, και για h 0, . Άρα. Α2. Μια συνάρτηση f λέγεται γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε σημεία x.

Transcript

1 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β) ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 10 ΙΟΥΝΙΟΥ 01 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑ Α είναι f 1, για κάθε. Μονάδες 7 Α. Πότε μια συνάρτηση f λέγεται γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της; Μονάδες 4 Α. Να ορίσετε το εύρος R (κύμανση) ενός συνόλου παρατηρήσεων μιας ποσοτικής μεταβλητής. Μονάδες 4 Α4. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας, δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α) Ο συντελεστής μεταβολής CV είναι ανεξάρτητος από τις μονάδες μέτρησης. Α1. Να αποδείξετε ότι η παράγωγος της ταυτοτικής συνάρτησης f β) Αν A, B είναι δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω, με τους ισχύει PA PB. B, τότε για τις πιθανότητές γ) Η διάμεσος ενός δείγματος επηρεάζεται από τις ακραίες παρατηρήσεις. δ) Η παράγωγος μιας συνάρτησης f στο 0 εκφράζει τον ρυθμό μεταβολής του y = f() ως προς το, όταν = 0. ε) Σε μία κανονική ή περίπου κανονική κατανομή, περίπου το 95% των παρατηρήσεων βρίσκεται στο διάστημα s, s, όπου είναι η μέση τιμή και s είναι η τυπική απόκλιση των παρατηρήσεων. Μονάδες 10 Απάντηση Α1. Έχουμε f h f h h, και για h 0, f h f Επομένως lim lim1 1 h0 h h0. Άρα 1. f h f h 1. h h Α. Μια συνάρτηση f λέγεται γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε σημεία 1, με 1 ισχύει f f. 1 Α. Εύρος (range) R του δείγματος είναι η διαφορά της μικρότερης παρατήρησης από τη μεγαλύτερη παρατήρηση του συνολικού δείγματος. Α4. α) Σ β) Λ γ) Λ δ) Σ ε) Λ ΘΕΜΑ Β Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο f,, 0. Β1. Αν η γραφική παράσταση της f διέρχεται από το σημείο A1,, να βρείτε το α. Μονάδες 4 Β. Για α = να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f στο σημείο της με τετμημένη 0 1. Μονάδες 7 Β. Για α = να βρείτε τα ακρότατα της συνάρτησης f. Μονάδες

2 f Β4. Για α = να υπολογίσετε το όριο lim 1 1. Λύση Μονάδες 8 Β1. Επειδή η γραφική παράσταση της f διέρχεται από το Α, ισχύει ότι: f Β. Η f είναι παραγωγίσιμη στο με f Είναι f και Η εφαπτομένη της B. Επειδή C f στο f για κάθε άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο άρα η f είναι γνησίως φθίνουσα στο Η f παρουσιάζει ελάχιστο στο 0 το y f 1 f 1 1 y 1 y έχει εξίσωση, είναι f 0 για κάθε 0 και για κάθε 0, f 0,0 f 0 f 4 Β4. lim lim lim lim lim 1 1 lim f f f lim lim f ΘΕΜΑ Γ 1 ή 4 Σε ένα κουτί υπάρχουν σφαίρες, άλλες κόκκινου και άλλες μπλε χρώματος. Κάθε σφαίρα φέρει έναν θετικό ακέραιο αριθμό. To πλήθος των σφαιρών με άρτιο αριθμό είναι λ και το πλήθος των σφαιρών με περιττό αριθμό είναι λ+1. Επιλέγουμε τυχαία μια σφαίρα από το κουτί και ορίζουμε τα ενδεχόμενα: A: «η σφαίρα που επιλέγουμε έχει άρτιο αριθμό» Π: «η σφαίρα που επιλέγουμε έχει περιττό αριθμό» Κ: «η σφαίρα που επιλέγουμε έχει κόκκινο χρώμα» M: «η σφαίρα που επιλέγουμε έχει μπλε χρώμα». Δίνεται ότι: Η πιθανότητα του ενδεχομένου Π είναι. Η πιθανότητα του ενδεχομένου M A είναι PM A. Γ1. α. Να αποδείξετε ότι στο κουτί υπάρχουν συνολικά σφαίρες (μονάδες 7). β. Να αποδείξετε ότι στο κουτί υπάρχουν μπλε σφαίρες με άρτιο αριθμό (μονάδες ). Μονάδες 10 f 0 + f ΤΕ 1

