Κβαντικοί Υπολογιστές

Transcript

1 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Κβαντικοί Υπολογιστές Εισαγωγή και προσομοίωση του Κβαντικού Μετασχηματισμού Fourier Αλέξανδρος Ρίσης ΑΕΜ: 872 Επιβλέπων Καθηγητής Νικόλαος Κονοφάος

2 Στον πατέρα μου και τη μητέρα μου για όλα όσα έχουν κάνει και συνεχίζουν να κάνουν. Στον αδερφό μου και την αδερφή μου για όλες τις όμορφες στιγμές και την υποστήριξή τους. Στην Ιωάννα η οποία με κάνει χαρούμενο και ευτυχισμένο.

3 Κβαντικοί Υπολογιστές Πίνακας περιεχομένων ΠΡΟΛΟΓΟΣ... 3 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΚΒΑΝΤΙΚΟΥΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΕΣ ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΚΒΑΝΤΙΚΟΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΕΣ ΚΑΙ ΚΒΑΝΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ ΚΑΙ ΠΙΝΑΚΕΣ QUBITS....5 ΚΒΑΝΤΙΚΟΣ ΚΑΤΑΧΩΡΗΤΗΣ ΚΒΑΝΤΙΚΕΣ ΠΥΛΕΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΒΑΝΤΙΚΕΣ ΠΥΛΕΣ ΠΟΥ ΔΡΟΥΝ ΣΕ ΕΝΑ QUBIT Κβαντική πύλη αδράνειας Κβαντική πύλη Pauli-X (πύλη NOT) Κβαντική πύλη Pauli-Y Κβαντική πύλη Pauli-Z Κβαντική πύλη Hadamard Κβαντική πύλη μετατόπισης φάσης ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΠΥΛΗ ΕΝΑΛΛΑΓΗΣ QUBIT ΕΛΕΓΧΟΜΕΝΕΣ ΚΒΑΝΤΙΚΕΣ ΠΥΛΕΣ Γενικά Ελεγχόμενες κβαντικές πύλες Pauli Κβαντική πύλη ελεγχόμενης μετατόπισης φάσης (CPh) Κβαντική πύλη διπλά ελεγχόμενου ΟΧΙ (CCNOT - Toffoli) Κβαντική πύλη Fredkin ΚΒΑΝΤΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΗ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ ΣΧΗΜΑΤΙΚΗ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΗ ΤΩΝ ΚΒΑΝΤΙΚΩΝ ΠΥΛΩΝ ΚΒΑΝΤΙΚΟΙ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ DEUTSCH JOZSA Εισαγωγικά Περιγραφή του προβλήματος και κβαντικό κύκλωμα Περιγραφή του αλγόριθμου ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ GROVER Εισαγωγή και διατύπωση του προβλήματος Το στοιχείο Oracle Υλοποίηση [8] Παράδειγμα εκτέλεσης της υλοποίησης ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΔΙΕΜΠΛΟΚΗ Περιγραφή και ορισμός Κύκλωμα Κύκλωμα κβαντικής διεμπλοκής με 2 qubits Κύκλωμα κβαντικής διεμπλοκής με 3 qubits ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ SHOR Εισαγωγή Διατύπωση του προβλήματος και περιγραφή του αλγόριθμου [26], [5] ΚΒΑΝΤΙΚΟΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΚΑΙ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΤΟΥ ΚΥΚΛΩΜΑΤΟΣ... 76

4 Κβαντικοί Υπολογιστές 2 5. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΤΗΣ QCS ΔΙΑΚΡΙΤΟΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER (DFT) ΚΒΑΝΤΙΚΟΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER (QFT) QFT σε καταχωρητή του ενός qubit QFT σε καταχωρητή των δυο qubits QFT σε καταχωρητή των τριών qubits QFT σε καταχωρητή των 2 qubits που βρίσκεται σε υπέρθεση ΚΒΑΝΤΙΚΟ ΚΥΚΛΩΜΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ, ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ... ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ...

5 Κβαντικοί Υπολογιστές 3 Πρόλογος Η εργασία αυτή έχει ως σκοπό την εισαγωγή στον κόσμο των κβαντικών υπολογιστών καθώς και την παρουσίαση κάποιων θεμελιωδών εννοιών και ορισμών που θα βοηθήσουν τον αναγνώστη στην καλύτερη κατανόηση της λειτουργίας τους. Πιο συγκεκριμένα, στο πρώτο κεφάλαιο, γίνεται μια εισαγωγική παρουσίαση της κβαντικής θεωρίας και της σύνδεσής της με τους κβαντικούς υπολογιστές. Ακόμη, εξηγούνται λεπτομερώς κάποια βασικά συστατικά των κβαντικών υπολογιστών, όπως τα qubits και ο κβαντικός καταχωρητής. Στο δεύτερο κεφάλαιο παρουσιάζονται αναλυτικά οι κβαντικές πύλες. Εξηγείται η λειτουργία τους, πως δρουν στα qubits καθώς και τα αποτελέσματα αυτών των δράσεων. Στο τρίτο κεφάλαιο εισάγονται τα ολοκληρωμένα κβαντικά κυκλώματα, τα οποία αποτελούνται από τις πύλες του προηγούμενου κεφαλαίου. Ακόμη, γίνεται επεξήγηση της απεικόνισης της κάθε κβαντικής πύλης αλλά και της ένταξης αυτών σε απεικόνιση ενός κβαντικού κυκλώματος. Το τέταρτο κεφάλαιο παρουσιάζει λεπτομερώς και εκτενώς κάποιους πολύ γνωστούς κβαντικούς αλγόριθμους έτσι ώστε να γίνει πιο κατανοητή η λειτουργία των κβαντικών υπολογιστών και μέσα από συγκεκριμένα παραδείγματα εκτελέσεων. Φυσικά, παρουσιάζονται και κάποια πλεονεκτήματα που προκύπτουν έναντι των κλασικών υπολογιστών. Τέλος, στο πέμπτο κεφάλαιο υπάρχει λεπτομερής περιγραφή του κβαντικού μετασχηματισμού Fourier (QFT) καθώς και αριθμητικά παραδείγματα της εφαρμογής και της δράσης του. Επιπροσθέτως, χρησιμοποιείται ο προσομοιωτής κβαντικών κυκλωμάτων, QCS [26], με τη βοήθεια του οποίου γίνεται προσομοίωση της λειτουργίας του QFT και ανάλυση των αποτελεσμάτων και με τις δυο μεθόδους.

6 Κβαντικοί Υπολογιστές 4 Εισαγωγή στους κβαντικούς υπολογιστές. Κβαντική θεωρία Η κβαντική θεωρία είναι ένας τομέας της φυσικής που περιγράφει φαινόμενα που συμβαίνουν σε συστήματα μικροσκοπικής κλίμακας, δηλαδή στο ατομικό και υποατομικό επίπεδο. Αυτή παρέχει μια μαθηματική ανάλυση αυτής της δυικής φύσης των σωματιδίων αλλά και των αλληλεπιδράσεων της ενέργειας και της ύλης. Οι δυο κεντρικές αρχές της κβαντικής θεωρίας είναι η δυική φύση των υποατομικών σωματιδίων και η αρχή της αβεβαιότητας του Heisenberg (9-976). Σύμφωνα με τη θεωρία της δυικής φύσης των σωματιδίων, κάθε σωματίδιο παρουσιάζει ταυτόχρονα κυματικές και σωματιδιακές ιδιότητες. Από πολύ νωρίς κιόλας είχαν προταθεί και οι δυο ιδιότητες για τα υποατομικά σωματίδια, πιο συγκεκριμένα για το φως, αλλά ισχύοντας μόνο η μία και όχι ταυτόχρονα. Ειδικότερα, ο Ολλανδός Christiaan Huygens ( ) πρότεινε ότι το φως αποτελείται από κύματα ενώ ο Άγγλος Isaac Newton ( ) πρότεινε τη σύσταση του φωτός από σωματίδια. Παρόλα αυτά, μέσα από τη συνολική έρευνα πολλών επιστημών των πρώτων δεκαετιών του 2 ου αιώνα, αναπτύχθηκε η μοντέρνα θεωρία για τη φύση των σωματιδίων η οποία αναφέρει ότι τα υποατομικά σωματίδια παρουσιάζουν ταυτόχρονα κυματικές και σωματιδιακές ιδιότητες και επεκτείνεται για σύνθετα σωματίδια όπως τα άτομα αλλά και τα μόρια. Όμως, αυτή δεν μπορεί να εφαρμοστεί για μεγαλύτερα μακροσκοπικά σωματίδια καθώς έχουν αρκετά μεγάλο μήκος κύματος και η κυματική τους φύση δεν μπορεί να ανιχνευθεί. Όσον αφορά την αρχή της αβεβαιότητας, αυτή αναφέρει πως οι δυο συμπληρωματικές ιδιότητες του σωματιδίου, στην περίπτωση της κβαντικής θεωρίας η κυματική και η σωματιδιακή, δεν μπορούν να είναι γνωστές ταυτόχρονα. Πολλές φορές η αρχή αυτή αναφέρεται ως αρχή Heisenberg, διότι αυτός ήταν ο πρώτος που πρότεινε την ύπαρξη ενός τέτοιου ορίου. Οι απαρχές της κβαντικής θεωρίας συναντώνται τον 7 ο και τον 8 ο αιώνα, οπότε και προτάθηκε η κυματική θεωρία του φωτός ύστερα από πειραματικές παρατηρήσεις. Τα θεμέλια όμως της κβαντικής θεωρίας βρίσκονται στις πρώτες δεκαετίες του 2 ου αιώνα. Το 9 ο Max Planck

7 Κβαντικοί Υπολογιστές 5 ( ), ένας Γερμανός φυσικός ο οποίος θεωρείται ο πατέρας της κβαντικής μηχανικής, υπέθεσε ότι η ενέργεια ακτινοβολείται και απορροφάται σε διακριτά ποσά - πακέτα τα οποία ονόμασε «κβάντα». Η ενέργεια Ε του κάθε κβάντου είναι ανάλογη με τη συχνότητά του και υπολογίζεται από την παρακάτω σχέση: Ε = h f, όπου f είναι η συχνότητα και h η σταθερά Planck και είναι ίση με 6, J s. Το 95 ο Albert Einstein ( ) χρησιμοποίησε την υπόθεση του Planck για να εξηγήσει το φωτοηλεκτρικό φαινόμενο. Από τα μέσα της δεκαετίας του 92 και μετά εδραιώθηκε η σημερινή μορφή της κβαντικής θεωρίας με τη συμβολή πολλών επιστημόνων όπως ο Louis de Broglie ( ), o Erwin Schrödinger (887-96) και ο Werner Heisenberg..2 Κβαντικοί υπολογιστές και κβαντικά συστήματα Οι κβαντικοί υπολογιστές αποτελούν μηχανές υπολογισμού οι οποίες εκμεταλλεύονται διάφορα κβαντικά φαινόμενα, όπως η υπέρθεση και η κβαντική διεμπλοκή. Αυτοί κάνουν χρήση κβαντικών συστημάτων δυο καταστάσεων. Σε έναν κβαντικό υπολογιστή ένα κβαντικό σύστημα δυο καταστάσεων αντιπροσωπεύει τη μονάδα της κβαντικής πληροφορίας. Ένα τέτοιο κβαντικό σύστημα είναι ένα σύστημα το οποίο μπορεί να προσομοιώνει δυο διακριτές καταστάσεις, όπως το spin ενός ηλεκτρονίου ή η ενεργειακή κατάσταση ενός ηλεκτρονίου σε ένα άτομο. Αυτό μοιάζει αρκετά με τους κλασικούς υπολογιστές καθώς οι δυο αυτές διακριτές καταστάσεις είναι τα και bits του κλασσικού υπολογιστή. Συνεπώς, σε ένα κβαντικό σύστημα δυο διακριτών καταστάσεων που χρησιμοποιεί το spin του ηλεκτρονίου, το μπορεί να είναι η κατάσταση με spin +/2 και το η κατάσταση με spin -/2 (Εικόνα -). Αντίστοιχα, σε ένα σύστημα όπου οι διακριτές καταστάσεις είναι τα διαφορετικά ενεργειακά επίπεδα ενός ηλεκτρονίου ενός ατόμου, θα έχουμε ότι το αντιπροσωπεύεται όταν το ηλεκτρόνιο είναι στο ενεργειακό επίπεδο Ex και το αντιπροσωπεύεται από το ενεργειακό επίπεδο Εy του ηλεκτρονίου (Εικόνα -2).

8 Κβαντικοί Υπολογιστές 6 Εικόνα -: Τα δυο διαφορετικά spin ενός ηλεκτρονίου. Εικόνα -2: Δυο διακριτά ενεργειακά επίπεδα του ηλεκτρονίου σε ένα άτομο Η κατάσταση ενός τέτοιου συστήματος για μια δεδομένη χρονική στιγμή χαρακτηρίζεται από το διάνυσμα κατάστασης το οποίο είναι ένα διάνυσμα στο χώρο Hilbert. Όπως και στους κλασικούς υπολογιστές έτσι και εδώ υπάρχουν οι δυο καταστάσεις, και, αλλά συμβολίζονται με και αντίστοιχα. Τα διανύσματα κατάστασης μπορούν να αναπαρασταθούν σε ένα σύστημα δυο αξόνων, όπου ο οριζόντιος είναι το και ο κάθετος άξονας είναι το. Το αντιπροσωπεύεται σε αυτό το σύστημα με γραμμή που εφάπτεται στον οριζόντιο άξονα και το με γραμμή που εφάπτεται στον κάθετο άξονα (Εικόνα -3).

9 Κβαντικοί Υπολογιστές 7 Εικόνα -3: Γραφικές απεικονίσεις των διανυσμάτων κατάστασης και Βέβαια, μέχρι τώρα δεν υπάρχει κάποια ουσιαστική διαφορά ανάμεσα στους κλασικούς υπολογιστές και στους κβαντικούς. Παρόλα αυτά, εδώ είναι που εισέρχονται τα κβαντικά φαινόμενα. Πιο συγκεκριμένα, πρόκειται για την υπέρθεση. Αντίθετα με τους κλασικούς υπολογιστές όπου υπάρχουν μόνο δυο διακριτές πιθανές καταστάσεις που μπορούν να ανιχνευθούν, και με % πιθανότητα και οι δυο, στους κβαντικούς υπολογιστές υπάρχουν και ενδιάμεσες καταστάσεις. Αυτό σημαίνει ότι εκτός από τις καταστάσεις και υπάρχουν και ενδιάμεσες καταστάσεις που είναι ταυτόχρονα οι δυο προαναφερθείσες. Αυτό αναπαρίσταται με ένα διάνυσμα κατάστασης με διεύθυνση ανάμεσα στους δυο άξονες. Εικόνα -4: Το διάνυσμα κατάστασης της κατάστασης x

10 Κβαντικοί Υπολογιστές 8 Η κατάσταση x ονομάζεται υπέρθεση των καταστάσεων και. Η προβολή του διανύσματος της κατάστασης της υπέρθεσης στον άξονα έχει μήκος a και στον άξονα έχει μήκος b. Συνεπώς, η κατάσταση x υπολογίζεται από τη σχέση: x = a + b Τα a και b ονομάζονται πλάτη πιθανότητας και είναι γενικότερα μιγαδικοί αριθμοί. Όταν γίνει παρατήρηση για να βρεθεί η τιμή μιας κατάστασης που βρίσκεται σε υπέρθεση δυο άλλων βασικών καταστάσεων, όπως είναι η x, υπάρχει αβεβαιότητα για την τιμή που θα παρατηρηθεί. Εδώ βρίσκεται και η μεγάλη διαφορά ανάμεσα στους κβαντικούς και στους κλασικούς υπολογιστές. Ενώ στους κλασικούς υπολογιστές η τιμή της βασικής μονάδας της πληροφορίας παρατηρείται με ακρίβεια, είτε είτε, στους κβαντικούς υπολογιστές δεν συμβαίνει αυτό. Στους τελευταίους, λόγω της υπέρθεσης, το σύστημα-μονάδα πληροφορίας βρίσκεται στις δυο καταστάσεις και ταυτόχρονα και η τιμή που θα ανιχνευθεί εξαρτάται από κάποιες πιθανότητες. Οι προηγούμενες πιθανότητες αντιστοιχούν στο τετράγωνο των απόλυτων τιμών των πλατών πιθανότητας της κατάστασης x. Πιο συγκεκριμένα, η τιμή a 2 δηλώνει την πιθανότητα να εμφανιστεί, ύστερα από μέτρηση, η τιμή ενώ η τιμή b 2 δηλώνει την πιθανότητα να εμφανιστεί η τιμή. Παρόλα αυτά, η μέτρηση για την εύρεση της τιμής της κατάστασης είναι καταστροφική για την υπέρθεση γιατί μετά από αυτή το σύστημα μπορεί να βρίσκεται σε μια και μόνο μία από τις δυο βασικές καταστάσεις. Σύμφωνα με τα παραπάνω και της θεωρίας πιθανοτήτων, αφού οι δυο πιθανότητες είναι a 2 και b 2 και αυτά είναι τα μοναδικά αποτελέσματα που μπορεί να προκύψουν, έχουμε την εξίσωση: a 2 + b 2 = Συνεπώς, το διάνυσμα κατάστασης κινείται πάνω σε έναν κύκλο ακτίνας μήκους όπου κάθε διαφορετική διεύθυνση αντιστοιχεί και σε διαφορετικές πιθανότητες και πλάτη πιθανοτήτων..3 Διανύσματα κατάστασης και πίνακες Τα σύμβολα που χρησιμοποιούνται σήμερα για την απεικόνιση των διανυσμάτων κατάστασης ενός κβαντικού συστήματος δυο

11 Κβαντικοί Υπολογιστές 9 καταστάσεων είναι έμπνευση του Άγγλου θεωρητικού φυσικού Paul Dirac (92-984). Αυτός ο τρόπος συμβολισμού θυμίζει αυτόν του Γερμανού μαθηματικού Hermann Grassmann (89-877), ο οποίος χρησιμοποίησε το συμβολισμό [φ ψ] για τα εσωτερικά γινόμενα. Χρησιμοποίησε ως βάση για το συμβολισμό αυτό τις αγκύλες οι οποίες, βάσει της γραμματικής, περικλείουν κάποια μορφή πληροφορίας. Εισήγαγε δυο σύμβολα για αυτά τα διανύσματα, το διάνυσμα bra ( ) και το διάνυσμα ket ( ). Τα διανύσματα bra και ket μπορούν να γραφούν ως πίνακες της γραμμικής άλγεβρας με δυο στοιχεία ο καθένας οι οποίοι ονομάζονται πίνακες κατάστασης. Ειδικότερα, το διάνυσμα ket μπορεί να γραφεί ως πίνακας κατάστασης με μια στήλη και δυο γραμμές και στοιχεία του τα πλάτη πιθανότητας για την κάθε βασική κατάσταση ως εξής: x = α + b = [ a b ] Όσον αφορά το διάνυσμα bra, αυτό σχετίζεται με το διάνυσμα ket και περιγράφεται από την παρακάτω εξίσωση: x = a + b Όπως φαίνεται, η συσχέτιση του διανύσματος bra με το ket βρίσκεται στο γεγονός ότι το bra έχει σαν πλάτη πιθανότητας των βασικών καταστάσεων τα αντίστοιχα μιγαδικά συζυγή πλάτη πιθανότητας. Η μορφή που λαμβάνει το διάνυσμα bra σαν πίνακας είναι: x = a + b = [a Με τους παραπάνω συμβολισμούς μπορούν να γραφούν και οι δυο βασικές καταστάσεις, δεδομένου ότι τα πλάτη πιθανότητας είναι, πιθανότητα %, όταν εμφανίζεται η βασική κατάσταση και, πιθανότητα %, στην αντίθετη περίπτωση: = + = [ ] = + = [ ] b ] = + = [ ] = + = [ ]

