος και συμβολίζεται με t. Οι καταστάσεις των qubits πριν τη δράση της πύλης είναι c i > και t i > αντίστοιχα. Ενώ μετά την δράση της πύλης είναι c > και t >. Η πύλη CNOT αλλάζει την κατάσταση του qubit στόχου, όταν η κατάσταση του qubit ελέγχου είναι >, ενώ αφήνει την κατάσταση του qubit στόχου αναλλοίωτη, όταν η κατάσταση του qubit ελέγχου είναι >. Η κατάσταση του qubit ελέγχου c i > δεν μεταβάλλέται, δηλαδή ισχύει πάντα c i >= c >. Η πύλη CNOT περιγράφεται από τον παρακάτω πίνακα: CNOT= Τώρα θα δούμε την δράση αυτής της πύλης μέσα σε έναν κβαντικό καταχωρητή που αποτελείται από δύο qubits. Η γενική περιγραφή της δράσης αυτής της κβαντικής πύλης είναι: CNOT c i t i >= c t > Παράδειγμα Εστω ότι έχουμε έναν κβαντικό καταχωρητή με κατάσταση πριν την δράση της πύλης > και έχουμε: CNOT( >)= = = > Άρα η κατάσταση του qubit στόχου άλλαξε από > σε > διότι η κατάσταση του qubit ελέγχου είναι >. Θα δείξουμε και την περίπτωση δηλαδή: Εχουμε τώρα την κατάσταση του κβαντικού καταχωρητή >: CNOT( >)= = = >

69 57 Αφού η κατάσταση του qubit ελέγχου είναι >, η κατάσταση του qubit στόχου δεν αλλάζει. Θα δείξουμε και την όμοια περίπτωση με την προηγούμενη, δηλαδή: Εχουμε τώρα την κατάσταση του κβαντικού καταχωρητή >: CNOT( >)= = = > Θα δείξουμε και την όμοια περίπτωση με τις δύο προηγούμενες, δηλαδή: Εχουμε τώρα την κατάσταση του κβαντικού καταχωρητή >: CNOT( >)= = = > Παρακάτω φαίνονται το σύμβολο και οι ιδιότητες της πύλης CNOT, όπου στην πρώτη στήλη του πίνακα φαίνονται οι καταστάσεις των qubits πριν τη δράση της πύλης και στη δεύτερη οι καταστάσεις μετά τη δράση της πύλης: Πίνακας 4.6: Η κβαντική πύλη ελεγχόμενου NOT c i t i > c t > > > > > > > > > Η πύλη CNOT υλοποιείται στην κλάση Gates.java.

70 58 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 4. ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΒΑΝΤΙΚΟΥ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ Κβαντική πύλη ελεγχόμενης μετατόπισης φάσης Η κβαντική πύλη ελεγχόμενης μετατόπισης φάσης συμβολίζεται με CΦ και δρα κι αυτή σε δύο qubit. Το ένα ονομάζεται qubit ελέγχου και συμβολίζεται με c και το άλλο qubit στόχος και συμβολίζεται με t. Οι καταστάσεις των δύοqubits πριν τη δράση της πύλης είναι c i > και t i >. Ενώ μετά τη δράση της πύλης είναι c > και t >. Η πύλη CΦ πολλαπλασιάζει την κατάσταση του qubit στόχου με τον παράγοντα φάσης e if μόνο όταν η κατάσταση του qubit ελέγχου και η κατάσταση του qubit στόχου είναι. Σε όλες τις άλλες περιπτώσεις δε μεταβάλλει την κατάσταση των qubits. Η κβαντική πύλη ελεγχόμενης μετατόπισης φάσης περιγράφεται από τον ακόλουθο πίνακα: CΦ= e if Η γενική περιγραφή της δράσης της πύλης είναι: CΦ c i t i >= c t > Εχουμε τώρα την κατάσταση του κβαντικού καταχωρητή >: CΦ( >)= = = > e if Εχουμε τώρα την κατάσταση του κβαντικού καταχωρητή >: CΦ( >)= = =eif =eif > e if e if Δηλαδή, αλλάζει η γωνία φάσης της κατάστασης >. Εχουμε τώρα την κατάσταση του κβαντικού καταχωρητή >: CΦ( >)= = = > e if Ομοια με την πρώτη περίπτωση.

71 59 Εχουμε τώρα την κατάσταση του κβαντικού καταχωρητή >: CΦ( >)= = = > e if Ομοια με την πρώτη και τρίτη περίπτωση. Παρακάτω φαίνονται το σύμβολο και οι ιδιότητες της πύλης CΦ, όπου στην πρώτη στήλη του πίνακα φαίνονται οι καταστάσεις των qubits πριν τη δράση της πύλης και στη δεύτερη οι καταστάσεις μετά τη δράση της πύλης: Πίνακας 4.7: Η κβαντική πύλη ελεγχόμενης μετατόπισης φάσης c i t i > c t > > > > > > > > e if >

72 6 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 4. ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΒΑΝΤΙΚΟΥ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ Καθολικό θεώρημα - Universality Theorem Το Καθολικό θεώρημα-universality Theorem αναφέρει: Το σύνολο των κβαντικών πυλών που δρούν σε ένα qubit και η πύλη CNOT σχηματίζουν ένα γενικευμένο σύνολο κβαντικών πύλων-universal set of quantum gates, από το οποίο μπορεί να σχηματιστεί οποιοδήποτε κβαντικό κύκλωμα δηλαδή οποιοσδήποτε ορθομοναδιαίος-unitary πίνακας. Μπορούμε τώρα να εκτελέσουμε οποιονδήποτε κβαντικό υπολογισμό χρησιμοποιώντας μόνο αυτές τις πύλες. Επίσης όλες οι κβαντικές πύλες μπορούμε να τις ανάγουμε ως συνδυασμός δύο Hadamard και δύο πυλών φάσης.

73 6 Καταστάσεις Bell Η έννοια της κβαντικής διεμπλοκής περιγράφεται αναλυτικότερα στην ενότητα της αλλά θα χρησιμοποιήσουμε την έννοια αυτή τώρα σε περιορισμένη έκταση. Θα αναφέρουμε στην ενότητα των κβαντικών πυλών των δύο qubits μιας και χρησιποιούνται qubits έχουμε καταστάσεις Bell. Ορίζονται μέσω των σχέσεων: B = ( >+ >) B = ( >+ >) B = ( >- >) B = ( >- >) από όπου είναι έκδηλο ότι πρόκειται για καταστάσεις δύο qubits και επειδή ο χώρος αυτός είναι τετραδιάστατος μπορούν να θεωρηθούν και ως μια διαφορετική εκλογή βάσης σε αυτό τον χώρο έναντι της τετράδας >, >, >, >. Επιπλέον οι παραπάνω καταστάσεις είναι αμοιβαία ορθογώνιες και κανονικοποιημένες, οπότε μπορούν να θεωρηθούν ως μια άλλη ορθοκανονική βάση σε αυτόν τον χώρο. Από φυσικής πλευράς είναι επίσης φανερό ότι οι καταστάσεις Bell είναι διεμπλεγμένες καταστάσεις και το όνομα τους το πήραν από τον Bell που ανέδειξε τη θεμελιώδη σημασία τους. Ειδικότερα για qubits που πραγματώνονται μέσω των δύο καταστάσεων σπιν πάνω > και σπιν κάτω >. Δηλαδή θα είναι > > και > > οπότε η κατάσταση Bell B > θα γράφεται ως εξής: B >= (, )-(, ) ( > )-( > ) και η μορφή αυτή λέγεται κατάσταση EPR. Μια θεμελιωδής νέα δυνατότητα που μας παρέχει η πύλη CNOT είναι η διεμπλοκή των καταστάσεων που ήταν μη διεμπλεκόμενες πριν την δράση της. Ενα παράδειγμα ψ in >=(α > + β >) > όπου το πρώτο qubit είναι στην κατάσταση υπέρθεσης (α > + β > ενώ στο δεύτερο στην κατάσταση βάσης >.

74 6 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 4. ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΒΑΝΤΙΚΟΥ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ Παίρνωντας τώρα την CNOT πάνω στην προηγούμενη σχέση έχουμε: CNOT ψ in >=α > > + β > > που είναι μια διεμπλεγμένη κατάσταση αφού δεν μπορεί πλέον να γραφεί ως γινόμενο καταστάσεων των δύο qubits αλλά μόνο ως γραμμικός συνδυασμός τέτοιων γινομένων. Ειδικότερα για α=β=, η προηγούμενη σχέση γράφεται ως εξής: > > + > > και είναι η κατάσταση Bell B >. Επιπλέον μπορούν να δημιουργηθούν με τον ίδιο τρόπο και οι άλλες καταστάσεις Bell B xy >. Η κατασκευή του κυκλώματος για την δημιουργία καταστάσεων Bell είχει την εξής μορφή: Παράδειγμα B >= ( >)+( >) και παρόμοια για τις άλλες καταστάσεις.

75 Κβαντικές πύλες που δρούν σε τρία qubits Τώρα θα παρουσιάσουμε τις κβαντικές πύλες που δρούν σε τρία qubits Κβαντική πύλη Toffoli ή διπλά ελεγχόμενου ΟΧΙ (C-C-NOT) Η κβαντική πύλη διπλά ελεγχόμενου ΟΧΙ συμβολίζεται με CCNOT και δρα σε τρία qubit. Τα δύο qubits ονομάζονται qubits ελέγχου και συμβολίζονται με c και c και το άλλο qubit στόχος και συμβολίζεται με t. Οι καταστάσεις των τριών qubits πριν τη δράση της πύλης είναι c i >, c i > και t i >. Ενώ μετά την δράση της πύλης είναι c >, c > και t >. Η πύλη CCNOT αλλάζει την κατάσταση του qubit στόχου, όταν και τα δύο qubits ελέγχου βρίσκονται στην κατάσταση, ενώ δεν αλλάζει την κατάσταση του qubit στόχου σε κάθε άλλη περίπτωση. Οι καταστάσεις των qubits ελέγχου c i > και c i > δε μεταβάλλονται, δηλαδή πάντα ισχύει c i >= c > και c i >= c >. Η κβαντική πύλη διπλά ελεγχόμενου ΟΧΙ περιγράφεται από τον ακόλουθο πίνακα: CCNOT= Η γενική περιγραφή της δράσης της πύλης είναι: CCNOT= c i c i t i >= c c t > Θα δούμε την δράση αυτής της πύλης σε έναν καταχωρητή που αποτελείται από τρία qubits. Εστω ότι η κατάσταση του κβαντικού καταχωρητή πριν τη δράση της πύλης είναι >, τότε: CCNOT( >)= = = >

76 64 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 4. ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΒΑΝΤΙΚΟΥ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ Θα δούμε και την περίπτωση που η κατάσταση του κβαντικού καταχωρητή πριν την δράση της πύλης >: CCNOT( >)= = = > Παρακάτω φαίνονται το σύμβολο και οι ιδιότητες της πύλης CCNOT, όπου στην πρώτη στήλη του πίνακα φαίνονται οι καταστάσεις των qubits πριν τη δράση της πύλης και στη δεύτερη οι καταστάσεις μετά τη δράση της πύλης: ςοπψ.θπγ

