Υλικά κύματα. Οδηγούντα κύματα de Broglie. Τα όρια της θεωρίας Bohr. h pc p

Transcript

1 University of Ioannina Deartment of Materials Science & Engineering Comutational Materials Science τική Θεωρία της Ύλης ιδάσκων: Λευτέρης Λοιδωρίκης Π1, 7146, cmsl.materials.uoi.gr/elidorik Υλικά κύμ Τα όρια της θεωρίας Bor Οδηγούντα κύμ de Broglie Η θεωρία Bor εξήγησε τα φάσμ των ατόμων, αλλά είχε περιορισμούς: δεν προέβλεπε τις εντάσεις των φασματικών γραμμών δεν προέβλεπε αρκετά καλά τα φάσμ πολυηλεκτρονικών ατόμων δεν έδινε καμιά εξίσωση για χρονική εξέλιξη ατομικών συστημάτων δεν έδινε ένα γενικό σχήμα «κβάντωσης» και για άλλα συστήμ Υπερτόνιζε την σωματιδιακή φύση της ύλης δεν ερμήνευε τον κυματοσωματιδιακό δυϊσμό του φωτός Εάν το φως έχει δυτή φύση, μήπως έχει και η ύλη; Louis de Broglie (193) «όλες οι μορφές της ύλης έχουν και σωματιδιακές και κυματικές ιδιότητες» Δανειζόμενος σχέσεις απο τα φωτόνια f E c c E c όπου η ορμή του σωματιδίου: m το μήκος κύματος του οδηγούμενου κύματος

2 Κβάντωση στροφορμής Παράδειγμα 4. Στο μοντέλο Bor η στροφορμή είναι κβαντισμένη mr n αναπαράσταση της n=3 κατάστασης Υπολογίστε το μήκος κύματος de Broglie για ηλεκτρόνιο που επιταχύνεται σε διαφορά δυναμικού 50 V. κινητική ενέργεια ηλεκτρονίου Αυτό προκύπτει και απο την θεωρία de Broglie: οι ατομικές τροχιές είναι κβαντισμένες έτσι ώστε τα οδηγούμενα κύμ των ηλεκτρονίων να σχηματίζουν στάσιμα κύμ στάσιμα κύμ ακέραιος αρισθμός μηκών κύματος de Broglie χωρούν στην τροχιά r n r n mr n mr n Η ιδέα της κβάντωσης τροχιών δεν είναι πολύ διαφορετική απο αυτή μιας παλλόμενης χορδής ορμή ηλεκτρονίου μήκος κύματος de Broglie ( m ev m mev mev 34 J s kg)( C)(50 V) nm λικά Κύμ Ύλης: Ύλ ωρία της Ύ ντική Θεω Πείραμα Davisson-Germer: περίθλαση ηλεκτρονίων απο κρύσταλλο Πειραματική απόδειξη κυματικής υφής Πείραμα Davisson-Germer (197) σκέδαση ηλεκτρονίων χαμηλής ενέργειας (54 ev) απο κρυσταλικό νικέλιο (d=0.15 nm) χαμηλή ενέργεια επιφανειακή σκέδαση πειραματικό de Broglie d sin n o (0.15 nm)(sin50 ) nm mev nm σκεδαζόμ μενα ηλεκ κτρόνια γωνία