12 Κβαντικοί Υπολογιστές Συνεχίζοντας, πολύ σημαντικό ρόλο διαδραματίζουν δυο γινόμενα, το εσωτερικό και το εξωτερικό. Έστω ότι υπάρχουν οι καταστάσεις υπέρθεσης x = a + b και y = c + d. Το εσωτερικό γινόμενο ορίζεται ως το bra της πρώτης κατάστασης επί το ket της δεύτερης κατάστασης και συμβολίζεται ως εξής: x y = [a b ] [ c d ] = (a c + b d) Σύμφωνα με τα παραπάνω, το εσωτερικό γινόμενο είναι ένας αριθμός. Πολλαπλασιάζοντας τις βασικές καταστάσεις μεταξύ τους προκύπτουν τέσσερις συνδυασμοί και μια ενδιαφέρουσα παρατήρηση: = [ ] [ ] = = [ ] [ ] = = [ ] [ ] = = [ ] [ ] = Όπως φαίνεται από τις δυο πρώτες εξισώσεις, οποιεσδήποτε δυο βασικές καταστάσεις είναι ορθογώνιες μεταξύ τους καθώς το εσωτερικό γινόμενο είναι πάντα μηδέν, τρόπος με τον οποίο μπορεί να αναγνωρισθεί η ορθογωνιότητα δυο καταστάσεων. Αντίθετα με το εσωτερικό γινόμενο, το εξωτερικό δεν είναι κάποιος αριθμός αλλά ένας ακόμη πίνακας. Αυτό εξάγεται από τον ορισμό του εξωτερικού γινόμενου δυο καταστάσεων ο οποίος αναφέρει ότι είναι το γινόμενο του ket της πρώτης κατάστασης με το bra της δεύτερης κατάστασης: x y = [ a b ] [ c d ] = [ ac ad ] bc bd.4 Qubits Μία από τις βασικότερες και ταυτόχρονα ειδοποιός διαφορά ανάμεσα στους κλασικούς και τους κβαντικούς υπολογιστές είναι η διαφορετική έκφραση της έννοιας της μονάδας της πληροφορίας στον καθένα. Όπως

13 Κβαντικοί Υπολογιστές είναι γνωστό, οι κλασικοί υπολογιστές έχουν ως βασική μονάδα της πληροφορίας το bit. Αυτό, ανεξαρτήτως της φυσικής υλοποίησής του, μπορεί να λάβει μόνο δυο τιμές, και. Σε οποιαδήποτε χρονική στιγμή είναι δυνατόν να βρίσκεται μόνο σε μια από αυτές τις δυο διακριτές καταστάσεις. Σε αντίθεση, η μονάδα πληροφορίας σε έναν κβαντικό υπολογιστή είναι το κβαντικό bit (quantum bit) ή qubit για συντομία. Αν και το bit με το qubit παρουσιάζουν κάποιες ομοιότητες, στην πραγματικότητα πρόκειται για δυο εντελώς διαφορετικές και ξένες μεταξύ τους οντότητες. Το qubit είναι ένα κβαντικό σύστημα δυο διακριτών καταστάσεων, όπως αυτό ορίσθηκε προηγουμένως. Έχει και αυτό δυο διακριτές βασικές καταστάσεις, και, αλλά η διαφορά με το bit έγκειται στο γεγονός ότι οποιαδήποτε χρονική στιγμή μπορεί να βρίσκεται σε μια κατάσταση υπέρθεσης των δυο βασικών, επιπροσθέτως των δυο βασικών. Αυτό σημαίνει ότι μπορεί να βρίσκεται και στις δυο βασικές καταστάσεις ταυτόχρονα. Φυσικά, ισχύουν όσα έχουν προαναφερθεί για τα κβαντικά συστήματα δυο καταστάσεων. Συνεπώς, έχουμε πλέον τον εξής συμβολισμό για το qubit: q = a + b = a [ ] + b [ ] = [a b ], όπου a και b τα πλάτη πιθανότητας, γενικότερα μιγαδικοί αριθμοί, για κάθε βασική κατάσταση αντίστοιχα, a 2 και b 2 οι πιθανότητες να βρεθεί ύστερα από κάποια μέτρηση το qubit στην αντίστοιχη βασική κατάσταση και, τελικά, a 2 + b 2 =. Ακόμη, οι βασικές καταστάσεις είναι ορθογώνιες μεταξύ τους. Το διάνυσμα κατάστασης q ενός qubit είναι ένα διάνυσμα στον χώρο Hilbert με δυο διαστάσεις. Έτσι, η αναπαράσταση του διανύσματος δεν μπορεί να γίνει απλά σε ένα σύστημα δυο αξόνων διότι αυτό μπορεί να πραγματοποιηθεί μόνο για πραγματικούς αριθμούς και όχι για μιγαδικούς. Επομένως, για την αναπαράσταση του διανύσματος κατάστασης ενός qubit χρησιμοποιείται η σφαίρα του Bloch. Η σφαίρα του Bloch είναι μια γεωμετρική απεικόνιση τριών διαστάσεων και ονομάστηκε προς τιμήν του Ελβετού φυσικού Felix Bloch (95-983). Χρησιμοποιείται για να αναπαραστήσει ένα κβαντικό σύστημα δυο καταστάσεων, όπως είναι το qubit, με όλα τα χαρακτηριστικά του αλλά και διεργασίες πάνω σε αυτό. Πρόκειται για μια μοναδιαία σφαίρα,

14 Κβαντικοί Υπολογιστές 2 δηλαδή μια σφαίρα με ακτίνα ίση με. Κάθε διάνυσμα κατάστασης που θα απεικονιστεί θα έχει και αυτό μήκος καθώς η αρχή του βρίσκεται στην αρχή των αξόνων και το τελικό σημείο οπουδήποτε στην επιφάνεια της σφαίρας. Στο βόρειο και το νότιο πόλο της σφαίρας βρίσκονται, ως άτυπη συνθήκη, ο δυο βασικές καταστάσεις του κβαντικού συστήματος. Στην περίπτωση του κβαντικού bit, στο βόρειο πόλο είναι το και στο νότιο πόλο το. Εικόνα -5: Η σφαίρα Bloch Με τη βοήθεια της σφαίρας Bloch μπορούν να απεικονιστούν οι βασικές καταστάσεις και αλλά και οποιαδήποτε άλλη κατάσταση υπέρθεσης των δυο προηγούμενων (εικόνα -6). Εφόσον τα πλάτη πιθανότητας είναι μιγαδικοί αριθμοί, τότε μπορούν να γραφούν ως εξής: q = cos ( θ 2 ) + eiφ sin ( θ ), () 2 όπου φ και θ είναι πραγματικοί αριθμοί και θ π και φ 2π.

15 Κβαντικοί Υπολογιστές 3 Επίσης, αποδεικνύεται ότι η γωνία θ καθορίζει τις τιμές των πλατών πιθανότητας και τις πιθανότητες εμφάνισης της κάθε βασικής κατάστασης. Λαμβάνοντας υπόψιν την εξίσωση e iφ 2 = : cos ( θ 2 2 ) + e iφ sin ( θ 2 2 ) = cos ( θ 2 2 ) + sin ( θ 2 2 ) = = a 2 + b 2 = = Συνεπώς, τα πλάτη πιθανοτήτων είναι cos ( θ ) και sin 2 (θ ) ενώ οι 2 πιθανότητες είναι cos ( θ 2 ) 2 και sin ( θ 2 ) 2 για να εμφανιστεί σε μία μέτρηση η βασική κατάσταση και αντίστοιχα. Τέλος, η γωνία φ ονομάζεται γωνία φάσης. Στην παρακάτω εικόνα (εικόνα -6) φαίνονται τρία παραδείγματα καταστάσεων qubits. Στο σχήμα (γ) απεικονίζεται ένα τυχαίο qubit που βρίσκεται σε υπέρθεση των δυο βασικών καταστάσεων με τη γωνία φάσης φ και τη γωνία θ. Στο σχήμα (α) φαίνεται το διάνυσμα της βασικής κατάστασης, όπου φ = και θ =. Αυτό επαληθεύεται με αντικατάσταση των προηγούμενων τιμών στην εξίσωση (): q = cos ( 2 ) + ei sin ( 2 ) = cos + sin = + = Στο δεύτερο σχήμα της εικόνας -6 εμφανίζεται η μορφή του διανύσματος κατάστασης της βασικής κατάστασης. Σε αυτή την περίπτωση ισχύει για τη γωνία φάσης φ = και για την άλλη γωνία, θ = 8. Έτσι, με το ίδιο σκεπτικό όπως παραπάνω, η εξίσωση () γίνεται: q = cos ( 8 2 ) + ei sin ( 8 2 ) = cos 9 + sin 9 = + =

16 Κβαντικοί Υπολογιστές 4 Εικόνα -6: Τρία παραδείγματα διανυσμάτων κατάστασης απεικονιζόμενα στη σφαίρα Bloch: (a) Το διάνυσμα ενός qubit στη βασική κατάσταση, (β) το διάνυσμα ενός qubit της βασικής κατάστασης και (γ) το διάνυσμα ενός qubit που βρίσκεται σε υπέρθεση των δυο βασικών καταστάσεων Μία σημαντική παρατήρηση είναι το γεγονός ότι σε μια μόνο μέτρηση δεν μπορεί κάποιος να ξεχωρίσει δυο qubits τα οποία διαφέρουν μόνο κατά τη γωνία φάσης. Αυτό συμβαίνει γιατί οι πιθανότητες εμφάνισης μιας βασικής κατάστασης και τα πλάτη αυτών, τα οποία είναι τα μετρήσιμα μεγέθη, δεν περιέχουν τη γωνία φάσης φ. Παρόλα αυτά, η γωνία φάσης παίζει πολύ σημαντικό ρόλο..5 Κβαντικός καταχωρητής Στο κλασικό μοντέλο αρχιτεκτονικής των μοντέρνων υπολογιστών, η οποία ονομάζεται αρχιτεκτονική Von Neumann, oι καταχωρητές (registers) είναι διατάξεις στις οποίες αποθηκεύονται μικρά μέρη

17 Κβαντικοί Υπολογιστές 5 πληροφορίας με τη μορφή bits. Χρησιμοποιούνται κυρίως στην κεντρική μονάδα επεξεργασίας (Central Processing Unit CPU) και υπάρχουν διάφοροι τύποι, όπως π.χ. για αποθήκευση εντολών ή για αποθήκευση δεδομένων. Βρίσκονται στην κορυφή της ιεραρχίας των μνημών όντας οι πιο γρήγορα προσπελάσιμες μνήμες. Ένας καταχωρητής αποτελείται από ένα σύνολο bits για την αποθήκευση μικρών τμημάτων πληροφορίας. Όπως και ο κλασικός καταχωρητής του ψηφιακού υπολογιστή, έτσι και ο καταχωρητής ενός κβαντικού υπολογιστή αποτελείται από ένα σύστημα πολλών qubits, συνήθως τοποθετημένα σε σειρά, μετρώντας από δεξιά προς τα αριστερά, σε αντίθεση με τα bits του κλασικού καταχωρητή. Εικόνα -7: (α) - ένας κβαντικός καταχωρητής, μετρώντας από δεξιά προς τα αριστερά (β) - ένας κλασικός καταχωρητής, μετρώντας από αριστερά προς τα δεξιά Αρχικά, πρέπει να οριστεί η έννοια του τανυστικού γινομένου. Θα ορισθεί για πίνακες με μια στήλη και δυο γραμμές, όπως είναι το διάνυσμα ket που μελετάται. Το τανυστικό γινόμενο δυο πινάκων μιας στήλης και δυο γραμμών Α = [ a b ] και B = [c ], λοιπόν, είναι: d a c a d C = A B = [ ] b c b d

18 Κβαντικοί Υπολογιστές 6 Όπως φαίνεται, το αποτέλεσμα του τανυστικού γινομένου των δυο πινάκων είναι ένας νέος πίνακας με πλήθος στοιχείων ίσο με το άθροισμα των στοιχείων των δυο προηγούμενων πινάκων. Προχωρώντας στον κόσμο των qubits, με τη βοήθεια του τανυστικού γινομένου μπορούμε να βρούμε τις βασικές καταστάσεις ενός κβαντικού καταχωρητή που αποτελείται από n qubits καθώς και τα πλάτη πιθανότητας της κάθε κατάστασης. Στη συνέχεια εξετάζεται η απλούστερη περίπτωση στην οποία ο καταχωρητής αποτελείται από δυο qubits. Έστω αυτά είναι τα q και q και το καθένα με το εξής διάνυσμα κατάστασης: q = a + b = [ a b ] και q = c + d = [ c d ] Ο καταχωρητής των δυο παραπάνω qubits περιγράφεται από τη σχέση, η οποία περιγράφει το διάνυσμα κατάστασης του καταχωρητή: Πιο αναλυτικά έχουμε: a c q reg = q q = [ a b ] [c d ] = [ a d ] b c b d q reg = q q = (a + b ) (c + d ) = (ac) + (ad) + (bc) + (bd) = (ac) + (ad) + (bc) + (bd) Συμπερασματικά, ο κβαντικός καταχωρητής που αποτελείται από δυο qubits είναι ένα κβαντικό σύστημα τεσσάρων βασικών καταστάσεων, οι οποίες είναι η, η, η και η. Καθεμιά τους βρίσκεται ως το τανυστικό γινόμενο των δυο βασικών καταστάσεων των qubits. Η μορφή τους ως πίνακας είναι: = = [ ] [ ] = [ ] = = [ ] [ ] = [ ]

19 7 Κβαντικοί Υπολογιστές = = [ ] [ ] = [ ] = = [ ] [ ] = [ ] Οι τέσσερεις αυτές βασικές καταστάσεις έχουν η καθεμιά ξεχωριστά πλάτη πιθανότητας, τα οποία είναι μιγαδικοί αριθμοί, αλλά και πιθανότητες εμφάνισης: Πίνακας -: Πλάτη πιθανότητας και πιθανότητες εμφάνισης των διαφορετικών βασικών καταστάσεων ενός καταχωρητή των 2 qubits Βασική Κατάσταση Πλάτος πιθανότητας Πιθανότητα εμφάνισης a c a c 2 a d a d 2 b c b c 2 b d b d 2 Έτσι, ύστερα από μια μέτρηση για να βρει κάποιος την κατάσταση του καταχωρητή, η κάθε βασική κατάσταση έχει την δική της πιθανότητα εμφάνισης και η υπέρθεση καταστρέφεται. Τέλος, βάσει της θεωρίας πιθανοτήτων και του γεγονότος ότι αυτές είναι οι μοναδικές τέσσερεις καταστάσεις που μπορεί να εμφανιστούν έχουμε ότι το άθροισμα των πιθανοτήτων εμφάνισης είναι ίσο με : a c 2 + a d 2 + b c 2 + b d 2 = Το διάνυσμα κατάστασης του κβαντικού καταχωρητή βρίσκεται σε ένα χώρο Hilbert τεσσάρων διαστάσεων και έχει μήκος. Φυσικά δεν μπορεί να αναπαρασταθεί με τη βοήθεια της σφαίρας του Bloch αλλά και με κανένα άλλο τρόπο ο οποίος να είναι αντιληπτός και κατανοητός από τον ανθρώπινο εγκέφαλο. Αναφέρθηκε ότι όταν γίνει κάποια μέτρηση σε ένα κβαντικό σύστημα που βρίσκεται σε υπέρθεση των βασικών του καταστάσεων, τότε η υπέρθεση καταστρέφεται και εμφανίζεται μόνο μια εκ των βασικών καταστάσεων, της οποίας η εμφάνιση εξαρτάται από την τιμή της πιθανότητας εμφάνισης.

20 Κβαντικοί Υπολογιστές 8 Όσον αφορά το θέμα σύγκρισης της χωρητικότητας του κβαντικού καταχωρητή δυο qubits και του κλασικού καταχωρητή των δυο bits πρέπει να τονιστεί η μεγάλη διαφορά που παρουσιάζουν στη δυνατότητα αποθήκευσης πληροφοριών. Αρχικά, ο κλασικός καταχωρητής με δυο bits μπορεί να αποθηκεύσει το πολύ ένα δυαδικό αριθμό, είτε τον, ή τον, ή τον, ή τον. Όμως, ο κβαντικός καταχωρητής από την άλλη πλευρά μπορεί να αποθηκεύσει το μέγιστο τέσσερεις δυαδικούς αριθμούς ταυτόχρονα, τον ( ), τον ( ), τον ( ), τον ( ). Το φαινόμενο αυτό ονομάζεται κβαντική παραλληλία και είναι από τα σημαντικότερα πλεονεκτήματα των κβαντικών υπολογιστών. Ένας άλλος συμβολισμός που χρησιμοποιείται ευρύτατα είναι η αντικατάσταση της κατάστασης του καταχωρητή από δυαδική μορφή σε δεκαδική. Αυτή γίνεται κατά τα γνωστά όπως η μετατροπή δυαδικού σε δεκαδικό αριθμό. Ως εκ τούτου, προκύπτει η εξής αναλογία για την περίπτωση του καταχωρητή των δυο qubits: Πίνακας -2: Αναλογία μεταξύ της δυαδικής και δεκαδικής απεικόνισης του καταχωρητή των 2 qubits Δυαδική μορφή Δεκαδική μορφή 2 3 Ακόμη, τα πλάτη πιθανότητας μπορεί να γραφούν ως cj, όπου j είναι η δεκαδική μορφή της αντίστοιχης κατάστασης. Επομένως, η εξίσωση του διανύσματος κατάστασης του κβαντικού καταχωρητή γίνεται: q reg = q q = (a + b ) (c + d ) = (ac) + (ad) + (bc) + (bd) = (ac) + (ad) + (bc) 2 + (bd) 3 = c o + c + c c = c i i i=

21 Κβαντικοί Υπολογιστές 9 Από τα παραπάνω μπορούν να εξαχθούν γενικά συμπεράσματα για τις ιδιότητες ενός κβαντικού καταχωρητή που αποτελείται από n qubits. Πρώτα από όλα, ο κβαντικός αυτός καταχωρητής έχει 2 n βασικές καταστάσεις και μπορεί να αποθηκεύσει 2 n αριθμούς ταυτόχρονα. Ακόμη, για το διάνυσμα κατάστασης ισχύει: q reg = q n q 3 2 q q = 2 n i= c i i όπου οι βασικές καταστάσεις του καταχωρητή είναι συνδυασμοί των βασικών καταστάσεων των qubits που τον αποτελούν, i είναι ένας δεκαδικός αριθμός που φανερώνει τη βασική κατάσταση του καταχωρητή όπως περιεγράφηκε παραπάνω και ci είναι το πλάτος πιθανότητας για τη κάθε βασική κατάσταση του καταχωρητή. Το παραπάνω διάνυσμα κατάστασης του καταχωρητή βρίσκεται σε χώρο Hilbert 2 n διαστάσεων και έχει μήκος ίσο με τη μονάδα. Για τις πιθανότητες εμφάνισης των διαφόρων βασικών καταστάσεων ισχύει: 2 n c i 2 = c 2 + c 2 + c c 2 n 2 = i=