77 65 Πίνακας 4.8: Η κβαντική πύλη διπλά ελεγχόμενου NOT c i c i t i > c c t > > > > > > > > > > > > > > > > > Η πύλη Toffili ή CCNOT υλοποιείται στην κλάση Gates.java Κβαντική πύλη Fredkin Η κβαντική πύλη Fredkin συμβολίζεται με F και δρα κι αυτή σε τρία qubit. Το ένα qubit ονομάζεται qubit ελέγχου και συμβολίζεται με c και τα άλλα δύο ονομάζονται qubits στόχοι και συμβολίζονται με t και t. Οι καταστάσεις των τριών qubits πριν τη δράση της πύλης είναι c i >, t i > και t i >. Ενώ μετά τη δράση της πύλης είναι c >, t > και t >. Η πύλη F εναλλάσσει τις καταστάσεις των qubits στόχων, όταν το qubit ελέγχου βρίσκεται στην κατάσταση >, ενώ όταν το qubit ελέγχου βρίσκονται στην κατάσταση > οι καταστάσεις των qubits στόχων δεν αλλάζουν. Η κατάσταση του qubit ελέγχου c i > δε μεταβάλλεται, δηλαδή ισχύει πάντα c i >= c >. Η κβαντική πύλη Fredkin περιγράφεται από τον ακόλουθο πίνακα: F= Η γενική περιγραφή της δράσης της πύλης είναι: F c i t i t i >= c t t > Θα δούμε την δράση αυτής της πύλης σε έναν καταχωρητή που αποτελείται από τρία qubits. Εστω ότι η κατάσταση του κβαντικού καταχωρητή πριν τη δράση της πύλης είναι >, τότε:

78 66 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 4. ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΒΑΝΤΙΚΟΥ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ F >= = = > Επίσης θα δούμε και την περίπτωση που η κατάσταση του κβαντικού καταχωρητή πριν τη δράση της πύλης είναι >, τότε: F >= = = > Δηλαδή οι καταστάσεις των qubits στόχων εναλλάχθηκαν επειδή το qubit ελέγχου ήταν στην κατάσταση >. Με τον ίδιο τρόπο υπολογίζουμε και τις άλλες περιπτώσεις. Παρακάτω φαίνονται το σύμβολο και οι ιδιότητες της πύλης Fredkin, όπου στην πρώτη στήλη του πίνακα φαίνονται οι καταστάσεις των qubits πριν τη δράση της πύλης και στη δεύτερη οι καταστάσεις μετά τη δράση της πύλης:

79 67 ςοπψ.θπγ Πίνακας 4.9: Η κβαντική πύλη Fredkin c i c i t i > c c t > > > > > > > > > > > > > > > > >

80 68 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 4. ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΒΑΝΤΙΚΟΥ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ Πίνακες Pauli Τρείς πάρα πολύ σημαντικοί πίνακες που θα μας χρειαστούν είναι οι πίνακες Pauli. Είναι επί πίνακες, οι οποίοι έχουν διάφορους συμβολισμούς. Τους αναφέρουμε πιο κάτω: Οι πίνακες Pauli είναι οι τρείς παρακάτω πίνακες: [ σ x = [ i σ y = i [ σ z = ] ] ] Ιδιότητες των πινάκων Pauli σx= σy= σz= σ x σ y =-σ y σ x = iσ z σ y σ z =-σ z σ y = iσ x σ z σ x =-σ x σ z = iσ y

81 Ο μετασχηματισμός U f Αντστοιχεί σε πύλη εισόδων αφού δρά σε qubit. Δηλαδή έχουμε: U f x> y>= x> y+ x > όπου + σημαίνει άθροισμα modulo. Το qubit x > ονομάζεται control qubit και δεν μεταβάλλεται. Το qubit y > ονομάζεται target qubit και η τιμή του εξαρτάται από την τιμή του f(x) Εάν είναι: f(x)= f(x)= Παράδειγμα Εάν f(x)=x έχουμε τότε ότι η αντίστοιχη πύλη ονομάζεται CNOT και είναι το κβαντομηχανικό ανάλογο της XOR πύλης Αναλυτικότερα έχουμε: U f x> y>= x> y+ x > Δέχεται τα x > και qubit y > ως εισόδους στη θέση του y εμφανίζει το άθροισμα modulo των y και x.

82 7 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 4. ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΒΑΝΤΙΚΟΥ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ Αντιγραφή qubit Η αντιγραφή ενός bit σε ένα κλασικό υπολογιστή είναι μια πάρα πολύ εύκολη διαδικασία. Αντίθετα η αντιγραφή ενός qubit ή αλλιώς cloning ενός κβαντικού bit είναι αδύνατον να συμβεί σε έναν κβαντικό υπολογιστή, δηλαδή δεν γίνεται η αντιγραφή μίας κατάστασης ενός qubit. Το θεώρημα μη αντιγραφής αναφέρει ότι δεν μπορεί να υπάρξει μια κβαντική πύλη C τέτοια ώστε: C q > = q q > όπου q > είναι ένα qubit με άγνωστη κατάσταση. Δηλαδή στους κβαντικούς υπολογιστές δεν θα έχουμε το καθιερομένο copy-paste που είχαμε στους κλασικούς υπολογιστές αλλά θα έχουμε μόνο copy-paste που είναι η μετακίνηση στοίχειου.

83 4.7. Το μοντέλο των κβαντικών υπολογισμών Εισαγωγή Οι συμβαντικοί υπολογιστές αποτελούνται κυρίως από λογικές πύλες και αγωγούς οι οποίοι με την σείρα τους δημιουργούν κυκλώματα. Οι λογικές πύλες των συμβαντικών υπολογιστών είναι φυσικά συστήματα και η πλήροφορία διέρχεται από αυτές τις πύλες. Αντίθετα, η πληροφορία στους κβαντικούς υπολογιστές βρίσκεται αποθηκευμένη σε qubits ή σε κβαντικούς καταχωρητές και παραμένει εκεί. Οι κβαντικές πύλες δεν είναι φυσικά συστήματα, αλλά αντιπροσωπεύουν δράσεις που ασκούνται σε qubits ή σε κβαντικούς καταχωρητές. Οι κβαντικοί υπολογισμοί είναι δράσεις τελεστών που οδηγούν στην περιστροφή διανυσμάτων στο χώρο Hilbert. Τα πιο διαδεδομένα μοντέλα κβαντικού υπολογισμού είναι: 7 Η κβαντική μηχανή Turing Το κυκλωματικό μοντέλο. Ομως το πιο διαδεδομένο και ευέλικτο είναι το κυκλωματικό μοντέλο. Σύμφωνα με το κυκλωματικό μοντέλο, κάθε κβαντικός υπολογισμός, απλός ή πολύπλοκος μπορεί να αναπαρασταθεί με ένα κύκλωμα. Αυτή είναι εξάλλου και η δύναμη αυτού του μοντέλου. Τα κυκλώματα που αναπαριστούν κβαντικούς υπολογισμούς λέγονται κβαντικά κυκλώματα και αποτελούνται από qubits, κβαντικούς καταχωρητές και κβαντικές πύλες.επιπλέον τα κβαντικά κυκλώματα είναι επέκταση των κλασικών λογικών κυκλωμάτων όμως δεν υπάρχει ροή ρεύματος-πληροφορίας από πύλη σε πύλη όπως συμβαίνει στα κλασικά κυκλώματα αλλά υπάρχουν εναλλασόμενες δράσεις κβαντικών πυλών σε κβαντικούς καταχωρητές όπου βρίσκεται αποθηκευμένη η πληροφορία. Τα κβαντικά κυκλώματα είναι εξαρτώμενα του χρόνου δηλαδή αναπαριστούν την χρονική σειρά και τον τρόπο με τον οποίο δρούν οι κβαντικές πύλες στους κβαντικούς καταχωρητές.

84 7 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 4. ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΒΑΝΤΙΚΟΥ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ Παράδειγμα Οι κβαντικές καταστάσεις του παραδείγματος μας θα είναι spin up ή > και spin down ή > που θα είναι αντίστοιχα κατάσταση πάνω και κάτω. Ο κβαντικός υπολογισμός αποτελείται από τα παρακάτω βήματα:. Βάζουμε αρχικά την κατάσταση spin up. Το κύκλωμα ενεργεί την κατάσταση βάζοντας μία κβαντική πύλη Hadamard(H). 3. Στο βήμα αυτό, δρά στα δεδομένα μας μια πύλη αδράνειας(ι) 4. Για δεύτερη φορά δρά στα δεδομένα μας μια πύλη Hadamard(H). 5. Τελικά, στο τελευταίο βήμα μετράμε τα αποτελέσματα της κατάστασης των δεδομένων μας. Σε αυτήν την εικόνα βλέπουμε πως απ την κατάσταση στην οποία έχουμε κβαντικά bits (qubit) επιστρέφουμε στον κλασικό κόσμο (κλασικά bits) και μετράμε την κατάσταση του συστήματος μας αφού έχει καταστραφεί η κβαντική υπέρθεση. Φυσικά με την καταστροφή της υπέρθεσης χάνουμε αρκετή ποσότητα κβαντικής πληροφορίας. Πρέπει εδώ να τονίσουμε ότι η μέτρηση ενός κβαντικού συστήματος είναι μη αναστρέψιμη διαδικασία. Στα κβαντικά κυκλώματα δεν πρέπει να υπάρχουν διακλαδώσεις, αφού δεν μπορούμε να αντιγράψουμε την κατάσταση ενός qubit. Επίσης, δεν πρέπει να υπάρχουν βρόχοι ανάδρασης. Επίσης, ο κβαντικός υπολογισμός είναι ένας ορθομοναδιαίος μετασχηματισμός που μετατρέπει την αρχική κατάσταση του κβαντικού συστήματος σε μια τελική κατάσταση.

85 73 Ολοι οι κβαντικοί υπολογισμοί που βασίζονται στο κυκλωματικό μοντέλο εκτελούνται με την ίδια διαδικασία που περιγράψαμε προηγουμένως. Συνοπτικά περιγράφεται ως εξής:. Δίνεται η αρχική κατάσταση των qubits που αποτελούν τον κβαντικό καταχωρητή Υπολογίζουμε το τανυστικό γινόμενο των πινάκων των καταστάσεων των qubits. Ο πίνακας που προκύπτει είναι η αρχική κατάσταση του κβαντικού καταχωρητή.. Υπολογίσουμε το τανυστικό γινόμενο των πινάκων που περιγράφουν τις κβαντικές πύλες που δρούν στο επόμενο βήμα του κβαντικού υπολογισμού. 3. Πολλαπλασιάσουμε τον πίνακα που προκύπτει από το τανυστικό γινόμενο των πινάκων των κβαντικών πυλών με τον πίνακα της κατάστασης του κβαντικού καταχωρητή. Το αποτέλεσμα είναι ο πίνακας της νέας κατάστασης του κβαντικού καταχωρητή. 4. Επαναλαμβάνουμε τα και 3 τόσες φορές όσα και τα βήματα του κβαντικού υπολογισμού κάθε φορά. 5. Η τελική κατάσταση του κβαντικού καταχωρητή είναι το αποτέλεσμα του κβαντικού υπολογισμού.

86 74 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 4. ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΒΑΝΤΙΚΟΥ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ Τώρα θα δώσουμε δύο αναλυτικά παραδείγματα κβαντικού υπολογισμού που είναι υλοποιημένα και σε κώδικα: 4.7. ος αναλυτικός κβαντικός υπολογισμός Βήμα : Ο κβαντικός καταχωρητής του κυκλώματος αποτελείται από ένα qubit και η κατάσταση του είναι η > και αντίστοιχα >. Οι πίνακες που αντιστοιχού στις καταστάσεις αυτές είναι οι εξής: [ ] >= = > + > και αντίστοιχα θε έχουμε: [ ] >= = > + > Αν μετρήσουμε την κατάσταση του κβαντικού καταχωρητή στο βήμα αυτό, θα βρούμε με πιθανότητα ίση με την μονάδα (δηλαδή σίγουρα) τις κατάστασεις > ή > αντίστοιχα. Βήμα : Στο βήμα αυτό στο qubit δρα η πύλη Hadamard (H). Η οποία μετασχηματίζει την κατάσταση ή αντιστοιχα σε υπέρθεση των καταστάσεων Η( >=[ ] [ ] =[ ]= > + >= ( > + >) και αντίστοιχα στην κατάσταση >: ] [ ] [ ] Η( >=[ = = > >= ( > >) Βήμα 3: Κανονικοποιούμε και κάνουμε μέτρηση των καταστάσεων που έχει ως αποτέλεσμα να καταρευσεί η υπέρθεση που είχαμε στο προηγούμενο βήμα. Ετσι μετράμε τις πιθανότητες από την κατάσταση > και αντίστοιχα >. Η συνολική δράση των κβαντικών πυλών σε ένα βήμα του κβαντικού υπολογισμού εκφράζεται από το τανυστικό γινόμενο των πινακών που περιγράφουν τις πύλες αυτές.