3 Περίθλαση ενεργητικών ηλεκρονίων Παράδειγμα 4.3 Σε μεγάλες ενέργειες ηλεκτρονίων εισχωρούν βαθιά στον κρύσταλλο συνήθης σκέδαση Bragg d sin n πολύ πιο οξείες γραμμές περίθλασης Μπορούν θερμικά νετρόνια να υποστούν περίθλαση σε κρυστάλλους; θερμικά σωματίδια είναι αυτά που έχουν ενέργεια 3kT/ τι μήκος κύματος de Broglie έχουν τα θερμικά νετρόνια; 1 3 m n kt 3( n mn 3mnkT J s kg)( m kt nm J/K)(300 K) το μήκος κύματος de Broglie των θερμικών νετρονίων είναι της τάξης μεγέθους των κρυσταλλικών αποστάσεων. Άρα θα υποστούν περίθλαση n περίθλαση ηλεκτρονίων 50 kev από κράμα Cu 3 Au περίθλαση ηλεκτρονίων από μονoκρύσταλο NaCl Παράδειγμα 4.3 Τα νετρόνια που δημιουργούνται σε πυρηνικούς αντιδραστήρες είναι μεγάλων ενεργειών και ακατάλληλα για πειράμ περίθλασης. Συνήθως επιβραδύνονται απο μια στήλη γραφίτη ώστε να κλήξουν σε θερμικές ενέργειες Για να κφέρουμε μια «μονοχρωματική» δέσμη νετρονίων (όλα δηλαδή με το ίδιο μήκος κύματος de Broglie) χρησιμοποιείται η παρακάτω διάταξη (γωνία μεταξύ σχισμών 10 ο ) ποιά ταχύτητα περιστροφής της διάταξης απαιτείται ώστε να περνάνε μόνο νετρόνια με μήκος κύματος de Broglie 0.1 nm; m J s ( kg)( T o 10 m) m t s 3960 m/s o t s f 3960 m/s 1 0 Hz T Οδηγούντα κυματοπακέτα Ξαναγυνάμε στα οδηγούντα κύμ de Broglie περιγράφονται απο κυματοομάδες: πολλές συχνότητες μαζί ώστε να δημιουργείται περιορισμένο κύμα στον χώρο αυτό το κύμα «οδηγεί» το σωματίδιο στον χώρο ας δούμε πρώτα τις ιδιότητες δό ενός άπειρου εκτεταμένου κύματος: επίπεδα κύμ 0 / m 0 g 0

4 Επίπεδα κύμ Πρόσθεση δύο επίπεδων κυμάτων Στην γενική του μορφή, ένα επίπεδο κύμα δίνεται λ: χωρική περίοδος t Τ: χρονική περίοδος Acos Η ταχύτητα διάδοσης της φάσης για σημείο σταθερής φάσης ( ) ( t t ) t T T t 0 T t T k / / T T f 1 T Acos k t f k / t 4 t 3 t t 1 ντική Θεω ωρία της Ύλης: Ύλ λικά Κύμ Δύο κύμ με μικρή διαφορά στο μήκος κύματος: διακρότημα a b a b cos a cos b cos cos k Acos t cos k t k t A k t 1 Acos 1 1 cos οδεύον κύμα ταχύτητα φάσης: ταχύτητα ομάδος: / k / k g περιβάλλουσα Κυματοομάδες Παράδειγμα με δύο κύμ Α(k ) Ψ(χ) Ένα κυματοπακέτο περιλαμβάνει πολλά μήκη κύματος ( ) Δχ Δk A ( k ) cos k dk k Εαν θεωρήσουμε Δ το έυρος ενός διακροτήματος τότε k k cos ( ) cos k k το ίδιο ισχύει μεταξύ συχνότητας και χρόνου t γενικός κανόνας: k 1

5 Αρχή της απροσδιοριστίας Ένα παράδειγμα απροσδιοριστίας Werner Heisenberg (197) σε μια μέτρηση, η αβεβαιότητα στην θέση Δ και η αβεβαιότητα στην ορμή Δ του σωματιδίου δεν μπορούν να ελατωθούν ανεξάρτητα η μια απο την άλλη. Το γινόμενό τους είναι πάντα: k k 1 ένα φωτόνιο σκεδάζεται προς τον φακό μέγιστη επιτρεπτή γωνία θ ορμή =/λ λόγω διατήρησης ορμής στον άξονα, η απροσδιοριστία στην ορμή του ηλεκτρονίου sin το φωτόνιο συλλέγεται απο τον φακό διακριτική ικανότητα φακού (και άρα διακριτική ικανότητα θέσης ηλεκτρονίου) sin γινόμενο αβεβαιοτήτων ββ sin sin Αρχή της απροσδιοριστίας Παράδειγμα 4.6 Δύο σχέσεις απροσδιοριστίας θέσης ορμής ενέργειας-χρόνου E t Η ταχύτητα ενός ηλεκτρονίου βρέθηκε ίση με 5000 m/s, με περιθώριο σφάλματος 0.003%. 003% ποιά η αβεβαιότητα στον προσδιορισμό της θέσης; ορμή ηλεκτρονίου m ( αβεβαιότητα στην ορμή αβεβαιότητα στην θέση 31 kg)(5000 m/s) kg m/s J s kg m/s kg m/s m