22 Κβαντικοί Υπολογιστές 2 2 Κβαντικές πύλες 2. Εισαγωγή Στους κλασικούς υπολογιστές οι λογικές πύλες είναι φυσικά ηλεκτρονικά συστήματα που αποτελούνται από πολλά τρανζίστορ και από τα οποία διαρρέουν οι πληροφορίες. Αυτό σημαίνει ότι μέσω των αγωγών των ηλεκτρικών κυκλωμάτων οι πληροφορίες, υπό τη μορφή ηλεκτρικών παλμών, φτάνουν στις εισόδους των λογικών πυλών, υπόκεινται σε επεξεργασία και τελικώς βγαίνουν από τις εξόδους και συνεχίζουν την πορεία τους πάνω στους αγωγούς του κυκλώματος. Η επεξεργασία των εισερχόμενων δεδομένων γίνεται βάσει του πίνακα αληθείας της εκάστοτε λογικής πύλης. Παρακάτω φαίνονται οι πίνακες αληθείας δυο πολύ κοινά χρησιμοποιούμενων λογικών πυλών, της πύλης AND που δρα σε δυο bits και της πύλης NOT που δρα σε ένα bit: Πίνακας 2-: Η κλασική πύλη AND Είσοδος Α Είσοδος Β Έξοδος Πίνακας 2-2: Η κλασική πύλη NOT Είσοδος Έξοδος Αντίθετα, στους κβαντικούς υπολογιστές οι αντίστοιχες πύλες, οι οποίες ονομάζονται κβαντικές πύλες, είναι δράσεις που ασκούνται πάνω σε ένα ή πολλά qubits ή και κβαντικούς καταχωρητές. Οι δράσεις αυτές πρόκειται για τελεστές-πίνακες οι οποίοι εφαρμόζονται πάνω στα διανύσματα κατάστασης και πραγματοποιούν πράξεις όπως π.χ. αλλάζουν τα πλάτη πιθανότητας των βασικών καταστάσεων. Εφαρμόζονται πράξεις πάνω στα qubits και αυτές είναι πάντα αντιστρεπτές. Αυτό σημαίνει ότι έχουν τον ίδιο

23 Κβαντικοί Υπολογιστές 2 αριθμό εισόδων και εξόδων. Μια πύλη η οποία δρα σε n qubits αντιπροσωπεύεται από έναν ορθομοναδιαίο πίνακα διαστάσεων 2 k x 2 k. Το αποτέλεσμα της δράσης μιας πύλης σε qubit βρίσκεται με τον πολλαπλασιασμό του πίνακα της πύλης με τον πίνακα του διανύσματος κατάστασης. Ένα άλλο βασικό χαρακτηριστικό των κβαντικών πυλών είναι το γεγονός ότι η πληροφορία, τα qubits δεν περνούν μέσα από την πύλη όπως στους κλασικούς υπολογιστές, αλλά εφαρμόζονται πάνω στα qubits ή στους καταχωρητές. Οι κβαντικές πύλες είναι οι δομικοί λίθοι των κβαντικών κυκλωμάτων, τα οποία θα παρουσιαστούν στο επόμενο κεφάλαιο. 2.2 Κβαντικές πύλες που δρουν σε ένα qubit Παρακάτω παρουσιάζονται κάποιες ενδεικτικές και κοινώς χρησιμοποιούμενες κβαντικές πύλες οι οποίες δρουν σε ένα qubit. Η κύρια λειτουργία τους είναι η περιστροφή του διανύσματος κατάστασης. Αυτό επιτυγχάνεται με τη μεταβολή των γωνιών φ και θ μέσω των πράξεων που εκτελούν οι πύλες πάνω στα qubits. Γενικότερα, οι περιστροφές που μπορούν να συμβούν είναι άπειρες και γι αυτό το λόγο υπάρχουν και άπειρες κβαντικές πύλες που δρουν σε ένα qubit. Επομένως, επειδή η κάθε τέτοια κβαντική πύλη περιγράφεται από έναν ορθομοναδιαίο πίνακα, κάθε τέτοιος πίνακας μπορεί να είναι μια κβαντική πύλη. Παρόλα αυτά, υπάρχει μια γενική περίπτωση πίνακατελεστή που δρα σε ένα qubit. Αυτός είναι ο πίνακας U, ο οποίος είναι ένας πίνακας 2x2 και είναι ο εξής: cos γ U = e ia [ e iβ 2 ] [ 2 sin γ 2 e iβ 2 sin γ cos γ ] [ e iδ 2 ] 2 2 e iδ 2 cos γ = [ 2 ei( β+δ 2 +α) sin γ 2 ei( β+δ 2 +α) sin γ 2 ei(β+δ 2 +α) cos γ ] 2 ei(β+δ 2 +α) Όπου α, β, γ, δ είναι πραγματικοί αριθμοί. Η δράση μιας κβαντικής πύλης σε ένα qubit q συμβολίζεται ως εξής: U q = q μετά

24 Κβαντικοί Υπολογιστές 22 Ο συμβολισμός U χρησιμοποιείται βάσει της γενικής κβαντικής πύλης που παρουσιάστηκε παραπάνω αλλά αντί αυτού του συμβόλου μπορεί να χρησιμοποιηθεί το σύμβολο της αντίστοιχης πύλης που εφαρμόζεται. Επίσης, το διάνυσμα κατάστασης q μετά συμβολίζει την κατάσταση του qubit μετά τη δράση της πύλης. Τέλος, οι επιδράσεις που έχει η εφαρμογή των κβαντικών πυλών στο qubit που εφαρμόζονται αναπαρίστανται και με τη βοήθεια ενός πίνακα που περιγράφει την κατάσταση πριν και μετά όλων των πιθανών περιπτώσεων Κβαντική πύλη αδράνειας Η κβαντική πύλη αδράνειας, συμβολίζεται με I αφήνει αμετάβλητη την κατάσταση του qubit στο οποίο εφαρμόζεται, όπως αποκαλύπτει άλλωστε και το όνομά της. Η πύλη αυτή προκύπτει εάν στον τύπο της γενικής πύλης U γίνει η αντικατάσταση α = β = γ = δ =. Έτσι, ο πίνακας της πύλης είναι: cos I = [ 2 ei( + 2 +) sin 2 ei( + 2 +) sin 2 ei(+ 2 +) cos ] = [ 2 ei(+ 2 +) ] Ο συμβολισμός της πύλης αδράνειας είναι: I q = [ ] q = q Με τη βοήθεια πίνακα για την αναπαράσταση των ιδιοτήτων της πύλης, έχουμε: Πίνακας 2-3: Πίνακας αληθείας της πύλης αδράνειας q πριν q μετά Κβαντική πύλη Pauli-X (πύλη NOT) Η κβαντική πύλη Pauli-X είναι η αντίστοιχη της πύλης NOT των κλασικών υπολογιστών. Συμβολίζεται με X ή NOT και αντιστρέφει την κατάσταση

25 Κβαντικοί Υπολογιστές 23 του qubit. Ουσιαστικά, πρόκειται για μια περιστροφή του διανύσματος κατάστασης γύρω από τον άξονα Χ κατά 8 μοίρες, ή π ακτίνια. Ο πίνακας της πύλης είναι: X = NOT = [ ] Ο συμβολισμός που χρησιμοποιείται για να παρουσιάσει την επίδραση της πύλης σε qubit είναι: X = NOT = [ ] [ ] = [ ] = X = NOT = [ ] [ ] = [ ] = Υπό μορφή πίνακα οι ιδιότητες είναι: Πίνακας 2-4: Πίνακας αληθείας της πύλης ΝΟΤ q πριν q μετά Κβαντική πύλη Pauli-Y Η κβαντική πύλη Pauli-Y αντιστοιχεί σε περιστροφή του διανύσματος κατάστασης του qubit κατά 8 μοίρες, ή π ακτίνια, γύρω από τον άξονα Υ. Συμβολίζεται με Y και μετατρέπει το διάνυσμα σε i και την σε i. Ο πίνακας είναι: Y = [ i i ] Συνεχίζοντας, οι επιδράσεις της πύλης με μαθηματικό συμβολισμό είναι: Y = [ i Y = [ i i ] [ ] = [ ] = + i = i i i ] [ ] = [ i ] = i + = i Οι ιδιότητες της παραπάνω πύλης, υπό μορφή πίνακα, είναι:

26 Κβαντικοί Υπολογιστές 24 Πίνακας 2-5: Πίνακας αληθείας της πύλης Pauli-Y q πριν q μετά i i Κβαντική πύλη Pauli-Z Η τελευταία πύλη της οικογένειας των πυλών Pauli είναι η κβαντική πύλη Pauli-Z. Αυτή περιστρέφει το διάνυσμα κατάστασης κατά 8 μοίρες, ή π ακτίνια, γύρω από τον άξονα Ζ και συμβολίζεται με Ζ. Ουσιαστικά, αφήνει αμετάβλητη την κατάσταση και μετατρέπει την κατάσταση σε. Ο πίνακας που αντιπροσωπεύει αυτή την πύλη είναι: Οι επιδράσεις της πύλης είναι: Z = [ ] Ζ = [ ] [ ] = [ ] = + = Ζ = [ ] [ ] = [ ] = + ( ) = Έτσι, υπάρχει και ο πίνακας μετατροπών της συγκεκριμένης πύλης και είναι ο εξής: Πίνακας 2-6: Πίνακας αληθείας της πύλης Pauli-Z q πριν q μετά Κβαντική πύλη Hadamard Η πύλη Hadamard εφαρμόζεται πάνω σε ένα qubit και αποτελεί βασικό και κρίσιμο εργαλείο για τη σχεδίαση κβαντικών κυκλωμάτων. Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι η πύλη αυτή έχει ως είσοδό της ένα qubit που δε βρίσκεται σε κατάσταση υπέρθεσης και το μετατρέπει έτσι ώστε να βρίσκεται σε μια τέτοια κατάσταση. Καθώς, οι κβαντικοί υπολογιστές βασίζονται στην υπέρθεση των qubits για τις περισσότερες πράξεις που

27 Κβαντικοί Υπολογιστές 25 θα εκτελέσουν, μπορεί κανείς να καταλάβει τη μεγάλη σημασία που αποκτά. Συμβολίζεται με H. Ο πίνακας της πύλης βρίσκεται εάν στον πίνακα της γενικής κβαντικής πύλης U αντικαταστήσουμε α = π 2, β = 3π, γ = 3π 2, δ =. Επομένως, έχουμε: cos 3π/2 H = [ 2 ei( sin 3π/2 2 ei( 3π+ 2 +π/2) sin 3π/2 2 ei( 3π+ 2 +π/2) cos 3π/2 2 ei( cos 3π = [ 4 e πi sin 3π 4 e πi sin 3π 4 e2πi cos 3π ] = 4 e2πi = 2 [ ] = [ ] 2 [ 2 3π+ 2 +π/2) 3π+ 2 2 ] 2 +π/2) ] = Η επίδραση της πύλης Hadamard σε qubits που βρίσκονται στις βασικές καταστάσεις είναι: H = [ ] [ ] = [ ] H = [ ] [ ] = [ ] = + = ( + ) = = ( ) Συνεπώς, η πιθανότητα να λάβει κάποιος, ύστερα από μια μέτρηση, μια από τις δυο βασικές καταστάσεις είναι ίδια και έχει τιμή ίση με 2 =,5. Επίσης, με εφαρμογή της πύλης Hadamard σε qubits που βρίσκονται σε υπέρθεση, δηλαδή τα + και, αυτά επανέρχονται στην αρχική βασική κατάσταση ως εξής: H ( + ) = [ ] [ ] = = [ ] = + =

28 Κβαντικοί Υπολογιστές 26 H ( ) = [ = [ ] = + = ] [ ] Συνοπτικά, οι δράσεις της πύλης Hadamard και στις δυο περιπτώσεις φαίνονται στον παρακάτω πίνακα: Πίνακας 2-7: Πίνακας αληθείας της πύλης Hadamard q πριν q μετά Κβαντική πύλη μετατόπισης φάσης Η κβαντική πύλη μετατόπισης φάσης αποτελεί μια οικογένεια πυλών οι οποίες περιστρέφουν το διάνυσμα κατά θ μοίρες σε έναν νοητό οριζόντιο κύκλο. Συμβολίζεται με R θ και προκύπτει από τη γενική κβαντική πύλη U εάν γίνουν οι αντικαταστάσεις α = β+δ και γ =. Έτσι, η εξίσωση της πύλης U γίνεται: cos R θ = [ 2 ei( β+δ 2 +α) sin 2 ei( β+δ 2 +α) sin 2 ei(β+δ 2 +α) cos ] = 2 ei(β+δ 2 +α) = [ cos ei(α α) sin e ι(α α) sin e i(2α) cos e i(2α) ] = = [ e i2α] 2

29 Κβαντικοί Υπολογιστές 27 Αντικαθιστώντας το 2α = θ προκύπτει η τελική μορφή του πίνακα της πύλης μετατόπισης φάσης: R θ = [ e iθ] Εξετάζοντας το αποτέλεσμα της δράσης της παραπάνω πύλης σε qubits που βρίσκονται σε μια από τις βασικές καταστάσεις προκύπτουν τα εξής: R θ = [ e iθ] [ ] = [ ] = R θ = [ e iθ] [ ] = [ e iθ] = eiθ Όπως φαίνεται από τις παραπάνω εξισώσεις, η πύλη μετατόπισης φάσης δεν αλλάζει την κατάσταση ενός qubit που βρίσκεται στη βασική κατάσταση αλλά αλλάζει ένα qubit που βρίσκεται στη βασική κατάσταση σε e iθ. Η πιθανότητα να μετρηθεί η κατάσταση παραμένει αμετάβλητη και το μόνο που αλλάζει είναι η γωνία φάσης του διανύσματος. Στην πιο γενική περίπτωση ενός qubit με πλάτη πιθανότητας a και b, έχουμε: R θ q = R θ (a + b ) = [ e iθ] [a b ] = [ a b e iθ ] = a + b e iθ Όπως και στην περίπτωση του qubit με κατάσταση, έτσι και σε αυτή αλλάζει μόνο η γωνία φάσης του διανύσματος του qubit χωρίς να επηρεάζονται τα πλάτη πιθανότητας του qubit. Οι δράσεις της πύλης αυτής συνοψίζονται στον παρακάτω πίνακα: Πίνακας 2-8: Πίνακας αληθείας της πύλης μετατόπισης φάσης q πριν q μετά e iθ a + b a + b e iθ 2.3 Κβαντική πύλη εναλλαγής qubit Η κβαντική πύλη εναλλαγής qubit είναι μια κβαντική πύλη που εφαρμόζεται και δρα σε δύο qubit. Μετά την εφαρμογή της πύλης αυτής,

30 Κβαντικοί Υπολογιστές 28 τα δυο qubit που έχουν δεχθεί τη δράση της έχουν εναλλάξει τις καταστάσεις που βρίσκονταν πριν. Συμβολίζεται με SWAP και ο πίνακας της είναι: SWAP = [ ] Αντίθετα με τις πύλες που δρουν σε ένα qubit, ο πίνακας μιας πύλης που δρα σε δυο qubits είναι ένας πίνακας 4x4 διότι όπως έχει αποδειχθεί στο κεφάλαιο των κβαντικών καταχωρητών (.5), ο διανυσματικός πίνακας δυο qubits αποτελείται από μία στήλη τεσσάρων στοιχείων. Έτσι, η εφαρμογή της συγκεκριμένης πύλης σε δυο qubits q και q 2 είναι: q = a + b q = c + d a c q q = q q = [ a b ] [c d ] = [ a d ] b c b d a c a c a d b c SWAP( q q ) = [ ] [ ] = [ ] = [ c b c a d d ] [a b ] = q q b d b d Οι δράση της κβαντικής πύλης εναλλαγής qubit εμφανίζεται στον επόμενο πίνακα: Πίνακας 2-9: Πίνακας αληθείας της πύλης εναλλαγής qubits q πριν q μετά q q q q q q q q

31 2.4 Ελεγχόμενες κβαντικές πύλες 2.4. Γενικά Κβαντικοί Υπολογιστές 29 Ο όρος ελεγχόμενες κβαντικές πύλες αναφέρεται σε κβαντικές πύλες οι οποίες δρουν σε δύο (πύλη ελεγχόμενου ΟΧΙ) ή και περισσότερα qubits (πύλες Toffoli και Fredkin). Στο ένα qubit θα εφαρμοστεί πιθανώς ο μετασχηματισμός που ορίζει η πύλη, ενώ το άλλο (ή άλλα) καθορίζουν αν θα εφαρμοστεί τελικά αυτός ο μετασχηματισμός στην κατάσταση του qubit. Ουσιαστικά, τα qubits ελέγχου (control qubits) ορίζουν αν το qubit στόχος θα υποστεί μετασχηματισμό ή όχι καθώς αυτό θα περάσει από την πύλη. Όπως αναλύθηκε στην αρχή του κεφαλαίου, ο συμβολισμός για μια οποιαδήποτε κβαντική πύλη U που δρα σε ένα qubit είναι: cos γ U = [ 2 ei( β+δ 2 +α) sin γ 2 ei( β+δ 2 +α) sin γ 2 ei(β+δ 2 +α) cos γ ] 2 ei(β+δ 2 +α) Χρησιμοποιώντας έναν πιο κατανοητό και ευκολονόητο συμβολισμό ο οποίος χρησιμοποιείται πολύ συχνά στη θεωρία πινάκων της γραμμικής άλγεβρας, η πύλη U μπορεί να γραφεί ως εξής: U = [ x x 2 x 2 x 22 ], όπου x ij ένα στοιχείο του πίνακα και i μία γραμμή του πίνακα και j μία στήλη του πίνακα. Επίσης, επειδή θα μελετηθούν ελεγχόμενες κβαντικές πύλες που δρουν σε δύο και τρία qubits, πρέπει να προσδιοριστούν μαθηματικά, σε μορφή πινάκων, τα διανύσματα κατάστασής τους. Αρχικά μελετάται η περίπτωση ενός καταχωρητή με δυο qubits. Έστω αυτά είναι τα q = a + b και q = c + d. Συνεπώς, όπως αναφέρθηκε και στο ο κεφάλαιο, ο παραπάνω κβαντικός καταχωρητής είναι ο εξής: a c a d q reg_2 = q q = [ ] b c b d

32 Κβαντικοί Υπολογιστές 3 Έτσι, οι πιθανότητες εμφάνισης των τεσσάρων πιθανών καταστάσεων,,, είναι a c, a d, b c και b d αντίστοιχα. Ακόμα, έστω α = a c, a = a d, a = b c και a = b d, όπου ο δείκτης δείχνει την κατάσταση στην οποία βρίσκεται ο καταχωρητής. Το qubit q θεωρείται το qubit ελέγχου ενώ το q το qubit στόχος. Όταν το q βρίσκεται στην κατάσταση ο μετασχηματισμός της πύλης δεν θα εφαρμοστεί στο q. Αντίθετα, όταν το q βρίσκεται στην κατάσταση τότε το qubit στόχος θα υποστεί το μετασχηματισμό που περιγράφει η κβαντική πύλη. Από αυτό προκύπτει ότι ο πίνακας μιας οποιασδήποτε κβαντικής πύλης U θα πρέπει να αφήνει ανεπηρέαστη την κατάσταση του καταχωρητή όταν αυτός είναι στις καταστάσεις και και να αλλάζει την κατάστασή του μόνο όταν συναντώνται οι καταστάσεις και. Τελικώς, ο πίνακας μιας οποιασδήποτε ελεγχόμενης κβαντικής πύλης είναι: CU = [ ] x x 2 x 2 x 22 Μια ακόμη, πιο συμπαγής, αναπαράσταση που μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τον παραπάνω πίνακα αλλά και για πίνακες ελεγχόμενων κβαντικών πυλών που επιδρούν σε τρία qubits, όπως αυτοί θα παρουσιαστούν παρακάτω, είναι η εξής [6] : 2 CU = [ I 2 2 U ], όπου με I 2 συμβολίζεται ο μοναδιαίος πίνακας 2x2 και με 2 μηδενικός πίνακας μεγέθους 2x2. Αρκετά εύκολα μπορεί να αποδειχθεί ότι ο παραπάνω πίνακας επαληθεύει την απαίτηση μιας ελεγχόμενης κβαντικής πύλης να αφήνει ανεπηρέαστη την κατάσταση του κβαντικού καταχωρητή δυο qubit αν το qubit ελέγχου είναι : a a a a CU q reg_2 = [ ] [ x x 2 a ] = [ x a + x 2 a ] x 2 x 22 a x 2 a + x 22 a Παρόμοια μπορεί να γίνει ανάλυση για την αναπαράσταση οποιασδήποτε ελεγχόμενης κβαντικής πύλης που εφαρμόζεται σε