3 7, τότε 10 α. να αποδείξετε ότι στο κουτί περιέχονται 0 μπλε και 1 κόκκινες σφαίρες (μονάδες ) β. να βρείτε την πιθανότητα η σφαίρα που επιλέγουμε να είναι μπλε με περιττό αριθμό (μονάδες 5) γ. να βρείτε την πιθανότητα η σφαίρα που επιλέγουμε να είναι κόκκινη με περιττό αριθμό (μονάδες 4). Μονάδες 15 Λύση Γ. Αν επιπλέον είναι γνωστό ότι Γ1. α. Το σύνολο των σφαιρών είναι N 1 1. N 1 N 1 N 5 1 NM A β. PM A NM A 5 5, άρα, δηλαδή στο κουτί υπάρχουν μπλε σφαίρες με άρτιο αριθμό. 7 N 7 N Γ. α. 10 N 10 N 7 17 Όμως N N N N N N Επομένως στο κουτί υπάρχουν 0 μαύρες και 0 1 μπλε σφαίρες. β. Επειδή μπλε σφαίρες έχουν άρτιο αριθμό, οι υπόλοιπες 1-=15 θα έχουν περιττό αριθμό, άρα γ. Στο κουτί συνολικά υπάρχουν λ+1, δηλαδή σφαίρες με περιττό αριθμό. Όμως 1 από αυτές είναι 5 μπλε, άρα οι υπόλοιπες 5 είναι κόκκινες, οπότε: P. ΘΕΜΑ Δ Ρωτήσαμε τις οικογένειες μιας πολυκατοικίας να μας πουν πόσα παιδιά έχει η καθεμιά Οι απαντήσεις τους φαίνονται στον παρακάτω πίνακα: Αριθμός Οικογένειες παιδιών i i ΣΥΝΟΛΟ ν Δ1. Αν η διάμεσος του αριθμού των παιδιών είναι δ =, να βρείτε τις δυνατές τιμές του μεγέθους ν του

4 δείγματος. Δ. Αν ν = 1 και η μέση τιμή του αριθμού των παιδιών είναι 8, τότε Μονάδες 9 α. να βρείτε την τιμή (μονάδες 5) β. να κατασκευάσετε το διάγραμμα συχνοτήτων (μονάδες ) και το πολύγωνο συχνοτήτων (μονάδα 1). Τα διαγράμματα να γίνουν με στυλό. Μονάδες 8 Δ. Μετά από ένα χρόνο ξαναρωτήσαμε τις ίδιες οικογένειες για το πλήθος των παιδιών της καθεμιάς. Η οικογένεια που δεν είχε παιδιά απέκτησε δίδυμα και μία από τις οικογένειες που είχε ένα παιδί απέκτησε και δεύτερο. Στις υπόλοιπες οικογένειες ο αριθμός των παιδιών δεν μεταβλήθηκε. Να βρείτε τη μέση τιμή του αριθμού των παιδιών που προκύπτει από τις νέες παρατηρήσεις. Μονάδες 8 Λύση Δ1. Αν ν = άρτιος, τότε επειδή η διάμεσος είναι ο μέσος όρος των δύο μεσαίων παρατηρήσεων, ισχύει ότι: Αν ν περιττός τότε η διάμεσος θα είναι η μεσαία παρατήρηση οπότε =. Επειδή πριν το έχουμε 1++1=5 παρατηρήσεις = παρατηρήσεις Άρα οι δυνατές τιμές του ν θα είναι 11,1,1. t ή Δ. α. Επειδή 1, είναι ii 4 i β. Επομένως έχουμε τον ακόλουθο πίνακα Αριθμός παιδιών i Οικογένειες i ΣΥΝΟΛΟ 1 Με την βοήθεια του παραπάνω πίνακα συχνοτήτων έχουμε τα ζητούμενα διαγράμματα

5 γ. Μετά από ένα χρόνο έχουμε τον ακόλουθο πίνακα : Αριθμός παιδιών μετά από 1 χρόνο Οικογένειες μετά από ένα χρόνο ΣΥΝΟΛΟ 1 i Η μέση τιμή του αριθμού των παιδιών που προκύπτει από τις νέες παρατηρήσεις είναι :

6 i i. i1 1 1