87 4.7.3 ος αναλυτικός κβαντικός υπολογισμός Βήμα : Ο κβαντικός καταχωρητής του κυκλώματος αποτελείται από δύο qubits και η κατάσταση του είναι η >. Ο πίνακας που αντιστοιχεί στην κατάσταση αυτή είναι το τανυστικό γινόμενο των πινάκων που αντιστοιχούν στις καταστάσεις των δύο qubits δηλαδή: [ >= ] [ ] = = >+ >+ >+ > Αν μετρήσουμε την κατάσταση του κβαντικού καταχωρητή στο βήμα αυτό θα βρούμε πιθανότητα ίση με την μονάδα (δηλαδή σίγουρα) την κατάσταση >. Στο δεύτερο βήμα του κβαντικού υπολογισμού δρά η πύλη Η. Ο παραπάνω πίνακας δείχνει τις πιθανότητες για τον κάθε συνδιασμό qubit. Βήμα : Στο βήμα αυτό, στα qubits δρά η πύλη Hadamard(H) Η οποία μετασχηματίζει την κατάσταση > σε υπέρθεση των καταστάσεων: Η( > = = >+ >- >+ > = Αντίστοιχα στις άλλες 3 καταστάσεις δηλαδή >, > και >. Βήμα 3: Κάνουμε μέτρηση των καταστάσεων που έχει σαν αποτέλεσμα να καταρευσεί η υπέρθεση που είχαμε στο προηγούμενο βήμα. Ετσι μετράμε τις πιθανότητες από την κατάσταση >, >, > και >. 75

88 76 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 4. ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΒΑΝΤΙΚΟΥ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ 4.8 Η κατάσταση της κβαντικής διεμπλοκής (entanglement) 4.8. Εισαγωγή Η κβαντική διεμπλοκή προέρχεται από ένα άρθρο των Albert Einstein, Boris Podolsky και Nathan Rosen που δημοσιεύτηκε το 935. Σε αυτό το άρθρο είχαν ως στόχο να δείξουν ότι η κβαντική μηχανική δεν είναι μία ολοκληρωμένη φυσική θεώρία αλλά από την κβαντική περιγραφή της φύσης λείπουν ορισμένες παράμετροι. Σαν μοντέλο για την απόδειξη τους, οι Einstein, Podolsky και Rosen χρησιμοποίησαν ένα πείραμα στο οποίο δύο κβαντικά συστήματα αλληλεπιδρούν μεταξύ τους και μετά απομακρύνονται το ένα από το άλλο, όσο μακρία θέλουμε. Ομως παρά την απομάκρυνση των κβαντικών συστημάτων θεωρητικά άπειρη απόσταση βλέπουμε ότι τα συστήματα παραμένουν διασυνδεδεμένα το ένα με το άλλο με άγνωστο τρόπο. Αυτό το φαινόμενο έχει ως συνεπακόλουθο ότι με την μέτρηση του ενός κβαντικού συστήματος πάνω σε μία φυσική ποσότητα, ακαριαία καθορίζει το αποτέλεσμα του άλλου κβαντικού συστήματος πάνω στην ίδια ποσότητα. Το πείραμα αυτό είναι ευρέως γνωστό ως EPR ή παράδοξο EPR που πήρε το όνομα του από τα αρχικά των επιθέτων των τριών ερευνητών που συνέταξαν το άρθρο. Το παράδοξο EPR προκάλεσε συζήσεις και πολλές φορές διαμάχες μεταξύ των ερευνητών λόγω μη κατανόησης του από την επιστημονική κοινότητα. Οι διαμάχες συνεχίστηκαν μέχρι που ήλθε ο John Bell με ένα άρθρο που δημοσιέτηκε το 964 απέδειξε με την χρήση ανισοτήτων, γνωστές ως ανισότητες Bell, ότι η κβαντική μηχανική είναι μία ολοκληρωμένη φυσική θεωρία. Αυτό το άρθρο αποδείχτηκε αργότερα και πειραματικά.

89 77 Το 935 ο Erwin Schrodinger σε άρθρο του, για να περιγράψει την άγνωστη αυτή διασύνδεση μεταξύ δύο κβαντικών συστημάτων χρησιμοποίησε τον όρο verschrankung που έχει την έννοια σταυρώνω τα χέρια. Ο όρος αποδόθηκε στα Αγγλικά ως entanglement και στα Ελληνικά μπορεί να αποδοθεί ως εναγκαλισμός, περιπλοκή ή διεμπλοκή. Η κβαντική διεμπλοκή είναι η πιο δυσνόητη πλευρά της κβαντικής μηχανικής και δεν έχει κλασικό ανάλογο. Κάθε χρόνο δημοσιεύονται δεκάδες άρθρα σε επιστημονικά περιοδικά που έχουν σαν στόχο την κατανόηση, το χειρισμό και τον μέτρηση της κβαντικής διεμπλοκής. Η κβαντική διεμπλοκή για τους κβαντικούς υπολογιστές είναι ένας φυσικός πόρος, όπως είναι η ενέργεια. Την χρησιμοποιούμε για να εκτελέσουμε κβαντικούς υπολογισμούς και να αναπτύξουμε κβαντικούς αλγόριθμους. Το σημείο που πρέπει να κατανοήσουμε είναι ότι δεν προσπαθούμε καταλάβουμε την φύση της κβαντικής διεμπλοκής αλλά να μπορούμε να την παράγουμε, να την ελέγχουμε και την χρησιμοποιούμε. Δύο κβαντικά συστήματα βρίσκονται σε κβαντική διεμπλοκή όταν η κατάσταση τους δεν μπορεί να γραφεί ως τανυστικό γινόμενο των βασικών τους καταστάσεων Ας θεωρήσουμε ότι τα δύο κβαντικά συστήματα είναι qubits. Τότε θα έχουμε δύο qubits το q s > και το q s > που βρίσκονται στην κατάσταση q s > η οποία δίνεται από: q s >= ( > + >) Η q s > μπορεί να εκφραστεί: q s >= ( > + >)= > [ ( > + >)] Δηλαδή οι καταστάσεις των q s > και q s > είναι: q s >= > q s >= ( > + > και η q s > μπορεί να εκφραστεί: q s >= q s > q s > Δηλαδή, η q s > μπορεί να εκφραστεί ως τανυστικό γινόμενο των καταστάσεων των δύο qubits, οπότε τα q s > και q s > δεν βρίσκονται σε κβαντική διεμπλοκή

90 78 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 4. ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΒΑΝΤΙΚΟΥ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ αλλά σε υπέρθεση καταστάσεων. Θεωρούμε άλλα δύο qubits το q e > και το q e > τα οποία βρίσκονται στην κατάσταση q e > που δίνεται από: q e >= ( > + >) Η q e > δεν μπορεί να εκφραστεί ως τανυστικό γινόμενο των καταστάσεων των δύο qubits, οπότε τα q e > και q e > βρίσκονται σε κβαντική διεμπλοκή. Ενα ακόμα παράδειγμα (με διαφορετικές μεταβλητές από πρίν) Η κατάσταση ψ> AB = > AB + > AB είναι κατάσταση συμπλοκής των κβαντικών καταστάσεων-bit Η κατάσταση αυτή δεν μπορεί να περιγραφεί ως ξεχωριστές καταστάσεις των qubit δηλαδή δεν υπάρχουν a, b, c, d τέτοιο ώστε: (a > A +b > A ) (a > B +b > B )= ( > AB + > AB ) επειδή: (a > A +b > A ) (a > B +b > B )= (a a > AB +a b > AB +b a > AB +b b > AB ) Αλλά για να φτάσω στην κατάσταση που θέλω θα πρέπει a a = το οποίο σημαίνει είτε ότι a a = είτε b b =.

91 79 Αυτά που θα αναφερθούν σχετικά με την παραγωγή της διεμπλοκής θα εφαρμοστούν στον αλγόριθμο του Shor Κβαντική διεμπλοκή qubits Τώρα θα παράξουμε την διεμπλοκή με το ελάχιστο πλήθος qubits που μπορούμε να έχουμε, δηλαδή. Για να το κάνουμε αυτό θα χρειαστούμε δύο κβαντικές πύλες, την πύλη Hadamard και την πύλη CNOT, Θα αρχικοποιήσουμε τα qubits στην κατάσταση > και έχουμε σχηματικά: CNOT = υπολογιστικά: + + = = + ( >+ >) = Το αποτέλεσμα που βρήκαμε πρωτύτερα αναφέρεται σε δύο qubits άρα σε τέσσερις διαφορετικές καταστάσεις κβαντικής διεμπλοκής, μία για κάθε έναν από τους τέσσερις συνδυασμούς των αρχικών καταστάσεων.

92 8 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 4. ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΒΑΝΤΙΚΟΥ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ Ετσι έχουμε: > ( >+ >) > ( >+ >) > ( >- >) > ( >- >) Οι τέσσερις καταστάσεις κβαντικής διεμπλοκής που αναφέραμε πρίν ονομάζονται καταστάσεις Bell ή ζεύγη EPR.

93 4.9 Η κατάσταση της κβαντικής αποσυνοχής (decoherence) Η κβαντική αποσυνοχή συμβάινει σε κάθε κβαντικό σύστημα το οποίο αλληλεπιδρά με το εξωτερικό περιβάλλον δηλαδή σπάει η απομόνωση του κβαντικού μας συστήματος. Αν η σύζευξη με το περιβάλλον είναι αρκετά ισχυρή, τότε η αρχική υπέρθεση των κβαντικών καταστάσεων χάνεται παρα πολύ γρήγορα. 8 Η κβαντική αποσυνοχή είναι μια από τις αποτελεσματικότερες και ταχύτερες διεργάσιες της φύσης. Χάρη της εμπλοκής του εξωτερικού περιβάλλοντος στον κβαντικό σύστημα, μας καταστρέφει την υπέρθεση, που είναι απαραίτητο συστατικό για την κατασκευή ενός κβαντικού υπολογιστή. Για αυτό θέλουμε να ελέγχουμε τα φαινόμενα αποσυνοχής.

94 8 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 4. ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΒΑΝΤΙΚΟΥ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ

95 Κεφάλαιο 5 Κβαντικοί αλγόριθμοι 5. Εισαγωγή Οι κβαντικοί αλγόριθμοι εκμεταλεύονται το φαίνομενο της υπέρθεσης για να πραγματοποιήσουν υπολογισμούς. Αυτό είναι το κύριο χαρακτηριστικό που τους διαφοροποιεί απο τους κλασικούς αλγόριθμους. Πρώτα από όλα, η είσοδος και η έξοδος ενός κβαντικού αλγορίθμου είναι n κλασικά bits πάντα. Η διαφορά και παράλληλα η δύναμη ενός κβαντικού αλγορίθμου είναι στην ενδιάμεση κατάσταση, εκεί δηλαδή που λαμβάνουν χώρα τα κβαντικά φαινόμενα. Οι κβαντικοί αλγόριθμοι είναι πιθανοκρατικοί. Επιπλέον η σωστή απάντηση 83

96 84 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 5. ΚΒΑΝΤΙΚΟΙ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ μπορεί να προκύψει με μεγάλη πιθανότητα αν επαναλαμβάνουμε τον αλγόριθμο αρκετές φορές, ετσι ώστε η πιθανότητα σφάλματος να είναι όσο το δυνατόν μικρότερη.