33 Κβαντικοί Υπολογιστές 3 καταχωρητή των τριών qubits και χρησιμοποιούνται τα δυο qubits για έλεγχο. Χρησιμοποιούμε τα δυο προηγούμενα qubits που ορίστηκαν, δηλαδή τα q = a + b και q = c + d, καθώς και ένα τρίτο qubit q 2 = e + f. Όπως και προηγουμένως, ο καταχωρητής των τριών αυτών qubits είναι ο εξής: e a c a e a d a e b c a q reg_3 = q 2 q q = [ e f ] [a b ] [c d ] = e b d a f a c = a f a d a f d c a [ f b d] [ a ] Ο συμβολισμός που χρησιμοποιείται και εδώ είναι ο ίδιος με αυτόν που χρησιμοποιήθηκε παραπάνω. Το κάθε στοιχείο α του διανύσματος αντιπροσωπεύει την πιθανότητα εμφάνισης της κατάστασης που περιγράφεται στον δείκτη κατά τη διάρκεια μιας μέτρησης. Χρησιμοποιώντας το ίδιο σκεπτικό με τα προηγούμενα, ο πίνακας μιας γενικής κβαντικής πύλης που επηρεάζει τρία qubits και χρησιμοποιεί τα δύο από αυτά για έλεγχο είναι: CCU = x x 2 [ x 2 x 22 ] = [ I CU ] Ο δεύτερος πίνακας αποτελεί μια απλουστευμένη αναπαράσταση του αρχικού 8x8 πίνακα. Όπου I 4 είναι ο μοναδιαίος πίνακας μεγέθους 4x4, 4 είναι ο μηδενικός πίνακας μεγέθους 4x4 και CU ο πίνακας της γενικής ελεγχόμενης πύλης των 2 qubits με ένα qubit ελέγχου. Εφαρμόζοντας την πύλη CCU σε έναν καταχωρητή των τριών qubits, αποδεικνύεται ότι για να εφαρμοστεί ο μετασχηματισμός της πύλης στο qubit στόχο θα πρέπει και τα δυο qubits ελέγχου να είναι στην κατάσταση :

34 Κβαντικοί Υπολογιστές 32 a a a CCU q reg_3 = a a = a x x 2 a [ a x 2 x 22 ] [ a ] a a = a a a x a + x 2 a [ x 2 a + x 22 a ] Ομοίως, συνεχίζοντας με την ίδια λογική, μπορεί να προκύψει ελεγχόμενη κβαντική πύλη η οποία να δρα σε ένα qubit και να ελέγχεται από άλλα τρία. Αυτή μπορεί να εφαρμοστεί σε καταχωρητή τεσσάρων qubits και περιγράφεται από τον εξής πίνακα: 3CU = [ x x 2 x 2 x 22 ] Η ονομασία 3CU του παραπάνω πίνακα αποτελεί συντομογραφία της ονομασίας CCCU η οποία συμβαδίζει με τους προηγούμενους

35 Κβαντικοί Υπολογιστές 33 συμβολισμούς των τριών άλλων πινάκων. Επίσης, η μορφή του πίνακα μπορεί να συμπτυχθεί σε έναν πίνακα 4x4 ως εξής: 8 3CU = [ I 8 8 CCU ] Λαμβάνοντας υπόψιν τις προηγούμενες παρατηρήσεις για τις τρεις ελεγχόμενες κβαντικές πύλες, μπορεί να εξαχθεί ένας γενικός τρόπος αναπαράστασης πυλών αυτού του είδους. Έτσι, μια οποιαδήποτε τέτοια πύλη, η οποία εφαρμόζεται σε έναν καταχωρητή με χωρητικότητα n qubits, χρησιμοποιεί τα n- qubits για τον έλεγχο και το ένα qubit ως στόχο για την πιθανή εφαρμογή του μετασχηματισμού μιας οποιασδήποτε πύλης U. Γενικότερα, μπορούν να εφαρμοσθούν οι εξής κανόνες για μια πιο εύκολη αναπαράσταση και κατανόηση της λειτουργίας της παραπάνω γενικής ελεγχόμενης πύλης:. Ο μετασχηματισμός της πύλης U εφαρμόζεται μόνο αν οι καταστάσεις των qubits ελέγχου είναι ταυτόχρονα. Σε οποιαδήποτε άλλη περίπτωση ο μετασχηματισμός δεν εφαρμόζεται και το qubit στόχος μένει ανεπηρέαστο 2. Για μια πιο συμπυκνωμένη αναπαράσταση του συμβόλου της πύλης μπορεί να χρησιμοποιηθεί ο συμβολισμός (n )CU, όπου n είναι ο αριθμός των qubits στα οποία εφαρμόζεται η ελεγχόμενη κβαντική πύλη 3. Ο πίνακας της ελεγχόμενης κβαντικής πύλης είναι μεγέθους 2 n x2 n 4. Τα στοιχεία του πίνακα της πύλης U βρίσκονται στην κάτω δεξιά γωνία του παραπάνω πίνακα, δηλαδή στις θέσεις (2 n, 2 n ), (2 n, 2 n ), (2 n, 2 n ), (2 n, 2 n ) 5. Τα στοιχεία της διαγωνίου του πίνακα γεμίζονται από έως και το στοιχείο στη θέση (2 n 2, 2 n 2) 6. Όλα τα υπόλοιπα στοιχεία του πίνακα αποτελούνται από μηδενικά

36 Οι παραπάνω κανόνες συνοψίζονται στον εξής πίνακα: Κβαντικοί Υπολογιστές 34 [(n )CU] n n = x x 2 [ x 2 x 22 ] Τα στοιχεία x, x 2, x 2, x 22 αποτελούν τον πίνακα της πύλης U. Ακόμη, ο παραπάνω πίνακας μπορεί να γραφεί σαν πίνακας μεγέθους 4x4, για συντομία, ως εξής: 2 n [(n )CU] 4 4 = [ I 2 n 2 n (n 2)CU ] Στον παραπάνω συμβολισμό οι πίνακες I 2 n και 2 n είναι ο μοναδιαίος και ο μηδενικός πίνακας, μεγέθους 2 n και οι δύο, αντίστοιχα Ελεγχόμενες κβαντικές πύλες Pauli Οι ελεγχόμενες κβαντικές πύλες Pauli είναι πύλες που εφαρμόζονται σε δύο qubits και χρησιμοποιούν το ένα qubit για έλεγχο και το δεύτερο qubit ως στόχο του μετασχηματισμού της εκάστοτε πύλης Pauli. Σύμφωνα με όλα τα παραπάνω που αναλύθηκαν στο προηγούμενο υποκεφάλαιο, αυτές, μαζί με τους πίνακες αληθείας τους, είναι οι εξής: Ελεγχόμενη πύλη Pauli-X ή CX ή πύλη ελεγχόμενου ΟΧΙ ή CNOT: CX = CNOT = [ ] = [ I NOT ] Πίνακας 2-: Πίνακας αληθείας τη ελεγχόμενης πύλης NOT q πριν q μετά

37 Ελεγχόμενη πύλη Pauli-Y ή CY: CY = [ ] = [ I 2 2 i 2 Y ] i Κβαντικοί Υπολογιστές 35 Πίνακας 2-: Πίνακας αληθείας τη ελεγχόμενης πύλης Pauli-Y q πριν q μετά i ( i) Ελεγχόμενη πύλη Pauli-Z ή CZ: CZ = [ ] = [ I Z ] Πίνακας 2-2: Πίνακας αληθείας τη ελεγχόμενης πύλης Pauli-Z q πριν q μετά ( ) Κβαντική πύλη ελεγχόμενης μετατόπισης φάσης (CPh) Η κβαντική πύλη ελεγχόμενης μετατόπισης φάσης εφαρμόζει την πύλη μετατόπισης φάσης στο qubit στόχο μόνο αν η κατάσταση του qubit ελέγχου είναι. Αλλιώς, αφήνει την κατάσταση του καταχωρητή αμετάβλητη.

38 Κβαντικοί Υπολογιστές 36 I CR θ = [ ] = [ 2 2 ] 2 R θ e iθ Πίνακας 2-3: Πίνακας αληθείας τη ελεγχόμενης πύλης μετατόπισης φάσης q πριν q μετά (e iθ ) Κβαντική πύλη διπλά ελεγχόμενου ΟΧΙ (CCNOT - Toffoli) Η κβαντική πύλη διπλά ελεγχόμενου όχι, ή αλλιώς CCNOT, επινοήθηκε από τον Ιταλό καθηγητή Tommaso Toffoli, προς τιμήν του οποίου αναφέρεται πολλές φορές και ως πύλη Toffoli. Είναι μια πύλη η οποία εφαρμόζεται σε τρία qubits και χρησιμοποιεί το πρώτο και το δεύτερο για έλεγχο ενώ το τρίτο αποτελεί το qubit στόχο, στο οποίο εφαρμόζεται μια πύλη NOT. Αυτό σημαίνει ότι η πύλη NOT θα εφαρμοστεί στο qubit στόχο μόνο όταν και τα δύο qubits ελέγχου βρίσκονται στην κατάσταση. Έχει ανάλογο στα κλασσικά υπολογιστικά συστήματα, η οποία λειτουργεί αντίστοιχα με bits. Η πύλη CCNOT σε μορφή πίνακα, καθώς και ο πίνακας αληθείας είναι: CCNOT = [ ] = [ I CNOT ]

39 Κβαντικοί Υπολογιστές 37 Πίνακας 2-4: Πίνακας αληθείας της πύλης Toffoli q πριν q μετά Παραδείγματα εφαρμογής της πύλης αυτής είναι τα εξής: CCNOT = = = [ ] [ ] [ ] CCNOT = = = [ ] [ ] [ ] Κβαντική πύλη Fredkin Η κβαντική πύλη Fredkin ονομάστηκε έτσι προς τιμήν του καθηγητή Edward Fredkin. Ουσιαστικά, πρόκειται για μια πύλη ελεγχόμενης εναλλαγής qubits. Αυτή εφαρμόζεται σε τρία qubits, από τα οποία το πρώτο είναι το qubit ελέγχου ενώ τα άλλα δύο είναι τα qubits στόχοι που θα υποστούν τον μετασχηματισμό της πύλης SWAP, γι αυτό ονομάζεται και πύλη CSWAP. Αυτό σημαίνει ότι η εναλλαγή των δυο qubits στόχων θα γίνει μόνο όταν το πρώτο qubit, το qubit στόχος, θα είναι στην

40 Κβαντικοί Υπολογιστές 38 κατάσταση. Στη συνέχεια παρατίθεται η δράση της πύλης Fredkin σε μορφή πίνακα καθώς και ο πίνακας αληθείας της πύλης: CSWAP = [ ] = [ I SWAP ] Πίνακας 2-5: Πίνακας αληθείας της πύλης Fredkin q πριν q μετά Κάποια παραδείγματα εφαρμογής αυτής της πύλης αυτής σε κβαντικούς καταχωρητές είναι: CSWAP = = = [ ] [ ] [ ]

41 Κβαντικοί Υπολογιστές 39 CSWAP = = = [ ] [ ] [ ]

42 Κβαντικοί Υπολογιστές 4 3 Κβαντικά κυκλώματα 3. Εισαγωγή και απεικόνιση κυκλωμάτων Ένα κβαντικό κύκλωμα είναι ένας κβαντικός υπολογισμός που αποτελείται από μια σειρά κβαντικών πυλών οι οποίες εφαρμόζονται σε έναν κβαντικό καταχωρητή χωρητικότητας n qubits. Αρχικά, για την καλύτερη κατανόηση και επεξήγηση των κβαντικών κυκλωμάτων και του συμβολισμού τους, θα πρέπει να γίνει μια σύντομη αναφορά στις αντιστρέψιμες κβαντικές πύλες και στα αντιστρέψιμα κβαντικά κυκλώματα. Μια αντιστρέψιμη κβαντική πύλη μπορεί να περιγραφεί ως μια κβαντική πύλη της οποίας ο αριθμός των qubits που εξέρχονται από αυτή είναι ο ίδιος με τον αριθμό των qubits που εισέρχονται. Επιπλέον, εάν εφαρμοστεί η πύλη αντίστροφα σε κάποιο qubit που έχει υποστεί ήδη μετασχηματισμό, τότε θα ληφθεί η κατάσταση του αρχικού qubit. Ένα παράδειγμα μιας τέτοιας κβαντικής πύλης είναι η κβαντική πύλη Hadamard. Εφαρμόζοντας την πύλη αυτή σε ένα qubit με αρχική κατάσταση, αυτό μετασχηματίζεται ως εξής: H = [ ] [ ] = = [ ] Συνεχίζοντας, αν η ίδια πύλη εφαρμοστεί στο παραπάνω qubit, τότε η έξοδος θα πρέπει να είναι το αρχικό qubit που βρίσκεται στην κατάσταση. Όντως, το παραπάνω ισχύει καθώς: Η ( ) = [ ] = [ 2 2 [ ] 2 + ] = [ ] = 2 Εξετάζοντας μία προς μία τις κβαντικές πύλες βλέπει κανείς ότι όλες οι προαναφερθείσες πύλες είναι αντιστρέψιμες. Ακόμα ένα σημαντικό θεώρημα που αφορά τα κβαντικά κυκλώματα είναι το θεώρημα αδυναμίας διακλάδωσης (no-cloning theorem). Το θεώρημα

43 Κβαντικοί Υπολογιστές 4 αυτό παρουσιάσθηκε από τους Wootters, Zurek και Dieks και αποτελεί θεμελιώδεις και πολύ σημαντικό θεώρημα της επιστήμης του κβαντικού υπολογισμού. Πιο συγκεκριμένα, το θεώρημα αδυναμίας διακλάδωσης αναφέρει ότι είναι αδύνατο να αντιγράψουμε την κατάσταση ενός qubit σε ένα άλλο. Η απόδειξη του παραπάνω ισχυρισμού φαίνεται παρακάτω και βασίζεται στην αντίστοιχη απόδειξη με εις άτοπο απαγωγή που περιγράφεται στο βιβλίο του Ι. Καραφυλλίδη, «Κβαντικοί υπολογιστές: Βασικές έννοιες». Θεωρούμε ότι υπάρχει μια γενική πύλη UC η οποία επιδρά σε 2 qubits. Ως εισόδους έχει ένα qubit σε κάποια άγνωστη κατάσταση q και ένα άλλο που βρίσκεται στην κατάσταση. Η δράση αυτής της πύλης είναι η αντιγραφή της κατάστασης του ου qubit στο 2 ο. Αυτό σημαίνει ότι στην έξοδό της η πύλη θα έχει δύο qubits με την ίδια κατάσταση q. Έστω λοιπόν ότι αυτή η πύλη επιδρά σε δυο qubits, a και b, που είναι ορθογώνια μεταξύ τους ως εξής: UC a = aa και UC b = bb Ακόμη, υπάρχει άλλο ένα qubit, το οποίο αποτελεί υπέρθεση των δυο προηγούμενων: c = ( a + b ) Εφαρμόζοντας την πύλη UC στο παραπάνω qubit, έχουμε: UC c = UC( a + b ) = UC( a + b ) = ( aa + bb ) Παρόλα αυτά, όμως, θα πρέπει να ισχύει ακόμη ότι: UC c = cc = c c = [ ( a + b )] [ ( a + b )] = ( aa + ab + ba + bb ) 2 Συνεπώς, ενώ τα αριστερά μέλη των δυο παραπάνω εξισώσεων είναι ίδια, τα δεξιά τους μέλη είναι διαφορετικά και έτσι αυτή η πύλη δεν

44 Κβαντικοί Υπολογιστές 42 υφίσταται. Έτσι, δεν μπορεί να δημιουργηθεί κάποια πύλη η οποία να υλοποιεί την αντιγραφή της κατάστασης ενός qubit σε ένα άλλο. Η σημασία του παραπάνω θεωρήματος είναι εξαιρετικά σημαντική και είναι η βάση της κβαντικής κρυπτογραφίας. Η βάση του προηγούμενου ισχυρισμού είναι ότι δε δίνεται η δυνατότητα στον υποκλοπέα να αντιγράψει το μήνυμα για να το αποκωδικοποιήσει. Ακόμα και αν κρατήσει το μήνυμα θα πρέπει να καταστρέψει την υπέρθεση των qubits έτσι ώστε να μπορέσει να το διαβάσει. Συνεπώς, δεν θα υπάρχει μήνυμα για να σταλεί στον τελικό παραλήπτη και έτσι αυτός θα αντιληφθεί ότι το μήνυμα υποκλάπηκε και θα αλλάξει τη στρατηγική επικοινωνίας με τον πομπό. Ακόμη ένα πρόβλημα που δημιουργείται από το θεώρημα αδυναμίας διακλάδωσης είναι το γεγονός ότι δεν επιτρέπει τις κλασσικές μεθόδους διόρθωσης λαθών. Το πρόβλημα παρουσιάζεται όταν θα χρειαστεί κάποια αντιγραφή των καταστάσεων των qubits για να χρησιμοποιηθούν αργότερα για τη διόρθωση ενδεχόμενων σφαλμάτων. Αυτό το πρόβλημα λύθηκε το 995 από τον Peter Shor, ο οποίος πρότεινε έναν αλγόριθμο ο οποίος παρακάμπτει το προηγούμενο θεώρημα. Αυτός ο αλγόριθμος παρουσιάζεται σε επόμενο κεφάλαιο. Πλέον μπορεί να γίνει αναφορά και παρουσίαση των κβαντικών λογικών κυκλωμάτων σε αντιστοιχία με αυτά των κλασσικών υπολογιστών. Όπως και στα κλασσικά λογικά κυκλώματα, έτσι και στα κβαντικά τα δεδομένα κινούνται από τα αριστερά προς τα δεξιά όπως και ο χρόνος. Εικόνα 3-: Κύκλωμα ενός -bit πλήρους αθροιστή (Πηγή:

45 Κβαντικοί Υπολογιστές 43 Παρακάτω παρατίθεται και το αντίστοιχο κβαντικό ανάλογο του παραπάνω κυκλώματος. Πρώτη διαφορά που παρατηρείται είναι η ύπαρξη τεσσάρων qubits στην είσοδο και στην έξοδο. Αντίθετα με το κλασικό κύκλωμα, στο κβαντικό πρέπει να τηρηθεί η αντιστρεψιμότητα και για να επιτευχθεί αυτό θα πρέπει τα qubits της εξόδου να είναι ισάριθμα με τα qubits της εισόδου. Γι αυτό το λόγο στην είσοδο προστίθεται ένα βοηθητικό qubit D (συνήθως με κατάσταση έτσι ώστε να μην επηρεάζεται η έξοδος). Τελικώς, τα qubits που έχουν σημασία είναι τα S και Cout, το άθροισμα και το κρατούμενο αντίστοιχα. Ακόμη μια μεγάλη διαφορά είναι ο τρόπος εφαρμογής και λειτουργίας του εκάστοτε κυκλώματος. Στο κλασικό κύκλωμα τα bits εισόδου εισέρχονται στο κύκλωμα ως ηλεκτρικοί παλμοί και μέσω κάποιων συνδέσεων-αγωγών μεταφέρονται από πύλη σε πύλη. Σε αντίθεση, στο κβαντικό κύκλωμα οι κβαντικές πύλες εφαρμόζονται με τη σειρά πάνω σε έναν κβαντικό καταχωρητή που έχει αποθηκευμένα τα qubits. Έτσι στο τέλος της εφαρμογής του κυκλώματος υπάρχει ο ίδιος καταχωρητής με διαφορετικές καταστάσεις των qubits. Επίσης, ενώ η σειρά των bits στο κλασικό κύκλωμα είναι από πάνω προς τα κάτω, στο κβαντικό είναι από κάτω προς τα πάνω. Μια ακόμα παρατήρηση που μπορεί να γίνει είναι για τον τρόπο που παρουσιάζεται ο χρόνος στις απεικονίσεις των κυκλωμάτων. Στην περίπτωση του κλασικού κυκλώματος δεν μπορεί να εξαχθεί κάποιο σαφές συμπέρασμα για τον χρόνο που χρειάζεται για να επεξεργαστούν τα δεδομένα εισόδου και να προκύψουν τα δεδομένα εξόδου. Αντίθετα,