6 Παράδειγμα 4.7 Τι είναι η κυματοσυνάρτηση; Ένα διεγερμένο άτομο μπορεί οποιαδήποτε στιγμή να εκπέμψει ένα φωτόνιο και να γυρίσει στην θεμελιώδη κατάσταση κατά μέσο όρο το κάνει μετά απο χρόνο τ, χαρακτηριστικό για κάθε διαφορετικό άτομο και στάθμη. τι διεύρυνση προκαλείται στην συχνότητα εκπομπής λόγω αυτού όταν τ=10-8 s; f f E t s Hz Το κύμα που περιγράφει το σωματίδιο κυματοσυνάρτηση Ψ() Δεν είναι μετρήσιμη Είναι εν γένει μιγαδική Το τετράγωνο του μέτρου της αντιπροσωπεύει πιθανότητα πιθανότητα να βρεθεί το σωματίδιο στην θέση είναι ανάλογη του: ( ) * ( ) ( ) είχε υπάρξει μεγάλη διαμάχη μεταξύ των φυσικών στα πρώτα χρόνια ως προς τι ακριβώς αντιπροσωπεύει Το ηλεκτρόνιο (και κάθε μικρό σωματίδιο) συμπεριφέρεται είτε ως σωματίδια είτε ως κύμ, ανάλογα με το είδος του πειράματος. Περίθλαση από δύο σχισμές Περίθλαση από δύο σχισμές ελάχιστο όταν: Dsin / / sin / D λικά Κύμ Ύλης: Ύλ ωρία της Ύ ντική Θεω

7 Περίθλαση από δύο σχισμές Περίθλαση από δύο σχισμές Το ηλεκτρόνιο βρίσκεται σε μια κατάσταση υπέρθεσης, ασχέτως απο ποιά σχισμή περνάει 1 1 Η πιθανότητα ανίχνευσης στην οθόνη είναι cos Περίθλαση από δύο σχισμές Μέτρηση σε διαφορετικές χρονικές στιγμές Κατάσταση υπέρθεσης: η περίφημη «γάτα του Scrödinger» Η κυματοσυνάρτηση του ηλεκτρονίου περνάει και απο τις δύο σχισμές!! λικά Κύμ Ύλης: Ύλ ωρία της Ύ ντική Θεω

8 Προβλήμ / λικά Κύμ Ύλης: Ύλ ωρία της Ύ ντική Θεω 4.5: Ένα ηλεκτρόνιο και ένα πρωτόνιο έχουν το καθένα ενέργεια ίση με 50 kev. Ποιά είναι τα μήκη κύματος de Broglie; Για ένα φωτόνιο πόσο είναι; 4.8: Βρείτε το μήκος κύματος de Broglie μιας μπάλας μάζας 0. kg η οποία έχει ριχθεί απο κτήριο ύψους 50 m, λίγο πρίν αυτή χτυπήσει στην γή. δείτε αυτό: tt://twins.net/scale/inde.tml 4.11: Από ποιά διαφορά δυναμικού θα πρέπει να επιταχυνθεί ένα ηλεκτρόνιο ώστε να αποκτήσει μήκος κύματος de Broglie m; 4.14: Μια μπάλα μάζας 50 g κινείται με ταχύτητα 30 m/s. Αν η ταχύτητά της μετριέται με περιθώριο σφάλματος 0.1%, πόση είναι η ελάχιστη αβεβαιότητα για την θέση της μπάλα; 4.15: Ένα πρωτόνιο έχει κινητική ενέργεια 1 MeV. Αν η ορμή του μετριέται με αβεβαιότητα 5%, πόση είναι η ελάχιστη αβεβαιότητα της θέσης του;