97 5. Κβαντικός αλγόριθμος του Deutsch-Jozsa 5.. Αλγόριθμος του Deutsch Εστω μια συνάρτηση f(x) τέτοια ώστε: f(x) : {, } {, } Δηλαδή η μεταβλητή x και η συνάρτηση f(x) μπορούν να πάρουν μόνο τις τιμές ή. 85 Το πρόβλημα που διατύπωσε ο Deutsch είναι το εξής: Για κάθε παρόμοια συνάρτηση υπάρχουν δύο περιπτώσεις:. f()=f(), οπότε η συνάρτηση θα ονομάζεται σταθερή (constant), ή. f() f(), οπότε η συνάρτηση θα ονομάζεται ισορροπημένη (balanced). Αν μας δώσουν μια τέτοια συνάρτηση, με ένα και μόνο υπολογισμό της f(x) να βρεθεί αν η συνάρτηση είναι σταθερή ή ισορροπημένη. Κλασική απάντηση Αν προσπαθήσουμε να το λύσουμε με έναν κλασικο μαθηματικό τρόπο θα πρέπει να υπολογίσουμε την τίμη f(), στη συνέχεια θα υπολογίσουμε την τιμή f() και θα συγκρίνουμε τα αποτελέσματα.

98 86 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 5. ΚΒΑΝΤΙΚΟΙ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ Αν τα αποτέλεσματα είναι ταυτόσημα τότε η συνάρτηση είναι σταθερή ενώ σε διαφορετική περίπτωση η συνάρτηση είναι ισορροπημένη. Ομως μπορούμε να βρούμε λύση σε αυτό το πρόβλημα με έναν μόνο υπολογισμό Στην προκειμένη περίπτωση η απάντηση είναι όχι, όμως ας δούμε πως συμπεριφέρεται ένας κβαντικός υπολογιστής στο ίδιο πρόβλημα. Κβαντική απάντηση Για την κβαντική λύση θα χρειαστούμε μία συνάρτηση U f το οποίο είναι ίδα με τον μετασχηματισμό U f που αναφερθήκαμε στο κεφάλαιο Επιπλέον έχουμε πύλες Hadamard σαν είσοδο με την βοήθεια της υπέρθεσης δηλαδή τις Hadamard πύλες. Ακουλουθεί ο μετασχηματισμός U f και μετά οι άλλες δύο πύλες Hadamard που λειτουργούν ως αντίστροφη υπέρθεση δηλαδή μετασχηματίζω τα δεδομένα από κβαντικά σε κλασικά bit. Επιπρόσθετα έχουμε και δύο σύρματα που τροφοδοντούται από δύο qubits. Σχηματικά έχουμε: Ο αλγόριθμος του Deutsch είναι και αυτός ένας κβαντικός υπολογισμός και περιγράφεται από το κβαντικό κύκλωμα παραπάνω. Η αρχική κατάσταση του πρώτου qubit είναι > και του δεύτερου >.

99 87 Βήματα του κβαντικού αλγορίθμου Deutsch Βήμα ο Η κατάσταση του κβαντικού καταχωρητή που θα την ονομάσουμε q > είναι >. Συγκεκριμένα, ξέρουμε ότι η κατάσταση περιγράφεται από τον πίνακα: q > = > = Βήμα ο Σε αυτήν την κατάσταση δρούν οι δύο κβαντικές πύλες που προαναφέραμε ως είσοδο της υπέρθεσης Hadamard δηλαδή υπησέρχονται τα κβαντικά φαινόμενα. Στην συνέχεια υπολογίζουμε το τανυστικό γινόμενο των καταστάσεων και η νέα κατάσταση του κβαντικού καταχωρητή, η q > είναι: q > = (Η Η) q > = (Η Η) > = = =+ > + > + > >= + ( > > > > + > > > >) Βήμα 3ο Σε αυτό το βήμα η κατάσταση του κβαντικού καταχωρητή, q 3 > η οποία θα δρα η κβαντική πύλη U f και έτσι θα έχουμε: q 3 > = U f ( q >) = U f (+ ( > > > > + > > > >) = + (U f > > U f > > +U f > > U f > >) = ( > f() > > f() > + > f() > > f() >) + Σταθερή Συνάρτηση: Περίπτωση η f() = και f() = τότε η προηγούμενη σχέση γίνεται: q 3 > = + ( > > > > + > > > >)

100 88 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 5. ΚΒΑΝΤΙΚΟΙ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ Πίνακας 5.: Περιπτώσεις του κβαντικού αλγορίθμου Deutsch Περίπτωση Είδος συνάρτησης Αποτέλεσμα Σταθερή f() = και f() = > > > Σταθερή f() = και f() = > > > Ισορροπημένη f() = και f() = > > > Ισορροπημένη f() = και f() = > > > Περίπτωση η f() = και f() = τότε η προηγούμενη σχέση γίνεται: q 3 > = + ( > > > > + > > > >) = ( > > + > > > > + > >) + Ισορροπημένη Συνάρτηση: Περίπτωση 3η f() = και f() = τότε η προηγούμενη σχέση γίνεται: q 3 > = + ( > > > > + > > > >) = ( > > > > > > + > >) + Περίπτωση 4η f() = και f() = τότε η προηγούμενη σχέση γίνεται: q 3 > = + ( > > > > + > > > >) = ( > > + > > + > > > >) + Βήμα 4ο Σε αυτό το βήμα δρούν οι κβαντικές πύλες Η και Ι και το τανυστικό γινόμενο που είναι ίδιο με το προηγούμενο. Θα υπολογίσουμε την τελική κατάσταση q 4 > του κβαντικού καταχωρητή, έχουμε: q 4 > = (Η Ι) q 3 > = = + =+ > - > = + > > ( > >- > > = >( ) +

101 89 Μέτρηση Οταν η συνάρτηση f(x) είναι σταθερή τότε το ο qubit είναι πάντα >. Οταν όμως είναι ισορροπήμενη, το ο qubit βρίσκεται πάντα στην κατάσταση >. Ομως δεν είναι απαιραίτητο να μετρήσουμε την κατάσταση του ου qubit γιατί μας αρκεί το ο qubit. Με τον αλγόριθμο του Deutsch μπορούμε να υπολογίσουμε την f(x) με ένα μόνο πέρασμα-υπολογισμό της τιμής της συνάρτησης, κάτι που δεν είναι δυνατόν με την χρήση κλασικών υπολογιστών

102 9 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 5. ΚΒΑΝΤΙΚΟΙ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ Γενικότερα: Θα γενικεύσουμε με έναν λίγο διαφορετικό συμβολισμό Θα γενικεύσουμε τον αλγόριθμο του Deutsch και σε άλλες συναρτήσεις. Θα μιλήσουμε για συναρτήσεις σε μεγαλύτερο πεδιό ορισμού από ότι μιλήσαμε στον αλγόριθμο του Deutsch που ήταν f : {, } {, }. Θα εισάγουμε συναρτήσεις με f : {, } n {, } που θα δέχεται μια συμβολοσειρά από n μηδενικά και άσσους και έχει ως έξοδο ένα μηδενικό ή άσσο. Το πεδίο ορισμού είναι ένα οποιόδηποτε φυσικός αριθμός από μέχρι n. Σε πινακοειδή μορφή έχουμε: (H n I)U f (H n H), > Τα βήματα του γενικότερου αλγορίθμου Deutsch - Jozsa Βήμα Αρχική κατάσταση: ψ > =, > Βήμα Τώρα θα βάλουμε την είσοδο σε κατάσταση υπέρθεσης για όλες τις πιθανές εισόδους και έχουμε: ψ > = > > n n x {,} x Βήμα 3 Αφού εισάγαμε την συνάρτηση U f έχουμε: ψ > = n x {,} n( )f(x) x > >

103 9 Βήμα 4 Τελικά, εφαρμόσουμε την H n για δεύτερη φορά στα πάνω qubits τα οποία είναι ήδη σε υπέρθεση από το βήμα οπότε θα πάρουμε για όλες τις πιθανές εισόδους,x καταστάσεις, μία υπέρθεση της υπέρθεσης και έχουμε: ψ 3 > = n x {,} n( )f(x) x z {,} n( )<z,x> z > > = n x {,} n z {,} n( )f(x) <z,x> z > > Μέτρηση Εχουμε θέσει το z = και βάζοντας < z, x >=<, x > για όλα τα x. Σε αυτήν την περίπτωση έχουμε μειώσει το ψ 3 > σε: n x {,} n( )f(x) > > Σταθερή Συνάρτηση: Περίπτωση η Αν η f(x) είναι σταθερή στο τότε τα πάνω qubits γίνονται: n x {,} n( ) = (n ) = n Περίπτωση η Αν η f(x) είναι σταθερή στο τότε τα πάνω qubits γίνονται: n x {,} = n n = + n Ισορροπημένη Συνάρτηση: Περίπτωση 3η Αν η f είναι ισορροπημένη, τότε τα μίσα από τα x θα ακυρώσουν τα άλλα μισά κάτω τα πάνω qubits γίνονται: n x {,} n( )f(x) = = n Οταν θα μετρήσουμε τα πάνω qubits του ψ 3 >, θα πάρουμε μόνο εάν η συνάρτηση είναι σταθερή. Αν βγάλουμε οποιοδήποτε άλλο αποτέλεσμα, φυσικά μετά την μέτρηση τότε η συνάρτηση θα είναι ισορροπημένη. Οπότε λύσαμε το πρόβλημα σε ένα υπολογιστικό πέρασμα της συνάρτησης σε αντιδιαστολή με τον κλασικό αλγόριθμο που θέλει n + περάσματα της συνάρτησης

104 9 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 5. ΚΒΑΝΤΙΚΟΙ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ 5.3 Κβαντικος αλγόριθμος περιοδικότητας του Simon Ο αλγόριθμος του Simon έχει σκοπό να βρίσκει πρότυπα μέσα σε συναρτήσεις. Αυτός ο αλγόριθμος είναι μια μίξη κβαντικών και κλασικών διεργασιών. Υποθέτουμε ότι μας δίνεται η συνάρτηση f :, n, n που είναι black box. Είμαστε βέβαιοι ότι υπάρχει ένα μυστικό-κρυφό δυαδικό κλειδί το οποιό είναι c = c c c c 3... c n, τέτοιο ώστε για όλες τις συμβολοσειρές x, y, n έχουμε: f(x) = f(y) αν και μόνο αν x = y c όπου είναι αποκλειστικό-ή λειτουργία. Με άλλα λόγια οι τιμές της f επαναλαμβάνονται με ένα πρότυπο και αυτό το πρότυπο μας το δίνει η c. Καλούμε την c περίοδο της f. Ο στόχος του αλγορίθμου του Simon είναι να προσδιορίσει το c. Παράδειγμα Εχουμε n = 3 και επιπλέον έχουμε c =. Οποτε θα έχουμε τα ακόλουθες προυποθέσεις στην f:

105 93 = ως εκ τούτου, f() = f(). = ως εκ τούτου, f() = f(). = ως εκ τούτου, f() = f(). = ως εκ τούτου, f() = f(). = ως εκ τούτου, f() = f(). = ως εκ τούτου, f() = f(). = ως εκ τούτου, f() = f(). = ως εκ τούτου, f() = f(). Κλασική απάντηση Εχουμε να υπολογίσουμε την f σε διαφορετικές δυαδικές συμβολοσειρές. Μετά από κάθε υπολογισμό, κοιτάμε αν η έξοδος έχει ήδη βρεθεί. Αν ένας υπολογισμός βρίσκει δύο εισόδους x και x τέτοιες ώστε f(x ) = f(x ), τότε είμαστε βέβαιοι ότι: x = x c και μπορούμε να βρούμε το c αν βάλουμε και από τις δύο μεριές το x δηλαδή: x x = x c x = c.