46 Κβαντικοί Υπολογιστές 44 στο κβαντικό κύκλωμα υπάρχει διαμερισμός χρονικών διαστημάτων (βήματα), μέσα στα οποία έχουμε μια δράση κάποιας κβαντικής πύλης σε κάθε qubit του κβαντικού καταχωρητή. Ακόμη, η περίπτωση που δεν γίνεται κάποια αλλαγή σε ένα qubit σε κάποιο χρονικό διάστημα είναι σαν να εφαρμόζεται η κβαντική πύλη αδράνειας. Έτσι, μπορεί να προκύψει μια νέα απεικόνιση για το κβαντικό κύκλωμα η οποία μπορεί να χρησιμοποιηθεί αρκετές φορές. Φυσικά, υπάρχουν διαφορές και στην απεικόνιση των πινάκων αληθείας των δύο κυκλωμάτων. Πιο συγκεκριμένα, η διαφορά έγκειται στη σειρά με την οποία παρουσιάζονται και είναι ταξινομημένα τα qubits στις στήλες του πίνακα. Πίνακας 3-: Πίνακας αληθείας του κλασικού κυκλώματος του πλήρους αθροιστή Είσοδος Έξοδος A B Cin S Cout

47 Κβαντικοί Υπολογιστές 45 Πίνακας 3-2: Πίνακας αληθείας του κβαντικού κυκλώματος του πλήρους αθροιστή Είσοδος Έξοδος D Cin B A Cout S B A 3.2 Σχηματική απεικόνιση των κβαντικών πυλών Στο προηγούμενο υποκεφάλαιο παρουσιάστηκαν σχηματικά τρεις διαφορετικές πύλες, η πύλη CCNOT, η πύλη CNOT και η πύλη αδράνειας. Συνεχίζοντας, λοιπόν, την παρουσίαση των κβαντικών κυκλωμάτων, πρέπει να γίνει μια αναφορά στον τρόπο με τον οποίο απεικονίζονται σχηματικά στα κβαντικά κυκλώματα οι κβαντικές πύλες. Η κβαντική πύλη αδράνειας:

48 Κβαντικοί Υπολογιστές 46 Η κβαντική πύλη NOT: Η κβαντική πύλη Pauli-Y: Η κβαντική πύλη Pauli-Z: Η κβαντική πύλη Hadamard: Η κβαντική πύλη μετατόπισης φάσης:

49 Η ελεγχόμενη κβαντική πύλη NOT (Pauli-X): Κβαντικοί Υπολογιστές 47 Η ελεγχόμενη κβαντική πύλη Pauli-Y: Η ελεγχόμενη κβαντική πύλη Pauli-Z:

50 Η ελεγχόμενη κβαντική πύλη μετατόπισης φάσης: Κβαντικοί Υπολογιστές 48 Η κβαντική πύλη Toffoli (CCNOT διπλά ελεγχόμενου όχι): Η κβαντική πύλη Fredkin:

51 Κβαντικοί Υπολογιστές 49 4 Κβαντικοί αλγόριθμοι Οι κβαντικοί αλγόριθμοι αποτελούν μια κατηγορία αλγορίθμων οι οποίοι μπορούν να τρέξουν σε κβαντικούς υπολογιστές. Αν και όλοι οι αλγόριθμοι των κλασικών υπολογιστών μπορούν να τρέξουν σε κβαντικούς υπολογιστές, ο όρος κβαντικός αλγόριθμος αναφέρεται στους αμιγώς κβαντικούς αλγορίθμους. Αυτοί είναι οι αλγόριθμοι που κάνουν χρήση κβαντικών φαινομένων, όπως η κβαντική παραλληλία και η κβαντική διεμπλοκή. Ότι πρόβλημα μπορεί να λυθεί σε έναν κλασικό υπολογιστή μπορεί να λυθεί αντίστοιχα και σε έναν κβαντικό. Παρόλα αυτά, το σημαντικό πλεονέκτημα των κβαντικών υπολογιστών είναι το γεγονός ότι εκτελούν και υπολογίζουν αυτούς τους αλγόριθμους με αρκετά μεγαλύτερη ταχύτητα σε σχέση με τους κλασικούς υπολογιστές. 4. Αλγόριθμος Deutsch Jozsa 4.. Εισαγωγικά Ο αλγόριθμος των Deutsch και Jozsa είναι ο πρώτος κβαντικός αλγόριθμος που παρουσιάστηκε. Κάνει χρήση του φαινομένου της κβαντικής παραλληλίας, δηλαδή της υπέρθεσης των βασικών καταστάσεων των qubits. Είναι ένας ντετερμινιστικός αλγόριθμος, το οποίο σημαίνει ότι για κάποια συγκεκριμένα δεδομένα εισόδου, θα παράγονται πάντα οι ίδιες έξοδοι και μάλιστα οι σωστές. Το πρόβλημα που επιλύει ο αλγόριθμος αυτός δεν είναι κάποιο δύσκολο πρόβλημα ή κάποιο πρόβλημα πρακτικής σημασίας. Αποδεικνύει όμως το πόσο γρηγορότερα μπορεί να επιλυθεί σε έναν κβαντικό υπολογιστή σε αντίθεση με έναν κλασικό υπολογιστή Περιγραφή του προβλήματος και κβαντικό κύκλωμα Το πρόβλημα που διατύπωσε ο Deutsch ήταν το εξής:

52 Κβαντικοί Υπολογιστές 5 Έστω η συνάρτηση f(x): {, } {, }. Διακρίνονται οι εξής περιπτώσεις:. αν f() = f() τότε η συνάρτηση λέγεται σταθερή 2. αν f() f() τότε η συνάρτηση λέγεται ισορροπημένη Το ζητούμενο είναι να βρεθεί αν η συνάρτηση είναι σταθερή ή ισορροπημένη με ένα μόνο υπολογισμό. Σε έναν κλασικό υπολογιστή, για να βρεθεί το παραπάνω ζητούμενο θα έπρεπε να υπολογιστεί η τιμή της f(), ύστερα η τιμή της f() και τέλος να γίνει η σύγκριση μεταξύ τους για να εξαχθεί το συμπέρασμα αναλόγως με το ποια από τις παραπάνω συνθήκες πληρείται. Έτσι, αποδεικνύεται ότι δεν μπορεί να εξαχθεί κάποιο συμπέρασμα για το τι είναι η συνάρτηση με ένα μόνο υπολογισμό. Αντίθετα, αυτό είναι εφικτό σε έναν κβαντικό υπολογιστή. Παρακάτω παρουσιάζεται το κβαντικό κύκλωμα του αλγόριθμου. Εικόνα 4-: Το κβαντικό κύκλωμα του αλγόριθμου Deutsch Όπως φαίνεται στο σχήμα, υπάρχουν δυο qubits στον καταχωρητή, το πρώτο στην κατάσταση και το δεύτερο στην κατάσταση. Αρχικά δέχονται τη δράση μιας κβαντικής πύλης Hadamard το καθένα. Στη συνέχεια επιδρά πάνω τους ένα σύνολο από κβαντικές πύλες το οποίο δεν είναι ίδιο σε κάθε υλοποίηση του κυκλώματος αλλά αλλάζει ανάλογα με τη συνάρτηση f. Το σύνολο f αφήνει αμετάβλητο το 2 ο qubit ενώ προκαλεί αλλαγή της κατάστασης του ου qubit, μετατρέποντάς την σε q f(x), όπου q είναι η κατάσταση του ου qubit πριν τη δράση του

53 Κβαντικοί Υπολογιστές 5 συνόλου f. Ουσιαστικά, υπολογίζεται η τιμή της συνάρτησης f και η δράση είναι f x q = x q f(x). Ο τελεστής συμβολίζει την πρόσθεση με βάση το 2. Αμέσως μετά, επιδρά η πύλη Hadamard στο 2 ο qubit και η πύλη αδράνειας (η οποία παραλείπεται πολλές φορές να απεικονισθεί για ευκολία) στο ο qubit. Τελικά, μετριέται η κατάσταση του 2 ου qubit και αναλόγως με το αποτέλεσμα της μέτρησης προκύπτει και η απάντηση στο ζητούμενο του προβλήματος Περιγραφή του αλγόριθμου Ύστερα από την παραπάνω σύντομη ανάλυση της δράσης του κυκλώματος, μπορεί να γίνει και μια πιο αναλυτική επεξήγηση της δράσης του. Ξεκινώντας, στο πρώτο βήμα υπολογίζεται η κατάσταση του κβαντικού καταχωρητή: = [ ] [ ] = [ ] = q Στη συνέχεια, στο δεύτερο βήμα, υπολογίζεται η δράση που έχουν οι δυο κβαντικές πύλες Hadamard πάνω στον κβαντικό καταχωρητή: Η Η = ( [ ]) ( [ = [ ] [ ] = ]) [ 2] = = ( + ) 2 = q 2

54 Κβαντικοί Υπολογιστές 52 Συνεχίζοντας, στο τρίτο βήμα, στον κβαντικό καταχωρητή εφαρμόζεται το σύνολο των κβαντικών πυλών f. Συνεπώς, η νέα κατάσταση του καταχωρητή είναι: f q 2 = f ( + ) 2 = (f f + f f ) 2 = ( f() f() + f() 2 f() ) = q 3 Φτάνοντας σε αυτό το σημείο, πρέπει να αναλυθούν τέσσερις διαφορετικές περιπτώσεις για τις τιμές της συνάρτησης f. Αυτές είναι:. f() = και f() =, σταθερή συνάρτηση q 3 = ( + ) 2 2. f() = και f() =, σταθερή συνάρτηση q 2 3 = ( + ) 2 3. f() = και f() =, ισορροπημένη συνάρτηση q 3 3 = ( + ) 2 4. f() = και f() =, ισορροπημένη συνάρτηση q 4 3 = ( + ) 2 Στο τέταρτο βήμα εφαρμόζονται οι πύλες Hadamard και αδράνειας και έτσι προκύπτει η τελική κατάσταση του καταχωρητή. Θα πρέπει να γίνει ο υπολογισμός για κάθε περίπτωση ξεχωριστά. η περίπτωση: H I q 3 = ( [ ]) [ ] q 3

55 = [ Κβαντικοί Υπολογιστές ] [ 2] = = [ ] = ( ) 2 η περίπτωση: H I q 2 3 = ( [ ]) [ ] q = 2 2 [ ] [ 2 ] = [ ] = ( ) = +

56 Κβαντικοί Υπολογιστές 54 3 η περίπτωση: H I q 3 3 = ( [ ]) [ ] q = 2 2 [ ] [ 2 ] = = [ ] = ( ) 4 η περίπτωση: H I q 4 3 = ( [ ]) [ ] q = 2 2 [ ] [ 2]

57 Κβαντικοί Υπολογιστές 55 = [ ] = ( ) = + Όπως φαίνεται παραπάνω, ύστερα από μέτρηση, στις δυο πρώτες περιπτώσεις το 2 ο qubit είναι στην κατάσταση ενώ στις άλλες δύο είναι στην κατάσταση. Έτσι λοιπόν μπορεί να εξαχθεί συμπέρασμα για το είδος της συνάρτησης πολύ εύκολα. Αν η μέτρηση δείξει την κατάσταση, τότε η συνάρτηση είναι σταθερή. Ενώ, αν η μέτρηση δείξει την κατάσταση, τότε η συνάρτηση είναι ισορροπημένη. Συμπερασματικά, μόνο ένας υπολογισμός χρειάζεται για τον καθορισμό του είδους της συνάρτησης. 4.2 Αλγόριθμος Grover 4.2. Εισαγωγή και διατύπωση του προβλήματος Ο αλγόριθμος του Grover είναι ένας κβαντικός αλγόριθμος ο οποίος πραγματοποιεί αναζήτηση σε μια μη ταξινομημένη βάση δεδομένων, η οποία περιέχει Ν στοιχεία. Στους κλασικούς υπολογιστές, η διαδικασία της αναζήτησης σε μια μη ταξινομημένη βάση δεδομένων αποτελείται από συστηματική εξέταση όλων των στοιχείων της βάσης μέχρι να βρεθεί το ζητούμενο στοιχείο. Έτσι λοιπόν, ο χρόνος που απαιτείται είναι της τάξης του Ο(Ν) ή της τάξης του Ο( Ν ) στη μέση περίπτωση των Ν 2 2 αναζητήσεων. Ο παραπάνω χρόνος δεν μπορεί να βελτιωθεί σε κλασικούς υπολογισμούς. Η βασική ιδέα πίσω από τη λειτουργία του αλγόριθμου του Grover είναι το γεγονός ότι αν και παρουσιάζεται μεγάλη δυσκολία στην εύρεση της σωστής λύσης σε ένα πρόβλημα αναζήτησης, παρόλα αυτά η αναγνώριση της σωστής λύσης είναι σχετικά εύκολη. Αντίθετα με τον αλγόριθμο του Deutsch, ο αλγόριθμος του Grover είναι ένας πιθανολογικός αλγόριθμος. Αυτό σημαίνει ότι δε δίνει σίγουρα τη σωστή

58 Κβαντικοί Υπολογιστές 56 απάντηση αλλά με μεγάλη πιθανότητα να είναι αυτή. Για να αυξήσει κάποιος τη πιθανότητα η λύση του αλγόριθμου που θα δοθεί να είναι η σωστή απάντηση θα πρέπει να επαναλάβει πολλές φορές τον αλγόριθμο και να συγκρίνει τα αποτελέσματα. Ο χρόνος που χρειάζεται ο αλγόριθμος για να παράγει μια λύση είναι της τάξης του O( N) και ο αποθηκευτικός χώρος που θα χρειαστεί είναι Ο(log Ν). Αποτελεί τον ασυμπτωτικά γρηγορότερο κβαντικό αλγόριθμο αναζήτησης σε μη ταξινομημένη λίστα σε σχέση με άλλους αλγόριθμους που εφαρμόζονται σε γραμμικά κβαντικά μοντέλα. Ενώ άλλοι παρόμοιοι κβαντικοί αλγόριθμοι για το σκοπό αυτό παρουσιάζουν εκθετική επιτάχυνση σε σχέση με τους αντίστοιχους κλασικούς, ο συγκεκριμένος αλγόριθμος παρουσιάζει τετραγωνική επιτάχυνση της διαδικασίας. Αν και η τάξη της προηγούμενης βελτίωσης της ταχύτητας μπορεί να φαίνεται μικρή, εντούτοις για μεγάλο αριθμό στοιχείων η βελτίωση αυτή γίνεται τεράστια. Η μαθηματική διατύπωση του προβλήματος που προσπαθεί να επιλύσει ο αλγόριθμος του Grover είναι η εξής: Έστω η συνάρτηση f: A {, }, όπου Α είναι ένα σύνολο με Ν = 2 n στοιχεία, για n =, 2, 3,. Τότε υπάρχει ένα μόνο στοιχείο x i A έτσι ώστε f(x i ) =. Για όλα τα υπόλοιπα ισχύει f(x j ) =, όπου x j x i και x j A. Ο αλγόριθμος του Grover αναζητά το στοιχείο x i. Θα ακολουθήσει περιγραφή του αλγόριθμου του Grover όπως αναφέρεται στο βιβλίο «Κβαντικοί Υπολογιστές: Βασικές Έννοιες» του Ιωάννη Καραφυλλίδη. Βέβαια υπάρχουν και άλλες υλοποιήσεις του αλγόριθμου, οι οποίες διαφέρουν ελάχιστα από τον τρόπο υλοποίησης που θα περιγραφεί αλλά χρησιμοποιούν την ίδια λογική και καταλήγουν στα ίδια αποτελέσματα. Κοινή πρακτική είναι να αντιστοιχούνται όλα τα στοιχεία της βάσης με τις βασικές κβαντικές καταστάσεις του καταχωρητή. Έτσι, σαν παράδειγμα, η βασική κατάσταση ενός καταχωρητή των τεσσάρων qubits αντιστοιχεί στο στοιχείο x 9, ή αλλιώς x 9 και 9, βάσει του δεκαδικού τρόπου συμβολισμού.

59 Κβαντικοί Υπολογιστές Το στοιχείο Oracle Ένα σημαντικό συστατικό του αλγόριθμου του Grover είναι το στοιχείο oracle. Αποτελεί μια υλοποίηση της συνάρτησης f. Πρόκειται για ένα κβαντικό κύκλωμα και επομένως ένας τελεστής στο χώρο Hilbert. Είναι ένα «μαύρο κουτί» όσον αφορά της σύνθεσή του. Αυτό σημαίνει πως οι εσωτερικές διεργασίες και οι κβαντικές πύλες που το αποτελούν δεν είναι γνωστά. Το μόνο που ενδιαφέρει τον παρατηρητή είναι η δράση του στοιχείου αυτού. Δεν μπορεί κάποιος να έχει απευθείας πρόσβαση σε όλα τα ζευγάρια (x, f(x)), αλλά μπορεί να υπολογίσει την f για κάποιο συγκεκριμένο x, φυσικά με κάποιο υπολογιστικό κόστος. Η υλοποίησή του σε έναν κλασικό υπολογιστή είναι: f(x) = {, αν x = x i, αν x x i Το κβαντικό κύκλωμα του στοιχείου oracle έχει ως εισόδους στοιχεία της βάσης, αντιστοιχισμένα όπως περιεγράφηκε παραπάνω, και ένα ακόμα qubit το οποίο ονομάζεται qubit του oracle. Εικόνα 4-2: Το κβαντικό κύκλωμα του στοιχείου oracle Έτσι λοιπόν η δράση του oracle σε έναν καταχωρητή που αποτελείται από n+ qubits, n qubits για τα στοιχεία της βάσης και ακόμη για το qubit του oracle, είναι: O x n y = x n f(x) y

60 Κβαντικοί Υπολογιστές 58 Όπως φαίνεται, το oracle δρα πάνω στα qubits των οποίων η βασική κατάσταση αντιπροσωπεύει ένα στοιχείο της βάσης. Αν η βασική κατάσταση αντιστοιχεί στο στοιχείο που ψάχνουμε τότε αλλάζει το πρόσημό της. Ακόμη, το oracle θέτει f(x i ) = αν το x i, i =, 2, 3, είναι το ζητούμενο στοιχείο ενώ θέτει f(x i ) = αν δεν είναι. Για καλύτερη κατανόηση της λειτουργίας του oracle θα εξεταστεί η περίπτωση της αναζήτησης μιας μη ταξινομημένης βάσης δεδομένων. Το qubit που περιγράφει ένα τυχαίο στοιχείο της βάσης είναι το x και το qubit του oracle είναι το y. Αρχικά, το qubit του oracle τίθεται στην βασική κατάσταση και εφαρμόζεται η πύλη Hadamard σε αυτό: H = ( ) Στη συνέχεια εφαρμόζεται το στοιχείο oracle στα δυο παραπάνω qubits: O x [ ( )] = x f(x) ( ) Τώρα πρέπει να τονιστούν δυο διαφορετικές περιπτώσεις. Στην πρώτη το στοιχείο που αντιστοιχεί στη βασική κατάσταση x δεν είναι αυτό που ψάχνουμε και έτσι f(x) =. Στη δεύτερη περίπτωση, το στοιχείο που αντιστοιχεί στην κατάσταση x είναι αυτό που ψάχνουμε και ισχύει f(x) =. η περίπτωση: O x [ ( )] = x f(x) ( ) = x ( ) = x ( ( )) = x ( ( ))

61 Κβαντικοί Υπολογιστές 59 2 η περίπτωση: O x [ ( )] = x f(x) ( ) = x ( ) = x ( ( )) = x ( ( )) = x ( ( )) Όπως φαίνεται παραπάνω, όταν η βασική κατάσταση x δεν αντιστοιχεί στο ζητούμενο στοιχείο, τότε παραμένει αναλλοίωτη. Αντίθετα, όταν αυτή αντιστοιχεί, αλλάζει το πρόσημο της βασικής κατάστασης. Πιο συνοπτικά, μπορεί να γραφεί ως εξής: x, O x = { x, όταν x αντιστοιχεί στο ζητούμενο στοιχείο όταν x δεν αντιστοιχεί στο ζητούμενο στοιχείο Στον παραπάνω συμβολισμό παραλείπεται το qubit του oracle ( ( )) γιατί παραμένει αμετάβλητο. Τελικώς, μια ακόμη σημειογραφία των παραπάνω, η οποία χρησιμοποιείται ευρύτατα, είναι: και O x = ( ) f(x) x O x = { ( ) x = x, για f(x) = ( ) x = x, για f(x) = Όπως αναφέρθηκε παραπάνω, το στοιχείο oracle είναι ένας τελεστής στο χώρο Hilbert. Θεωρώντας ως x i το ζητούμενο στοιχείο, ο τελεστής είναι: O = I 2 x i x i

62 Κβαντικοί Υπολογιστές 6 Ο τελεστής I είναι ο τελεστής της πύλης αδράνειας. Πολύ εύκολα μπορεί να αποδειχθεί ότι εφαρμόζοντας τον παραπάνω τελεστή σε έναν κβαντικό καταχωρητή που αντιστοιχεί τις βασικές του καταστάσεις με στοιχεία της βάσης θα δώσει τα αποτελέσματα που περιεγράφηκαν προηγουμένως. Αρχικά για την περίπτωση όπου το στοιχείο x j δεν είναι το στοιχείο που αναζητείται: O x j = (I 2 x i x i ) x j = I x j 2 x i x i x j = x j 2 x i x i x j Επειδή οι καταστάσεις x j και x i είναι ορθογώνιες και έτσι: x i x j = Άρα, τελικώς η δράση του τελεστή O γίνεται: O x j = x j Συνεχίζοντας, στην περίπτωση όπου το στοιχείο x i είναι το στοιχείο που αναζητείται: O x i = (I 2 x i x i ) x i = I x i 2 x i x i x i = x i 2 x i x i x i = x i 2 x i = x i Υλοποίηση [8] Αρχικά πρέπει να αναφερθεί ακόμη ένας τελεστής που περιεγράφηκε από τον Grover και είναι παρόμοιος με τον τελεστή O : G = (I 2 s s ) = 2 s s I όπου s είναι μια κατάσταση του κβαντικού καταχωρητή η αποτελεί μία υπέρθεση όλων των βασικών καταστάσεων: οποία s = N x + N x + N x N x N = N N x i i=

63 όπου Ν είναι ο αριθμός των στοιχείων στη βάση. Κβαντικοί Υπολογιστές 6 Η βασική λειτουργία του αλγόριθμου του Grover είναι η συνεχής εφαρμογή των δυο παραπάνω τελεστών στον καταχωρητή. Αυτό γίνεται για περίπου (( π 4 ) Ν),5 φορές. Έτσι λοιπόν, τα βήματα του αλγόριθμου είναι τα εξής: ο βήμα: Τίθεται ο κβαντικός καταχωρητής σε μια υπέρθεση των βασικών καταστάσεων, όπως φάνηκε παραπάνω. Δηλαδή: N s = N x i Για να γίνει αυτό δρα σε κάθε qubit μια πύλη Hadamard. Αντιστοιχίζεται κάθε στοιχείο της βάσης με μια διαφορετική βασική κατάσταση και τίθεται ένας μετρητής για τον αριθμό των επαναλήψεων στην αρχική τιμή. i= 2 ο βήμα Δρα ο τελεστής Ο στον κβαντικό καταχωρητή s. 3 ο βήμα Δρα ο τελεστής G στον κβαντικό καταχωρητή s. Τα δυο προηγούμενα βήματα αποτελούν μια επανάληψη η οποία θα τερματιστεί όταν ο μετρητής των επαναλήψεων γίνει μεγαλύτερος ή περίπου ίσος με την ποσότητα (( π 4 ) Ν),5. Όταν τερματιστεί η επανάληψη η εκτέλεση του αλγόριθμου θα συνεχίσει στο 4 ο βήμα. Διαφορετικά, θα αυξηθεί ο μετρητής των επαναλήψεων κατά και θα συνεχίσει η εκτέλεση στο βήμα 2. 4 ο βήμα

64 Κβαντικοί Υπολογιστές 62 Μετριέται η κατάσταση του κβαντικού καταχωρητή και είναι σχεδόν βέβαιο, με μια πολύ μικρή πιθανότητα αποτυχίας όπως περιεγράφηκε στην αρχή, ότι θα βρίσκεται στην κατάσταση x i το οποίο είναι και το στοιχείο που ζητείται. Εικόνα 4-3: Το κβαντικό κύκλωμα του αλγόριθμου Grover Παράδειγμα εκτέλεσης της υλοποίησης Θα δοθεί ένα παράδειγμα αναζήτησης ενός στοιχείου σε μια μη ταξινομημένη βάση δεδομένων η οποία περιέχει Ν = 4 στοιχεία. Από την εξίσωση Ν = 2 n προκύπτει ότι ο αριθμός των qubits του καταχωρητή είναι 2 και ο αριθμός των επαναλήψεων που χρειάζονται είναι: (( π 4 ) Ν),5 = (( 3,459 ) 4).5 4 =,57795,5 =.7795 Το στοιχείο που αναζητείται αντιστοιχεί στη βασική κατάσταση x i =. ο βήμα Ο αλγόριθμος ξεκινά με ανάθεση του καταχωρητή στη βασική κατάσταση και εφαρμογή μιας κβαντικής πύλης Hadamard σε κάθε qubit. Έτσι:

65 Κβαντικοί Υπολογιστές 63 s () = H H = ( [ ]) ( [ ]) [ ] = [ ] = 2 [ ] [ ] = ( ) 2 2 ο βήμα Υπολογίζεται ο πίνακας του τελεστή Ο : Ο = I 2 x i x i = [ ] 2 [ ] [ ] = [ ] 2 [ ] = [ ] Δρα ο τελεστής Ο στον καταχωρητή s : s () = O s () = [ ] ( 2 [ ]) = 2 [ ]

66 Κβαντικοί Υπολογιστές 64 = ( + + ) 2 3 ο βήμα Υπολογίζεται ο πίνακας του τελεστή G : G = 2 s () s () I = 2 ( 2 [ ]) ( 2 [ ]) [ ] = 2 [ ] [ ] = 2 [ ] Στη συνέχεια δρα ο τελεστής G στον καταχωρητή: s (2) = G s () = 2 [ = 4 [ ] 4 = [ ] = ] 2 [ Εφόσον ο αριθμός των επαναλήψεων των βημάτων 2 και 3 είναι, τότε ο αλγόριθμος προχωρά στο 4 ο βήμα. ]

67 Κβαντικοί Υπολογιστές 65 4 ο βήμα Μετά τη μέτρηση της κατάστασης του καταχωρητή φαίνεται ότι η κατάστασή του είναι = x i με πιθανότητα %. 4.3 Κβαντική Διεμπλοκή Αν και η κβαντική διεμπλοκή δεν αποτελεί κβαντικό αλγόριθμο με την κλασική έννοια, παρόλα αυτά, επειδή το ενδιαφέρον επικεντρώνεται στην παραγωγή και χρήση της διεμπλοκής, θα πρέπει να γίνει περιγραφή της και του τρόπου παραγωγής της (κύκλωμα και βήματα) σε αυτό το σημείο Περιγραφή και ορισμός Η αρχή της έννοιας της κβαντικής διεμπλοκής μπορεί να εντοπιστεί σε ένα άρθρο των Albert Einstein, Boris Podolsky και Nathan Rosen, το οποίο δημοσιεύθηκε το 935. Η κβαντική διεμπλοκή δεν έχει κλασικό ανάλογο. Είναι προϊόν της κβαντικής υπέρθεσης και αποτελεί πειραματικά αποδεδειγμένη και αποδεκτή ιδιότητα της φύσης. Το άρθρο των παραπάνω επιστημόνων χρησιμοποίησε ένα θεωρητικό πείραμα για να αποδείξει ότι η κβαντική μηχανική δεν είναι μια πλήρης φυσική θεωρία αλλά κάποιες «κρυμμένες μεταβλητές». Αυτές οι μεταβλητές είναι ουσιαστικά παράμετροι οι οποίες λείπουν όταν επιδιώκεται μια κβαντική περιγραφή της φύσης. Το παραπάνω πείραμα ονομάστηκε παράδοξο EPR, από τα αρχικά των επιθέτων των συγγραφέων του άρθρου. Παρόλα αυτά, το 964 ο John Bell απέδειξε ότι δεν υπάρχουν κρυμμένες μεταβλητές και η κβαντική μηχανική είναι μια πλήρης φυσική θεωρία. Αυτό έγινε με τη βοήθεια ανισοτήτων (ανισότητες Bell), οι οποίες αποδείχθηκαν και πειραματικά. Το όνομα της φυσικής αυτής ιδιότητας οφείλεται στον Erwin Schrödinger, ο οποίος σε ένα άρθρο που δημοσίευσε και αυτός το 935, έδωσε το όνομα «verschränkung» και στα αγγλικά μεταφράζεται ως entanglement. Παρακάτω ακολουθεί ο ορισμός της κβαντικής διεμπλοκής όπως εμφανίζεται στο βιβλίο του Ι. Καραφυλλίδη [26] :

68 Κβαντικοί Υπολογιστές 66 «Δύο κβαντικά συστήματα βρίσκονται σε κβαντική διεμπλοκή, όταν η κατάστασή τους δεν μπορεί να γραφεί ως τανυστικό γινόμενο των βασικών τους καταστάσεων». Ένας άλλος ορισμός είναι ο εξής [4] : «Η κβαντική διεμπλοκή είναι ένα φυσικό φαινόμενο το οποίο συμβαίνει όταν ζεύγη ή ομάδες σωματιδίων παράγονται ή αλληλεπιδρούν με τέτοιους τρόπους ώστε η κβαντική κατάσταση κάθε σωματιδίου δεν μπορεί να περιγραφεί ξεχωριστά, ακόμα και αν δεν βρίσκονται στην ίδια περιοχή». Στους κβαντικούς υπολογισμούς και τους υπολογιστές, στόχος δεν είναι η κατανόηση της φύσης της κβαντικής διεμπλοκής παρά μόνο η γνώση για την παραγωγή και τη χρησιμοποίησή της. Ένα αρκετά κατανοητό και σύνηθες παράδειγμα της κβαντικής διεμπλοκής μπορεί να περιγραφεί όταν υποατομικό σωματίδιο αποσυντίθεται σε δυο άλλα σωματίδια. Λόγω των διάφορων νόμων διατήρησης, οι οποίοι ισχύουν στο παραπάνω γεγονός, οι μετρήσεις που θα ληφθούν για το ένα παραγμένο σωματίδιο θα πρέπει να σχετίζεται πολύ στενά με τις μετρήσεις που θα ληφθούν για το άλλο παραγμένο σωματίδιο. Ένα συγκεκριμένο γεγονός του παραπάνω παραδείγματος είναι όταν αποσυντίθεται ένα σωματίδιο με μηδενικό spin. Τα δύο παραγόμενα σωματίδια θα έχουν spin ίσο με /2. Πιο συγκεκριμένα, εφόσον λόγω της αρχής διατήρησης της στροφορμής το spin πριν και μετά την αποσύνθεση πρέπει να είναι μηδέν, τότε το ένα σωματίδιο θα πρέπει να έχει spin προς τα «πάνω» ενώ το άλλο spin προς τα «κάτω». Φυσικά, θα πρέπει να γίνει η μέτρηση στον ίδιο άξονα. Στη συνέχεια θα δοθεί ένα μαθηματικό παράδειγμα με qubits για το διαχωρισμό της υπέρθεσης από την κβαντική διεμπλοκή, το οποίο βασίζεται σε παράδειγμα που υπάρχει στο βιβλίο του Ι. Καραφυλλίδη [26]. Θεωρούνται σαν κβαντικά συστήματα δυο qubits, το q και το q 2. Αυτά τα δύο βρίσκονται στην κατάσταση: q s = ( + ) Συνεχίζοντας, η παραπάνω κατάσταση μπορεί να γραφεί ως εξής:

69 Κβαντικοί Υπολογιστές 67 q s = ( + ) = [ ( + )] Σύμφωνα με όσα παρουσιάστηκαν στα πρώτα κεφάλαια, η παραπάνω κατάσταση, καθώς και οι καταστάσεις των δυο qubits, μπορούν να γραφούν ως εξής: q s = q 2 q q 2 = q = ( + ) Από τα παραπάνω φαίνεται ότι η κατάσταση μπορεί να γραφεί ως υπέρθεση των δυο qubits και επομένως πρόκειται για μια υπέρθεση και όχι για μια κβαντική διεμπλοκή. Πιο συγκεκριμένα, όταν μετρηθεί η κατάσταση του q 2 θα βρεθεί με σιγουριά ότι βρίσκεται στην κατάσταση. Αμέσως μετά, το δεύτερο qubit q μπορεί να βρίσκεται είτε στην κατάσταση ή στην κατάσταση με πιθανότητα 5% η καθεμιά. Έτσι, φαίνεται ότι η μέτρηση της κατάστασης του ενός qubit δεν καθορίζει την κατάσταση του άλλου. Για την περιγραφή της κβαντικής διεμπλοκής, θεωρούνται άλλα δυο qubits, το q 3 και το q 4. Αυτά τα qubits βρίσκονται στην κατάσταση q e : q e = ( + ) Με μια μέτρηση του qubit q 4 θα βρεθεί με πιθανότητα 5% ότι βρίσκεται στην κατάσταση και με πιθανότητα 5% στην κατάσταση. Εδώ, όμως, βρίσκεται και η διαφορά με την υπέρθεση που παρουσιάστηκε προηγουμένως. Αν το q 4 βρίσκεται στην κατάσταση, τότε το άλλο qubit θα βρίσκεται σίγουρα και αυτό στην κατάσταση. Αν βρίσκεται στην κατάσταση, τότε το άλλο qubit θα βρίσκεται στην κατάσταση. Έτσι λοιπόν, φαίνεται ότι η μέτρηση της κατάστασης του ενός qubit καθορίζει την κατάσταση του άλλου qubit και τα δυο βρίσκονται σε διεμπλοκή.

70 Κβαντικοί Υπολογιστές Κύκλωμα Όπως αναφέρθηκε, στον κβαντικό υπολογισμό ο στόχος είναι η παραγωγή και η χρήση της κβαντικής διεμπλοκής. Έτσι, λοιπόν, υπάρχει κβαντικό κύκλωμα για την παραγωγή της διεμπλοκής και είναι το εξής: Εικόνα 4-4: Το κύκλωμα της κβαντικής διεμπλοκής για n qubits Κύκλωμα κβαντικής διεμπλοκής με 2 qubits Όταν χρειάζεται να δημιουργηθεί διεμπλοκή ανάμεσα σε δυο qubits τότε το κύκλωμα γίνεται: Εικόνα 4-5: Το κύκλωμα κβαντικής διεμπλοκής για 2 qubits Στο ο βήμα εφαρμόζεται στο πρώτο qubit η πύλη αδράνειας και στο δεύτερο μια πύλη Hadamard. Αμέσως μετά, εφαρμόζεται μια πύλη ελεγχόμενου ΟΧΙ, με qubit ελέγχου το δεύτερο και qubit στόχο το πρώτο. Το παραπάνω κύκλωμα μπορεί να περιγραφεί και μαθηματικά. Έστω ότι πρέπει να παραχθεί διεμπλοκή από τον καταχωρητή που βρίσκεται στη

71 Κβαντικοί Υπολογιστές 69 βασική κατάσταση. Η εφαρμογή του κυκλώματος στον προηγούμενο καταχωρητή είναι η εξής: CNOT(H I) Ο πίνακας του συνολικού κυκλώματος είναι: CNOT(H I) = [ ] ( [ ] [ ]) = [ ] ( [ ]) = [ ] Έτσι, η κατάσταση διεμπλοκής που προκύπτει είναι: CNOT(H I) = = [ [ ] ] = ( + ) [ ]

72 Κβαντικοί Υπολογιστές 7 Εφαρμόζοντας το παραπάνω κύκλωμα και στις υπόλοιπες βασικές καταστάσεις του καταχωρητή προκύπτουν και οι υπόλοιπες καταστάσεις διεμπλοκής: Η κατάσταση παράγει την κατάσταση ( + ) Η κατάσταση παράγει την κατάσταση ( + ) Η κατάσταση παράγει την κατάσταση ( ) Η κατάσταση παράγει την κατάσταση ( ) Οι παραπάνω καταστάσεις διεμπλοκής ονομάζονται και καταστάσεις Bell ή ζεύγη EPR Κύκλωμα κβαντικής διεμπλοκής με 3 qubits Για να προκύψει κατάσταση διεμπλοκής σε καταχωρητή των τριών qubits θα πρέπει στο ο βήμα να εφαρμοστεί μια πύλη Hadamard στο 3 ο qubit και στο 2 ο βήμα να εφαρμοστεί μια πύλη CNOT στο 2 ο και 3 ο qubit και μια πύλη αδράνειας στο ο qubit. Τέλος, στο 3 ο βήμα πρέπει να εφαρμοστεί μια πύλη CNOT στο ο και το 2 ο qubit και μια πύλη αδράνειας στο 3 ο. Το κύκλωμα είναι το εξής: Εικόνα 4-6: Το κύκλωμα κβαντικής διεμπλοκής για 3 qubits Αρχικά, θα υπολογιστούν οι πίνακες για κάθε ένα βήμα του κυκλώματος. Βήμα ο :

73 Κβαντικοί Υπολογιστές 7 H I I = [ ] [ ] [ ] = [ ] Βήμα 2 ο : CNOT I = [ ] [ ] = [ ] Βήμα 3 ο : I CNOT = [ ] [ ] = [ ] Έτσι, προκύπτει ο πίνακας του συνολικού κυκλώματος: (I CNOT)(CNOT I)(H I I) =

74 Κβαντικοί Υπολογιστές 72 = [ ] Ένα αριθμητικό παράδειγμα είναι το εξής: Έστω ο καταχωρητής που βρίσκεται στην κατάσταση. Με εφαρμογή του κυκλώματος προκύπτει: (I CNOT)(CNOT I)(H I I) = = [ ] [ ] [ ] = ( + ) Οι καταστάσεις διεμπλοκής που προκύπτουν από κάθε μια βασική κατάσταση λέγονται καταστάσεις GHZ, από τα επίθετα των επιστημόνων Daniel Greenberger, Michael Horne και Anton Zeilinger, οι οποίοι τις μελέτησαν το 989. Δεκαδική μορφή αρχικής κατάστασης Πίνακας 4-: Οι καταστάσεις GHZ Δυαδική μορφή αρχικής κατάστασης Κατάσταση διεμπλοκής ( + ) ( + ) 2 ( + ) 3 ( + ) 4 ( ) 5 ( )

75 Κβαντικοί Υπολογιστές 73 6 ( ) 7 ( ) 4.4 Αλγόριθμος Shor 4.4. Εισαγωγή Ο αλγόριθμος του Shor χρησιμοποιείται για την παραγοντοποίηση ακεραίων και ειδικότερα μεγάλων ακεραίων. Αν και ο υπολογισμός του γινομένου δυο πρώτων αριθμών είναι εύκολος, παρόλα αυτά η ανάλυση ενός τυχαίου αριθμού σε γινόμενο δυο πρώτων ακεραίων είναι μια εξαιρετικά δύσκολη δουλειά. Στους κλασικούς υπολογιστές παρατηρείται εκθετική αύξηση του χρόνου υπολογισμού της παραγοντοποίησης για γραμμική αύξηση του μεγέθους του αριθμού n των ψηφίων του αριθμού. Γι αυτό το λόγο είναι πρακτικά αδύνατο να γίνει παραγοντοποίηση ενός αριθμού ο οποίος έχει πολλά ψηφία με χρήση των κλασικών υπολογιστών. Στην αντίθετη πλευρά, οι κβαντικοί υπολογιστές μπορούν να πραγματοποιήσουν τον παραπάνω υπολογισμό παρουσιάζοντας πολυωνυμική αύξηση του χρόνου υπολογισμού για γραμμική αύξηση του αριθμού των στοιχείων n Διατύπωση του προβλήματος και περιγραφή του αλγόριθμου [26], [5] Το πρόβλημα που επιλύει ο αλγόριθμος του Shor είναι το πρόβλημα της ανάλυσης κάποιου αριθμού σε γινόμενο δύο πρώτων αριθμών. Αυτό το πρόβλημα ανάγεται σε ένα αντίστοιχο εύρεσης της περιόδου μιας περιοδικής συνάρτησης. Πιο συγκεκριμένα: Έστω ότι δίνεται ένας ακέραιος n. Να βρεθεί η περίοδος r της x συνάρτησης f x n, modn, όπου ο α είναι ένας τυχαίος ακέραιος ο οποίος είναι πρώτος ως προς τον n. Το παραπάνω πρόβλημα είναι αδύνατον να λυθεί με κλασικούς υπολογιστές όταν ο αριθμός των ψηφίων του αριθμού είναι μεγάλος.