106 94 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 5. ΚΒΑΝΤΙΚΟΙ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ Κβαντική απάντηση Το κβαντικό μέρος του αλγορίθμου του Simon ορίζεται όπως το παρακάτω σχήμα αν το επαναλάβουμε πολλές φορές δηλαδή: Σε πινακοειδή μορφή έχουμε: (H n I)U f (H n I), > Βήματα του αλγορίθμου Βήμα Αρχική κατάσταση: ψ > =, > Βήμα Τώρα θα βάλουμε την είσοδο σε κατάσταση υπέρθεσης για όλες τις πιθανές εισόδους και έχουμε: ψ > = n n x {,} x, Βήμα 3 Θα υπολογίσουμε την f με όλες αυτές τις πιθανότητες και έχουμε: ψ 3 > = n n x {,} x, f(x) Βήμα 4 Και τελικά θα εισάγουμε το H n στο επάνω qubit, δηλαδή: ψ 4 > = n x {,} n x {,} n( )<z,x> x, f(x) Άρα για κάθε είσοδο x και για κάθε z, είμαστε σίγουροι για το ένα το οποίο μας δίνει την συνάρτηση στην οποία το ket z, f(x) είναι ίδιο με το z, f(x c). Ο

107 95 συντελεστής για αυτό το ket είναι τότε: ( ) <z,x> +( ) <z,x c> Ας εξετάσουμε εις βάθος, αυτόν τον συντελεστή. Ξέρουμε ότι το εσωτερικό γινόμενο ( ) <z,x> +( ) <z,x c> = ( )<z,x> +( ) <z,x> <z,c> = ( )<z,x> +( ) <z,x> +( ) <z,c> Άρα αν έχουμε < z, c >=, τα αριθμητικά μεγέθη του συντελεστή ακυρώνονται μεταξύ τους και θα έχουμε. Σε αντίθεση, θα έχουμε αν ε < z, c >=, το άθροισμα θα είναι ± = ±. Οποτε θα μετρήσουμε τα επάνω qubits, και θα βρούμε μόνο τις δυαδικές συμβολοσειρές για τις οποίες < z, c >=. Για μία δοσμένη περιοδική f, μπορούμε να βρούμε την περίοδο c με n υπολογισμούς σε αντίθεση με τον κλασικό αλγόριθμο που θα κάνει n +.

108 96 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 5. ΚΒΑΝΤΙΚΟΙ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ 5.4 Κβαντικος αλγόριθμος αναζήτησης του Grover Κλασική αναζήτηση σε μη δομημένες βάσεις δεδομένων Κλασική απάντηση Οπως ξέρουμε η γραμματεία της σχολής του εκάστοτε τμήματος του πανεπιστημίου περιέχει ένα μεγάλο αριθμό ονόματων φοιτητών στους οποίους αντιστοιχεί ένας αριθμός μητρώου. Είναι ταξινομημένα ως προς τον αριθμό μητρώου (ΑΕΜ) δηλαδή όσο πιο πρόσφατα εισήλθε ένας φοιτητής στο τμήμα τόσο υψηλότερο αριθμό μητρώου έχει. Οπότε η γραμματεία με έναν κλασικό υπολογιστή μπορεί πολύ εύκολα να βρεί οποιονδήποτε φοιτητή. Δηλαδή οι οι γραμματείες είναι δομημένες βάσεις όσον αναφορά τους αριθμούς μητρώου. Ενας κλασικός υπολογιστής για να μπορεί να διερευνήσει μία μη δομημένη βάση δεδομένων και να βρεί το ζητούμενο στοιχείο, πρέπει να τα εξαντλήσει όλα τα στοιχεία, ένα προς ένα. Αυτός είναι ο ταχύτερος κλασικός αλγόριθμος αναζήτησης που μέχρι στιγμής έχει βρεθεί για το προηγούμενο πρόβλημα. Ο αλγόριθμος αυτός εμπεριέχει παρα πολύ το στοιχείο της τύχης.

109 97 Δηλαδή αν μια μη δομημένη βάση δεδομένων περιέχει Ν στοιχεία και μόλις αρχίσουμε το ψάξίμο βρίσκουμε απευθείας το στοιχείο που θέλουμε τότε είμαστε τυχεροί αλλιώς, θα το βρούμε σε Ν προσπάθεις, οπότε είμαστε άτυχοι. Σε γενικά πλαίσια, για να βρούμε ένα στοιχείο σε μία μη δομημένη βάση δεδομένων με Ν στοίχεια, πρέπει να ψάξουμε κατα μέσο όρο Ν/ φορές. Ο(Ν/) Υποθέστε ότι θέλουμε να διερευνήσουμε μία μη δομημένη βάση δεδομένων που αποτελείται από Ν στοιχεία. Καθέ στοιχείο της βάσης έχει πάρει την τιμή από έως Ν-. Το σύστημα αυτό σε έναν κλασικό υπολογιστή μπορεί να είναι ένας καταχωρητής όπου έχουμε αποθηκεύσει τον αριθμό που ψάχνουμε να βρούμε. Επίσης αποθηκεύουμε ένα κύκλωμα λογικών πυλών. Το κύκλωμα αυτό συγκρίνει με κάθε αριθμό ο οποίος έρχεται στην είσοδο του. Το σύστημα αυτό είναι μαύρο κουτί για εμάς και λέγεται στην διεθνή βιβλιογραφία ως oracle που στα ελληνικά λέγεται μάντης. Θα γυρίσουμε λίγο πίσω στον ορισμό της βάσης. Εχουμε ότι το στοιχείο που αντιστοιχεί στον αριθμό k συμβολίζεται με x k. Το oracle είναι μία συνάρτηση f(x) η οποία παίρνει μόνο τις τιμές και. Αν το στοιχείο που ψάχνουμε είναι το x k, τότε: {, x = xk f(x) =, x x k Ετσι παρουσιάζουμε ένα στοίχειο στο oracle και αν είναι αυτό που ψάχνουμε, το oracle αποκρίνεται με, αν όχι αποκρίνεται με. Ας δούμε το πρόβλημα της διερεύνησης μιας μη δομημένης βάσης δεδομένων, γενικότερα. Η γενίκευση αυτή ισοδυναμεί με τις λειτούργιες ενός κβαντικού υπολογιστή. Συγκεριμένα, θεώρουμε ότι η βάση περιέχει Ν στοιχεία και χωρίς περιορισμό της γεκικότητας έχουμε ότι: N = n, n =,, 3... Δηλαδή θέλουμε το πλήθος των στοιχείων της βάσης να μπορεί να γράφεται ως εκθέτης με βάση το. Αν έχουμε λιγότερα στοχεία, μπορούμε να προσθέσουμε όσα στοιχεία χρειάζονται ώστε να φτάσουμε στον αριθμό στοιχειών που θέλουμε.

110 98 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 5. ΚΒΑΝΤΙΚΟΙ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ Κβαντική αναζήτηση σε μη δομημένες βάσεις δεδομένων Κβαντική απάντηση Οπως πριν στην κλασική απάντηση θα ορίσουμε την συνάρτηση, Εχουμε λοιπόν: Μας δίνεται η συνάρτηση από f : [, ] n [, ] και είμαστε βέβαιοι ότι υπάρχει ακριβώς μία δυαδική συμβολοσειρά x k έτσι ώστε: {, x = xk f(x) =, x x k Μας ζητάει να βρούμε το x k. Αν το παίρναμε με τον κλασικό τρόπο που περιγράψαμε λίγο πιο πάνω, θα είχαμε στην χειρότερη περίπτωση να υπολογίσουμε όλες τις τιμές των n που είναι δυαδικές συμβολοσειρές, για να βρούμε τελικά το ζητούμενο x k. /νεωλινε Σε αντιδιαστολή με τον αλγόριθμο του Grover, που απαιτεί μόνο n = n υπολογισμούς. Η f θα δίνεται σε εμάς ως μοναδιαίος πίνακας U f που μετασχηματίζει το x, y > σε x, f(x) y >. Κάθε στοιχείο της βάσης το αντιστοιχίζουμε με μία από τις βασικές καταστάσεις ενός κβαντικού καταχωρητή που περιλαμβάνει n qubits. Δηλαδή, το στοιχείο που αντιστοιχεί στην βασική κατάσταση...> που στην δεκαδική αναπαράσταση είναι η 5> και συμβολίζεται με x 5 >. Επιπλέον αφού πάμε το κάθετι στο κβαντικό ανάλογο του, θα έχουμε και το κβαντικό oracle που θα ειναι ισοδύναμο με την U f. Εχουμε λοιπόν:

111 Λειτουργία Ανάστροφης Φάσεως - Μετασχηματισμός Ô Ο τελεστής αυτός αντιστρέφει το πρόσημο του x i =x k αλλιώς το αφήνει αναλλοίωτο. Ο μετασχηματισμός Ô είναι και αυτός τελεστής του χώρου Hilbert. Αν το στοιχείο που ψάχνουμε στην βάση, αντιστοιχεί στην κβαντική κατάσταση x i > Ô = Î - x i><x i όπου Î είναι η πύλη αδράνειας. Το αποτέλεσμα της δράσης του μετασχηματισμού Ô όμως, στην βασική κβαντική κατάσταση που ψάχνουμε δηλαδή την x i >: Ô = (Î - x i><x i ) = Î x i> - x i ><x i x i > = x i > - x i > = - x i > όπου <x i x i > = επειδή είναι ορθογώνιες. Άρα ο μετασχηματισμός Ô άλλαξε το πρόσημο της κβαντικής κατάστασης x i >. 99 Τώρα θα επιλέξουμε μια τυχαία βασική κβαντική κατάσταση x k >, η οποία δεν είναι αυτή που ψάχνουμε. Ετσι θα έχουμε: Ô x k > = (Î - x i><x i ) x k > = Î x k> - x i ><x i x k > = x k > - x i ><x i x k > όπου x i > και x k > είναι οι διαφορετικές κβαντικές καταστάσεις του κβαντικού καταχωρητή. Επιπλέον όπως είδαμε πρωτύτερα οι καταστάσεις <x i x k > =. Οπότε έχουμε: Ô( x k >) = x k > - x i ><x i x k > = x k > Δηλαδή ο μετασχηματισμός Ô ενήργησε και παρήγαγε την ίδια κατάσταση x k>.

112 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 5. ΚΒΑΝΤΙΚΟΙ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ Αντιστροφή γύρω από τον Μέσο Ορο - Μετασχηματισμός G Ο μετασχηματισμός αυτός, είναι παρόμοιος με τον μετασχηματισμό Ô δρα δηλαδή πάνω στον χώρο Hilbert. Συμβολίζεται με Ĝ. Ορίζεται ως εξής: Ĝ = - (Î - s><s ) = s><s - Î Το αποτέλεσμα του μετασχηματισμού Ĝ όπως προείπαμε, είναι να αλλάζει το πρόσημο του x> = a> το οποίο ψάχνουμε και να αφήνει όλες τις άλλες καταστάσεις ίδιες δηλαδή αυτό σημαίνει ότι και τα πρόσημα θα είναι ίδια. Με την δράση του μετασχηματισμού Ĝ τα πλάτη πιθανότητας όλων των βασικών καταστάσεων μένουν αναλλοίωτα και ίσα με a. Εκτός από το πλάτος πιθανότητας της κατάστασης που ψάχνουμε δηλαδη x i > που γίνεται ίση με 3 a, όπου a είναι ο μέσος όρος των πλατών πιθανότητας.