76 Κβαντικοί Υπολογιστές 74 Ξεκινώντας τη διαδικασία του αλγόριθμου, στο ο βήμα επιλέγεται ένας 2 3 ακέραιος αριθμός q έτσι ώστε να ισχύει: 2n q 3n. Στο 2 ο βήμα επιλέγεται τυχαία ένας ακέραιος αριθμός α, ο οποίος πρέπει να είναι πρώτος ως προς τον n. Το 3 ο βήμα περιλαμβάνει την επιλογή ενός καταχωρητή R κατάλληλου μεγέθους. Ο καταχωρητής R αποτελείται από δυο επιμέρους καταχωρητές, τον R και τον R. Στον πρώτο καταχωρητή αποθηκεύονται 2 οι τιμές του x ενώ στο δεύτερο καταχωρητή οι τιμές της συνάρτησης. Οι δυο καταχωρητές βρίσκονται στην κατάσταση και ο καταχωρητής R στην κατάσταση y,. Πρέπει να σημειωθεί ότι όλες οι απεικονίσεις των καταστάσεων των καταχωρητών είναι στη δεκαδική μορφή και το κόμμα στην κατάσταση του καταχωρητή R είναι μόνο για να διαχωρίζει τις καταστάσεις των δυο επιμέρους καταχωρητών και δεν έχει κάποια υπολογιστική αξία. Στο 4 ο βήμα του αλγόριθμου, ο καταχωρητής R οδηγείται σε μια κατάσταση υπέρθεσης όλων των βασικών καταστάσεων από έως q- και με τον καταχωρητή να παραμένει αμετάβλητο. Έτσι, η κατάσταση του R είναι η εξής: R 2 y q x, q x Με τη βοήθεια της κβαντικής παραλληλίας, στο 5 ο βήμα, υπολογίζεται η f x για κάθε x και αυτές καταγράφονται στον καταχωρητή τιμή της n, R ως υπέρθεση. Η κατάσταση του καταχωρητή είναι: 2 q y x,fn, x, q x η οποία είναι μια κατάσταση κβαντικής διεμπλοκής ανάμεσα στους καταχωρητές R και R. 2 Στο 6 ο βήμα γίνεται μέτρηση της κατάστασης του καταχωρητή R. Η 2 μέτρηση θα δώσει μια μόνο τιμή της συνάρτησης η οποία είναι η k. Λόγω της κβαντικής διεμπλοκής, η μέτρηση θα καθορίσει την κατάσταση

77 του πρώτου καταχωρητή. Έτσι, στον οι οποίες θα ικανοποιούν τη σχέση: n, x αποτελούν το σύνολο: ': mod του καταχωρητή R είναι η εξής: R Κβαντικοί Υπολογιστές 75 θα βρίσκονται μόνο τιμές του x f x k. Οι παραπάνω τιμές X x n k. Τελικώς, η κατάσταση y x ', k, X x' X όπου X είναι το πλήθος των στοιχείων του συνόλου Χ. Στη συνέχεια, στο 7 ο βήμα, υπάρχει εφαρμογή του κβαντικού μετασχηματισμού Fourier (ο οποίος θα παρουσιασθεί αναλυτικά στο επόμενο κεφάλαιο) στον καταχωρητή R, με τον R να παραμένει 2 αμετάβλητο. Έτσι, κάθε κατάσταση μετασχηματίζεται σε μια υπέρθεση καταστάσεων ως εξής: x ' q xc ' 2 i q x ' e c q c Η κατάσταση του καταχωρητή R στο τέλος του βήματος είναι: q xc ' 2 i q y e c, k X x ' X q c Στο 8 ο βήμα γίνεται μέτρηση του καταχωρητή μόνο τιμή για την οποία ισχύει: R και προκύπτει μια q c ' r Στο τελευταίο βήμα, 9 ο, επαναλαμβάνονται τα βήματα 3 έως και 8 για logq περίπου φορές και έτσι προκύπτουν αρκετά δείγματα πολλαπλασίων του r έτσι ώστε να είναι δυνατός ο προσδιορισμός της περιόδου r. Τελικώς, οι δυο πρώτοι αριθμοί που αναζητούνται, r 2 υπολογίζονται ως ο μέγιστος κοινός διαιρέτης του n και του και ο r 2 μέγιστος κοινός διαιρέτης του n και του.

78 Κβαντικοί Υπολογιστές 76 5 Κβαντικός μετασχηματισμός Fourier και προσομοίωση του κυκλώματος 5. Εισαγωγή Ο κβαντικός μετασχηματισμός Fourier αποτελεί ένα από τα βασικότερα εργαλεία τα οποία χρησιμοποιούνται στους κβαντικούς υπολογισμούς. Αποτελεί το κβαντικό ανάλογο του διακριτού μετασχηματισμού Fourier. Με τη βοήθεια του προσομοιωτή που αναπτύχθηκε από τον Ιωάννη Καραφυλλίδη, μπορεί να γίνει προσομοίωση της λειτουργίας του μετασχηματισμού σε έναν κβαντικό καταχωρητή. Ακολουθεί περιγραφή του λογισμικού προσομοίωσης (QCS), του κλασικού διακριτού μετασχηματισμού Fourier, του κβαντικού μετασχηματισμού Fourier και του κυκλώματός του και τέλος προσομοίωση του μετασχηματισμού και παρουσίαση των αποτελεσμάτων. 5.2 Προσομοιωτής QCS Τα παραδείγματα και οι προσομοιώσεις των κυκλωμάτων που θα παρουσιασθούν παρακάτω πραγματοποιούνται με τη βοήθεια του λογισμικού προσομοίωσης που αναπτύχθηκε από τον καθηγητή Ιωάννη Καραφυλλίδη για ερευνητικούς σκοπούς. Χρησιμοποιείται μια απλούστερη έκδοση του προσομοιωτή, η οποία χρησιμεύει και ως διδακτικό εργαλείο, και διανέμεται με το βιβλίο του κ. Καραφυλλίδη «Κβαντικοί Υπολογιστές: Βασικές Έννοιες» από τις εκδόσεις Κλειδάριθμος. Ο προσομοιωτής αυτός αποτελεί ουσιαστικά ένα πρόγραμμα το οποίο υλοποιήθηκε στο μαθηματικό λογισμικό Matlab, καθιστώντας το απαραίτητο για την εκτέλεση του προσομοιωτή. Η είσοδος των δεδομένων προς προσομοίωση στο πρόγραμμα γίνεται μέσα από μια γραφική διεπαφή (GUI Graphic User Interface) ή με την

79 Κβαντικοί Υπολογιστές 77 τροποποίηση τεσσάρων αρχείων κειμένου τα οποία χρησιμοποιούνται για την αποθήκευση των διαφόρων μεταβλητών, όπως οι αρχικές καταστάσεις των qubits του κβαντικού καταχωρητή. Εικόνα 5-: Η γραφική διεπαφή (GUI) του προσομοιωτή QCS Παραπάνω απεικονίζεται το κύριο παράθυρο του προσομοιωτή, αφού εκτελέσουμε το αντίστοιχο αρχείο της εφαρμογής. Όπως φαίνεται, μέσω της γραφικής διεπαφής ο χρήστης μπορεί να εισάγει μόνο κβαντικό καταχωρητή των 6 qubits και κβαντικές πύλες για εφαρμογή πάνω στα qubits για 2 υπολογιστικά βήματα (διαστήματα). Για μεγαλύτερα και πολυπλοκότερα κυκλώματα ο χρήστης θα πρέπει να καταφύγει στο δεύτερο τρόπο εισαγωγής των δεδομένων. Επιπλέον, η σειρά των qubits του καταχωρητή είναι από κάτω προς τα πάνω, σε αντιστοιχία με την απεικόνιση των qubits σε καταχωρητές σε κυκλώματα, καθώς και με τη μαθηματική απεικόνιση των καταχωρητών όπου η σειρά των qubits είναι από δεξιά προς αριστερά. Ύστερα από την εισαγωγή των δεδομένων με οποιονδήποτε από τους δύο προαναφερθέντες τρόπους θα πρέπει να εκτελεστεί το αρχείο που πραγματοποιεί την προσομοίωση. Αμέσως μετά τους υπολογισμούς θα εμφανιστεί ένα γράφημα το οποίο θα παρουσιάζει την κατάσταση του κβαντικού καταχωρητή σε κάθε ένα υπολογιστικό βήμα, όπως φαίνεται παρακάτω.

80 Κβαντικοί Υπολογιστές 78 Πρέπει να σημειωθεί ότι απεικονίζονται οι πιθανότητες εμφάνισης της κάθε κατάστασης (με εύρος -) και όχι η φάση της κάθε κατάστασης. Επίσης, οι καταστάσεις του καταχωρητή που εμφανίζονται στα γραφήματα ακολουθούν τη δεκαδική μορφή απεικόνισης. Εικόνα 5-2: Παραδείγματα γραφημάτων αποτελεσμάτων του προσομοιωτή. Παρουσιάζεται η δημιουργία κβαντικής διεμπλοκής στις βασικές καταστάσεις, α), β), γ) και δ). 5.3 Διακριτός μετασχηματισμός Fourier (DFT) Ο διακριτός μετασχηματισμός Fourier (Discrete Fourier Transform - DFT) είναι ένα είδος μετασχηματισμού Fourier ο οποίος εφαρμόζεται σε πεπερασμένα σύνολα σημείων-δειγμάτων, τα οποία ισαπέχουν χρονικά μεταξύ τους. Για αυτόν το λόγο, ο DFT εφαρμόζεται κυρίως σε ψηφιακά (διακριτά) σήματα, σε αντίθεση με τον μετασχηματισμό Fourier ο οποίος χρησιμοποιείται σε αναλογικά (συνεχή) σήματα. Η λειτουργία του DFT είναι η μετατροπή των εισερχόμενων δεδομένων (συνήθως από μια συνάρτηση) από το πεδίο του χρόνου στο πεδίο των

81 Κβαντικοί Υπολογιστές 79 συχνοτήτων. Ακόμη, αποκαλύπτει περιοδικότητες των εισερχόμενων δεδομένων. Οι πρακτικές χρήσεις του διακριτού μετασχηματισμού Fourier εκτείνονται οπουδήποτε χρειάζεται να πραγματοποιηθεί ανάλυση Fourier. Ο DFT είναι ένα εργαλείο ζωτικής σημασίας στην ανάλυση και επεξεργασία ψηφιακών σημάτων, όπως στην επεξεργασία εικόνων και ήχου. Χρησιμοποιείται ακόμη για την αποδοτική επίλυση μερικών διαφορικών εξισώσεων, σε εφαρμογές με συνελίξεις καθώς και για τον πολλαπλασιασμό μεγάλων ακεραίων. Ο διακριτός μετασχηματισμός Fourier μπορεί να υλοποιηθεί πολύ εύκολα σε υπολογιστές και συστήματα καθώς εφαρμόζεται σε πεπερασμένα σύνολα τα οποία δεν απαιτούν τεράστιους αποθηκευτικούς χώρους στη μνήμη. Λόγω της σημασίας του DFT, έχουν επινοηθεί αρκετά αποδοτικοί αλγόριθμοι για την εκτέλεση του DFT σε υπολογιστές οι οποίοι λέγονται Fast Fourier Transforms (FFTs). Κύρια χρήση του FFT είναι η αφαίρεση θορύβου από εικόνες και ήχους, κατά την ανάλυση και επεξεργασία τους. Πλέον, πολύ συχνά οι δυο παραπάνω όροι, DFT και FFT, συγχέονται. Ο μαθηματικός τύπος του διακριτού μετασχηματισμού Fourier είναι ο εξής: N 2πijk N y k = x j e j= όπου x j είναι μια ακολουθία πεπερασμένου μήκους η οποία αποτελεί τα εισερχόμενα δεδομένα, N είναι το πλήθος των στοιχείων της εισερχόμενης σειράς και y k είναι η σειρά που προκύπτει από την εφαρμογή του DFT, έχει το ίδιο πλήθος στοιχείων με την εισερχόμενη και αποτελείται από μιγαδικούς αριθμούς. Τα j και k είναι οι δείκτες των αντίστοιχων σειρών. Υπάρχει και ο αντίστροφος διακριτός μετασχηματισμός Fourier, ο οποίος όμως δεν είναι στα πλαίσια αυτής της εργασίας. Για μεγαλύτερη ευκολία στις πράξεις, ο διακριτός μετασχηματισμός Fourier μπορεί να γραφεί ως εξής:

82 N y k = x j W N jk j= Κβαντικοί Υπολογιστές 8 2πi N όπου W N = e, ονομάζεται παράγοντας στροβιλισμού και συνδέεται με τις νιοστές ρίζες της μονάδας. Επίσης, μπορεί να χρησιμοποιηθεί και πίνακας για τον μετασχηματισμό της ακολουθίας ως εξής: W N 2 W N N W N y y y 2 = [ y N ] [ N W N 2(N ) W N 2 W N 4 W N 2(N ) W N (N ) W 2 N ] [ x x x 2 x N ] Για καλύτερη κατανόηση της λειτουργίας του DFT ακολουθεί ένα αριθμητικό παράδειγμα όπου χρησιμοποιούνται και οι τρεις τρόποι υπολογισμού του διακριτού μετασχηματισμού Fourier. Έστω η ακολουθία x j = {,,, 2}. Επομένως, ισχύει ότι Ν = 4 και x =, x =, x 2 =, x 3 = 2. ος τρόπος: Για κ = : Για κ = : 3 y k = x j e 2πijk 4 j= 3 3 = x j e 2πijk/2 j= y = x j e = 3 j= Για κ = 2: 3 y = x j e πij/2 j= = + i 3 y 2 = x j e πij = 7 j=

83 Κβαντικοί Υπολογιστές 8 Για κ = 3: 3 y 3 = x j e πij3/2 j= = i 2 ος τρόπος: Για κ = : 3 y k = x j W 4 jk j= και W 4 = e 2πi/4 = e πi/2 = i Για κ = : 3 y = x j W 4 j= = 3 3 y = x j W 4 j j= Για κ = 2: = x W 4 + x W 4 + x 2 W x 3 W 4 3 = + i 3 y 2 = x j W 4 2j Για κ = 3: j= = x W 4 + x W x 2 W x 3 W 4 6 = 7 3 3j y 3 = x j W 4 = x W 4 + x W x 2 W x 3 W 9 4 = i j=

84 Κβαντικοί Υπολογιστές 82 3 ος τρόπος: y 2 3 y W 4 W 4 W 4 [ y ] = [ 2 W 4 W 4 W 4 y [ W 4 W 4 W 9 4 ] i i = [ ] [ i i i + 2i = [ ] i 2i 3 + i = [ ] 7 i x x x ] 2 x 3 2 ] 5.4 Κβαντικός μετασχηματισμός Fourier (QFT) Ο κβαντικός μετασχηματισμός Fourier (Quantum Fourier Transform - QFT) είναι το κβαντικό ανάλογο του διακριτού μετασχηματισμού Fourier που μελετήθηκε στο προηγούμενο υποκεφάλαιο. Πρόκειται για έναν ορθομοναδιαίο τελεστή του χώρο Hilbert ο οποίος εφαρμόζει ένα γραμμικό μετασχηματισμό σε qubits. Ο QFT είναι πολύ σημαντικό κομμάτι του κβαντικού υπολογισμού και αποτελεί τη βάση για πολλούς κβαντικούς αλγόριθμους (Shor, αλγόριθμος για το πρόβλημα της κρυμμένης υποομάδας). Οι λειτουργίες του κβαντικού μετασχηματισμού Fourier είναι πολλές. Μέσα σε αυτές συμπεριλαμβάνονται η μεταβολή των πλατών πιθανότητας και των φάσεων των καταστάσεων των κβαντικών καταχωρητών. Ακόμη, αποκαλύπτει περιοδικότητες των δεδομένων και προκαλεί αλληλεπιδράσεις ανάμεσα στα qubits καθώς και ανάμεσα σε καταχωρητές. Ξεκινώντας την περιγραφή του κβαντικού μετασχηματισμού Fourier πρέπει να αναφερθεί ότι οι κβαντικές καταστάσεις του καταχωρητή θα

85 Κβαντικοί Υπολογιστές 83 απεικονισθούν στη δεκαδική τους μορφή, όπως περιεγράφηκε σε προηγούμενα κεφάλαια. Έστω λοιπόν, ο κβαντικός καταχωρητής του οποίου οι βασικές καταστάσεις είναι:,, 2, x, N 2, N Όπου Ν = 2 n είναι το πλήθος των δυνατών καταστάσεων του καταχωρητή και n είναι ο αριθμός των qubits του καταχωρητή. Ο κβαντικός μετασχηματισμός Fourier μιας τυχαίας κατάστασης x ενός κβαντικού καταχωρητή, όπως παραπάνω, είναι: N x N e2πixy/n y y= Το βέλος στην παραπάνω μαθηματική παράσταση συμβολίζει τη μετατροπή της βασικής κατάστασης x του αριστερού μέλους, στην κατάσταση του δεξιού μέλους. Ο δεύτερος συμβολισμός του κβαντικού μετασχηματισμού Fourier, με τη βοήθεια του παράγοντα στροβιλισμού, είναι: όπου W N = e 2πi/N. Ν x Ν W xy N y Τέλος, ο μετασχηματισμός μπορεί να γραφεί και ως πίνακας ως εξής: QFT N = N y= W W 2 W 3 W Ν W 2 W 4 W 6 W 2(Ν ) W 3 W 6 W 9 W 3(Ν ) [ W Ν W 2(Ν ) W 3(Ν ) W (Ν )2 ] Εκτός από τις βασικές καταστάσεις των καταχωρητών, ο QFT μπορεί να εφαρμοστεί και σε υπερθέσεις καταστάσεων. Αρχικά, θεωρείται η υπέρθεση των βασικών καταστάσεων:

86 Κβαντικοί Υπολογιστές 84 N a + a + + a x x + + a N N = a x x Έτσι, ο κβαντικός μετασχηματισμός Fourier της παραπάνω κατάστασης είναι: N a x x N a x e 2πi yx N y x= N N y= x= Για διευκόλυνση και ευκολία στις πράξεις, ο QFT μπορεί να γραφεί και ως εξής: x= όπου N a x x N z y y x= N y= και W N = e 2πi/N. N z y = e 2πiyx/N a x x= N = W N xy a x x= Για καλύτερη κατανόηση του κβαντικού μετασχηματισμού Fourier θα παρουσιαστούν κάποια παραδείγματα εφαρμογής του QFT σε καταχωρητές του ενός, δύο και τριών qubits, χρησιμοποιώντας το δεύτερο συμβολισμό και τον πίνακα. Ακόμη, θα παρουσιαστεί και ένα παράδειγμα εφαρμογής του σε μια κατάσταση υπέρθεσης ενός καταχωρητή των 2 qubits QFT σε καταχωρητή του ενός qubit Θα εξεταστεί η εφαρμογή του QFT στις καταστάσεις και. ος τρόπος: Ν = 2 W 2 = e 2πi/2 =

87 ( ) y y= ( )y y y= Κβαντικοί Υπολογιστές 85 = ( + ) = ( ) 2 ος τρόπος: QFT 2 = [ W ] = [ ] QFT 2 = [ ] [ ] = [ ] = ( + ) QFT 2 = [ ] [ ] = [ ] = ( ) QFT σε καταχωρητή των δυο qubits Θα εξεταστεί η εφαρμογή του QFT στις καταστάσεις και, των οποίων οι δεκαδικές μορφές είναι και 3 αντίστοιχα. ος τρόπος: 3 2 iy y y= i3y y y= Ν = 4 W 4 = e 2πi/4 = i = ( + i 2 i 3 ) 2 = ( i 2 + i 3 ) 2

88 2 ος τρόπος: Κβαντικοί Υπολογιστές 86 QFT 4 = 2 [ W W 2 W 3 W 2 W 4 W 6 ] = 2 [ i i ] W 3 W 6 W 9 i i QFT 4 = 2 [ i i ] [ ] = 2 [ i ] i i i = ( + i 2 i 3 ) 2 QFT 4 3 = 2 [ i i ] [ ] = 2 [ i ] i i i = ( i 2 + i 3 ) QFT σε καταχωρητή των τριών qubits Θα εξεταστεί η εφαρμογή του QFT στις καταστάσεις και, των οποίων οι δεκαδικές μορφές είναι 2 και 5 αντίστοιχα. ος τρόπος: Ν = 8 W 8 = e 2πi/8 = e πi/ e2πiy 4 y y= 7 = 8 iy y y= = ( + i 2 i i 5 6 i 7 ) 8

89 7 5 8 e5πiy 4 y y= = Κβαντικοί Υπολογιστές 87 = ( + e5πi 4 + e 5πi e 5πi e 5πi 4 + e 25πi e 3πi e 35πi 4 7 ) = ( + e 3πi 4 + i 2 + e πi e πi 4 5 i e 3πi 4 7 ) 2 ος τρόπος: W W 2 W 3 W 4 W 5 W 6 W 7 W 2 W 4 W 6 W 8 W W 2 W 4 QFT 8 = W 3 W 6 W 9 W 2 W 5 W 8 W 2 8 W 4 W 8 W 2 W 6 W 2 W 24 W 28 W 5 W W 5 W 2 W 25 W 3 W 35 W 6 W 2 W 8 W 24 W 3 W 36 W 42 [ W 7 W 4 W 2 W 28 W 35 W 42 W 49 ] e πi/4 i e 3πi/4 e 3πi/4 i e πi/4 i i i i = e 3πi/4 i e πi/4 e πi/4 i e 3πi/4 8 e 5πi/4 i e πi/4 e πi/4 i e 3πi/4 i i i i [ e 7πi/4 i e 3πi/4 e 3πi/4 i e πi/4 ]

90 QFT 8 2 = 8 Κβαντικοί Υπολογιστές 88 e πi 4 i e 3πi 4 e 3πi 4 i e πi 4 i i i i e 3πi 4 i e πi 4 e πi 4 i e 3πi 4 e 5πi 4 i e πi 4 e πi 4 i e 3πi 4 i i i i [ e 7πi 4 i e 3πi 4 e 3πi 4 i e πi = 8 [ i i i i] T 4 ] = ( + i 2 i i 5 6 i 7 ) 8 [ ] QFT 8 5 = 8 e πi 4 i e 3πi 4 e 3πi 4 i e πi 4 i i i i e 3πi 4 i e πi 4 e πi 4 i e 3πi 4 e 5πi 4 i e πi 4 e πi 4 i e 3πi 4 i i i i [ e 7πi 4 i e 3πi 4 e 3πi 4 i e πi = 8 [ e 3πi 4 i e πi 4 e πi 4 i e 3πi 4 ] 4 ] [ ] = ( + e 3πi 4 + i 2 + e πi e πi 4 5 i 6 + e 3πi 4 7 ) QFT σε καταχωρητή των 2 qubits που βρίσκεται σε υπέρθεση Έστω ότι ο καταχωρητής βρίσκεται στην υπέρθεση καταστάσεων: με 4 ( ) = 4 x 3 x=

91 Κβαντικοί Υπολογιστές 89 α x = 4 Επίσης, W 4 = e πi/2 = i Άρα ο κβαντικός μετασχηματισμός Fourier είναι: Τελικώς, ο QFT είναι: 3 4 x x= x 4 z y y x= 3 y=o z y = e xy = 4 4 ( + iy + i 2y + i 3y ) x= z = 2 z = z 2 = z 3 = 4 (z + z + z z 3 3 ) = 2 = Κβαντικό κύκλωμα Πρώτα απ όλα θα πρέπει να αναφερθεί ότι ο τρόπος εύρεσης του κβαντικού κυκλώματος που περιγράφεται παρακάτω βασίζεται στον τρόπο που περιεγράφηκε από τον Dave Bacon, ακαδημαϊκό του πανεπιστημίου της Ουάσιγκτον [3]. Επίσης, για διευκόλυνση και μόνο στους υπολογισμούς, η αρίθμηση των qubits ξεκινά από το μέχρι το n. Για να μπορέσει να μετατραπεί ο QFT από τη παρούσα μαθηματική του μορφή σε μια μορφή η οποία να μπορεί να μετατραπεί σε κβαντικό κύκλωμα θα πρέπει να γίνουν μερικές μετατροπές. Αρχικά, ξεκινώντας από τον αρχικό τύπο:

92 μπορεί να μετατραπεί στον εξής: x N Ν x Ν W xy N y y= W N x N 2 k y,y 2,,y n {,} N k= Κβαντικοί Υπολογιστές 9 y k y y 2 y 3 y n Μια παρατήρηση για τον παραπάνω τύπο είναι ότι τα qubits δεν είναι στη σειρά που ορίστηκε σε προηγούμενο κεφάλαιο μέσα στον καταχωρητή. Παρόλα αυτά, αυτό δεν εμποδίζει τη λειτουργία του μετασχηματισμού και είναι έτσι μόνο για διευκόλυνση των πράξεων και της εξαγωγής του κυκλώματος. Συνεχίζοντας, για περαιτέρω απλοποίηση της παραπάνω παράστασης, θα πρέπει να γίνει μετατροπή του υψωμένου αθροίσματος σε ένα γινόμενο δυνάμεων. Έτσι, η παράσταση γίνεται η εξής: Μετά από ανακατάταξη του αθροίσματος και του γινομένου, ο μετασχηματισμός είναι ο εξής: Λύνοντας το άθροισμα, η παράσταση γίνεται: Σε αυτό το σημείο, για διευκόλυνση των υπολογισμών, πρέπει να γίνει παρουσίαση μιας παράστασης που θα χρησιμοποιηθεί:. x x 2 x n = x 2 + x x n 2 n Ο παραπάνω συμβολισμός αποτελεί έναν τρόπο συμβολισμού του δυαδικού κλάσματος. Έτσι, λοιπόν, με την αντικατάσταση N = 2 n και τη χρήση της παραπάνω παράστασης, ο μετασχηματισμός γράφεται ως εξής:

93 Κβαντικοί Υπολογιστές 9 ή x n [ + e2πi.x n ] [ + e 2πi.x n x n ] [ + e 2πi.x x 2 x n ] Από την παραπάνω παράσταση φαίνεται ότι καθώς το ο qubit δεν εξαρτάται από τα υπόλοιπα qubits του καταχωρητή αλλά κάθε επόμενο ξεκινά να εξαρτάται όλο και περισσότερο, μέχρι που το τελευταίο qubit εξαρτάται πλήρως από τα υπόλοιπα qubits. Ύστερα από την προηγούμενη ανάλυση μπορεί να ξεκινήσει η κατασκευή του κβαντικού κυκλώματος του κβαντικού μετασχηματισμού Fourier. Αρχικά, πρέπει να γίνει παρουσίαση μιας εναλλακτικής μορφής της δράσης της πύλης Hadamard σε ένα qubit: H x x i e 2 Στο πρώτο βήμα εφαρμόζεται στο ο qubit του καταχωρητή x x 2 x n μια πύλη Hadamard: x [ + e2πi.x ] x 2 x 3 x n Αμέσως μετά, εφαρμόζονται στο ο qubit n ελεγχόμενες πύλες μετατόπισης φάσης. Η πρώτη πύλη που εφαρμόζεται είναι η R π 2 = R π 2 με qubit ελέγχου το 2 ο κατά σειρά qubit. Η δεύτερη πύλη είναι η R π 2 2 = R π 4 με qubit ελέγχου το 3 ο qubit. Η διαδικασία συνεχίζεται μέχρι το qubit q n. Η πύλη που εφαρμόζεται στο ο qubit και έχει qubit ελέγχου το νιοστό qubit είναι η R π 2 n. Έτσι, ο μετασχηματισμός γίνεται: x [ + e2πi.x x 2 x n ] x 2 x n Προχωρώντας στο 2 ο qubit, εφαρμόζεται πρώτα η πύλη Hadamard και ύστερα n ελεγχόμενες πύλες μετατόπισης φάσης, οι οποίες έχουν ως

94 Κβαντικοί Υπολογιστές 92 qubits ελέγχου τα επόμενα στη σειρά qubits, όπως παρουσιάστηκε παραπάνω. Έτσι, ο μετασχηματισμός αλλάζει σε: x [ + e2πi.x x 2 x n ] [ + e 2πi.x x 2 x n ] x 3 x n Με την προηγούμενη διαδικασία, παράχθηκαν τα δυο τελευταία qubits του κβαντικού μετασχηματισμού Fourier. Για να παραχθεί όλος ο μετασχηματισμός θα πρέπει να εφαρμοστεί η προηγούμενη διαδικασία για κάθε qubit και να προκύψει το παρακάτω αποτέλεσμα: x n [ + e2πi.x x 2 x n ] [ + e 2πi.x x 2 x n ] [ + e 2πi.x ] Όπως φαίνεται το παραπάνω αποτέλεσμα αποτελεί τον QFT αλλά με τα qubits της εξόδου ανεστραμμένα. Αν αντιστραφεί η σειρά των qubits τότε θα προκύψει ο μετασχηματισμός. Συμπερασματικά, το κύκλωμα του QFT είναι: Εικόνα 5-3: Το κβαντικό κύκλωμα του QFT για καταχωρητή των n qubits Σε αντίθεση με τα άλλα κυκλώματα που παρουσιάστηκαν, η σειρά των qubits στο παραπάνω κύκλωμα είναι ανεστραμμένη. Αυτό δεν επηρεάζει τους υπολογισμούς (απλή αναστροφή των qubits στο τέλος) ή την προσομοίωση που θα ακολουθήσει καθώς αυτή παρουσιάζει πιθανότητες και όχι φάσεις.

95 Κβαντικοί Υπολογιστές Προσομοίωση, αποτελέσματα και ανάλυση Οι προσομοιώσεις που θα ακολουθήσουν γίνονται με τη βοήθεια του προσομοιωτή QCS και βασίζονται στο παραπάνω κύκλωμα. Είναι προσομοιώσεις τριών κυκλωμάτων, με το κάθε κύκλωμα να περιλαμβάνει καταχωρητή με διαφορετικό πλήθος qubits. Το πρώτο κύκλωμα περιλαμβάνει καταχωρητή των δυο qubits, το δεύτερο καταχωρητή των τριών qubits και το τρίτο καταχωρητή των πέντε qubits. Εικόνα 5-4: Το κύκλωμα του QFT με 2 qubits Εικόνα 5-5: Το κύκλωμα του QFT με 3 qubits Εικόνα 5-6: Το κύκλωμα του QFT με 5 qubits Τα αποτελέσματα της προσομοίωσης του πρώτου κυκλώματος είναι τα εξής:

96 Κβαντικοί Υπολογιστές 94 Εικόνα 5-7: Αρχικές καταστάσεις του καταχωρητή α), β), γ), δ) Συνεχίζοντας, τα αποτελέσματα της προσομοίωσης του δεύτερου κυκλώματος, το οποίο περιλαμβάνει καταχωρητή των τριών qubits είναι:

97 Κβαντικοί Υπολογιστές 95 Εικόνα 5-8: Αρχικές καταστάσεις του καταχωρητή α), β), γ), δ) Εικόνα 5-9: Αρχικές καταστάσεις του καταχωρητή α), β), γ), δ)

98 Κβαντικοί Υπολογιστές 96 Τελικώς, θα παρουσιαστούν αποτελέσματα της προσομοίωσης του τελευταίου κυκλώματος μόνο για κάποιες ενδεικτικές αρχικές καταστάσεις καθώς το πλήθος τους είναι μεγάλο και μπορούν να εξαχθούν συμπεράσματα χωρίς να παρουσιάζονται όλες οι καταστάσεις: Εικόνα 5-: Αρχικές καταστάσεις του καταχωρητή α), β), γ), δ)

99 Κβαντικοί Υπολογιστές 97 Εικόνα 5-: Αρχικές καταστάσεις του καταχωρητή α), β) Ξεκινώντας την ανάλυση των αποτελεσμάτων των προσομοιώσεων πρέπει να σημειωθεί ότι θα ληφθούν υπόψιν και τα αριθμητικά αποτελέσματα του υποκεφαλαίου 5.4 καθώς και αναφερθεί η περίπτωση της εφαρμογής του QFT σε καταχωρητή με ένα qubit. Όπως φάνηκε από τα αριθμητικά αποτελέσματα, όταν εφαρμόζεται ο κβαντικός μετασχηματισμός Fourier σε ένα qubit, τότε προκύπτει μια κατάσταση υπέρθεσης, ακριβώς όπως όταν δρα η κβαντική πύλη Hadamard. Επιπροσθέτως, η παραπάνω παρατήρηση ενισχύεται από το κύκλωμα του QFT για ένα qubit, το οποίο αποτελείται μόνο από μια πύλη Hadamard. Συνεχίζοντας, όπως φαίνεται από τα γραφήματα των προσομοιώσεων για όλα τα κυκλώματα, φαίνεται ότι με το τέλος των δράσεων των εφαρμοζόμενων πυλών στο ο qubit ο καταχωρητής βρίσκεται σε μια

100 Κβαντικοί Υπολογιστές 98 κατάσταση υπέρθεσης δυο βασικών καταστάσεων. Στη συνέχεια, τελειώνοντας τις δράσεις στο 2 ο qubit ο καταχωρητής βρίσκεται και πάλι σε μια υπέρθεση καταστάσεων, αλλά αυτή τη φορά οι καταστάσεις οι καταστάσεις είναι τέσσερις. Η διαδικασία αυτή συνεχίζεται έως το τελευταίο qubit, οπότε εφαρμόζεται μια πύλη Hadamard και ο καταχωρητής καταλήγει σε μια κατάσταση υπέρθεσης όλων των βασικών καταστάσεων. Αυτό συμβαίνει σε κάθε κύκλωμα του QFT, ανεξάρτητα από τον αριθμό των qubits του καταχωρητή. Αφού εξετάστηκαν τα γραφήματα, θα πρέπει να εξεταστούν και τα αποτελέσματα από την εφαρμογή του τύπου του κβαντικού μετασχηματισμού Fourier σε καταχωρητές, δηλαδή τα αποτελέσματα στο υποκεφάλαιο 5.4, τα οποία είναι: Για qubit: 2 2 Για 2 qubits (ενδεικτικά δυο αποτελέσματα): i 2 i i 2 i 3 2 Για 3 qubits (ενδεικτικά δυο αποτελέσματα): 2 i 2 i 3 4 i 5 6 i i i i 3 i e i 2 e 3 4 e 5 i 6 e 7 8 Έτσι, προκύπτει ότι αν και η τελική κατάσταση του καταχωρητή είναι μια υπέρθεση όλων των βασικών καταστάσεων, σε κάθε qubit οι ίδιες βασικές καταστάσεις έχουν διαφορετικό πλάτος πιθανότητας. Αυτό συμβαίνει για όλες τις βασικές καταστάσεις εκτός από την κατάσταση η οποία έχει πάντα ίδιο πλάτος πιθανότητας.

101 Κβαντικοί Υπολογιστές 99 Ένα πιο περιεκτικό και πρακτικό παράδειγμα του QFT είναι το εξής: έστω ο καταχωρητής ο οποίος βρίσκεται στη βασική κατάσταση. 3 Με εφαρμογή του QFT γίνεται: i3y y y= = ( i 2 + i 3 ) 2 Όπως φαίνεται παραπάνω, στο ο βήμα είναι η αρχικοποίηση του καταχωρητή. Στο 2 ο βήμα, ο καταχωρητής βρίσκεται σε μια κατάσταση υπέρθεσης δυο βασικών καταστάσεων, της και της. Στο τρίτο βήμα, ο καταχωρητής εξακολουθεί να είναι σε υπέρθεση των δυο προηγούμενων καταστάσεων, με τη διαφορά ότι με την εφαρμογή της ελεγχόμενης πύλης μετατόπισης φάσης, αλλάζει το πλάτος πιθανότητας μιας βασικής κατάστασης. Συνεχίζοντας, στο 4 ο βήμα εφαρμόζεται και πάλι μια πύλη Hadamard στο ένα qubit και προκύπτει η υπέρθεση όλων των βασικών καταστάσεων. Τέλος, πρέπει να γίνουν και κάποιες μετατοπίσεις qubits όταν λυθεί το μαθηματικό μοντέλο του κυκλώματος για να προκύψει το σωστό αποτέλεσμα. Συνοπτικά, όταν εφαρμοστεί ο κβαντικός μετασχηματισμός Fourier σε έναν καταχωρητή, τότε ο καταχωρητής καταλήγει σε μια κατάσταση υπέρθεσης όλων των βασικών καταστάσεων. Όμως, η υπέρθεση που προκύπτει δεν είναι η ίδια για κάθε συνδυασμό των qubits του καταχωρητή καθώς για κάθε διαφορετική κατάσταση του καταχωρητή προκύπτουν διαφορετικά πλάτη πιθανότητας.