113 Ανάλυση του αλγορίθμου αναζήτησης Grover Τώρα αφού αναφέραμε τους μετασχηματισμούς Ô και Ĝ, έχουμε τα απαραίτητα εργαλεία για να περιγράψουμε και να αναλύσουμε τον αλγόριθμο του Grover. Ολος ο αλγόριθμος είναι σταδιακή και διαδοχική εφαρμογή των δυο μετασχηματισμών. Τα βήματα του αλγορίθμου: Αρχικοποίηση Πρωτύτερα αναφέραμε ότι για να διερευνήσουμε μια μη δομημένη βάση δεδομένων που περιέχει Ν στοιχεία με έναν κβαντικό υπολογιστή, αντιστοιχίζουμε τα στοιχεία της βάσης με μία από τις βασικές κβαντικές καταστάσεις ενός κβαντικού καταχωρητή. Στον κβαντικό υπολογιστή ο καταχωρητής αποτελείται από n qubits. Η σχέση που ισχύει είναι η εξής: N = n, n =,, 3... Η επιλογή της αρχικής κατάστασης θα είναι τυχαία οπότε θα πάρουμε την ισοπίθανη επιλογή δηλαδή στην υπέρθεση που θα σχηματιστεί θα έχουμε ίσες πιθανότητες μεταξύ των qubit της βάσης δεδομένων. Συγκεκριμένα, θέτουμε τον κβαντικό καταχωρητή σε μία κατάσταση υπέρθεσης όλων των κβαντικών καταστάσεων s>, στην οποία όλες οι καταστάσεις έχουν ο ίδιο πλάτος πιθανότητας, δηλαδή: s> = N > + N > + N > + N 3> N (N )> = N N i= x i > Αν πραγματοποιούσαμε μέτρηση στην κατάσταση που είμαστε τώρα, του κβαντικού καταχωρητή, το αποτέλεσμα θα ήταν όπως την κλασική περίπτωση. Δηλαδή η μέτρηση θα μας έδινε το x i > με πιθανότητα N τρόπο, έτσι ώστε να μεγιστοποιήσουμε τον συντελεστή του επιθυμητού x i > στο παραπάνω άθροισμα, ελαττώνοντας ταυτόχρονα τους συντελεστές των υπόλοιπων καταστάσεων. Αυτό θα οδηγήσει σε μία νέα κατάσταση με τον συντελεστή του x i > να τείνει προς την μονάδα. Τότε η μέτρηση θα μας δώσει το στοιχείο x i > με μεγάλη πιθανότητα.

114 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 5. ΚΒΑΝΤΙΚΟΙ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ Βήμα ο Σαν πρώτο βήμα έχουμε την αρχικοποίηση της κατάστασης και αμέσως μετά θα βάλουμε την υπέρθεση των καταστάσεων s> από όλες τις πιθανές συμβολοσειρές. Επειτα θα υπολογίσουμε το U f. Σε πινακοποιημένη μορφή θα είναι: U f (H n I), > Οι καταστάσεις θα είναι: ψ > =, > ψ > = ψ > = [ x, n x> n και ] > [ x, n x,f(x)> n ] Μετρώντας τα επάνω qubits τότε με ίση πιθανότητα, θα μας δώσει ως έξοδο ένα από τα n δυαδικές συμβολοσειρές. Μετρώντας το κάτω qubit θα μας δώσει i > με πιθανότητα n και το qubit n i > με πιθανότητα. n Αν είμαστε αρκετά τυχεροί και μετρήσουμε το επάνω qubit να έχει την τιμή i > τότε το επάνω και το κάτω qubit είναι κβαντικά διεμπλεκόμενα και αυτό έχει σαν αποτέλεσμα την σωστή μέτρηση να την έχει το επάνω qubit. Ομως είναι απίθανο, να είμαστε τόσο τυχεροί. Χρειαζόμαστε κάτι καινούργιο.

115 3 Ο κβαντικός αλγόριθμος αναζήτησης του Grover χρησιμοποιεί δύο τεχνάσματα. Το πρώτο λέγεται Λειτουργία Αναστροφής Φάσεως ή Μετασχηματισμός Ο και αλλάζει την φάση της επιθημητής κατάστασης. (όπως περιγράψαμε πρωτύτερα) Δουλέυει ως εξής: Παίρνουμε το U f και θα το βάλουμε στην υπερέθεση του κάτω qubit. Δηλαδή: > > Για αυθαίρετο x το κύκλωμα αναπαριστάται ως εξής: Σε πινακοειδή μορφή έχουμε: U f (I n H) x, > Επειδή τόσο το U f και το Η είναι μοναδιαίες λειτουργίες έτσι συμπαίρενουμε ότι και η λειτουργία ανάστροφης φάσεως είναι μοναδιαία. Οι καταστάσεις θα είναι οι εξής: ψ > = x, > ψ > = x>[ > > ] = [ x,> x,> ] και

116 4 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 5. ΚΒΑΝΤΙΚΟΙ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ψ > = x>[ f(x) > f(x) > ] = x>[ f(x)> f(x)> ] Εχουμε ότι a b = ( )(b a) και από εδώ θα γίνει: ψ > = ( ) f(x) x>[ > > ] = { x > [ > > ], x = x k + x > [ > > ], x x k Αρχικά ξεκινάμε την υπέρθεση ισοπίθανα για κάθε κατάσταση από τις συνολικά τέσσερις δηλαδή έχουμε το διάνυσμα [,,, ]T και η f επιλέγει την συμβολοσειρά. Υστερα πραγματοποιούμε λειτουργία ανάστροφης φάσεως και η κατάσταση θα γίνει [,,, ]T. Μετρώντας την κατάσταση x> δεν μας δίνει καμμία παραπάνω πληροφορία γιατί τόσο το και το είναι ίσα με + 4. Αλλάζοντας την φάση από θετική σε αρνητική ξεχωρίζει μεν τις φάσεις, αλλά δεν τις ξεχωρίζει σε τέτοιο βαθμό που θα ήταν αξιοποιήσημο από εμάς. Χρειαζόμαστε κάτι άλλο. Αυτό που χρειάζεται ένας τρόπος να ωθήσουμε την διαχώρηση της φάσεως της επιθημητής δυαδικης συμβολοσειράς από τα υπόλοιπες δυαδικές συμβολοσειρές.

117 5 Το δεύτερο τέχνασμα είναι να χρησιμοποιήσουμε την αντιστροφή γύρω από τον μέσο όρο ή αλλιώς τον μετασχηματισμό G. Δηλαδή με αυτόν τον τρόπο ωθούμε την διαχώριση των φάσεων. Παράδειγμα Ας θεωρήσουμε μία ακολουθία ακεραίων: 53, 38, 7, 3 και 79. Ο μέσος όρος των προηγούμενων αριθμών είναι α = 4. Τα αναπαριστούμε γραφικά στο ακόλουθο διάγραμμα: Σχήμα 5.: 5 αριθμοί και ο μέσος όρος τους. Ο μέσος όρος είναι τέτοιος ώστε το άθροισμα το άθροισμα των μηκών από τις γραμμές παρακάτω. Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να αλλάξουμε την ακολουθία έτσι ώστε το κάθε ένα στοιχείο από την αρχική ακολουθία να απέχει από τον μέσο όρο ίση απόσταση σε σχέση με το αρχικό διάγραμμα αλλά από κάτω, αυτην την φορά. Επιπλέον ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να αλλάξουμε την ακολουθία έτσι ώστε το κάθε ένα στοιχείο από την αρχική ακολουθία να απέχει από τον μέσο όρο ίση απόσταση σε σχέση με το αρχικό διάγραμμα αλλά από πάνω, αυτην την φορά. Με άλλα λόγια αντιστρέφουμε κάθε στοιχείο της ακολουθίας γύρω από τον μέσο όρο. Παράδειγμα Ο πρώτος αριθμός είναι ο 53 και είναι α - 53 = - μονάδες μακριά από τον μέσο όρο. Θα πρέπει να προσθέσουμε το α = 4 στο - και παίρνουμε α +

118 6 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 5. ΚΒΑΝΤΙΚΟΙ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ (α - 53) = 3. Το δεύτερο στοιχείο από την αρχική ακολουθία είναι το 38 και είναι α - 38 = 4 μονάδες κάτω από τον μέσο όρο και θα πάμε σε αυτό α + (α - 38) = 46. Σχήμα 5.: Μετά την αντιστροφή γύρω από τον μέσο όρο. Γενικότερα, θα μπορούμε να αλλάξουμε κάθε στοιχείο u σε: υ = α + (α - υ) ή υ = -υ + α Η παραπάνω ακολουθία γίνεται 3, 46, 67, 6 και 5. Επιπλέον ο μέσος όρος αυτής της ακολουθίας παραμένει 4 όπως στο σχήμα 4..

119 7 Τώρα θα γράψουμε τα προηγούμενα σε μορφή πινάκων. Αντί να γράψουμε τους αριθμούς σαν ακολουθία, τους αναφέρουμε σε μορφή πίνακα. Εχουμε δηλαδή V = [53, 38, 7, 3, 79] T Συγκεκριμένα έχουμε τον πίνακα: Α = Παρατηρούμε ότι ο πίνακας Α βρίσκει τον μέσο όρο της ακολουθίας και έχουμε: AV = [4, 4, 4, 4, 4] T Σε αυτό το σημείο θα εκφράσουμε την εξίσωση υ = -υ + α σε μορφή πινάκων, δηλαδή: V = V + AV = ( I + A)V Υπολογίζοντας το: ( I + A) = ( + 5 ) ( + 5 ) ( + 5 ) ( + 5 ) ( + 5 ) βρίσκουμαι το αναμενόμενο αποτέλεσμα: ( I + A)V = V Συγκεκριμένα στην περίπτωσή μας: ( I + A)[53, 38, 7, 3, 79] T = [3, 46, 67, 6, 5] T Ας γενικεύσουμε: Αντί να έχουμε μία ακολουθία 5 αριθμών θα έχουμε n αριθμούς.

120 8 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 5. ΚΒΑΝΤΙΚΟΙ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ Δηλαδή αν θα δίνονται n qubit, υπάρχουν n πιθανές καταστάσεις. κατάσταση είναι ένα διάνυσμα n. Μία Θεωρήστε το ακόλουθο πίνακα n x n : Α = n n n n n n... n n... n n... n n n n... n n Πολλαπλασιάζοντας οποιαδήποτε κατάσταση με τον πίνακα Α θα δώσει μια κατάσταση όπου το κάθε πλάτος της κατάστασης θα ισούται με τον μέσο όρο των πλατών όλων των καταστάσεων. Φτιάχνουμε αυτόν τον πίνακα, που θα είναι n x n, θα έχουμε: + n n... n n + n n... n n I + A = Α = n + n... n n n n... + n n Πολλαπλασιάζοντας μία κατάσταση με το I + A θα αντιστρέψει τα πλάτη γύρω από τον μέσο όρο. Θέλουμε να δείξουμε ότι ο I +A είναι μοναδιαίος πίνακας.. Εδώ παρατηρούμε ότι ο συζυγής του I + A είναι πάλι ο ίδιος.. Μετά θα χρησιποιήσουμε τις ιδιότητες του πολλαπλασιασμού πινάκων 3. Ακολούθως, κατανοώντας ότι οι πίνακες ενεργούν παρόμοια με τα πολυώνυμα, έχουμε: ( I + A) ( I + A) = +I A A + 4A = +I 4A + 4A = +I 4A + 4A = I Αναλυτικότερα τα στάδια του παραπάνω συμπερασμού: ( I + A) ( I + A) = +I A A + 4A λόγω της επιμεριστικής ιδιότητας του πολλαπλασιασμού πινάκων. +I A A + 4A = +I 4A + 4A

121 9 λόγω της συννένωσης των όρων -Α. = +I 4A + 4A = +I 4A + 4A = I λόγω του γεγονότος ότι A = A Συμπερασματικά έχουμε ότι η παράσταση ( I + A) είναι μια μοναδιαία ενέργεια και δρά πάνω σε καταστάσεις αντιστρέφοντας τους αριθμούς γύρω από τον μέσο όρο. Αν θεωρηθούν διαχωρίσημες, η αντιστροφή φάσης και η αντιστροφή γύρω από τον μέσο όρο έχουν ακούσια λειτουργία. Ομως αν συνεργαστούν οι δυό λειτουργιές τότε γίνεται μία πολύ δυνατή λειτουργία η οποία διαχωρίζει το πλάτος της επιθημητής κατάστασης από όλες εκείνες τις άλλες καταστάσεις.

122 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 5. ΚΒΑΝΤΙΚΟΙ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ Παράδειγμα Θα υπολογίσουμε το αποτέλεσμα των δύο τεχνικών που προαναφέραμε όταν ενεργούν μαζί. Θεωρούμε το διάνυσμα: Θα κάνουμε αντιστροφή φάσης στα τέσσερις από τους πέντε αριθμούς του διανύσματος. Δεν υπάρχει διαφορά ανάμεσα στον τέταρτο και σε όλους τους άλλους αριθμούς του διανύσματος. Ξεκινάμε κάνοντας αντιστροφή φάσης στο τέταρτο αριθμό του διανύσματος και θα πάρουμε: Ο μέσος όρος των πέντε αριθμών είναι α = 6. Στην συνέχεια θα υπολογίσουμε την αντιστροφή γύρω από τον μέσο όρο και θα έχουμε: -υ +α = - + ( x 6) = -υ +α = + ( x 6) = Οποτε οι πέντε αριθμοί του διανύσματος γίνονται:

123 Η διάφορα του τέταρτου αριθμού του διανύσματος και όλων των άλλων είναι - =. Θα έπαναλάβουμε τα στάδια της μετατροπής των αριθμών του διανύσματος ( αντιστροφή φάσης, αντιστροφή γύρω α- πό τον μέσο όρο) με βάση τα νέα δεδομένα που παράχτηκαν και έχουμε: Ξεκινάμε πάλι κάνοντας αντιστροφή φάσης στο τέταρτο αριθμό του διανύσματος και θα πάρουμε: Ο μέσος όρος των πέντε αριθμών είναι α = -.8. Στην συνέχεια θα υπολογίσουμε την αντιστροφή γύρω από τον μέσο όρο και θα έχουμε: -υ +α = - + ( x -.8) = υ +α = + ( x -.8) = 6.4 Οποτε οι πέντε αριθμοί του διανύσματος γίνονται: Η διάφορα του τέταρτου αριθμού του διανύσματος και όλων των άλλων είναι = 4. Μπορούμε να διαχωρίστουμε παρα πάνω τους αριθμούς του διανύσματος. Ολα αυτά γίνονται με μοναδιαίους μετασχηματισμούς.

124 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 5. ΚΒΑΝΤΙΚΟΙ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ Θα κάνουμε αυτές τις λειτουργίες n φορές. Αν κάνουμε περισσότερες φορές τις λειτουργίες αυτές, η διεργάσια αυτή υπερπροσαρμόσει τους αριθμούς του διανύσματος. Τώρα θα περιγράψουμε συνοπτικά και περιληπτικά, για μια κατάσταση, τον αλγόριθμο του Grover: Βήμα : Θα αρχίσουμε με την κατάσταση > Βήμα : Θα εφαρμόσουμε τον μετασχηματισμό Hadamard(H) n φορές δηλαδή Βήμα 3: Θα επαναλάβουμε n φορές:. Θα εφαρμόσουμε την αντιστροφή φάσης στην κατάσταση U f (Ι Η). Ακολούθως θα εφαρμόσουμε την αντιστροφή γύρω από τον μέσο όρο: ( I + A) Βήμα 4: Θα μετρήσουμε τελικώς τα qubits. Τέλος θα αναπαραστήσουμε τον αλγόριθμο ως εξής: Σχήμα 5.3: Ο αλγόριθμος του Grover.

125 3 Γενικότερα: Τα βήματα του αλγορίθμου του Grover Το βασικό κομμάτι του αλγορίθμου του Grover είναι μία διαδοχική εφαρμογή των μετασχηματισμών που περιγράψαμε πιο πρίν, δηλαδή της αντιστροφής φάσεως και της αντιστροφής γύρω από τον μέσο όρο, στον κβαντικό καταχωρητή για π 4 N φορές. Βήμα : Θέτουμε έναν κβαντικό καταχωρητή να είναι ίσος με n qubits. Μετά τον θέτουμε σε υπέρθεση των βασικών καταστάσεων. Το πλάτος πιθανότητας θα είναι ίσο για κάθε κατάσταση. Αρχίζουμε με τον κβαντικό καταχωρητή στην κατάσταση που και τα n qubits είναι > δηλαδή...>. Στην συνέχεια στο κάθε qubit δρά μια κβαντική πύλη Hadamard(H). Η νέα κατάσταση του κβαντικού καταχωρητή είναι: s> = N N x j > j= όπου s> είναι η υπέρθεση των Ν βασικών καταστάσεων και όπου Ν είναι το n. Ο βρόχος επανάληψης των μεταχηματισμών αντιστροφή φάσης και αντιστροφή γύρω από τον μέσο όρο, μέχρι να φτάσουμε στην επανάληψη π 4 N για k = μέχρι π 4 N Βήμα : Ο κβαντικός καταχωρητής δρά με τον μετασχηματισμο αντιστροφής φάσεως που είναι ο εξής: Ô = Î - x i><x i Βήμα 3: Ο κβαντικός καταχωρητής δρά με τον μετασχηματισμο αντιστροφής γύρω από τον μέσο όρο, που είναι ο εξής: Ĝ = s><s - Î Τέλος επανάληψης Βήμα 4: Τελικά, θα μετρήσουμε την κατάσταση του κβαντικού καταχωρητή.

126 4 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 5. ΚΒΑΝΤΙΚΟΙ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ Με κάθε επιπλέον επανάληψη, μετά τις π 4 N, θα μειώνει τον συντελεστή του x i >. Για τον λόγο αυτό, έχει πολύ μεγάλη σημασία να μετρήσουμε τον κβαντικό καταχωρητή τον κατάλληλο χρόνο. Κάνουμε π 4 N γιατί μετά από τόσες επαναλήψεις θα μπορέσει να συγκλίνει σε έναν μοναδικό αριθμό. Αυτό είναι και το ζητούμενο. Θεωρητικό παράδειγμα του αλγορίθμου Grover Θα εφαρμόσουμε τον αλγόριθμο του Grover για να βρούμε το στοιχείο που αντιστοιχεί στην κατάσταση x i > = >. Θα εκτελέσουμε τα βήματα του κβαντικού καταχωρητή με qubits. Αρχικά θα αναζητήσουμε για το στοιχείο που αντιστοιχεί στον αριθμό, δηλαδή στην κατάσταση x i > = >. Τα βήματα του αλγορίθμου είναι τα εξής: Βήμα : Θα πρέπει να αρχίσουμε με την κατάσταση >, που είναι η πρώτη κατάσταση σε υπέρθεση των βασικών καταστάσεων.επιπλέον το πλάτος πιθανότητας για κάθε κατάσταση θα πρέπει να είναι ισοπλατή σε σχέση με τις υπόλοιπες καταστάσεις. Για να το επιτύχουμε αυτό χρησιμοποιούμε τις κβαντικές πύλες Hadamard-H. Συγκεκριμένα έχουμε δύο πύλες γιατί τόσα είναι τα qubit. Γενικότερα όσα είναι τα qubits τόσες πύλες Hadamard-H έχουμε. Γυρνώντας στο παράδειγμά μας έχουμε να υπολογίσουμε το H H και έχουμε: s> = (H H) > = = s> = + >+ >+ >+ > = + ( > + > + > + >) Δηλαδή ψάχνουμε να βρούμε την κατάσταση >. Άρα θα πρέπει να ενισχύσουμε την πιθανότητα να δώσει το > έτσι ώστε η μέτρηση να δώσει το επιθυμητό αποτέλεσμα. Εκτελούμε μια αναδρομικές επανάληψεις του αλγορίθμου μέχρι να διαχωρίσει τελείως, με πολύ μεγάλη πιθανότητα, την κατάσταση > από τις υπόλοιπες.

127 5 Βήμα : Στον κβαντικό καταχωρητή δρά ο μετασχηματισμός αντιστροφής φάσης (τελεστής Ô) Ô = Î - x i><x i που είναι σε πινακοειδή μορφή, ο εξής: Ô = Î- x i><x i = Άρα έχουμε: - s > = Ô( s>) = ( > - > + > + >) Ô = [ ] = = + = Οποτε η δράση του μετασχηματισμού αντιστροφής φάσης, άλλαξε το πρόσημο της κατάστασης >. Βήμα 3: Στον κβαντικό καταχωρητή δρά τώρα ο μετασχηματισμός αντιστροφής γύρω από τον μέσο όρο (τελεστής Ĝ) Ĝ = s><s - Î που είναι σε πινακοειδή μορφή, ο εξής: Ĝ = s><s - Î = - [ ] - = Ĝ = Η δράση του Ĝ έχει σαν αποτέλεσμα:

128 6 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 5. ΚΒΑΝΤΙΚΟΙ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ s > = G( s ˆ >) = = = > = Υστερα από μία επανάληψη του αλγορίθμου αν μετρήσουμε την κατάσταση του καταχωρητή είναι σίγουρο ότι θα βρούμε την κατάσταση x i > = >. Οι επαναλήψεις είναι: π 4 N =.

129 7 Παράδειγμα ανάλυσης των βημάτων του αλγορίθμου Grover Ας δούμε ένα παράδειγμα εκτέλεσης του αλγορίθμου. Ας ορίσουμε την f να είναι μία συνάρτηση η οποία θα διαλεξεί την συμβολοσειρά. Οι καταστάσεις μετά από κάθε βήμα θα είναι: φ > = φ > = φ 3a > =

130 8 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 5. ΚΒΑΝΤΙΚΟΙ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ Ο μέσος όρος των αριθμών αυτών είναι: α = = = 3 8 Υπολογίζουμε την αντιστροφή γύρω από τον μέσο όρο και έχουμε: -υ +α = 8 + ( ) = 8 -υ +α = 8 + ( ) = 5 8 φ 3b > = Οπότε έχουμε: Η αντιστροφή της φάσης θα μας δώσει: φ 3a > = Ο μέσος όρος των αριθμών αυτών είναι: α = = 8 8 -υ +α = 8 + ( 8 8 ) = 4 8 -υ +α = ( 8 8 ) = 4 8

131 9 φ 3b > = Οπότε έχουμε: Ειδικότερα έχουμε, = = και Αν τα υψώσουμε στην δύναμη του βρίσκοντας έτσι την πιθανότητα μέτρησης του κάθε αριθμού. Οταν κάνουμε την μέτρηση, καταρέει η προηγούμενη κατάσταση υπέρθεσης, στην κλασική κατάσταση. Η νέα κλασική κατάσταση είναι: φ 4 > = Είναι το αποτέλεσμα που θέλουμε. Ενας κλασικός αλγόριθμος θα ψάξει ένα μη ταξινομημένο πίνακα μεγέθους n σε n βήματα. Ο αλγόριθμος του Grover θα κάνει χρόνο n. Τετραγωνικής επιτάχυνση.

132 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 5. ΚΒΑΝΤΙΚΟΙ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ 5.5 Κβαντικος αλγόριθμος του Shor Το πρόβλημα της παραγοντοποιήσης ακέραιων αριθμών είναι παρα πολύ σημαντικό. Ενα σημερινό δείγμα ασφάλειας στο διαδίκτυο είναι ότι είναι πολύ δύσκολο να παραγοντοποιήσεις μεγάλους ακέραιους σε κλασικούς υπολογιστές. Το 994, ο Peter Shor s παρουσίασε έναν πολυωνυμικό αλγόριθμο για την παραγοντοποίηση μεγάλων ακεραίων σε πολυωνυμικό χρόνο και πρόσφερε μια τεράστια ώθηση στην έρευνα των κβαντικών αλγορίθμων. Ο αλγόριθμος του Shor s είναι βασισμένο στο ακόλουθο γεγονός: Το πρόβλημα της παραγοντοποιήσης μπορεί να μειωθεί στο να βρεί την περίοδο από μια συγκεκριμένη συνάρτηση. Εδώ θα συστήσουμε μερικές από της περιοδικές τεχνικές για να μπορέσουμε να παραγοντοποιήσουμε ακεραίους. Ονομάζουμε τον αριθμό που θέλουμε να παραγοντοποιήσουμε Ν. Πρακτικά, το Ν θα είναι ένας μεγάλος αριθμός, πιθανόν με εκαντοντάδες ψηφία. Θα εκτελέσουμε όλους τους υπολογισμούς για τους ακεραίους 5 και 37. Υποθέτουμε ότι το δωσμένο N δεν είναι πρώτος αριθμός αλλά είναι σύνθετος αριθμός. Μέχρι στιγμής υπάρχει ένας ντετερμιστικός, πολυωνυμικός αλγόριθμος ο οποίος εξακριβώνει αν το N είναι πρώτος αριθμός. Ετσι μπορούμε να δούμε εύκολα αν ο N είναι πρώτος πρίν προσπαθήσουμε να το παραγοντοποιήσουμε.

133 Ο μέγιστος κοινός διαιρέτης (ΜΔΚ) και ο αλγόριθμος του Ευκλείδη Ο μέγιστος κοινός διαιρέτης (ΜΔΚ) υλοποιήτε με τη χρήση υπολοίπων της Ευκλείδειας διαίρεσης και με τον δεύτερο τρόπο δηλαδή με τις διαδοχικές αφαιρέσεις γιατί ο αλγόριθμος του Ευκλείδη υπολογίζει το ΜΚΔ μεγάλων αριθμών πιο αποτελεσματικά, Ποτέ δεν απαιτεί περισσότερα βήματα διαίρεσης από πέντε φορές τον αριθμό των ψηφίων (με βάση το ) από τον μικρότερο ακέραιο. Ο ΜΚΔ των δύο αριθμών είναι ο μεγαλύτερος αριθμός που διαιρεί τους δύο χωρίς να αφήνει υπόλοιπο. Ο Ευκλείδειος αλγόριθμος βασίζεται στην αρχή ότι ο μέγιστος κοινός διαιρέτης των δύο αριθμών δεν αλλάζει εάν ο μικρότερος αριθμός αφαιρείται από το μεγαλύτερο αριθμό. Αν k, m και n είναι ακέραιοι, και το k είναι ένας κοινός παράγοντας των δύο ακεραίων αριθμών A και B, τότεa = NK και B = mk συνεπάγεται A B = (n m)k συνεπώς, k είναι επίσης ένας κοινός παράγοντας της διαφοράς. Αυτό το κ μπορεί επίσης να αντιπροσωπεύει τον μέγιστο κοινό διαιρέτη όπως αποδεικνύεται παρακάτω. Παράδειγμα Για παράδειγμα, το είναι ο ΜΚΔ των 5 (5 = και 5 = 5 ). Από το 5-5=( - 5) = 47. Τότε ο ΜΚΔ των 47 και 5 είναι επίσης. Δεδομένου ότι ο μεγαλύτερος από τους δύο αριθμούς μειώνεται, επαναλαμβάνοντας τη διαδικασία, αυτή θα δίνει διαδοχικά μικρότερους αριθμούς μέχρι ένας από αυτούς να γίνει μηδέν. Οταν αυτό συμβεί, ο ΜΚΔ είναι ο μη μηδενικός αριθμός που απομένει. Ο αλγόριθμος του Ευκλείδη υπολογίζει το μέγιστο κοινό διαιρέτη (ΜΚΔ) δύο φυσικούς αριθμούς a και b. Ο μέγιστος κοινός διαιρέτης g είναι ο μεγαλύτερος φυσικός αριθμός που διαιρεί τόσο τόσο τον a οσο και τον b χωρίς να αφήνει υπόλοιπο. Οσον αναφορά τον ΜΚΔ είναι ο μεγαλύτερος κοινός παράγοντας, ο υψηλότερος κοινός παρανομαστής, και το μεγαλύτερο κοινό μέτρο (GCM). Ο μέγιστος κοινός διαιρέτης συχνά γράφεται ως ΜΚΔ(a, b). Αν ΜΚΔ(a, b) =, τότε λέγεται ότι a και b είναι πρώτοι μεταξύ τους (ή σχετικά πρώτοι). Αυτή η ιδιότητα δεν σημαίνει ότι a ή b είναι οι ίδιοι πρώτοι αριθμοί. Για παράδειγμα, ούτε το 6 ούτε το 35 είναι πρώτοι αριθμοί, δεδομένου ότι και οι δύο έχουν δύο πρώτους παράγοντες: 6 = 3 και 35 = 5 7. Παρ όλα αυτά, 6 και 35 είναι πρώτοι μεταξύ τους. Δεν υπάρχει φυσικός αριθμός εκτός από το που διαιρεί τους 6 και 35, δεδομένου ότι δεν έχουν κοινούς πρώτους παράγοντες. Εστω g = ΜΚΔ(a, b). Δεδομένου ότι a και b είναι και οι δύο πολλαπλάσια του

134 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 5. ΚΒΑΝΤΙΚΟΙ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ g, μπορούν να γραφτουν a = mg και b = ng, και δεν υπάρχει μεγαλύτερος αριθμός G > g για τον οποίο αυτό να ισχύει. Οι φυσικοί αριθμοί m και n πρέπει να είναι πρώτοι μεταξύ τους, δεδομένου ότι κάθε κοινός παράγοντας θα μπορούσε να υπολογιστεί από το m και το n ώστε να κάνει το g μεγαλύτερο. Ετσι, οποιοσδήποτε άλλος αριθμός c που διαιρεί και το a και b πρέπει να διαιρει επίσης και το g. Ο μέγιστος κοινός διαιρέτης g των a και b είναι ο μοναδικός (θετικός) κοινός διαιρέτης του a και b που διαιρείται από οποιοδήποτε άλλο κοινό τους διαιρέτη c. Ο ΜΚΔ δύο αριθμών a και b είναι το γινόμενο των πρώτων παραγόντων που είναι κοινοί των δύο αριθμών, όπου ένας κοινός πρώτος παράγοντας μπορεί να χρησιμοποιηθεί πολλές φορές, αλλά μόνο για όσο το γινόμενο αυτών των παραγόντων διαιρεί και το a και το b. Για παράδειγμα,αφού το 386 μπορεί να υπολογιστεί σε και το 33 μπορεί να υπολογιστεί ως , ο μέγιστος κοινός διαιρέτης των 386 και 33 ισούται με 63 = 3 3 7, δηλαδή το αποτέλεσμα των κοινών τους πρώτων παραγόντων. Αν δύο αριθμοί δεν έχουν κοινούς πρωτους παράγοντες, ο μέγιστος κοινός διαιρέτης τους είναι το (που λαμβάνεται εδώ ως παράδειγμα για το κενό ), με άλλα λόγια, είναι πρώτοι μεταξύ τους. Ενα βασικό πλεονέκτημα του αλγόριθμου του Ευκλείδη είναι ότι μπορεί να βρει το ΜΚΔ αποτελεσματικά χωρίς να χρειάζεται να υπολογίσει τους πρώτους παράγοντες. Η ακέραια παραγοντοποίηση μεγάλων ακεραίων πιστεύεται ότι είναι υπολογιστικά πολύ δύσκολο πρόβλημα, και η ασφάλεια πολλών σύγχρονων συστημάτων κρυπτογραφίας βασίζεται στο γεγονός ότι αυτό είναι σχεδόν ακατόρθωτο εγχείρημα.

135 3 Υλοποιήση σε ψευδοκώδικα και σε κώδικα Java Algorithm Calculate GCD(m, n) Require: n, m integer while n do t n n m mod t m t end while return m Algorithm Calculate GCD(m, n) Require: n, m integer if n = then return m else return GCD(n, m mod n) end if Ο κλασικός αλγόριθμος του Ευκλείδη ή Ο αλγόριθμος με αναδρομική κλήση Πρίν πάμε στον κύριο μέρος του αλγορίθμου του Shor, έχουμε θα θυμηθούμε μερικά σημεία από την θεωρία αριθμών. Θα αρχίσουμε κοιτώντας λίγο από την αριθμητική υπολοίπων. Για ένα θετικό ακέραιο N και οποιοδήποτε ακέραιο a, γράφουμε a mod n για τον υπολοίπο της διαίρεσης a/n.

136 4 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 5. ΚΒΑΝΤΙΚΟΙ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ Τώρα θα θέσουμε το θεωρητικό μέρος του αλγορίθμου παραγοντοποίησης. Θα αναλυθεί το πώς χρησιμοποιούμε τον συγκεκριμένο αλγόριθμο για να υπολογίσουμε έναν ακέραιο σε γινόμενο πρώτων αριθμών. Δίνεται ο ακέραιος αριθμός n που πρέπει να αναλυθεί σε γινόμενο δύο πρώτων αριθμών. Επομένως η συνάρτηση f n,a (x) θα είναι περιοδική με περίοδο r της συνάρτησης f n,a (x) = a x (mod n). όπου x =,, 3... α και ένας τυχαιός ακέραιος που θα είναι πρώτος σε σχέση με τον n, δηλαδή ΜΚΔ(α, n) =. Θα το αναπαριστήσουμε σαν συνάρτηση, σαν πίνακα και σαν γράφημα. Σαν συνάρτηση: Παράδειγμα Επιλέγουμε τυχαία τον αριθμό α= και ΜΚΔ(, 5) =. Άρα: f 5, () = (mod5) = f 5, () = (mod5) = 4 f 5, (3) = 3 (mod5) = 8 f 5, (4) = 4 (mod5) = Η συνάρτηση έχει περίοδο r = 4, άρα: ΜΔΚ(( 4/ ), 5) = 3 και ΜΚΔ(( 4/ + ), 5) = 5 Άρα 5 = 3 x 5. Σε πινακοειδή μορφή:

137 5 Για n = 5 και α = έχουμε: Πίνακας 5.: Ο αλγορίθμος παραγοντοποίησης του 5 και του x f 5, (x) Για n = 5 και α = 4 έχουμε: Πίνακας 5.3: Ο αλγορίθμος παραγοντοποίησης του 5 και του 4 x f 5,4 (x) Για n = 5 και α = 3 έχουμε: Πίνακας 5.4: Ο αλγορίθμος παραγοντοποίησης του 5 και του 3 x f 5,4 (x) Σε γράφημα: Σχήμα 5.4: Οι πρώτες εξόδους της συνάρτησης f 3,5

138 6 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 5. ΚΒΑΝΤΙΚΟΙ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ Παράδειγμα Τώρα θα ασχοληθούμε με μερικά παραδείγματα με N = 37. Οι αριθμοί θα είναι πολυ μεγάλοι. Προσπαθώντας να υπολογίσουμε το a x mod N Για n = 5 και α = 3 έχουμε: Σε πινακοειδή μορφή: Πίνακας 5.5: Ο αλγορίθμος παραγοντοποίησης του 5 και του 3 x f 4,37 (x) Σε γράφημα: Σχήμα 5.5: Οι έξοδοι της συνάρτησης f 4,37